Capítulo 5 Matemática Financeira 5ª edição por Carlos Patricio Samanez 1 11. Todos os reservados.
Séries periódicas uniformes As séries periódicas uniformes (ou rendas certas) podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas. Séries uniformes postecipadas Nesta série, os pagamentos ocorrem no final de cada período por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. 2 22. Todos os reservados.
Séries uniformes antecipadas Nesta série, os pagamentos ocorrem no início de cada período por exemplo, financiamentos com pagamento à vista. 3 33. Todos os reservados.
Séries diferidas Nesta série, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela por exemplo, promoções do tipo compre hoje e comece a pagar daqui a x dias. 4 44. Todos os reservados.
5.1 Valor presente de séries periódicas uniformes O valor presente de uma série de parcelas uniformes e postecipadas (termos vencidos) representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0). 5 55. Todos os reservados.
Valor presente dos termos da série: O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. Utilizando a fórmula conhecida da soma das progressões geométricas, podemos desenvolver a seguinte expressão para o valor presente de uma série uniforme com n termos postecipados capitalizados à taxa efetiva i: 6 66. Todos os reservados.
onde Substituindo as respectivas expressões, temos as seguintes fórmulas para o cálculo do principal e das prestações: 7 77. Todos os reservados.
As fórmulas anteriores permitem calcular o valor presente (P) de séries uniformes postecipadas e o valor unitário dos termos da série (R). A expressão matemática entre colchetes é conhecida como fator de valor presente de séries uniformes. Internacionalmente, a expressão recebe o símbolo onde n representa o número de termos da série e; i, a sua taxa de capitalização. 8 88. Todos os reservados.
Exercícios Séries antecipadas e postecipadas Um bem cujo preço à vista é $4.000 será pago em oito prestações mensais iguais que vencem ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações. Dados: Cálculo das prestações: 9 99. Todos os reservados.
O fator pode ser calculado com o auxílio de uma calculadora que possua a função Xy (ver Apêndice). Na HP 12c, PV é o principal ou valor presente, que significa o valor que temos na data 0; FV é o valor futuro, que será igual ao valor que teremos no fim do período; PMT é a prestação paga ou recebida. Na HP 12c a diferença entre entradas e saídas será simbolizada pelo sinal negativo e positivo, conforme convenção do usuário. Se o principal (PV) fosse inserido com sinal positivo, as prestações (PMT) seriam calculadas com sinal negativo, ou vice-versa. 10 10 10. Todos os reservados.
Séries diferidas Um financiamento de $50.000 será pago em 12 prestações mensais a juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas. Dados: a) Prestações antecipadas: No caso de as prestações serem antecipadas, a primeira parcela será paga no início do primeiro mês que se segue ao término da carência: 11 11 11. Todos os reservados.
Durante a carência, os juros são capitalizados e incorporados ao principal, logo as prestações devem ser calculadas sobre o principal capitalizado c 1 períodos, onde c é a carência: 12 12 12. Todos os reservados.
b) Prestações postecipadas: No caso de as prestações serem postecipadas, o pagamento da primeira parcela ocorrerá no fim do primeiro mês que se segue após o término da carência. Logo, as prestações deverão ser calculadas sobre o principal capitalizado durante c períodos, onde c é a carência: 13 13 13. Todos os reservados.
5.2 Montante de séries periódicas uniformes O valor futuro ou montante de uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes será igual à soma dos montantes de cada prestação em determinada data futura, calculados pela mesma taxa de juros. Por exemplo, considerando-se uma série postecipada com n termos uniformes, seu valor presente é: 14 14 14. Todos os reservados.
Uma expressão para o montante pode ser obtida se capitalizarmos por n períodos o valor presente da série: 15 15 15. Todos os reservados.
As fórmulas apresentadas permitem o cálculo do montante e do valor unitário dos termos da série postecipada. A expressão entre colchetes é conhecida como fator de valor futuro de séries uniformes. Internacionalmente, é representado pelo símbolo 16 16 16. Todos os reservados.
Nas fórmulas, para entender melhor o processo de capitalização implícito, ver quadro a seguir Cálculos necessários para chegar ao montante de cinco depósitos mensais iguais, aplicados a juros efetivos de 10% a.m. 17 17 17. Todos os reservados.
No quadro, cada depósito foi capitalizado até o quinto mês. Assim pode-se calcular o montante nessa data. Também é possível a utilização da fórmula para o cálculo do montante dos cinco depósitos ao término do quinto mês: Observação: O modo mais simples é calcular diretamente por meio da fórmula de montante, mas espera-se que os cálculos do quadro ajudem no entendimento do mecanismo de capitalização implícito no cálculo direto. 18 18 18. Todos os reservados.
Exercício Uma pessoa pretende depositar todo final de ano, durante 20 anos, $10.000 em um fundo que rende juros efetivos de 15% a.a. O montante acumulado deverá ser resgatado a partir do 21º ano por meio de três saques anuais iguais e consecutivos. Calcular o valor dos saques. 19 19 19. Todos os reservados.
No 20º mês, o montante dos depósitos deverá ser igual ao valor descontado dos três saques: 20 20 20. Todos os reservados.
5.3 Cálculo da taxa de juros em séries periódicas uniformes A taxa de juros de um fluxo uniforme de pagamentos ou recebimentos é a taxa que capitaliza os termos da série. O cálculo dessa taxa requer resolver para i* a seguinte equação: No diagrama, P representa o valor inicial do fluxo de caixa e R, o valor unitário dos termos da série uniforme. 21 21 21. Todos os reservados.
O cálculo manual da taxa de juros em fluxos multiperiódicos é um processo demorado e cansativo. As calculadoras financeiras podem realizar esse cálculo de forma fácil e rápida. Na falta delas, pode-se obter um resultado aproximado por meio de tentativas ou por interpolação linear. As tentativas são, em geral, penosas, e as interpolações, imprecisas. 22 22 22. Todos os reservados.
Vários métodos iterativos podem ser Usados para calcular a taxa exata, tais como: Método de aproximações de Newton-Raphson: permite uma convergência rápida, mas o processo é demorado e relativamente complexo. Método de Baily-Lenzi: simples de ser usado e oferece resultados surpreendentemente exatos. Método Gauss-Cantelli. Método de Karpin, entre outros. 23 23 23. Todos os reservados.
Dependendo do número de termos da série uniforme postecipada, calcula-se a taxa de juros usando as seguintes equações: onde: P = principal (financiamento efetivo); R = valor da prestação postecipada; n = número de prestações. 24 24 24. Todos os reservados.
A equação da esquerda é recomendada para baixos valores de i e n, gerando resultados mais precisos para n x i 3, e corresponde à maioria dos casos práticos. A equação da direita é indicada para valores altos de n x i (3 n x i 5,5). A utilização da equação adequada, conforme as faixas de variação de n x i, resulta em erros inferiores a 1%. 25 25 25. Todos os reservados.
Exemplo: O uso das equações pode ser ilustrado da seguinte forma: Dados: A segunda fórmula conduziu a um resultado melhor (menor erro), pois o problema se enquadra na regra: 3 < n x i < 5,5. 26 26 26. Todos os reservados.
No método de Baily-Lenzi, a taxa de Juros pode também ser calculada em função do montante (S) da série uniforme postecipada: 27 27 27. Todos os reservados.
Taxa aproximada: interpolação linear Muitas vezes não é possível calcular a taxa de juros exata implícita em uma série de pagamentos/recebimentos. Com frequência, o cálculo requer a resolução de um polinômio de n-ésimo grau. A taxa pode ser aproximada usando-se um processo de interpolação linear que fornece um valor aproximado. 28 28 28. Todos os reservados.
Exercício A empresa TV Cabo Telecomunicações S.A. enviou a seus assinantes uma proposta com três opções de pagamento: mensal, semestral e anual. Na primeira opção, o assinante paga mensalmente parcelas fixas de $49, sendo a primeira no ato da instalação. Na segunda, faz dois pagamentos semestrais de $275, sendo o primeiro no ato da instalação. Na terceira opção, faz um único pagamento de $539 à vista. A empresa alega que, além de evitar idas e vindas ao banco, o assinante que opta pelos planos semestral ou anual é beneficiado por um desconto promocional no valor da mensalidade. 29 29 29. Todos os reservados.
Determinar a taxa de juros embutida em cada alternativa de pagamento, semestral e anual. a) Opção de pagamento mensal: Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente dos pagamentos mensais: A primeira prestação mensal é paga no ato (antecipada). De forma alternativa, o cálculo da taxa de juros pode ser feito usando-se a fórmula de Baily-Lenzi: 30 30 30. Todos os reservados.
Ou seja, a taxa de juros embutida na opção de 12 pagamentos mensais é de 1,6231% a.m. b) Opção de pagamento semestral: Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente dos pagamentos semestrais: 31 31 31. Todos os reservados.
A opção com dois pagamentos embute juros efetivos mensais menores que a opção com 12 pagamentos (0,6827% a.m. < 1,6231% a.m.). Logo, a escolha da opção de pagamento dependerá basicamente da taxa de juros vigente para aplicações financeiras. Se a taxa for superior a 0,6827% a.m., então valerá mais a pena manter o dinheiro aplicado obtendo-a e pagar o contrato em duas vezes. Se a taxa for inferior, a decisão mais adequada será pagar à vista. 32 32 32. Todos os reservados.
5.4 Taxa interna de retorno de séries mistas O cálculo da taxa interna de retorno (TIR) de séries mistas requer resolver para i* a seguinte equação: Por definição, a TIR é a taxa de juros que anula o VPL (valor presente líquido) do fluxo de caixa. representa o fluxo de caixa no t-ésimo período, P é o fluxo inicial, e, símbolo de somatório, indica que deve ser realizada a soma, da data 1 até a data n, dos fluxos de caixa descontados ao período inicial (data t 5 0). 33 33 33. Todos os reservados.
Observação: Não temos condições de desenvolver uma fórmula analítica única para o cálculo da TIR em fluxos mistos ou não uniformes. Portanto o cálculo manual é usado para obter uma aproximação por meio de um processo relativamente demorado. As máquinas financeiras permitem o cálculo da TIR de fluxos mistos de forma fácil e rápida. 34 34 34. Todos os reservados.
Exercício Um financiamento de $4.000 será pago em três parcelas postecipadas mensais consecutivas de $1.200, $2.300 e $1.000, respectivamente. Calcular o custo efetivo do financiamento. Esse custo é a TIR do fluxo de caixa, ou seja, o valor de i* que anula o VPL. O cálculo manual da TIR requer calcular VPLs para diversas taxas de juros até provocar a mudança no sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear. 35 35 35. Todos os reservados.
Taxa aproximada: A interpolação foi realizada entre as taxas de 6% e 7%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de sinal. 36 36 36. Todos os reservados.