Sincronização do sistema caótico unificado via controle ótimo linear feedback com aplicação em comunicação

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1 Sincronização do sisema caóico unificado via conrole óimo linear feedback com aplicação em comunicação José Mario Vicensi Grzybowski Deparameno de Física, Esaísica e Maemáica, UNIJUÍ 987-, Campus Ijuí, Ijuí - RS zzmariovic@yahoo.com.br Mara Rafikov Deparameno de Física, Esaísica e Maemáica, UNIJUÍ 987-, Campus Ijuí, Ijuí - RS mara9119@yahoo.com.br Absrac: his paper sudies he synchronizaion of he unified chaoic sysem via opimal linear feedback conrol, based on he mehodology proposed in [8]. Nex we presen a communicaion scheme based on chaos synchronizaion. 1 INRODUÇÃO A sincronização de caos aplicada à comunicação em sido objeo de inenso esudo em diversos países. A idéia de uilizar a sincronização de caos para ransporar informações jusifica-se por duas razões principais. Por um lado, porque sisemas caóicos possuem várias caracerísicas desejáveis do pono de visa cripográfico: ergodicidade, sensibilidade à condições iniciais, complexidade e dinâmica deerminísica. Isso significa que, além de ransporar informações (como sinais periódicos fazem), o sinal caóico é poencialmene um méodo de cripografar. Por ouro lado porque, de acordo com [11], odos os sisemas de comunicação sem fio baseiam-se em sincronização, e isso significa que há um grande campo para sua aplicação. Diversos rabalhos foram dedicados à proposa e análise de sisemas cripográficos baseados em sincronização de caos. Denre os principais problemas enconrados nesses enfoques esão o nível insuficiene de segurança [1, 2] e o excessivo empo necessário para sincronização [6, 7], o que os orna desineressanes do pono de visa práico. Lü e al. propuseram em [7] um sisema cripográfico paricularmene ineressane, baseado num sisema caóico que faz uma pone enre o sisema de Lorenz e o sisema de Chen aravés da inclusão de um parâmero α 1, que foi uilizado como a chave do sisema cripográfico. Conforme mosrado em [7], aravés da consrução de uma função de Lyapunov apropriada, é possível sincronizar os sisemas caóicos unificados acoplados para α 1/ 29. Logo, o espaço da chave 1 ficou resrio a esse subinervalo para o qual os sisemas podem ser sincronizados por acoplameno. Nesse conexo, propomos em [5] a uilização do conrole óimo linear feedback, conforme meodologia proposa em [8], para sincronizar dois sisemas caóicos unificados para odo o inervalo α 1. Isso significa que é possível aumenar consideravelmene o espaço da chave e, como conseqüência, o nível de segurança do sisema. Nese rabalho, objeivamos em primeiro lugar esudar a sincronização do sisema caóico unificado aplicando o conrole óimo linear feedback em forma escalar (conrolando apenas uma das equações) e a seguir em forma veorial (conrolando odas as equações). O ouro objeivo do rabalho é propor um sisema de encripação baseado na sincronização de caos. Com base nos resulados obidos em [5] e uilizando algumas idéias do sisema de encripação caóica apresenado em [1], propomos um esquema de encripação baseado no sisema caóico unificado. Apresenamos na seção 2 a meodologia proposa em [8] para projeo do conrole óimo linear feedback para sisemas não-lineares. Na seção 3, apresenamos o sisema caóico unificado e simulações de sincronização do sisema aravés de conrole escalar e veorial. Na seção 4 apresenamos o esquema de encripação baseado na sincronização de caos. 1 Inervalo de valores que a chave pode assumir.

2 A seção 5 apresena considerações e conclusões. 2 CONROLE ÓIMO LINEAR FEEDBACK PARA SISEMAS NÃO- LINEARES Considere o sisema mesre (1) e o sisema escravo (2) = Ax + g( x) (1) = Ay + g( y) + Bu (2) sujeios a x() = x (3) n y() = y (4) Onde x, y R are são veores de esado; nxn A R é a mariz dos ermos lineares; g é o nxm veor das funções não-lineares, B R é m uma mariz consane e u R é um veor de conrole que esabiliza o sisema escravo na rajeória desejada. Podemos definir o veor erro como e = y x (5) E obemos o sisema em desvios e = Ae + g( y) g( x) + Bu (6) = Ae + g( x + e) g( x) + Bu Inroduzindo h( x, e) = g( x + e) g( x) (7) Obemos e = Ae + h( x, e) + Bu (8) eorema. Se exisem marizes Q e R, definidas posiivas, sendo Q simérica, de forma que a função l( x, e) = e Qe h ( x, e) Pe e Ph( x, e) (9) é definida posiiva, onde a mariz P é a solução da seguine equação algébrica maricial de Riccai 1 PA + A P PBR B P + Q = (1) Enão, o conrole linear feedback 1 u = R B Pe (11) É óimo no senido de ransferir o sisema em desvios (8) de um esado inicial ao esado final e( ) = (12) minimizando o funcional (índice de desempenho) J = [ l( x, e) + u Ru] d (13) Se a condição suficiene é saisfeia para n qualquer e R, o sisema em desvios (8) é globalmene assinoicamene esável, e isso implica que o sisema mesre e o sisema escravo conrolado esão globalmene sincronizados. Prova. Considere o conrole óimo feedback (11), com mariz P deerminada pela equação (1), que ransfere o sisema nãolinear (8) de um esado inicial para o esado final (12) minimizando o funcional (13) onde a função l(x,e) precisa ser deerminada. De acordo com as regras da Programação Dinâmica, se o mínimo do funcional (13) exise, e se V é uma função suave das condições iniciais, enão ela saisfaz a equação de Hamilon-Jacobi-Bellman: dv min + e l ( x, e ) e + u Ru = d Considerando a função de Lyapunov (14) V = e Pe (15) Onde P é uma mariz simérica definida posiive e saisfaz a equação algébrica maricial de Riccai (1). Noe que a derivada da função V, avaliada na rajeória óima com o conrole (11) é V = e Pe + e Pe = ( Ae + h( x, e) + Bu) Pe + e P( Ae + h( x, e) + Bu) = e A Pe + h ( x, e) Pe + u B Pe + e PAe + e Ph( x, e) + e PBu = e A Pe + h ( x, e) Pe + e PAe + ( ) 1 1 e Ph( x, e) e PBR B Pe e PB R B Pe Subsiuindo V na equação de Hamilon- Jacobi-Bellman, obemos: l( x, e) = e Qe h ( x, e) Pe e Ph( x, e) (16) Observe que para uma função definida posiiva l(x,e) e uma mariz definida posiiva R, a derivada da função (15), avaliada na rajeória óima do sisema (8), é dada por V = l( x, e) u Ru, e é definida negaiva. Enão a função (15) é uma função de Lyapunov, e de acordo com a eoria da esabilidade de Lyapunov, podemos concluir que o sisema em desvios (8) é globalmene assinoicamene esável se a condição suficiene (9) é saisfeia para qualquer n e R. Porano, o sisema mesre (1) e o

3 sisema escravo (2), conrolado por (11), esão globalmene sincronizados. De acordo com a eoria do conrole óimo de sisemas lineares com funcional quadráico, a solução da equação algébrica maricial de Riccai (1) é uma mariz definida posiiva e simérica P > para quaisquer R > e Q > dados. Assim, a prova do eorema esá complea. 3. SINCRONIZAÇÃO DO SISEMA CAÓICO UNIFICADO Lü e al. [7] propuseram um sisema caóico que unifica os sisemas de Lorenz e de Chen aravés da inclusão de um parâmero α 1. Para α =, o sisema unificado se orna o sisema de Lorenz; para α = 1, o sisema de Chen; e para α =,8 surge um erceiro sisema, cujo araor é opologicamene não-equivalene aos ouros dois, chamado sisema de Lü. Para odos os valores α 1 o sisema apresena comporameno caóico. = (25α + 1)( x x ) = (28 35 α) x x x + (29α 1) x (17) α = x1 x2 x3 3 As equações do sisema caóico unificado podem ser escrias na forma maricial 1-25 α 1 25 α+1 x1 2 = α 29α -1 x2 + x1 x3 (18) x 3 ( a 8) x 3 x1 x 2 3 As figuras a seguir apresenam os araores obidos para simulações do sisema caóico unificado para α = (araor de Lorenz), para α =,8 (araor de Lü) e para α = 1 (araor de Chen). A Figura 4 mosra o comporameno de dois sisemas caóicos unificados idênicos com condições iniciais diferenes, sem a uilização de acoplameno ou conrole. x3 x3 x x x1 Figura 1 - Araor de Lorenz, α= x2 x1 Figura 2 Araor de Lü, α=, x2 x1 Figura 3 - Araor de Chen, α=1

4 x1,y1 x2,y2 x3,y maser slave Figura 4 - Sisemas caóicos unificados nãosincronizados A seguir, apresenamos o resulado de duas simulações numéricas da sincronização do sisema para α =,8, primeiro usando sinal de conrole escalar, e a seguir usando sinal de conrole veorial. Considerando o sisema mesre (17), o sisema escravo oma a forma 1 = (25α + 1)( y2 y1 ) + u1 = (28 35 α ) y y y + (29α 1) y + u (19) α = y1 y2 y3 + u3 3 onde ( u1, u2, u 3) são sinais de conrole. A Figura 5 e a Figura 7 mosram o comporameno dos sisemas com aplicação de conrole no sisema escravo, enquano a Figura 6 e a Figura 8 mosram o erro de sincronização, que é levado a zero em ambos os casos. Para as simulações, escolhemos arbirariamene x () = (1, 1.3, 1) e y () = ( 11, 47,31). Resulados Sincronização do sisema unificado aravés de conrole escalar De (18) obemos 3 3 A = Escolhendo (2) 8 Q = 8 ; B = 1 ; R = 1 (21) 8 e resolvendo a equação algébrica maricial de Riccai aravés da função LQR do sofware MALAB, obemos o conrole linear feedback em forma escalar y1 x1 u2 = ( ) y2 x2 (22) y3 x 3 x1,y1 x2,y2 x3,y mesre escravo Figura 5 - Sincronização do sisema caóico unificado com conrole escalar y1-x1 y2-x2 y3-x Figura 6 - Erro de sincronização conrole escalar O erro se aproxima rapidamene de zero, e a sincronização ocorre após 9,75 segundos. Sincronização do sisema unificado aravés de conrole veorial Considerando-se (2) e escolhendo 8 1 Q= 8 ; B= R= 1 (23) 8 1

5 Resolvendo a equação algébrica maricial de Riccai aravés da função LQR do sofware MALAB, obemos o conrole linear feedback em forma veorial u y1 x1 u2 = y2 x2 u y3 x 3 A Figura 7 mosra as o comporameno das variáveis de esado dos sisemas mesre e escravo. x1,y1 x2,y2 x3,y mesre escravo Figura 7 Sincronização do sisema caóico unificado com conrole veorial y1-x1 y2-x2 y3-x Figura 8 - Erro de sincronização conrole veorial O erro se aproxima rapidamene de zero, e os sisemas esão sincronizados após decorrido,27 segundo. 4 APLICAÇÃO EM COMUNICAÇÃO Nesa seção apresenamos uma aplicação da sincronização de sisemas caóicos em comunicação. O sisema caóico unificado é uilizado como base do esquema. O processo consise em duas eapas disinas: a sincronização dos osciladores e a ransferência do sinal caóico que carrega a mensagem. As equações do sisema ransmissor (24) e recepor (25) são mosradas a seguir: = (25α + 1)( x x ) = (28 35 α) x x x + (29α 1) x + Am (24) α + 8 = x x x = (25α + 1)( y y ) + u = (28 35 α) y y y + (29α 1) y + u α = y1 y2 y3 + u3 3 1 m= x + y y y + y A ( (28 35 α) (29α 1) ) (25) onde m é a mensagem, A é uma consane que em o objeivo de diminuir a ampliude da mensagem em relação ao sinal caóico, α é um parâmero, e ( u1, u2, u 3) são sinais de conrole. Na primeira eapa, os sisemas ransmissor e recepor são sincronizados na forma mesre/escravo, onde o sisema recepor é conrolado e sua rajeória é levada à do sisema ransmissor, de forma que o erro enre as rajeórias seja levado ao zero, ou seja, e =, e enão ( u1, u2, u 3) = (,,). Na segunda eapa, inicia-se em (24) o processo de encripação e ransmissão do sinal ẋ 2, que é recebido e decripado na quara equação de (25). No conexo da cripografia, o parâmero α rabalha como a chave do sisema, cuja esruura é pública. Dessa forma, o espaço da chave é o inervalo [, 1]. As simulações apresenadas conemplam a encripação de uma imagem e um parágrafo de exo. Para a encripação da imagen, as linhas da mariz de inensidade de brilho dos pixels que compõe a imagem são concaenadas e a mariz é ransformada em um veor; cada pixel é represenado por um número ineiro que perence ao inervalo [, 255]. No caso do exo, os caraceres são converidos em código ASCII, e passam a ser um número ineiro no inervalo [, 127]. Cada elemeno do veor m é adicionado à segunda equação do sisema ransmissor em um passo de inegração.

6 Nas simulações, os sisemas são inegrados aravés do méodo de Runge-Kua de 4ª ordem, com passo de inegração h=1-2. Apresenamos o resulado da aplicação do algorimo à noória foo de Lenna 2. As figuras abaixo mosram a imagem original, a encripada e a recuperada pelo sisema recepor. Para as simulações, uilizamos 6 A = 1. exo Original Since he publicaion in 199 of wo relevan papers by O, Grebogi and Yorke and by Pecora and Carroll, conrol and synchronizaion of chaos become very imporan opics on he applicaions of nonlinear sciences. Over he las decade, a number of auhors have been published several works, concerning boh chaos and synchronizaion. By one hand, i was known, ha he echniques of chaos conrol have heir origins in conrol heory, synchronizaion of chaos has evolved somewha in is own righ. On he oher hand, here are several papers which rea he problem of chaos synchronizaion in he framework of nonlinear conrol heory. his fac unifies he sudy of chaos conrol and chaos synchronizaion. - Exraced from: On Conrol and Synchronizaion in chaoic and hyperchaoic sysems via linear feedback conrol. exo encripado Figura 9 - Imagem original!&,39@gny]^ ^\YVRNIE@<72-'" ".2468:;=>?@@@@@@?> // //.///////...///////////////////...--,,++**))(''&&%% %%$$ $$$%%%%%&'''(((())))))***** *******)((('''& &&%\%$##""!!!"#%')+.259<@CGJLNOPPONMKIG =; //..---1/.-,+*)('&%$$###"!!!!!"""##$$%%% &&''&&&''''(((((((((((()(((((((('''''''''('(())*+,--/ < >?@@AAA@@?>==<;: /..-,+*)*))((''&&&% %%%%%%%%, /////// ///..--,,+**)(('(('''&&&&&&&&&&&& &'&&&'''(((())))*****,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, *****))))))))(((('''&&&%%$$$$###""!!! - ")1:DP[fow c`\xokgc?<97531/-+/,)&# - "#$%&'())**+++,,,, // ,,,,,, *+++++*****))))( (((''''&&&&&& 5 CONCLUSÕES Figura 1 - Imagem encripada Figura 11 - Imagem recuperada 2 Lenna picure é um padrão para rabalhos em processameno de imagens. Aravés da aplicação do conrole óimo linear feedback para sisemas não-lineares, obivemos a sincronização do sisema caóico unificado de forma rápida e eficiene. A sincronização dos sisemas aconece rapidamene desde que rês sinais de conrole sejam enviados do sisema mesre ao sisema escravo durane a sincronização. Se somene um sinal for enviado, o empo de sincronização é consideravelmene maior, conforme mosram as simulações com conrole escalar. Por ouro lado, o envio de somene um sinal implica em gaso maior de empo aé a sincronização e ambém maior ocupação do canal de ransmissão. Assim, de uma forma geral, a ocupação do canal é mais eficiene quando é uilizada força oal durane a sincronização. Depois de encripada, a foo de Lenna ornou-se inineligível (Figura 1), e depois de decripada, a imagem recuperada (Figura 11) revelou-se uma réplica perfeia da imagem original. A ausência de erros é muio

7 imporane, especialmene quando a informação ransmiida é um de exo. Em rabalhos fuuros preendemos aumenar o nível de segurança do algorimo aravés da uilização de parâmero variável. Referências [1] ALVAREZ, G.; MONOYA, F.; PASOR, G.; ROMERA, M. Crypanalyzing an improved securiy modulaed chaoic encrypion scheme using cypherex absolue value. Chaos, Solions & Fracals 23, [2] ALVAREZ, G.; LI, S. Breaking nework securiy based on synchronized chaos. Compuer Communicaions 17, , 24. [9] JIANG, G.P.; CHEN, G.; ANG, W.K.S. A new crierion for chaos synchronizaion using linear sae feedback conrol. Inernaional Journal of Bifurcaion and Chaos, Vol. 13, No. S (23). [1] SOBHY, M.; SHEHAA, A. Chaoic algorihms for daa encrypion, 21 IEEE Inernaional Conference on Acousics, Speech, and Signal Processing. Proceedings (Ca. No.1CH37221). IEEE. Par vol.2, pp [11] SROGAZ, Seven H. Sync: he emerging science of sponaneous order. 1s Ediion. New York: Hyperion Books, 23. [3] BOEIRA, J.P.; RAFIKOV, M. Sincronização do sisema de Loka-Volerra usando conrole linear feedback. Brazilian Conference on Dynamics, Conrol and heir Applicaions, May 22-26, 26, Guaraingueá, SP, Brazil. [4] FIEDLER-FERRARA, N.; PRADO, C.P.C. Caos: uma inrodução. São Paulo: Ediora Edgard Blücher Lda, [5] GRZYBOWSKI, J.M.V.; RAFIKOV, M. Synchronizaion of a unified chaoic sysem via opimal linear feedback conrol. Proceedings of he 6 h Brazilian Conference on Dynamics, Conrol and heir Applicaions, DINCON, 27. [6] HARB, A.M.; AHMAD, W.M. Chaoic sysems synchronizaion in secure communicaion sysems. [7] LU, J.; WU, X.; LÜ, J. Synchronizaion of a unified chaoic sysem and he applicaion in secure communicaion. Physics Leers A 35 (22), [8] RAFIKOV M, BALHAZAR J.M., On conrol and synchronizaion in chaoic and hyperchaoic sysems via linear feedback conrol. Communicaions in Nonlinear Science and Numerical Simulaion (27), doi:1.116/j.cnsns