Cap. 5. Testes de Hpóteses Neste capítulo será estudado o segudo problema da ferêca estatístca: o teste de hpóteses. Um teste de hpóteses cosste em verfcar, a partr das observações de uma amostra, se uma afrmação (deomada hpótese) sobre a dstrbução de uma ou mas varáves de determada população em estudo verdadera ou ão. Se a hpóteses se refere a um ou mas parâmetros de uma população, o teste é deomado teste paramétrco. Se a hpótese é acerca da atureza da dstrbução de uma varável da população em estudo, o teste é deomado teste ão paramétrco. 5.1. CONCEITOS BÁSICOS Para eteder os procedmetos de um teste de hpóteses, serão apresetados a segur algus cocetos báscos. 5.1.1. Hpótese ula e hpótese alteratva Deoma-se hpótese ula uma hpótese formulada com o tuto de ser testada sedo deotada por H 0. A hpótese alteratva é a hpótese cosderada se as formações da amostra forecerem formações que levem à rejeção da hpótese ula. Por eemplo, supoha que o preço médo de certo artgo uma localdade teha sdo hstorcamete gual a R$,00. Deseja-se saber se o preço do artgo cau após a etrada de um artgo cocorrete o mercado da localdade. Neste caso formula-se as segutes hpóteses: H 0 : = ; H 1 : <. Ao se desevolver um teste de hpóteses supõe-se calmete que a hpótese ula seja verdadera 5.1. Erro do tpo I e erro do tpo II Como a decsão em acetar ou rejetar H 0 se basea apeas as formações de uma amostra da população, é possível cometer um dos segutes erros: a) Erro do tpo I ou de prmera espéce: cosste em rejetar uma hpótese ula verdadera. b) Erro do tpo II ou de seguda espéce: cosste em acetar uma hpótese ula falsa. Como estes erros são evtáves, aturalmete um bom teste deve-se mmzar a probabldades de se cometer estes erros. Como o erro do tpo I é o mas séro, em geral preocupa-se apeas com a probabldade de se cometer este tpo de erro e o teste passa a ser deomado teste de sgfcâca. 5.1.3. Nível de sgfcâca de um teste Deoma-se ível de sgfcâca a probabldade máma admssível de se cometer um erro do tpo I. O ível de sgfcâca é especfcado ates de se aplcar o teste e seu valor depede das coseqüêcas de se cometer o erro do tpo I. Usualmete os valores do ível de sgfcâca são 1% e 5%. 5.1.4. Teste ulateral e teste blateral Com relação ao eemplo acma, a hpótese alteratva era H 1 : <. Neste caso o teste é ulateral. Um teste ulateral pode ser esquerdo (como o eemplo em foco) ou dreto se a hpótese ula fosse H 1 : >. Se a hpótese ula fosse H 1 :, o teste sera blateral. 5.1.5. Varável de teste Deoma-se varável teste uma varável aleatóra que é fução das observações da amostra, utlzada para a tomada de decsão em acetar ou rejetar H 0. 5.1.6. Regão de acetação e regão crítca
O estabelecmeto do ível de sgfcâca, dvde o domío da varável de teste um duas regões. Uma destas regões é costtuída de valores da varável teste que levam à acetação de H 0. Esta regão é deomada regão de acetação. A outra regão é costtuída do cojuto de valores da varável de teste que levam à rejeção de H 0. Esta regão é deomada regão crítca porque a hpótese ula pode ser rejetada mesmo sedo verdadera. Os lmtes que separam a regão de acetação da regão de rejeção são deomados valores crítcos. Num teste ulateral este apeas um valor crítco e o caso de um teste blateral estem dos valores crítcos smétrcos em relação ao valor esperado da varável de teste. 5.1.7. Valor da prova (p-valor) Dado um valor da varável teste obtdo a partr de uma determada amostra, deomase valor da prova como a probabldade de se ecotrar outra amostra que foreça uma estatístca de teste tão ou mas etrema do que o estete. 5.. CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE SIGNIFICÂNCIA NA PRÁTICA Em lhas geras, a costrução de um teste de hpóteses costa das segutes etapas: a) Formular as hpóteses H 0 e H 1. b) Escolher a estatístca de teste. c) Arbtrar o ível de sgfcâca. d) Determar a regões de acetação de H 0 e a regão crítca a partr do ível de sgfcâca arbtrado em (c). e) Decdr se aceta ou rejeta H 0 em com base o valor da varável de teste calculado a partr da amostra. 5.3. Tomada de Decsão em um Teste de Hpóteses Estem três procedmetos para se decdr se aceta ou rejeta H 0. Estes procedmetos serão apresetados a segur. 5.3.1. Valor da varável de teste Calcula-se o valor da varável teste a partr dos dados da amostra e adota-se a segute regra de decsão: se o valor da varável teste pertece à regão de acetação aceta-se H 0 o ível de sgfcâca adotado; caso cotráro rejeta-se H 0. Este procedmeto pode ser utlzado para testes paramétrcos e ão paramétrcos. 5.3.. Itervalo de cofaça Costró-se um tervalo de cofaça para o parâmetro (ou combação de parâmetros: dfereça de parâmetros, razão de parâmetros) testado e adota-se a segute regra de decsão: se o tervalo de cofaça costruído cotver o valor do parâmetro (ou da combação de parâmetros) suposto a hpótese ula aceta-se H 0 ; caso cotráro rejeta-se H 0 o ível de sgfcâca adotado. O ível de cofaça deste tervalo é = 1. 5.3.3. Valor da prova (p-valor) Utlza-se a dstrbução de probabldade da varável teste para calcular o valor da prova e adota a segute regra de decsão: se o valor da prova for maor ou gual ao ível de sgfcâca aceta-se H 0 ; caso cotráro rejeta-se H 0 o ível de sgfcâca adotado.
3 5.4. Teste de Hpóteses para a Méda Populacoal No caso do teste da méda de uma população, as hpóteses são: H 0 : 0 0 (testeblateral) H 0 : 0 H1 : 0 (testeulateral esquerdo) H 0 : 0 H1 : 0 (testeulateral dreto) Nas hpóteses acma, 0 é valor de sob a hpótese ula H 0. Se a população da varável X tem dstrbução ormal, com desvo padrão populacoal cohecdo, a varável de teste é a varável ormal padrozada X 0 Z ~ N(0,1) (5.1) Se o desvo padrão da população ão é cohecdo, como ocorre a maora dos problemas, a varável teste é a varável padrozada X T 0 ~ t S 1 (5.) ode S é o estmador de. a) Pela Estatístca de Teste: a regra de decsão um ível de sgfcâca é a segute: Teste blateral (H 1 : 0 ): rejetar H 0 se a estatístca z > z / o ível de sgfcâca cosderado e acetar H 0 em caso cotráro. Teste ulateral esquerdo (H 1 : 0 ): rejetar H 0 o ível de sgfcâca cosderado se a estatístca z< z (ou T< t ) e acetar H 0 em caso cotráro. Teste ulateral dreto (H 1 : 0 ): rejetar H 0 o ível de sgfcâca cosderado se a estatístca z> z (ou T> t ) e acetar H 0 em caso cotráro. z é tal que P(Z < z ) = P(Z > z )=, t é tal que P(T < t ) = P(Z > t )=. Observação: Os valores costates os cabeçalhos da tabela t são guas ao ível de sgfcâca o caso de testes blateras e guas ao dobro do ível de sgfcâca o caso de testes ulateras. b) Por Itervalos de Cofaça: a regra de decsão um ível de sgfcâca é a segute: Teste blateral (H 1 : 0 ): se o desvo padrão populacoal é cohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor 0 e rejetar H 0 em caso cotráro. z z /, / (5.3) Se o desvo padrão populacoal é descohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor 0 e rejetar H 0 em caso cotráro. t s s /, t / (5.4)
4 Teste ulateral esquerdo (H 1 : 0 ): se o desvo padrão populacoal é cohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor 0 e rejetar H 0 em caso cotráro., z Se o desvo padrão populacoal σ for descohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor de μ 0 e acetar H 0 caso cotráro., t S Teste ulateral dreto (H 1 : 0 ): se o desvo padrão populacoal é cohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor de μ 0 e rejetar caso cotráro. z, Se o desvo padrão populacoal σ for descohecdo, acetar H 0 se o tervalo abao cotém o valor de μ 0 e acetar H 0 caso cotráro. t S, c) Valor da prova: a regra de decsão um ível de sgfcâca é a segute: Teste blateral (H 1 : 0 ): rejetar H 0 o ível de sgfcâca cosderado se P(Z> z )</ ou P(T> t )</ e acetar H 0 em caso cotráro. Teste ulateral esquerdo (H 1 : 0 ): rejetar H 0 o ível de sgfcâca cosderado se P(Z<z)< ou P(T<t)< e acetar H 0 em caso cotráro. Teste ulateral dreto (H 1 : 0 ): rejetar H 0 o ível de sgfcâca cosderado se P(Z>z)< ou P(T>t)< e acetar H 0 em caso cotráro. Eemplo 5.1. Supõe-se que o preço de determado artgo os potos de veda de certa localdade tem dstrbução ormal com méda gual a R$5,00 e desvo padrão gual a R$,00. Suspeta-se que, devdo ao aumeto da demada, o preço do referdo artgo teha aumetado a regão. Para verfcar se sto ocorreu, um pesqusador aalsou os preços deste artgo em 40 potos de veda da localdade, escolhdos aleatoramete, costatado que os potos de veda pesqusados o preço médo do artgo é R$1,00. Qual é a coclusão do pesqusador, admtdo-se um ível de sgfcâca de 5%? Utlze o valor da varável teste, o tervalo de cofaça e o valor da prova. Solução Seja X a varável aleatóra que assoca a cada poto de veda a localdade. As hpóteses do teste são: H 0 : = 5; H 1 : > 5. A hpótese ula H 0 cosdera que o aumeto da demada ão provocou aumeto do preço equato que a hpótese alteratva H 1 admte que o aumeto da demada provocou aumeto do preço. Como X tem dstrbução ormal, a varável de teste é a varável ormal padrozada Z sedo seu valor dado por
5 z ode 1, 5 e =. Com estes dados tem-se que 0 0 z 1 5 3,16 40 O gráfco a segur lustra as regões de acetação e de rejeção de H 0 ( z 0, 05= 1,64). Fgura 5.1 a) Se for utlzado o valor da varável de teste para a tomada de decsão a regra de decsão é a segute: rejetar H 0 o ível de sgfcâca de 5% se z > z 0, 05 e rejetar H 0 em caso cotráro. Observado-se a fgura 5.1 tem-se da tabela do apêdce 1 que z 0, 05= 1,64. Como o valor da varável teste está a regão crítca (z = 3,16), rejeta-se H 0 o ível de sgfcâca de 5%, cocludo-se que o aumeto da demada provocou aumeto do preço do artgo a localdade. b) Se for utlzado o tervalo de cofaça para a tomada de decsão deve-se costrur um tervalo de cofaça para o preço médo a localdade. Sedo o desvo padrão populacoal cohecdo este tervalo é z, O tervalo de cofaça ulateral de 95% para o preço médo a localdade é 1 1,64*, R $7,41; 40 Como o este tervalo ão cotém o preço médo a localdade suposto em H 0 (=R$5,00), rejeta-se a hpótese ula o ível de sgfcâca de 5% cocludo-se que o aumeto da demada causou aumeto do preço do artgo a localdade. c) Utlzado-se o valor da prova para um teste ulateral dreto tem-se que: valor da prova = P(Z > z) ode z é o valor da varável teste que este caso é 3,16. Etão valor da prova = P(Z > 3,16) = 0,0008 Como o valor da prova (0,0008) é meor do que o ível de sgfcâca (0,05) rejetase H 0 o ível de sgfcâca de 5% cocludo-se que o aumeto da demada causou aumeto do preço do artgo a localdade. Eemplo 5.. O tempo gasto pelos operáros a motagem de determado equpameto produzdo por uma empresa tem dstrbução ormal com méda gual a 85 mutos. Os operáros foram
6 submetdos a um processo de recclagem com o objetvo de melhorar a produtvdade. Para verfcar se sso ocorreu, o pesqusador observou o tempo gasto a motagem de 5 udades deste equpameto, escolhdas ao acaso a lha de produção, obtedo os segutes valores, em mutos: 81, 84, 8, 78, 77, 83, 79, 79, 76, 85. Cosderado-se um ível de sgfcâca de 5%, pode-se afrmar que após a recclagem dos operáros houve aumeto da produtvdade? Solução As hpóteses do teste são: H 0 : = 85 H 1 : < 85 A hpótese ula H 0 cosdera que a produtvdade dos operáros ão aumetou equato que a hpótese alteratva H 1 admte que a produtvdade dos operáros aumetou porque acredtase que após a recclagem os operáros gastam em méda meos tempo para motar o equpameto em coseqüêca do aumeto da produtvdade dos mesmos. Neste caso, sedo descohecdo o desvo padrão populacoal, a estatístca de teste é a varável T sedo seu valor dado por t 0 s ode e s Pelos dados do problema tem-se que = e 1 Etão 81 84 1 8 1 1 1 1 ( 1) 81 84 8 78 77 83 79 79 76 85 804 78 77 s 83 79 79 804 80,4 76 85 64 76 804 3,1 1 ( 1) Ada pelos dados do problema tem-se que 0 85 Etão 80,4 85 t 4,69 3,1 64 76 Esta varável teste tem dstrbução t de Studet com = 1 = 1 = 9 graus de lberdade. O gráfco a segur lustra a esta stuação para o ível de sgfcâca de 5%.
7 Fgura 5.11 Na tabela do apêdce obtém-se o cruzameto da lha = 9 e colua 0,1 (o caso de teste ulateral o valor do cabeçalho da tabela é o dobro do ível de sgfcâca), obtém-se t =1,83. 0,05 a) Se for utlzado o valor da varável teste para a tomada de decsão, costata-se pelo gráfco acma que o valor da varável teste (t = 4,69) pertece à regão de rejeção e portato a decsão é rejetar a hpótese ula o ível de sgfcâca de 5%, cocludo-se que após a recclagem o tempo gasto pelos operáros a motagem do equpameto dmuu. b) Se for utlzado o tervalo de cofaça para a tomada de decsão deve-se costrur um tervalo de cofaça para o tempo médo gasto a motagem do equpameto. Sedo o desvo padrão populacoal descohecdo, o tervalo de cofaça de 95% para o tempo gasto pelos operáros é 3,1, t S ;80,4 1,83* ;8, Como o este tervalo ão cotém o tempo médo suposto em H 0 (=85) gasto a motagem do equpameto, rejeta-se a hpótese ula o ível de sgfcâca de 5% cocludo-se que após a recclagem dos operáros o tempo gasto pelos operáros a motagem do equpameto dmuu. c) Utlzado-se o valor da prova para um teste ulateral esquerdo tem-se que valor da prova = P(T < t) = P(T < 4,69) O gráfco a segur lustra o procedmeto Fgura 5.1 Observado a tabela do apêdce a lha = 9 costata-se que o valor 4,69 (o sal fo descosderado porque a dstrbução t é smétrca) está etre 3,69 (colua 0,005) e 4,78(colua0,001), cocluímos que P(T<-4.69)<0.005. Assm sedo, rejeta-se H 0 o ível de sgfcâca de 5% cocludo-se que o após a recclagem o tempo gasto a motagem do equpameto dmuu.
8 Apêdce 1) TABELA: Dstrbução ormal padrão. P(Z>z) área tabulada 0 z seguda decmal de z z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,471 0,4681 0,4641 0,1 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447 0, 0,407 0,4168 0,419 0,4090 0,405 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,381 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,319 0,3156 0,311 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,981 0,946 0,91 0,877 0,84 0,8 0,776 0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,611 0,578 0,546 0,514 0,483 0,451 0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,177 0,148 0,8 0,119 0,090 0,061 0,033 0,005 0,1977 0,1949 0,19 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,176 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 1,0 0,1587 0,156 0,1539 0,1515 0,149 0,1469 0,1446 0,143 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,19 0,171 0,151 0,130 0,1 0,1190 0,1170 1, 0,1151 0,1131 0,111 0,93 0,75 0,56 0,38 0,0 0,03 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,0681 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,058 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,056 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,047 0,0418 0,0409 0,0401 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,0314 0,0307 0,0301 0,094 1,9 0,087 0,081 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033,0 0,08 0,0 0,017 0,01 0,007 0,00 0,0197 0,019 0,0188 0,0183,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,016 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143, 0,0139 0,0136 0,013 0,019 0,015 0,01 0,0119 0,0116 0,0113 0,01,3 0,07 0,04 0,0 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,0051 0,0049 0,0048,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,0031 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,001 0,001 0,000 0,0019,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 3,0 0,00135 3,5 0,000 33 4,0 0,000 031 7 4,5 0,000 003 40 5,0 0,000 000 87
) 9