UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM - FACULDADE INTEGRADA

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1 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM - FACULDADE INTEGRADA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Por: Maria Luiza Prado Mello Orientador Ana Cláudia Morrissy DOCUMENTO DOCUMENTO PROTEGIDO PROTEGIDO PELA PELA LEI LEI DE DE DIREITO DIREITO AUTORAL AUTORAL Rio de Janeiro 2015

2 2 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU AVM - FACULDADE INTEGRADA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Apresentação de monografia ao Conjunto Universitário Candido Mendes como condição prévia para a conclusão do Curso de Pós- Graduação Lato Sensu em Finanças e Gestão Corporativa. Por: Maria Luiza Prado Mello

3 3 DEDICATÓRIA

4 4 AGRADECIMENTOS......

5 5 RESUMO Este trabalho analisa dois métodos utilizados nas análises de investimentos: a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Valor Presente Líquido (VPL). Investimentos são realizados visando criar valor para os investidores e de fundamental importância para o crescimento e desenvolvimento econômico das empresas. As avaliações realizadas por estes métodos capacitam o gestor a visualizar se os projetos que estejam à sua disposição são economicamente viáveis ou não, ou seja, se este irá agregar ou perder valor, garantindo assim que o resultado do investimento seja mais próximo do desejado para isso leva-se em considerações os riscos e o retorno envolvidos. O objetivo do estudo é apresentar, discutir e comparar os métodos TIR e VPL para a análise de investimentos, demonstrando uma síntese desses dois métodos e suas limitações.

6 6 METODOLOGIA Para a estruturação desse trabalho, adotou-se como procedimento metodológico a pesquisa bibliográfica, utilizando-se como fonte de consulta livros, monografias, artigos e publicações eletrônicas acerca do assunto abordado. Os dados e informações foram buscados nas bibliotecas públicas e privadas e na Internet.

7 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO CAPÍTULO I ANÁLISE DE INVESTIMENTOS CAPÍTULO II VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) CAPÍTULO III TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA ÍNDICE FOLHA DE AVALIAÇÃO... 43

8 8 INTRODUÇÃO Investimento é um desembolso que se faz no presente, visando gerar um fluxo de benefícios futuros. São realizados visando criar valor para os investidores. Nas organizações, investimentos são ações corriqueiras, envolvem somas consideráveis de recursos e são de fundamental importância para o crescimento e desenvolvimento econômico da empresa. A decisão de investir o capital disponível integra um processo que envolve a geração e avaliação de diversos cenários e possibilidades. Relacionadas as alternativas tecnicamente viáveis, se analisam quais são as mais atrativas financeiramente e a expectativa de retornos sobre o valor investido. A análise de investimentos é um importante auxílio aos gestores, pois tende a evidenciar os prós e contras de um determinado projeto de investimento, tanto no presente, quanto em projeções futuras, ajudando-os nas tomadas de decisões. Diversas técnicas permitem avaliar a viabilidade de um investimento, as mais utilizadas são a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Valor Presente Líquido (VPL). As avaliações realizadas por estes métodos consistem em importante ferramenta de auxílio aos gestores sobre a viabilidade econômica ou não desses investimentos, ou seja, se este irá agregar ou perder valor, pois tendem a evidenciar os prós e contras, tanto no presente, quanto em projeções futuras, ajudando-o nas tomadas de decisões. Nesse contexto, e para facilitar o estabelecimento do universo da pesquisa, foi formulado o seguinte problema: qual método é melhor: VPL ou TIR? A investigação dessa problemática se justifica pelo fato de muitos gestores, principalmente nas pequenas e médias empresas, realizam investimentos sem qualquer análise da viabilidade, e, posteriormente, percebem que o capital foi mal investido, mal utilizado, ou utilizado no momento em que não era pra ser utilizado, e, desse modo não conseguem os resultados em que foi esperado ou em muitos casos ficam com saldos negativos após terem feito o investimento sem análise da viabilidade econômica. Dessa forma, o estudo visa ajudar os gestores a

9 9 utilizar os conceitos apresentados no trabalho na análise da viabilidade de um investimento nas suas organizações e, assim, realizar a decisão e seleção da melhor alternativa em um conjunto de investimentos possíveis. Dessa forma, esta monografia visa apresentar uma revisão da literatura sobre a análise de investimentos, aplicando dois principais métodos: TIR e VPL. Para orientar os rumos da pesquisa, foram estabelecidos os seguintes objetivos específicos: demonstrar a importância da análise econômica financeira de investimentos; apresentar, discutir e comparar os métodos TIR e VPL para a análise de investimentos; demonstrar as vantagens e desvantagens dos métodos de análise de investimentos TIR e VPL.

10 10 CAPÍTULO I ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 1.1 Investimentos: conceito e características Nas organizações, investimentos implicam em comprometimento do capital de diversas formas, de modo durável, com a finalidade de manter ou melhorar a situação econômica da empresa (GALESNE et al., 1999). Nesse sentido, destaca Helfert (2000, p. 42) que: O investimento é a força motriz básica da atividade empresarial. É a fonte de crescimento que sustenta as estratégias competitivas explicitas da administração e, normalmente, está baseado em planos (orçamentos de capital) comprometidos com fundos novos ou já existentes, destinados a três áreas principais: Capital de giro; Ativos físicos e Programas de gastos principais. A estratégia de investimento depende de um aspecto essencial: o custo para se fazer este investimento e do custo da oportunidade de não negociar. Além do mais, os investimentos devem ser realizados visando a criação de valor para a organização, o que ocorre quando se produz algo que vale mais do que o valor dos recursos utilizados na sua confecção. A agregação de valor acontece quando os clientes pagam além do valor dos custos. O conceito de valor, segundo Rodrigues e Mendes (2004, p.16-17), está associado a investimento e ao crescimento das empresas: Sem investimento uma empresa não tem condição de expandir sua função econômico-social de gerar emprego, satisfazer a demanda dos consumidores, encomendar insumos e serviços de fornecedores, pagar impostos e taxas sobre o movimento operacional e seus resultados. O investimento resultando em crescimento é a condição básica para o incremento de valor do negócio, beneficiando aqueles que aplicaram recursos para tornar factível o empreendimento. O aumento de valor do negócio traduz a valorização do capital próprio aplicado pelos acionistas além de tranquilizar os credores que

11 11 financiaram parte dos investimentos. Nesse ambiente favorável de geração e incremento de valor, os credores são incentivados a aplicar mais empréstimos em novos projetos sequenciais de expansão do empreendimento. Dessa forma, ao se realizar um investimento, espera-se a recuperação do valor investido, mais uma rentabilidade em determinado prazo. Nesse sentido é a definição de investimentos apresentada por Motta e Calôba (2002, p. 34): A situação na qual ocorre inversão de capital de alguma forma, podendo ser em um projeto novo, na compra de uma empresa existente etc., buscando com isso criação de valor, ou seja, recuperação do valor investido principal), mais uma rentabilidade do investimento (taxa de juros) em determinado prazo. Segundo Holanda (1976, p. 259), investimento é qualquer aplicação de recursos de capital, com vistas a obter um fluxo de benefícios ao longo de um determinado período futuro. Ou seja, é o ato de aplicar um capital em meios que levam ao crescimento da capacidade produtiva. Pode ser na compra de equipamentos, máquinas e imóveis para instalação de unidades produtivas ou ainda na compra de títulos financeiros. como sendo O Instituto Brasileiro de Contabilidade (1998) conceitua investimentos (...) um ativo possuído por uma empresa para fins de acréscimo patrimonial por meio da distribuição (tais como juros, royalties, dividendos e aluguéis), para fins de valorização ou para benefícios do investidor, tais como os obtidos de relacionamentos comerciais entre empresas. Tem-se, ainda, como definições de investimentos apresentadas na literatura: Investimento seria um gasto registrado no ativo, em função de sua vida útil ou da expectativa de benefícios futuros (BREDA, 1999, p. 12) O ato de investir implica em aplicar capital em um componente produtor de resultado (SÁ, 2009, p. 32); investimentos são aplicações de recursos visando à geração de rendimentos ou à prestação de serviços que satisfaçam a uma necessidade social sem fins lucrativos (WALTER, 1986, p. 45).

12 12 Dos conceitos apresentados, pode-se compreender investimento como o capital empregado na compra bens ou serviços, tangíveis ou intangíveis, circulantes ou não circulantes cujo objetivo é, direta ou indiretamente, gerar receitas para a empresa. Pode-se classificar os investimentos em: a) Investimentos mutuamente exclusivos: investimentos que ao fazer uma análise de rentabilidade, o escolhido será o mais rentável, excluindo os demais; b) Investimentos independentes: ao fazer a análise de rentabilidade, os projetos serão executados em ordem decrescente de maior rentabilidade. Pode-se classificar, ainda, os investimentos em temporários ou permanentes. Os investimentos temporários representam aplicações de valores com intenção de resgate dentro de certo tempo. Contabilmente são classificados como aplicações de liquidez imediata e títulos de valores imobiliários (HOJI, 2010). Os investimentos permanentes são realizados em ativos que visam produzir resultados a longo prazo e tem como objetivo a manutenção das atividades operacionais da organização (por exemplo, aquisição de máquinas, equipamentos, edificações, terrenos, etc.). Como destaca Gitman (2004, p. 288): Uma vez que os investimentos a longo prazo representam desembolsos consideráveis de fundos que obrigam a empresa a seguir um determinado curso de ação, são necessários certos procedimentos para analisá-los e selecioná-los adequadamente. De acordo com sua finalidade, os investimentos podem ser classificados em três grupos: investimentos em ativos fixos, investimentos em ativos financeiros e investimentos intangíveis (LAPPONI, 2000). Quanto ao objetivo, classificam-se em: reposição ou atualização tecnológica; equipamentos; expansão da capacidade; diferenciação de produto ou processo e diversificação de carteira de produto. O custo do capital empregado em cada investimento considera o risco financeiro e econômico envolvido na incerteza de cada projeto (MARQUEZAN; BRONDANI, 2006). Risco é a possibilidade de perda do valor investido total ou

13 13 parcialmente e estará sempre presente na gestão financeira das empresas e nas análises de investimentos. Todas as apostas comportam risco. No âmbito da decisão de investimento, que se materializa pelo sacrifício de uma satisfação imediata e certa em troca de uma esperança futura..., a situação não é diferente. Como assinala Massé (1962),...esperar não é ter... (GALESNE et al., 1999, p. 16). O retorno de investimento é uma exigência para a existência e, principalmente, a continuidade das organizações. Taxa de Retorno esperada é a taxa de retorno que se espera obter de um investimento; é o valor médio da distribuição de probabilidades de resultados possíveis (WESTON; BRIGHAM, 2004, p. 157). Diversas são as opções de investimentos no mercado, as mais conhecidas e procuradas são: mercado financeiro de capitais (bolsa de valores); criação de novas empresas; compra de máquinas e equipamentos para empresas já existentes; compra de imóveis para geração de renda; e aplicação no mercado agrícola (BMF) ou na exploração de culturas. 1.2 Etapas de um projeto de investimento Todo e qualquer investimento começa com uma ideia inicial. Algumas organizações utilizam recursos como caixas de sugestões ou brainstorming para captar ideias de investimentos (GALESNE et al., 1999). A figura a seguir expõe as etapas de um projeto de investimento elaborado por Galesne et al. (1999). Nesse modelo, em uma primeira fase, que corresponde ao período T0 a T1 (figura abaixo), estuda-se as propostas de projetos do setor e, após uma análise de risco e retorno, apenas uma será escolhida. Nessa fase ocorre o estudo das variantes concorrentes e elaboração do projeto de investimento. Na segunda fase, que compreende o período T1 a T2, os projetos sugeridos pelos setores da empresa são avaliados e priorizados. Nessa etapa

14 14 utiliza-se como filtro a disponibilidade de recursos da organização, e, caso não haja recursos suficientes para o desenvolvimento de todos os projetos, alguns serão postergados para exercícios futuros, ou, até mesmo, cancelados (a exemplo do projeto 4b na figura abaixo). Nesse aspecto, Casarotto Filho e Kopittke (2000) descrevem que deve ser realizado um estudo da viabilidade do investimento. Em um primeiro momento deve-se perguntar se o investimento é rentável, qual pode render mais e de maneira que se obtenha um maior retorno. Os investimentos que são mais rentáveis deverão ser analisados de acordo com os critérios financeiros, mostrando os efeitos na situação real da empresa, como exemplo, como irá o investimento afetar o capital de giro da empresa. Os projetos selecionados nessa segundo fase não significa que serão automaticamente aceitos, isto porque, pode ocorrer do montante de capital necessário para esses investimentos seja superior ao porte da companhia, e, ainda, não haja viabilidade de captação de recursos no mercado, com isso, o projeto seria abandonado. É o exemplo do projeto 2a na figura a seguir. Como se observa nesta ilustração apenas serão realizados os projetos 1b e 3c, fato esse materializado em T3 (assinatura do contrato). O período entre T3 e T4 corresponde a última etapa do projeto de investimento, no qual serão calculadas as saídas e entradas de caixa associadas ao projeto. Nessa fase realiza-se a análise do investimento, seu tempo de duração e a possibilidade de sucesso ou fracasso do investimento.

15 15 Figura 1 - As etapas de um projeto de investimento Fonte: Galesne et al. (1999, p. 17). Como se observa na figura apresentada, os investimentos são projetados ao longo de alguns períodos, sendo necessário, nessa projeção, a mensuração de quais serão as futuras entradas e saídas de caixa. 1.3 Métodos de análises de investimentos A análise das alternativas de investimentos, como destaca Rebelatto (2004), consiste no estudo dos fluxos de caixa - saídas e entradas de caixa de um projeto para avaliar sua viabilidade econômica. Um investimento economicamente viável é aquele que apresenta recuperação de capital (retorno do investimento) e remuneração (retorno sobre o investimento).

16 16 Zanin (2009, p. 15) complementa que para se determinar a viabilidade de um projeto deve-se utilizar da técnica da análise de investimento, ou seja, um conjunto de ferramentas que servem para auxiliar a tomada de decisão a partir da mensuração do valor de determinado negócio. Segundo Famá e Bruni (2003, p.15): Um investimento pode ser caracterizado genericamente como um sacrifício hoje em prol da obtenção de uma série de benefícios futuros. Em finanças, os conceitos de sacrifícios e benefícios futuros estão associados aos fluxos de caixa necessários e gerados pelo investimento. Assim, a análise de investimentos consiste, basicamente, em uma análise de projeção de fluxos de caixa. Damodaran (2002) conceitua as decisões de investimento como aquelas medidas que não apenas criam receitas ou despesas, mas também aquelas medidas que ajudam a reduzir custos ou despesas. Segundo Souza (2007, p. 25), o processo de avaliação de investimentos é compreendido por três grandes passos genéricos: construção dos fluxos de caixas, aplicação de técnicas de avaliação e seleção de alternativas viáveis. A avaliação de investimentos usualmente envolve um conjunto de técnicas que buscam determinar sua viabilidade econômica e financeira, considerando uma determinada Taxa Mínima de Atratividade (TMA), que representa o mínimo de retorno exigido pelo investidor. A TMA é estruturada com base em três componentes básicos: custo de oportunidade o quanto se ganharia caso o investimento fosse aplicado em outras alternativas ; risco do negócio o ganho deve ser suficiente para cobrir os riscos de uma nova ação ; liquidez capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posição no mercado e assumir outra (GITMAN, 2004). Existem vários métodos para se avaliar os investimentos e decidir se eles devem ou não ser aceitos. Esses métodos quantitativos de análise econômica de investimentos podem ser classificados em dois grandes grupos: a) técnicas não

17 17 sofisticadas, que não consideram o valor do dinheiro no tempo, sendo a mais comum o Período de Payback; b) técnicas sofisticadas, as mais difundidas por considerarem o valor do dinheiro no tempo, como por exemplo, o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR), o Índice de Lucratividade (IL) e a Taxa de Rentabilidade (TR) (ASSAF NETO, 2009). O VPL e a TIR são nomeados como os métodos mais tradicionais e eficientes na avaliação de projetos de investimentos (SCHROEDER et al., 2005). Considerando a relevância e a larga utilização, a avaliação de investimentos através dos métodos VPL e TIR, objetos de análise deste estudo, serão melhor abordados nos capítulos a seguir, que trarão seus conceitos relevantes para melhor entendimento destes, expondo sua utilização e aplicabilidade, bem como suas principais deficiências.

18 18 CAPÍTULO II VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 2.1 Conceito O valor presente líquido (VPL), ou NPV (Net Present Value), segundo Megliorini e Vallim (2009), é a diferença entre o valor descontado do fluxo de caixa para a data do investimento inicial e o valor de um investimento inicial de um projeto. É considerado uma técnica de orçamento de capital sofisticada, por levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. Nesse sentido, Marquezan e Brondani (2006) define o VPL como o valor das somas algébricas de fluxos de caixa futuros, descontados a uma taxa de juros compostos, em uma determinada data. Weston e Brigham (2004, p. 533) destacam que o VPL é um método de avaliação das propostas de investimento de capital em que se encontra o valor presente dos fluxos de caixa futuros líquidos, descontados ao custo de capital da empresa ou à taxa de retorno exigida. No mesmo sentido é a definição apresentada por Gitman (2004, p. 302), que conceitua VPL como uma técnica de orçamento sofisticada, e o seu valor é determinado pela subtração do valor inicial de um projeto, do valor presente dos fluxos de entrada de caixa, descontados a uma taxa igual ao custo do capital da empresa. De forma mais resumida, Bruni et al. (1998) afirmam que o VPL representa a diferença entre os fluxos de caixa futuros trazidos a valor presente pelo custo de oportunidade do capital e o investimento inicial. De forma semelhante, para Hoji (2010) o VPL consiste em determinar o valor no instante inicial, descontando o fluxo de caixa líquido de cada período futuro gerado durante a vida útil do investimento, com a taxa mínima de atratividade e adicionando o somatório dos valores descartados ao fluxo de caixa líquido do instante inicial.

19 19 Comenta Assaf Neto (2009, p. 314) que o VPL (...) exige a definição prévia da taxa de desconto a ser utilizada nos vários fluxos de caixa. Na verdade, o NPV não apura diretamente a mensuração da rentabilidade do projeto; ao descontar todos os fluxos de entradas e saídas de caixa de um investimento por uma taxa de desconto mínima aceitável pela empresa, o NPV expressa, em última análise, seu resultado econômico (riqueza) atualizado. Para Kassai et. al (2000, p.61-62), o VPL reflete a riqueza em valores monetários do investimento medida pela diferença entre o valor presente das entradas de caixa e o valor presente das saídas de caixa a uma determinada taxa de desconto. Os autores consideram o VPL como um dos melhores métodos e o principal indicado como ferramenta para analisar projetos de investimentos, pois além de trabalhar com os fluxos de caixa descontados, tem consistência matemática e o seu resultado é em espécie ($) revelando a riqueza absoluta do investimento (KASSAI et al., 2000, p ). 2.2 Fórmula algébrica do VPL Segundo Motta e Calôba (2002) ao VPL é a soma algébrica de fluxos de caixa descontados para o instante presente, a uma taxa de juros i. A fórmula para cálculo deste indicador é: Onde: i é a taxa de desconto; j é o período genérico (j = 0 a j = n), percorrendo todo o fluxo de caixa;

20 20 FC j é um fluxo genérico para t = [0... n] que pode ser positivo (ingressos) ou negativo (desembolsos); VPL (i) é o valor presente líquido descontado a uma taxa i; n é o número de períodos do fluxo (período de tempo). I 0 é o investimento inicial. Um investimento deverá ser aceito se seu VPL for positivo, pois gerará retorno igual ou maior que o custo de capital. Significa que os recursos gerados irão cobrir o investimento inicial, já descontando uma taxa de retorno esperada, e ainda irá gerar recursos adicionais (MEGLIORINI; VALLIM, 2009). Por outro lado, se o VPL for negativo, o investimento deverá ser rejeitado, pois seu retorno será inferior a seu custo de capital, deixando, portanto, de ser atrativo. O VPL negativo indica que não será possível cobrir o investimento inicial, ou seja, os ganhos futuros descontados a uma taxa não vão ser suficientes para cobrir o desembolso no instante zero. Se o VPL é negativo a rentabilidade do investimento é inferior a TMA. Na eventualidade do VPL ser exatamente igual a zero, significa que os fluxos de caixa do projeto são suficientes apenas para restituir o capital investido, tornando-se indiferente realizar ou não o investimento (MEGLIORINI; VALLIM, 2009). Assim, com base na utilização do VPL, na tomada de decisão para realizar determinado investimento ou não, deve-se considerar a seguinte regra: VPL > 0: atesta-se a viabilidade econômica do projeto, ou seja, o investimento é economicamente atrativo, pois o valor presente das entradas de caixa é maior que o valor presente das saídas de caixa; aceita-se o projeto.

21 21 VPL < 0: atesta-se a inviabilidade do empreendimento, ou seja, o investimento não é economicamente viável, já que o valor presente das entradas de caixa é menor que o valor presente das saídas de caixa; rejeita-se o projeto. VPL = 0: será indiferente realizar ou não o investimento, pois o retorno será igual ao custo do investimento, ou seja, o valor presente das entradas de caixa é igual ao valor presente das saídas de caixa. Pode ocorrer situações em os projetos de investimentos analisados apresentem o VPL positivo. Nesses casos, a escolha deve recair sobre aquele projeto que apresenta o maior VPL, pois como ambos os projetos vão ter uma rentabilidade superior à TMA, aquele que tiver o maior VPL, mostra que o projeto está gerando uma riqueza superior, já que seu VPL é maior. Exemplificando, Sviech e Mantovan (2013) apresentam a seguinte situação hipotética envolvendo dois projetos de investimentos, caracterizados por um desembolso inicial (saída) e entradas pelos cinco anos seguintes. Para o Projeto Alfa, considera-se um investimento de R$ ,00 com expectativa de benefícios de caixa de R$ ,00 no primeiro ano, R$ ,00 no segundo ano, R$ ,00 no terceiro ano, R$ ,00 no quarto ano e R$ ,00 no quinto ano. Para o cálculo e comparação será adotada uma TMA igual a 8,5% ao ano. Efetuando o cálculo, apura-se um VPL de R$ ,66. Isso significa que ao se descontarem os vários fluxos previstos de caixa pela TMA, o valor atualizado descontado o investimento inicial será positivo, demonstrando que o projeto é viável. Entretanto, ao se elevara TMA para 23% ao ano, por exemplo, o VPL apresenta-se negativo (-R$906,20), indicando que o investimento não é viável. Para o Projeto Beta, considera-se um investimento de R$90.000,00 com expectativa de benefícios de caixa de R$ ,00 no primeiro ano, R$ ,00 no segundo ano, R$ ,00 no terceiro ano, R$ ,00 no quarto ano e R$ ,00 no quinto ano. Aplicando a fórmula para cálculo deste indicador, tem-se um VPL de R$ ,83. Isso significa que o projeto é economicamente viável, pois o valor atualizado descontado o investimento inicial será positivo.

22 22 Contudo, ao se elevar a TMA para 23% ao ano, o VPL também apresenta-se negativo (-R$5.819,80), indicando que o investimento não é viável. explicitam que: Considerando esses resultados, Sviech e Mantovan (2013, p. 14) Embora ambos os projetos apresentem VPL positivos quando a TMA determinada pela empresa é igual a 8,5% ao ano, (...) considerando o VPL de R$40.836,66 do Projeto Alfa e R$42.324,83 do Projeto Beta, deve-se optar pelo Projeto Beta, que apresenta um valor maior de VPL. No cenário em que a TMA seja igual a 23%, nenhum dos projetos deve ser executado, visto que ambos resultarão em prejuízo ao apresentar valores negativos para o VPL. Entretanto, há situações em que a empresa se vê obrigada a investir em um dos projetos. Neste cenário, deve-se optar pelo Projeto Alfa, que apresenta um prejuízo menor para a empresa. A figura a seguir melhor ilustra as etapas na utilização do VPL como ferramenta de análise de investimentos. Figura 2 - Etapas do processo de utilização da ferramenta VPL Fonte: Monteiro (2011, p. 136).

23 Vantagens e desvantagens do VPL Para Evangelista (2006), as principais vantagens encontradas no método do VPL são: usa fluxos de caixa (lucro líquido + depreciação) em lugar de lucro líquido; analisa o valor do dinheiro no tempo; identifica o aumento de riqueza do empreendimento; é usado para tomar decisões entre investimentos; aceita projetos com VPL positivo; (6) considera o risco embutido na TMA. Aponta-se, ainda, como vantagens do VPL: a) pode ser aplicado em qualquer fluxo de caixa: quando tem mais de uma mudança de sinal e quando o fluxo de caixa é de um período maior que um ano; b) informa se o investimento aumentará o valor da empresa; c) é possível somar os VPLs de projetos individuais. Ross et al. (apud SCHVEITZER, 2009) acrescentam, ainda, como atributos do VPL o fato deste método considerar a totalidade dos fluxos de caixa do projeto, e, descontar adequadamente os fluxos de caixa. Kassai et al. (2000, p. 66) destacam como ponto negativo desse método a dificuldade na identificação da taxa de desconto a ser utilizada, pois muitas vezes é obtida de forma complexa ou até mesmo subjetiva. Assim, como desvantagens desse método pode-se citar: a) necessidade de conhecer a TMA; b) O método retorna um valor monetário e não uma taxa de juros. Por isso fica difícil fazer comparações. Outro ponto negativo desse método é que na avaliação de investimentos, para que se possa comparar dois ou mais projetos e optar pelo de maior benefício à empresa, os projetos precisam apresentar mesmo prazo e mesmo investimento necessário, ou seja, o VPL não permite a comparação entre projetos que necessitam de investimentos distintos ou ainda de prazos totais diferentes. Outra limitação desse método, como destaca Duarte (2007), é não permitir a definição correta do projeto em relação a decisões estratégicas da empresa, pois determinado projeto pode apresentar VPL negativo, mas que

24 24 funcionam como verdadeiras estratégias que, futuramente, irão beneficiar a organização. Assim, pode ocorrer da organização dispensar um investimento por não apresentar retorno positivo ou não atingir o retorno mínimo exigido, mas que estrategicamente pode ser interessante para a empresa, como composição de um portfólio de processos, produtos ou serviços, que podem alavancar o negócio (SVIECH; MANTOVAN, 2013). O VPL apresenta, ainda, como limitação, o fato de analisar, por vezes, projetos muito longos, o que pode culminar com superestimações ou subestimações de fluxos de caixa futuros, conforme evidenciado por Groppelli e Nikbakht (1998, p. 256): Na realidade, entretanto, quanto mais distante é a data, mais difícil é a estimativa dos fluxos de caixa futuro. Os fluxos de caixa futuro são influenciados pelas vendas futuras, pelos custos de mão-de-obra, dos materiais e dos custos indiretos de fabricação, pelas taxas de juros, pelos gostos dos consumidores, pelas políticas governamentais, pelas mudanças demográficas e assim por diante. A superestimação ou subestimação dos fluxos de caixa futuros podem levar à aceitação de um projeto que deveria ser rejeitado, ou à rejeição de um projeto que deveria ser aceito. Groppelli e Nikbakht (1998) destacam, ainda, que a taxa de desconto utilizada no VPL permanece a mesma durante todo o período analisando, desconsiderando-se possíveis mudanças de um ano para outro. Complementando, Ross et al. (apud SCHVEITZER, 2009) destacam ser importante a utilização de uma taxa de desconto conforme a natureza da organização e os valores aplicados no mercado financeiro, uma vez que a taxa influencia diretamente os valores que levarão à decisão de aprovação ou rejeição do projeto.

25 25 CAPÍTULO III TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 3.1 Conceito A taxa interna de retorno (TIR), também conhecida como Internal Rate of Return (IRR), segundo Motta e Calôba (2002), é um índice relativo que mede a rentabilidade dos investimentos por unidade de tempo, avaliando que para isso, haja receitas envolvidas, assim como também investimentos. Para Evangelista (2006, p. 40), ela representa a rentabilidade interna de um projeto, obtida pelo desconto do fluxo de caixa observado nos períodos de análise e que anule o valor do investimento inicial. Weston e Brigham (2004, p. 536) definem a TIR como (...) um método de avaliação das propostas de investimento com o emprego da taxa de retorno sobre um investimento em ativos, calculado ao encontrar a taxa de desconto que iguala o valor presente das entradas de caixa esperadas de um projeto ao valor presente de suas saídas esperadas de caixa: VPL (Entradas de caixa) = VPL (Saídas de caixa). Segundo Braga (1989, p. 290), a TIR corresponde a uma taxa de desconto que iguala o valor atual das entradas líquidas de caixa ao valor atual dos desembolsos relativos ao investimento líquido. Gitman (2004, p. 303) define a TIR como a taxa de desconto que iguala o valor presente de fluxos de entrada de caixa com o investimento inicial de um projeto, ou seja, a TIR é a taxa que zera o investimento, fazendo com que o lucro do projeto seja nulo ou VPL = $ 0. Esse índice relativo tem como objetivo medir a rentabilidade por unidade de tempo e o seu resultado e auferido em percentual (MOTTA, 2002).

26 26 Gitman (2004, 360) acrescenta que a TIR se refere à taxa anual de resultados capitalizada que a empresa vai obter se ela investir no projeto e receber os fluxos de entrada de caixa fornecidos. Para fins de decisão, a taxa obtida deverá ser confrontada a taxa que representa o custo de capital da empresa e o investimento só deverá ser aceito quando a TIR superar o custo de capital, significando que as aplicações da empresa estarão rendendo mais que o custo dos recursos usados na entidade como um todo. Conforme Assaf Neto (2010), a TIR é uma taxa de juros implícita numa série de pagamentos (saídas) e recebimentos (entradas), que tem a função de descontar um valor futuro ou aplicar o fator de juros sobre um valor presente, conforme o caso, para trazer ou levar cada valor do fluxo de caixa para uma data focal (data base de comparação de valores correntes de diversas datas). Geralmente, adota-se a data de início da operação momento zero como a data focal de comparação dos fluxos de caixa. Normalmente o fluxo de caixa no momento zero (fluxo de caixa inicial) é representado pelo valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixa indicam os valores das receitas ou prestações devidas. Evangelista (2006) sintetiza afirmando que a TIR é a taxa de desconto que torna o VPL das entradas de caixa igual ao VPL das saídas de caixa. A TIR, portanto, é o percentual de retorno obtido sobre o saldo investido e ainda não recuperado em um projeto de investimento, ou seja, é o lucro que se obteve ao investir num certo projeto. Ao considerar o valor do dinheiro no tempo, a TIR, segundo Assaf Neto (2010, p. 310), representa a rentabilidade do projeto expressa em termos de taxa de juros composta equivalente periódica. Gitman (2004) salienta ser a TIR a técnica sofisticada mais usada para a avaliação de alternativas de investimentos, apesar de ser consideravelmente mais difícil de ser calculada manualmente do que o VPL. Pesquisas acadêmicas mostram que três quartos dos executivos financeiros sempre ou quase sempre utilizam a TIR para avaliar projetos de investimentos (BARBIERI, 2007).

27 Fórmula da TIR Como a TIR é a taxa de desconto que faz com que o VPL de uma oportunidade de investimento iguale-se a zero, seu cálculo, quando não realizado com a utilização de uma calculadora financeira, planilhas eletrônicas ou software específico, poderá ser realizado por tentativa e erro utilizando a seguinte equação, supondo-se a atualização de todos os movimentos de caixa para o momento zero: Onde: FCj é o valor presente das entradas de caixa; I 0 é o investimento inicial; i é a taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa); t é o tempo de desconto de cada entrada de caixa; n é o tempo de desconto do último fluxo de caixa. Para efeitos de análise e tomada de decisão de investimento, Braga (1989, p. 290) considera que a TIR deve ser comparada com uma taxa de rentabilidade mínima exigida em face do risco do projeto. Essa taxa mínima poderá também corresponder ao custo de capital da empresa, cabendo ao investidor essa decisão. A TIR, portanto, pode ser comparada à TMA desejada, ou, com o Custo de Oportunidade ou, com o Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC). Segundo Kassai et al. (2000, p. 66), é considerado economicamente atraente todo o investimento que apresente a TIR maior ou igual à TMA. No entanto, os autores destacam que quando a TIR apurada difere substancialmente das taxas de mercado, ela pode ficar muito longe de indicar a verdadeira

28 28 rentabilidade do projeto de investimento, e, sua interpretação, como taxa de retorno do investimento, é falsa. Ainda de acordo com Kassai et al. (2000, p. 68), na utilização da TIR devem ser tomados alguns cuidados na interpretação: 1. No cálculo da TIR de um investimento há o pressuposto de que todos os valores caminham no tempo pela própria TIR, ou seja, os fluxos de caixa negativos ou investimentos seriam financiados pela TIR e os fluxos de caixa positivos ou lucros também seriam reinvestidos pela TIR. Neste caso, quando a TIR apurada é muito diferente das taxas de mercado, sua interpretação não é verdadeira. 2. Quando o projeto é representado por um fluxo de caixa não convencional, ou seja, em que há várias inversões de sinais entre fluxos de caixa positivos e negativos, as seguintes situações podem ocorrer: Pode apresentar uma ou mais TIR positivas e/ou negativas. O projeto pode ter, simultaneamente, taxas positivas e negativas; pode apresentar uma única TIR, igual a um projeto classificado como convencional; ou ainda inexistir solução. Assim como o VPL, a TIR utiliza como critério de análise o tipo aceitarrejeitar. Dessa forma, quando a TIR for superior a TMA, o projeto é economicamente viável e deve ser aceito, pois, além de superar os custos do projeto de investimento e pagar o custo de capital, um possível remanescente da taxa adicionaria valor à empresa, ou seja, a organização estará obtendo um retorno superior ao mínimo esperado ou, pelo menos, superior ao custo do capital empregado no projeto (SCHROEDER et al., 2005). De forma análoga, se o custo de capital for superior ao valor da taxa de retorno, o projeto deverá ser rejeitado, ou seja, se a TIR for menor do que a TMA o investimento não é viável, não devendo ser realizado (GITMAN, 2004). Assim, tem-se que: TIR > TMA significa que o investimento é economicamente atrativo; TIR < TMA - o investimento não é economicamente atrativo, pois sua rentabilidade é menor ao capital investido, devendo haver recusa neste caso; TIR = TMA - o investimento está economicamente numa situação de indiferença, por ser a rentabilidade igual ao capital investido.

29 29 Entre duas alternativas econômicas com TIR diferentes, a que apresentar maior taxa representa o investimento que proporciona o maior retorno. Exemplificando, Sviech e Mantovan (2013) apresentam a situação hipotética de dois projetos de investimentos, adotando uma TMA igual a 8,5% ao ano. Para o Projeto Alfa, a empresa está avaliando um investimento de R$ ,00 com expectativa de benefícios de caixa de R$ ,00 no primeiro ano; R$ ,00 no segundo ano; R$ ,00 no terceiro ano; R$ ,00 no quarto ano; e R$ ,00 no quinto ano. Efetuando o cálculo, apura-se uma TIR igual a 22,6% ao ano. Se comparada à TMA de 8,5% ao ano, o projeto deve ser aceito pois traz um ganho superior à TMA. No Projeto Beta, a empresa está avaliando um investimento de R$ ,00 com expectativa de benefícios de caixa de R$ ,00 no primeiro ano; R$ ,00 no segundo ano; R$ ,00 no terceiro ano; R$ ,00 no quarto ano; e R$ ,00 no quinto ano. Aplicada a fórmula de desse método, apurou-se uma TIR igual 20,7% ao ano, portanto, superior à TMA, caracterizando o investimento como economicamente viável. Na hipótese desses projetos serem mutuamente excludentes, deve-se comparar os indicadores obtidos em cada um, optando-se então pelo que projetar maior. Assim, considerando a TIR de 22,6% do Projeto Alfa e a TIR de 20,7% do Projeto Beta, pela TIR, deve-se optar pelo Projeto Alfa, que apresenta um maior percentual de retorno (SVIECH; MANTOVAN, 2013, p. 09). A figura a seguir melhor ilustra as etapas na utilização da TIR como ferramenta de análise de investimentos.

30 30 Figura 3 - Etapas do processo de utilização da ferramenta TIR Fonte: Monteiro (2011, p. 140). 3.3 Vantagens e desvantagens As principais vantagens da TIR, segundo Evangelista (2006), são: serve como decisão na escolha de alternativas de investimentos no julgamento da viabilidade econômica de alternativas isoladas, frente à TMA; apresenta facilidade e compreensão do cálculo; o resultado é uma taxa de juros, de fácil entendimento e comparação. Por outro lado, como desvantagens da TIR tem-se o fato desse método não poder ser utilizado quando o fluxo de caixa não é do tipo simples (e apresentar mais de uma TIR), ou seja, quando houver mais de uma mudança de sinal no fluxo de caixa, o que acarretará dois pontos onde o VPL é igual a zero; e, requerer a análise dos fluxos de caixa incrementais na seleção de projetos mutuamente exclusivos, não sendo possível comparar investimentos com valores diferentes (BRUNI et al., 1998).

31 31 Pires (2008) aponta como limitações no uso da TIR o fato de que o método assume implicitamente que todos os fluxos de caixa são reinvestidos ou descontados à própria Taxa Interna de Retorno calculada e que a taxa é limitada ao número de vezes que há mudança de sinal no fluxo de caixa. O autor acrescenta, ainda, em relação à primeira limitação, que esse pressuposto é admissível desde que essa taxa esteja dentro de uma faixa realista de mercado. Quando a TIR assume valores elevados ou valores muito baixos, esse pressuposto de reinvestimento se torna irreal e a TIR passa a não representar a verdadeira rentabilidade do investimento (PIRES, 2008, p. 135). Outra limitação desse método ocorre nos casos em que ocorrem mudanças no sinal do fluxo de caixa. Quando isso ocorre, existe a possibilidade de ser gerada uma TIR a cada mudança no sinal do fluxo de caixa, o que dificulta a análise de viabilidade do projeto. Casarotto Filho e Kopitkke (2000) acrescentam que existe ainda a possibilidade de determinados investimentos admitirem a existência de múltiplas TIRs. Como consequência, pode ser utilizada a TIR que não apresenta a real taxa de retorno do investimento estudado. Duarte (2007) chama a atenção para o fato deste método não permitir comparar taxas de projetos de diferentes ciclos de investimentos, como cinco anos e dez anos, por exemplo, o que ocasionar equívocos quando a TIR é utilizada para comparar diferentes projetos, podendo não diferenciar projetos lucrativos daqueles que causam prejuízos. 3.4 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) A Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) é a taxa de desconto à qual o valor presente do custo de um projeto é igual ao valor presente de seu valor final, onde o valor final é encontrado como a soma dos valores futuros das entradas

32 32 de caixa, capitalizados ao custo de capital da empresa (BRIGHAM; HOUSTON, 1999, p. 392). Segundo Weston e Brigham (2004, p. 545) a TIRM é uma taxa de desconto na qual o valor presente do custo de um projeto é igual ao valor presente de seu valor terminal, em que o valor terminal é encontrado como a soma dos valores futuros das entradas de caixa, compostas ao custo de capital da empresa. A TIRM é definida pela seguinte fórmula: Valor Presente dos Custos = Valor Presente do Valor Terminal. O valor terminal se refere ao valor futuro das entradas de caixa e é encontrado como a soma dos valores futuros das entradas de caixa, compostas ao custo de capital da empresa. No cálculo da TIRM os fluxos negativos são trazidos a valor presente (VP) por uma taxa de financiamento compatível com as taxas de mercado e os fluxos positivos são levados a valor futuro (FV) por uma taxa de reinvestimento, também compatível com as taxas de mercado. Assim, tem-se um novo fluxo de caixa, com apenas um VP e um FV, como o período é o mesmo, é encontrada uma taxa de juros (i) que será a TIRM. Para Brigham et al. (2001, p.436), a TIRM é superior a TIR como indicador da verdadeira taxa de retorno ou taxa de retorno de longo prazo de um projeto. Também Kassai et al. (2000) consideram a TIRM uma versão melhorada da TIR, pois elimina os problemas decorrentes das múltiplas raízes, bem como das taxas divergentes de financiamento e refinanciamento, e indica a verdadeira taxa interna de retorno de um projeto. Segundo Volkman (apud BARBIERI, 2007) o método TIRM não corrige a deficiência nos casos onde há multiplicidade da TIR, uma vez que o problema de ambos os métodos estaria em não distinguir os fluxos de investimento dos fluxos de empréstimo. Entretanto, nos casos onde há unicidade da TIR, a TIRM será uma aproximação muito mais adequada do retorno do projeto.

33 33 Kassai et al. (2000) apresentam como vantagens no uso da TIRM: elimina os problemas matemáticos da existência de raízes múltiplas e das taxas de financiamento e reinvestimento divergentes da realidade do mercado; resgata a vantagem da facilidade de interpretação dos resultados em forma de taxa; possibilita a comparação entre as diversas taxas de mercado; obtém uma taxa interna de retorno de investimentos mais realista. 3.5 Comparação entre os métodos VPL e TIR Uma diferença básica entre os métodos do VPL e TIR, que por vezes resulta em decisões conflitantes, é que o VPL supõe que as entradas de caixa ao longo do projeto, sejam reinvestidas ao custo de capital da empresa, ao passo que o a TIR supõe o reinvestimento à própria TIR, o que, em alguns casos, pode gerar decisões conflitantes, em que um método sinaliza que o projeto é viável e o outro aponta que ele é inviável. Se a empresa acreditar que suas entradas de caixa possam ser investidas realmente à própria TIR, então o método da TIR será o mais indicado. Esta suposição, em geral, é difícil de ser verificada na prática (TAVARES, 2014). Conforme Tavares (2014), teoricamente, uso do VPL é melhor ao uso da TIR. Essa superioridade teórica é atribuída a vários fatores, dentre os quais se destaca a suposição mencionada acima, de que no VPL as entradas de caixa no decorrer do projeto são reinvestidas ao custo de capital da empresa, enquanto que na TIR o reinvestimento ocorre à própria TIR do projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grande discrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de desconto utilizada para o projeto. Quando há discrepância entre as taxas mencionadas, os resultados tendem a ser menos confiáveis e podem induzir a erros de avaliação. Além disso, o método da TIR pode levar as múltiplas taxas internas de retorno para um mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto. Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não têm significado financeiro relevante para o processo de decisão de investimento (TAVARES, 2014, p. 01).

34 34 projeto de investimento: Conforme Bruni et al. (1998, p. 66), quando da escolha do melhor Segundo a maioria dos livros clássicos de finanças, o principal método de avaliação de projetos consiste no VPL (valor presente líquido). Sendo assim, em caso de seleção de projetos poderíamos sempre escolher aquele que apresenta o maior VPL. No caso de basearmos nossa escolha em maior TIR (taxa interna de retorno), deveríamos tomar cuidados, já que o projeto de maior TIR não representa necessariamente o melhor projeto. Neste caso, sugere-se montar os fluxos de caixas incrementais, comparando-se a TIR desses incrementos com o custo de capital do projeto. Cada vez que o fluxo incremental de um projeto desafiante superar o custo de capital, este desafiante deve ser aceito no lugar do desafiado. financeiros: Entretanto, na prática, o método TIR é mais utilizado pelos gestores Essa preferência pela TIR é atribuível à disposição geral dos administradores por taxas de retorno ao invés de dinheiro puro de retorno. Em vista de se citar frequentemente as taxas de juros, as medidas de lucratividade e assim por diante, como taxas anuais de retorno, o uso da TIR faz sentido para os responsáveis pelas decisões nas empresas. Eles tendem a achar o VPL mais difícil de usar, porque o VPL não mede, na realidade, os benefícios relativos ao montante investido. Ao contrário, a TIR dá àquele que toma as decisões muito mais informações para tomar uma decisão de investimento ao lhe prover dados sobre os benefícios relativos ao investimento inicial. Embora o VPL seja teoricamente preferível, a TIR é mais popular devido ao fato de os responsáveis pelas decisões financeiras poderem relacioná-la diretamente aos dados disponíveis de decisão (TAVARES, 2014, p. 01). No entanto, destaca Gitman (2004, p. 335) que para projetos com fluxos de caixas convencionais o VPL e a TIR sempre levam à mesma decisão de aceitar ou rejeitar um projeto, mas as diferenças nas duas suposições básicas podem levar a classificação diferentes de projetos. Significa dizer que se um projeto é aceito pelo método do VPL, também será aceito pelo método da TIR. O conflito de avaliação entre eles ocorre sob certas

35 35 condições onde cada um classifica alternativas de projeto de forma diferente. O gráfico a seguir ilustra esse conflito de decisão. Gráfico 1 - Relação VPL x Taxa de Desconto Fonte: Leonardo e Morasco (2014, p. 01). Pelo gráfico é possível verificar que o VPL é anulado na intercessão da função VPL com o eixo x, ou seja, entre 20% e 30%. Isso significa que a TIR está entre esses dois valores. Apesar de ter uma TIR menor, percebe-se que o projeto Y gera mais riqueza à empresa do que o projeto X, quando a taxa de desconto está entre 0% e 10%. Entretanto, quando a taxa de desconto é superior a 10% o projeto X é melhor que o projeto Y (LEONARDO; MORASCO, 2014).

36 36 CONCLUSÃO A avaliação e análise de investimentos envolve um conjunto de técnicas que buscam determinar sua viabilidade econômica e financeira, considerando uma determinada TMA. O VPL é uma ferramenta de análise de investimento que consiste em avaliar se o valor do fluxo de caixa atualizado a uma taxa de retorno é suficiente para cobrir o investimento inicial. Por sua vez, a TIR, outra ferramenta bastante utilizada na avaliação da viabilidade financeira de projetos de investimento, é a taxa que iguala o valor presente do fluxo de caixa ao valor do investimento. Tanto o VPL quanto a TIR apresentam vantagens e limitações em sua utilização. O VPL é mais confiável, ao se considerar que a taxa utilizada para a atualização do fluxo de caixa é o custo de capital que, em geral, é conhecido. No entanto, como a TIR apresenta informação do retorno relativo ao montante investido, na prática, ela tem a preferência dos administradores financeiros. Portanto, é fundamental que o gestor financeiro tenha conhecimentos sobre a ferramenta a fim de utilizá-la nos projetos em que for conveniente e, também, optar por outra metodologia quando o uso da TIR não for adequado. Não obstantes tais métodos serem utilizados como suporte à tomada de decisão, devem ser confrontadas e analisadas por diferentes aspectos que levem em consideração a visão estratégica da organização. No entanto, tão importante quanto os métodos de análise de viabilidade de investimentos a ser utilizado é a devida elaboração do fluxo de caixa, pois caso o mesmo esteja superestimado ou subestimado, a ferramenta de análise partirá de uma base de dados incorreta, o que certamente prejudicará a decisão do investidor.

37 37 BIBLIOGRAFIA ASSAF NETO, Alexandre. Finanças Corporativas e Valor. São Paulo: Atlas, BARBIERI, José Carlos. Taxa Interna de Retorno: controvérsias e interpretações. GEPROS - Gestão da Produção, Operações e Sistemas, a. 2, v. 5, p , BRAGA, Roberto. Fundamentos e técnicas de administração financeira. São Paulo: Atlas, BREDA, Paulo. Gestão de Custos. FGV: Rio de Janeiro, BRIGHAM, E. F.; GAPENSKI L. C.; EHRHARDT M. C. Administração financeira: teoria e prática. São Paulo: Atlas, BRIGHAM, Eugene F.; HOUSTON, Joel F. Fundamentos da Moderna Administração Financeira. Rio de Janeiro: Campus, BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, R.; SIQUEIRA, J. O. Análise do risco na avaliação de projetos de investimento: uma aplicação do método de monte carlo. Caderno de pesquisas em Administração, v. 1, n. 6, jan.-mar CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos. São Paulo: Atlas, DAMODARAN, Aswath. Finanças corporativas aplicadas manual do usuário. Porto Alegre: Bookman, DUARTE, G. C. P. Introdução à matemática e à administração financeira intervalar. Natal, Disponível em: