Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais

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1 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais. Justificação da eistência das relações constitutivas 2. Linearidade física e Lei de Hooke 3. Definição de constantes elásticas 3. Módulo de Young 3.2 feito de Poisson 3.3 Módulo de corte (distorção) 3.4 Módulo de volume 4. Definições ligadas ao comportamento do material 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5. Lei de Hook generaliada 5.2 Composição da matri de rigide e de fleibilidade 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas 7. stados planos 7. Tensão plana 7.2 Deformação plana 8. Carga de temperatura 8. Carga de temperatura em estados planos 9. Materiais ortotrópicos 0. Outras designações para comportamento mais geral dos meios contínuos 0. Cedência 0.2 Modelos para o cálculo

2 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206. Justificação da eistência das relações constitutivas plicou-se nos capítulos anteriores que a resposta do Meio Contínuo ao carregamento eprimese via três campos, dois campos tensoriais de 2ª ordem: tensão e deformação; e um campo vectorial: deslocamento. Visto que os campos tensoriais são simétricos, justificou-se, que a descrição das componentes na forma vectorial torna-se mais vantajosa, ou seja temos:,, u que no total corresponde a 6+6+3=5 componentes, funções incógnitas. Para as resolver é preciso estabelecer também 5 equações. As equações definidas até agora são: 3 quações de equilíbrio f 0 6 quações deformação-deslocamento T u Pode-se assim concluir que ainda faltam 6 equações. O significado destas equações é neste momento óbvio, porque até agora não se definiu nenhuma ligação entre a tensão e a deformação e nenhuma característica que assegurava que diferentes tipos de material respondem ao carregamento de maneira diferente. As 6 equações em falta chamam-se, equações constitutivas ou equações tensão-deformação e identificam as relações entre as componentes de tensão e de deformação, de tal maneira que envolvem certas características, que se chamam constantes ou parâmetros do material. Do ponto de vista matemático, a ligação entre 2 tensores de 2ª ordem, têm que envolver um tensor de 4ª ordem. O tensor de propriedades constitutivas é por isso de 4ª ordem. Neste caso, as equações constitutivas só se poderiam escrever na forma indicial de instein, que não foi dada nesta cadeira. A forma matricial seria impossível, porque implicava matri em 4 dimensões. No entanto, as componentes do tensor constitutivo eibem muitas simetrias que permitem reduir o número de componentes a 2, e assim colocar as componentes numa matri simétrica Linearidade física e Lei de Hooke As primeiras tentativas de estabelecer relações constitutivas, usaram ensaios simples. Um ensaio típico desta gama de ensaios é ensaio de tracção de uma barra esbelta. Aplicando uma força de tracção ao provete, assegura-se que o provete desenvolve componente normal de tensão na

3 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 direcção da força aplicada. Ao longo do ensaio regista-se o deslocamento que se transforma em etensão. A força aplicada transfere-se em tensão normal. O gráfico destas entidades costuma ter forma que se mostra na figura em baio, pelo menos para a maior parte de metais. No eio vertical regista-se habitualmente a tensão nominal (convencional, de engenharia, sem levar em conta as variações na área devido à carga aplicada, ou seja o chamado efeito Poisson, que será eplicado a seguir) e não a tensão real, ou seja, a força aplicada divide-se pela área de secção transversal inicial e não instantânea (actual). Por isso o gráfico mostra uma parte decrescente, mesmo quando a força aplicada está sempre a aumentar. Tensão de rotura Patamar de cedência Limite de linearidade Figura - nsaio uniaial de tracção O gráfico representado acima usa os seguintes termos: Limite de linearidade: corresponde à tensão ao nível em que a recta inicial passa a ter forma de uma curva. Ao declive da recta inicial atribuiu-se um significado particular definido como: tan m que chama-se Módulo de elasticidade ou Módulo de Young. Patamar de cedência: corresponde à tensão, ao nível em que a etensão começa a aumentar sem aumento da força aplicada, o que corresponde à parte horiontal da curva do gráfico. Tensão de rotura (ruptura): a máima tensão no gráfico, no entanto a rotura (falta de integridade de provete), ocorre no momento em que a monitoriação está interrompida, ou seja no final da curva. Quando as análises envolvem tensões não muito elevadas, o comportamento do material implementado corresponderá apenas à parte inicial do gráfico representado pela recta. Neste caso, as análises chamam-se fisicamente lineares, ou seja devido da recta do gráfico a relação tensão deformação é linear, o que no caso unidimensional representado pode-se escrever:

4 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 ou sta relação chama-se Lei de Hooke. O módulo de Young é uma medida de rigide e material. Um material mais rígido tem este modulo maisr, o que significa que para mesma deformação sobre de maiores tensões Figura O inverso é uma medida de fleibilidade, o que para mesma tensão deformação maior Figura. Quando além da linearidade física as análises efectuam-se dentro do limite de deslocamentos pequenos e consequentemente deformações pequenas, ou seja, dentro dos limites de linearidade geométrica, as análises chamam-se lineares. As análises lineares são as mais simples, no entanto abrangem uma gama de cálculos suficientemente detalhados para dimensionamento de estruturas. As análises lineares têm uma grande vantagem relativamente às não-lineares, que é a validade de princípio de sobreposição. Às vees, devido à grande utilidade deste princípio, admitem-se pressupostos de tal maneira para se assegurar a linearidade do problema, com o objectivo de usufruir do princípio de sobreposição. No caso de não-linearidade que é impossível evitar, admitem-se coeficientes correctivos no dimensionamento estrutural para se manter aproimadamente a validade do princípio de sobreposição. O princípio de sobreposição permite sobrepor os efeitos de cargas distintas aplicadas a uma estrutura e usar a proporcionalidade da resposta. ste princípio já foi utiliado na cadeira de stática. Significa que: Tendo resposta ao carregamento,, u e ao carregamento ,, u P 2 P na forma de: na forma de: A resposta à combinação de carregamentos P 2 P

5 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 terá a forma de: 2 2 2,, u u 3. Definição de constantes elásticas 3.. Módulo de Young Na análise fisicamente não-linear não é suficiente descrever o comportamento usando somente um único módulo de Young. Distinguem-se por isso módulos tangentes e secantes. Os módulos tangentes são declives das tangentes à curva tensão-deformação. O módulo tangente inicial é declive da tangente que passa pela origem. Outros módulos tangentes têm que ter o nível de tensão definido, depois traça-se uma tangente ao gráfico neste nível. Os módulos secantes têm que ter dois níveis de tensão definidos. No caso do módulo secante inicial, um nível é suficiente porque o outro representa nível ero. stas dependências implicam, que o módulo de Young em análise fisicamente não-linear depende do estado de tensão (ou de deformação) actual feito de Poisson Figura - Módulos tangentes e secantes Quando se descreveu a tensão nominal, chamou-se à atenção, que no ensaio unidimensional de tracção de uma barra, a secção transversal diminui. ste efeito, chamado efeito de Poisson, foi estabelecido muito mais tarde que a Lei de Hooke. feito de Poisson é definido como o facto que durante a aplicação de carga numa direcção, as dimensões nas direcções transversais (perpendiculares à direcção da carga aplicada) também sofrem alterações. Seria de esperar que aplicando uma tracção, as dimensões na direcção da carga aplicada aumentam e nas direcções transversais diminuam. Na aplicação de carga de compressão, os efeitos são opostos. Para se poder quantificar este efeito, introdu-se o número ou o coeficiente de Poisson, que se define como raão entre a etensão na direcção transversal à carga e a etensão na direcção da força aplicada, juntando ainda o sinal negativo. Ou seja

6 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 admitindo que a força foi aplicada na direcção. Figura - plicação do efeito de Poisson Admitindo a distribuição das componentes de tensão e de deformação constantes (uniformes) no provete da figura em cima, admitindo ainda que os efeitos transversais no lugar de encastramento são despreáveis e que a força aplicada pode ser substituída por uma carga estaticamente equivalente e uniformemente distribuída sobre a secção transversal (princípio Saint-Venant que será eplicado no próimo capítulo), pode-se simplesmente escrever que L L, h, h Para uma força de tracção, L 0, h 0 e por isso 0. Parece assim que o número de Poisson deveria ser sempre positivo. Mostrar-se-á ainda neste capítulo que isso não é verdade. Parece também que a parte de volume acrescentada num lado deveria ser retirada no outro lado, mas isso novamente não é verdade. Manter o volume inalterado significa ter números de Poisson iguais a em 2D, e /2 em 3D. Materiais com estas propriedades chamam-se incompressíveis. Valor nulo do número de Poisson, significa que aplicando força numa direcção, esta vai sofrer variações de comprimento, mas as dimensões transversais manter-se-ão inalteradas Módulo de corte (distorção) Da mesma maneira como se introduiu o ensaio de tracção, pode ser definido outro tipo de ensaio, nomeadamente um ensaio de corte. Neste caso a carga aplicada tem que provocar no provete somente a tensão de corte, mas no referencial considerado. Aplica-se assim uma força na direcção tangencial à superfície sobre a qual se assume distribuição uniforme (princípio de Saint- Venant).

7 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Assim F Lb Figura - squema do ensaio de corte Quando o material é suficientemente fleível, pode-se assumir que as arestas verticais após a aplicação da carga mantêm-se rectas. Neste caso, os ângulos originalmente rectos nos planos paralelos ao plano coordenado 0 sofrem uma distorção no valor de u h De modo similar ao ensaio de tracção, pode-se faer o gráfico de tensão de corte versus distorção. No caso do comportamento linear, o declive da recta do gráfico corresponde ao módulo de corte. Figura Gráfico tensão de corte-distorção (definição do módulo de corte) G Usando o referencial da figura, poder-se-ia escrever: G Ou seja, a relação entre as componentes de corte e as distorções, representa comportamento no plano coordenado 0. Ao contrário do anterior ensaio unidimensional que referiu uma relação na direcção da força aplicada, ou seja na direcção do eio coordenado 0.

8 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 No caso do comportamento não-linear, podem-se de modo similar, definir os módulos tangentes e secantes. stas dependências, implicam que o módulo de corte em análise fisicamente não-linear depende do estado de tensão (ou de distorção) actual. Visto que as componentes de deformação não têm unidade, a unidade do módulo de Young e de corte, é igual à unidade de tensão, e o número de Poisson não tem unidade. No entanto, os valores dos módulos costumam ser maiores que os valores comuns de tensões na prática de um 9 engenheiro civil, e por isso a unidade habitual que se usa é GPa 0 Pa. Os valores do módulo de elasticidade referente à gama de materiais tipo aço são à volta de 200GPa e dos betões à volta de 30GPa Módulo de volume Ainda se usa o módulo de volume K, que representa o inverso de deformação volúmica no caso de solicitação, que corresponde à tensão volúmica unitária; a relação constitutiva neste caso é V K m 3m e será deduida em seguida. Os módulos definidos até agora, ou seja de Young, de corte e de volume e o número de Poisson chamam-se constantes elásticas do material. 4. Definições ligadas ao comportamento do material m análise linear os parâmetros de material não dependem do estado actual de tensão ou de deformação. Bastava assim organiá-los dentro de uma matri 66 para definir as equações constitutivas. C D C D Nesta descrição C chama-se matri de rigide e D matri de fleibilidade. stas designações são as mais antigas que foram usadas, mas não são únicas. Para matri de rigide usa-se também como generaliação de designação do módulo de Young, ou K. Para matri de fleibilidade usa-se também C de compliance ou F de fleibilidade. Visto que a designação C pode servir, quer para rigide, quer para fleibilidade, é preciso ter cuidado e prestar atenção ao significado e não à letra que a descreve.

9 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Torna-se indispensável definir quantas constantes de material são precisas para descrever correctamente a ligação entre as componentes de tensão e de deformação, para poder construir a matri de rigide ou de fleibilidade, que são mutuamente inversas. Para isso é preciso introduir definições de tipos de material. m primeiro lugar é preciso distinguir os materiais em que as propriedades mudam ou não com a posição. Define se: Material homogéneo: os parâmetros que descrevem o comportamento de um material homogéneo não variam com a posição, ou seja, não são dependentes das coordenadas,,. Como eemplos destes materiais podem-se mencionar metais. Outros eemplos dependem da escala em que se fa a análise. Por eemplo, betão, solos e rochas considerados em escala grande (dimensões em metros) são homogéneos. m escalas mais pequenas (dimensões em centímetros ou menores) nota-se estrutura do material composto de várias componentes e não é possível considerá-los como materiais homogéneos. Material heterogéneo: os parâmetros que descrevem o comportamento de um material heterogéneo variam com a posição, ou seja, são dependentes das coordenadas,,. Um eemplo típico é um compósito, que é um material constituído de várias fases de materiais diferentes (associação de dois ou mais materiais). As definições em cima não afectam o número dos parâmetros necessários para descrever o comportamento, apenas estabelecem se estes parâmetros são dependentes da posição ou não. As definições que são necessárias para estabelecer o número mínimo de parâmetros, são ligadas à comparação de comportamento de um dado material em várias direcções. Define-se: Material isotrópico: material que eibe comportamento igual em todas as direcções. Material ortotrópico: material que eibe comportamento diferente em três direcções mutuamente perpendiculares e os planos formados por estas direcções são planos de simetria. Material anisotrópico: material que eibe comportamento diferente em cada direcção. Caso típico de um material ortotrópico é, madeira, betão armado e compósitos reforçados por fibras da maneira que é possível estabelecer os eios de ortotropia. Materiais verdadeiramente anisotrópicos não são muito comuns, e para a sua descrição precisavam de 2 constantes diferentes. No entanto, pode-se comprovar que os materiais isotrópicos precisam para a sua descrição apenas dois parâmetros. Como já foram definidos 4, podem-se escolher 2 e usá-los para a construção de matries de rigide ou de fleibilidade. Os restantes 2 parâmetros são dependentes dos 2 já escolhidos. Na prática de engenharia civil, costumam-se escolher o módulo de Young e o número de Poisson. As equações que descrevem as relações constitutivas, ou seja equações tensão-deformação, chamam-se neste caso Lei de Hooke generaliada.

10 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5. Lei de Hook generaliada Como foi dito anteriormente, neste caso a matri de rigide ou de fleibilidade pode ser construída usando apenas duas constantes elásticas, que não dependem da posição devido à homogeneidade. Devido à isotropia, a matri de rigide ou de fleibilidade é igual em cada referencial e não é preciso de calcular as componentes nos referenciais rodados como no caso de tensão ou de deformação. Pode-se comprovar que as direcções principais de tensão e de deformação coincidem, inclusive a ordem. 5.2 Composição da matri de rigide e de fleibilidade Voltando às definições do número de Poisson e do módulo de Young, pode-se concluir que a etensão por eemplo na direcção do eio coordenado 0 corresponderá à soma de três valores, que são as contribuições das tensões normais nas três direcções, que devido ao princípio de sobreposição podem ser consideradas separadamente. Assim é possível aplicar a tensão na mesma direcção, ou seja, o que causa a etensão definida via a lei de Hooke /. Aplicando a tensão numa outra direcção, por eemplo, a etensão toma o papel da etensão na direcção transversal relativamente à tensão considerada, e por isso a contribuição à componente entra via efeito de Poisson como /. Análogamente para aplicação de pode-se concluir que a contribuição à etensão é /. m resumo: e análogamente para restantes etensões. No ensaio de corte concluiu-se que G e análogamente para restantes planos coordenados. stas duas relações permitem concluir que matri de fleibilidade de um material isotrópico podese escrever na forma:

11 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 D D 0 0 D 2 m que os blocos 0 são blocos 33 de eros e os restantes blocos são definidos como D e D G 0 0 Neste caso a matri de rigide tem a forma semelhante. 0 0 C 0 C, 0 C2 C 2, C2 G Chama-se à atenção que no caso de componentes de corte e distorções, em cada plano coordenado, cada componente de tensão de corte está ligada à sua correspondente componente de distorção, no entanto, relativamente às componentes normais e etensões isso não se verifica. Tensão normal na direcção do eio coordenado 0 provoca etensões em todas as três direcções e vice versa. Foi dito anteriormente que para descrição de um material isotrópico seriam precisas apenas duas constantes, no entanto as relações em cima usam três. Pode-se comprovar que para assegurar a isotropia, ou seja, propriedades iguais em todas as direcções, o módulo de corte tem que ter a forma G 2 sta equação chama-se também, condição de isotropia (necessária e suficiente). A dependência do módulo do volume nas outras constantes, nomeadamente no módulo de Young e no número de Poisson pode ser comprovada da forma seguinte: somam-se as primeiras 3 equações constitutivas a soma dá

12 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, m m m, ou seja m V 3 2 comparando com V m 3m K pode-se concluir que K 3 2 Posteriormente comprovar-se-á que os módulos têm que ser positivos. Resumindo, das relações que se obtiveram K 3 2 e G 2 pode-se concluir que o número de Poisson tem que verificar os limites seguintes / 2 Recorda-se que o valor / 2 foi atribuído aos materiais que não alteariam o seu volume após da colocação da carga, ou seja materiais incompressíveis. Agora pode-se verificar que o módulo de volume destes materiais tende para infinito, o que comprova que não se verifica alteração de volume após da aplicação de carga. Os valores negativos do número de Poisson, significam que aplicando a carga de tracção numa direcção, as dimensões quer longitudinal (na direcção da carga) quer transversais (nas direcções perpendiculares à direcção de carga) aumentam. Um eemplo deste material mostra-se na figura seguinte, este material é composto pelas barras rotuladas. É fácil de imaginar, que aplicando a carga na direcção horiontal a forma da figura que se chama favos de mel invertidos, passa a ter a forma de favos de mel, ou seja vai aumentar na direcção vertical.

13 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Figura emplo do material de número Poisson negativo No entanto os materiais que se usam na prática de um engenheiro civil têm o número de Poisson positivo, metais à volta de 0,3 e betões à volta de 0,2. Como foi dito anteriormente, para descrição de um material isotrópico podem-se escolher 2 constantes de material. Além da escolha de módulo de Young a do número de Poisson eplicada acima, eistem outras possíveis descrições frequentemente usadas. A descrição introduida por Lamé usa ainda outra constante, constante de Lamé e para módulo de corte G usa. sta formulação simplifica a forma de matri de rigide, cujo primeiro bloco tem depois a seguinte forma: C Comparando com a forma anterior C 2 vê-se imediatamente que 2 basta então comprovar, que com esta definição a componente diagonal verifica a sua forma, ou seja

14 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, Separação das partes volúmicas e desviatóricas Outra formulação escolha o módulo de corte e o módulo de volume. sta tem várias vantagens na descrição de energia de deformação. O primeiro bloco da matri de rigide tem depois a forma K 4 G / 3 K 2 G / 3 K 2 G / 3 C K 2 G / 3 K 4 G / 3 K 2 G / 3 K 2 G / 3 K 2 G / 3 K 4 G / 3 Para verificar que também esta formulação é idêntica às outras, podem-se comparar directamente os termos diagonais K G e fora da diagonal K G Como foi dito em cima, esta formulação tem vantagens na descrição da energia de deformação. stas vantagens são ligadas ao facto, que se conseguem separar as partes de energia de deformação que corresponde à alteração de volume e à alteração de forma. sta separação tem vantagens na definição de critérios de cedência e de rotura. Vai-se em seguida mostrar esta separação nas relações constitutivas. Isso significa que eistem relações constitutivas que ligam apenas as partes volúmicas de tensão e de deformação, e depois outras que ligam apenas as partes desviatóricas. A ligação das partes volúmicas já foi estabelecida como: K m V Recorda-se que a parte volúmica do tensor das tensões foi definida como: V I m em que I é a matri unitária e que V 3 m A ligação das partes desviatóricas vai-se comprovar na forma: D D 2G Nesta formulação usa-se a posição das componentes de tensão e de deformação na forma matricial, o que representam os parenteses.

15 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 A ligação das componentes fora da diagonal é óbvia, por eemplo: 2G G A ligação das componentes diagonais significa que por eemplo: D D 2G 2G m m Usado a equação já comprovada 3K 2G m m 3K 2G K G 2 K G K G K G que é relação verídica, o que finalia a prova. O invariante que se usa para a definição de energia de deformação é T ou seja, o produto interno entre a tensão e a deformação escritas na forma vectorial. Vai-se provar que é possível separar este produto na parte volúmica e desviatórica, ou seja em alteração de forma e de volume. 2 D D T : D D m 2 D D 3 mm : KV 2 G : K 2G Na descrição em cima, o símbolo : significa produto interno entre matries, ou seja no caso de matries 22 isso implica a b e f : ae bf cg dh c d g h A relação anterior, implica que separando a tensão e a deformação na parte volúmica e desviatórica, os termos cruados, ou seja o produto interno da parte volúmica de tensão com a parte desviatórica de deformação, é nulo, e vice versa. A prova é feita da maneira seguinte:

16 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 T T T m m m m m m m m m m m T m Na equação em cima, entre parenteses a tensão e a deformação é separada na parte volúmica e desviatórica. Depois: T m m m m m m 3mm T m m m m m m D D : T m m m m m m m m m m m m m 3 m T m m m m m m m m m m m m m 3 m o que finalia a prova.

17 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, stados planos Muitas vees é possível simplificar a análise e redui-la para duas dimensões. Isso acontece quando, nem forma, nem propriedades do material do meio contínuo, nem o carregamento depende de uma direcção, a que se pode atribuir o eio coordenado 0, por eemplo. Infelimente não é possível nestes casos simplesmente reduir as componentes de tensão e de deformação, e tem que se distinguir dos casos: tensão plana e deformação plana. 7. Tensão plana Os eemplos em que a componente de tensão na direcção do eio coordenado 0 é nula ou pode ser assumida como nula, correspondem aos estados de tensão plana. Isso acontece por eemplo em componentes estruturais de espessura fina ou nas superfícies de componentes. Resumindo, como nada depende do 0, as componentes de tensão 0. Quando ainda é possível admitir que 0, as componentes de tensão não nulas, estão contidas somente no plano coordenado 0. Neste caso é vantajoso escrever as relações constitutivas que usam a matri de fleibilidade e tirar outras conclusões para simplificações. / / / / / / / / / / G / G / G A forma em cima permite concluir que a matri de fleibilidade poderá ser reduida e a relação constitutiva simplificada a / / 0 / / / G em que / / 0 red D / / / G foi obtida cortando linhas e colunas 3,4,5. Verifica-se ainda que 0, mas tem que ser diferente de ero, para não violar as relações constitutivas. Assim

18 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 No entanto as relações constitutivas com a matri de rigide, não se podem obter pela redução da matri de rigide, mas pela inversa da matri de fleibilidade reduida, ou seja d / d / 0 red D d / d / G em que d representa inverso de terminante do primeiro bloco de descrição por blocos tem-se: D red, ou seja 2 2 /. Na 2 e G Assim pode-se simplificar a relação para deformação, ou seja e eprimi-la usando outras componentes de 2 Chama-se à atenção que a forma em cima representa um invariante. 7.2 Deformação plana Os eemplos em que a componente de deformação na direcção do eio coordenado 0 é nula ou pode ser assumida como nula, correspondem aos estados de deformação plana. Isso acontece por eemplo em componentes estruturais de espessura grossa (barragens) em é praticamente impossível detectar variações desta espessura grossa. Resumindo, como nada depende do 0, as componentes de deformação 0. Quando ainda é possível admitir que 0, as componentes de deformação não nulas estão contidas somente no plano coordenado 0. Neste caso, é vantajoso escrever as relações constitutivas que usam a matri de rigide e tirar outras conclusões para simplificações.

19 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, G G G A forma em cima permite concluir que a matri de rigide poderá ser reduida e a relação constitutiva simplificada a G em que red C 2, red C 2 G, C 0 red red C red 0 C 2 foi obtida cortando linhas e colunas 3,4,5. Verifica-se ainda que 0, mas tem que ser diferente de ero, para não violar as relações constitutivas. Assim 2 No entanto, as relações constitutivas com a matri de fleibilidade não se podem obter pela redução da matri de fleibilidade, mas pela inversa da matri de rigide reduida, ou seja red C 0 red C red 0 C 2 em que:

20 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 e red C / G 2 2 red 2 2 C Assim, pode-se simplificar a relação para e eprimi-la usando outras componentes de tensão, ou seja 2 2 Chama-se à atenção que a forma em cima representa um invariante. Como resumo desta parte, tem que se salientar que estados planos não correspondem um ao outro ou seja, quando se verifica o estado de tensão plana ( 0 ), não se verifica o estado da deformação plana, porque 0, e vice versa. Recorda-se, que os estados planos foram introduidos principiante com o objectivo de simplificar o problema. Isso não inviabilia a utiliação das equações em 3D, introduindo correctamente as componentes nulas e não nulas. 8. Carga de temperatura A aplicação do campo de temperatura constante aos meios contínuos causa epansão uniforme (ou seja de volume), desde que não há constrangimentos. Já no ensino secundário ensinou-se que uma barra sujeita ao aumento de temperatura T altera o seu comprimento pelo L TL em que L corresponde ao comprimentos original e ao coeficiente de epansão térmica de unidade º C ou deg. É preciso de ter cuidado com os sinais e calcular correctamente a variação de temperatura T T T fin ini que poderá ter sinal negativo, o que causará diminuição de comprimento ou redução do volume em 3D. Assim, pode-se concluir, que a variação de temperatura afectará apenas as componentes de etensão e não as componentes de distorção. Define-se etensão térmica como:, T T, T, T T em que o número significa que se consideram componentes do primeiro bloco, ou seja etensões. A deformação térmica tem a forma:

21 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 T T, T, T,0,0,0 T Deste modo a deformação vai ser composta de duas partes: elástica (que foi utiliada até agora) e térmica. Ou seja D T T que pode ser reduido aos primeiros blocos D,, T, T visto que a relação constitutiva entre as componentes de tensão de corte e distorções fica sem alterações. T D T D T T As relações inversas podem ser determinadas do modo seguinte: D ou seja T D T C T C T C T C T C T C T T o que pode ser escrito como C 2 T,, 8. Carga de temperatura em estados planos Quando a carga de temperatura actua em estados planos, é preciso ter cuidado com os coeficientes a usar juntamente com a etensão térmica. Regra geral é possível reduir as

22 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 equações, tal como foi feito na parte de eplicação relativa aos estados planos e depois as inverter. No caso de tensão plana, foi deduido que se podem reduir relações constitutivas que usam a matri de fleibilidade, ou seja red T D T neste caso a relação inversa é T red D T red red T D D T red D já foi calculada antes como D red 2 por isso T T T T Relativamente à componente, pode-se mostrar que T T T T T No caso de deformação plana, foi deduido que se podem reduir relações constitutivas que usam a matri de rigide, ou seja red T C 2 T neste caso a relação inversa é red T C 2 T

23 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 red red T C C 2 T red C já foi calculada antes como red C por isso T 2 T T T Relativamente à componente T 2 2, pode-se mostrar que T T T T Materiais ortotrópicos Simetria de material, roda-se e resposta igual. Isotrópicos: cada plano é um plano de simetria. Orto têm três planos de simetria. Como foi definido anteriormente, materiais ortotrópicos têm 3 direcções de ortogonalidade ao longo das quais as propriedades são diferentes. Além disso, cada plano formado pelas duas direcções de ortogonalidade forma um plano de simetria de propriedades, o que permite descrever o comportamento dos materiais ortotrópicos da maneira muito semelhante como o comportamento dos materiais isotrópicos. A diferença fundamenta-se apenas em número de constantes necessárias: eistem 3 módulos de Young, diferentes a cada direcção de ortotropia, eistem 3 módulos de corte, diferentes em cada dos 3 planos de ortotropia e não eiste nenhuma relação entre os módulos de Young e os módulos de corte. Relativamente aos números de Poisson, estes têm que admitir 2 índices, relacionados com a direcção da carga aplicada e a direcção transversal à carga. Define-se: j ij i j i

24 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 ou seja, o primeiro índice corresponde à direcção da carga aplicada e o segundo à direcção transversal. Parece assim que é preciso de definir ainda 6 números de Poisson, porque naturalmente há-de esperar que ij ji Usando o mesmo raciocínio com para os materiais isotrópicos, a etensão por eemplo, terá três contribuições, / devido à aplicação de, / devido à aplicação de e / devido à aplicação de. m resumo: e análogamente para outras etensões. As relações entre componentes tangenciais são óbvias. A forma de matri de fleibilidade é muito semelhante à do material isotrópico: D D 0 0 D 2 Os dois blocos não nulos têm a forma D e D G 0 0 G 0 0 G Contudo, pode-se comprovar que a matri de fleibilidade tem que ser simétrica e por isso a relação ij i ji j redu os números de Poisson a três valores independentes. m resumo, pode-se concluir que é preciso de definir 9 constantes de material. É valido ij ji, no entanto eistem 2 caso em que os valores são iguais, trivialmente quando ij 0 e quando i j. A matri de rigide seria demasiado complicada e por isso não se vai mostrar. Os valores de números de Poisson não são limitados pelo valor / 2 tal como em materiais isotrópicos, mas tem que se verificar que os determinantes das matries constitutivas são positivos. Isso é de facto mesma condição como em materiais isotrópicos. Os materiais cuja matri constitutiva têm determinante negativo são instáveis, e por isso não se encontram numa posição de equilíbrio.

25 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Usando as definições anteriores, torna-se óbvio que a relação constitutiva só poderá ser escrita no referencial que coincide com os eios de ortotropia. Tentar eprimir a matri constitutiva num referencial diferente implicava cálculos bastante complicados, pelo que se aconselha alterar as componentes de tensão ou de deformação. É possível que num plano formado pelos 2 eios de ortotropia se verifica isotropia. Para isso ser válido, por eemplo no plano coordenado 0, é preciso que, mas não é suficiente. A condição de isotropia dita que G 2 recorda-se que neste caso. A consequência do facto de eistir apenas um referencial em que é possível escrever as relações constitutivas, implica que as direcções principais de tensão e de deformação são diferentes. Neste caso, por eemplo, calcular direcções principais de deformação sabendo componentes de tensão no referencial principal implicava: (i) eprimir componentes de tensão no referencial de ortotropia, (ii) calcular componentes de deformação no referencial de ortotropia usando a matri de fleibilidade, (iii) calcular valores e direcções principais de deformação. Para calcular direcções principais de tensão sabendo componentes de deformação no referencial principal implicava: (i) eprimir componentes de deformação no referencial de ortotropia, (ii) resolver sistema de equações para determinar componentes de tensão no referencial de ortotropia usando a matri de fleibilidade, (iii) calcular valores e direcções principais de tensão. Recorda-se que no caso dos materiais isotrópicos as direcções principais coincidem, inclusive a ordem. 0. Outras designações para comportamento mais geral dos meios contínuos No início deste capítulo mostrou-se um gráfico típico de ensaio unidimensional. Verificou-se que o gráfico nem sempre pode ser representado pela recta, no entanto, desde que não se inclui o que acontece na parte de descarga, não se podem definir outros termos que caracteriam o comportamento de material. Nesta secção, todos os gráficos mostram-se em designações versus. No ensaio unidimensional não há dúvida quais são as componentes que se registam no gráfico. Mas no caso de ensaios multiaiais ou para representar um comportamento real, tem que se introduir algumas medidas dos tensores na forma de invariantes, tal como por eemplo a tensão e a deformação de von Mises. Define-se: Comportamento elástico: comportamento elástico significa que quer a parte de carga, quer a parte de descarga, segue sempre a mesma recta ou curva no gráfico tensão-deformação. Carga, significa que a carga que se colocou no provete está a ser gradualmente removida. Os materiais elásticos não apresentam assim nenhumas deformações permanentes; após a descarga completa

26 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 o material está livre de deformações. Quando o gráfico corresponde a uma recta, a elasticidade é linear, quando é curva, a elasticidade é não-linear. Figura - lasticidade linear e não-linear Pode-se assim concluir que os estados de tensão e de deformação não dependem da história de aplicação de cargas, o que significativamente simplifica as análises. O comportamento não-linear é habitualmente representado pela uma curva côncava. Os comportamentos em que é preciso de seguir toda a história dos carregamentos, são em princípio de dois tipos: os que causam deformações permanentes e os que não têm deformações permanentes, mas perdem energia de deformação via atrito interno (amortecimento). Assim, eistem materiais cuja lei constitutiva, se chama-se lei reversível com histéresis, em que a palavra reversível significa que após da descarga completa as deformações são nulas e palavra histéresis significa que descarga se efectua pelo caminho diferente e a área formada entre as duas curvas corresponde à perca de energia. Figura - A lei reversível com histéresis Comportamento que implica deformações permanentes chama-se comportamento elastoplástico. As deformações que não se eliminam após da descarga chamam-se deformações plásticas, permanentes ou irreversíveis. Verificou-se eperimentalmente que a descarga efectuase pelo caminho linear, no caso da figura em baio é definida pelo declive do módulo de Young inicial, que é o caso bastante comum. A deformação separa-se assim em duas partes, a que é possível recuperar (elástica) e a permanente (plástica). O material após da descarga continua a acumular energia que corresponde à área entre as duas curvas.

27 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, Cedência Figura: Comportamento elasto-plástico O patamar de cedência Y (ield stress) designa o nível de tensão que fa separação entre o comportamento reversível e irreversível. Assim define-se que desde que as cargas e descargas efectuam-se pela relação tensão-deformação, mas abaio do patamar de cedência, não há deformações permanentes, consequentemente a história de carregamentos não é importante e os parâmetros que caracteriam o comportamento do material mantém-se inalterados. Atingindo a cedência, eistem em princípio 3 possíveis comportamentos. ndurecimento: os limites de cedência seguintes aumentam, ou seja, neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva crescente Plasticidade perfeita: atingindo a cedência a deformação aumenta sem limite, mantendo o nível de tensão, ou seja, neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva horiontal Amolecimento: os limites de cedência seguintes diminuem, ou seja neste caso o gráfico a partir de patamar de cedência é representado pela curva decrescente Figura: Comportamento após cedência Mostrou-se eperimentalmente que a maior parte dos materiais têm após cedência comportamento incompressível. 0.2 Modelos para o cálculo

28 Sebenta da Disciplina MMC, Zuana Dimitrovová, DC/FCT/UNL, 206 Nos gráficos anteriores tentou-se mostrar que as dependências tensão-deformação de um material real raramente têm partes perfeitamente rectas. No entanto, para facilitar as análises costumam-se adoptar vários pressupostos. Na designação dos modelos os termos utiliados nos gráficos em baio dividem-se em 2 grupos, os que caracteriam a parte até cedência e os que caracteriam o comportamento pós-cedência: até cedência: elasto: eiste parte elástica, ou seja parte recta definida pelo módulo de Young inicial do valor finito rígido: módulo de Young tende para infinito, esta parte do gráfico é vertical pós-cedência: perfeitamente plástico: gráfico após cedência é representado pela recta horiontal plástico com endurecimento: após da primeira cedência o gráfico continua crescente, com declive menor que inicial Figura: alguns modelos de comportamento usados em análises comuns É importante perceber que após descarga completa o novo carregamento segue o mesmo caminho pelo qual se efectuou descarregamento e depois continua pelo gráfico original. Isso implica que nos comportamentos com endurecimento o patamar de cedência depende da história de carregamentos. Ultrapassando o valor inicial Y,0 o nível de tensão em que começou o descarregamento tomará a função do patamar de cedência novo Y,. m todos os gráficos anteriores a descarga mostrada foi completa. Note-se no entanto que é possível descarregar apenas parcialmente antes de começar um carregamento novo. No entanto nada se altera daquilo que foi eplicado anteriormente, apenas a parte da descarga não atingirá o valor nulo de tensão.