UNIVERSIDADE FEDERALDO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE ESTATÍSTICA CURSO DE BACHARELADO EM ESTATÍSTICA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERALDO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EATAS E NATURAIS FACULDADE DE ESTATÍSTICA CURSO DE BACHARELADO EM ESTATÍSTICA JEFFERSON PINTO BARBOSA JUNIOR ECONOMETRIA: MULTICOLINEARIDADE E HETEROCEDASTICIDADE BELÉM - PARÁ 04

2 Multcolneardade Neste breve resumo será apresentado, respectvamente: Qual é a natureza da multcolneardade? Quas são suas conseqüêncas prátcas? Como é possível detecta-las? Quas as meddas corretvas? Qual a natureza da multcolneardade? O termo multcolneardade fo ncalmente cunhado pelo economsta Ragnar Frsch (Oslo) em 934 e se refera à exstênca uma relação lnear exata entre algumas/todas as varáves explcatvas,,... k. Como sabemos, uma relação lnear exata exge que: λ λ... λ k k 0, λ ctes λ 0 () Ao longo do tempo o sentdo de multcolneardade fo sendo alterado de modo que hoje, otermo é usado não apenas para desgnar esse caso extremo, mas stuações em que as varávesestão nter-relaconadas, mas não necessaramente de forma perfeta, tal como mostrado em (). Suponha ncalmente um modelo múltplo, do tpo: Y... k ε Suponha agora que haja multcolneardade perfeta, admtndo, por exemplo que é uma combnação lnear perfeta dos demas e que λ seja dferente zero. Nesse caso, teremos: Y λ λ... λ k k ε () Quas as conseqüêncas prátcas da multcolneardade? Em casos de alta colneardade, é muto provável que nos deparemos com as seguntes conseqüêncas: ) Embora sejam melhores estmadores lneares não tendencosos, os estmadores de MQO tem grande varânca e covarânca, tornando dfícl uma estmação exata. ) Em decorrênca da conseqüênca, os ntervalos de confança tendem a ser muto mas amplos, facltando a acetação da hpótese nula gual a zero (sto é, que o coefcente populaconal verdadero seja gual a zero). 3) Também como efeto de, a razão t de um ou mas coefcentes tende a ser estatstcamente nsgnfcante.

3 4) Embora a razão t de um ou mas coefcentes seja estatstcamente nsgnfcante,r², a medda geral da qualdade do ajustamento, pode ser muto alto. 5) Os estmadores de MQO e seus erros-padrão podem ser sensíves a pequenas alterações nos dados. Como Podemos Detectar a Ocorrênca de Multcolneardade? Antes de respondermos à questão, consderemos as palavras de Kmenta: ) Multcolneardade é uma questão de grau e não de gênero. A dstnção sgnfcatva a fazer não é entre a presença ou a ausênca da multcolneardade, mas entre seus dferentes graus; ) Como a multcolneardade se refere à condção das varáves explcatvas, que supomos não-estocástcas, ela é uma característca da amostra, não da população. Por sso, não fazemos um teste de multcolneardade, mas podemos, se desejarmos, medr seu grau em uma amostra partcular qualquer. Fetas essas consderações, podemos responder à questão da segunte forma: Não temos um método para detectar a ocorrênca de multcolneardade ou medr sua ntensdade. O que exste são regras prátcas, algumas mas formas do que outras, mas todas "regras prátcas". Ctaremos aqu, apenas três delas: a) Alto R e poucas (às vezes nenhuma) razões t sgnfcatvas. Esse é a clássca stuação de multcolneardade (nesse caso méda ou elevada). Em stuações nas quas o R é elevado, normalmente com F sgnfcatvo (rejetando H 0 ), mas com poucos ou nenhum dos coefcentes sgnfcatvos. Embora esse teste seja sensato, nos casos em que os testes t s são sgnfcatvos (porém fracos) ele esconderá a exstênca de colneardade, pos os testes serão acetos. O problema nesse caso é que os coefcentes apresentarão elevada varânca, sendo, portanto, menos robustos. b) Alta correlação entre os regressores. Um teste adconal que é usual é a verfcação das correlações entre as varáves ndependentes. Em geral, quando se roda uma regressão, deve-se também rodar uma "matrz de correlação" e avalar se os valores obtdos são elevados (superores a 0,7 em módulo), ou seja, se Correl (, j ) > 0,7. c) Regressões auxlares

4 Como a multcolneardade se manfesta porque um ou mas regressores são combnações lneares (exatas ou aproxmadas) de outros regressores, um meo de descobrr qual varável se relacona com outras varáves, é regredr cada uma delas sobre as demas e analsar os respectvos R..5 Como Corrgr o Problema ou Pelo Menos Mnmzar os Efetos da Multcolneardade? Em prmero lugar é mportante que se dga que nem toda multcolneardade é motvo para pânco. Portanto, a questão é: o que fazer se a multcolneardade for séra?assm como não exste um método específco de detecção, também aqu, não há uma únca solução. Em geral, se após os testes menconados, tvermos elevada correlação lnear entre as varáves explcatvas do modelo, ou seja, Corr(, j ) > 0,7 recomendam-se os seguntes procedmentos solados ou combnados: a) A amplação da amostra; b) O uso de nformações "a pror", já dsponíves através de outros trabalhos; c) Transformação de alguma ou de algumas das varáves do modelo; ou anda, em casos extremos; d) A elmnação de varável (es) do modelo. Vejamos as soluções mas comuns: a) Aumento do Tamanho da Amostra Se, como afrma Kmenta, a "multcolneardade é um problema da amostra", podese, mutas vezes mnorar ou mesmo elmnar sua ocorrênca através do aumento do tamanho da amostra. Esse procedmento é recomendado nos casos em que n < 5.k b) Informação a Pror Se o pesqusador tem nformação a pror - normalmente de estudos fetos por terceros - ele pode usar essa nformação em sua regressão de modo a mnorar o problema de colneardade. Suponha, por hpótese, que estejamos nteressados em estmar os coefcentes da segunte regressão: Y β 0 β, β, ε (3)

5 e que verfcamos a exstênca de colneardade entre e. Se porventura tvermos alguma nformação a pror sobre β e β por exemplo que β = 0,* β, podemos usar essa nformação, produzndo a segunte equação a ser estmada: Y β 0 β k, ε ; k,, 0,, (4) d) Mudança de especfcação Uma forma alternatva ao caso "c" é a mudança na especfcação da função a ser estmada. Transformações logarítmcas, por exemplo, tendem a reduzr o grau de colneardade das varáves. e) Elmnação de varável(es) Em casos extremos sempre se pode recorrer à elmnação de varáves do modelo. Realzar tal procedmento sgnfca reconhecer que o modelo está sobredetermnado (excesso de varáves explcatvas. Uma vez tomada a decsão, deve-se estabelecer crtéros para a elmnação de varável(es). Em geral, os seguntes crtéros são adotados: ) Rodam-se tantas equações smples quantas forem as varáves do modelo; ) roda-se uma matrz de correlação entre as varáves explcatvas; 3) Dentre as varáves com maor grau de correlação, elmna-se aquela que apresentar os pores resultados nas regressões que foram anterormente rodadas; 4) Roda-se o modelo com k- varáves e repetem-se os testes de multcolneardade. Na persstênca do problema, repetem-se os procedmentos "" e "3" e "4". Heterocedastcdade A natureza da heterocedastcdade Uma das premssas mportantes do modelo de regressão lnear é que a varânca de cada termo de erro u, condconado aos valores seleconados das varáves explanatóras é algum numero constante gual a σ. Esta é a premssa de homocedastcdade, ou seja, gual (homo) espalhamento (cedastcdade), sto é, gual varânca. Smbolcamente temos: E ( ) =, =,,...,n (5)

6 Como podemos ver a varânca condconal de, condconada ao dado, permanece a mesma quasquer que sejam os valores assumdos pela varável. Agora veja a fgura (6) que mostra que a varânca condconal de aumenta com o aumento de. Neste caso, as varâncas de não são as mesmas. Portanto, há heterocedastcdade. Smbolcamente pode ser representado por: Como detectar o problema? E ( ) = (6) Assm como no caso da multcolneardade, não exste uma regra frme eabsolutamente segura para detectar a heterocedastcdade. Isso decorre do fato de que σ só podera ser plenamente conhecdo se tvéssemos nformação de toda a população, o que nunca é o caso. Dessa forma, quase nunca teremos nformação parcal a respeto das varâncas das perturbações aleatóras. Na realdade, nos estudos econométrcos da maor parte dos eventos econômcos, o que se tem são apenas um ou muto poucos valores de um partcular. Mas exstem alguns métodos nformas e formas que tentam detectar a ocorrênca de heterocedastcdade. Métodos Informas A) Natureza do Problema - em mutos casos, a própra natureza do problema nos sugere a presença de heterocedastcdade. Pras e Houthakker, por exemplo, em suas pesqusas sobre consumo e renda, dentfcaram que a varânca do resíduo em torno da regressão aumentava com o aumento da renda. Depos desse estudo ponero, todos quando trabalham com o mesmo tema ncorporam em seus modelos essa característca. Estudos que envolvem cross-secton (dados em corte) apresentam também algum grau de heterocedastcdade. Por exemplo, estudos sobre consumo de energa em função do PIB - obvamente para dversos países - revelam que a varânca do consumo de energa é crescente em função do PIB; estudos sobre saláros em função da escolardade também revelam maor dspersão para níves educaconas mas elevados. Assm, quando formulamos um modelo podemos, pela natureza do fenômeno que desejamos estudar, já prevermos a ocorrênca de heterocedastcdade e, portanto, tomar meddas de precaução. B) Métodos Gráfcos - quando, em certos casos, não temos nformação préva, podemos recorrer à análse gráfca. Note que se a varânca do erro é varável sso será captado por um gráfco, quando plotamos o resíduo quadrátco contra cada uma das varáves () do modelo. Em todos esses casos (e, em mutos outros aqu não

7 apresentados) pode-se perceber que há uma relação funconal entre a varável e o quadrado do resíduo. A nformação obtda através dos gráfcos pode ser útl para montar uma estrutura de ponderação para os estmadores. Métodos Formas Exstem dversos testes mas ou menos formalzados para dentfcação de heterocedastcdade. Aqu veremos somente os mas usualmente utlzados.. Teste de Levene Modfcado Um teste smples para avalar a establdade da varânca é o teste de Levene modfcado. Para conduz-lo deve-se separar o conjunto de dados em dos grupos, ordenados em função do valor da varável ndependente (). Dessa forma, um grupo deve ser composto por elementos com baxos valores de, em oposção ao outro que consste de elementos com alto valor de. O teste de Levene modfcado determna se a méda dos desvos absolutos de cada grupo são estatstcamente dferentes. O Levene modfcado basea-se em um teste de hpóteses, que utlza a dstrbução t de student. A estatístca de teste é defnda pela equação: t c s d n d n

8 onde d e d representam a méda do desvo das observações, respectvamente, do grupo e, em relação a suas medanas; n e n são o número de elementos de cada grupo, cuja soma é n e s é dado por: s d d n d d Sendo qued e d denotam o desvo em relação à medana, do -ésmo elemento de cada grupo. Para não rejetar a hpótese de homocedastcdade, o valor absoluto de t c deve ser menor ou gual ao valor assumdo pela dstrbução t-student, com determnado nível de confança e n- graus de lberdade.. Teste de Goldfeld-Quandt Este método é aplcável quando se pressupõe que a varânca heterocedástca, se relacona de modo postvo com uma das varáves explcatvas do modelo de regressão. Para aplcar o teste deve-se segur as seguntes etapas: a) Ordene as observações de acordo com os valores da varável explcatva consderada responsável pela heterocedastcdade. b) Omta c observações do meo da sua sére ordenada e dvda as n c observações restantes em dos grupos com (n-c)/ observações em cada um. c) Ajuste regressões de MQO separadas para os dos conjuntos de dados e obtenha as respectvas soma dos quadrados dos resíduos, SQE e SQE. Cada uma dessas regressões tem n estmados, nclundo o ntercepto. d) Determne a razão: SQE / gl SQE / gl c k graus de lberdade, onde k é o número de parâmetros a serem Se a suposção de normaldade for válda, temos sob a hpótese nula de n c homocedastcdade que segue a dstrbução F com k quanto no denomnador. tanto no numerador

9 3. Teste de Whte Este teste não depende da suposção de normaldade e é de fácl mplementação: a. Estme a equação de regressão e obtenha os resíduos,. b. Estme uma regressão auxlar tendo com varável resposta os quadrados dos resíduos estmados e varáves explcatvas as mesmas da regressão orgnal acrescentando os seus quadrados e o produto cruzado dos regressores orgnas. Obtenha o R dessa regressão auxlar. c. Sob a hpótese nula de homocedastcdade, a estatístca nr tem dstrbução ququadrado com k - graus de lberdade Meddas corretvas dante da heterocedastcdade De acordo com Gujarat (pg 38): "a heterocedastcdade não destró as propredades de nexstênca de vés dos estmadores de mínmos quadrados, mas estes dexam de ser efcentes, nem mesmo assntotcamente (sto é, em grandes amostras)." Como sabemos, essa falta de efcênca dos estmadores, torna os resultados das estmações mprecsos. Torna-se, portanto, necessáro adotar procedmentos corretvos. Há duas abordagens para remedar o problema: a) Quando for conhecdo: Nesse caso, o método a ser adotado é o de mínmos quadrados ponderados. De fato, se para cada valor de é conhecda à varânca do erro ou se a amostra é grande o sufcente e há valores de que se repetem na amostra, (como é o caso de expermentos controlados) então o uso do ponderador W é uma forma fácl e efcente para resolver problemas de heterocedastcdade. Nota: em todos os softwares estatístcos especalzados a opção de uso de Mínmos Quadrados Ponderados é dsponível e de fácl utlzação. Teorcamente o que se faz é estmar o modelo: Y 0 b) Quando não for conhecdo: Se não for conhecdo, podemos obter estmatvas consstentes das varâncas e covarâncas dos estmadores de MQO mesmo na presença de heterocedastcdade? Sm,

10 se utlzarmos, por exemplo, estmadores robustos. Whte (o mesmo do teste de heterocedastcdade) propôs os estmadores consstentes da matrz de covarânca com heterocedastcdade e mostrou que, a partr de suas estmatvas, podem ser tradas nferêncas estatístcas assntotcamente váldas sobre os verdaderos valores dos parâmetros. Seus erros-padrão corrgdos são denomnados erros-padrão de Whte ou erros padrão robustos. No entanto, os estmadores de Whte podem não ser tão efcentes quanto aqueles obtdos através de transformação dos dados para refletr tpos específcos de heterocedastcdade: Suposções sobre o padrão de heterocedastcdade: a) A varânca do erro é proporconal a ². Nesse caso, pode-se fazer a segunte transformação na função a ser estmada: Y 0 0 Observe que nessa função o ntercepto (β ) é o coefcente angular da equação orgnal e o coefcente angular (β 0 ) é o ntercepto da expressão orgnal. Por sso, para retornar ao modelo orgnal, devemos multplcar a função estmada por. b) A varânca do erro é proporconal a. Nesse caso, pode-se fazer a segunte transformação na função a ser estmada: Y 0 0 Note uma mportante característca do modelo transformado: ele não tem ntercepto. Por sso, nesse modelo é necessáro que rodemos a regressão obrgando a passagem pela orgem. Tendo rodado a equação transformada, podemos retornar ao modelo orgnal smplesmente multplcando por raz de. c) A varânca do erro é proporconal ao quadrado do valor médo de Y. Nesse caso, procede-se em duas etapas: ncalmente rodamos a regressão orgnal; em seguda, usando os valores estmados de Y (chapéu) fazemos a segunte transformação em nosso modelo: Y 0 0 Y Y Y Y Y Y

11 d) Transformação da equação em logartmo Nesse caso, admte-se a hpótese de que a compressão de escala das varáves reduza a dmensão das varâncas, tornando-as muto semelhantes entre s, de modo a elmnar (em alguns casos) ou a mnorar o problema de heterocedastcdade do modelo. Nessa stuação nosso modelo será: lny ln 0 ln

12 Referêncas: GUJARATI, Damodar N. Econometra básca, 4 Ed. Elsever, 006.