MODELO NUMÉRICO PARA CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS MARCOS VINICIOS PEREIRA SANT ANA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO - UENF

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1 MODELO NUMÉRICO PARA CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS MARCOS VINICIOS PEREIRA SANT ANA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO - UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ JANEIRO

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3 MODELO NUMÉRICO PARA CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS MARCOS VINICIOS PEREIRA SANT ANA Tese apresentada ao Centro de Ciênia e Tenologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, omo parte das exigênias para obtenção de título de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: Pro. Jean Marie Desir CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ JANEIRO 2005

4 MODELO NUMÉRICO PARA CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS MARCOS VINICIOS PEREIRA SANT ANA Tese apresentada ao Centro de Ciênia e Tenologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, omo parte das exigênias para obtenção de título de Mestre em Engenharia Civil. Aprovada em 14 de janeiro de 2005 Comissão Examinadora: Pro. Flávio de Souza Barbosa (D. S.) UFJF Pro a. Vânia José Karan (D. S.) UENF Pro. Aldo Durand Farán (D. S.) UENF Pro. Jean Marie Desir (D. S.) UENF Orientador

5 AGRADECIMENTOS A Deus, pela orça e graça de poder realizar este trabalho. Aos meus pais, Aney Ferreira de Sant ana e Alinea Pereira Sant ana e meus irmãos Franymário Pereira Sant ana e Guilherme Pereira Sant ana pelo grande apoio e por sempre estarem presente e por me inentivar a prosseguir nesta aminhada. Ao Pro. Jean Marie Desir pela orientação, por inentivar-me durante todas as etapas desse trabalho e pela grande ajuda nos momentos mais diíeis, sem a qual a realização deste trabalho seria impossível. Ao Pro. Jonas Alexandre pela atenção dispensada e por ajudar os meus primeiros passos na pesquisa ientíia. Ao Pro. Sérgio Tibana por resolver os problemas relaionados om a minha transerênia para a UENF. A todos os proessores deste departamento, que desde a graduação, sempre estiveram dispostos a olaborar om meu aprimoramento proissional. Aos meus olegas de turma por toda ajuda e troa de onheimentos, em partiular Riardo Shwan por estar sempre disposto a tirar uma dúvida. A CAPES pelo apoio inaneiro.

6 Resumo O onreto reorçado om ibras vem sendo utilizado ada vez mais nas últimas quatro déadas em elementos estruturais que requerem uma boa tenaidade. Na literatura ténia, existem muitos trabalhos experimentais que possibilitam uma melhor ompreensão do omportamento meânio deste material. Em termos de modelagem numéria, os inúmeros modelos propostos para simular o omportamento meânio do onreto reorçado om ibras podem ser divididos em dois grandes grupos. No primeiro grupo, a modelagem é eita onsiderando o onreto reorçado om ibras omo um ompósito biásio, ou seja, através das propriedades dos omponentes deste ompósito. O segundo grupo onsidera este material omo um material monoásio, sendo modelado por meio de leis onstitutivas do onjunto. Estes inúmeros modelos, em unção da variedade de parâmetros que aetam o omportamento do onreto reorçado om ibras, utilizam simpliiações. Por este motivo, ontinua sendo neessário o desenvolvimento de novos modelos que possam onsiderar e representar os parâmetros que inlueniam o omportamento deste ompósito, omo por exemplo: a deterioração da aderênia na interae entre os dois materiais, a distribuição e a orientação aleatória das ibras. Neste trabalho, apresenta-se um modelo numério om o método dos elementos initos que utiliza três disretizações de representação deste ompósito. Nas duas primeiras, om o objetivo de simular o eeito destes parâmetros aima reeridos no omportamento do onreto reorçado om ibra, adota-se uma modelagem que onsidera este material omo um ompósito biásio, o onreto e as ibras e uma interae de espessura ininitesimal entre estas ases. A dierença entre as duas disretizações biásias está no tipo de malha adotada para representar a distribuição das ibras e sua aleatoriedade. Na primeira, o onreto é representado por uma malha de elementos quadrilaterais retangulares quadrátios e as ibras por elementos de treliça aleatoriamente distribuídas nas arestas dos elementos quadrilaterais. Na segunda, as ibras estão distribuídas aleatoriamente nas arestas de elementos quadrilaterais não retangulares. O equilíbrio do sistema é equaionado partindo do salto de desloamento que oorre na interae entre o onreto e a ibra. Na tereira orma, o onreto reorçado om ibras é onsiderado omo um material monoásio om araterístias deinidas de aordo om resultados experimentais. Os resultados numérios obtidos om as dierentes disretizações são omparados om resultados experimentais disponíveis para avaliar a eiiênia do modelo.

7 Abstrat The iber reinored onrete (FRC) has been used more and more in the last our deades in strutural elements that request a good tenaity. In the tehnial literature, there are many experimental works that allow a better understanding o the mehanial behavior o this material. In terms o numeri modelling, the ountless models proposed to simulate the mehanial behavior o the FRC an be divided in to two great groups. In the irst group, the modelling is made onsidering the FRC as a two-phase omposite, in other words, the modelling is made through the miromehanials properties o the omponents o this omposite. The seond group onsiders this material as a mono-phase material, being modeled through onstitutive laws o the group. These ountless models, due to the variety o parameters that aet the behavior o the FRC, use simpliiations. For this reason, it is still neessary the development o new models that an onsider and reprodue the inluene o the parameters in the behavior o this omposite, as or instane: the debonding at the interae among the two materials, the random distribution and orientation o the ibers. This work presents a numerial model with the inite element method using three dierent approahes or the treatment o FRC. In two o them, with the objetive o simulating the eet o the parameters ited above in the behavior o the FRC, a modelling that onsiders this material as a two-phase omposite is adopted, the onrete and the ibers and an interae o ininitesimal thikness between them. The dierene between the two-phase approahes is the mesh type adopted to represent the random distribution o the ibers. In the irst approah, the onrete is represented with quadrati retangular quadrilateral elements and the ibers with truss elements randomly distributed at the boundary o the quadrilateral elements. In the seond approah, the ibers are randomly distributed at the boundary o the quadrilateral non-retangular elements. The balane o the system is worked out taking into aount the displaement jump that ours at the interae between the onrete and the iber as a onsequene o the debonding proess at the interae. In the third proposal, the FRC is onsidered as a material o a single phase and its harateristis are deined aording to experimental results. The results o these three proposals are disussed and ompared with available experimental results.

8 SUMÁRIO Lista de iguras...vi Lista de tabelas...xi Lista de símbolos...xii CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO Considerações gerais Objetivo da pesquisa Relevânia do trabalho Organização do trabalho de pesquisa...11 CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Considerações gerais Meanismo de interação na interae onreto ibra Propriedades meânias do onreto reorçado om ibras Compressão Tração Flexão Cisalhamento Módulo de elastiidade Modelagem numéria Comentários gerais sobre a modelagem numéria...43 CAPÍTULO 3 - DESCRIÇÃO DO MODELO NUMÉRICO Introdução Leis onstitutivas dos materiais Lei do Conreto Lei de esoamento do aço Lei da interae Implementação das leis onstitutivas na ormulação de elementos initos Problema de valor de ontorno Implementação omputaional do modelo...60

9 Matriz tangente Critérios de onvergênia...64 CAPÍTULO 4 - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Introdução Programa experimental Análise numéria Comparação dos resultados...89 CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES Conlusões Sugestões para uturos trabalhos Reerênias bibliográias...99

10 LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 1 Figura 1.1: Minimização da onentração de tensão no onreto om ibras (adaptado de Figueiredo, 2000)...3 Figura 1.2: Tipos de ibras - A - ibra irregular; B - ibra om extremidades em ravo; C - ibra deormada; D - ibra om extremidade em ganho; E - ibra orrugada; F - ibra lisa; G - ibra om extremidades planas, H - ibra torida...4 Figura 1.3: Diagrama de tensão - deormação elástia de matriz e ibras (adaptado Figueiredo, 2000)...5 Figura 1.4: Curvas típias de tensão - deormação para baixo e alto volume de ibras (adaptado de Bentur e Mindess, 1990)...7 CAPÍTULO 2 Figura 2.1: Curva esquemátia arranamento de versus desloamento (adaptada de Bentur e Mindes, 1990)...13 Figura 2.2: Curvas típias de tensão de aderênia versus deslizamento (adaptada de Reinhardt e Naaman, 1999)...16 Figura 2.3: Curva tensão - deormação (adaptado de Fanella e Naaman, 1985)...17 Figura 2.4: Inluênia do volume de ibras na urva tensão de ompressão versus deormação (Fanella e Naaman, 1985)...18 Figura 2.5: Resposta típia tensão - deormação (a) onreto de resistênia onvenional reorçado om ibras - V < 5%; (b) SIFCON (onreto de alto desempenho om elevado volume de ibras - V > 5%) sob tração (Adaptado de Zia et al., 1996)...19

11 Figura 2.6: Curvas tensão de tração - deormação om várias rações de volume de ibras (adaptado de Kulla, 1993)...20 Figura 2.7: Curvas tensão de tração - deormação para dierentes tipos de ibras de aço, om ração de volume V = 1,73 % (adaptado de Shah et al., 1978)...21 Figura 2.8: Diagrama esquemátio de arga - delexão, típia do CRF (adaptado de Zia et al.,1996)...23 Figura 2.9: Diagrama de arga versus delexão do CRF (adaptado de Zia et al., 1996)...24 Figura 2.10: Condição de ontorno do ensaio de lexão...25 Figura 2.11: Curva arga - delexão e índies de tenaidade (ASTM C-1018)...26 Figura 2.12: Dierentes orpos-de-prova para ensaios de isalhamento...28 Figura 2.13: Curvas de tensão de isalhamento - desloamento em onreto sem ibras e onreto reorçado om ibras (Adaptado de Swamy et al., 1987)...29 Figura 2.14: Resultado típio de uma análise limite do módulo de elastiidade de um ompósito...31 Figura 2.15: Modelos de duas ases (élula unitária) para ompósitos om ibras (Alwan e Naaman, 1994)...32 Figura 2.16: Quadro esquemátio do pseudo modelo de três ases (adaptado de Alwan e Naaman, 1994)...33 Figura 2.17: Comparação entre os modelos e dados experimentais de Alwan (1994), adaptado de Naaman e Reinhardt (1995)...35

12 Figura 2.18: Coniguração da malha utilizada no modelo...37 Figura 2.19: Esquema de distribuição de tensão nas ibras...39 Figura 2.20: Representação esquemátia da urva tensão versus deormação (a) SIFCON sob ompressão; (b) SIFCON sob tração (Naaman e Reinhardt, 1995)...40 Figura 2.21: Comparação entre os resultados experimentais e o modelo analítio, gráio momento versus urvatura (Naaman e Reinhardt, 1995)...42 Figura 2.22: Comparação entre os resultados experimentais e o modelo analítio, urva momento - delexão (Naaman e Reinhardt, 1995)...42 CAPÍTULO 3 Figura 3.1: Superíie desviadora de William Warnke om três parâmetros...45 Figura 3.2: Critério de William Warnke Figura 3.3: Desloamento relativo na interae...52 Figura 3.4: Desloamentos nodais de um elemento de treliça om GLD...55 CAPÍTULO 4 Figura 4.1: Quadro esquemátio das disretizações propostas...67 Figura 4.2: Condições de ontorno do ensaio de lexão...70 Figura 4.3: Curva arga x delexão onreto sem ibra (C30; C65) e onreto reorçado om ibras (C30A1; C30A2; C65A1; C65A2) adaptado de Resende (2000)...70

13 Figura 4.4: Deinição da malha segunda as propostas de modelagem...71 Figura 4.5: Disposição das ibras na matriz de onreto...73 Figura 4.6: Representação da ilosoia de ibra equivalente...73 Figura 4.7: Esquema geral do proedimento numério...74 Figura 4.8: Malha aleatória om dierentes volumes de ibras onreto C Figura 4.9: Malha retangular om dierentes volumes de ibras - onreto C Figura 4.10: Malha aleatória om dierentes distribuições - onreto C Figura 4.11: Malha retangular om dierentes distribuições - onreto C Figura 4.12: Malhas 1 e 2, reinamento da malha retangular...79 Figura 4.13: Reinamento das malhas aleatórias...80 Figura 4.14: Malha retangular om reinamento onreto C Figura 4.15: Malha aleatória om reinamento onreto C Figura 4.16: Dierentes malhas aleatórias - dierentes orientações de ibras...82 Figura 4.17: Malhas aleatórias om 1% de ibras onreto C Figura 4.18: Malhas aleatórias om 2% de ibras onreto C Figura 4.19: Distribuição de dierentes onentrações de ibras nas malhas biásias...84

14 Figura 4.20: Malha aleatória om dierentes onentrações - onreto C Figura 4.21: Malha retangular om dierentes onentrações - onreto C Figura 4.22: Lei bi-linear loal para aderênia na interae onreto-ibra...86 Figura 4.23: Malha aleatória om dierentes interaes - onreto C Figura 4.24: Malha retangular om dierentes interaes onreto C Figura 4.25: Malha retangular onreto C30 e C Figura 4.26: Malha aleatória onreto C30 e C Figura 4.27: Malha aleatória versus experimental - onreto C Figura 4.28: Malha retangular versus experimental onreto C Figura 4.29: Malha aleatória versus experimental - onreto C Figura 4.30: Malha retangular versus experimental - onreto C Figura 4.31: Comparação das três disretizações malha aleatória, malha retangular e malha monoásia onreto C Figura 4.32: Malha aleatória om dierentes onentrações versus experimental onreto C Figura 4.33: Campo de tensões das três disretizações (tensões em MPa)...93

15 LISTA DE TABELAS Tabela 1.1: Propriedades para diversos tipos de ibras (adaptado de Bentur e Mindess, 1990)...6 Tabela 2.1: Modelos para estimar a resistênia de isalhamento de vigas...30 Tabela 4.1: Propriedades das ibras aço utilizadas nos ensaios...68 Tabela 4.2: Valores médios de resistênia à ompressão e do módulo de elastiidade dos onretos espeiiados de C Tabela 4.3: Valores médios de resistênia à ompressão e do módulo de elastiidade dos onretos espeiiados de C Tabela 4.4: Parâmetros para o modelo numério...75

16 LISTA DE SÍMBOLOS - Resistênia de ompressão do onreto t - Resistênia de tração do onreto τ a - Tensão isalhante de adesão da ibra. τ - Tensão isalhante de rição da ibra τ a u - Tensão isalhante de adesão última da ibra τ - Tensão isalhante de rição última da ibra u σ - Tensão de tração da ibra E - Módulo de elastiidade da ibra G - Módulo de aderênia da matriz na interae τ av - Tensão de isalhamento de aderênia média da ibra ' - Resistênia de ompressão do onreto reorçado om ibra ε - Deormação do onreto ' ε - Deormação do onreto reorçado om ibra. Ir - índie de reorço da ibra D - Constante elástia K - Matriz de rigidez do elemento Ni - Função de interpolação R - Componente deviadora do vetor que deine um ponto P da superíie (ritério de William-Warnke) R - Vetor de posição normal a elipse para θ = 60º (raio máximo de de ompressão) R t - Vetor de posição normal a elipse para θ = 0 (raio máximo de tração) [[ x ]] - salto do vetor x ρ 0 - oesão máxima dλ - multipliador plástio ς - Força de endureimento X - Variável interna de esoamento : - produto interno entre tensores - produto tensorial tr - traço do tensor

17 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1- CONSIDERAÇÕES GERAIS O onreto é um ompósito ormado por duas ases: a pasta de imento e os agregados. Este material possui grandes vantagens, tais omo: a apaidade de se adaptar a molde permitindo, desta orma, uma total liberdade às onepções arquitetônias, eiiênia para obtenção de uma estrutura monolítia hiperestátia que garanta assim uma reserva de segurança, baixa neessidade de onservação e manutenção quando bem exeutado, grande resistênia a agentes agressivos (sol, huva), apresenta uma resistênia a eeitos térmios, atmosérios e ao desgaste meânio. Além disso, o baixo usto do onreto é outro atrativo que tem impulsionado sua utilização em esala mundial. O onreto só perde para a estrutura metália nos asos de vãos muito grandes, nos quais a utilização do onreto protendido esgota a aixa de viabilidade eonômia. Apesar destas inúmeras vantagens que ontribuem para o suesso deste ompósito, o mesmo apresenta ertos problemas que limitam a sua utilização, omo o seu peso próprio, que aaba sendo a soliitação dimensionante quando se trata de estruturas espeiais de grandes vãos, além de oereer uma diiuldade maior às reormas ou demolições. Entretanto, a prinipal limitação deste material é a sua baixa resistênia aos esorços de tração ( t ), ujo valor é bem inerior à resistênia à ompressão ( ), estando geralmente ompreendida entre 0,07 e 0,11 da resistênia à ompressão (Figueiredo, 200). Este omportamento está assoiado às issuras que se ormam ou já estão presentes no onreto e que intererem om uma intensidade maior quando o material é soliitado à tração. De ato, o onreto é araterizado por uma baixa resistênia à tração e pequena apaidade de se deormar, ou seja, apresenta o omportamento de um material rágil. Para ontornar essa deiiênia, o onreto quando submetido à tração, é reorçado em geral om elementos de aço. Historiamente este elemento de reorço onstituiu-se de barras ontínuas, as quais são oloadas em loais adequados na estrutura para resistir às tensões de tração e isalhamento impostas à estrutura. Outra alternativa que vem sendo utilizada e pesquisada om maior intensidade nas últimas déadas é a inorporação de diversos tipos de ibras omo reorço om o objetivo de melhorar o

18 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 2 omportamento do onreto à tração e, desta orma, ontrolar e ombater a issuração. Entretanto, o emprego da ibra om o intuito de melhorar o desempenho de um material rágil é um oneito antigo, que data dos primórdios da ivilização. Há milhares de anos, onorme relatos da Bíblia, o homem já inorporava ibras da palha de trigo à argila de orma a oneionar tijolos mais resistentes. Fibras de amianto oram usadas há era de 4500 anos omo reorço em peças de argila ozida e outros tipos de ibra, inlusive rina de avalo, também oram empregadas para melhorar a resistênia à ratura e dar tenaidade a diversos materiais usados pelo homem (Swamy, 2000). Na revisão bibliográia de Simões (1998) sobre a utilização de ibras no onreto, identiiam-se dois períodos bem distintos. O primeiro, anterior à déada de 1960, oi pioneiro e sem nenhuma apliação prátia registrada. Nesta ase busava-se alançar um ganho de resistênia do onreto om a presença das ibras. Como não oi possível orrelaionar experimentalmente um ganho de resistênia om os atores que são geralmente utilizados para araterizar uma adição de ibras, omo o teor de ibra e as dimensões, o interesse pelo assunto reduziu-se bastante. Entretanto, o segundo período iniiado na déada de 60 e que perdura até hoje, orresponde a uma ase de rápido desenvolvimento tenológio. Nesta segunda ase, alguns dos primeiros estudos teórios de onreto reorçado om ibras (Romuald e Batson, 1963; Romuald e Mandel, 1964) tratavam basiamente do omportamento de onretos reorçados om ibras de aço. Este rápido desenvolvimento oi possível devido ao desenvolvimento de novas ténias de ensaio, que permitiram avaliar om outro enoque a real ontribuição da presença das ibras, ou seja, o ganho substanial em tenaidade que elas proporionam. De ato, o surgimento dos ensaios om deormação ontrolada possibilitaram um monitoramento ompleto do omportamento do material, inlusive, além da resistênia máxima. Assoiado a este ato, veriiou-se também que os eeitos da ação de ponte de transerênia de tensão exerida pelas ibras (desloamento, deslizamento, arranamento ou esoamento das ibras) aetam a propagação das miroissuras, oorrendo assim, um retardamento e um maior ontrole da issuração, pois é neessária uma quantidade maior de energia para o resimento das mesmas (Bentur e Mindes, 1990). Para entender melhor esta noção de ponte de tensões das ibras vale lembrar omo um material rágil se mostra suseptível às onentrações

19 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 3 de tensões quando do surgimento e propagação de uma issura a partir do aumento da tensão a ele imposto. Conorme apresentado por Figueiredo (2000), quando o onreto simples apresenta uma issura, a mesma irá representar uma barreira à propagação de tensões, que pode ser representada simpliiadamente pelas linhas de tensão, o que ailita a ompreensão deste enômeno. Esta issura provoa um desvio das linhas de tensões, o que implia numa onentração de tensões na extremidade da issura e, no aso desta tensão superar a resistênia da matriz, oorre uma ruptura abrupta do material. O onreto reorçado om ibras, no entanto, apresenta um omportamento pseudo dútil. Isto oorre pelo ato da ibra servir omo ponte de transerênia de tensões através das issuras, minimizando a onentração de tensões nas extremidades das mesmas. Com isto, tem-se uma grande interrupção da propagação das issuras no onreto, ou seja, o onreto apresenta uma erta apaidade portante pós-issuração. Este omportamento é ilustrado na igura 1.1. P1 P1 P2 P2 Fisssura Menor Conentração de tensão Figura 1.1: Minimização da onentração de tensão no onreto om ibras (adaptado de Figueiredo, 2000) As ibras, além de serem mais eiientes no ontrole do proesso de issuração do onreto, ontribuem para melhorar várias propriedades meânias omo a dutilidade, a resistênia ao isalhamento, à torção e à adiga quando omparados as do onreto onvenional. Em termos experimentais, diversos

20 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 4 estudos oram propostos visando quantiiar os eeitos da adição de ibras nas propriedades meânias de onretos, dos quais resultaram expressões empírias relaionando as propriedades da matriz reorçada om as araterístias do reorço de ibra para determinadas ondições de ensaios. Nessa linha, destaam-se alguns trabalhos (Fanella e Naaman, 1985; Ezeldin e Balaguru, 1992; Hsu e Hsu, 1994). Na área teória oram desenvolvidos vários modelos om base na lei das misturas ou teoria dos ompósitos. Esta teoria determina as propriedades de um material por meio de uma homogeneização das propriedades de seus omponentes, no aso da ibra e do onreto. Nesta área destaam-se os estudos iniiais de Shah e Rangan (1971). No entanto, essa teoria oi sendo abandonada, devido à diiuldade de se onsiderar todas as variáveis do problema. Visando superar as limitações da teoria dos ompósitos, atualmente, modelos analítios baseados em outras teorias, omo a meânia da ratura (Shah, 1990), têm sido propostos. Paralelamente ao avanço nas pesquisas experimentais e teórias, observouse um desenvolvimento na tenologia das ibras e na sua utilização prátia omo reorço para onreto. As ibras omumente utilizadas para reorçar o onreto são produzidas a partir do aço, de plástios (polipropileno, polietileno), vidro, arbono, nylon, poliéster, ibras minerais (amianto) e de ibras naturais (sisal, oo e bambu), nas ormas mais variadas onorme ilustrado na igura 1.2. Esta variedade enorme de ibras pode ser divida em dois grandes grupos: ibras de baixo módulo e de alto módulo de elastiidade. Entre as primeiras, tem-se: as ibras de nylon e de polipropileno. A B C D E F G H Figura 1.2: Tipos de ibras - A - ibra irregular; B - ibra om extremidades em ravo; C - ibra deormada; D - ibra om extremidade em ganho; E - ibra orrugada; F - ibra lisa; G - ibra om extremidades planas; H - ibra torida

21 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 5 As ibras de baixo módulo de elastiidade intererem pouo nas resistênias à tração e à ompressão. Isto porque estas ibras, apesar de terem uma resistênia à tração maior do que o onreto, têm módulo de elastiidade menor, o que signiia uma grande deormabilidade. Assim sendo, as estruturas em onreto reorçadas om ibras de baixo módulo podem apresentar uma issuração elevada antes de hegarem ao olapso, pois o onreto issura antes de a ibra atingir a sua deormação de ruptura. No que diz respeito às ibras de alto módulo de elastiidade, a sua apliação promove uma alteração na resistênia, sendo as mais omuns as de aço e arbono. A inluênia do módulo de elastiidade das ibras no omportamento de uma matriz de onreto pode ser entendida melhor observando-se o gráio da igura 1.3, que mostra as urvas σ ε de uma matriz hipotétia reorçada om dois tipos de ibras, uma de alto módulo de elastiidade e outra de baixo módulo, onsiderando nos dois asos, um omportamento elástio pereito (Figueiredo, 2000). Tensão (σ) σ ibra de E alto B E módulo de elastiidade Fibra de E alto Conreto de E médio Fibra de E baixo σ onreto de E médio A D σ ibra de E baixo O C ε ruptura do onreto Deormação (ε) Figura 1.3: Diagrama de tensão - deormação elástia de matriz e ibras (adaptado Figueiredo, 2000) O omportamento da matriz está representado pela linha O-A, enquanto as linhas O- B e O-C orrespondem aos das ibras de alto e baixo módulos, respetivamente. Quando a matriz se rompe (ponto A) e transere a tensão para a ibra, neste momento a ibra de baixo módulo possui um nível de tensão muito baixo (ponto C), devendo se deormar muito mais intensamente, até o ponto D, para atingir o mesmo nível de tensão da matriz. Logo, a ibra de baixo módulo não poderá oereer uma

22 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 6 apaidade de reorço após a issuração da matriz para um dado arregamento ou permitirá uma grande deormação do ompósito, om um onseqüente elevado nível de issuração (ponto D). Isto oorreria supondo-se que a ibra de baixo módulo tenha resistênia meânia suiiente para atingir o nível de tensão assoiado ao ponto D. Porém, ampanhas experimentais (Bentur e Mindes, 1990) onstataram que as ibras de baixo módulo apresentam menor resistênia meânia, omo pode ser observado pelos valores apresentados na tabela 1.1. Por outro lado, a ibra de alto módulo de elastiidade já apresentará um elevado nível de tensão (σ FIBRA de módulo de elastiidade alto) no momento da ruptura da matriz, o que lhe permitirá atuar omo um reorço já a partir do ponto B, aso sua resistênia não tenha sido superada. Além do tipo de ibra, diversos atores inlueniam o omportamento meânio do onreto reorçado om ibras, tais omo: a omposição da matriz; a geometria das ibras, o tipo de ibra aço, poliméria, mineral ou vegetal; as araterístias da superíie das ibras; a relação entre a rigidez das ibras e a rigidez da matriz; a orientação das ibras alinhadas ou aleatoriamente orientadas; teor de ibras na mistura ou ração de volume de ibras (V ) e a taxa de arregamento. Tabela 1.1: Propriedades para diversos tipos de ibras (adaptado de Bentur e Mindess, 1990) Material Diâmetro (µm) Densidade (g/m3) Módulo de elastiidade (GPa) Resistênia À tração (GPa) Deormação na ruptura (%) Aço , ,5-2,0 0,5-3,5 Vidro , ,0-3,5 Amianto 0,02-0,4 2, ,5 2-3 Polipropileno , ,5-0,75 8 Kevlar 10 1, ,60 2,1-4,0 Carbono 9 1, ,60 1 Nylon - 1,1 4 0, Celulose - 1,2 10 0,3-0,5 - Arílio 18 1, ,5 0,4-1,0 3 Polietileno - 0,95 0,3 0,7x Fibra de madeira - 1,5 71 0,9 - Sisal ,50-0,8 3 Matriz de onreto para omparação - 2, ,7x10-3 0,02

23 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 7 A inluênia da ração de volume de ibras pode ser araterizada em dois estágios da matriz de onreto: pré e pós-issuração. No primeiro estágio, perebese apenas uma mudança signiiativa no omportamento do material quando se utilizam ténias espeiais de mistura que possibilitam a adição de altos volumes de ibras, omo, por exemplo, o SIFCON (Slurry Iniltrated Fibre Conrete), que onsiste em adiionar iniialmente as ibras e, em seguida, iniltrar o imento luido, preenhendo os vazios existentes. Esta ténia permite trabalhar om volume de ibras que variam de 7 a 15%, entretanto já houve asos que utilizaram mistura ontendo até 27% de ibras (Naaman et al., 1991). Para os asos normais, onde o volume de ibras utilizado varia de 1,0 a 2,0 %, os valores obtidos para a resistênia à tração e deormação são pratiamente os mesmos de uma matriz não reorçada (Resende, 2000). A igura 1.4 ilustra a inluênia da ração de volume no omportamento do material. Na pós-issuração, as ibras inlueniam signiiativamente o omportamento do material, pois o mesmo pode apresentar até mesmo uma resistênia à tração maior do que a da matriz na ase pré-issuração nos asos om adição de altos volumes de ibras, aumentando desta orma a apaidade de absorver energia de deormação, ou seja, a tenaidade do material. Tensão Alto volume de ibras ÁREA SOB A CURVA Baixo volume de ibras Pré-issuração da matriz Conreto Pós-issuração da matriz Deormação Figura 1.4: Curvas típias de tensão - deormação para baixo e alto volume de ibras (adaptado de Bentur e Mindess, 1990) Atualmente as ibras são utilizadas omo reorço primário e seundário nas mais variadas estruturas de onreto. Nas situações em que as ibras onstituem o reorço primário de um elemento estrutural não é utilizado o reorço tradiionalmente

24 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 8 onstituído de barras de aço, porém quando as ibras são utilizadas omo reorço seundário existe a presença de uma armação onstituída de barras de aço que, onstituem o reorço primário. Entre as inúmeras apliações, destaam-se: I. O uso em painéis delgados, para vedação de vãos internos e externos de ediíios. Nestes painéis, devido à sua geometria, o reorço onvenional não pode ser utilizado, tendo as ibras omo reorço primário. Nestes painéis a ração de volume de ibras é relativamente alta, geralmente maior que 5% do volume, para garantir, além da resistênia, uma boa tenaidade. II. Revestimento das paredes de túneis (onreto projetado), na produção de estaas pré-moldadas, estruturas resistentes a grandes argas de vento (uraão, tornados, apliações estas que apresentam altas argas loalizadas e ou grandes deormações, exigindo desta orma, um material om boa tenaidade). III. Os pavimentos rígidos viários (rodovias e aeroportos), pisos industriais, omponentes nos quais as ibras são adiionadas primariamente para ontrolar a issuração induzida pela variação da temperatura ou umidade, omo tabuleiros de pontes e revestimento de pavimentos. Nestas apliações, as ibras são utilizadas omo reorço seundário. É importante ressaltar que as ibras não substituem o reorço onvenional. As ibras e as barras desempenham papéis dierentes na matriz do onreto e existem várias apliações onde ambas são utilizadas para aumentar o desempenho das estruturas. Nas apliações II e III, as ibras não são utilizadas para melhorar a resistênia à tração do onreto, embora uma pequena melhora da resistênia possa ser observada algumas vezes om a sua adição à matriz de onreto. Nestas apliações, o papel das ibras é ontrolar e ombater o proesso de issuração do onreto. Embora o volume de inormações disponíveis, espeialmente experimentais, sobre o omportamento meânio do onreto reorçado om ibra, seja atualmente onsiderável, em termos de modelagem numério-omputaional, a maioria dos modelos propostos até hoje ainda tem simulado o omportamento deste material de

25 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 9 orma limitada, em unção do grande número de parâmetros que inlueniam o omportamento meânio deste ompósito, omo por exemplo: a aleatoriedade da distribuição e orientação das ibras na matriz de onreto. Por este motivo, ontinua sendo neessário o desenvolvimento de novos modelos que possam simular, de uma maneira mais apropriada, o omportamento de elementos estruturais eitos om onreto reorçado om ibras distribuídas aleatoriamente OBJETIVO DA PESQUISA. Neste trabalho apresenta-se um modelo onstitutivo para o onreto reorçado om ibra (CRF), enatizando dois aspetos que exerem grande inluênia no omportamento deste material, que são a aleatoriedade de distribuição e orientação das ibras e a questão da degradação da aderênia na interae onreto - ibra. O CRF é onsiderado nas simulações omo ompósito biásio (matriz de onreto + ibras) e omo um material monoásio. O modelo apresentado baseia-se no trabalho desenvolvido iniialmente para analisar o enômeno da aderênia onreto aço (Desir, 1998). A implementação do modelo do presente trabalho é eita no programa de elementos initos desenvolvido por Desir (1998) e om o qual é possível simular o enômeno da aderênia sob várias ondições de soliitação: estado plano de tensão e estado plano de deormação, omo também problemas axissimétrios. Porém, para analisar o omportamento do CRF, onsiderou-se a primeira opção, azendo as onsiderações neessárias para tratar a questão da distribuição aleatória de ibras. No modelo de aderênia (Desir, 1998), o onreto é modelado segundo uma lei elastoplástia deinida de aordo om o ritério a três parâmetros de William Warnke. Para o aço (barra) adotou-se também uma lei elastoplástia, no aso o ritério de Von Mises, que será apliado para representar o omportamento das ibras no presente trabalho. Uma lei tensão de aderênia versus deslizamento bilinear é adotada para modelar o omportamento da interae, ou seja, a degradação da aderênia na interae entre os dois materiais. Visando avaliar o desempenho do modelo sugerido, proessa-se uma análise para veriiar a sensibilidade do modelo a alguns parâmetros que exerem grande inluênia no omportamento do onreto reorçado om ibra, tais omo: sensibilidade à variação da ração de volume de

26 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 10 ibras, à distribuição aleatória de orientação e de onentração das ibras, bem omo a sensibilidade do modelo ao omprimento da ibra inserida na matriz de onreto e aos parâmetros relaionados ao enômeno de aderênia na interae onreto ibra, entre outros. Por último, os resultados numérios e experimentais são omparados em termos da urva arga versus desloamento e da distribuição das tensões nos elementos estruturais RELEVÂNICIA DO TRABALHO O onreto reorçado om ibras apresenta um grande potenial que pode onduzir a estruturas mais duráveis e esbeltas e, omo onseqüênia, tornar as obras mais eonômias. Este grande potenial do CRF, em parte, já oi observado em vários estudos relatados na literatura (Hannat, 1978), uma vez que a adição de ibras melhora várias propriedades meânias do onreto, omo por exemplo: a resistênia à tração e à lexão, a resistênia ao isalhamento e ao impato. Além disso, permite um maior ontrole da issuração e do modo de ruptura. Dierentemente do enoque adotado para o onreto armado onvenional, a adição de ibras desontínuas tem omo objetivo undamental a modiiação do modo de ruptura do material, onerindo uma maior dutilidade no estágio pós-pio do arregamento. Este ganho de dutilidade proporionado pelas ibras possibilita a obtenção de estruturas mais eiientes, mais leves e om menor neessidade de armadura onvenional. Apesar da grande potenialidade do onreto reorçado om ibras e do atual nível de onheimento ténio, ainda não se tem um ompleto onheimento do seu omportamento meânio, devido ao grande número de parâmetros que inlueniam o seu omportamento. Diante deste ato, torna-se imperativo o desenvolvimento de novas pesquisas experimentais, bem omo o desenvolvimento de modelos numério-omputaionais que possam onsiderar de orma mais eiiente os diversos parâmetros que intererem no omportamento do CRF, modelos estes que, uturamente, servirão de suporte para erramentas numérias oniáveis que auxiliarão os projetistas na simulação do desempenho de estruturas eitas om este material, o que, em onseqüênia, permitirá uma melhor

27 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 11 exploração da potenialidade do onreto reorçado om ibras, de orma mais eiiente, eonômia e segura ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO DE PESQUISA Este trabalho enontra-se organizado em ino apítulos. No primeiro apítulo, é eita uma breve introdução ao presente estudo, ressaltando a importânia do estudo e o objetivo da pesquisa, omo também a organização do trabalho. O segundo apítulo apresenta o meanismo de interação ibra-onreto, as propriedades meânias do onreto reorçado om ibras e as duas abordagens, nas quais se agrupam os inúmeros modelos numérios propostos para simular o omportamento deste material. No tereiro apítulo, é apresentado o modelo onstitutivo para aderênia aço-onreto (Desir, 1998), o qual oi adaptado no presente trabalho para desrever o omportamento onreto reorçado om ibras. A inorporação deste modelo numa ormulação em elementos initos, bem omo as araterístias do programa desenvolvido no trabalho de Desir (1998), são apresentados de orma resumida para ailitar o entendimento do oneito da degradação da aderênia onreto - ibra, enômeno este que é um dos aspetos tratados neste trabalho. O quarto apítulo desreve os proedimentos utilizados na riação de um exemplo da apliação do modelo numério-omputaional proposto, o qual simula o omportamento de uma viga eita om onreto reorçado om ibras de aço. Em seguida são apresentados os resultados que expressam a sensibilidade do modelo aos prinipais parâmetros que inlueniam o omportamento do CRF. Por último, os resultados deste exemplo são omparados om valores experimentais para avaliar a eiiênia do modelo proposto. No quinto apítulo, as onlusões pertinentes ao trabalho são apresentadas, bem omo as sugestões para uturos trabalhos relaionados ao assunto apresentado neste trabalho.

28 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 12 CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CONSIDERAÇÕES GERAIS No presente estudo, o onreto reorçado om ibras é deinido em termos marosópios omo um material monoásio e omo um ompósito biásio ormado por duas ases (onreto + ibras) om uma interae entre ambas. Neste tipo de ompósito, a interação que oorre na interae onreto - ibra é responsável pela eiiênia das ibras em melhorar o desempenho do material. O objetivo deste apítulo é, portanto, apresentar o meanismo envolvido na interação onreto - ibra, bem omo as propriedades meânias do onreto reorçado om ibras, tais omo: resistênia à ompressão, à tração, à lexão, resistênia ao isalhamento e o módulo de elastiidade. Neste apítulo é apresentada também uma desrição geral das abordagens utilizadas nas modelagens numérias deste ompósito MECANISMO DE INTERAÇÃO NA INTERFACE CONCRETO - FIBRA A eiiênia das ibras em melhorar as propriedades meânias de materiais rágeis (por exemplo: onreto) é ontrolada por dois atores: o proesso de transerênia de tensão da matriz para as ibras e pela apaidade das ibras de atuarem omo pontes de transerênia de tensão na matriz issurada, a qual oorre em estágios elevados de arregamento (Bentur e Mindess, 1990). Para tentar simular a interação onreto ibra, os vários modelos propostos na literatura ténia produzem uma solução analítia, a qual está baseada geralmente nos resultados obtidos om ensaios de arranamento (pull-out). Estes modelos onstituem uma base para a ompreensão e para o estabeleimento do meanismo de interação que inluenia signiiativamente o desempenho de um material de araterístias rágeis. Os proessos envolvidos na interação onreto ibra, oorrem num volume bastante reduzido da matriz, loalizado em torno da ibra. A miro-estrutura da matriz nesta zona é bastante dierente do restante da matriz e por isso pode ser onsiderada omo uma tereira ase om propriedades próprias. O ompleto entendimento do meanismo responsável pela transerênia de tensão é de undamental importânia para a determinação da lei onstitutiva em termos da relação tensão versus deormação do ompósito. Em materiais rágeis, o proesso

29 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 13 de transerênia de tensão pode ser dividido em duas ases, a primeira hamada de pré-issuração e a segunda de pós-issuração. Na ase elástia, antes da issuração, a transerênia de tensão isalhante de adesão (τ a ) é o meanismo dominante. Esta transerênia elástia de tensão é o prinipal meanismo a ser onsiderado para predizer o limite de proporionalidade e a tensão iniial de issuração do ompósito. Com o iníio da degradação da aderênia, o proesso de transerênia de tensão isalhante de rição (τ ) torna-se o dominante. Neste aso, oorrem deslizamentos relativos entre a ibra e a matriz. A transição entre estes dois proessos oorre quando a tensão isalhante interaial exede a tensão isalhante de adesão última (τ au ). Os valores da tensão isalhante de rição última (τ u ) não são neessariamente iguais aos da tensão isalhante de adesão última (τ au ), onorme ilustrado na igura 2.1, na qual é apresentada uma urva esquemátia de tensão de isalhamento na interae versus desloamento. τ τ au τ au Zona de perda de aderênia τ u u Desloamentos (δ) Figura 2.1: Curva esquemátia de arranamento versus desloamento (adaptada de Bentur e Mindes, 1990) A transição entre os dois meanismos é um proesso gradual no qual ambos os meanismos de transerênia de tensão são ativados. No entanto, estes meanismos podem atuar também de orma ombinada, o que diiulta a determinação preisa destes meanismos. Esta situação oorre nos asos onde a resistênia de tração da matriz é elevada e quando a tensão isalhante interaial exede o valor da tensão isalhante de adesão última. Devido a esta ombinação, a perda de aderênia pode oorrer antes da matriz issurar. Em ompósitos om matriz de baixa resistênia à tração, a issuração pode oorrer antes da degradação da

30 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 14 aderênia. Em termos de análise numéria, a primeira expressão matemátia proposta para desrever a transerênia de tensão na ase elástia, ou seja, na ase pré-issuração, oi desenvolvida por Cox (1952). Os modelos seguintes se basearam em oneitos similares, ou seja, na análise de um ampo de tensões em torno de uma ibra desontínua embebida em uma matriz elástia (Bentur e Mindess, 1990). Para o álulo do ampo de tensões, várias hipóteses simpliiadoras são assumidas, tais omo: a matriz e a ibra são ambos materiais elástios; a interae é ininitesimal; não existe deslizamento entre a ibra e a matriz na interae; as propriedades da matriz, nas vizinhanças da ibra, são as mesmas do restante da matriz; as ibras são arranjadas de maneira regular e repetida; a deormação de tração na matriz, ε m, a uma distânia R e do entro da ibra, é igual à deormação de tração no ompósito, ε ; nenhuma tensão é transmitida através das extremidades da ibra; em relação ao ampo de tensões, não existe eeito em torno de uma ibra atuando nas ibras vizinhas. Baseado nessas suposições, Cox (1952) derivou as seguintes equações para a tensão de tração, σ, na ibra e para a tensão isalhante elástia na interae, τ, a uma distânia x da extremidade da ibra: l osh β ( ) 1 x 2 σ = 1 x E εm (2.1) β osh 1 l 2 l 1 2 sinh β1 x G 2 τ ( x) = E ε m (2.2) 2E ln( R r) β1l e osh 2 onde: 2G β 1 = (2.3) 2 E r ln( Re / r) R e - raio eetivo da matriz em torno da ibra r - raio da ibra l - omprimento da ibra E - módulo de elastiidade da ibra G - módulo de aderênia da matriz na interae

31 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 15 O problema de transerênia de tensão, no entanto, em muitos tratamentos simpliiados, é estabeleido por uma tensão isalhante de aderênia média τ av, assumindo desta orma uma distribuição uniorme ao longo do omprimento da ibra, sob uma arga de arranamento P: τ av = P/2πrl (2.4) Dentre as várias simpliiações que visam estabeleer a transerênia de tensões entre a matriz e as ibras, pode ser itada aquela desenvolvida por Voo e Foster (2003). Esta proposta oi baseada em observações experimentais. Nestas observações veriiou-se que existe uma relação entre o tipo de ibra, a tensão isalhante de aderênia média da ibra τ av, e a resistênia de tração da matriz sem ibras, t. Esta relação oi estabeleida omo orma de obter a tensão de aderênia das ibras para as situações onde este parâmetro não oi determinado diretamente através de investigações utilizando ensaios de arranamento, uma vez que este parâmetro é de undamental importânia na modelagem do onreto om ibras. Com base nestas observações, os reeridos autores estabeleeram as seguintes relações: Fibra om extremidade em ganho τ av = 2,5 t (2.5) Fibra reta τ av = 1,2 t (2.6) Nos asos em que t não oi determinado diretamente, adotou-se a expressão: t = 0,33( ) 1/2 (2.7) onde é a resistênia à ompressão da matriz Ao analisar os meanismos envolvidos na interação matriz-ibra, veriia-se a inluênia exerida pela interae, uma vez que esta interae é a responsável por transerir os esorços da matriz para as ibras. Portanto, a araterização do omportamento deste tereiro elemento é de undamental importânia para ompreender melhor esta interação matriz-ibra, que tanto inluenia o omportamento marosópio deste ompósito. Nesta área, podem ser destaados os estudos teórios de Naaman (1999), nos quais, para modelar analitiamente o omportamento da interae, adotou-se uma lei onstitutiva em termos da tensão

32 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 16 loal de aderênia média e o deslizamento loal (ξ) orrespondente. Exemplo desta relação onstitutiva é apresentada na igura 2.2. A partir desta relação, os parâmentos G e τ av, que representam o módulo de aderênia da interae e a tensão isalhante de aderênia média, respetivamente, são determinados. Estes parâmetros são undamentais para araterizar o omportamento da interae, omo também para a sua modelagem. Tensão ( τ av ) isalhante de aderênia média τ enrijeimento da aderênia (hardening ) Aderênia onstante G Enraqueimento da aderênia (sotening) Deslizamento ( ξ ) Figura 2.2: Curvas típias de tensão de aderênia versus deslizamento (adaptada de Reinhardt e Naaman, 1999) 2.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DO CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS. A seguir são apresentadas, de orma resumida, algumas propriedades deste material, omo a resistênia à ompressão, à tração, à lexão, ao isalhamento e o módulo de elastiidade, propriedades estas que permitem ompreender melhor o omportamento de um material COMPRESSÃO Experimentalmente oi veriiado que a resistênia à ompressão é pouo inlueniada pela adição de ibras, quando omparada às alterações produzidas na resistênia à tração e à lexão. A adição de ibras pode provoar um aumento na resistênia à ompressão do material em até 23% (Williamson, 1974). Entretanto,

33 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 17 Fanella e Naaman (1985) veriiaram que a adição de ibras de aço produziu um aumento mais signiiativo na resistênia à ompressão quando omparada à da matriz não reorçada e a da matriz om adição de ibra de polipropileno ou de vidro. A inluênia do tipo de ibra pode ser observada na igura 2.3, que apresenta urvas em termos de tensão-deormação para misturas ontendo 1% de ibras. 69,0 55,2 41,4 Tensão de ompressão (MPa) aço vidro pp (reta) pp (retorida) ontrole (sem ibra) V = 1,0 % 27,6 13,8 ε (%) 0,0 0,002 0,006 0,010 0,014 0,018 Figura 2.3: Curva tensão - deormação (adaptado de Fanella e Naaman, 1985) Embora a adição de qualquer tipo de ibra produza nenhuma ou pequenas modiiações no estágio elástio do omportamento do material, o omportamento pós-pio do material apresenta mudanças signiiativas em unção da presença das ibras. O material torna-se apaz de absorver muito mais energia de deormação até o seu ompleto esgotamento, ou seja, o onreto apresenta maior tenaidade, que se traduz numa resposta muito mais suave em termos da delividade do ramo desendente da urva tensão-deormação. Tais observações podem ser omprovadas na igura 2.4, provenientes do estudo experimental onduzido om o objetivo de veriiar a inluênia das araterístias do reorço de ibras no desempenho à ompressão do onreto (Fanella e Naaman, 1985). O aumento na tenaidade assoiado à presença das ibras pode, inlusive, evitar que o onreto apresente um omportamento rágil no instante do olapso (Pakotiprapha et al., 1974). De ato, mesmo no aso de onretos de alta resistênia, que apresentam um omportamento mais rágil, já oi onstatado que as ibras podem alterar o modo de ruptura do material (Swamy et al., 2000).

34 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 18 69,0 55,2 Tensão de ompressão (MPa) Fibras de aço retas V = 1,0 % V = 2,0 % V = 3,0 % Controle (sem ibra) 34,5 13,8 0,005 0,010 0,015 ε (%) Figura 2.4: Inluênia do volume de ibras na urva tensão de ompressão versus deormação (Fanella e Naaman, 1985) Em termo de modelos analítios para desrever o omportamento meânio do onreto reorçado om ibras, observa-se que as várias expressões matemátias propostas para o onreto om ibra utilizaram omo base as expressões de Carreira e Chu (1985) propostas para desrever o omportamento do onreto simples. Nesse sentido, destaa-se o trabalho de Ezeldin e Balaguru (1992), que propuseram uma expressão matemátia para desrever uma ompleta relação tensão versus deormação para o onreto om ibras, e para tal oram onsiderados parâmetros da ibra e a deormação orrespondente para determinada resistênia. Esta expressão matemátia é: ( ε ε ) β o = ' β 1+ ( ε ε o ) (2.8) onde é a resistênia à ompressão de pio do onreto reorçado om ibras, ε o é a deormação orrespondente para esta resistênia, e ε são os valores de tensão e de deormação orrentes da urva tensão deormação, respetivamente, e β é um parâmetro que depende da orma da urva tensão - deormação. Ezeldin e Balaguru (1992), obtiveram por meio uma de série de ensaios em orpos-de-prova de onreto reorçado om ibras de aço om a extremidade em ganhos, a seguinte

35 Modelo Numério para Conreto Reorçado om Fibras 19 relação para o parâmetro β : 0, 926 ( ) β = 1, ,7132 Ir (2.9) onde: Ir = V. l /φ (2.10) Ir - Índie de reorço das ibras l, φ, V - omprimento, diâmetro e ração de volume das ibras, respetivamente TRAÇÃO O omportamento do onreto reorçado om ibras sob tração depende prinipalmente da ração de volume de ibras, que dependendo do perentual desta ração pode aumentar a resistênia à tração em até 60% (Naaman et al., 1974). A inluênia deste parâmetro pode ser observada na resposta tensão-deormação que, de orma geral, pode ser dividida em dois ou três estágios (Zia et al., 1996). Para onretos normais om baixas rações de volume de ibras (V < 5%) a resposta em termos da relação tensão-deormação pode ser dividida em dois estágios, onorme ilustrado na igura 2.5a. Os onretos de alto desempenho om moderadas e altas rações de volume de ibras (V > 5%) apresentam uma resposta em termos da relação tensão-deormação que pode ser dividida em três estágios, omo ilustrado na igura 2.5b. I II Estágio I II Estágio III Estágio Tensão de tração Arranamento das ibras Resist. Iniial de issuração Tensão de tração Múltiplas issuras Arranamento das ibras Resist. pós-issuração Resist. Iniial de issuração Resist. pós-issuração ε (%) ε (%) (a) (b) Figura 2.5: Resposta típia tensão - deormação (a) onreto de resistênia onvenional reorçado om ibras - V < 5%; (b) SIFCON (onreto de alto desempenho om elevado volume de ibras - V > 5%) sob tração (Adaptado de Zia et al., 1996)