Metaheurística híbrida aplicada ao problema de alocação tática de berços. Mateus Matos Rizzi Universidade Federal do ABC UFABC

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1 Metaheurístca híbrda aplcada ao problema de alocação tátca de berços Mateus Matos Rzz Unversdade Federal do ABC UFABC Carlos Zaca Pomar Unversdade Federal de São Paulo - UNIFESP cpomar@sabesp.com.br Rudne Martns de Olvera Unversdade Federal de São Paulo - UNIFESP São José dos Campos, SP rudmart@gmal.com Antono Augusto Chaves Unversdade Federal de São Paulo UNIFESP antono.chaves@unfesp.br Luz Antono Noguera Lorena Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas - INPE São José dos Campos, SP luz.lorena@npe.br RESUMO O objetvo deste trabalho é aplcar o método híbrdo Clusterng Search (CS) em conjunto com o Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) ao problema de alocação tátca de berços (TBAP). O TBAP consste em alocar navos nos berços e defnr o perfl de gundastes que serão usados para descarregamento e carregamento das cargas, buscando mnmzar o custo de servço em transferr as cargas entre os navos atracados e otmzar a utlzação dos gundastes dsponíves para as tarefas. Para a valdação dos resultados, foram utlzados três conjuntos de nstâncas e as soluções foram comparadas com outros métodos dsponíves na lteratura. PALAVRAS CHAVE. Metaheurístca híbda, Busca local, Sequencamento. Área Prncpal: MH - Metaheurístcas ABSTRACT Ths paper ams to apply the hybrd method Clusterng Search (CS) wth the Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) on the Tactcal Berth Allocaton Problem (TPAB). The TPAB conssts of allocate ncomng shps to berthng postons and assgn quay crane profle to them. The goals of the TBAP are both the mnmzaton of the housekeepng costs derved from the transshpment contaner flows between shps, and the maxmzaton of the total value of the quay crane profles assgned to the shps. To valdate the computatonal results, t was used three sets of nstances avalable on lterature and the proposed method s compared wth other soluton approaches. KEYWORDS. Hybrd metaheurstc, Local search, Schedulng. Man Area: MH - Metaheurstcs

2 1. Introdução O transporte marítmo de mercadoras cresceu muto nos últmos anos em decorrênca do aumento do comérco e do crescmento econômco nternaconal [Hansen et al., 2008]. O comérco nternaconal tem como plar central o transporte marítmo. Aproxmadamente 80% do comérco global de mercadoras é realzado através do mar [Buhrkal et al., 2009]. No Brasl, no ano de 2010 a movmentação de cargas no sstema portuáro naconal alcançou 834 mlhões de toneladas, um aumento de 13,8% em relação à 2009 [ABT, 2011]. Além dsso, em pesqusa realzada pela Secretara de Comérco Exteror (SECEX), o transporte marítmo apresentou crescmento de 130% nos últmos trnta anos. Isto se caracterza pela relação entre a natureza (mar/oceano) e a melhoras na qualdade e rapdez no atendmento dos navos nos portos, vsto que ambos são mprescndíves para o escoamento de mercadoras. Para um sstema de transporte efcente, é necessáro otmzar os recursos para o escoamento e recebmento de mercadora, como mnmzar o tempo em que os berços fcam ocosos e otmzar a utlzação dos gundastes. O funconamento de carregamento e descarregamento nos termnas marítmos consstem em uma sére de etapas como ndcadas em Steenken et al. [2004] e Stahlbock e Voß [2008]. Quando um navo atraca em um porto, ele é alocado para um berço específco, e em seguda, alguns gundastes são dreconados para atendê-lo. Após o descarregamento a sua carga é armazenada em um depósto e em seguda o navo é carregado com os contêneres que segurão aos seus próxmos destnos. As operações de carregamento e descarregamento são abordadas no problema de alocação tátca de berços (TBAP, do nglês Tactcal Berth Allocaton Problem), tal que, os navos são atracados em berços e o tempo de permanênca é defndo pela quantdade de gundastes atrbuídos a ele para realzar o carregamento e descarregamento. A quantdade de gundastes dsponíves é lmtada, os berços possuem tempo de servço e os navos têm horáros de chegadas e partdas prevstos. Neste contexto, este trabalho propõe uma nova alternatva para resolver o TBAP por meo da aplcação do método híbrdo Clusterng Search - CS [Olvera e Lorena, 2013] e da metaheurístca Based Random Key Genetc Algorthm - BRKGA [Gonçalves e Resende, 2011]. O CS é um método híbrdo que combna metaheurístcas e heurístcas de busca local, em que a busca é ntensfcada somente em regões do espaço de soluções que mereçam atenção especal (regões promssoras). O BRKGA será utlzado como gerador de soluções para o CS. O método proposto CS+BRKGA é comparado a métodos recentes encontrados na lteratura, permtndo assm verfcar sua efcênca na resolução do TBAP. O restante deste trabalho está organzado da segunte forma. A seção 2 apresenta uma revsão da lteratura sobre o problema tratado. A seção 3 descreve o problema TBAP. A seção 4 explca o funconamento da metaheurístca híbrda CS+BRKGA. A seção 5 apresenta os resultados computaconas e a seção 6 descreve as conclusões fnas. 2. Revsão da lteratura Devdo ao crescmento econômco mundal nos últmos anos, o comérco marítmo tem motvado o aumento nos estudos sobre o funconamento dos portos, focando a atenção em problemas nas áreas estratégca, tátca e operaconal. A maora dos problemas enfrentados nessas stuações são do tpo NP-Hard, tas como, o Problema de alocação de berços (BAP) e o problema de alocação de gundastes (QCAP). O BAP consste em alocar navos a posções de atraque, de forma que seja utlzado o máxmo de espaço do cas mnmzando o tempo de servço. As decsões a serem tomadas dzem respeto a posção e ao nstante em que o navo deverá atracar [Ima et al., 2001]. O BAP possu grande quantdade de restrções físcas, técncas, entre outras. Isto faz com que seja possível modelá-lo de dferentes maneras. Quanto aos aspectos espacas dos berços, o BAP pode ser modelado como dscreto ou contínuo [Ima et al., 2005]. Além dsso, se for levado em conta a chegada dos navos, o problema pode ser tratado como estátco ou dnâmco [Ima et al., 2001]. O caso estátco assume que todos os navos já estão no porto para o atendmento, o caso dnâmco permte aos navos chegarem a qualquer momento.

3 Inúmeras abordagens já foram propostas para a solução do BAP, Cordeau e Laporte [2005] propôs mnmzar o tempo de servço total para todos os navos, defnndo o tempo decorrdo entre a chegada no porto, atracação e o tempo de servço, formulando o problema como análogo ao problema de roteamento de veículos com múltplas garagem e janelas de tempo. [Maur et al., 2008a] propõem uma abordagem baseada na aplcação do Smulated Annealng para resolução do caso dscreto do BAP. Os autores tratam o problema como um problema de roteamento de veículos com múltplas garagens e janelas de tempo. Os resultados computaconas superam os obtdos pelo CPLEX e pela Busca Tabu proposta por [Cordeau e Laporte, 2005]. O QCAP recebeu pouca atenção dos pesqusadores até então, ganhando mas vsbldade quando fo proposto juntamente com BAP, crando assm o problema tátco de alocação de berços (TBAP). Essa junção fo proposta por [Ima et al., 2008], tal que, na função objetvo busca-se a mnmzação da janela de tempo para o funconamento de todos os navos, onde um navo só podera ser atenddo, se uma quantdade mínma de gundastes estvesse dsponível. Essa solução não levava em conta que a operação do navo podera acontecer com dferentes números de gundastes, fazendo com que navos esperassem para poder atracar no berço. A proposta que ntegrava um perfl de gundastes junto com o objetvo de mnmzar a janela de tempo veo com Lang et al. [2009]. Para resolver o problema os autores utlzam um algortmo genétco e usaram dados reas de uma das empresas de contêneres de Xanga na Chna. Anos após, [Raa et al., 2011] apresentou um modelo que ntegrava o BAP ao QCAP e consderava prordade de navos, localzação de berços e tempo de operação. Este trabalho se baseou na solução proposta de [Lalla-Ruz et al., 2014]. Neste artgo, os autores propuseram o Based Random Key Genetc Algorthm para resolver o TBAP, levando em conta não somente a alocação dos berços, mas também a atrbução dos gundastes. 3. Alocação tátca de berços O problema de alocação tátca de berços (TBAP) busca determnar o berço, o tempo de operação e a alocação de gundastes através de perfs, para cada navo que chega ao porto com horáro prevsto [Gallombardo et al., 2010]. O tempo de operação de cada navo nos berços é defndo através do perfl utlzado para o atendmento, cada perfl defne a quantdade de gundaste assocada a cada 2 horas de operação. Quanto mas gundastes por 2 horas se utlza, maor o custo da operação, e com sso, mas rápdo o navo é atenddo. Cada navo tem um conjunto de perfs assocados a ele. Todos os perfs têm um custo assocado ao número de gundastes utlzado e navo atenddo. Portanto, um mesmo perfl pode ter custo dferente devdo á estar relaconado à dferentes navos. Quando um navo chega no porto para ser atenddo, alguns dos contêneres que ele va carregar podem anda não ter chegado ou estar em algum outro berço e sto deve ser levado em conta. Cada navo traz a nformação do fluxo de carga que o outro navo rá transportar. Assm, o custo de armazenamento é proporconal à carga armazenada, e dependendo de qual navo receberá a carga, um custo relaconado ao transporte entre navos é contablzado. Tal que: N: Conjunto de navos, n = N ; M: Conjunto de berços, m = M ; H s : Total de horas para o atendmento; P s : Conjunto de perfs váves atrbuído para um navo N quando o navo chega a um passo de tempo com índce s S dentro de um turno de trabalho; P : Quantdade de perfs de gundastes para cada navo N; t p : Tempo de servço do navo N para cada perfl de gundastes p P ; ν p : Valor do servço prestado ao navo N para cada perfl de gundastes p P ;

4 q pu : Número de gundastes atrbuídos ao navo N sob o perfl p P no passo de tempo u (1,..., t p ), tal que u = 1 corresponde ao tempo de chegada do navo; Q h : Quantdade de gundastes dsponíves em um passo de tempo h H; f j : Fluxo de contêneres trocados entre os navos,j N; d kw : Custo do deposto de contêner por undade nos berços k, w M; a, b j : Tempo de Chegada e partda dos navos N; a k, b k : Abertura e fechamento do funconamento dos berços k M; y k {0, 1}, k M, N, 1 se o navo estver atracado no berço k e 0 caso contráro; L p {0, 1}, p P, N, 1 se o navo estver funconando com o perfl p e 0 caso contráro. As varáves de decsão são defndas como: x k j {0, 1} K M, (, j) Ak, x k j é gual a 1 se o navo j é atrbudo ao berço k após o navo, e 0 caso contráro; y k {0, 1} K M, N, se o navo é atrbudo ao berço k, e 0 caso contráro; λ h {0, 1} h H, N, λh é gual a 1 se o navo é chega ao berço em um tempo h, e 0 caso contráro; λ p {0, 1} p P, N, λ p é gual a 1 se o navo for servdo pelo perfl p e 0 caso contráro; ρ ph {0, 1} p P, h H, N, ρ ph é gual a 1 se o navo for servdo pelo perfl p e chega no passo h, e 0 caso contráro; T k 0 k M, N, é o tempo de atracação de navo no berço k; To(k) k 0 k M, é o tempo que o prmero navo atraca no berço k; Td(k) k 0 k M, é o tempo de operação fnal do berço k, quando o últmo navo dexa o berço. O modelo matemátco para resolver o TBAP proposto por Gallombardo et al. [2010] é apresentado em seguda: Sujeto à: max ν p λp 1 2 N p P N j N {d(k)} N {o(k)} y k k M j N w M f j d kw yj w (1) y k, N, (2) k M Xo(k),j k X k,d(k) = 1, k M, (3) = 1, k M, (4)

5 T k Xj k Xj k = 0, k M, N, (5) j N {d(k)} j N {o(k)} Xj k = y k, k M, N, (6) j N {d(k)} k M + p P t p λp T k j (1 X k j)m1, k M, N, j N {d(k)}, (7) T k o(k) T k j (1 X o(k),j )M2, k M, j N, (8) ρ ph k M T k a h k M a y k T k, k M, N, (9) T k b y k, k M, N, (10) a k To(k) k, k M, (11) T k d(k) b k, k M, (12) p P λ p = 1, N, (13) γ h =, N, s S, (14) h H s λ p b h (1 γ h )M3, h H, N, (15) T k (1 γ h )M4, h H, N, (16) λ p bh + γ h 1, h H, N, p P, (17) h ρ pu q p(h u+1) N p P u=max{h t p +1;1} Q h, h H s, (18) Xj k {0, 1}, k M, (, j) A k, (19) y k {0, 1}, k M, N, (20) γ h {0, 1}, h H, N, (21) λ k {0, 1}, p P, N, (22) ρ ph {0, 1}, p P, h H, N, (23)

6 T k 0 k M, N {o(k), d(k)}, (24) Tal que M1, M2, M3 e M4 são constantes sufcentemente grandes. A função objetvo (1) maxmza a soma dos custos dos perfs de gundastes escolhdos ν p assocado pelos navos N, ao mesmo tempo que, vsa mnmzar a somatóra do custo de transporte de carga entre navos e armazenamento de contêner nos depóstos de cada berço. As restrções (2) afrmam que cada navo deve ser atrbuído para um e somente um berço k. As restrções (3) e (4) defnem os fluxos de saída e entrada para os berços. A conservação de fluxo para os vértces restantes é assegurada pelas restrções (5). As restrções (6) ndcam a lgação entre varáves Xj k e yk. As precedêncas em cada sequênca são asseguradas pelas restrções (7) e (8), que defnem coerentemente as varáves de tempo T k. As janelas de tempo na hora de chegada são ndcadas para cada navo pelas restrções (9) e (10), enquanto as janelas de tempo nas dsponbldades dos berços são ndcadas pelas restrções (11) e (12). As restrções (13) garantem que um e somente um perfl de gundaste é atrbuído a cada navo. As restrções (14) defnem a lgação entre as varáves γ h e λ p, enquanto as restrções (15) e (16) lgam as varáves bnáras γ h ao tempo de chegada T k. Observe que as restrções (10) mplcam que T k = 0 quando o navo não atracar no berço K K. As varáves ρ ph são lgadas às varáves γ h e λ p pelas restrções (17): em partcular, ρph é gual a 1 se e somente se λ p = γh = 1. Fnalmente, as restrções (18) asseguram que, a cada passo de tempo, o número total de gundastes atrbuídos não exceda o número de gundastes que estão dsponíves no termnal. 4. Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) com o Clusrng Search (CS) Nesta seção serão apresentados a metaheurístca BRKGA, o método híbrdo CS, e a abordagem combnando estes métodos para resolver o TBAP Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) O Based Random Key Genetc Algorthm (BRKGA) fo proposto por [Gonçalves e Resende, 2011]. É uma varação do Random Key Genetc Algorthms (RKGA) [Bean, 1994] que é baseado no algortmo genétco [Holland, 1975]. O BRKGA representa uma solução como um vetor de chaves aleatóras. Cada posção do vetor é composta por números reas no ntervalo [0, 1]. Este vetor (também chamado de cromossomo) não é consderado uma solução do problema. Então, é necessáro decodfcá-lo na solução do problema que está sendo resolvdo. Para cada problema é defndo um decodfcador (decoder) específco. O decoder é um algortmo determnístco que pega as nformações do cromossomo e retorna uma solução vável do problema. A aptdão (fução objetvo) de cada solução também é calculada pelo decoder. O processo de evolução do BRKGA é ndependente do problema. A população de P vetores de chave aleatóras evolu ao longo das gerações. Em cada geração, a população é ordenada pelo valor da função objetvo. Em seguda, um pequeno grupo com as melhores soluções (p e ) (grupo elte) são copados sem modfcação para a população da próxma geração. Um número (p m ) de vetores de chaves aleatóras (mutantes, gerados aleatoramente) também são ntroduzdos nesta população. O restante da população (P p e p m soluções) é produzdo através do cruzamento, combnando os pas dos vetores eltes com os não eltes na solução corrente. A Fgura 2 apresenta o fluxograma do BRKGA. O BRKGA fo adaptado para resolver o TBAP. O método cra aleatoramente uma população ncal de vetores de chaves aleatóras. Para a decodfcação em chaves aleatóras do problema fo utlzado um vetor de tamanho 2 N que recebe valores randômcos entre [0, 1], sendo as posções de 0 a N 1 representando os navos, e as posções de N a 2N 1, representando o perfl utlzado pelos navos. A prmera parte da subsequênca é ordenada de forma crescente, defnndo a sequênca de navos que terá a prordade no atendmento. A segunda subsequênca dvde o ntervalo [0, 1] em subntervalos com o número de possbldade de perfs, sendo cada ntervalo representando um perfl de gundaste. O decodfcador assoca os navos aos berços, ou seja, os navos são alocados em um berço até que ele não suporte mas, e para se determnar a ordem de berços que serão preenchdos,

7 é utlzado as funções 25 e 26. A função 25 determna o berço mas barato em termos de custo de armazenamento de carga, para se determnar o prmero berço a ser preenchdo. Os parâmetros α 1 e α 2 são usados para assegurar que o berço escolhdo seja o mas barato em relação ao custo de armazenamento. Determnado o berço mas barato, os navos são alocados até que não haja mas espaço. Para a determnação do próxmo berço, se utlza a função 26, que consdera o valor de custo de armazenamento e o custo de trocas de cargas entres os navos alocados e os navos que anda serão alocados para a determnação do berço mas barato. k M\{j} C(j) = α 1 d jj + α d jk 2, j M, (25) M 1 C(, j) = k N f k d jw γ kw (26) w M 4.2. Clusterng Search(CS) O método híbrdo Clusterng Search (CS) [Olvera e Lorena, 2013], se basea no conceto de regões promssoras e aplca heurístcas de busca local nestas regões para ntensfcar o processo de convergênca para boas soluções. O CS é composto por três componentes prncpas: uma metaheurístca geradora de soluções, um processo de agrupamento e uma heurístca de busca local. A cada teração do CS, uma solução S é gerada pela meta-heurístca e envada para o processo de agrupamento. Essa solução é então agrupada no cluster mas smlar C j e o centro desse cluster c é atualzado com nformações contdas na nova solução agrupada, fazendo com que o centro se desloque no espaço de busca. Em seguda, é analsado o volume ν do cluster e, caso esse volume atnja um lmtante λ (ν λ), percebe-se que algum padrão de solução está sendo predomnantemente gerado pela metaheurístca. Portanto, esse cluster pode estar em uma regão de busca promssora. Por fm, é analsado o índce de nefcáca r j, ou seja, caso a heurístca de busca local não melhore a solução por r max vezes consecutvas (r j r max ), é aplcada uma perturbação aleatóra no centro c j, objetvando escapar de um possível ótmo local. Por outro lado, se r j < r max, a heurístca de busca local é aplcada no centro c j analsando a vznhança do cluster. Encerrado esse processo, retorna-se para a metaheurístca que rá gerar uma nova solução. O crtéro de parada do CS é geralmente defndo pela metaheurístca escolhda. A Fgura 1 apresenta o fluxograma de execução do CS CS+BRKGA Segundo o fluxograma do CS (Fgura 2), são crados então os clusters ncas. Assm, para cada cluster é crada uma solução gerada aleatoramente. As soluções são formadas por chaves aleatóras. A partr de então, o BRKGA é executado e apenas as soluções flhas são envadas para o processo de agrupamento do CS. Para que as soluções possam ser agrupadas em clusters smlares, deve-se defnr uma métrca para medr a dstânca entre duas soluções. Para sso, utlza-se neste trabalho a dstânca Eucldana. O processo de agrupamento de cada flho ao cluster mas smlar é de acordo com a menor dstânca calculada. A atualzação do centro do cluster é dada pela execução do Path-Relnkng (PR) entre a solução dada S e a solução c j centro do cluster C j. A atualzação do centro do cluster é feta com a combnação entre suas chaves aleatóras. O algortmo PR é usado para ntensfcar e dversfcar a busca em um grupo de soluções. Ele realza movmentos exploratóros em uma vznhança a partr de uma solução ncal buscando atngr uma solução gua. O objetvo é encontrar as melhores soluções no camnho que conectam estas soluções. Os movmentos gradualmente ntroduzem nformações dos atrbutos da solução gua para a solução ncal [Resende e Rbero, 2005]. Quando um cluster atnge um número de soluções superor ao parâmetro λ, o centro se torna promssor, sendo realzada uma busca local nesta solução. A busca local é feta usando três heurístcas dstntas, Swap, Shft e Swap perfl:

8 FHIJFK 9 9 / !" # $ % &!' ( ) % * + %,-. 9D ( ( D9. ( ( 9: ; % <; ) % ; % B C EFG LMNOPQRSTULVOWXNPQYQZXY[\]XZX^_S à ! A ) %!' ) % ; % Fgura 1: Fluxograma do CS [Olvera e Lorena, 2013]. Swap navo/berço: realza todas as trocas possíves entre navos de berços dferentes; Shft navos: realza todas as trocas de dos navos dentro do mesmo berço; Swap perfl: analsam-se todos os perfs não utlzados pelos navos alocados, verfcando se a troca de perfl utlzado melhora a solução sem comprometer sua vabldade. Outra busca local é examnada apenas para soluções que possuam nvabldades. A troca da sequênca de navos no berço não altera o valor da solução, mas pode tornar uma solução vável em nvável e vce-versa. Essa busca local é aplcada apenas em soluções nváves, buscando dmnur o número de penalzações ou que a soluções se tornem váves. 5. Resultados computaconas O método heurístco fo codfcado na lnguagem C++ e os testes computaconas foram executados em um PC com processador Intel core 5, 2.5 GHz e memóra de 6 GB. Para verfcar a efcênca do método proposto foram utlzadas as nstâncas de Gallombardo et al. [2010], Vacca et al. [2013] e Lalla-Ruz et al. [2014]. Os resultados obtdos foram comparados com os resultados do BRKGA proposto por Lalla-Ruz et al. [2014] e também com os upper bound determnados pelo CPLEX, em Lalla-Ruz et al. [2014]. Os parâmetros do CS+BRKGA foram calbrados através de testes empírcos realzados sobre um subconjunto de nstâncas. Os parâmetros adotados neste trabalho são: Número de clusters do CS (NC) = 20. Lmtante de cluster promssor (λ) = 10. Intensdade da perturbação de um cluster (β) = 4. População(p) = 1000.

9 [SM] BRKGA Processo de agrupamento Iníco gerar ndvíduos com chaves aleatóras A [IC] aplcar agupamento nos flhos crtéro de parada satsfeto? sm Fm não decodfcar cada ndvíduo B A gerar flhos para próxma geração crar os mutantes para próxma geração copar ndvíduos da elte na próxma geração classfcar ndvíduos como elte ou nãoelte B não [AM] exste regão promssora? sm decodfcar centro promssor [LS] aplcar busca local no centro Independente do problema Dependente do problema Fgura 2: Fluxograma do CS+BRKGA. Adaptado de [Chaves et al., 2016] Fração de população elte (p e ) = 0,2. Fração de população mutante (p m ) = 0,15. Probabldade de um alelo elte ser escolhdo (ρ) = 0,6. Número de gerações no BRKGA = 200. Os resultados computaconas estão nas Tabelas 1, 2 e 3. Os sgnfcados dos nomes das colunas nas tabelas são: Nome: nome da nstânca; Classe: classfcação da nstânca; B: número de berços de cada nstânca; N: número de navos de cada nstânca; P: número de perfs dferentes para cada navo; G: número de gundaste de cada nstânca; FO melhor: valor da função objetvo com melhor solução; FO Méda: valor da função objetvo com a méda das melhores soluções; BRKGA: valor da solução encontrada em Lalla-Ruz et al. [2014];Tempo: Tempo total do algortmo; CS+BRKGA: valor solução encontrada pelo método proposto; Méda: valor da solução méda encontrada pelo método proposto; T : tempo médo para encontrar a melhor solução; T: tempo total médo para rodar o algortmo; Sobj: Dstânca da solução em relação ao upper bound do Cplex, o valor 100, sgnfca que encontrou o ótmo. Na Tabela 1 os resultados obtdos pelo método proposto demonstram a robustez do CS+BRKGA ao consegur soluções smlares ao encontrado pelo BRKGA proposto em Lalla-Ruz et al. [2014]. Vale ressaltar que as soluções do BRKGA de Lalla-Ruz et al. [2014] são soluções ótmas para todas as nstâncas de Vacca et al. [2013]. A otmaldade das soluções fo provada pelo Cplex. Os Gaps em negrto representam as soluções que o CS+BRKGA não conseguu atngr o ótmo. O método CS+BRKGA encontrou a solução ótma em 17 das 20 nstâncas, e quando não obteve a solução ótma, as soluções eram muto próxmas as do BRKGA [Lalla-Ruz et al., 2014]. Além dsso, ao analsar as médas das soluções, nota-se a establdade do CS+BRKGA, menos para a nstânca c4-5 com 20 navos. Para este caso a méda fcou um pouco abaxo do valor esperado. Como comentado anterormente o CS+BRKGA usa os resultados do BRKGA como condção para

10 ncar o CS. As melhoras das soluções do BRKGA obtdas pelo CS fcaram em méda de 0,001% com melhora em ses soluções. Tabela 1: Resultados para as nstâncas de [Vacca et al., 2013] BRKGA Ruz CS+BRKGA Classe Nome Instânca B N P G FO Melhor T FO Melhor FO Méda T T Gap B1 H1 c , ,00 0,024 2,268 0,000 B1 H1 c , ,00 0,029 2,367 0,000 B1 H1 c , ,00 0,006 2,275 0,000 B1 L1 c , ,00 0,001 2,591 0,000 B1 L1 c , ,00 0,012 2,235 0,328 B1 L1 c , ,00 0,005 2,308 0,000 B1 L2 c , ,00 0,001 2,356 0,000 B1 L2 c , ,00 0,001 2,316 0,000 B1 L2 c , ,00 0,001 2,246 0,000 B1 H2 c , ,00 0,001 2,327 0,000 B1 H2 c , ,00 0,005 2,449 0,000 B1 H2 c , ,00 0,005 2,302 0,000 B2 H1 c , ,75 0,553 11,945 0,029 B2 H2 c , ,00 0,292 8,318 0,001 B2 L1 c , ,25 0,165 7,446 0,000 B2 L2 c , ,00 0,094 7,715 0,000 B3 H1 c , ,50 22,263 26,890 0,000 B3 H2 c , ,25 10,445 25,174 0,000 B3 L1 c , ,25 8,143 28,960 0,000 B3 L2 c , ,75 0,758 25,785 0,070 Méda 0,021 Para o conjunto de nstâncas da Tabela 2, o CS+BRKGA conseguu melhorar três soluções (soluções em negrto), e também encontrou três soluções dêntcas as encontradas pelo método de [Lalla-Ruz et al., 2014]. As soluções médas são dêntcas as melhores soluções em pratcamente todas as nstâncas desse conjunto, mostrando a robustez do método. Em relação a coluna Sobj é possível ver a robustez do método proposto, pos a dstânca da melhor solução em relação ao lmtante do Cplex é pequena quando não se encontra o valor ótmo, tendo valor médo de 97,71. O CS+BRKGA melhorou as soluções do BRKGA mplementado neste trabalho em cnco nstâncas, com méda de 0,011%. Tabela 2: Resultados para as nstâncas de [Lalla-Ruz et al., 2014] BRKGA Ruz CS+BRKGA Instânca Berços Navos Profles Gundaste Ubmlp Melhor Sobj Tempo total(s) Melhor Méda Sobj Tempo Médo Tempo Total c ,00 0, ,00 99,9998 0,002 3,703 c ,7022 0, ,00 99,7021 0,005 5,090 c ,02 1, ,38 96,83 0,446 9,198 c ,47 3, ,38 99,50 6,852 11,445 c ,82 4, ,63 97,08 10,259 18,220 c ,00 0, ,00 100,00 0,009 4,648 c ,79 0, ,00 99,79 0,001 4,049 c ,00 0, ,00 100,00 0,003 4,482 c ,86 8, ,50 97,11 7,802 13,603 c ,25 17, ,50 87,06 7,882 21,500 Méda 98,09 97,71 Na Tabela 3, o CS+BRKGA se mostrou compettvo melhorando as soluções de nove das onze nstâncas. O método proposto também apresentou bom desempenho para os tempos computaconas, mesmo quando se aumentou o número de elementos do problema. Analsando a coluna Sobj, o CS+BRKGA conseguu valor médo de 98,27. As melhores soluções estão em negrto. A porcentagem das melhoras do CS+BRKGA em relação à condção ncal do BRKGA mplementado fcou com méda de 0,02%. As melhoras foram para todas as doze nstâncas utlzadas. 6. Conclusão Este trabalho propôs combnar a metaheurístca BRKGA com o método CS aplcado ao problema de alocação tátca de berços (TBAP). Os resultados computaconas consderaram as ns-

11 Tabela 3: Resultados para as nstâncas de [Gallombardo et al., 2010] BRKGA Ruz CS+BRKGA com PR Nome Classe Inst. Berços Navos Profles Gundaste Ubmlp Sobj Tempo Total Melhor Méda Sobj Tempo Médo Tempo Total C3-1 A1 H ,80 3, ,25 97,81 0,275 0,380 C3-2 H ,81 3, ,00 97,81 0,045 0,390 C3-3 H ,82 3, ,25 97,99 0,020 0,398 C3-4 H ,86 3, ,63 99,50 0,118 0,336 C3-5 H ,86 3, ,63 97,90 0,108 0,329 C3-6 H ,89 3, ,63 97,93 0,289 0,335 C4-1 L ,00 2, ,00 98,83 0,302 0,360 C4-2 L ,00 3, ,38 97,98 0,164 0,345 C4-3 L ,00 2, ,00 97,96 0,303 0,363 C4-4 L ,06 2, ,25 99,37 0,095 0,287 C4-5 L ,06 3, ,75 98,07 0,114 0,281 C4-6 L ,07 1, ,25 98,08 0,276 0,292 Méda 97,94 98,27 tâncas de Gallombardo et al. [2010], Vacca et al. [2013] e Lalla-Ruz et al. [2014]. De modo geral, quando se analsa os resultados obtdos o método híbrdo proposto CS+BRKGA se mostra efcente na resolução das nstâncas testadas. O TBAP é um problema complexo, pos possu uma grande quantdade de varáves e mutas restrções, assm uma decodfcação da solução de chaves aleatóras mas refnada é necessára para realzar uma busca mas efcente no espaço de soluções. Apesar da complexdade do problema, é possível observar que os resultados (Tabelas 1 a 3) foram satsfatóros. Nas nstâncas de Vacca et al. [2013] o CS+BRKGA encontrou a solução ótma em 17 das 20 nstâncas. Para as nstâncas de Lalla-Ruz et al. [2014] o CS+BRKGA conseguu melhorar três soluções. Já para as nstâncas de Gallombardo et al. [2010] houve melhora nas soluções, totalzando nove das onze nstâncas analsadas. Observando as colunas Sobj das Tabelas 2 e 3 é possível afrmar que o método proposto é estavel na busca de soluções váves, além do baxo tempo computaconal (Colunas Tempo total ). Conclu-se pelos bons resultados obtdos que o método híbrdo CS+BRKGA é efcente e robusto, podendo ser aplcado a outros problemas da lteratura, uma vez que necessta apenas alterar a decodfcação e a busca local para o problema específco. Para trabalhos futuros, espera-se resolver outros problemas de otmzação, analsar outras heurístcas de busca local mas efcentes e estudar alguns métodos para calbragem automátca de parâmetros. Agradecmentos Os autores agradecem a FAPESP (processos 2012/ e 2016/ ), CNPq (301836/2014-0, /2015-0) e CAPES. Referêncas (2011). Assocação braslera dos termnas portuáros - relatóro anual, exercíco de Techncal report. Bean, J. C. (1994). Genetc algorthms and random keys for sequencng and optmzaton. ORSA Journal on Computng, 6(2): Buhrkal, K., Zuglan, S., Ropke, S., Larsen, J., e Lusby, R. (2009). Models for the dscrete berth allocaton problem: A computatonal comparson. Transportaton Research, 47(4): Chaves, A. A., Lorena, L. A. N., Senne, E. L. F., e Resende, M. G. (2016). Hybrd method wth cs and brkga appled to the mnmzaton of tool swtches problem. Computers & Operatons Research, 67: Cordeau, J.-F. e Laporte, G. (2005). Models and tabu search heurstcs for the berth allocaton problem. Transportaton Scence, 39(4): Gallombardo, G., Mocca, L., Salan, M., e Vacca, I. (2010). Modelng and solvng the tactcal berth allocaton problem. Transportaton Research Part B, 44(2):

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