Resposta ao Desbalanço de Sistemas Rotativos

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1 Capítulo Resposta ao Desbalanço de Sistemas Rotativos Neste capítulo, é apesentada uma fomulação matemática paa otoes com eixos flexíveis sujeitos ao desbalanço esidual. Apesentam-se, também, esultados numéicos das equações de movimento de foma a ilusta os fenômenos envolvidos na esposta ao desbalanço e a melho entende o que ocoe dinamicamente com o sistema em egimes estacionáio e não estacionáio.. Modelo Matemático do Roto de Laval Tome-se um eixo supotado em suas extemidades po mancais idealmente ígidos de foma que o eixo não apesente qualque deslocamento adial (lateal) na posição dos mancais (Fig..(a)). Devido à sua flexibilidade, todos os demais pontos do eixo podem apesenta ceto deslocamento lateal, esultante da defomação do eixo (flexão). Um oto é montado exatamente na posição cental do eixo, equidistante dos mancais e, po este fato, qualque movimento lateal do oto causado pela flexão do eixo estaá contido no plano pependicula ao eixo. Assim, este sistema otativo pode se simplificado pela visualização do oto em seu plano de movimentação apenas (Fig..(b)). De foma a se pode equaciona o poblema, adotam-se sistemas de efeência auxiliaes. O sistema de efeência inecial XYZ, denominado pela leta I, ficaá fixo, com oigem no plano de movimentação do oto, na posição não defomada do eixo, confome mostado nas Figs..(a) e.. Um sistema de efeência auxilia X Y Z, denominado S, acompanhaá a otação do eixo (sistema solidáio). Desta foma, o sistema de efeência S gia em elação ao sistema inecial I, com o mesmo ângulo de otação do eixo quando em opeação. Consideando-se que o oto apesenta um ceto desbalanço esidual, seu cento de massa estaá distante e do cento do eixo. Quando o eixo começa a gia, a pesença do desbalanço

2 (a) eixo defomado com oto centado (b) plano de movimentação Figua.: Eixo flexível sobe mancais ígidos. Figua.: Sistemas de efeência e vetoes de posição do oto no plano de movimentação pependicula ao eixo. esultaá em foças dinâmicas de inécia no sistema, foças estas que tendeão a fleti o eixo, deslocando-o de sua posição cental na oigem do sistema de coodenadas (I ou S). O deslocamento lateal do eixo, causado pelas foças dinâmicas, está epesentado pelo veto de deslocamento O, que vai da oigem ao cento do eixo (Fig..). A posição do cento de massa do oto é dada pela soma vetoial da posição do cento geomético (cento do eixo) e da posição elativa do CG ao cento geomético. Assim, tomandose como efeência o sistema inecial I, tem-se: I CG = I O + I e = (y + e cosωt) j + (z + e senωt) k (.) onde y e z são as coodenadas do cento geomético do oto no sistema de efeência inecial I, e e é a distância do CG ao cento geomético do oto.

3 A velocidade absoluta do cento de massa do oto pode se obtida deivando-se no tempo o veto posição (.). Assim, tem-se: Iv CG = d dt ( I CG ) = (ẏ Ωe senωt) j + (ż + Ωe cosωt) k (.) onde ẏ e ż são as componentes de velocidade do cento geomético do oto, e Ω é a velocidade angula do oto. Analogamente, a aceleação absoluta do cento de massa do oto pode se obtida deivandose no tempo o veto velocidade absoluta do cento de massa (.). Assim, tem-se: Ia CG = d dt ( Iv CG ) = (ÿ Ωe senωt Ω e cosωt) j+ ( z + Ωe cosωt Ω e senωt) k (.) Aplicando-se a lei de consevação da quantidade de movimento linea (Santos, ; Tenenbaum, 997), tem-se: m I a CG = If ext (.) onde m é a massa do oto, I a CG é o veto de aceleação absoluta do cento de massa do oto (eq.(.)), e I f ext é o veto de foças extenas aplicadas no oto. As foças extenas aplicadas ao oto são as foças esistivas que sugem ao fleti o eixo. Estas foças podem se epesentadas, apoximadamente, como foças de mola (popocionais ao deslocamento do eixo) e de amotecimento (popocionais à velocidade do eixo), contáias ao movimento do oto, além da foça da gavidade paa eixos hoizontais, da foma: If ext = d I v O k I O + I P = (dẏ + ky) j (dż + kz + mg) k (.) onde d é o coeficiente de amotecimento equivalente do eixo (amotecimento estutual do eixo), k é o coeficiente de igidez equivalente do eixo, e g é a aceleação da gavidade. Substituindo as foças esistivas do eixo (.) e o veto de aceleação do cento de massa (.) na equação de consevação da quantidade de movimento linea (.), tem-se: mÿ + dẏ + ky m Ωe senωt = mω e cosωt m z + dż + kz + m Ωe cosωt = mω e senωt mg (.)

4 O veto quantidade de movimento angula em elação ao cento geomético do oto, é dado po: SH O = S I O S ω R + m S CG/O S v O (.7) onde S I O é o tenso de inécia do oto em elação ao seu cento geomético, S ω R é o veto velocidade angula do oto, e S CG/O é o veto posição do CG em elação ao cento geomético. Como o sistema de efeência S é solidáio ao oto, a velocidade angula do oto coincide com a velocidade angula do sistema de efeência ( S ω R S Ω ). Além disso, o tenso de inécia pemanece constante. A posição do CG em elação ao cento geomético é dado pelo veto S e. Assim, o veto quantidade de movimento angula do oto é dado po: SH O = ( Ω meẏ senωt + meż cosωt) i (.8) onde é o momento de inécia pola do oto. Aplicando-se a lei de consevação da quantidade de movimento angula (Santos, ; Tenenbaum, 997), tem-se: d dt ( SH O ) + S Ω S H O = SM ext = S T + S CG/O I P (.9) onde o momento exteno aplicado ao oto é dado pela soma do toque de acionamento T e do momento causado pela foça peso. Assim, a pati da equação de consevação da quantidade de movimento angula (.9), tem-se: Ω meÿ senωt + me z cosωt meωẏ cosωt meωż sinωt = T meg cosωt (.) Tomando-se as equações obtidas a pati da consevação de momento linea (eq.(.)) e a equação obtida a pati da consevação de momento angula (eq.(.)), chega-se ao sistema de equações de movimento do oto, dado po:

5 m me senωt m me cosωt me senωt me cosωt ÿ z Ω = mω e cosωt dẏ ky mω e senωt dż kz mg T meg cosωt + meωẏ cosωt + meωż senωt (.) O sistema de equações (.) pemite obte o compotamento do oto em função de suas coodenadas (y,z) no sistema de efeência inecial I e da velocidade angula Ω... Resposta em Regime Estacionáio Na condição de egime estacionáio, a velocidade de otação é constante (Ω = cte, Ω = ) e qualque efeito tansitóio é atenuado pelo amotecimento do sistema. Desta foma, a equação de movimento do sistema (eq.(.)) pode se eescita da foma: mÿ + dẏ + ky = mω e cosωt (.) m z + dż + kz = mω e senωt mg (.) Como se pode obseva, o sistema de equações se tansfomou em duas equações de movimento desacopladas, que podem se esolvidas sepaadamente. A equação (.) é equivalente à equação que epesenta um sistema de segunda odem (massa-mola-amotecedo), sujeito a uma foça hamônica de amplitude constante. A solução deste tipo de equação difeencial tem a foma (Rao, ): y(t) = meω (k cos(ωt φ) (.) mω ) + (dω) ( ) φ = tg dω k mω (.) Analogamente, a equação (.) é equivalente à equação que epesenta um sistema de segunda odem sujeito a uma foça hamônica de amplitude constante e a uma foça constante. A solução deste tipo de equação difeencial tem a foma: z(t) = meω (k mω ) + (dω) sen(ωt φ) δ est (.)

6 onde δ est é o deslocamento estático causado pela foça de gavidade, e a fase φ também é dada pela equação (.). Analisando-se a esposta do sistema em egime estacionáio, obseva-se que o oto apesenta movimentos hamônicos em ambas dieções Y e Z, com mesma amplitude constante. Como o movimento em Z está defasado de 9 o em elação ao movimento em Y, o movimento do oto no plano YZ é um movimento cicula, de aio: R = meω (k mω ) + (dω) (.7) Consideando-se que na dieção Z (dieção de ação da gavidade), o deslocamento estático é somado ao deslocamento, o movimento cicula do oto no plano YZ ocoeá com cento na posição de equilíbio estático (Fig..). A este movimento do oto no plano YZ dá-se o nome de óbita. A fase φ ente a esposta do sistema e a foça de excitação mω e epesenta um ataso na posição do oto em elação à dieção de atuação da foça. Figua.: Óbita do oto no plano YZ. Utilizando-se as definições de fequência natual não-amotecida (ω n = k/m), fato de amotecimento (ζ = d/ km) e azão de fequências ( = Ω/ω n ), pode-se calcula o aio da óbita e espectiva fase da esposta em elação à foça de excitação paa difeentes velocidades de otação Ω (Fig..). Obsevando-se o compotamento do oto em egime estacionáio mostado na Fig.., podem-se distingui cinco compotamentos distintos do oto em função de sua velocidade de otação:

7 R/e ζ = ζ =, ζ =, ζ =, ζ =, 8 φ ( o ) 9 Figua.: Raio elativo da óbita do oto em egime estacionáio em função da velocidade de otação e do nível de amotecimento. <, No caso da velocidade de otação do oto se muito baixa, ou se muito meno do que a fequência natual do eixo (abaixo de %), o aio da óbita do oto tem valo póximo de zeo, independentemente do nível de amotecimento do sistema. Isto que dize que o cento geomético do eixo pemanece póximo do ponto de equilíbio estático, e o movimento do oto no plano YZ é bastante pequeno (Fig..(a)). Neste caso, o CG do oto gia em tono do cento geomético do eixo paticamente sem ataso (fase φ com valoes pequenos)., < < No caso da velocidade de otação do oto se meno do que a fequência natual do eixo, poém acima de %, o aio da óbita tende a aumenta. Quanto meno o amotecimento do eixo, maioes são as amplitudes alcançadas pela óbita. Isto que dize que o cento do oto se distancia da oigem do ponto de equilíbio estático, que aliado ao movimento de otação gea a óbita no plano YZ (Fig..(b)). Neste caso, o CG pemanece do lado exteno da óbita, poém o aumento no valo da fase φ esulta em um ataso peceptível em elação à dieção da foça de excitação. = velocidade cítica Na medida em que a velocidade de otação do oto se apoxima da fequência natual do eixo, o aio da óbita do oto aumenta ainda mais. Quando a velocidade de otação é igual à fequência natual do eixo, temse o aio de óbita póximo do máximo dependendo do nível de amotecimento do eixo. Neste caso, a fase da esposta (ataso) se apoxima de 9 o e o CG se alinha com a óbita do oto (Fig..(c)), e quanto meno fo o amotecimento do eixo, maio seá o aio máximo da óbita. Pelo fato da amplitude da óbita do oto se gande quando Ω = ω n, algo indesejado do ponto de vista estutual, convencionou-se chama esta velocidade de otação de velocidade cítica. 7

8 (a) <, (b), < < (c) = (d) > (e) Figua.: Compotamento do oto de Laval em função da azão de velocidades = Ω/ω n (egime estacionáio). 8

9 > Quando a velocidade de otação do oto é supeio à fequência natual do eixo, o aio da óbita apesentada pelo oto no plano YZ diminui. Entetanto, pelo fato da fase da esposta se maio do que 9 o, o CG passa a se posiciona no lado inteno da óbita (Fig..(d)). autocentagem Quando a velocidade de otação do oto é muito supeio à fequência natual do eixo, o aio da óbita apesentada pelo oto no plano YZ diminui ainda mais, tendendo ao valo da excenticidade, independentemente do nível de amotecimento do eixo. Além disso, devido à fase tende a 8 o, o CG tende a se posiciona póximo ao cento da óbita (ponto de equilíbio estático), pependiculamente à óbita (Fig..(e)), ao que se dá o nome de autocentagem. A autocentagem nada mais é do que a tendência do oto gia em tono de seu CG quando sua velocidade de otação é muito supeio á fequência natual do eixo. Assim, o compotamento do oto de Laval em egime estacionáio depende da sua velocidade de otação, da azão ente esta velocidade e a fequência natual não-amotecida do eixo, e do nível de amotecimento do eixo. A óbita apesentada pelo oto seá sempe cicula, e seá máxima quando a azâo de velocidades fo igual a: = ζ (.8) Neste caso, o aio máximo da óbita é dado po: R max = e ζ ζ (.9) Paa velocidades de otação supeioes a tês vezes a fequência natual não-amotecida do eixo, ocoe o fenômeno de autocentagem, onde o CG do oto se apoxima da oigem do sistema de coodenadas, e a óbita tem aio apoximadamente igual à excenticidade e... Resposta em Regime Não Estacionáio Na condição de egime não estacionáio, a velocidade de otação não é mais constante e vaia com o tempo em função do toque de acionamento aplicado ao eixo. Desta foma, deve-se intega a equação de movimento completa (eq.(.)) paa obte o compotamento do sistema ao longo do tempo. Calculando-se o deslocamento do cento geomético do oto no sistema de efeência inecial I, obtêm-se os esultados apesentados na Fig... Como se pode obseva, a 9

10 Y/e Z/e Tempo (s) Ω/ω n Tempo (s) (a) deslocamento lateal (b) velocidade de otação Figua.: Compotamento do oto de Laval em função do tempo em egime não estacionáio: T/me ω n = ; ζ =, ; /me = ; g/eω n =. fequência de oscilação do oto vaia com o aumento da velocidade de otação do mesmo. A esposta do sistema nas dieções Y e Z apesentam mesma amplitude de vibação e as óbitas pemanecem ciculaes (neste caso, a cada instante de tempo se tem uma óbita com aio difeente). Além disso, a vibação na dieção Z (dieção de caegamento gavitacional) também ocoe em tono da posição de equilíbio estático. Obseva-se que amplitude de oscilação apesenta uma amplificação no momento em que a velocidade de otação passa pela velocidade cítica. Entetanto, ao compaa a evolução da velocidade de otação (Fig..(b)) com a esposta vibatóia do sistema (Fig..(a)), pecebe-se que a máxima amplitude de vibação do oto não ocoe póximo da velocidade cítica (Ω/ω n =, t = s), mas sim a uma fequência de oscilação supeio, mesmo consideando-se o baixo nível de amotecimento do sistema (ζ =, ). Paa velocidades de otação muito acima da velocidade cítica ocoe o fenômeno de autocentagem, e o aio das óbitas tende à excenticidade e (distância do CG ao cento geomético do oto). Vaiando-se o toque de acionamento, e como consequência a aceleação angula do oto (α = Ω/ω n), e obsevando-se a evolução do aio da óbita em função da velocidade de otação momentânea, obtêm-se os gáficos da Fig..7. Pode-se obseva nesta figua as pimeias caacteísticas de um sistema otativo em opeação não estacionáia: A fequência na qual ocoe a máxima amplitude de vibação depende da aceleação angula do oto: como se pode obseva na Fig..7(a), quanto maio é a aceleação angula do oto (i.e. maio é a apidez na passagem pela velocidade cítica), maio seá o valo da fequência na qual ocoe o ponto de máxima amplitude de vibação. Após a máxima amplitude de vibação ocoe modulação do aio da óbita: ao passa pelo ponto de máxima amplitude de vibação, ocoe uma modulação do aio da óbita (osci-

11 estacionáio α =, α =, α =, ζ =, ζ =, ζ =, ζ =, R/e R/e (a) ζ =, (b) T/me ω n = Figua.7: Raio da óbita do oto em função da velocidade de otação em egime não estacionáio: T/me ω n =, e ; /me =. lação - Fig..7(a)). Neste caso, quanto maio é a aceleação angula do oto, maio é a intensidade da modulação e meno é a fequência de modulação. A intensidade da modulação do aio da óbita depende do nível de amotecimento: como se pode obseva na Fig..7(b), a modulação do aio da óbita é atenuada ao longo do tempo devido ao efeito do amotecimento, e desapaece eventualmente. Quanto maio é o nível de amotecimento do sistema, meno é o efeito de modulação obsevado. A máxima amplitude de vibação depende da aceleação angula do oto: como se pode obseva na Fig..7(a), quanto maio é a aceleação angula do oto, meno é o valo da máxima amplitude de vibação apesentada pelo oto. Entetanto, isto é válido paa sistemas com baixo nível de amotecimento. Paa fatoes de amotecimento supeioes a,, a amplitude máxima em egime não estacionáio fica póxima da amplitude máxima de egime estacionáio, independentemente do nível de amotecimento, confome esultados apesentados na Fig..8. Em todos os casos testados, o sistema apesenta autocentagem em velocidade angulaes supeioes à velocidade cítica ( ) e com tempo suficiente paa a atenuação da modulação do aio da óbita. Os casos apesentados na Fig..7 epesentam exemplos de aceleação positiva do oto, isto é, exemplos de aceleação do sistema até sua velocidade de opeação nominal, conhecidos na liteatua como un-up. Poém, as mesmas caacteísticas dinâmicas são identificadas quanto o sistema otativo desacelea de sua velocidade nominal até a condição de paada, evento conhecido na liteatua como un-down. Neste caso, a máxima amplitude de vibação ocoe

12 estacionáio α =, α =, α =, estacionáio α =, α =, α =, R/e R/e (a) ζ =, (b) ζ =, Figua.8: Raio da óbita do oto em função da velocidade de otação em egime não estacionáio: T/me ω n = ; /me =. em fequências abaixo da velocidade cítica, poém também apesentando modulação após a passagem da cítica, além da dependência do valo de desaceleação angula do oto. Como se pode obseva nesta análise, um mesmo sistema otativo pode apesenta difeentes espostas ao desbalanço em egime não estacionáio, dependendo do valo do toque de acionamento e aceleação angula. Assim, pode-se-ia supo que não existe qualque elação ente as espostas em egime estacionáio e não estacionáio, dado que cada condição de opeação do sistema esulta em um compotamento dinâmico difeente em egime não estacionáio. Entetanto, ao analisa a esposta ao desbalanço do sistema no domínio da fequência, obseva-se uma segunda caacteística de sistemas otativos em egime não estacionáio: o especto em fequência da esposta em egime não estacionáio é igual ao especto da esposta em egime estacionáio. Efetuando-se a tansfomada de Fouie da foma: F(y/e) = T S N S π/ Ω FFT(y/e) (.) onde a tansfomada é nomalizada pelo peíodo do sinal analisado (T S ), pelo númeo de pontos de medição do sinal analisado (N S ) e pela aceleação angula do oto ( Ω), obtêm-se os esultados apesentados na Fig..9. Como se pode ve na Fig..9(a), a esposta ao desbalanço do sistema, em egime estacionáio ao longo do tempo, contém componentes em fequência de igual magnitude aos componentes em fequência da esposta ao desbalanço do sistema em egime estacionáio. Isto é válido paa qualque nível de amotecimento, pois a Fig..9(b) co-

13 estacionáio α =, α =, α =, ζ =, ζ =, ζ =, ζ =, F (y/e) F (y/e) (a) ζ =, (b) T/me ω n = Figua.9: Especto em fequência da esposta ao desbalanço do oto em egime não estacionáio: T/me ω n =, e ; /me =. incide com a Fig... Resultados análogos são encontados analisando-se a esposta do sistema na dieção Z. Assim, apesa da esposta ao desbalanço em egime não estacionáio depende das condições de opeação do sistema otativo, pode-se infei as suas caacteísticas dinâmicas em egime estacionáio a pati da análise do especto em fequência da esposta em egime não estacionáio.. Modelo Matemático de Roto Não-Laval O modelo matemático do oto de Laval pemite desceve e estuda divesos fenômenos dinâmicos que ocoem em sistemas otativos. Entetanto, na maioia das aplicações páticas, o oto não se enconta equidistante dos pontos de apoio (mancais), ao contáio, enconta-se mais póximo de um dos mancais (Fig..(a)). Assim, quando o eixo é fletido devido aos esfoços dinâmicos oiundos do desbalanceamento, o oto apesenta um movimento que não está mais contido no plano YZ do sistema de efeência inecial. Na vedade, o oto passa a apesenta movimentos angulaes conjuntamente com os movimentos de tanslação do cento geomético do eixo, algo não pevisto no modelo do oto de Laval (Fig..(b)). Assim, o modelo matemático deve se efomulado. De foma a se pode equaciona o poblema, adotam-se sistemas de efeência auxiliaes. O sistema de efeência inecial XYZ, denominado pela leta I, ficaá fixo na posição não de-

14 (a) eixo defomado com oto não centado (b) movimentação Figua.: Eixo flexível sobe mancais ígidos com oto não centado. Figua.: Sistemas de efeência e veto de posição do oto no espaço. fomada do eixo, confome mostado na Fig... Um pimeio sistema de efeência auxilia X Y Z, denominado S, acompanhaá o movimento angula do oto em tono de Z, denominado po γ. Em seguida, um segundo sistema de efeência auxilia X Y Z, denominado S, acompanhaá o movimento angula do oto em tono de Y, denominado po β. Finalmente, um teceio sistema de efeência auxilia X Y Z, denominado S, seá solidáio ao oto e acompanhaá o seu movimento de otação em tono de X, denominado po Ωt. A posição do cento de massa do oto é dada pela soma vetoial da posição do cento geomético (cento do eixo) e da posição elativa do CG ao cento geomético. Assim, tomandose como efeência o sistema inecial S, tem-se: S CG = S O + S e = (y senγ + e senβ senωt) i + (y cosγ + e cosβ senωt) j + (z + e cosβ senωt) k (.) A velocidade absoluta do cento de massa do oto pode se obtida deivando-se no tempo

15 o veto posição (.). Como o veto posição do cento de massa está descito no sistema de efeência auxilia S, que é móvel e acompanha a otação do oto, a deivada em elação ao tempo deve se acescida do poduto vetoial do veto velocidade angula do sistema de efeência S com o veto posição do cento de massa. Assim, tem-se: Sv CG = d dt ( S CG ) + S Ω S CG = (ẏ senγ + e β cosβ senωt e γ cosωt + eω senβ cosωt) i + (ẏ cosγ + e γ senβ senωt eω senωt) j + (.) (ż e β senβ senωt + eω cosβ cosωt) k O tenso de inécia do oto pemanece constante ao longo do tempo quando descito no sistema de efeência S (sistema solidáio ao oto). Calculando-se o veto velocidade angula do oto no sistema de efeência S, tem-se: Sω = S γ + S β + S Ω = (Ω γ senβ) i + ( β cosωt + γ cosβ senωt) j + ( β senωt + γ cosβ cosωt) k (.) Assim, a enegia cinética do sistema pode se calculada consideando-se os movimentos de tanslação e de otação do oto, da foma: T = m Sv CG S v CG + S ω S I O S ω (.) Aplicando-se a equação de Lagange, consideando-se um veto de coodenadas genealizadas q = { y z β γ φ } T, onde φ = Ωt, e adotando-se as seguintes hipóteses simplificadoas: ) deslocamentos angulaes menoes do que o (senβ β, senγ γ, cosβ, cosγ, β γ ) ) e eγ eβ ) Ω β, γ, β γ, βωγ, βωβ, γωγ, γωβ ) γω ( I t )γ β ) βω (Ip I t ) β γβ

16 chega-se ao sistema de equações de movimento do oto, dado po: m me senωt m me cosωt I t I t β me senωt me cosωt β Ip ÿ z β γ Ω = meω cosωt dẏ meω senωt dż mg Ω γ d θ β Ω β d θ γ T meg cosωt + γ β + meẏω cosωt + meżω senωt (.) onde T é o toque de acionamento, e o oto está sujeito à aceleação da gavidade na dieção negativa de Z (sistema de efeência inecial) e a uma foça esistiva de amotecimento com coeficientes d (linea) e d θ (angula). O modelo do oto, apesentado em (.), pode se combinado aos gaus-de-libedade de um modelo de elementos finitos ciado paa epesenta o eixo flexível. Neste caso, o modelo em elementos finitos deveá conte um nó na posição em que se localiza o oto. Na liteatua, pode-se enconta difeentes modelos em elementos finitos paa eixos flexíveis (Wagne, Younan, Allaie e Cogill, ). Os mais utilizados, entetanto, são os baseados na teoia de Eule-Benoulli paa vigas esbeltas (Nelson e McVaugh, 97), onde se despeza o efeito do cisalhamento, e os baseados na teoia de Timoshenko paa vigas espessas (Nelson, 98; Genta e Gugliotta, 988), onde se considea o efeito do cisalhamento. De maneia geal, os modelos em elementos finitos mais comuns, citados acima, apesentam uma matiz de igidez nos gaus-de-libedade do oto com a seguinte foma: K = k µ k µ µ k θ µ k θ (.) onde k é o coeficiente de igidez linea, k θ é o coeficiente de igidez angula, e µ é o coeficiente de igidez de acoplamento linea-angula. O valo destes coeficientes dependem das popiedades do mateial e das popiedades geométicas da seção tansvesal do eixo. O coeficiente de igidez de acoplamento linea-angula também depende da elação ente os compimentos do eixo em ambos os lados do oto. Caso um oto de Laval seja modelado po

17 elementos finitos, os elementos de eixo em ambos os lados do oto teão mesmo compimento, fazendo com que os coeficientes de igidez de acoplamento µ tendam a zeo (desde que a seção tansvesal do eixo pemaneça constante). Consequentemente, o acoplamento ente os gausde-libedade de tanslação e de otação desapaece e os movimentos do oto passam a se puamente de tanslação ou de otação, independentemente... Resposta em Regime Estacionáio Na condição de egime estacionáio, a velocidade de otação é constante (Ω = cte, Ω = ) e qualque efeito tansitóio é atenuado pelo amotecimento do sistema. Desta foma, a equação de movimento do sistema (eq.(.)) pode se eescita nos gaus-de-libedade do oto da foma: m m I t I t ÿ z β γ + d d d θ Ω Ω d θ ẏ ż β γ + k µ k µ µ k θ µ k θ y z β γ = meω cosωt meω senωt mg M s + Dṡ + Ks = f (.7) Consideando-se que a excitação é dada pelo desbalanço (excitação hamônica de fequência Ω) e pelo peso pópio (foça constante): f = f exp jωt + f = meω j meω exp jωt + mg (.8) pode-se assumi uma solução também hamônica, da foma: s = s exp jωt + s (.9) 7

18 onde a esposta ao desbalanço é dada po uma componente hamônica e uma componente constante. Substituindo-se a expessão (.9) na equação de movimento em egime estacionáio (.7), tem-se: s = K f (.) s = ( Ω M + jω D + K ) f (.) A solução (.) detemina o ponto de equilíbio estático em tono do qual o oto oscila, devido ao efeito da gavidade (peso pópio). A solução (.) detemina o compotamento do oto em função da velocidade de otação adotada. Devido ao fato do númeo de gaus-de-libedade te aumentado em elação ao modelo do oto de Laval (dois gaus-de-libedade de tanslação + dois gaus-de-libedade de otação), o oto passa a te fequências natuais elativas ao modo de otação do oto (Fig..(b)), além das fequências natuais elativas ao modo de tanslação. Assim, tomando-se valoes paa k e k θ de foma a se te uma fequência natual de otação (ω ) duas vezes maio do que a fequência natual de tanslação (ω ) em Ω =, e coeficientes de amotecimento d e d θ tais que ζ =, e ζ =,, obtiveam-se os esultados apesentados na Fig... Nesta figua, os esultados são apesentados em função do nível de acoplamento linea-angula, epesentado pelo coeficiente µ, e da elação ente o momento de inécia pola do oto ( ) e seu momento de inécia tansvesal (I t ). O diagama de Campbell mosta o compotamento das fequências natuais do sistema em função da velocidade de otação do oto. Como se pode obseva na Fig.., o aumento da velocidade de otação do oto (aumento de ) tende a sepaa as duas fequências natuais elativas ao modo de otação (ω ). Este fenômeno de sepaação das fequências só é obsevado na fequência natual elativa ao modo de tanslação (ω ) quando o acoplamento linea-angula é fote (Figs..(b) e (c)). Consideando-se que a foça de desbalanço atua com fequência igual à fequência de otação, a esposta ao desbalanço do sistema seá dada sobe a linha tacejada ω = Ω. Quando o acoplamento linea-angula é faco (Fig..(a)), a esposta ao desbalanço do sistema apesenta uma velocidade cítica na egião das fequências natuais elativas ao modo de tanslação, tendendo à autocentagem após estas fequências, em um compotamento bastante simila ao do oto de Laval (incluindo-se a fase). Neste caso, a esposta é paticamente a mesma paa qualque elação ente os momentos de inécia pola ( ) e tansvesal (I t ). Quando o acoplamento linea-angula é mais fote (Figs..(b) e (c)), o sistema ainda apesenta velocidade cítica em tono das fequências natuais elativas ao modo de tanslação. 8

19 ω/ω n 7 < I t = I t > I t ω = Ω Fase ( o ) R/e I < t = I t > I t (a) µ =, k ω/ω n 7 < I t = I t > I t ω = Ω Fase ( o ) R/e < I t = I t > I t (b) µ =, k ω/ω n 7 < I t = I t > I t ω = Ω Fase ( o ) R/e < I t = I t > I t (c) µ =, k Figua.: Diagama de Campbell e esposta ao desbalanço do oto não-laval na condição de egime estacionáio em função do coeficiente de acoplamento linea-angula µ e da elação ente momentos de inécia pola e tansvesal I t (ω = ω, ζ =, e ζ =, ). 9

20 Neste caso, o modo de viba apesenta apesenta movimentos de tanslação e de otação devido ao acoplamento linea-angula. A esposta ao modo de viba de otação também é evidente. Poém, esta esposta ao modo de viba de otação apenas ocoe quando < I t, sendo que a foça de desbalanço excita o modo de fequência mais alta. Assim, de maneia geal, a esposta ao desbalanço do oto não-laval em egime estacionáio apesenta uma velocidade cítica em tono das fequências natuais de tanslação (pimeias fequências natuais do sistema), tendendo à autocentagem após esta velocidade. Os efeitos de modos de viba de otação do oto apenas apaecem nos casos em que o acoplamento linea-angula é fote e quando < I t. Entetanto, a condição < I t é bastante aa, dado que otoes com fomato de disco, como volantes, volutas e estágios de tubinas, apesentam > I t... Resposta em Regime Não Estacionáio Na condição de egime não estacionáio, a velocidade de otação não é mais constante e vaia com o tempo em função do toque de acionamento aplicado ao eixo. Desta foma, deve-se intega a equação de movimento completa (eqs.(.) e (.)) paa obte o compotamento do sistema ao longo do tempo. Vaiando-se o toque de acionamento, e como consequência a aceleação angula do oto (α = Ω/ω n), e obsevando-se a evolução do aio da óbita em função da velocidade de otação momentânea, obtêm-se os gáficos da Fig..(a) paa o caso de faco acoplamento linea-angula (µ =, k). Como se pode obseva na Fig.., o compotamento do oto não-laval com faco acoplamento linea-angula é bastante simila ao do oto de Laval, e as mesmas caacteísticas obsevadas no caso do oto de Laval ocoem neste caso: a) a fequência na qual ocoe máxima amplitude de vibação depende da aceleação angula do oto; b) a máxima amplitude de vibação depende da aceleação angula do oto. c) após a máxima amplitude de vibação ocoe modulação do aio da óbita; Aumentando-se o nível de acoplamento linea-angula do oto (Fig..), obseva-se que o compotamento do sistema em egime não estacionáio pemanece o mesmo, apesentando as mesmas caacteísticas. A difeença está no fato do acoplamento linea-angula move o ponto de máxima amplitude paa fequências mais baixas (caso obsevado também no egime estacionáio). Além disso, a máxima amplitude de vibação é meno do que no caso do oto de Laval ou faco acoplamento linea-angula.

21 estacionáio α =, α =, α =, estacionáio α =, α =, α =, R/e R/e (a) µ =, k (b) Laval Figua.: Raio da óbita do oto em função da velocidade de otação em egime não estacionáio: ω = ω, ζ =,, ζ =, e = I t. estacionáio α =, α =, α =, estacionáio α =, α =, α =, R/e R/e (a) µ =, k (b) µ =, k Figua.: Raio da óbita do oto em função da velocidade de otação em egime não estacionáio: ω = ω, ζ =,, ζ =, e = I t. Ao analisa a esposta ao desbalanço do sistema no domínio da fequência (Fig..), atavés da tansfomada descita na eq.(.), obseva-se novamente que o especto em fequência da esposta ao desbalanço em egime não estacionáio é igual ao especto da esposta em egime estacionáio. Como se pode ve, a esposta ao desbalanço do sistema, em egime estacionáio ao longo do tempo, contém componentes em fequência de igual magnitude aos componentes em fequência da esposta ao desbalanço do sistema em egime estacionáio. Isto é válido paa qualque nível de acoplamento linea-angula. Resultados análogos são encontados

22 estacionáio α =, α =, α =, estacionáio α =, α =, α =, F (y/e) F (y/e) (a) µ =, k (b) µ =, k estacionáio α =, α =, α =, F (y/e) (c) µ =, k Figua.: Especto em fequência da esposta ao desbalanço do oto em egime não estacionáio: ω = ω, ζ =,, ζ =, e = I t. analisando-se a esposta do sistema na dieção Z. Assim, analogamente ao caso do oto de Laval, apesa da esposta ao desbalanço em egime não estacionáio depende das condições de opeação do sistema otativo (e nível de acoplamento linea-angula), pode-se infei as suas caacteísticas dinâmicas em egime estacionáio a pati da análise do especto em fequência da esposta em egime não estacionáio.

23 Refeências Bibliogáficas Beme, H. (8). Elastic multibody dynamics. Belin: Spinge Velag. p. Genta, G., Gugliotta, A. (988). A conical element fo finite element oto dynamics. Jounal of Sound and Vibation, v., n., p.7 8. Nelson, F. C. (). A bief histoy of ealy oto dynamics. Sound and Vibation, v.7, n., p.8. Nelson, H. D. (98). A finite otating shaft element using timoshenko beam theoy. Tans. ASME - J. of Mechanical Design, v., n., p Nelson, H. D., McVaugh, J. M. (97). The dynamics of oto-beaing systems using finite element. Jounal of Engineeing fo Industy, v.98, n., p.9. Rao, S. S. (). Mechanical vibations..ed. New Yok: Addison-Wesley Publishing Co. 78p. Santos, I. F. (). Dinâmica de sistemas mecânicos - Modelagem, simulação, visualização, veificação. São Paulo: Makon Books Ltda. 7p. Tenenbaum, R. A. (997). Dinâmica. Rio de Janeio: Editoa UFRJ. 7p. Ushe, A. P. (99). Uma históia das invenções mecânicas. Campinas: Papius. p. Wagne, M. B., Younan, A., Allaie, P., Cogill, R. (). Model eduction methods fo oto dynamic analysis: a suvey and eview. Intenational Jounal of Rotating Machiney, v., n.77, p. 7.

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25 Apêndice A Um Pouco de Históia: Laval, Jeffcott ou Föppl? Eixos flexíveis com otoes centados são gealmente chamados de otoes de Laval po muitos autoes, e otoes de Jeffcott po autoes ameicanos e bitânicos. Mas afinal, quem tem azão? Kal Gustaf Patik de Laval (8-9) foi um engenheio e invento sueco, esponsável po impotantes, e pioneias, contibuições no desenvolvimento e pojeto de tubinas a vapo. Pocuando obte as altas velocidades de otação necessáias a desnatadeias centífugas, Laval idealizou a pimeia tubina a vapo a impulso utilizando o conceito de difusoes paa alinha o escoamento do vapo com as palhetas da tubina e apoveita melho a enegia cinética do escoamento (solução amplamente utilizada atualmente no pojeto de tubinas a vapo, a gás e hidáulicas). Com isto, Laval não só obteve as altas velocidade de otação almejadas, como também povou expeimentalmente que sistemas otativos podem opea em velocidades acima de suas velocidades cíticas, algo impensável no final do século XIX e início do século XX. As tubinas pojetadas po Laval tinham a caacteística de seem montadas sobe longos eixos flexíveis, com mancais em suas extemidades. Heny Homan Jeffcott (877-97) foi um engenheio ilandês encaegado, pela Royal Society of London, de soluciona o impasse científico em que se encontava a Dinâmica de Rotoes no início do século XX: a teoia vigente paa otoes, poposta pelo enomado cientista inglês W. J. Macquon Rankine em 89 (quase quaenta anos antes!), pegava a impossibilidade de uma máquina opea acima de suas velocidades cíticas, enquanto evidências expeimentais mostavam o contáio. Laval testou sua tubina a vapo em velocidades supecíticas em 889, e o engenheio inglês W. Ke publicou evidências expeimentais de uma segunda velocidade cítica, acima da pimeia, em 9. Em 99, Jeffcott publicou o que passou a se consideado o pimeio modelo capaz de peve o compotamento de um eixo flexível, com oto centado e mancais ígidos nas extemidades, em velocidades sub e supecíticas, supeando

26 assim o modelo de Rankine. Apesa de um tatamento matemático difeente, as equações de movimento paa o sistema, apesentadas neste tabalho, são as mesmas popostas po Jeffcott em seu modelo. August Otto Föppl (8-9) foi um engenheio civil alemão bastante envolvido no estudo e desenvolvimento da então nascente Teoia da Elasticidade. Entetanto, em 89 ( anos antes de Jeffcott!) Föppl publicou um modelo paa otoes que exibia a possibilidade de opeações em velocidades supecíticas. Po que, afinal, Föppl não ecebeu o econhecimento po apesenta o pimeio modelo capaz de peve o compotamento de otoes em velocidades sub e supecíticas? Pelo simples fato de te publicado suas descobetas na evista De Civilengenieu, uma publicação devotada a poblemas de engenhaia civil, editada na língua alemã, que cetamente não ea conhecida pelos pesquisadoes da áea de Dinâmica de Rotoes da época, em sua maioia bitânicos. Mas afinal, oto de Laval, oto de Jeffcott ou oto de Föppl? Acedito que o mais coeto seia dize modelo de Föppl/Jeffcott paa o oto de Laval. Mais infomações em Nelson (), Ushe (99) e Beme (8).