UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA GENERALIZADA DA EQUAÇÃO DA DIFUSIVIDADE HIDRÁULICA MULTIDIMENSIONAL PELA TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

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1 UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA GENERALIZADA DA EQUAÇÃO DA DIFUSIVIDADE HIDRÁULICA MULTIDIMENSIONAL PELA TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL Marcelo Daeberg Marsl Dssertação de Mestrado apresetada ao Prograa de Pós-graduação e Egehara Cvl, COPPE, da Uversdade Federal do Ro de Jaero, coo parte dos requstos ecessáros à obteção do título de Mestre e Egehara Cvl. Oretadores: Paulo Couto José Lus Druod Alves Ro de Jaero Juho de 3

2 UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA GENERALIZADA DA EQUAÇÃO DA DIFUSIVIDADE HIDRÁULICA MULTIDIMENSIONAL PELA TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL Marcelo Daeberg Marsl DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Exaada por: Prof. José Lus Druod Alves, D.Sc. Prof. Paulo Couto, D.Sc. Profª. Carola Pala Navera Cotta, D.Sc. Prof. Vrgílo José Marts Ferrera Flho, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 3

3 Marsl, Marcelo Daeberg Ua Solução Aalítca Geeralzada da Equação da Dfusvdade Hdráulca Multdesoal Pela Técca da Trasforação Itegral / Marcelo Daeberg Marsl. Ro de Jaero: UFRJ/COPPE, 3. XVII, 3 p.: l.; 9,7 c. Oretadores: Paulo Couto José Lus Druod Alves Dssertação (estrado) UFRJ/ COPPE/ Prograa de Egehara Cvl, 3. Referêcas Bblográfcas: p Equação da Dfusvdade Hdráulca.. Soluções Aalítcas 3. Técca da Trasforação Itegral. I. Couto, Paulo et al. II. Uversdade Federal do Ro de Jaero, COPPE, Prograa de Egehara Cvl. III. Título.

4 Aos eus pas, Aluso Marsl e Maragela Daeberg, e rãos, Gustavo Daeberg Lutf e Bruo Marsl. v

5 AGRADECIMENTOS Agradeço aos eus oretadores, Prof. Paulo Couto e Prof. José Lus Druod Alves, pela cofaça, cetvo, dedcação e copetêca a obre ssão de esar. Aos ebros da baca exaadora, pela partcpação e cotrbução para o erqueceto deste trabalho. À Clauda Aroe, pela pacêca, preocupação e azade. Aos agos Felpe Pccol, Lucaa Félx, Julaa Fraça, Rchard Morera, Leoardo Petel, Lua Vaa, Julaa Baoco, Tataa Lpovetsky e Aa Carola Carrao, pelo apoo, estíulo e copaherso ao logo de todo o desevolveto desta dssertação. v

6 Resuo da Dssertação apresetada à COPPE/UFRJ coo parte dos requstos ecessáros para a obteção do grau de Mestre e Cêcas (M.Sc.) UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA GENERALIZADA DA EQUAÇÃO DA DIFUSIVIDADE HIDRÁULICA MULTIDIMENSIONAL PELA TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL Marcelo Daeberg Marsl Juho/3 Oretadores: Paulo Couto José Lus Druod Alves Prograa: Egehara Cvl O problea de fluxo e eos porosos é ateatcaete descrto pela Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH). Sua solução é prescdível aos estudos de coportaeto de reservatóros de petróleo. Ebora dversas soluções aalítcas esteja dspoíves a lteratura técca, suas forulações são partculares a cada geoetra ou rege de fluxo, detre outras ltações. Este trabalho propõe ua solução aalítca geeralzada para a EDH ultdesoal co tero fote através da Técca da Trasforação Itegral. São fetas as hpóteses de fluxo oofásco horzotal de líqudos e eos porosos hoogêeos e sotrópcos. Ua etodologa de aplcação é apresetada de fora a facltar o uso da solução geral a obteção de soluções para probleas específcos. Dversos casos são estudados para deostrar o potecal de aplcação da solução geral. Etre eles, probleas ultdesoas, probleas sujetos a varadas codções de cotoro e probleas evolvedo últplos poços. As soluções são coparadas às soluções clásscas, quado dspoíves, e a ua solução uérca por dfereças ftas. Aálses de covergêca são ostradas, dada a característca de séres ftas das soluções. v

7 Abstract of Dssertato preseted to COPPE/UFRJ as a partal fulfllet of the requreets for the degree of Master of Scece (M.Sc.) A GENERAL ANALYTICAL SOLUTION OF THE MULTIDIMENSIONAL HYDRAULIC DIFFUSIVITY EQUATION BY THE INTEGRAL TRANSFORM TECHNIQUE Marcelo Daeberg Marsl Jue/3 Advsors: Paulo Couto José Lus Druod Alves Departet: Cvl Egeerg The proble of flud flow porous eda s atheatcally descrbed by the Hydraulc Dffusvty Equato (HDE). Its soluto s essetal to the studes of petroleu reservors perforace. Although several aalytcal solutos are avalable the techcal lterature, ther forulatos are partcular to each geoetry or flow rege, aog other ltatos. Ths work proposes a geeral aalytcal soluto for the ultdesoal HDE wth source ter by the Itegral Trasfor Techque. Assuptos of horzotal oophasc flow of lquds through hoogeeous ad sotropc porous eda are ade. A applcato ethodology s preseted to facltate the proper use of the geeral soluto provdg solutos to specfc probles. Several cases are studed to deostrate the potetal applcato of the geeral soluto. Aog the, ult-desoal probles, probles subject to varous boudary codtos ad probles volvg ultple wells. The solutos are copared to classcal solutos, whe avalable, ad to a uercal soluto by fte dffereces. Covergece aalyses are show, gve the characterstc of fte seres solutos. v

8 SUMÁRIO ÍNDICE DE FIGURAS... X ÍNDICE DE TABELAS... XIII NOMENCLATURA...XV CAPÍTULO INTRODUÇÃO.... A Equação de Fluxo e Meos Porosos.... Cotexto e Motvação....3 Objetvo do Trabalho Aplcações da Solução Proposta Orgazação do Texto... 4 CAPÍTULO - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Reges de Fluxo e u Reservatóro de Petróleo Soluções Aalítcas Clásscas..... Rege de Fluxo Peraete..... Rege de Fluxo Pseudoperaete Rege de Fluxo Trasete Restrções a Aplcação das Soluções Trasforação Itegral e Egehara de Reservatóros Hovaessa Aleda e Cotta Raha e Betse Couto et al Coclusões... CAPÍTULO 3 - A TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL A Equação da Dfusvdade Hdráulca As Codções de Cotoro Problea de Valor de Cotoro Hoogêeo e Não Hoogêeo Aplcação da Trasforação Itegral a Solução da EDH Solução do Problea Hoogêeo por Separação de Varáves Solução do Problea Não Hoogêeo por Trasforação Itegral CAPÍTULO 4 - APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL A Solução Geral Metodologa para Aplcação da Solução Geral v

9 4.3 Aplcação e Coordeadas Cartesaas Fluxo Lear co Pressão Costate e Ua das Froteras Produção ou Ijeção e u Reservatóro Retagular co Pressão Costate as Froteras Produção ou Ijeção e u Reservatóro Retagular Selado Cudados Geras a Obteção da Solução Codções de Cotoro do Prero Tpo Codções de Cotoro do Segudo Tpo Para Todas as Froteras Ordeaeto de Autovalores... 7 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS E DISCUSSÕES Problea Udesoal Coparação co as Soluções Aalítcas Clásscas Aálse de Covergêca Problea Bdesoal co Froteras Ipereáves Aálse de Covergêca Aálse Nuérca Problea Bdesoal Sujeto a Dversas Codções de Cotoro Problea Bdesoal co Múltplos Poços: Malha Fve-Spot CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES Cosderações Fas Propostas para Trabalhos Futuros CAPÍTULO 7 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... APÊNDICE A - SOLUÇÕES BIDIMENSIONAIS PARA DIVERSAS COMBINAÇÕES DE CONDIÇÕES DE CONTORNO... 5 APÊNDICE B SOLUÇÃO DO PROBLEMA FIVE-SPOT... 7 x

10 ÍNDICE DE FIGURAS Fgura.: Esquea de u reservatóro crcular co u poço o cetro Fgura.: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege trasete (ROSA et al., 6) Fgura.3: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege pseudoperaete (ROSA et al., 6) Fgura.4: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege peraete (ROSA et al., 6).... Fgura.5: Geoetra de fluxo lear (odfcado de ROSA et al., 6).... Fgura.6: Geoetra de fluxo radal (odfcado de ROSA et al., 6).... Fgura.7: Método de ages para represetação de ua falha vertcal selate (adaptado de AHMED e McKINNEY, 5) Fgura.8: Parte da rede fta de poços age ecessáros para represetar u reservatóro retagular pereável de proporção : co u poço cetrado (odfcado de DAKE, 978) Fgura 3.: Volue ftesal de cotrole... 3 Fgura 4.: Metodologa para aplcação da solução geral e u problea partcular de fluxo e eo poroso Fgura 4.: Esquea ostrado a dreção ortogoal r (ode r = x, y ou z) (adaptado de RAHMAN et al., ) Fgura 4.3: Noeclatura adotada para o cojuto de codções de cotoro as froteras tera e extera de ua dada dreção ortogoal r do sstea de coordeadas (adaptado de RAHMAN et al., ) Fgura 4.4: Fluxo lear e u reservatóro co produção a frotera tera e pressão ula a frotera extera Fgura 4.5: Reservatóro retagular co pressão prescrta as froteras e tero fote e ua posção arbtrára Fgura 4.6: Reservatóro retagular co froteras pereáves e tero fote e ua posção arbtrára x

11 Fgura 5.: Coparação das soluções clásscas co a solução por trasforação tegral de acordo co o rege de fluxo desevolvdo o reservatóro Fgura 5.: Perfl de pressões para dversos tepos por trasforação tegral e pela a solução clássca de rege trasete Fgura 5.3: Perfl de pressões pela solução clássca de rege peraete e para dversos tepos por trasforação tegral Fgura 5.4: Dstrbução de pressões a codção cal e após dos aos de jeção dada pela equação (4.77)... 8 Fgura 5.5: Lhas de fluxo após dos aos de produção calculadas pela le de Darcy.. 8 Fgura 5.6: Resultados das sulações uércas e da solução por trasforação tegral e ua seção e x D = / Fgura 5.7: Aproxação a posção de aor pressão dada pela Fgura Fgura 5.8: Reservatóro atclal cotra ua falha selate co u aquífero lateral de grade extesão (LAKE, ) Fgura 5.9: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço o cetro do reservatóro Fgura 5.: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço deslocado do cetro do reservatóro Fgura 5.: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço cetrado e u reservatóro retagular de proporção : Fgura 5.: Malha de jeção fve-spot Fgura 5.3: Udade padrão adotada para represetação da alha fve-spot Fgura 5.4: Dstrbução de pressões a codção cal e e rege peraete dado pela equação (5.7) Fgura 5.5: Lhas de fluxo e rege peraete para o problea fve-spot calculadas pela le de Darcy Fgura A.: Reservatóro retagular co pressão costate e duas froteras paralelas e tero fote e ua posção arbtrára Fgura A.: Reservatóro retagular co pressão costate e duas froteras adjacetes e tero fote e ua posção arbtrára.... x

12 Fgura A.3: Reservatóro retagular co pressão costate e duas froteras adjacetes e tero fote e ua posção arbtrára Fgura A.4: Reservatóro retagular co pressão costate e ua frotera e tero fote e ua posção arbtrára.... x

13 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.: Ssteas de Coordeadas Ortogoas para os quas a separação da Equação de Helholtz é possível (adaptado de Özşk, 993) Tabela 4.: Expasão do tero dfusvo e tero fote da EDH de acordo co o úero de desões do problea (adaptado de RAHMAN et al., ) Tabela 4.: Correspodêca da otação sbólca dos dexadores e autovalores da solução geral co o úero de desões do problea Tabela 4.3: Correspodêca da otação sbólca das autofuções, oras e autofuções oralzadas da solução geral co o úero de desões do problea. 5 Tabela 4.4: Correspodêca da otação sbólca dos soatóros e tegrações da solução geral co o úero de desões do problea Tabela 4.5: Equvalêca etre as codções de cotoro do problea real e as codções de cotoro do problea de autovalor assocado e ua dada dreção r x, y ou z do sstea de coordeadas cartesaas (adaptado de RAHMAN et al., ) Tabela 4.6: Autofução, ora e autovalores da Equação de Helholtz udesoal e < r < L sujeta a dversas codções de cotoro e ua dada dreção r x, y ou z do sstea de coordeadas cartesaas (adaptado de ÖZIŞIK, 993) Tabela 4.7: Ordeaeto de autovalores Tabela 5.: Cojuto de dados para o problea udesoal Tabela 5.: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e a solução clássca para rege trasete após da de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas Tabela 5.3: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e as soluções clásscas para rege trasete e peraete após 5 das de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas Tabela 5.4: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e a solução clássca para rege peraete após 5 das de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas Tabela 5.5: Cojuto de dados para o problea bdesoal... 8 x

14 Tabela 5.6: Covergêca do problea bdesoal co froteras seladas após dos aos de produção e ua seção passado pelo poço ( y D =,5 ) Tabela 5.7: Dstrbução de pressão e reservatóros retagulares co poço úco a posção (x p, y p ) Tabela 5.8: Dstrbução de pressão e reservatóros retagulares co poço úco a posção (x p, y p ) e rege de fluxo peraete xv

15 NOMENCLATURA a - desão do reservatóro a dreção x A - fução trasforada defda pela equação (4.5) ou área do reservatóro a - gatlho para a codção de fluxo prescrto a frotera S ( ou ) b - desão do reservatóro a dreção x ou largura do reservatóro para o problea D b - gatlho para a codção de pressão prescrta a frotera S ( ou ) c - copressbldade total do sstea t C - fator de fora de Detz A E - fução tegral expoecal, Eq. (.4) f - fução prescrta a frotera S F - codção cal F - codção cal trasforada, Eq. (4.6) g - tero fote g - tero fote trasforado, Eq. (4.7) h - espessura do reservatóro h - íco do tervalo copletado do poço o problea 3D h - fal do tervalo copletado do poço o problea 3D H - fução de Heavsde (fução degrau) H - costate b a da codção de cotoro k - pereabldade ˆk - tesor de pereabldade L - copreto do reservatóro e probleas D ou lte do doío para a varável espacal r - vazão ássca de etrada o volue ftesal de cotrole e - vazão ássca do tero fote o volue ftesal de cotrole p - vazão ássca de saída o volue ftesal de cotrole s - vetor oral à superfíce S N - ora da autofução, Eq. (4.9) xv

16 p - pressão p - pressão a face extera do reservatóro e p - pressão estátca cal p - pressão éda o reservatóro ed q - vazão do tero fote (postvo para jeção) q - vazão do tero fote por udade de volue p q - vazão o poço para as soluções clásscas da EDH (postvo para jeção) w r - dstâca radal ou cotador a dreção x para a solução do problea fvespot, Eq. (5.7) R - doío do problea geral r - vetor posção do problea geral r - dreção ortogoal arbtrára r - rao extero do reservatóro, e r - rao do poço, w s - cotador a dreção y para a solução do problea fve-spot, Eq. (5.7) S - frotera do doío t - tepo T - fução arbtrára defda e ua regão fta R t - tepo adesoal para o f do período trasete de fluxo DA t - tepo para o f do período trasete de fluxo tr u - velocdade x - posção o exo ortogoal x do sstea de coordeadas cartesao x - posção do tero fote a dreção x p X - autofução a dreção x y - posção o exo ortogoal y do sstea de coordeadas cartesao y - posção do tero fote a dreção y p Y - autofução a dreção y x - posção o exo ortogoal y do sstea de coordeadas cartesao Z - autofução a dreção z xv

17 Letras Gregas β - autovalor a dreção x γ - autovalor a dreção y ou costate (=,78) δ - fução delta de Drac η - autovalor a dreção z ou costate da dfusvdade hdráulca µ - vscosdade ρ - assa específca Γ - fução depedete do tepo para a separação de varáves π - úero p ( = 3,45...) φ - porosdade ψ - autofução do problea de Helholtz ψ - autofução oralzada do problea de Helholtz Subscrtos DA - adesoal e - lte extero do reservatóro - cal ou dexador das froteras S do doío - ídce a dreção x ou a dreção r do problea geral - édo - ídce a dreção y p - ídce a dreção z ou referete às coordeadas do tero fote tr - período trasete w - referete ao poço para as soluções clásscas da EDH Abrevaturas C.C. - Codção de Cotoro CITT - Técca da Trasforação Itegral Clássca EDH - Equação da Dfusvdade Hdráulca GITT - Técca da Trasforação Itegral Geeralzada S.C. - Superfíce de Cotrole V.C. - Volue de Cotrole PAV - Problea de Autovalor xv

18 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O feôeo do fluxo e eos porosos é ateatcaete descrto pela Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH). A EDH, coo é utlzada a Egehara de Reservatóros, é obtda a partr da assocação de três equações báscas: ua equação da coservação de assa, descrta pela equação da cotudade, ua equação de trasporte de assa, dada pela le de Darcy, e ua equação de estado, que represeta a varação da desdade do fludo co a pressão e teperatura. Este equação é dada pela le dos gases ou pela equação da copressbldade quado se trata do fluxo de líqudos. A odelage do problea de fluxo através de ua equação dferecal faz co que sua solução seja prescdível aos estudos de coportaeto de reservatóros de petróleo. A solução é expressa e teros de pressão coo varável depedete e as vazões de fluxo são assocadas ao problea através da equação de trasporte de assa. Estas gradezas, couete esuráves a prátca, relacoa o estíulo dado ao reservatóro co sua resposta. Ass, a solução da EDH te papel essecal a dscpla de Egehara de Reservatóros, aplcável a stuações coo prevsão de coportaeto de reservatóros, prevsão de produção de fludos e avalção de suas característcas através de testes de produção (problea verso).. A EQUAÇÃO DE FLUXO EM MEIOS POROSOS A equação de fluxo e eos porosos, ou Equação da Dfusvdade Hdráulca, válda para qualquer sstea de coordeadas ortogoas, é expressa por: prt (,) ˆ kr () φ() rct = prt (,) + q P(,) rt (.) t µ ode prt (,) é a pressão depedete do tepo t e do vetor posção r, φ( r ) porosdade do reservatóro, µ é a vscosdade do fludo óvel, kr ˆ( ) é o tesor de pereabldade da rocha, c t é a copressbldade total do sstea e q P (,) rt é o tero é a

19 fote (e vazão por udade de volue) represetado poços de produção e/ou jeção o reservatóro. Cosdera-se ada: Fluxo oofásco; Copressbldade total do sstea ( c t ) costate; Vscosdade do fludo ( µ ) costate; Meo heterogêeo (porosdade φ = φ( r) e pereabldade k= kr ˆ( )); e Meo asotrópco: kr( r) kr ˆ( ) = kr ( r ) kr3( r).. CONTEXTO E MOTIVAÇÃO Métodos aalítcos de solução de equações dferecas apreseta ua sére de vatages quado coparados aos étodos uércos, cofore lstado por Cotta (993). Os étodos aalítcos são as precsos e eos dspedosos e teros coputacoas, dspesado a ecessdade de téccas uércas quado o problea for sufceteete sples. Adeas, soluções aalítcas forece tedêcas, assítotas, coportaetos paraétrcos e avalações potuas se ecesstar de ua solução uérca copleta. Alé dsso, a utlzação de resultados aalítcos de referêca (bechaks) cosstete e ua prátca cou o desevolveto de códgos uércos para a valdação de procedetos. Por f, os étodos aalítcos de solução são de fudaetal portâca por fazere a pote para o desevolveto dos étodos híbrdos. As soluções aalítcas couete reportadas os lvros ddátcos de Egehara de Reservatóros para o problea da dfusão de fludos e eos porosos, aqu referecadas coo soluções clásscas, apreseta dversas restrções e suas aplcações. E geral, são aplcáves a stuações partculares. A descrção correta do coportaeto das pressões e u poço ou e u reservatóro ao logo de toda sua vda produtva deve ser coposta da cobação de dversas soluções, específcas para

20 cada período ou geoetra de fluxo desevolvda o eo poroso. Ada, as soluções clásscas e sua grade aora são desevolvdas para probleas udesoas, torado ecessára a adoção de ua solução uérca para a represetação de probleas ateatcaete as coplexos..3 OBJETIVO DO TRABALHO No cotexto exposto, a Técca da Trasforação Itegral apreseta-se coo u étodo aalítco de solução coveete para o problea de fluxo e eos porosos, possbltado o seu trataeto de fora as geeralzada do que as soluções clásscas e resolvedo stuações as coplexas, ada se requerer o uso de ua abordage uérca. Este trabalho te coo objetvo o desevolveto de ua solução aalítca geeralzada para a EDH ultdesoal pela Técca da Trasforação Itegral. Coo pressas do odelo ateátco proposto, cosdera-se o fluxo oofásco horzotal de líqudos e eos porosos hoogêeos e sotrópcos co tero fote. Para estas pressas, a equação (.) assue a segute fora: prt, prt (, ) + g( rt, ) = η t ( ) (.) ode prt (,) é a pressão depedete do tepo t e do vetor posção r, g( rt, ) é o tero fote represetado poços de produção e/ou jeção e η = k/(φµc t ) é a costate de dfusvdade hdráulca..4 APLICAÇÕES DA SOLUÇÃO PROPOSTA Ebora as soluções aalítcas de equações dferecas apresete ua sére de vatages e relação às soluções uércas, cofore dscorrdo a Seção., estas vatages são ltadas a stuações ode abos os étodos de solução apreseta-se dspoíves. Para probleas sufceteete coplexos, as soluções uércas 3

21 cotua a ser as as apropradas. Ass, a solução geral para o problea proposto esta dssertação objetva esteder o alcace de aplcação das soluções aalítcas da EDH, ldado co stuações as coplexas ada se ecesstar do apoo de forulações uércas. Detre estas stuações estão os probleas ultdesoas, probleas sujetos a dversas codções de cotoro e probleas co últplos poços. Ua vez postas as pressas de fluxo oofásco de líqudos e eos hoogêeos e sotrópcos, etede-se que as aplcações da solução proposta se drge às stuações ode tas splfcações se faze adequadas. Detre estas, pode ser ctadas: avalações expressas de desepeho de reservatóros de petróleo, estudo de coportaeto de reservatóros e fase exploratóra, aálse de certezas, terpretação de testes de produção, etre outras. Os softwares coercas couete utlzados a dústra para a terpretação de testes de produção e poços de petróleo são baseados e soluções aalítcas para o problea de fluxo. Coo o objetvo dos testes de produção restrge-se à estatva de parâetros édos do reservatóro (problea verso), as pressas de reservatóro hoogêeo e sotrópco ostra-se adequadas. Ada, por ser ua operação evolvedo períodos curtos de produção (horas ou das), as pressas de fluxo oofásco e propredades costates de fludo e rocha tabé se faze razoáves. Neste cotexto, a solução geral aqu proposta é válda e possblta a cração de ovos odelos para a terpretação de testes de produção, as flexíves e coteplado u aor espectro de geoetras de reservatóro e posções de poço e relação às suas froteras..5 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO No próxo capítulo será feta ua descrção dos reges de fluxo que se desevolve e u reservatóro de petróleo durate a sua produção, apresetado as soluções aalítcas clásscas desevolvdas para a represetação do coportaeto das pressões estas fases e apresetado as restrções postas as suas aplcações. É feto u breve hstórco de trabalhos já realzados co a aplcação da Técca da Trasforação Itegral e probleas de fluxo e eos porosos. 4

22 O tercero capítulo deostra a forulação ateátca para o problea proposto da dfusvdade hdráulca e desevolve ua solução aalítca geeralzada através da Técca da Trasforação Itegral. Dado o caráter geeralzado da solução, o quarto capítulo se dedca à apresetação de ua etodologa para sua aplcação, lstado a sequêca de etapas ecessáras à obteção da solução de u problea específco a partr da solução geral, co foco e probleas o sstea de coordeadas cartesaas. U problea udesoal e dos probleas bdesoas são resolvdos co a faldade de lustrar a etodologa proposta e evdecar os cudados ecessáros a sua aplcação. O quto capítulo deostra ua sére de soluções obtdas a partr da solução geral, cobrdo ua grade gaa de stuações, cludo probleas ultdesoas, cobações varadas de codções de cotoro e tero fote co últplos poços (problea fve-spot). As soluções são coparadas co as soluções aalítcas clásscas para os casos udesoas e co ua solução uérca por dfereças ftas para u caso bdesoal. Aálses de covergêca tabé são apresetadas, ua vez que as soluções são dadas e teros de séres ftas. Por f, o sexto capítulo são fetas as coclusões e recoedações. Detalhes a obteção das soluções apresetadas o quto capítulo são dadas os apêdces, alvado o texto prcpal. 5

23 CAPÍTULO - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Soluções aalítcas para o problea de fluxo e eos porosos são de fudaetal portâca a Egehara de Reservatóros. São estudadas aqu as soluções aalítcas couete apresetadas os lvros ddátcos sobre a dscpla e referecadas o decorrer do texto coo soluções aalítcas clásscas, co a faldade de aalsar suas aplcações e eteder suas ltações. E seguda, são breveete descrtas as poucas referêcas ecotradas sobre o eprego da Técca da Trasforação Itegral coo étodo de solução para probleas de fluxo e reservatóros de petróleo. A Técca da Trasforação Itegral, etodologa de solução proposta este trabalho, possu, detre outros, o objetvo de preecher as lacuas dexadas pelas soluções aalítcas clásscas a solução de probleas de fluxo e reservatóros de petróleo. Alé dsso, vsa à obteção de ua solução geeralzada que possa agrupar todas as stuações partculares e ua forulação úca.. REGIMES DE FLUXO EM UM RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO Reges de fluxo e u reservatóro de petróleo são classfcados, de acordo co a depedêca teporal das pressões o eo poroso, coo: trasete, trasete tardo, pseudoperaete e peraete. Para a dstção etre os dversos reges de fluxo, cosdera-se a dscussão do oveto de pressão que ocorre detro de u reservatóro crcular de rao extero r e a partr de ua perturbação provocada pela produção de u poço (Fgura.). Assue-se as segutes pressas: () o reservatóro possu espessura (h) e propredades físcas costates; () o fludo cotdo o reservatóro possu propredades costates; e (3) a produção do poço de rao r w a ua vazão q w é atda costate ua vez que a perturbação de pressão fo crada. 6

24 Fgura.: Esquea de u reservatóro crcular co u poço o cetro. O oveto de pressão o reservatóro é u feôeo dfusvo odelado pela Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH), cofore ostrado a Seção 3.. A pressão se oveta e ua taxa proporcoal à dfusvdade da foração (CRAFT e HAWKINS, 99), represetada pela expressão da costate da dfusvdade hdráulca: k η = (.) φµc t ode k é a pereabldade efetva ao fludo óvel, φ é a porosdade do reservatóro, µ é a vscosdade do fludo e c t é copressbldade total do sstea. A copressbldade total é obtda pela poderação da copressbldade de cada fase presete o reservatóro pela sua saturação adcoada à copressbldade da foração. Esta, por sua vez, é expressa e teros de varação relatva de volue poroso por udade de pressão. 7

25 O rege de fluxo trasete o reservatóro é o prero a ocorrer a partr da abertura do poço. Durate este período, a perturbação de pressão vaja ao logo do reservatóro se sofrer fluêca dos seus ltes exteros e o reservatóro se coporta coo se fosse fto e sua extesão. A Fgura. lustra o perfl de pressões ao loge do tepo durate o período trasete. Fgura.: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege trasete (ROSA et al., 6). O rege de fluxo trasete tardo ocorre após a perturbação de pressão alcaçar a frotera extera do reservatóro e ates que u rege de fluxo establzado (peraete ou pseudoperaete) seja atgdo. O coportaeto de pressão durate este período é extreaete dfícl de ser descrto. Sua duração é relacoada co a geoetra do reservatóro e posção do poço e relação às suas froteras. Quato aor a dfereça etre as dstâcas do poço às dversas froteras do reservatóro, aor será a duração da trasção. Earlougher (977) apresetou a segute expressão para se estar a duração total do período trasete: t tr φµ c At t A k η t DA DA = = (.) ode A é a área do reservatóro e t DA é o tepo adesoal para o qual o reservatóro ada se coporta coo fto, assudo o valor de, para u reservatóro crcular 8

26 fechado co u poço o cetro. Os tepos adesoas para dversas geoetras de reservatóro e posções do poço produtor tabé fora apresetados por Earlougher (977). O período trasete, e geral, apreseta curta duração, co valores a orde de horas ou das. Poré, coo pode ser observado a speção da expressão (.), stuações partculares pode elevar cosderavelete a duração do período trasete. Etre elas: reservatóros ão covecoas de baxíssa pereabldade, cohecdos coo tght reservors, reservatóros portadores de óleo uto vscoso e reservatóros de grade extesão areal. O rege de fluxo pseudoperaete ca-se após o coportaeto da pressão se establzar o reservatóro, quado este for selado exteraete. A partr deste oeto, as froteras do reservatóro passa a fluecar a perturbação de pressão e o reservatóro ão se coporta as coo se fosse fto. No rege pseudoperaete, tabé chaado de rege depletvo, a pressão e todos os potos do reservatóro ca cotuaete, atedo alterado o gradete de pressão. Ou seja, o forato do perfl de pressão peraece estável ao logo do tepo (Fgura.3). Fgura.3: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege pseudoperaete (ROSA et al., 6). Para o caso de u reservatóro co auteção de pressão as suas froteras, o período que sucede o fluxo trasete é chaado de rege peraete. Ua vez 9

27 cado, as pressões e todos os potos do reservatóro ão são as alteradas co o tepo (Fgura.4). Reservatóros de petróleo pode atgr o rege peraete e casos de reposção equvalete da produção e teros de assa de fludo, seja por fote extera, coo e poços de jeção, ou por fote tera, quado adjacetes a u aquífero de grade volue. Fgura.4: Coportaeto de pressões e u reservatóro radal produzdo co vazão costate durate o rege peraete (ROSA et al., 6).. SOLUÇÕES ANALÍTICAS CLÁSSICAS As soluções aalítcas clásscas para a equação de fluxo e eos porosos (EDH) tê coo pressa básca o coheceto prévo do rege de fluxo sob o qual o reservatóro está produzdo. Cada rege de fluxo põe u cojuto partcular de codções de cotoro que perte a solução da EDH. Ada, para o correto equacoaeto do problea, é ecessáro cohecer a geoetra do fluxo desevolvdo o reservatóro. As duas geoetras de aor portâca prátca são aquelas que dão orge aos fluxos lear e radal. E geoetra lear (Fgura.5), as lhas de fluxo o reservatóro são paralelas e a seção perpedcular ao fluxo é costate. Esta geoetra de fluxo pode ser ecotrada, por exeplo, e poços localzados etre falhas ou e reservatóros caalzados. Para a geoetra radal, as lhas de fluxo são retas covergdo

28 bdesoalete para u cetro cou (poço produtor) e as seções perpedculares ao fluxo decresce cofore se aproxa do cetro (Fgura.6). É a geoetra as cou e poços sob o rege trasete de fluxo. Fgura.5: Geoetra de fluxo lear (odfcado de ROSA et al., 6). Fgura.6: Geoetra de fluxo radal (odfcado de ROSA et al., 6). Esta seção apreseta as soluções aalítcas clásscas da EDH ecotradas a lteratura da Egehara de Reservatóros para os reges de fluxo peraete, pseudoperaete e trasete, e geoetras de fluxo lear e radal. Para o fluxo oofásco de líqudos e eos porosos hoogêeos e sotrópcos, a EDH udesoal é dada por: (, ) p( xt, ) p xt x = η t (.3)

29 e coordeadas cartesaas, para fluxo lear e (, ) p( rt, ) p rt = r r r η t (.4) e coordeadas clídrcas, para fluxo radal. O tero η = k/(φµc t ) é a costate de dfusvdade hdráulca, sedo k e c t a pereabldade e copressbldade total do eo poroso, respectvaete e µ a vscosdade do fludo. As soluções que serão apresetadas cosdera vazão costate q w a posção x = para fluxo lear e e r = r w para fluxo radal, ode r w é o rao do poço. De fora a ater a coerêca co a coveção adotada os deas capítulos, as vazões de produção são cosderadas co valores egatvos, equato que as vazões de jeção são tratadas coo valores postvos... Rege de Fluxo Peraete Neste rege de fluxo a pressão o reservatóro ão vara co o tepo. As equações dadas por (.3) e (.4) tê o tero p codções de cotoro de pressão costate t ulo. A solução é obtda cosderado p e as froteras. Para o fluxo lear, cosdera-se pressão gual à pressão de fluxo a face produtora p( x ) costate a face extera ( x pressão de fluxo a posção do rao do poço ( ) = = e pressão pw = L). Para o fluxo radal, cosdera-se pressão gual à p r = r = p e pressão costate o lte extero ( r = r ). A le de Darcy é corporada a solução relacoado os teros e de dferecal de pressão e vazão de produção (ROSA et al., 6), resultado e: w w qwµ L x qwµ L x p( x) = pw = pe ka L ka L (.5) para coordeadas cartesaas, e

30 qwµ r qwµ r p( r) = pw l = pe l πkh rw πkh re (.6) para coordeadas clídrcas... Rege de Fluxo Pseudoperaete Para este rege de fluxo, a solução da EDH é obtda cosderado codções de cotoro de pressão costate a frotera tera e gradete de pressão ulo a frotera extera. Ada, cosdera-se costate a varação de pressão co o tepo para qualquer posção o reservatóro. A dedução copleta da solução é apresetada por Rosa et al. (6), co resultado fal dado por: ( ) p x wµ q L x x = pw ka L L (.7) para coordeadas cartesaas, e ( ) p r q wµ r r = pw l π kh rw r e (.8) para coordeadas clídrcas. As soluções (.7) e (.8) são fuções apeas da posção. Sabe-se, poré, que as pressões ao logo do reservatóro vara uforeete co o tepo. Portato, estas soluções represeta a dstrbução das pressões o eo poroso e u deterado state. Ou seja, descreve o forato do perfl de pressões que se até alterado ao logo do tepo e são aarradas u deterado tepo t pelo valor da pressão de fluxo p w. Matthews e Russell (967) deostra que, a partr da defção de copressbldade total do sstea c t, é possível obter ua expressão para a pressão p w e fução do tepo. Icorporado tas resultados e (.7) e (.8) chega-se às expressões: 3

31 (, ) p xt q wµ L x x kt = p + ka L L φµ ctl 3 q wµ r r kt r e 3 p( rt, ) = p l l + π kh rw re φµ ctre rw 4 (.9) (.) ode p é a pressão cal do reservatóro. O tero depedete do tepo as equações (.9) e (.) traduz a queda da pressão éda após u tepo t de produção costate à vazão q w. O últo tero de (.9) e os últos dos teros de (.) reflete a relação etre a pressão a posção da fote produtora (p w ) e a pressão éda o reservatóro e qualquer state de tepo durate o rege pseudoperaete...3 Rege de Fluxo Trasete Na dedução da solução para o problea trasete e geoetra lear (.3), supõe-se u eo poroso de copreto teorcaete fto sujeto às segutes codções de cotoro: () gradete de pressão costate a face produtora, traduzdo através da le de Darcy a produção co ua vazão costate q w e () pressão gual à pressão cal p do reservatóro o lte de x. A solução é dada por: q wµ x 4ηt p ( x, t) = p x erfc e ka 4ηt π x 4ηt (.) e erfc é a fução erro copleetar, defda por: ( ξ ) z erfc = e dz π (.) ξ Para a solução da EDH e fluxo radal trasete (.4), supõe-se u reservatóro clídrco fto lateralete produzdo a partr de u poço localzado e sua orge produzdo co vazão costate q w. A solução para este problea é cohecda 4

32 coo solução da fote lear, por supor que o poço seja ua lha (r w ). As codções de cotoro são aálogas às do problea lear, dada a represetação correta da le de Darcy o sstea radal. A solução do problea da fote lear, desevolvda orgalete por Lorde Kelv, é apresetada por Horer (95) cofore: q wµ φµ cr t p( xt, ) = p E π kh 4kt (.3) ode E é a fução tegral expoecal, defda coo: u 3 e x x x E ( x) = du = l x etc. u + +!! 3! (.4) x Valores da fução tegral expoecal pode ser ecotrados de fora tabelada e dversos lvros de Egehara de Reservatóros, coo e Craft e Hawks (99). Para pequeos valores de x, a fução tegral expoecal pode ser aproxada por: ( ) l ( γ ) E x = x (.5) ode γ =,78. De acordo co Rosa et al. (6), a aproxação apreseta erro eor do que % para x <,5. De fora as coservadora, Dake (978) assue a represetatvdade da expressão (.5) para valores de x ferores a,. A equação da pressão (.3) é etão expressa por: q wµ γφµ cr t p( xt, ) = p l π kh 4kt (.6) Esta fora da solução é couete utlzada para cálculo de pressões a posção do poço, ode a aproxação (.5) é oralete é satsfeta. 5

33 ..4 Restrções a Aplcação das Soluções As soluções clásscas apresetadas a Seção. apreseta alguas restrções a sua aplcação:. São específcas para cada geoetra de fluxo - Co sso, tora-se ecessáro o coheceto prévo do tpo de fluxo que se desevolverá o reservatóro para que seja selecoada a solução adequada à stuação.. São específcas para cada rege de fluxo - Por sere partcularzadas para cada rege de fluxo a proposção do problea dfusvo, as soluções clásscas são váldas soete para aquele período específco. 3. Iexstêca de tero fote - A EDH odelada para a obteção destas soluções ão apreseta tero fote. A preseça de ua fote produtora ou jetora o reservatóro é cosderada a codção de cotoro tera do problea. Ass, cofore apresetadas, as soluções são váldas para ceáros fxos co ua úca fote e e ua posção prevaete estabelecda: lte do reservatóro, para geoetra lear e cetro do reservatóro, para geoetra radal. 4. São udesoas - As soluções clásscas são soluções para o problea udesoal de fluxo e eos porosos. Geoetras as coplexas de reservatóro ão pode ser represetadas pela aplcação dreta destas soluções. Para cotorar alguas destas restrções, soluções e ferraetas copleetares às soluções clásscas fora desevolvdas e pode ser ecotradas e dversas das referêcas já ctadas. Estas, por sua vez, cotua a apresetar ltações e sua aplcação, cofore será exeplfcado e seguda. Para esteder a aplcação da solução radal para rege pseudoperaete a reservatóros de dversas geoetras e varadas posções de poço (restrções 3 e 4), Dake (978) apreseta a segute expressão para cálculo de pressão o fudo do poço: 6

34 p w q wµ γcr l A w = ped π kh 4A (.7) ode p ed é a pressão éda o reservatóro o tepo e que se deseja calcular a pressão o poço, A é a área do reservatóro, C A é o fator de fora e γ é ua costate de valor,78. O coceto de fator de fora fo troduzdo por Detz (965) e é apresetado de fora tabelada para dversas geoetras de reservatóro (crcular, retagular de dversas proporções e tragular) e dversas posções do poço e relação às froteras do reservatóro. Nota-se que, por sua vez, a solução (.7) tabé apreseta ltações, detre as quas: ão possu correspodêca para o rege peraete e só é válda para o cálculo de pressão a posção do poço. A dstrbução de pressões ao logo do reservatóro ão pode ser deterada por essa expressão. Outra fora de cotorar as restrções da aplcação das soluções clásscas, e especal as restrções e, é o uso do prcípo da superposção de efetos, através do étodo das ages. A superposção de efeto é válda para probleas dferecas leares (AHMED, 9), coo os descrtos pelas equações (.3) e (.4). Mateatcaete, o teorea da superposção dz que a soa de soluções dvduas da EDH tabé é ua solução da equação (AHMED e McKINNEY, 5). Cosdere u eo poroso se-fto co ua falha selate plaa vertcal fta a ua dstâca r de u poço de produção. O problea pode ser represetado através da solução trasete radal cosderado-se u poço hpotétco (age) produzdo à esa vazão o lado oposto da falha, ou seja, a ua dstâca r do poço produtor, cofore a Fgura.7. A pressão e qualquer poto do reservatóro pode ser deterada pela soa das duas soluções trasetes este eso poto. A pressão o plao da falha fora ua terferêca destrutva as lhas de fluxo, represetado o gradete ulo de pressões decorrete da atureza pereável da barrera. De fora slar, fazedo o poço age de jetor, se alterar o valor de sua vazão, reproduzse u plao de pressões costates. 7

35 Fgura.7: Método de ages para represetação de ua falha vertcal selate (adaptado de AHMED e McKINNEY, 5). Outras cofgurações de ssteas se-ftos (coo u sstea de falhas paralelas ou perpedculares) e ssteas fechados pode ser represetados a partr do eso prcípo. Poré, qualquer stuação dferete de ua falha úca resultará e ua quatdade fta de ages, auetado a coplexdade da forulação da solução e, cosequeteete, do seu cálculo. Dake (978) lustra parte de ua rede fta de ages ecessáras para sular u reservatóro retagular pereável de proporções : co u poço cetrado (Fgura.8). Para esta solução, tato o período trasete de fluxo quato o peseudoperaete são descrtos detro da esa solução. 8

36 Fgura.8: Parte da rede fta de poços age ecessáros para represetar u reservatóro retagular pereável de proporção : co u poço cetrado (odfcado de DAKE, 978)..3 TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS A Técca da Trasforação Itegral é pouco dfudda a Egehara de Reservatóros coo étodo de solução do problea de fluxo e eos porosos. As referêcas evolvedo a sua aplcação esta dscpla para a obteção de soluções da EDH estão descrtas esta Seção. À exceção do trabalho de Couto et al., ode a forulação do problea cosderou heterogeedades e asotropas as propredades de rocha, todas as soluções fora desevolvdas para a pressa de fluxo oofásco horzotal e eos porosos hoogêeos e sotrópcos co tero fote..3. Hovaessa A prera evdêca do uso da Técca da Trasforação Itegral para solução de probleas de Egehara de Reservatóros é ecotrada o trabalho de Hovaessa (96). Neste, fo proposta a solução da EDH pela Técca da Trasforada de Fourer para dos probleas partculares: () reservatóro retagular co u poço úco e todas as froteras seladas; e () reservatóro retagular co u poço úco e todas as froteras atdas à pressão costate. Resultados co dados 9

37 uércos fora ostrados para lustrar as soluções. Cotudo, aálses de covergêca das séres ão fora apresetadas. Segudo Özşk (989), as trasforações tegras para aplcação o sstea de coordeadas cartesaas são usualete chaadas de trasforações de Fourer por sere dervadas co expasões e sére de Fourer de ua fução arbtrára e u dado tervalo. Por sso, o étodo de solução utlzado por Hovaessa pode ser cosderado u caso partcular da aplcação da Técca da Trasforação Itegral..3. Aleda e Cotta Aleda (994) e Aleda e Cotta (995, 996) fora poeros a aplcação e probleas de Egehara de Reservatóros de ua extesão das deas por trás da Técca da Trasforação Itegral chaada de Técca da Trasforada Itegral Geeralzada (GITT Geeralzed Itegral Trasfor Techque). Os autores apresetara a solução da equação bdesoal do traçador e coordeadas cartesaas para o arrajo fve-spot va GITT. A solução fo estudada para ua apla gaa de stuações e cofrotada co resultados uércos e soluções aalítcas alteratvas (quado dspoíves) e dados experetas de outros autores. Fo apresetada tabé a solução do problea bdesoal clássco de fve-spot. Aálses de covergêca das soluções por GITT fora estudadas e dscutdas..3.3 Raha e Betse Raha e Betse () apresetara dversas soluções para a EDH adesoal e coordeadas cartesaas desevolvdas pela Técca da Trasforação Itegral. A aplcação da técca e s ão fo deostrada, dexado-a ao ecargo dos trabalhos de Mkhalov e Özşk (984), Özşk (993), Cotta (993) e Aleda e Cotta (995). Posterorete, Raha e Betse (, 3) apresetara soluções para o eso problea e coordeadas clídrcas. Aálses de covergêca e exeplos lustratvos das soluções ão fora apresetadas..3.4 Couto et al. A GITT fo utlzada por Couto et al. () para alcaçar ua solução aalítca geeralzada para a EDH co coefcetes varáves, ode a porosdade e a

38 pereabldade fora cosderadas fuções da posção, e esta últa tabé fução da dreção. Os exeplos lustratvos da aplcação da solução geral fora deostrados através de casos as sples, e eos hoogêeos e sotrópcos. Não fora apresetadas aálses de covergêca da solução..4 CONCLUSÕES O estudo das soluções aalítcas clásscas para o problea de fluxo e eo porosos deostra que suas aplcações estão sujetas a ua sére de pressas e restrções. A Técca da Trasforação Itegral surge coo ua ferraeta e potecal para o desevolveto de ovas soluções aalítcas que seja aplcáves a stuações eos partculares. Ada, pode-se obter ua solução geeralzada, cofore dscutdo o Capítulo 3, a partr da qual são dervadas soluções de casos específcos, coo cobações de codções de cotoro e quatdade e posção de poços, para o úero desejado de desões do problea. Os trabalhos já publcados sobre a aplcação da Técca da Trasforação Itegral a obteção de soluções aalítcas da EDH, ao eso tepo e que deostra a sua capacdade, dexa espaço para aores desevolvetos.

39 CAPÍTULO 3 - A TÉCNICA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL A Técca da Trasforação Itegral (Classcal Itegral Trasfor Techque CITT) proporcoa ua abordage ssteátca, efcete e dreta para solução de probleas de valor de cotoro leares, ão hoogêeos e trasetes, coo o problea de fluxo e eos porosos descrto pela Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH). Na Técca da Trasforação Itegral, as dervadas parcas de seguda orde das varáves espacas são reovdas da equação dferecal parcal, reduzdo-a a ua equação dferecal ordára de prera orde a varável teporal para o capo trasforado do potecal (pressão, para o problea de teresse). A equação dferecal ordára é resolvda sujeta à codção cal trasforada e o resultado é etão vertdo para obteção da solução fal para o potecal. O processo de versão é dreto, ua vez que as expressões de trasforação e versão são defdas a pror. Segudo Özşk (989), detre dversas outras abordages exstetes para a solução de probleas de valor de cotoro de codução de calor, a técca da trasforação tegral oferece a abordage as dreta e elegate, pos as fuções trasforadas e suas versões estão protaete dspoíves, defdas o íco do problea. A prcpal referêca para a Técca da Trasforação Itegral é o lvro de Mkhalov e Özşk (984). Neste, a aplcação da trasforação tegral é tratada de fora ssteátca a solução de sete classes de probleas leares de dfusão de calor e assa, cobrdo u vasto úero de casos de teresse prátco. Os lvros de Özşk (989 e 993) tabé aborda o assuto de aera orgazada e ssteátca, apresetado ada outras téccas aalítcas e uércas para a solução de probleas de codução de calor. Ebora a lteratura sobre esta técca teha tratado extesvaete de aplcações detro da área de trasferêca de calor e ecâca dos fludos (ALMEIDA, 994), o problea

40 de fluxo e eos porosos pode ser eteddo coo u problea aálogo, descrto por equações slares, dadas as devdas correspodêcas etre parâetros destes dos feôeos. A Técca da Trasforação Itegral, até etão pouco explorada detro da Egehara de Reservatóros, será apresetada este Capítulo coo étodo para obteção de ua solução aalítca geeralzada para o problea de trasete de fluxo e eos porosos. A solução geral é apresetada para doíos ftos, hoogêeos e sotrópcos co tero fote, podedo ser aplcada e dversos ssteas de coordeadas ortogoas, cofore lstado a Tabela 3.. O sstea de coordeadas aproprado deve ser aquele que elhor represete as froteras do problea e questão. 3. A EQUAÇÃO DA DIFUSIVIDADE HIDRÁULICA O odelo ateátco para a represetação do problea físco do escoaeto oofásco de fludos e eos poroso é cohecdo coo Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH). Fgura 3.: Volue ftesal de cotrole. 3

41 O balaço de assa de fludo e u volue de rocha ftesal (volue de cotrole) co tero fote (Fgura 3.) é escrto da segute fora: d dt VC.. ( e s) (3.) p = + SC.. ode VC.. é o volue de cotrole; SC.. são as superfíces do volue de cotrole; e deota assa por udade de tepo, co e, s e p represetado as vazões ásscas de etrada, saída e da fote extera o volue de cotrole, respectvaete. Expaddo os teros de etrada e saída de assa as três dreções ortogoas: d ( x y z) ( x x y y z z) = (3.) dt VC.. p Sedo ρ a desdade do fludo e u= ( uvw,, ) seu vetor de velocdades, as vazões ásscas as faces do volue de cotrole pode ser escrtas coo: x ( ρ ) = u dydz (3.3) y ( ρ ) = v dxdz (3.4) z ( ρ ) = w dxdy (3.5) ( ρu) = ( ρu) + dx dydz x+ x (3.6) x ( ρv) = ( ρv) + dy dxdz y+ y (3.7) y ( ρw) = ( ρw) + dz dxdy z+ z (3.8) z 4

42 Substtudo o cojuto de equações (3.3) a (3.8) e (3.): ( φρ ) ( ρu) ( ρv) ( ρw) dxdydz = dxdydz dxdydz dxdydz + ρq p (3.9) t x y z ode q p é a vazão voluétrca da fote extera. Dvddo a equação (3.9) por dxdydz chega-se a segute fora para a equação do balaço de assa: ( φρ ) ( ρu) ( ρv) ( ρw) ''' = + ρq p (3.) t x y z co ''' q p represetado a vazão por udade de volue da fote extera. Ebora teha sdo deostrada para o sstea cartesao de coordeadas, a equação do balaço de assa, tabé cohecda coo Equação da Cotudade, pode ser escrta para qualquer sstea de coordeadas ortogoas: ( φρ ) t ''' = ( ρu) + ρq p (3.) A equação (3.) ada apreseta coveetes a sua aplcação ua vez que, para a sua solução, são ecessáras posções de codção de cotoro e teros de velocdade do fludo e sua desdade. Cotudo, é possível estabelecer ua relação etre a velocdade do fludo, sua vscosdade, a pereabldade do eo poroso e o gradete de pressão ao qual o fludo está subetdo através de ua equação de trasporte. Esta relação é cohecda coo Le de Darcy (DARCY, 856) e é represetada por: ˆk u = p µ (3.) 5

43 ode u é o vetor de velocdades do fludo; ˆk é o tesor de pereabldade; µ é a vscosdade dâca do fludo; e p é a pressão do fludo. Substtudo a Le de Darcy a equação do balaço de assa (3.): ( φρ ) k ˆ ''' = ρ p + ρq p (3.3) t µ O coceto de copressbldade do fludo relacoa a sua desdade co a pressão segudo a expressão: c f dρ dρ = = ρcf (3.4) ρ dp dp De fora slar, a copressbldade do eo poroso relacoa a porosdade da rocha co a pressão: c r dφ dφ = = φcr (3.5) φ dp dp O lado esquerdo da equação (3.) pode ser avalado utlzado-se os cocetos de dervação por partes e regra da cadea para obter a expressão: ( φρ ) d ρ d φ d ρ dp d φ dp = φ + ρ = φ + ρ t dt dt dp dt dp dt (3.6) Substtudo as expressões (3.4) e (3.5) e (3.6): ( φρ ) p p p = φρcf + ρφcr = φρ ( cf + cr) t t t t 6

44 ( φρ ) t p = φρct t (3.7) ode c t deota a copressbldade total, sedo esta a soa da copressbldade do fludo co a copressbldade da rocha. Substtudo a expressão (3.7) e (3.3): p kˆ ''' φρct = ρ p + ρq p (3.8) t µ O prero tero do lado dreto da equação (3.8) pode ser expaddo pela dervação por partes da fora e reescrto utlzado-se a regra da cadea e a defção de copressbldade do fludo: kˆ kˆ kˆ ρ p = ρ p + ρcf p µ µ µ ( ) (3.9) Assudo a pressa de pequeos gradetes de pressão detro do volue ftesal de cotrole, o segudo tero do lado dreto da expressão (3.9) tora-se uto eor do que o prero tero e, portato, pode ser desprezado (FINJORD e AADNOY, 989), resultado e: kˆ kˆ ρ p = ρ p µ µ (3.) Substtudo (3.) e (3.8) e dvddo a equação resultate por ρ : p kˆ ''' φct = p + q p (3.) t µ 7

45 A equação (3.) é válda para qualquer sstea de coordeadas ortogoas. Cosderado que as propredades de fludo e rocha ão são varáves co a pressão e explctado as depedêcas dos teros co o vetor posção r e a varável teporal t, a equação (3.) assue a fora: prt (,) ˆ kr () φ() rct = prt (,) + q P(,) rt (3.) t µ ode o tero fote q P (,) rt te udades de [ tepo], ou de vazão por udade de volue e prt (,) é a pressão depedete do tepo t e do vetor posção r. Cosdera-se ada: Fluxo oofásco; Copressbldade total do sstea ( c t ) costate; Vscosdade do fludo ( µ ) costate; Meo heterogêeo (porosdade φ = φ( r) e pereabldade k= kr ˆ( )); e Meo asotrópco: kr( r) kr ˆ( ) = kr ( r ) kr3( r). A equação (3.) é cohecda coo Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH). Este trabalho te coo objetvo obter soluções aalítcas da EDH para eos hoogêeos e sotrópcos co tero fote. Neste caso, a equação (3.) assue a segute fora: prt, prt (, ) + g( rt, ) = η t ( ) (3.3) 8

46 ode η = k/(φµc t ) é a costate de dfusvdade hdráulca. Nota-se que a apulação da equação (3.) para chegar à fora de (3.3) corporou-se o tero µ/k e g( rt, ). 3 g rt, e (3.3) te desões de ML T. Ass, o tero fote ( ) 3.. As Codções de Cotoro A equação dferecal da dfusvdade hdráulca terá ftas soluções a ão ser que u cojuto de codções de cotoro (que prescreve codções as superfíces das froteras do problea) e ua codção cal seja postos. É coveete separar as codções de cotoro os grupos descrtos a segur Codção de Cotoro do Prero Tpo Na codção de cotoro do prero tpo, ou de Drchlet, a pressão é prescrta a superfíce da frotera. Para o caso geral, é ua fução da posção e do tepo, ou seja, prt f rt (, ) = (, ) e r S (3.4) Casos partculares clue a pressão a frotera coo fução apeas do tepo f ( t ), apeas da posção f ( r ) ou ua costate. Se a pressão a frotera for ula, te-se: prt, = ( ) e r S (3.5) Este é u caso especal chaado de codção de cotoro hoogêea do prero tpo. A superfíce de ua frotera atda e ua pressão costate p tabé satsfará a codção de cotoro hoogêea do prero tpo se a pressão for edda coo a dfereça e relação à p. 9

47 3... Codção de Cotoro do Segudo Tpo Na codção de cotoro do segudo tpo, ou de Newa, a dervada oral é prescrta a superfíce da frotera. Para o caso geral, é ua fução da posção e do tepo: prt (, ) = f ( rt, ) r S e (3.6) ode deota a dervada oral à superfíce da frotera S, de detro para fora. Esta codção de cotoro equvale ao fluxo prescrto a frotera. Casos partculares clue o fluxo a frotera coo fução apeas do tepo f ( ) ( ) f r ou ua costate. O caso da dervada oral gual a zero: t, apeas da posção prt (, ) = e r S (3.7) represeta a codção de frotera pereável (ou setra). Para o problea da equação da dfusvdade hdráulca, a codção de cotoro da equação (3.7) represeta u reservatóro selado, se realetação de fludos Codção de Cotoro do Tercero Tpo Na codção de cotoro do tercero tpo, ou de Rob, ua cobação lear da pressão e sua dervada oral é prescrta a superfíce da frotera: prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) e r S (3.8) As codções de cotoro do prero e do segudo tpo são obtdas escolhedo valores de a e b guas a zero, respectvaete a equação (3.8). O caso partcular de codção de cotoro hoogêea o tercero tpo é descrto por: 3

48 prt (, ) a + bp( r, t) = e r S (3.9) 3.. Problea de Valor de Cotoro Hoogêeo e Não Hoogêeo Os probleas trasetes de valor de cotoro pode ser dvddos e dos grupos dsttos: probleas hoogêeos e probleas ão hoogêeos. Ua equação dferecal parcal lear é dta hoogêea se cada u de seus teros apreseta-se coo u produto da fução descohecda ( p, este caso) ou de qualquer ua de suas dervadas parcas. Do cotráro, a equação é dta ão hoogêea (BOYCE e DIPRIMA, ). A ão hoogeedade da EDH (3.3) está assocada ao tero g rt,, equato que as codções de cotoro (3.8), está assocada ao tero f ( ) ( rt, ). O problea trasete de valor de cotoro da dfusvdade hdráulca será chaado de problea hoogêeo quado tato a equação dferecal quato as codções de cotoro fore hoogêeas. O problea a fora prt, prt (, ) = η t ( ) e r R prt (, ) a + bp( r, t) = e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (3.3), t > (3.3), t = (3.3) é u problea hoogêeo dada a hoogeedade sultâea da equação dferecal e de suas codções de cotoro. O problea trasete de valor de cotoro da dfusvdade hdráulca será chaado de problea ão hoogêeo se a equação dferecal, ou as codções de cotoro, ou abas fore ão hoogêeas. O problea 3

49 prt (, ) prt (, ) = e r R η t prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (3.33), t > (3.34), t = (3.35) é ão hoogêeo por apresetar codções de cotoro ão-hoogêeas, ou seja, as f rt, ão apreseta p ou quasquer de suas dervadas parcas coo fuções ( ) produto. 3. APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL NA SOLUÇÃO DA EDH Neste capítulo será apresetada a aplcação da Técca da Trasforação Itegral a solução do problea de valor de cotoro ão hoogêeo da equação da dfusvdade hdráulca ultdesoal trasete co coefcetes costates e regões ftas. O problea é ateatcaete descrto por: prt (, ) prt (, ) + g( rt, ) = e r R η t prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (3.36), t > (3.37), t = (3.38) ode =,,..., N e N é o úero de froteras cotíuas a regão R ( N = para u eo se-fto, N = para ua placa, N = 4 para ua regão retagular, etc.); dca a dervada oral à superfíce da frotera são coefcetes da codção de cotoro a frotera dfusvdade hdráulca; f( rt, ) g rt, é o tero fote. é ua codção cal especfcada; e ( ) S, de detro para fora; a e b S ; η é a costate da é ua fução prescrta da codção de cotoro; F( r ) 3

50 3.. Solução do Problea Hoogêeo por Separação de Varáves Detro os étodos cohecdos para a solução de probleas hoogêeos de valor de cotoro da equação da dfusvdade, o étodo da separação de varáves é o de aplcação as efcaz e dreta quado a separação é possível (ÖZIŞIK, 993). A solução do problea hoogêeo da equação da dfusvdade será apresetada a segur e sua fora geeralzada ultdesoal para qualquer sstea ortogoal de coordeadas lstado a Tabela 3.. Cosderado u eo poroso hoogêeo, sotrópco, co propredades hdráulcas costates, escolhe-se u sstea ortogoal de coordeadas e assue-se que o eo poroso te froteras cotíuas S, =,,..., N, que se ajusta às superfíces do sstea de coordeadas. O problea hoogêeo de valor de cotoro da dfusvdade hdráulca é dado por: prt, prt (, ) = η t ( ) e r R prt (, ) a + bp( r, t) = e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (3.39), t > (3.4), t = (3.4) O problea é apresetado geeralzadaete co codções de cotoro do tercero tpo para todas as froteras. Codções de cotoro do prero e segudo tpo são casos partculares, obtdas atrbudo-se zero aos coefcetes a e b, respectvaete. A técca da separação de varáves parte do pressuposto que a solução do problea, o capo de pressões, pode ser separada e dos teros: u depedete apeas do tepo e outro depedete das varáves espacas. Ass, a pressão é escrta a fora: prt r t (, ) = ψ ( ) Γ( ) (3.4) 33

51 Substtudo a fora separada da pressão a equação dferecal hoogêea (3.39) e arruado os seus teros obté-se: ( ) dγ t Γ( t) ψ ( r) = ψ ( r) η dt (3.43) Dvddo abos os lados da equação por ψ ( r) Γ( t) : ψ r dγ( t) (3.44) ψ r t dt ( ) = ( ) η Γ( ) Na equação (3.44) o tero da esquerda é fução apeas das coordeadas espacas r, equato que o tero da dreta é fução apeas do tepo t. Coo r e t são varáves depedetes, a gualdade desta equação só pode ser satsfeta por ua costate, chaada de varável de separação. Desta fora, a expressão obtda é: λ, ψ r dγ t ( ) ( ) η Γ( ) ( ) = = λ (3.45) ψ r t dt A partr de (3.45) dos probleas são gerados: u depededo apeas da varável teporal e outro e fução das varáves espacas. A fução depedete do tepo Γ ( t) satsfaz a equação dferecal ordára: dγ ( t) dt ηλ ( t) + Γ = (3.46) cuja solução edata é: ( ) t C e ηλ t Γ = (3.47) 34

52 A fução depedete das varáves espacas satsfaz o segute problea de autovalor (PAV), a partr de (3.45) e da substtução da fora separada da pressão, Eq. (3.4), a codção de cotoro (3.4): ( r) λψ( r) ψ + = ψ ( r ) a + bψ r = ( ) e r R r S e (3.48) (3.49) A equação (3.48) é chaada de equação de Helholtz. Sua solução é essecal à solução do problea da dfusvdade hdráulca aqu apresetado. O sstea forado pelas equações (3.48) e (3.49) apreseta soluções ão-trvas apeas para certos valores da varável de separação λ λ, chaados de autovalores. As soluções ão trvas correspodetes a estes autovalores são chaadas de autofuções: ψ ( λ, r) ψ ( r). Quado o problea de autovalor equações (3.48) e (3.49) evolver as de ua ψ r = ψ xyz,, e coordeadas cartesaas, a varável espacal, por exeplo, ( ) ( ) equação de Helholtz pode ser resolvda aplcado-se ovaete o étodo da separação de varáves para as varáves espacas, caso o sstea de coordeadas adotado para o problea perta tal separação. O problea ultdesoal de Helholtz e dversos ssteas de coordeadas fo extesvaete estudado e deostra-se que a sua separação e equações dferecas ordáras para cada varável espacal é possível e oze ssteas de coordeadas ortogoas. A Tabela 3., extraída de Özşk (993), lsta estes ssteas de coordeadas e as fuções que pode aparecer coo solução. Ass, a separação de varáves apreseta-se coo u étodo portate para solução da equação de Helholtz, dado que, para grade parte dos probleas, u destes oze ssteas de coordeadas pode ser adequado para represetar as froteras da regão do problea e questão. 35

53 Tabela 3.: Ssteas de Coordeadas Ortogoas para os quas a separação da Equação de Helholtz é possível (adaptado de Özşk, 993). Sstea de Coordeadas Fuções que Aparece a Solução. Retagulares Expoecal, crcular, hperbólca. Crculares Bessel, expoecal, crcular 3. Elíptcas Matheu, crcular 4. Parabólcas Weber, crcular 5. Esfércas Legedre, potêca, crcular 6. Prolato-Esferodas Legedre, crcular 7. Oblato-Esferodas Legedre, crcular 8. Parabólcas Bessel, crcular 9. Côcas Laé, crcular. Elpsodas Laé. Parabolodas Baer Assudo que as autofuções ψ ( r ) solução copleta para o capo de pressões prt (, ) lear de todas as soluções dvduas: e os autovalores λ estão deterados, a é costruída a partr da cobação prt c r t, = ( ) = ψ ( ) Γ( ) prt c r e ηλ, = t = ( ) ψ ( ) (3.5) É portate destacar que para u problea trdesoal, por exeplo, o soatóro da equação (3.5) é u soatóro trplo para os espectros de autovalores as três dreções ortogoas. Da esa fora, a as autofuções são o produto das soluções das equações dferecas ordáras resultates da aplcação da separação de varáves o problea de autovalor (equação de Helholtz). Relações de correspodêca da otação geral co os dversos probleas ultdesoas para os ssteas de coordeadas cartesaas estão apresetadas o Capítulo 4. 36

54 A expressão (3.5) respeta a codção de cotoro (3.4) do problea orgal, as ada precsa ser elaborada para satsfazer a codção cal através da deteração de ua fora aproprada para a costate c. Aplcado a codção cal e (3.5), obté-se: F r c r ( ) = ψ ( ) = (3.5) Se as autofuções costtue u cojuto ortogoal a regão R, os coefcetes c pode ser deterados fazedo-se uso da propredade da ortogoaldade das autofuções: R ψ, r r dr = N, = ( ) ψ ( ) N = ψ r dr R ( ) (3.5) (3.53) ode N( λ ) N é chaada de tegral oralzada ou ora da autofução ψ ( r ). A deostração da relação de ortogoaldade das autofuções pode ser ecotrada e Özşk (989). Operado os dos lados da equação (3.5) co R ψ dr : ( r ) ψ r F r dr c ψ r ψ r dr R ( ) ( ) = ( ) ( ) R = (3.54) Pela propredade da ortogoaldade das autofuções: c ψ ( r ) F ( r ) dr R = N (3.55) Substtudo (3.55) e (3.5) chega-se à solução do problea: 37

55 ψ R prt = e r ηλt (, ) ψ ( ) = F r dr ( r ) ( ) N (3.56) Defdo a autofução oralzada coo: ψˆ λ (, r) ψˆ ( r) ψ = N ( r ) (3.57) e substtudo esta defção e (3.56), a solução fal do problea hoogêeo de valor de cotoro da dfusvdade hdráulca é obtda: p r t e r r F r dr ηλ (, ) = ψˆ( λ, ) ψˆ( λ, ) ( ) = t R (3.58) ode o soatóro é feto para todos os autovalores do problea. 3.. Solução do Problea Não Hoogêeo por Trasforação Itegral Nesta seção será deostrada a aplcação Técca da Trasforação Itegral a solução da equação do problea de valor de cotoro ão hoogêeo da equação da dfusvdade hdráulca ultdesoal trasete co coefcetes costates e regões ftas (cofore eucado e 3.): prt, prt (, ) + g( rt, ) = η t ( ) e r R prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (3.59), t > (3.6), t = (3.6) 38

56 ode =,,..., N e N é o úero de froteras cotíuas a regão R ( N = para u eo se-fto, N = para ua placa, N = 4 para ua regão retagular, etc.); dca a dervada oral à superfíce da frotera são coefcetes da codção de cotoro a frotera dfusvdade hdráulca; f( rt, ) g rt, o tero fote. é ua codção cal especfcada; e ( ) S, de detro para fora; a e b S ; η é a costate da é ua fução prescrta da codção de cotoro; F( r ) A solução do problea pela Técca da Trasforação Itegral evolve as segutes etapas (ÖZIŞIK, 993):. Defção do par de fórulas adequadas para trasforação tegral e versão do problea, para as quas se adotará a oeclatura de trasforação tegral e fórula de versão.. Aplcação da trasforação tegral a EDH para reoção das dervadas parcas e relação às varáves espacas, reduzdo-a a ua equação dferecal ordára para a pressão o capo trasforado. 3. Solução da equação dferecal ordára resultate sujeta às codções cas trasforadas e aplcação da fórula de versão para obteção da solução desejada Defção do Par da Trasforação Itegral O par da trasforação tegral ecessáro para a solução do problea proposto pode ser desevolvdo cosderado-se o segute problea de autovalor: ( r) λψ( r) ψ + = ψ ( r ) a + bψ r = ( ) e r R r S e (3.6) (3.63) 39

57 Este problea de autovalor é obtdo pela separação de varáves do problea hoogêeo da dfusvdade hdráulca (problea auxlar), cofore deostrado a ψ λ, r ψ r satsfaze a propredade da Seção 3... As autofuções ( ) ( ) ortogoaldade: R ψ, r r dr = N, = ( ) ψ ( ) (3.64) ode a tegral oralzada (ou ora) N( λ ) N é defda coo: N = ψ r dr R ( ) (3.65) Coo base da Técca da Trasforação Itegral, cosdera-se que, ua fução T rt, defda e ua regão fta R, pode ser represetada através de u qualquer ( ) tero depedete apeas das varáves espacas (sedo este as autofuções da solução do problea hoogêeo) e outro depedete apeas do tepo: T rt C t r, = ( ) = ( ) ψ ( ) (3.66) ode o soatóro é toado e todo o espectro dscreto de autovalores λ. Para deterar os coefcetes descohecdos C ( ) equação (3.66) o operador para obter: R ψ ( r ) t, aplca-se e abos os lados da dr e utlza-se a propredade da ortogoaldade ψ r T r t dr = C t ψ r ψ r dr R ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) R = C ( t) ψ ( r ) T ( r, t) dr R = N (3.67) 4

58 Substtudo (3.67) e (3.66) e fazedo uso da defção de autofução oralzada (3.57): T rt = r r T rt dr (, ) ψˆ ( ) ψˆ ( ) (, ) = R (3.68) e separado expressão obtda e dos teros, defe-se o par da trasforação tegral: Fórula de Iversão: T( rt, ) = ψˆ ( r) T ( λ, t) = Trasforação Itegral: ( λ ) ψˆ ( ) ( ) T, t = r T r, t dr R (3.69) (3.7) ode T ( λ t) é chaada trasforada tegral da fução T( rt, ), e relação à varável espacal r. Destaca-se que, a represetação foral de (3.69) e (3.7), o soatóro e tora-se trplo, duplo ou sples; e a tegral e R tora-se ua tegral de volue, área ou lha para regões de três, duas ou ua desão, respectvaete. ψ r ψ λ r e as Para o sstea cartesao de coordeadas, as autofuções ( ) ( ) tegras oralzadas N N( λ ), tora-se produtos de autofuções e tegras oralzadas e cada dreção ortogoal, respectvaete Aplcação da Trasforação Itegral a Equação da Dfusvdade Hdráulca O passo segute da etodologa foca a reoção das dervadas parcas e relação às varáves espacas da equação dferecal da dfusvdade hdráulca (3.59) pela aplcação da trasforação tegral (3.7). Ass, ultplca-se abos os lados da equação (3.59) por ( r ) ψ e tegra-se a regão R : ˆ ψˆ R r p r t dr + r g r t dr ( ) (, ) ψˆ ( ) (, ) R (3.7) = ψˆ ( r ) p ( r, t) dr η t R 4

59 que, utlzado-se da defção da trasforação tegral (3.7), reescreve-se coo: ( λ t) dp, ψˆ ( r ) p ( r, t) dr + g ( λ, t) = η R dt (3.7) ode quatdades co barra ( g, p ) refere-se às trasforadas tegras de suas fuções de acordo co a fórula (3.7). O prero tero à esquerda da gualdade a equação (3.7), referete à trasforação prt,, pode ser calculado pelo uso do Teorea de Gree tegral de ( ) (ÖZIŞIK, 989), expresso a fora: ψˆ ( r ) p ( r, t) dr = R p( r, t) ψˆ ( r) = p r, t r dr + r p r, t ds R N ' ( ) = S ( ) ψˆ ( ) ψˆ ( ) (3.73) ode =,,..., N e N é o úero de froteras cotíuas a regão R. O prero tero à dreta da gualdade, ( ) ψ ˆ ( ) p r, t r dr é calculado ultplcado-se a R equação dferecal auxlar (3.6) para a autofução oralzada ψ ( r ) por prt (, ) tegrado a regão R : ˆ e R p r, t r dr + p r, t r dr = ( ) ψˆ ( ) λ ( ) ψˆ ( ) R (3.74) Utlzado a defção da trasforação tegral (3.7) e rearruado os teros, tese: R prt r dr prt (, ) ψ ˆ ( ) = λ (, ) (3.75) 4

60 O segudo tero à dreta da gualdade a equação (3.73) é calculado através das codções de cotoro dos probleas prcpal e auxlar, (3.6) e (3.63), respectvaete. A equação (3.6) é ultplcada por ( r ) ultplcada por prt (, ) : ψ e a equação (3.63) é ˆ prt (, ) a ˆ ( ) ˆ ( ) (, ) ˆ ψ r + b ψ r prt = ψ( r) f( rt, ) (3.76) ψˆ ( r ) a (, ) (, ) ˆ prt + b prt ψ ( r) = (3.77) Subtrado-se os resultados: prt ( ) ˆ ( ) ˆ, ψ r ψ( r) ψˆ ( r) prt (, ) = f( rt, ) (3.78) a As expressões (3.75) e (3.78) são etão substtuídos a equação (3.73): ψˆ ( r ) ψˆ,,, R N ' ( r ) p ( r t) dr = λp ( r t) + f( r t) ds = a S (3.79) Substtudo (3.79) e (3.7) dp η dt ( λ, t) + λ prt = A t (, ) ( λ, ) (3.8) ode ' ψˆ ( r ) A t g t f r t ds ( λ ) ( λ ) ' ( ) N ', =, +, = a S (3.8) 43

61 Ass, pela aplcação da Técca da Trasforação Itegral, todas as dervadas parcas e relação às varáves espacas fora reovdas da equação da dfusvdade (3.59) e reduzdas a equações dferecas ordáras de prera orde e relação ao tepo para a trasforada da pressão, p( λ t),. No processo da trasforação tegral fora utlzadas as codções de cotoro (3.6) e, portato, estas já estão corporadas o resultado. A trasforada tegral da codção cal (3.6) é: p t r F r dr F ( λ, ) = ψˆ ( ) ( ) ( λ ) R para t = (3.8) Solução do Problea Trasforado e Iversão A solução da equação dferecal (3.8) sujeta à codção cal trasforada (3.8) forece o capo de pressões o doío trasforado: t t ( ) ( ) t' p, t e ηλ ηλ λ = F λ + η e A( λ, t ') dt ' (3.83) Substtudo a fórula da trasforação tegral da pressão (3.83) a fórula da versão (3.69), obté-se a solução do problea de valor de cotoro da equação da dfusvdade hdráulca dado pelas equações (3.59), (3.6) e (3.6): ode ( ) t ηλt ηλ, ˆ ( ) ( ) t p r t = e ψ ' r F λ + η e A( λ, t ') dt ' = ψˆ ( r ') A, t ' g, t ' f r ', t ds ' N = + ( ) = a S ( λ ) ( λ ) F ( λ ) ˆ = ψ( r ') F ( r ') dr ' R g ( λ, ') ˆ t = ψ( r ') g ( r ', t ') dr ' ψˆ λ R (, r) ψˆ ( r) ψ = N ( r ) (3.84) (3.85) (3.86) (3.87) (3.88) 44

62 N N r dr ( λ ) ψ ( ) = R (3.89) e ψ ( r ) ˆ s são as autofuções oralzadas do problea de autovalor apresetado pelas equações (3.6) e (3.63). O soatóro e (3.84) é toado e todo o espectro dscreto de autovalores. A solução geral do problea apresetada e (3.84) fo deduzda para codções de cotoro do tercero tpo e todas as froteras, sto é: prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) (3.9) Se alguas froteras apreseta codções de cotoro do tercero tpo e outros do segudo tpo, a fora da solução geral peraece alterada. Poré, para codções de cotoro do prero tpo, ode ao tero a deve ser atrbuído o valor ulo, o tero ( t ) A λ, ' dado por (3.85) ão pode ser defdo, ua vez que o tero a aparece o deoador. Esta dfculdade por ser cotorada substtudo-se ( r ') ψˆ (3.9) a por ψˆ ( r' ) (3.9) b e (3.85) para o tero A( t ) λ, ', a frotera S e que a codção de cotoro for do prero tpo. A valdade desta relação é evdecada co a apulação dos teros a codção de cotoro hoogêea (3.63) do problea auxlar: ψˆ ( r ) a ˆ + bψ ( r) = 45

63 ψˆ ( ) ˆ r ψ( r) = (3.93) a b Quado todas as codções de cotoro fore do segudo tpo, coo por exeplo, o caso de u reservatóro selado, a terpretação da solução geral (3.84) requer cosderações especas. Isto se deve ao fato de que, para este caso e partcular, λ = tabé é u autovalor, correspodete à autofução ψ = costate. Os cudados ecessáros ao trataeto deste caso serão abordados e detalhes a Seção

64 CAPÍTULO 4 - APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL O Capítulo 3 apresetou a aplcação da Técca da Trasforação Itegral para a obteção de ua solução aalítca geral para o problea da dfusvdade hdráulca ultdesoal trasete co tero fote e propredades costates de fludo e rocha. A solução do capo de pressões para u problea específco pode ser obtda através da aplcação dreta da solução geral (3.84). Poré, faz-se ecessára ua ateção especal a terpretação da otação sbólca quado partcularzada para u deterado problea. Alé dsso, a equação de Helholtz (problea de autovalor) e cada dreção ortogoal deve ser detfcada e resolvda para obteção das autofuções e autovalores, prescdíves à solução. Neste capítulo será apresetada ua etodologa para a aplcação dreta da solução geral e u problea partcular qualquer. Para sso, faz-se uso de tabelas de correspodêca etre a otação sbólca geral utlzada o Capítulo 3 e o úero de desões do problea e questão, ass coo soluções tabeladas do problea de Helholtz e teros de autovalores, oras e autofuções, para ove cobações de codções de cotoro e ua dada dreção ortogoal. Estas tabelas auxlares são partculares ao sstea de coordeadas cartesao. Copleetarete, exeplos serão apresetados, lustrado a aplcação da etodologa e recostrudo soluções já apresetadas e outros trabalhos da lteratura técca da Egehara de Petróleo. 47

65 4. A SOLUÇÃO GERAL A EDH para o fluxo oofásco de fludo e u eo poroso hoogêeo e sotrópco detro do doío R co tero fote é dada por: prt (, ) prt (, ) + g( rt, ) = e r R η t prt (, ) a + bprt (, ) = f( rt, ) e r S prt (, ) = F( r) e r R, t > (4.), t > (4.), t = (4.3) A solução aalítca deste problea através da aplcação da Técca da Trasforação Itegral fo apresetada o Capítulo 3. A solução geral do problea é dada por: ( ) t ηλt ηλ, ˆ ( ) ( ) t p r t = e ψ ' r F λ + η e A( λ, t ') dt = (4.4) ode ψˆ ( r ') A, t ' g, t ' f r ', t ds ' N = + ( ) = a S ( λ ) ( λ ) F ( λ ) ˆ = ψ( r ') F ( r ') dr ' R g ( λ, ') ˆ t = ψ( r ') g ( r ', t ') dr ' ψˆ λ R (, r) ψˆ ( r) ψ = N ( λ ) ψ ( ) R ( r ) N N r dr = (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) 48

66 A substtução a segur deve ser feta a equação (4.5) para as froteras do doío sujetas à codção de cotoro do prero tpo ( a = ): ψˆ ( ) ˆ r ψ( r) = (4.) a b 4. METODOLOGIA PARA APLICAÇÃO DA SOLUÇÃO GERAL A aplcação da solução geral dervada pela Técca da Trasforação Itegral para probleas de fluxo oofásco e eos porosos hoogêeos e sotrópcos evolve ua sére de cálculos teredáros e cudados a terpretação da otação sbólca geral. Os prcpas passos evolvdos desde a forulação de u problea específco até a obteção da solução fal do capo de pressões estão suarzados a Fgura 4.. Tabelas auxlares para correspodêca etre a otação sbólca do problea geral e de u problea específco qualquer serão apresetadas a Seção 4.3, ass coo soluções tabeladas para os probleas de autovalores as dreções ortogoas do sstea de coordeadas cartesaas. 49

67 () Idetfcação do úero de desões do problea de fluxo (D, D ou 3D) () Idetfcação da represetação do tero fote para o úero de desões do problea (3) Costrução da EDH para o problea (4) Idetfcação das codções de cotoro e codção cal do problea (5) Costrução do Problea de Valor de Cotoro (6) Idetfcação do Problea de Autovalores e cada dreção ortogoal (7) Cálculo de autovalores, oras e autofuções para cada dreção ortogoal (8) Costrução das autofuções, oras e autofuções oralzadas para o sstea (problea ultdesoal) (9) Correspodêca etre a otação sbólca da solução geral e o problea proposto ( ) ( ) e recostrução da solução fal prt (, ) () Cálculo dos teros F λ, g λ, t', A( λ, t') Fgura 4.: Metodologa para aplcação da solução geral e u problea partcular de fluxo e eo poroso. 5

68 4.3 APLICAÇÃO EM COORDENADAS CARTESIANAS Nesta seção estão apresetadas forações tabeladas que auxla a platação do fluxograa apresetado a Fgura 4. para obteção de soluções aalítcas de probleas ultdesoas de fluxo e coordeadas cartesaas a partr da solução geral ostrada a Seção 4.. Três probleas são solucoados para deostrar a aplcação da etodologa. Segudo as etapas da Fgura 4.: () Idetfcação do úero de desões do problea de fluxo (D, D ou 3D); () Idetfcação da represetação do tero fote para o úero de desões do problea: cosultar a Tabela 4.; (3) Costrução da EDH para o problea: cosultar a Tabela 4. para represetação adequada do tero dfusvo; (4) Idetfcação das codções de cotoro e codção cal do problea; (5) Costrução do Problea de Valor de Cotoro; (6) Idetfcação do Problea de Autovalores e cada dreção ortogoal: cosultar a Tabela 4. para detfcação do úero de probleas depedetes de autovalores e a sbologa adotada para cada dreção, a Fgura 4. para ua represetação esqueátca de ua dreção ortogoal arbtrára e suas froteras e a Fgura 4.3 para adotar a oeclatura correta do tpo de codções de cotoro e cada dreção ortogoal; (7) Cálculo de autovalores, oras e autofuções para cada dreção ortogoal: a Tabela 4.5 detfca, para cada cojuto de Codção de Cotoro (C.C.) do problea real, as C.C. do problea auxlar, equato que a Tabela 4.6 apreseta as soluções e teros de autofuções, oras e autovalores para este problea auxlar; (8) Costrução das autofuções, oras e autofuções oralzadas para o sstea (problea ultdesoal): cosultar a Tabela 4.3 (9) Correspodêca etre a otação sbólca da solução geral e o problea proposto: cosultar Tabela 4., Tabela 4.3 e Tabela 4.4; () Cálculo dos teros ( ) ( ) prt (, ) F λ, g λ, t', A( λ, t') e recostrução da solução fal : aplcação dreta das equações (4.6), (4.7), (4.5) e (4.4), respectvaete, atetado para a otação sbólca dos soatóros e das tegrações. 5

69 Tabela 4.: Expasão do tero dfusvo e tero fote da EDH de acordo co o úero de desões do problea (adaptado de RAHMAN et al., ). Núero de Desões Varáves Espacas, r p(r, t) Tero Fote, g(r, t) (Postvo para Ijeção) x x, y 3 x, y, z p x p x + p y p x + p y + p z μq khb δx x p μq kh δx x pδy y p μq k(h h ) δx x pδy y p [H(z h ) H(z h )] Tabela 4.: Correspodêca da otação sbólca dos dexadores e autovalores da solução geral co o úero de desões do problea. Núero de Probleas Idepedetes Idexadores, Autovalores, Soa dos Quadrados dos Autovalores Desões de Autovalores λ e Todas as Dreções, λ β β, β, γ β + γ 3 3,, p β, γ, η p β + γ + η p Tabela 4.3: Correspodêca da otação sbólca das autofuções, oras e autofuções oralzadas da solução geral co o úero de desões do problea. Núero de Desões Probleas Idepedetes de Autovalores Autofução do Sstea, ψ(λ, r ) Nora do Sstea, N(λ ) Autofução Noralzada do Sstea, ψ(λ, r ) X(β, x) N(β ) X(β, x)y(γ, y) N(β )N(γ ) 3 3 X(β, x)y(γ, y)zη p, z N(β )N(γ )Nη p X(β, x) N(β ) X(β, x) Y(γ, y) N(β ) N(γ ) X(β, x) Y(γ, y) Zη p, z N(β ) N(γ ) Nη p 5

70 Tabela 4.4: Correspodêca da otação sbólca dos soatóros e tegrações da solução geral co o úero de desões do problea. Núero de Desões Probleas Idepedetes de Autovalores dr R = a dx x = dx dy b y = a x = 3 3 dx dy dz h z = b y = a x = = = = = = p= Frotera Itera (I) Frotera Extera (E) Fgura 4.: Esquea ostrado a dreção ortogoal r (ode r = x, y ou z) (adaptado de RAHMAN et al., ). Fgura 4.3: Noeclatura adotada para o cojuto de codções de cotoro as froteras tera e extera de ua dada dreção ortogoal r do sstea de coordeadas (adaptado de RAHMAN et al., ). 53

71 Tabela 4.5: Equvalêca etre as codções de cotoro do problea real e as codções de cotoro do problea de autovalor assocado e ua dada dreção r (x, y ou z) do sstea de coordeadas cartesaas (adaptado de RAHMAN et al., ). C.C. e r = C.C. e r = L C.C. e r = C.C. e r = L Tpo de C.C. Nº o Problea Real o Problea Real o Problea de Autovalor * o Problea de Autovalor * o Problea de Autovalor a p r + b p = f (t) a p r + b p = f (t) dψ dr + H ψ = dψ dr + H ψ = I3E3 a p r + b p = f (t) a p r = f (t) dψ dr + H ψ = dψ dr = I3E 3 a p r + b p = f (t) b p = f (t) dψ dr + H ψ = ψ = I3E 4 a p r = f (t) a p r + b p = f (t) dψ dr = dψ dr + H ψ = IE3 5 a p r = f (t) a p r = f (t) dψ dr = ψ r = IE 6 a p r = f (t) b p = f (t) dψ dr = ψ = IE 7 b p = f (t) a p r + b p = f (t) ψ = 8 b p = f (t) a p r = f (t) ψ = dψ dr + H ψ = dψ dr = IE3 IE 9 b p = f (t) b p = f (t) ψ = ψ = IE * H b a e H b a. 54

72 Tabela 4.6: Autofução, ora e autovalores da Equação de Helholtz udesoal e < r < L sujeta a dversas codções de cotoro e ua dada dreção r (x, y ou z) do sstea de coordeadas cartesaas (adaptado de ÖZIŞIK, 993). Tpo de C.C. Autofução, ψλ, r Nora, N(λ ) * Equação para Cálculo dos Autovalores, λ I3E3 λ cos λ r + H se λ r λ + H H L + λ + H + H ta(λ L) = λ (H + H ) λ H H I3E cos λ L r Lλ + H + H λ λ ta(λ L) = H + H I3E se λ L r Lλ + H + H λ λ cot(λ L) = H + H IE3 cos λ r Lλ + H + H λ λ ta(λ L) = H + H IE ** L λ = cos λ r L se(λ L) = IE cos λ r L cos(λ L) = IE3 se λ r Lλ + H + H λ λ cot(λ L) = H + H IE se λ r L cos(λ L) = IE se λ r L se(λ L) = * H b a e H b a. ** Para este caso partcular, λ = tabé é u autovalor correspodete à autofução ψλ =, r =. 55

73 4.3. Fluxo Lear co Pressão Costate e Ua das Froteras Cosdera-se o fluxo lear e u eo poroso produzdo co vazão q a partr da frotera tera ( x = ) e co a frotera extera atda à pressão costate gual à pressão cal do sstea ( p = ). A frotera tera pode ser cosdera coo selada desde que a produção seja cotablzada o tero fote, localzado e x =. O eo poroso possu copreto L, largura b e espessura h. Fgura 4.4: Fluxo lear e u reservatóro co produção a frotera tera e pressão ula a frotera extera. Dadas estas forações e auxlado pela Tabela 4., a forulação ateátca do problea (Fgura 4.4) pode ser escrta cofore: ( ) ( ) p xt, µ q p xt, + δ ( x ) = x khb η t p = x e < x< L, t > (4.) e x =, t > (4.) p = e x = L t > (4.3) p = e x L t = (4.4) Da Tabela 4. e Tabela 4.3 são obtdos o úero de probleas de autovalor (, a dreção x ) e as defções de autofução, ora e autofução oralzada para o sstea. A Tabela 4.5 detfca o tpo de codções de cotoro a dreção x ( IE ) e as codções de cotoro correspodetes o problea de autovalor. A autofução, 56

74 ora e autovalores para o problea de autovalor a dreção x são obtdos dretaete da Tabela 4.6: X( β, x) = cos( β x) (4.5) L N( β ) = (4.6) ( ) π β = (4.7) L Substtudo (4.5), (4.6) a solução geral (4.4), observado a terpretação correta da otação sbólca (Tabela 4.4): ( ) t x ( ) ηβ cos ( ) ' cos ' t βx ηβt β x µ q p x, t = e η e δ ( x ') dx ' dt ' = L L khb µ q t ηβt ηβ ( ) ( ) t' p x, t = e cos βx η e dt ' L khb = ηβt ' µ q ηβ t e p( xt, ) = e cos( βx) η L khb = ηβ (4.8) (4.9) (4.) Substtudo a expressão (4.7) para os autovalores e (4.) e rearruado os teros desta equação chega-se à solução fal para o capo de pressões: ( ) ( ) π η t 8L µ q π 4L p( xt, ) = cos x e π khb = ( ) L (4.) A pressão e fução do tepo a face produtora do reservatóro (frotera tera do problea) pode ser calculada avalado-se a expressão (4.) e x = : 57

75 8L µ q p(, t) = e π khb = ( ) = ( ) ( ) π η t 4L (4.) A segute propredade para a sére de potêcas de teros postvos é cohecda: = (4.3) = 8 ( ) π A substtução de (4.3) e (4.) resulta e: µ q 8L p(, t) = L e khb π = ( ) ( ) π η t 4L (4.4) Desta fora, recopõe-se a solução para o eso problea apresetada por Nabor e Barha (964) Produção ou Ijeção e u Reservatóro Retagular co Pressão Costate as Froteras Cosdera-se o fluxo oofásco e u reservatóro retagular co propredades físcas de rocha e fludo costates e pressão as froteras atda costate e gual à pressão cal do sstea ( p ). O doío cosste de u eo poroso co desões axb e espessura h. U poço co vazão q (postvo para jeção) localza-se a posção ( x, y ). p p 58

76 Fgura 4.5: Reservatóro retagular co pressão prescrta as froteras e tero fote e ua posção arbtrára. O problea de valor de cotoro para este ceáro (Fgura 4.5) é dado por (cosultar Tabela 4. para represetação da EDH e tero fote): (,, ) p( xyt,, ) p xyt x + y (,, ) µ q p xyt + δ ( x xp) δ ( y yp) = kh η t e x a, y b, t > (4.5) p = p e p = p e x =, x = a, y =, y = b, x a, y b, t > (4.6) t = (4.7) Para facltar a aplcação da solução geral ao problea, equação (4.4), cosdera-se p = a codção cal e as codções de cotoro e soa-se p à solução fal. O problea bdesoal plca e dos probleas depedetes de autovalores: u e cada dreção ortogoal, cofore Tabela 4.. A Tabela 4.5 detfca o tpo de 59

77 codções de cotoro e cada dreção ( IE, ou seja, codções de cotoro do prero tpo e todas as froteras) e as codções de cotoro correspodetes o problea de autovalor. As autofuções, oras e autovalores para o problea auxlar (Helholtz) de autovalor e cada dreção são obtdos dretaete da Tabela 4.6: ( β ) X ( β, x) = se x (4.8) a N ( β ) = (4.9) π β = a (4.3) ( γ ) Y ( γ, y) = se y (4.3) b N( γ ) = (4.3) π γ = b (4.33) Da Tabela 4.3 obtê-se as defções de autofução, ora e autofução oralzada do sstea: πx πy ψ ( λ, r ) = X ( β, x) Y ( γ, y) = se se a b (4.34) ab N( λ) = N( β) N( γ) = (4.35) 4 X( β, xy ) ( γ, y) ˆ πx πy ψ ( λ, r ) = = se se N( β ) N( γ ) ab a b (4.36) Co a terpretação correta da otação sbólca (Tabela 4. e Tabela 4.4), a solução geral represetada pela equação (4.4) pode ser aplcada: 6

78 (,, ) p xyt ηβ ( + γ) t X( β, xy ) ( γ, y) = e N( β ) N( γ ) = = t ηβ ( + γ) t ' F ( β, γ) + η e A( β, γ, t ') dt ' (4.37) ode b a X( β, x') Y( γ, y') F ( β, γ) = p dx ' dy ' y' = x' = N( β ) N( γ ) b a πx' πy' F ( β, γ) = se se dx ' dy ' y' = x' = = ab a b (4.38) e ψˆ ( r ') A,, t ' g,, t ' f r ', t ds ' N = + ( ) = a S ( β γ ) ( β γ ) ( β, γ, ') = ( β, γ, ') A t g t Xˆ ( β, ) b x + Yˆ( γ, y ) f ( y ', t ) dy ' a y= x= Xˆ ( β, ) b x + Yˆ( γ, y ) f ( y ', t ) dy ' a y= Yˆ( γ, ) a y + Xˆ ( β, x ) f3 ( x ', t ) dx ' a x= 3 y= Yˆ( γ, ) a y + Xˆ ( β, x ) f4 ( x ', t ) dx ' a x= 4 x= a y= b (4.39) Para as froteras sujetas à codção de cotoro do prero tpo ( a = ), a equação (4.39) apreseta teros deterados. Para evtar esta dfculdade, a substtução apresetada e (4.) deve ser aplcada os teros de teresse da equação (4.39): 6

79 Quado a =, substtur Xˆ ( β, x ) a x= por Xˆ ( β, x) b dx x= (4.4) Quado a =, substtur Xˆ ( β, x ) a x= a por Xˆ ( β, x) (4.4) b dx x= a Quado a 3 =, substtur Yˆ( γ, y ) a 3 y= por Yˆ ( γ, y) b dy 3 y= (4.4) Quado a 4 =, substtur Yˆ( γ, y ) a 4 y= b por Yˆ ( γ, y) (4.43) b dy 4 y= b Para o problea proposto, os teros f, f, f 3 e f 4 são guas a p = tero A(,, t' ) β γ se reduz a:. Ass, o e ( β, γ, ') ( β, γ, ') A t = g t (4.44) g ( β, γ, t' ) = b a y' = x' = X( β, x') Y( γ, y') N( β ) N( γ ) µ q δ ( x ' x p) δ ( y ' y p) dx ' dy ' kh µ q πxp πyp g ( β, γ, t ') = se se ab kh a b (4.45) (4.46) Logo, substtudo (4.46) e (4.44): µ q πxp πyp A( β, γ, t ') = se se ab kh a b (4.47) A solução geral é etão costruída corporado o tero da equação (4.47) e (4.37): 6

80 4 µη q p( xyt,, ) = ab kh η( β+ γ) t t η( β+ γ) t' πx πy πxp πyp e e dt ' se se se se = = a b a b (4.48) Icorporado os autovalores, resolvedo a tegral o tepo e adcoado o tero p para cotablzar u valor costate de pressão cal e pressão as froteras, a expressão (4.48) resulta a solução fal do problea: ηπ + t 4 µ q a b p( xyt,, ) = p + e π ab kh = = + a b πxp πyp πx πy se se se se a b a b (4.49) É recostruída ass a solução apresetada por Hovaessa (96). Nota-se que a expressão expoecal de (4.49) é o tero trasete da solução. Para valores altos de t, o tero expoecal é aulado e o rege peraete de fluxo é atgdo, cofore a expressão: 4 µ q π ab kh = = + a b πxp πyp πx πy se se se se a b a b (,,) = p + pxy (4.5) Produção ou Ijeção e u Reservatóro Retagular Selado Cosdera-se o fluxo oofásco e u reservatóro retagular selado as froteras co propredades físcas de rocha e fludo costates. O doío cosste de u eo poroso co desões axb e espessura h. U poço co vazão q (postvo para jeção) localza-se a posção ( x, y ). p p 63

81 Fgura 4.6: Reservatóro retagular co froteras pereáves e tero fote e ua posção arbtrára. A equação da dfusvdade hdráulca (cosultar tabela Tabela 4.), codções de cotoro e codção cal para este ceáro (Fgura 4.6) são ateatcaete descrtas por: (,, ) p( xyt,, ) p xyt x + y (,, ) µ q p xyt + δ ( x xp) δ ( y yp) = kh η t e x a, y b, t > (4.5) (,, ) p xyt x = e y =, y = b, t > (4.5) (,, ) p xyt y = e x =, x = a, t > (4.53) p = p e x a, y b, t = (4.54) Para facltar a aplcação da solução geral ao problea, equação (4.4), cosdera-se p = a codção cal e soa-se p à solução fal. O problea bdesoal plca e dos probleas depedetes de autovalores: u e cada dreção 64

82 ortogoal, cofore Tabela 4.. A Tabela 4.5 detfca o tpo de codções de cotoro e cada dreção ( IE, ou seja, codções de cotoro do segudo tpo e todas as froteras) e as codções de cotoro correspodetes o problea de autovalor. As autofuções, oras e autovalores para o problea auxlar (Helholtz) de autovalor e cada dreção são obtdos dretaete da Tabela 4.6: X( β, x) =, β = X( β, x) = cos ( βx), β > N( β) = a, β = a N ( β) =, β > β =, = π β =, > a Y( γ, y) =, γ = Y( γ, y) = cos( γ, y), γ > N( γ) = b, γ = b N( γ) =, γ > γ =, = π γ =, > b (4.55) (4.56) (4.57) (4.58) (4.59) (4.6) Coo as codções de cotoro são do tpo IE (frotera pereável) as duas dreções, β = e γ = tabé são autovalores da Equação de Helholtz correspodetes às autofuções X( β, x) = e Y( γ, y) =, respectvaete. Desta fora, a solução geral deve ser coposta de 4 teros: 65

83 ηβ ( + γ) t t ηβ ( + γ) t' p ( x, y, t) = e Xˆ ( β, x) Yˆ( γ, y) F ( β, γ) + η e A( β, γ, t ') dt ' ηβ ( + γ) t t ηβ ( + γ) t' + e Xˆ ( β, x) Yˆ( γ, y) F ( β, γ) η e A( β, γ, t ') dt ' + = ηβ ( + γ) t t ηβ ( + γ ˆ ) t + e X( β, ) ˆ xy( γ, y) F( β, γ) + η e ' ( β γ ) = ( ) t t ( ) t' e ηβ + γ Xˆ (, ) ˆ x Y (, y) F (, ) e ηβ + + β γ β γ η γ A( β, γ, t ') dt ' + = = A,, t ' dt ' (4.6) A codção cal trasforada é calculada por: resultado e: F F b a X( β, x') Y( γ, y') F ( β, γ) = p dx ' dy ' y' = x' = N( β ) N( γ ) F F ( β γ ) b a, = dx ' dy ' = y' = x' = ab ( β γ ) (4.6) b a π y', = cos dx ' dy ' y' = x' = = ab b ( β γ ) (4.63) b a π x', = cos dx ' dy ' y' = x' = = ab a b a ( β γ) y' x' (4.64) πx' πy', = cos cos dx ' dy ' = = = ab a b (4.65) e ψˆ ( r ') A,, t ' g,, t ' f r ', t ds ' N = + ( ) = a S ( β γ ) ( β γ ) 66

84 ( β, γ, ') = ( β, γ, ') A t g t Xˆ ( β, ) b x + Yˆ( γ, y) f( y ', t) dy ' a y= x= Xˆ ( β, ) b x + Yˆ( γ, y) f( y ', t) dy ' a y= Yˆ( γ, ) a y + Xˆ ( β, x) f3( x ', t) dx ' a x= 3 y= Yˆ( γ, ) a y + Xˆ ( β, x) f4( x ', t) dx ' a x= 4 x= a y= b (4.66) Para o problea proposto, os teros f, f, f 3 e f 4 são ulos devdo às codções de cotoro de frotera pereável dadas por (4.5) e (4.53) Ass, o tero A (,, t' ) β γ se reduz a: ( β, γ, ') ( β, γ, ') A t = g t (4.67) De fora slar: ( β, γ, ') ( β, γ, ') A t = g t (4.68) ( β, γ, ') ( β, γ, ') A t = g t (4.69) ( β, γ, ') ( β, γ, ') A t = g t (4.7) e g ( β, γ, t' ) = b a y' = x' = X( β, x') Y( γ, y') N( β ) N( γ ) µ q δ ( x ' x p) δ ( y ' y p) dx ' dy ' kh (4.7) 67

85 Portato, A (,, t' ) β γ = µ q ab kh (4.7) A A A ( β γ t ) µ q π yp,, ' = cos ab kh b µ q π xp,, ' = cos ab kh a ( β γ t ) µ q πxp πyp,, ' = cos cos ab kh a b ( β γ t ) (4.73) (4.74) (4.75) A solução geral é etão costruída corporado os teros (4.7) a (4.75) e (4.6) a (4.65) e (4.37): µ q ( ) { t p x, y, t = η dt ' ab kh + cos cos ' ηπ t t' t b ηπ π y b π y p e η e dt = b b ηπ t t' t a ηπ π x a π xp + e cos η e cos dt ' = a a ηπ + t a b πx πy + 4 e cos cos = = a b t ηπ + t ' a b πxp πyp η e cos cos dt ' a b (4.76) Resolvedo a tegral o tepo e adcoado o tero p para recostrução da solução do problea: 68

86 µ q p xyt p t (,, ) = + η ab kh ηπ t b e = π π yp π y + cos cos b b b ηπ t a π x p π x + e cos cos = a a π a ηπ + t a b + 4 e = = π + a b πxp πyp πx πy cos cos cos cos a b a b (4.77) É recostruída ass a solução apresetada por Hovaessa (96). A speção da equação (4.77) deostra que o tero η t cresce co o tepo, equato que todos os outros teros tora-se cada vez eores. Ass, ehu rege peraete de fluxo é atgdo, dado que a pressão e qualquer poto do reservatóro cresce/decresce co o tepo desde que a vazão de jeção/produção seja atda. 4.4 CUIDADOS GERAIS NA OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO Alguas stuações partculares pode requerer ateção especal a aplcação da solução geral, cofore descrto os tes a segur. Adeas, deve-se ter ateção à covergêca da solução, ua vez que esta se apreseta a fora de séres ftas Codções de Cotoro do Prero Tpo O tero A( t ) λ, ' da solução geral (4.4) dado pela expressão (4.5) resulta e teros deterados para a tegral de superfíce as froteras sujetas à codção de cotoro do prero tpo ( a = ). Desta fora, a substtução apresetada e (4.) deve ser corporada e (4.5) para as froteras ode tal codção se aplca. Esta stuação está lustrada a Seção 4.3. ode se deostrou a aplcação da solução geral 69

87 e u problea bdesoal co todas as froteras sujetas à codção de cotoro do prero tpo Codções de Cotoro do Segudo Tpo Para Todas as Froteras Cofore ostrado a Tabela 4.6, para probleas que apreseta codções de cotoro do segudo tpo ( b = ) e abas as froteras ( IE ) de ua dada dreção ortogoal, λ = tabé é u autovalor do problea auxlar correspodete à autofução ψ = e ora N = L, sedo L a frotera extera. A aplcação da solução geral (4.4) deve levar e cosderação este tero o soatóro. As partculardades eretes à esta stuação fora deostradas a Seção para o problea bdesoal co todas as froteras co codção de cotoro do segudo tpo Ordeaeto de Autovalores Para probleas bdesoas, a solução apresetada pela expressão (4.4) é coposta de u soatóro duplo, cofore destacado a Tabela 4.4. Para o cálculo da solução, ao vés de se trucar abos os soatóros e u úero fxo prescrto de teros, o soatóro duplo pode ser covertdo e u soatóro sples levado-se e cosderação os teros as represetatvos das cobações de e. Este procedeto te coo objetvo acelerar a covergêca da sére. Ebora ão seja possível deterar de ateão o decaeto dos teros do soatóro, é razoável assur que este decaeto seja dtado prcpalete pelo tero expoecal ( + γ ) t, possbltado ass u ordeaeto baseado a soa e ηβ dos quadrados dos autovalores (ALMEIDA e COTTA, 995). 7

88 Tabela 4.7: Ordeaeto de autovalores. ( β + γ) N N N... N... N... N x N N N Para sso, deve-se costrur ua tabela cofore ostrado a Tabela 4.7 para u úero sufceteete grade de autovalores e cada dreção e, para cada cobação de e, calcular a expressão ( β γ) = a NxN, sedo = o eor valor de ( β γ) +. A tabela deve ser reordeada de +. O soatóro duplo da expressão geral da pressão deve ser trasforado u soatóro sples e ode os valores de β e γ são os valores reordeados da Tabela 4.7. O eso procedeto pode ser aplcado e probleas trdesoas, trasforado-se o soatóro trplo e soatóro sples de acordo co o eso crtéro. Algortos de reordeaeto dos autovalores e séres de soatóros duplos e trplos fora apresetados por Mkhalov e Cotta (996) para o software de coputação sbólca Matheatca. 7

89 CAPÍTULO 5 - RESULTADOS E DISCUSSÕES Este capítulo apreseta resultados de casos específcos obtdos a partr da solução aalítca geral (4.4) da Equação da Dfusvdade Hdráulca (EDH) obtda através da Técca da Trasforação Itegral. Ua apla gaa de stuações está coberta co o objetvo de deostrar o potecal da solução geral. Resolve-se calete o problea udesoal para obter resultados coparáves àqueles obtdos a partr das soluções clásscas e são apresetadas aálses de covergêca. E seguda são expostos resultados do problea bdesoal co poço úco e froteras pereáves, alé da aálse de covergêca e coparação co ua forulação uérca por dfereças ftas. Ada, são ostradas as soluções do problea bdesoal co poço úco sujeto a ses cobações de codções de cotoro, tato para rege trasete quato peraete, sepre que aplcável. Gráfcos de vetores de fluxo lustra as dreções dos fluxos para stuações de poços cetrados o reservatóro, poços deslocados do cetro do reservatóro e reservatóros co desões a e b dsttas. Por f, a solução do problea fve-spot deostra a aplcação da solução geral para probleas co últplos poços. 5. PROBLEMA UNIDIMENSIONAL O problea udesoal de fluxo lear e eos porosos apreseta soluções aalítcas clásscas, cofore descrto o Capítulo, sedo estas partculares para cada rege de fluxo. Cosdera-se o fluxo lear e u eo poroso produzdo co vazão q a partr da frotera tera ( x = ) e co a frotera extera atda à pressão costate gual à pressão cal do sstea ( p = ). O eo poroso possu copreto L, largura b e espessura h. A solução por trasforação tegral (4.) fo apresetada a Seção 4.3., sedo válda para qualquer tepo, depedete do rege de fluxo desevolvdo. 7

90 5.. Coparação co as Soluções Aalítcas Clásscas Por estar produzdo à vazão costate e co pressão prescrta a frotera extera, espera-se que u rege de fluxo peraete se desevolva o reservatóro após a establzação das pressões, ou seja, após o período trasete de fluxo e u período de trasção (trasete tardo). As soluções clásscas dspoíves prevee o perfl de pressões de acordo co o rege de fluxo, estado dspoíves para o período trasete (.) e para o período peraete (.5). O rege de fluxo trasete tardo ão possu represetação por soluções clásscas. Tabela 5.: Cojuto de dados para o problea udesoal. Parâetro Udades Métrcas Udades Covecoas Vazão de fludo, q - 5,79 x -4 ³/s - 34,5 bbl/d Pereabldade, k,47 x -4 5 D Porosdade, φ % % Copressbldade Total, c t,45 x -8 Pa - 4 x -4 (kgf/c²) - Vscosdade, µ -3 Pa.s cp Pressão Ical, p 3,9 x 7 Pa 4 kgf/c² Espessura, h Copreto e x, L Largura, c 5 5 Para o cojuto de parâetros da Tabela 5., a Fgura 5. lustra os dversos reges de fluxo desevolvdos o reservatóro, evdecado as soluções clásscas dspoíves para cada u desses períodos, be coo suas durações. Tabé, é ostrada a solução por trasforação tegral, válda para qualquer tepo da vda produtva do reservatóro. O rege trasete de fluxo te duração de aproxadaete das, a cotar a partr do íco da produção. O fluxo trasete tardo subsequete perdura até o da 5, durate o qual ão há soluções aalítcas clásscas para a prevsão do coportaeto de pressões. A partr de etão, o rege de fluxo peraete é desevolvdo e perdurará equato a produção for atda à vazão costate. 73

91 Soluções Clásscas Trasforação Itegral q wµ x 4η t p ( x, t) = p x erfc e ka 4η t π x 4ηt Se Solução w ( ) = p p x e q µ L x ka L das 5 das Trasete Trasete Tardo Peraete ( ) ( ) π η t 8L µ q π 4L p( xt, ) = cos x e π khb = ( ) L Tepo Fgura 5.: Coparação das soluções clásscas co a solução por trasforação tegral de acordo co o rege de fluxo desevolvdo o reservatóro. A Fgura 5. ostra o perfl de pressões o reservatóro para dversos tepos curtos por trasforação tegral, utlzado a solução trasete clássca para coparação. Todos os resultados gráfcos da solução por trasforação tegral cosdera u trucaeto da sére fta e 5 teros. Vê-se que, calete, a pressão se propaga coo se o reservatóro fosse fto e abas as soluções coverge para o eso resultado. A partr do oeto e que a perturbação de pressão atge a frotera, após cerca de das de produção, etra-se e u rege trasete tardo. A partr deste poto, até que se desevolva o rege de fluxo establzado, a solução clássca trasete ão é as represetatva e ão há ua solução clássca para a prevsão do coportaeto de pressões durate este período. O objetvo da curva tracejada verelha a Fgura 5. é destacar que, para este tepo, ode o reservatóro passa por u período trasete tardo, a solução trasete clássca ão as represeta o feôeo físco e, portato, rá dvergr da solução por trasforação tegral (solução exata), cofore ostrado pelas curvas para o tepo de 4 das. 74

92 Fgura 5.: Perfl de pressões para dversos tepos por trasforação tegral e pela a solução clássca de rege trasete. Etre os tepo de e 5 das de produção, para este exeplo, as soluções clásscas ão prevee corretaete o coportaeto das pressões e apeas a solução por trasforação tegral represeta corretaete o feôeo físco. Quado o rege de fluxo peraete é estabelecdo, após 5 das de produção à vazão costate, a solução clássca passa a assur a fora da equação (.5) e abas as soluções apreseta resultados dêtcos, cofore ostrado a Fgura

93 Fgura 5.3: Perfl de pressões pela solução clássca de rege peraete e para dversos tepos por trasforação tegral. 5.. Aálse de Covergêca A aálse de covergêca da solução pela Técca da Trasforação Itegral é apresetada a segur para tepos correspodetes aos dversos reges de fluxo, e teros de pressão adesoal pd = p p e para dversas posções x D = xl. Os resultados são coparados co os obtdos pelas soluções clásscas. Na Tabela 5. ecotra-se os resultados após da de produção, durate o rege trasete. A Tabela 5.3 ostra os resultados para o período trasete tardo, após 5 das de produção, ode as soluções aalítcas clásscas ão prevee corretaete o coportaeto de pressões. Por f, a Tabela 5.4 lsta os resultados para o rege peraete, após 5 das de produção. Nota-se que e todos os casos ua boa covergêca da sére fta é alcaçada para u trucaeto o soatóro etre 5 e 5 teros. Poré, observa-se ua covergêca as leta cofore se aproxa da fote produtora. 76

94 Tabela 5.: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e a solução clássca para rege trasete após da de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas. x D Núero de Teros (N) Solução Clássca Trasete,,9633,9595,9573,9565,956,9557,5,965,9633,9646,9644,9645,9645,,9695,975,978,979,979,979,5,9759,9789,9783,9783,978,978,,986,9836,9834,9834,9834,9834,5,9883,987,9876,9876,9876,9876,3,993,999,99,999,999,999,35,9946,9938,9935,9935,9935,9935,4,9957,9955,9954,9954,9954,9954,45,9963,9966,9969,9968,9969,9969,5,9969,9979,9978,9979,9979,9979,55,9978,9989,9986,9986,9986,9986,6,999,999,999,999,999,999,65,,999,9994,9994,9994,9994,7,5,9996,9997,9997,9997,9997,75,4,,9998,9998,9998,9998,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,85,9994,9997,,9999,9999,9999,9,999,,9999,,,,95,9995,,,,,,,,,,,, Nota: e da de produção o reservatóro se coporta e rege trasete de fluxo. 77

95 Tabela 5.3: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e as soluções clásscas para rege trasete e peraete após 5 das de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas. x D Núero de Teros (N) Soluções Clásscas Trasete Peraete,,854,8466,8443,8436,843,886,83,5,856,859,85,85,85,8378,86,,8587,867,86,86,86,8466,839,5,8677,877,87,87,87,855,84,,8779,8789,8787,8787,8787,8634,856,5,8879,8868,887,887,8873,873,8599,3,897,8956,8957,8956,8956,8788,8693,35,95,94,938,938,938,886,8786,4,9,99,99,99,99,893,8879,45,99,995,998,998,998,8997,8973,5,965,975,975,975,975,96,966,55,9344,9354,935,935,935,9,96,6,946,947,947,947,947,979,953,65,956,9499,95,95,95,933,9346,7,958,9574,9574,9574,9574,985,944,75,965,9648,9646,9646,9646,9335,9533,8,978,978,978,978,978,938,966,85,9784,9787,9789,9789,9789,946,97,9,985,986,9859,986,986,9467,983,95,995,993,993,993,993,957,997,,,,,,,9544, Nota: e 5 das de produção o reservatóro se coporta e rege trasete tardo. 78

96 Tabela 5.4: Coparação etre a solução va Trasforação Itegral Clássca e a solução clássca para rege peraete após 5 das de produção. Valores apresetados e teros de pressões adesoas. x D Núero de Teros (N) Solução Clássca Peraete,,88,87,847,84,836,83,5,83,84,87,85,86,86,,895,835,837,839,839,839,5,8389,849,843,843,84,84,,8497,857,856,856,856,856,5,866,8595,8599,8599,8599,8599,3,877,869,8693,8693,8693,8693,35,8797,8789,8786,8786,8786,8786,4,888,888,8879,8879,8879,8879,45,8967,897,8973,8973,8973,8973,5,956,966,966,966,966,966,55,95,96,96,96,96,96,6,95,953,953,953,953,953,65,935,9344,9346,9346,9346,9346,7,9448,944,944,944,944,944,75,9539,9535,9533,9533,9533,9533,8,967,967,966,966,966,966,85,975,978,97,97,97,97,9,986,983,983,983,983,983,95,99,999,997,997,997,997,,,,,,, Nota: e 5 das de produção o reservatóro se coporta e rege peraete. 79

97 5. PROBLEMA BIDIMENSIONAL COM FRONTEIRAS IMPERMEÁVEIS Cosdera-se o fluxo oofásco e u reservatóro retagular selado as froteras co propredades físcas de rocha e fludo costates. O doío cosste de u eo poroso co desões axb e espessura h. U poço co vazão q (postvo para jeção) localza-se a posção ( x, y ). A solução por trasforação tegral (4.77) fo apresetada a Seção p p Tabela 5.5: Cojuto de dados para o problea bdesoal. Parâetro Udades Métrcas Udades Covecoas Vazão de fludo, q,75 x -5 ³/s 5 bbl/d Pereabldade, k,47 x -5,5 D Porosdade, φ % % Copressbldade Total, c t,8 x -9 Pa -,3 x -4 (kgf/c²) - Vscosdade, µ 3,3 x - Pa.s,33 cp Pressão Ical, p 3,9 x 7 Pa 4 kgf/c² Espessura, h 3 3 Copreto e x, a Copreto e x, b Para o cojuto de dados da Tabela 5.5 é ostrado a Fgura 5.4 a dstrbução de pressões o reservatóro os tepos t = e t = aos, ode o reservatóro se coporta e rege de fluxo pseudoperaete. Coo se trata de jeção de fludo e u eo hdraulcaete solado os seus ltes, a pressão sobe defdaete co o tepo e ehu rege peraete de fluxo pode ser alcaçado. A represetação gráfca da solução cosdera o soatóro fto trucado e 5 teros para cada ua das dreções ortogoas. 8

98 Fgura 5.4: Dstrbução de pressões a codção cal e após dos aos de jeção dada pela equação (4.77). Na Fgura 5.5 são desehadas as lhas de fluxo do capo de velocdades o reservatóro, calculadas segudo a le de Darcy: k uxy (, ) = ux( xy, ) + uy( xyj, ) = p µ (5.) Nota-se a geoetra radal de fluxo que se desevolve o reservatóro as proxdades do tero fote e as lhas de fluxo perpedculares às froteras do reservatóro, represetado suas codções de pereabldade. 8

99 Fgura 5.5: Lhas de fluxo após dos aos de produção calculadas pela le de Darcy. 5.. Aálse de Covergêca A Tabela 5.6 apreseta resultados da aálse de covergêca e gradezas adesoas para o problea bdesoal co froteras seladas após aos de produção e ua seção passado o poço jetor e y D =,5, ode x D = xa, yd = ybe pd = p p. Ua boa covergêca da solução (quarta casa decal) é atgda para u trucaeto do soatóro duplo e 5 teros para cada dreção ortogoal. Poré, a solução deostra ter ua covergêca as leta e potos perto do tero fote. Ua fora de aceleração da covergêca é a partr do ordeaeto de autovalores e utlzação de u soatóro sples, cofore explcado a Seção Nota-se tabé que a solução dverge a posção do tero fote, crescedo defdaete. Esta stuação fo apotada tabé por Hovaessa (96) e Aleda (994). 8

100 Tabela 5.6: Covergêca do problea bdesoal co froteras seladas após dos aos de produção e ua seção passado pelo poço ( y D =,5 ). x D Núero de Teros (N) ,,838,87,88,83,83,83,838,83,5,837,89,83,83,83,83,837,83,5,837,83,833,83,83,83,837,83,75,835,836,835,834,83,833,835,833,,834,838,834,835,835,835,834,835,5,833,838,834,835,837,837,833,837,5,833,838,838,84,839,84,833,84,75,835,839,844,844,844,844,835,843,,839,844,85,845,846,848,839,847,5,844,85,853,853,85,853,844,85,5,85,86,855,859,858,858,85,857,75,863,869,86,86,863,864,863,864,3,875,874,87,87,873,87,875,87,35,888,878,885,883,88,88,888,88,35,9,885,895,889,89,89,9,89,375,96,898,9,94,97,94,96,95,4,99,9,94,96,9,9,99,9,45,94,95,94,939,94,94,94,94,45,948,983,984,97,978,97,948,97,475,953,6,3,37,,3,953,4,5,955,5,39,78,33,6,955,6 83

101 5.. Aálse Nuérca Para fs de coparação co a solução por trasforação tegral, fo desevolvdo u códgo uérco e dfereças ftas para a solução do problea de valor de cotoro dado pelas equações (4.5) a (4.54). Os resultados são ostrados a Fgura 5.6 e e as detalhes a Fgura 5.7, para o tepo de aos e e ua seção e x D = 3, ode xd = xa. Mostra-se que a solução uérca tede ao resultado aalítco por trasforação tegral cofore o aueto da dscretzação da alha. Todas as sulações uércas fora realzadas co passos de tepo (testeps) de da Pressão (kgf/c²) Nuérco Testep da N e Nj = Nuérco Testep da N e Nj = Nuérco Testep da N e Nj = 4 Aalítco Tasf. Itegral 3 Autovalores Posção e y (etros) Fgura 5.6: Resultados das sulações uércas e da solução por trasforação tegral e ua seção e x D = / Pressão (kgf/c²) Nuérco Testep da N e Nj = Nuérco Testep da N e Nj = Nuérco Testep da N e Nj = 4 Aalítco Tasf. Itegral 3 Autovalores Posção e y (etros) Fgura 5.7: Aproxação a posção de aor pressão dada pela Fgura

102 5.3 PROBLEMA BIDIMENSIONAL SUJEITO A DIVERSAS CONDIÇÕES DE CONTORNO As soluções da EDH bdesoal para reservatóro pereável e co todas as froteras à pressão costate estão deostradas o Capítulo 4. As soluções para as deas cobações de frotera pereável e de pressão costate e u doío retagular, a partr da etodologa apresetada tabé o Capítulo 4, estão deostradas o APÊNDICE A. As dstrbuções de pressão os reservatóros sujetos a estas varadas cobações de codção de frotera estão suarzadas a Tabela 5.7. À exceção do problea co todas as froteras pereáves, as deas stuações atge o rege peraete de fluxo após u deterado período de tepo, ode as pressões tora-se fuções apeas das varáves espacas. Estas soluções ecotra-se suarzadas a Tabela 5.8. Na Fgura 5.9 pode ser ecotrados os vetores de fluxo do capo de velocdades o reservatóro para todas as ses stuações da Tabela 5.7. Os dados utlzados estes probleas são os da Tabela 5.5, co valores egatvos de vazão para represetação de u poço produtor. As lustrações cosdera o oeto para t = aos. Neste oeto, todas os ceáros co exceção do (ver correspodêca a Tabela 5.8) atgra o rege peraete de fluxo. Copleetar à Fgura 5.9, a Fgura 5. exbe os resultados e ua stuação ode o poço produtor ão se ecotra as localzado o cetro do reservatóro. Por f, a Fgura 5. deostra os vetores de fluxo e ua stuação ode as desões do reservatóro te a proporção de :. Este tpo de stuação reproduz o caso de reservatóros caalzados ou de poços localzados etre falhas paralelas de grade extesão. Percebe-se, para o ceáro ode todas as froteras são selates, o desevolveto de ua geoetra de fluxo lear, característca deste tpo de stuação. As dversas cobações de cotoro aqu apresetadas ecotra correspodêca e stuações reas, cofore lustrado, por exeplo, a Fgura 5.8. Nesta, ostra-se u reservatóro atclal cotra ua falha selate a oeste, crcudado por u aquífero lateral de grade extesão. A falha selate é equvalete à codção de cotoro de frotera pereável, equato que a superfíce de cotato co o aquífero lateral de grade extesão é equvalete à codção de cotoro de pressão costate. 85

103 Fgura 5.8: Reservatóro atclal cotra ua falha selate co u aquífero lateral de grade extesão (LAKE, ). Cosderado que a geoetra da zoa de óleo a Fgura 5.8 pode ser aproxada por u retâgulo, este reservatóro ecotra correspodêca co a stuação 5 descrta a Tabela 5.7. As deas stuações propostas a Tabela 5.7 pode ser cosderadas aálogas à apresetada a Fgura 5.8, ode as varações as geoetras das falhas selates (ou qualquer outro fechaeto estrutural) e a dsposção do aquífero (ou de lhas de poços de jeção de água) darão orge a todos os deas ceáros. 86

104 Tabela 5.7: Dstrbução de pressão e reservatóros retagulares co poço úco a posção (x p, y p ). Nº Tpos de Frotera Dstrbução de Pressão, pxyt (,,) ηπ t t q b πy ηπ µ p πy a πx p πx p + ηt+ e cos cos e cos cos + ab kh = b b = a a π π b a ηπ + t a b πxp πyp + 4 e πx πy cos cos cos cos = = a b a b π + a b ηπ + t 4 µ q x a b π p πyp πx πy p + e se se se se π ab kh = = a b a b + a b 3 µ πy ab kh b b b ηπ t q b π yp p + e se se = π ηπ + t a b πxp πyp x 4 e π π y + cos se cos se = = a b a π + b a b 87

105 Nº Tpos de Frotera Dstrbução de Pressão, pxyt (,,) 4 ( ) ( ) ηπ + t 4 µ q 4a 4b p + e ab kh = = ( ) ( ) π + 4a 4b ( ) πx ( ) πy ( ) π ( ) xp πyp cos cos cos cos a b a b 5 = = ( ) ( ) ηπ + t 4 µ q 4a b ( ) π x y ( ) πxp πy π p p + e cos se cos se ab kh a b a b π + 4a b 6 ( ) ηπ t µ q 4a ( ) π xp ( ) π x p + e cos cos ab kh ( = ) a a π 4a ( ) ηπ + t 4a b ( ) π x p 4 e π yp ( ) π x π y + cos = = ( cos cos cos ) a b a b π + 4a b 88

106 Tabela 5.8: Dstrbução de pressão e reservatóros retagulares co poço úco a posção (x p, y p ) e rege de fluxo peraete. Nº Tpos de Frotera Dstrbução de Pressão após estabeleceto de rege de fluxo peraete, pxy (, ) Rege de fluxo peraete ão é atgdo 4 µ q πxp πyp πx πy p + se se se se π ab kh = = a b a b + a b 3 q πy p y πxp πy µ π p πx πy p + se se 4 cos se cos se + ab kh = b b = = a b a b π π + b a b 89

107 Nº Tpos de Frotera Dstrbução de Pressão após estabeleceto de rege de fluxo peraete, pxy (, ) p 4 = = ( ) ( ) ( ) πx ( ) πy ( ) π ( ) 4 µ q xp πyp + cos cos cos cos ab kh a b a b π + 4a 4b 5 = = ( ) ( ) π x y ( ) 4 µ q π πxp πyp p + cos se cos se ab kh a b a b π + 4a b 6 µ q ( ) π xp ( ) π x p + cos cos ab kh = ( ) a a π 4a ( ) ( ) πxp πyp π x π y + 4 cos cos cos cos = = ( ) a b a b π + 4a b 9

108 () () (3) (4) (5) (6) Fgura 5.9: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço o cetro do reservatóro. 9

109 () () (3) (4) (5) (6) Fgura 5.: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço deslocado do cetro do reservatóro. 9

110 () () (3) (4) (5) (6) Fgura 5.: Vetores de fluxo calculados pela le de Darcy pra as stuações da Tabela 3. após aos de produção co poço cetrado e u reservatóro retagular de proporção :. 93

111 5.4 PROBLEMA BIDIMENSIONAL COM MÚLTIPLOS POÇOS: MALHA FIVE- SPOT O objetvo aqu é apresetar a aplcação da solução geral (4.4) para ua stuação evolvedo tero fote co últplos poços. Para sso, fo escolhdo o padrão de jeção e alha cohecdo coo fve-spot, cosstdo e u poço produtor cercado por quatro poços jetores (WILLHITE, 986), cofore represetado pelas lhas tracejadas coectado os poços jetores a Fgura 5.. Fgura 5.: Malha de jeção fve-spot. Fgura 5.3: Udade padrão adotada para represetação da alha fve-spot. 94

112 Pode-se destacar ua udade represetatva que, quado repetda defdaete, dá orge ao arrajo orgal. Esta udade está destacada pela área sobreada a Fgura 5. e ostrada soladaete a Fgura 5.3, assocada ao sstea de coordeadas retagulares. Nesta udade, ão há escoaeto perpedcular aos seus cotoros (ALMEIDA, 994), ou seja, os gradetes de pressão estas dreções são ulos. Ass, a stuação lustrada a Fgura 5.3 pode ser ateatcaete descrta pelo segute problea de valor de cotoro: (,, ) p( xyt,, ) p xyt + x y µ q + ( x) ( y d) ( x d) ( y) kh δ δ + δ δ p xyt δ ( x) δ ( y) δ ( x d) δ ( y d) = η t (,, ) e x d, y d, t > (5.) (,, ) p xyt x = e y =, y = d, t > (5.3) (,, ) p xyt y = e x =, x = d, t > (5.4) p = p e x d, y d, t = (5.5) As pressas de escoaeto oofásco, sotrópco e eo hoogêeo peraece. A aplcação da Técca da Trasforação Itegral através da etodologa apresetada o Capítulo 4 leva a (APÊNDICE B): ( ) ( ) r+ π s+ π cos x cos y 6 µ q ( ) (,, ) t d d ηβ + γ p xyt = p e π kh r= s= r+ + s+ ( ) ( ) (5.6) 95

113 Após o período trasete, u rege de fluxo peraete é estabelecdo o reservatóro, e as pressões e fução da posção são dadas por: (, ) pxy ( r+ ) π ( s+ ) π cos x cos y 6 µ q d d = p π kh r= s= r s ( + ) + ( + ) (5.7) Novaete, utlzado os parâetros da Tabela 5.5, a solução (5.7) dá orge ao perfl de pressões lustrado a Fgura 5.4. Tabé, a partr da equação de Darcy, ostrase a Fgura 5.5 as lhas de fluxo do capo de velocdades detro do reservatóro. O problea do fve-spot exeplfca a capacdade da solução geral de ldar co problea de últplos poços. Fgura 5.4: Dstrbução de pressões a codção cal e e rege peraete dado pela equação (5.7). 96