MINISÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE ECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UFPR CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO PR UNIVERSIDADE ECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Noçõs básicas d unçõs d várias variávis FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS As unçõs rais d várias variávis rais aparcm naturalmnt m problmas práticos Quando procuramos a ára S d um parallogramo d bas altura multiplicamos a bas pla altura Então o valor d S dpnd dos valors da bas da altura Dimos qu a ára S é unção das duas variávis Da msma orma concluímos qu o volum d um parallpípdo d dimnsõs é uma unção d variávis pois V a cada trno d valors atribuídos a corrspond um valor dtrminado do volum A Física através d suas órmulas também orc inúmros mplos d unçõs d várias variávis A notação " no domínio D R " signiicará qu é dado como uma unção d para todos os pontos d um domínio D do plano As variávis são chamadas variávis indpndnts nquanto qu s di dpndnt O gráico d uma unção é uma supríci contida m R para as unçõs u o gráico stá contido m R o qual não podmos visualiá-lo Algumas Aplicaçõs: 1 Dado podmos considrá-lo como por mplo o comprimnto a largura d um trrno rtangular associar a cada par : i A sua ára: A ii O prímtro do msmo: P iii A distância do ponto até a origm: D Dado podmos considrá-lo como por mplo as dimnsõs d uma caia rtangular parallpípdo rto-rtângulo associar a cada trna : i O volum do msmo: V ii A sua ára latral: A l iii A distância do ponto até a origm: D Considr o sguint nunciado: O volum V d um cilindro é dado por V π r h ond r é o raio h é a altura Analisando sss nunciados vriicamos qu as unçõs nvolvidas rqurm o uso d duas ou mais variávis indpndnts Podmos por mplo dir qu o volum d um cilindro dnotado por V é uma unção do raio r da altura h Assim V V r h é uma unção d duas variávis dinidas por: V r h π r h Essas situaçõs mostram mplos práticos qu aplicam unçõs d vária variávis Constatarmos qu o studo das unçõs d três ou mais variávis dir muito pouco do studo d unçõs d duas variávis Por isso vamos nst curso trabalhar mais com unçõs d duas variávis Por outro lado vamos salintar as dirnças undamntais ntr o cálculo d unçõs d uma variávl o cálculo d unçõs d várias variávis
Introdução: Suponha qu por DERIVADAS PARCIAIS sja uma unção d apnas uma variávl Sabmos qu sua drivada dinida ' ' d d lim lim pod sr intrprtada com a taa d variação d m rlação a Gomtricamnt a drivada d uma unção num ponto P rprsnta o coicint angular da rta tangnt a ssa unção no ponto considrado No caso d uma unção d duas variávis indpndnts ncssitamos d instrumntal matmático smlhant para trabalhar com a taa com qu muda quando ambos variam A idéia chav é ar com qu apnas uma variávl por v vari nquanto a outra é mantida invariávl Para unçõs d mais d duas variávis o procdimnto é ar com qu uma dlas vari nquanto todas as outras são mantidas invariávis Espciicamnt drivamos m rlação a apnas uma variávl por v ncarando todas as outras como constants tal procdimnto nos ornc uma drivada para cada uma das variávis indpndnts Essas drivadas individuais são as pças com as quais construirmos por mplo o gradint um dos instrumntos mais importants pois prmit dtrminar a dirção d máimo crscimnto d uma unção por mplo Diniçõs: Dinição 1:Podmos dinir como acréscimos parciais m rspctivamnt As raõs são as raõs incrmntais da unção m rlação a a Os limits dstas raõs para na primira na sgunda caso istam são as drivadas parciais da unção Assim: lim ' D lim ' D Dinição : S é uma unção d duas variávis rais ntão o limit da raão quocint do acréscimo parcial plo incrmnto quando tnd a ro chama-s drivada parcial m rlação a d dsd qu o limit ista Dsigna-s a drivada parcial m rlação a da unção por uma das notaçõs sguints: ou ou ou
Em símbolos: lim lim Nota: O símbolo na notação é utiliado para natiar qu há outra variávis indpndnts não apnas Dinição : Analogamnt din-s a drivada parcial m rlação a d como sndo o limit da raão do acréscimo parcial plo incrmnto quando tnd a ro dsd qu o limit ista Dsigna-s a drivada parcial m rlação a da unção por uma das notaçõs sguints: ou ou ou Em símbolos: lim lim Nota: Da msma orma o símbolo na notação é utiliado para natiar qu há outra variávis indpndnts não apnas Obsrvaçõs: 1 Na prática podmos também dinir as drivadas parciais m rlação a da unção do sguint modo: "chama-s drivada parcial da unção m rlação a à drivada m rlação a calculada supondo constant" "chama-s drivada parcial da unção m rlação a à drivada m rlação a calculada supondo constant" Rsulta das diniçõs antriors qu as rgras d cálculo das drivadas parciais são as msmas mprgadas para calcular a drivada das unçõs d uma variávl é prciso somnt tr-s atnção m rlação a qu variávl s tua a drivação Emplos: 1 Dtrmin a drivada parcial d m rlação a a
5 Calcul as drivadas parciais das unçõs a sguir: a b c 5 a b 5 c Dtrmin as drivadas parciais d Dtrmin as drivadas parciais da unção: Notmos a istência das componnts potência bas Então: Dtrmin as drivadas parciais d cos sn 5 sn cos sn cos cos sn Dtrmin as drivadas parciais d ln com > 6 Inicialmnt prparmos a unção: ] ln [ln 1 ln ln
DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS ORDEM SUPERIOR S é uma unção d duas variávis ntão m gral suas drivadas parciais d 1 a ordm são também unçõs d duas variávis S as drivadas dssas unçõs istm las são chamadas drivadas parciais d a ordm d As drivadas parciais das drivadas d a ordm s istirm constituirão as drivadas parciais d a ordm assim sucssivamnt and so on Para uma unção tmos quatro drivadas parciais d a ordm A partir da drivada d m rlação a obtmos as sguints drivadas parciais d a ordm: Por outro lado a partir da drivada d m rlação a obtmos Emplos: 1 Dada a unção dtrmin suas drivadas parciais d a ordm As drivadas parciais d 1 a ordm d são: A partir d tmos: 6 8 A partir d obtmos: 8 1 Obsrv qu: Dada a unção dtrmin suas drivadas parciais d a ordm vriiqu s : 1 6 8 6
Dada a unção dtrmin as drivadas parciais d 6 6 a ordm 1 7 1 1 1 1 1 18 1 1 Obsrv qu: Dada a unção dtrmin suas drivadas parciais d sn a ordm cos cos sn sn sn sn Obsrv qu: 5 Dada a unção dtrmin suas drivadas parciais d cos a ordm vriiqu s sn sn > cos cos cos 6 Dada a unção dtrmin suas drivadas parciais d a ordm > 6 Obsrv qu nos mplos antriors as drivadas parciais mistas d a ordm são iguais Isso ocorr para a maioria das unçõs qu aparcm na prática Essa igualdad é conhcida como torma d Schwart nunciado a sguir 7
EOREMA DE SCHWARZ: INVERIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇÃO Sja uma unção com drivadas parciais d a ordm contínuas num conjunto abrto ntão: R A para todo A Nota: Ess torma s stnd às drivadas mistas d ordm suprior à a EQUAÇÃO DE LAPLACE OU EQUAÇÃO HARMÔNICA Sab-s qu a quação qu rg o luo d calor é dada por: c t ond é a tmpratura num ponto no instant d tmpo é uma constant caractrística do matrial d qu é ita a placa t > c No quilíbrio térmico não varia com o tmpo portanto t Dsta orma a quação s torna: D orma análoga para o tridimnsional ou variávis tmos: R Dinição: Uma unção di-s harmônica quando satisa à quação d Laplac: Uma unção di-s harmônica quando satisa à quação d Laplac: w w w w Nota: Essas quaçõs são mplos d quaçõs dirnciais parciais conhcidas como EDP d grand aplicabilidad A quação V V V pod aparcr m problmas d ltricidad calor arodinâmica toria do potncial m muitos outros campos Por outro lado a quação U U k t U aparc na toria da condução bm como na diusão d nêutrons m uma pilha atômica para a produção d nrgia nuclar E ainda a quação t α aparc no studo d vibração d cordas ou ios bm como na propagação d sinais létricos Emplos: 1 Vriiqu qu a unção é harmônica sn cos sn sn sn sn sn cqd 8
Vriiqu qu a unção cos é harmônica sn cos cos cos cqd cos cos Vriiqu qu a unção sn cos é harmônica Obsrv qu st mplo é a soma dos mplos 1 assim d orma dirta tmos: sn cos sn cos cqd Nota: A drivada d uma unção harmônica é uma unção harmônica Da msma orma a soma d unçõs harmônicas é uma unção harmônica LISA DE EXERCÍCIOS PROPOSOS PARA A REVISÃO DOS CONCEIOS 1 Dada a unção calcul: a b c t d os valors d para os quais - Rsposta: a b c 6 t d - ou 1 Encontrar uma unção d várias variávis qu nos dê: a O volum d água ncssário para nchr uma piscina rdonda d mtros d raio mtros d altura b A quantidad d rodapé m mtros ncssária para s colocar numa sala rtangular d largura comprimnto c A quantidad m mtros quadrados d papl d pard ncssária para rvstir as pards latrais d um quarto rtangular d mtros d largura mtros d comprimnto s a altura do quarto é mtros d O volum d um parallpípdo rtângulo d dimnsõs A distância ntr dois pontos P 1 1 1 1 P A tmpratura nos pontos d uma sra s la m qualqur ponto é numricamnt igual a distância do ponto ao cntro da sra Rsposta: a V π b c d V Calcul as drivadas parciais das unçõs a sguir: a sn b c sn cos d Rsposta: a sn cos d P P 1 1 1 1 b 8
c coscos sn sn d Dtrminar as drivadas parciais das unçõs abaio: a 1 b sn 1 c d 1 Rsposta: a 6 b sn cos [ sn cos] cos c 1 d - 1 1 5 Dado o ponto a Rsposta: a P 1 b 1 b 1 calcul: 17 17 c c d 1 d 1 17 17 6 A unção 6 rprsnta a tmpratura m qualqur ponto d uma chapa Encontrar a raão d variação da tmpratura m rlação a distância prcorrida ao longo da placa na dirção dos ios positivos no ponto 1 Considrar a tmpratura mdida m graus Clsius a distância m cm Rsposta: 1 C / cm 1 1 C / cm 7 Dtrminar as drivadas parciais d a ordm das sguints unçõs: a b c ln d Rsposta: a 8 1616 18 8 b 1 1 1 1 c d 1 1 8 S tm drivadas parciais d a ordm contínuas satisa a quação d Laplac la é dita uma unção harmônica Vriicar s as unçõs dadas são harmônicas: a b c cos Rsposta: a Sim b Não c Sim 1