Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz. A distribuição log-logística exponenciada geométrica: dupla ativação

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1 Unversdade de São Paulo Escola Superor de Agrcultura Luz de Queroz A dstrbução log-logístca exponencada geométrca: dupla atvação Natale Verónka Rondnel Mendoza Dssertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Cêncas. Área de concentração: Estatístca e Expermentação Agronômca Praccaba 2012

2 Natale Verónka Rondnel Mendoza Lcencada em Matemátca A dstrbução log-logístca exponencada geométrca: dupla atvação versão revsada de acordo com a resolução CoPGr 6018 de 2011 Orentador: Prof. Dr. EDWIN MOISES MARCOS ORTEGA Dssertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Cênca. Área de concentração: Estatístca e Expermentação Agronômca Praccaba 2012

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4 3 Dedcatóra Com amor e carnho agradeço a Deus, meu Pa do ceú por ter colocado mutas provas neste camnho da vda e que anda rá colocar), porque eu se que com dedcação, fé e pacênca fará que eu nunca perca as forças. Com todo meu amor a meus pas, Sócrates Rondnel e Fortunata Mendoza, a mnha rmãznha, Katy Rondnel Mendoza, que sempre me apoam com amor ncondconal e alegram mnha vda, mesmo estando a klômetros de dstânca. A meu rmão Juan Carlos Rondnel Mendoza n memoram), quem fo meu anjo da guarda durante toda esta jornada, dedco este trabalho, saudades eternas...

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6 5 AGRADECIMENTOS A meus pas: Sócrates Rondnel e Fortunata Mendoza, a quem eu amo profundamente, por estarem ao meu lado e por ter dado para mm o tesouro mas valoso que pode-se dar a uma flha, AMOR. Quem sem mnmzar esforço nenhum, têm sacrfcado grande parte da sua vda, para me formar e educar, e converter-me em pessoa de sucesso, a quem eu nunca podere pagar com as rquezas mas grandes do mundo. Snceramente... muto agradecda!. A mnha rmã Katy Rondnel, por todo o seu apoo, ajuda e pensamento postvo. Sempre me fazendo olhar para frente, nunca me dexando abalar com adversdades e NUNCA desstr. Amo a você muto. Aos meus amgos: Rosaro, Gna, Dana, Prscla, Carlos, Javer, Jhoana, Juan Carlos e Pedro, pelos momentos de alegra, descontração e dscussões sobre valores que sempre fzeram abrr meus olhos para outros pontos de vsta e por estarem ao meu lado nos momentos de aperto sempre oferecendo seu apoo, obrgada pela grande amzade que me proporconaram. Aos meus amgos e colegas de pós-graduação: Elzabeth, Fabane, Kuang, Ana Jula, João, Patrca, Luz Rcardo, Gabrel, Danel, Italo, Smone, Renata, Marna e Mara Crstna, por estarem ao meu lado. Em especal à Senhorta Lucane Brajão por ter acredtado em mm e dar-me toda a ajuda nos momentos crucas e pela grande amzade. Agradeço em especal ao meu orentador Professor Dr. Edwn Moses Marcos Ortega, pela orentação, ajuda e pelas conversas para o desenvolvmento deste trabalho. Aos Professores do programa de pós graduação em Estatístca e Expermentação Agronômca: Clarce Garca Borges Demétro, Carlos Tadeu dos Santos Das, Rosel Aparecda, Slvo Sandoval Zocch, Sôna Mara De Stefano Pedade, César Gonçalves De Lma, Gabrel Sarrés e Tacana Vllela Savan pelos conselhos e ajuda nos momentos de dúvdas. A Senhorta Secretára Solange e funconáros do programa de pós-graduação: Eduardo, Jorge e Rosn pelos auxílos permanentes. Agradeço a todas as pessoas que de uma forma dreta ou ndreta contrbuíram

7 6 para o meu crescmento profssonal. Por fm a todos que sempre acredtaram em mm. OBRIGADA!!!!!!

8 7 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO DESENVOLVIMENTO Concetos báscos de análse de sobrevvênca Classe de dstrbuções exponencadas DISTRIBUIÇÃO LOG-LOGÍSTICA EXPONENCIADA GEOMÉTRICA Dstrbução log-logístca Dstrbução log-logístca exponencada Dstrbução log-logístca exponencada geométrca com dupla atvação Dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo I Dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo II Propredades da log-logístca exponencada geométrca Expansão da função densdade da dstrbução log-logístca exponencada geométrca Momentos Assmetra Curtose Função Geradora de Momentos Desvos médos Curvas de Bonferron e Lorenz Estmação por Máxma Verossmlhança Testes de hpóteses DISTRIBUIÇÃO LOGÍSTICA EXPONENCIADA GEOMÉTRICA Dstrbução logístca exponencada Dstrbução logístca exponencada geométrca com dupla atvação Expansão da função densdade da dstrbução logístca exponencada geométrca Momentos Função Geradora de Momentos Modelos de Regressão Modelo de locação e escala

9 Modelo de regressão logístco exponencada geométrco Estmação dos parâmetros APLICAÇÕES Aplcação 1: Dados de contamnação do ambente Aplcação 2: Dados de nível de voltagem CONSIDERAÇÕES FINAIS Conclusões Trabalhos futuros REFERÊNCIAS APÊNDICES

10 9 RESUMO A dstrbução log-logístca exponencada geométrca: dupla atvação Neste trabalho é proposta uma nova dstrbução de quatro parâmetros denomnada dstrbução log-logístca exponencada geométrca, baseada em um mecansmo de dupla atvação para modelar dados de tempo de vda. Para esta nova dstrbução, fo realzado um estudo da função de densdade de probabldade, da função de dstrbução acumulada, da função de sobrevvênca e da função de taxa de falha, a qual apresenta formas que podem modelar dados de tempo de vda, tas como: forma crescente, decrescente, unmodal, bmodal e forma de U. Obteve-se expansões da função de densdade, expressões para os momentos de probabldade ponderada, função geradora de momentos, desvos médos e as curvas de Bonferron e de Lorenz. Consderando dados censurados, fo utlzado o método de máxma verossmlhança para estmação dos parâmetros. Analogamente também é proposto um modelo de regressão baseado no logartmo da dstrbução log-logístca exponencada geométrca com dupla atvação, que é uma extensão dos modelos de regressão logístca exponencada e logístca. Este modelo pode ser usado na análse de dados reas, por fornecer um melhor ajuste que os modelos de regressão partculares, logístca exponencada e logístca. Fnalmente, são apresentados duas aplcações para lustrar a utlzação da nova dstrbução. Palavras-chave: Dados Censurados; Dstrbução geométrca; Dstrbução log-logístca; nnnnnnadaaaaaaadstrbução log-logístca exponencada; Função de taxa de falha; nnnnnnadaaaaaaamáxma verossmlhança; Modelo de regressão

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12 11 ABSTRACT The exponentated log-logstc geometrc dstrbuton: dual actvaton In ths work, we propose a new dstrbuton wth four parameters the so called exponentated log-logstc geometrc dstrbuton based on a double mechansm of actvaton for modelng lfetme data. For ths new dstrbuton, we study the densty functon, cumulatve dstrbuton, survval functon and the falure rate functon whch allows major harzad rates: ncreasng, decreasng, bathtub, unmodal and bmodal falure rates. We also obtan the densty functon expansons and the expressons for the probablty-weghted moments, moment generatng functon, mean devaton and Bonferron and Lorenz curves. Consderng censored data, we use the maxmum lkelhood method for estmatng the parameters. Smlarly, we also propose the regresson model based on the logarthm of the exponentated log-logstc geometrc dstrbuton wth double actvaton, whch s an extenson of the exponental logstc and logstc regresson models. Ths new model could be wdely used n the analyss of real data to provde a better ft than exponetal logstc and logstc regresson models. Fnally, two applcatons are presented to llustrate the applcaton of the new dstrbuton. Keywords: Censored data; Exponentated log-logstc dstrbuton; Functon of falure nnnnadaaaaarate; Geometrc dstrbuton; Log-logstc dstrbuton; Maxmum lkelhood; nnnnadaaaaaregresson model

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14 13 LISTA DE FIGURAS Fgura 1 - Gráfco de dferentes funções de taxa de falha Fgura 2 - Gráfcos da função densdade a), de sobrevvênca b) e de taxa de falha c) da dstrbução log-logístca, para alguns valores do parâmetro β fxando = Fgura 3 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 0, 8 e β = 3, Fgura 4 - Gráfcos da função de sobrevvênca da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 0, 8 e β = 3, Fgura 5 - Gráfcos da função de taxa de falha da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 1, 7 e β = 2, Fgura 6 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 0, 5 e β = 3, Fgura 7 - Gráfcos da função de taxa de falha da dstrbução LLEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. b) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. c) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, Fgura 8 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLEGII, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 0, 5 e β = 3, Fgura 9 - Gráfcos da taxa de falha da dstrbução LLEGII, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 2, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 1, 5 e β = 3,

15 14 Fgura 10 - Assmetra da dstrbução LLEGI para alguns valores dos parâmetros. a) Como função de p para alguns valores de a fxando = 1, 5 e β = 3, 5. b) Como função de a para alguns valores de p fxando = 1, 5 e β = 3, Fgura 11 - Assmetra da dstrbução LLEGII para alguns valores dos parâmetros. a) Como função de p para alguns valores de a com = 1, 5 e β = 3, 5. b) Como função de a para alguns valores de p fxando = 1, 5 e β = 3, Fgura 12 - Curtose da dstrbução LLEGI para alguns valores dos parâmetros. a) Como função de p para alguns valores de a fxando = 1, 5 e β = 4, 5. b) Como função de a para alguns valores de p com = 1, 0 e β = 5, Fgura 13 - Curtose da dstrbução LLEGII para alguns valores dos parâmetros. a) Como função de p para alguns valores de a com = 1, 5 e β = 3, 0. b) Como função de a para alguns valores de p consderando = 1, 5 e β = 3, 5 50 Fgura 14 - Gráfcos da fdp da dstrbução LEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a e p, com µ = 0 e = 1. b) Para dferentes valores de a, p e µ, com = 1. c) Para dferentes valores de a, p, µ e.. 61 Fgura 15 - Gráfcos da fdp da dstrbução LEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a e p, com µ = 0 e = 1. b) Para dferentes valores de a, p e µ, com = 1. c) Para dferentes valores de a, p, e µ = 1 62 Fgura 16 -a) Densdade LLEGII ajustada para os dados de Contamnação. b) Função de dstrbução acumulada estmado da dstrbução LLEGII para os dados de contamnação Fgura 17 -Curvas da função de sobrevvênca estmada para o modelo LEGII para os dados de níves de voltagem

16 15 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Estatístcas descrtvas Tabela 2 - Estmatvas de máxma verossmlhança dos parâmetros do modelo para dados de contamnação e o crtéro de nformação Tabela 3 - Teste da razão de verossmlhança Tabela 4 - Estmatvas de máxma verossmlhança dos parâmetros dos modelos de regressão ajustados aos dados de níves de voltagem, seus correspondentes EPs em parênteses), p-valor em. e as estatístcas AIC, CAIC e BIC Tabela 5 - Teste da razão de verossmlhança

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18 17 1 INTRODUÇÃO Em aplcações na área de análse de sobrevvênca, é frequente a ocorrênca de função de taxa de falha em forma de U ou unmodal; sto é, funções não-monótonas. Os modelos comumente usados para dados de sobrevvênca são a dstrbução Webull, com função de taxa de falha monótona e a dstrbução log-logístca com função de taxa de falha decrescente ou unmodal. Por outro lado, nos últmos anos tem crescdo muto a generalzação e, ou, modfcação de algumas dstrbuções utlzadas em análse de sobrevvênca; assm destaca-se, a dstrbução Webull exponencada WE) proposta por Mudholkar et al. 1995) e Mudholkar et al. 1996). A dstrbução WE é uma generalzação da dstrbução Webull, e possu váras propredades, dentre elas, a sua função de taxa de falha pode modelar dferentes formas constante, crescente, decrescente, unmodal e forma de U). Adamds e Loukas 1998) ntroduzram a dstrbução exponencal geométrca EG), para modelar dados de tempo de vda com função taxa de falha decrescente. Kus 2007) estudou uma nova dstrbução com função taxa de falha decrescente. Essa dstrbução é obtda por meo da mstura das dstrbuções exponencal e Posson truncada. Gupta e Kundu 1999, 2001, 2007) forneceram um tratamento matemátco compreensível da chamada dstrbução exponencal generalzada. Carrasco et al. 2008a) propuseram a dstrbução Webull modfcada generalzada com aplcações na análse de sobrevvênca. Segundo a mesma déa da dstrbução exponencal geométrca, Slva et al. 2010) defnram a dstrbução exponencal geométrca generalzada e demonstraram que a função taxa de falha pode ser crescente, decrescente ou unmodal. Uma extensão da dstrbução EG é a dstrbução Webull geométrca, proposta por Barreto-Souza et al. 2011) o qual modela uma função taxa de falha monótona ou unmodal. A dstrbução log-logístca proposta por Tadkamalla e Jhonson 1982) tem-se apresentado como alternatva às dstrbuções Webull e log-normal para modelar dados de tempo de vda e caracterza-se por modelar funções de taxa de falha decrescente e unmodal para alguns valores dos parâmetros da dstrbução. Além dsso, esta dstrbução possu a mesma relação que a dstrbução log-normal tem com a normal Ahmad et al.1988)), ou seja, se T segue uma dstrbução log-logístca, então Y = logt ) segue uma dstrbução logístca. Algumas aplcações da dstrbução log-logístca são dscutdas em economa, por exemplo, para modelar a dstrbução de rqueza e renda Kleber e Kotz, 2003) e na área de hdrologa é utlzada para escoamento fluval. Collet 2003) sugeru a dstrbução log-logístca para modelar o tempo na sequênca de um transplante de coração.

19 18 Portanto, o objetvo deste trabalho, é propor a dstrbução log-logístca exponencada geométrca baseado em uma dupla atvação, para modelar dados de tempo de vda, cuja dstrbução é uma extensão da dstrbução log-logístca exponencada proposta por Rosaah et al. 2006). As novas generalzações das dstrbuções consderando a dupla atvação, serão denomnadas de dstrbuções: log-logístca exponencada geométrca tpo I LLEGI), log-logístca exponencada geométrca tpo II LLEGII), logístca exponencada geométrca tpo I LEGI) e logístca exponencada geométrca tpo II LEGII). Apresenta-se propredades destas novas dstrbuções, tas como expansões da função densdade de probabldade em sére ponderada de potênca, os momentos e a função geradora de momentos, algumas meddas como a função do desvo médo da méda e da medana, as curvas de Bonferron, as curvas de Lorenz, e as estmações por máxma verossmlhança. Além dsso, será proposto o modelo de regressão baseado no logartmo da varável aleatóra que segue uma dstrbução LLEGI ou LLEGII, fnalmente, duas aplcações são apresentadas lustrando o melhor ajuste das novas dstrbuções em relação às dstrbuções orgnas.

20 19 2 DESENVOLVIMENTO 2.1 Concetos báscos de análse de sobrevvênca Na atualdade, apresentam-se com muta freqüênca eventos ou expermentos em estudo que envolvem um tempo de vda ou de sobrevvênca; sto é, observa-se o tempo a partr do níco do estudo até a ocorrênca de um evento de nteresse. Portanto, o conjunto de técncas estatístcas adequadas para estudar e analsar este tpo de dados é conhecdo como análse de sobrevvênca, em que a varável resposta é geralmente, o tempo até a ocorrênca de um evento de nteresse. Este tempo é denomnado tempo de falha, evento que ocorre, quando o ndvíduo sob estudo, apresenta a característca de nterés para termnar o estudo por exemplo, podendo ser o tempo até a morte do pacente, bem como até a cura ou recdva de uma doença, etc.) e a sua relação com outras possíves varáves explanatóras. Os ndvíduos sob estudo podem ser anmas, seres humanos, plantas, equpamentos, etc. A prncpal característca de dados de sobrevvênca é a presença de censura, que pode ser nterpretada como, uma observação parcal da resposta ou tempo de falha, devdo à perda ou retrada de um ndvíduo sob estudo; por exemplo, a stuação em que por alguma razão o acompanhamento do pacente fo nterrompdo, seja porque o pacente mudou de cdade ou o estudo fo concluído ou o pacente morreu de uma causa dferente da estudada, sto sgnfca que toda nformação referente à resposta se resume ao conhecmento de que o tempo de falha é superor àquele observado Colosmo e Golo, 2006). Porém a censura pode ser classfcada como censura à dreta, quando a falha ocorre sempre à dreta do tempo regstrado, a censura à esquerda, quando o tempo regstrado é maor que o tempo de falha. A censura ntervalar, em que não se sabe o tempo exato de falha, sabe-se apenas que ele ocorreu em um certo ntervalo de tempo. As censuras à dreta podem anda ser caracterzadas como censura do tpo I, que é aquela em que o estudo será termnado após um período pré-estabelecdo de tempo. Censura do tpo II é aquela em que o estudo será termnado após ter ocorrdo o evento de nteresse em um número pré-estabelecdo de ndvíduos. Censura aleatóra, o que mas ocorre na prátca, este tpo de censura acontece, quando o ndvíduo é retrado do estudo, sem ter ocorrdo a falha, ou também, se o ndvíduo morrer por alguma razão dferente da estudada. Neste trabalho, será adotado o mecansmo de censura aleatóra à dreta. Seja T uma varável aleatóra não negatva que representa o tempo de falha de

21 20 um ndvíduo e seja C outra varável aleatóra ndependente de T, que representa o tempo de censura assocado a este ndvíduo. Assm, os dados observados são representados por t = mnt, C) e δ é o ndcador de censura, expressa por 1, se T C, δ = 0, se T > C, em que δ = 0 ndca censura e δ = 1 ndca falha. A dstrbução de probabldade da varável aleatóra T pode ser especfcada por meo da função densdade de probabldade, função de sobrevvênca ou função de taxa de falha, sendo as três formas equvalentes. Seja T uma varável aleatóra não negatva contínua, a função densdade de probabldade, ft), é uma função defnda em R, tal que em que t é um ncremento temporal. ) 1 ft) = lm P t T t t), t 0 t A função de sobrevvênca, denotada por St), é defnda como a probabldade do tempo de falha de uma observação não falhar até um certo tempo t, sto é St) = P T t) = 1 F t) = t ft)dt. A taxa de falha num ntervalo t, t t é defnda como a probabldade de que a falha ocorra nesse ntervalo, dado que não ocorreu antes do tempo t, dvdda pelo comprmento do ntervalo de tempo. Assumndo um ntervalo de tempo pequeno, t 0, ht) representa a razão nstantânea de falha ou morte no tempo t de um ndvíduo, dado que ele sobrevveu até o tempo t, ou seja, ht) é denomnado função de taxa de falha ou de rsco, e é defndo como P t T < t t T t) ht) = lm t 0 t = ft) St), em que, ft) e St) são as funções densdade de probabldade e de sobrevvênca, respectvamente. A função de taxa de falha, ht), é muto útl para descrever a dstrbução do tempo de vda de ndvíduos em estudo, pos ela determna a forma em que a taxa nstantânea

22 21 de falha se altera ao longo do tempo, expressa por h 1 t), t > t 3 ht) = h 2 t), t 2 < t < t 3 h 3 t), t 1 < t < t 2 O gráfco da função de taxa de falha pode apresentar algumas formas báscas, conforme se mostra na Fgura 1. A função h 1 t), é crescente, o que ndca que a taxa de falha da observação aumenta com o transcorrer do tempo, este comportamento mostra um efeto gradual de envelhecmento. A função h 2 t), é constante, e ndca que a taxa de falha não se altera com o passar do tempo. A função h 3 t), é decrescente, mostra que a taxa de falha dmnu à medda que o tempo passa. Portanto, as três formas de taxa de falha báscas se combnam para gerar a curva da banhera ou a forma de U. Fgura 1 - Gráfco de dferentes funções de taxa de falha A função de taxa de falha é mas nformatva do que a função de sobrevvênca, pos dferentes funções de sobrevvênca podem ter formas semelhantes e funções de taxa de falha totalmente dferentes. Portanto, a modelagem da função de taxa de falha é um mportante método para análse de dados de tempo, segundo Colosmo e Golo 2006).

23 Classe de dstrbuções exponencadas Há dferentes formas de modfcar uma dstrbução de probabldade, em partcular exstem as classes de dstrbuções exponencadas; sto é, consdere-se T uma varável aleatóra postva com função de dstrbução acumulada fda) conhecda Gt), então a nova dstrbução pode ser obtda exponencando a fda base Gt); expressa por F t) = Gt) a, t > 0, em que a > 0 é um novo parâmetro que caracterza a forma da nova dstrbução; sto é, flexblza a dstrbução base. Consequentemente a função densdade de probabldade fdp) é dada por ft) = agt)gt) a1. A função de sobrevvênca e a função de taxa de falha são dados por respectvamente. St) = 1 Gt) a e ht) = agt)gt)a1 1 Gt) a Nos últmos anos, dversos trabalhos envolvendo esta classe de dstrbuções foram propostos, dentre os quas destaca-se a dstrbução Webull exponencada WE) proposta por Mudholkar et al. 1995, 1996) que é uma generalzação da dstrbução Webull, esta dstrbução possu váras propredades, dentre elas, destaca-se que a função de taxa de falha pode modelar dferentes formas constante, crescente, decrescente, unmodal e forma de U). Mudholkar et al. 1995, 1996) analsaram e dscutram dferentes aplcações de dados de sobrevvênca, esta dstrbução também possu algumas dstrbuções conhecdas como casos partculares. No entanto, Gupta e Kundu 1999, 2001) propuseram a dstrbução exponencal generalzada também conhecda como dstrbução exponencal exponencada EE), Gupta e Kundu 2001) observaram que esta dstrbução possu algumas característcas nteressantes que são smlares àquelas das dstrbuções gama e Webull. Dessa forma, este modelo pode ser usado como alternatva aos modelos gama e Webull em dversas stuações. Segundo Gupta e Kundu 2001), uma das vantagens dessa dstrbução é devda às estruturas smples de suas funções de dstrbução e sobrevvênca, a dstrbução EE pode ser usada de forma efcaz na análse de dados de sobrevvênca, partcularmente na presença de observações censuradas ou dados correlaconados. Gupta e Kundu 2007), descreveram

24 23 város métodos para a obtenção das estmatvas dos parâmetros, como o método de máxma verossmlhança, o método dos momentos, o método dos mínmos quadrados e os estmadores L-momentos. A dstrbução Raylegh generalzada proposta por Kundu e Raqab 2005), pode ser utlzada em modelagem de dados de tempo de vda em geral. Nadarajah e Kotz 2006b), dscutram algumas dstrbuções exponencadas e estenddas, assm desenvolveram as propredades báscas de cada dstrbução, entre estas dstrbuções tem-se, a dstrbução gama exponencada, Gumbel exponencada e a dstrbução Fréchet exponencada. Estas dstrbuções são generalzações das dstrbuções gama padrão, Gumbel padrão e dstrbução Fréchet padrão, respectvamente. Mostraram Nadarajah e Kotz 2006b) que a função de taxa de falha da dstrbução gama exponencada, modela formas decrescente, unmodal e constante, assm como apresentaram a função geradora de momentos e os momentos dessa dstrbução. Nadarajah 2006) apresentou um tratamento detalhado das propredades dessa dstrbução, apresentando as formas analítcas da fdp e da função taxa de falha, assm como também as propredades báscas da dstrbução Fréchet exponencada. Nesse mesmo enfoque, Rosaah et al. 2006) propuseram a dstrbução loglogístca exponencada, baseada na dstrbução log-logístca que fo proposta por Tadkamalha e Jhonson 1982), na qual Rosaah et al. 2006) estudaram os tempos de vda de produtos que seguem a dstrbução log-logístca exponencada, mas não foram dscutdas as propredades dessa dstrbução. Neste trabalho apresenta-se algumas propredades da dstrbução loglogístca exponencada. A dstrbução Webull modfcada generalzada proposta por Carrasco et al. 2008a) apresenta função taxa de falha com formas crescente, decrescente, forma de U e unmodal, e possu como casos partculares a dstrbução Webull, Webull exponencada, exponencal exponencada, entre outros. Por outro lado, Cordero et al. 2011) propuseram a dstrbução gama generalzada exponencada, Alkasasbeh e Raqab 2009) estudaram a dstrbução logístca generalzada, defnda por Balakrshnam e Leung 1998), na qual as estmatvas dos parâmetros foram obtdas por meo do método de máxma verossmlhança.

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26 25 3 DISTRIBUIÇÃO LOG-LOGÍSTICA EXPONENCIADA GEOMÉTRICA Nesta seção serão estudadas as dstrbuções log-logístca, log-logístca exponencada, log-logístca exponencada geométrca com dupla atvação, serão apresentadas as prncpas característcas e propredades dessas dstrbuções. 3.1 Dstrbução log-logístca Em mutas stuações prátcas, a dstrbução log-logístca proposta por Tadkamalla e Johnson 1982) tem-se apresentado como alternatva às dstrbuções de Webull e a log-normal, conforme dscutem Colosmo e Golo2006). No entanto, em econôma onde é conhecda como a dstrbução Fsk, modela a dstrbução de rqueza e renda Kleber e Kotz, 2003) e na área de hdrologa é utlzada para escoamento fluval Ashkar e Mahd, 2006). Por outro lado, Collet 2003) sugeru a dstrbução log-logístca para modelar o tempo na sequênca de um transplante de coração. Seja Y uma varável aleatóra com dstrbução log-logístca LL), cuja função densdade de probabldade, denotada por gy), é dada por gy) = β y β1 y ) β 2 1, y > 0, 1) ) em que > 0 é o parâmetro de escala e β > 0 é o parâmetro de forma. Se Y é uma varável aleatóra postva com dstrbução LL com parâmetros e β, então, denota-se que Y LL, β). As funções de dstrbução acumulada denotada por Gy), de sobrevvênca Sy) e de taxa de falha hy) são expressas respectvamente, por Gy) = y β y ) β 1 y ) β 1 1 = 1, 2) ) y ) β 1 Sy) = 1 e hy) = β y β1 y ) β 1 1. ) A dstrbução LL é caracterzada por modelar funções de taxa de falha decrescente e unmodal; sto é, quanto β > 1 a função de taxa de falha tem forma unmodal, quando β < 1 é decrescente e quando β = 1 é decrescente ncando 1/. As propredades báscas da dstrbução log-logístca são apresentadas por exemplo, por Kleber e Kotz 2003), Lawless 2003) e Ashkar e Mahd 2006). Os momentos são

27 26 faclmente calculados Tadkamalla e Johnson, 1982). O r-ésmo momento para o tempo de falha é dado por EY r ) = r rπ/β senπ/β), r < β. Assm, a esperança e a varânca da dstrbução LL são dadas pelas seguntes expressões e EY ) = π/β senπ/β), β > 1, V ary ) = 2 2π/β sen2π/β) π/β 2, β > 2, senπ/β) respectvamente. A função quantílca é dada por ) 1/β u G 1 u) =, 0 < u < 1, 1 u em que G 1 u) é a nversa da fda da dstrbução log-logístca. A Fgura 2, mostra os gráfcos da fdp, da função de sobrevvênca e da função de taxa de falha, fxando = 25 e para alguns valores dos parâmetros β. Note que a função de taxa de falha tem forma unmodal e decrescente. A dstrbução LL possu a mesma relação que a dstrbução log-normal tem com a dstrbução normal Ahmad et al.1988)), ou seja se Y segue uma dstrbução log-logístca, então T = logy ) segue uma dstrbução logístca, esta parte é abordada na Seção 4.1 deste trabalho. Nos últmos anos, dversos trabalhos foram publcados utlzando a dstrbução log-logístca ou a dstrbução logístca, o que demonstra a mportânca dessas dstrbuções em dferentes áreas do conhecmento. A segur é apresentado alguns desses trabalhos. Ojo e Olapade 2003) defnram uma generalzação da dstrbução log-logístca beta log-logístca), em que determnaram seus momentos e estabeleceram algumas relações entre a log-logístca generalzada e outras dstrbuções. Nesse mesmo ano, Leroy et al.2003) nvestgaram o tempo de aparecmento de dentes permanentes de 4468 cranças em Franders Bélgca), por meo da análse de sobrevvênca, consderando a dstrbução log-logístca para o cálculo da medana, méda e ntervalo de confança. Indcando o aparecmento de dentes permanentes sgnfcatvamente mas cedo em mennas do que em mennos. No entanto, Ashkar e Mahd 2006) nvestgaram o método dos momentos generalzados para estmação dos parâmetros do modelo log-logístco com dos parâmetros, anda apresentaram uma aplcação na área de hdrologa, em estudos envolvendo baxo fluxo fluval.

28 27 a) b) fy) β=4.0 β=3.0 β=2.0 β=1.0 Sy) β=4.0 β=3.0 β=2.0 β= y y c) hy) β=4.0 β=3.0 β=1.0 β= y Fgura 2 - Gráfcos da função densdade a), de sobrevvênca b) e de taxa de falha c) da dstrbução loglogístca, para alguns valores do parâmetro β fxando = 25 Recentemente, Krshenbaum et al. 2009) estudaram a recaída de dependentes químcos após um período ncal de abstnênca. O objetvo prncpal do estudo fo verfcar se a recaída de dependentes químcos exbe um padrão típco que pode ser caracterzado por uma função quanttatva comum. Os autores realzaram análses utlzando as técncas de análse de sobrevvênca) em 20 estudos sobre ndvíduos que permaneceram abstnentes depos de

29 28 um período de abstnênca ncal, onde observou-se que a dstrbução log-logístca fo a mas adequada para modelar os dados com maor precsão. De Santana 2010), propôs uma nova dstrbução utlzando a classe de dstrbuções proposta por Cordero e Castro 2011), para construr a nova dstrbução de probabldade denomnada dstrbução Kumaraswamy log-logístca, a qual consdera dos novos parâmetros, obtendo ganho nas formas da função de taxa de falha, que além de modelar dados em que a função de taxa de falha tem forma decrescente e unmodal, modela também forma crescente e forma de U. Alternatvamente, város trabalhos ntroduzram as novas dstrbuções que são mas flexíves em modelar funções de taxa de falha monótonas ou unmodales, mas eles não são utlzados para modelar taxas de falha em forma de U ou de banhera; dstrbuções novas que foram construídas em termos de uma mstura de dstrbuções, assm tem-se, Proschan 1963) demonstrou que a função de taxa de falha decrescente é uma propredade nerente à mstura de dstrbuções com funções de taxa de falha constante. Por outro lado, Adamds e Loukas 1998) ntroduzram a dstrbução Exponencal geométrca para modelar dados de tempo de vda com função taxa de falha decrescente. Kus 2007) estudou uma nova dstrbução com função taxa de falha decrescente, dstrbução obtda pela mstura das dstrbuções exponencal e Posson truncada. Carrasco et al. 2008a) propuseram a Webull modfcada generalzada com aplcações na análse de sobrevvênca e Slva et al. 2010) estudaram em detalhe a dstrbução beta Webull modfcada, a qual admte funções de taxa de falha crescente, decrescente, unmodal e forma de U. Segundo a mesma déa da dstrbução EG, Slva et al. 2010) defnram a dstrbução exponencal geométrca generalzada e demonstraram que a função taxa de falha pode ser crescente, decrescente ou unmodal. Uma extensão da dstrbução EG é a dstrbução Webull geométrca, proposta por Barreto-Souza et al. 2011) o qual modela uma função taxa de falha monótona ou unmodal. Consderando a déa de Adamds e Loukas 1998), Rodrgues 2011) propôs a dstrbução Webull bnomal negatva WBN) que é bastante flexível em análse de dados postvos e foram estudadas algumas de suas propredades matemátcas. Esta é uma mportante alternatva para os modelos Webull e Webull geométrca, que são sub-modelos da WBN.

30 Dstrbução log-logístca exponencada A dstrbução log-logístca exponencada fo proposta por Rosaah et al. 2006). Tal dstrbução é obtda da dstrbução log-logístca sugerda por Tadkamalla e Johnson 1982). A sua aplcabldade fo também pelos prmeros autores, e vem sendo usada em estudos de planos de amostragem de acetação baseados em testes de vda. Seja Gy) a função de dstrbução acumulada da dstrbução LL defnda na equação 2), a função de dstrbução acumulada da dstrbução log-logístca exponencada LLE) pode ser defnda elevando Gy) a potênca a, sto é y ) β F y) = Gy) a = 1, y > 0. 3) Consequêntemente a função densdade de probabldade da LLE com três parâmetros, > 0, β > 0 e a > 0 é dada por fy) = aβ y β1 y β a1) y ) β 2 1 1, y > 0, 4) ) ) em que, é o parâmetro de escala, β é o parâmetro de forma e a é o segundo parâmetro de forma. A Fgura 3 mostra as formas gráfcas da fdp da dstrbução LLE, para dferentes valores dos parâmetros, β e a no qual pode-se observar a flexbldade da fdp, devdo a esses parâmetros. Assm, observa-se na Fgura 3a o gráfco da fdp, consderando β = 3, 5 e varando os parâmetros e a. Na fgura 3b, mostra a fdp, fxando o parâmetro = 2, 5 e varando os parâmetros β e a. Da mesma forma, na Fgura 3c observa-se a fdp varando a e levando em consderação os parâmetros = 0, 8 e β = 3, 5. Pode-se provar faclmente que a expressão 4) é uma fdp consderando a substtução k = 1 y β. ) Se Y é uma varável aleatóra postva com dstrbução LLE e fdp dada na expressão 4) então, denota-se Y LLE, β, a). A função de sobrevvênca é dada por Sy) = 1 F y) = 1 y ) β 1. Consequêntemente, a função de taxa de falha é dada por hy) = aβ y β1 y β a1) y ) { β 2 y ) } β ) ) A Fgura 4 mostra os gráfcos da função de sobrevvênca da dstrbução LLE para dferentes valores dos parâmetros, β e a. A Fgura 4a mostra para dferentes valores de

31 30 a) b) fy) =1.5;a=0.3 =2.0;a=0.5 =3.0;a=0.7 =4.0;a=0.9 fy) β=4.0;a=0.3 β=3.0;a=0.5 β=2.0;a=0.7 β=1.0;a= y y c) fy) a=0.5 a=4.5 a=7.5 a= y Fgura 3 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 0, 8 e β = 3, 5 e a, fxando β = 3, 5. Na Fgura 4b tem-se o gráfco fxando = 2, 5 para dferentes valores de β e a, e na Fgura 4c, pode-se observar o comportamento da função de sobrevvênca para dferentes valores de a, consderando = 0, 8 e β = 3, 5. Algumas formas da função de taxa de falha para alguns valores dos parâmetros

32 31 a) b) Sy) =1.5;a=0.3 =2.0;a=0.5 =3.0;a=0.7 =4.0;a=0.9 Sy) β=4.0;a=0.3 β=3.0;a=0.5 β=2.0;a=0.7 β=1.0;a= y y c) Sy) a=0.5 a=4.5 a=7.5 a= y Fgura 4 - Gráfcos da função de sobrevvênca da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 0, 8 e β = 3, 5, β e a da dstrbução LLE, são dadas na Fgura 5. Nas Fguras 5a e 5b, apresenta-se a função de taxa de falha em forma unmodal quando β > 1, além dsso, na Fgura 5b, mostra também forma decrescente quando β < 1. Na Fgura 5c a função decresce até certo ponto, e em seguda cresce até consegur novamente a forma unmodal.

33 32 A função quantílca é dada por G 1 u) = u 1/a 1 ) 1/β, 0 < u < 1, em que G 1 u) é a nversa da fda da dstrbução log-logístca exponencada. a) b) hy) =1.0;a=2.0 =1.5;a=1.5 =2.0;a=1.0 =3.5;a=0.5 hy) β=3.5;a=0.9 β=2.5;a=0.7 β=1.0;a=0.5 β=0.7;a= y y c) hy) a=0.31 a=0.32 a=0.33 a= y Fgura 5 - Gráfcos da função de taxa de falha da dstrbução LLE, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de e a, fxando β = 3, 5. b) Para dferentes valores de β e a, fxando = 2, 5. c) Para dferentes valores de a, fxando = 1, 7 e β = 2, 9

34 Dstrbução log-logístca exponencada geométrca com dupla atvação Nesta seção, apresenta-se a defnção e a construção da nova dstrbução loglogístca exponencada geométrca baseada em uma dupla atvação Dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo I A nova dstrbução que se propõe, será denomnada dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo I de 4 parâmetros, denotado por LLEGI, β, a, p), como a mstura baseada na dstrbução log-logístca exponencada e na dstrbução geométrca. Assm, seja Y 1, Y 2,..., Y Z uma amostra aleatóra da dstrbução log-logístca exponencada com fdp dada pela equação 4), Z é outra varável aleatóra dscreta com dstrbução de probabldade dada por P z; p) = 1 p)p z1, 5) em que Z N e p 0, 1), assm Z possu uma dstrbução geométrca. Assumndo ndependênca entre Y 1, Y 2,..., Y Z e Z, defne-se uma varável X = mn{y } Z =1 ), quer-se encontrar a função densdade de probabldade margnal de X. Utlzando a dstrbução do mínmo para varáves aleatóras contínuas ndependentes e dentcamente dstrbuídas d), obtém-se a função de dstrbução acumulada de X, o que pode ser dervado como a função de dstrbução acumulada condconal de X dado Z F X Z x z) = P X x z) = P mny 1, Y 2,..., Y z ) x z) = 1 P Y 1 > x, Y 2 > x,..., Y z > x) z = 1 P Y > x), =1 por ser d, a últma expressão pode ser escrta como F X Z x z) = 1 P Y > x) z = 1 1 P Y x) z = 1 1 F Y x) z. 6) Dferencando a expressão 6) em relação a X, obtém-se a função densdade de probabldade de X condconada a Z f X Z x z) = z 1 F Y x) z1 f Y x). 7)

35 34 Fazendo uso das expressões 7) e 5) e do fato que X e Z são ndependentes, obtém-se a função densdade de probabldade conjunta de X, Z) fx, z) = f X Z x)p z; p) = zf Y x) 1 F Y x) z1 1 p)p z1. 8) Somando a expressão 8) para z varando de 1 até, obtém-se a função densdade de probabldade margnal de X fx) = fx, z) z=1 = 1 p)f Y x) z {1 F Y x) p} z1. z=1 Consderando a expressão z=1 z {1 F Y x) p} z1 como a dervada de uma sére geométrca, obtém-se fnalmente a função densdade margnal de X fx) = 1 p)f Y x) {1 p 1 F Y x)} 2, 9) a qual será denomnado como a fdp para o mínmo. Integrando a equação 9), de até x, obtém-se a função de dstrbução acumulada de X F x) = F Y x) {1 p 1 F Y x)} 1, 10) que será denomnado como a fda para o mínmo. Fnalmente, substtundo na equação 9), F Y x) e f Y x) pela fda e fdp da dstrbução log-logístca exponencada respectvamente, obtémse, a dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo I com quatro parâmetros, denotada por LLEGI, β, a, p), em que a fdp e fda são defndas pelas equações 11) e 12) respectvamente, fx;, β, a, p) = 1 p) aβ { 1 p x β1 x β a1) x ) β ) ) x ) } β 2 1, x > 0. 11) 1 F x;, β, a, p) = x ) { β x ) } β p 1 1, x > 0. 12) Pode-se provar que a expressão 11) é uma função densdade consderando a substtução { k = 1 p 1 1 } x β 1 ).

36 Os gráfcos da fdp da dstrbução LLEGI são apresentados na Fgura 6, para alguns valores fxados dos parâmetros e β e varando os valores dos parâmetros a e p, onde observa-se uma flexbldade da fdp, devdo a esses parâmetros. Uma mportante propredade da dstrbução LLEGI é o fato de possur alguns sub modelos tas como Se a = 1, obtêm-se a dstrbução log-logístca geométrca tpo I. fx;, β, a = 1, p) = 1p) β x β1 x ) { β p 1 ) 35 x ) } β Se p = 0, obtêm-se a dstrbução log-logístca exponencada. fx;, β, a, p = 0) = aβ x β1 x β a1) x ) β ) ) Se a = 1 e p = 0, obtêm-se a dstrbução log-logístca. fx;, β, a = 1, p = 0) = β x β1 x ) β 2 1. ) Se X segue uma dstrbução LLEGI correspondente à expressão 11), a função de sobrevvênca é expressa por x ) { β Sx) = p 1 e a função taxa de falha, é dada por hx) = 1 p)aβ { 1 p 1 x ) β1 1 1 x ) } β 1 1, x > 0, x β a1) x ) β 2 1 ) x ) } β 2 1 x ) { β x ) } β p 1 1. O comportamento da função de taxa de falha da dstrbução LLEGI é apresentado na Fgura 7, para alguns valores fxados dos parâmetros e β e varando os valores dos parâmetros a e p. Pode-se observar na Fgura 7a, que a função de taxa de falha apresenta formas monótonas, a Fgura 7b, mostra as formas unmodas e na Fgura 7c mostra a forma bmodal. Para smular dados de uma dstrbução LLEGI, utlzou-se a nversa da fda correspondente à expressão 12) Qu) = F 1 u) = em que u tem dstrbução unforme 0, 1). { } 1 1 β 1 up a 1, u1 p)

37 36 a) b) fx) a=0.9; p=0.1;=1.0 a=0.7; p=0.3;=1.5 a=0.5; p=0.5;=2.5 a=0.3; p=0.7;=3.5 a=0.1; p=0.9;=4.5 fx) a=1.2; p=0.8;β=3.5 a=1.5; p=0.7;β=3.0 a=2.0; p=0.5;β=2.5 a=2.5; p=0.3;β=1.5 a=2.8; p=0.2;β= x x c) fx) a=3.5; p=0.1 a=2.5; p=0.3 a=1.5; p=0.5 a=0.5; p=0.7 a=0.05; p= x Fgura 6 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 0, 5 e β = 3, Dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo II Consderando a mesma déa da composção de uma dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo I, em que fo consderado como valor mínmo uma varável geométrca, agora será feta a composção da dstrbução que será denomnada dstrbução

38 37 a) b) hx) a=0.9; p=0.1;β=0.5 a=0.8; p=0.2;β=1.0 a=0.3; p=0.5;β=1.5 a=0.45; p=0.4;β=4.0 a=0.5; p=0.5;β=4.5 hx) a=0.9; p=0.1;=1.0 a=0.7; p=0.3;=1.5 a=0.5; p=0.5;=2.5 a=0.3; p=0.7;=3.5 a=0.1; p=0.5;= x x c) hx) a=0.27; p=0.75;β=4.1 a=0.25; p=0.74;β=4.2 a=0.26; p=0.76;β=4.3 a=0.25; p=0.77;β=4.4 a=0.24; p=0.73;β= x Fgura 7 - Gráfcos da função de taxa de falha da dstrbução LLEGI, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. b) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. c) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5 log-logístca exponencada geométrca tpo II, denotado por LLEGII no qual será utlzado como valor máxmo uma varável geométrca. Seja Y 1, Y 2,..., Y Z uma amostra aleatóra da dstrbução log-logístca exponencada com densdade dada pela equação 4) e Z é outra varável aleatóra com dstrbução

39 38 geométrca expressa pela equação 5). Assumndo ndependênca entre Y 1, Y 2,..., Y Z e Z, defne-se uma varável X = max{y } Z =1 ), quer-se encontrar a função densdade de probabldade margnal de X. Utlzando a dstrbução do máxmo para varáves aleatóras contínuas ndependentes e dentcamente dstrbudas d), obtém-se a função de dstrbução acumulada de X, o que pode ser dervado como a função de dstrbução acumulada condconal de X dado Z F X Z x z) = P X x z) = P maxy 1, Y 2,..., Y z ) x z) = P Y 1 x, Y 2 x,..., Y z x) z = P Y x), =1 por ser d, a últma expressão pode ser escrta como F X Z x z) = P Y x) z = F Y x) z. 13) Dferencando a expressão 13) em relação a X, obtém-se a função densdade de probabldade de X condconada a Z f X Z x z) = z F Y x) z1 f Y x). 14) Fazendo uso das expressões 14) e 5), e do fato que X e Z são ndependentes, obtém-se a função densdade de probabldade conjunta de X, Z) fx, z) = f X Z x)p z; p) = zf Y x) F Y x) z1 1 p)p z1. 15) Somando a expressão 15) para z varando de 1 até, obtém-se a função densdade de probabldade margnal de X fx) = fx, z) z=1 = 1 p)f Y x) z {F Y x) p} z1. Consderando a expressão z=1 z {F Y x) p} z1 como a dervada de uma sére geométrca, z=1 obtém-se fnalmente a função densdade margnal de X fx) = 1 p)f Y x) {1 p F Y x)} 2, 16)

40 a qual será denomnada como a fdp para o máxmo. acumulada de X Integrando a equação 16), de até x, obtém-se a função de dstrbução F x) = 1 p)f Y x) {1 p F Y x)} 1, 17) que será denomnado como a fda para o máxmo. Fnalmente, substtundo na equação 16), F Y x) e f Y x) pela fda e fdp da dstrbução log-logístca exponencada, respectvamente obtém-se, a dstrbução log-logístca exponencada geométrca tpo II com quatro parâmetros, denotada por LLEGII, β, a, p) cujas fdp e fda são defndas pelas equações 18) e 19) respectvamente, fx;, β, a, p) = 1 p) aβ { 1 p x β1 x β a1) x ) β ) ) 39 x ) } β 2 1, x > 0. 18) x ) { β x ) } β 1 F x;, β, a, p) = 1 p) 1 1 p 1, x > 0. 19) Pode-se provar que a expressão 18) é uma função densdade consderando a substtução { k = 1 p 1 } x β 1 ). Observa-se que alguns sub-modelos da dstrbução LLEGII são apresentados na Fgura 8, para alguns valores fxados dos parâmetros e β e varando os valores dos parâmetros a e p, em que observa-se uma flexbldade da fdp, devdo a esses parâmetros. Uma mportante propredade da dstrbução LLEGII é o fato de possur alguns sub-modelos partculares tas como Se a = 1, obtêm-se a dstrbução log-logístca geométrca tpo II. fx;, β, a = 1, p) = 1 p) β x β1 x ) { β 2 x ) } β p 1. ) Se p = 0, obtêm-se a dstrbução log-logístca exponencada. fx;, β, a, p = 0) = aβ x β1 x β a1) x ) β ) ) Se a = 1 e p = 0, obtêm-se a dstrbução log-logístca. fx;, β, a = 1, p = 0) = β x β1 x ) β 2 1. )

41 40 Se X segue uma dstrbução LLEGII correspondente à expressão 18), a função de sobrevvênca é expressa por x ) { β x ) } β 1 Sx) = 1 1 p) 1 1 p 1, x > 0, e a função taxa de falha, é dada por hx) = 1 p) aβ x ) β1 1 x 1 1 p) ) β a1) 1 x 1 x ) { β 1 p ) { β 2 1 p 1 x ) β } 2 1 x ) } β 1. A Fgura 9 mostra o comportamento da função taxa de falha da dstrbução LLEGII fxando os parâmetros e β, para dferentes valores de a e p. Observa-se por meo dos gráfcos que a função taxa de falha apresenta forma unmodal 9.a), forma de banhera 9.b) e forma bmodal 9.c) Para smular dados de uma dstrbução LLEGII utlzou-se a nversa da fda correspondente à expressão 19) Qu) = F 1 u) = em que u tem dstrbução unforme 0, 1). { 1 p) up u 1 a 1 } 1 β, 3.4 Propredades da log-logístca exponencada geométrca Uma prátca habtual em uma análse estatístca, é descrever uma dstrbução por meo de algumas característcas mportantes da mesma, que podem ser estudadas por meo dos momentos por exemplo, tendênca, dspersão, assmetra e curtose). Nas próxmas seções apresentam-se algumas propredades da dstrbução LLEG. Na Seção 3.4.1, será apresentada para a fdp em expansão de sére de potêncas para as dstrbuções LLEGI e LLGEII. Os momentos de probabldade ponderada e a função geradora de momentos serão apresentadas nas Seções e 3.4.3, respectvamente Expansão da função densdade da dstrbução log-logístca exponencada geométrca Dstrbução LLEGI Pode-se escrever a fdp da dstrbução da LLEGI dada pela expressão 11), como uma combnação de dstrbuções log-logístcas exponencadas. Partndo da expressão 11), o

42 41 a) b) fx) a=0.9; p=0.2;=1.0 a=0.7; p=0.3;=1.5 a=0.5; p=0.5;=2.5 a=0.3; p=0.7;=3.5 a=0.1; p=0.8;=3.0 fx) a=1.0; p=0.9;β=3.5 a=1.5; p=0.7;β=3.0 a=2.0; p=0.5;β=2.5 a=2.5; p=0.3;β=2.0 a=3.0; p=0.1;β= x x c) fx) a=3.5; p=0.01 a=2.5; p=0.03 a=1.5; p=0.05 a=0.5; p=0.07 a=0.05; p= x Fgura 8 - Gráfcos da fdp da dstrbução LLEGII, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 4, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 0, 5 e β = 3, 5 termo que está elevado à potênca 2, pode ser escrto como sendo z = 1 F,β,a x), em que F,β,a x) é a fda da LLE, dada pela equação 3) em termos da varável X, assm F,β,a x) = x ) β 1. 20)

43 42 a) b) hx) a=3.5; p=0.1;=0.5 a=3.0; p=0.2;=0.7 a=2.5; p=0.3;=0.9 a=2.0; p=0.4;=1.1 a=1.5; p=0.5;=1.3 hx) a=0.20; p=0.09;β=0.9 a=0.21; p=0.08;β=0.7 a=0.22; p=0.07;β=3.5 a=0.23; p=0.06;β=3.3 a=0.24; p=0.05;β= x x c) hx) a=0.20; p=0.09 a=0.21; p=0.08 a=0.22; p=0.07 a=0.23; p=0.06 a=0.24; p= x Fgura 9 - Gráfcos da taxa de falha da dstrbução LLEGII, para alguns valores dos parâmetros. a) Para dferentes valores de a, p e, fxando β = 2, 5. b) Para dferentes valores de a, p e β, fxando = 1, 5. c) Para dferentes valores de a e p, fxando = 1, 5 e β = 3, 5 ) 1z 2, Consderando a segunte expressão 1pz e levando em conta que 0 < pz < 1, então expandndo 1 pz) 2 em sére de potêncas e usando a forma 1 z) k = j=0 Γk j) z j, Γk)j!

44 obtém-se 1 pz) 2 = j=0 Substtundo z = 1 F,β,a x) em 21), obtém-se 43 Γj 2) pz) j. 21) Γ2)j! 1 pz) 2 = j 1)p j 1 F,β,a x) j. 22) j=0 Por outro lado, substtundo F,β,a x) em 22) 1 pz) 2 = j 1)p {1 j j=0 x ) } β j 1, 23) utlzando a 23) na expressão de 11) da densdade LLEGI, obtém-se f,β,a,p x) = 1 p) aβ { 1 p x β1 x β a1) x ) β ) ) } x β 2 1 ) 1 = 1 p) aβ x β1 x β a1) x ) β ) ) } x β j j 1)p {1 j 1 ) j=0 = aβ x β1 x β a1) x ) β ) ) x ) } β j j 1)1 p)p {1 j 1. 24) j=0 Levando em consderação a fdp da dstrbução LLE dada por f,β,a x) = aβ x β1 x β a1) x ) β 2 1 1, ) ) obtém-se a expansão para a densdade da LLEGI, sendo uma combnação lnear das dstrbuções log-logístcas exponencadas. A expansão da fdp da LLEGI é dada por f,β,a,p x) = f,β,a x) w j 1 F,β,a x) j, 25) a expressão 1F,β,a x) j pode estar representada em termos dos coefcentes bnomas, j=0 como j é um ntero, então pode-se escrever como 1 F,β,a x) j = j ) j 1) F,β,a x), =0