COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ESTUDO DO CRESCIMENTO E PRODUÇÃO FLORESTAL

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1 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ESTUDO DO CRESCIMENTO E PRODUÇÃO FLORESTAL Fracsco Walter de Lma Gomes Uversdade Católca de Brasíla Curso de Matemátca RESUMO: Este trabalho vsa comparar dos modelos matemátcos quattatvos para aplcação o corte sustetável de uma platação de phero slvestre para a comercalzação como árvores de Natal. O prmero modelo, a avalação é feta por meo de uma fórmula padrão para o corte sustetável em que o redmeto sustetável ótmo é obtdo cortado todas as árvores de uma classe de altura especfca e ehuma árvore de qualquer outra classe. Neste modelo a altura da árvore determa seu valor ecoômco. Os parâmetros de crescmeto das árvores também devem ser levados em cota para determar o redmeto sustetável ótmo da floresta. No seudo modelo, a avalação é feta por meo de Proramação Matemátca (Método Smple-Lecórafco, em que a mamzação do redmeto total de todas as árvores sem classes específcas, dará o maor redmeto sustetável ótmo para o produtor a cada quatro aos (horzotes de plaejameto. Para esse modelo, os cortes são por talhões. Palavras-chave: Modelos, proramação lear, matrz de crescmeto.. INTRODUÇÃO O uso de modelos matemátcos tem uma loa tradção a área florestal. Desde o íco do plato de florestas maejadas, suru o desejo de fluecar e proostcar o crescmeto com o fm de domar a produção. Esse desejo tem as suas raízes as crcustâcas especas da produção florestal. Os loos prazos e a rreversbldade de tas problemas como: florestas com horzotes de plaejametos duvdosos, desmatametos das florestas atvas e a ão obteção do certfcado florestal epeddos por órãos do Govero Federal. Esse fato levou a produtores e admstradores a procurar ovas alteratvas de bos lucros e coservação das florestas. Os modelos matemátcos fazem papel de suma mportâca para escolha de um bom maejo florestal, propodo maores retabldades e um desevolvmeto sustetável. Seudo Strack (98, modelos são abstrações e smplfcações de processos com o fm de descrever e estmar os seus resultados fas, bem como o seu trascurso. De acordo com Broso (985, estem ferrametas mportates que permtem aalsar as formações e a tomada de decsão em fução das codções de mercado ou da demada da própra empresa, como por eemplo, as avalações ecoômcas, de plaejameto e de otmzação, que cosderam crtéros ecoômcos a obteção de projetos. Lcecado do Curso de Matemátca da Uversdade Católca de Brasíla DF E-mal: walterfram@ahoo.com.br

2 No trabalho proposto ecotraremos um modelo para o qual o valor ecoômco total de todas as árvores removdas é o maor possível. Isto determará o redmeto sustetável ótmo da floresta e é maor redmeto que pode ser obtdo cotuamete sem dzmar a mesma. Seudo Kolma (998, o uso de téccas matrcas aulará o admstrador a escolher um bom maejo.. CONCEITOS TEÓRICOS Seudo Ato & Rorres (, o prmero modelo parte da formulação do seute problema: um platador possu uma floresta de phero slvestre que são veddos ao após ao como árvores de atal. Árvores de dferetes tamahos têm valores ecoômcos dferetes o mercado atalo como mostra a Tabela. Tabela : Relação valor-tervalo de altura Classes de altura Valor (R$ Itervalo de altura ( h ( muda Nehum [, h p [ h, h p [ h,h h h p [, p [ h, Coforme Fura, durate o período de crescmeto uma árvore o mámo muda uma classe para cma. h Altura da Árvore h h h h p p p Valor da Árvore p Fura Represetação Gráfca das Árvores dspostas em classes de alturas e valor ecoômco.

3 Observado a Tabela. A prmera classe cosste de mudas com altura o tervalo de [, h e sem valor ecoômco. Seja (,,, o úmero de árvores a -ésma classe que sobrevvem aos cortes. Com estes úmeros, formamos o vetor de ão-cortadas: X Neste modelo, o úmero total de árvores da floresta é fo e é dado por: s Ode s é predetermado pela área dspoível para plato que cada árvore ocupa. A cofuração da floresta é dada pelo vetor depos de cada corte. Etre dos cortes, as árvores crescem e produzem uma ova cofuração, coforme a Fura. ( C r e s c m e t o Floresta após crescmeto corte Cofurações florestas uas Árvores removdas Árvores ão removdas Floresta o íco do processo de crescmeto Floresta depos de cortar (vetor de ão-cortadas (vetor de ão-cortadas Fura Etapas de maejo para uma polítca de corte sustetável. c P l a t a ç ã o d e m u d a s

4 Para cada árvore removda é platada uma muda o seu luar, de modo que a floresta teha sempre a mesma quatdade de árvores. Durate o período de crescmeto, uma árvore da -ésma classe pode crescer e passar a uma classe de maor altura ou etão o crescmeto pode ser retardado por alum motvo e ela permaecer em sua classe. Portato, é defdo o seute parâmetro de crescmeto para,,,, : é a fração das árvores da -ésma classe que ela permaecem para a ( -ésma classe durate um período de crescmeto. é a fração das árvores da -ésma classe que permaecem durate um período de crescmeto. Daí temos a seute matrz de crescmeto: G é uma matrz de ordem quadrada cujas as lhas represetam as classes (alturas das árvores e as coluas represetam as frações das árvores que permaece a mesma classe ( e as frações das árvores que passam para a classe seute (. Os zeros que aparecem a matrz represetam que ão há mudas essas classes. Todava, se a matrz das árvores cortadas for maor que zero, o produtor estar removedo apeas mudas sem valor ecoômco coforme equação ( 7. ( As etradas da matrz X são o úmero de árvores as classes ates do período de crescmeto. Durate o corte o platador remove,,, ( árvores da -ésma classe. Efetuado o produto das matrzes:. G. GX.

5 5 temos a seute matrz: ( são os úmeros de árvores as classes depos do período de crescmeto. Durate o corte o platador remove,,, ( árvores da -ésma classe. Loo, temos o vetor-colua. de árvores cortadas. Assm, um total de Árvores são removdas a cada corte. Este também é o úmero total de árvores adcoadas à prmera classe (as ovas mudas depos de cada corte, defe a seute matrz de reposção de tamaho R. Ode a prmera lha represeta a reposção de árvores platadas e a demas lhas ão há reposção de árvores. ( etão o vetor-colua (5 RY. GX ( ( ( ( Y R

6 A matrz R Y dca que o total de árvores removdas é ual às platadas. Especfcará a cofuração de árvores platadas após cada corte. Aora ós estamos protos para escrever as seutes equações, que caracterzam uma polítca de corte sustetável: cofuração o fal do período de crescmeto [ corte] cofuração reposção o íco do período de mudas de crescmeto ou, matematcamete, GX Y RY Esta equação pode ser reescrta como X ( I R Y ( G I X (6 ode: I é a matrz detdade. Nós os refermos à Equação (6 como a codção de corte sustetável. Quasquer matrzes vetores X e Y com etradas ão-eatvas e tas que s que satsfazem esta equação matrcal, determam uma polítca de corte sustetável para a floresta. Observe que se >, etão o cortador está removedo mudas sem valor ecoômco e substtudo-as por mudas ovas. Como sto ão faz setdo, ós supomos que (7 com esta hpótese, pode ser verfcado que (6 é o formato matrcal do seute cojuto de equações:. (8 Observe que a prmera equação em (8 é a soma das demas equações. 6

7 Como ós devemos ter para,,,, as equações (8 eem que (9 Recprocamete, se é um vetor-colua com etradas ão-eatvas que satsfaz a Equação (9, etão (7 e (8 defem um vetor-colua com etradas ão-eatvas. Além dsto, e satsfazem a codção de corte sustetável (6. Em outras palavras, uma codção ecessára e sufcete para que um vetor-colua determe uma cofuração da floresta que permte um corte sustetável é que as etradas de satsfazem (9.. RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO Fo removda valor ecoômco árvores da -ésma classe (,,, p, o redmeto total RT do corte é dado por: RT p p p Usado (8, pode substtur os em ( e obter e cada árvore a -ésma classe tem ( RT ( p p p ( p p ( Combado (, ( e (9, pode-se eucar o problema de mamzar o redmeto da floresta sobre todas as possíves polítcas de corte sustetável como seue: Icalmete deotamos RT k redmeto obtdo cortado todas as árvores da k-ésma classe e ehuma árvore das outras classes. O maor valor de RT k para k,,, será, etão, o redmeto sustetável ótmo e o correspodete valor de k será a classe que devera ser completamete cortada para obter este redmeto sustetável ótmo. Como ehuma classe é cortada, eceto a k-ésma, temos: k k ( Além dsto, como todas as árvores da k-ésma classe são cortadas, uca há árvores as classes de altura acma da k-ésma classe. Assm, k k ( Substtudo ( e ( a codção d corte sustetável (8 obtemos 7

8 k k k k k k k As Equações ( também podem ser escrtas como k k k k ( (5 Das quas seue que / (6 / / k k Substtudo as Equações ( e (6 em s [ que é a Equação (], pode-se resolver em e obter ode: s k (7 s correspode o total de árvores a floresta. Para o redmeto RT K, comba (, (, (5 e (7 para obter RT p p p k pk k p k pk. s k (8 A equação (8 determa RT K em termos dos parâmetros ecoômcos e de crescmeto cohecdo para quasquer k,,,. 8

9 Para k,,, O correspodete valor de k é o úmero da classe que é completamete cortada.. APRESENTAÇÃO DO º MODELO Esse problema costtu em: Uma empresa florestal deseja elaborar um plao de maejo para uma floresta equâea (florestas heteroêeas em altura, para os prómos aos (horzotes de plaejameto, com o objetvo de mamzar o redmeto sustetável ótmo. Os dados desse eemplo estão apresetados a Tabela. Tabela : Relação preço-tervalo de altura em metro Classes Valor (R$ Itervalo de altura (m, ª (Mudas, [ ª 5, [,;,5 ª 5, [,5;, ª 5, [,;, A seute matrz de crescmeto refere-se a uma floresta de phero slvestre com os seutes parâmetros de crescmeto: Atrbudo valores arbtráros a seute matrz de vértces, represetado as frações das árvores que passam de uma classe para outra e as que fcam a mesma classe, temos: G 7 5 Qual classe devera ser completamete cortada para obter o redmeto sustetável ótmo e qual é o redmeto? Resolução: Da matrz G de crescmeto obtemos: Cosdere uma platação com árvores etão, temos s., 7 e 5 p 5, p 5, e p 5, 5 9

10 Ode: RT redmeto total. são frações das árvores da prmera classe. são frações das árvores da seuda classe. são frações das árvores da quarta classe. p é o preço das árvores da prmera classe p é o preço das árvores da seuda classe. p é o preço das árvores da tercera classe. Aplcado a equação (8, temos: 5. RT R$ 7.5, 5. RT R$ 7.9, RT R$.5,5 5 7 Esse modelo mostra o redmeto de cada classe, coforme mostra a equação (8. RT, correspode o redmeto total cortado todas as árvores da seuda classe e ehuma árvore de qualquer outra classe. Ele fo obtdo multplcado o valor das árvores dessa classe pela quatdade platada, dvddo pela fração das árvores que veram da prmera classe. RT, correspode o redmeto total cortado todas as árvores da tercera classe e ehuma árvore de qualquer outra classe. Ele fo obtdo multplcado o valor das árvores dessa classe pela quatdade platada, dvddo pela fração das árvores que veram da seuda classe mas as frações da tercera. RT, correspode o redmeto total cortado todas as árvores da quarta classe e ehuma árvore de qualquer outra classe. Ele fo obtdo multplcado o valor das árvores dessa classe pela quatdade platada, dvddo pela fração das árvores que veram da seuda, da tercera e da quarta classe. 5. APRESENTAÇÃO DO º MODELO Neste seudo modelo utlzaremos a proramação Lear (Método Smple. Seudo Slva (, esse método é formado por um rupo de crtéros para escolha de soluções báscas que melhorem o desempeho do modelo. Para sso, o problema deve apresetar uma solução básca cal. As soluções báscas subseqüetes são calculadas com a troca de varáves báscas por ão báscas, erado ovas soluções.

11 Utlzamos o método smple lecoráfco vsado a asseurar a coverêca do alortmo devdo a deeeração das varáves báscas. No Método Smple ocorre o processo de deeeração, quado temos uma solução básca vável ode este ao meos uma varável básca ula. O feômeo da deeeração pode, teorcamete, mplcar a ão coverêca do Método Smple, por levar à ocorrêca de cclos. A cclaem cosste em voltarmos à mesma base depos de certo úmero de terações. A cclaem defda etre a mesma seqüêca de bases podera mpedr-os de chear ao fal do processo teratvo do Smple. Como últma observação, cabe ada mecoar que a cclaem é um feômeo bastate raro a deeeração. Na ausêca de deeeração, a coverêca fta do alortmo Smple é aratda pelo fato de erarmos bases que mplcam um valor decrescete para a fução objetvo. No caso de empate, sto é, para o caso em que o Smple permte mas de uma escolha para lha pvô, o método Lecoráfco forece uma rera que permte refar esta escolha, até que uma úca lha pvô possa ser dcada. Basta seur uma escolha arbtrára para o elemeto pvô, e desevolver todo processo de pvoteameto ormal do Smple. Nesta escolha ão mporta se os coefcetes das varáves ão báscas sejam postvos ou eatvos. O mportate é adotar uma escolha para coverêca do método. Obvamete este uma sére de opções possíves as escolhas que podemos fazer para o elemeto pvô. O mportate é que uma vez feta uma escolha, e que mplca certa ordem (maor coefcete ou meor, deve ser matda costtudo a essêca da mecâca do método lecoráfco. Certa floresta é dvdda em quatro classes de altura e a matrz de crescmeto das árvores etre os cortes é dada por Para a matrz de crescmeto desse modelo, atrbuímos os mesmos valores arbtráros de coformdade com o prmero modelo. G 7 5 5

12 Os preços das classes de alturas estão a Tabela abao: Tabela : Relação preço-tervalo de altura em metro Classes Valor (R$ Itervalo de altura (m, ª (Mudas, [ ª 5, [,;,5 ª 5, [,5;, ª 5, [,;, O redmeto total é dado pela fução objetvo: ( p p ( p p Ma. RT p Sujeto a: s,, Ode represeta a quatdade de árvores que foram repostas. A quatdade de árvores removdas é ual à das platadas. Na fução objetvo proposta acma, utlzamos a Luaem de Proramação Lear para mamzar o maor redmeto sustetável ótmo. Ode: p, p e p represetam os preços das árvores., e represetam as frações das árvores. Para a prmera restrção s, o úmero de árvores platadas em cada classe é sempre o mesmo correspodedo o total da floresta. Foram usadas as restrções, devdo o fato de o platador ão está platado apeas mudas sem valor ecoômco. Pos de acordo com o eucado da páa 6, se a restrção fosse do

13 tpo >, o platador estava removedo somete mudas os quas para esse modelo ão faz setdo. O problema é composto das seutes restrções: º a restrção é do tpo : (maor ual a varável de fola é substtuída e seu valor é eatvo, quado se aulam as varáves de decsão. º a restrção é do tpo :(ual ão recebe a varável de fola. Neste caso, acrescetamos em cada uma das restrções do tpo e varáves aulares com a formação de um ovo modelo. Não há uma solução básca cal devdo à seuda, tercera e a quarta restrções. O retoro ao modelo oral deve ser feto com a elmação das varáves aulares e a mauteção da solução básca. Isto pode ser feto de duas maeras: Método do M rade ou Método da fução objetvo aular. Este problema fo desevolvdo pelo Método do M rade. a j RT p p p p p M a M a M a Modelo aular: Ma. ( ( Sujeto a: F F a F a F a Neste caso, este uma deeeração, etão é ecessáro utlzar o Smple-Lecoráfco para a escolha do elemeto pvô. À medda que a fução é mamzada, as varáves aulares a, a e a deam a base, devdo ao rade valor de M, M e M. Quadro Ical: RT F F F F a a a 75 7 M M b M / 7

14 Varáves báscas: Varáves ão-báscas: F F a a a F ª Iteração: RT F F F F a a a b 75 5 M M M 5 5 7/ ª Iteração: RT F F F F a a a b M M M / ª Iteração: RT F F F F a a a b M M M Na prmera parte do problema, que levou à elmação das varáves aulares, o que pretederíamos ão era mamzar o objetvo, e sm elmar as varáves aulares, retorado assm ao problema oral. Podemos escolher para etra a base uma varável com qualquer coefcete a fução objetvo, desde que a etrada dessa varável provoque a saída de uma varável aular

15 Novo Quadro RT F F F F b / ª Iteração: RT F F F F b / / / ª Iteração: RT F F F F b Observado o últmo Tableau, a solução ótma fo ecotrada mamzado a fução objetva dada, ode ecotramos o valor ótmo de R$.7,9 da varável b. Fo feto o pvoteameto de cada lha usado o alortmo Smple. Pelo crtéro do Smple, como todos os coefcetes da prmera lha são postvos, loo a fução atu seu poto ótmo. 6. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO O objetvo do trabalho fo alcaçado comparado dos modelos matemátcos para comercalzação de veda de phero slvestre como árvores de atal. As vataes do prmero modelo estão a aplcação de ser um modelo bastate smplfcado. Portato, mas fácl de trabalhar. A preocupação do produtor está apeas o maejo das classes especfcas. 5

16 Apesar das árvores das outras classes terem preços mas elevados, coforme mostra a equação (8, para o produtor a polítca de corte sustetável adotada por essa equação determar o maor redmeto sustetável ótmo sem dzmar a floresta. Por outro lado, como o prmero modelo determa uma polítca de corte sustetável, ão havedo ovos desmatametos por hectares, o produtor receberá o certfcado florestal pela elaboração de um bom maejo florestal. Todava, o prmero modelo o produtor terá redmeto sustetável ótmo de R$ 7.5, cortado todas as árvores da seuda classe, e ehuma árvore de qualquer outra classe. Em termos ecoômcos esse modelo tem a desvataem em relação ao Método Smple pelo fato de o produtor obter recetas orudas dos platos, cortado somete classes de alturas especfcas predestadas para o corte. Por essa razão, esse modelo poderá trazer perdas de lucro para o produtor o mercado atalo. No seudo modelo o produtor terá redmeto total de R$.7,9 a cada corte. Neste caso, a produção é maor devdo ao corte ser raso (cortado todas as árvores por hectares, para obteção do ótmo a fução objetvo. Os preços das árvores este modelo devem ser levados em cota para obteção do maor redmeto. As desvataes desse modelo correspodem a crtéros mas rorosos, a saber: Recursos computacoas adequados para este tpo de problema florestal; Melhor horzote de plaejameto para uma polítca de corte sustetável; Maor dspobldade para o plaejameto do maejo florestal. Portato, o ceáro que apresetou o melhor resultado para a mamzação do lucro fo o seudo modelo em que usou a proramação lear com o redmeto sustetável ótmo da floresta. 7. REFERÊNICAS BIBLIOGRÁFICAS BRONSON, Rchard. Pesqusa operacoal.. ed. São Paulo: Mc Graw Hll do Brasl, 995. HOWAD, Ato; RORRES, Chs. Álebra lear com aplcações. 8. ed. Porto Alere: Bookma,. KOLMAN, Berard. Itrodução à álebra lear com aplcações. 6. ed. Ro de Jaero: Pretce - Hall, 998. SILVA, Ermes Mederos et al. Pesqusa operacoal: proramação lear.. ed. São Paulo, Atlas, 998. STRACK, Jar. Modelaem e smulação de sstemas.. ed. Ro de Jaero, LTC- Lvros Téccos e Cetífcos S.A., 98. 6