REITORA Ângela Maria Paiva Cruz. VICE-REITOR José Daniel Diniz Melo

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2 REITORA Ângela Mara Pava Cruz VICE-REITOR José Danel Dnz Melo DIRETORIA ADMINISTRATIVA DA EDUFRN Lus Passegg (Dretor) Wlson Fernandes (Dretor Adjunto) Judthe Albuquerque (Secretára) CONSELHO EDITORIAL Lus Álvaro Sgadar Passegg (Presdente) Ana Karla Pessoa Pexoto Bezerra Anna Emanuella Nelson dos S. C. da Rocha Anne Crstne da Slva Dantas Chrstanne Mederos Cavalcante Edna Mara Rangel de Sá Elane Marnho Sorano Fábo Resende de Araújo Francsco Dutra de Macedo Flho Francsco Wldson Confessor George Dantas de Azevedo Mara Anolly Queroz Maa Mara da Conceção F. B. S. Passegg Mauríco Roberto Campelo de Macedo Nedja Suely Fernandes Paulo Rcardo Porfíro do Nascmento Paulo Roberto Mederos de Azevedo Regna Smon da Slva Rchardson Naves Leão Rosres Magal Bezerra de Barros Tâna Mara de Araújo Lma Tarcíso Gomes Flho Teodora de Araújo Alves EDITORAÇÃO Helton Rubano de Macedo (edtor) Paula Frassnett dos Santos (edtora assstente) Alva Mederos da Costa (supervsora Edtoral) REVISÃO Wldson Confessor (coordenador) Alynne Scott (colaboradora) Iza Nobre (colaboradora - normalzação) DESIGN EDITORIAL Mchele Holanda (coordenadora) Edson Lma (capa) Ernaldo Slva de Sousa (molo)

3 Paulo Roberto Mederos de Azevedo Introdução à Estatístca Introdução à Estatístca 3

4 Coordenadora de Processos Técncos Catalogação da Publcação na Fonte.UFRN / Bbloteca Central Zla Mamede Azevedo, Paulo Roberto Mederos de. Introdução à estatístca [recurso eletrônco] / Paulo Roberto Mederos de Azevedo ed. - Natal, RN : EDUFRN, 016.,8 Mb ; PDF ISBN Modo de acesso: 1. Probabldade.. Análse de regressão. 3. Estatístca matemátca. II. Título. CDD 519. RN/UF/BCZM 016/30 CDU 519. Todos os dretos desta edção reservados à EDUFRN Edtora da UFRN Av. Senador Salgado Flho, 3000 Campus Unverstáro Lagoa Nova Natal/RN, Brasl e-mal: contato@edtora.ufrn.br Telefone:

5 Sumáro Prefáco, 9 Capítulo 1 Introdução à probabldade, Alguns resultados báscos de probabldade, Probabldade condconal, Eventos ndependentes, Teorema da probabldade total, Teorema de Bayes, 30 Capítulo Varáves aleatóras, 37.1 Varável aleatóra dscreta, 39. Varável aleatóra contínua, 40.3 Dstrbução conjunta de uma varável aleatóra dscreta bdmensonal, 46.4 Varáves aleatóras dscretas ndependentes, 51.5 Valor esperado de uma varável aleatóra dscreta, 56.6 Varânca de uma varável aleatóra, 61.7 Coefcente de correlação, 66.8 Função de dstrbução acumulada, 68 Capítulo 3 Algumas dstrbuções mportantes, Dstrbuções dscretas, A dstrbução de Bernoull, A dstrbução Bnomal, A dstrbução Hpergeométrca, A dstrbução de Posson, A dstrbução de Posson e a dstrbução Bnomal, 90 Introdução à Estatístca 5

6 3. Dstrbuções contínuas, A dstrbução Unforme, A dstrbução Exponencal, A dstrbução Normal, A dstrbução Qu-quadrado, A dstrbução t de Student, A dstrbução F, 104 Capítulo 4 Introdução à nteferênca estatístca, População e amostra, Amostra aleatóra, Estatístcas e parâmetros, Dstrbuções amostras, Dstrbução amostral da méda, Dstrbução amostral da proporção, 117 Capítulo 5 Estmação, Estmação por ponto, Estmação por ntervalo, 1 Capítulo 6 Dstrbução de frequêcas, Introdução, Número de classes, Representação gráfca, Introdução à Estatístca

7 Capítulo 7 Meddas de tendênca central e separatrzes, Méda artmétca, Medana, Separatrzes, 159 Capítulo 8 Meddas de varabldade, Prncpas meddas de varabldade absoluta, Meddas de varabldade relatva, Esquema dos cnco números e Box-plot, 163 Capítulo 9 Testes de hpóteses: prmeras deas, Hpótese estatístca, Erros do tpo I e do tpo II, Determnação da regão de rejeção, Passos para a construção de um teste de hpóteses, 168 Capítulo 10 Regressão lnear smples, Relação entre varáves, Modelo de regressão lnear smples, Método de mínmos quadrados, Estmadores de mínmos quadrados, Resíduos, Algumas propredades da regressão lnear, ajustada pelo método de mínmos quadrados, 187 Introdução à Estatístca 7

8 10.7 Inferêncas sobre 1, Estmador da varânca de b 1, Intervalo de confança para 1, Teste sobre 1, Inferêncas sobre 0, Intervalo de confança para 0, Predções, Intervalo de confança para E(Y h ), Intervalo de predção para uma nova observação, Partção da soma de quadrados total, Graus de lberdade, Quadrado médo, Tabela de análse de varânca, O coefcente de determnação, Análse de adequação do modelo, 07 REFERÊNCIAS, 9 APÊNDICE, 30 8 Introdução à Estatístca

9 Prefáco Estas notas de aula já tnham sdo publcadas anterormente, por meo da coleção SALA DE AULA, da Cooperatva Cultural UFRN. A dea ncal surgu com a reformulação do programa da dscplna Elementos de Matemátca e Estatístca, que era oferecda para o curso de Pscologa. Com a mudança, evdencou-se a necessdade de um texto para o novo programa, resultando então na elaboração destas notas. O que agora realzamos, entretanto, refere-se à nclusão de alguns tópcos relaconados às varáves aleatóras contínuas e de algumas das suas prncpas dstrbuções, bem como a nserção de um capítulo de regressão lnear smples. Este últmo é resultado de um resumo do prmero capítulo de outras notas de aula, cujo título é Modelos de Regressão Lnear, que elaboramos para a dscplna Análse de Regressão, do Departamento de Estatístca. Além desses acréscmos, também corrgmos erros. Neste ponto, aprovetamos para fazer um agradecmento especal aos colegas de departamento Done Mara Valença, Francné dos Santos Pessoa e Francsco Venânco Moura, pela realzação da revsão ortográfca e por outras relevantes Introdução à Estatístca 9

10 sugestões, que, com certeza, contrbuíram para um sgnfcatvo enrquecmento deste trabalho. Os assuntos de varáves contínuas aqu ncluídos fcaram lmtados a algumas defnções e a certas observações, buscando realzar um paralelo entre os casos contínuos e dscretos, tendo em vsta que prorzamos as dstrbuções dscretas para a formulação dos concetos mas báscos de probabldade. Assm, contnuamos com a nossa compreensão ncal, que é a de mnstrar dscplnas para outros cursos da unversdade, passando aqueles conhecmentos mas fundamentas de estatístca de uma manera bem smples, porém com a certeza de estar contrbundo para o aprendzado de outros resultados, que muto comumente são utlzados em aplcações dversas por alunos de todas as áreas do conhecmento. Dessa forma, entendemos que este materal pode se adequar a váras dscplnas que são oferecdas pelo Departamento de Estatístca, mantendo, no entanto, as característcas de notas de aula. Natal, julho de 015. Paulo Roberto Mederos de Azevedo 10 Introdução à Estatístca

11 Capítulo 1 Introdução à probabldade 1.1 Alguns resultados báscos de probabldade Ao se estudar um fenômeno através de expermentação, o que normalmente se faz é construr um modelo matemátco, determnístco ou probablístco, que srva para descrever o respectvo fenômeno, sendo que: a) Em um expermento determnístco, conhecdas todas as amarrações, o resultado fnal é garantdo pelas condções sob as quas ele é executado, podendo ser descrto por uma le matemátca. Como, por exemplo, o modelo que serve para descrever a ntensdade de uma força F sobre um corpo com certa massa m, que se encontra em uma superfíce totalmente lsa (sem atrto) e com uma aceleração a, é dado por F m a. Assm, podemos ver que F é determnada pelos valores de m e de a. b) Em um expermento não determnístco (ou probablístco), conhecdas também todas as amarrações, temos como prognostcar o que poderá ocorrer, mas jamas garantr o que realmente rá acontecer; ou seja, podemos Introdução à Estatístca 11

12 somente determnar o comportamento probablístco do resultado observável. Exemplos de expermentos não determnístcos 1. Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cma.. Em uma classe de 30 alunos, verfcar quantos têm QI acma de 100. Para determnar o comportamento probablístco de um expermento não determnístco precsamos, em prmero lugar, estabelecer seu espaço amostral S, que por defnção é o conjunto de todos os resultados possíves do expermento. Exemplos 1. Do expermento de jogar um dado e observar o número mostrado na face de cma, temos: S={1,,3,4,5,6}.. Com relação ao expermento de verfcar, em uma classe de 30 alunos, quantos têm QI acma de 100, teremos: S={0,1,,...,30}. 1 Introdução à Estatístca

13 Eventos Defnção: evento é um subconjunto do espaço amostral. Referndo-nos outra vez ao expermento de verfcar, em uma classe de 30 alunos, quantos têm QI acma de 100, consderemos, por exemplo, os eventos: Ou seja: A: pelo menos 0 alunos têm QI acma de 100. B: no máxmo 07 alunos têm QI acma de 100. A={0,1,,...,30} e B={0,1,,...,7}. Observação: consderando-se que A e B são dos eventos, então: 1. A B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem;. A B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem; 3. A será o evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer (dzemos que A é o complementar de A). Introdução à Estatístca 13

14 Eventos mutuamente excludentes Defnção: dos eventos A e B são denomnados mutuamente excludentes se eles não puderem ocorrer juntos, ou seja, se a nterseção entre eles for o vazo ( A B ). Temos, do últmo exemplo, que os eventos A={0,1,,...,30} e B={0,1,,...,7} são mutuamente excludentes, pos A B Ø. Defnção de probabldade Seja S um espaço amostral assocado a um expermento. Para cada evento A, assoca-se a um número real representado por P(A), denomnado de probabldade de A, que satsfaz às seguntes propredades: 1) 0 P(A) 1. ) P(S)=1. 3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes ( A B Ø), então: P( A B )=P(A) + P(B). 14 Introdução à Estatístca

15 4) Se A 1, A,..., A n forem eventos dos a dos mutuamente excludentes, então: n n P( A ) P(A ). 1 1 Prncpas consequêncas das propredades apresentadas: a) P( 0 )=0 e P( A )=1-P(A), sendo 0 o vazo e A o complementar de A. b) Se A e B são dos eventos quasquer, então: P A B PA PB PA B. (1.1) c) Se A, B e C são eventos quasquer, então: ( ) P A B C P A P B P C P A B P( AC) P( B C) P( A B C). d) Se A B, então P( A) P( B). Introdução à Estatístca 15

16 Probabldades nos espaços amostras fntos Consderemos um espaço amostral S s, s,..., s. A cada evento smples probabldade de s assoca-se P s 1 n, denomnada de s. Assm, a probabldade de um evento A qualquer é dada pela soma das probabldades dos város eventos smples que consttuem A, ou seja, P A P s, sendo a soma estendda a todos os s A. Exemplo 1.1 Seja S={a, b, c, d, e, f}, com P(a)=1/16, P(b)= 1/16, P(c)=1/8, P(d)=3/16, P(e)=1/4 e P(f)=5/16. Consderando, por exemplo, os eventos: A={a, c, e}, B= {c, d, e, f} e C={b, c, f}, teremos: P(A)=1/16 + 1/8 +1/4 =7/16, P(B)=1/8 + 3/16 +1/4 + 5/16=14/16 e, de manera análoga, encontramos P(C)=8/16. Espaços amostras fntos equprováves S s s,..., Consderemos novamente um espaço amostral fnto 1, elementos, 1 s n k, e seja A um evento consttuído de K n. Se todos os elementos de S forem 16 Introdução à Estatístca

17 gualmente prováves, então P(A)=K/n, ou seja, nesse caso dzemos que a probabldade de A é: P(A)= nº de casos favoráves a A / nº total de casos. Observação: escolher ao acaso (ou aleatoramente) um objeto dentre n sgnfca dzer que o espaço amostral é equprovável e, portanto, quer dzer que cada objeto tem a mesma probabldade de ser escolhdo, a saber, 1/n. Exemplo 1. Numa classe há cnco prmeranstas, quatro segundanstas, oto terceranstas e três concluntes. Se um estudante é escolhdo ao acaso para representar a classe, qual será a probabldade desse ser terceransta ou do últmo ano? Defnndo os eventos: T: o aluno é terceransta e C: o aluno é conclunte, teremos: P (do aluno ser terceransta ou do últmo ano)= = P(T C) P(T) P(C) Introdução à Estatístca 17

18 Exemplo 1.3 Suponha um grupo de 100 pessoas, no qual algumas têm pscose (P), enquanto outras têm neurose (N), sendo algumas dosas (I), enquanto outras são adolescentes (A). A tabela segunte dá a classfcação das referdas pessoas. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse grupo, qual será a probabldade dessa ser dosa ou ter alguma neurose? P N Total A I Total Temos: P(da pessoa escolhda ser dosa ou ter alguma neurose)= = P(IN) P(I) P(N) P(IN) Introdução à Estatístca

19 Problemas 1. Um cartão é retrado ao acaso dentre 50 cartões numerados de 1 a 50. Encontre a probabldade de o número no cartão escolhdo ser dvsível por 5.. Das 10 alunas de uma classe, duas são superdotadas e uma tem QI muto abaxo da méda. Se uma delas é escolhda ao acaso, qual será a probabldade dessa ser superdotada ou ter QI muto abaxo da méda? 3. Supor uma classe onde três alunos são consderados com capacdade de lderança, 16 não têm essa capacdade e dos são não classfcáves. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual será a probabldade deste ter capacdade de lderança ou ser não classfcável. 4. O segunte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maores de 1 anos, 4 homens com menos de 1 anos, 6 mulheres maores de 1 anos e 3 mulheres menores de 1 anos. Uma pessoa é escolhda ao acaso. Calcular a probabldade da pessoa escolhda ser mulher ou ter menos de 1 anos. Introdução à Estatístca 19

20 5. Consdere o lançamento de dos dados. Sejam os eventos A: a soma dos números obtdos é gual a 9 e B: o número no prmero dado é maor ou gual a 4. a) Encontre os elementos de A e de B; b) Obtenha A B, A B e B ; c) Determne as probabldades dos eventos do tem b. 6. Três cavalos A, B, C estão numa corrda. Sabe-se que A é duas vezes mas provável de ganhar que B, e este é duas vezes mas que C. Determnar as probabldades de ganhar dos cavalos A, B e C. 7. Em uma cdade onde se publcam três jornas A, B e C constatou-se que dentre 1000 famílas assnam: A-470; B- 40; C-315; A e B-110; A e C-0; B e C-140 e 75 assnam os três. Escolhendo-se ao acaso uma famíla, qual a probabldade de que ela: a) Não assne nenhum dos três jornas; b) Assne apenas um dos três jornas; c) Assne pelo menos dos jornas. 0 Introdução à Estatístca

21 8. Verfcar as propredades a, b, c e d, que se localza no tópco Defnção de propabldade. 1. Probabldade condconal Consderando o exemplo 1.3, suponhamos que se verfcou que a pessoa escolhda é dosa. Neste caso, qual será a probabldade dessa pessoa ter pscose? Como temos agora a nformação de que a pessoa escolhda é dosa, então nosso conjunto de resultados possíves passa a ser o conjunto das pessoas dosas. Assm: P(da pessoa ter pscose, dada a nformação de que é dosa) nº de pessoas com pscose, dentre as dosas nº total de pessoas dosas De manera geral, para dos eventos quasquer A e B, sendo P(B)>0, defnmos a probabldade condconal de A, dado que ocorreu o evento B, denotada por P( A B ), como sendo: P( A B) P( A B). (1.) PB ( ) Introdução à Estatístca 1

22 Dessa forma, o exemplo anteror também poderá ser resolvdo da segunte manera: P(da pessoa ter pscose, dada P(da pessoa ter pscose e ser dosa) P(da pessoa ser dosa) Exemplo 1.4 a nformação de que é dosa) Em certa cdade, 40% da população têm cabelos castanhos, 5% olhos castanhos e 15% têm cabelos e olhos castanhos. Se uma pessoa da cdade é seleconada aleatoramente e verfca-se que a mesma tem cabelos castanhos, qual a probabldade de ter também olhos castanhos? Defnndo os eventos: O: a pessoa tem olhos castanhos e C: a pessoa tem cabelos castanhos, teremos: P(O C) 0,15 3 P(O C). P(C) 0, 40 8 Introdução à Estatístca

23 Supondo que a pessoa seleconada tvesse olhos castanhos, qual sera a probabldade desta ter também cabelos castanhos? Neste caso teremos: P(O C) 0, 15 3 P(C O). P(O) 0, 5 5 Observação: no caso de probabldade condconada, também se verfca: 1) 0 P( A B) 1. ) P( S B) 1. 3) 1 1 P( A UA B) P( A B) P( A B), se A 1 A = Ø. 1.3 Eventos ndependentes Exemplo 1.5 Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Retrando-se duas bolas com reposção, ou seja, a prmera bola é reposta na urna antes da extração da segunda, tem-se extrações ndependentes, pos o resultado de uma extração não tem nfluênca no resultado da outra. Assm, por exemplo: Introdução à Estatístca 3

24 a a P(sar bola branca na extração sau bola branca na 1 ) 5 =P(sar bola branca na a extração). De forma geral, dz-se que dos eventos, A e B, são ndependentes se P( A B) P( A) lado, da relação (1.), obtemos: e P( B A) P( B). Por outro P( A B) P( A B) P( B). (1.3) e de manera análoga, de P( B A) P( A B), tramos: P( A) P( A B) P( B A) P( A) (1.4) Portanto, se dos eventos A e B são ndependentes, temse por (1.3) ou (1.4) que P(A B) P(A) P(B), ou seja: Defnção: dos eventos A e B são ndependentes se, e somente se, P(A B) P(A)P(B). Em outras palavras, a defnção anteror nos dá uma forma alternatva de expressar quando dos eventos são ndependentes. 4 Introdução à Estatístca

25 Exemplo 1.6 Lança-se uma moeda 3 vezes. Sejam os eventos A: ocorrem três caras ou três coroas; B: ocorrem ao menos duas caras e C: ocorrem no máxmo duas caras. Dos pares (A,B), (A,C) e (B,C) quas são ndependentes? Consderando que "c" representa cara e " c" coroa, temos que o espaço amostral para esse expermento é S {ccc, ccc,ccc, ccc, ccc, ccc, ccc, ccc}, e assm obtemos: A {ccc, ccc}, B {ccc, ccc, C {ccc, ccc, ccc, ccc}, ccc, ccc, ccc, ccc, ccc}, A B {ccc}, A C {ccc} e B C {ccc, ccc, ccc} Logo: P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C) e P(B C). 8 Portanto, teremos: P(A).P(B) P(A B), ou seja, podemos conclur 8 que A e B são ndependentes. Temos também: P ( A). P( C) Introdução à Estatístca 5

26 P( A C). Assm, concluímos que A e C não são ndependentes. Procedendo de manera equvalente, concluímos que B e C não são ndependentes. Exemplo 1.7 Suponhamos que em certa comundade 5% das pessoas têm algum tpo de neurose e que 35% de sua população sejam de pessoas de cor branca. Qual será a probabldade de uma pessoa escolhda ao acaso ter alguma neurose e ser de cor branca? Defnndo os eventos: N: a pessoa tem alguma neurose e B: a pessoa é de cor branca, teremos: P(da pessoa escolhda ter alguma neurose e ser de cor branca) P(N B) (Por ndependênca) P(N).P(B)= 0,05 0,35 0,0175. Consderando anda o exemplo apresentado, qual sera a probabldade da pessoa escolhda ter alguma neurose ou ser de cor branca? Neste caso teremos: P(da pessoa ter alguma neurose ou ser de cor branca) P(N B) P(N) P(B)-P(N B) 0,05 0,35-0,0175 0,385 6 Introdução à Estatístca

27 Exemplo 1.8 A probabldade de fechamento de cada relé do crcuto apresentado na fgura segunte é p. Se todos os relés funconarem ndependentemente, qual será a probabldade de que haja corrente entre os termnas L e R? L R Defnndo os eventos: r : O -ésmo relé está fechado, =1,, 3, 4, teremos: P(haver corrente entre L e R)=P[(r 1 r )U(r 3 r 4 )]= = P(r 1 r ) + P(r 3 r 4 ) - P[(r 1 r ) (r 3 r 4 )]= (Por ndependênca) = P(r 1 ).P(r )+P(r 3 ).P(r 4 )- P(r 1 ).P(r ).P(r 3 ).P(r 4 ) = p + p - p 4 = p p 4. Introdução à Estatístca 7

28 Observação: Dzemos que n eventos A 1, A,..., A n são mutuamente ndependentes se, e somente se: P(A 1 A... A k )=P(A 1 )P(A )...P(A k ) para k=, 3,..., n. Partção de espaço amostral Defnção: os eventos B 1, B,..., B k formam uma partção de um espaço amostral S, se: a) B B j = Ø, j; k b) B S ; 1 c) P(B )>0,. 1.4 Teorema da probabldade total Se B 1, B,..., B k formam uma partção de um espaço amostral S e A é um evento qualquer de S, então: P A P A B1 A B A B k ( ) [( ) ( )... ( )] k k. 1 1 P( A B ) P(A B )P(B ) 8 Introdução à Estatístca

29 Exemplo 1.9 Uma determnada peça é manufaturada por três fábrcas: 1, e 3. Sabe-se que 1 produz o dobro de peças de, e e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que % das peças produzdas por 1 e por são defetuosas, enquanto que 4% das produzdas por 3 são defetuosas. Se todas as peças produzdas forem colocadas em um depósto e depos uma peça for extraída ao acaso, qual será a probabldade de que essa peça seja defetuosa? Defnndo os eventos: D: Peça defetuosa, F : Peça produzda pela -ésma fábrca, =1,, 3. Podemos escrever: D=(D F 1 ) U (D F ) U (D F 3 ). Assm: F. 1 1 P(D)= 3 3 P(D F) P(D )P(F) Introdução à Estatístca 9

30 Dos dados do problema, temos: P(F 1 )=P(F ) e P(F )=P(F 3 ). Então, pela equação: P(F 1 ) + P(F ) + P(F 3 )=1. Obteremos: P(F 1 )=1/ e P(F )=P(F 3 )=1/4. Dessa forma: P( D) P( D F ) P( F ) P( D F ) P( F ) P( D F ) P( F ) =(0,0)(1/)+(0,0)(1/4)+(0,04)(1/4)=0, Teorema de Bayes Seja B 1, B,..., B k uma partção do espaço amostral S e seja A um evento qualquer de S. De acordo com a defnção de probabldade condconada, pode-se escrever: P( B A) P( A B) P( B), = 1,,..., k. P( A B ) P( B ) k j1 j j 30 Introdução à Estatístca

31 Exemplo 1.10 Consderando o Exemplo 1.9, suponha que uma peça seja retrada do depósto e se verfque que é defetuosa. Qual a probabldade de que tenha sdo produzda na fábrca 1? Neste caso, pede-se: P F D P( D F ) P( F ) P( D F ) P( F ) (0,0)(1/ ) P( D F ) P( F ) PD ( ) 0, ( 1 ) 0,4 3 j1 j j Problemas 9. Suponha que em certa unversdade 10% dos alunos sejam superdotados e 57% sejam do sexo femnno. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabldade deste ser superdotado ou ser do sexo masculno? 10. A classe "B" de uma escola de º grau contém 0 alunos, dos quas 8 não gostam de matemátca, enquanto que a classe "C" contém 18 alunos, dos quas 6 não gostam de matemátca. Se um aluno é escolhdo aleatoramente de cada classe, qual a probabldade que ambos não gostem de matemátca? Introdução à Estatístca 31

32 11. Sejam A e B eventos com P(A)=3/8, P(B)=3/10 e P(A B)=9/0. Encontre P(AB) e P(BA). 1. A probabldade de que um aluno "A" resolva um certo problema é de 1/3, e a probabldade de que um aluno B resolva o mesmo é de 3/5. Se os dos tentam resolvê-lo soladamente, qual a probabldade de: a) Ambos resolverem? b) Ao menos um resolver? 13. Sejam A e B dos eventos assocados a um expermento. Suponha que: P(A)=0,4, enquanto P(A B)=0,7. Seja P(B)=x. a) Para que valor de x os eventos A e B serão mutuamente excludentes? b) Para que valor de x os eventos A e B serão ndependentes? 14. Se dos eventos A e B são mutuamente excludentes com P(A)=P(B)=1/3, determne P(A B) e P( A B ). 15. As probabldades que dos eventos ndependentes, A e B, ocorram são /3 e 3/5, respectvamente. Qual a probabldade: a) Que nenhum desses eventos ocorra? b) Que pelo menos um desses eventos ocorra? 3 Introdução à Estatístca

33 16. Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 vermelhas e azus. Outra urna contém 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 3 azus. Extra-se uma bola de cada urna. Qual a probabldade de que sejam da mesma cor? 17. A probabldade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é de 3/5. Há 10 chaves em um chavero. Qual a probabldade de que um ndvíduo entre na casa, podendo utlzar, se necessáro, apenas uma das chaves, tomada ao acaso do chavero? 18. Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 azus. Uma outra contém 4 brancas e 5 azus. Passa-se uma bola da prmera para a segunda urna e em seguda extra-se uma bola da segunda urna. Qual a probabldade de ser branca? 19. Tem-se 3 engradados de motores elétrcos. No engradado I tem-se 5 motores de 1 Hp, 3 de (1/) Hp e de 1/3 de Hp. No engradado II tem-se motores de (1/) Hp, de 1 Hp e 6 de (1/3) de Hp. No engradado III tem-se 4 motores de 1/3 de Hp, de (1/) Hp, de 1/6 de Hp e 4 de 1 Hp. Retrando-se um motor ao acaso de um engradado, também sorteado aleatoramente, qual a probabldade de ser de 1/3 de Hp? 0. Duas lâmpadas defetuosas são msturadas com lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas, uma a uma, até que Introdução à Estatístca 33

34 defetuosas sejam encontradas. Qual a probabldade de que a últma defetuosa seja encontrada no tercero teste? 1. Três fábrcas fornecem equpamentos de precsão para o laboratóro de químca de uma unversdade. Apesar de serem aparelhos de precsão exste uma pequena chance de subestmação ou superestmação das meddas efetuadas. As tabelas a segur apresentam o comportamento do equpamento produzdo em cada fábrca: Fábrca I Subestma Exata Superestma Probabldade 0,01 0,98 0,01 Fábrca II Subestma Exata Superestma Probabldade 0,005 0,98 0,015 Fábrca III Subestma Exata Superestma Probabldade 0,00 0,99 0,01 As fábrcas I, II e III fornecem, respectvamente, 0%, 30% e 50% dos aparelhos utlzados. Escolhe-se, ao acaso, um desses aparelhos e pergunta-se: qual a probabldade de: a) Haver superestmação de meddas? 34 Introdução à Estatístca

35 b) Não haver subestmação das meddas efetuadas? c) Dando meddas exatas, ter sdo fabrcado em III? d) Ter sdo produzdo por I, dado que não subestma as meddas?. Um médco desconfa de que um pacente tenha tumor no abdômen, pos sto ocorreu em 70% dos casos smlares que tratou. Se o pacente de fato tver o tumor, o exame ultrassom o detectará com probabldade 0,9. Entretanto, se ele não tver, o exame pode, erroneamente, ndcar que tem com probabldade 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabldade do pacente tê-lo de fato? 3. Numa certa regão, a probabldade de chuva em um da qualquer de prmavera é de 0,1. Um meteorologsta da TV acerta suas prevsões em 80% dos das em que chove e em 90% dos das em que não chove. a) Qual é a probabldade do meteorologsta acertar sua prevsão? b) Se houve acerto na prevsão feta, qual a probabldade de ter sdo um da de chuva? Introdução à Estatístca 35

36 4. Das pacentes de uma clínca de gnecologa com dade acma de 40 anos, 60% são ou foram casadas, e 40% são solteras. Sendo soltera, a probabldade de ter tdo um dstúrbo hormonal no últmo ano é de 10%, enquanto que para as demas essa probabldade aumenta para 30%. Pergunta-se: a) Qual a probabldade de uma pacente escolhda ao acaso ter tdo um dstúrbo hormonal? b) Se a pacente sorteada tver dstúrbo hormonal, qual a probabldade de ser soltera? c) Se escolhermos duas pacentes ao acaso e com reposção, qual é a probabldade de pelo menos uma ter o dstúrbo? 36 Introdução à Estatístca

37 Capítulo Varáves aleatóras Quando, na prátca, desejamos nvestgar algum fenômeno probablístco estamos, na realdade, nteressados em estudar a dstrbução de uma ou mas varáves. Assm, por exemplo, podemos estar nteressados em estudar as dstrbuções dos QIs, do grau de nstrução, da altura etc., das pessoas de uma certa população, que são dstrbuções de varáves aleatóras. Antes, porém, de uma defnção formal de varável aleatóra, vejamos o segunte exemplo: Consderemos o lançamento de uma moeda duas vezes. Defnamos a varável aleatóra X = número de caras obtdas nos dos lançamentos. Neste caso, obtemos a segunte tabela: Resultados possíves c c c c c c c c Probabldades 1/4 1/4 1/4 1/4 Valor de X Introdução à Estatístca 37

38 Temos que X=, com probabldade 1/4, pos X= se, e somente se, ocorre o resultado cc; X=1, com probabldade 1/4+1/4=1/, pos X=1 se, e somente se, ocorrem os resultados c c ou cc, que são mutuamente excludentes, e, por últmo, temos que X=0, com probabldade 1/4, pos X=0 se, e somente se, ocorre o resultado c c. Dstrbundo-se em uma tabela os possíves valores de X, com suas respectvas probabldades, obtém-se: x 0 1 P(X=x) 1/4 1/ 1/4 onde a letra mnúscula x representa os valores da varável aleatóra X e P(X=x) as respectvas probabldades. De acordo com esse exemplo, temos: Defnção: seja S um espaço amostral assocado a um determnado expermento. Uma função que assoce a cada elemento aleatóra (v.a.). s S um número real é denomnada de varável 38 Introdução à Estatístca

39 .1 Varável aleatóra dscreta Defnção: se o conjunto dos possíves valores de uma varável aleatóra X for enumerável, dzemos que X é uma varável aleatóra dscreta, e a tabela que assoca a cada valor de X sua respectva probabldade é denomnada de dstrbução de probabldade de X. Do exemplo dos dos lançamentos da moeda temos que X é dscreta e sua dstrbução de probabldade é dada pela tabela anteror. Observação: para cada resultado possível x, o número P(x )=P(X=x ) é denomnado de probabldade de x, satsfazendo: a) P(x ) 0, ; b) Px ( ) 1. 1 sendo P denomnada de função de probabldade de X. Introdução à Estatístca 39

40 . Varável aleatóra contínua Quando o conjunto dos possíves valores de uma varável aleatóra X é não enumerável, ou seja, um ntervalo ou uma coleção de ntervalos, dzemos que X é uma v.a. contínua. Como exemplo, suponhamos que numa pesqusa na unversdade estejamos nteressados na v.a. Y = QI dos alunos. Neste caso podemos afrmar, a prncípo, que o conjunto de resultados possíves de Y é o ntervalo (0, 00), ou seja, temos que Y é uma v.a. contínua. De manera formal, defnmos uma varável aleatóra contínua, como: Defnção: dzemos que uma v.a. X é contínua quando exste uma função não negatva f, chamada de função densdade de probabldade de X, tal que: a) f(x) 0, xr; b) Observações: f(x) dx Nesse caso, a probabldade de um evento [a X b] é gual à área sob o gráfco de f entre x=a e x=b, ou seja: P(X[a,b])= b f(x) dx. a 40 Introdução à Estatístca

41 . No caso contínuo, temos que P(X=a)=0, logo: P(a X b)= P(a X < b)=p(a< X b)=p(a< X <b). 3. Vejamos uma dea do porquê da probabldade de um evento [a X b], no caso contínuo, ser dada pela área sob o gráfco da função densdade de probabldade entre x=a e x=b, conforme a fgura segunte: Para sso, suponhamos um expermento que consste em escolher um ponto ao acaso no segmento de reta [;] e vejamos como fca a probabldade do ponto escolhdo estar num ntervalo [a,b][;]. Temos aqu que a escolha é feta ao acaso, logo o espaço amostral S=[;] é equprovável e, portanto, ntervalos de mesmo comprmento terão a mesma probabldade. Defnndo, então, a v.a. X como a coordenada do ponto escolhdo, teremos: Introdução à Estatístca 41

42 comprmento de[a, b] b a P(X [a,b]). comprmento de[, ] Essa probabldade pode também ser dada através da função densdade de probabldade, que, neste caso, é defnda smplesmente por: 1, se x [α, β]; f(x) β- 0, se x [α, β]. cujo gráfco é: Assm, conforme vmos antes, a probabldade do evento [a X b] é dada pela área lustrada a segur: 4 Introdução à Estatístca

43 Ou seja: P(a X b) = (b-a) 1 comprmento de [a,b ].. comprmento de [, ] Para fxar a dea, consderemos o expermento de escolher um ponto ao acaso no segmento de reta [0,]. Qual será a probabldade do ponto escolhdo estar entre 1 e 3? Defnndo X como a coordenada do ponto escolhdo, teremos: 1, se x [0,]; f(x) 0, se x [0,]. Introdução à Estatístca 43

44 Assm: P(X [1, ] ) ( 1).. 4 Exemplo.1 Suponhamos que uma v.a. X seja contínua, com função densdade de probabldade (fdp) dada por: x, se 0 x 1; f (x) 0, caso contráro. Calcular P(X 1/). Temos: P(X 1/)= 1 1 x dx x Introdução à Estatístca

45 Exemplo. Seja X a duração da vda (em horas) de um certo tpo de lâmpada, admtndo que X seja contínua com fdp: k, se 1500 x 500; 3 f(x)= x 0, caso contráro. Determnar a constante K. Nesse exemplo: k x 3 k dx 1 x K Quando defnmos varável aleatóra, atrbuímos a um ponto amostral um únco valor real. Na maora das vezes, no entanto, há nteresse em atrbur, para um mesmo ponto amostral, duas ou mas característcas numércas. Assm, por Introdução à Estatístca 45

46 exemplo, podemos estar nteressados em nvestgar, ao mesmo tempo, a estatura (H) e o peso (P) de uma pessoa de certa população. Neste caso, temos o par (H,P), que é consderado uma varável aleatóra bdmensonal. De manera análoga ao que falamos sobre uma v.a. undmensonal, uma v.a. bdmensonal (X,Y) poderá também ser dscreta ou contínua, valendo as mesmas consderações fetas anterormente..3 Dstrbução conjunta de uma varável aleatóra dscreta bdmensonal Se (X,Y) é uma v.a. dscreta bdmensonal, então, a cada resultado possível (x,y), assoca-se um valor P(x,y)=P(X=x, Y=y), denomnado função de probabldade conjunta de X e Y, e o conjunto de todos os pares [(x,y); P(x,y)] chamamos de dstrbução de probabldade conjunta de X e Y, onde, como no caso da varável undmensonal, costuma-se também representar a dstrbução conjunta por meo de uma tabela. 46 Introdução à Estatístca

47 Para fxar a dea da dstrbução conjunta de duas v.a. s dscretas, vejamos: Exemplo.3 Suponha que uma urna contém três bolas numeradas 1,, 3. Retramos duas delas, ao acaso e com reposção. Seja X o número da prmera e Y o número da segunda bola retrada, a dstrbução conjunta de X e Y é dada por: Pares de resultados possíves (x,y) (1,1) (1,) (1,3) (,1) (,) (,3) (3,1) (3,) (3,3) Probabldades P(X=x, Y=y) 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Introdução à Estatístca 47

48 Temos, no entanto, uma manera mas usual de representar a dstrbução conjunta de X e Y, que é pela tabela de dupla entrada: Y 1 3 P(X=x) X 1 3 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 3/9 3/9 3/9 P(Y=y) 3/9 3/9 3/9 1 De forma que, através dessa, obtemos também as dstrbuções de X e de Y, chamadas de dstrbuções margnas, sendo que a de X é dada pela prmera e últma coluna e a de Y pela prmera e últma lnha da referda tabela. Exemplo.4 Com relação ao exemplo.3, consderemos agora que as retradas sejam fetas sem reposção, ou seja, os pares de resultados possíves (x,y) serão (1,), (1,3), (,1), (,3), (3,1) e (3,). Dessa forma, obteremos: 48 Introdução à Estatístca

49 y 1 3 P(X=x) x /6 1/6 1/6 0 1/6 1/6 1/6 0 1/3 1/3 1/3 P(Y=y) 1/3 1/3 1/3 1 Nesse caso: x 1 3 y 1 3 P(X=x) 1/3 1/3 1/3 P(Y=y) 1/3 1/3 1/3 são as dstrbuções margnas de X e de Y, respectvamente. Observação: dada a dstrbução conjunta de duas varáves aleatóras X e Y, podemos obter as dstrbuções de funções dessas, como por exemplo, de X+Y, X.Y, X/Y etc. Exemplo.5 Consderando o exemplo.4, vejamos como fca a dstrbução da varável aleatóra Z=X.Y. Para sso, precsamos da tabela: Introdução à Estatístca 49

50 (x,y) Z=x. y Probabldades (1,) (1,3) (,1) (,3) (3,1) (3,) /6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 E assm obtemos: z 3 6 P(Z=z) 1/3 1/3 1/3 Observações: 1. Se (X,Y) é uma v.a. contínua bdmensonal, tomando todos os valores em alguma regão A do plano, então assocamos a essa varável aleatóra uma função densdade de probabldade conjunta f, que satsfaz: a) f(x,y) 0, (x,y)a; b) f(x, y) dxdy 1 A. 50 Introdução à Estatístca

51 . Se f é a fdp conjunta da varável aleatóra contínua bdmensonal (X,Y), então as funções densdade de probabldade margnal de X e de Y, respectvamente, são dadas por: g(x) f(x,y) dy e h(y) f(x,y) dx..4 Varáves aleatóras dscretas ndependentes Defnção: seja (X,Y) uma v.a. dscreta bdmensonal, dzemos que X e Y são ndependentes se, e somente se: P(X=x, Y=y)=P(X=x) P(Y=y). (.1) para todo par (x,y). Observações: 1. Basta que (.1) não se verfque para um par qualquer, para que X e Y não sejam ndependentes. Nesses casos, dz- se que X e Y são dependentes. Introdução à Estatístca 51

52 . Temos no caso contínuo uma defnção análoga, ou seja, se (X,Y) é uma v.a. contínua bdmensonal, então dzemos que X e Y são varáves aleatóras ndependentes se, e somente se, f(x,y)=g(x)h(y), para todo (x, y), sendo f a fdp conjunta e g e h as margnas de X e de Y, respectvamente. Exemplo.6 De acordo com a defnção apresentada, podemos verfcar que, no exemplo.3, X e Y são ndependentes, enquanto que no exemplo.4 essas varáves são dependentes. Exemplo.7 Consderemos as varáves aleatóras, defndas da segunte manera: 1, se uma mulher é casada no relgoso, ou no cvl X= 0, em caso contráro. Y= no cvl ou e relgoso. 1, se uma mulher já provoc ou aborto. 0, em c as o c ontráro. 5 Introdução à Estatístca

53 Vemos que a varável aleatóra X trata do tpo de unão martal, enquanto que Y defne se uma mulher já provocou aborto ou não. Suponhamos que em certo país a dstrbução conjunta de X e Y seja dada por: Y 0 1 X 0 1 0,1 0,46 0,01 0,3 Podemos conclur que nesse país a prátca do aborto ndepende do tpo de unão martal? Calculando as dstrbuções margnas de X e de Y, obteremos: x 0 1 P(Y=y) y 0 1 0,1 0,01 0,46 0,3 0,67 0,33 P(X=x) 0, 0,78 1,0 Introdução à Estatístca 53

54 Basta ver que P(X=0).P(Y=0)=0,147 P(X=0;Y=0) para conclurmos que X e Y não são ndependentes, ou seja, podemos conclur que nesse país a prátca do aborto e o tpo de unão martal não são ndependentes, o que sgnfca dzer que exste algum tpo de relação entre essas varáves. Exemplo.8 Uma companha de seguros, que trabalha no ramo de automóves, nvestgou a relação entre o hábto de fumar do motorsta do carro e a frequênca das reclamações relatvas a acdentes com danos materas. Para sso, consderou-se as varáves aleatóras: X = número de acdentes sofrdos pelo motorsta (a companha consderou de um a três acdentes) e: 1, se o motorsta é fumante; Y= 0, em caso contráro. Suponhamos que a companha obteve que a dstrbução conjunta de X e Y é dada por: 54 Introdução à Estatístca

55 x y ,1 0,35 0,14 0,09 0,15 0,06 Nesse caso, podemos afrmar que o número de acdentes sofrdos pelo motorsta ndepende do fato desse ser ou não fumante? Calculando as dstrbuções margnas de X e de Y, obteremos: x 1 3 P(Y=y) y 0 1 0,1 0,09 0,35 0,15 0,14 0,06 0,7 0,3 P(X=x) 0,3 0,5 0, 1,0 Podemos ver que P(X=x; Y=y)=P(X=x).P(Y=Y) para todo par (x,y). Portanto, concluímos que o número de acdentes sofrdos pelo motorsta ndepende do fato desse ser ou não fumante. Introdução à Estatístca 55

56 .5 Valor esperado de uma varável aleatóra dscreta Não basta conhecer a dstrbução de probabldade de uma varável aleatóra, precsamos também de valores que sejam característcos dessa dstrbução, como, por exemplo, um valor que esteja stuado no seu centro. Assm, temos a defnção do valor esperado (ou valor médo) de uma varável aleatóra: Defnção: se X é uma v.a. dscreta, sendo x 1, x,x 3,...,x n seus possíves valores, então o valor esperado (ou esperança matemátca ou valor médo) de X é defndo como: n E(X) 1 x P(X x ). (.) Exemplo.9 Consderando o expermento de lançar uma moeda vezes, sendo X = número de caras, temos: X 0 1 P(X=x) 1/4 1/ 1/4 56 Introdução à Estatístca

57 Portanto: E(X)= 0.( ) 1.( ).( ) Exemplo.10 Uma seguradora paga U$ em caso de acdente de carro, sendo que a taxa cobrada é de U$ Sabe-se que a probabldade de um carro sofrer acdente é de 3%. Quanto a seguradora espera ganhar por carro segurado? Defnndo G: ganho da seguradora, temos que a dstrbução de G é: G P(G=g) 0,03 0,97 Assm: E(G)=-9.000(0,03)+1000(0,97)=100. Ou seja, é esperado que a seguradora ganhe U$ 100 por cada carro segurado. Introdução à Estatístca 57

58 Observações: 1. Se X é uma v.a. contínua com fdp f, então: E(X)= Exemplo.11 x f(x) dx. Consderando X com fdp: x, se 0 x 1; f(x) 0, caso contráro. temos que o valor esperado de X é: E(X)= x x dx x dx x Se X é uma v.a. dscreta e Y uma função de X (Y=H(X)), então: E(Y)= H(x )P(x ). 58 Introdução à Estatístca

59 Exemplo.1 Para X = nº de caras em lançamentos de uma moeda, determnar o valor esperado de Y=X +1. Como sabemos, a dstrbução de X é: X 0 1 P(X=x) 1/4 1/ 1/4 Assm, de acordo com a observação anteror, temos: E(Y)=E(X +1)=(0 +1).1/4+(1 +1).1/+( +1).1/4= =1/4+1+5/4=10/4=5/. 3. Se (X,Y) é uma v.a. dscreta bdmensonal e Z uma função de (X,Y)(Z=H(X,Y)), então: E(Z)= j H(x., y j)p(x, y j) Exemplo.13 Consderando (X,Y) com dstrbução conjunta: Introdução à Estatístca 59

60 y 1 3 x 1 0 1/6 1/6 0 1/6 1/6 3 1/6 1/6 0 Calcular o valor esperado de Z=XY. De acordo com a observação anteror, teremos: E(Z) = E(XY) = (1/6)+1.3(1/6)+.1(1/6) (1/6)+3.1(1/6)+3.(1/6)+3.3.0= =0+/6+3/6+/ /6+1+0 = 11/3. 4. Se X é uma v.a. contínua com fdp f e Y=H(X), então: E(Y)= H(x)f(x)dx. 5. Se (X,Y) é uma v.a. contínua bdmensonal, com fdp conjunta f e Z=H(X,Y), então: - E (Z) H(x,y) f(x,y) dx dy. 60 Introdução à Estatístca

61 Prncpas propredades do valor esperado: 1. O valor esperado de uma constante é a própra constante, ou seja, se C é uma constante, então decorre medatamente de (.) que E(C)=C.. Multplcando-se uma v.a. X por uma constante C, seu valor esperado fca multplcado por C, sto é, E(CX)=CE(X). 3. Se X 1, X,..., X n são varáves aleatóras, então: E( n 1 n X ) E(X ) O valor esperado do produto de duas v.a. s ndependentes X e Y é o produto dos valores esperados, sto é, se X e Y são ndependentes, então E(XY)=E(X)E(Y)..6 Varânca de uma varável aleatóra Da mesma forma que caracterzamos uma varável aleatóra X com relação ao centro de sua dstrbução, Introdução à Estatístca 61

62 precsamos também de um valor que caracterze a dspersão de X em torno de seu valor esperado. Para sso temos a defnção de varânca, que é o valor esperado de [X-E(X)], ou seja: Defnção: seja X uma varável aleatóra. Defnmos a varânca de X, denotada por V(X) ou σ x, da segunte manera: V(X)=E[X-E(X)]. (.3) Observações: 1. A raz quadrada postva de V(X) é chamada de desvo padrão de X e é denotado por x ;. Desenvolvendo (.3), obtemos que V(X) também pode ser dada por: V(X)=E(X )-[E(X)] (.4) Exemplo.14 Com relação ao exemplo.9, temos que E(X)=1, logo: [E(X)] =1 e E(X )=0.(1/4)+1.(1/)+.(1/4)=3/. Portanto, usando (.4), obtemos: V(X)=E(X )-[E(X)] 3 1 = = -1=. 6 Introdução à Estatístca

63 Exemplo.15 Pelo exemplo.11, temos que o valor esperado da v.a. contínua X, com fdp: x, se 0 x 1; f(x) 0, caso contráro. é E(X)=/3. Assm, para o cálculo de V(X), precsamos obter: Portanto: E(X ) x x dx x dx x V(X)=E(X )-(E(X)) =1/-(/3) =1/-(4/9)=1/18. 1 Covarânca entre duas varáves aleatóras Uma medda de relação lnear entre duas v.a. s X e Y é dada pela covarânca entre elas, ou seja: Defnção: se X e Y são duas v.a. s, então a covarânca entre elas é dada pelo valor esperado do produto dos desvos dessas em relação aos seus respectvos valores esperados: Cov(X,Y)=E{[X-E(X)].[Y-E(Y)]} (.5) Introdução à Estatístca 63

64 Pode-se também escrever a covarânca entre X e Y de uma manera mas smples, sto é, desenvolvendo-se o segundo membro de (.5), obtém-se: Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y). (.6) Exemplo.16 Consderando o exemplo.4, temos que: E(X)=E(Y)= ( )+.( )+3.( ) =. Temos também, do exemplo (.13), que E(XY)=. Portanto, para as varáves X e Y do exemplo 3.4, obtemos: 11 Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)= -()() = Prncpas propredades da varânca: 1. A varânca de uma constante é zero, ou seja, se C é uma constante e X=C, então, medatamente, de (.3) ou (.4) temos que V(X)=0. 64 Introdução à Estatístca

65 . Multplcando-se uma v.a. X por uma constante C, sua varânca fca multplcada pelo quadrado da constante, sto é, V(CX)=C.V(X). 3. Somando-se ou subtrando-se uma constante C a uma v.a. X, sua varânca não se altera, ou seja, V(X ± C)= =V(X). 4. Para duas varáves aleatóras X e Y, temos: V(X Y)=V(X)+V(Y) cov(x,y). 5. Se a e b são constantes e X uma varável aleatóra, então: V(aX b)=a.v(x). 6. Se X 1, X,..., X n são varáves aleatóras, então: n n V( X ) V(X ) cov(x, X j). 1 1 j 7. Se X 1, X,..., X n são varáves aleatóras, duas a duas ndependentes, então: V( n 1 n X ) V(X ). 1 Introdução à Estatístca 65

66 .7 Coefcente de correlação Para medr a dependênca lnear entre duas v.a. s X e Y, de forma que não consderemos as undades de medda das mesmas, temos o coefcente de correlação, que é defndo por: X - E(X) ρ(x,y)= E. σ x Y - E(Y) Cov(X,Y) =. σ y σ x.σ y (.7) Pode-se mostrar que o coefcente de correlação toma valores entre 1 e 1 (-1 1), sendo que quanto mas próxmo de 1 ou 1 maor a relação lnear entre as varáves. Um valor de negatvo ndca que, ao crescer os valores de uma varável, a outra tende a decrescer. Por outro lado, um valor postvo de ndca que, ao crescer ou decrescer os valores de uma varável, a outra tende a ter o mesmo comportamento. Observações: 1. Se (X,Y)=0, dzemos que X e Y são não correlaconadas. 66 Introdução à Estatístca

67 . Se X e Y são duas v. a. s ndependentes, então X e Y são não correlaconadas, pos nesse caso Cov(X,Y) = 0 e consequentemente (X,Y) = A recíproca da observação não é verdadera, ou seja, é possível que duas v.a s X e Y sejam não correlaconadas e, no entanto, X e Y não sejam ndependentes. Exemplo.17 Consderando novamente o exemplo.4, obtemos: E(X ) E(Y ) Pelo exemplo.16, temos que Cov(X,Y) = e E(X) = E(Y) =. Assm, 14 V(x) = V(Y) = - 4 = e, portanto: (X,Y) = 0, Exemplo.18 No exemplo.7 concluímos que exste algum tpo de relação entre a prátca do aborto e o tpo de unão martal. Introdução à Estatístca 67

68 Calculemos, então, o coefcente de correlação entre essas varáves. Para sto, obtvemos: E(X) = 0,78; V(X) = 0,17; E(Y) =0,33; V(Y) = 0,1 e E(X.Y) = 0,3. Logo: 0,3-(0,78)(0,33) ρ(x,y)= 0,3. (0,17)(0,1) Vemos, então, que exste uma relação lnear postva entre a prátca do aborto e o tpo de unão martal..8 Função de dstrbução acumulada Defnção: a função de dstrbução acumulada (fd) de uma varável aleatóra X é defnda por: Resultado 1: F(x)=P(X x), x R. a) Se X é dscreta, temos: F(x) = P (X x), x R. x x b) Se X é contínua, então: x F(x) = f(s)ds, x R Introdução à Estatístca

69 Exemplo.19 Se X é uma v.a. dscreta com dstrbução: X 0 1 P(X=x) 1/3 1/6 1/ então a função de dstrbução acumulada de X é: 0, se x 0; 1, se 0 x 1; 3 F( x) 1, se 1 x ; 1, se x. cujo gráfco é dado por: F(x) 0 1 x Introdução à Estatístca 69

70 Exemplo.0 Se X é uma varável aleatóra contínua, com fdp: x, se 0 x 1; f(x) 0, caso contráro. então a função de dstrbução acumulada de X é dada por: 0, se x 0; x ( ) t dt = x, se 0 x 1; 0 F x cujo gráfco é: 1, se x 1. F(x) 1 1 x 70 Introdução à Estatístca

71 Resultado : a) Se F é a função de dstrbução acumulada de uma varável aleatóra contínua com fdp f, então: d f(x) F(x). dx para todo x em que F seja dervável. b) Se F é a função de dstrbução acumulada de uma varável aleatóra dscreta, com possíves valores x 1 <x <..., então: F(x j )-F(x j-1 )=P(X=x j ). Exemplo.1 Supondo-se X uma v.a. contínua com função de dstrbução acumulada: 0, se x 0; Fx ( ) -x 1-e, se x 0. então, pelo resultado, tem a, temos que a função densdade de probabldade (fdp) de X, é: 0, se x 0; f( x) -x e, se x 0. Introdução à Estatístca 71

72 Problemas 1. Lança-se um dado não vcado. Seja X o dobro do número ocorrdo: a) Determne a dstrbução de X; b) Calcule o valor esperado de 3X e de X+5.. Uma v.a. dscreta X tem a dstrbução de probabldade dada por: k P(X=x)=, x Determne K e E(X). dstrbução: para x=1,3,5,7. 3. Suponha que uma v.a. Y tenha a segunte Y 0 1 P(Y=y) 1-q q Obtenha o valor esperado e a varânca de Y. dstrbuções: 4. Sejam X e Y v.a. s ndependentes com as seguntes 7 Introdução à Estatístca

73 X 1 Y P(X=x) 0,6 0,4 P(Y=y) 0, 0,5 0,3 a) Obter a dstrbução conjunta de X e Y; b) Calcular o valor esperado e a varânca de X+Y; c) Obter a dstrbução e a varânca de XY. 5. Numa comundade em que apenas 10 casas trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtdos os seguntes valores para os rendmentos: Casal Rendmento do homem em (U.M.) Rendmento da mulher em (U.M.) Introdução à Estatístca 73

74 Um casal é escolhdo ao acaso entre os dez. Seja X o rendmento do homem e Y o rendmento da mulher: a) Construr a dstrbução conjunta de X e Y; b) Determnar as dstrbuções margnas de X e Y; c) Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y); d) Consderando Z a varável gual à soma dos rendmentos do homem e da mulher, calcule E(Z) e V(Z); e) Calcule o coefcente de correlação entre X e Y. 6. A tabela a segur dá a dstrbução conjunta de X e Y: X 1 3 Y 0 1 0,1 0, 0,0 0,1 0,0 0,1 0,1 0,3 0,1 a) Obter E(X), E(Y), V(X), V(Y) e E(X+Y); b) Verfque se X e Y são ndependentes; c) Determne a dstrbução e o valor esperado de XY; d) Calcule o coefcente de correlação entre X e Y. 74 Introdução à Estatístca

75 7. Consdere a dstrbução conjunta de X e Y, parcalmente conhecda, dada na segunte tabela: X -1 1 P(Y=y) Y -1 1/1 0 1/3 1 1/4 1/4 P(X=x) 1 a) Completar a tabela, supondo X e Y ndependentes; b) Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y); c) Se Z=aX+bY, calcule a e b de modo que E(Z)=10 e V(Z)= Consderando um exame de estatístca, que consste em quatro problemas, defnamos as seguntes varáves aleatóras: X = número de problemas fetos corretamente por um aluno e Y defnda da segunte manera: 1, se um aluno é ntrovertdo; Y= 0, em caso contráro. Introdução à Estatístca 75

76 Suponhamos que a dstrbução conjunta de X e Y seja dada por: Y 0 1 x ,016 0,1 0,8 0,8 0,104 0,004 0,03 0,07 0,07 0,06 a) Ache as dstrbuções margnas de X e de Y; b) Podemos dzer, nesse caso, que exste ndependênca entre o número de questões fetas corretamente e o fato do aluno ser ou não ntrovertdo? c) Qual é, então, o valor do coefcente de correlação entre X e Y? 9. Consderando os alunos de certa unversdade, suponhamos que a tabela a segur seja a dstrbução conjunta das varáves aleatóras: 1, se o aluno é do sexo masculno; X= 0, se o aluno é do sexo femnno. 1, se o aluno senta-se em uma cartera Y= nas flas da frente; 0, se o aluno senta-se nas flas de trás. 76 Introdução à Estatístca

77 Y 0 1 X 0 1 0,4 0,48 0,14 0,14 a) Exste ndependênca entre o sexo do aluno e o fato deste sentar-se ou não nas flas da frente? b) Determne o coefcente de correlação entre X e Y. 10. Suponhamos conhecda e dada pela tabela a segur a dstrbução conjunta das varáves aleatóras X= 1,se um apessoaé ntrovertda Y= 0,emcasocontráro. Y 0 1 X 0 1 0,4 0,1 0,4 0,1 Introdução à Estatístca 77

78 Nesse caso, qual o coefcente de correlação lnear entre a pessoa ser ou não ntrovertda e o fato de se aborrecer ou não frequentemente com as outras? 11. De um lote que contém 5 peças, das quas 5 são defetuosas, são escolhdas 4 ao acaso. Seja X o número de defetuosas encontradas, faça o gráfco da função de dstrbução acumulada de X, quando: a) As peças forem escolhdas com reposção; b) As peças forem escolhdas sem reposção. 1. Seja X uma varável aleatóra contínua, com fdp dada por: ax, 0 x 1 a, 1 x f( x) ax 3 a, x 3 0, para quasquer outros valores. Determnar a constante a. 78 Introdução à Estatístca

79 13. A proporção de álcool em certo composto pode ser consderada como uma varável aleatóra X, com função densdade de probabldade: f( x) 0, se x (0,1). 3 0 x (1 x), se x (0,1); a) Calcule P(X /3); b) Determne a função de dstrbução acumulada de X e esboce seu gráfco. 14. Suponha que X seja uma v.a. contínua, com fdp: 8, x ; 3 f( x) x 0, caso contráro. Determnar o valor esperado de W=(1/3)X. Introdução à Estatístca 79

80 Capítulo 3 Algumas dstrbuções mportantes 3.1 Dstrbuções dscretas A dstrbução de Bernoull Se uma v.a. assume somente os valores zero e um, com probabldades 1-p e p, respectvamente, ou seja, se sua dstrbução é dada por: x 0 1 P(X=x) 1-p p Então, nesse caso, dzemos que X tem dstrbução de Bernoull, e, por (.) e (.3), obtemos de medato que E(X)=p e V(X)=p(1-p). Exemplo 3.1 Uma moeda é lançada uma vez. Seja X defnda por: 1, se ocorrer cara; X= 0, se ocorrer coroa. 80 Introdução à Estatístca

81 Aqu, a dstrbução de X é: Exemplo 3. x 0 1 P(X=x) 1/ 1/ Supor que em certa comundade a probabldade de uma pessoa ter problemas de pscose seja gual a 0,01. Se defnmos: 1, se uma dada pessoa da comundade Y= tem pscose, 0, em caso contráro. teremos que Y é uma varável aleatóra de Bernoull, e sua dstrbução é dada por: y 0 1 P(Y=y) 0,99 0,01 Introdução à Estatístca 81

82 Expermento bnomal Se um expermento consste de n repetções ndependentes de Bernoull, sendo constante e gual a p a probabldade de sucesso em cada repetção, então dzemos que esse é um expermento bnomal A dstrbução Bnomal Se uma v.a. X corresponde ao número de sucessos em n repetções de um expermento bnomal, sendo p a probabldade de sucesso em cada repetção, então se dz que X tem dstrbução Bnomal com parâmetros n e p (costuma-se escrever XB(n,p)), e sua função de probabldades é dada por: P(X=k) = n p k (1-p) n-k, k=0,1,,...,n. (3.1) k Pode-se verfcar faclmente que o valor esperado e a varânca de uma v.a. XB(n,p) são dados por: E(X)=np e V(X)=np(1-p). 8 Introdução à Estatístca

83 Exemplo 3.3 Em oto lançamentos de uma moeda, qual será a probabldade de ocorrerem pelo menos duas caras? Defnndo a v.a. X=número de caras nos oto lançamentos, verfcamos, de medato, que XB(8, 1/). Assm: P (de ocorrerem pelo menos duas caras) =P(X)= [P(X=0)+P(X=1)]=1-.(1/) 0.(1 / ) (1/).(1 / ) = =1-9(1/) 8. Exemplo 3.4 Um exame de estatístca consta de ses problemas. Para ser aprovado, um estudante deverá resolver, corretamente, pelo menos 4 deles. Um determnado estudante sabe 60% do assunto sobre o qual serão elaborados os problemas. Qual será a probabldade desse estudante ser aprovado? Introdução à Estatístca 83

84 Defnndo a v.a. X= número de problemas resolvdos corretamente pelo estudante, temos que XB(6;0,6). Portanto: P(do estudante ser aprovado)= P(X 4) = P(X=4)+ 6 + P(X=5) + P(X=6) = (0,6) (0,4) (0,6) 5 (0,4) (0,6) (0,4) = 0, A dstrbução Hpergeométrca Consderemos uma população com N elementos, dos quas r tem uma determnada característca A. Se retramos, sem reposção, uma amostra de tamanho n e defnrmos X = número de elementos na amostra com a característca A, teremos que a dstrbução de probabldade de X é dada por: r N r k n k P( X K), k = 0,1,..., mn(n,r). N n (3.) Nesse caso dzemos que X tem dstrbução hpergeométrca. 84 Introdução à Estatístca

85 Valor esperado e varânca mostrar que: Se X tem dstrbução hpergeométrca, então pode-se E(X)=np e (N n) V(X) np(1 p). (N 1) sendo r p. N Exemplo 3.5 Pequenos motores são guardados em caxas de 50 undades. Um nspetor de qualdade examna cada caxa, antes da posteror remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defetuoso, a caxa é aceta. Se pelo menos um deles for defetuoso, todos os 50 motores são testados. Dado que exstem 6 motores defetuosos numa caxa, qual a probabldade de que seja necessáro todos os motores serem examnados? Consderando X = número de defetuosos na amostra de 5 motores, temos que X se dstrbu segundo uma Hpergeométrca, sendo N = 50 (total de motores); Introdução à Estatístca 85

86 ou seja: r = 6 (total de motores defetuosos); n = 5 (tamanho da amostra); P(X 6 44 k 5 k K), k 0,1,..., Assm: P(todos os motores a serem examnados) = P(X1) = P(X 0) 1 1-0,51 0, A dstrbução de Posson Defnção: dzemos que uma varável aleatóra dscreta X tem dstrbução de Posson com parâmetro se: - k e. P(X=k)=, k 0,1,,... k! (3.3) 86 Introdução à Estatístca

87 Valor esperado e varânca então: Se X tem dstrbução de Posson com parâmetro, E(X)=V(X)= (ver problema 9 deste capítulo). Exemplo 3.6 Num lvro de 800 págnas há 800 erros de mpressão. Qual a probabldade de que uma págna contenha pelo menos 3 erros? Fazendo =taxa de erros por págna, temos a segunte regra de três: 800 págnas 800 erros 1 págna da qual obtemos =1. Assm, defnndo X = número de erros numa págna, teremos P(X 3)=1-P(X )= 1 P(X k) 1 k 0 k 0 1 k e.1 k 1 e 1 0! 1 e 1! 1 e 1 e! ,0803. Introdução à Estatístca 87

88 Exemplo 3.7 Numa central telefônca chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabldade de que: a) Num mnuto não haja chamada? b) Em mnutos haja chamadas? c) Em t mnutos não haja chamadas? Solução: a) Fazendo =taxa de chamadas por mnuto, temos: 60 mnutos 300 chamadas 1 mnuto da qual obtemos =5. Assm, para X=número de chamadas em 1 mnuto: 5 e.5 P(não haver chamada)=p(x=0)= 0! 0 e 5 0, Introdução à Estatístca

89 resolvendo: b) Fazendo = taxa de chamadas em mnutos e 60 mnutos 300 chamadas mnutos obtemos = 10. Logo, para X = número de chamadas em mnutos, temos: P(X ) e 10.(10)! 0,007. c) Fazendo =taxa de chamadas em t mnutos, temos: 60 mnutos 300 chamadas t mnutos da qual obtemos = 5t. Portanto, para X =número de chamadas em t mnutos, teremos: e P(X=0)= 5t (5t) 0! 0 5t e. Introdução à Estatístca 89

90 3.1.5 A dstrbução de Posson e a dstrbução Bnomal Se X~B(n,p), sendo n muto grande (n ) e p muto pequeno (p 0), então, fazendo-se = np, mostrase que: P(X k) k e. k!. Ou seja, a dstrbução de X tende para uma Posson com parâmetro = np. Observação: na prátca, a aproxmação anteror é consderada satsfatóra quando np 10. Exemplo 3.8 A probabldade de uma lâmpada se quemar ao ser lgada é 1/100. Numa nstalação de 100 lâmpadas, qual a probabldade de lâmpadas se quemarem ao serem lgadas? Defnndo X = número de lâmpadas que se quemam ao serem lgadas, temos que XB(100;1/100), ou seja, np=100.(1/100)=1. Assm, pela aproxmação anteror, obtemos: P(X ) e np.(np)! 1 e.1! 0, Introdução à Estatístca

91 Problemas 1. Sabe-se que 0% dos anmas submetdos a um certo tratamento não sobrevvem. Se esse tratamento fo aplcado em 0 anmas e se X é o número de não sobrevventes, pede-se: a) Calcular E(X) e V(X); b) Calcular a probabldade de sobrevverem no mínmo 18 anmas.. Admtndo-se que a probabldade de nascer menno é gual à de nascer menna, calcule a probabldade de um casal com 6 flhos ter 4 homens e mulheres. 3. Em um congresso centífco exstem 15 matemátcos e 1 estatístcos. Qual a probabldade de se formar uma comssão com 5 membros, na qual fgurem 3 matemátcos e estatístcos? 4. Supondo chances guas em questões do tpo certo errado, determne a probabldade de se acertar pelo menos 3 de 10 questões desse tpo. 5. Em certa cdade, sabe-se que 1% da população tem problemas de pscose. Para um grupo de 0 pessoas dessa cdade, pede-se: Introdução à Estatístca 91

92 a) Calcular a probabldade de se encontrar pelo menos uma com pscose; b) Calcular a probabldade de se encontrar no máxmo duas pessoas com pscose; c) Determnar o valor esperado e o desvo padrão do número de pessoas com pscose. 6. Qunze pessoas estão usando nsígnas numeradas de 1 a 15. Três pessoas são escolhdas ao acaso e são retradas da sala. Os números das nsígnas são anotados. Qual a probabldade de que: a) O menor número seja 7? b) O maor número seja 7? 7. Supondo que 10% dos alunos de uma unversdade são superdotados, qual a probabldade de numa classe com 0 alunos dos, no máxmo, sejam superdotados? 8. Certo curso de trenamento aumenta a produtvdade de uma população de funconáros em 85% dos casos. Se 11 funconáros partcpam desse curso, encontre: a) A probabldade de no mínmo nove aumentarem a produtvdade; 9 Introdução à Estatístca

93 b) O valor esperado do número de funconáros que aumentam a produtvdade. 9. Se X tem dstrbução de Posson com parâmetro, mostrar que E(X)=V(X)=. 10. Uma frma compra lâmpadas por centenas. Examna sempre uma amostra de 15 lâmpadas para verfcar se estão boas. Se uma centena nclu 1 lâmpadas quemadas, qual a probabldade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada quemada? 11. Numa estrada há acdentes para cada 100 Km. Qual a probabldade de: a) Em 50 km ocorram pelo menos 3 acdentes? b) Em 300 km ocorram 5 acdentes? 1. Uma fábrca de automóves verfcou que ao testar seus carros na psta de prova há, em méda, um estouro de pneus a cada 300 km. a) Qual a probabldade de num teste de 900 km haja no máxmo um pneu estourado? b) Qual a probabldade de que um carro ande 450 km sem estourar nenhum pneu? Introdução à Estatístca 93

94 13. Num lote de 40 peças, 0% são defetuosas. Retrando-se 10 peças do lote, sem reposção, qual a probabldade de encontrar: a) Três defetuosas? b) No máxmo defetuosas? 14. Se a probabldade de uma máquna produzr uma peça defetuosa num certo da é 0,01, qual a probabldade de se ter no máxmo 4 defetuosas em um da de 500 peças produzdas? 3. Dstrbuções contínuas 3..1 A dstrbução Unforme Defnção: se X é uma varável aleatóra contínua com função densdade de probabldade: 1, se x (a,b); f(x) b a 0, caso contráro. (3.4) Então dzemos que X tem dstrbução unforme no ntervalo (a,b). 94 Introdução à Estatístca

95 Exemplo 3.9 A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma varável aleatóra com dstrbução unforme, no ntervalo (50;70) da escala de Rockwell. Calcular a probabldade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60. Defnndo X = dureza de uma peça de aço, temos: 1 1, se x (50;70); f(x) , caso contráro. Logo: 60 x P(55 X 60)= dx Valor esperado, varânca e função de dstrbução Se X tem dstrbução unforme em (a,b), então (ver problema 4 deste capítulo): a) a b E(X). Introdução à Estatístca 95

96 b) c) (b a) V(X). 1 0, se x a; x a F( x), se a x b; b a 1, se x b. 3.. A dstrbução Exponencal Defnção: uma varável aleatóra X tem dstrbução Exponencal com parâmetro, se sua função densdade de probabldade é dada por: -x e, se x 0; f(x) (3.5) 0, caso contráro. Valor esperado, varânca e função de dstrbução Se X tem dstrbução exponencal com parâmetro, então (ver problema 5 deste capítulo): a) E (X) b) V(X) 96 Introdução à Estatístca

97 c) -x 1 e, se x 0; F(x) 0, caso contráro. Exemplo 3.10 Suponhamos que X tenha dstrbução exponencal com parâmetro. Calcular a probabldade de que X ultrapasse seu valor esperado. Nesse caso: P( X E( X )) P X (0 e 1 1 ) e 1 x x 1 e dx e 1 0, A dstrbução Normal Defnção: uma v.a. contínua X tem dstrbução Normal com parâmetros e, -<< e 0< <+, se a sua função densdade de probabldade é dada por: 1 f(x)= σ π 1 xμ ( ) σ e, - x (3.6) Sendo que suas prncpas característcas, são: Introdução à Estatístca 97

98 segunte: 1. O gráfco de f(x) tem a forma gual a da fgura. X= é o ponto de máxmo de f(x); 3. f(x) tende para zero quando x tende para mas ou menos nfnto; 4. f(x) é smétrca ao redor de x=, sto é, f(+x)=f(x), para todo x; 5. Entre os pontos -3 e +3, a área sob o gráfco de f(x) é gual a 99,74%, ou seja, entre estes pontos está pratcamente toda área sob o gráfco de f(x); 98 Introdução à Estatístca

99 6. Costuma-se escrever XN (, ) para expressar que a varável aleatóra X tem dstrbução normal com parâmetros e ; 7. Se XN (, ), mostra-se que E(X)= e V(X)=. Varável normal padrão Uma v.a. Z é dta normal padrão se Z= X μ σ, sendo X uma v.a. normal com valor esperado e varânca. Assm, pode-se mostrar que Z tem dstrbução normal com E(Z)=0 e V(Z)=1, ou seja, ZN(0;1). As probabldades sob a curva da normal padrão são encontradas em tabelas, que, no caso, dão as áreas sob o gráfco da função densdade da normal padrão. Em geral, essas tabelas fornecem a probabldade de que a varável normal padrão Z esteja entre zero e um valor z, sto é, P(0<Z<z). Para lustrar o uso de uma tabela dessas (Tabela I do apêndce), vejamos os exemplos seguntes. Introdução à Estatístca 99

100 Exemplo 3.11 Supondo que uma v.a. X tem dstrbução normal com méda 100 e varânca 5, qual será a probabldade de X estar entre 11 e 114? Temos que Z= X-100 N(0,1). Logo: 5 (11 100) ( 100) ( ) P(11<X<114)=P =P(,4<Z<,8)=P(0<Z<,8)-P(0<Z<,4)=0,4974-0,4918 =0,0056. Exemplo 3.1 Sendo XN(50;16), determnar x, tal que: ) P(X>x)=0,05; ) P(X<x)=0,99. Solução: X x ) P(X>x)=0,05 P 0,05 x 50 PZ 0, 05 4, 100 Introdução à Estatístca

101 sendo ZN(0;1). Portanto, procurando na tabela da normal padrão o valor z, tal que P(Z>z)=0,05, encontramos z=1,65. Dessa forma: x 50 1,65 4 x 4(1,65) 50 56,6. ) P(X<x)=0,99 X 50 P 16 x 50 0,99 16 x 50 PZ 0, Assm, procurando na tabela da normal padrão o valor z, tal que P(Z<z)=0,99, temos z=,33, ou seja: x 50,33 4 x 4(,33) 50 59, A dstrbução Qu-quadrado Sejam Z 1, Z,..., Z v ndependentes e todas com dstrbução N(0,1), tem-se que a varável aleatóra: Z 1 + Z Z v v 1 Z. (3.7) possu uma dstrbução chamada qu-quadrado, com parâmetro v, que é denomnado de graus de lberdade. Introdução à Estatístca 101

102 Observações: 1. Costuma-se usar a notação Y (v) para denotar que a varável aleatóra Y tem dstrbução qu-quadrado com v graus de lberdade;. A dstrbução qu-quadrado tem suas probabldades tabeladas, de acordo com a Tabela II do apêndce, de forma que essa fornece os valores y, tas que P( (v)>y)=p, para alguns valores de p e alguns valores de v. Exemplo 3.13 Supondo v=10, temos que o valor y é tal que P( (v) >y)=0,05 é 18, A dstrbução t de Student Sejam Z uma varável aleatóra com dstrbução N(0,1) e Y uma varável aleatóra com dstrbução (v), com Z e Y ndependentes, tem-se que a varável aleatóra: T= Z Y v (3.8) possu dstrbução chamada t de Student, com v graus de lberdade. 10 Introdução à Estatístca

103 A dstrbução t de Student é aproxmadamente N(0,1) quando v é sgnfcatvamente grande. Para v pequeno, a curva da função densdade de probabldade da dstrbução t possu a mesma forma da normal padrão, sendo dferente somente no aspecto do achatamento. Ou seja, a curva da dstrbução t é um pouco mas achatada, sgnfcando que essa dstrbução possu maor varabldade que a normal padrão. Observações: 1. Usamos a notação Tt (v) para denotar que a varável aleatóra T tem dstrbução t de Student com v graus de lberdade;. A dstrbução t de Student também tem suas probabldades tabeladas, conforme a Tabela III do apêndce, sendo que essa fornece valores t 0 tas, que P(-t 0 < t (v) < t 0 )=1-p, para alguns valores de p e v=1,, 3,...,30, 35, 40, 50, 60, 10. Quando v é muto grande, aproxma-se a dstrbução t pela N(0,1), de forma que se pode ver na Tabela III que para v>10 há uma lnha ndcada por v=, que corresponde às probabldades de uma dstrbução normal padrão. Introdução à Estatístca 103

104 Exemplo 3.14 Supondo v=18 temos, pela tabela da dstrbução t, que o valor t 0 é tal que P(T >t 0 )=0,10 é 1, A dstrbução F Sejam U e V duas varáves aleatóras ndependentes, cada uma com dstrbução qu-quadrado com v 1 e v graus de lberdade, respectvamente, tem-se que a varável aleatóra: U v Y= V v 1. (3.9) possu uma dstrbução chamada F de Snedecor, ou smplesmente dstrbução F, com graus de lberdade v 1 e v. Observações: 1. Costuma-se usar a notação YF(v 1,v ) para denotar que a varável aleatóra Y tem dstrbução F com v 1 e v graus de lberdade;. As probabldades da dstrbução F são também tabeladas de acordo com a Tabela IV do apêndce, sendo que essa fornece os valores y, tas que P(F(v 1,v )>y)=. Nos casos 104 Introdução à Estatístca

105 em que precsamos calcular P(F(v 1,v )<y)=, usamos a dentdade: 1 F(v1, v). (3.10) F(v, v ) 1 Exemplo 3.15 Temos da Tabela IV que o valor y 1, tal que P(F(5,7)>y 1 )=0,05, é 3,97. Qual será o valor y, tal que P(F(5,7)<y )=0,05? Usando (3.10), teremos: 0,05=P(F(5,7)<y ) 1 1 P y P F(7,5). F(7,5) y Da tabela da dstrbução F obtemos que 1/y =4,88. Logo, y =0,05. Problemas 15. Consderando X a v.a. do exemplo 3.11, calcule: a) P(100<X<106); b) P(89<X<107); c) P(X>108). Introdução à Estatístca 105

106 16. Fo feto um estudo sobre as alturas dos alunos de um colégo, observando-se que elas se dstrbuem normalmente com méda de 1,7m e desvo padrão de 0,05m. Qual a porcentagem dos alunos com altura: a) Entre 1,67 e 1,77m? b) Abaxo de 1,6m? c) Acma de 1,90m? 17. Um teste de ntelgênca fo aplcado a um grupo de 50 adolescentes do º grau. Supondo que se obteve uma dstrbução normal com méda 70 e desvo padrão de 6, pedese: a) A porcentagem dos alunos com nota superor à 80; b) O número de alunos com notas entre 45 e A experênca com certo exame de nglês básco ndca que as notas são normalmente dstrbuídas com méda 130 e desvo padrão 0. Se é exgda a nota 100 para que se passe no exame, qual a probabldade de uma pessoa ser reprovada? 106 Introdução à Estatístca

107 19. As notas de matemátca dos alunos de certo colégo(x) são normalmente dstrbuídas, com méda 6,4 e desvo padrão 0,8. O professor atrbu graus A, B e C da segunte forma: Notas(X) X 5 5 X 7,5 7,5 X 10 Grau C B A Em uma classe de 80 alunos, qual o número esperado de alunos com grau A?, B?, C? 0. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente dstrbuídas com méda 73 e desvo padrão 15. Sabe-se que 15% dos alunos mas adantados recebem o grau A e 1% dos mas atrasados recebem grau F. Encontre o mínmo para se receber o grau A e o mínmo para não se receber o grau F. Introdução à Estatístca 107

108 1. Um teste de aptdão para matemátca dá notas que vão de 00 a 800. Estas notas têm dstrbução aproxmadamente normal com méda 470 e desvo padrão 10. a) Qual a porcentagem de estudantes com notas entre 500 e 600? b) Em um conjunto de 00 estudantes, quantos deverão fcar com notas acma de 450?. O tempo necessáro para completar uma tarefa escolar tem dstrbução normal com méda de 90 mnutos e desvo padrão de 15 mnutos. Qual será a porcentagem de alunos que termnam a tarefa em menos de duas horas? 3. Suponhamos que o QI da população de certo país seja normalmente dstrbuído com valor esperado gual a 107 e desvo padrão gual a 15. Se uma pessoa é consderada superdotada quando seu QI é superor a 140, qual deverá ser o número de superdotados em uma cdade desse país, com habtantes? que: 4. Se X tem dstrbução unforme em (a,b), mostre ) a b E(X). 108 Introdução à Estatístca

109 ( b a) ) V( X). 1 0, se x a, x a ) F( x), se a x b, b a 1, se x b. 5. Se X tem dstrbução exponencal com parâmetro, mostrar que: ) E (X) ) V(X) ) x 1 e, se x 0, Fx ( ) 0, caso contráro. 6. Uma fábrca de tubos de TV determnou que a vda méda dos tubos de sua fabrcação é de 800 horas de uso e segue uma dstrbução exponencal. Qual a probabldade de que a fábrca tenha que substtur um tubo gratutamente, se oferece uma garanta de 300 horas de uso? 7. Na letura de uma escala, os erros varam de 1/4 a 1/4, com dstrbução unforme de probabldade. Calcular a méda e a varânca da dstrbução dos erros. Introdução à Estatístca 109

110 8. A duração de uma lâmpada é uma varável aleatóra T, com fdp dada por: 1 t 1000 e, se t 0 ( em horas), f() t , se t 0. Calcular a probabldade de uma lâmpada: a) Se quemar antes de 1000 horas; b) Durar entre 800 e 100 horas. 9. Suponha que X seja unformemente dstrbuída sobre [- ; +], onde >0. Determnar, de modo que as seguntes relações sejam satsfetas: a) P(X>1)=1/3. b) P(X<1/)=0, Defnndo (v,) o valor de y, tal que P( (v) >y)=, e usando a tabela da dstrbução qu-quadrado, determnar: a) (10;50%) b) (1;10%) c) (1; %) d) (19;1%) e) (8; 30%) 110 Introdução à Estatístca

111 31. Defnndo t(v, ) o valor de y, tal que P(t>y v)= e usando os valores da tabela da dstrbução t, calcule: a) t(1;5%) b) t(10;95%) c) t(0; 80%) d) t(6;10%) e) t(15;,5%) f) t(10; 0,1%) 3. Indcando por F(v 1,v,) o número y, tal que P(F>y v 1,v )= obtenha, usando a tabela da dstrbução F: a) F(;3;5%) b) F(3;;95%) c) F(1;,5%) d) F(10;10;5%) e) F(15;15;95%) f) F(8;35;5%) Introdução à Estatístca 111

112 Capítulo 4 Introdução à nferênca estatístca 4.1 População e amostra Entende-se por população um conjunto de ndvíduos ou objetos, para os quas se podem observar valores de uma ou mas varáves. Uma amostra é qualquer subconjunto da população. Exemplo 4.1 Supondo que queremos estudar algumas característcas dos QIs de 000 alunos de uma faculdade, seleconamos uma amostra de 100 alunos e verfcamos seus QIs. Nesse caso temos: a varável observada é o QI; a população é formada pelos 000 QIs e, a amostra, pelos QIs dos 100 alunos seleconados. 4. Amostra aleatóra Defnção: uma amostra aleatóra de tamanho n de uma v. a. X é um conjunto de n varáves aleatóras ndependentes X 1, X, X 3,..., X n, cada uma com a mesma dstrbução de X. 11 Introdução à Estatístca

113 4.3 Estatístcas e parâmetros Defnção: uma estatístca é uma função qualquer da amostra. Dada uma amostra X 1, X, X 3,..., X n, temos, por exemplo, as estatístcas: Méda amostral: n 1 X X. n 1 n 1 Varânca amostral: S (X-X). n-1 1 Defnção: um parâmetro é uma medda usada para descrever uma característca da dstrbução de uma v.a. X. Temos, por exemplo, que o valor esperado e a varânca são parâmetros de uma dstrbução de probabldade. 4.4 Dstrbuções amostras Se T é uma estatístca da amostra (X 1, X, X 3,...,X n ), então a dstrbução de T, quando (X 1, X, X 3,...,X n ) assumem todos os possíves valores, é chamada de dstrbução amostral de T. Introdução à Estatístca 113

114 Exemplo 4. Consderemos uma população de tamanho N=3 e uma v.a. X com a segunte dstrbução: X 1 3 P(X=x) 1/3 1/3 1/3 Assm: E(X)= e V(X)=/3=0,667. Retrando todas as amostras possíves de tamanho n=, com reposção, obtemos a segunte tabela: Valores amostras (1,1) (1,) (1,3) (,1) (,) (,3) (3,1) (3,) (3,3) Probabldades 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Méda amostral ( x ) 1,0 1,5,0 1,5,0,5,0,5 3,0 114 Introdução à Estatístca

115 Nesse caso, a dstrbução da estatístca X é dada por: sendo: x 1,0 1,5,0,5 3,0 P( X = x) 1/9 /9 3/9 /9 1/9 Logo: E( X ) = 1( )+1,5( )+( )+,5( )+3( )= E( X ) = 1( 1 ),5( ) 4( 3 ) 6,5( ) 9( 1 ) 4, V( X ) = 4,333-4 = 0,333. Assm, verfcamos que E( X ) = E(X) e V V(X) ( X) =. 4.5 Dstrbução amostral da méda Na teora da nferênca estatístca tem-se o segunte resultado: seja X uma v.a. com valor esperado e varânca e X a méda de uma amostra aleatóra de tamanho n de X. Então: a) E( X ) = ; b) V( X ) = /n; Introdução à Estatístca 115

116 c) (Teorema Central do Lmte) A dstrbução de X aproxma-se de uma dstrbução normal com valor esperado e varânca /n, quando n tende ao nfnto. Observações: 1. Como regra prátca, aceta-se que para amostras com mas de 30 elementos, a aproxmação ctada em (c) já pode ser consderada muto boa.. Se a dstrbução da população é normal, com valor esperado e varânca, então a méda amostral baseada em uma amostra aleatóra de tamanho n tem dstrbução normal, com valor esperado e varânca /n, ndependentemente do tamanho da amostra. Exemplo 4.3 Suponhamos que na população de unverstáros brasleros certo atrbuto pscológco, avalado medante emprego de determnado teste, tenha dstrbução com valor esperado gual a 100 e desvo padrão 16. Se uma amostra aleatóra de tamanho 64 é escolhda dessa população, qual será a probabldade da méda amostral estar acma de 104? 116 Introdução à Estatístca

117 Temos nesse exemplo que a dstrbução da méda amostral X é aproxmadamente N(100; 4). Logo: X P( X >104)=P ( > ) P(Z>)=0, Dstrbução amostral da proporção Consderemos uma população que tem uma proporção p de portadores de certa característca, e seja X 1, X, X 3,..., X n uma amostra aleatóra em que X, 1 n é defnda por: X = 1,seo - ésmoelementoé portador dacaracterístca; 0,emcasocontráro. Temos que X, 1 n tem dstrbução de Bernoull, com E(X ) = p e V(X ) = p(1-p). Portanto, a dstrbução da méda amostral X se aproxma de uma dstrbução normal, com valor esperado p e varânca p(1-p)/n, quando n tende ao nfnto. Observação: dado que X é a proporção de elementos da amostra que são portadores da ctada característca, então costumamos fazer X = Pˆ. Introdução à Estatístca 117

118 Exemplo 4.4 Em certa cdade, 30% dos motorstas envolvdos em acdentes fatas mostram evdêncas do uso de drogas. Numa amostra de 00 acdentes fatas, qual será a probabldade de que mas de 5% desses motorstas tenham usado drogas? Defnndo a varável aleatóra Pˆ = proporção de motorstas que usam drogas numa amostra de 00 acdentes fatas, temos que a dstrbução de Pˆ é aproxmadamente N(0,30;0,00105). Assm: Pˆ - 0,30 P(Pˆ >0,5) = P( ) 0, ,5-0,30 0, = P(Z>-1,54) = 0,938. Problemas 1. Um socólogo extra uma amostra aleatóra de 45 pessoas de uma população, cuja renda méda é U$ 900,00 e o desvo padrão US$ 00,00. Qual será a probabldade de que a renda méda da amostra seja nferor a US$ 850,00? 118 Introdução à Estatístca

119 . Consderemos a eleção para presdente do dretóro acadêmco em certo ano, quando 60% dos eletores votaram no canddato A. Suponhamos que medatamente antes da eleção tvéssemos extraído uma amostra de 40 eletores. Qual sera a probabldade de que na amostra extraída o canddato A tvesse mnora? 3. Admtndo-se que a chance de nascer menno seja gual a de nascer menna, qual a probabldade de que mas de 40% das prmeras 50 cranças, nascdas em um certo ano, sejam do sexo masculno? 4. Certas vacnas produzdas por um laboratóro têm valdade méda de 800 horas e desvo padrão de 60 horas. Determne a probabldade de uma amostra aleatóra de 50 vacnas ter a valdade méda: a) Entre 790 e 810 horas; b) Inferor a 785 horas; c) Superor a 80 horas. 5. Suponhamos que o nível educaconal de adultos de certo país tenha uma méda de 11,1 anos e um desvo padrão de 3 anos. Qual a probabldade de que, em uma amostra aleatóra Introdução à Estatístca 119

120 de 40 adultos, se encontre um nível médo de escolardade entre 10 e 1 anos? 6. Supondo que % das pessoas de certa cdade têm problemas de pscose, qual será a probabldade de numa amostra aleatóra de 400 pessoas dessa cdade 3% ou mas tenham pscose? 10 Introdução à Estatístca

121 Capítulo 5 Estmação 5.1 Estmação por ponto Seja X 1, X, X 3,..., X n uma amostra de uma varável aleatóra X e θ um parâmetro desconhecdo da dstrbução de X, um estmador pontual de θ é defndo como sendo qualquer função de X 1, X, X 3,..., X n. Estmador não vcado Um estmador T de um parâmetro θ por defnção é não vcado se E(T) = θ. Consstênca Consderando a amostra X 1, X,...,X n de uma varável aleatóra X e θ um parâmetro da sua dstrbução, temos que um estmador T de θ, baseado em X 1, X,..., X n, é dto consstente se esse satsfaz às duas seguntes condções: a) T é não vcado; ao nfnto. b) A varânca de T se aproxma de zero quando n tende Introdução à Estatístca 11

122 Exemplo 5.1 De acordo com o que vmos anterormente, se X 1, X, X 3,..., X n é uma amostra aleatóra de uma dstrbução de Bernoull, com parâmetro p, então a proporção amostral Pˆ é aproxmadamente N(p ; p(1-p)/n). Nesse caso temos que Pˆ é um estmador consstente de p, pos E( Pˆ )=p e, conforme podemos ver, a varânca de Pˆ se aproxma de zero quando n tende ao nfnto. 5. Estmação por ntervalo Um ntervalo que contenha um parâmetro θ, com certa probabldade 1-, é chamado de ntervalo de confança para θ, com coefcente de confança 1-. Intervalo de confança para a méda populaconal Consderemos X 1, X,...,X n uma amostra aleatóra de uma varável X, com E(X) = e V(X) =. Sabemos que, para n sufcentemente grande, a dstrbução de Z = X - μ σ aproxmadamente N(0;1), sendo z o valor da tabela da normal padrão, tal que P(-z <Z<z )=1-, sto é: P(-z < X - μ σ n z ) =1- P( X -z σ n << X + z n σ ) n =1- é 1 Introdução à Estatístca

123 Assm, se dz que ( X -z σ n ; X + z σ ) n confança para, com coefcente de confança 1-. Exemplo 5. é um ntervalo de Em certa unversdade, sabe-se que a dstrbução dos QIs dos alunos tem varânca gual a 64. Se numa amostra de 40 alunos obteve-se um QI médo gual a 115, qual será o ntervalo, com 95% de confança, para o QI médo dos alunos da referda unversdade? Temos aqu 1-=0,95, logo z =1,96 e, portanto, o ntervalo de confança pretenddo é dado por: 8 8 [115-(1,96) ; 115+(1,96) ] =(11,5;117,5). Intervalo de confança para a proporção p Dada uma amostra aleatóra X 1, X,..., X n de uma dstrbução de Bernoull com parâmetro p, temos que, para n sufcentemente grande, a dstrbução de Z= ˆP-p p(1-p)/n é aproxmadamente N(0;1), sendo P ˆ =( n =1 X)/n. Assm: Introdução à Estatístca 13

124 P(-z < ˆP -p p(1-p)/n <z )=1- P(Pˆ -z p(1 p)/n <p<pˆ +z p(1 p)/n )=1-. Como não conhecemos p, substtuímos p(1-p) pelo estmador P(1-P) ˆ ˆ e, dessa forma, temos que ( Pˆ -z Pˆ (1 - Pˆ )/n ; Pˆ +z Pˆ (1 - Pˆ)/n ) é um ntervalo de confança para p, com coefcente de confança 1-. Exemplo 5.3 Suponhamos que uma amostra de 100 homens de uma unversdade braslera tenha a segunte dstrbução de QIs: QI N.º de homens TOTAL Introdução à Estatístca

125 Nesse caso, qual será o ntervalo, com 90% de confança, para a proporção de homens com QI superor a 137? Para 1-=0,9, obtemos na tabela da normal padrão que z =1,65. Temos também, pela tabela da dstrbução de QIs acma, que o número de homens com QI superor a 137 é 13, ou seja, Pˆ =13/100 = 0,13. Portanto, o ntervalo pretenddo é dado por: Problemas [0,13-(1,65) (0,13 0,87)/100 ; 0,13 (1,65) (0,130,87)/100 ]=(0,07 ; 0,18). 1. A dstrbução do tempo de reação de motorstas de certo país tem desvo padrão gual a 0, segundos. Seleconouse uma amostra de 50 motorstas e obteve-se um tempo médo de reação gual a 0,83. Determne um ntervalo de 95% de confança para o tempo médo de reação da população de motorstas desse país.. Em certa cdade, deseja-se estmar a proporção P de pessoas que são favoráves à fluoração da água. Supondo que numa amostra de 100 pessoas dessa cdade, 75 são favoráves à Introdução à Estatístca 15

126 água fluorada, qual será o ntervalo com 99% de confança para a proporção P? 3. Antes de uma eleção deseja-se fazer uma pesqusa para verfcar a proporção de eletores que pretendem votar num canddato A. Para sso, consultou-se uma amostra de 1600 eletores, da qual obteve-se que 35% eram favoráves à A. Nesse caso, qual será o ntervalo com 95% de confança para a proporção de eletores que são favoráves ao canddato A? 4. Suponha que a nota num teste de ntelgênca de cranças de certa população em dade escolar tenha dstrbução com desvo padrão gual a 3. Se numa amostra de 36 cranças obteve-se nota méda gual a 35, qual será um ntervalo, com 90% de confança, para a nota méda dessa população? 5. Supondo que numa pesqusa de âmbto naconal envolvendo 000 famílas, 00 delas mostravam ter um ou mas de seus membros com algum tpo de neurose, determne um ntervalo, com 99% de confança, para a proporção de famílas que têm algum tpo de neurose. 16 Introdução à Estatístca

127 Capítulo 6 Dstrbução de frequêncas Na prátca, quando obtemos observações amostras, ncalmente organzamos os dados em tabelas e gráfcos, para facltar a compreensão das dstrbuções das varáves em estudo. Em seguda, realzamos cálculos de algumas meddas, como por exemplo médas e varâncas, que servem essencalmente como estmatvas de parâmetros da população de onde fo retrada a amostra. Trataremos a segur de tas assuntos, como construção de tabelas e gráfcos e obtenção de algumas estmatvas, de forma que, neste capítulo 6, estudaremos um caso específco de organzação de dados em tabela e, nos seguntes, 7 e 8, faremos os cálculos de algumas meddas de tendênca central, de separatrzes e de varabldade amostras. No capítulo 9 daremos uma ntrodução à nferênca estatístca que testa hpóteses sobre parâmetros populaconas. 6.1 Introdução Para uma análse estatístca, no caso da varável em estudo ser contínua, é sempre convenente os dados coletados Introdução à Estatístca 17

128 serem agrupados em classes, obtendo-se assm o que se denomna de dstrbução de frequêncas, cujos elementos serão aqu defndos com base na tabela do exemplo segunte. Exemplo 6.1 A tabela a segur exbe a dstrbução das notas em uma prova de estatístca, de 500 canddatos, em certo concurso públco. Notas Frequêncas TOTAL Introdução à Estatístca

129 Observações: 1. O símbolo ndca a nclusão na classe do valor stuado à esquerda e a exclusão do valor stuado à dreta. Consderando, por exemplo, a classe 50 60, temos que essa congrega notas de 50, nclusve, até 60, exclusve;. O valor stuado à esquerda é chamado de lmte nferor da classe e o stuado à dreta, de lmte superor. Prncpas elementos na construção de uma dstrbução de frequêncas 1. Ampltude total (A t ) A ampltude total de um conjunto de dados qualquer é defnda como a dferença entre o maor e o menor valores do conjunto.. A ampltude de classe A ampltude de classe é defnda como sendo a dferença entre dos lmtes nferores ou entre dos lmtes superores sucessvos, nos casos em que a dstrbução tenha a mesma ampltude em todas as classes. De acordo, então, com esta defnção, temos que a ampltude de classe do exemplo anteror é gual a 10. Introdução à Estatístca 19

130 Observação: Na construção de uma dstrbução de frequêncas é convenente que todas as classes tenham a mesma ampltude, pos, assm, evtam-se equívocos na nterpretação da varação do fenômeno. 3. Ponto médo de classe Ponto médo de uma classe é o ponto equdstante dos extremos, que serve para representar a classe nos casos de cálculos de algumas meddas. A coluna dos pontos médos em uma dstrbução de frequêncas normalmente é representada pela letra m. Para obter o ponto médo de uma classe acrescentamos ao lmte nferor a metade da ampltude de classe. Assm temos, por exemplo, que o ponto médo da segunda classe da dstrbução do exemplo 6.1 é dado por 10+10/=15. Tpos de frequêncas: Em uma dstrbução de frequêncas, tem-se: Frequêncas absolutas sm ples abaxode acum uladas acmade 130 Introdução à Estatístca

131 Frequêncas relatvas sm ples abaxode acum uladas acmade Sendo: a) Frequênca absoluta smples: é o número de observações de uma classe. Normalmente a coluna destas frequêncas é representada pela letra f ; b) Frequênca relatva smples: é a proporção de observações de uma classe em relação ao número total de observações; c) Frequêncas acumuladas abaxo de (absolutas ou relatvas): obtém-se somando, a partr da prmera classe, cada frequênca smples com a frequênca acumulada anteror. Costuma-se representar as colunas destas frequêncas por F e F%, respectvamente; d) Frequêncas acumuladas acma de (absolutas ou relatvas): procede-se da mesma forma das frequêncas acumuladas abaxo de, porém partndo da últma classe. As colunas destas frequêncas são representadas por F e F%, respectvamente. Introdução à Estatístca 131

132 Exemplo 6. Da dstrbução do exemplo 6.1, temos: Classes m f f F F F F ,0 5 1, , ,0 0 4, , ,0 40 8, , , , , , , , , , , ,0 1,0 3,0, ,0 95,0 98,0 100, ,0 17,0 5,0,0 TOTAL , Introdução à Estatístca

133 6. Número de classes Exstem váras regras para a determnação do número de classes de uma dstrbução de frequênca, como, por exemplo, a de Sturges, que é dada por: K=1+(3,31) log n. Sendo: K = número de classes n = número de observações. Essa regra, no entanto, tem a desvantagem de dar mutas classes para um pequeno número de observações e relatvamente poucas classes, quando esse número é grande. Por um lado mas prátco, tem-se a sugestão de város outros autores de que o número de classes deve varar entre 5 e 0, sendo esta escolha dependente mas da natureza dos dados e da undade em que esses estejam expressos. De acordo, então, com essa sugestão é que se costuma usar a segunte regra prátca: escolhe-se um número, se possível ntero e que esteja próxmo da metade do ntervalo (A t /0 ; A t /5), para ser a ampltude de classe. A segur adcona-se essa ampltude aos Introdução à Estatístca 133

134 lmtes nferores das classes, determnando-se, assm, a dstrbução e o número de classes. Exemplo 6.3 Os dados seguntes são os rendmentos de 70 examnandos numa prova de racocíno: Nesse conjunto de dados temos que o maor valor é 43 e o menor é 0. Assm obtemos que A t =43-0=3. Consequentemente: (A t /0 ; A t /5) = (1,15 ; 4,6) Logo, de acordo com a regra anteror, temos que a dstrbução de frequêncas para esses dados fca como na tabela a segur, em que a ampltude de classe é a=3, que é um 134 Introdução à Estatístca

135 número ntero e está próxmo da metade do ntervalo (A t /0 ; A t /5). Observação: aprovetamos essa dstrbução para exemplos da seção segunte; por sso, também determnamos nessa tabela as frequêncas acumuladas absolutas, abaxo e acma de. Classes f F F TOTAL Introdução à Estatístca 135

136 6.3 Representação gráfca Para representar grafcamente uma dstrbução de frequêncas usam-se os seguntes gráfcos: a) O polígono de frequêncas ou o hstograma para representar as frequêncas smples; b) O dagrama de frequêncas acumuladas (ogva de Galton) para representar as frequêncas acumuladas. Construção do polígono de frequêncas No exo das abscssas marcam-se os lmtes nferores das classes e o lmte superor da dstrbução; As frequêncas são marcadas no exo das ordenadas, a partr de perpendculares levantadas dos pontos médos das respectvas classes; Fecha-se o polígono lgando os pontos extremos aos pontos médos dos ntervalos, que se acrescentam no níco e no fm da dstrbução. Construção do hstograma O hstograma é construído de forma equvalente ao polígono de frequêncas, só que, neste caso, não se representam 136 Introdução à Estatístca

137 todos os resultados de uma classe pelo seu ponto médo; porém, supõe-se que tas resultados dstrbuem-se unformemente por todo o ntervalo. Exemplo 6.4 Da dstrbução do exemplo 6.3 temos que o polígono de frequêncas e o hstograma são dados, respectvamente, por a) Polígono de frequêncas f Classes Expected Normal Introdução à Estatístca 137

138 f b) Hstograma Classes Expected Normal Observação: é comum também se representar as frequêncas das classes, no hstograma, pelas áreas dos respectvos retângulos. Neste caso, tem-se: A=b h Sendo: A = área = frequênca de classe b = base = ntervalo de classe h = altura. 138 Introdução à Estatístca

139 Construção da ogva de Galton No exo das ordenadas marcam-se as frequêncas acumuladas e no exo das abscssas os lmtes nferores ou superores das classes, de onde são levantadas perpendculares para encontrar as respectvas frequêncas acumuladas. Observação: em se utlzando as frequêncas abaxo de é preferível que sejam usados os lmtes superores como representantes das classes, enquanto que, no caso das frequêncas acma de, devem-se usar os lmtes nferores. Exemplo 6.5 Consderando anda a dstrbução do exemplo 6.3, teremos: a) Frequêncas abaxo de Introdução à Estatístca 139

140 b) Frequêncas acma de Problemas 1. Os dados seguntes referem-se ao tempo gasto, em horas, por 70 pessoas, na execução de um desenho técnco: 3,4 8,1 7,9 3,4 5,6 8,1 9,0 8,3 4, 7, 7,5 5, 6,0 7,0 8,1 7,6 6,9 6,0 8,0 4,0 8,4 6 4,8 6,3 8, 7,9 8,3 7, 7,0 4,3 6,1 9,8,3 4,1 5,6 6,4 5,4 7,5 8,0 5,0 1,5 4,0 4,3 4,8 9,9 4,1 10,0 10,0 6,0 6,0 6, 6,8 8,1 9,1 8,5 7,3 4,9 4,5 5,1 6,0 7,1 8,1 8,0,0 1,9 7,4 7,0 7,3 7,4 5, 140 Introdução à Estatístca

141 Pede-se: a) Construr uma dstrbução de frequêncas para os dados; b) Construr o polígono de frequêncas, o hstograma e a ogva de Galton.. A tabela segunte nos dá a dstrbução dos pontos em um teste de rapdez e exatdão, em tarefas dgtas, aplcado a um grupo de 100 alunos de uma certa escola: Pontos f TOTAL 100 a) Determne o número de alunos com menos de 30 pontos; b) Determne a porcentagem dos alunos com 10 pontos ou mas; c) Construa o polígono de frequêncas e a ogva de Galton. Introdução à Estatístca 141

142 Capítulo 7 Meddas de tendênca central e separatrzes Meddas de tendênca central ou promédos são valores que servem para representar a dstrbução como um todo, além de possbltarem o confronto entre dstrbuções. Das prncpas meddas de tendênca central destacamos aqu a méda artmétca e a medana. 7.1 Méda artmétca 1. Méda artmétca de valores solados X 1,X 1...X 1, X,X,...,X,..., X n,x n,...,x n Se f é uma sére de 1 vezes f vezes f n vezes valores repetdos, tem-se que a méda artmétca, neste caso, é o quocente entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores, ou seja: n f 1 n X. (7.1) 1 f X 14 Introdução à Estatístca

143 Exemplo 7.1 Suponhamos que os números de questões responddas corretamente por 0 alunos de pscologa em uma prova de estatístca foram os seguntes: Tabulando esses números, obteremos: Nº de questões Nº de corretas(x) alunos(f) f.x Total 0 14 Assm: X 14/ 06,. Introdução à Estatístca 143

144 . Méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas Para uma dstrbução de frequêncas com k classes, sendo m 1, m,..., m k seus pontos médos, tem-se que a méda artmétca é calculada por: X k 1 k 1 fm f. (7.) Exemplo 7. Consderando novamente a dstrbução do exemplo 6.3, calculemos sua méda artmétca, de forma que, determnando as colunas que são necessáras, teremos: Classes f m f.m ,5 4,5 7,5 30,5 33,5 36,5 39,5 4,5 43,0 98,0 19,5 366,0 569,5 365,0 355,5 38,5 Total 70-37,0 144 Introdução à Estatístca

145 Assm: X = 37/70 = 33, Medana A medana é a medda de tendênca central que dvde a dstrbução em duas partes guas, ou seja, é o valor que fca no meo da sére ordenada. 1. Medana de valores solados Temos que a medana de uma dstrbução também pode ser defnda como o valor do elemento medano, sendo que esse elemento é o número que ndca a ordem em que se encontra a medana. Em geral, usa-se o segunte procedmento para determnar o elemento medano: ) Se o número de observações N é ímpar, então Emd = (N+1)/, sendo Emd o elemento medano; ) Se o número de observações N é par, então Emd = N/, e, neste caso, a medana é gual à méda artmétca dos dos valores centras. Introdução à Estatístca 145

146 Exemplo 7.3 Suponha um grupo de 5 pessoas com as seguntes estaturas: 1,85m; 1,60m; 1,70m; 1,65m e 1,60m. Aqu, Emd= (N+1)/ = 6/ = 3. Logo, ordenando os valores obtemos que a estatura medana deste grupo é 1,65 m. Exemplo 7.4 Ao nvés de um grupo de cnco pessoas, como no exemplo 7.3, consderemos agora as ses seguntes estaturas: 1,85m; 1,60m; 1,70m; 1,65m; 1,60m e 1,6m. Assm, Emd= N/ = 6/ = 3. Colocando os valores em ordem crescente: 1,60; 1,60; 1,6; 1,65; 1,70; 1,85, obtemos que 1,6 e 1,65 são os dos valores centras. Logo: md = (1,6+1,65)/ = 1,63. Exemplo 7.5 Com relação ao exemplo 7.1 temos que o cálculo da medana fca mas fácl se, em prmero lugar, determnamos a coluna das frequêncas acumuladas, ou seja: 146 Introdução à Estatístca

147 Nº de questões corretas(x) f F TOTAL 0 - Desta forma: Emd = 0/ = 10. Logo, pela tabela anteror: md = (6+7)/ = 6,5. Medana de uma dstrbução de frequêncas Consderando f m como sendo a frequênca smples da classe da medana, F ant como a frequênca acumulada até a classe anteror à classe da medana, l o lmte nferor da classe da medana, Emd = f / = N/ (para N par ou ímpar) e a a ampltude de classe, mostra-se faclmente que a medana de uma dstrbução de frequêncas é dada por: md l (Emd F ant )a/f m. (7.3) Introdução à Estatístca 147

148 Exemplo 7.6 A dstrbução da tabela a segur dá as notas em um teste de rapdez e exatdão de um grupo de 46 pessoas do sexo femnno. Notas f F Total 46 - Qual será, então, a nota medana do grupo? Temos que Emd = 46/ = 3. Logo, pela coluna das frequêncas acumuladas, vemos que a classe da medana é 0 5. Assm: md = 0+(3-16)(5)/17 =,06. Observação: a medana de uma dstrbução de frequêncas também pode ser obtda a partr da ogva de Galton, pos a medana é a abscssa do ponto, cuja ordenada é o elemento medano. Exemplo Introdução à Estatístca

149 Do exemplo 7.6, obtemos: Emprego da méda e da medana De uma manera geral, prefere-se empregar a méda artmétca quando a dstrbução dos dados é smétrca, ou nos casos em que se faz necessáro o cálculo de outras estatístcas. Por outro lado, a medana é preferda quando se deseja o ponto que dvde a dstrbução em duas partes guas, ou nos casos em que na dstrbução dos dados exstam valores muto dstancados dos demas, comumente chamados de valores extremos. 7.3 Separatrzes Defnção: separatrzes são os valores da dstrbução nomeados por suas posções na sére ordenada. Introdução à Estatístca 149

150 De manera análoga ao que vmos, com relação à medana, tem-se que uma separatrz é o valor do elemento que ndca a ordem em que esta se encontra. Exstem separatrzes de quasquer ordens, porém algumas são de maor mportânca, como as que veremos a segur. 1. Quarts Permtem dvdr a dstrbução em quatro partes guas, quanto ao número de elementos de cada uma. Numa dstrbução de frequêncas temos: Q l (EQ FQ ) a/f. (7.4) j j j j1 j Sendo: Q j : o j-ésmo quartl, j = 1,,3; l j : o lmte nferor da classe do j-ésmo quartl; EQ j : o elemento quartl j, de forma que, consderando N como o total das frequêncas, temos : EQ j = =j.n/4; FQ j-1 : é a frequênca acumulada até a classe anteror à classe do j-ésmo quartl; f j : é a frequênca smples da classe do j-ésmo quartl. Observação: podemos ver de medato que md = Q. 150 Introdução à Estatístca

151 . Percents ou cents Dvdem a dstrbução em cem partes guas, quanto ao número de elementos de cada uma. Se P j é o j-ésmo percentl, j=1,,3,...,99, com EP j =j.n/100, então, analogamente ao cálculo dos quarts em uma dstrbução de frequêncas, tem-se que o cálculo de P j é dado por: P l (EP FP )a/f. (7.5) j j j j1 j Exemplo 7.8 Consderando o exemplo 7.6, determnemos: a) O valor que separa 5% das notas mas baxas; b) O valor cujo percentual de pessoas com notas acma deste é 30 %; c) O valor que separa 5% das pessoas com as maores notas. No tem (a) desejamos calcular Q 1 (ou P 5 ), pos podemos verfcar que Q 1 = P 5. Assm, EQ 1 = 46/4 = 11,5. Logo, pela coluna das frequêncas acumuladas, vemos que a classe de Q 1 é 15 0; portanto: Q 1 =15+(11,5-6)(5)/10 = 17,75. Introdução à Estatístca 151

152 Queremos calcular no tem (b) o septuagésmo percentl (P 70 ). Assm, teremos: EP 70 =(70)(46)/100 = 3,. Logo: P 70 = 0+(3,-16)(5)/17 = 4,76. No tem (c) queremos calcular P 75 (ou Q 3 ), pos temos que P 75 =Q 3. Assm, EP 75 =(75)(46)/100=34,5. Pela coluna das frequêncas acumuladas verfcamos que a classe de P 75 é Portanto: P 75 =5+(34,5-33)(5)/9=5,83. Problemas 1. Os dados seguntes referem-se aos rendmentos em tarefas verbas de alunos de uma escola do prmero grau. Rendmento Nº de alunos TOTAL Determnar os rendmentos médo e medano dos alunos. 15 Introdução à Estatístca

153 . A tabela segunte dá o rendmento em tarefas motoras, meddo por escore, de 160 alunos de uma unversdade. Escores f Total 160 a) Sabendo-se que os 30% dos alunos mas fracos rão para um trenamento especal, qual será o escore exgdo por tal trenamento? b) Qual é o escore mínmo que delmta os 75% dos melhores alunos em motrcdade? c) Calcular a méda e a medana desses escores. Introdução à Estatístca 153

154 Capítulo 8 Meddas de varabldade Podemos defnr varabldade de um conjunto de dados como sendo a maor ou menor dversfcação dos valores em torno de uma medda de tendênca central. Consderando, por exemplo, as notas de dos alunos A e B, em cnco dscplnas dferentes: Alunos Notas A 5,5 5,0 4,9 6,1 6,0 B 1,5 8,9 5,5 9,5,1 verfcamos que a méda do aluno A nas cnco dscplnas é gual a 5,5 e a do aluno B também é 5,5, ou seja, em méda estes alunos têm o mesmo rendmento. Por outro lado, vemos que exste sgnfcatva dferença nas dstrbuções das notas, de forma que, com relação ao aluno A, podemos consderar seus conhecmentos como unformes nas cnco dscplnas, enquanto que o aluno B mostra um bom nível em algumas dscplnas e bastante defcênca em outras. Assm, podemos 154 Introdução à Estatístca

155 dzer que a dferença das dstrbuções está nos graus de concentração das notas, que, no caso, são bem dferentes. As meddas de varabldade podem ser absolutas ou relatvas. Em 8.1 e 8. a segur apresentaremos algumas das consderadas mas mportantes. 8.1 Prncpas meddas de varabldade absoluta 1. Desvo quartl É a méda artmétca das dferenças entre a medana e os dos quarts, ou seja: D q = [(Q 3 md) + (md Q 1 )]/ = (Q 3 Q 1 )/. (8.1) Exemplo 8.1 Consderando a dstrbução do exemplo 7.6 já temos, pelo exemplo 7.8, que Q 1 = 17,75 e Q 3 = 5,83. Portanto, para esta dstrbução: D q = (5,83 17,75)/ = 4,04. Introdução à Estatístca 155

156 Observações: 1. O desvo quartl é uma medda que não é afetada por valores extremos, sendo, portanto, recomendada quando houver valores desse tpo na dstrbução dos dados, ou seja, nos casos em que a medda de tendênca central mas adequada seja a medana;. O desvo quartl tem a desvantagem de só consderar Q 1 e Q 3, sto é, despreza o restante do conjunto dos dados.. Desvo padrão É a raz quadrada da méda dos quadrados dos desvos, tomados em relação à méda artmétca. a) Desvo padrão de valores solados Seja X 1,X 1...,X 1, X,X,...,X,..., X n,x n,...,x n uma sére de f 1 vezes f vezes f n vezes valores repetdos. Neste caso, o desvo padrão é calculado por: n 1 n S f(x X) / f. (8.) n 1 Fazendo N= f e desenvolvendo (8.), obtemos: Introdução à Estatístca

157 n S ( fx /N) X. (8.3) 1 Exemplo 8. Consderando novamente a dstrbução do exemplo 7.1 calcularemos a segur seu desvo padrão, sendo que, para usar (8.3), precsamos das colunas defndas pelos produtos f.x e f.x, sto é: Notas(x) f f.x f.x Total Portanto: Introdução à Estatístca 157

158 S 796/ 0 (14/ 0) 39,8 38,44 1,17. b) Desvo padrão de uma dstrbução de frequêncas De manera análoga ao cálculo realzado na dstrbução de valores solados, obtemos o desvo padrão de uma dstrbução de frequêncas, ou seja, dada uma dstrbução com k classes, sendo m 1, m,..., m k seus pontos médos, temos: k 1 k S f(m - X) / f. (8.4) k 1 Fazendo N = f e desenvolvendo (8.4), obteremos: 1 k S ( fm /N) X. (8.5) Introdução à Estatístca

159 Exemplo 8.3 Calcularemos a segur o desvo padrão da dstrbução: Classes f Total 50 Determnando as colunas que são necessáras para o cálculo, teremos: Classes f m f.m f.m Total Introdução à Estatístca 159

160 Assm: S 38650/50 (10/50) ,36 13,33. Prncpas propredades do desvo padrão: 1. Somando-se ou subtrando-se uma constante a cada elemento de um conjunto de dados, o desvo padrão não se altera;. Dvdndo-se ou multplcando-se cada elemento de um conjunto de dados por uma constante, o desvo padrão fca multplcado ou dvddo por esta constante, conforme seja o caso. Problemas 1. Calcular o desvo padrão da dstrbução do problema 1, do capítulo anteror.. Calcular o desvo padrão e o desvo quartl da dstrbução do problema, do capítulo anteror. 8. Meddas de varabldade relatva Uma medda de dspersão relatva resulta da comparação entre meddas de varabldade absoluta e de tendênca central, sendo seu uso justfcado nos casos em que 160 Introdução à Estatístca

161 se deseje comparar as varabldades de dstrbuções, nas quas: a) As undades de escala são desguas (conforme temos no exemplo 8.4, a segur); b) Mesmo tendo as undades de escala guas, as médas sejam sgnfcatvamente dferentes (conforme exemplo 8.5). Prncpas meddas de varabldade relatva 1. Desvo quartl reduzdo: é a relação entre o desvo quartl e a medana, ou seja: D qr =[(Q 3 Q 1 )/]/md = (Q 3 Q 1 )/md (8.6). Coefcente de varação de Pearson: é a relação entre o desvo padrão e a méda artmétca, sto é: CV p Exemplo 8.4 S 100 x % (8.7) Suponhamos uma sala de aula com 50 alunos possudores de uma estatura méda de 1,14 m, com desvo padrão gual a 0,063 m e um peso médo de 50 kg, com desvo padrão gual a 6,0 kg. Qual a maor varabldade relatva, a dos pesos ou a das alturas? Introdução à Estatístca 161

162 Calculando o coefcente de varação de Pearson para as dstrbuções das alturas e dos pesos, respectvamente, obtemos (0,063/1,14) 100% = 5,53% e (6/50) 100% = 1%, de onde concluímos que os pesos têm maor varabldade relatva que as alturas. Exemplo 8.5 Consderemos os seguntes dados, referentes às alturas de um grupo de mennos e de um grupo de homens: Grupo Méda Desvo padrão Mennos Homens 50 cm 160 cm 6 cm 16 cm Neste caso, que grupo tem maor varabldade relatva? Temos que (6/50) 100% =1% e (16/160) 100%= = 10% são os coefcentes de varação de Pearson para os grupos dos mennos e dos homens, respectvamente, dos quas concluímos que as alturas dos mennos têm maor varabldade relatva que a dos homens. 16 Introdução à Estatístca

163 8.3 Esquema dos cnco números e Box-plot Defnndo E e E s, respectvamente, como os valores extremos nferor e superor de um conjunto de dados, temos a representação do esquema dos cnco números, que é dada por: n Md md Q Q 1 Q 3 E E E s Na fgura segunte, chamada de Box-plot, está traduzda grafcamente a nformação dada pelo Esquema dos cnco números : E s Q 3 E md Q 1 Introdução à Estatístca 163

164 Observação: o Box-plot nos dá uma dea da posção, dspersão, assmetra e comprmento das caudas da dstrbução dos dados. Exemplo 8.6 Consderando os dados do exemplo 7.1: a) Esquema dos cnco números Da dstrbução desse exemplo já temos: n=0; E =4; E s =8 e md=6,5. Para os cálculos de Q 1 e Q 3 precsamos obter: EQ 1 =0/4=5 e EQ 3 =3(0)/4=15. Assm, pelas frequêncas acumuladas dadas no exemplo 7.5, obtemos: Q 1 =5 e Q 3 =7 Portanto, o Esquema dos cnco números fcará: 0 Md 6,5 Q E Introdução à Estatístca

165 b) Box-plot Através do Software Statstca, obtemos o Box-plot: 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 3,5 Max = 8, Mn = 4, % = 7, % = 5, Medan value: Med = 6, Problemas 3. Consderando as dstrbuções dos problemas 1 e do capítulo anteror, qual delas apresenta maor varabldade relatva? 4. Consderando a dstrbução do problema do capítulo 6 e a dstrbução do exemplo 7.6, qual das duas tem maor varabldade relatva? 5. Construr o Esquema dos cnco números e o Boxplot para os dados dos problemas 1 e do capítulo anteror. Introdução à Estatístca 165

166 Capítulo 9 Testes de hpóteses: prmeras deas 9.1 Hpótese estatístca Seja X uma varável aleatóra e θ um parâmetro da dstrbução de X, na prátca, normalmente ocorre que θ é desconhecdo. Este fato, então, faz com que procuremos estmadores para θ, conforme comentamos anterormente, além de nos levar a defnr hpóteses a respeto desse, de forma que, baseada em uma amostra aleatóra, a nferênca estatístca testa qual das referdas hpóteses é ou não verdadera. Assm, podemos estar nteressados em testar, por exemplo, se θ é gual a um certo θ 0, que é chamada de hpótese nula e que usualmente representamos por H 0, ou seja: H 0 : θ = θ 0 A hpótese que será consderada como acetável, caso H 0 seja rejetada, chama-se de hpótese alternatva, normalmente representada por H 1, que poderá, nesse caso, ter uma das seguntes formas: H 1 : θ < θ 0 ; H 1 : θ > θ 0 ou H 1 : θ θ Introdução à Estatístca

167 Observação: dzemos que um teste é blateral quando a hpótese alternatva é da forma H 1 : θ θ 0. Por outro lado, se essa hpótese é dada por H 1 : θ < θ 0 ou H 1 : θ > θ 0, dzemos que o teste é unlateral à esquerda ou à dreta, conforme seja o caso. 9. Erros do tpo I e do tpo II Ao realzarmos um teste de hpóteses estamos sujetos a cometer dos tpos de erros, a saber, o chamado erro do tpo I, que consste em rejetar a hpótese nula quando essa é verdadera, e o erro do tpo II, que consste em não rejetar H 0, quando H 0 é falsa. As probabldades desses erros são, portanto: = P(do erro tpo I) = P(rejetar H 0 H 0 verdadera) e = P(do erro tpo II) = P(não rejetar H 0 H 0 é falsa) sendo que também é chamada de nível de sgnfcânca do teste. Sera desejável, obvamente, que os valores de e fossem ambos tão pequenos quanto possível. No entanto, pode-se verfcar que, ao dmnur-se o valor de um, o outro aumenta. Assm, na prátca, costuma-se arbtrar um valor para Introdução à Estatístca 167

168 o nível de sgnfcânca, que usualmente é fxado em 0,01 ou 0, Determnação da regão de rejeção Dada uma amostra aleatóra, o que na realdade um teste de hpótese faz é, baseado no valor de uma estatístca T, rejetar ou não a hpótese nula, sendo esta hpótese rejetada se o valor de T pertencer a uma certa regão, denomnada de regão de rejeção, RR. Assm, podemos escrever a probabldade do erro tpo I como: P(T RR H 0 é verdadera) = (9.1) Consequentemente, para um valor fxo de obtemos por (9.1) a respectva regão de rejeção, ou seja, dessa forma consegumos a regão que determna a rejeção de H Passos para a construção de um teste de hpóteses A segur temos uma sequênca que pode ser usada na realzação de qualquer teste de hpóteses: Passo 1: fxar as hpóteses nula(h 0 ) e alternatva (H 1 ); Passo : decdr qual estatístca será usada para julgar a hpótese nula; 168 Introdução à Estatístca

169 Passo 3: fxar o nível de sgnfcânca, usando-o em seguda para defnr a regão de rejeção; Passo 4: usar as nformações da amostra para calcular o valor da estatístca ctada no passo ; Passo 5: se o valor ctado no passo anteror pertencer à regão de rejeção, rejetar H 0 ; caso contráro, não rejetar. Veremos a segur exemplos para testar a hpótese de que a proporção p de uma população seja gual a um certo valor fxado p 0. Também testaremos a hpótese de que a méda populaconal seja gual a um certo valor 0, supondo-se conhecda a varânca populaconal. Exemplo 9.1 Um canddato Y a prefeto de certa cdade afrma que 60% dos eletores são favoráves à sua canddatura. Um outro canddato, no entanto, deseja contestar essa afrmação, e para sto, contratou uma pesqusa de opnão, na qual o nsttuto contratado usou uma amostra de 00 eletores. Constatado que dos eletores entrevstados 110 eram favoráves ao canddato Y, pode-se acredtar, ao nível de 5%, que Y tem realmente 60% da preferênca dos eletores? Introdução à Estatístca 169

170 Passo 1: colocaremos à prova a afrmação do canddato Y, sto é, H 0 : p=0,60, sendo p a proporção de eletores favoráves a Y. Sabemos que se esta hpótese não for verdadera o outro canddato espera uma porcentagem menor, nunca maor. Portanto, a hpótese alternatva, neste caso, é dada por H 1 : p <0,60, ou seja, o teste é unlateral à esquerda. Passo : a estatístca a ser usada aqu é: Z Pˆ p p(1 p) 00 sendo Pˆ a proporção dos 00 eletores que são favoráves ao canddato Y e, conforme já sabemos, Pˆ tem dstrbução aproxmadamente p(1 p) N(p; ), sgnfcando dzer que a 00 dstrbução de Z se aproxma de uma N(0;1). Passo 3: fxando = 5%, e sendo este um teste unlateral à esquerda, temos: 0,05 = P(Rejetar H 0 H 0 é Verdadera) = = P(Z < z 0 p = 0,60) 170 Introdução à Estatístca

171 do qual obtemos, através da tabela da normal padrão, que z 0 =- 1,65, ou seja, neste caso a regão de rejeção é defnda pelo conjunto dos valores da normal padrão menores que -1,65. Passo 4: dado que 110 dos eletores entrevstados eram favoráves a Y temos que a proporção amostral fca: Pˆ 110 0, Assm, o valor da estatístca do teste para os dados observados, e consderando H 0 verdadera, será: Z 0,55 0,60 1,445 0,0346 Passo 5: do resultado anteror vemos que o valor observado de Z não pertence à regão de rejeção. Portanto, não temos motvo para rejetar a hpótese nula, sto é, há evdêncas de que o canddato Y tem realmente 60% da preferênca do eletorado. Exemplo 9. Uma senhora Y afrma possur percepção extrassensoral. Para testar tal capacdade fo pedda a partcpação de pessoas presentes para a realzação de um expermento, sendo que cada repetção conssta no segunte: um dos presentes pegava uma carta preta e uma branca, Introdução à Estatístca 171

172 segurando uma em cada mão, de forma que a senhora Y só poda ver as costas das cartas. Em seguda, peda-se à referda senhora para dentfcar em que mão estava cada uma das cartas. O expermento fo repetdo 40 vezes e, dessas, a senhora Y acertou 7 e errou 13. Baseando-se neste expermento podemos afrmar, ao nível de 1,0%, que essa senhora tem realmente percepção extrassensoral ou devemos conclur o contráro, ou seja, que ela smplesmente advnhou? Nesse caso estamos nteressados em testar a hpótese de que a senhora Y está smplesmente advnhando, o que sgnfca testar se a proporção p de acertos é gual a 0,5. Um valor de p maor que 0,5 ndcará, então, que a senhora Y possu percepção extrassensoral. Assm, segundo os passos para a construção de um teste de hpóteses, teremos: Passo 1: de acordo com o que ctamos anterormente, para esse teste a hpótese nula é H 0 : p = 0,5, e a alternatva será H 1 : p>0,5, ou seja, teremos aqu um teste unlateral à dreta. No caso de H 0 não ser verdadera espera-se uma proporção de acertos maor que 0,5, dada a afrmação da senhora Y de que possu percepção extrassensoral. 17 Introdução à Estatístca

173 Passo : a estatístca desse teste é: Z Pˆ p p(1 p) 40 sendo Pˆ a proporção de acertos da senhora Y nas 40 realzações do expermento. Novamente temos que Pˆ possu p(1 p) dstrbução aproxmadamente N(p; ), ou seja, a 40 estatístca Z se dstrbu segundo uma N(0;1), também de forma aproxmada. Passo 3: fxando = 1,0% e sendo esse um teste unlateral à dreta, temos: 0,01 = P(rejetar H 0 H 0 é verdadera) = = P(Z > z 0 p = 0,50 ) Dessa forma, obtemos da tabela da normal padrão que z 0 =,33, ou seja, a regão de rejeção é defnda pelo conjunto dos valores da normal padrão maores que,33. Passo 4: dado que a senhora Y acertou 7 das 40 repetções do expermento então o valor da proporção amostral é Pˆ =7/40=0,675. Consequentemente, supondo H 0 verdadera: 0,675 0,5 Z 0,079,15 Introdução à Estatístca 173

174 Passo 5: como o valor observado de Z não pertence à regão de rejeção, não rejetamos H 0. Isto é, ao nível de 1,0%, não rejetamos a hpótese de que a senhora Y estava smplesmente advnhando. Exemplo 9.3 Para uma população de cranças com gual dade cronológca, deseja-se testar a hpótese de que a méda populaconal de seus QIs dfere de 100. Para sto, aplcou-se o teste de Bnet-Terman a uma amostra de 970 cranças, obtendo-se um QI médo gual a 10. Supondo-se que o desvo padrão da população é conhecdo e gual a 17,03, pode-se afrmar, ao nível de 5%, que dfere de 100 o QI médo da população dessas cranças? Passo 1: consderando o QI médo da população dessas cranças, nossa hpótese nula é H 0 : = 100 e a alternatva H 1 : 100. Passo : a estatístca para este teste é: Z X 17, X 0,315 sendo a dstrbução de Z aproxmadamente N (0;1). 174 Introdução à Estatístca

175 Passo 3: fxado = 5,0%, e sendo esse um teste blateral, temos: 0,05 = P(Z < - z 0 ou Z > z 0 = 100 ) = = P(Z < - z 0 = 100 ) + P(Z > z 0 = 100 ) = = P(Z > z 0 = 100 ) 0,05 P(Z > z 0 = 100 ) 0, 05 Assm, da tabela da normal padrão obtemos z 0 =1,96, ou seja, a regão de rejeção fca defnda pelo conjunto dos valores da normal padrão menores que 1,96 ou maores que 1,96. Passo 4: pelos dados do problema temos que o valor da méda amostral é X = 10. Logo, supondo H 0 verdadera: Z 6,4 0,315 Passo 5: como o valor de Z pertence à regão de rejeção, rejetamos H 0, sto é, não acetamos a hpótese de que o QI médo da população das cranças seja gual a 100. Introdução à Estatístca 175

176 Problemas 1. Para cada uma das hpóteses a segur defnr a regão de rejeção correspondente, supondo-se para sto um nível de sgnfcânca gual a 1%. (a) H 0 : P=0,5 contra H 1 : P<0,5 (b) H 0 : P=0,5 contra H 1 : P>0,5 (c) H 0 : P=0,5 contra H 1 : P0,5. Os novos operáros de uma empresa são trenados a operar uma máquna, e o tempo X (em horas) de aprendzado é anotado. Admte-se que X tem dstrbução N(5;100). Uma nova técnca de ensno, que deve melhorar o tempo de aprendzado, fo testada em 16 novos empregados, os quas apresentaram,3 horas como tempo médo de aprendzado. Você dra, ao nível de 5%, que a nova técnca é melhor do que a anteror? 3. As estatístcas mostram que, aproxmadamente, 40% dos canddatos aos cursos de pscologa de certo país conseguem ser admtdos. Uma escola superor bastante conhecda nforma, no entanto, que de seus 43 canddatos ao curso de pscologa, neste últmo ano, 30 foram admtdos. Você acha, ao nível de 1%, que essa escola tem razões para 176 Introdução à Estatístca

177 afrmar que a proporção de canddatos admtdos para seu curso de pscologa é maor do que a naconal? 4. Os produtores de um programa de televsão pretendem modfcá-lo se o mesmo for assstdo regularmente por menos de um quarto dos telespectadores. Uma pesqusa encomendada a uma empresa especalzada mostrou que, de 400 famílas entrevstadas, 70 assstem ao programa regularmente. Baseando-se nos dados, qual deve ser, ao nível de 1%, a decsão dos produtores? 5. O saláro médo dos empregados das ndústras sderúrgcas é de,5 saláros mínmos, com um desvo padrão de 0,5 saláros mínmos. Em uma frma de 1500 empregados, consultou-se 49 e obteve-se um saláro médo de,1 saláros mínmos. Pode-se conclur que esta frma paga saláros nferores? Use = 5%. 6. Uma companha de cgarros anunca que o índce médo de ncotna dos cgarros que fabrca apresenta-se abaxo de 3 mg por cgarro. Um laboratóro realza 6 análses desse índce, obtendo: 7, 4, 1, 5, 6,. Sabendo-se que o índce de ncotna se dstrbu normalmente, com varânca gual a 4,86 mg, pode-se acetar, ao nível de 5%, a afrmação do fabrcante? Introdução à Estatístca 177

178 7. Sabe-se que os calouros admtdos nos cursos de matemátca de todas as unversdades de certo país apresentam, num teste vocaconal, uma nota méda gual a 115 e o desvo padrão gual a 0. O curso de matemátca de uma unversdade Y desse país está nteressado em saber se seus calouros são típcos com relação à vocação. Para sto aplcou o mesmo teste vocaconal na sua últma turma de 40 calouros e obteve uma nota méda gual a 118. Baseando-se nessa turma podemos afrmar, ao nível de 5%, que os alunos de matemátca da unversdade Y são típcos com relação à vocação? 8. Numa unversdade X deseja-se testar se é dferente de 50% a proporção de alunos com QI acma de 110. Para sto colheu-se uma amostra de 60 alunos e obteve-se que 41 destes tnham QI acma de 110. Com base nesta amostra podemos acredtar, ao nível de 1%, que não é de 50% a proporção de alunos com QI acma de 110? 178 Introdução à Estatístca

179 Capítulo 10 Regressão lnear smples 10.1 Relação entre varáves a) Uma relação funconal entre duas varáves é dada por: Y = f(x) de forma que, para um partcular valor da varável ndependente X, a função f ndca o valor da varável dependente Y. Se Y = ax+b, por exemplo: então, nesse caso, todos os pontos estão sobre a reta. Introdução à Estatístca 179

180 b) Em uma relação estatístca (ou modelo estatístco), no entanto, os pontos não estão necessaramente sobre a curva da relação, conforme lustramos a segur: 10. Modelo de regressão lnear smples Quando se tem uma únca varável ndependente (varável X) e o modelo estatístco da forma: Y = X +, (10.1) sendo: Y : varável resposta (dependente); X : valor préfxado(não é varável aleatóra); 0 e 1 : parâmetros; Var ( ) =, : é um erro aleatóro, com E( ) = 0, para =1,,...,n e Cov(, j ) = 0, j, e 180 Introdução à Estatístca

181 usando-se a suposção de que a dstrbução de é normal, ou seja, trabalhando-se com a hpótese de que a dstrbução de é N(0, ),, então nesse caso dz-se que o modelo (10.1) é de regressão lnear smples, com erros normalmente dstrbuídos. No modelo de regressão lnear smples temos: a) O valor esperado de Y é chamado de função de regressão, sendo: E(Y )= E( X + ) = X ; b) Var(Y ) = Var( X + ) = Var( ) = ; c) Cov(Y, Y j ) = 0, j, vsto que e j são não correlaconadas, para todo j ; d) O parâmetro 1 sgnfca em quanto muda E(Y), para cada undade que se acrescenta em X Método de mínmos quadrados Para determnar estmadores para 0 e 1, normalmente emprega-se o método de mínmos quadrados, que consdera a soma dos quadrados dos desvos de Y com relação ao seu valor esperado: Introdução à Estatístca 181

182 Y β0 Q ε ( β X ). (10.) 1 Sendo que, de acordo com esse método, os estmadores de 0 e 1 são os valores que mnmzam Q Estmadores de mínmos quadrados Dervando Q com relação a 0 e 1, obtemos: Q 0 Q 1 n 1 n 1 (Y β β X ); X (Y β 0 β X ) Fazendo as equações anterores guas a zero e usando b 0 e b 1 como os valores de 0 e 1 que mnmzam Q, obteremos: n 1 ( Y b b X ) 0 ; 0 1 n 1 Desenvolvendo, temos: X ( Y b b X ) Introdução à Estatístca

183 Introdução à Estatístca X b nb Y n 1 n ; (10.3) 0 X b X b X Y n 1 n 1 1 n 1 0. (10.4) As equações (10.3) e (10.4) são então chamadas de equações normas e b 0 e b 1 são os estmadores de mínmos quadrados de 0 e 1, respectvamente. De (10.3) e (10.4) podemos dretamente obter b 0 e b 1, sendo: n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 X Y X X X Y X X Y 1 X) ( Y) X) ( ( n ) ( n ) ) ( ( b ;(10.5) X b Y ) b ( n 1 b n 1 n 1 X Y. (10.6) Observação: costuma-se escrever: X b b Y 1 0,

184 que é o estmador de mínmos quadrados da função de regressão E(Y) = X. Exemplo 10.1 Um pscólogo estava nvestgando a relação entre o tempo que um ndvíduo leva para reagr a certo estímulo e a dade dele. Defnu-se então Y = tempo de reação e X = dade, obtendo-se os seguntes resultados, para uma amostra de 0 ndvíduos. Y X Y X Introdução à Estatístca

185 Nesse caso: (600) (.150) ,90; (600) b1 b 0 1 (.150 (0,90) (600)) 80,5. 0 Assm: Y 80,5 0,90X ou seja, estmamos que o tempo médo de reação cresce 0,90 para cada aumento de um ano na dade do ndvíduo Resíduos Defnmos o resíduo para uma dada observação como a dferença entre o valor observado e o valor estmado, ou seja, denotando o -ésmo resíduo por e, temos: e Y Y Y b b X 0 1. Introdução à Estatístca 185

186 Exemplo 10. Consderando os dados do exemplo anteror, obtemos: Y Y e Y Y 96 98,5 -, ,5 1,5 9 98,5-6, ,5-7, ,5 7, ,0 0, ,5 1, ,0-7, ,0-5, ,0 6, ,0 1, ,0-4, ,0 7, ,5-3, ,0 -, ,5-4, ,5 8, ,5 10, ,5-1, ,5 0,5 e Observação: os resíduos são mportantes para verfcar se um modelo de regressão é aproprado para os dados que se tem em mãos (mas adante trataremos deste assunto). 186 Introdução à Estatístca

187 10.6 Algumas propredades da regressão lnear, ajustada pelo método de mínmos quadrados 1. A soma dos resíduos é zero: n n n n X 0, e (Y b0 b1x ) Y nb0 b1 pela equação (10.3). A soma dos valores observados da varável dependente (Y) é gual à soma dos valores ajustados ( Y ), sto é, também pela equação (10.3): n 1 Y nb 0 b n 1 1 X n 1 n 1 b n 0 b1 X 1 ( b 0 b1x) n 1 Y^. Y 3. A regressão lnear ajustada passa pelo ponto ( X, ), pos: ^ Y b 0 b X 1 Y b 1 X b X 1 Y b (X X) 1. Introdução à Estatístca 187

188 188 Introdução à Estatístca 4. A soma dos resíduos ponderados pelos níves da varável ndependente é zero, ou seja: n 1 n 1 X e X ) Y Y ( b X ) b Y ( 1 0 n 1 X n 1 n 1 n 1 X X 0 X b b Y 1 0 (pela equação normal (10.4)). 5. A soma dos resíduos ponderados pelos valores ajustados também é zero, sto é: n 1 n 1 e e ) X b (b Y X b b 1 0 n 1 n 1 e e.

189 10.7 Inferêncas sobre 1 Y β o Para o modelo de regressão lnear smples, β X 1, mostra-se que b 1 tem dstrbução normal com méda e varânca dadas por: E(b 1 )= 1 (b 1 é não vcado) e Varb 1 n 1 ( X X) Estmador da varânca de b 1 De acordo com a defnção do -ésmo resíduo, temos a soma dos quadrados resduas (ou soma de quadrados dos erros): n 1 n SQE (Y Y) (Y b0 b1x ). (10.7) 1 Dvdndo SQE por n- (que são seus graus de lberdade), obtemos o chamado quadrado médo resdual (ou quadrado médo do erro): SQE QME. (10.8) n Introdução à Estatístca 189

190 Mas adante mostraremos que QME é um estmador não vcado de, ou seja, E(QME) =. Desta forma obtemos um estmador não vcado para a varânca de b 1, a saber: QME S b 1 n. (10.9) ( X) 1 X 10.9 Intervalo de confança para 1 Faclmente mostra-se que a dstrbução de (b 1-1 )/S(b 1 ) é uma t de Student com n- graus de lberdade. Assm, para t 0 o valor real, tal que P(t (n-) > t 0 ) = /, tem-se: b1 1 ( t t ) 1 s(b ) P P( t0 S(b 1) b1 1 t0s(b 1)) 1, ou seja, obtém-se então que b t S( b ) ; b t S( b ) é um ntervalo de confança para 1 com coefcente de confança Introdução à Estatístca

191 Observação: como já sabemos, para o cálculo de S (b 1 ) precsamos de SQE, sendo que esta soma pode ser dada por uma das três seguntes fórmulas: Y b0 Y b1 SQE X Y. (10.10) SQE SQE [ ( X X) ( Y Y)] ( Y Y). (10.11) ( X X) Y ( Y ) n ( X Y X ( X ) ( n n X ) Y ). (10.1) de forma que, no caso em que já se conheça b 0 e b 1, a fórmula (10.10) é obvamente a mas ndcada para este cálculo. Exemplo 10.3 Consderando o exemplo 10.1, do qual já conhecemos b 0 e b 1, teremos: SQE = ,5(150)-0,90(65.400) = 563. Introdução à Estatístca 191

192 Temos também que ( X X ) Assm: S 1 (b ) , b 0, 177 S 1. Para 1- = 0,95 obtemos, pela tabela da dstrbução t, que t 0 =,101. Portanto: b t S( b ) 0,90 (,101)(0,177) (0,53 ; 1,7) Teste sobre 1 testamos: Para verfcar se não exste relação lnear entre X e Y, H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 0 De forma que não rejetar H 0 sgnfca não exstr relação lnear entre X e Y. Nesse caso, temos que a estatístca do teste é: t b1 S(b ). (10.13) 1 19 Introdução à Estatístca

193 cuja dstrbução é uma t de Student com n- graus de lberdade, supondo H 0 verdadera. Consderando novamente o exemplo 10.1, teremos: t c 0,90 5,1. 0,177 Portanto, como t c, 101, rejetamos H 0 nesse caso, ou seja, há evdêncas de que exste relação lnear entre X e Y Inferêncas sobre 0 Para o modelo de regressão lnear smples Y = X +, temos que a dstrbução de b 0 Y b1 X é normal com méda 0 (b 0 é não vcado), e a varânca é dada por: 1 X Var (b 0) n. (10.14) n (X X) 1 Introdução à Estatístca 193

194 De medato, então, concluímos que: 1 S ( b0 ) QME n n ( X ) X 1 X, (10.15) é um estmador não vcado de var(b 0 ) Intervalo de confança para 0 Analogamente ao que vmos para b 1, temos que a dstrbução de (b 0-0 )/S(b 0 ) é uma t de Student com n- graus de lberdade. Consequentemente, se t 0 é o valor da dstrbução t, tal que P(t (n ) t0), então: ( b t S( b ) ; b t S( b )) será um ntervalo de confança para 0, com coefcente de confança 1 -. Da mesma forma, temos que t = b 0 /S(b 0 ) é a estatístca para testar: H 0 : 0 = 0 H 1 : Introdução à Estatístca

195 cuja dstrbução também é uma t de Student com n- graus de lberdade, quando H 0 é verdadera Predções Para os elementos pertencentes à amostra, usamos até agora o índce. Introduzremos, no entanto, um outro índce h para nos referrmos aos valores que pertençam ou não à amostra. Assm Y h b 0 b X 1 h, do qual verfcamos que Y h tem dstrbução normal e também podemos mostrar que seu valor esperado e sua varânca são dados por: E(Y h) E(Y h). (10.16) Var(Y h) 1 ( n (Xh X) ) n. (10.17) ( X) 1 X Substtundo então por QME obtemos um estmador não vcado de Var(Y h) : 1 (Xh X) S (Yh) QME( ) n. (10.18) n (X X) 1 Introdução à Estatístca 195

196 10.14 Intervalo de confança para E(Y h ) Não é dfícl mostrar que [ Yh E(Y )]/ S(Y h) tem dstrbução t de Student com n- graus de lberdade. Dessa forma, consderando t 0 como o valor da dstrbução t, tal que P(t (n ) t0), temos que: Yh t S(Y h) ; Yh t S(Y )], [ 0 0 h é um ntervalo de confança para E(Y h ), com coefcente de confança 1-. h Intervalo de predção para uma nova observação Representando por Y h(novo) uma nova observação de Y, para o nível X h de X, e pelo fato da ndependênca entre Y h(novo) e as observações da amostra, temos: Var (Y h (novo) Yh) Var(Y h (novo) ) Var(Y h ) 1 [ n (Xh X) 1 ] [1 n (X X) (Xh X) ]. (X X) 196 Introdução à Estatístca

197 Consequentemente, um estmador não vcado para Var (Y h (novo) Yh) será: S (Y h(novo) 1 (Xh X) Y h) QME [1 ]. n (X X) No caso do modelo de Regressão Lnear Smples pode-se mostrar que a dstrbução de: S Y h( novo) ( Yh ( novo) Y h Y h, ) é uma t de Student com n- graus de lberdade. Assm, consderando-se novamente t 0 como o valor da dstrbução t, tal que P[t (n ) t0], tem-se, portanto, que o ntervalo de predção para Y h(novo) será dado por: Y h t 0S ( Yh ( novo) Y h ). Exemplo 10.4 Com relação anda ao exemplo 10.1 e consderando uma dade de 45 anos, teremos: Introdução à Estatístca 197

198 S S(Y (Y 45(novo) 45(novo) Y Y Temos também: 563 ) 1 18 ) 6, ,8 Y 45 80,5 (0,90)(45) 11. Para 1 - = 0,95, obtemos t 0 =,101. Assm: [ Y t S( Y Y )] [11,101 6,315 ] (107,73 ; 134,7) ( novo) 45 é o ntervalo de predção para Y 45 ( novo), com 95% de confança Partção da soma de quadrados total A varação de Y é convenconalmente defnda por Y Y, de forma que a medda de varação total é dada pela soma de quadrados: n n ( ) 1 1, (10.19) SQT Y Y Y ny que é denomnada de soma de quadrados total. 198 Introdução à Estatístca

199 por A varação de Y em torno da reta de regressão é dada Y Y, de forma que a medda desses desvos é denomnada de soma de quadrados dos erros. Conforme vmos antes é defnda por: n 1 Y) SQE (Y. (10.0) Fnalmente, para medr a varação dos valores ajustados em torno da méda das observações, temos a soma de quadrados da regressão: n 1 Y) SQR (Y. (10.1) Y : Na fgura segunte lustramos a partção da varação de Introdução à Estatístca 199

200 de forma que o desvo Y Y pode ser vsto como a soma dos componentes Y e Y Y Y, ou seja: (Y Y) (Y Y ) (Y Y). (10.) Temos também que as somas de quadrados seguem a mesma relação de (10.), sto é: n 1 pos: n n Y) (Y Y) (Y Y) 1 1 ( Y, (10.3) n 1 n 1 ( Y Y) [(Y Y) (Y Y )] n 1 [( Y Y) (Y Y) (Y Y ) (Y Y ) ] sendo: n n n (Y Y)(Y Y) (Y Y) (Y Y ), n n n (Y Y) ( Y Y)(Y Y ) Y (Y Y ) Y n 1 Y e Y e 0. n 1 00 Introdução à Estatístca

201 Dessa forma, está verfcado o que afrmamos anterormente, ou seja: SQT SQE SQR (10.4) Graus de lberdade Este número ndca quantas partes envolvendo as n observações Y 1, Y,..., Y n é precso conhecer para determnar a soma de quadrados. Assm, a soma de quadrados total tem n-1 graus de lberdade, vsto que (Y Y) 0, sgnfcando, portanto, que se conhecendo n-1 das partes Y 1 Y, Y Y,..., Yn Y n 1 a outra estará conhecda. De acordo com o que fo vsto anterormente n 1 (Y Y) 0 e n X ( Y ) 0. Logo, conhecendo-se 1 Y 1 n Y n- das partes Y Y1, Y Y,..., Y n, as outras duas estarão medatamente determnadas. Portanto, conclu-se que a soma de quadrados do erro tem n- graus de lberdade. Introdução à Estatístca 01

202 Por outro lado, pode-se verfcar que 1 ) SQR b (X X. Assm, observa-se que essa soma de quadrados depende de uma únca função de Y 1, Y,..., Y n, que é b 1. Dessa forma, conclu-se que SQR tem um grau de lberdade. Observação: nesse caso temos que os graus de lberdade são adtvos, pos: (n-1)=(n-) Quadrado médo Dvdndo-se a soma de quadrados pelo respectvo número de graus de lberdade obtém-se o chamado quadrado médo, ou seja, QME=SQE/(n-) e QMR=SQR, sendo que QME e QMR denotam o quadrado médo do erro e o quadrado médo da regressão, respectvamente. 0 Introdução à Estatístca

203 10.19 Tabela de análse de varânca A tabela segunte apresenta a partção da soma de quadrados total e dos seus graus de lberdade, sendo então defnda como tabela de análse de varânca. Fonte de varação Somas de quadrados Graus de lberdade Quadrados médos Regressão SQR 1 QMR Erro SQE n QME Total SQT n 1 Consderando novamente o exemplo 10.1, temos: n SQT Y n Y, 1 SQT (0)(107,5) No exemplo 10.3 obtvemos SQE = 563. Assm: SQR = SQT SQE, SQR = = 810. Introdução à Estatístca 03

204 Dessa forma: Fonte de Somas de Graus de Quadrados varação quadrados lberdade médos Regressão Erro ,8 Total O coefcente de determnação Um valor que mede o efeto da varável ndependente X na varação de Y é o chamado coefcente de determnação, que é defndo por: r SQT SQE SQR, (10.5) SQT SQT sendo que SQT mede a varação de Y, ndependente de X, e SQE mede a varação de Y, consderando a varável X no modelo de regressão. 04 Introdução à Estatístca

205 Observações: 1) Como 0 SQE SQT, então 0 r 1. ) Se todas as observações caem na reta ajustada então SQE=0 e, consequentemente, r =1. Neste caso, a varável X explca toda varação nas observações Y. 3) Se b 1 =0, então Y Y, portanto SQE=SQT e, consequentemente, r =0, sgnfcando que X não nflu na redução da varação de Y. 4) A SQE é chamada de varação não explcada, enquanto que SQR é denomnada de varação explcada pela equação de regressão. Assm, costuma-se nterpretar r como a proporção da varação total de Y, que é explcada por X, segundo o modelo de regressão consderado. 5) A raz quadrada de r é o coefcente de correlação amostral: r r, de forma que a varação desse coefcente é: 1 r 1, com o snal correspondendo ao snal de b 1 (coefcente angular da reta estmada). Introdução à Estatístca 05

206 6) Pode-se verfcar que o coefcente de correlação amostral também pode ser obtdo dretamente por: ( X X) ( Y Y) r [ ( ) ( ) ] 1 n n 1 X X Y Y 1 1 n = n ( X) ( Y) n 1 1 XY 1 n n n ( X) ( Y) Y [( X )( )] n n n (10.6) Exemplo 10.5 Anda com relação ao exemplo 10.1, temos: r 810 0, Introdução à Estatístca

207 10.1 Análse de adequação do modelo Usamos gráfcos de resíduos para examnar, de manera nformal, alguns problemas que podem ser detectados no ajuste de um modelo de regressão lnear, como: a) A função de regressão não é lnear; b) Os erros não têm varânca constante; c) Presença de observações muto dstancadas das demas (outlers); d) Os erros não são normalmente dstrbuídos. a) A função de regressão não é lnear No caso do modelo lnear ser aproprado para os dados, o gráfco dos resíduos contra a varável ndependente X apresenta o segunte aspecto: Introdução à Estatístca 07

208 Para mostrar um exemplo em que o modelo lnear não é adequado, consderemos o segunte conjunto de dados: Y X ^ Y e 0, ,66-1,06 6,70 0 7,75-1,05 5, ,7 1,03 4, ,40 0,60 6, ,01 0,54,15 100,53-0,38 6, ,88-0,8 5, ,14 0,61 sendo: Y 1,8 0,0435X. 08 Introdução à Estatístca

209 Nesse caso: Conforme vemos, a função de regressão lnear não é adequada para esses dados, pos os resíduos não dstrbuem-se aleatoramente em torno do zero. Introdução à Estatístca 09

210 b) Os erros não têm varânca constante Se a varânca dos erros aumenta quando os valores de X crescem, então o gráfco dos resíduos contra a varável ndependente X apresenta-se com o segunte aspecto: Observações: 1. Obtém-se um comportamento análogo no gráfco dos resíduos contra os valores ajustados Y, sendo que, no caso da função de regressão não ser lnear, ou quando se tem um modelo de regressão múltpla, necessaramente usa-se este últmo; 10 Introdução à Estatístca

211 . Equvalentemente, é possível encontrar a varânca dos erros decrescendo, quando X cresce, ou varando de alguma manera, ou seja, pode-se ter a varânca dos erros não constante também em casos em que o gráfco dos resíduos tem formas tas como: c) Presença de outlers Se dz que d e / QME é o -ésmo resíduo padronzado pelo desvo padrão, dado que o QME é uma varânca amostral dos resíduos, sto é: _ (e e) e SQE QME. n n n Introdução à Estatístca 11

212 Portanto consderaremos o gráfco de resíduos padronzados contra a varável ndependente para verfcar se algum ponto está a uma dstânca do zero superor a três. Essa é uma das maneras, entre váras outras exstentes, de classfcar uma observação como outler. Para exemplfcar, vejamos o gráfco a segur, no qual o ponto crculado é tratado como outler, pos a dstânca entre ele e o zero é maor que três. Observações: 1. A presença de um outler causa prejuízos para o ajuste de uma reta de regressão porque, pelo método de mínmos quadrados, a reta ajustada é puxada desproporconalmente para esse ponto; 1 Introdução à Estatístca

213 . Um outler pode, no entanto, conter sgnfcatvas nformações, de forma que a smples exclusão desse ponto podera causar consderável perda para o ajuste, ou seja, a retrada de outlers do conjunto dos dados só é recomendada quando se tem a certeza de que eles são resultados de erros grosseros" na fase da amostragem. d) Normaldade da dstrbução dos erros Através do papel de probabldade normal", que é um papel em que uma das escalas está subdvdda conforme as probabldades acumuladas de uma dstrbução normal, podese, de uma forma prátca, verfcar se a dstrbução dos dados foge muto de uma normal ou não. Para sto, calculam-se as frequêncas relatvas acumuladas dos dados e faz-se um plot destas frequêncas contra as probabldades acumuladas do "papel de probabldade normal", de forma que, no caso em que os dados venham de uma dstrbução normal, esse plot será aproxmadamente uma reta. Introdução à Estatístca 13

214 dados: Para fxar a dea, consderemos o segunte conjunto de X Y X Y 15,50 158,70 13,00 165,0 3, ,15 3,75 399,55 8,00 316,00 5, ,80 17,00 061,30 9,75 336,75 5,50 07,50, ,30 19, ,30 18,00 053,50 4, ,70 6,00 414,40,50 575,00 1,50 00,50 7,50 357,90,00 654,0 11,00 56,70 1, ,70 Admtndo o modelo Y 0 X 1, obtemos: Y 67,8 37, 15 X, cujo plot da probabldade normal dos resíduos desse ajuste, obtdo através do pacote computaconal Statístca, é o segunte: 14 Introdução à Estatístca

215 Vemos que o plot apresentado é aproxmadamente uma reta e, sendo esse equvalente ao plot obtdo através do papel de probabldade normal então não temos motvo para rejetar a hpótese de que os erros nesse caso têm dstrbução normal. Observação: pode-se também verfcar nformalmente a normaldade da dstrbução dos erros por outros métodos prátcos, como a análse do hstograma dos resíduos ou observando smplesmente se cerca de 68% dos desvos padronzados caem entre 1 e +1, ou se aproxmadamente 90% deles caem entre -1,64 e 1,64. Introdução à Estatístca 15