Resolução comentada Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos 1
1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte. 30 x Inicialmente, vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. Aplicando a Lei dos senos, temos: 45 100 m O comprimento da ponte é 2
2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º. Representando geometricamente a situação, temos: C 60 R Aplicando a lei dos senos: A 10 B Racionalizando: Assim, o raio da circunferência circunscrita é 3
3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. Representando geometricamente a situação, temos: B 6 cm 120 A x 10 cm C Aplicando a Lei dos cossenos: O terceiro lado mede 14 metros. 4
4. (FUVEST SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede e o ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo. Representando geometricamente a situação, temos: C 45 R Aplicando a lei dos senos: A B Assim, o raio da circunferência circunscrita é 5
5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é: 30 Inicialmente, vamos aplicar a Lei dos cossenos no triângulo ACD para determinar o ângulo C: 4 120 60 Como cos C = 0,5; temos que C = 60. Concluímos assim que ACB = 120 e BAC = 30. Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4. Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão: Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a 6
6. (UNIRIO) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 e) maior que 120 Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos: 80 x 120 Como ; temos que 7
7. (FEI) Calcule c, sabendo que a = 4, b = e C = 45º. 4 = 45 Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC: Aplicando a Lei dos cossenos, temos: Concluímos que a medida do lado c é 8
8. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B? Geometricamente temos: C 8 cm 6 cm A 30 B Aplicando a Lei dos senos, segue que: 9
9. (FUVEST) a) Na figura 1, calcular x. 60 Aplicando a Lei dos senos: Racionalizando: b) Na figura 2, calcular y. Aplicando a Lei dos cossenos: 10
10. (PUC MG) Na figura, AB = 5dm, AD = dm, DBC = 60º e DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros? 5 120 60. y 2y = 5 30 x Vamos colocar os dados no triângulo e identificar o que se pretende calcular. Chamando BC de y, segue que BD = 2y. (A medida da hipotenusa sempre será o dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30º). Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos a Lei dos cossenos em ABD para obter o valor de y. Segue que: Finalmente, do triângulo BCD: Com isso, a medida de CD é 11
11. (FGV) Na figura a seguir, são dados DA = cm e AB = 3cm. Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados? 30 30 Identificando os dados da questão, temos: = 30 120 60 3 Uma vez que a altura do triângulo CDB é 3cm, precisamos apenas calcular a base CD para encontrar a área. Vamos determinar o ângulo ɵ: Com isso. Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como BD = CD, temos que CD também tem medida. Assim: 12
12. (Mack) Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm, b = 3cm e  = 60º? Representando geometricamente: 2 cm B A 60 3 cm C Temos que Área (ABC) = 13
13. (UNICAMP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d água e o ângulo formado pelas direções caixa-d água-bomba e caixa-d água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? A situação pode ser representada pelo esquema: 80 m Pela lei dos cossenos, temos: 50 m x São necessários 70 metros de encanamento para bombear água diretamente do rio até a casa. 14
14. (FEI) Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual é o valor de a, sendo? De acordo com os dados: C b a A 45 30 B Aplicando a Lei dos senos: Como, segue que: Mas, assim 15
15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC? 1º modo: h = 0,5. Basta observar que a base do triângulo ABC é e a altura é 0,5. Assim: 2º modo: 16
17