Programa e Metas Curriculares Matemática A

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1 Programa Mtas Curriculars Matmática A Ensino Scundário Cursos Cintífico-Humanísticos d Ciências Tcnologias d Ciências Socioconómicas

2 Programa Mtas Curriculars Matmática A Coordnação pdagógica Hlna Damião Faculdad d Psicologia Ciências da Educação da Univrsidad d Coimbra Isabl Fstas Faculdad d Psicologia Ciências da Educação da Univrsidad d Coimbra Coordnação cintífica António Bivar Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa aposntado Carlos Grosso Escola Scundária c/ 3º Ciclo d Pdro Nuns Filip Olivira Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad Nova d Lisboa Maria Clmntina Timóto Escola Scundária c/ 3º Ciclo Padr Albrto Nto Luísa Loura Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Probabilidads Estatística Consultors Armando Machado Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Cândida Palma Escola Scundária do Lumiar aposntada Carlos Andrad Escola Scundária d Mm Martins Cristina Vigas Escola Scundária d Hnriqus Noguira Filip Tixira Colégio do Sagrado Coração d Maria Luciano Batalha dos Santos Escola Scundária D Filipa d Lncastr Luís Canto d Loura Instituto Suprior d Engnharia d Lisboa aposntado Joana Tls Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad d Coimbra José Carlos Santos Faculdad d Ciências da Univrsidad do Porto Jorg Buscu Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Maria Alic da Silva Martins Agrupamnto d Escolas Artur Gonçalvs Maria Hlna Almida Santos Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad Nova d Lisboa Maria Manula Nvs Figuirdo Instituto Suprior d Agronomia Marília Pirs Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad do Algarv Paula Ris Escola Scundária Padr António Viira Ficha Técnica Página 1

3 Programa d Matmática A Ensino Scundário Cursos Cintífico-Humanísticos d Ciências Tcnologias d Ciências Socioconómicas

4 1 INTRODUÇÃO No âmbito da rvisão curricular iniciada m 2011 cujo sntido é o d lvar os padrõs d dsmpnho scolar dos alunos portuguss m continuidad com o Programa d Matmática para o Ensino Básico homologado plo Dspacho nº 9888-A/2013 publicado no Diário da Rpública 2ª séri nº 143 d 26 d julho d 2013 o prsnt Programa Mtas Curriculars stablcm o conjunto d conhcimntos d capacidads ssnciais qu os alunos dvm adquirir dsnvolvr no dcurso do Ensino Scundário na disciplina d Matmática A Alicrçado na anális d difrnts abordagns qu têm sido adotadas para o nsino da Matmática nst nívl d scolaridad programas avaliaçõs nacionais intrnacionais litratura invstigação cintífica sobr o nsino a aprndizagm da Matmática st documnto prtnd dfinir um padrão cornt qu imprima rigor ao qu é nsinado nas scolas garantindo simultanamnt aos profssors autonomia pdagógica librdad d usar conhcimntos xpriência acumulada para auxiliar os alunos a atingir o su mlhor dsmpnho Em concrto o prsnt Programa foi laborado tndo m conta a informação proporcionada por mais d dz anos d aplicação do Programa antrior No ntanto ao optar-s pla laboração d Mtas Curriculars muitos dos contúdos transvrsais inrnts a um Programa d Matmática do Scundário ncontram-s agora m grand mdida xplicitados o qu lvou por xmplo à constituição do domínio Lógica Toria dos Conjuntos no 10º ano As Mtas Curriculars qu com o Programa formam um documnto único lncam para cada domínio m consonância com os contúdos os objtivos grais a atingir m cada ano d scolaridad Cada um dls ncontra-s dfinido d forma prcisa por um conjunto d dscritors qu apontam para dsmpnhos spcíficos avaliávis qu os alunos dvrão vidnciar para qu sss objtivos s considrm cumpridos O Programa as Mtas Curriculars rspitam a strutura cumulativa qu é caractrística da disciplina d Matmática apoiando-s os novos conhcimntos m outros prviamnt studados adquiridos D acordo com a invstigação rcnt na ára do nsino da Matmática é dsta forma progrssiva qu s pod ir dsnvolvndo a comprnsão ou sja qu s pod ir construindo uma sólida rd d factos concitos rlaçõs procdimntos susctívl d sr mobilizada d forma flxívl m divrsos contxtos O Programa as rsptivas Mtas foram concbidos por forma a forncr aos alunos instrumntos qu garantam um prossguimnto d studos com sucsso tndo m considração qu é st o ramo da Matmática do Ensino Scundário qu dá acsso aos cursos do Ensino Suprior d áras qu rqurm uma sólida formação matmática Nssa concção tivram-s igualmnt m conta as avaliaçõs intrnacionais m qu Portugal participa nomadamnt o PISA o TIMSS O Programm for Intrnational Studnt Assssmnt PISA tm por objtivo avaliar a litracia d Litura Matmática Ciências nos jovns d 15 anos indpndntmnt do ano d scolaridad da modalidad qu frquntam Ainda qu a prtinência dst studo sja indiscutívl srão mais rlvants no quadro do prsnt Programa os prssupostos do Trnds in Intrnational Mathmatics and Scinc Study TIMSS Advancd 2008 Assssmnt Framworks adiant dsignado por TIMSS-Advancd programa d avaliação intrnacional no qual Portugal participará a partir d 2015 cujo objtivo é prcisamnt o d studar os rsultados obtidos plos alunos qu s ncontram no final do Ensino Scundário nas disciplinas d Física Matmática m modalidads dstinadas ao prossguimnto d studos m áras d ciências tcnologias Na dfinição struturação dos domínios cognitivos d contúdos a avaliar o TIMSS-Advancd nvolv todos os paíss Introdução Página 3

5 participants num procsso colaborativo qu passa por uma muito complta dscrição dos tópicos contúdos dos currículos d Matmática d Física dsss paíss No qu s rfr à Matmática os domínios dos contúdos Álgbra Cálculo Gomtria das capacidads cognitivas Knowing Appllying Rasoning ncontram-s dvidamnt contmplados no prsnt documnto curricular conform s xplica nos tópicos sguints No qu diz rspito aos contúdos programáticos a anális dsts lmntos bm como d currículos d outros paíss não participants no TIMSS-Advancd rvla qu a inclusão no Programa d alguns tmas fundamntais atualmnt ausnts do Ensino Scundário m Portugal contribui dcisivamnt para o alinhamnto das opçõs curriculars nacionais com o plano intrnacional Como xmplo rfiram-s os qu constam do domínio Primitivas Cálculo Intgral Procdu-s ainda ao rforço d alguns tópicos como o da aplicação da trigonomtria à rsolução d triângulos ou o do studo d limits d sucssõs d funçõs qu quando trabalhados d forma vaga xagradamnt intuitiva lvam com frquência à formação d concçõs rradas difícis d rvrtr Finalmnt com o objtivo d promovr o conhcimnto da forma como a Matmática vai sndo construída procurou-s justificar m crtas situaçõs a scolha d algumas dfiniçõs consagradas dsta disciplina É por xmplo o caso da xtnsão das dfiniçõs das razõs trigonométricas studadas no Ensino Básico a ângulos rtos obtusos intimamnt ligada nst Programa à Li dos snos ao Torma d Carnot qu prmitm rsolvr triângulos d forma simpls sistmática atividad ssa qu constitui o propósito primitivo da Trigonomtria No rspito pla strutura intrínsca da Matmática do método qu a caractriza procurou-s igualmnt dsnvolvr no aluno o gosto por sta disciplina milnar nas suas divrsas vrtnts como o carátr organizador agrgador d conhcimnto na sua xprssão mais abstrata ou a ficácia d qu s rvstm os instrumntos matmáticos quando aplicados ao studo do mundo ral O calndário d aplicação dst Programa stá dfinido no Dspacho nº /2012 d 14 d dzmbro stando prvista para o ano ltivo a sua implmntação no 10º ano d scolaridad prossguindo nos anos sguints para os 11º 12º anos d scolaridad Introdução Página 4

6 2 FINALIDADES DO ENSINO DA MATEMÁTICA Como finalidads da disciplina d Matmática no Ensino Scundário salintam-s a struturação do pnsamnto a aplicação da Matmática ao mundo ral A struturação do pnsamnto o dsnvolvimnto do raciocínio abstrato Tal como é rfrido no Programa d Matmática do Ensino Básico a aprnsão hirarquização d concitos matmáticos o studo sistmático das suas propridads a argumntação clara prcisa própria dsta disciplina têm um papl primordial na organização do pnsamnto constituindo-s como uma gramática basilar do raciocínio hipotético-ddutivo O trabalho dsta gramática contribui para alicrçar a capacidad d laborar análiss objtivas cornts comunicávis Contribui ainda para mlhorar a capacidad d argumntar d justificar adquadamnt uma dada posição d dttar falácias raciocínios falsos m gral Tratando-s d uma capacidad indispnsávl a um bom prcurso scolar ou profissional m qualqur ára do conhcimnto o dsnvolvimnto do raciocínio abstrato dv sr considrado como uma finalidad m si A modlação a aplicação da Matmática ao mundo ral Os instrumntos matmáticos são indispnsávis à concrtização d modlos qu prmitm dscrvr intrprtar prvr a volução d um grand númro d sistmas rais cujo studo s pod insrir nas mais divrsas áras do conhcimnto D um ponto d vista histórico é possívl afirmar qu alguns concitos cntrais da Matmática foram dsnvolvidos com o propósito d srm utilizados na anális d crtos fnómnos naturais O Programa dá spcial rlvância a divrsas aplicaçõs da Matmática prscrvndo por xmplo xplicitamnt a aplicação do cálculo difrncial à cinmática do ponto ou das progrssõs gométricas ao cálculo d juros o qu prmit m particular obtr uma intrprtação concrta do númro d Npr A st propósito é important rfrir qu a modlação matmática não consist m associar d forma arbitrária sm qualqur critério ou justificação razoávl uma dada função matmática a uma dada grandza Procdr dssa forma é transmitir aos alunos uma visão dturpada d como s pod d facto aplicar corrtamnt a Matmática ao mundo ral Por xmplo a função xponncial é spcialmnt indicada para modlar o dcaimnto d uma substância radioativa ou o crscimnto d uma população d bactérias porqu m ambas as situaçõs a anális do fnómno m studo prmit concluir qu a taxa d variação da grandza obsrvada pod sr considrada dntro d crtas condiçõs proporcional à quantidad qu stá num dado momnto prsnt numa amostra o qu s traduz ao utilizar-s um modlo basado m funçõs difrnciávis pla proporcionalidad ntr a função qu rprsnta o fnómno a rsptiva drivada Uma tal justificação ncontra-s xplicitamnt prvista no Programa D forma análoga prvê-s no 12º ano o tratamnto d situaçõs m qu uma função é proporcional com constant d proporcionalidad ngativa à rsptiva drivada d sgunda ordm É dsta forma possívl justificar a utilização d funçõs trigonométricas na modlação d alguns sistmas qu xibm comportamnto oscilatório Em particular é proposto studar nst contxto a forma como a sgunda Li d Nwton a Li d Hook prmitm dduzir qu crtos sistmas nvolvndo massas atuadas por molas aprsntam um comportamnto d oscilador harmónico Finalidads do Ensino da Matmática Página 5

7 3 OBJETIVOS Os objtivos qu traduzm os dsmpnhos fundamntais qu os alunos dvrão vidnciar ao longo do Ensino Scundário são xplicitados por vrbos a qu s atribum significados spcíficos qu srvm d bas à litura dos dscritors lncados nas Mtas Curriculars Rqurm-s assim os sguints cinco dsmpnhos com o sntido qu s dscrv: 1 Idntificar/Dsignar/Rfrir: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d forma quivalnt 2 Rconhcr: O aluno dv aprsntar uma argumntação cornt ainda qu vntualmnt mais informal do qu a xplicação forncida plo profssor Dv no ntanto sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados nssa xplicação 3 Sabr: O aluno dv conhcr o rsultado mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta 4 Provar/Dmonstrar: O aluno dv aprsntar uma dmonstração matmática tão rigorosa quanto possívl 5 Justificar: O aluno dv justificar d forma simpls o nunciado vocando uma propridad já conhcida No su conjunto d modo intgrado sts dsmpnhos dvm concorrr para a aquisição d conhcimntos factos concitos procdimntos para a construção dsnvolvimnto do raciocínio matmático para a rsolução d problmas m divrsos contxtos para uma comunicação oral scrita adquada para uma visão da Matmática como um todo articulado cornt Conhcimnto d factos d concitos d procdimntos O domínio d procdimntos padronizados dvrá sr objto d particular atnção no nsino dsta disciplina As rotinas automatismos são ssnciais à atividad matmática uma vz qu prmitm librtar a mmória d trabalho d modo qu sta s possa ddicar com maior xclusividad a tarfas qu xigm funçõs cognitivas supriors Por outro lado prmitm dtrminar a priori qu outra informação s podria obtr sm sforço a partir dos dados d um problma o qu possibilita laborar novas stratégias com vista à sua rsolução A mmorização d alguns factos tm igualmnt um papl fundamntal na aprndizagm da Matmática plo qu é incorrto opô-la à comprnsão: mmorização comprnsão sndo complmntars rforçam-s mutuamnt Conhcr factos lmntars nunciados d tormas d mmória prmit também poupar rcursos cognitivos qu podrão sr dircionados para a xcução d tarfas mais complxas No TIMSS-Advancd rlativamnt ao domínio cognitivo «Knowing» considra-s qu os factos propridads lmntars constitum m conjunto a linguagm básica da Matmática a própria fundação do pnsamnto matmático dvndo o aluno sr capaz d os rcordar d forma automática sistmática Rlativamnt aos procdimntos ntnd-s qu: «Os procdimntos formam uma pont ntr os conhcimntos lmntars a utilização da Matmática para a rsolução d problmas rotiniros Os alunos dvm sr ficints prcisos na utilização d uma varidad d procdimntos d cálculo outras frramntas Dvm sabr qu dtrminados procdimntos prmitm rsolvr catgorias intiras d problmas não apnas problmas avulso» Raciocínio matmático O raciocínio matmático é por xclência o raciocínio hipotético- -ddutivo mbora o raciocínio indutivo dsmpnh também um papl fundamntal na atividad matmática uma vz qu prsid à formulação d conjturas Os alunos dvm sr capazs d Objtivos Página 6

8 stablcr conjturas m alguns casos após a anális d um conjunto d situaçõs particulars nomadamnt pla xploração das potncialidads dos rcursos tcnológicos O TIMSS-Advancd no capítulo ddicado à capacidad cognitiva «Rasoning» stablc também qu os alunos dvm sr capazs d utilizar a intuição o raciocínio indutivo basado m padrõs m rgularidads com vista à rsolução d problmas não rotiniros frisando qu sts problmas xigm rcursos cognitivos acima dos ncssários à rsolução d problmas rotiniros ainda qu a rsptiva rsolução stja dpndnt d conhcimntos capacidads prviamnt adquiridas No ntanto tal como também s ncontra cuidadosamnt xplicitado no TIMSS-Advancd os alunos dvrão sabr qu o raciocínio indutivo não é apropriado para justificar propridads contrariamnt ao raciocínio ddutivo pod lvar a conclusõs rradas a partir d hipótss vrdadiras razão pla qual as conjturas formuladas mas não dmonstradas têm um intrss limitado dvndo os alunos sr alrtados para st facto incntivados a justificá-las a postriori Os dsmpnhos rquridos para o cumprimnto dos dscritors prvm qu os alunos da disciplina d Matmática A consigam no final do Ensino Scundário laborar algumas dmonstraçõs com sgurança Rsolução d problmas A rsolução d problmas nvolv da part dos alunos a litura intrprtação d nunciados a mobilização d conhcimntos d factos d concitos d rlaçõs a slção aplicação adquada d rgras procdimntos prviamnt studados trinados a rvisão smpr qu ncssária da stratégia prconizada a intrprtação dos rsultados finais Est ponto é rforçado no TIMSS-Advancd a propósito do domínio cognitivo «Applying» Considra-s a propósito da rsolução d problmas qu os alunos dvm «aplicar conhcimntos d factos matmáticos capacidads procdimntos concitos para criar rprsntaçõs rsolvr problmas» Faz-s ainda notar qu «mbora a rsptiva dificuldad possa variar os problmas a rsolvr no âmbito dst domínio cognitivo nvolvm ssncialmnt a capacidad d slcionar aplicar procdimntos prviamnt studados» Assim a rsolução d problmas não dv confundir-s com atividads vagas d xploração d dscobrta qu podndo constituir stratégias d motivação não s rvlam adquadas à concrtização ftiva d uma finalidad tão xignt Nos nunciados d xrcícios problmas dv tr-s m conta a convniência d uma progrssiva utilização das técnicas princípios qu vão sndo adquiridos procurando-s um quilíbrio ntr a adquação das qustõs propostas a ssa aquisição progrssiva uma ilustração nm smpr possívl d situaçõs intiramnt inspiradas na vida corrnt Dsta manira pod sr convnint m divrsas situaçõs propor problmas dscrvndo situaçõs qu não traduzam d modo plnamnt ralista asptos da xpriência quotidiana dos alunos mas qu sjam particularmnt adaptados aos objtivos do nsino d dtrminadas matérias Comunicação matmática A capacidad d comprndr os nunciados dos problmas matmáticos d idntificar as qustõs qu lvantam pod sr dsnvolvida através da sua xplicitação xplicação bm como da discussão d stratégias qu conduzam à sua rsolução Os alunos dvm pois sr incntivados a xpor as suas idias d modo claro conciso cornt a comntar as afirmaçõs dos sus colgas do profssor a colocar as suas dúvidas Sndo igualmnt a rdação scrita part intgrant da atividad matmática dvm também sr incntivados a rdigir convnintmnt as rspostas xplicando d forma adquada o raciocínio aprsntando as suas conclusõs d forma clara scrvndo m português corrto vitando uma utilização inapropriada d símbolos matmáticos como abrviaturas stnográficas Objtivos Página 7

9 História da Matmática A História da Matmática é um tma qu stá contmplado xplicitamnt m alguns dscritors das Mtas Os profssors dvrão não apnas nsss casos mas também a propósito d outros tmas qu para o fito s rvlm particularmnt adquados nquadrar d um ponto d vista histórico os contúdos abordados Tal atividad para além d ilustrar a forma como a Matmática foi construída ao longo dos tmpos prmit ainda não só uma maior motivação para a aprndizagm como m muitos casos também proporciona uma mlhor comprnsão dos próprios concitos Por outro lado a intração da Matmática com outras áras do conhcimnto como a Astronomia a Física a Biologia ou a Economia constituiu um dos motors ssnciais à volução global das ciências incluindo a própria Matmática plo qu o conhcimnto histórico dssa intração é um fator ssncial para uma comprnsão mais profunda do pnsamnto cintífico Objtivos Página 8

10 4 CONTEÚDOS Em cada ano d scolaridad os contúdos ncontram-s organizados por domínios A articulação ntr os domínios d contúdos os objtivos acima rfridos qu constitum o conjunto d dsmpnhos qu os alunos dvm vidnciar stá matrializada nas Mtas Curriculars Nos quadros sguints aprsntam-s os contúdos a lcionar organizados por anos d scolaridad sugr-s a título não prscritivo o númro d tmpos ltivos qu podrá sr ddicado a cada um dos domínios incluindo-s nss númro as aulas ddicadas à avaliação Atndndo à autonomia atualmnt confrida às scolas no qu s rfr à duração dos tmpos ltivos sclarc-s qu nssas sugstõs s considrou como unidad o tmpo ltivo d 45 minutos 10º ano No 10º ano os domínios d contúdos são cinco: Lógica Toria dos Conjuntos LTC Álgbra ALG Gomtria Analítica GA Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR Estatística EST O domínio Lógica Toria dos Conjuntos pod sr considrado cntral nst ciclo d studos uma vz qu rún tmas fundamntais transvrsais a todo o Ensino Scundário Comça-s por introduzir algumas opraçõs sobr proposiçõs d forma intuitiva no contxto d uma Lógica bivalnt m qu valm os Princípios d não contradição do trciro xcluído Em sguida é studada a quantificação univrsal xistncial d condiçõs a rlação ntr opraçõs sobr condiçõs sobr os rsptivos conjuntos-solução assunto qu já tinha sido visitado d forma mnos spcífica no Ensino Básico É ainda a oportunidad para traduzir numa linguagm própria das torias aqui dsnvolvidas algumas técnicas lmntars d dmonstração como a prova da igualdad ntr conjuntos por dupla inclusão ou a prova d uma implicação plo contrarrcíproco D acordo com os princípios grais d intrprtação das Mtas Curriculars tal como stão nunciados na rsptiva introdução st studo pod naturalmnt sr intgrado no tratamnto d contúdos prtncnts a outros domínios assim como m rvisõs d contúdos d anos antriors No domínio da Álgbra complta-s d forma sistmática o studo dos radicais o qu prmit stndr adquadamnt a noção d potência a xponts racionais mostrar qu as rsptivas propridads algébricas s stndm a potências com st conjunto alargado d xponts Nst domínio ainda s rtoma o studo iniciado no Básico acrca do anl dos polinómios d coficints rais É dfinida a divisão uclidiana aprsntado o Torma do rsto qu prmit m particular provar qu é raiz d um polinómio s somnt s é divisívl por É ainda abordada a noção d multiplicidad algébrica d uma raiz com aplicaçõs à fatorização d polinómios O 10º ano é igualmnt a ocasião para s dsnvolvr o studo da Gomtria Analítica iniciado no Ensino Básico com a introdução dos rfrnciais cartsianos planos o studo das quaçõs cartsianas Contúdos Página 9

11 das rtas Fixada uma unidad d comprimnto um rfrncial ortonormado do plano introduz-s o cálculo da mdida da distância ntr pontos a partir das rsptivas coordnadas o qu constitui um passo ssncial no sntido d tratar d forma ficaz problmas da Gomtria com instrumntos puramnt analíticos Dá-s spcial rlvo ao studo das quaçõs cartsianas d circunfrências lipss cuja dfinição gométrica a partir da propridad focal é aprsntada nst domínio No qu diz rspito ao cálculo vtorial para além das opraçõs d adição d vtors d adição d um ponto com um vtor qu ram já conhcidas dfin-s agora a difrnça d vtors a multiplicação d um vtor por um scalar a noção d norma fixada uma unidad d comprimnto fixado além disso um rfrncial ortonormado introduzm-s as coordnadas d um vtor tratando-s m sguida também d um ponto d vista analítico todas stas noçõs Dpois d s aprsntar o concito d vtor dirtor introduzm-s as quaçõs vtoriais os sistmas d quaçõs paramétricas d rtas do plano Finalmnt é fita uma primira abordagm aos rfrnciais cartsianos do spaço gnralizando-s algumas das noçõs já studadas no plano Inicia-s o domínio Funçõs Rais d Variávl Ral com alguns concitos grais sobr funçõs como a injtividad a sobrjtividad ou a rstrição d uma função a um dado conjunto dfinm-s as noçõs d composição d funçõs d função invrsa d uma função bijtiva Em sguida stablcm-s rlaçõs ntr propridads d funçõs rais d variávl ral como a paridad simtrias dos rsptivos gráficos Estudam-s ainda as transformaçõs gométricas dos gráficos d funçõs obtidas através da adição ou da multiplicação das variávis dpndnt ou indpndnt d uma dada função por uma constant Trmina-s st domínio d contúdos com alguns asptos grais das funçõs rais d variávl ral como a monotonia o sntido d concavidad do rsptivo gráfico ou as noçõs d xtrmo rlativo absoluto Finalmnt no domínio Estatística comça-s por introduzir o sinal d somatório algumas das suas rgras opratórias qu srão útis m divrsas ocasiõs ao longo do Ensino Scundário Em particular podrão sr utilizadas nst msmo domínio nomadamnt aquando da manipulação d médias dsvios-padrão d amostras ou d prcntis noçõs tratadas no 10º ano Para além das dfiniçõs d variávl statística amostra média variância dsvio-padrão prcntil analisam-s as propridads básicas dsts concitos as rsptivas intrprtaçõs m xmplos concrtos Contúdos Página 10

12 10º ano Tabla d contúdos Domínio LTC10 18 aulas Contúdos Introdução à Lógica bivalnt à Toria dos conjuntos Proposiçõs - Valor lógico d uma proposição; Princípio d não contradição; - Opraçõs sobr proposiçõs: ngação conjunção disjunção implicação quivalência; - Prioridads das opraçõs lógicas; - Rlaçõs lógicas ntr as difrnts opraçõs; propridad da dupla ngação; Princípio do trciro xcluído; Princípio da dupla implicação; - Propridads comutativa associativa da disjunção da conjunção propridads distributivas da conjunção m rlação à disjunção da disjunção m rlação à conjunção; - Lis d D Morgan; - Implicação contrarrcíproca; - Rsolução d problmas nvolvndo opraçõs lógicas sobr proposiçõs Condiçõs Conjuntos - Exprssão proposicional ou condição; quantificador univrsal quantificador xistncial sgundas Lis d D Morgan; contraxmplos; - Conjunto dfinido por uma condição; Igualdad ntr conjuntos; conjuntos dfinidos m xtnsão; - União ou runião intrsção difrnça d conjuntos conjunto complmntar; - Inclusão d conjuntos; - Rlação ntr opraçõs lógicas sobr condiçõs opraçõs sobr os conjuntos qu dfinm; - Princípio d dupla inclusão dmonstração d quivalências por dupla implicação; - Ngação d uma implicação univrsal; dmonstração por contrarrcíproco; - Rsolução d problmas nvolvndo opraçõs sobr condiçõs sobr conjuntos ALG10 30 aulas Radicais - Monotonia da potnciação; raízs d índic ; - Propridads algébricas dos radicais: produto quocint d raízs com o msmo índic potências d raízs composição d raízs; - Racionalização d dnominadors; - Rsolução d problmas nvolvndo opraçõs com radicais Potências d xpont racional - Dfinição propridads algébricas das potências d bas positiva xpont racional: produto quocint d potências com a msma bas produto quocint d potências com o msmo xpont potência d potência; - Rsolução d problmas nvolvndo opraçõs com potências Polinómios - Divisão uclidiana d polinómios rgra d Ruffini; - Divisibilidad d polinómios; Torma do rsto; - Multiplicidad da raiz d um polinómio rsptivas propridads; - Rsolução d problmas nvolvndo a divisão uclidiana d polinómios o Torma do rsto a fatorização d polinómios; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação do sinal dos zros d polinómios Contúdos Página 11

13 GA10 54 aulas Gomtria analítica no plano - Rfrnciais ortonormados; - Fórmula da mdida da distância ntr dois pontos no plano m função das rsptivas coordnadas; - Coordnadas do ponto médio d um dado sgmnto d rta; - Equação cartsiana da mdiatriz d um sgmnto d rta; - Equaçõs inquaçõs cartsianas d um conjunto d pontos; - Equação cartsiana rduzida da circunfrência; - Dfinição d lips rsptiva quação cartsiana rduzida; rlação ntr ixo maior ixo mnor distância focal; - Inquaçõs cartsianas d smiplanos; - Inquaçõs cartsianas d círculos; - Rsolução d problmas nvolvndo a noção d distância ntr pontos do plano; - Rsolução d problmas nvolvndo quaçõs inquaçõs cartsianas d subconjuntos do plano Cálculo vtorial no plano - Norma d um vtor; - Multiplicação por um scalar d um vtor; rlação com a colinaridad o vtor simétrico; - Difrnça ntr vtors; - Propridads algébricas das opraçõs com vtors; - Coordnadas d um vtor; - Vtor-posição d um ponto rsptivas coordnadas; - Coordnadas da soma da difrnça d vtors; coordnadas do produto d um vtor por um scalar do simétrico d um vtor; rlação ntr as coordnadas d vtors colinars; - Vtor difrnça d dois pontos; cálculo das rsptivas coordnadas; coordnadas do ponto soma d um ponto com um vtor; - Cálculo da norma d um vtor m função das rsptivas coordnadas; - Vtor dirtor d uma rta; rlação ntr as rsptivas coordnadas o dcliv da rta; - Parallismo d rtas igualdad do dcliv; - Equação vtorial d um rta; - Sistma d quaçõs paramétricas d uma rta; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d coordnadas d vtors no plano a colinaridad d vtors o parallismo d rtas do plano Gomtria analítica no spaço - Rfrnciais cartsianos ortonormados do spaço; - Equaçõs d planos parallos aos planos coordnados; - Equaçõs cartsianas d rtas parallas a um dos ixos; - Distância ntr dois pontos no spaço; - Equação do plano mdiador d um sgmnto d rta; - Equação cartsiana rduzida da suprfíci sférica; - Inquação cartsiana rduzida da sfra; - Rsolução d problmas nvolvndo a noção d distância ntr pontos do spaço; - Rsolução d problmas nvolvndo quaçõs inquaçõs cartsianas d subconjuntos do spaço Cálculo vtorial no spaço - Gnralização ao spaço dos concitos propridads básicas do cálculo vtorial; - Equação vtorial da rta no spaço; - Rsolução d problmas nvolvndo cálculo vtorial no spaço Contúdos Página 12

14 FRVR10 58 aulas Gnralidads acrca d funçõs - Produtos cartsianos d conjuntos; - Gráficos d funçõs; - Rstriçõs d uma função; - Imagm d um conjunto por uma função; - Funçõs injtivas sobrjtivas bijtivas; - Composição d funçõs; - Função invrsa d uma função bijtiva Gnralidads acrca d funçõs rais d variávl ral - Funçõs rais d variávl ral; funçõs dfinidas por xprssõs analíticas; - Propridads gométricas dos gráficos d funçõs; - Paridad; simtrias dos gráficos das funçõs pars das funçõs ímpars; - Rlação gométrica ntr o gráfico d uma função o da rsptiva invrsa; - Rlação ntr o gráfico d uma função os gráficos das funçõs númros rais não nulos Monotonia xtrmos concavidad - Intrvalos d monotonia d uma função ral d variávl ral; caso das funçõs afins caso das funçõs quadráticas; - Vizinhança d um ponto da rta numérica; xtrmos rlativos absolutos; - Sntido da concavidad do gráfico d uma função ral d variávl ral Estudo lmntar das funçõs quadráticas raiz quadrada raiz cúbica módulo d funçõs dfinidas por ramos - Extrmos sntido das concavidads raízs rprsntação gráfica d funçõs quadráticas; - Funçõs dfinidas por ramos; - Estudo da função ; - As funçõs nquanto funçõs invrsas; - Domínio rprsntação gráfica das funçõs dfinidas analiticamnt por ; - Estudo d funçõs dfinidas por ramos nvolvndo funçõs polinomiais módulos radicais Rsolução d problmas - Equaçõs inquaçõs nvolvndo as funçõs polinomiais raiz quadrada raiz cúbica a composição da função módulo com funçõs afins com funçõs quadráticas; - Rsolução d problmas nvolvndo as propridads gométricas dos gráficos d funçõs rais d variávl ral; - Rsolução d problmas nvolvndo as funçõs afins quadráticas raiz quadrada raiz cúbica módulo funçõs dfinidas por ramos a modlação d fnómnos rais Contúdos Página 13

15 EST10 18 aulas Contúdos Caractrísticas amostrais - Sinal d somatório; tradução no formalismo dos somatórios das propridads associativa comutativa gnralizadas da adição distributiva gnralizada da multiplicação m rlação à adição; - Variávl statística quantitativa como função numérica dfinida numa população amostra d uma variávl statística; - Média d uma amostra; propridads da média d uma amostra; - Variância dsvio-padrão d uma amostra; propridads da variância do dsvio-padrão d uma amostra; - Prcntil d ordm ; propridads do prcntil d ordm ; - Rsolução d problmas nvolvndo a média o dsvio-padrão d uma amostra; - Rsolução d problmas nvolvndo os prcntis d uma amostra Página 14

16 11º ano No 11º ano os domínios d contúdos são cinco: Trigonomtria Funçõs Trigonométricas TRI Gomtria Analítica GA Sucssõs SUC Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR Estatística EST Após o studo das razõs trigonométricas dos ângulos agudos ralizado no Ensino Básico o início do domínio Trigonomtria Funçõs Trigonométricas é consagrado a stablcr uma dfinição para o sno o cossno d um qualqur ângulo convxo justificando-s a scolha aprsntada com a motivação d stndr a ângulos intrnos rtos obtusos a Li dos Snos o Torma d Carnot qu prmitm rsolvr triângulos d forma simpls sistmática É também rqurido o uso adquado d uma calculadora cintífica para obtr valors aproximados dos lmntos d triângulos objto d rsolução trigonométrica Aborda-s m sguida o studo dos ângulos orintados gnralizados rsptivas mdidas d amplitud concitos intimamnt associados à noção d rotação gnralizam-s as razõs trigonométricas a sts ângulos introduzindo-s o círculo trigonométrico Após a dfinição do radiano como unidad d mdida d amplitud fica-s apto a dfinir as funçõs rais d variávl ral sno cossno tangnt a studar as rsptivas propridads No domínio Gomtria Analítica introduz-s no 11º ano a noção gométrica d produto scalar d vtors dduzindo-s as suas principais propridads como a simtria a bilinaridad ou a rlação dst concito com a prpndicularidad Fixado um rfrncial ortonormado o produto scalar studa-s também do ponto d vista das coordnadas É important notar qu as propridads das funçõs trigonométricas abordadas no domínio Trigonomtria Funçõs Trigonométricas são fundamntais para uma corrta aprsntação justificação d muitos dsts rsultados Ainda nst domínio complta-s o studo das quaçõs cartsianas d planos no spaço iniciado no 10º ano No domínio Sucssõs após a aprsntação d alguns asptos grais é introduzido o princípio d indução matmática qu constitui um instrumnto fundamntal para o studo d divrsas propridads das sucssõs srvindo ainda d suport tórico à dfinição d sucssõs por rcorrência São studadas as progrssõs aritméticas gométricas bm como o cálculo da soma d squências dos rsptivos trmos A noção d limit é introduzida d forma cuidada Uma abordagm puramnt intuitiva dos limits lva rapidamnt a insuficiências conctuais gravs É pois xigida m situaçõs muito simpls a justificação da convrgência d crtas sucssõs rcorrndo dirtamnt à dfinição É também dsnvolvida d forma bastant complta a álgbra dos limits incluindo uma anális das situaçõs ditas indtrminadas dvndo os alunos justificar igualmnt alguns dsts rsultados No domínio Funçõs Rais d Variávl Ral do 11º ano utilizam-s os concitos introduzidos no domínio Sucssõs para plo procsso atribuído a Hin ficar dfinida a noção d limit d uma função num dado ponto ou m mais ou mnos infinito Nst contxto são ssncialmnt duas as opçõs qu classicamnt s considram para a dfinição d limit num ponto ral consoant o domínio m qu s tomam as sucssõs a tndr para para o fito d tstar a xistência do rfrido limit A opção Contúdos Página 15

17 privilgiada dsd há bastant tmpo no Ensino Scundário m Portugal tm sido a qu consist m considrar d ntr as squências no domínio da função apnas aqulas qu nunca tomam o valor Ou sja tm-s optado plo qu vulgarmnt s dsigna por limit por valors difrnts d Nst programa optou-s pla vrsão altrnativa qu consist m admitir com o msmo objtivo sucssõs qu podm tomar o valor ; considra-s com fito qu sta opção aprsnta divrsas vantagns Em primiro lugar por sr mais simpls d formular prmitir também uma formulação mais simpls da noção d continuidad m sgundo lugar porqu a própria noção d limit por valors difrnts como outras afins como a d limit à squrda à dirita passa a podr sr ncarada como caso particular da noção d limit quando considrada a rstrição da função inicial a um subconjunto do rsptivo domínio A dfinição d limit sgundo Hin qu já é comum no Ensino Scundário prmit d forma bastant imdiata stndr ao caso d funçõs rais a álgbra d limits studada a propósito das sucssõs bm como os tormas d convrgência por comparação como o Torma das funçõs nquadradas qu é uma consquência dirta com sta abordagm do Torma das sucssõs nquadradas qu são studados no 12º ano Aprsnta-s m sguida a noção d continuidad como uma aplicação da noção d limit d uma função o studo das assíntotas m particular no caso do gráfico d uma função racional A noção d drivada é igualmnt introduzida nst domínio fazndo-s uma intrprtação gométrica da drivada d uma função num dado ponto stablcndo-s fórmulas para a soma difrnça produto quocint composta d funçõs difrnciávis calculando-s dirtamnt a partir da dfinição a drivada d algumas funçõs lmntars A ligação ntr o sinal da drivada a monotonia d uma dada função é aqui stablcida invocando-s o Torma d Lagrang para uma das implicaçõs mbora apnas s xija uma intrprtação gométrica dss rsultado Em contrapartida prtnd-s qu o aluno saiba justificar a propridad sgundo a qual s uma função ating um xtrmo num dado ponto m qu é difrnciávl ntão a drivada anula-s nss msmo ponto dsd qu prtnça a um intrvalo abrto contido no domínio da função É também proposta spcificamnt a aplicação da noção d drivada à cinmática do ponto No domínio Estatística studam-s as rtas d mínimos quadrados associadas a uma squência d pontos do plano As coordnadas dsts pontos podm m particular rprsntar os valors d uma amostra bivariada o qu prmit a aplicação dst concito ao studo da corrlação d duas variávis statísticas dfinidas numa msma população Contúdos Página 16

18 11º ano Tabla d contúdos Domínio TRI11 38 aulas Contúdos Extnsão da Trigonomtria a ângulos rtos obtusos rsolução d triângulos - Extnsão da dfinição das razõs trigonométricas aos casos d ângulos rtos obtusos; Li dos snos Li dos cossnos; - Rsolução d triângulos Ângulos orintados ângulos gnralizados rotaçõs - Ângulos orintados; amplituds d ângulos orintados rsptivas mdidas; - Rotaçõs; - Ângulos gnralizados; mdidas d amplitud d ângulos gnralizados; - Ângulos gnralizados rotaçõs Razõs trigonométricas d ângulos gnralizados - Circunfrência trigonométrica círculo trigonométrico; - Gnralização das dfiniçõs das razõs trigonométricas aos ângulos orintados gnralizados às rsptivas mdidas d amplitud; - Mdidas d amplitud m radianos Funçõs trigonométricas - As funçõs rais d variávl ral sno cossno tangnt: domínios contradomínios priodicidad paridad zros xtrmos locais; - Fórmulas trigonométricas d rdução ao 1º quadrant : sno cossno d d ; - Gnralização da fórmula fundamntal da Trigonomtria; - Equaçõs do tipo ; - Inquaçõs trigonométricas com domínio num intrvalo limitado; - Funçõs trigonométricas invrsas; - Rsolução d problmas nvolvndo razõs trigonométricas a dtrminação d distâncias; - Rsolução d problmas nvolvndo funçõs trigonométricas GA11 32 aulas Dcliv inclinação d uma rta do plano - Inclinação d uma rta do plano rlação com o rsptivo dcliv Produto scalar d vtors - Produto scalar d um par d vtors; - Ângulo formado por um par d vtors não nulos; rlação com o produto scalar; - Prpndicularidad ntr vtors rlação com o produto scalar; - Simtria bilinaridad do produto scalar; - Cálculo do produto scalar d um par d vtors a partir das rsptivas coordnadas; - Rlação ntr o dcliv d rtas do plano prpndiculars; - Rsolução d problmas nvolvndo a noção d produto scalar Contúdos Página 17

19 Equaçõs d planos no spaço - Vtors normais a um plano; - Rlação ntr a posição rlativa d dois planos os rsptivos vtors normais; - Parallismo ntr vtors planos; - Equaçõs cartsianas vtoriais sistmas d quaçõs paramétricas d planos; - Rsolução d problmas nvolvndo a noção d produto scalar d vtors; - Rsolução d problmas rlativos à dtrminação d quaçõs d rtas do plano m situaçõs nvolvndo a noção d prpndicularidad; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d quaçõs d planos m situaçõs nvolvndo a prpndicularidad; - Rsolução d problmas nvolvndo quaçõs d planos d rtas no spaço SUC11 44 aulas Conjunto dos majorants conjunto dos minorants d uma part não vazia d - Conjuntos minorados majorados limitados; - Máximo mínimo d um conjunto Gnralidads acrca d sucssõs - Sucssõs numéricas; sucssõs monótonas majoradas minoradas limitadas; - Rsolução d problmas nvolvndo o studo da monotonia a dtrminação d majorants minorants d sucssõs Princípio d indução matmática - Princípio d indução matmática; - Dfinição d uma sucssão por rcorrência; - Dmonstração d propridads utilizando o princípio d indução matmática Progrssõs aritméticas gométricas - Progrssõs aritméticas gométricas; trmos grais somas d trmos conscutivos; - Rsolução d problmas nvolvndo progrssõs aritméticas gométricas Limits d sucssõs - Limit d uma sucssão casos d convrgência d limits infinitos; unicidad do limit; caso d sucssõs qu difrm num númro finito d trmos; - Convrgência limitação; - Opraçõs com limits situaçõs indtrminadas; - Lvantamnto algébrico d indtrminaçõs; - Limits d polinómios d fraçõs racionais; ; - Limits - Rsolução d problmas nvolvndo limits d sucssõs Contúdos Página 18

20 FRVR11 56 aulas Limits sgundo Hin d funçõs rais d variávl ral - Pontos adrnts a um conjunto d númros rais; - Limit d uma função num ponto adrnt ao rsptivo domínio; - Limits latrais; - Limits no infinito; - Opraçõs com limits casos indtrminados; produto d uma função limitada por uma função d limit nulo; - Limit d uma função composta; - Lvantamnto algébrico d indtrminaçõs; - Rsolução d problmas nvolvndo o studo dos zros do sinal d funçõs racionais dadas por xprssõs da forma ond são polinómios; - Rsolução d problmas nvolvndo a noção d limit d uma função Continuidad d funçõs - Função contínua num ponto num subconjunto do rsptivo domínio; - Continuidad da soma difrnça produto quocint composição d funçõs contínuas; - Continuidad das funçõs polinomiais racionais trigonométricas raízs potências d xpont racional Assíntotas ao gráfico d uma função - Assíntotas vrticais assíntotas oblíquas ao gráfico d uma função; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação das assíntotas da rprsntação gráfica d funçõs racionais dfinidas analiticamnt por ; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d assíntotas ao gráfico d funçõs racionais d funçõs dfinidas plo radical d uma função racional Drivadas d funçõs rais d variávl ral aplicaçõs - Taxa média d variação d uma função; intrprtação gométrica; - Drivada d uma função num ponto; intrprtação gométrica; - Aplicação da noção d drivada à cinmática do ponto: funçõs posição vlocidad média vlocidad instantâna d um ponto matrial qu s dsloca numa rta; unidads d mdida d vlocidad; - Drivada da soma da difrnça d funçõs difrnciávis; - Drivada do produto do quocint d funçõs difrnciávis; - Drivada da função composta; - Drivada da função dfinida por intiro; - Sinal da drivada d funçõs monótonas; nulidad da drivada num xtrmo local d uma função; - Torma d Lagrang; intrprtação gométrica; - Monotonia das funçõs com drivada d sinal dtrminado num intrvalo; - Cálculo mmorização da drivada das funçõs dadas plas xprssõs ; - Cálculo da drivada d funçõs dadas por não nulo s ímpar s par; - Cálculo mmorização das drivadas d funçõs dadas por racional Contúdos ; Página 19

21 - Cálculo d drivadas d funçõs utilizando as rgras d drivação as drivadas d funçõs d rfrência; - Equaçõs d rtas tangnts ao gráfico d uma dada função; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d quaçõs d rtas tangnts ao gráfico d funçõs rais d variávl ral; - Rsolução d problmas nvolvndo funçõs posição vlocidads médias vlocidads instantânas mudanças d unidads d vlocidad; - Rsolução d problmas nvolvndo a aplicação do cálculo difrncial ao studo d funçõs rais d variávl ral a dtrminação dos rsptivos intrvalos d monotonia xtrmos rlativos absolutos EST11 8 aulas Rta d mínimos quadrados amostras bivariadas coficint d corrlação - Rta d mínimos quadrados d uma squência d pontos do plano; - Amostras bivariadas; variávl rsposta variávl xplicativa; - Nuvm d pontos d uma amostra d dados bivariados quantitativos; - Rta dos mínimos quadrados d uma amostra d dados bivariados quantitativos; - Coficint d corrlação; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d rtas d mínimos quadrados; - Rsolução d problmas nvolvndo amostras d dados bivariados quantitativos o cálculo intrprtação dos coficints da rta d mínimos quadrados do coficint d corrlação Contúdos Página 20

22 12º ano No 12º ano os domínios d contúdos são st: Cálculo Combinatório CC Probabilidads PRB Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR Trigonomtria Funçõs Trigonométricas TRI Funçõs Exponnciais Funçõs Logarítmicas FEL Primitivas Cálculo Intgral PCI Númros Complxos NC O Cálculo Combinatório é a ára da Matmática ddicada à ralização ficint d contagns Comça-s por stablcr algumas propridads das opraçõs sobr conjuntos m sguida studam-s progrssivamnt arranjos com ou sm rptição prmutaçõs combinaçõs o qu prmit m situaçõs muito distintas ftuar contagns d forma xpdita É igualmnt introduzido o binómio d Nwton o triângulo d Pascal dduzindo-s algumas propridads dos coficints binomiais Após uma primira abordagm mais rstritiva laborada no 9º ano prtnd-s agora no domínio Probabilidads studar d um modo mais gral a noção d probabilidad comçando por s introduzir a noção d função d probabilidad dfinida no conjunto das parts d um conjunto finito da qual a li dita d Laplac studada no Ensino Básico é um caso particular rlacionado com situaçõs d quiprobabilidad É igualmnt abordada a noção d probabilidad condicionada d indpndência d acontcimntos aprsntando-s m particular o Torma da probabilidad total No domínio Funçõs Rais d Variávl Ral complta-s o studo dos limits d sucssõs d funçõs Continua-s ainda o studo das funçõs contínuas das funçõs difrnciávis nunciando-s m particular o Torma d Wirstrass o Torma dos valors intrmédios ou d Bolzano-Cauchy Rlaciona-s também o sinal da drivada d sgunda ordm d uma função com o sntido da concavidad do rsptivo gráfico aprovitando-s para no contxto da cinmática do ponto intrprtar a drivada d sgunda ordm das funçõs posição como uma aclração Aborda-s a qustão da utilização das calculadoras gráficas m particular para a obtnção d valors aproximados d soluçõs d quaçõs nvolvndo funçõs rais d variávl ral aprovitando-s os conhcimntos adquiridos acrca do studo analítico d funçõs para justificar a validad d dtrminados procdimntos analisar criticamnt os divrsos usos qu podm sr fitos dst tipo d tcnologias nst contxto O domínio Trigonomtria Funçõs Trigonométricas no 12º ano é ddicado ao cálculo das drivadas das funçõs sno cossno após o stablcimnto d algumas fórmulas trigonométricas É a oportunidad idal para s introduzir o studo dos osciladors harmónicos analisando-s uma quação difrncial caractrística qu rg o rsptivo comportamnto vrificando-s qu m particular uma tal quação pod sr dduzida da Li d Hook dsd qu s admita a Rlação Fundamntal da Dinâmica o qu prmit vidnciar o carátr d oscilador harmónico d uma mola não submtida a atrito Contúdos Página 21

23 No domínio Funçõs Exponnciais Funçõs Logarítmicas comça-s plo studo do cálculo d juros compostos com o intuito d introduzir o númro d Npr Estudam-s m sguida d forma sistmática as propridads da função dfinida no conjunto dos númros racionais ond argumntando-s com dtrminadas passagns ao limit admitindo alguns rsultados intuitivos mas d dmonstração mais dlicada qu sta função s pod stndr ao conjunto dos númros rais mantndo no ssncial as msmas propridads algébricas Propõ-s dpois o cálculo da drivada da função xponncial partindo do limit qu é admitido mbora s abordm algumas propridads d aproximação squncial da xponncial qu podm sr utilizadas na rsptiva justificação As funçõs logarítmicas são introduzidas como funçõs invrsas das funçõs xponnciais tomadas como bijçõs sobr os rsptivos contradomínios já qu s dmonstra tratar-s d funçõs injtivas Esta abordagm prmit stablcr facilmnt a partir das propridads conhcidas das funçõs xponnciais as propridads algébricas analíticas das funçõs logarítmicas Aborda-s ainda o cálculo d alguns limits qu comparam o crscimnto das funçõs polinomiais xponnciais logarítmicas qu os alunos dvm conhcr D forma análoga ao caso dos osciladors harmónicos também o studo d crtas quaçõs difrnciais linars d primira ordm prmit justificar a utilização d funçõs xponnciais na modlação d inúmros fnómnos como a volução d algumas populaçõs da tmpratura d dtrminados sistmas ou o dcaimnto d uma substância radioativa Considra-s rlvant qu os alunos trminm o Ensino Scundário com algumas noçõs ainda qu não intiramnt formalizadas d Cálculo Intgral já qu m crto sntido s trata d um complmnto ssncial do Cálculo Difrncial Podrão dssa forma construir uma visão mais unificada abrangnt da Anális lmntar É nss spírito qu foi concbido o domínio Primitivas Cálculo Intgral Após a introdução da dfinição d primitiva d uma função do studo d algumas das rsptivas propridads imdiatas é abordada a noção d intgral d uma função contínua não ngativa num intrvalo limitado d forma intuitiva visual rcorrndo à noção d ára utilizando-s propridads lmntars admitidas para sta noção dmonstra-s o Torma fundamntal do cálculo a fórmula d Barrow A dfinição é postriormnt stndida às funçõs contínuas qu altrnam d sinal um númro finito d vzs bm como os rfridos rsultados fundamntais Nst domínio são d modo gral studadas as principais propridads dos intgrais dfinidos analisadas algumas técnicas d primitivação d intgração Finalmnt no domínio Númros Complxos aprsnta-s a motivação histórica para a introdução dos númros imaginários rlacionada com a fórmula d Cardano para a rsolução d quaçõs do trciro grau Introduz-s m sguida o corpo dos númros complxos tndo-s optado por ftuar uma construção algébrica qu consist m munir o conjunto da opração d adição usual d uma multiplicação adquada Comça-s por motivar stas dfiniçõs stablcndo-s prviamnt dtrminadas propridads qu rsultam ncssariamnt das caractrísticas qu s prtnd atribuir aos númros complxos m particular a xistência d um númro cujo quadrado é igual a Trata-s d uma construção concrta qu prtnd vitar algumas das rticências vidnciadas gralmnt plos alunos quanto à vrdadira xistência dos númros imaginários qu stá stritamnt rlacionada com o habitual concito d plano complxo Após a anális das propridads opratórias dos númros complxos é studado m pormnor o grupo multiplicativo dos complxos d módulo stablcndo-s assim uma bas sólida para a rprsntação dos númros complxos na forma trigonométrica postriormnt para a radiciação complxa É ainda studada a rprsntação complxa d algumas transformaçõs do plano como rotaçõs rflxõs translaçõs homottias aprovitam-s as fórmulas d D Moivr para linarizar polinómios trigonométricos o qu prmit stablcr rapidamnt divrsas fórmulas d trigonomtria primitivar algumas funçõs Contúdos Página 22

24 12º ano Tabla d contúdos Domínio CC12 18 aulas Contúdos Propridads das opraçõs sobr conjuntos - Propridads comutativa associativa d xistência d lmnto nutro lmnto absorvnt da idmpotência da união da intrsção propridads distributivas da união m rlação à intrsção da intrsção m rlação à união; - Distributividad do produto cartsiano rlativamnt à união Introdução ao cálculo combinatório - Conjuntos quipotnts cardinais; cardinal da união d conjuntos disjuntos; - Cardinal do produto cartsiano d conjuntos finitos; - Arranjos com rptição; - Númro d subconjuntos d um conjunto d cardinal finito; - Prmutaçõs; fatorial d um númro intiro não ngativo; - Arranjos sm rptição; - Númro d subconjuntos d lmntos d um conjunto d cardinal ; combinaçõs; - Rsolução d problmas nvolvndo cardinais d conjuntos contagns arranjos combinaçõs Triângulo d Pascal Binómio d Nwton - Fórmula do binómio d Nwton; - Triângulo d Pascal: dfinição construção; - Rsolução d problmas nvolvndo o triângulo d Pascal o binómio d Nwton PRB12 20 aulas Espaços d probabilidad - Probabilidad no conjunto das parts d um spaço amostral finito; spaço d probabilidads; - Acontcimnto impossívl crto lmntar composto; acontcimntos incompatívis acontcimntos contrários acontcimntos quiprovávis rgra d Laplac; - Propridads das probabilidads: probabilidad do acontcimnto contrário probabilidad da difrnça da união d acontcimntos; monotonia da probabilidad; - Rsolução d problmas nvolvndo a dtrminação d probabilidads m situaçõs d quiprobabilidad d acontcimntos lmntars; - Rsolução d problmas nvolvndo spaços d probabilidad o studo d propridads da função d probabilidad Probabilidad condicionada - Probabilidad condicionada; - Acontcimntos indpndnts; - Torma da probabilidad total; - Rsolução d problmas nvolvndo probabilidad condicionada acontcimntos indpndnts o Torma da probabilidad total Contúdos Página 23

25 FRVR12 34 aulas Limits Continuidad - Tormas d comparação para sucssõs torma das sucssõs nquadradas; - Tormas d comparação nvolvndo dsigualdads ntr funçõs os rsptivos limits; - Torma das funçõs nquadradas; - Utilização dos tormas d comparação do torma das funçõs nquadradas para dtrminar limits d funçõs rais d variávl ral; - Torma dos valors intrmédios Bolzano-Cauchy; - Torma d Wirstrass; - Rsolução d problmas nvolvndo os tormas d comparação para o cálculo d limits d sucssõs d funçõs a continuidad d funçõs Drivada d sgunda ordm xtmos sntido das concavidads pontos d inflxão - Drivada d sgunda ordm d uma função; - Sinal da drivada d sgunda ordm num ponto crítico idntificação d xtrmos locais; - Pontos d inflxão concavidads do gráfico d funçõs duas vzs difrnciávis; - Intrprtação cinmática da drivada d sgunda ordm d uma função posição: aclração média aclração; unidads d mdida d aclração; - Estudo traçados d gráficos d funçõs difrnciávis; - Rsolução d problmas nvolvndo propridads d funçõs difrnciávis Aplicação do cálculo difrncial à rsolução d problmas - Rsolução d problmas d otimização nvolvndo funçõs difrnciávis; - Rsolução d problmas nvolvndo funçõs posição vlocidads médias vlocidads instantânas aclraçõs médias aclraçõs instantânas mudanças d unidads d aclração; - Rsolução d problmas nvolvndo a rsolução aproximada d quaçõs da forma utilizando uma calculadora gráfica TRI12 26 aulas Difrnciação d funçõs trigonométricas - Fórmulas trigonométricas da soma da difrnça da duplicação; - Limit notávl ; - Difrnciabilidad das funçõs sno cossno tangnt; - Rsolução d problmas nvolvndo o studo d funçõs dfinidas a partir d funçõs trigonométricas Aplicaçõs aos osciladors harmónicos - Osciladors harmónicos: amplitud pulsação príodo frquência fas; - Estudo das funçõs dfinidas analiticamnt por ; - Os osciladors harmónicos como soluçõs d quaçõs difrnciais da forma rlação com a sgunda li d Nwton com a li d Hook; - Rsolução d problmas nvolvndo osciladors harmónicos Contúdos ; Página 24

26 FEL12 40 aulas Juros compostos Númro d Npr - Cálculo d juros compostos; - Rsolução d problmas nvolvndo juros compostos - Sucssão d trmo gral rlação com juros compostos; capitalização contínua d juros dfinição do númro d Npr Funçõs xponnciais - Propridads da função dfinida nos númros racionais pla xprssão monotonia continuidad limits propridads algébricas; - Extnsão ao caso ral: dfinição das funçõs xponnciais d bas a rsptivas propridads; - Função xponncial - Limit notávl rlação com o limit da sucssão d trmo gral : ; drivada da função xponncial Funçõs logarítmicas - Função logarítmica d bas nquanto bijção rcíproca da função xponncial d bas ; logaritmo dcimal logaritmo npriano; - Monotonia sinal limits propridads algébricas dos logaritmos; - Drivadas das funçõs logarítmicas da função ; - Drivada da função ral Limits notávis nvolvndo funçõs xponnciais logarítmicas - Limits - Rsolução d problmas nvolvndo o studo d funçõs dfinidas a partir d funçõs xponnciais logarítmicas as rsptivas propridads algébricas limits notávis Modlos xponnciais - A quação nquanto modlo para o comportamnto da mdida d grandzas cuja taxa d variação é aproximadamnt proporcional à quantidad d grandza prsnt num dado instant volução d uma população da tmpratura d um sistma ou do dcaimnto d uma substância radioativa; - Soluçõs da quação ; - Rsolução d problmas d aplicação nvolvndo a quação PCI12 20 aulas Primitivas - Primitiva d uma função num intrvalo; família das primitivas d uma dada função num intrvalo; - Primitivas d funçõs d rfrência: ; - Linaridad da primitivação; - Primitivas d funçõs da forma Cálculo Intgral - Dfinição intuitiva da noção d intgral d funçõs contínuas não ngativas ou não positivas num intrvalo limitado fchado; xtnsão a funçõs contínuas qu altrnam d sinal um númro finito d vzs; - Origm histórica do símbolo d intgral; Contúdos Página 25

27 - Torma fundamntal do cálculo intgral Fórmula d Barrow; - Linaridad monotonia do intgral dfinido; aditividad do intgral m rlação ao domínio Rsolução d problmas - Rsolução d problmas nvolvndo o cálculo d mdidas d ára d rgiõs do plano; - Rsolução d problmas nvolvndo a primitivação a intgração d funçõs contínuas; - Rsolução d problmas nvolvndo funçõs posição vlocidad aclração a primitivação intgração d funçõs NC12 26 aulas Introdução aos númros complxos - A fórmula d Cardano a origm histórica dos númros complxos; - Motivação da dfinição dos númros complxos das opraçõs d soma produto d númros complxos; - Propridads das opraçõs dfinidas m : associatividad comutatividad distributividad d rlativamnt a rsptivos lmntos nutros; dfinição do corpo dos númros complxos nquanto munido dstas opraçõs; - nquanto subconjunto d ; a unidad imaginária ; - Rprsntação dos númros complxos na forma Part ral part imaginária dos númros complxos; o plano complxo os ixos ral imaginário; ponto afixo d um númro complxo Complxo conjugado módulo dos númros complxos - Conjugado d um númro complxo; propridads algébricas gométricas; xprssão da part ral da part imaginária d um númro complxo m função d ; - Módulo d um númro complxo; propridads algébricas gométricas Quocint d númros complxos - Invrso d um númro complxo não nulo quocint d númros complxos Exponncial complxa forma trigonométrica dos númros complxos - Complxos d módulo ; a xponncial complxa rsptivas propridads algébricas gométricas; argumnto d um númro complxo rprsntação trigonométrica dos númros complxos; - Fórmulas d D Moivr Raízs n-ésimas d númros complxos - Soluçõs das quaçõs da forma do sgundo grau d coficints rais ; raízs m d polinómios Rsolução d problmas - Rsolução d problmas nvolvndo propridads algébricas gométricas dos númros complxos a rsptiva forma trigonométrica raízs -ésimas d númros complxos as fórmulas d D Moivr Contúdos Página 26

28 5 NÍVEIS DE DESEMPENHO Os dscritors spcificados na tabla sguint qu dizm rspito a propridads qu os alunos dvm rconhcr a procdimntos qu dvm ftuar ou a problmas qu dvm rsolvr foram assinalados nas Mtas Curriculars com o símbolo «+» Para sts dscritors spcificaram-s no Cadrno d Apoio difrnts nívis d dsmpnho matrializados m xmplos d complxidad variada qu podrão sr propostos aos alunos Os xmplos qu no Cadrno d Apoio s ncontram assinalados com um ou dois astriscos corrspondm a dsmpnhos progrssivamnt mais avançados qu não srão xigívis à totalidad dos alunos stando os rstants associados a um dsmpnho considrado rgular Prtnd-s assim stablcr para sts dscritors um rfrncial qu prmita ao profssor aprndr o grau d xigência rqurido Ano d scolaridad 10º ano 11º ano 12º ano Dscritors LTC ALG GA FRVR EST TRI GA SUC FRVR EST CC PRB FRVR TRI FEL PCI NC Por outro lado alguns dscritors LTC10 29; ALG10 14; GA ; TRI11 14; GA ; SUC ; FRVR ; CC12 23; FRVR ; FEL rlativos a propridads qu os alunos dvm provar ncontram-s igualmnt assinalados nas Mtas Curriculars com o símbolo «+» Entnd-s nst caso qu mbora todos os alunos dvam conhcr o rsultado m causa sabr aplicá-lo a laboração da rsptiva dmonstração é facultativa não sndo portanto xigívl aos alunos Finalmnt nos domínios LTC10 ALG10 SUC11 FRVR11 FRVR12 CC12 PRB12 FEL12 ncontram-s assinalados com o símbolo «#» alguns dscritors rlativos a conjuntos d dmonstraçõs muito smlhants ntr si ficando ao critério do profssor quais dvm sr tratadas como xmplo Nívis d dsmpnho Página 27

29 6 INDICAÇÕES METODOLÓGICAS Tndo m considração tal como para os nívis d dsmpnho as circunstâncias d nsino d modo muito particular as caractrísticas das turmas dos alunos as scolas os profssors dvm dcidir quais as mtodologias os rcursos mais adquados para auxiliar os sus alunos a alcançar os dsmpnhos dfinidos nas Mtas Curriculars A xpriência acumulada das scolas dos profssors constitui um lmnto fundamntal no sucsso d qualqur projto ducativo não s prtndndo por isso spartilhar diminuir a sua librdad pdagógica nm condicionar a sua prática ltiva Plo contrário o prsnt Programa rconhc valoriza a autonomia das scolas dos profssors não impondo portanto mtodologias spcíficas Sm constituir ingrência no su trabalho nota-s contudo qu a aprndizagm matmática é struturada m patamars d crscnt complxidad plo qu na prática ltiva dvrá tr-s m atnção a progrssão dos alunos sndo muito important procdr-s a rvisõs frqunts d contúdos já lcionados com vista à sua consolidação incluindo alguns já conhcidos do Ensino Básico Utilização da tcnologia As salas d aulas stão m gral dotadas d dtrminados quipamntos qu podm constituir uma mais-valia para a prática ltiva A tcnologia no Ensino Scundário dv portanto sr aprovitada para ajudar os alunos a comprndr crtos contúdos rlaçõs matmáticas para o xrcício d crtos procdimntos; ssa utilização dv no ntanto sr critriosa já qu caso contrário pod condicionar compromtr gravmnt a aprndizagm a avaliação Os profssors os alunos têm ao su dispor por xmplo um vasto conjunto d rcursos qu facilitam o cálculo as rprsntaçõs gométricas a rprsntação gráfica d funçõs mas importa qu os alunos adquiram capacidad crítica para rconhcr as situaçõs m qu a tcnologia não prmit só por si justificar a adquação dos rsultados ncontradas ao problma proposto ou ilustrar dvidamnt os concitos procdimntos matmáticos nvolvidos A utilização da tcnologia não pod pois substituir a comprnsão concptual a proficiência no cálculo a capacidad d rsolvr problmas Assim os alunos dvm dominar procdimntos como oprar com polinómios ftuar rprsntaçõs d gráficos d funçõs rsolvr quaçõs calcular limits drivadas sm ncssitarm d utilizar rcursos tcnológicos calculadoras computadors tc qu substituam algumas das capacidads matmáticas inrnts a sss procdimntos Apnas a mmorização a comprnsão cumulativa d concitos técnicas rlaçõs matmáticas prmitm alcançar conhcimntos progrssivamnt mais complxos rsolvr problmas progrssivamnt mais xignts Em particular o profssor dv alrtar os alunos para as limitaçõs das calculadoras computadors sublinhando smpr a importância d rlacionar qur as rprsntaçõs gráficas obsrvadas qur os valors ncontrados com o conhcimnto tórico qu prmit atribuir o dvido significado a ssas rprsntaçõs valors É um rro grav por xmplo pnsar qu a simpls considração d rsultados obtidos através d uma calculadora prmit vrificar s um númro é irracional já qu sta apnas aprsnta uma aproximação d um dado númro como dízima finita até dtrminada ordm concluir qu uma função dfinida numa infinidad d pontos é monótona tria d calcular-s o valor da função m cada ponto do rsptivo domínio não apnas num subconjunto finito do msmo qu é o qu na ralidad qualqur calculadora faz aliás m gral apnas com dtrminado grau d aproximação s uma sucssão é convrgnt ou d manira gral dduzir qualqur propridad do gráfico d uma função qu Indicaçõs mtodológicas Página 28

30 ncssit do conhcimnto dos valors da função numa infinidad d pontos do domínio continuidad difrnciabilidad limits assíntotas rsultados positivos d concavidad monotonia xtrmos tc No ntanto o conhcimnto prévio d propridads analíticas d uma função ou funçõs pod m muitos casos prmitir uma utilização adquada das potncialidads da calculadora para visualizar parts particularmnt intrssants dos rsptivos gráficos obtr valors aproximados d soluçõs d quaçõs d xtrmos pontos d xtrmo tc As propridads qu m cada caso srá ncssário stablcr ants d s podrm xtrair conclusõs justificadas a partir do qu s obsrva na calculadora ou computador dpndm vidntmnt da qustão qu s prtnd rsolvr podndo msmo rsumir- -s m crtos casos à simpls continuidad; apnas m casos m qu o conhcimnto d um númro finito d pontos do gráfico prmit xtrair alguma conclusão sgura situaçõs d inxistência d monotonia ou d sntido dtrminado d concavidad m dtrminado intrvalo por xmplo é possívl praticamnt prscindir d um conhcimnto prévio d alguma propridad analítica da função m studo Como é vidnt a calculadora gráfica pod smpr sr utilizada para ilustrar propridads d gráficos d funçõs adquadamnt scolhidas plo profssor ou para qu o aluno tst o rsultado d variaçõs d parâmtros m classs d funçõs d qu já tnha algum conhcimnto tórico d manira gral para uma abordagm xprimntal ao studo d funçõs dsd qu dvidamnt controlada acompanhada d uma anális crítica da validad d conjturas qu ssas xpriências possam induzir Nst sntido considra-s qu no Ensino Scundário a tcnologia mais spcificamnt a calculadora gráfica dv sr utilizada m sala d aula consquntmnt m crtos instrumntos d avaliação na rsolução d problmas rqurndo cálculos d valors aproximados d soluçõs d dtrminado tipo d quaçõs ou d funçõs nvolvndo por xmplo razõs trigonométricas logaritmos ou xponnciais mas qu s dv vitar a sua utilização m outras provas d avaliação m qu os contúdos capacidads nvolvidas claramnt o não justifiqum ou msmo o dsaconslhm Indicaçõs mtodológicas Página 29

31 7 AVALIAÇÃO O Dcrto-Li nº 139/2012 d 5 d julho altrado plo Dcrto-Li nº 91/2013 d 10 d julho stablc os princípios orintadors da organização da gstão do dsnvolvimnto dos currículos do Ensino Básico do Ensino Scundário bm como da avaliação dos conhcimntos adquiridos das capacidads dsnvolvidas plos alunos do Ensino Básico ministradas m stablcimntos scolars públicos particulars cooprativos Os conhcimntos a adquirir as capacidads a dsnvolvr plos alunos do Ensino Scundário na disciplina d Matmática A têm como rfrência o programa dssa disciplina as rsptivas Mtas Curriculars dfinidas por ano d scolaridad É st documnto qu prmitirá cumprir a função d rgulação do prcurso d aprndizagm qu a avaliação do dsmpnho dos alunos dvrá assumir Os rsultados dos procssos avaliativos d carátr nacional d scola d turma d aluno dvm contribuir para a orintação cintifico-pdagógica do nsino para qu s possam suprar m tmpo útil d modo apropriado dificuldads d aprndizagm idntificadas simultanamnt rforçar os progrssos vrificados Todos sts propósitos dvm sr concrtizados rcorrndo a uma avaliação divrsificada frqunt contribuindo para qu os alunos adquiram uma maior consciência do su nívl d conhcimntos valorizm a avaliação como um procsso promotor d mlhors dsmpnhos A classificação rsultant da avaliação intrna no final d cada príodo guiada plos critérios d avaliação da disciplina d Matmática A dfinidos m cada agrupamnto d scolas/scola não agrupada dvrá traduzir com fidlidad o nívl d dsmpnho do aluno no qu s rfr ao cumprimnto do programa das rsptivas mtas curriculars Avaliação Página 30

32 8 BIBLIOGRAFIA 1 Alpuim T Estatística Apontamntos d Apoio à disciplina d Estatística da Licnciatura m Matmática Matmática Aplicada FCUL Alpuim T Probabilidad Apontamntos d Apoio à disciplina d Probabilidad da Licnciatura m Matmática Matmática Aplicada FCUL Andrson JR & Schunn C Implications of th ACT-R larning thory: No magic bullts Advancs in instructional psychology Educational dsign and cognitiv scinc pp 1-33 Mahwah Lawrnc Erlbaum Bivar A Grosso C Olivira F & Timóto MC Programa Mtas Curriculars do Ensino Básico Matmática Ministério da Educação Ciência Dirção Gral da Educação Common Cor Stat Standards Initiativ Common Cor Stat Standards for Mathmatics Common Cor Stat Standards Initiativ Prparing Amrica s studnts for collg & Carr Dpartmnt for Education and Employmnt Mathmatics Th National Curriculum for England Dpartmnt for Education and Employmnt London Fayol M Toom A Bivar A Santos C & Airs LM Fazr contas ajuda a pnsar? Fundação Francisco Manul dos Santos Porto Porto Editora Frrira JC Introdução à Anális Matmática Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Figuira M Fundamntos d Anális Infinitsimal Txtos d Matmática volum 5 2ª dição Lisboa DM-FCUL Gary DC Brch DB Ooykin W Embrtson S Ryna V & Siglr R Larning mathmatics: Findings from Th National Unitd Stats Mathmatics Advisory Panl in N Crato Org Ensino da Matmática: Qustõs soluçõs pp Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Gary DC Dvlopmnt of mathmatical undrstanding in D Kuhl & RS Siglr Vol Eds Cognition prcption and languag Vol 2 W Damon Gn Ed Handbook of child psychology 6 th d pp Nw York John Wily & Sons Gurriro JS Curso d Anális Matmática Lisboa Escolar Editora Intrnational Association for th Evaluation of Educational Achivmnt Trnds in Intrnational Mathmatics and Scinc Study TIMSS Advancd Assssmnt Framworks Intrnational Association for th Evaluation of Educational Achivmnt Kaminsky J Sloutsky V & Hcklr A Th advantag of abstract xampls in larning math Education Forum 320 pp Karpick JD & Rodigr HL Th critical importanc of rtrival for larning Scinc 319 pp Katz VJ História da Matmática Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Kirschnr P & Mrriënbor J Do larnrs rally know bst? Urban lgnds in ducation Educational Psychologist 48 3 pp Bibliografia Página 31

33 18 Kirschnr P Swllr J & Clark R Why minimal guidanc during instruction dos not work: An analysis of th failur of constructivist discovry problm-basd xprintial and inquiry-basd taching Educational Psychologist 41 2 pp Loura LCC & Martins MEG Introdução à Probabilidad Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Loura LCC & Martins MEG Cálculo Combinatório Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Machado A Abrants P &Carvalho RF Matmática: 12º ano: M12 Lisboa Txto Editora Machado A Iniciação à Lógica Matmática 10º ano Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Machado A Gomtria 10º ano Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Machado A Gomtria 11º ano Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Machado A Númros Complxos 12º ano Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Ministèr d la Communauté Français Compétncs Trminals t savoirs rquis n Mathématiqus Humanités générals t tchnologiqus Ministèr d la Communauté Français Bélgica Ministèr d L Éducation National Mathématiqus class d scond Bulltin Officil nº 30 Ministèr d L Éducation National Franc Ministèr d L Éducation National Mathématiqus cycl trminal d la séri scintifiqu class d Prmièr Bulltin Officil Spécial nº 9 Ministèr d L Éducation National Franc Ministèr d L Éducation National Programm d l nsignmnt spécifiqu t d spécialité d mathématiqus Class trminal d la séri scintifiqu Bulltin Officil Spécial nº 8 Ministèr d L Éducation National França Ministro dll Instuzion dll Univrsità dlla Ricrca Curricula Lico Scintifico Indicazioni Ministro dll Instuzion dll Univrsità dlla Ricrca Itália ificopdf 31 Murtira B & Ribiro C Introdução à Estatística Lisboa Escolar Editora National Mathmatics Advisory Panl Foundations for succss: Final Rport US Dpartmnt of Education Paas F Rnkl A & Swllr J Cognitiv load thory: Instructional implications of th intraction btwn information structurs and cognitiv architctur Instructional Scinc Pstana D Introdução à Probabilidad Estatística Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian 2008 Bibliografia Página 32

34 35 Rittl-Johnson B Siglr RS & Alibali MW Dvloping concptual undrstanding and procdural skill in mathmatics: An itrativ procss Journal of Educational Psychology 93 pp Rodigr HL Karpick JD Tst-nhancd larning: Taking mmory tsts improvs long-trm rtntion Psychological Scinc 17 pp Rodigr HL Karpick JD Th powr of tsting mmory: Basic rsarch and implications for ducational practic Prspctivs on Psychological Scinc 1 pp Rohdr D & Taylor K Th ffcts of ovrlarning and distributd practic on th rtntion of mathmatics knowldg Applid Cognitiv Psychology Sanchz L Iniciação ao studo das funçõs rais d variávl ral 10º ano 11º ano 12º ano Projcto REANIMAT Dpartamnto d Matmática da Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Fundação Caloust Gulbnkian Sarrico C Anális Matmática Lituras xrcícios Projctos Ciência Lisboa Gradiva Sbastião Silva J Compêndio d Matmática 5 volums GEP MEC Sbastião Silva J Guia para a utilização do Compêndio d Matmática 3 volums GEP-MEC Silva JC Fonsca CM Fonsca MG Lops I & Martins A Programa d Matmática A 10º ano Ministério da Educação Dpartamnto do Ensino Scundário Silva JC Fonsca CM Fonsca MG Lops I & Martins A Programa d Matmática A 11º ano Ministério da Educação Dpartamnto do Ensino Scundário Silva JC Fonsca CM Fonsca MG Lops I & Martins A Programa d Matmática A 12º ano Ministério da Educação Dpartamnto do Ensino Scundário Lisboa Struik D História concisa das Matmáticas Colcção Ciência Abrta Lisboa Gradiva Swllr J Clark R & Kirschnr P Taching gnral problm-solving skills is not a substitut for or a viabl addition to taching mathmatics pp Docamus Bibliografia Página 33

35 Mtas Curriculars Matmática A Ensino Scundário Cursos Cintífico-Humanísticos d Ciências Tcnologias d Ciências Socioconómicas António Bivar Carlos Grosso Filip Olivira Luísa Loura Maria Clmntina Timóto

36 METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A O prsnt documnto dscrv o conjunto das mtas curriculars da disciplina d Matmática A qu os alunos dvm atingir durant o Ensino Scundário Os objtivos grais compltados por dscritors mais prcisos ncontram-s organizados m cada ano d scolaridad por domínios subdomínios sgundo a sguint strutura: Domínio Subdomínio 1 Objtivo gral 1 Dscritor 2 Dscritor Os difrnts dscritors stão rdigidos d forma objtiva numa linguagm rigorosa dstinada ao profssor dvndo st slcionar uma stratégia d nsino adquada à rsptiva concrtização incluindo uma adaptação da linguagm smpr qu sja ncssária O significado prciso d crtos vrbos com qu s iniciam alguns dscritors «idntificar» «dsignar» «rfrir» «rprsntar» «rconhcr» «sabr» «provar» «dmonstrar» «justificar» ncontra-s dfinido no parágrafo intitulado «Litura das Mtas Curriculars» A prática ltiva obriga naturalmnt a frqunts rvisõs d objtivos grais dscritors corrspondnts a anos d scolaridad antriors Ests pré-rquisitos não s ncontram xplicitados no txto dvndo o profssor idntificá-los consoant a ncssidad a prtinência as caractrísticas próprias d cada grupo d alunos Optou-s por formar uma squência d objtivos grais d dscritors dntro d cada subdomínio qu corrspond a uma progrssão d nsino adquada podndo no ntanto optar-s por altrnativas cornts qu cumpram os msmos objtivos rsptivos dscritors D um modo mais gral as Mtas Curriculars não dvm sr ntndidas como um sumário squncial dos contúdos a lcionar podndo m particular sr provitoso o tratamnto m simultâno d dscritors prtncnts a objtivos grais ou msmo a domínios distintos Existm msmo circunstâncias m qu s torna ncssário um tal procdimnto; com fito a arrumação dos tópicos por domínios tmáticos simultanamnt rspitando dntro d cada domínio uma dtrminada progrssão a isso pod lvar dada a própria naturza intrligação dos contúdos capacidads matmáticas São também disponibilizados aos profssors Cadrnos d Apoio às prsnts mtas curriculars um por ano d scolaridad contndo m alguns casos suports tóricos aos objtivos dscritors bm como xmplos d concrtização d alguns dls Nsss documntos os nívis d dsmpnho sprados foram objto d spcificação Introdução Página 1

37 Litura das Mtas Curriculars «Idntificar»/«Dsignar»/«Rfrir»/ O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d forma quivalnt «Rconhcr»: O aluno dv aprsntar uma argumntação cornt ainda qu vntualmnt mais informal do qu a xplicação forncida plo profssor Dv no ntanto sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados nssa xplicação «Sabr»: O aluno dv conhcr o rsultado mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta «Provar»/«Dmonstrar»: O aluno dv aprsntar uma dmonstração matmática tão rigorosa quanto possívl «Justificar»: O aluno dv justificar d forma simpls o nunciado vocando uma propridad já conhcida Crtos dscritors ncontram-s assinalados com o símbolo «+» Rlativamnt aos qu corrspondm a propridads qu os alunos dvm rconhcr a procdimntos qu dvm ftuar ou a problmas qu dvm rsolvr spcificaram-s nos Cadrnos d Apoio difrnts nívis d dsmpnho Quanto aos rlativos a propridads qu os alunos dvm provar ntnd-s qu mbora todos dvam conhcr o rsultado m causa sabr aplicá-lo a laboração da rsptiva dmonstração é facultativa não sndo portanto xigívl aos alunos Por outro lado crtos grupos d dscritors d um msmo objtivo gral rlativos a conjuntos d dmonstraçõs muito smlhants ntr si ncontram-s assinalados com o símbolo «#» ficando ao critério do profssor quais dvm sr tratadas como xmplo Introdução Página 2

38 10º ANO Lógica Toria dos Conjuntos LTC10 Introdução à Lógica bivalnt à Toria dos conjuntos 1 Oprar com proposiçõs 1 Dsignar por «proposição» toda a xprssão susctívl d sr «vrdadira» ou «falsa» dsignar sts atributos por «valors lógicos» 2 Sabr qu uma proposição não pod sr simultanamnt vrdadira falsa dsignar sta propridad por «Princípio d não contradição» 3 Sabr dadas proposiçõs qu «é quivalnt a» é uma proposição dsignada por «quivalência ntr» qu é vrdadira s somnt s tivrm o msmo valor lógico rprsntá-la também por 4 Sabr dada uma proposição qu «não» é uma proposição dsignada por «ngação d» qu é vrdadira s for falsa é falsa s for vrdadira rprsntá-la também por 5 Justificar dada uma proposição qu dsignando sta propridad por «li da dupla ngação» 6 Sabr dadas proposiçõs qu é uma proposição dsignada por «conjunção d» qu é vrdadira s somnt s form simultanamnt vrdadiras rprsntá-la também por 7 Sabr dadas proposiçõs qu «ou» é uma proposição dsignada por «disjunção d» qu é falsa s somnt s form simultanamnt falsas rprsntá-la também por justificar qu é uma proposição vrdadira dsignando sta propridad por «Princípio do trciro xcluído» 8 Sabr dadas proposiçõs qu «implica» é uma proposição dsignada por «implicação ntr» qu é falsa s somnt s for vrdadira for falsa rprsntá-la também por dsignar por «antcdnt» por «consqunt» da implicação rconhcr dada uma proposição qu s ntão 9 Sabr qu por convnção m qualqur squência d opraçõs lógicas a mnos d utilização d parêntss s rspitam as sguints prioridads: ngação; conjunção disjunção; implicação quivalência é quivalnt à 10 #Provar dadas proposiçõs qu a proposição proposição 11 #Provar dadas proposiçõs qu a proposição é vrdadira s somnt s form ambas proposiçõs vrdadiras dsignar sta propridad por «princípio da dupla implicação» 12 #Provar dada uma proposição rprsntando por rsptivamnt uma qualqur proposição vrdadira rsptivamnt falsa qu 13 #Provar dadas proposiçõs qu qu dsignar stas quivalências por «Primiras Lis d D Morgan» LTC10 Página 3

39 14 #Provar dadas proposiçõs qu qu bm como as qu s obtêm prmutando m todas as ocorrências os símbolos dsigná-las rsptivamnt por «associatividad» «comutatividad» «distributividad» 15 #Provar dadas duas proposiçõs qu a proposição é quivalnt à proposição dsignar sta última implicação por «implicação contrarrcíproca da implicação» 16 +Simplificar xprssõs nvolvndo opraçõs com proposiçõs substituindo-as por proposiçõs quivalnts nvolvndo mnos símbolos dtrminar o rsptivo valor lógico smpr qu possívl 2 Rlacionar condiçõs conjuntos 1 Dsignar por «xprssão proposicional» ou por «condição» uma xprssão nvolvndo uma variávl tal qu substituindo por um objto s obtém uma proposição 2 Sabr dada uma condição qu «qualqur qu sja» é uma proposição qu é vrdadira quando apnas quando s obtém uma proposição vrdadira smpr» qu s substitui m por um objto arbitrário rprsntá-la por «dsignar o símbolo por «quantificador univrsal» for uma proposição 3 Idntificar uma condição como «univrsal» s vrdadira rconhcr qu a disjunção d qualqur condição com uma condição univrsal é uma condição univrsal 4 Sabr dada uma condição qu «xist tal qu» é uma proposição qu é vrdadira s somnt s para plo mnos um objto for vrdadira» dsignar o símbolo «por «quantificador xistncial» rprsntá-la por «for uma proposição 5 Idntificar uma condição como «possívl» s vrdadira como «impossívl» s não for possívl rconhcr qu a disjunção d qualqur condição com uma condição possívl é uma condição possívl a conjunção d qualqur condição com uma condição impossívl é uma condição impossívl é quivalnt à 6 Sabr dada uma condição qu a ngação da proposição qu a ngação da proposição é quivalnt à proposição dsignar stas propridads por «Sgundas Lis d D Morgan» proposição rconhcndo-as informalmnt m xmplos justificar qu a ngação d uma condição univrsal é uma condição impossívl vic-vrsa 7 Rprsntar dada uma condição um conjunto a proposição» no caso d sr vrdadira dsignar por «condição univrsal por «m» 8 Rprsntar dada uma condição um conjunto a proposição» no caso d sr vrdadira dsignar por «condição possívl m por no caso contrário por «condição impossívl m» 9 +Rconhcr dada uma condição um conjunto qu a ngação da é quivalnt à proposição qu a ngação da proposição é quivalnt à proposição dsignar um proposição como um «contraxmplo» para a proposição lmnto tal qu LTC10 Página 4

40 » um conjunto 10 Rprsntar dada uma condição por «tal qu por «dfinição m dsignando a igualdad comprnsão do conjunt pla condiçã» 11 Sabr dados conjuntos qu s somnt s 12 Dsignar dado um objto um conjunto por «lmnto d» quando dados objtos rprsntar por o conjunto cujos lmntos são xatamnt dsignar a igualdad por «dfinição m xtnsão do conjunto d lmntos» 13 Idntificar dada uma condição um conjunto o conjunto como «conjunto dfinido por m» ou «conjunto-solução d m»» rprsntá-lo também por «14 Idntificar dados conjuntos o «conjunto união ou runião d» o «conjunto intrsção d» rsptivamnt como 15 Idntificar dados conjuntos como stando «contido m» quando nss caso dsignar por «subconjunto d» ou por «uma part d» 16 Dsignar dados conjuntos por «difrnça ntr» o conjunto rprsntá-lo por ou simplsmnt por quando sta notação não for ambígua dsignando-o ntão por «complmntar d m» 17 Justificar dadas condiçõs qu a proposição é quivalnt à proposição dsignar uma dmonstração da sgunda proposição por «dmonstração por dupla implicação» da primira 18 Rconhcr dados conjuntos qu s somnt s dsignar sta propridad por «princípio da dupla inclusão» 19 +Rconhcr dadas condiçõs qu a ngação da proposição é quivalnt à proposição isto é qu ssa proposição é falsa s somnt s xistir tal qu é vrdadira é falsa é 20 Justificar dadas condiçõs qu a proposição dsignar a sgunda proposição por quivalnt à proposição «contrarrcíproco» da primira uma dmonstração da sgunda proposição por «dmonstração por contrarrcíproco» da primira 3 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo opraçõs lógicas sobr proposiçõs 2 +Rsolvr problmas nvolvndo opraçõs sobr condiçõs sobr conjuntos LTC10 Página 5

41 Álgbra ALG10 Radicais 1 Dfinir ftuar opraçõs com radicais 1 +Rconhcr dados dois númros rais um númro ímpar qu s ntão 2 +Rconhcr dados dois númros rais um númro par qu s ntão s ntão 3 Sabr dado um númro ral um númro ímpar qu xist um númro ral tal qu provar qu é único dsigná-lo por «raiz índic d» rprsntá-lo por 4 +Sabr dado um númro ral positivo um númro par qu xist um númro ral positivo tal qu provar qu qu não xist para além d d qualqur outra solução da quação rprsntá-lo por 5 Justificar dado um númro natural qu dsignar por «raiz índic d» é o único númro ral cuja potência d xpont é igual a por sta razão rprsntá-lo também por «raiz índic d» 6 #Provar dados númros rais não ngativos um númro par qu rconhcr qu para 7 #Provar dados númros rais um númro rconhcr qu para 8 #Provar dados númros rais ngativos um númro qu justificar qu para ímpar qu rsptivamnt númros rais ímpar rsptivamnt um númro não par 9 #Provar dados númros naturais rsptivamnt númros naturais ímpars um númro ral não ngativo rsptivamnt um númro ral qu 10 Dsignar também por «fração» a rprsntação do quocint ntr númros rais com nst contxto rsptivamnt por «numrador» «dnominador» idntificar duas fraçõs como «quivalnts» quando rprsntam o msmo númro 11 +Racionalizar dnominadors da forma númros naturais ALG10 ou númros intiros Página 6

42 Potências d xpont racional 2 Dfinir ftuar opraçõs com potências d xpont racional 1 +Rconhcr dado um númro ral não ngativo s sndo qu 2 +Idntificar dado um númro ral não ngativo númros intiros um númro racional não ngativo númros intiros um númro racional não ngativo s a «potência d bas d xpont» como rconhcndo qu st númro não dpnd da fração scolhida para rprsntar qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a propridad a xponts racionais positivos 3 Idntificar dado um númro ral positivo um númro racional positivo «potência d bas d xpont» como a rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a propridad a xponts racionais 4 +Rconhcr qu as propridads algébricas prviamnt studadas das potências d xpont intiro rlativas ao produto quocint d potências com a msma bas produto quocint d potências com o msmo xpont potência d potência podm sr stndidas às potências d xpont racional 5 +Simplificar xprssõs nvolvndo radicais potências 3 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo opraçõs com radicais com potências Divisão intira d polinómios 4 Eftuar opraçõs com polinómios 1 Dsignar um polinómio com apnas uma variávl por 2 +Rconhcr dados polinómios não nulos qu o grau do polinómio é igual à soma dos graus d d 3 Sabr dados polinómios não nulo qu xistm dois únicos polinómios tais qu ou é o polinómio nulo ou tm grau infrior ao grau d dsignar nst contxto por «polinómio dividndo» por «polinómio divisor» por «polinómio quocint» por «polinómio rsto» da «divisão intira» ou «divisão uclidiana» d por 4 Dtrminar dados polinómios não nulo as formas rduzidas dos polinómios quocint rsto da divisão intira d por 5 +Rconhcr dado um polinómio um númro qu aplicando a «rgra d Ruffini» s obtém o quocint o rsto da divisão intira d por 6 Provar dado um polinómio um númro qu o rsto da divisão intira d por é igual a dsignar sta propridad por «Torma do Rsto» ALG10 Página 7

43 7 Dsignar dado um polinómio por «raiz do polinómio» ou «zro do polinómio» qualqur númro ral tal qu 8 Idntificar um polinómio como «divisívl» por um polinómio não nulo s o rsto da divisão uclidiana d por é nulo 9 Provar dado um polinómio d grau um númro ral qu é uma raiz d s somnt s for divisívl por qu nss caso xist um polinómio d grau tal qu 10 Idntificar dado um polinómio uma raiz d a «multiplicidad d» como o maior númro natural tal qu xist um polinómio com justificar qu nsta situação dsignar por «raiz simpls» quando a rsptiva multiplicidad é igual a 11 +Rconhcr dado um polinómio d grau cujas raízs distintas têm rsptivamnt multiplicidad qu qu xist um polinómio sm raízs tal qu tndo-s s somnt s tivr grau zro 12 Rconhcr dado um polinómio d coficints intiros qu o rsptivo trmo d grau zro é múltiplo intiro d qualqur raiz intira dss polinómio 5 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a divisão intira d polinómios o Torma do rsto 2 +Rsolvr problmas nvolvndo a fatorização d polinómios d qu s conhcm algumas raízs 3 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação dos zros do sinal d funçõs polinomiais d grau suprior a dois ALG10 Página 8

44 Gomtria Analítica GA10 Gomtria Analítica no plano 1 Dfinir analiticamnt conjuntos lmntars d pontos do plano 1 Dsignar por «rfrncial ortonormado» um rfrncial ortogonal monométrico d um dado plano tal qu a unidad d comprimnto comum aos ixos coordnados coincid com uma unidad d comprimnto pré-fixada dados númros rais dsignar por o ponto d abcissa ordnada nss rfrncial 2 +Rconhcr fixada uma unidad d comprimnto dado um plano munido d um rfrncial ortonormado pontos prtncnts a ss plano qu rprsntá-la a mdida da distância ntr é igual a» por «3 Dmonstrar dada uma rta numérica dois pontos d abcissas rsptivamnt qu a abcissa do ponto médio do sgmnto d rta d xtrmos é igual a 4 +Rconhcr utilizando argumntos gométricos basados no Torma d Tals ou m consquências conhcidas dst Torma qu dado um plano munido d um rfrncial ortonormado dois pontos prtncnts a ss plano as coordnadas do ponto médio do sgmnto d rta [ ] são 5 Dsignar dado um plano munido d um rfrncial ortonormado por «quação cartsiana» rsptivamnt por «inquação cartsiana» d um conjunto uma quação rsptivamnt inquação cujas soluçõs são as coordnadas dos pontos d 6 Dtrminar dado um plano munido d um rfrncial ortonormado dois pontos dss plano uma quação cartsiana da mdiatriz do sgmnto d rta [ ] na forma quação rduzida da rta ou na forma 7 Justificar fixada uma unidad d comprimnto dado um plano munido d um rfrncial ortonormado um ponto prtncnt a ss plano um númro qu a quação é uma quação cartsiana da circunfrência d cntro d raio dsigná-la por «quação cartsiana rduzida da circunfrência» 8 Dsignar fixada uma unidad d comprimnto um plano dados dois pontos por «lips» o conjunto d pontos prtncnts a ss plano um númro do plano tais qu por «focos da lips» os pontos por «cntro da lips» o ponto médio do sgmnto d rta [ ] por «ixo maior da lips» o númro por «smiixo maior da lips» intrprtando-o gomtricamnt 9 +Dmonstrar dada uma lips d focos d ixo maior qu a mdiatriz d [ ] intrsta a lips m dois pontos quidistants do cntro da lips qu s tm dsignando tomando ond por «ixo mnor da lips» por «smiixo mnor da lips» 10 +Rconhcr fixada uma unidad d comprimnto dado um plano munido d um rfrncial ortonormado GA10 qu a quação é uma quação Página 9

45 cartsiana da lips d smiixo maior smiixo mnor qu tm focos ond dsigná-la por «quação cartsiana rduzida da lips» 11 +Rconhcr dado um plano munido d um rfrncial ortonormado uma rta do plano d quação rduzida qu os dois smiplanos abrtos rsptivamnt fchados dtrminados por têm por inquaçõs cartsianas rsptivamnt dsigná-los rsptivamnt por «smiplano suprior» «smiplano infrior» m rlação à rta 12 Rconhcr dado um plano munido d um rfrncial ortonormado uma rta do plano d quação cartsiana qu os dois smiplanos abrtos rsptivamnt fchados dtrminados por têm por inquaçõs cartsianas rsptivamnt dsigná-los rsptivamnt por «smiplano à dirita» «smiplano à squrda» da rta 13 Justificar fixada uma unidad d comprimnto dado um plano munido d um rfrncial ortonormado qu a inquação é uma inquação do círculo d cntro d raio 2 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a noção d distância ntr pontos do plano quaçõs inquaçõs cartsianas d subconjuntos do plano Cálculo vtorial no plano 3 Oprar com vtors 1 Idntificar fixada uma unidad d comprimnto dado um vtor a «norma do vtor» como a mdida do comprimnto d um sgmnto orintado rprsntant d rprsntá-la por 2 Idntificar dado um vtor um númro ral também dsignado por «scalar» o «produto d por» como o vtor d norma fixada uma msma unidad d comprimnto para o cálculo das normas com a dirção sntido d s com a dirção d sntido contrário ao d s GA10 justificar qu não dpnd da unidad d comprimnto fixada qu vtor simétrico d Justificar dado um vtor não nulo qu um vtor é colinar a s apnas xistir um númro ral tal qu qu nss caso é único Justificar dados vtors qu xist um somnt um vtor tal qu provando qu dsignar por «difrnça ntr» rprsntá-lo por +Rconhcr dado um vtor númros rais qu +Rconhcr dados vtors númros rais qu Página 10

46 4 Oprar com coordnadas d vtors 1 +Rconhcr fixada uma unidad d comprimnto um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm um vtor do plano qu sndo xist um somnt um par ordnado d númros rais tais qu por ss motivo dsignar o par ordnado por uma «bas do por «coordnadas do vtor na bas spaço vtorial dos vtors do plano»» rprsntar por o vtor d coordnadas 2 Idntificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm dado um ponto o «vtor-posição do ponto» como o vtor justificar qu as coordnadas do vtor posição d um dado ponto coincidm com as coordnadas do ponto 3 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado dados vtors um númro ral qu o vtor rsptivamnt qu o vtor tm coordnadas rsptivamnt tm coordnadas qu o vtor simétrico do vtor tm coordnadas qu dois vtors não nulos são colinars s somnt s as rsptivas coordnadas form todas não nulas os quocints das coordnadas corrspondnts form iguais ou as primiras ou sgundas coordnadas d ambos os vtors form nulas 4 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado dados pontos qu o vtor tm coordnadas comçando por justificar qu idntificar a «difrnça ntr os pontos» como o vtor rprsntá-la por justificar qu para todo o vtor para quaisqur pontos do plano 5 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado dado um ponto um vtor dss plano qu o ponto tm coordnadas 6 Justificar fixada uma unidad d comprimnto um plano munido d um rfrncial ortonormado qu para qualqur vtor 5 Conhcr propridads dos vtors dirtors d rtas do plano 1 Idntificar dado um vtor não nulo uma rta como «tndo a dirção d» quando tivr a dirção das rtas suport dos sgmntos orintados qu rprsntam 2 Dsignar por «vtor dirtor» d uma dada rta qualqur vtor não nulo com a msma dirção do qu 3 Provar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado uma rta não vrtical d dcliv qu o vtor é vtor dirtor d s somnt s qu m particular o vtor d coordnadas é vtor dirtor da rta 4 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado qu os vtors dirtors das rtas vrticais são os vtors 5 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado qu dada uma rta d vtor dirtor os pontos d são os pontos ond é um qualqur ponto d dsignar sta quação por «quação vtorial da rta» GA10 Página 11

47 6 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado dados qu um ponto prtnc à rta d vtor dirtor passando plo ponto s somnt s xistir tal qu dsignar st sistma por «sistma das quaçõs paramétricas da rta» 6 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação das coordnadas d vtors do plano 2 +Rsolvr problmas nvolvndo a colinaridad d vtors do plano 3 +Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs vtoriais paramétricas cartsianas d rtas do plano Gomtria Analítica no spaço 7 Dfinir rfrnciais cartsianos do spaço 1 Idntificar um «rfrncial cartsiano ortonormado do spaço» ou simplsmnt «rfrncial cartsiano» como um trno ordnado d rtas numéricas qu s intrstam nas rsptivas origns duas a duas prpndiculars com unidads d comprimnto coincidnts com uma msma unidad d comprimnto pré-fixada dsignar a origm comum das três rtas por «origm do rfrncial» a primira rta por «ixo das abcissas» a sgunda por «ixo das ordnadas» a trcira por «ixo das cotas» gnricamnt cada uma dlas por «ixo coordnado» s for rprsntada por a origm do rfrncial rprsntar sts três ixos rsptivamnt por o rfrncial por 2 Dsignar dado um ponto uma rta por «projção ortogonal d sobr» como o próprio ponto quando prtncr a como o pé da prpndicular traçada d para no caso contrário rconhcndo qu é a intrsção com do plano normal a passando por 3 Dsignar dado um rfrncial ortonormado um ponto d projçõs ortogonais no ixo das abcissas no ixo das ordnadas no ixo das cotas por «abcissa d» «ordnada d» «cota d» rsptivamnt a abcissa d d d nas rsptivas rtas numéricas o trno ordnado dsts três valors por «coordnadas d» 4 Dsignar por «planos coordnados» os três planos dtrminados por dois dos ixos coordnados rprsntá-los por consoant os ixos coordnados qu contêm rconhcr qu são prpndiculars dois a dois 5 +Rconhcr dado um rfrncial ortonormado um trno ordnado d númros rais qu xist um apnas um ponto com ssas coordnadas rprsntá-lo por 6 +Rconhcr dado um rfrncial ortonormado um ponto d projção ortogonal no plano qu nss plano munido do rfrncial constituido plos ixos tm coordnadas nunciar rsultados análogos para os planos GA10 Página 12

48 8 Dfinir analiticamnt conjuntos lmntars d pontos do spaço 1 Justificar dado um rfrncial ortonormado do spaço qu é uma quação cartsiana do plano parallo ao plano coordnado qu intrsta o ixo das abcissas no ponto dtrminar as quaçõs dos planos parallos aos planos coordnados 2 Justificar dado um rfrncial cartsiano do spaço qu o conjunto dos pontos cujas coordnadas satisfazm o «sistma d quaçõs cartsianas» é a rta paralla ao ixo das cotas qu intrsta o plano coordnado no ponto dtrminar sistmas d quaçõs cartsianas d rtas parallas ao ixo das abcissas ao ixo das ordnadas 3 +Provar fixada uma unidad d comprimnto dados um rfrncial ortonormado do spaço pontos qu a mdida da distância ntr é rprsntá-la por igual a 4 Dtrminar dado um rfrncial ortonormado do spaço as coordnadas d dois pontos do spaço uma quação do plano mdiador do sgmnto d rta [ ] na forma 5 Justificar fixada uma unidad d comprimnto dados um rfrncial ortonormado do spaço um ponto um númro qu é uma quação cartsiana da suprfíci sférica d cntro d raio dsigná-la por «quação cartsiana rduzida da suprfíci sférica» 6 Justificar fixada uma unidad d comprimnto dados um rfrncial ortonormado do spaço um ponto um númro qu é uma inquação cartsiana da sfra d cntro d raio dsigná--la por «inquação cartsiana rduzida da sfra» Cálculo vtorial no spaço 9 Dfinir vtors do spaço 1 Dsignar um par d sgmntos orintados do spaço por «quipolnts» quando são complanars quipolnts num plano qu os contnha 2 Sabr qu um «vtor do spaço» fica dtrminado por um sgmnto orintado do spaço d tal modo qu sgmntos d rta quipolnts dtrminam o msmo vtor sgmntos d rta não quipolnts dtrminam vtors distintos 3 Estndr do plano ao spaço a dfinição d norma d um vtor d adição d um ponto com um vtor d translação d um dado vtor as opraçõs d subtração d dois pontos d adição subtração d vtors d multiplicação d um vtor por um scalar as rsptivas propridads gométricas algébricas 10 Oprar com coordnadas d vtors do spaço 1 +Rconhcr fixado um rfrncial ortonormado no spaço d origm um vtor qu xist um somnt sndo d númros rais tais qu um trno ordnado dsignar o trno ordnado por uma «bas do spaço vtorial dos vtors do por «coordnadas do vtor na bas» rprsntar spaço»» o vtor d coordnadas por «GA10 Página 13

49 2 Estndr do plano ao spaço a dfinição do vtor posição d um ponto a idntificação das rsptivas coordnadas as fórmulas para o cálculo das coordnadas da soma da difrnça d vtors do produto d um vtor por um scalar do simétrico d um vtor da difrnça d dois pontos da soma d um ponto com um vtor da norma d um vtor o critério d colinaridad d vtors através das rsptivas coordnadas 3 Estndr do plano ao spaço a dfinição propridads das quaçõs vtoriais sistmas d quaçõs paramétricas d rtas 11 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a noção d distância ntr pontos do spaço quaçõs inquaçõs cartsianas d subconjuntos do spaço 2 +Rsolvr problmas nvolvndo cálculo vtorial no spaço GA10 Página 14

50 Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR10 Gnralidads acrca d funçõs 1 Dfinir a composição d funçõs a função invrsa d uma função bijtiva 1 Idntificar dados conjuntos o «produto cartsiano d por» como o conjunto dos pars ordnados tais qu prtncm rsptivamnt a a rprsntá-lo por 2 Rconhcr qu um conjunto é o gráfico d uma função d m quando apnas quando para todo o xistir um somnt um lmnto tal qu 3 Idntificar dados conjuntos uma função um conjunto a «rstrição d a» como a função tal qu 4 Idntificar dados conjuntos uma função o «conjunto } das imagm d por» como o conjunto imagns por dos lmntos d rprsntá-lo também por «}» 5 Idntificar dados conjuntos uma função como «injtiva» s para todos os prtncnts a ou d modo quivalnt dsignar também uma tal função por «injção d m» 6 Idntificar dados conjuntos uma função como «sobrjtiva» s para todo o prtncnt a xistir um lmnto prtncnt a tal qu rconhcr qu uma função é sobrjtiva s somnt s coincidirm os rsptivos contradomínio conjunto d chgada dsignar também uma tal função por «sobrjção d m» ou por «função d sobr» 7 Idntificar dados conjuntos uma função como «bijtiva» s for simultanamnt injtiva sobrjtiva dsignar também uma tal função por «bijção d m» 8 Idntificar dadas funçõs a «função composta d com» como a função tal qu dsigná-la também por «composta com» «após» ou «sguida d» 9 Dsignar dado um conjunto por «função idntidad m» a função tal qu justificar qu s trata d uma função bijtiva 10 Justificar dados conjuntos uma função bijtiva qu para todo o prtncnt a xist um apnas um lmnto prtncnt a tal qu rprsntando-o por dsignar por «função invrsa d» a função tal qu 11 +Rconhcr dada uma função bijtiva qu é bijtiva qu dsignar também por «bijção rcíproca d» 12 Rconhcr dada uma função qu é bijtiva s somnt s xistir uma função tal qu 13 Justificar qu uma função é bijtiva s somnt s xistir uma função tal qu qu nss caso FRVR10 Página 15

51 Gnralidads acrca d funçõs rais d variávl ral 2 Rlacionar propridads gométricas dos gráficos com propridads das rsptivas funçõs 1 Dsignar por «função ral d variávl ral» uma função cujo domínio conjunto d chgada stão contidos m 2 Sabr dada uma xprssão qu s convnciona quando nada for indicado m contrário qu ssa xprssão rprsnta a função com conjunto d chgada igual a domínio constituído por todos os númros rais para os quais fica rprsntado um númro ral pla xprssão qu s obtém substituindo todas as ocorrências d m por um símbolo rprsntando o númro dsignar nss caso a xprssão por «xprssão analítica d» st procsso d caractrizar por «dfinição analítica d pla xprssão» 3 Idntificar uma função ral d variávl ral como «par» s para todo o 4 Idntificar uma função ral d variávl ral como «ímpar» s para todo o 5 Justificar dada uma função ral d variávl ral ímpar qu s ntão 6 +Rconhcr dado um plano munido d um rfrncial ortogonal qu uma dada função é par s somnt s o ixo das ordnadas for ixo d simtria do rsptivo gráfico cartsiano 7 +Rconhcr dado um plano munido d um rfrncial cartsiano qu uma dada função é ímpar s somnt s o rsptivo gráfico cartsiano for «simétrico rlativamnt à origm do rfrncial» isto é s somnt s a imagm do gráfico pla rflxão cntral d cntro coincidir com o próprio gráfico 8 +Rconhcr dada uma função ral d variávl ral bijtiva um plano munido d um rfrncial monométrico qu os gráficos cartsianos das funçõs são a imagm um do outro pla rflxão axial d ixo d quação 9 Rconhcr dados uma função ral d variávl ral um númro ral um plano munido d um rfrncial cartsiano qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida m por é a imagm do gráfico cartsiano d pla translação d vtor 10 +Rconhcr dados uma função ral d variávl ral um númro ral um plano munido d um rfrncial cartsiano qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida por no conjunto é a imagm do gráfico cartsiano d pla translação d vtor 11 Dsignar dado um plano munido d um rfrncial ortogonal um númro rsptivamnt por «contração vrtical rsptivamnt dilatação vrtical d associa o ponto coficint» a transformação do plano qu ao ponto d coordnadas 12 Rconhcr dados uma função ral d variávl ral um númro rsptivamnt um plano munido d um rfrncial ortogonal qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida m por é a imagm do gráfico cartsiano d pla contração vrtical rsptivamnt pla dilatação vrtical d coficint FRVR10 Página 16

52 13 Dsignar dado um plano munido d um rfrncial ortogonal um númro rsptivamnt por «contração horizontal rsptivamnt dilatação associa horizontal d coficint» a transformação do plano qu ao ponto o ponto d coordnadas 14 Rconhcr dados uma função ral d variávl ral um númro rsptivamnt um plano munido d um rfrncial ortogonal qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida m imagm do gráfico cartsiano d { } por é a pla dilatação horizontal rsptivamnt pla contração horizontal d coficint 15 Rconhcr dada uma função ral d variávl ral um plano munido d um rfrncial ortogonal qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida m por é a imagm do gráfico cartsiano d pla rflxão d ixo 16 Rconhcr dada uma função ral d variávl ral um plano munido d um rfrncial ortogonal qu o gráfico cartsiano d uma função dfinida m é a imagm do gráfico cartsiano d pla { } por rflxão d ixo 3 Idntificar intrvalos d monotonia d funçõs rais d variávl ral 1 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «stritamnt crscnt m» ou simplsmnt «stritamnt crscnt» s s para quaisqur dois lmntos d s ntão 2 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «stritamnt dcrscnt m» ou simplsmnt «stritamnt dcrscnt» s s para quaisqur dois lmntos d s ntão 3 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «crscnt m sntido lato m» ou simplsmnt «crscnt m sntido lato» s s para quaisqur dois lmntos d s ntão 4 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «dcrscnt m sntido lato m» ou simplsmnt «dcrscnt m sntido lato» s s para quaisqur dois lmntos d s ntão 5 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «stritamnt monótona m» ou simplsmnt «stritamnt monótona» s s for stritamnt crscnt ou stritamnt dcrscnt m como «monótona m sntido lato m» ou simplsmnt «monótona m sntido lato» s s for crscnt ou dcrscnt m sntido lato m 6 Idntificar dada uma função ral d variávl ral um «intrvalo d strita monotonia d» como um intrvalo tal qu é stritamnt monótona 7 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como «constant m» s para quaisqur lmntos d 8 Dmonstrar qu uma função afim dfinida por é stritamnt crscnt rsptivamnt dcrscnt m s somnt s rsptivamnt 9 Dmonstrar qu dada uma função quadrática da forma s ntão é dcrscnt m ] ] crscnt m [ [ qu s ntão é crscnt m ] ] dcrscnt m [ [ FRVR10 Página 17

53 4 Idntificar xtrmos d funçõs rais d variávl ral 1 Dsignar dada uma função d domínio valors m um númro ral como «majorant d» rsptivamnt «minorant d» quando rsptivamnt rfrindo a função como «majorada» rsptivamnt «minorada» quando admitir um majorant rsptivamnt um minorant 2 Dsignar por «limitada» uma função simultanamnt majorada minorada 3 Dsignar por «mínimo absoluto» rsptivamnt por «máximo absoluto» d uma função ral d variávl ral um valor do contradomínio d tal qu rsptivamnt dsignar por «xtrmos absolutos d» os máximos absolutos os mínimos absolutos d 4 Dsignar dados um númro ral um númro ral positivo por «vizinhança d» o intrvalo ] [ rprsntá-la por 5 Rfrir qu uma função ral d variávl ral «ating um mínimo rlativo ou local» rsptivamnt «ating um máximo rlativo ou local» m quando xist rsptivamnt tal qu dsignar por «mínimo rlativo ou local» rsptivamnt «máximo rlativo ou local» d por um «minimizant» rsptivamnt por um «maximizant» d 6 Idntificar dada uma função ral d variávl ral o gráfico d como «tndo a concavidad stritamnt voltada para cima» rsptivamnt como «tndo a concavidad stritamnt voltada para baixo» num dado intrvalo s dados quaisqur três pontos do gráfico d abcissas m tais qu o dcliv da rta é infrior rsptivamnt suprior ao da rta 7 Sabr qu uma função ral d variávl ral tm a concavidad stritamnt voltada para cima rsptivamnt para baixo num dado intrvalo s somnt s dados quaisqur dois pontos do gráfico d abcissas m a part do gráfico d d abcissas stritamnt situadas ntr as abcissas d ficar abaixo rsptivamnt acima do sgmnto d rta [ ] 8 +Rconhcr dado um númro ral não nulo qu o gráfico da função dfinida pla [ a concavidad voltada para cima s xprssão tm m ] voltada para baixo s 5 Estudar funçõs lmntars opraçõs algébricas sobr funçõs 1 Esboçar o gráfico d funçõs quadráticas comçando por rprsntá-las por xprssõs da forma idntificando os intrvalos d monotonia o xtrmo absoluto as vntuais raízs o sntido da concavidad dos rsptivos gráficos 2 Idntificar uma função para a qual são dados um númro natural uma partição d xprssõs tais qu para todo o para todo o como «stando dfinida por ramos plas xprssõs rsptivamnt nos conjuntos» 3 Esboçar o gráfico d funçõs dfinidas por intrprtando gomtricamnt os valors FRVR10 Página 18

54 4 Justificar qu a função dfinida por é bijtiva qu para todo o 5 Justificar qu a função dfinida por é bijtiva qu para todo o 6 Dtrminar o domínio sboçar o gráfico d funçõs dfinidas analiticamnt por 7 Idntificar «função polinomial» como uma função qu pod sr dfinida analiticamnt por um polinómio com uma só variávl 8 Esboçar o gráfico d funçõs dfinidas por ramos nvolvndo funçõs polinomiais até ao 3º grau módulos radicais quadrados cúbicos 9 Idntificar dadas funçõs um númro ral um númro racional as funçõs «soma d com» «produto d { por» «quocint } «produto d d por» ond plo scalar» «potência d xpont d» ond é o conjunto dos númros rais para os quais stá dfinido como as funçõs com os domínios conjunto d chgada indicados dfinidas para cada lmnto do rsptivo domínio rsptivamnt por podndo utilizar-s para rprsntar as potências d xpont racional as notaçõs nvolvndo raízs 6 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr quaçõs inquaçõs nvolvndo as funçõs polinomiais a composição da função módulo com funçõs polinomiais 2 +Rsolvr quaçõs inquaçõs nvolvndo as funçõs raiz quadrada raiz cúbica 3 +Rsolvr problmas nvolvndo as propridads gométricas dos gráficos d funçõs rais d variávl ral 4 +Rsolvr problmas nvolvndo as funçõs afim quadrática raiz quadrada raiz cúbica módulo funçõs dfinidas por ramos a modlação d fnómnos rais 5 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação do domínio d funçõs obtidas por aplicação d opraçõs algébricas a funçõs dadas FRVR10 Página 19

55 Estatística EST10 Caractrísticas amostrais 1 Manipular o sinal d somatório 1 Dsignar dado uma squência d númros rais por «somatório d a dos» ou por «soma dos a soma trmos da squência» quando sta dsignação não for ambígua rprsntá-la por dsignar o símbolo por «sinal d somatório» para rprsntar também por a soma «somatório d a dos» 2 Rconhcr dados uma squência d númros rais qu a igualdad rprsnta no formalismo dos somatórios a propridad distributiva da multiplicação rlativamnt à adição aplicada ao produto d pla soma das parclas 3 Rconhcr dados uma squência d númros rais um númro natural tal qu qu a igualdad rprsnta no formalismo dos somatórios uma aplicação da propridad associativa da adição à soma das parclas 4 Rconhcr dado squências d númros rais qu a igualdad rprsnta no formalismo dos somatórios uma aplicação das propridads associativa comutativa da adição à soma das parclas 2 Utilizar as propridads da média d uma amostra 1 Intrprtar uma dada variávl statística quantitativa m dtrminada população como uma função numérica dfinida na população cujo valor m cada unidad statística é o valor qu md a caractrística m studo nss lmnto da população 2 Rprsntar dada uma variávl statística quantitativa m dtrminada população uma amostra d dimnsão dssa população cujos lmntos stão numrados d a por «o valor da variávl no lmnto d com o númro por a squência dsigná-la por «amostra da variávl statística» ou simplsmnt por «amostra» por «valors da amostra» os valors smpr qu sts abusos d linguagm não form ambíguos d uma variávl statística 3 Rprsntar dado uma amostra por a média dsignando-a igualmnt por «média da amostra» smpr qu st abuso d linguagm não for ambíguo com valors 4 Rprsntar dado uma amostra por o conjunto dos valors da amostra por os lmntos d por EST10 Página 20

56 dsignar o cardinal do conjunto «frquência absoluta do valor» justificar qu qu por dsignando sta última igualdad por «fórmula da média para dados agrupados» númros rais por 5 Rprsntar dado uma amostra justificar qu a amostra a média d 6 Intrprtar dado uma amostra como a abcissa do cntro d gravidad d um sgmnto d rta no qual s colocou para cada valor da amostra um ponto matrial no ponto d abcissa d massa igual à rsptiva frquência absoluta nunca s mantém quando para um dado s altra o valor rfrir por ssa razão qu a média é uma caractrística amostral «com pouca rsistência» 7 Rconhcr qu o valor da média d uma amostra 3 Dfinir conhcr propridads da variância do dsvio-padrão d uma amostra por «dsvio d m rlação à média» a quantidad rprsntá-la por provar qu por «2 +Rprsntar dado uma amostra» a soma dos quadrados dos dsvios dos m rlação à média rconhcr qu qu é possívl calcular 3 +Rconhcr dado uma amostra m função d mas qu só fica dtrminado s for conhcida a totalidad dsss dsvios rfrir por sta razão qu «tm graus d librdad» qu 4 Justificar dado uma amostra s somnt s númros rais qu s 5 Justificar dado uma amostra rsptivamnt ntão rsptivamnt qu 6 Justificar dado uma amostra ond rprsntam os valors da amostra a frquência absoluta d 1 Dsignar dado 7 Dsignar dado uma amostra «variância da amostra» EST10 uma amostra por por «dsvio-padrão da amostra» Página 21

57 8 Justificar dado somnt s 9 Justificar dados uma amostra uma amostra ntão qu s númros rais rsptivamnt rsptivamnt 10 Rconhcr dada uma variávl statística quantitativa m dtrminada população uma uma amostra d dimnsão dssa população sndo amostra corrspondnt da variávl statística qu para todo o a prcntagm dos lmntos da amostra nos quais os valors da variávl statística têm dsvios m qu s rlação à média supriors a dsvios-padrão é infrior a intrprtar st rsultado como tradução quantitativa da afirmação sgundo a qual o par rflt a distribuição dos valors da amostra m trmos d localização d disprsão 11 Rconhcr qu para comparar a disprsão dos valors dos lmntos d duas ou mais amostras m torno da média faz sntido comparar as rsptivas variâncias ou os rsptivos dsvios-padrão smpr qu a caractrística quantitativa m anális sja a msma nas divrsas amostras qu a rsptiva mdida stja calculada na msma unidad 12 Sabr dada uma população qu xistm critérios qu conduzm à rcolha d amostras cujas médias dsvios-padrão são considradas boas stimativas da média do dsvio-padrão da população 4 Dfinir conhcr propridads do prcntil d ordm 1 Dsignar dado squência uma amostra tal qu por «amostra ordnada» a com os msmos valors qu a amostra cada um dls figurando na squência um númro d vzs igual à rsptiva frquência absoluta nquanto valor da amostra um númro natural do 2 Dsignar dado uma amostra intrvalo ] ] por «prcntil d ordm» o valor máximo da amostra s a média dos lmntos d ordm na amostra ordnada s for intiro nos rstants casos o lmnto d ordm [ ] na amostra ordnada ond para «[ ]» dsigna a «part intira d» ou sja o maior númro natural infrior ou igual a rprsntá-lo por qu 3 Rconhcr dado uma amostra é igual à mdiana d sabr qu também é usual dfinir o primiro o trciro quartil d modo a coincidirm rsptivamnt com EST10 Página 22

58 4 Dsignar dados númros naturais uma squência crscnt d númros rais um conjunto d dados quantitativos organizados nos [ [ intrvalos d class qu s supõm d igual amplitud por «prcntil d ordm» o númro ou sja tal qu intrvalo d class [ tal qu [ ond é a frquência absoluta do é o maior númro natural tal qu 5 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a média o dsvio-padrão d uma amostra 2 +Rsolvr problmas nvolvndo os prcntis d uma amostra EST10 Página 23

59 11º ANO Trigonomtria Funçõs Trigonométricas TRI11 Extnsão da Trigonomtria a ângulos rtos obtusos rsolução d triângulos 1 Dfinir as razõs trigonométricas dos ângulos rtos obtusos rsolvr triângulos ] d ângulos intrnos 1 Provar dado um triângulo acutângulo [ d lados d mdida fixada uma unidad d comprimnto qu dsignar stas igualdads por «Li dos snos» ou «Analogia dos snos» Estndr a dfinição do sno aos ângulos rtos tomando quando o ângulo é rto rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a Li dos snos a triângulos rtângulos Estndr a dfinição do sno aos ângulos obtusos tomando para um ângulo obtuso ond é suplmntar a rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a Li dos snos a triângulos obtusângulos ] d lados d mdida +Provar dado um triângulo [ fixada uma unidad d comprimnto sndo agudo o ângulo intrno m qu s dsignar st rsultado por «Torma d Carnot» ou «Li dos cossnos» Estndr a dfinição do cossno aos ângulos rtos tomando quando o ângulo é rto rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a Li dos cossnos ao caso d um ângulo intrno rto rconhcndo qu nst caso s rduz ao Torma d Pitágoras +Estndr a dfinição do cossno aos ângulos obtusos tomando para um ângulo obtuso ond é suplmntar a rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a Li dos cossnos ao caso d um ângulo intrno obtuso Estndr a todos os ângulos convxos a propridad sgundo a qual dados ângulos com a msma amplitud o sno o cossno d são rsptivamnt iguais ao sno ao cossno d dsigná-los também rsptivamnt por sno cossno d ] fixadas unidads d comprimnto d 8 Dtrminar dado um triângulo [ amplitud d ângulos conhcidas as mdidas dos comprimntos dos três lados LLL as mdidas do comprimnto d dois dos lados da amplitud do ângulo intrno por ls formado LAL ou as mdidas do comprimnto d um dos lados das amplituds dos dois ângulos intrnos qu lh são adjacnts ALA as mdidas dos comprimntos dos rstants lados as mdidas das amplituds dos rstants ângulos intrnos do ]» obtr triângulo dsignar st procdimnto por «rsolução do triângulo [ valors aproximados dstas mdidas na forma d dízimas finitas até uma dada ordm utilizando uma máquina d calcular TRI11 Página 24

60 Orintação d ângulos num plano rotaçõs 2 Dfinir ângulos orintados as rsptivas mdidas d amplitud 1 Idntificar «ângulo orintado» como um ângulo não nulo nm giro no qual s fixa um dos lados para «lado origm» dsignando o outro por «lado xtrmidad» 2 Idntificar um ângulo orintado d um plano como tndo «orintação ngativa» quando imaginando os movimntos dos pontiros d um rlógio cujo mostrador s supõ situado nss plano os pontiros podm dscrvr o ângulo comçando no lado origm trminando no lado xtrmidad idntificar um ângulo orintado como tndo «orintação positiva» no caso contrário aftar do sinal as amplituds dos primiros nquanto ângulos orintados bm como as rsptivas mdidas 3 Dfinir rotaçõs sgundo ângulos orintados 1 Dsignar dados dois pontos um ângulo orintado m dtrminado plano um ponto por «imagm do ponto pla rotação d cntro d ângulo orintado» quando for o lado xtrmidad do ângulo orintado d lado origm com a msma amplitud d nquanto ângulos orintados 4 Dfinir ângulos gnralizados 1 Idntificar um «ângulo gnralizado» ou «ângulo trigonométrico» como um par ordnado ond é um ângulo orintado ou um ângulo nulo é um númro intiro qu é positivo ou nulo s tivr orintação positiva ngativo ou nulo s tivr orintação ngativa intrprtando-o intuitivamnt como o rsultado d rodar o lado xtrmidad do ângulo ou no caso d sr nulo o único lado coincidnt com ralizando voltas compltas no sntido dtrminado plo sinal d 2 Dsignar o lado origm rsptivamnt xtrmidad d um ângulo orintado também por «lado origm rsptivamnt xtrmidad dos ângulos gnralizados» um ângulo nulo também como «lado origm xtrmidad dos ângulos gnralizados» 3 Idntificar fixado um ângulo unidad sndo a mdida d amplitud dos ângulos giros a mdida d amplitud do ângulo gnralizado como ond é a mdida d amplitud do ângulo orintado ou nulo 4 Rconhcr qu dois ângulos gnralizados têm a msma amplitud s somnt tivrm a msma amplitud justificar fixado um ângulo unidad qu dado um númro ral fixada uma smirrta para lado origm xist um apnas um ângulo gnralizado cuja mdida d amplitud é igual a 5 Idntificar fixado um ponto um ângulo gnralizado a «rotação d cntro ângulo gnralizado» no caso d sr um ângulo nulo como a aplicação idntidad no plano nos rstants casos como a aplicação do plano sobr si próprio qu a cada ponto distinto d associa a imagm dss ponto pla rotação d cntro ângulo orintado ao ponto associa o próprio ponto 6 Rconhcr dado um ponto ângulos gnralizados ângulos orintados qu as rotaçõs d cntro ângulos gnralizados coincidm s somnt s tivrm a msma amplitud ou s tivrm sntidos contrários os valors absolutos das rsptivas amplituds tivrm soma igual à mdida d um ângulo giro TRI11 Página 25

61 5 Dfinir as razõs trigonométricas dos ângulos gnralizados 1 Dsignar um rfrncial ortonormado num dado plano como «dirto» quando o primiro quadrant considrado como ângulo orintado d lado origm coincidnt com o smiixo positivo lado xtrmidad coincidnt com smiixo positivo tm orintação positiva 2 Dsignar dado um rfrncial ortonormado m dado plano a circunfrência cntrada na origm d raio dss plano também por «circunfrência trigonométrica» ou por abuso d linguagm por «círculo trigonométrico» 3 Idntificar dado um rfrncial ortonormado dirto m dado plano um ângulo orintado dss plano o «sno d» rsptivamnt o «cossno d» como a ordnada rsptivamnt a abcissa do ponto intrsção da circunfrência trigonométrica com o lado xtrmidad do ângulo orintado d lado origm coincidnt com o smiixo positivo d amplitud igual a rprsntá-lo por ou rsptivamnt por ou por rconhcr qu st valor não dpnd da scolha do rfrncial qu sta dfinição stnd a dfinição d sno rsptivamnt d cossno d ângulos gométricos convxos s o idntificarmos com o sno rsptivamnt cossno d um ângulo orintado com a msma amplitud 4 Idntificar dado um rfrncial ortonormado dirto m dado plano um ângulo orintado dss plano d lados não prpndiculars a «tangnt d» como a ordnada do ponto intrsção da rta d quação tangnt à circunfrência trigonométrica no ponto d coordnadas com a rta suport do lado xtrmidad do ângulo orintado d lado origm coincidnt com o smiixo positivo d amplitud igual a rprsntá-la por ou rconhcr qu qu sta dfinição stnd a dfinição d tangnt d um ângulo agudo s a idntificarmos com a tangnt d um ângulo orintado com a msma amplitud 5 Idntificar dado um ângulo gnralizado o «sno d» o «cossno d» a «tangnt d» como rsptivamnt o sno o cossno a tangnt d 6 Justificar dados ângulos gnralizados com a msma amplitud qu o sno o cossno a tangnt d são rsptivamnt iguais ao sno ao cossno à tangnt d dsigná-los também rsptivamnt por sno cossno tangnt d 6 Dfinir mdidas d ângulos m radianos 1 Dsignar por «radiano» a amplitud d um ângulo ao cntro d uma circunfrência qu nla dtrmina um arco d comprimnto igual ao raio rconhcr qu o radiano não dpnd da scolha da circunfrência aproximando o comprimnto do arco d circunfrência por comprimntos d linhas poligonais inscritas 2 Eftuar convrsõs d mdidas d amplitud d ângulos d graus para radianos d radianos para graus comçando por justificar qu um ângulo giro tm amplitud radianos TRI11 Página 26

62 7 Dfinir funçõs trigonométricas dduzir propridads 1 Idntificar dado um númro ral a «tangnt d» rsptivamnt o «sno d» o «cossno d» como a tangnt rsptivamnt o sno o cossno d um ângulo gnralizado d mdida d amplitud igual a m radianos smpr qu ss valor stja dfinido dsignar a função assim dtrminada nss conjunto d númros rais com conjunto d chgada por «função tangnt» rsptivamnt «função sno» «função cossno» rprsntando-a por ou rsptivamnt por ou por o rsptivo valor num ponto do domínio também por ou rsptivamnt por ou por 2 Idntificar dado um númro uma função como «priódica d príodo» ou «-priódica» s para todo o 3 Dsignar dada uma função o númro por «príodo fundamntal d ou por «príodo positivo mínimo d» s for -priódica não admitir outro príodo infrior a 4 Justificar qu as funçõs rais d variávl ral sno cossno têm domínio contradomínio [ ] príodo fundamntal 5 Provar qu os zros da função sno rsptivamnt da função cossno são os númros da forma rsptivamnt da forma 6 Justificar qu a função sno rsptivamnt a função cossno admit xtrmos locais nos pontos d abcissa da forma rsptivamnt da forma x 7 Provar qu para todo o rconhcndo qu sta igualdad gnraliza a fórmula fundamntal da Trigonomtria rfri-la igualmnt por ssa dsignação 8 Justificar qu para todo o 9 Justificar qu a função ral d variávl ral tangnt tm contradomínio príodo fundamntal domínio qu os rsptivos zros são os númros da forma 10 Justificar qu as funçõs sno tangnt são ímpars a função cossno é par 8 Dfinir funçõs trigonométricas invrsas 1 +Rconhcr ] [ [ ] obtidas por rstrição rsptivamnt das funçõs qu as funçõs [ ] [ ] [ ] aos intrvalos indicados tomando para conjuntos d chgada os rsptivos contradomínios são bijtivas dsignar as bijçõs rcíprocas por «função arco-sno» arcsin ou arcsn «função arco-cossno» arccos «função arco-tangnt» arctan ou arctg rsptivamnt sabndo qu são valors aproximados dstas funçõs qu as calculadoras forncm associados às tclas rsptivamnt dsd qu stja slcionado o radiano para unidad d mdida dos ângulos 2 Rconhcr dados númros rais qu s somnt s xistir tal qu ou TRI11 Página 27

63 3 Rconhcr dados númros rais qu s somnt s xistir tal qu ou 4 Rconhcr dados númros rais do domínio da função tangnt qu s somnt s xistir tal qu 5 Rsolvr quaçõs da forma 9 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a rsolução d triângulos 2 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d distâncias utilizando ângulos as rsptivas razõs trigonométricas 3 +Rsolvr quaçõs trigonométricas problmas nvolvndo fórmulas trigonométricas a dtrminação d razõs trigonométricas 4 +Rsolvr problmas nvolvndo funçõs trigonométricas TRI11 Página 28

64 Gomtria Analítica GA11 Dcliv inclinação d uma rta 1 Dfinir a inclinação d uma rta 1 Idntificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm dada uma rta qu passa pla origm é distinta do ixo a «inclinação d» como a amplitud do ângulo convxo formado plo smi-ixo positivo das abcissas a smirrta ond é um qualqur ponto d d ordnada positiva idntificar a inclinação do ixo das abcissas como a amplitud nula 2 Idntificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado d origm a inclinação d uma rta como a inclinação da rta paralla a qu passa por 3 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado qu o dcliv d uma rta não vrtical é igual à tangnt trigonométrica da rsptiva inclinação Produto scalar 2 Dfinir conhcr propridads do produto scalar d vtors 1 Idntificar fixada uma unidad d comprimnto dados vtors não nulos o «produto scalar ou intrno d» como o númro rsptivamnt o númro ond fixado um ponto é a projção ortogonal d na rta s tivrm o msmo sntido rsptivamnt s tivrm sntidos contrários rconhcndo qu st valor é indpndnt da scolha do ponto idntificar o produto scalar d vtors como nulo s um dos vtors for nulo rprsntar o produto scalar d vtors por 2 Idntificar dados vtors não nulos «ângulo dos vtors» como qualqur ângulo convxo nulo ou raso tal qu rconhcndo qu têm todos a msma amplitud dsignar também ssa amplitud por «ângulo formado plos vtors» quando ssa dsignação não for ambígua rprsntá-la por 3 Provar dados vtors não nulos qu 4 Idntificar vtors como «prpndiculars» quando um dls for nulo ou quando não sndo nulo nnhum dos dois form prpndiculars duas rtas d vtors dirtors rsptivamnt iguais a a indicar qu são prpndiculars scrvndo 5 Justificar dados vtors qu 6 Justificar dado um vtor qu 7 Justificar dados vtors qu 8 +Provar dados vtors um númro ral qu 9 +Provar dados vtors qu 10 Justificar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado vtors qu comçando por justificar qu GA11 Página 29

65 11 Provar fixado um plano munido d um rfrncial ortonormado qu duas rtas d dclivs rsptivamnt iguais a a são prpndiculars s somnt s 12 Justificar fixado um rfrncial ortonormado do spaço dados vtors do spaço qu comçando por justificar qu 3 Dtrminar quaçõs d planos no spaço 1 Idntificar um vtor como «normal a um plano» s for nulo ou não sndo nulo s as rtas d vtor dirtor form prpndiculars a 2 Justificar dados planos vtors não nulos normais rsptivamnt a qu são stritamnt parallos ou coincidnts s somnt s form colinars são prpndiculars s somnt s form prpndiculars 3 Justificar dado um vtor não nulo normal a um plano um ponto qu para todo o ponto do plano 4 Rconhcr fixado um rfrncial ortonormado do spaço dado um vtor não nulo um ponto qu xist um único plano qu passa por tal qu é normal a provar qu s somnt s 5 Justificar qu as quaçõs da forma ond são quaçõs d planos rciprocamnt qu qualqur plano admit uma quação cartsiana daqula forma 6 Justificar dados qu o vtor d coordnadas é normal ao plano d quação 7 Idntificar dado um plano um vtor como «parallo a» s for nulo ou não sndo nulo s for vtor dirtor d uma rta d 8 +Provar dado um plano um ponto dois vtors não colinars parallos a qu para todo o ponto do spaço dsignar sta quação por «quação vtorial do plano» 9 Justificar dado um plano um ponto dois vtors não colinars parallos a qu para todo o ponto do spaço dsignar st sistma d quaçõs por «sistma das quaçõs paramétricas do plano» 4 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a noção d produto scalar d vtors 2 +Rsolvr problmas rlativos à dtrminação d quaçõs d rtas do plano m situaçõs divrsas nvolvndo a noção d prpndicularidad 3 +Rsolvr problmas rlativos à dtrminação d quaçõs d planos m situaçõs divrsas nvolvndo a noção d prpndicularidad d parallismo 4 +Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs d planos d rtas no spaço GA11 Página 30

66 Sucssõs SUC11 Gnralidads sobr sucssõs 1 Caractrizar o conjunto dos majorants dos minorants d um conjunto d númros rais 1 Idntificar um subconjunto d como «majorado» quando xist um númro ral tal qu dsignar por «majorant d» 2 Idntificar um subconjunto d como «minorado» quando xist um númro ral tal qu dsignar por «minorant d» 3 Idntificar um subconjunto d como «limitado» quando for majorado minorado 4 Dsignar por «máximo» rsptivamnt por «mínimo» d um subconjunto d um majorant rsptivamnt um minorant d prtncnt a justificar qu s xistir é único 2 Estudar propridads lmntars d sucssõs rais 1 Idntificar uma «sucssão ral» ou simplsmnt «sucssão» quando sta dsignação não for ambígua como uma função d domínio d conjunto d chgada rprsntar por dito «trmo gral da sucssão» a imagm d por por ou simplsmnt por ou ainda por quando stas notaçõs não form ambíguas a própria sucssão 2 Idntificar uma sucssão como «crscnt» rsptivamnt «dcrscnt» quando o for como função ral d variávl ral ou sja quando para quaisqur rsptivamnt rconhcr qu é crscnt rsptivamnt dcrscnt s somnt s para todo rsptivamnt 3 Idntificar uma sucssão como «crscnt rsptivamnt dcrscnt m sntido lato» quando para quaisqur rsptivamnt rconhcr qu é crscnt rsptivamnt dscrscnt m sntido lato s somnt s para todo rsptivamnt 4 Idntificar uma sucssão como «majorada» s o conjunto dos rsptivos trmos for majorado dsignar os majorants dst conjunto também por «majorants da sucssão» 5 Idntificar uma sucssão como «minorada» s o conjunto dos rsptivos trmos for minorado dsignar os minorants dst conjunto também por «minorants da sucssão» 6 Dsignar por «limitada» uma sucssão simultanamnt majorada minorada Princípio d Indução matmática 3 Utilizar o princípio d indução matmática 1 Sabr dada uma condição qu a proposição vrdadira s além disso para todo o rsultado por «princípio d indução matmática» SUC11 é vrdadira s for dsignar st nquanto antcdnt da Página 31

67 por «hipóts d indução» a proposição implicação por «hrditaridad» da propridad sabr qu o princípio d indução pod stndr-s mutatis mutandis fixado um númro intiro uma condição ond à dmonstração da proposição 2 Sabr dada uma função qu xist uma única sucssão d lmntos d tal qu rfrir qu stas condiçõs dfinm a sucssão «por rcorrência» sabr qu sts rsultados podm stndr-s mutatis mutandis à dfinição d funçõs d m ond também dsignadas por «sucssõs indiciadas m» 3 +Utilizar o princípio d indução para ftuar dmonstraçõs Progrssõs aritméticas gométricas 4 Calcular o trmo gral d progrssõs aritméticas gométricas 1 Dsignar dados por «progrssão aritmética d primiro trmo razão» a sucssão dfinida por rcorrência por para todo o 2 Justificar qu o trmo gral da progrssão aritmética d primiro trmo d razão é dado por 3 Dsignar dados por «progrssão gométrica d primiro trmo razão» a sucssão dfinida por rcorrência por para todo 4 Justificar qu o trmo gral da progrssão gométrica d primiro trmo razão não nula é dado por 5 Calcular a soma d um númro finito d trmos d progrssõs aritméticas gométricas 1 Dsignar dado por «progrssão aritmética finita d comprimnto» rsptivamnt «progrssão gométrica finita d comprimnto» a squência «dos primiros trmos» d uma progrssão aritmética rsptivamnt gométrica 2 +Rconhcr dado qu a soma dos trmos d uma progrssão aritmética d comprimnto é dada por 3 +Rconhcr dado qu a soma dos trmos d uma progrssão gométrica d comprimnto d primiro trmo d razão difrnt d é dada por Limits d sucssõs 6 Dfinir o limit d uma sucssão 1 Idntificar dada uma sucssão um númro ral como «limit da sucssão» ou como «limit d quando tnd para» quando para todo o númro ral xistir uma ordm tal qu rfrir nsta situação qu «tnd para» dsignar a sucssão por «convrgnt» quando um tal limit xist por «divrgnt» quando não for convrgnt SUC11 Página 32

68 2 Provar qu uma sucssão convrgnt admit um único limit rprsntá-lo por ou simplsmnt por 3 +Rconhcr qu as sucssõs convrgnts são limitadas 4 Sabr qu uma sucssão crscnt rsptivamnt dcrscnt m sntido lato majorada rsptivamnt minorada é convrgnt 5 Idntificar uma sucssão como «tndo limit» ou quando para todo o xistir uma ordm rfrir nsta situação qu «tnd para rconhcr qu uma tal sucssão é divrgnt 6 Idntificar uma sucssão como «tndo limit» tal qu» ou quando para todo o xistir uma ordm tal qu rfrir nsta situação qu «tnd para» rconhcr qu uma tal sucssão é divrgnt não tnd para 7 Rconhcr dada uma sucssão com limit ou tndndo para ou para rsptivamnt sm limit qu qualqur sucssão qu possa sr obtida d altrando apnas um númro finito d trmos tm o msmo limit rsptivamnt não tm limit 8 +Provar dada uma sucssão limitada uma sucssão com limit nulo qu 9 Provar dados númros rais utilizando a dfinição d limit qu o limit da sucssão d trmo gral s a s para todo o é igual a a s s a ou sja m particular qu o limit d uma sucssão constant é igual à própria constant Provar utilizando a dfinição d limit qu dado um númro racional s s Provar dadas duas sucssõs convrgnts com limits rsptivamnt é convrgnt qu iguais a qu a sucssão #Provar dadas duas sucssõs convrgnts com limits rsptivamnt é convrgnt qu iguais a qu a sucssão #Provar dada uma sucssão convrgnt d trmos não nulos com limit não nulo qu justificar qu s for também dada uma sucssão convrgnt com limit ntão a sucssão é convrgnt 14 #Provar dada uma sucssão convrgnt um númro ral qu a sucssão d trmo gral é convrgnt qu 15 #Provar dada uma sucssão convrgnt um númro racional qu s ou s os trmos da sucssão form todos não ngativos for positivo ou ainda s os trmos da sucssão form todos positivos ntão a sucssão d trmo gral é convrgnt 16 Provar dadas sucssõs com limits rsptivamnt ou ambas com limit qu rprsntar sta propridad por ou por 17 #Provar dadas sucssõs com limits rsptivamnt ou ambas com limit qu rprsntar sta propridad por ou por SUC11 Página 33

69 18 Justificar dadas sucssõs qu apnas da informação nada s pod concluir acrca da xistência d rfrir sta situação por «indtrminação do tipo» 19 #Provar dadas sucssõs com limit com limit ou rsptivamnt com limit ou qu rsptivamnt lim rprsntar stas propridads por rsptivamnt por 20 #Provar dadas sucssõs com limit com limit rsptivamnt com limit ou qu rsptivamnt rprsntar sta propridad por rsptivamnt por 21 #Provar dada uma sucssão com limit d trmos não ngativos rsptivamnt com limit um númro racional positivo rsptivamnt qu a sucssão d trmo gral tm limit rsptivamnt tm limit s for par limit s for ímpar rprsntar sta propridad por rsptivamnt por s for par por s for ímpar 22 Justificar dadas sucssõs qu apnas da informação ou nada s pod concluir acrca da xistência d rfrir sta situação por «indtrminação do tipo» 23 #Provar dada uma sucssão d trmos não nulos positiva a partir d crta ordm com limit nulo qu rprsntar sta propridad por 24 #Provar dada uma sucssão d trmos não nulos ngativa a partir d crta ordm com limit nulo qu rprsntar sta propridad por 25 #Provar dada uma sucssão d trmos não nulos a tndr para ou para qu rprsntar sta propridad por 26 Justificar dadas sucssõs qu apnas da informação rsptivamnt ond não s anula nada s pod concluir acrca da xistência do limit rfrir sta situação por «indtrminação do tipo» rsptivamnt «indtrminação do tipo» 27 Justificar dado um polinómio d grau suprior ou igual a qu a sucssão é tal qu s o coficint do trmo d maior grau da forma rduzida d for positivo qu no caso contrário 28 Calcular dadas sucssõs ond são polinómios sm raízs naturais o limit rlacioná-lo com os graus d com os coficints dos trmos d maior grau das rsptivas formas rduzidas 29 +Provar dado um númro ral qu s qu s SUC11 Página 34

70 30 +Provar dado um númro ral caso d qu qu comçando por obsrvar no 31 Sabr d mmória os limits das sucssõs d trmo gral 7 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo o studo da monotonia a dtrminação d majorants minorants d sucssõs 2 +Rsolvr problmas nvolvndo progrssõs aritméticas gométricas 3 +Calcular por mios algébricos o limit d sucssõs m situação indtrminada rfrir ss cálculo como um «lvantamnto da indtrminação» 4 +Rsolvr problmas nvolvndo a noção d limit d uma sucssão SUC11 Página 35

71 Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR11 Limits sgundo Hin d funçõs rais d variávl ral 1 Dfinir limit d uma função num ponto studar as rsptivas propridads fundamntais 1 Idntificar dado um conjunto como «ponto adrnt a» quando xist uma sucssão d lmntos d tal qu 2 Idntificar dada uma função ral d variávl ral um ponto como «limit d quando tnd para» quando for adrnt ao domínio d para toda a sucssão d lmntos d convrgnt para justificar qu um tal limit s xistir é único rprsntá-lo por rfrir nsta situação qu «tnd para quando tnd para» «stndr sta dfinição propridad ao caso d limits infinitos 3 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como o «limit d quando tnd para por valors infriors a» quando dsigná-lo também por «limit d ] por [ rprsntar à squrda d» rfrir nsta situação qu «tnd para quando tnd para por valors infriors a» stndr sta dfinição ao caso d limits infinitos 4 Idntificar dada uma função ral d variávl ral como o «limit d quando tnd para por valors supriors a» quando dsigná-lo também por «limit d ] por [ rprsntar à dirita d» rfrir nsta situação qu «tnd para quando tnd para por valors supriors a» stndr sta dfinição ao caso d limits infinitos 5 Sabr dada uma função ral d variávl ral um ponto adrnt ao rsptivo xistirm form iguais domínio qu s s os limits ntão xist o limit qu nss caso 6 Sabr dada uma função ral d variávl ral um ponto qu s os limits xistirm form ambos iguais a ntão xist o limit qu nss caso 7 Idntificar dada uma função ral d variávl ral cujo domínio não é majorado como «limit d quando tnd para mais infinito» quando para toda a sucssão d lmntos d com limit justificar qu um tal limit s xistir é rfrir nsta situação qu «tnd para único rprsntá-lo por quando tnd para mais infinito» stndr sta dfinição propridad ao caso d limits infinitos 8 Idntificar dada uma função ral d variávl ral cujo domínio não é minorado como «limit d quando tnd para mnos infinito» quando para toda a sucssão d lmntos d com limit justificar qu um tal limit s rfrir nsta situação qu «tnd xistir é único rprsntá-lo por para quando tnd para mnos infinito» stndr sta dfinição propridad ao caso d limits infinitos FRVR11 Página 36

72 9 Justificar qu os limits da soma do produto do quocint d funçõs função do produto por um scalar da potência d xpont racional d uma s calculam m pontos adrnts aos domínios rsptivamnt d a partir dos limits d nss pontos d forma análoga ao caso das sucssõs rconhcndo qu s mantêm as situaçõs indtrminadas 10 Justificar dado funçõs um ponto adrnt a qu s [ ] s é limitada ntão stndr st rsultado ao caso d limits por valors supriors ou infriors a bm como ao caso d limits m 11 Justificar dadas funçõs rais d variávl ral um ponto adrnt a s ntão qu 2 Dfinir a noção d continuidad as rsptivas propridads fundamntais 1 Justificar dada uma função ral d variávl ral um ponto xist ntão é igual a qu s o limit 2 Dsignar dada uma função ral d variávl ral função por «contínua m» quando o limit um ponto do rsptivo domínio a xist 3 Dsignar dada uma função ral d variávl ral «contínua no conjunto» quando do rsptivo domínio d domínio a função é contínua m todos os pontos d simplsmnt por «contínua» quando é contínua m todos os pontos d 5 Justificar qu s as funçõs rais d variávl ral num ponto ntão as funçõs são contínuas m 4 Sabr qu s uma função ral d variávl ral d domínio for contínua m rsptivamnt ou ntão xist uma vizinhança tal qu não s anula rsptivamnt é positiva ou é ngativa m a função por d são contínuas s é contínua m 6 Dsignar por «função racional» uma função ral d variávl ral dada por uma xprssão da forma ond são polinómios 7 Justificar qu as funçõs polinomiais racionais são contínuas 8 Justificar qu as potências d xpont racional são contínuas 9 Sabr qu as funçõs sno cossno são contínuas justificar qu a função tangnt é contínua 10 Justificar dadas funçõs rais d variávl ral qu s é contínua m é continua m ntão a função composta é contínua m 11 Justificar a continuidad d funçõs obtidas por aplicação sucssiva d opraçõs d adição algébrica multiplicação divisão composição d funçõs «d rfrência para a continuidad»: funçõs polinomiais potências d xpont racional as funçõs cossno sno tangnt FRVR11 Página 37

73 3 Dfinir assíntotas ao gráfico d uma função 1 Idntificar dado um rfrncial cartsiano uma função ral d variávl ral a rta d quação como «assíntota vrtical ao gráfico d» quando plo mnos um dos limits latrais d no ponto for infinito 2 Dsignar dada uma função ral d variávl ral um rfrncial cartsiano a rta d quação por «assíntota ao gráfico d m» rsptivamnt por «assíntota ao gráfico d m» s rsptivamnt s dsigná-la quando por «assíntota horizontal» 3 Provar dada uma função ral d variávl ral rsptivamnt rta d dcliv qu a condição é ncssária mas não suficint para qu xista uma qu sja assíntota ao gráfico d m rsptivamnt m 4 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo o studo d funçõs racionais 2 +Calcular por mios algébricos limits d funçõs rais d variávl ral m situação d indtrminação rfrir um dsss cálculos como um «lvantamnto da indtrminação» 3 +Rsolvr problmas nvolvndo a noção d limit d continuidad d uma função ral d variávl ral 4 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação das assíntotas da rprsntação por gráfica d funçõs racionais dfinidas m 5 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d assíntotas ao gráfico d funçõs racionais d funçõs dfinidas plo radical d uma função racional Drivadas d funçõs rais d variávl ral aplicaçõs 5 Dfinir a noção d drivada 1 Idntificar dada uma função ral d variávl ral domínio a «taxa média d variação d ntr dois pontos» como do rsptivo 2 Justificar dada uma função ral d variávl ral dois pontos do rsptivo domínio qu o dcliv da rta scant ao gráfico d nos pontos é igual à taxa média d variação d ntr 3 Idntificar dada uma função ral d variávl ral um ponto do rsptivo domínio a «taxa instantâna d variação d no ponto» como o limit quando st xist é finito dsigná-lo por «drivada d no ponto» rprsntá-lo por nss caso idntificar a função como «difrnciávl m» ou «drivávl m» 4 Justificar dada uma função ral d variávl ral um ponto do rsptivo domínio qu o limit xist s somnt s o limit xistir qu nss caso ambos os limits são iguais FRVR11 Página 38

74 5 Idntificar dada uma função ral d variávl ral difrnciávl m um» rfrncial ortonormado a «rta tangnt ao gráfico d no ponto como a rta d dcliv qu passa por justificar rprsntando por o dcliv da rta scant ao gráfico d qu passa plo ponto plo ponto qu 6 Aplicar a noção d drivada à cinmática do ponto 1 Idntificar fixados um instant para origm das mdidas d tmpo uma unidad d tmpo uma rta numérica com unidad d comprimnto um intrvalo uma função como «função posição d um ponto qu s dsloca na rta durant o intrvalo d tmpo» s para cada for a abcissa do ponto d qu rprsnta a posição qu ocupa unidads d tmpo dpois d s ou unidads d tmpo ants d s dsignando também por «instant» nst contxto cada 2 Idntificar fixados um instant para origm das mdidas d tmpo uma unidad d tmpo uma rta numérica com unidad d comprimnto um intrvalo a função posição d um ponto qu s dsloca na rta durant o intrvalo d tmpo dados dois instants d a «vlocidad média d no intrvalo d tmpo [ ] na unidad» como a taxa média d variação d para a «vlocidad instantâna d drivada d m caso xista no instant ntr na unidad» como a 7 Oprar com drivadas 1 Dsignar dada uma função ral d variávl ral a «função drivada d» como a função d domínio faz { } qu a cada corrspondr 2 Idntificar uma função ral d variávl ral como «difrnciávl num conjunto» quando é difrnciávl m todos os pontos d 3 Justificar qu s uma função ral d variávl ral é difrnciávl num conjunto é crscnt rsptivamnt dcrscnt no sntido lato nss conjunto ntão para todo o rsptivamnt 4 Provar dada uma função ral d variávl ral um ponto do rsptivo domínio qu s é difrnciávl m é contínua m justificar qu a rcíproca não é vrdadira 5 Provar dado um conjunto funçõs rais d variávl ral difrnciávis num ponto d um númro ral qu as funçõs são difrnciávis m qu s tm 6 #Provar dado um conjunto funçõs rais d variávl ral difrnciávis num ponto d qu a função é difrnciávl m qu FRVR11 Página 39

75 7 #Provar dado um conjunto difrnciávis num ponto qu funçõs rais d variávl ral d com 8 +Provar dada uma função d variávl ral qu a função é difrnciávl m difrnciávl num ponto tal qu difrnciávl m uma função ral qu a função composta é difrnciávl m qu 9 Calcular utilizando a dfinição uma xprssão analítica para os valors das funçõs drivadas das «funçõs d rfrência para o cálculo d drivadas» dfinidas por ou constants sabr d mmória sts rsultados 10 Provar dado um númro natural rsptivamnt dado um númro intir ngativo qu uma função ral d variávl ral d domíni rsptivamnt d domínio dfinida por é difrnciávl qu para todo o considrando também stas funçõs como «funçõs d rfrência para o cálculo d drivadas» sabr d mmória st rsultado 11 +Provar dado um númro natural par rsptivamnt dado um númro natural ímpar qu uma função ral d variávl ral d domínio rsptivamnt d domínio dfinida por é difrnciávl qu para todo o 12 Provar para todo o númro racional qu uma função ral d variávl ral d domínio dfinida por é difrnciávl qu para todo o considrando também stas funçõs como «funçõs d rfrência para o cálculo d drivadas» sabr d mmória st rsultado 13 +Dtrminar utilizando as rgras d drivação as drivadas das funçõs d rfrência uma xprssão analítica para as drivadas d funçõs obtidas por aplicação sucssiva d opraçõs d adição algébrica multiplicação divisão composição a funçõs d rfrência 8 Aplicar a noção d drivada ao studo d funçõs 1 Provar dada uma função ral d variávl ral com domínio contndo um intrvalo ] [ difrnciávl m qu s ating um xtrmo local m ntão dar um contraxmplo para a implicação rcíproca 2 Sabr dada uma função ral d variávl ral contínua m [ ] difrnciávl m ] [ qu xist ] [ tal qu intrprtar gomtricamnt st rsultado dsigná-lo por «Torma d Lagrang» 3 Justificar utilizando o Torma d Lagrang qu s uma função ral d variávl ral é contínua num dado intrvalo d xtrmo squrdo xtrmo dirito difrnciávl m ] [ ] [ rsptivamnt ] [ ntão é stritamnt crscnt rsptivamnt stritamnt dscrscnt no intrvalo 4 Justificar utilizando o Torma d Lagrang qu s uma função ral d variávl ral é contínua num dado intrvalo d xtrmo squrdo xtrmo dirito difrnciávl m ] [ ] [ rsptivamnt ] [ ntão é crscnt m sntido lato rsptivamnt dscrscnt m sntido lato no intrvalo FRVR11 Página 40

76 5 Justificar qu s uma função ral d variávl ral é contínua num dado intrvalo xtrmo squrdo xtrmo dirito difrnciávl m ] [ ] [ ntão é constant m d 9 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d quaçõs d rtas tangnts ao gráfico d funçõs rais d variávl ral 2 +Rsolvr problmas nvolvndo funçõs posição vlocidads médias vlocidads instantânas mudanças d unidads d vlocidad 3 +Rsolvr problmas nvolvndo o studo d funçõs rais d variávl ral a dtrminação dos rsptivos intrvalos d monotonia xtrmos rlativos absolutos FRVR11 Página 41

77 Estatística EST11 Rta d mínimos quadrados amostras bivariadas coficint d corrlação 1 Dtrminar os parâmtros da rta d mínimos quadrados 1 Dsignar fixado um rfrncial ortogonal num plano dados um númro natural uma squência d pontos dss plano uma rta d quação por «dsvio vrtical do ponto m rlação à rta» a quantidad intrprtá-lo gomtricamnt rprsntá-lo por 2 Provar fixado um rfrncial ortogonal num plano dados um númro natural uma squência d pontos dss plano uma rta d quação qu as condiçõs são quivalnts ond 3 +Rconhcr fixado um rfrncial ortogonal num plano dados um númro natural uma squência d pontos dss plano não prtncnts a uma msma rta vrtical uma rta d quação ond ou sja tal qu é nula a soma dos dsvios vrticais da squência d pontos m rlação à rta qu a função dfinida m pla xprssão ating um mínimo absoluto no ponto dsignar a rta com ss dcliv ordnada na origm igual a por «rta d mínimos quadrados» da squência d pontos Idntificar dadas duas variávis statísticas quantitativas m dtrminada população uma amostra d dimnsão dssa população cujos lmntos stão numrados d a a «amostra bivariada das variávis statísticas» ou simplsmnt «amostra d dados bivariados quantitativos» como a squência rprsntá-la por dsignar por «dimnsão da amostra bivariada» o númro natural Dtrminar m casos concrtos d amostras d dados bivariados qual das variávis statísticas dvrá sr tomada como indpndnt qual dv sr tomada como dpndnt utilizando argumntos qu nvolvam o conhcimnto mpírico das condicionants físicas ou outras qu podrão tr dtrminado a strutura d rlação ntr as duas variávis statísticas Dsignar dada uma amostra d dados bivariados a variávl considrada dpndnt por «variávl rsposta» a variávl considrada indpndnt por «variávl xplicativa» Dsignar fixado um rfrncial ortonormado num plano uma amostra d dados bivariados quantitativos por «nuvm d pontos» o conjunto { sabr qu uma anális visual intuitiva da nuvm d pontos podrá prmitir argumntar s srá ou não adquada a intrprtação da rlação ntr as duas variávis statísticas através do ajustamnto da rta d mínimos quadrados EST11 Página 42

78 8 Dtrminar dada uma amostra d dados bivariados quantitativos após a scolha da variávl rsposta da variávl xplicativa ainda da avaliação mpírica da possívl xistência d rlação linar ntr as duas variávis statísticas mdiant a obsrvação da rprsntação gráfica da nuvm d pontos o dcliv a ordnada na origm da rta d mínimos quadrados 9 Dsignar dado um númro natural uma amostra d dados bivariados quantitativos por «coficint d corrlação linar» o quocint por rconhcr qu ond rprsntá-lo é o dcliv da rta d mínimos quadrados justificar qu têm o msmo sinal sabr qu é smpr mnor ou igual a tomando o valor unicamnt nos casos m qu todos os pontos stão alinhados rfrir qu a «associação linar ntr as variávis statísticas» é positiva rsptivamnt ngativa s rsptivamnt s qu é tão mais «fort» quanto mais prto d stivr 2 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação da rta d mínimos quadrados 2 +Rsolvr problmas cujo contxto sja o da anális d dados bivariados nvolvndo a idntificação da variávl rsposta da variávl xplicativa a anális mpírica do ajustamnto da rta d mínimos quadrados 3 +Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo intrprtação do coficint d corrlação EST11 Página 43

79 12º ANO Cálculo Combinatório CC12 Introdução ao cálculo combinatório 1 Conhcr propridads das opraçõs sobr conjuntos 1 #Provar dados conjuntos qu s somnt s s somnt s qu o conjunto vazio stá contido m qualqur conjunto 2 Justificar dados subconjuntos d um conjunto qu s somnt s 3 #Provar dados conjuntos qu são vrdadiras as igualdads bm como as qu s obtêm prmutando m todas as ocorrências os símbolos dsigná-las rsptivamnt por «associatividad» «comutatividad» «distributividad» «idmpotência» 4 #Provar dado um conjunto qu para quaisqur subconjuntos d dsignar stas igualdads por «Lis d D Morgan para conjuntos» qu 5 Provar dados conjuntos qu 2 Conhcr factos lmntars da combinatória 1 Sabr dados conjuntos qu s somnt s xistir uma bijção d sobr nss caso idntificar os conjuntos como «quipotnts» 2 Sabr dados conjuntos tais qu qu 3 +Provar dados conjuntos d cardinais rsptivamnt iguais a a qu o cardinal do produto cartsiano é igual a 4 +Rconhcr qu xistm xatamnt squências d lmntos não ncssariamnt distintos scolhidos num conjunto d cardinal dsignar ss númro por «arranjos com rptição d lmntos a» rconhcr qu dados objtos xistm xatamnt formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos rpondo o objto scolhido após cada uma das xtraçõs 5 +Dsignar dado um conjunto por «conjunto das parts d» o conjunto formado plos subconjuntos d rprsntá-lo por rconhcr qu s tivr lmntos ntão tm lmntos 6 Rconhcr qu xistm xatamnt formas d ordnar os lmntos d um conjunto d cardinal dsignar st númro por «númro d prmutaçõs d lmntos» rprsntá-lo por «fatorial» 7 Sabr qu por convnção rconhcndo qu sta dfinição é a única para a qual a igualdad val também para CC12 Página 44

80 8 +Rconhcr qu xistm xatamnt squências d lmntos distintos scolhidos num conjunto d lmntos dsignar st númro por «númro d arranjos sm rptição d lmntos a» rconhcr qu dados objtos xistm xatamnt formas distintas d ftuar xtraçõs sucssivas d um dsss objtos sm rpor o objto scolhido após cada uma das xtraçõs 9 Justificar qu um conjunto d subconjuntos d combinaçõs d xatamnt por por «lmntos tm xatamnt lmntos dsignar st númro por «númro d lmntos a» rconhcndo qu dado objtos xistm formas d scolhr d ntr ls rprsntar st númro» ou por rconhcndo qu s trata d um númro natural 10 +Simplificar xprssõs nvolvndo fatoriais arranjos combinaçõs 3 Conhcr o triângulo d Pascal o binómio d Nwton 1 Justificar dados númros naturais qu d dois modos distintos: utilizando um cálculo algébrico um argumnto combinatório 2 Justificar dado qu intrprtando sta igualdad à luz do númro d subconjuntos d um conjunto d lmntos 3 +Rconhcr dados númros naturais qu utilizar sta igualdad para construir progrssivamnt o «triângulo d Pascal» no qual figuram na -ésima linha os númros por sta ordm 4 +Rconhcr dado a igualdad ntr polinómios nas variávis dsignando-a por «binómio d Nwton» por sta razão dsignar os númros igualmnt por «coficints binomiais» 4 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo opraçõs sobr conjuntos cardinais d conjuntos 2 +Rsolvr problmas d contagns nvolvndo arranjos combinaçõs 3 +Rsolvr problmas nvolvndo o triângulo d Pascal o binómio d Nwton CC12 Página 45

81 Probabilidads PRB12 Dfinição d probabilidad 1 Dfinir spaços d probabilidad 1 Idntificar dado um conjunto finito uma «probabilidad no conjunto das parts d» como uma função d domínio d valors não ngativos tal qu disjuntos para dsignar nst contxto o conjunto por «spaço amostral» ou «univrso dos rsultados» por «spaço dos acontcimntos» os rsptivos lmntos por «acontcimntos» por «probabilidad do acontcimnto» o trno por para um caso particular d «spaço d probabilidad» 2 Dsignar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto o conjunto vazio por «acontcimnto impossívl» o conjunto por «acontcimnto crto» dois acontcimntos por «incompatívis» ou por «mutuamnt xclusivos» s form disjuntos por «complmntars» ou por «contrários» s form disjuntos a rsptiva união for igual a por «quiprovávis» s tivrm a msma probabilidad 3 Dsignar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto um acontcimnto por «casos favorávis a» os lmntos d por «casos possívis» os lmntos do spaço amostral 4 Dsignar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto um acontcimnto por «lmntar» quando por «composto» quando 5 Justificar dado um conjunto finito qu a função d domínio dfinida por é a única probabilidad m tal qu os acontcimntos lmntars são quiprovávis dsignar sta dfinição da função d probabilidad por «dfinição d Laplac» Provar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto um qu qu acontcimnto Provar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto qu s justificando qu acontcimntos dsignar st último rsultado por «monotonia da probabilidad» Justificar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto qu [ ] Provar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto qu acontcimntos Sabr qu s podm considrar spaços amostrais infinitos podndo-s dfinir nssa situação uma função d probabilidad cujas propridads gnralizam as qu caractrizam st concito no caso m qu é finito dsd qu s dfina d forma apropriada a class d acontcimntos subconjunto d qu constitui o domínio d PRB12 Página 46

82 2 Dfinir probabilidad condicionada 1 Rconhcr no quadro d uma xpriência alatória m qu o univrso dos rsultados é finito qu s s soubr qu um dado acontcimnto ocorru o númro d casos possívis da xpriência alatória é o númro d casos favorávis d um acontcimnto é dado por justificar qu s os acontcimntos lmntars form quiprovávis a probabilidad d ocorrr sabndo qu ocorru é igual a m qu rprsnta a probabilidad no spaço inicial 2 Dsignar dada uma probabilidad dois acontcimntos com por «probabilidad d s» por «probabilidad condicionada d s» ou por «probabilidad d ocorrr sabndo qu ocorru» a quantidad rprsntá- -la por 3 #Provar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto um com acontcimnto qu a função dfinida pla xprssão é uma probabilidad m 4 Justificar dada uma probabilidad dois acontcimntos qu s somnt s ou idntificar os acontcimntos como «indpndnts» quando é vrdadira uma dstas condiçõs quivalnts 5 #Provar dado um conjunto finito uma probabilidad no conjunto uma partição d constituída por acontcimntos d probabilidad não nula qu para todo o acontcimnto dsignar st rsultado por «Torma da probabilidad total» 3 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo cálculo combinatório a dtrminação d probabilidads m situaçõs d quiprobabilidad d acontcimntos lmntars 2 +Rsolvr problmas nvolvndo spaços d probabilidads a dtrminação d propridads da função d probabilidad 3 +Rsolvr problmas nvolvndo probabilidad condicionada acontcimntos indpndnts o Torma da probabilidad total PRB12 Página 47

83 Funçõs Rais d Variávl Ral FRVR12 Limits Continuidad 1 Utilizar tormas d comparação os tormas das sucssõs funçõs nquadradas 1 #Provar dadas sucssõs convrgnts qu s a partir d crta ordm ntão 2 #Provar dadas sucssõs qu s a partir d crta ordm ntão 3 #Provar dadas sucssõs qu s a partir d crta ordm ntão 4 #Provar dadas sucssõs convrgnts com o msmo limit uma sucssão tal qu a partir d crta ordm qu é convrgnt dsignar st rsultado por «Torma das sucssõs nquadradas» 5 #Provar dadas funçõs rais d variávl ral d domínio um ponto adrnt a qu s para todo o rsptivamnt ntão rsptivamnt stndr st rsultado ao caso d limits por valors supriors ou infriors a bm como ao caso d limits m 6 #Provar dado um númro ral funçõs rais d variávl ral d domínio qu s s para todo o ntão stndr st rsultado ao caso d limits por valors supriors ou infriors a bm como ao caso d limits m «Torma das funçõs nquadradas» dsignar st rsultado por 2 Conhcr propridads lmntars das funçõs contínuas 1 Sabr dada uma função ral d variávl ral contínua num intrvalo [ ] qu para qualqur valor do intrvalo d xtrmos xist qu dsignar sta propridad por «Torma dos valors intrmédios» por «Torma d Bolzano-Cauchy» 2 Sabr dada uma função ral d variávl ral contínua num intrvalo [ ] qu admit máximo mínimo absolutos dsignar st rsultado por «Torma Wirstrass» tal ou d 3 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo os tormas d comparação das sucssõs funçõs nquadradas para o cálculo d limits o studo da continuidad d funçõs rais d variávl ral FRVR12 Página 48

84 Drivadas d funçõs rais d variávl ral aplicaçõs 4 Rlacionar a drivada d sgunda ordm com o sntido da concavidad do gráfico d uma função com a noção d aclração 1 Dsignar dada uma função ral d variávl ral difrnciávl num intrvalo tal qu a função drivada é difrnciávl num ponto a drivada por «drivada d sgunda ordm d no ponto» rprsntá-la por 2 Idntificar uma função ral d variávl ral como «duas vzs difrnciávl» num dado intrvalo s xistir para todo o 3 +Provar dada uma função duas vzs difrnciávl num intrvalo ] [ ] [ tal qu qu s rsptivamnt admit um mínimo rsptivamnt um máximo local m 4 +Provar dada uma função difrnciávl num intrvalo qu tm a concavidad voltada para cima rsptivamnt voltada para baixo m s somnt s for stritamnt crscnt rsptivamnt stritamnt dcrscnt m 5 Justificar dada uma função duas vzs difrnciávl num intrvalo d xtrmo squrdo xtrmo dirito qu s para todo o ] [ rsptivamnt o gráfico da função tm a concavidad voltada para cima rsptivamnt voltada para baixo no intrvalo 6 Justificar dada uma função duas vzs difrnciávl num intrvalo qu s o gráfico da função tm a concavidad voltada para cima rsptivamnt voltada para baixo no intrvalo ntão para todo o rsptivamnt 7 Idntificar dada uma função d domínio o ponto ond como «ponto d inflxão do gráfico d» s xistirm númros rais tais qu [ ] a concavidad do gráfico d no intrvalo [ ] tm sntido contrário à concavidad do gráfico d no intrvalo [ ] nss caso rfrir qu «o gráfico d tm ponto d inflxão m» 8 Justificar dada uma função duas vzs difrnciávl num intrvalo qu s o gráfico d tm ponto d inflxão m ntão 9 Idntificar fixado um instant para origm das mdidas d tmpo uma unidad d tmpo uma rta numérica com unidad d comprimnto um intrvalo não vazio nm rduzido a um ponto dada a função posição d um ponto qu s dsloca na rta durant o intrvalo d tmpo dois instants d a «aclração média d no intrvalo no intrvalo d tmpo [ ] na unidad» como a taxa média d variação d «aclração instantâna d sgunda ordm d m ntr no instant na unidad para a» como a drivada d 5 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo propridads das funçõs difrnciávis 2 +Esboçar o gráfico d funçõs dfinidas analiticamnt comçando por dtrminar o rsptivo domínio smpr qu possívl os zros os intrvalos d monotonia os xtrmos locais absolutos o sntido das concavidads os pontos d inflxão as assíntotas ao rsptivo gráfico FRVR12 Página 49

85 3 +Rsolvr problmas d otimização nvolvndo funçõs difrnciávis 4 +Rsolvr problmas nvolvndo funçõs posição vlocidads médias vlocidads instantânas aclraçõs médias aclraçõs instantânas mudanças d unidads d aclração 5 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d valors aproximados d soluçõs d quaçõs da forma funçõs contínuas utilizando uma calculadora gráfica m casos m qu é possívl justificar através da litura das informaçõs forncidas pla calculadora qu dtrminados valors coincidm até à casa dcimal indicada com soluçõs da rfrida quação utilizando propridads conhcidas das funçõs contínuas como o Torma dos valors intrmédios ou outras propridads analíticas das funçõs prviamnt stablcidas FRVR12 Página 50

86 Trigonomtria Funçõs Trigonométricas TRI12 Difrnciação d funçõs trigonométricas 1 Establcr fórmulas d trigonomtria 1 +Rconhcr dados ângulos cuja soma é um ângulo convxo qu 2 +Rconhcr dado um ângulo convxo d amplitud suprior à d um ângulo qu ond é um ângulo cuja soma com é igual a 3 Sabr qu para todos os stndndo-s assim as fórmulas já conhcidas nvolvndo apnas mdidas d amplitud d ângulos gométricos convxos justificar qu 2 Calcular a drivada d funçõs trigonométricas 1 +Rconhcr qu para todo o [ [ provar qu rfrindo st limit como «limit notávl» 2 Provar qu as funçõs sno cossno são difrnciávis qu para todo o 3 Provar qu a função tangnt é difrnciávl no rsptivo domínio qu para todo o 3 Rlacionar osciladors harmónicos a sgunda li d Nwton 1 Dsignar por «oscilador harmónico» um sistma constituído por um ponto qu s dsloca numa rta numérica m dtrminado intrvalo d tmpo d tal forma qu a rsptiva abcissa como função d sja dada por uma xprssão da forma ond [ [ dsignar stas constants rsptivamnt por «amplitud» «pulsação» «fas» justificar qu a função é priódica d príodo dsignar por «frquência» do oscilador harmónico 2 Esboçar o gráfico d funçõs dfinidas por ond 3 Sabr dado um ponto matrial d massa colocado na xtrmidad d uma mola cuja outra xtrmidad s ncontra fixa qu tomando por origm da rta numérica m qu s dsloca o rsptivo ponto d quilíbrio a abcissa da posição d no instant satisfaz a quação intprtando o trmo como a força xrcida pla mola sobr «li d Hook» dsignar a igualdad dsta força com o produto da massa pla aclração d por um caso particular da «sgunda Li d Nwton» rsolvr problmas nvolvndo sistmas massa-mola com stas caractrísticas TRI12 Página 51

87 4 Justificar dado qu as funçõs dfinidas por uma xprssão da forma ond são constants rais satisfazm a quação difrncial sabr qu todas as soluçõs dsta quação são dssa forma rconhcr qu um sistma constituído por uma mola por um ponto matrial colocado na rsptiva xtrmidad constitui um oscilador harmónico 4 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo a utilização d fórmulas trigonométricas o studo d funçõs dfinidas a partir d funçõs trigonométricas a dtrminação dos rsptivos intrvalos d monotonia bm como os xtrmos rlativos absolutos 2 +Rsolvr problmas nvolvndo drivadas d funçõs trigonométricas osciladors harmónicos TRI12 Página 52

88 Funçõs Exponnciais Funçõs Logarítmicas FEL12 Juros compostos númro d Npr 1 Oprar com juros compostos dfinir o númro d Npr 1 Dsignar dado um númro ral uma unidad d mdida tmporal por «aplicar juros compostos à taxa d % a durant príodos d tmpo» a um dado capital disponívl m crto instant inicial a opração qu consist m calcular um juro igual a % do capital disponívl no início d cada príodo d tmpo com duração igual a adicioná-lo ao capital findo ss príodo comçando st procsso a partir do instant lvando-o a cabo vzs sguidas 2 Provar dado um capital inicial qu aplicando-s juros compostos à taxa d % a o capital disponívl ao fim d priodos d tmpo é igual a 3 Justificar dado um númro ral um númro natural um capital disponívl no início d um dtrminado príodo d um ano qu dividindo ss ano m priodos iguais d mdida tmporal aplicando juros compostos à taxa d % a durant sss príodos ao capital inicial o capital disponívl ao fim do ano é igual a 4 +Provar qu a sucssão d trmo gral é crscnt majorada justificar qu é convrgnt dsignar por «númro d Npr» o rsptivo limit intrprtar todos sts rsultados à luz da noção d juro composto sabr qu é um númro irracional Funçõs xponnciais 2 Dfinir as funçõs xponnciais stablcr as rsptivas propridads principais 1 +Provar dado um númro ral qu a função dfinida no conjunto dos númros racionais por é crscnt s dcrscnt s 2 +Provar dado um númro ral qu a função dfinida no conjunto dos númros racionais por satisfaz justificar qu é contínua 3 +Provar dado um númro ral racionais por satisfaz o facto d 4 Justificar dado satisfaz qu a função dfinida no conjunto dos númros utilizando o limit já conhcido sr crscnt qu a função dfinida no conjunto dos númros racionais por quando quando 5 Sabr dado um númro ral um númro irracional qu s é uma qualqur sucssão d númros racionais d limit a sucssão d trmo gral é convrgnt o rsptivo limit dpnd apnas d d qu rprsntando ss limit por s stnd a função dfinida por m ao conjunto FEL12 Página 53

89 obtndo-s por st procsso uma função contínua nss conjunto dsignada por «função xponncial d bas» qu mantém a monotonia os limits m as propridads algébricas d m : para todos 6 Sabr qu tal como no caso m qu mais gralmnt quando dfinida m por é contínua 7 Sabr qu a função dfinida m justificar dado ] por [ qu 8 Dsignar a função xponncial d bas rprsntá-la também por 9 Sabr qu a função tm por limit m simplsmnt por «função xponncial» rfrindo st limit como um «limit notávl» 10 Provar qu a função xponncial é difrnciávl m qu para todo o Funçõs logarítmicas 3 Dfinir as funçõs logarítmicas stablcr as rsptivas propridads principais 1 Rconhcr dado um númro ral qu a função dfinida por é bijtiva dsignar a rsptiva bijção rcíproca por «logaritmo d bas» rprsntá-la por «justificar qu 2 Dsignar o logaritmo d bas por «logaritmo dcimal» rprsntando-o também por dsignar o logaritmo d bas por «logaritmo npriano» rprsntando-o também por 3 Justificar qu a função logaritmo d bas é crscnt s dcrscnt s 4 Justificar qu é o único zro da função logaritmo d bas qu s rsptivamnt s rsptivamnt 5 Justificar dado qu qu 6 Justificar dado 7 #Provar dado 8 #Provar dados qu qu qu qu 9 Justificar dado qu 10 Justificar dado qu a função xponncial d bas é difrnciávl qu a rsptiva drivada é dada m pla xprssão 11 +Provar dado qu é difrnciávl qu para todo o 12 Justificar dado qu a função é difrnciávl para d drivada stndndo-s assim o caso já conhcido corrspondnt a racional FEL12 Página 54

90 Limits notávis 4 Conhcr alguns limits notávis nvolvndo funçõs xponnciais logarítmicas 1 +Provar qu 2 Justificar qu 3 +Calcular limits d funçõs sucssõs nvolvndo logaritmos xponnciais Modlos xponnciais 5 Estudar modlos d crscimnto dcrscimnto xponncial 1 Sabr qu a volução d dtrminadas grandzas como a massa d uma substância radioativa a tmpratura d alguns sistmas ou o númro d indivíduos d crtas populaçõs pod sr modlada por uma «quação difrncial d 1ª ordm» da forma qu traduz o facto d m cada instant a taxa d variação sr aproximadamnt proporcional à quantidad d grandza prsnt 2 Justificar dado um númro ral qu as funçõs ond é uma constant ral são soluçõs m da quação difrncial qu todas as soluçõs dsta quação são dssa forma mostrando qu dada uma qualqur solução tm drivada nula a função 6 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo juros compostos 2 +Rsolvr problmas nvolvndo as propridads algébricas das funçõs xponnciais logarítmicas 3 +Rsolvr problmas nvolvndo o studo d funçõs dfinidas a partir d funçõs xponnciais logarítmicas a dtrminação dos rsptivos intrvalos d monotonia bm como os xtrmos rlativos absolutos a xistência d assíntotas ao rsptivo gráfico 4 +Rsolvr problmas nvolvndo a modlação d sistmas por quaçõs da forma FEL12 Página 55

91 Primitivas Cálculo Intgral PCI12 Noção d primitiva 1 Dfinir a noção d primitiva 1 Dsignar dada uma função ral dfinida num intrvalo uma função por «primitiva d m» quando é difrnciávl m para todo o dsignar como «primitivávl m» quando admit uma primitiva nss intrvalo 2 Justificar dada uma função primitivávl num intrvalo duas primitivas d nss intrvalo qu a função é constant m 3 Justificar qu s é primitivávl num intrvalo ntão as primitivas d nss intrvalo são as funçõs dfinidas plas xprssõs ond é uma qualqur primitiva d m rprsntar sta xprssão por ou por dsignar as constants por «constants d primitivação» 4 Justificar dado um intrvalo um ponto uma função primitivávl m qu xist uma única primitiva d m tal qu 5 Calcular conhcr d mmória as primitivas das funçõs «d rfrência para a primitivação»: 6 Justificar dadas funçõs primitivávis num intrvalo qu são primitivávis m qu a soma d uma primitiva d com uma primitiva d é uma primitiva d o produto d uma primitiva d por é uma primitiva d rprsntar sts rsultados rsptivamnt plas xprssõs quando stas notaçõs não form ambíguas dsigná-los conjuntamnt por «linaridad da primitivação» 7 +Calcular primitivas d funçõs dadas por xprssõs da forma sndo conhcida uma primitiva d Noção d intgral 2 Abordar intuitivamnt a noção d intgral dfinido 1 Idntificar dado um rfrncial cartsiano uma função contínua não ngativa num» como a mdida na unidad quadrada associada à unidad d comprimnto dss rfrncial da ára da rgião do plano dlimitada plas rtas d quação o ixo das abcissas o gráfico d intrvalo [ ] o «intgral d ntr 2 Conhcr a origm histórica da xprssão rprsntando o símbolo uma soma a mdida da ára d um rtângulo com lados d mdida sndo sta última infinitsimal 3 Sabr qu na xprssão o símbolo pod sr substituído por qualqur outro dsignar por sta razão a variávl PCI12 como «muda» Página 56

92 4 Rconhcr dadas funçõs contínuas não ngativas num intrvalo [ [ ] ] ntão dsignar sta propridad por «monotonia do intgral dfinido» 5 Rconhcr dada uma função contínua não ngativa num intrvalo [ ] qu a função dfinida m [ ] por é a primitiva d no intrvalo qu s para todo o [ ] nula m dsignar st rsultado por «Torma fundamntal do cálculo intgral» 6 Provar dada uma função contínua não ngativa num intrvalo [ ] [ ] ond qu no intrval [ é uma qualqur primitiva d [ ] dsignar st rsultado por «Fórmula d Barrow» 7 Sabr dada uma função contínua não ngativa num intrvalo dois pontos qu por convnção tais qu convnção dados quaisqur pontos ] d justificar qu com sta d s tm dsignando st rsultado por «rlação d Chasls» 8 Idntificar dado um rfrncial cartsiano uma função contínua num intrvalo [ ]» como o simétrico da mdida da ára da rgião do plano dlimitada plas rtas d quação o ixo das abcissas o gráfico d rconhcr qu s tm tal qu 9 Rconhcr dadas funçõs intrvalo [ [ para ] o «intgral d contínuas não ngativas ou não positivas num qu ] ntr qu dsignar o conjunto dsts rsultados por «linaridad do intgral dfinido» 10 Idntificar dada uma função contínua d domínio [ ] para a qual xist com tal qu é não ngativa ou não positiva m cada um dos intrvalos [ ] o intgral d ntr como a soma rconhcndo qu st valor não dpnd da squência sabr qu s podm stndr a sta catgoria d funçõs a propridad d monotonia do intgral o Torma fundamntal do cálculo a fórmula d Barrow a rlação d Chasls com a msma convnção rlativa à invrsão dos xtrmos d intgração a propridad d linaridad 3 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d intgrais dfinidos 2 +Rsolvr problmas nvolvndo funçõs posição vlocidad aclração a primitivação intgração d funçõs rais d variávl ral 3 +Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação da mdida da ára d rgiõs do plano dlimitadas por gráficos d funçõs PCI12 Página 57

93 Númros Complxos NC12 Introdução aos númros complxos 1 Conhcr o contxto histórico do aparcimnto dos númros complxos motivar a rsptiva construção 1 Sabr qu m mados do século XVI Girolamo Cardano aprsntou uma fórmula dita «fórmula rsolvnt para quaçõs do trciro grau» qu prmit obtr uma solução ral d quaçõs do trciro grau da forma m função dos númros rais 2 Sabr qu ao substituir formalmnt por crtos valors na fórmula d Cardano sta passa a aprsntar o símbolo qu oprando formalmnt com st símbolo considrando m particular qu s obtém ftivamnt uma solução ral da quação qu st facto stá na origm da motivação para s dfinir adquadamnt um númro cujo quadrado é igual a 3 +Rconhcr qu s xistir um conjunto contndo munido d duas opraçõs qu stndm rsptivamnt a opração d adição d multiplicação d númros rais mantndo os msmos lmntos nutros qu são associativas comutativas tais qu é distributiva rlativamnt a tal qu contém um lmnto qu satisfaz ntão para tm-s ncssariamnt m a quivalência bm como as igualdads notando m particular qu os rsultados das opraçõs sobr lmntos d da forma têm ssa msma forma 2 Dfinir o corpo dos númros complxos uma 1 Dfinir m uma opração aditiva por opração multiplicativa por dsignar o conjunto quando munido dstas duas opraçõs por «corpo dos númros complxos» rprsntá-lo por 2 Justificar qu as opraçõs dfinidas m são associativas comutativas qu são rsptivamnt os lmntos nutros d qu é distributiva rlativamnt a 3 Justificar qu dados por sta razão idntificar com um subconjunto d associando a cada o par ordnado rprsntando portanto o númro complxo por 4 Rprsntar o númro complxo por dsigná-lo por «unidad imaginária» provar qu 5 Provar qu dado um númro complxo xist um único númro ral um único númro ral tais qu obsrvando qu é por dfinição um par ordnado qu NC12 Página 58

94 6 Dsignar dado um númro complxo por «part ral d» por «part imaginária d» rprsntá-las rsptivamnt por por 7 Justificar qu um númro complxo é ral s somnt s dsignar por «númros imaginários puros» os númros complxos não rais tais qu 8 Justificar dados qu qu 9 Dsignar dado um plano munido d um rfrncial ortonormado dirto o ponto d coordnadas como o «afixo do númro complxo» rconhcr qu s podm assim rprsntar os númros complxos no plano dsignando nst contxto o plano por «plano complxo» ou «plano d Argand» o ixo das abcissas por «ixo ral» o ixo das ordnadas por «ixo imaginário» 10 Justificar dados númros complxos qu o é a imagm pla translação d vtor afixo d do ponto afixo d 3 Oprar com númros complxos 1 Dsignar dado um númro complxo por «conjugado d» o númro complxo rprsntando-o por justificar qu o ponto afixo d é a imagm pla rflxão d ixo ral do ponto afixo d 2 Justificar dados númros complxos qu 3 Justificar dado um númro complxo qu qu 4 Justificar dado um númro complxo qu é um númro ral rsptivamnt um númro imaginário puro s somnt s rsptivamnt 5 Dsignar dado um númro complxo por «módulo d» a mdida da distância no plano complxo ntr a origm o ponto afixo d rprsntá-lo por justificar qu s qu o módulo d um númro complxo stnd a noção d módulo d um númro ral qu s tm a quivalência 6 Provar dados pontos afixos rsptivamnt dos númros complxos qu 7 Justificar dados númros complxos qu dsignando sta última propridad por «dsigualdad triangular» 8 Dsignar dado um númro complxo não nulo por «invrso d» um númro tal qu justificar qu xist é único rprsntá-lo por provar qu o invrso d é igual a 9 Dsignar dados númros complxos o «quocint d por» como o númro complxo plo qual s tm d multiplicar para obtr rprsntá-lo por justificar qu 10 Justificar dados númros complxos NC12 qu qu Página 59

95 4 Dfinir a forma trigonométrica d um númro complxo 1 Dsignar um númro complxo d módulo por «unitário» justificar dado um númro complxo qu é unitário s somnt s xistir um númro ral tal qu dsignando nss caso por um «argumnto d» justificar qu dois argumntos d um msmo númro complxo difrm por 2 Justificar dados númros complxos unitários qu qu por «rprsntar para o númro complxo» dsignando sta xprssão por «xponncial complxa d motivar sta notação obsrvando qu s tm» 3 +Rconhcr dado um númro complxo qu xist um único númro positivo um único númro complxo unitário tais qu qu s for um argumnto d dsignar igualmnt por um «argumnto d» intrprtando gomtricamnt 4 Dsignar a rprsntação d um númro complxo na forma ond é um argumnto d por «forma trigonométrica» ou «forma polar» d justificar dados númros complxos não nulos d argumntos rsptivamnt iguais a a qu s somnt s xistir tal qu intrprtando gomtricamnt sta quivalência 5 Justificar dado um númro complxo qu xist um único argumnto d no intrvalo ] ] dsigná-lo por «argumnto principal d» rprsntá-lo por» «6 Justificar dado um númro ral qu s é o afixo d um númro complxo o afixo do númro complxo é a imagm d pla rotação d cntro ângulo gnralizado d mdida 7 Justificar dado um númro complxo qu s é o afixo d um númro complxo o afixo do númro complxo é a imagm d pla rotação d cntro ângulo orintado d mdida argumnto d composta com a homottia d cntro razão 8 Justificar qu é um argumnto do númro complxo não nulo s somnt s 9 Provar dado qu st rsultado por «Fórmula d D Moivr» qu nss caso s dsignar 5 Extrair raízs n-ésimas d númros complxos 1 +Rconhcr dado um númro complxo um númro natural qu a quação tm xatamnt as soluçõs ond é um argumnto d dsignar sts númros por «raízs -ésimas d» ou «raízs d ordm d» qu s 2 Rconhcr dados as raízs da quação m são dadas por NC12 Página 60

96 6 Rsolvr problmas 1 +Rsolvr problmas nvolvndo númros complxos as rsptivas propridads algébricas 2 +Rsolvr problmas nvolvndo a rprsntação por númros complxos d isomtrias do plano translaçõs rflxõs rotaçõs ou outras transformaçõs do plano como as homottias 3 +Rsolvr problmas nvolvndo a rprsntação trigonométrica d númros complxos 4 +Rsolvr problmas nvolvndo a rprsntação d conjuntos d pontos dfinidos por condiçõs sobr númros complxos 5 +Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs da forma vértics d polígonos rgulars nquanto afixos d númros complxos 6 +Rsolvr problmas nvolvndo polinómios d sgundo grau NC12 Página 61