Operações em Sistemas Multifásicos 2010/2011 PROBLEMAS RESOLVIDOS

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1 Operações em Sstemas Multfáscos 010/011 MEQ, º no PROBLEMS RESOLIDOS na Paula Soares Das Mara Teresa ngelno Res

2 Problema 1 (Problema II.) Uma amostra fnamente va, um mnéro, é elutraa com água. a) Determne o âmetro as partículas e menor mensão retas no tubo elutraor. b) O mesmo elutraor é usao para secar os fnos obtos no processo anteror usano ar seco a 40 ºC. Determne o âmetro méo as partículas retas no tubo. Daos: consere as partículas esfércas. D tubo cm; Q água 100 L/h; Q ar,40 ºC1 m /h; ρ p,7 g/cm ρ ar,40ºc 1,17 kg/m ; µ ar, 40ºC 1, P ( Resolução e a) f r r r r θ Balanço e forças: R P + I + Fa Re m f ρ f 0 mg g u 0 (1 ) mg u ρ ρ p ρ p ρ p ρ p π ( p ) p mg ρ ρ ρ p pg 6 p p p pu π ρ u pρ pu ρ f ( ρ ρ) f f ( ρ ρ) g ρ ρ 4 f ( ρ ρ) g µ ( ρ ρ ) gµ θ Re p p p θ ρu ρ pu ρ u / 600 u 8,84 cm/s π 4 (,7 1) θ 1, ,84 f 1 (1 0,15Re 0,687 + ) Re 1 (1 + 0,15Re ) 1, f Re 1, Re 1 p 8,84 Re 48,59 p 0, cm µ m p 0,687 1

3 Resolução e b) / 600 elocae superfcal o ar: u 88,4 cm/s π 4 4 (, 7 1,17 10 ) 980 1, θ 0,8849 (1,17 10 ) 88, 4 f 1 0,687 (1 + 0,15Re ) Re 1 0,687 (1 + 0,15Re ) 0,8849 f 0,8849 Re 1,17 10 p 88, 4 Re 6,96 0, cm 4 p 1, µ m p p 4,5 µ m Re Nota: Ino às Tabelas e Heywoo tnha-se para a): logθ log 0, ,794 ( -+0,06) > log Re1,6951 >Re49,556 > p 560 µm b) logθ log 0,885-0,4106 ( -1+0,5894) > log Re0,8978 >Re7,90 > p 15 µm > p 57 µ m erfcou-se um esvo e ~ 4% entre as Tabelas e a epressão apromaa o factor e atrto ( ) f ,15Re 0,687. Re

4 Problema (Problema I.1 o fascículo e eercícos) classfcação granulométrca para um materal fnamente vo (partículas esfércas) conuzu à segunte strbução: massa a fracção (g) p (µm) a) Determne a área específca a amostra. b) Dmensone um elutraor para retrar as partículas e âmetro nferor a 75 µm. Resolução e a) Área específca: a 6/, em que é o âmetro superfcal méo ou âmetro méo e Sauter (ver eução no NEXO 1). relação entre a massa e o âmetro é lnear. equação a recta que relacona a massa com p é m p +B, em que o eclve é (100-10)/(50-0)4,5 e a orenaa na orgem é B-15 (100 4,5+B > B-15); então tem-se p (m+15)/4,5, relação esta que é substtuía na epressão o cálculo o âmetro méo e Sauter: m m m / 4,5 p 9,15 µm m m 100 4,5 m ln 5 ln15 m1 p 10 m + 15 a 6/ 0,15 µm -1 1, m -1 Resolução e b) Balanço e forças: FaP-I (força e atrto peso mpulsão) f f ρu π ( ρ p ρ ) gπ 4 6 ( ρ p ρ ) ρ u g

5 φ φ ( ρ ) p ρ g ρ u ( ρ p ρ ) gρ f Re ρ u µ µ ( ), , , ,01 Ino, por e., ao gráfco e Heywoo verfca-se que o Reynols é lgeramente nferor a 0,4. Utlzano a epressão f 1 (1 + 0,15Re 0,687 ), vem: Re 0,687 φ 1(1 + 0,15 Re ) Re 4, 6856 > Re0,6. Então, apesar e Re ser maor o que 0,, poerá usar-se sem grane erro a equação e Stokes para estmar a velocae termnal. Em regme lamnar, tem-se f/1/re, o que substtuno na equação e movmento á: f ( ) 1 ( ) ρu π ρ p ρ gπ ρu ρ p ρ g 4 6 Re 4 6 ( ρ p ρ ) g 1µ ρ u ( ρ p ρ ) g u (equação e Stokes) ρ u µ ( ρ p ρ ) g ( ), , 0075 u 0,51 cm/s 18µ 18 0, 01 mtno, por e., um tubo elutraor com um âmetro e cm (poa também ser 1, 1,5 ou,5 cm ), remos ter o segunte caual volumétrco e água (Q): Qu π /40,51 π 1,66 cm /s 5,9 L/h 4

6 Problema Consere que se tem uma spersão ar-líquo, em que a fase spersa é o ar. s bolhas e ar têm um âmetro volumétrco méo e,5 mm. fase contínua tem uma ensae e 1, g/cm e uma vscosae e,5 P. Estme a velocae termnal as bolhas, conserano que estas apresentam crculação nterna. Daos: ρ ar 1, kg/m; µ ar 0,018 cp. No caso e haver fenómenos e crculação nterna, o que é usual em gotas e bolhas com âmetros acma e 1 mm, a força e atrto é menor o que no caso as partículas serem rígas. ssm, a velocae termnal tene a aumentar face ao valor prevsto (por e. pelo métoo e Heywoo). Em regme vscoso (lamnar), poe usar-se a correcção e HDMRD (Q) para corrgr a velocae termnal calculaa para a partícula ríga (u m ). elocae corrga: ucorr um Q µ + µ Correcção e HDMRD: Q l µ + µ l em que µ é a vscosae o fluo one a partícula se movmenta e µ l é a vscosae o fluo consttunte a partícula (neste caso bolha e ar). Para o actual caso tem-se: ( ) 0, ,5 Q 1,5 (é o valor mámo e Q) 0, ,5 ( ) ( ) Confrmação o regme: ρ ρ p gρ 1, 0, , 0, 5 φ,5 µ,5 Re < 0, pos em regme lamnar φ f/ Re 1/Re Re 1 Re,4 Então, é vála a correcção e HDMRD e poe aplcar-se a equação e Stokes para etermnar a velocae termnal a partícula caso fosse ríga: ( ρ ρ p ) g um (Note-se que ρ p < ρ) 18µ u m ( 1, 0, 001) 980 0, 5 18,5 1,6 cm/s u corr 1,6 1,5,4 cm/s 5

7 Problema 4 a) Uma suspensão aquosa com partículas sólas esfércas (1,5 mm; ensae,44 g/cm ) ecanta a uma velocae e 10 cm/s num recpente, cujo âmetro é 5 cm. Calcule a % mássca e sólos na suspensão. b) frente e sementação e uma suspensão com característcas êntcas às e a), à ecepção a mensão as partículas, esloca-se a uma velocae e 18 cm/s. Calcule o novo âmetro as partículas. Resolução e a) Dao que a mensão as partículas é superor a 0,1 mm, va aplcar-se a teora e Rcharson & Zak. velocae aparente e sementação (u c ) é aa pela segunte epressão: u c u ε n ; u é a velocae termnal corrga com o efeto e paree, ε é a porosae a suspensão e o epoente n é função o Reynols e acoro com o segunte quaro: 0, > Re n4,6 + 0 /D t 0, < Re < 1 n(4,4 +18 /D t )Re -0,0 1 < Re < 00 n(4,4 +18 /D t )Re -0,1 00 < Re < 500 n4,4 Re -0,1 500 < Re 0,165 n,4 1,1φ v plca-se o métoo e Heywoo para etermnar a velocae termnal. O grupo amensonal φ é ao por: φ ( p ) g ( ) f ρ ρ ρ, ,15 Re 175 µ 0, 01 log φ 4,50 log Re,487 (lo nas Tabelas e Heywoo) Re10,487 06,9 Reρ u m /µ u m 06,9 0,01/(1 0,15)0,46 cm/s Consera-se u u m pos o efeto e paree é esprezável (a razão entre o âmetro o recpente e o âmetro as partículas é,!). n4,4 Re -0,1 4,4 06,9-0,1, ,46 ε,48 ε 0,749 ε 1- s / T em que s é o volume e sólos e T o volume total a suspensão (água+sólos) 6

8 ssumno como base e cálculo 1 m e suspensão s 1-0,7490,51 m ; como a ensae os sólos é 440 kg/m massa e sólos0, ,44 kg O volume e água num m e suspensão é 1-0,510,749 m 749 kg (pos a ensae é 1) % sólos 61,44/(61,44+749) % Resolução e b) Se a velocae e sementação aparente aumenta é porque a mensão as partículas agora é superor e o número e Reynols também é maor, seno por sso > 06,9 (Re anteror). ssm é plausível assumr Re > 500 e n,4 (esferas). u c u ε n 18 u 0,749,4 u 5,97 cm/s Desprezano novamente o efeto e paree, u u m 5,97 cm/s Confrmação o regme: θ ( p ) ρ ρ µ f 1 g (, 44 1) 980 0, 01, Re u 1 5,97 ρ log θ -,694 (~,7) log Re,065 Re10, (>500, o que vala n,4) Reρ u m /µ ,01/(1 5,97)0, cm Também se poe aplcar a equação e Newton pos Re>1000. Em regme turbulento, tem-se f/0,, o que substtuno na equação e movmento (Força e atrto Peso Impulsão) á: f ρu π ( ρ p ρ ) gπ 0,ρu ( ρ p ρ ) g ,ρu 0, ρu ( ρ p ρ ) g 4 6 g ( ρ p ρ ) (equação e Newton) 0, 1 5,97 0,0 cm (esvo e 6% relatvamente ao valor trao a partr o Re, ( ) as Tabelas e Heywoo) 7

9 Problema 5 (Problema II.18 o fascículo e eercícos) Para resolver este eercíco, recorre-se ao métoo e Kynch, o qual se basea na Equação e Coe e Clevenger para a etermnação a secção recta e um espessaor (ver NEXO ). ssm, começa-se por traçar a curva e ecantação, em que se representa a altura a nterface em função o tempo (ver Fgura 1). Depos, traçam-se váras tangentes na zona o encurvamento, ou seja na zona em que a velocae e sementação começa a abranar (também esgnaa e zona crítca). ltura a nterface, z (cm) Daos epermentas Lnear Tangente (Sére) t 100 mn Lnear Tangente (Sére4) t 90 mn Lnear Tangente (Sére5) t 80 mn tempo (mn) Fgura 1 Curva e ecantação epermental e representação as rectas tangentes à curva para os tempos 100, 90 e 80 mn. Na Fgura 1, poe observar-se a curva e ecantação e a representação e tangentes na zona o encurvamento : 100, 90 e 80 mn. Com os aos as tangentes, calculou-se a secção recta (ver aos na Tabela 1) e verfcou-se um mámo para 90 mn. Em segua traçaram-se tangentes para 85 e 95 mn e moo a confrmar o mámo a secção. Neste caso, optou-se por não representar as tangentes na Fgura 1 e moo a não sobrecarregar o gráfco. De acoro com os valores calculaos, o mámo a secção encontraa é cerca e 16 m. 8

10 Tabela 1 Daos para aplcação o métoo e Kynch: cálculo a secção Tempo t (mn) ltura z (cm) ltura (ntercepção) z (cm) Conc. sólos C (g/l) elocae u (cm/h) Secção (m ) ,1 86,1 4,74 19, , 6 41,5 6,47 15, ,5 8 17,1 7,88 14, 85 16,9 7 8,9 7,1 15, ,7 48, 6,19 14,8 1 1 CQ C CE ; Q m /h; C C 0 40 g/l (Q C 790 kg/h e sólos); C E 550 g/l u Na Fgura, representa-se a secção versus concentração e moo a lustrar a função e o seu mámo. 18 (m ) ma 16 m C (g/l) Fgura Secção recta o ecantaor versus concentração e sólos. ssm, a área máma encontraa fo e 16 m. ssumno um coefcente e segurança e 100%, tem-se: Área 167 m Dâmetro 18,6 m. Nota fnal: De moo a evtar as construções gráfcas, sempre sujetas a erros, poe ajustar-se uma função aos aos epermentas e ecantação (por e. a equação e Pearson (nº 8045 o Table Curve)) e calcular a 1ª ervaa para os pontos pretenos e moo a obter o eclve as tangentes. Depos é só calcular z, C e. Para este caso concreto a secção recta obta fo smlar: 18 m. 9

11 Problema 6 Consere a coluna e enchmento, com os troços, abao representaa. O enchmento o troço 1 é composto por clnros cerâmcos, enquanto o enchmento o troço é consttuío por anés e Raschg o mesmo materal. Calcule a pera e carga (pelos métoos e Carman e Brownell) na refera coluna, quano se faz crcular um caual e 10 m /h e água. Daos: Dâmetro a coluna: 50 cm Troço 1 empacotamento compacto; clnros cerâmcos (h1/8 ) Troço empacotamento normal; anés e Raschg cerâmcos ( et h1/8 ; nt 1/16 ) 1 m 1 m Q v 10 m /h 1 Fgura Esfercae vs. porosae (Brown, G.G., Unt Operatons, John Wley & Sons Inc., NY, 1966). 10

12 É necessáro caracterzar os os tpos e enchmento em termos e área específca (a), esfercae (ψ) e porosae (ε). área específca entra no cálculo a pera e carga pelo métoo e Carman; a esfercae é necessára para aplcar o métoo e Brownell e permte estmar a porosae o leto, a qual epene a pera e carga em ambos os métoos. Troço 1: clnros com h1/8 1/8,540,175 cm p a ; p π p + π h 1,5π 0, 475 cm π h π ; p 0, 051cm a 18,9 cm -1 Esfercae: razão entre a área a esfera com volume gual ao a partícula e a área total a partícula π Deq π Deq ψ ; p 0, 051 cm D eq 0,64 cm (âmetro equvalente) p 6 π (0,64) ψ 0,874 gráfco ψ vs. ε (enchmento compacto) ε 0,7 0, 475 Troço : anés com et h1/8 0,175 cm; nt h1/16 0,1588 cm a π ( et nt ) ; π h π h p p p et + nt + 0,594 cm ; 4 ( ) et nt π h p 0, 0189 cm 4 a 1,5 cm -1 π Deq π Deq ψ ; p 0, 0189 cm D eq 0,0 cm (âmetro equvalente) p 6 π (0, 0) ψ 0,577 gráfco ψ vs. ε (enchmento normal) ε 0,55 0,594 1 Clnros nés Área específca (a) 18,9 cm -1 1,5 cm -1 Porosae (ε) 0,7 0,55 Esfercae (ψ) 0,874 0,577 11

13 1. plcação o métoo e Carman Cálculo a velocae superfcal (u) e o Reynols (Re): u Q S π 5 6 v 1,415 cm/s ρu 1 1, 415 Re 1 11,88 a 1 18,9 1 0,7 0, 01 ( ε ) µ ( ) ρu 1 1, 415 Re 9,98 a 1 1,5 1 0,55 0, 01 ( ε ) µ ( ) 1 u ε f u P a 1 L ε Balanço e forças: P Sε f ρ a( 1 ε ) SL ρ ( ε ) Troço 1: plca-se a equação a curva, pos estamos na presença e partículas compactas f 5 0,4 f + 0,1 0,819 Re Re 0, , ,9 (1 0,7) P1, yne/cm 5, cm H O 0,7 Troço : plca-se a equação a curva B (Sawstowsk), pos estamos na presença e partículas ocas f 5 1 f + 0,1 1,95 Re Re 1, , 415 1,5 (1 0,55) P, 1 10 yne/cm,5 cm H O 0,55 equação e Ergun também é uma hpótese, pos estamos na presença e anés: f 4,17 f + 0,9 0,708 4 P 1, 1 10 yne/cm 1, cm H O Re Ptotal P1 + P 57, 7 cm H O (equações e B e Carman) Ptotal P1 + P 47,5 cm H O (equações e Carman e e Ergun) 1

14 . plcação o métoo e Brownell ρudp Re F Re µ f DpP 1 ρu L Ff F Re e F f são, respectvamente, os factores correctvos o número e Reynols e o factor e atrto. Estes factores são los nos gráfcos e Brownell, que os representa em função a porosae o leto e para város valores e esfercae as partículas. Troço 1: ψ 0,874 e ε 0,7 F Re ~50 (Fg. 19, Brownell) F f ~600 (Fg. 0, Brownell) Troço : ψ 0,577 e ε 0,55 F Re ~46 (Fg. 19, Brownell) F f ~1100 (Fg. 0, Brownell) Relatvamente à mensão característca D p, consera-se gual a 1/8 0,175 cm. O métoo e Brownell consera que D p é um âmetro méo e peneração e, como para ambos os casos, clnros e anés, o âmetro é gual à altura, é plausível assumr D p (h et 1/8 ) Cálculo o Reynols ρ udp 1 1, 415 0,175 Re1 F Re ,01 ρ µ udp 1 1, 415 0,175 Re F Re µ 0,01 O factor e atrto f é lo no gráfco e Brownell f vs. Re: Re 1 46 Re~0,050 (Fg. 1, Brownell) Re 066 Re~0,05 (Fg. 1, Brownell) f u L 0, , P1 ρ Ff 4, yne/cm 41,8 cm H O Dp 0,175 f u L 0,05 1 1, P ρ Ff 1,80 10 yne/cm 18,4 cm H O Dp 0,175 Ptotal P1 + P 60, cm H O (4% e esvo relatvamente a Carman/Sawstowsk) 1

15 Problema 7 Determne a esfercae e um cubo com aresta a e e um clnro, cuja altura é o obro o âmetro (h). área a esfera com gual volume a partícula Esfercae: ψ área a partícula π e partícula Esfercae um cubo e aresta a: cubo 6a cubo a π π 6 esfera e e a e a 6 6 π / 6 esfera π e esfera π a π / / 6 6 π a 1/ esfera π π π ψ cubo 6a 6 ψ 0,806 Esfercae um clnro com h: clnro + π h 4 h π 5 clnro + π π clnro h 4 π esfera e e 6 / esfera π e esfera π ψ esfera clnro ψ 0,8 π π π π π / 5 π 14

16 Problema 8 (Problema I. o fascículo e eercícos) Dspõe-se e um tubo clínrco horzontal com um âmetro e 10 cm e com um comprmento e 1,1 m, cujo enchmento apresenta uma porosae e 0,6. fm e etermnar a área específca as partículas que consttuem o leto, meu-se a pera e carga, obteno-se 77 cm e coluna e água para um caual e crculação e água e m /h. a) Determne a área específca o leto, sabeno que a stânca entre as tomas e pressão fo e 1 m. ssuma que as partículas são sométrcas. b) Calcule o caual e água que crculara no tubo, e bao para cma, caso este estvesse na vertcal e a pressão à entraa fosse e 1,4 bar e à saía fosse 1 atm. a) Área específca o leto Cálculo a velocae superfcal (u): u Q S π 5 6 v 7,07 cm/s Pera e carga por atrto: Dao que o tubo está na horzontal, o valor e 77 cm H O correspone à pera e carga por atrto P Pa75460 yne/cm (1 mm H O 9,8 Pa; 1 Pa10 yne/cm ) Quano se esconhece a área específca (a), é necessáro calcular um grupo amensonal que não epena esta varável, ou seja calcular θ f/ Re -1 para letos porosos 1 u P S f a SL ε Balanço e forças: ε ρ ( 1 ε ) f ρ Pε u a 1 ( ε ) L ( ) ( ) 4 f Pε a 1 ε µ Pε µ 7, , 6 0, 01 θ Re 5,1 10 ρu a 1 ε L ρu ρ u L 1 7, Dao que as partículas o enchmento esconheco são sométrcas, poerá utlzar-se a equação a curva para o factor e atrto, ou vsto que a porosae é relatvamente elevaa (0,6), a equação e Ergun também é uma hpótese. f 5 0,4 Curva e Carman: + 0,1 Re Re θ 5 0,4 1,1 Re + Re Re64,1 15

17 Curva e Carman: ρu 1 7,07 Re 64,1 a 1 1 0,6 0,01 ( ε ) µ a ( ) a 9,8 cm /cm (área específca as partículas) a (1 ε) 11,0 cm /cm (área específca o leto) Equação e Ergun: f 4,17 4,17 0, 9 + 0,9 Re θ Re + Re Re66, a 8,9 cm /cm (área específca as partículas) a (1 ε) 10,7 cm /cm (área específca o leto) Os valores obtos são bastante concorantes pelas uas equações, apresentano um esvo e %. b) Caual volumétrco 1 atm Equação e Bernoull: u 1 u ( ) P1 u1 P u + + z1 + + z + ρg g ρg g ρg P atrto P1 P z z1 ρg + Patrto Patrto P1 P ρgh P atrto (1,4 1,01) ,8 1,17900 Pa, yne/cm Quano se esconhece o caual volumétrco (Q v u S), é necessáro calcular um grupo amensonal que não epena a velocae superfcal (u), ou seja calcular φ f/ Re para letos porosos. 1 1,4 bar φ f Re P ε ρ u P ε ρ ( ) ( ) ( ) ρu a 1 ε L a 1 ε µ a 1 ε Lµ 5, , 6 1 φ 4,7 10 (a9,8 cm -1, curva e Carman) 9,8 1 0, , 01 ( ) φ 4,7 10 5Re + 0,4Re 1,9 Re18,9 u14, cm/s Q v 1,1 cm /s4,0 m /h. φ 5,19 10 (a8,9 cm -1, equação e Ergun) 5, ,17Re + 0,9Re Re16,7 u1,6 cm/s Q v 1,06 cm /s,8 m /h. 16

18 Problema 9 (Problema I.8 o fascículo e eercícos) Dspõe-se e uma coluna com um âmetro e 10 cm, a qual é consttuía por os troços e enchmento com 1 m e comprmento caa. O eo o leto faz um ângulo e 40º com a horzontal. Um os troços contém esferas (D 5 mm) e apresenta uma porosae gual a 0,40. O outro troço e enchmento contém partículas ocas e a porosae é 0,50. a) Calcule a pera e carga por atrto na coluna para um caual e crculação e água e 1 m /h, sabeno que nestas conções a ferença e pressão la nos manómetros entre a entraa (base a coluna) e a saía (topo a coluna) é e 0, bar. b) Determne a área específca o leto e partículas ocas. L1+1 m hl sen 40º 0,641,86 m 1 40º a) Cálculo a pera e carga por atrto plcação a equação e Bernoull: P1 u1 P u + + z1 + + z + ρg g ρg g ρg P atrto P P z z ρg + P Como u 1 u, vem ( ) 1 1 atrto Então Patrto P1 P ρgh P 1 P 0, bar, 10 4 Pa, 10 5 yne/cm ρgh1000 9,8 1, Pa15990 yne/cm 1,86 m H O P atrto, , yne/cm 1,06 m H O b) Cálculo a área específca o leto e partículas ocas Troço 1 esferas a6/d6/0,51 cm /cm, porosae (ε) 0,40 Troço partículas ocas a?, porosae (ε) 0,50 17

19 Cálculo a velocae superfcal (u) e o Reynols (Re): u Q S π 5 6 v,57 cm/s ρu 1,57 Re 49,1 a , 4 0, 01 ( ε ) µ ( ) plcação o métoo e Carman (curva, pos estamos na presença e esferas): f 5 0,4 + Re Re 0,1 1 u P S f a SL ε Balanço e forças: ε ρ ( 1 ε ) f Pε 5 0,4 + 0,7 0,1 ρu a 1 L Re Re ( ε ) P5456,9 yne/cm 545,7 Pa Então, a pera e carga por atrto o troço poe ser calculaa a partr a pera e carga por atrto total (calculaa em a)) subtrano o valor o troço 1: P (troço 1 + troço ) P (troço 1) + P (troço ) P (troço )1, , , yne/cm a? calcular θ f/ Re -1 para letos porosos ( ) ( ) 4 f Pε a 1 ε µ Pε µ 5, ,5 0, 01 θ Re 0, ρu a 1 ε L ρu ρ u L 1, θ 5 1 1,1 Re + Re (curva B o métoo e Carman, pos são partículas ocas, mas a e Ergun também sera uma hpótese) Re5,7 ρu 1,57 Re 5, 7 a 1 1 0, 01 ( ε ) µ a ( ε ) a (1 ε) 6,71 cm /cm (área específca o leto e partículas ocas) a 1,4 cm /cm (área específca as partículas ocas) 18

20 Problema 10 Dspõe-se e uma coluna horzontal com um âmetro e 10 cm e com um comprmento e 100 cm, na qual crcula água. O enchmento a coluna é consttuío por anés e Raschg cerâmcos, cujas mensões, âmetro eterno, âmetro nterno e altura, são 6 mm, mm e 6 mm, respectvamente. a) Determne a esfercae e a área específca os anés e Raschg. b) Determne o caual e crculação e água que promove uma pera e carga por atrto e 100 cm e coluna e água. Daos: Esfercae (ψ ) 0,0 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 Porosae (ε ) 0,78 0,69 0,6 0,55 0,49 0,45 ρ H O 1 g/cm ; µ H O 1 cp 1 mm HO 9,8 Pa 4,17 ρu P (1 ε ) aρ f + 0,9 Re f u Re a(1- ε ) µ L ε a) esfercae ψ área a esfera com gual volume área a partcula π π P ( et nt ) h eπ e ( et nt ) h (6 9) 6 6,4051 mm 4 6 e π e π (6, 4051) 1,59 mm π π P ( et nt ) + π ( et + nt ) h (6 9) + π (6 + ) 6 1, 0575 mm 4 1,59 0, ,0575 ψ área especfca P 1, a 1,667 mm P π (6 9) a 16,67 cm b) É necessáro relaconar a porosae com a esfercae as partículas (ver Fg. segunte). 19

21 Estmatva a porosae o leto (regressão usano polnómo e º grau): ψ ε porosae o leto (y) y R esfercae() Fgura Porosae versus esfercae. juste polnomal. φ ε ρ f Re a (1 ε ) µ P L P yne/cm L 100 φ 0, , , 67 (1 0,564) 10 4,17 Equação e Ergun: f + 0,9 Re 4,17 0,9 Re ,79 Re118,7 Re ρu 1 u Re 118, 7 a(1- ε ) µ 16,67 (1 0, 564) 10 u 8,67 cm/s π 100 8, Q S u,44 m /h

22 Problema 11 (Problema I.11 o fascículo e eercícos) Num etermnao reactor, pretene-se manter o contacto os reagentes líquos com um catalsaor consttuío por partículas esfércas e 0,41 cm e âmetro. Dmensone um reactor e leto fluzao (âmetro e altura) capaz e esempenhar as funções pretenas para as conções ncaas a segur: Q líquo 900 L/h; massa e catalsaor100 kg; ρ catalsaor,5 g/cm ; ε leto fo 0,7; ρ líquo 0,88 g/cm ; µ líquo 110 cp. O cálculo a secção recta (S) e um leto fluzao para um etermnao caual faz-se a partr a velocae e trabalho, a qual assume um valor típco gual a vezes a velocae mínma e fluzação. altura o leto é calculaa sabeno a massa e sólos, a sua ensae e a porosae o leto fluzao. No caso a fluzação homogénea (vulgar nos líquos), verfca-se uma correlação lnear log ε versus log u ese a velocae mínma e fluzação até à velocae termnal corrga com o efeto e paree (log u log u m D p /D t ) em que a porosae é untára. Cálculo a velocae mínma e fluzação Como o fluo é muto vscoso é e epermentar a Equação e Kozeny para calcular a velocae mínma e fluzação: u K a ε ( ) 1 P ε µ L K 5 para esferas No caso e esferas a6/d a6/0,4114,6 cm /cm Balanço e forças (Força e atrtopeso aparente o leto): ( ρ ρ )( 1 ε ) P S s SL P L ( ) ( ),5 0, ,7 1617, 6 yne/cm Substtuno na equação e Kozeny vem: 0,7 u 1617, 6 0,175 cm/s ( ) 5 14, 6 1 0,7 1,1 1

23 Confrmação o regme: ρu 0,88 0,175 Re 0,015 a 1 14, 6 1 0,7 1,1 ( ε ) µ ( ) Estamos em regme lamnar pos Re < valae a equação e Kozeny rbtra-se velocae e trabalho gual a vezes a velocae mínma e fluzação: u trabalho u mf u trabalho 0,1750,56 cm/s 6 Qv 0,9 10 S 475, u 600 0, 56 cm ; D S π 475, cm D 4,6 cm 4 Cálculo o volume e leto leto s ; s m s /ρ s 100/5000,0857 m 1 ε Cálculo a porosae e trabalho (ε) estabelecer regressão lnear log ε versus log u ( ) f ρs ρ ρgd ε 1 u m calcular φ Re 85,8 µ log φ1,9 log Re0,685 Re m 4,85 u m 14,8 cm/s u m u (espreza-se o efeto e paree pos D t /D p 4,6/0,4160!) Regressão lnear log ε versus log u log 0,7 log 0,175 log 1 log 14,8 log ε 0,4 log u 0,6 u0,56 cm/s ε 0,47 leto s 0, ε 1 0, 47 0,054 m L leto 4 s 5, cm 1,14 m S 475, ltura a coluna L leto,8 m Dmensões o reactor: Dâmetro4,6 cm e ltura,8 m.

24 Problema 1 (Problema e Eame, ) Efectuou-se um ensao e transporte pneumátco e cereal (grão) numa coluna com 8 cm e âmetro e,5 m e altura. Para tal meram-se as alturas e leto para ferentes cauas e ar usano 400 g e cereal. Obtveram-se os seguntes resultaos: Caual e ar (m /h) ltura o leto (cm) 15 10,5 0 10, ar ' leto poroso grão 4 ar Daos: ρ 1, kg/m ; µ 1, P f ρ ' f Newton 1, g/cm 0, 0,90 cm; 0,84 cm p 4 p ε P ρu Re leto poroso ρa(1 ε ) u L ( 1 ε ) aµ ' 4,17 ' 5 0, 4 Ergun: f +0,9 Carman: f + Re Re Re 0,1 a) Determne a velocae mínma e fluzação o leto e grão com base nos aos epermentas. b) Calcule a velocae mínma e fluzação teórca, assumno que as partículas e grão são apromaamente esfércas. c) Com base nos aos epermentas, etermne a velocae mínma e transporte e grão com ar. Comente o valor obto relatvamente à prevsão teórca obta através a equação e Newton para a velocae lmte e quea e partículas. a) Para etermnar a velocae mínma e fluzação é necessáro representar a varação a porosae (ε) com a velocae o ar (u) em escala log-log. ρ ε ε ρ T s S L ms / s ms / s 400 /1, 07, 69 cm T S L π u Qv / S S 8 50, 655 cm 4

25 caual (m /h) L (cm) u (cm/s) ε T s T log (u) log (ε) 15 10,5 8 0,417 1, , , ,417, , ,74, , ,864, , ,918, , ,97, ,016 0 log(ε ) log u mf y R log(u) Da ntercepção as uas rectas (a horzontal com os pontos e leto fo e a o leto fluzao) tra-se a velocae mínma e fluzação (u mf ). log (0,417)0,4095 1,10,719 u mf 10, ,0 cm/s b) No ponto e fluzação a força e atrto guala o peso aparente o leto. P Fa P S ( ρs ρ)(1 ε ) g SL ( ρs ρ)(1 ε ) g L P - (1, 1, 10 )(1 0, 417) , 07 yne/cm L 4

26 É necessáro calcular o grupo amensonal φ para letos porosos: ' ε ρ φ f Re a (1 ε ) µ P L area específca as partículas e grão é aa por: a 7,14 cm 0,84 φ 0, 417 1, ,07, ,14 (1 0, 417) (1,84 10 ) 4,17 equação e Ergun: f + 0,9 Re 4,17 0,9 Re, Re 94,7 Re 4 uρ 7,14 (1 0, 417) 1,84 10 Re 94, 7 u 94, 7 188, cm/s a(1 ε ) µ 1, ,4 equação e Carman: f + Re 0,1 Re 5 0, Re, Re,5 Re 0,1 Re 4 uρ 7,14 (1 0, 417) 1,84 10 Re, 5 u, 5 1, cm/s a(1 ε ) µ 1, 10 equação e Ergun, apesar e ser para anés, e as partículas e grão serem pratcamente esfércas, também á bons resultaos vsto o Reynols e trabalho ser relatvamente bao. Para Re00, o esvo entre Ergun e Carman, em termos e factor e atrto, é cerca e 5%, para Re1000, o esvo é 4% e para Re000 atnge os 54%. c) Transporte pneumátco: ε 1 (too o materal fo arrastao para fora a coluna) Da alnea a) tem-se log (ε) 0,4095 log (u) 1,10 log (u),44 log (ε),1995 epansão e um leto, caso a fluzação seja homogénea, obeece à equação e Rcharson & Zak: uc u ε n log( uc) log( u ) + n log( ε ) 5

27 Por comparação com o eclve a recta o leto fluzao tem-se n,44, o que está e acoro com a equação e Rcharson e Zak para regme turbulento. ( u ) log,1995 u 158,1 cm/s 15,8 m/s (velocae mínma e transporte) velocae termnal as partículas e grão poe ser etermnaa a partr a equação e Newton para regme turbulento: ( ρ ρ ) g ( ) 1, 1, ,9 s p um u 169,7 cm/s 0, m 16,9 m/s ρ 0, 1, 10 ( Re9,9 10 confrma-se regme) O esvo o valor prevsto pela equação e Newton relatvamente à velocae mínma e transporte é relatvamente bao. Note-se que se assumu que as partículas eram esfércas e que se esprezou o efeto e paree. PROBLEM 1 Partículas esfércas e 4 mm e âmetro são fluzaas com água cuja velocae é 0,5 m/s. Calcule a porosae o leto fluzao. Dao: ρ s,5 g/cm Equação e Rcharson e Zak: n uc u ε Cálculo a velocae termnal as partículas: φ ( ρs ρ) ρg p (,5 1) (0, 4) 5 6, 7 10 (0, 01) µ 1 0,687 0,687 5 f (1 + 0,15Re ) φ f Re 1 Re(1 + 0,15Re ) 6, 7 10 Re ão Re 1887 turbulento n a eq Rcharson e Zak,4 ρum p , 01 Re 1887 um 47,175 cm/s µ 1 0, 4 Desprezano o efeto e paree um u : 1/,4 n 0,5,4 0, 5 c 0, , u u ε ε ε ε 0,77 6

28 PROBLEM 14 Uma suspensão com 0 g e carbonato e cálco por L e água é fltraa num fltro e vácuo laboratoral, cuja área e fltração é 0 cm. fltração processa-se a pressão constante, seno o vácuo aplcao e 670 mm Hg. O volume e fltrao obto ao longo o tempo está ncao no quaro segunte: Tempo (s) 46,8 8, olume e fltrao (ml) a) Determne o volume e fltrao equvalente em resstênca ao meo fltrante. b) Determne a resstênca específca o bolo e fltração. Outros aos: ρ CaCO,7 g/cm; ε bolo0,7; µ H O 1 cp; ρ H O 1 g/cm ; ρ Hg 1,6 g/cm; 1 mm H O9,8 Pa a) Recorreno à teora clássca a fltração tem-se a segunte Equação geral a fltração: t + e P ( ) Esta equação epos e ntegraa para o caso em questão, fltração a pressão constante (ver Caso, NEXO ), vem: t + e P P Representano a razão entre o tempo e o volume e fltrao (t /) versus tem-se: eclve P e orenaa na orgem eclve e Pela regressão lnear obta (ver Fgura segunte) vem: P 4, s/m 6 e e, s/m P 7

29 y 4.997E E+04 R t/ (s/m ) (m ) Fgura t / versus e regressão lnear. 4, e, 6 10 m, 6 8 4, ml b) massa e sólos por volume e fltrao (ω) etermna-se a partr a concentração a suspensão. Como se sabe a porosae o bolo, poe calcular-se o volume e água reta nos nterstícos o bolo e escontá-lo ao volume e água a suspensão e moo a obter o volume e fltrao. ω m s /( HO, total HO, bolo) ω m s /( HO, total ε m s /ρ s /(1 ε)) ω 0/(1000 0,7 (0/,7/(1 0,7)), g/ml 0,88 kg/m Caso a porosae não fosse conheca, o erro na estmatva e ω era relatvamente bao (1,9%), vsto a suspensão não ser muto concentraa. 0 cm 0,00 m ; P 670 mm Hg670 1,6 9,8 8, Pa P 4, s/m 6 α 8 4 4, , 00 8,9 10, m/kg 0, 001 0,88 8

30 PROBLEM 15 Efectuaram-se város ensaos e fltração e uma suspensão com 0 g e carbonato e cálco por L e água num fltro e vácuo laboratoral, varano o vácuo aplcao. Os valores a resstênca específca o bolo e fltração obtos encontram-se no quaro segunte: ácuo aplcao (mm Hg) Resstênca específca (10 10 m/kg),1,7,49,65,94 Determne o coefcente e compressblae o bolo e carbonato e cálco. Resolução: Quano a resstênca específca vara com a pressão aplcaa, z-se que o bolo é compressível. equação mas usual que relacona a resstênca específca com a força motrz é a segunte: α α 0 P n Em que n é o coefcente e compressblae o bolo e fltração. Poe-se então lnearzar a epressão atrás e etermnar n o eclve a recta log α vs. log P P (mm Hg) α (m/kg) log P log α 74, ,478 10,4955 5, , ,576 46, ,695 10,548 55, ,70 10,56 670, ,861 10, log (α, m/kg) y R log (P, mmhg) n 0,5 (coefcente e compressblae bao) 9

31 PROBLEM 16 (Problema III.8 o fascículo e eercícos) Realzou-se um ensao e fltração num fltro prensa e placas e calhos com uma suspensão e um sólo em água (c sólos na suspensão 10 kg/m ; ρ s 710 kg/m ), cujos resultaos obtos se encontram na Tabela segunte: Tabela Resultaos e fltração (Svarovsky, L., Sol-Lqu Separaton, E. Svarovsky, L., Butterworth & Co. Lt., 1990, pp. 19-) P (bar) t (s) (m ) (t t 1 )/( 1 ) (s m - ) 0, , , , ,7 16 0, , , , , , 167 0, , 55 0, , 909 0, ,5 81 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,54 08 Determne a resstênca específca o bolo e a resstênca o meo fltrante, sabeno que as mensões o fltro são 40 mm 40 mm 0 mm. 0

32 Pela análse a Tabela e resultaos, estamos perante um caso e fltração a pressão constante (P1,5 bar) após ecorros 686 s (t 1 ) e após um volume e fltrao e 0,0 m ( 1 ). Recorreno à teora clássca a fltração tem-se a segunte Equação geral a fltração: t + e P ( ) Esta equação epos e ntegraa para o caso em questão (ver Caso, NEXO ) vem: t t1 ( + 1 ) + e P P Representano (t t 1 )/( 1 ) versus ( + 1 ) tem-se: eclve P e orenaa na orgem eclve e (t -t 1)/( - 1) y R ( + 1 ) (m ) Fgura (t t 1 )/( 1 ) versus ( + 1 ) e regressão lnear. P 666,6 s/m6 e e 141,1 s/m P a) Determnação a resstênca específca massa e sólos por volume e fltrao (ω) etermna-se a partr a concentração a suspensão (10 kg/m ). Como não se sabe a porosae o bolo, va esprezar-se a água reta no bolo volume e água na suspensão gual ao volume e fltrao: 1

33 ω m s /( T s ) m s /( T m s /ρ s ) 10/(1 10/710) 10,07 kg/m área e fltração é obta a partr a área a placa multplcaa por, vsto que para se formar um bolo são necessáras placas, as quas formam uma câmara e fltração. Note-se que num fltro prensa poe haver váras câmaras. Por e., câmaras bolos placas 4 área e 1 placa; câmaras bolos 4 placas 6 área e 1 placa. 0,4 0,4 0,698 m P 1,5 bar1, Pa 5 P 666,1 0,698 1, ,1 α 666,1 P µω 0, , α 1, m/kg b) Determnação a resstênca o meo fltrante Como a orenaa na orgem eclve e poe calcular-se o volume e fltrao com resstênca equvalente ao meo fltrante ( e ). 14,1 e 141,1 s/m e 0,06 m, 6 P 666,1 L r r Como ω L(1 ε ) ρ s ωe Le (1 ε ) ρs ωe Le pos α α (1 ε ) ρ s Como a resstênca o meo fltrante (R M ) é efna pelo prouto rl e vem: RM ω α e R M 11 1, , 07 0, ,9 10 m 0,698 t t e P P Note-se que a equação e fltração 1 ( ) na segunte forma: poa ter so escrta µ t t1 R ( + 1 ) + M P P R pos M e, não seno assm necessáro calcular e. αω

34 PROBLEM 17 (Problema I.10 o fascículo e eercícos) Uma suspensão com 1 kg e carbonato e cálco por L e água é fltraa num fltro escontínuo. Nos prmeros 10 mnutos, a fltração processa-se a fluo constante, após este períoo o fltro funcona a pressão constante (0,5 bar) urante 50 mnutos. O volume e fltrao obto ao longo o tempo está ncao no quaro segunte: Tempo (mn) olume e fltrao (ml) a) Determne a resstênca específca o bolo e fltração. b) Qual o volume e fltrao obto ao fm e 5 mn e fltração? Daos: Área efectva e fltração 50 cm. Consere o bolo e fltração ncompressível e a resstênca o meo fltrante esprezável. a) Este é um caso e fltração a pressão constante (0,5 bar) após um etermnao períoo (10 mn) a fluo constante. Dao que não se sabe o volume e fltrao ( 1 ) ao fm e 10 mn (t 1 ), não se poe usar rectamente a equação e fltração ntegraa na forma mas usual (ver Caso, NEXO ): t t1 ( + 1 ) + e P P ssm, terá e se aplcar a equação ntegraa na segunte forma: ( ) e ( ) t t 1 P P Como a resstênca o meo fltrante é esprezável e 0 t 1 1 P P + t Representano t versus tem-se: eclve P e orenaa na orgem 1 + t 1 P

35 t (mn) (ml) t (s) (L ) , , , , t (s) y R (L ) Fgura Tempo versus e regressão lnear. eclve P 1 s/l, s/m , , α 8, m/kg 0, (Não se conserou a água reta no bolo em ω, pos não se conhece a porosae) b) orenaa na orgem 1 + t1 4, s P t1 4, 1 P 600 4, 1 10,1 10 1, m 104 ml O volume e fltrao ao fm e 10 mn é 104 ml. Como a fltração é a fluo constante até aos 10 mn, tem-se t/constante. t/10/1040,096 mn/ml (5 mn)5/0,0965 ml. 4

36 NEXO 1 Propreaes méas para uma amostra obta por peneração um materal homogéneo Dâmetro volumétrco (ou gravmétrco) méo ( Pv ou 4 ). P v (L) Dâmetro superfcal méo ( P ou ) (âmetro méo e Sauter) P (L) Dâmetro lnear méo ( L ou 1 ) L (L) Área específca (a) φ a 6 1 e (L -1 ) φ P a a e m (L /M) ρ Dâmetro a partícula com volume méo ( ) Dâmetro a partícula com superfíce méa ( ) Dâmetro a partícula com mensão lnear méa ( L ) (ou âmetro a partícula com âmetro méo) (L) (L) L (L) Nota: s epressões são também aplcáves a strbuções granulométrcas contínuas, substtuno os somatóros por ntegras. 5

37 Deuções Dâmetro volumétrco (ou gravmétrco) méo ( Pv ). P com v fracção em volume (para uma amostra homogénea logo os âmetros gravmétrco e volumétrco méos são guas) N. N. φ. T T Pv 4 φ N. φ. N... N. φ. N.. T T Pv φ T T.mT com N ρ 4 4.mT φ..mt φ. ρ T ρ. φ. T. P v P v P v.mt φ..mt φ. ρ T ρ. φ. T Dâmetro superfcal méo ( P. S P com S fracção em superfíce S φ T ST N.S N.6. S S S φ ST N. P N.6.. P N.6 φ. N. S T.m T..mT ρ P ρ.mt. ρ com N ) âmetro méo e Sauter P φ com..m T... P.mT... ρ φ ρ φ 6

38 Dâmetro lnear méo ( L ). L com L fracção em mensão lnear ( ) L L N.L N..m L L L T L com T N e φ T ρφ N..m T.. LT ρφ L L L N..mT. L T ρφ Área específca a e sup erfíce e toas as partículas ae volume e toas as partículas.m com N, S 6 e T φ φ ρφ.m N S T 6φ ρφ φ φ 1 e e e.mt φ φ φ P ρφ N a a 6 a 6 a m m e am sup erfíce e toas as partículas am massa toas as partículas conserano a amostra homogénea ( ρcte) a N S a ρ N ρ N S ρn Para esferas ( φ ) π π 6 6 φ ( ) π S S 6 6 π φ φ 6 a e (P âmetro e Sauter) P 7

39 8 Dâmetro a partícula com volume méo ( ) v N N φ com T m N ρ. e φ.. v v v T T v m m φ φ φ ρ ρ φ Dâmetro a partícula com superfíce méa ( ) N N S 6φ com T m N ρ., 6 φ e p S φ 6φ T p T T T m m m S m ρφ φ φ ρ φ ρ ρ φ Dâmetro a partícula com mensão lnear méa ( L ) (ou âmetro a partícula com âmetro méo) N N L L com L L L L.. T T m m φ φ ρ ρ

40 NEXO DIMENSIONMENTO DE UM ESPESSDOR/DECNTDOR Secção recta Métoo e Coe & Clevenger área e um espessaor contínuo eve ser sufcente para permtr a ecantação e toas as partículas almentaas através as versas zonas o espessaor. Se a área for nsufcente, começará a haver acumulação e sólos numa aa secção (esgnaa por zona lmte) o espessaor e fnalmente haverá partículas sólas arrastaas no líquo clarfcao. Coe e Clevenger amtram que a velocae e ecantação os sólos em caa zona é função a concentração local a suspensão e que as característcas o sólo urante ensaos e ecantação escontínuos não se alteram quano se passa para o equpamento e larga escala. ssm, esenvolveram um métoo que se basea na meção as velocaes e ecantação para ferentes concentrações e sólos na suspensão em ensaos solaos. Partese, por eemplo, e 1 L e suspensão com a concentração e sólos a almentação e etermna-se a velocae ncal e ecantação. Dlu-se a suspensão e etermna-se novamente a velocae ncal e ecantação. Repete-se o procemento até ter-se aos sufcentes para se conhecer a relação entre a velocae e a concentração e sólo. Caa ensao com uma etermnaa concentração va conuzr a uma área e acoro com a Equação 5 (ver na págna segunte a eução a epressão). O valor mámo encontrao será a área mínma necessára para permtr a ecantação e too o sólo almentao ao ecantaor. Na prátca, aopta-se um coefcente e segurança que poe eceer os 100%. líquo clarfcao almentação Q, C Q, C (zona lmte) lama espessaa Q E, C E Fgura 1 Esquema e um ecantaor/espessaor contínuo. 9

41 Seja Q o caual volumétrco e suspensão almentao ao ecantaor com uma etermnaa concentração e sólos C (kg/m ) e Q E o caual volumétrco e espessao com a concentração e sólos C E (ver Fgura 1). Para que não haja arrastamento e partículas sólas no clarfcao, a velocae ascensonal e líquo não poerá ser superor à velocae e sementação as partículas sólas. ssm a conção lmte poerá ser escrta: Q L (1) u em que é a secção recta, Q L é o caual volumétrco e líquo ascensonal e u a velocae. Não haveno arrastamento e partículas para o clarfcao, too o sólo que chega à zona lmte sará no funo o ecantaor, no espessao, e o caual volumétrco e suspensão Q que chega à zona lmte é a soma os cauas volumétrcos e espessao e e líquo ascensonal. Tem-se então: Q Q + Q () E L Q Q E () u CQ C Q CEQE (4) Como QC Q /C e Q E C Q /C E, substtuno em (), vem que a secção mínma é ao por: mn 1 1 CQ C CE (5) u ssumno, por e., um coefcente e segurança e 100%, vem: mn (6) Nota: Como eemplo e aplcação o métoo e Coe & Clevenger tem-se o Problema II.17 o fascículo e eercícos e OSM. 40

42 Métoo e Kynch Kynch esenvolveu um métoo e mensonamento e ecantaores que requer uncamente um ensao e laboratóro. Basea-se gualmente na epressão o métoo e Coe e Clevenger para calcular a área o ecantaor em função a concentração e sólos. ssm, começa-se por traçar a curva e ecantação em que se representa a altura a frente e sementação z em função o tempo t. Seguamente, traçam-se tangentes em város pontos a curva (na zona o ponto crítco, que é a entraa em compressão) e etermnam-se os valores e t, z e z (ntercepção a recta tangente no eo as orenaas z). velocae e a concentração são calculaas pelas seguntes epressões: u z z t (7) C z C z 0 0 (8) em que z 0 é a altura ncal e C 0 é a concentração total e sólos usaa no ensao e ecantação. Depos, é só aplcar a Equação 5 e Coe e Clevenger e calcular a secção transversal corresponente à tangente traçaa. O valor mámo a área obta para as váras tangentes traçaas é a área mínma que o ecantaor everá ter. 41

43 NEXO TEORI CLÁSSIC D FILTRÇÃO Equação e Darcy B P u µ L 1 B - permeablae o leto B r 1 P u µ r L r resstênca específca o leto (m - ); r L resstênca o leto (m -1 ) Equação e Poseulle regme lamnar D P u µ L Mofcação a equação e Poseulle para letos porosos: ' u ' Q u u u v ε S ε 1 s, porosae o bolo T ' 1 D D (am. equvalente os poros) Rh am. me. hráulco 4 secção recta volume e vazos εt ε Rh permetro molhao área molhaa ench (1 ε ) a(1 ε ) ε ' ' D ; L L a (1 ε ) ε ε P u Kozeny (Carman K 5) K a (1 ε ) µ L 1 P u µr L 5 a (1 ε ) r (L ) (resstênca específca o bolo e fltração) ε 1 Defnno a velocae e fltração como u em que é o volume e fltrao e é a t área e fltração e ω - massa e bolo / ou υ - volume e bolo / υ ω vem L ou L pos balanço aos sólos ω L(1 ε ) ρ s (1 ε ) ρ s 4

44 1 1 P 1 P t r t r µ υ µ υ µυ r t P ou r t (1 ε ) ρ s µω P r Defnno uma nova resstênca específca o bolo como α (1 ε ) ρ s segunte epressão que se esgna por Equação geral e fltração: (m/kg) vem a t P (ou t rµυ P pos αω rυ ) α com ε a ρs Bolos ncompressíves α constante Bolos compressíves n ' n 0 P ou 0 + b P n (coefcente e compressblae) α α α α n 0,7-0,9 bolos muto compressíves (e.: hróos, bomassa) Bolos com n bao são por e. os arglosos e os e CaCO Integração a Equação geral e fltração para casos partculares t P Caso 1 Fluo constante t te c P k P força motrz é proporconal ao volume e fltrao. 4

45 Caso Pressão constante t t 0 P 0 t t P P t t/ Caso Pressão constante após t 1 ( 1 ) t 1 t t t P 1 P 1 (t-t1)/(-1) Como ( 1 ) ( 1 )( + 1 ) t t P ( ) Nota: representano t versus calcular 1 a partr a orenaa na orgem. (+ 1 ) RESISTÊNCI DO MEIO FILTRNTE (R M ) υ ω L L + Le L ( 1 ε ) ρs 1 1 P P t rµ L + Le t L ( e r + ) efnno ( 1 ) µυ Le ε ρsle e υ ω P t rµυ t ( + ) ( ) e ( + ) t rµυ + e P e P υ volume e fltrao equvalente à resstênca o meo fltrante t rµυ rµ L + e P P rle RM ω α e t rµυ µ R M t µ R + + M P P P P 44

46 Integração a Equação geral e fltração (com resstênca o meo fltrante) t + e P ( ) Caso1 Fluo constante t cte ( + ) e P Caso Pressão constante t t ( + ) e t + e 0 P 0 P t e + P t + e P P Representano t/ versus tem-se eclve P 5 e orenaa na orgem eclve e 0 5 t/ (s/l) (L) Caso Pressão constante após t 1 ( 1 ) t t ( ) 1 1 ( 1) e t t + + e t P 1 P 1 t t1 ( + 1 ) + e P P Representano (t t 1 )/( 1 ) versus ( + 1 ) tem-se: eclve P e orenaa na orgem eclve e. 45