Modelos de Apreçamento e Cobertura para derivados sobre Matérias-primas (Commodities)

Transcrição

1 UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdad d Cêcas cologa Dparamo d Mamáca Modlos d Aprçamo Cobrura para drvados sobr Maéras-prmas Commods Por Isabl Mara Barroso Cabrra Dssração aprsada a Faculdad d Cêcas cologa da Uvrsdad Nova d Lsboa para obção do grau d Msr m Mamáca as suas aplcaçõs-ramo Cêcas Acuaras. Prsd do úr: Prossor Douor João ago Mxa FC/UNL Orador: Prossor Douor Maul L. Esquívl FC/UNL Vogal: Prossora Douora Raqul Gaspar ISEG/UL Vogal: Prossora Douora Mara Faas FC/UNL Lsboa 8

2 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Agradcmos Quado m coro a rca al da dssração do msrado m Mamáca as suas Aplcaçõs da Faculdad d Cêcas cologa da Uvrsdad Nova d Lsboa ão podra dxar d agradcr a odos aquls qu m apoaram m audaram a chgar aé aqu. Dsa orma gosara d xprssar aqu o mu agradcmo à Irvalors pla oporudad cocdda m parcular ao Dr. Armado Nus ao Dr. Mgul Ramalho por odo o cvo dspobldad. Agradço ambém a odos os mus colgas d rabalho qu d orma drca ou drca m audaram a coclusão dsa s mas qu ão oss com a sua boa dsposção compahrsmo. Quro ada azr um agradcmo spcal ao Prossor Douor Maul Esquívl por oda a dspobldad comprsão bm como a orça a coragm qu m rasmu para prossgur. Gosava ada d agradcr a odos os mus colgas amgos qu ao logo ds príodo m apoaram d orma codcoal m odos os momos dsd o mas ácl ao mas dícl. Por úlmo mas ão mos mporas quro agradcr a quaro pssoas qu como par gra da mha vda qu são por udo o qu rprsam para mm o mu pa a mha mã a mha rmã o mu amorado plo su corbuo a mha ormação ducação mas por odo o aco pacêca comprsão qu proporcoaram a coclusão dsa apa da mha vda com sucsso.

3 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Rsumo Cabrra Isabl Modlos d Aprçamo Cobrura para Drvados sobr Maéras-prmas Commods O prs rabalho prd roduzr uma vsão do mrcado das maéras-prmas m parcular o ouro o prólo a soa o mlho. Prmram são aprsadas algumas dçõs mporas bm como as prcpas drças/smlhaças r Mrcado Spo / Mrcado Fuuros Coraos Forward / Coraos Fuuros. Aprsar-s-á um capíulo com a ora das Carras od rá surgr a dção do CAPM Capal Ass Prcg Modl a rspcva aplcação práca. Para prmr um sudo mas dalhado dos modlos d aprçamo cobrura para drvados opou-s por ulzar o modlo d Blac. Por úlmo rmos um capíulo com um Modlo Comparavo Spo/Fuuros. Srá aprsado ada um caso práco com ausamo smulação calbração do modlo dscro. Palavras-Chav Modlo Blac carra maéra-prma ouro prólo soa mlho corao uuro Daqu m da rmos smpr cosdrar maéras prmas quado os rrmos às commods Podra sr colocado valorzação o ao aprçamo é uma palavra qu xs é muo comum os mrcados acros

4 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Absrac Cabrra Isabl O som prcg modls or drvav producs o uurs Commods hs wor s a roduco o a uurs Commods mar vw parcularly h Gold Ol Soyba ad Cor. Frs w ar gog o roduc som mpora dos such as Spo Mar vrsus Fuurs Mars ad Forward Coracs vrsus. Fuur Coracs. h w prs a chapr abou h porolo hory whr w hav h do o CAPM Capal Ass Prcg Modl ad rspcv praccal xmpl. W choos h Blac opo valuao Modl ad w subm o h aalyss o h prcg or drvav producs o uurs Commods. A las w hav a chapr ha prss a modl comparg Spo/Fuur prcs. W wll prs a praccal cas whch adus smula ad calbra h dscrbd modl. Ky-words corac. Blac Modl porolo Commods gold ol soyba cor uur 3

5 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Ídc I - Irodução...9 II Equadramo Gral.... Drvados.... O qu são os drvados.... Prcpas pos d Produos Drvados.... Maéras-prmas...3. Porqu é qu as maéras prmas s gocam m uuros? Mrcados Spo Mrcados Fuuros Coraos d Fuuros Prços d Fuuros Coraos d Fuuros vrsus Coraos Forward...8 III ora das Carras.... Modlos com carras.... Noação.... Méda Varâca Dsvo Padrão Coc d Corrlação dos Roros msas....3 Varâca vrsus Coc d Corrlação....4 Méda Varâca d uma carra: Caso gral Carras Ecs...6 4

6 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.6 Algumas dçõs prlmars oação Algus cocos mporas Algus ormas sobr carras cs CAPM Capal Ass Prcg Modl Cálculo da Frora Ec Drmação da Carra d Mrcado: h Capal Mar L CML A SMLScury Mar L quado xs um acvo lvr d rsco O ráco d Sharp...39 IV Aplcação Práca...4. Caso práco...4. Acvos ulzados...4. Orgm dos dados Fchro Excl Rsulados Coclusõs...45 V Modlo d Blac...46.Modcaçõs ao modlo d Blac-Schols...46.Irodução Roros

7 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.3 Volaldad Mrcados d Fuuros Fórmula d Blac para Coraos d Fuuros...5 VI Modlo Comparavo Spo-Fuuros O Modlo A covc Yld A covc Yld gralzada Os modlos mamácos Coclusõs rabalhos uuros Aplcação práca...6 Coclusão...63 Axos

8 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Ídc Fguras Fgura - Carras possívs são odas as qu s coram a rora c dro dos lms da hpérbol...3 Fgura - Como corar a carra c o couo das carras possívs...3 Fgura 3 Frora Ec...36 Fgura 4 - Frora Ec com a CML...38 Fgura 5 Gráco qu rprsa a rora c msal das combaçõs das carras x y para as maéras-prmas acçõs rspcvam...43 Fgura 6 Gráco qu rprsa a carra úca para as maérasprmas para as acçõs rspcvam...44 Fgura 7 Grácos rprsavos dos prços dos uuros spo para a praa prólo a covc yld gralzada...58 Fgura 8 Smulação dos prços dos uuros spo para a praa prólo para a covc yld gralzada

9 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Ídc ablas abla abla com os psos das carras x y para as maérasprmas acçõs...43 abla abla com os psos da carra scolhda as carras d mrcado...44 abla 3 abla d dados para a aplcação do modlo d Blac ao uuro sobr o prólo...6 abla 4 abla d dados para a aplcação do modlo d Blac ao uuro sobr o ouro...6 abla 5 abla d varação do valor do prço d xrcíco K para o modlo habual para o modlo spo/uuros sobr o prólo...6 abla 6 abla d varação do valor do prço d xrcíco K para o modlo habual para o modlo spo/uuros sobr o ouro...6 8

10 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado I - Irodução O obcvo dsa dssração cra-s os modlos d aprçamo cobrura d rsco para drvados sobr maéras-prmas. Em parcular rmos dsvolvr um sudo sobr coraos d uuros qu são par gra dos chamados drvados parlhado com ss muas das suas caracríscas. Assm uma prmra as do rabalho rmos abordar algumas dçõs mporas Drvados Coraos d Fuuros Coraos Forward Mrcado Spo Mrcado d Fuuros bm como as caracríscas prcpas drças/smlhaças r ambos. Numa sguda as armos uma aáls práca do mrcado das maéras-prmas omadam ouro mlho soa prólo aravés do ausamo do CAPM. Para sso rmos procdr à cosrução d uma carra cosuída plas maéras-prmas acma dscras comparado com uma carra qu coha quaro íulos cosas do PSI EDP GALP MOA/ENGIL BES Em rcro rmos aalsar o modlo d Blac como caso parcular do modlo d Blac Schols como orma d aprçamo cobrura para drvados sobr maéras-prmas. D sguda é aprsado um modlo qu compara os mrcados Spo/Fuuros qu lvámos a aprsação uma corêca racoal m MmphsN os EUA. 9

11 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Por úlmo aprsar-s-á uma brv dscussão coclusõs as do rabalho. Chama-s ada a ação do lor para o aco d s corarm m axo um supor dgal as olhas Excl od s ralzaram os cálculos rlavos às aplcaçõs prácas.

12 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado II - Equadramo órco Gral. Drvados. O qu são os drvados? Os drvados são produos acros cuos cash-lows 3 grados dpdm dos prços ouras caracríscas d acvos acros domados acvos subacs ao drvado. O valor d um drvado dpd sscalm do comporamo do prço do acvo subac mas ambém d ouras varávs as como: maurdad acors coómcos polícos varação das coaçõs das modas axas d câmbo axas d uro c. Nos úlmos aos êm surgdo ovos srumos drvados dvdo ão só aos chamados bacos d vsmo como ambém à possbldad qu os ags êm d cosrur ovos produos drvados com um smpls acordo. Es po d produos é rasaccoado m mrcado d balcão Ovr h Cour 4 OC od as suçõs acras dspoblzam aos sus cls ou m mrcados bolssas como é o caso dos Fuuros das Opçõs. 3 Cash-lows sgca luxos d caxa.

13 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado O rápdo crscmo dos mrcados drvados couam com a publcdad a a casos cua sua ulzação provocou prdas lvadas m sdo a razão para o dsvolvmo d dbas públcos mporas qu cdm m rês poos udamas: os bícos os rscos o ívl d rgulamação a qu dvm sar suos os mrcados d drvados.. Prcpas pos d Produos Drvados pcam m raços gras: a Opçõs São coraos qu dão ao comprador um dro mas ão uma obrgação d comprar/vdr um acvo uma drmada daa a um prço prvam xado prço d xrcíco. b Coraos d Fuuros São acordos r duas pars para compra/vda d um drmado acvo um cro príodo d mpo a um drmado prço mas o uuro. Es po d coraos é ormalm ralzado sobr um drmado mrcado qu m como obcvo a rgulamação d poos usuas do corao para qu s sa rspado. c Coraos Forward São acordos para comprar/vdr um acvo um cro príodo o uuro a um drmado prço. São coraos muo smlhas com os coraos d uuros mas ão são 4 Ovr h Cour sgca Fora d Bolsa daqu m da rmos apas usar a sgla OC.

14 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado rgulamados são gralm rasaccoados o mrcado d balcão acma rrdo OC. d Swaps Coraos d roca d sérs d cash-lows r duas dads o uuro sgudo um plao prvam sablcdo. Icdm ormalm sobr cash-lows assocados a axas d uro axas d câmbo.. Maéras-prmas As Maéras-prmas dsmpham um papl udamal a ossa vda dára a almação ou os raspors mas poucas vzs psamos las como uma class d acvos m qu é possívl vsr qu pod dsmphar um papl mpora a corrca dvrscação d uma carra d vsmos. Podmos dsgar por Commods o couo d maéras prmas ou produos prmáros gocados m bolsas d mrcadoras as como: Erga: prólo gás aural Produos Agrícolas: rgo mlho soa açúcar cacau caé algodão Produos pcuáros: gado avs Mas dusras: alumío cobr chumbo íqul Mas prcosos: ouro praa plaa O rss dos vsdors por sa class d acvos aumou d sgcavam os úlmos aos omadam porqu o prço médo das maéras-prmas subu mas d 5% dsd o al d. Em grad par 3

15 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado lucado pla volução do prço do prólo das maéras-prmas dusras ulrapassado largam a crsc volução dos mrcados accosas obrgacosas o msmo príodo. A rc subda dos prços das maéras-prmas pod smpr sr xplcada plo or crscmo da procura das msmas ambém pla scassz da ora: Do lado da procura dsaca-s o or crscmo das mporaçõs d maéras-prmas plas coomas asácas; Do lado da ora êm corbuído para prssoar os prços a scassz d maéras-prmas dusras como o aço cobr íqul ambém a sabldad gopolíca os prcpas paíss produors d prólo; Além dsso é d rrr ambém os movmos spculavos do capal o qu lva à rc subda dos prços das maéras-prmas. Os coraos d uuros são aplcados uma sér d maéras-prmas açúcar lã ouro praa m acvos acros moda obrgaçõs ídcs bolssas. Dsa orma uma qusão qu mrc sr cosdrada é a sgu:. Porqu é qu as maéras-prmas s gocam m uuros? As maéras-prmas gocam-s m uuros por duas razõs udamas: razõs hsórcas razõs d sguraça covêca. 4

16 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Quado surgu a bolsa aé bm pro dos ossos das os íulos ram íscos. Assm quado s coraava a compra por xmplo d prólo a um drmado prço a par vddora ha d rgar o úmro d barrs prddo plo comprador o al do corao. Es cáro vrcou-s aé há crca d aos arás. A sguda razão é qu ss coraos são os d orma a garar/salvaguardar ambas as pars comprador vddor. Assm d acordo com as rgras do mrcado m qusão o comprador gara qu lh é rgu o acvo gocado o vddor gara o dhro por ls acordado o al do prazo. Dsa orma ss coraos são ormalzados sguros. Além das razõs acma dscras apsar da crza quao à volução d prços o uuro próxmo as maéras-prmas aprsam caracríscas rssas como srumo d dvrscação das carras d vsmos Joral d gócos 7: Es po d produos m uma baxa corrlação com as acçõs obrgaçõs sdo das poucas classs d acvos qu d a bcar com colos polícos ou caásros auras; As maéras-prmas são rqum ulzadas como procção cora a lação dado qu o su prço acompaha a subda global dos prços; Nos úlmos 3 aos as maéras-prmas aprsam um mlhor dsmpho qu as dmas classs d acvos m príodos d subda d axas d uro poddo sr ulzadas como srumos d procção cora s rsco. 5

17 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado 3. Mrcados Spo Mrcados Fuuros O rmo spo é usado as bolsas d mrcadoras para s rrr a gócos ralzados com pagamo à vsa pra a rga da mrcadora m oposção aos mrcados d uuros a rmo. A rga ão é cssaram ísca mas sm a rga d drmado moa m dhro corrspod à quadad d mrcadora gocada. são: As prcpas drças r os mrcados spo os mrcados uuros Nos mrcados uuros xs um corao padrão quao os mrcados spo ão são padrozados o corao é apas comrcal; Os mcasmos d lqudação d um mrcado spo ram o rsco d crédo da corapar. Já o caso dos mrcados d orward s rsco xs; Nos mrcados spo é ácl rvrr uma opração os uuros a posção dclm é rvrda; Por úlmo os spo uca ocorr a rga do acvo os uuros sa rga podrá ocorrr caso a posção ão sa chada as do vcmo do corao. 6

18 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado 4. Coraos d Fuuros Prços dos Fuuros Como á rrmos arorm um corao d uuros é um acordo para comprar ou vdr um acvo uma drmada daa a um cro prço o uuro. Um poo mpora ss coraos é qu ss são rasaccoados m mrcados bolssas. Em cosquêca as auordads êm d dr com prcsão odas as caracríscas d cada corao para qu a gocação sa possívl. Mas mpora o prço do uuro prço ao qual o corao d uuros é ralzado é drmado um mrcado d uuros aravés da l da procura da ora al como os prços spo das acçõs lsadas. Os prços d uuros são coados daram rporados para a mprsa acra. Um corao d uuros d uma mara gral m uma rga msal qu é spccada plo mrcado od dcorr a rasacção. É ambém s mrcado qu rgula a daa cocra da rga a quadad do acvo qu dv sr rgu bm como quado cssáro odos os dalhs adcoas. Ao procdmo dáro d lqudação dos coraos d uuros chama-s marg o mar. Um corao d uuros xg um vsmo cal zro mas cada vsdor é obrgado a dposar udos uma coa margm. A s dpóso chama-s margm cal. No al d cada da d rasacçõs são os auss à coa margm qu rlcm os movmos dáros dos prços dos uuros. 7

19 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado 5. Coraos d Fuuros vrsus Coraos Forward Como á o vso arorm a grad drça r ss dos pos d coraos é o mrcado m qu são rasaccoados. No ao xsm ouras drças r ambos sob as sgus ormas: Espccação do corao da rga; Prços; po d mrcado horas d gocação; Sguraça os dpósos margs Volums Lqudz Mrcados.. Espccação do corao da rga Coraos d Fuuros: Es corao spcíca os prcpas srumos prços. As daas d rga são lmadas a um úmro spcíco d das por ao smpr m locas aprovados para o o. O obcvo prcpal da rasacção ão é a rga m apas % dos casos xs s procdmo. Coraos Forward: Exs um úmro lmado d srumos gocados os sus prços são gocados caso a caso. Não xs uma daa spcíca m um local d rga. Ns caso a rga é o obcvo prcpal com crca d 9% dss coraos a srm lqudados pla rga.. Prços: Coraos d Fuuros: A coação é a msma para odos os parcpas. pcam xs um prço lm dáro. Cada rasacção é ralzada ao mlhor prço dspoívl a cada momo. 8

20 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Coraos Forward: O prço vara com o amaho da rasacção o rsco d crédo c. Não xs um lm dáro d prço. Não há garaas d qu o prço da rasacção sa o mlhor dspoívl a cada momo. 3. po d mrcado horas d gocação: Coraos d Fuuros: A gocação é crada os mrcados bolssas dura as horas m qu dcorra a sssão. Coraos Forward: A gocação é a locam os mrcados OC ao logo d odo o da. 4. Sguraça os dpósos margs: Coraos d Fuuros: As rgras d mrcado rqurm uma margm cal as varaçõs da lqudação da msma são dáras. É a uma ravalação dára das posçõs abras dos pagamos dos procssos d rga. Coraos Forward: Não há qualqur aus dáro para as luuaçõs dos prços. 5. Volum lqudz d mrcado: Coraos d Fuuros: Nss coraos o volum d gocação é publcado daram. Exs basa lqudz d mrcado. Coraos Forward: A ormação sobr o volum d góco ão é publcada. A lqudz é lmada. 9

21 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado III - ora d carras. Modlos com Carras Ns capíulo vamos rvr o modo como s cuam os cálculos dos modlos com carras. Dsvolvmos o caso gral com N acvos; Ns caso ora-s cov usar oação marcal xplorado as capacdads marcas do Excl mbora o. Noação: Cada acvo pod sr uma acção obrgação ou íulo do souro xmplo aprsado sam cosdradas maéras-prmas é caracrzado aravés d varávs saíscas: E r o roro sprado do acvo ; Var r a varâca do roro do acvo ; Cov r ; r a covarâca dos roros do acvo do acvo. habual. Dsga-s Cov r ; r por Var r por m vz d como é A covarâca dos roros dos acvo com l própro é d aco a varâca dos roros dss acvo Cov r ; r Var r.

22 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado. Méda Varâca dsvo padrão coc d corrlação dos roros msas Em prmro vamos mosrar como calcular o roro msal para cada acvo. do m coa qu s roro msal rprsa a prcagm d roro qu sra gaha por um vsdor qu comprou um acvo o m do mês o vdu o al do mês sgu. Para o mês acvo A o roro msal ra srá ddo como: r A P l PA A Noas acrca do cálculo dos roros: O cálculo dos roros dos acvos é o m mpo coíuo. Uma PA alrava ra sdo usar o roro m mpo dscro. P Esamos a calcular o prço d roro d cada acvo. S o acvo vss pago um dvddo o mês o roro oal ra sdo: A; r A P A Dv l PA ; A No osso xmplo são gorados os dvddos. É assumdo qu os dados dos roros msas um drmado mês rprsam a dsrbução dos lucros para o mês sgu. Assummos

23 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado assm qu o passado os dá alguma ormação acrca do modo como os lucros s comporarão o uuro. Esa suposção prm-os assumr qu a méda dos dados hsórcos rprsa o roro sprado msal d cada acvo. ambém é possívl obsrvar os dados hsórcos aprdr o qu rá sr d uuro a varâca dos roros..3 Covarâca Vrsus Coc d Corrlação A covarâca o coc d corrlação rspcvo md o grau para o qual os roros os dos acvos s movmam m couo. A dção é: Cov ra; rb A A * M [ r E r ] [ r E r ] B B od M é o úmro d poos a dsrbução. ambém podmos calcular o coc d corrlação ddo como: ρ AB qu é ρ AB Cov r ; r A B O coc d corrlação é lvr d udad; Md o grau d rlação lar r os roros do acvo A os roros do acvo B.

24 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Os corrlação: sgus acos podm sr mosrados sobr o coc d O coc d corrlação sá smpr r - : ρ AB S o coc d corrlação é ão os roros dos dos acvos são larm rlacoados com dclv posvo qur dzr: s ρ ão: r A c drb s d > ; AB S o coc d corrlação é - ão os roros dos dos acvos são larm rlacoados com dclv gavo qur dzr: s ρ ão: r A c drb s d < ; AB S o coc d corrlação é zro ão os roros são varávs alaóras ormas dpds. Plo coráro s os roros ão orm varávs alaóras ormas a quvalêca aror ão é válda..4 Méda varâca d uma carra: Caso gral A oação marcal smplca muo a scra do problma com carras. No caso gral m qu xsm N acvos supomos qu a proporção vsda o acvo a carra é doada por γ. É muo cov scrvr as proporçõs da carra como um vcor colua Γ : 3

25 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado γ γ Γ... γ Cosumamos scrvr Γ como sdo a rasposa d Γ : Γ [ γ γ... γ ] N O roro sprado d uma carra cuas proporçõs são dadas por Γ é a méda podrada dos roros sprados dos acvos dvduas. E r p N γ E r Escrvmos E r como um vcor colua dos roros dos acvos E r como um vcor lha dos roros dos acvos: E r E r E r E r E r E r... E rn ]... E r N [ ] d sguda scrvmos o roro sprado d uma carra m oação marcal como: 4

26 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado E r p Γ E r E r * Γ A varâca d uma carra é dada por: N N γ Var r Var r γ γ Cov r ; r p A varâca d cada acvo aparc mulplcada plo quadrado da proporção d acvos a carra; a covarâca d cada par d acvos aparc mulplcada duas vzs plos produos das proporçõs dos acvos dvduas. Ouro modo d scrvr a varâca é usado a oação: Var r Cov r ; r podmos dpos scrvr Var r p γ γ A rprsação mas coómca da varâca d uma carra é aqula m qu s usa a oação marcal. É ambém a rprsação mas ácl d mplmar m Excl para uma carra grad. 5

27 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Nsa rprsação chamamos á marz qu coém lha -ésma lha d Marz Varâca-Covarâca: a -ésma... N... N S... N N... NN A varâca da carra srá pos dada por: Var r Γ * S * Γ p Falm s doarmos por [ γ γ... ] carra por [ δ δ... ] δ N Γ as proporçõs da Γ as proporçõs da carra podmos mosrar γ N qu a covarâca das duas carras é dada por: Cov Γ * S * Γ.5 Carras cs Uma Carra Ec é uma carra composa plos acvos com rsco qu êm a mor varâca dos roros d odas as carras qu êm o msmo roro sprado. Em alrava podmos dzr qu uma carra c m o maor roro sprado d odas as carras qu êm a msma varâca. Mamacam vamos dr carras cs do sgu modo: para um dado roro m uma carra c p é uma carra qu vrca: 6

28 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado m x Var rp Sua a: x r µ E r p x x A rora c é o couo d odas as carras d cêca. Como o mosrado por Blac 98 a rora c é o lugar d odas as combaçõs covxas d quasqur duas carras cs. Eão s { x } y { y.. } x... x orm carras cs s a or uma y N cosa ão a combação covxa da carra z dda por: z ax a y ax ax ax a y a y... a N y N é ambém c. Eão drmamos pram a rora c s cosgurmos corar quasqur duas carras cs. Por s orma uma vz qu coramos duas carras cs x y sabmos qu quasqur ouras carras cs são combaçõs covxas d x d y. S doarmos a méda a varâca d x d y por: { E } { E } r r x r y y s z ax a y ão: E rz ae rx a E ry a a ^ a a Cov x y a z x x a a a x Sy 7

29 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.6 Algumas dçõs prlmars oação No dcorrr ds capíulo vamos usar a sgu oação: xsm N acvos com rsco cada um dos quas com roro sprado E r. A varávl R é o vcor colua dos roros sprados d cada acvo: E R r E R r R... E R N r N S é a marz N N d varâca-covarâca... N... N S... N N... NN Uma carra d acvos com rsco é um vcor colua cua soma das coordadas é um. γ γ Γ... γ N γ 8

30 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Cada coordada x rprsa a proporção vsda m cada acvo com rsco da carra. O roro sprado da carra E r d uma carra é dado plo produo d x por R ; x E r x x * R N x E r A varâca dos roros da carra x x xx é dada plo produo x S N N x x A covarâca r os roros das duas carras x y é dada por Cov r r x é dda plo produo xy x Sy x y. No qu xy yx. N N.7 Algus cocos mporas O sgu gráco lusra quaro cocos. Uma carra possívl asbl porolo é qualqur carra cua soma das proporçõs é. O couo d carras possívs asbl s é o couo das médas dsvo padrão gradas por uma carra possívl; s couo d possbldads é a ára abaxo à dra da curva. ambém podmos dr o couo das carras possívs como sdo: o couo das possívs combaçõs para a ormação d uma carra a parr d um dado couo d 9

31 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado acvos gracam lusrada um uvrso bdmsoal rabldad sprada dsvo padrão. Uma carra c prc ao couo das carras possívs s para um dado roro sprado a sua varâca é míma. D-s o couo das possbldads como sdo a lha qu dlma ss couo poddo uma carra qu sa o couo das possbldads sr c ou ão. Falm uma carra x é uma carra c s maxmza o roro dado pla varâca da carra ou dsvo padrão. Iso é: x é uma carra c s ão houvr oura carra y al qu: E ry > E rx y x. Ao couo d odas as carras cs chamamos Frora c. Fgura : Carras possívs são odas as qu s coram a rora c dro dos lms da hpérbol 3

32 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.8 Algus ormas sobr carras cs CAPM 5 capal ass prcg modl As proposçõs sgus Bga Smo; Facal modllg; hrd Edo são usadas para drvar a rora c rprsação gráca da rdbldad sprada dos íulos xss um dado mrcado m ução do rspcvo rsco ssmáco a scury mar l 6 smada a parr do coc ba a SML possbla o rcohcmo da axa d rabldad xgda a um vsmo d acordo com o su ívl d rsco. Obsrvação: D aco ós procurámos a carra d varâca míma para um dado roro carra c so é procura-s mmzar a varâca com duas rsrçõs: a soma das compos da carra é gual a o roro é drmado. raa-s d um problma d mmzação usual ulzado a écca dos mulplcadors d Lagrag obém-s a solução dcada plo ssma d quaçõs qu s sgu va-s Igrsoll J. E. hory o Facal Dcso Mag. PROPOSIÇÃO : Sa c uma cosa. Usamos a oação vcor colua: R c para doar o sgu 5 Capal Ass Prcg Modl Modlo clássco d avalação d acvos acros m qulíbro daqu para a r smpr dsgado pla sgla CAPM 6 Scury Mar L Lha d Mrcado d Acvos daqu para a r dsgada por SML 3

33 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado E r c E r c R c... E r N c Sa z o vcor qu rsolv o ssma d quaçõs lar R c S ão a solução ds ssma produz uma carra x qu prc ao couo das carras possívs da sgu mara: z Z S { R c} x { x x... } Com x N x N z Z além dsso odas as carras qu prcm ao couo das carras possívs são dsa orma. Iução: Supohamos qu mos uma rca para a qual xs uma ag à rora c com ordada a orgm é gual a c. Chamamos ao poo x a carra c o couo das carras possívs. Fgura : Como corar a carra c o couo das carras possívs Bga Smo; Facal modllg; hrd Edo 3

34 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Esa proposção dá-os um procdmo para corar x ; Além dsso a proposção sablc qu odas as carras qu prcm ao couo das carras possívs m parcular odas as carras cs são rsulado do procdmo dsvolvdo a proposção. Dmosração: Escolhmos uma cosa c raçamos uma ag a curva como s pod obsrvar o gráco acma o poo d rscção é uma carra qu prc ao couo das carras possívs. S x é uma qualqur carra o couo das carras possívs ão xs uma cosa c um vcor z al qu S z R c x z N Z PROPOSIÇÃO : Quasqur duas carras qu prcm ao couo das carras cs são sucs para drmar a rora c. Sam x { x x... } y { y y... } x N duas quasqur carras prcs ao couo a ão odas as rsas carras qu são a curva são combaçõs covxas d x d y. Iso sgca qu dada qualqur cosa a a carra y N ax a y ax ax ax a y a y... a N y N 33

35 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado prc ao couo da rora c. PROPOSIÇÃO 3: Sa y uma qualqur carra prc ao couo das carras cs ão para qualqur carra x m-s a sgu rlação: [ E r c] E r c β x x y Cov x y od β x além dsso c é o roro sprado da carra z cua covarâca com y é zro: y c E r quado Cov x y z PROPOSIÇÃO 4: Quado xs um acvo sm rsco a proposção 3 gralza-s obmos a SML do modlo clássco d avalação d acvos acros m qulíbro CAPM. S xsr um acvo sm rsco com roro r ão xs uma carra prc ao couo das carras cs M al qu: x x [ E rm r E r r β ] com Cov x M β x M 34

36 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Noa: S odos os vsdors scolhrm as suas carras apas basados a méda dsvo padrão da carra ão M é uma carra composa por odos os acvos com rsco a cooma od cada acvo oma uma proporção do su valor. Para orar sa armação mas spcíca: supohamos qu xsm N acvos com rsco qu o valor d mrcado do acvo é V. Eão a carra d mrcado m os sgus psos: Proporção do acvo m M N V h V h PROPOSIÇÃO 5: O coráro da proposção 3 ambém é vrdad. Supohamos qu xs uma carra y al qu para cada carra x s vrca a sgu rlação: [ E r c] Cov x y E rx c β x y com β x ão a carra y é uma carra qu prc ao couo das carras possívs. y.9 Cálculo da rora c Da proposção das combaçõs covxas d duas carras calculadas arorm podmos drmar odo um couo d carras possívs qu obvam clu a rora c. 35

37 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Supoha-s qu p é uma carra com proporção a a carra x com proporção a vsda m y. Eão a méda o dsvo padrão dos roros d p são dados por: E rp E rx a E ry p a a x y a a Cov x y Podmos azr um gráco com algus valors para a méda dsvo padrão obmos a sgu gura: Fgura 3: Frora Ec No qu odas as combaçõs covxas qu prcm ao couo das carras possívs ão êm cssaram d sr cs. Sa por xmplo w uma carra c qu é combação covxa d duas carras cs x y ; Ns caso parcular a proporção d x é 5% a proporção d y é 5%. Exsm ouras carras lusradas qu coêm posçõs curas uma das duas carras x y podm ou ão sr 36

38 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado cs. Eão quao odas as carras cs são combaçõs covxas d quasqur duas carras cs ão é vrdad qu oda a combação covxa d quasqur duas carras é c.. Drmação da carra d mrcado: h Capal Mar L 7 CML Supohamos qu xs um acvo sm rsco com roro sprado r. Sa M a carra c qu é solução do sgu ssma d quaçõs: R r Sz M z N I z Cosdr agora a combação covxa da carra M com o acvo sm rsco r por xmplo supoha qu o pso do acvo sm rsco uma carra é a. Sgu-s qu a quação po do roro dsvo padrão d uma carra são: E rp ar a E rm 7 Capal Mar L Lha d Equlíbro d Mrcado daqu para a r doada por CML 37

39 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado a a a a Cov r y a p rx M m O couo d odas as combaçõs covxas com a é a CML. mara: Rprsada gracam ao logo da rora c da sgu Fgura 4: Frora Ec com a CML Bga Smo; Facal modllg; hrd Edo A carra M é chamada a Carra d mrcado por váras razõs: Supohamos qu os vsdors cocordam sobr a ormação saísca da carra so é o vcor dos roros sprados R a marz d varâca-covarâca S. Supohamos ada qu os vsdors são apas rssados m maxmzar o roro sprado da carra dado o su dsvo padrão. Eão sgu-s qu oda a carra ópma sá a CML. 38

40 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Ns caso a carra M é a úca carra d acvos com rsco cluída m qualqur carra ópma. Cosqum M dv clur odos os acvos com rsco cuo pso d cada acvo sá m proporção com o su valor d mrcado. Iso é: O pso do acvo a carra M N V I V od V é o valor d mrcado d cada acvo. Não srá dícl drmar M quado s cohc r ; mos apas d rsolvr a carra c dada para a cosa c r. Quado r muda coramos uma carra d mrcado dr qu é apas a carra c dada a cosa r.. A SML quado xs um acvo lvr d rsco A proposção 4 gara qu quado xs um acvo lvr d rsco a sgu rlação lar é válda: E [ E r r ] Cov x M β rx r β x M od x M. O Ráco d Sharp O ráco d Sharp sablc uma rlação r o xcsso d rabldad sprada d um drmado acvo rlavam à axa d uro sm rsco o su rsco qu é rprsado plo dsvo padrão da axa d rabldad do acvo 39

41 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado S Ε [ r] r od S é o ráco d Sharp Ε [ r] é a axa d rabldad méda do acvo r é a axa d rabldad do acvo sm rsco o dsvo padrão da axa d rabldad do acvo. Nauralm qu quao maor é o valor do ráco d Sharp mlhor é o dsmpho do acvo. 4

42 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado IV - Aplcação Práca. Caso Práco Ns capíulo vamos aprsar uma aplcação práca m amb Excl qu m por obcvo a cosrução d duas carras uma vsda m maéras-prmas oura vsda m acçõs qu o osso caso cosdrámos quaro íulos do PSI-. Ao logo ds rabalho o sdo rrda a mporâca das maérasprmas a bolsa a srção das msmas a cosrução d carras d modo a azr ac a uma crs qu s m o sr dsd o al d 7.. Acvos ulzados Para cuarmos a smulação ulzámos os sgus acvos: Prólo CLZ8 Comdy Ouro GoldPL Comdy Soa S A Comdy Mlho C A Comdy EDP EDP PL EQUIY BES BES PL EQUIY GALP GALP PL EQUIY MOA/ENGIL EGL PL EQUIY 4

43 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Escolhmos apas quaro acvos para cada carra por s raar d um xmplo d possbldad d xsêca da msma. Além dsso os acvos oram scolhdos d orma a varar scors o caso das acçõs a varar maéras-prmas ambém d orma a mparlhar mmam as acçõs os uuros por xmplo Prólo GALP.. Orgm dos dados Os dados ulzados oram odos rrados da Bloombrg o qu o caso dos acvos m qusão s raduz m valors ao prço d cho P CLOSE P LAS. odos os valors dos acvos m qusão são comprddos um príodo d crca d dos aos 3--6 a No osso xmplo vamos cosdrar uma bas msal por s raar d maéras-prmas cuos coraos são os apas msalm dvdo à droração d drmados produos. Noa: Apsar d sr um príodo curo é um príodo suc para a aáls dmosrava um príodo com alguma sabldad os comporamos obsrvados. S sdss mos mas o príodo ríamos comporamos sgcavam drs..3 Fchro Excl Os cálculos oram odos ralzados com o auxílo do Mcroso Excl são aprsados m axo com a dsgação CAREIRA.LS. 4

44 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.4 Rsulados Com o obcvo d comparar a mlhor rabldad possívl o vsmo m duas carras com acvos acros dsos uma vsda m coraos d uuros sobr maéras-prmas oura sobr quaro acçõs do PSI- comçámos plo cálculo da rora c cosdrado os sgus psos scolhdos alaoram para duas carras Y: Carra 3 4 Carra Y 6 abla : abla com os psos das carras x y para as maéras-prmas acçõs Assm a rora c dos roros das combaçõs das carras Y para maéras-prmas acçõs são dadas plos grácos sgus: Fgura 6 Gráco qu rprsa a rora c msal das combaçõs das carras x y para as maéras-prmas acçõs rspcvam. Sgudam passámos ao cálculo d uma carra úca c d mrcado. A cosa c o scolhda d acordo com a axa d uro xa aual d 5% qu dvdmos por uma vz qu samos a rabalhar com dados 43

45 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado msas. Eão c 4%. As ossas carras d mrcados para os acvos scolhdos êm os sgus psos: A carra scolhda as carras d mrcado M Acvos Psos Acvos Psos Soa EDP Mlho 4895 BES Prólo GALP 656 Ouro MOA/ENGIL abla abla com os psos da carra scolhda as carras d mrcado Além dsso a carra vsda m maéras prmas m como roro 57% como dsvo padrão 563% a carra d acçõs m 339% d méda 9% d rsco. Com ss dados cosgumos a calcular a CML Capal Mar L coorm os grácos m baxo: Cálculo d uma carra úca Cálculo d uma carra úca Roro Sgma Roro Sgma Fgura 6 Gráco qu rprsa a carra úca para as maéras-prmas para as acçõs rspcvam 8 No-s qu s valor é gavo. Já o sudado o capíulo aror a possbldad da carra c cor posçõs curas. 44

46 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Assm o poo d rscção r a hpérbol a rca ag é a chamada carra c d mrcado. Por úlmo zmos a vrcação dos ossos dados bm como das cco proposçõs rrdas o capíulo aror a pága do chro cuo om é ESESML. Cosaou-s qu m ambos os casos carra d maéras prmas carra d acçõs a hpós ula ão é rada ou sa a rgrssão qu sa s o dclv a ordada a orgm axa d uroc são as qu ós supusmos..5 Coclusõs O CAPM Capal Ass Prcg Modl dá-os uma prvsão da rlação xs r rsco roro. Para vrcarmos qual a carra mas aracva ulzámos o chamado ráco d Sharp vr capíulo aror. Aravés ds ráco cocluímos qu o S CMDY 378% S SOCK 4% o qu sgca qu o vsmo m ambas as carras sra comparávl. No ao aalsado mprcam podríamos coclur qu o mlhor vsmo para o caso d um vsdor avsso ao rsco sra a carra d maéras-prmas uma vz qu apsar do roro sr mor 57%CMDY vrsus 563%SOCK ambém o rsco é mor 339%CMDY vrsus 9%SOCK. Com o msmo argumo para um vsdor ão avsso ao rsco o mlhor vsmo sra a carra d acçõs. 45

47 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado V - Modlo d Blac. Modcaçõs ao Modlo d Blac-Schols. Irodução Ns capíulo vamos sudar o modlo d Blac 97 como orma d aprçamo para drvados sobr maéras-prmas. Aprsamos duas dçõs mporas roro volaldad a cosrução do modlo aé chgar à órmula d Blac. Por úlmo é a uma aplcação práca m qu os acvos ulzados são os coraos d uuros sobr o prólo o ouro.. Roros axa d Rabldad A varávl alaóra usada para mdr o rsco d mrcado é a axa d roro ou axa d rabldad d um dado acvo acro. Supohamos por xmplo um horzo mporal d um mês. As axas d roro são mddas dsd o úlmo mês doado por aé ao al do mês corr doado por. O roro arméco é dado por: r P D P P 46

48 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado od: P D - prço do acvo o momo - dvddo pago o momo Quado samos a ulzar horzos mporas mas logos ulza-s a axa d roro gomérca qu é dda m rmos d logarmo do ráco do prço: r P D l P Daqu para a r por qusõs d smplcdad vamos assumr qu ão são pagos dvddos qu smpr qu rrrmos axas d rabldad ou roros sarmos a alar dos roros gomércos. A ulzação d axas d rabldad gomércas aprsam as sgus vaags: Prmro dzm mas m rmos coómcos qu as axas d rabldad armécas. S as axas d rabldad gomércas são ormalm dsrbuídas ão a dsrbução uca pod r prços gavos. A sguda vaagm é qu prmm xsõs m príodos múlplos. 47

49 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Na práca a dsrbução das axas d rabldad é usualm smada rcorrdo a dados hsórcos qu s assumm srm dpds dcam dsrbuídos..d.. S é o úmro d obsrvaçõs podmos obr a sgu smava: - Roro Esprado o roro sprado µ d um acvo dpd do rsco do msmo. Quao maor or s rsco maor é o roro sprado. ˆµ x.3 Volaldad A volaldad md a amplud das varaçõs da coação d uma acvo ao logo do mpo à vlocdad com qu sas s produzm. Ou sa a volaldad é a mdda da ossa crza acrca dos roros d um acvo. Para smar a volaldad d um acvo mprcam o prço do acvo é obsrvado m rvalos xos o mpo dáro smaal msal aual. Sa : Nº d obsrvaçõs S : O prço do acvo o al do -ésmo... rvalo τ : Prazo aé ao vcmo sa 48

50 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado S µ L para... S A smação usual d S para o dsvo padrão d µ é dado por: S µ µ ou S u µ od µ é a méda dos µ. S O própro pod sr smado como ˆ od ˆ. τ ˆ. E o rro-padrão dsa smação pod sr mosrado pla aproxmação 49

51 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado. Mrcados d uuros Sa * S [ ] a ução d um prço d uuros d drmado acvo S para a daa *. A volução dos prços S * é dada pla xprssão d µ d dw > com µ > são úmros ras W [ *] é ução d um procsso Browao ddo um spaço d probabldad Ω F Ρ od W F F úca solução para a Equação Drcal Esocásca SDE é gual a. A xp W µ [ ]. Plo modlo d Blac-Schols o prço uuro d um acvo S é dado pla gualdad: 9 r * S * FS * S [ *] od como habualm scrvmos * F S para doar um prço orward do acvo para a daa *. Esa úlma gualdad é aclm 9 Obsrvação: Podmos armar sas gualdads apas porqu a axa d uro é drmísca. 5

52 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado drvada com ausêca d arbragm os mrcados spo / orward; A sguda gualdad é uma cosquêca d qu a axa d uro é drmísca. S a dâmca dos prços do acvo S é dada pla SDE ds pla órmula d Iô µ S d S dw ão d µ r d dw com r* S dsa orma sasaz com µ r µ. Como os coraos d uuros ão são cssaram assocados a um íulo ísco as como acçõs ou obrgaçõs vamos apas sudar o caso dos coraos d uuros d orma absraca. Iso sgca qu cosdramos como a órmula dâmca dos prços dos uuros. No ao podmos scrvr µ µ o qu sgu. mos ão por qu * F * Ε S F [ *] S S * * Ρ S S * FS * [ *] Β * od B * é ução do prço o momo d uma obrgação d cupão zro com maurdad *. 5

53 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado.5 Fórmula d Blac para Coraos d Fuuros Sa C : R [ ] R a ução dada pla Fórmula d Blac MUSIELA Mar; RUKOWSKI Mar; Margal Mhods Facal Modlg; Sprgr para coraos d uuros: C r N d KN d 3 od d l / ± 4 N é a ução d dsrbução Gaussaa cumulava. As d ormular o prcpal rsulado ds capíulo vamos cosdrar mas uma vz o corao d uuros scro sobr uma acção cua dâmca dos prços sasaz ds µ S d S dw Spo mar S * o rsulado da avalação da opção d uuros 3-4 pod sr corada drcam da órmula d Balc-Schols aravés d S r 5

54 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Iuvam o rsulado surg da smpls obsrvação qu s caso é S quado a opção xpra. Na práca a daa d xpração d uma opção d uuros usualm é a sgur à daa d lqudação do corao d uuros assocado.. < *. Nss caso mos r * r * C S * K S K podmos avalar a opção d uuros como s oss a opção spo. Dsa orma mos a gualdad S * FS * assumdo qu a axa d uro é uma ução drmísca. 53

55 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado VI - Modlo Comparavo Spo-Fuuros. O Modlo Como á o sdo rrdo ao logo d odo o rabalho um corao d uuros a daa é um acordo blaral gocado um mrcado d uuros al como o CBO Chcago Board o rad ou o NYME Nw Yor Mrcal Exchag clbrado um momo zro com daa d xpração sobr uma drmada quadad d uma maéra-prma com drmado prço. Um corao orward a daa m a msma dção qu o corao d uuros mas é gocado gralm m OC. Algumas obsrvaçõs acrca dos coraos d uuros orward: os uuros são usados como subsuos para os mrcados Spo plos hdg uds; os mcasmos da clarg hous por drás dos mrcados d uuros gra os prços d mrcado; um vsdor qu acp uma subda dos prços va comprar uuros; um vsdor qu acp uma quda os prços va vdê-los. As maéras-prmas são cada vz mas aracvas para os vsdors qu as vêm como uma alrava às classs d acvos radcoas acçõs obrgaçõs uscadas pla grad lqudz os baxos cusos d rasacção a ausêca d rsco d crédo. Exsm algumas rlaçõs mporas r os prços dos uuros os prços orward qu passamos a lsar. Sob axas d uro ão-socáscas com ausêca d rsco d crédo os prços orward d uuros para a msma codção maurdad são guas. ambém para axas d uro socáscas podmos ada supor a gualdad dsd qu a covarâca r a drça o prço da maéra-prma a axa d uro sa zro. Para modlar prços d uuros o paradgma prcpal é o modlo ma rvrg GEMAN Hély; Ma Rvrso Vrsus Radom Wal Ol ad 54

56 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Naural Gas Prcs; Brbc Uvrsy o Lodo Ud Kgdom; ESSEC Bussss School Crgy-Poos Frac. D aco aé rcm para a maora das maéras-prmas acrdava-s basado m sudos mpírcos qu os sus prços ão crscm m dcrscm para a méda ao logo do mpo; Esas dm para a ma rvr a um ívl qu pod sr vso como o cuso d produção margal vr [Gma 5]. Um modlo ma rvrg mpora é dado por Ors Uhlbc a quação drcal socásca domada daqu para a r por SDE: ds K θ S d dβ K θ > β é um procsso Browao. Ns modlo S rvr m méda para θ à vlocdad K. Es modlo pod omar valors gavos. Uma alrava ao modlo para qu os prços dos uuros omm valors posvos sscalm para a rga a agrculura é o modlo parcr um procsso Browao gomérco quao m a orma da ma rvrso. Es modlo é dado aplcado a ma rvrg aos roros doma-s por SDE Ors-Uhlbc gomérco: ds S θ - Log S d dβ K θ > β é um procsso Browao. Plo lma d Iô Log S rvr m méda para θ à vlocdad K. Assm s modlo ão oma valors gavos. 55

57 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado. A covc yld A covc yld é a mara d rprsar as vaags do dor dos bs íscos roduzda por Kaldor 939 Worg Uma dção ormal d covc yld é o bíco a qu o dor m dro sobr uma drmada maéra-prma ísca mas ão para o dor d um corao orward. Iso é a covc yld y é uma axa al qu s S é o prço spo o bíco m dólars do dor da maéra-prma o rvalo[ d] é S y d. Um rsulado mpora é qu com ausêca d arbragm a axa d uro cosa r a covc yld y ambém cosa s F rprsa o prço dos uuros ão F S r y. A covc yld gralzada Os acos sgus mosram como são os mrcados d uuros sobr as maéras-prmas os das qu corrm. Assm o volum rasaccoado aé Abrl d 8 crscu crca d 54% passado dos 558 * 6 oladas m 7 para 863 * 6 m gual príodo d 8; o º d coraos qu ão lqudaram m 3 d Mao d 8 o d 9 * 6 barrs m 3 d Dzmbro d 7 ha sdo d * 6 barrs o qu rprsa 4% d crscmo. A prcagm d mlho rasaccoado os EUA cluída m udos d vsmo o d 4% m Jaro 6% m Mao o qu sgca um crscmo d 5% m mos d 5 mss. Ess acos coduzm-os às sgus coclusõs proposa para o sudo aprsado s rabalho. Muos acrdam qu as acçõs dos 56

58 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado spculadors são a causar um dscosso r o valor dos coraos d uuros o valor subac ao acvo qu cada corao é suposo rprsar. É mpora cssáro sudar a volução a lgação r os prços spo os prços uuros. Propomos ão o coco da covc yld gralzada para obsrvar as drças a volução dos prços spo uuros. Dção : A covc yld gralzada é o procsso socásco y al qu r sdo a axa d uro spo uuros a maurdad S o procsso dos prços spo: F o procsso dos prços F S r y qu é: y S L F r : Noa : Obsrv-s qu como a covc yld gralzada s aproxma da axa d uro o prço spo dv aproxmar-s do prço dos uuros. Ivrsam s o prço spo s aproxmar do prço dos uuros a covc yld gralzada aproxma-s da axa d uro spo. Es ómo é vrcado um úmro sgcavo d maéras-prmas. D acordo com sa dção é aprsada a Fgura 9 para os dados rlavos ao prólo à praa. 57

59 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Fgura 7 Grácos rprsavos dos prços dos uuros spo para a praa prólo a covc yld gralzada.3 Os modlos mamácos Para rproduzr o comporamo do procsso dos spo uuros obsrvado para as maéras-prmas acma propomos um modlo d dusão dado plo ssma d SDE para aalsar a volução dos uuros spo. Os prços dos spo dos uuros é dado plo ssma d quaçõs: ds S S df F θs LogF F θ Log S F S d db F d db 58

60 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado é arbráro. O modlo sablc uma dâmca acoplada r o prço spo o prço dos uuros d maurdad. O modlo o calbrado com dados para obr os sgus parâmros. S F S F qu dpdrão d Os rsulados são aprsados a gura sgu: gralzada Fgura 8 Smulação dos prços dos uuros spo para a praa prólo para a covc yld.4 Coclusõs rabalho uuro O modlo proposo aprsa uma boa réplca d odo o comporamo da rlação r os prços dos uuros spo. A covc yld gralzada smada para ambas as maéras-prmas d a dcrscr. É obsrvado 59

61 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado ada qu os roros d logo prazo smados vrcam θ 33 > θ s 5 o qu corma a dscoxão r o valor dos prços dos uuros do spo. No qu dz rspo a uuros rabalhos sobr o modlo srá mpora sudar as proprdads assmpócas do msmo.. a xsêca d uma mdda vara o dsvolvmo d méodos cs para a calbração smação do modlo o bchmarg do modlo cora os prços d mrcado d opçõs dadas por radrs sucoas. F.5 Aplcação Práca Ns poo rmos aprsar uma aplcação práca od ulzarmos o modlo d Blac para o cálculo das Call Opos sobr o ouro o prólo cuas volaldads são calculadas d modos drs o prmro modo é o habual dscro o poo. do capulo V o sgudo é calculado d acordo com o modlo proposo ao logo ds capíulo. Os dados qu ulzámos oram rrados da Bloombrg a prços d cho são comprddos r //3 a 9//8. Irmos rabalhar uma bas dára. As próxmas guras mosram os dados ulzados o cálculo da Call Opo C aravés do modlo d Blac qur para o modlo habual qur para o modlo spo/uuros m qu a úca varávl qu alra é o rrdo-s a prmra abla ao prólo a sguda ao ouro: 6

62 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Dados Modlo d Blac Habual Modlo d Blac aplcado ao modlo Spo/Fuuros F K R LF /K abla 3 abla d dados para a aplcação do modlo d Blac ao uuro sobr o prólo Dados Modlo d Blac Habual Modlo d Blac aplcado ao modlo Spo/Fuuros F K R LF /K abla 4 abla d dados para aplcação do modlo d Blac ao uuro sobr o ouro No-s qu a varação do é míma d um modlo para o ouro o qu ará com qu o valor da Call Opo calculada sa smlha m ambos os casos. Além dsso o-s qu os casos prácos sudados é codção qu o caso do prólo o das para o ouro 5 das vr uscação m axo. As próxmas ablas rprsam o prço da Call Opo quado azmos varar o valor do prço d xrcíco K. 6

63 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado abla d Varação dos K K CModlo habual CModdlo Spo/Fuuros abla 5 abla d varação do valor do prço d xrcíco K para o modlo habual para o modlo spo/uuros sobr o prólo abla d Varação dos K K CModlo habual CModdlo Spo/Fuuros abla 6 abla d varação do valor do prço d xrcíco K para o modlo habual para o modlo spo/uuros sobr o ouro 6

64 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Coclusão Os srumos drvados quado comprddos ulzados adquadam podm grar grads bícos para a cooma m gral. O rabalho aprsado o ralzado ao logo d um ao daí qu hamos qu azr uma brv dscrção hsórca dos acos ocorrdos dura s príodo. Nos as d 7 avzhava-s uma crs acra qu à daa da rga dsa dssração muos avalavam como a maor crs d smpr só comparávl à d 99. Em mados d Março d 8 com os rscos globas gavos para a acvdad coómca qu s ha o sr os úlmos mpos as como: o arrasamo d codçõs aormas os mrcados acros clma d dscoaça r suçõs acras alargamo d sprads d crédo dscalagm das axas d uro moáro ac às axas d uro d rrêca couação da scalada dos prços dos bs rgécos almars; aumo da procura d maéras prmas um aumo gralzado do grau d avrsão ao rsco apoava-s para uma maor xposção por par dos gsors d acvos udos d psõs m maéras prmas para mas d % das suas carras dura plo mos 3 aos. Por ouro lado um úmro crsc d vsdors plaava aumar as suas posçõs curas shor sllg. As maéras-prmas supravam as acçõs as obrgaçõs m rmos d dsmpho arado plaos d psão hdg uds ouros vsdors. Em Porugal produos como o ouro prólo os cras rprsavam uma alrava d vsmo lvado a rabldads qu ulrapassavam os % m 7. 63

65 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado A ora d maéras-prmas dspoívl m Porugal ra cada vz mas dvrscada a apêca dos poruguss por s mrcado m dsvolvmo aumava. É s coxo qu os surg a da d crar uma carra d vsmo cua sua aplcação é a m uuros sobr maéras prmas. Aravés do CAPM cosruímos uma carra qu s basava m maérasprmas dvrscadas ouro prólo mlho soa qu comparámos com o vsmo uma carra d acçõs sobr quaro acvos do PSI- EDP BES MOA/ENGIL GALP. Cocluímos qu o vsmo m qualqur uma sra quval. Mas para um vsdor avsso ao rsco sra prrívl o vsmo m maéras-prmas pos a rlação roro/rsco sra mas avorávl. No caso d um vsdor ão avsso ao rsco o vsmo a carra d acçõs sra provavlm a mlhor scolha mas ra qu r uma posção cura m BES. Numa próxma as rá d sr dsvolvdo o msmo rabalho para valors dsd Março d 8 aé aos ossos das para vrcar s s momo ada s maém a dcsão d vsmo. Propusmos ada um modlo s rr a dados dsd 3 aé Novmbro d 8 d volução acoplado para spo/uuros qu os prmu a comparação d aprçamo r o modlo d Blac um modlo sddo d Blac aravés d smados. Aqu cocluímos qu smado o pla orma habual ou aravés do osso modlo spo/uuros os valors são smlhas varado apas a parr da rcra casa décmal o qu lva a qu o valor da Call Opo calculada ambém sa muo aproxmado. No qu rspa a rabalhos uuros rmos qu dsvolvr dalhadam a smação dos parâmros do modlo m parcular as proprdads saíscas do ão vsado coss assocam ormal. 64

66 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Bblograa BENNINGA Smo; Facal Modlg; hrd Edo HULL Joh C.; Opos Fuurs ad Ohr Drvavs; Fh Edo BJÖRK omas; Arbrag hory Couous m; Scod Edo; Oxord Uvrsy Prss MUSIELA Mar; RUKOWSKI Mar; Margal Mhods Facal Modlg; Sprgr BRAZ Adré; MARINS Eduardo; OLIVEIRA Luís; VENES Nuo; Os srumos drvados; Smulação d um mrcado d uuros d produos agrícolas para Porugal; Juho d BAER Mar; RENNIE Adrw; Facal Calculus; A roduco o drvav prcg; Cambrdg Uvrsy Prss KLEINMAN Gorg; radg Commods & Facal Fuurs; hrd Edo GEMAN Hély; Commods ad Commody Drvavs; Modlg ad Prcg or Agrculurals Mals ad Ergy GEMAN Hély; Ma Rvrso Vrsus Radom Wal Ol ad Naural Gas Prcs; Brbc Uvrsy o Lodo Ud Kgdom; ESSEC Bussss School Crgy-Poos Frac OKSENDAL B.; Sochasc Dral Equaos; 6 h Edo; Sprgr 7 IACUS S.M.; Smulao ad Irc or Sochasc Dral Equaos; Sprgr 8 65

67 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado INGERSOLL J.E.; hory o Facal Dcso Mag; Rowma & Llld Publshrs Ic; 987 KALDOR N.; Spculao ad Ecoomc Sably; h Rvw o Ecoomc Suds; 7; -7; 939 WORKING H.; hory o h Ivrs Carryg Charg Fuurs Mars; Joural Farm Ecoomcs; 3; -8; 948 WORKING H.; h hory o h Prc o Sorag; Amrca Ecoomc Rvw; 39; 54 6; 949 WORKING H.; Fuurs radg ad Hdgg; Amrca Ecoomc Rvw; 43; ;

68 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Ls Irssas hp://darocoomco.com hp:// hp://oraldgocos.p hp://aou.xprsso.p hp://

69 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado Axos 68

70 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado O sudo mamáco do modlo SDE O Comporamo da par drmísca do modlo Aprsamos agora um sudo sobr o ssma drmísco d quaçõs drcas socáscas ordáras qu podm rprsar o comporamo médo das racóras do procsso. Es sudo va-os dar algumas dcaçõs ús rlavas ao comporamo assmpóco das soluçõs do modlo complo. Sugrmos a lraura habual sobr quaçõs drcas ordáras vr [Brho al 78 p.6] [Rhard 98 p.78] para odas as oçõs cssáras s capíulo. d Log K d Log K : d : d θ θ Olhmos para os poos crícos do vcor dado por. O úco zro ds vcor é o poo R θ θ ão há mas zros s prdrmos qu. O Jacobao da rasormação é dado por θ θ θ θ x x x x

71 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado qu m um drma gual a raço gual a zro. As raízs são os corrspods vcors são θ θ θ θ Em coclusão podmos dzr qu como os parâmros são smpr posvos o drma é ambém smpr posvo assm havrá smpr duas raízs ras dsas com sas oposos. Como cosquêca o poo críco do ssma lar é smpr um poo sobrcarrgado qu é sávl ou sa a maora das racóras drão para o o mpo. ambém sabmos com os rsulados habuas da ora da dâmca dos ssmas qu o ssma lar o ssma orgal são opologcam quvals uma vzhaça d poos crícos vr [Rhard 98 p.97].. as racóras do orgal são uma dormação coíua das racóras do ssma lar. Mas ada o ssma é ambém sávl sruuralm vr [Rhard 98 p.99]. Noa : Numa vzhaça d um poo críco rmos um comporamo sávl. Para o ssma com ruído s a volaldad or sucm grad rmos qu as racóras rão salar d uma dvrsdad sávl para oura assm o comporamo drmísco das racóras sará dsausado m cros casos.

72 Msrado m Mamáca Aplcaçõs Ramo Acuarado O ssma SDE por: Cosdrmos o ssma d quaçõs drcas socáscas dado d d K K θ Log θ Log d dβ d dβ 3 Fgura O spaço próxmo do poo críco para os parâmros smados para a praa Um ssma d SDE quval Aravés d uma prmra roca d varávs dadas por mo da ução g :[ [ R R por: