FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Aluo: N.º Turma: Professor: Classificação: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato. (0). Cosidere a sucessão u defiida por u Prove que u ão é itada superiormete e justifique que é um ifiitamete grade em módulo. Comecemos por defiir u por ramos: se ímpar se ímpar u se par se par Temos A subsucessão dos termos de ordem ímpar tede para, isto é, A subsucessão dos termos de ordem par tede para, isto é, Portato u, ou seja, u é um ifiitamete grade em módulo. Provemos que u ão é majorada, isto é, que. Mostremos que L 0, p : p L Temos L L L Assim, por muito grade que seja o valor L 0 fixado, a partir do termo de ordem termos de ordem ímpar são superiores a L. Isto sigifica que ão é majorada, ou seja, u ão tem ite superior. L p todos os Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
. Cosidere a sucessão a que satisfaz a codição: a a 0 5 Diga, justificado adequadamete, se as afirmações seguites são verdadeiras ou falsas: (0).. a é uma progressão aritmética. Numa progressão aritmética a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos é costate. Neste caso, como a a depede do valor de podemos cocluir que essa difereça ão é costate. Portato, a afirmação é FALSA. (0).. a é um ifiitamete grade egativo. É dito que a a 0 5 Assim, a a 0 5 Como a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos de a tede para, esta sucessão tem de ser um ifiitamete grade egativo. Portato, a afirmação é VERDADEIRA. (0).. a é uma sucessão estritamete decrescete. a é estritamete decrescete se e só se a a 0, Como a a 0 5, temos de estudar o sial de 0 5 Temos: 0 5 0 Uma vez que a a, 0 0 0 5 0 0 5 0 5 represeta uma parábola de cocavidade voltada para baixo, temos, portato, Logo a afirmação é FALSA. a é decrescete em setido lato. (0).. a tem dois termos cosecutivos iguais. Da questão aterior cocluímos que a a 0 5 Assim, para 5 temos a 5 a 5 0 a6 a5 0 a6 a5 Portato, a6 a5, o que sigifica que a afirmação é VERDADEIRA. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
. A Joaa, pela primeira vez, obteve 0 valores o teste de matemática e o seu avô diz que cumprirá a sua promessa: - Durate um ao dar-te-ei uma mesada; - No.º mês dou-te 0 euros; - Em cada um dos messes seguites dar-te-ei mais 5% do que te dei o mês aterior. (0).. Quato recebe a Joaa o.º mês? E o.º mês? Como recebe sempre mais 0% do que recebeu o mês aterior, o.º mês recebe 0 5% de 0 0 0, 0 0 euros o.º mês recebe 5% de 0,,, euros (0).. Sedo j a sucessão que represeta a mesada que a joaa recebe o mês de ordem, defia a sucessão por recorrêcia e determie o termo geral de Como de mês para mês (ou de termo para termo) se multiplica por r 0,,, os valores da mesada que a Joaa recebe estão em progressão geométrica de razão r, e cujo primeiro termo j 0. Assim, por recorrêcia temos e o termo geral de j é j 0 j, j, j 0, j. j 0 ou j j 0, j, (0).. Calcule a mesada que a Joaa receberá o.º mês e determie o valor total que a Joaa receberá ao fim de um ao ( meses). No.º mês a joaa recebe j,,,..., isto é,, euros. 0 0 068 Ao fim de ao temos de calcular a soma dos primeiros termos da sucessão j. Temos S r j, portato, r S, 0, 0, 00, 0, 8,... Ao fim de um ao a Joaa receberá 8, euros. (0).. A Joaa voltou a ter 0 valores e o avô resolveu cotiuar com a promessa para além dos meses. Supodo que ambos vivem eteramete, determie, caso exista, o valor total que a Joaa receberá. Temos de calcular a soma de todos os termos da progressão geométrica j, 0. r r Como r,, a soma S j é divergete e é dada por S j r r,, S 0 0, 0, 00, 00, Portato, a Joaa receberia uma quatidade ifiita (icalculável!). 00 Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
. Uma sala de ciema tem 60 lugares dispostos em 5 filas. A primeira fila tem 0 lugares e de cada fila para a fila seguite aumeta sempre o mesmo úmero de lugares. (0).. Determie o úmero de lugares que tem a última fila. Pretedemos saber quatos lugares tem a fila 5. Como de fila para fila aumeta sempre o mesmo úmero de lugares, sabemos que o úmero de lugares das sucessivas filas está em progressão aritmética (de razão r positiva) e que f 0. Sedo f a sucessão que represeta o úmero de lugares da fila, temos S5 60. f f5 0 f5 60 Assim, S5 60 5 60 5 60 0 f5 5 f5 8 0 f5 8 Portato, a última fila tem 8 lugares. (0).. Quatos lugares tem a oitava fila? Pretedemos descobrir f 8. Como cohecemos f 0 e f5 8, podemos descobrir a razão da progressão. Temos f5 f r. Assim, 8 0 r r 8 0 8 r r Portato, f8 f 7r 0 7 0 Ou: Determiar e usar o termo geral Logo a 8.ª fila tem lugares. (5) 5. Usado sucessões, mostre que a soma dos primeiros múltiplos de quatro é dada por Pretedemos mostrar que 8 6... Isto correspode à soma dos primeiros termos da progressão aritmética de termo geral q. p p Sabemos que S Portato, 8 6... c.q.m. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia /6 Versão
(5) 6.. 6. Calcule cada um dos seguites ites, apresetado todos os raciocíios efetuados: se Como se varia etre - e, vamos usar o teorema das sucessões equadradas para calcular o ite dado. Comecemos por equadrar a expressão Temos, se, Subtraido, Dividido por, se se, Assim, se,. e Portato, pelo teorema das sucessões equadradas, se (0) 6.. Temos idetermiação L.I. 0 (0) 6.. Temos, idetermiação L.I. 0 0 0 (0) 6.. Temos 0 idetermiação L.I. 0 0 Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia 5/6 Versão
7. Para cada uma das questões seguites, idique a resposta correta. Não ecessita de apresetar cálculos ou justificações. (5) 7.. A taxa de variação média de uma fução f um itervalo a, b é egativa. Podemos cocluir que: (A) f b f a (B) f é crescete em a, b (C) f é decrescete em Temos tmv 0 a,b OPÇÃO D f b f a b a a, b (D) f a f b 0 ba f b f a 0b a f b f a 0 f b f a (5) 7.. Ao lado ecotra-se uma represetação gráfica de uma fução f, poliomial do.º grau. A reta y é tagete ao gráfico o poto, Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) (B) f f 0 f f (C) f f (D) f f 0 Temos f f f f f. OPÇÃO C (5) 7.. Relativamete à fução represetada a questão aterior, qual dos valores seguites pode Como represetar (A) f ' f' 0? f 0 (B) 9 0 mt (C) 0 (declive da reta tagete) o poto de abcissa 0, e sabemos que a reta tagete tem declive egativo (reta decrescete), etão f' 0 0. OPÇÃO D (5) 7.. De uma fução f de domíio, ímpar e ijetiva, sabe-se que f a Qual é o valor de f b f b (A)? b. a (B) b (C) 0 (D) a Como f é ímpar sabemos que f a f a b Assim, f a b a f b Portato, e f a b a f b f b f b a a 0 OPÇÃO C (D) BOM TRABALHO! Prof. José Tioco Ficha de avaliação de Matemática A.º Ao Págia 6/6 Versão