SIMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRINCAS COM O USO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO. Natalia Pujol Pacheco Silveira

Transcrição

1 IMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRICA COM O UO DO MÉTODO DO ELEMETO DE COTORO atala Puol Pacheco lvera TEE UBMETIDA AO CORPO DOCETE DA COORDEAÇÃO DO PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO DE EGEHARIA DA UIVERIDADE FEDERAL DO RIO DE JAEIRO COMO PARTE DO REQUIITO ECEÁRIO PARA A OBTEÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊCIA EM EGEHARIA CIVIL. Aprovada por: Profº José Claudo de Fara Telles Ph. D. Profº José Atôo Fotes atago D. c. Profº José Atoo Marques Carrer D. c. Profª. olage Guarães D. c. Profº Lus Paulo da lva Barra D. c. Profº Luz Alk de Lacerda D. c. RIO DE JAEIRO RJ BRAIL OVEMBRO DE 003

2 ILVEIRA ATALIA PUJOL PACHECO ulação de Propagação de Trcas co o Método dos Eleetos de Cotoro[Ro de Jaero] 003 VIII 79 p. 97 c COPPE/UFRJ D.c. Egehara Cvl 003 Tese Uversdade Federal do Ro de Jaero COPPE. Propagação de fssuras. Métodos uércos 3. Eleetos de Cotoro 4. Mecâca da Fratura Lear Elástca I. COPPE/UFRJ II. Título sére

3 À ha Faíla

4 AGRADECIMETO Ao Profº Telles pela oretação otvação e azade dedcados e todos os oetos. Ao Reato pela copreesão cetvo e apoo. Aos eus pas por tudo. Aos colegas do LAMEC pela pacêca copreesão e respeto. À Profª olage Guarães pelas cotrbuções cas essecas para este trabalho. Aos fucoáros e professores do Departaeto de Expressão Gráfca da Escola Poltécca pelo cetvo e torcda. Ao Profº Roberto Olvera pela boa copaha. A todos os fucoáros do LAMEC Laboratóro de Coputação B04 e ecretara do PEC. Aos Professores Cláudo Elas e Eduardo eves pelos preros cetvos e oretações. Ao CPq pelo apoo facero. v

5 Resuo da Tese apresetada à COPPE / UFRJ coo parte dos requstos ecessáros para a obteção do grau de Doutor e Cêcas D.c. IMULAÇÃO DE PROPAGAÇÃO DE TRICA COM O UO DO MÉTODO DO ELEMETO DE COTORO atala Puol Pacheco lvera ovebro / 003 Oretador: José Claudo de Fara Telles Prograa: Egehara Cvl O presete trabalho eprega o étodo dos eleetos de cotoro forulado co o uso da equação tegral de cotoro clássca para a solução de probleas plaos co fssuras. O obetvo prcpal é a represetação da propagação de fssuras quasquer subetdas a u estado plao baseada a Mecâca da Fratura Lear Elástca. A sulação do problea cosste e deterar uercaete o cresceto e a dreção de propagação das trcas e ateras de coportaeto frágl epregado o crtéro de Desdade de Eerga de Deforação Mía. ão propostos ovos procedetos para obteção de soluções fudaetas represetadas pela fução de Gree para deslocaetos e forças de superfíce e u eo fto co trcas. Esta prátca evta a dscretzação usual do cotoro das fssuras e eleetos ua vez que a solução fudaetal para força de superfíce é dretaete ula as faces das trcas. Esta característca é bastate coveete porque são afastados os probleas eretes à degeeração das equações tegras devdo à cocdêca de superfíces a trca. Ua sére de exeplos e coparações co resultados da lteratura é cluída para lustrar a aplcabldade da forulação desevolvda. v

6 Abstract of Thess preseted to COPPE/UFRJ as a partal fulfllet of the requreets for the degree of Doctor of cece D.c. IMULATIO OF CRAC PROPAGATIO UIG BOUDARY ELEMET atala Puol Pacheco lvera oveber/003 Advsors: José Claudo de Fara Telles Departet: Cvl Egeerg The preset work apples the boudary eleet ethod forulated wth the classcal boudary tegral equato for the soluto of two-desoal crack probles. The a dea s the two-desoal represetato of crack propagato probles govered by the lear elastc fracture echacs theory. The proble sulato for brttle aterals s uercally detered through the estato of crack growth ad drectos based o the crtero of the u stra eergy desty factor. ew procedures to obta the Gree s fucto actg as the fudaetal soluto for dsplaceets ad tractos a fte edu wth cracks are proposed. Ths practce avods the usual eleet dscretzato over crack boudares sce the tractos of the Gree s fucto are aturally zero over the crack surfaces. Ths characterstc s qute coveet sce t avods the heret degeerato proble otherwse preset the tegral equatos due to the cocdece of the crack surfaces. A seres of exaples ad coparsos wth results foud elsewhere are cluded to llustrate the applcablty of the proposed forulato. v

7 ÍDICE. CAPÍTULO I - ITRODUÇÃO CAPÍTULO II - REVIÃO DE COCEITO DE MECÂICA DA FRATU- RA II. - Itrodução 6 II. Teora de Igls Abordage por Aálse de Tesões 7 II.3 Teora de Grffth Abordage baseada o Balaço Eergétco 8 II.4 Teora de Orowa 0 II.5 Aálse de Irw-Westergaard II.6 Itegral J 5 II.7 Teacdade à Fratura 7 CAPÍTULO III MÉTODO DE ETIMATIVA DE PROPAGAÇÃO DE TRICA III. Itrodução 8 III. Crtéro TTM Tesão Tagecal Máxa 0 III.3 Crtéro M Tesão Máxa Traxal 0 III.4 Crtéro T Desdade de Eerga de Deforação Dlatacoal III.5 Crtéro Desdade de Eerga de Deforação 3 III.6 Algus Resultados 4 CAPÍTULO IV REVIÃO DO MÉTODO DO ELEMETO DE COTORO IV. - Itrodução 6 IV. Forulação Clássca Idetdade oglaa 6 Equação Itegral para Cotoro Extero 7 Equação Itegral para Cotoro da Trca 7 IV.3 Tesões e potos teros 8 IV.4 Forulação Hpersgular Equação Itegral Hpersgular para Potos Iteros 9 Equação Itegral Hpersgular para Cotoro Extero 9 Equação Itegral Hpersgular para Cotoro da Trca 30 CAPÍTULO V - FUÇÃO DE GREE v

8 V. Itrodução 3 V. - Fução de Gree. 3 olução do Problea Copleetar 3 Abertura Fudaetal da Trca 34 V.3 Fução de Gree Aproxada 37 CAPÍTULO VI - IMPLEMETAÇÃO UMÉRICA VI. Itrodução 38 VI. - MEC 38 VI.3 - Fução de Gree Abertura Fudaetal da Fssura 43 Fuções de Iterpolação para Geoetra da Trca 48 Fuções de Iterpolação para Abertura da Trca 49 Tesão e Potos Iteros 5 Abertura da Trca para o Problea Real 5 VI.4 Propagação da Fssura 53 Algorto de Propagação 56 Algorto de Propagação Alteratvo 57 CAPÍTULO VII- APLICAÇÕE UMÉRICA VII. Itrodução 59 VII. - Problea co Trca Horzotal 60 VII.3 - Problea co Trca Iclada 6 VII.4 - Problea Crucfore 64 VI.5 - Problea de Bordo e Modo I 66 VI.6 - Problea de Bordo e Modo II 68 CAPÍTULO VIII COIDERAÇÕE FIAI 7 BIBLIOGRAFIA 74 v

9 CAPÍTULO I ITRODUÇÃO Este trabalho de tese propõe-se a aplcar o Método dos Eleetos de Cotoro MEC a probleas da Mecâca da Fratura Lear Elástca MFLE co o obetvo de sular a propagação de fssuras e estado plao de tesões e deforações e ateras sotrópcos e fráges. Aplca-se à equação tegral clássca do MEC as soluções fudaetas de Gree para doíos co fssuras obetvado resolver estado tesoal a vzhaça das extredades das trcas e coseqüeteete cohecer a dreção de propagação das esas. A cofguração propagada da fssura é obtda de fora teratva atedo-se o carregaeto estátco e a dscretzação o cotoro costate apeas adaptado a fução de Gree ao ovo odelo a cada estágo do cresceto da trca. Os estudos e Mecâca da Fratura vê se desevolvedo desde o íco do século passado co IGLI 93 e GRIFFITH 94 prcpalete a partr dos últos cqüeta aos co IRWI 957. A ocorrêca de váras catástrofes exgu que as téccas prátcas de esaos e defções teórcas fosse aproradas obetvado a preveção dos feôeos de ruptura das estruturas que utas vezes apresetava causas descohecdas. O processo de fraturaeto de ua estrutura pode ocorrer devdo a város fatores cocetradores de tesões coo por exeplo: falhas teras deoadas trcas ou fssuras defetos de fabrcação provocados por soldage usage ou corte e tesões teras resduas devdo a trataeto térco correto. Ua ruptura por fraturaeto pode ser de atureza frágl ou dúctl. A ruptura frágl ocorre co pouca ou ehua deforação plástca e e coseqüêca esperadaete. ão há deforação acroscópca vsível. O eso á ão ocorre às chaadas trcas dúctes que apreseta grades deforações pertdo preucar acdetes e portato são cosderadas trcas as estáves ABM 98. A Mecâca da Fratura Lear Elástca te coo u dos obetvos deterar ua gradeza que quatfca o feôeo de fssuração o Fator de Itesdade de Tesões FIT. Através deste parâetro pode-se avalar a resstêca da estrutura à

10 fratura que vara e fução da estrutura e do carregaeto ao qual está subetda e pode ser deterado a partr do coheceto do estado tesoal be coo da abertura da trca as vzhaças das extredades. As tesões os potos próxos à pota da fssura relacoa-se segudo IRWI 957 a razão versa da raz quadrada do rao defdo coo a dstâca destes potos até a extredade da trca. Ass sedo pode-se observar que exste as proxdades da pota da fssura ua regão bastate sgular pos à edda que o rao du as tesões tede a fto. Para alguas cofgurações co carregaeto e geoetra relatvaete sples são cohecdas as soluções exatas ou co boa precsão para os Fatores de Itesdade de Tesões FIT. Estes resultados são apresetados e algus auas tas coo: IRWI 958 TADA et al. 973 e ROOE et al Para os casos ão coteplados que apreseta fora e carregaetos cous é ecessára ua proposta de solução uérca aproxada. O Método dos Eleetos de Cotoro é couete aplcado a probleas da Mecâca da Fratura Lear Elástca e atualete exste dversas propostas a f de evtar probleas de tegração as faces cocdetes da trca. ão utlzadas predoateete quatro forulações para resolver probleas da MFLE co o MEC: Método da Descotudade dos Deslocaetos Técca das ub-regões Forulação Msta e Fuções de Gree. O Método da Descotudade dos Deslocaetos troduzdo por CROUCH 976 é ua forulação baseada a solução elástca fudaetal de u eo fto subetdo a ua descotudade de deslocaetos e ua superfíce e eo fto. GUO et al. 990 cosdera esta característca ua grade vatage pos a solução aalítca apreseta resultados precsos próxos à pota da fssura. A Técca de ub-regões BLADFORD et al. 98 WEEË 983 que cosste e separar o doío e regões dsttas calete fo aplcada a probleas ão trcados copostos de doíos heterogêeos. Para estedê-la a probleas da MFLE dvde-se o doío de tal fora que cada face da trca perteça a u sub-doío sepre co a preocupação de copatblzar as forças e deslocaetos as terfaces das sub-regões. Isto gera ua deseável aproxação e potos do doío que agora pertece a eleetos de cotoro fctícos ass crados.

11 o tercero procedeto as equações tegras de cotoro clássca e hpersgular são aplcadas a cada ua das faces da fssura pos quado epregadas soladaete aos probleas trcados ão obtê êxto á que abas as forulações degeera o sstea algébrco de equações. O estudo da represetação da trca através das duas forulações depedeteete é aplaete dscutdo e GUIMARÃE 99. Esta técca deoa-se Forulação Msta ou Dual MARTHA et al.99 PORTELA et al. 99 e GUIMARÃE et al 994 CHE et al 995. A forulação baseada as Fuções de Gree para o MEC é as precsa que as deas pos estas fuções são soluções fudaetas para deslocaeto e força de superfíce que cotepla doíos co trcas ebutdas. ão obstate os resultados aalítcos são cohecdos apeas e u úero restrto de casos que possue carregaeto e geoetra sples YDER et al. 975 CLEMET et al. 983 MEW 987 AG 987 AG et al. 987 TEWARY et al. 996 BERGER et al.997. É ecessára portato ua proposta as geérca capaz de resolver probleas b e trdesoas trcados. Co este propósto CATOR 993 e TELLE et al. 995 apresetara as Fuções de Gree uércas FG bdesoas aplcadas a probleas co trcas retas horzotas sples últplas e de bordo. ILVEIRA 996 e ILVEIRA et al. 998 estedera estes trabalhos a casos plaos co fssuras de geoetra qualquer trcas secrculares quadrátcas cúbcas e stas. BARRA 996 e BARRA et al. 999 aplcara a FG a probleas elastodâcos descrtos tato o doío da freqüêca coo o doío trasforado de Laplace. E 999 FIGUEIREDO propôs ua técca para obteção da FG para aálse de placas co fssuras o doío da MFLE utlzado a teora de Resser e CATOR desevolveu soluções fudaetas da FG para probleas trdesoas. A técca da Fução de Gree uérca gera co boa aproxação a solução fudaetal para deslocaetos e forças de superfíce do problea e é troduzda através da assocação de ua parte copleetar à cohecda solução fudaetal de elv. Atualete eprega-se dversos crtéros para o estudo da calzação e da dreção de propagação de trcas os quas são expressos e teros de FIT. Estes pode ser classfcados bascaete e três grupos: crtéros baseados e tesão crtéros baseados e eerga e crtéros baseados e deforação e refere-se a 3

12 estados ltes de tesão eerga e deforação respectvaete. Os crtéros as acetos basea-se e eerga e tesão HA 000. O MEC assocado às téccas ctadas aterorete ve sedo aplaete epregado o estudo da propagação de fssuras. DOBLARE 990 aplca a técca de sub-regões ao MEC para calcular o âgulo de propagação de trcas e ateras ortotrópcos através do crtéro da tesão crcuferecal áxa e probleas de odo sto de propagação. GUO et al. l990 obtê os FIT e dversos probleas baseados o étodo da descotudade dos deslocaetos e e seguda a dreção de cresceto de fssura pelo crtéro da taxa de lberação de eerga de deforação. Ada esta referêca apreseta a cofguração propagada de ua trca plaa clada subetda a u carregaeto tratvo. A forulação sta do MEC é epregada por PORTELA et al. e 993 para a aálse do cresceto de fssuras e odos I e II exclusvos e stos de propagação plaa obtda pelo crtéro da tesão prcpal áxa. Os FIT são obtdos através da tegral J. Aalsa-se tabé u caso de cresceto de fssura por esforço de fadga. E 994 MI et al. aplca a forulação sta a probleas trdesoas e odos stos de propagação quase-estátca e por fadga. Os fatores de tesdade de tesões são calculados pela técca de extrapolação dos deslocaetos e a dreção de cresceto da fssura segudo o crtéro de desdade de eerga de deforação. YA et al. 995 aplca a forulação sta à aálse de probleas de fadga bdesoal co últplas fssuras. A Itegral J é epregada para obter os FIT e e seguda o crtéro da tesão prcpal áxa para cohecer a dreção de propagação de fssuras sples e últplas. E 996 a forulação sta do MEC é aplcada por PRAAD et al. ao estudo e probleas de Tero-Elastcdade Trasete. O par de equações tegras de cotoro forado pela teperatura e o deslocaeto é aplcado ao cotoro extero e a ua superfíce da trca e u segudo par fluxo e força de superfíce é aplcado à outra face. Obetvado a aálse de fssuras plaas por fadga propõe étodos alteratvos para os cálculos de FIT e detera a dreção de propagação através do crtéro da tesão prcpal áxa. 4

13 E 998 ALIABADI et al. aplca a forulação sta do MEC para a aálse de cresceto de fssuras e lâas ortotrópcas hoogêeas pelo crtéro de tesão crcuferecal áxa e os FIT são calculados através da Itegral J. E 00 LACERDA et al. epregara o crtéro tesão prcpal áxa e apreseta a cofguração propagada de probleas axssétrcos subetdos a carga duzda por cotato. este trabalho a forulação sta é aplcada as ua vez e os FIT são deterados por ua proposta alteratva para taxa de lberação de eerga de deforação. Obetvado a sulação de propagação de fssuras esta tese aplca o crtéro de Desdade de Eerga de Deforação e odfca o trabalho de ILVEIRA et al. 998 que cosdera a geoetra orgal da trca segetada e curvas quadrátcas e propõe u ovo procedeto para a obteção da parte copleetar da FG defdo a geoetra da fssura através de segetos retos. Esta técca du a coplexdade durate o processo de cresceto da trca pos a propagação se dá learete após o coheceto do copreto e da dreção do aueto da esa reduzdo ass o esforço coputacoal quado abas as cofgurações orgal e propagada atê-se parceladas e segetos retos. É portate destacar ovaete que esta técca evta que a alha de eleetos de cotoro sea odfcada a cada estágo de cresceto da trca. Apeas as soluções fudaetas de Gree são odfcadas e razão de sere fuções da abertura fudaetal da trca que apreseta obvaete ua cofguração dferete a cada teração. O capítulo coté ua breve dssertação sobre Mecâca da Fratura vsado ostrar algus cocetos e teoras que fudaeta este trabalho. o capítulo 3 são apresetados algus dos prcpas crtéros de propagação de fssuras. O capítulo 4 obetva apresetar os cocetos báscos do Método dos Eleetos de Cotoro. o capítulo 5 é apresetada ua proposta para a Fução de Gree uérca aplcada ao MEC partcularete facltadora à propagação de fssuras e o capítulo 6 descrevese as pleetações uércas do MEC da Fução de Gree e da propagação de trcas. As aplcações são apresetadas o capítulo 7 e as cosderações fas o capítulo 8. 5

14 CAPÍTULO II II REVIÃO DE COCEITO DE MECÂICA DA FRATURA.. ITRODUÇÃO A teora da Mecâca da Fratura é baseada os trabalhos poeros realzados por IGLI 93 e GRIFFITH 94 que cara os estudos de propagação stável de fssuras e sóldos. Mas adate a Mecâca da Fratura é alavacada por ovos cocetos troduzdos por OROWA 955 e IRWI 957. A perosa ecessdade de quatfcar e qualfcar os feôeos de ruptura das estruturas costateete prevsíves coo por exeplo os desastres ocorrdos os barcos Lberty e avões Coet as décadas de 40 e 50 otvara o aproraeto de téccas prátcas de esaos e defções teórcas correlatas à Mecâca da Fratura. Os estudos e Mecâca da Fratura resulta e ovas cocepções de proetos que assue a estrutura ão coo u eo cotíuo as apresetado falhas cocetradoras de tesões coseqüetes de defetos de fabrcação provocados por soldage usage ou corte e tesões teras resduas devdo a trataeto térco. Resudo falhas teras trcas ou fssuras cuas superfíces apreseta a esa posção geoétrca as co descotudade de deslocaetos. abe-se que ua ruptura por fraturaeto pode ser de atureza frágl ou dúctl. A ruptura frágl ocorre co pouca ou ehua deforação plástca e e coseqüêca esperadaete. O eso á ão ocorre às trcas co coportaeto dúctl que apreseta grades e vsíves deforações pertdo provdecar eddas a f de reedar ou evtar acdetes graves. A avalação da portâca dos defetos pede o coheceto da teacdade do ateral que correspode à resstêca à propagação da fssura. O coportaeto dúctl-frágl de ua peça está assocado ao tpo de ateral. O vdro o cocreto e a cerâca são exeplos de ateras fráges que apreseta deforação precedete à fratura uto pequea ass coo a quatdade de eerga absorvda. Os etas e as lgas etálcas geralete apreseta u coportaeto dúctl. O odo de fraturaeto dos etas é fução tabé de fatores exteros tas coo teperatura tpo e velocdade de carregaeto e o estado de tesões atuates. 6

15 U dos parâetros prcpas que caracterza a Mecâca da Fratura Lear Elástca MFLE é o Fator de Itesdade de Tesões FIT. Através dele pode-se avalar a agtude das tesões e deforações a pota da fssura. O fator de tesdade de tesões é fução da geoetra da estrutura da fssura e do carregaeto a que está subetda e pode ser deterado a partr do coheceto do estado tesoal a vzhaça da extredade da trca. U outro parâetro couete assocado à MFLE aplcado a ateras de coportaeto elástco lear e ão-lear é a Itegral J RICE 968. Esta gradeza é ua tegral de cotoro depedete do caho de tegração e equvalete a G taxa de lberação de eerga de deforação. A covergêca etre os dversos doíos de tegração escolhdos é satsfeta fazedo-se cocdr os potos ltes de tegração co dsttas faces da trca. a aálse de estruturas fssuradas ão basta a verfcação de establdade quato à resstêca à tração lte de escoaeto flabage etc oralete epregados os crtéros tradcoas de desoaeto. É ecessára tabé a deteração de parâetros trísecos à MFLE tas coo FIT e G para posteror cofroto co os ltes crítcos do ateral IC e G C obtdos experetalete obetvado avalar e prever o coportaeto da fssura... TEORIA DE IGLI - ABORDAGEM POR AÁLIE DE TEÕE Os estudos realzados por IGLI 93 são cosderados u dos arcos cas da MFLE. IGLI estudou o estado tesoal de u corpo fto co furo elíptco subetdo a u carregaeto reoto paralelo ao exo prcpal eor e costatou que a tesão áxa ocorre ode o rao de curvatura da elpse é ío cofore está represetado a Fgura II.. A tesão áxa ocorre o poto A e é dada por: ax a b II. upodo o copreto b uto eor que o se-exo aor a e sabedo-se que o rao de curvatura da elpse é dado por: ρ b / a II. a tesão áxa as extredades do furo vale: 7

16 a ax II.3 ρ À edda e que o rao de curvatura ρ tede a zero a elpse aproxa-se geoetrcaete de ua trca co as faces cocdetes e observado a equação II.3 coclu-se que a tesão áxa atuate tede a fto a vzhaça da extredade da fssura. Este feôeo é tão as verdadero a prátca quato as frágl é o ateral. Para ateras co o coportaeto dúctl a capacdade de absorção da eerga através de deforação plástca até a tesão a proxdade a pota da fssura próxa do lte de escoaeto portato a ruptura se verfca para tesões aplcadas aores abedo-se que a tesão de teórca atôca dos ateras é dada por : Eγ CO II.4 b 0 ode E é o ódulo de elastcdade γ é a eerga de tesão superfcal do ateral assocada à cração de ua ova udade de superfíce e b 0 é a dstâca teratôca. Fazedo-se a tesão de coesão II.4 gual à tesão áxa II.3 obtda a pota da trca ve: E γ b 0 a ρ II.5 Logo a tesão crítca C possível de ser aplcada se ruptura do ateral é: C E γ 4ab ρ 0 II.6 Observa-se que a cosderação de u rege puraete elástco a vzhaça da pota da trca e de u rao de curvatura ρ uto pequeo ovaete plca e ua tesão lte para ruptura C uto baxa..3. TEORIA DE GRIFFITH - ABORDAGEM BAEADA O BALAÇO EERGÉTICO GRIFFITH 94 após ter observado que a resstêca teórca à ruptura dos ateras subetdos a ua tesão oral era superor à ecotrada experetalete teta ustfcar este feôeo através da preseça de fssuras uto pequeas este ateral. 8

17 Itroduzdo ua trca de copreto a perpedcular à dreção da tesão aplcada a u corpo plao co espessura utára ocorre ua lberação de eerga estada tutvaete relatva à área hachurada da Fgura II.. Fgura II. Modelo de Igls. abedo-se que a eerga de deforação elástca do produto da tesão deforação e área ve: U U E E βa E Fgura II. Modelo de Grffth. U E lberada é gual à etade Após estudos precsos Grffth deterou o parâetro β portato: πa E II.7 II.8 A eerga ecessára para a cração de ua superfíce de fratura de copreto a é dada por: U γ a II.9 Aplcado o prcípo de coservação de eerga GRIFFITH postulou que o cresceto de ua trca se torará stável quado a taxa de cresceto da eerga elástca lberada G for aor que a taxa de eerga de superfíce absorvda para esse pequeo creeto da trca. U G a U a E γ II.0 9

18 Portato o lte para a establdade da fssura é: UE U a a πa γ E Logo a tesão aplcada de ruptura 0 II. II. C que proporcoa u cresceto stável da trca sto é fraturaeto do ateral segudo GRIFFITH vale: γ E C II.3 πa A expressão II.3 é válda para espessura fa; quado a espessura é grade te-se a supressão da deforação ao logo da dreção da espessura passado à codção de deforação plaa. Logo a tesão crítca fca: γ E C II.4 πa ν É portate destacar este oeto que a teora de GRIFFITH aplca-se apeas a ateras fráges e parte da pressa de que a dreção de propagação da trca é cohecda e perpedcular ao carregaeto aplcado..4. TEORIA DE OROWA Coo fo dto aterorete a teora de GRIFFITH é aplcada co sucesso a ateras fráges ode se costata a trasferêca da eerga de deforação elástca para foração de ua ova superfíce creetada de fssura. Etretato e ateras dúctes sto ão se verfca ua vez que ua parte da eerga lberada é trasforada e eerga de deforação plástca a pota da trca ou sea é ecessára ua eerga para fratura uto superor à eerga cosuda para foração de ovas superfíces. OROWA 955 propõe u acrésco de ua parcela plástca γ P à eerga de tesão superfcal e II.9: ode U P γ γ a II.5 γ >> γ. P Ua vez que o postulado de GRIFFITH dz que ua trca se tora stável quado: U a E U a II.6 te-se portato a tesão crítca gual à:

19 C γ γ P E ode πa E E para estado plao de tesãoept E E / ν para estado plao de deforaçãoepd II.7 OROWA 955 e IRWI 957 esclarece que a expressão é válda para elastcdade lear desde que a zoa deforada plástca a extredade da trca sea uto eor do que a e propõe que a tesão lte crítco da taxa de lberação de eerga crítca ode G C : C sea dada e fução do valor G C E C II.8 πa G γ γ é fução do tpo de ateral teperatura velocdade e tpo de C P carregaeto. O procedeto para sua deteração é ostrado e BRACO AÁLIE DE IRWI-WETERGAARD Co base o coportaeto ecâco a vzhaça da pota da fssura há três aeras possíves de se classfcar a propagação de ua trca segudo os odos de deforação. ão eles: MODO I y x z Fgura II.3 Modo I de deforação. este odo de propagação a abertura da fssura se dá e u plao perpedcular ao do carregaeto tratvo Fgura II.3. As dferetes faces da trca peraece o plao de ação dos esforços.

20 MODO II y x z Fgura II.4 Modo II de deforação. Já este odo a propagação da fssura ocorre devdo a u esforço de csalhaeto coplaar à estrutura Fgura II.4 gerado ass u deslzaeto etre as faces da trca. MODO III y x z Fgura II.5 Modo III de deforação. este últo odo a abertura da trca se dá por csalhaeto e u plao perpedcular à estrutura Fgura II.5. WETERGAARD 939 estudou o capo de tesões a vzhaça de ua trca de copreto a subetda ao odo I de carregaeto reoto e costatou que a tesão atuate esta regão é fução da tesão aplcada da desão da trca e das coordeadas polares r e referetes à pota da trca cosderada ode r é a dstâca até a pota da fssura e o âgulo forado etre o exo x e a oretação do poto o setdo at-horáro cofore é represetado a Fgura II.6. Etão a f II.9 r ode f é fução da coordeada polar.

21 Posterorete IRWI 957 detfca u fator de proporcoaldade estas expressões e o assoca a cada odo de trcaeto. ão crados ass os Fatores de Itesdade de Tesões FIT I II e III relatvos respectvaete aos odos de carregaeto I II e III. As expressões apresetadas a segur represeta os preros teros das séres desevolvdas por IRWI e relacoa tesão tera e deslocaeto e potos próxos à pota da trca e dferetes odos de carregaeto. MODO I τ x y xy z z MODO II I 3 cos se se πr I 3 cos se se πr I 3 cos se cos πr 0 EPT ν x y EPD II.0 II. II. II.3 I r u cos ν se II.4 µ π I r v se ν cos II.5 µ π τ x y xy z z MODO III II 3 se cos cos πr II 3 cos se cos πr II 3 cos se se πr 0 EPT ν x y EPD II.6 II.7 II.8 II.9 II r u se ν cos II.30 µ π II r v cos ν se II.3 µ π τ xz III πr se II.3 3

22 ode τ yz III cos πr III r w se µ π ν ν para EPD e ν ν / ν para EPT; II.33 II.34 ν é o coefcete de Posso; x é o exo cua oretação postva é tagete à extredade cosderada da trca; y é o exo perpedcular a x; u v e w correspode ao deslocaeto e x y e z respectvaete. Logo cofra-se a exstêca de u capo de tesões sgulares as proxdades da trca pos a edda que se aproxa da pota da fssura as tesões vão para fto a orde O / r. Os FIT pode ser terpretados fscaete coo parâetros que defe a tesdade do capo de tesões e deslocaetos a vzhaça da pota da trca. ão depede das varáves e r. Costata-se portato que duas fssuras co copretos dferetes subetdas a tesões dferetes terão a esa dstrbução de tesões e deslocaetos desde que os FIT sea guas. Fgura II.6 stea de coordeadas polares e cartesaas a extredade da trca. Ada segudo IRWI sob rege elástco lear a taxa de lberação de eerga G de u ateral relacoa-se co os fatores de tesdades de tesões cofore as equações abaxo: I II G II.35 E 4

23 ode E E EPT ou E E / ν EPD. o Capítulo 6 serão apresetados os procedetos para a obteção aproxada dos FIT através da abertura da trca e tesão e potos teros epregado alguas expressões ctadas este capítulo..6. ITEGRAL J ea u corpo hoogêeo costtuído de u ateral elástco lear ou ão lear lvre de forças de volue e sueto a u capo de deforações bdesoal ou sea as tesões teras são fuções apeas dos exos coordeados x e x. upodo ada que o corpo coté u etalhe descarregado Fgura II.7 e o cotoro deste etalhe é coposto de duas faces paralelas ao exo x e ua curva t ; ua fssura é a stuação lte quado o rao de curvatura da extredade do etalhe é ulo. Fgura II.7 Problea co etalhe curvo. gual a: A tegral J é defda ao logo de u cotoro vzho à pota da trca e é u J G W dx T d II.36 x ode W é a eerga de deforação por udade de volue defda por: ε W ε II.37 0 d 5

24 ou ada W ε ode e ε são os tesores tesão e deforação respectvaete T são as copoetes das forças de superfíce ao logo do caho de tegração obedecedo ao setdo at-horáro de tegração e é a copoete do vetor oral extero a este caho. A tegral J é gual à taxa de lberação de eerga elástca G e para u rege elástco lear relacoa-se co os fatores de tesdade de tesões segudo à expressão II.35 válda tabé quado a zoa plástca a proxdade da fssura é uto pequea. upoha que sea cohecdo o capo de tesões a vzhaça de ua trca subetda a u estado plao de deforação ode as tesões prcpas obedece a orde > > 3 e outro problea e estado plao de tesão ode as tesões prcpas são > e 3 0. Cosderado-se que as tesões prcpas áxas e são guas pode-se coclur através de ua aálse gráfca observado os círculos de Mohr represetados a Fgura II.8 que o prero problea possu ua tesão csalhate áxa τ áx eor do que τ áx relatva ao problea e tesão plaa. Fgura II.8 Círculos de Mohr: Coparado probleas e deforação e tesão plaas. A deforação plástca é provocada pela tesão csalhate. edo ela aor e tesão plaa explca-se o fato de se ter ua zoa plástca aor este caso. Portato o estado traxal a pota da trca subetda a u estado plao de deforação dfculta a plastfcação esta regão. Coseqüeteete a aplcabldade da equação II.35 que é para coportaeto lear tora-se as cosstete. 6

25 .7. TEACIDADE À FRATURA Teacdade à fratura IC é o fator de tesdade de tesões áxo adssível e ua estrutura fssurada subetda exclusvaete ao odo de carregaeto I. Este parâetro obtdo experetalete expressa a resstêca à propagação de fssuras e vara de acordo co o tpo de ateral e teperatura. Deoa-se IC para ua peça subetda u estado plao de deforação e C para estado plao de tesão. a Tabela II.são ostradas as resstêcas à fratura cohecdas para algus ateras à teperatura abete ode GC C / E fote: BRACO 986. Materal G kj C C M 3 EG aços de alta resstêca lgas de aluío ferro fuddo Tabela II. Exeplos de valores típcos de propredades ecâcas. 7

26 CAPÍTULO III III MÉTODO DE ETIMATIVA DE PROPAGAÇÃO DE TRICA 3.. ITRODUÇÃO A teora de GRIFFITH é o prero passo para a prevsão da resstêca à fratura dos sóldos. A déa básca de sua teora é: A fssura coeçará a se propagar se a taxa de eerga elástca lberada devdo ao seu creeto for aor do que a taxa de eerga requerda para crar ua superfíce de fratura. Ua fssura co copreto gual a a subetda a ua tesão ortogoal terá ua tesão lte expressa a equação II.3 ou II.4 depededo do estado plao de carregaeto. A coveêca da Teora de GRIFFTH é que ela cosdera cohecda a dreção de propagação da trca ou sea são poderados apeas probleas co fssuras se propagado a dreção ortogoal do carregaeto portato os casos co trcas cladas e relação ao carregaeto aplcado ão são coteplados. IRWI aplcado GRIFFTH relacoa a taxa de lberação de eerga aos fatores de tesdade de tesões expressão II.35. Tas parâetros represeta a resstêca do ateral à fratura as são obtdos experetalete apeas para odos exclusvos de carregaeto. OUZA 986 recoeda ua relação splfcadora etre os fatores de tesdade de tesões para probleas stos obetvado cofrotá-la co a resstêca à fratura do ateral IC. Etretato segudo IH 99 a aora dos casos e odo sto de carregaeto a superposção ão é realístca ea u problea básco ostrado a Fgura III. ode a trca está clada de u âgulo β e relação à dreção do carregaeto uaxal. O âgulo de calzação de cresceto da trca 0 é eddo o setdo at-horáro a partr da dreção tagete à extredade cosderada. 8

27 9 Fgura III. Problea co carregaeto uaxal. Todos os crtéros aalsados este capítulo depede do capo de tesões exstete a vzhaça da extredade trca ates do íco de sua propagação. Cosderado-se o estudo da propagação e estado plao e coplado as equações II.0 a II.3 te-se as tesões relatvas ao sstea de coordeadas cartesaas Fgura III. e coordeadas polares e r: π 3 cos cos se 3 se se cos r II I x III. π 3 cos se cos 3 se se cos r II I y III. π τ 3 se se cos 3 cos se cos r II I xy III.3 EPD EPT 0 y x z z ν III.4 Referdo-se à Fgura III.3 te-se próxo à pota da trca o capo de tesões o sstea de coordeadas polares segudo as segutes expressões abaxo: π cos s 3 cos cos r II I III.5 π cos 3 s cos 3 cos r II I r III.6 π τ cos 3 cos cos s r II I r III.7

28 Fgura III. Capo de tesões e sstea de coordeadas cartesaas. Fgura III.3 Capo de tesões e sstea de coordeadas polares. 3.. CRITÉRIO TTM - TEÃO TAGECIAL MÁXIMA O Crtéro de Tesão Tagecal Máxa ERDOGA 963 ou Crtéro de Tesão Prcpal Máxa estabelece que a dreção de calzação de propagação da fssura é perpedcular à dreção da tesão tagecal áxa ao logo de u rao costate Fgura III.3. Esta afração pode ser expressa ateatcaete coo: 0 < 0 III.8 Epregado a equação III.5 às codções expressas e III.8 ve: ta ψ ta 0 3 cos cos se se ψ se cos < 0 III.9 III.0 ode o âgulo 0 de calzação de propagação da fssura é a raz da equação III.9 que obedece à codção defda a expressão III.0 ode: ψ I II III CRITÉRIO M - TEÃO MÁXIMA TRIAXIAL O Crtéro de Tesão Máxa Traxal proposto por OG et al. 995 estabelece que a dreção cal de propagação da fssura cocde co a dreção da tesão traxal áxa ao logo de u rao costate a extredade da trca. Esta afração pode ser expressa ateatcaete coo: M 0 M < 0 ode M é a taxa de tesão traxal defda coo: M H eq III. III.3 0

29 Ode H é a tesão hdrostátca e eq é a tesão equvalete de vo Mses dadas por: H eq x y z 3 x y y z z x 6τ xy III.4 III.5 ubsttudo as expressões III.4 e III.5 e III.3 e aplcado o crtéro Tesão Máxa Traxal obté-se a dreção cal de propagação 0. O âgulo 0 é a raz da equação III.6 que atede à codção exgda e III ta 3ψ ta ψ ta ψ ψ ta ψ [ ψ 5]se [7 ψ ]se [55ψ 3]se 3 5 [ ψ 5 ψ]cos [9 ψ ψ]cos [5 ψ 7 ψ]cos < 0 ode ψ é defdo e III.. III.6 III.7 As equações III.6 e III.7 são soluções a prcípo de probleas e estado plao de deforações as são váldas para estado plao de tesões tabé CRITÉRIO T - DEIDADE DE EERGIA DE DEFORMAÇÃO DILATACIOAL O crtéro T THEOCARI et al. 98 estabelece que a dreção de calzação do cresceto da fssura cocde co a dreção de áxa desdade de eerga de deforação dlatacoal T V o cotoro da pota da trca cosderado-se ada costate a eerga de deforação dstorcoal T D. Atededo à prera codção ve: T V 0 TV < 0 III.8 A Eerga de Deforação Dlatacoal resposável pela udaça de volue de u corpo é defda coo: T - ν III.9 6E V x y A Eerga de Deforação Dstorcoal resposável pela udaça de fora de u corpo é dada pela expressão:

30 3-3E T xy y x y x D τ ν III.0 As relações III.9 e III.0 são váldas para probleas e estado plao de tesões as os resultados apresetados a segur são os esos para estado plao de deforações. Cosdere as foras splfcadas das equações III. a III.3 a segur: f r x x π III. f r y y π III. f r xy xy π τ III.3 ode 3 cos cos se 3 se se cos f II I x III.4 3 cos se cos 3 se se cos f II I y III.5 3 se se cos 3 cos se cos f II I xy III.6 ubsttudo as equações III. a III.3 e III.0 explctado o rao r e atededo à seguda codção ou sea cosderado-se a eerga de deforação dstorcoal costate e tabé fução do ateral 0 D T ve: [ ] xy y x y x D0 3f f f f f 6ET r ν III.7 ubsttudo III.7 e III.9: [ ] [ ] 3f f f f f f f T T xy y x y x y x D0 V ν ν III.8 Falete substtudo-se a equação ateror e III.8 obté-se a dreção cal de propagação da trca 0 pelo crtéro de desdade de eerga de deforação dlatacoal através da solução da equação que ateda à codção posta e III ta ta 5 3 ta 5 ta 4 ta ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ III.9

31 0ψ 5ψ ψ3 5ψ 4 cos 83 ψ se 3ψ ψ 4 ψ cos 33 ψ se 6ψ5 3ψ 4 ψ cos3 se3 < 0 III.30 ode ψ é defdo e III CRITÉRIO - DEIDADE DE EERGIA DE DEFORMAÇÃO A teora apresetada esta seção ão está baseada a taxa de lberação de eerga e é poera a aplcação a probleas e odo sto de propagação IH 963. Dfereteete das teoras covecoas baseadas e G ode é levada e cosderação apeas a apltude de tesão local o parâetro fudaetal desta teora o Fator Desdade de Eerga de Deforação te sesbldade drecoal. A dfereça etre G e é aáloga à dfereça etre escalar e vetor. Para u ateral elástco a eerga de deforação arazeada e u eleeto trdesoal dw [ E x y d d d d é Fgura II.6: v ν z x E x y z y y z z y τ µ xy τ xz τ yz ]dv III.3 ubsttudo as expressões III. a III.4 e III.3 a Desdade de Eerga de Deforação fca: dw dv r III.3 A expressão ateror possu sgulardade /r e sua apltude ou tesdade deoada Fator Desdade de Eerga de Deforação equvale e probleas plaos a: ode: a a a III.33 a [ κ cos cos] 6µ III.34 a se[cos κ ] 6µ III.35 a [ κ cos cos3cos ] 6µ III.36 κ 3 ν / ν para EPT ou III.37 κ 3 4ν para EPD e µ é o Módulo de Elastcdade Trasversal O crtéro proposto por IH 99 para cação e dreção de propagação é baseado as segutes hpóteses fudaetas: 3

32 ª Hpótese A dreção cal de propagação da fssura cocde co a posção ode o fator de desdade de eerga de deforação é ío e ua dada regão crcuferecal de rao r costate a extredade da fssura: dw dv í dw III.38 dv Ou sea 0 > 0 III.39 ubsttudo as equações III.33 a III.37 as codções expressas e III.39 ve: 4 3 [ κ ψ]ta [κ ψ ψ 0]ta 4ψ ta [κ ψ 6ψ 4]ta 3 κ ψ 0 [ κ ψ]se 8ψse [ κ ψ ]cos [ ψ 3]cos > 0 III.40 III.4 A dreção cal de propagação da fssura 0 defda pelo crtéro de desdade de deforação é a raz da equação III.40 que obedece à relação III.4. ª Hpótese O íco da propagação se dá quado o fator atge u valor crítco cr que é fução do ateral e aálse. 3ª Hpótese O copreto a ser creetado a trca r r r 3... r cr é goverado pela expressão: dw dv cr r r cr L costate III.4 r cr egudo IH 99 a fratura stável se dá quado o taaho crítco r cr é alcaçado. A segur são apresetados a Tabela III. algus parâetros experetas dcadores da resstêca à fratura do ateral aço 440 cuo coefcete de Posso ν 0.3. ysmpa IC MPa / cr / E E E E-4 Tabela III. Característcas físcas do aço 440 fote: IH 99. r cr 4

33 3.6. ALGU REULTADO Obetvado verfcar a aplcabldade destes crtéros fora pleetadas o prograa de apulação ateátca Maple release 8 as soluções apresetadas e cada u dos quatro étodos deste capítulo e calculados os âgulos cas de propagação para dos probleas clásscos da MFLE. Abos estão represetados através da Fgura III. e possue o carregaeto reoto e a etade do copreto da trca utáros ou sea e a. O prero problea apreseta ua trca horzotal β 90. A solução aalítca deste problea é cohecdaete e odo I exclusvo de deforação: I aπ II 0 III.43 o segudo problea a trca é clada e relação à dreção do carregaeto β 60. A solução exata deste problea e odo sto de propagação é: aπ se β II aπ seβ cosβ III.44 I Tedo e vsta a deteração da equação III. para solução III.43 as soluções do Crtéro da Tesão Tagecal Máxa Tesão Máxa Traxal Desdade de Eerga de Deforação Dlatacoal e Desdade de Eerga de Deforação são os ltes das expressões III.9 e III.0 III.6 e III.7 III.9 e III.30 III.40 e III.4 respectvaete quado ψ tede a fto. A segur são apresetados a Tabela III. ua sítese dos resultados para a dreção cal de propagação 0 destes probleas cosderado-se ada os probleas e estado plao de deforação e o coefcete de Posso ν / 3. 0 Crtéro Modo I Modo Msto TTM ERDOGA et al M OG et al T THEOCARI et al IH Tabela III. Quadro resuo - Âgulos cas de propagação e graus. 5

34 CAPÍTULO IV IV REVIÃO DO MÉTODO DO ELEMETO DE COTORO MEC 4.. ITRODUÇÃO Este capítulo te coo obetvo apresetar os cocetos báscos da Forulação do Método dos Eleetos de Cotoro BREBBIA et al As equações tegras da Forulação Clássca e Hpersgular para potos pertecetes ao cotoro extero e ao cotoro da trca são ctadas ass coo a expressão para deteração das tesões e potos teros tabé. 4.. FORMULAÇÃO CLÁICA Idetdade oglaa Aplcado o teorea da Recprocdade de Bett e desprezado-se as forças de volue o problea obté-se a Idetdade oglaa aplcada a potos teros a fora abaxo: u ξ u ξ xp xdx p ξ xu xdx IV. ode u ξ x e p ξ x são respectvaete o deslocaeto e a força de superfíce o poto capo x a dreção pertecete ao cotoro Fgura IV. para ua carga utára aplcada o poto fote tero ξ a dreção. Fgura IV. Corpo e equlíbro. 6

35 Estas fuções são parte da solução da equação de aver para u doío fto que é chaada de solução fudaetal de elv e e estado plao de deforação é defda por: ode: u p ξ x [3 4νlr δr r ] 8π νg r ξ x [ ν δ rr ] νr r 4π νr ν é o coefcete de Posso; G é o ódulo de csalhaeto; é o cosseo dretor da oral extera ao cotoro o poto capo x. IV.3. / r r r r xx x ξ r r r x x r r r 7 IV. IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 IV.7 Para estado plao de tesão deve-se substtur ν por ν ν / ν e IV. e Equação Itegral para Cotoro Extero Fazedo o lte da expressão IV. para o poto fote ξ pertecete ao cotoro extero te-se: C ξu ξ p ξ xu xdx u ξ xp xdx IV.8 ode a ª tegral da equação é o setdo do Valor Prcpal de Cauchy e para cotoros suaves C ξ δ / ode δ é o síbolo Delta de roecker. Equação Itegral para Cotoro da Trca A stuação lte da Idetdade oglaa para o poto ξ pertecete ao cotoro da trca poré fora das extredades forece a expressão segute: ' u ξ u ξ p ξ xu xdx u ξ xp xdx IV.9 ode ξ é o poto que ocupa a esa posção geoétrca que ξ as está stuado a face oposta.

36 4.3. TEÕE EM POTO ITERO As tesões e potos teros são deteradas aplcado-se a le de Hooke para ateras elástcos e sotrópcos: u u G u k G ξ ξ ν ξ ξ δ x x ξ ξ ν x k ξ IV.0 u ξ ode é a dervada do deslocaeto e relação às coordeadas do poto fote ξ x ξ e é obtda através da dervação da Idetdade oglaa IV. que represeta os deslocaetos de potos teros do doío. Dervado-se portato a expressão IV. te-se: u ξ x ξ k u ξ x p xdx x ξ k p ξ x u x ξ k xdx IV. ode u x e p x são os deslocaetos e forças de superfíce o cotoro á cohecdos logo: u ξ x x ξ 8π νgr k p ξ x x ξ 4π νgr k ν[r r r r δ k k [ 3 4νr δ r δ r δ r r r ] { k k δ k k [ νr δ k r δ k k k r δ k δ ] r r k r 4r r rk ] k} IV. IV.3 ubsttudo IV. e IV.3 e IV. e e seguda e IV.0 obtêse as tesões e potos teros através da equação tegral: ode: ξ uk ξ xp k xd pk ξ xu k xd { ν [ r δ r δ r δ ] r r r } u k ξ x k k k 4π νr G pk ξ x { [ νr kδ νrδ k r δ π νr k r ] ν [ r r δ δ ] 4rr rk k νr r r r 4ν δ k k k k} k k k IV.4 IV.5 IV.6 8

37 4.4. FORMULAÇÃO HIPERIGULAR Equação Itegral Hpersgular para Potos Iteros Através da expressão IV.4 que calcula a tesão e potos teros utaete co a equação de equlíbro do tetraedro eleetar p ode é a oral a u plao qualquer do doío passado por ξ obté-se a equação hpersgular abaxo que forece a força de superfíce para potos teros e relação ao plao de oral ode: p ξ U GUIMARÃE et al ξ xp xdx P ξ xu xdx r U ξ x ν r r [rr ν δ] 4π νr µ r r P ξ x νδ 4r r νr ν r π νr r k k[ νrr ν δ] [ νr ν r ] ν 4ν IV.7 IV.8 IV.9 Para estado plao de tesão deve-se substtur ν por ν ν / ν. Das expressões IV.6 e IV.7 tê-se: r r r x x x ξ r r r r IV.0 IV. Observe-se que U ξ x e P ξ x as expressões IV.8 e IV.9 tê sgulardades de ordes superores às de u ξ x e p ξ x respectvaete. Por sso chaa-se Equação Itegral de Cotoro Hpersgular o lte da equação IV.7 quado o poto fote ξ tede ao cotoro. Equação Itegral Hpersgular para Cotoro Extero Aalogaete à forulação clássca calcula-se o lte da expressão IV.7 quado o poto fote ξ tede para o cotoro extero e obté-se a equação tegral para cotoros suaves da Forulação Hpersgular a segur: 9

38 δ p ξ U ξ xp xdx P ξ xu xdx IV. ode as tegras própras represetadas por são o setdo de parte fta HADAMARD 957. Equação Hpersgular para o Cotoro da Trca Calculado-se o lte da equação IV.7 as para potos tededo ao cotoro suave da trca te-se: ' p ξ p ξ U ξ xp xdx P ξ xu xdx IV.3 ode ξ é o poto que ocupa a esa posção geoétrca que ξ as está stuado a face oposta da trca. 30

39 CAPÍTULO V V. FUÇÃO DE GREE 5.. ITRODUÇÃO este capítulo são apresetados os procedetos para obteção da Fução de Gree aplcada ao Método dos Eleetos de Cotoro através da superposção de duas soluções para eos ftos plaos. ão obstate este procedeto se estede faclete a casos trdesoas para quasquer dsposções das trcas. 5.. FUÇÃO DE GREE A fução de Gree é a solução do problea e questão para deslocaetos e forças de superfíce e u poto x pertecete ao doío fto Ω G co fssuras descarregadas sueto à aplcação de ua carga utára o poto fote ξ Fgura V.. Esta solução é obtda uercaete através da superposção das soluções para deslocaeto e força de superfíce evolvedo o problea fudaetal de elv Ω e ua parte copleetar Ω. C Fgura V. - Coposção dos carregaetos para fução de Gree. Esta superposção é represetada a Fgura V.. A prera cofguração de carregaeto represeta u problea e eo fto co fssuras subetdas às forças p k obtdas supodo-se o problea fudaetal de elv Ω subetdo a ua carga utára a dreção o poto ξ. A cotudade das tesões despertadas os potos cocdetes co a fssura f serda é garatda aplcado-se 3

40 a equação de equlíbro do tetraedro eleetar p ode é a tesão tera os potos da trca e é a oral extera à cavdade da trca forada por duas superfíces cocdetes. Ua vez que ocorre ua cotudade de deslocaetos e forças de superfíce o local da fssura a solução fudaetal para o problea é equvalete à solução fudaetal aalítca de elv. A seguda parcela cosste e u problea e eo fto Ω C co ua fssura carregada co as esas forças de superfíce aplcadas e e potos pertecetes ao cotoro fctíco da trca poré co setdos cotráros. A solução para a parte copleetar C é obtda uercaete através do eprego da Forulação Clássca e Hpersgular do MEC. A superposção das soluções dos probleas e C produz a fução de Gree represetada a segur: u p G G ξ x u ξ x p ξ x u ξ x p C C ξ x ξ x ode apeas os tesores u C ξ x e p C ξ x são descohecdos. olução do Problea Copleetar V. V. Aplcado-se calete a equação tegral para deslocaetos e potos teros da Forulação Clássca do MEC IV. co solução fudaetal de elv ao doío fto u ξ f u e u Ω C co cotoro extero e e cotoro da trca ξ xp xdx ξ xp xdx f p e p ξ xu xdx ξ xu xdx f ve: V.3 ode o poto fote ξ e f Ω e poto capo x U. C Ua vez que o corpo é fto e que as codções de regulardade são satsfetas as tegras o cotoro extero u ξ f u ξ xp xdx f p e se aula logo ve: ξ xu xdx V.4 3

41 Cosderado-se que os efetos e C são devdos à aplcação de ua carga utára a dreção k e u poto calete desgado por ξ o problea a equação V.4 recebe cotrbução de u ovo ídce: u C k ξ f u ξ xp C k xdx f p ξ xu C k xdx V.5 ubsttudo a ª tegral a força de superfíce calculada o cotoro da trca pelo oposto da força de superfíce de elv o problea e fazedo-se ua udaça de ídces obetvado copatblzar a otação epregada aca co a usada as expressões V. e V. ve: u C ξ x s e feror f u k x p k ξ d f Cosderado-se que o cotoro da trca p k x u C k ξ d V.6 f é coposto do cotoro superor que os deslocaetos da solução de elv u k x são guas e as forças de superfíce x são opostas pode-se resur a equação V.6 e calcular p k as tegras e apeas ua face da trca cofore é vsto abaxo: u C ξ x p k x u k x s [ p ξ p ξ ] C s C [ u ξ u ξ ] d k k k k d V.7 Falete tedo e vsta que a solução de elv produz tesões teras s cotíuas o problea e que portato p ξ e p ξ são opostos te-se etão o deslocaeto copleetar defdo abaxo: k k u C ξ x p k x c k ξ d V.8 C s C ode c ξ u ξ u ξ é deoada Abertura Fudaetal da Trca ou k k k sea é abertura da fssura a dreção k quado é aplcada ua força utára o poto fote ξ pertecete a Ω a dreção. Aplcado-se a equação tegral para força de superfíce IV.7 da Forulação Hpersgular para potos teros ao doío aalogaete a expressão para força de superfíce copleetar abaxo: Ω C obté-se 33

42 C p ξx P k x c k ξ d V.9 Abertura Fudaetal da Trca este oeto é portate lebrar que as expressões V.8 e V.9 defe a solução do problea copleetar C que é coseqüêca do problea fudaetal de elv as ada descohece-se o tesor ξ. c k A abertura fudaetal da trca ξ é obtda através do lte da equação V.9 quado o poto x tede ao cotoro da trca o problea copleetar C: C C l p ξ x p ξ P c ξ d k k x c k V.0 ode é o poto fote o problea C pertecete à fssura que tora o tegrado da equação V.9 hpersgular o setdo de Parte Fta de HADAMARD 95 represetado pelo síbolo. À equação V.0 põe-se as codções de cotoro aturas para o problea C ou sea a força aplcada ao cotoro da trca é gual ao oposto da força de C superfíce de elv p ξ p ξ. Obetvado-se resolvê-la uercaete eprega-se o étodo dos resíduos poderados co fução peso gual ao delta de Drac M ode é o poto de colocação e M é o úero de potos de colocação; fcado esta falete: P k c k ξ d p ξ L M V. A abertura da trca c k ξ pode ser terpolada co G potos depedeteete da posção dos potos de colocação co gual a M para que o sstea algébrco gerado teha solução sples. A técca de tegração uérca aplcada este caso deverá coteplar a hpersgulardade devda ao tesor P e para sso pode ser epregados esqueas de tegração especas UTT 975. O étodo epregado este trabalho para a obteção da abertura fudaetal da trca a partr da equação V. utlza tegração uérca regular de Gauss e k 34

43 téccas de tegração copleetares descrtas suctaete o capítulo 6. Tedo e vsta que a quadratura de Gauss ão cotepla soladaete o cálculo da parte fta da tegral surge ua correção E ξ apresetada a segur: P k c k ξ W J E ξ p ξ M V. Ode J é o Jacobao devdo à trasforação de coordeadas o doío de tegração ao logo do cotoro da trca é o poto cua posção refere-se às coordeadas aturas de Gauss que são epregadas a terpolação da abertura da fssura W é o fator peso assocado a este poto e é o úero de potos de tegração. Obetvado deterar a parcela E ξ da expressão V. a abertura da trca c k ξ é substtuída a equação V. pela expasão e sére de Taylor e relação ao poto de colocação : c k ξ c P k ξ c k ck ξ ξ [ ] [ ] L ubsttudo a equação V.3 e V. ve: P P k k k c k ck ξ ξ c k ξ d [ ] d [ ] L d p ξ V.3 V.4 A prera tegral da equação V.4 é calculada o setdo de Partes Ftas e possu ua sgulardade a orde r - á a seguda tegral é o setdo de Valor Prcpal de Cauchy e apreseta sgulardade a orde r -. A partr da tercera parcela costata-se que a orde do tegrado fca gual ou superor a zero; portato esta regulardade possblta que o eprego de tegração uérca sples apresete boa covergêca. 35

44 36 Isolado-se a parte que gera u tegrado regular da expasão e sére de c k ξ expressão V.3 e substtudo-a e V.4 é possível a aplcação de Quadratura de Gauss. Logo: [ ] [ ] p c c c W J P d c P d c P k k k k k k k k ξ ξ ξ ξ ξ ξ V.5 Rearraado a expressão ateror ve: [ ] [ ] p d P W J P c d P W J P c W c J P k k k k k k k k ξ ξ ξ ξ V.6 Falete coparado-se a equação V. à V.5 obtê-se as parcelas da correção E ξ : k k k k e c e c E ξ ξ ξ V.7 ode c k ξ e c k ξ são defdas o poto de colocação sgular e calculadas através da terpolação da abertura da trca e sua dervada epregado-se potos de Gauss e: d P W P J e k k k V.8

45 e k P k J P k [ ] [ ] d W V.9 A equação V.6 gera u sstea de equações algébrcas ode apeas o tero depedete p ξ depede da posção do poto fote ξ e as cógtas são as aberturas fudaetas da fssuras e potos de tegração FUÇÃO DE GREE APROXIMADA Cohecdas as aberturas fudaetas da trca as partes copleetares do deslocaeto e força de superfíce de Gree são obtdas através das expressões V.8 e V.9 utlzado-se tegração uérca. Para tal eprega-se os valores obtdos os potos de Gauss das aberturas da trca evtado-se a terpolação da abertura a trca etre estes potos. A fução de Gree fal é etão forecda por: u p G ξ x u ξ x G ξ x p ξ x J J p P k k x x c c k k ξ ξ W W V.0 V. A solução fudaetal de elv é substtuída a equação tegral de cotoro para deslocaeto da Forulação Clássca pelas soluções da fução de Gree aca. Este procedeto perte que a tegração a trca sea evtada e coseqüeteete a utlzação de eleetos especas para terpolação do deslocaeto u x ua vez que a solução para força de superfíce p G ξ x é ula ao logo da fssura. A força de superfíce p x a trca quado exstete é cohecda e cotrbu apeas para o tero depedete do sstea de equações. 37