DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DISSERTAÇÃO DE MESTRADO UM ESTUDO DA ESTABILIDADE DE PÓRTICOS CONSIDERANDO O FATOR DO COMPRIMENTO EFETIVO E AS FORÇAS NOCIONAIS AUTOR: ALEX DE BARROS ORIENTADOR: PROF. DR. ARMANDO CESAR CAMPOS LAVALL DEZEMBRO DE 1

2 UM ESTUDO DA ESTABILIDADE DE PÓRTICOS CONSIDERANDO O FATOR DO COMPRIMENTO EFETIVO E AS FORÇAS NOCIONAIS Alex de Barros

3 Aos meus pais Maria das Graças e Marelo de Barros, Ao meu filho Vitor Soares Barros, Dedio om arinho este trabalho.

4 AGRADECIMENTOS À Deus por mais um projeto onluído. Ao Prof. Dr. Armando Cesar Campos Lavall, pela orientação ompetente e elevado profissionalismo aadêmio. Pela dediação, inentivo, apoio e amizade. Aos meus pais, Maria das Graças e Marelo, verdadeiros orientadores e exemplos de vida, de humildade, determinação e fé. Por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim, pela eduação e prinípios que me fizeram hegar aqui. Ao meu filho Vitor pela ompreensão nas minhas ausênias, pelo amor e arinho onstantes. Sem ele minha vida não seria ompleta. Aos meus irmãos pela alegria nos momentos difíeis. Aos professores e funionários do Departamento de Estruturas da UFMG, pela atenção, amizade e olaboração durante o urso de Mestrado. Aos engenheiros Rogério Guimarães Peixoto e Maria Guilhermina Drummond pelo apoio impresindível para a realização do Mestrado. Aos olegas da Pós-Graduação, espeialmente a Renata Lanna e ao Rodrigo Sernizon, pela olaboração e ajuda generosa. À todas as pessoas que ontribuíram direta e indiretamente para a realização deste trabalho.

5 SUMÁRIO Lista de Símbolos... i Resumo... vi Abstrat... vii Introdução Considerações Iniiais Objetivos Organização do Texto Considerações sobre a Análise Avançada Considerações Iniiais Tipos de Análise Análise Elástia de 1ª Ordem Análise Elástia de ª Ordem Análise Inelástia de 1ª Ordem Análise Inelástia de ª Ordem Métodos de Análise Avançada Método da Rótula Plástia Refinada Método da Zona Plástia ou Plastiidade Distribuída Formulação para Análise Inelástia Avançada Deformações e Tensões Relações Constitutivas Sistema de Coordenadas Graus de liberdade Teoria Estrutural Equilíbrio Estátio do Elemento O Programa PPLANLEP Fator de Comprimento Efetivo... 9

6 3.1 Considerações Iniiais Fator de Comprimento Efetivo de Pilares Isolados Carga Crítia Elástia de um Pilar Definição do Fator de Comprimento Efetivo de Pilares Isolados Flambagem Elástia de Pórtios Considerações Iniiais Classifiação dos Pórtios Comprimento Efetivo na Flambagem dos Pórtios Equação Geral para Cálulo do Comprimento Efetivo de Pórtios de Andares Múltiplos Considerações Iniiais Equações para Pórtios Indesloáveis Equações para Pórtios Desloáveis Problemas Assoiados ao K Flambagem de Pavimento Considerações Iniiais A Formulação do Método segundo LeMessurier Comportamento Inelástio do Pilar Forças Noionais Considerações Iniiais Considerações sobre as Imperfeições Iniiais para Projetos de Pórtios Tolerânias de Montagem Formulação da EN : O Coneito de Força Noional O Método da Amplifiação dos Esforços Soliitantes (MAES) Exemplo Ilustrativo Carga Noional Modifiada Carga Noional Refinada Método da análise direta Comentários sobre o Método Direto Segundo ANSI/AISC Forças Noionais... 97

7 Análise Estrutural Conforme NBR 88: Considerações Iniiais Tipos de Análise Estrutural Análise quanto aos Materiais: Análise quanto aos Desloamentos Classifiação das estruturas quanto à sensibilidade a desloamentos laterais Sistemas Resistentes a Ações Horizontais Considerações para o Dimensionamento Determinação dos Esforços Soliitantes Para Estados Limites Últimos Estruturas de Pequena Desloabilidade e Média Desloabilidade Estruturas de Grande Desloabilidade Determinação de respostas para estados limites de serviço Proposta para Proedimento Prátio de Análise Estrutural Exemplos Considerações Iniiais Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo CONCLUSÕES REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

8 LISTA DE SÍMBOLOS Letras Romanas A A g B B B T B 1, B C L C m D D αβ D e D - Área da seção transversal - Área bruta da seção transversal - Matriz de mudança de oordenadas - Forma loal da matriz B - Transposta da matriz de mudança de oordenadas - Fatores de amplifiação para o momento soliitante, devido aos efeitos de segunda ordem - Fator de orreção da rigidez de um pilar para onsiderar o efeito P- - Coefiiente de equivalênia de momentos - Matriz onstituinte da parela onstitutiva da matriz de rigidez tangente - Elementos da matriz de rigidez onstitutiva do elemento no sistema de oordenadas orrotaionais, onde α, β = 1,, 3 - Família de módulos de rigidez do material de uma fibra - Módulo de rigidez elástio do material ep D - Módulo de rigidez elastoplástio do material E E t G G A, G B G α - Módulo de elastiidade longitudinal - Módulo tangente - Módulo de elastiidade transversal - Rigidezes relativas entre pilares e vigas no topo e na base do pilar no regime elástio - Matriz simétria que representa uma parela da matriz de rigidez geométria e vem da derivada segunda..., 6 q, ij, onde α = 1,, 3 e i = 1, G - Forma loal da matriz G α H - Matriz onstituinte da parela geométria da matriz de rigidez tangente i

9 H αβ - Elementos da matriz H, onde α = 1,, 3 H - Parâmetro de enruamento I I v I K K ni L L v L M M M pl, M p M Sd M Rd M nt M lt M pl,x,m pl,y M x,sd, M y,sd - Momento de inéria da seção transversal - Momento de inéria no plano de flexão da viga - Momento de inéria no plano de flexão do pilar - Coefiiente de flambagem de barras omprimidas - Coefiiente de flambagem do i-ésimo pilar no andar - Vão, distânia, omprimento do elemento - Comprimento da viga - Comprimento do pilar - Momento fletor atuante - Momento fletor devido ao efeito P- - Momento plástio da seção transversal - Momento fletor soliitante de álulo - Momento fletor resistente de álulo - Momento fletor soliitante de álulo, obtido por análise elástia de 1ª ordem, assumindo não existir translação lateral da estrutura - Momento fletor soliitante de álulo, obtido por análise elástia de 1ª ordem devido à translação lateral da estrutura - Momento plástio segundo os eixos de maior e menor inéria - Momento fletores soliitantes de álulo, respetivamente em relação aos eixos x e y da seção transversal M x,rd, M y,rd - Momento fletores resistentes de álulo, respetivamente em relação N Sd1 aos eixos x e y da seção transversal - Força de ompressão última no pilar em onsideração, em análise de 1ª ordem N - Carga gravitaional última total que atua no pavimento Sd N,Sd N,Rd N e - Força de ompressão soliitante de álulo - Força de ompressão resistente de álulo - Carga rítia de flambagem elástia de Euler 3 - Matriz nula (3x3) P - Vetor das forças internas no sistema loal artesiano ii

10 P P r P e P i P y Q Q Q Q α R d S d T T T V r V Sd W Z - Força axial de ompressão - Carga rítia de flambagem elástia - Carga rítia de flambagem elástia de Euler - Forças nodais internas de um elemento no sistema global de oordenadas artesianas - Carga de esoamento - Fator de redução total assoiado à flambagem loal - Vetor dos esforços internos naturais no sistema de oordenadas orrotaionais, onde α = 1,, 3 - Força ortante devido ao efeito P- - Esforços internos nas oordenadas naturais ou orrotaionais - Resistênia de álulo; soliitação resistente de álulo - Soliitação de álulo - Matriz de rotação de eixos - Transposta da matriz de rotação de eixos - Volume do elemento nas onfigurações de referênia - Força ortante soliitante de álulo - Módulo de resistênia elástio - Módulo de resistênia plástio Letras Gregas ' - Ângulo de rotação do eixo de um elemento em relação à sua orda após a deformação; rotação da seção devido à flexão; restrição elástia na extremidade da barra - Derivada do ângulo entre a orda e a tangente ao eixo da barra a, b - Ângulo de rotação nas extremidades do elemento, a q - Restrição elástia na extremidade da barra - Coefiiente de ponderação da resistênia ou das ações - Fleha, desloamento - Deformação virtual de uma fibra p i - Vetor de desloamentos nodais virtuais do elemento e q b 3 iii

11 w i - Trabalho virtual interno de uma fibra w e - Trabalho virtual externo de uma fibra Δ Δl Δ fl Δ Δ h x - Desloamento lateral referente ao movimento elástio estável de uma estrutura devido às forças laterais - Medida do alongamento ou enurtamento do elemento - Desloamento lateral de flambagem - Desloamento relativo do pavimento de altura h - Desloamento horizontal relativo entre os níveis superior e inferior, também onheido omo desloamento interpavimento - Deformação ou deformação de engenharia; ampo de deformação - Deformação de uma fibra genéria situada no eixo longitudinal - Deformação longitudinal do elemento - m Valor médio para a deformação, - Derivada primeira do ampo de deformação, - Derivada segunda do ampo de deformação - Deformação de engenharia 1 y s Fator de ajuste que leva em onsideração a tensão de esoamento dos pilares Fator de ajuste que onsidera a rigidez lateral do pavimento Fator de rigidez que onsidera a esbeltez efetiva do andar Fator que onsidera o número de pilares no andar - Coefiientes de ponderação das ações permanentes gi - Coefiientes de ponderação das ações variáveis qj - Coefiientes de ponderação da resistênia a1, a θ a, θ b θ λ - Rotação do nó - Rotação dos nós a e b medidos a partir da onfiguração de referênia até a orda - Rotação de orpo rígido - Estiramento de uma fibra genéria; índie de esbeltez iv

12 λ λ p λ lim ξ M - Índie de esbeltez reduzido - Parâmetro de esbeltez limite para seções ompatas - Esbeltez limite - Fator de força noional modifiado ξ - Fator de força noional básio (ξ =,5) e - Tensão iniial de esoamento do material - Tensão normal ou de engenharia de uma fibra - Tensão nominal ou de engenharia N r - Tensão residual - Tensão residual de ompressão r rt y - Tensão residual de tração - Resistênia ao esoamento a ˆ a r, i - Fator de redução de rigidez inelástio - Fator de redução de rigidez inelástio aproximado - Ângulos que a orda do elemento faz om o eixo das absissas nas onfigurações de referênia e deformada - Fator de redução assoiado à resistênia de ompressão - Função de interpolação para os desloamentos - Imperfeição geométria iniial v

13 RESUMO BARROS, A. Um Estudo da Estabilidade de Pórtios Considerando o Fator do Comprimento Efetivo e as Forças Noionais. Dissertação de Mestrado. 139 p. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Esola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1. O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo da estabilidade de pórtios de aço onsiderando a apliação do fator do omprimento efetivo e das forças noionais na análise dessas estruturas. Para alançar esse objetivo, são disutidas as araterístias do método do omprimento efetivo mostrando as vantagens e desvantagens de sua apliação. O oneito da flambagem do pavimento é apresentado, bem omo as onsiderações para se determinar o fator K na fase inelástia. É apresentado o oneito da formulação baseada na apliação da força noional, para onsiderar as imperfeições geométrias e de material, a partir da apliação de uma força horizontal fitíia orrespondente a uma fração do somatório de todos os arregamentos vertiais de álulo atuantes no pavimento. Esses métodos são avaliados omparativamente tendo omo base de referênia para a alibração destes um programa esrito na linguagem FORTRAN 9, desenvolvido para realizar a análise inelástia avançada de pórtios planos de aço. Exemplos são apresentados ao final do trabalho para omparação das diversas metodologias, bem omo avaliar os proedimentos da ABNT NBR 88: 8. Palavras-have: Estabilidade Estrutural; Fator do Comprimento Efetivo; Forças Noionais; Análise Inelástia Avançada vi

14 ABSTRACT BARROS, A. A Study of Frames Stability Considering Effetive Length Fator and Notional Loads. Dissertação de Mestrado. 139 p. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Esola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 1. The objetive of this work is to study the steel frames stability onsidering the appliation of the effetive length fator and notional loads in the analysis of these strutures. To ahieve this goal, the harateristis of the effetive length method are disussed, showing the advantages and disadvantages of its appliation. The onept of story bukling approah is presented, as well as onsiderations for determining the K- fator in the inelasti phase. In this work, the onept of the formulation based on the notional loads, to onsider the geometrial and material imperfetions from the appliation of a fititious horizontal fore orresponding to a fration of the sum of all vertial fores ating on the story is disussed. These methods are omparatively evaluated on the basis of a program written in FORTRAN 9 that was developed to perform an advaned inelasti analysis of plane steel frames. Examples are presented for omparison of different methodologies as well as evaluating the proedures of ABNT NBR 88: 8. Keywords: Strutural Stability; Effetive Lengt Fator; Notional Loads; Ineslasti Advaned Analysis vii

15 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações Iniiais A análise da estabilidade estrutural durante o proedimento de álulo tem se onfigurado omo uma das etapas mais omplexas para o engenheiro, que normalmente não deve onsiderar somente o omportamento loal dos elementos estruturais, mas também o omportamento de todo o sistema estrutural. É possível verifiar-se variações nas abordagens das normas ténias dos diversos países no que diz respeito à estabilidade de estruturas. Dentro do ontexto de análise elástia, ontudo, é possível, a partir da déada de 198, subdividir os proedimentos para avaliação da estabilidade estrutural em duas ategorias: a formulação do omprimento efetivo e a formulação da força noional ou imperfeições equivalentes. Observa-se, ontudo, que para muitos engenheiros não é absolutamente lara a apliabilidade de ada método, suas limitações e sua validade. De fato, ambas as metodologias demandam ertos uidados e ritérios para que os resultados obtidos não sejam demasiadamente divergentes em relação ao omportamento real da estrutura. Em 1993, o omitê ténio de engenharia estrutural do ASCE (Amerian Soiety of Civil Engineers) formou um grupo de estudo do método do omprimento efetivo, de forma a eluidar vários aspetos relevantes à ténia de avaliação da estabilidade de pilares em projetos estruturais. 1

16 O primeiro passo deste omitê foi tratar das questões relativas às hipóteses onsideradas válidas para avaliação da estabilidade de pilares e pórtios, onforme as espeifiações do AISC (Amerian Institute of Steel Constrution). De fato, será visto no trabalho ora proposto que ertas hipóteses básias, onsideradas válidas para formulação do método do omprimento efetivo, normalmente não se verifiam na prátia. Isso não invalida o método, mas agrega ao mesmo níveis maiores de onservadorismos nos resultados obtidos. Por outro lado, ao se adotar o método da força noional, será onstatado que uma análise elástia de ordem é neessária à formulação para onsideração do omprimento efetivo do pilar igual ao seu omprimento real. Além disso, é possível identifiar situações prátias em que os resultados obtidos por este método são igualmente onservadores, assim omo no método do omprimento efetivo. No aso do método do omprimento efetivo, ada pilar é avaliado individualmente e o dimensionamento é baseado na onepção de um pilar equivalente biartiulado de omprimento KL, onde K é o fator de omprimento efetivo e L é o omprimento real do pilar. Nota-se que este proedimento não apta a interação entre pilares do andar, devido à interpretação feita separadamente da estabilidade de ada elemento. Uma evolução deste proedimento é o hamado Método de Flambagem do Pavimento, que pressupõe que a flambagem de um pilar pertenente a um pórtio desloável somente oorre quando todo o andar flamba. Já no aso do método da força noional, geralmente modelado a partir da apliação de uma força horizontal fitíia no topo do andar, o dimensionamento estrutural utiliza o omprimento real do pilar, sendo que, artifiialmente, é introduzido ao sistema estrutural um gradiente de imperfeição iniial. Neste aso é neessário o desenvolvimento de uma análise de ª ordem elástia e o arregamento fitíio apliado orresponderá a uma fração do somatório de todos os arregamentos vertiais de álulo atuantes no pavimento.

17 Assim, aera dos métodos do omprimento efetivo da força noional, a norma ameriana, ANSI/AISC 36-5, aborda de maneira mais inisiva o método do omprimento efetivo, ao passo que a norma anadense, CAN/CSA-S16, 1-M89, a norma australiana, AS41: 199 e a EN : 5 são direionadas para ténias de força noional horizontal. Já a nova versão da ABNT NBR 88: 8 estabelee que, para pilares que pertençam a uma estrutura qualquer, seja esta ontraventada ou de ontraventamento, o valor de K é igual a 1, desde que seja desenvolvida uma análise de ordem e que uma força noional seja apliada em ada pavimento a fim de simular desaprumos da estrutura. Também define a onsideração da não-linearidade físia dos elementos estruturais através de ajuste nas rigidezes nos mesmos. É onlusivo que tanto o método do omprimento efetivo quanto o método da força noional possuem fundamentação que, teoriamente, dão legitimidade e onsistênia a estes proedimentos, sendo que ada um possui vantagens e limitações. Na tentativa de retratar o omportamento real das estruturas, ambos os métodos possuem níveis de impreisão nos seus resultados que podem ser diminuídos a partir da utilização de proedimentos de álulo e refinamento apropriados. Portanto, não são métodos que forneem respostas exatas, mas são de formulação relativamente simples e de aráter prátio. Alternativamente, um método que onsiga aptar de maneira mais realista o omportamento da estrutura do ponto de vista da estabilidade ainda se onfigura omo demasiadamente omplexo para fins de projeto. Este método, hamado de análise avançada, se estabelee omo uma efiiente referênia para alibração dos dois métodos anteriormente desritos, mas mesmo om os avanços dos reursos omputaionais da atualidade é onsideravelmente omplexo para apliação em esritórios de álulo. 3

18 1. Objetivos O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo da estabilidade de pórtios planos de aço onsiderando a apliação do fator do omprimento efetivo e das forças noionais na análise dessas estruturas. Para alançar esse objetivo, o presente trabalho apresenta as araterístias do método do omprimento efetivo, largamente utilizado em esritórios de álulo para o desenvolvimento de projetos estruturais. O método é redisutido mostrando as vantagens e desvantagens de sua apliação. O oneito da flambagem do pavimento é apresentado, bem omo as onsiderações para se determinar o fator K na fase inelástia. Dentro deste esopo, o trabalho apresentará o oneito da formulação baseada na apliação da força noional, para onsiderar as imperfeições geométrias e de material, a partir da apliação de uma força horizontal fitíia no topo do andar, orrespondente a uma fração do somatório de todos os arregamentos vertiais de álulo atuantes no pavimento. Pretende-se avaliar omparativamente o método da força noional e o método do omprimento efetivo, tendo omo proedimento de referênia para a alibração destes a análise avançada, visando avaliar a forma omo a ABNT NBR 88: 8 trata da apliação das forças noionais na análise da estabilidade de pórtios de aço. Dentro deste esopo, serão avaliadas as vantagens e desvantagens de ada método, as ondições de validação dos mesmos e suas limitações na tentativa de representar sistemas estruturais reais. 1.3 Organização do Texto O trabalho iniia-se om uma breve onsideração sobre a Análise Avançada no Capítulo, através da oneituação dos tipos de análise existentes, destaando-se a análise inelástia de ª ordem onsiderando a plastiidade distribuída. São desritos os prinípios básios e os atributos nos quais o modelo deve ser baseado para que uma 4

19 análise seja onsistente segundo os preeitos da Análise Avançada. Em seguida, é apresentada de forma suinta uma formulação rigorosa em teoria de ª ordem, visando a implementação do programa desenvolvido por LAVALL (1996), esrito na linguagem FORTRAN 9 utilizando a plataforma VISUAL FORTRAN 6., para realizar a análise inelástia avançada de pórtios planos de aço. O Capítulo 3 aborda o hamado método do omprimento efetivo para análise da estabilidade de pórtios. Desta forma, define-se omprimento de flambagem de pilares isolados, deduzindo analitiamente o aso birrotulado e o efeito das restrições de extremidade na arga de flambagem. Desenvolve-se um proedimento para definição da arga de flambagem elástia de pilares pertenentes a pórtios através da abordagem analítia do problema, definindo-se para esta finalidade a lassifiação dos pórtios em desloáveis e indesloáveis. A partir da definição das equações para álulo do omprimento efetivo de pilares de pórtios estabeleem-se os hamados ábaos de pontos alinhados de estruturas desloáveis e indesloáveis. Na sequênia tem-se uma abordagem quanto aos problemas assoiados ao método do omprimento efetivo, notadamente por este não aptar o efeito estabilizante ausado pelo pavimento no pilar e por negligeniar o omportamento inelástio dos elementos estruturais. O Capítulo 4 trata das onsiderações do método das forças noionais em teoria de ª ordem para análise estrutural. Assim, definem-se as imperfeições iniiais de geometria e de materiais intrínseos às estruturas. Estabelee-se o oneito da força lateral noional, de natureza fitíia, a ser apliada no topo do andar sob análise e orrespondendo a uma fração do somatório de argas vertiais últimas que atuam no pavimento. Define-se esta fração omo um fator de força noional, ξ, om valor básio igual a,5. Objetivando um dimensionamento mais otimizado, estabeleem-se proedimentos para refinamento do valor básio de ξ (,5). Uma breve abordagem na modelagem explíita de desaprumos da estrutura é também tratada neste apítulo. O Capítulo 5 apresenta a forma omo a ABNT NBR 88 em sua versão de 8 trata da questão da análise da estabilidade. Define imperfeições de material e de geometria presentes nas estruturas, estabeleendo os tipos de análise quanto à não-linearidade 5

20 físia e quanto à não-linearidade geométria. Do ponto de vista dos materiais, lassifia a análise omo elástia ou plástia. Do ponto de vista de desloamentos, estabelee as estruturas omo de pequena, média e grande desloabilidade. Para fins de dimensionamento, estabelee que o omprimento efetivo K do pilar pode ser tomado igual a 1, desde que uma força noional seja apliada à estrutura e que seja desenvolvida uma análise de ª ordem elástia. Também define ritérios para onsideração dos efeitos das imperfeições de material através de uma redução na rigidez dos pilares. No Capítulo 6 são apresentados exemplos, busando avaliar os proedimentos de análise e o dimensionamento estrutural apresentados neste trabalho, desenvolvendo um omparativo de resultado entre estes, utilizando-se omo proedimento de referênia a análise avançada. Assim sendo, pórtios planos simples são analisados sob o foo do método do omprimento efetivo om base no proedimento analítio para determinação da arga rítia e na utilização dos ábaos de pontos alinhados. Uma avaliação do omportamento de andar também é desenvolvida através do oneito de flambagem de pavimento. O proedimento de força noional em teoria de ª ordem e onsideração de K igual a 1, também é apliado aos pórtios. Desta forma, pretende-se estabeleer a preisão e validade dos métodos desritos bem omo a influênia dos proedimentos de refinamento nos resultados finais. O Capítulo 7 apresenta as onlusões obtidas em relação aos proedimentos de análise e dimensionamento abordados visando subsidiar uma análise onsistente dos métodos. 6

21 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ANÁLISE AVANÇADA.1 Considerações Iniiais O projeto estrutural tem omo objetivo oneber uma estrutura que atenda a todas as neessidades para as quais ela será onstruída, satisfazendo as questões de segurança e de utilização, e também, questões eonômias e onstrutivas. A sua elaboração ompreende a realização de uma análise para a obtenção das respostas da estrutura, o dimensionamento de seus elementos apazes de atender às soliitações enontradas na análise e o detalhamento final do projeto, para posterior exeução da obra. O Método dos Estados Limites, adotado por diversas normas, tais omo ABNT NBR 88: 8, ANSI/AISC 36-5 e EN : 5, estabelee que no dimensionamento de uma estrutura nenhum estado limite apliável seja exedido quando esta for submetida a todas as ombinações apropriadas de ações. A análise, dentro do ontexto do projeto estrutural, tem omo função determinar os efeitos das ações na estrutura, omo por exemplo, os esforços soliitantes e os desloamentos produzidos no modelo estrutural. O dimensionamento deve garantir a segurança da estrutura, sujeita às ombinações mais desfavoráveis de ações previstas em sua vida útil, em relação aos estados limites últimos e, ao mesmo tempo, garantir o seu desempenho sob as ondições normais de serviço. Portanto, visando um dimensionamento adequado e onfiável de uma estrutura, devem ser umpridas as exigênias estabeleidas por uma norma que, por sua vez, adota um método de álulo de modo que nenhum estado limite seja exedido. 7

22 Até reentemente, a prátia usual de projeto utilizada pelos engenheiros seguia um proedimento om duas etapas: primeiramente os esforços soliitantes nas barras e nós das estruturas eram determinados por meio de uma análise elástia em primeira ordem. Depois, numa segunda etapa, eram feitos os dimensionamentos desses elementos e das ligações, utilizando-se ritérios de normas e espeifiações ténias. Apesar de muito usado omo base de projeto, no passado e no presente, esse proedimento om duas etapas tem suas limitações, por não onsiderar a interação entre o sistema estrutural e suas barras de uma maneira direta. No aso das estruturas metálias, essa interação é onsiderada de forma aproximada pelo uso do oneito do fator do omprimento efetivo K. A determinação deste fator pela teoria elástia, usando ábaos usuais ou fórmulas disponíveis da literatura aberta, é difíil e ompliada, prinipalmente para ertos tipos de pórtios não regulares, sendo neessário o uso de vários fatores de orreção empírios para ajustá-lo. A mais séria limitação desse proedimento é que a análise elástia é usada para determinar os esforços soliitantes atuantes nas barras, enquanto no dimensionamento de ada barra tratada omo um elemento isolado, os esforços resistentes são obtidos onsiderando-se a possibilidade de plastifiação da seção transversal. Não há verifiação da ompatibilidade entre a barra isolada e a barra omo parte do sistema estrutural. Não há nenhuma garantia explíita de que a estrutura irá resistir aos arregamentos de projeto na nova onfiguração geométria imposta ao modelo estrutural. Atualmente, o projeto estrutural estabeleido pela norma brasileira ABNT NBR 88: 8 onsiste de duas etapas: na primeira, os esforços soliitantes são determinados de aordo om a lassifiação da estrutura quanto à sua desloabilidade, em geral usando-se a análise elástia de ª ordem, onsiderando-se o fator do omprimento efetivo K igual a 1,. Depois, numa segunda etapa, são feitos os dimensionamentos dos elementos, utilizando-se os ritérios da norma. O proedimento também é aproximado, uma vez que a norma ainda separa a análise do dimensionamento. A análise elástia é usada para determinar os esforços soliitantes atuantes nas barras, enquanto no dimensionamento de ada barra, tratada omo um 8

23 elemento isolado, os esforços resistentes são obtidos onsiderando-se a possibilidade de instabilidade e de plastifiação da seção transversal. A resistênia e a estabilidade do sistema estrutural e de seus membros são interdependentes. Porém, a norma onsidera essa interdependênia de forma aproximada, onde os resultados obtidos pela análise são apliados em equações de interação que onsideram a plastifiação da seção transversal. Diante desse fato, e aliado aos avanços da informátia, têm sido desenvolvidos métodos de análises avançadas, que forneem resultados mais preisos, onsequentemente mais realistas, evitando simplifiações no projeto de uma estrutura. Uma análise que onsidera a teoria em ª ordem, a distribuição da plastiidade, as tensões residuais, as imperfeições geométrias iniiais, as ligações semi-rígidas, entre outros efeitos e que, alibrada om os oefiientes de ponderação da resistênia onforme estabeleido pelas Normas Ténias visando manter os níveis de onfiabilidade estrutural, elimine a neessidade da verifiação posterior de ada elemento estrutural isolado, é, por definição, um método exato de Análise Inelástia Avançada. O termo Análise Inelástia Avançada refere-se a qualquer método de análise que, de forma adequada, avalie simultaneamente a resistênia e a estabilidade de um sistema estrutural omo um todo, de tal forma que as verifiações posteriores de ada elemento separadamente, onforme fazem as normas ténias, possam ser dispensadas. O resente avanço tenológio na área da informátia, tanto em hardware quanto em software, tem propiiado o desenvolvimento de efiientes ferramentas omputaionais baseadas em formulações teórias rigorosas e onsistentes, segundo a filosofia da Análise Inelástia Avançada, permitindo-se fazer um dimensionamento seguro, preiso e realista dos sistemas estruturais em aço. Como primeiros trabalhos enontrados na literatura onsiderando-se os oneitos das análises avançadas, podem-se itar as urvas de resistênia do SSRC que foram obtidas 9

24 por meio de um extenso estudo desenvolvido por BJORHOVDE (197) apud CHEN et al. (1996) e as urvas de interação do AISC, obtidas por KANCHANALAI (1977). A partir da déada de 199, têm sido importantes os trabalhos de CLARKE et al. (199), LIEW et al. (1993-a,b), WHITE (1993), CHEN e TOMA (1994), CHEN et al. (1996, 1), WHITE e HAJJAR (), entre outros, que têm estudado a análise avançada de pórtios rígidos e semi-rígidos, planos e espaiais. O desenvolvimento de programas de omputador adequados para a análise avançada tem seguido três direções prinipais. A primeira é baseada na análise inelástia de segunda ordem om formação de rótulas plástias, sem nenhuma modifiação em relação à teoria lássia do álulo plástio (WHITE, 1993). A segunda aproximação para a análise avançada é baseada na modifiação ou no refinamento da teoria lássia de rótulas plástias, ao permitir uma suave degeneração da rigidez devido aos efeitos da plastiidade distribuída (KIM e CHEN a, b; LIEW et al., a, b). A tereira onsidera o efeito da plastifiação na formulação, onde a barra é disretizada em vários elementos e a seção transversal de ada elemento é dividida em fatias, permitindo a distribuição da plastiidade ao longo do omprimento do elemento e a plastifiação gradual da seção transversal ao longo da altura do elemento, respetivamente, onforme os trabalhos de VOGEL (1985), CLARKE et al. (199), FOLEY e VINNAKOTA (1997). No Brasil, a análise inelástia avançada de sistemas estruturais metálios tem despertado interesse de pesquisadores e diversos trabalhos envolvendo esse tema têm sido publiados, destaando-se os reentes trabalhos de LAVALL (1996), LANDESMAN (3), NETO e PIMENTA (4), SILVA e LAVALL (5, 8, 9), MACHADO e SILVEIRA (5), PINHEIRO e SILVEIRA (5), ALMEIDA (6), ARAÚJO (1), entre outros. BJORHOVDE, R. (197) Deterministi and Probabilisti Approahes to the Strength of Steel Columns. Ph.D. Dissertation Department of Civil Engineering. Lehigh University. Bethlehem, PA. 1

25 Este apítulo apresenta uma visão geral sobre os tipos de análise utilizados para a determinação das resistênias últimas de estruturas de aço, os prinípios básios e atributos desejáveis, bem omo as araterístias do programa PPLANLEP desenvolvido por LAVALL (1996) para realizar Análise Inelástia Avançada de pórtios planos de aço.. Tipos de Análise Iniialmente, uma visão geral dos tipos de análise utilizados no álulo de pórtios planos será apresentada para uma melhor ompreensão do seu omportamento global. A Fig..1 mostra, esquematiamente, as urvas força x desloamento lateral de um pórtio rígido submetido a arregamentos estátios, para ada tipo de análise a ser onsiderada...1 Análise Elástia de 1ª Ordem Na análise elástia de 1ª ordem, o equilíbrio da estrutura é formulado onsiderando-a na sua posição indesloada, ou seja, segundo sua geometria original (linearidade geométria) e o material é modelado omo elástio linear (linearidade do material). Dessa forma, essa análise onsidera, neessariamente, a hipótese de pequenos desloamentos e, sendo o material elástio-linear, vale o prinípio da superposição dos efeitos. Embora a análise elástia de primeira ordem, ou simplesmente análise elástia linear, seja a mais usada nas rotinas de álulo dos esritórios de projetos, ela não fornee informações sobre a influênia da plastiidade e da estabilidade no omportamento da estrutura. Essas influênias são onsideradas indiretamente no dimensionamento ao se verifiar isoladamente ada barra através do uso das equações de interação, das urvas de resistênia de pilares, do omprimento efetivo e dos fatores de amplifiação dos momentos. A urva força x desloamento obtida é linear, omo indiada na Fig

26 FIGURA.1 Comportamento força x desloamento dos vários tipos de análise... Análise Elástia de ª Ordem Na análise elástia de ª ordem, o equilíbrio é formulado onsiderando a estrutura na sua posição desloada (não linearidade geométria) e o material ainda é elástio linear (linearidade do material). A resposta da urva força x desloamento tende assintotiamente para a arga rítia elástia (P e ) da estrutura, onforme india a Fig..1. Quando obtida rigorosamente, essa análise inlui os efeitos da estabilidade elástia, P-δ e P-Δ, mas não fornee nenhuma informação direta da resistênia inelástia real do pórtio. Trata-se de uma análise não linear geométria...3 Análise Inelástia de 1ª Ordem Na análise inelástia de 1ª ordem, o equilíbrio é verifiado onsiderando a geometria indesloada da estrutura (linearidade geométria) e onsidera-se a não linearidade do material. Este tipo de análise inlui os efeitos de plastifiação das barras, que podem ser representados desde os modelos simples de rótulas plástias até modelos mais 1

27 detalhados que onsideram a propagação da plastifiação no interior das mesmas. Quando o material é elastoplástio perfeito, a resposta da urva força x desloamento de uma análise inelástia de primeira ordem aproxima assintotiamente da arga limite plástia (P P ), onforme ilustra a Fig..1, alulada por análise de meanismo plástio. Trata-se de uma análise não linear do material...4 Análise Inelástia de ª Ordem Na análise inelástia de ª ordem, o equilíbrio é formulado onsiderando-se a estrutura na sua posição desloada (não linearidade geométria) e onsidera-se a não linearidade do material. A arga limite obtida pela análise inelástia de segunda ordem é a que mais se aproxima da resistênia real, sendo esta a análise que melhor representa o verdadeiro omportamento de um pórtio. Trata-se de uma análise não linear geométria e do material. A análise inelástia, tanto em 1ª quanto em ª ordem, se refere a qualquer método de análise que onsidere os efeitos do esoamento do material, podendo ser lassifiada em dois tipos prinipais: (1) formulação por zona plástia ou plastiidade distribuída e () formulação baseada na formação de rótulas plástias. Esta generalização é baseada no grau de refinamento na representação dos efeitos do esoamento. O método da rótula plástia é a mais simples formulação, enquanto o modelo de zona plástia exige um maior refinamento. Análise Inelástia por Zona Plástia A análise por zona plástia ou plastiidade distribuída que inlua a distribuição da plastiidade, as tensões residuais, as imperfeições geométrias iniiais e quaisquer outros efeitos de segunda ordem signifiativos é geralmente lassifiada omo um método exato de Análise Inelástia Avançada. As equações de interação das barras de pórtio, adotadas nas prinipais normas ténias em todo o mundo, foram desenvolvidas, em parte, pelo ajuste de urvas de ensaios de laboratório aos resultados obtidos de uma Análise Inelástia por Zona Plástia. 13

28 Análise Inelástia por Rótula Plástia O mais simples e direto tipo de análise inelástia é aquele que adota a formulação om formação de rótulas elastoplástias. Essa análise geralmente envolve o uso de um elemento de pórtio para ada barra, assumindo que os mesmos permaneçam elástios exeto nas suas extremidades, onde as rótulas plástias de omprimento nulo se formam. Em termos prátios, a análise inelástia por rótula plástia utiliza dois métodos de análise: (1) método rígido-plástio e () método elastoplástio. O método rígido-plástio é estudado a partir da formação do meanismo de olapso final da estrutura, ou seja, quando a mesma desenvolve um número sufiiente de rótulas plástias levando ao seu olapso, não permitindo mais a redistribuição do momento fletor. O método elastoplástio é um método alternativo de análise plástia que, além de determinar a arga de olapso da estrutura, fornee informações adiionais sobre o proesso de redistribuição de forças, antes que o meanismo de olapso seja alançado. Assim, o método determina a sequênia de formação das rótulas plástias, o fator de arga assoiado a ada rótula e a variação do momento fletor nas barras entre ada rótula formada, além de permitir o álulo aproximado dos desloamentos durante a história do arregamento. Apesar de a análise inelástia por rótulas plástias ser efiiente em alguns asos, prinipalmente para estruturas nas quais a força normal nas barras é pequena e predomina o efeito dos momentos fletores, tem sido mostrado que é somente um método aproximado. Quando usado para analisar um simples elemento de pórtio submetido aos esforços ombinados de força normal e momento fletor, esse método frequentemente superestima a resistênia e a rigidez do elemento quando o mesmo é arregado até à região inelástia. Dessa forma, esse método não pode ser lassifiado omo método de Análise Avançada para uso no projeto de estruturas, devendo ser modifiado ou refinado para permitir a degeneração da rigidez devido aos efeitos da plastiidade distribuída, sendo denominado Método da rótula plástia refinada. 14

29 .3 Métodos de Análise Avançada Conforme KIM e CHEN (1996-a), desde meados dos anos de 197, pesquisas têm sido realizadas sobre o desenvolvimento e validação de vários métodos de Análise Avançada. Diferentes tipos de Análise Avançada podem ser lassifiados em duas ategorias: Método da rótula plástia refinada, Método da zona plástia..3.1 Método da Rótula Plástia Refinada Nos métodos de análise om plastiidade onentrada, os elementos de pórtio são usados para modelar todas as barras da estrutura. Nesta análise assume-se que ada elemento permanee totalmente elástio exeto nas suas extremidades, onde a rótula plástia de omprimento nulo pode oorrer. Quando a apaidade plástia da barra é atingida, a rótula plástia é inserida na extremidade do elemento para representar o omportamento inelástio da barra. Pesquisas de LIEW et al. (1993-a, b) mostraram que o método de rótula elastoplástia onvenional superestima a resistênia da barra, uma vez que o mesmo não pode representar a diminuição da rigidez devido ao espalhamento do esoamento ao longo da barra. Além disso, o método onvenional não inlui os efeitos das imperfeições geométrias e das tensões residuais na análise, os quais devem ser representados em uma análise avançada utilizando-se, por exemplo, as Forças Noionais..3. Método da Zona Plástia ou Plastiidade Distribuída No Método da Zona Plástia, as barras dos pórtios são disretizadas em vários elementos finitos e a seção transversal é subdividida em fatias. O equilíbrio de ada elemento deve ser formulado onsiderando sua posição desloada, ou seja, em teoria de 15

30 ª ordem, e deve inluir os efeitos P-Δ e P-δ, garantindo a interação entre o sistema estrutural e suas barras no estudo da estabilidade da estrutura. A tensão residual em ada fatia é admitida onstante onsiderando-se sua pequena espessura. O estado de tensão em ada fatia pode ser alulado, permitindo que a distribuição gradual da plastifiação devido ao esoamento possa ser aptada. Dessa forma, a análise por zona plástia elimina a neessidade da verifiação da resistênia de ada barra isoladamente, uma vez que pode, expliitamente, levar em onta os efeitos de segunda ordem, a plastiidade distribuída e as tensões residuais, sendo, portanto sua solução onheida omo solução exata. Para que um método de análise seja lassifiado omo avançado, nem todos os atributos mostrados anteriormente neessitam ser representados no modelo. Dessa forma, a literatura ténia tem onsiderado que, pelo menos, o estudo em teoria de segunda ordem (efeitos P-Δ e P-δ), a distribuição da plastiidade, as tensões residuais, as imperfeições geométrias iniiais e a flexibilidade das ligações devem ser levadas em onta na análise. A falta de alguns atributos arateriza uma limitação da análise e essa limitação deve ser levada em onta no projeto final, onforme os ritérios estabeleidos pelas normas ténias. Dentre os atributos desritos anteriormente, aqueles destaados em itálio são onsiderados na presente formulação..4 Formulação para Análise Inelástia Avançada Uma formulação mais preisa para o álulo estrutural é aquela que onsidera todos os efeitos não-lineares signifiativos na análise. Portanto, visando uma análise avançada para as estruturas de aço, é apresentada suintamente a teoria geral para a análise nãolinear de pórtios planos via MEF, onde a formulação desenvolvida onsidera ambos os omportamentos não-lineares, o físio (NLF) e o geométrio (NLG), das estruturas. A formulação apresentada pretende ser a mais geral possível, permitindo que os nós sofram grandes desloamentos e rotações e as barras sofram grandes alongamentos e 16

31 urvaturas e, além disso, essas barras podem ser não prismátias, onstituídas de material homogêneo e apresentar omportamento elastoplástio. O desenvolvimento teório apresentado é adaptado de PIMENTA (1986) e LAVALL (1996), e feito dentro de uma rigorosa formulação Lagrangiana atualizada, utilizando a ténia orrotaional para a dedução onsistente das matrizes do elemento de pórtio plano..4.1 Deformações e Tensões Uma medida de deformação é definida omo qualquer grandeza que ompare os omprimentos de uma fibra nas onfigurações iniial e deformada. Definindo-se o estiramento da fibra por =l /l r, onde l r e l são, respetivamente, os omprimentos do elemento nas posições de referênia e orrigida e, sendo A r a área da seção transversal do elemento na posição de referênia no qual atua uma força normal N, são adotadas as deformações e tensões de engenharia omo referênia neste trabalho, dadas respetivamente por: l l l r 1 ; lr lr N N (.1) Ar.4. Relações Constitutivas Seja a relação tensão x deformação dada por =() onde o módulo de rigidez de uma fibra, ou oefiiente angular da urva tensão x deformação, é dado por: D d d (.) Ao se analisar uma barra em regime elastoplástio distinguem-se duas regiões: uma região elástia e uma região plástia, de tal forma que, sendo y a tensão de esoamento do material, a barra enontra-se na fase elástia se (- y )< e e D D, tanto em arga quanto em desarga, sendo D e o módulo de rigidez elástio. Quando (- y )>, a barra 17

32 enontra-se na fase plástia e e D D, quando em desarga ou arga, sendo D ep o módulo de rigidez elastoplástio. ep D D quando em.4.3 Sistema de Coordenadas Graus de liberdade A Figura. mostra um elemento de pórtio plano om extremidades a e b em sua onfiguração iniial. No sistema global de referênia (x, y), os nós possuem três graus de liberdade, sendo duas translações u e v nas direções x e y respetivamente e uma rotação, onsiderada positiva quando medida no sentido anti-horário. FIGURA. Elemento de pórtio plano em sua onfiguração de referênia e em sua onfiguração orrigida Considerando-se o sistema loal de oordenadas orrotaional (x r, y r ), om origem no entro do elemento, define-se l r omo sendo o omprimento do elemento entre os seus nós de extremidade, ujo ângulo om o eixo de referênia global é r. Para um determinado nível de arregamento, o elemento enontra-se deformado na posição atualizada ou orrigida. Da mesma forma, introduz-se um sistema loal de oordenadas (x,y ), sendo o ângulo entre a orda e o eixo global x. Para esta posição deformada, o ângulo entre a orda e a tangente é dado por e tem nos extremos os valores de a e b. Os graus de liberdade, denominados naturais ou orrotaionais podem ser agrupados no vetor 3x1, definido por: q T ={ q 1, q,, q 3 } (.3) 18

33 19 onde q 1 ==l -l r, mede a mudança de omprimento da orda; q = a e q 3 = b, medem o ângulo nas extremidades a e b do elemento, respetivamente, independentes da rotação de orpo rígido r. Os graus de liberdade artesianos p i (i=1,...,6) são definidos por p 1 =u a ; p =v a ; a p 3 ; p 4 =u b ; p 5 =v b ; b p 6, e podem ser reunidos no vetor p i (6x1), denominado vetor de desloamentos nodais do elemento, da seguinte forma: b b b a a a T i v u v u p (.4) Os graus de liberdade em oordenadas orrotaionais q, e os graus de liberdade em oordenadas globais artesianas, p i, podem ser relaionados onforme as expressões a seguir, deduzidas om auxílio da Fig... r b b r a a r p q p q l l q (.5) onde: r a b r a b a b a b a b a b a b r a b a b l x x ; p p x x p p y y l p p x x ; l p p y y y y x x l p p y y p p x x l aros artg os sen (.6) Nas equações (Eq. (.6)), x a, x b, y a e y b são as oordenadas dos elementos na onfiguração de referênia.

34 As relações difereniais entre as oordenadas loais orrotaionais e as oordenadas globais artesianas podem ser esritas numa matriz B 3x6 ao se derivar q em relação a p i : q α, i os sen B l sen l sen os l os l 1 os sen l sen l sen os l os l 1 (.7) onde a matriz B é uma matriz de mudança de oordenadas que relaiona as taxas de desloamentos nas oordenadas loais orrotaionais om as taxas de desloamentos nas oordenadas globais artesianas. Esta matriz B pode ser esrita omo B BT, onde: B (3x6) 1 1 l 1 l l 1 l 1 (.8) os sen t 3 T ; t sen os (.9) (6x6) 3 t (3x3) 1 onde B é a forma loal de B e relaiona os graus de liberdade naturais do sistema orrotaional om os graus de liberdade do sistema artesiano loal (mudança de oordenadas) T é a matriz de rotação de eixos, que muda as oordenadas loais no sistema artesiano para as oordenadas globais também no sistema artesiano e 3 é a matriz nula (3x3). As derivadas segundas de q em relação a p i (q,ij ) serão também neessárias e podem ser oloadas em três matrizes simétrias G (6x6) dadas por:

35 1 os é os sen sen os os sen os os sen sen os sen sen 1 tria sim l G 1 (.1) os sen é sen os os sen os sen sen os os sen sen os os sen sen os os sen 1 tria sim l G G 3 (.11) Esta derivada segunda q,ij é uma relação que envolve apenas geometria, ou seja, desloamentos em oordenadas orrotaionais e artesianas, e será uma parela da matriz geométria oriunda da teoria de segunda ordem. Esta matriz geométria G pode ser esrita omo um triplo produto matriial T G T G T,onde G, =1,,3, é a forma loal de G e T é a matriz de rotação de eixos. Então: l 1 G (.1) l G 3 G (.13)

36 .4.4 Teoria Estrutural A teoria estrutural parte da hipótese inemátia atribuída a Bernoulli-Euler, onde se afirma o seguinte: As seções transversais planas e ortogonais ao eixo da barra permaneem planas, indeformáveis e ortogonais ao eixo, após a deformação. Com essa hipótese é possível determinar os desloamentos u e v de um ponto da seção transversal no sistema orrotaional (x, y ), dados exatamente por: u ( x, y) u ( x) y sen e v ( x, y) v ( x) y (1 os ) (.14) r r onde v e u são os desloamentos do eixo da barra no sistema orrotaional. A rotação das seções transversais deorre dos desloamentos v e u dos pontos situados sobre o eixo e dado por: v artg (.15) 1 u Com esse ampo de desloamento hega-se à expressão analítia do ampo de deformação para barras retas dada por: use 1 y 1 (.16) r Para se onheer o ampo de deformação definem-se as funções aproximadoras para o desloamento u e v do eixo da barra. 1 u ; v 1 tgq tgq q 1 1 q 3 3 l (.17) r onde: 3 xr 1 xr xr xr lr xr xr xr lr 1( xr ) ; ( xr ) ; 3 ( xr ) (.18) l l l 4 8 l l 4 8 r r r r 3 r Derivando-se a Eq. (.17) e substituindo-se na Eq. (.15), tem-se que:

37 , tg 3, 3 artg tgq q (.19) onde:, 3xr xr 1, 3xr xr 1 ( xr ) ; 3( x ) r (.) l l 4 l l 4 r r r r Se o ângulo ao longo dos elementos é sufiientemente pequeno, o que pode ser obtido om elementos urtos sem perda da generalidade da formulação, as aproximações de segunda-ordem para as funções trigonométrias são usadas e um valor onstante, representado pelo valor médio 1 l dx é adotado. Estas aproximações m orrespondem à hipótese de pequenas rotações do eixo dos elementos deformados em relação às suas ordas. Graças à formulação orrotaional, a hipótese aima não impede a oorrênia de grandes urvaturas, desde que os elementos sejam sufiientemente urtos. Se as urvaturas forem pequenas, o que é normal em estruturas usuais de edifíios em engenharia ivil, o ângulo será pequeno independente do omprimento dos elementos e a hipótese aima se justifia. Desta forma, a expressão para o ampo de deformação é dada por: r r q l 1 r 1 q1 q q3 qq y r q q lr (.1).4.5 Equilíbrio Estátio do Elemento Uma vez onheido o ampo de deformação do elemento e usando-se o Prinípio dos Trabalhos Virtuais, o equilíbrio estátio pode ser formulado da seguinte maneira: dv V r r P p i i (.) onde V r é o volume do elemento na onfiguração de referênia, a tensão normal da fibra, a deformação virtual da fibra, P i as forças nodais internas do elemento e p i o desloamento virtual nodal do elemento. 3

38 A deformação virtual da fibra é dada, om o auxílio da regra da adeia por: q (.3), i p i onde q,i representa uma transformação de oordenadas do sistema orrotaional para o sistema artesiano, iniialmente em oordenadas loais e após uma rotação de eixos, oloando-o no sistema global. Portanto, a equação de equilíbrio do elemento é dada por: P i dv r q, i (.4) Vr Fazendo-se V r dv r Q, em notação indiial tem-se: P i Q q (.5),i Reunindo-se P i e Q em dois vetores P e Q, respetivamente, pode-se esrever a Eq. (.5), om auxílio da Eq. (.7), na forma matriial: P = B T. Q (.6) Matriz de Rigidez Tangente do Elemento Os omponentes da matriz de rigidez tangente do elemento são obtidos das derivadas de P i em relação às oordenadas artesianas p j. Portanto derivando-se a Eq. (.5), om o auxílio da regra da adeia, obtém-se: Pi p i k ij q Q q Q q, i,, j, ij (.7) Resolvendo-se a derivada Q onlui-se que: 4

39 Q, D,, dv r (.8), V r de onde são definidos D e H, respetivamente por: D, V, D, dv e H,, r r dv r V r (.9) Levando-se a Eq. (.8) na Eq. (.6), om o auxílio da Eq. (.9), tem-se a matriz de rigidez tangente para o elemento, dada por: k i, j, q, i D, H, q, j Parela objetiva Q q ij Pareladomovimento deorpo rígido (.3) Podendo também ser esrita omo: k i, j, q, i D, q, j q, i H, q, j Q q ij Parela onstitutiva Parela geométria (.31) Na parela geométria da Eq. (.31) a expressão q, ih, q, j é responsável pelo efeito P- e a expressão Q q, ij pelo efeito P-. Esrevendo-se em notação matriial a matriz de rigidez onstitutiva e a geométria, tem-se: k M =B T D B (.3) k G = B T H B + Q G (.33) Finalmente, esreve-se a matriz de rigidez tangente, simétria (6x6), na seguinte forma: k t = k M + k G = B T D B + B T H B + Q G (.34) 5

40 .4.6 O Programa PPLANLEP As matrizes obtidas da formulação desrita na seção anterior foram implementadas no programa desenvolvido por LAVALL (1996), para realizar a análise de problemas de pórtios planos de aço, onsiderando-se a análise não-linear elastoplástia. O programa foi esrito na linguagem FORTRAN 9 utilizando a plataforma VISUAL FORTRAN 6.. Para a solução numéria das equações não-lineares utiliza-se o método de Newton- Raphson puro. No proesso inremental-iterativo, o equilíbrio é verifiado em ada iteração segundo um ritério de onvergênia baseado nos desloamentos. O modelo onstitutivo adotado para o aço é o elastoplástio. Na fase elástia tem-se ' d Ed e na fase elastoplástia d E d E1 E E H d, sendo que, quando o t ' parâmetro de endureimento H E, o omportamento elástio perfeitamente plástio é ontemplado. t Ao se onsiderar a não-linearidade do material, permite-se que as fibras, onstituintes da seção transversal, plastifiquem devido às tensões provenientes do arregamento apliado serem superiores à tensão de esoamento do material. A formulação apresentada anteriormente onsidera a plastiidade distribuída ao longo das barras da estrutura, ao dividi-la em elementos finitos. Para a determinação dos oefiientes da matriz de rigidez, onsidera-se a ténia das fatias, onde a seção transversal da barra é dividida em um grande número de fatias retangulares, busando aptar as variações de tensões e a propagação do esoamento ao longo da altura da seção transversal, além de permitir a implementação de qualquer modelo de distribuição de tensões residuais, onforme mostra a Fig..3. Na implementação da formulação por fatias, onsidera-se que o valor do estado de tensão no entro da fatia é onsiderado om o valor de toda ela. Admite-se então que se esta tensão alançar a tensão loal de esoamento, toda a fatia se torna plástia,enquanto aquelas om tensão inferior à tensão de esoamento loal permaneem elástias. 6

41 FIGURA.3 Divisão do perfil I em fatias No programa omputaional as tensões residuais, adaptadas por ALMEIDA (6) no programa PPLANLEP desenvolvido por LAVALL (1996), são previstas omo dados de entrada e atribuídas a ada fatia da seção transversal dos elementos, sendo adiionadas automatiamente às tensões normais durante a análise. A Tabela.1, adaptada de ALMEIDA (6), apresenta expressões da relação entre as tensões residuais de tração () e de ompressão (), segundo os tipos de rt distribuição que podem ser onsiderados no presente programa. Nas expressões, b f e t f são a largura e a espessura das mesas; d w e t w são a altura e a espessura da alma e d é a altura total do perfil. r TABELA.1 Tipos de distribuição das tensões residuais 7

42 Loop do proesso inremental Loop do proesso iterativo (onvergênia) Apresenta-se na Fig..4 o fluxograma geral do programa prinipal PPLANLEP, de LAVALL (1996), utilizado para fazer a análise não-linear elastoplástia de pórtio planos. INÍCIO DADOS Lê os dados que definem o tipo de análise (Bernoulli/Timoshenko), a geometria, ondições de ontorno, parâmetros dos materiais e das ligações, arregamentos, imperfeições, et. INICIA Zera as variáveis para iniiar o proesso. INCAR Controla o inremento de arga e atualiza o vetor orrespondente a ada passo do proesso. ALGOR Controla o tipo de algoritmo a ser utilizado na solução. MATRIG Determina a matriz de rigidez tangente elástia ou elastoplástia do elemento de barra e a matriz de rigidez da ligação. Considera a seção transversal do elemento de barra dividida em fatias. FATIA Avalia o nível de plastifiação da seção transversal. MONRIG Determina a matriz de rigidez global da estrutura e o vetor de argas. REDGAS/SUBREG Resolve o sistema de equações, determina os desloamentos nodais, atualiza oordenadas nodais e dos elementos. ESFOR Calula as forças nodais equivalentes internas, os esforços soliitantes e o vetor de forças residuais. NÃO CONVER Verifia a onvergênia do proesso iterativo. SIM RESULT Saída de resultados. FIM FIGURA.4 Fluxograma geral para análise não-linear inremental e iterativa 8

43 3 FATOR DE COMPRIMENTO EFETIVO 3.1 Considerações Iniiais A análise da estabilidade estrutural durante o proedimento de álulo tem se onfigurado omo uma das etapas mais omplexas para o engenheiro que, normalmente, não deve onsiderar somente o omportamento loal dos elementos estruturais, mas também o omportamento de todo o sistema estrutural. Uma metodologia para avaliação da estabilidade de estruturas aportiadas muito difundida nas normas ténias dos diversos países e largamente adotada em esritórios de álulo onsiste no hamado método do omprimento efetivo. Por este método, ada pilar é avaliado individualmente e o dimensionamento é baseado na onepção de um pilar equivalente biartiulado de omprimento efetivo KL, onde K é o fator de omprimento efetivo e L é o omprimento real do pilar. Em 1993, o omitê ténio de engenharia estrutural da Amerian Soiety of Civil Engineers (ASCE, 1997) formou um grupo de estudo do método do omprimento efetivo, de maneira a eluidar vários aspetos relevantes à ténia de avaliação da estabilidade de pilares em projetos estruturais. O primeiro passo deste omitê foi tratar das questões relativas às hipóteses onsideradas válidas para avaliação da estabilidade de pilares e pórtios, onforme as espeifiações do Amerian Institute of Steel Constrution (AISC). De fato, será visto no trabalho ora proposto que ertas hipóteses básias, onsideradas válidas para formulação do método do omprimento efetivo, 9

44 normalmente não se verifiam na prátia. Isso não invalida o método, mas agrega ao mesmo um nível maior de onservadorismo nos resultados obtidos. O que se pretende neste apítulo é apresentar o método do omprimento efetivo, abordando questões relativas a: 1) análise do omportamento de pilares isolados quanto à flambagem, levando-se em onta os efeitos das restrições de extremidade na arga final de flambagem; ) lassifiação dos pórtios planos em ontraventados (indesloáveis) e nãoontaventados (desloáveis); 3) elaboração e apliação de ábaos de pontos alinhados para pórtios desloáveis e indesloáveis para determinação do fator de omprimento efetivo K e os problemas assoiados ao K; 4) flambagem de pilares onsiderando-se o omportamento do andar; 5) omportamento inelástio de pilares. Com isso, pretende-se forneer uma visão geral da formulação, uma vez que para muitos engenheiros não é absolutamente lara a apliabilidade método, suas limitações e validade. De fato, a metodologia demanda ertos uidados e ritérios para que os resultados obtidos não sejam demasiadamente divergentes em relação ao omportamento real da estrutura. 3. Fator de Comprimento Efetivo de Pilares Isolados A arga rítia de um pilar isolado é definida omo a arga orrespondente ao ponto de bifuração do equilíbrio de um pilar geometriamente perfeito. Quando a arga rítia é alançada, a onfiguração retilínea do pilar deixa de ser estável assumindo uma nova onfiguração fletida om desloamento lateral. A arga rítia de sistemas geometriamente perfeitos pode ser obtida de uma análise de autovetor, onforme se ilustra a seguir para um pilar birrotulado. 3

45 3..1 Carga Crítia Elástia de um Pilar Considere-se um pilar birrotulado de omprimento L, sujeito a uma força axial de ompressão P omo apresentado na Fig Busa-se determinar a arga para a qual a bifuração do equilíbrio oorre, levando à onfiguração levemente fletida do pilar. x P L y FIGURA 3. 1 Pilar birrotulado P Nessa situação, o pilar estará sujeito à soliitação ombinada de força normal e momento fletor e, assim sendo, a equação diferenial que governa o seu omportamento em regime elástio é onheida e dada por: 4 d v d v EI P (3.1) 4 dx dx Cuja solução geral fia: v Asen( kx) Bos( kx) Cx D (3.) 31

46 onde k P,sendo E o módulo de elastiidade do material e I o momento de EI inéria em relação ao eixo de flexão. Observa-se que há ino inógnitas na equação Eq. (3.), k, A, B, C e D, mas há apenas quatro ondições de ontorno, que se traduzem por desloamentos e momentos fletores nulos nas extremidades. v x ; v '' x ; v xl ; v '' xl (3.3) onde a difereniação se dá em relação a x. Usando-se as quatro ondições de ontorno, pode-se mostrar que: sen( kl) k sen( kl) 1 k os( kl) k os( kl) L 1 1 A B = C D (3.4) ou, simboliamente: CX = (3.5) Se A = B = C = D =, tem-se a solução trivial para a equação Eq. (3.4), o que resulta que = indiando que o pilar é originalmente perfeitamente retilíneo. Para a obtenção da solução não trivial, devemos ter: det C = (3.6) que pode ser expresso, após simplifiação, omo: 4 k Lsen( kl) (3.7) Como k P é um valor neessariamente não nulo, resulta que: EI 3

47 sen( kl ) (3.8) que implia em: kl n ; n=1,,3,... (3.9) A arga que orresponde ao ponto de bifuração do equilíbrio, também onheida omo arga rítia P r ou arga de Euler pode ser obtida fazendo-se n = 1. Proedendo-se desta maneira, fia: P k (3.1) EI L Ou seja: P r EI (3.11) L Nessa arga, a bifuração do equilíbrio oorre omo apresentado esquematiamente no gráfio arga x desloamento lateral da Fig. 3.. Nota-se que a análise de autovalor somente permite a determinação de P r. O omportamento do pilar após a bifuração somente pode ser obtido por uma análise de grandes rotações e desloamentos. P Equlibrio Instável (P>Pe) Ponto de Bifuração Pe Equlibrio Estável (P>Pe) Equlibrio Estável (P<Pe) v FIGURA 3. Comportamento do pilar birrotulado 33

48 3.. Definição do Fator de Comprimento Efetivo de Pilares Isolados A arga rítia de pilares geometriamente perfeitos, omo anteriormente definida, foi obtida por uma análise de autovalor. Nessa análise é obtido o ponto que orresponde a um estado de equilíbrio neutro do sistema. Iniialmente, obteve-se a arga rítia de flambagem de um pilar om extremidades rotuladas e indesloáveis. Para as diversas ondições distintas de restrição de extremidade que podem oorrer em pilares isolados, é possível determinar a arga rítia de flambagem de maneira análoga àquela onduzida para o pilar birrotulado, apliando-se as ondições de ontorno assoiadas. No aso de um pilar om ambas extremidades impedidas engastadas, por exemplo, o valor da arga rítia obtida da análise de autovalor é dada por: P r 4 EI (3.1) L Esta arga rítia pode ser reesrita da seguinte forma: P r EI EI (3.13).5L KL sendo K, portanto, igual a,5. Definindo-se, a arga de Euler, P EI e, para o pilar birrotulado, hega-se a: L Pe Pr (3.14) K onde: Pe K (3.15) Pr 34

49 A Eq. (3.15) define a expressão matemátia para o fator de omprimento efetivo K. Fisiamente, K orresponde ao fator que, quando multipliado pelo omprimento real do pilar om restrições de extremidade, fornee o omprimento de um pilar birrotulado equivalente uja arga de flambagem seria a mesma do pilar om restrições nodais. Na Eq. (3.15) P r orresponde à arga rítia do pilar onsiderando-se suas reais restrições de extremidade e P e é a arga de flambagem de Euler. Desta forma, é possível estabeleer a Tab TABELA 3.1-Fatores de omprimento efetivo para barras isoladas Condições de Contorno Comprimento reto das barras igual a L a linha traejada mostra o eixo da barra após a flambagem. (a) (b) () (d) (e) (f) Valor teório de K,5,7 1, 1,,, Valores reomendados,65,8 1, 1,,1, Código de ondições de extremidade Rotação impedida e translação impedida Rotação livre e translação impedida Rotação impedida e translação livre Rotação livre e translação livre Esta formulação pode ser utilizada para análise de qualquer problema de flambagem elástia de pilares isolados através da substituição do omprimento real do pilar L, por um omprimento equivalente ou efetivo KL. Os valores de omprimento efetivo para barras isoladas apresentados na Tab. 3.1 podem ser onsiderados exatos. Contudo, quando o modelo em análise passa para um nível de omplexidade maior, omo é o aso de pilar de pórtios de andares múltiplos, a 35

50 apliação do proedimento desrito para obtenção do omprimento efetivo passa a ser muito trabalhoso para fins de prátia de projeto. Isso será demonstrado adiante. Destaa-se que nesta mesma tabela também são apresentados os valores de K para fins de apliação em projetos. Os valores reomendados de K para fins prátios iguais ou superiores aos teórios têm por objetivo onsiderar ondições reais dos elementos estruturais que não são ontabilizadas durante a análise. Por fim, esta tabela também apresenta as diversas ondições de ontorno usadas em ada aso e seu respetivo ódigo. 3.3 Flambagem Elástia de Pórtios Considerações Iniiais A fim de ompreender o omportamento dos pórtios omo um sistema estrutural apaz de garantir a resistênia e forneer rigidez lateral que assegure a estabilidade de uma edifiação, onsidere a Fig. 3.3 que apresenta os esforços que surgem num pilar de um pórtio omo resultado da interação entre as argas vertiais e o desloamento lateral devido a uma força horizontal, omo por exemplo, o vento. Conforme SALMON (1996), os momentos M e as ortantes Q são os esforços neessários para equilibrar o momento P-, resultante da interação entre as argas vertiais P e o desloamento lateral. O equilíbrio mostrado na Fig. 3.3-a exige que: P Q h M (3.16) As parelas Q.h e M dependem das ondições de restrição das barras. Se o pórtio for treliçado, isto é, se as barras forem artiuladas em suas extremidades, a parela M será nula (Fig. 3.3-b), onseqüentemente: P Q (3.17) h 36

51 Neste aso, as diagonais e as barras horizontais devem absorver a ortante Q. Por outro lado, se o pórtio apresenta barras rigidamente ligadas, mas sem diagonais de ontraventamento, a rigidez à ortante é muito pequena e o momento P deve ser resistido pelos momentos M. Então, onforme mostra a Fig. 3.3-, tem-se: P M (3.18) Nesse aso as vigas e os pilares devem absorver o momento M. FIGURA 3.3 Momentos fletores e forças ortantes devido ao efeito P-. Adaptada de SALMON (1996) Os pórtios ontraventados e não-ontraventados possuem tanto a rigidez ao momento fletor quanto a rigidez à força ortante. O valor relativo dessas grandezas é que faz a diferença entre o pórtio ser onsiderado ontraventado ou não-ontraventado. Sendo assim, admite-se que os pórtios ontraventados possuem rigidez ao momento fletor relativamente pequena em relação a rigidez à força ortante. Neste aso, a Eq. (3.17) representa os pórtios ontraventados nos proedimentos prátios de dimensionamento. Para os pórtios não-ontraventados admite-se que a rigidez à força ortante seja relativamente pequena em relação a rigidez ao momento fletor e a Eq. (3.18) pode ser apliada para representar esses pórtios. 37

52 3.3. Classifiação dos Pórtios Os pórtios podem ser lassifiados omo indesloáveis e desloáveis ou ontraventados e não-ontraventados, onsiderando-se oneitos teórios e prátios, respetivamente. Pórtio Indesloável e Pórtio Desloável Chamam-se indesloáveis os pórtios que, se introduzidas artiulações em todos os nós, inlusive nos apoios que já não sejam artiulados, se transformam num retiulado isostátio. Chamam-se desloáveis os pórtios que, se introduzidas artiulações em todos os nós, inlusive nos apoios que já não sejam artiulados, se transformam num retiulado hipostátio. Para ada um deles se india o retiulado hipostátio a que se hega, om a introdução das referidas artiulações, e o número de barras que se preisaria introduzir naquele retiulado hipostátio para transformá-lo em isostátio. O número dessas, assim introduzidas é, por definição, o grau de desloabilidade do pórtio iniialmente onsiderado. Do ponto de vista do omportamento em situação de instabilidade, nos pórtios lassifiados omo indesloáveis, quando a eventual situação de flambagem oorre, não há desloamento lateral dos nós, ou seja, os pilares do pórtio não possuem movimentos laterais relativos nas suas extremidades, onforme esquematizado na Fig. 3.4-a. Nos pórtios lassifiados omo desloáveis, a eventual situação de flambagem oorre om desloamento lateral bruso dos nós fl e os pilares apresentarão movimentos laterais relativos nas suas extremidades, onforme esquematizado na Fig. 3.4-a 38

53 (a) (b) FIGURA 3.4 Classifiação dos pórtios: (a) Indesloável, (b) Desloável Pórtio Contraventado e Pórtio Não-ontraventado O desloamento lateral indiado nas Fig. 3.5-a e 3.5-b refere-se ao movimento lateral elástio estável da estrutura, devido às forças laterais H. O desloamento lateral fl representado nas Fig. 3.4-b e 3.5-b, refere-se ao movimento lateral bruso, ausado por forças vertiais que atingem o valor rítio. Esse desloamento, proveniente da instabilidade, só pode oorrer nas estruturas desloáveis ou não-ontraventadas. (a) (b) FIGURA 3.5 Classifiação dos pórtios: (a) Contraventado, (b) Não-Contraventado Um pórtio ontraventado (Fig. 3.5-a) é aquele no qual a estabilidade lateral é garantida por sistemas adequados de ontraventamentos diagonais. Quando esses sistemas de ontraventamentos possuem rigidez sufiiente para resistir aos arregamentos laterais atuantes, os pórtios ontraventados possuem omportamento próximo ao dos pórtios indesloáveis. O movimento lateral bruso devido à instabilidade fl é impedido por 39

54 esses sistemas de ontraventamento. Os valores dos desloamentos laterais estáveis, oriundos dos arregamentos laterais atuantes são pequenos, de tal forma que os momentos de ª ordem provenientes do efeito P- podem ser desprezados. SALMON (1996) define um pórtio ontraventado omo sendo aquele no qual o movimento lateral bruso devido à instabilidade é impedido por elementos de ontraventamentos e o pórtio torna-se indesloável se esses ontraventamentos forem infinitamente rígidos. Um pórtio não-ontraventado (Fig. 3.5-b) é aquele no qual a estabilidade lateral depende da rigidez à flexão de vigas e pilares rigidamente ligados entre si. Esses pórtios podem ser lassifiados omo pórtios desloáveis. Quando o arregamento vertial atuante atinge o valor rítio oorre um desloamento lateral bruso fl denominado desloamento lateral devido a instabilidade. O desloamento lateral estável, devido ao arregamento horizontal, é relativamente grande, surgindo um momento de segunda ordem P- que deverá ser suportado pela estrutura Comprimento Efetivo na Flambagem dos Pórtios Segundo YURA (1971) o oneito do omprimento efetivo de flambagem é, simplesmente, um método matemátio para simplifiar o problema do álulo da arga rítia de pilares de pórtios om diferentes restrições de extremidades, utilizando-se pilares birrotulados e indesloáveis equivalentes. A arga de flambagem elástia de Euler para um pilar indesloável, om ambas as extremidades rotuladas, de rigidez EI e omprimento L, é dada por: P e EI (3.19) L 4

55 Conforme visto no item 3.., esta Eq. (3.19) pode ser usada para todos os problemas de flambagem elástia de pilares substituindo-se o omprimento real do pilar por um omprimento efetivo ou equivalente KL. Levando o oneito de omprimento efetivo para pórtios, a Fig. 3.6 ilustra o signifiado físio do omprimento de flambagem para os pórtios ontraventados ou indesloáveis. A Fig. 3.6-a mostra pilares isolados, indesloáveis e rotulados na base e um pórtio ontraventado om bases rotuladas. Tendo omo referênia os pilares isolados, onluise que o omprimento de flambagem efetivo ou equivalente KL dos pilares do pórtio deve variar entre,7l<kl<1,l. Na Fig. 3.6-b são mostrados pilares isolados, indesloáveis e engastados na base e um pórtio ontraventado om bases engastadas. Neste aso, tendo omo referênia os pilares isolados, onlui-se que o omprimento de flambagem efetivo ou equivalente KL dos pilares do pórtio deve variar entre,5l<kl<,7l. Logo, em termos prátios, pode-se onsiderar que, para os pórtios ontraventados ou indesloáveis, o fator do omprimento efetivo de flambagem K varia entre,5<k<1,. FIGURA 3.6 Comprimento efetivo KL para pilares isolados e pórtios ontraventados ou indesloáveis 41

56 A Figura 3.7 ilustra o signifiado físio do omprimento de flambagem para os pórtios não-ontraventados ou desloáveis. A Fig. 3.7-a mostra pilares isolados, desloáveis e engastados na base e um pórtio não-ontraventado ou desloável om bases engastadas. Tendo omo referênia os pilares isolados, onlui-se que o omprimento de flambagem efetivo ou equivalente KL dos pilares do pórtio deve variar entre 1,L<KL<,L. Na Figura 3.7-b são mostrados pilares isolados, desloáveis e rotulados na base e um pórtio não-ontraventado ou desloável om bases rotuladas. Neste aso, tendo omo referênia os pilares isolados, onlui-se que o omprimento de flambagem efetivo ou equivalente KL dos pilares do pórtio deve ser KL>,L. Logo, em termos prátios, pode-se onsiderar que, para os pórtios não-ontraventados ou desloáveis, o fator do omprimento efetivo de flambagem K é sempre maior que a unidade. FIGURA 3.7 Comprimento efetivo KL para pilares isolados e pórtios nãoontraventados ou desloáveis 4

57 Uma análise utilizando as onheidas equações do método Slope-Defletion é apresentada por SALMON (1996), mostrando matematiamente a variação do fator do omprimento efetivo para os pórtios indesloáveis e desloáveis. Pórtios indesloáveis (ontraventados) Para o pórtio indesloável mostrado na Fig. 3.8, obtém-se a seguinte relação: ( kl) sen( kl) I sen( kl) klos( kl) I p v L L v p (3.) onde k =P/EI, I v e L v são o momento de inéria e o vão da viga, respetivamente e I e L são o momento de inéria e a altura dos pilares, respetivamente. Admitindo-se I v = m 4 (W61 x 113), I p = 33155m 4 (W36x11), L = 1,98 m e h = 4,7 m, pode-se obter o valor da arga rítia que orresponde ao menor valor de kl na Eq. (3.1), obtida invertendo-se a Eq. (3.): sen( kl) klos( kl) I pl ( kl) sen( kl) I h v,487 (3.1) FIGURA 3.8 Pórtio indesloável rotulado na base Quando a rigidez da viga se aproxima de zero, kl= e tem-se um pilar isolado rotulado nas extremidades. Quando a rigidez da viga aumenta, kl torna-se maior que. Se essa rigidez tende ao infinito kl =4,49=,7. A solução para kl=3,6 obtida por tentativas 43

58 usando-se valores entre e 4,49, é mostrada no gráfio da Fig Pode-se notar que o fator do omprimento efetivo pode ser esrito omo: K (3.) kl Então para a Eq. (3.1) tem-se kl=3,6 e o fator do omprimento efetivo K é igual a,875. Em outras palavras, para onsiderar a flambagem do pórtio, o pilar deve ser alulado utilizando-se,873l p omo sendo o omprimento de uma barra rotulada isolada. A arga de flambagem do pórtio indesloável é dada por: P r EI K L,873L p p EI p p 4711 kn (3.3) FIGURA 3.9 Fator do omprimento efetivo K para o pórtio indesloável da Fig. 3.8 Adaptada de SALMON (1996) Pórtios desloáveis (não-ontraventados) Para analisar um pórtio desloável, onsidera-se o mesmo pórtio da Fig. 3.8, porém retira-se o apoio móvel que impede o desloamento lateral, onforme mostra a Fig

59 FIGURA 3.1 Pórtio desloável rotulado na base Utilizando-se as equações do método Slope-Defletion obtém-se a seguinte relação: kl 6I I V C tg( kl) (3.4) C L L V Admitindo-se novamente as mesmas propriedades geométrias do exemplo do pórtio indesloável (Fig. 3.8). 6Ivh kltg( kl) I L p 6,163 (3.5) Resolvendo-se a Eq. (3.5) por tentativas obtém-se kl=1,35, o menor valor que satisfaz a equação. π K,33 (3.6) kl Então, se o pórtio é desloável, ele pode ser alulado omo uma barra isolada de omprimento efetivo,33 L C. A variação do valor de K para o pórtio em estudo é mostrada na Fig Para pórtios desloáveis om as bases rotuladas e onsiderandose a viga om rigidez infinita, o fator do omprimento efetivo K é sempre maior que dois. 45

60 FIGURA 3.11 Fator do omprimento efetivo K para o pórtio desloável da Fig. 3.1 Adaptada de SALMON (1996) A arga de flambagem do pórtio desloável é dada por: P r EI p ( K L ) p EI (,33L p p ) 6663 kn (3.7) Observa-se que esse valor é era de 1/7 daquele apurado para a ondição do pórtio omo indesloável. Em ambos os asos, mesmo sendo pórtios relativamente simples, houve onsiderável esforço matemátio para a obtenção das argas rítias. Os asos apresentados onsideraram pórtios indesloável e desloável om apenas um andar. No aso de pórtios de andares múltiplos, a maioria dos engenheiros utiliza os ábaos para a determinação do fator K (YURA, 1971), tanto para estruturas indesloáveis quanto para estruturas desloáveis. Esses ábaos forneem uma solução elástia aproximada do fator do omprimento efetivo K, em substituição a uma análise de estabilidade exata, omo a mostrada no item anterior, mais omplexa. Entretanto, a utilização desses ábaos deve ser bastante riteriosa porque o uso inorreto pode resultar em valores inadequados para o oefiiente K. Muitas das difiuldades e 46

61 desentendimentos do oneito do omprimento efetivo oorrem devido ao uso dos ábaos em situações que violam algumas das hipóteses básias assumidas na dedução das equações do método. 3.4 Equação Geral para Cálulo do Comprimento Efetivo de Pórtios de Andares Múltiplos Considerações Iniiais Como pode ser observado, para fins de projeto é inteiramente impratiável o desenvolvimento de uma análise ompleta de um pórtio de andares múltiplos para obtenção de argas rítias e omprimentos efetivos dos pilares de uma estrutura. Dessa maneira é absolutamente adequado estabeleer alguns proedimentos gerais para obtenção do fator de omprimento efetivo K sem a apliação de uma análise mais omplexa. Assim, vários pesquisadores têm apresentado tabelas que permitem a determinação das argas de flambagem e omprimentos efetivos para situações omumente enontradas, de maneira relativamente fáil. O proedimento mais omumente utilizado para obtenção de omprimento efetivo é aquele que emprega os ábaos de pontos alinhados. Estes ábaos, apresentados na Fig. 3.1 para pórtios indesloáveis e desloáveis, forneem uma solução elástia aproximada do fator de omprimento efetivo K, em substituição de uma análise de estabilidade exata, omo mostrada no item anterior. 47

62 (Pórtio indesloável) (Pórtio desloável) FIGURA 3.1-Ábaos de pontos alinhados de pilares de pórtios ontínuos om G I / L p I / L v 3.4. Equações para Pórtios Indesloáveis As hipóteses seguintes são onsideradas verdadeiras para o desenvolvimento das equações de estabilidade elástia: 1) o omportamento da estrutura é sempre elástio; ) os elementos omponentes da estrutura são prismátios; 3) todos os pilares têm suas argas rítias alançadas ao mesmo tempo, ou seja, a flambagem dos mesmos se dá simultaneamente; 4) a estrutura é omposta por pórtios retangulares simétrios; 5) em um nó, a restrição ao momento forneida pelas vigas é distribuída pelos pilares de maneira proporional às suas rigidezes; 6) as vigas geram restrição elástia nas extremidades dos pilares e quando do iníio da flambagem a rotação destas vigas onetadas a estas extremidades oorrem om urvatura igual e oposta; 7) não há arga axial atuante nas vigas. 48

63 Considere um pórtio metálio sem possibilidade de se desloar lateralmente, sendo formado por dois pilares e duas vigas que se ligam rigidamente no nó entral, onforme apresentado na Fig Nos nós de extremidade das vigas e dos pilares há restrições elástias à rotação. B I p L p =-a L v1 I v1 A =a L v =-a I v P Ma a L b Mb P (b) I p1 L p1 B (a) FIGURA Pórtio indesloável om restrições elástias de extremidade Agora, onsidere-se uma viga-pilar om restrições elástias de extremidade, omo sugerido na Fig b. Se estas restrições elástias são α e β, tem-se a M a e b M b (3.8) Conforme desenvolvimento em SALMON e JOHNSON (198), é possível expressar as restrições e em função das rigidezes EI e dos omprimentos L das vigas e pilares que onorrem no mesmo nó, de forma que: EI v EI p Lv EI (3.9) Lp p L p 49

64 EI v EI p Lv EI (3.3) Lp p L p Os fatores de restrição elástia fiam assim estabeleidos: I p Lp G (3.31) I v L v Para os fatores de restrição elástia estabelee-se: EI 1 EI 1 ; L G A L G B (3.3) Onde os subsritos A e B remetem às duas extremidades do pilar ab. Finalmente, a equação da estabilidade de pórtios indesloáveis é definida pela expressão: GAG 4 B K G A G B 1 tg tg K K K K 1 (3.33) onde K é o fator de omprimento efetivo. Esta equação, que governa a flambagem de pórtios indesloáveis, é utilizada para gerar o ábao de pontos alinhados apresentado na Fig a. É evidente que a resolução da equação aima, analitiamente, é um proedimento muito mais omplexo que a inferênia do omprimento efetivo através dos ábaos. 5

65 Se os nós extremos opostos ao ponto A nas vigas não possuem rotações iguais e opostas θ a (ondição de urvatura simétria simples) em virtude destes nós serem, um ou outro, fixo ou rotulado, ajustes no fator G podem ser realizados Equações para Pórtios Desloáveis De maneira análoga à anteriormente apresentada para a obtenção da equação apaz de gerar o ábao de pontos alinhados para estruturas indesloáveis, é possível desenvolver um proedimento matemátio que permita a obtenção de uma equação que ontemple estruturas desloáveis. As hipóteses assumidas para o pórtio indesloável são também admitidas verdadeiras para a estrutura desloável, exeto pela hipótese que estabelee que, para pórtios indesloáveis, as vigas, quando da flambagem, adquirem urvatura simples. Para pórtios desloáveis, assume-se que estas vigas desenvolvem dupla urvatura, omo apresentado na Fig a, om a rotação de ambas extremidades iguais em magnitude e direção. a a a a a a a a a a P Ma H a a L L b b Mb P y H (a) (b) FIGURA 3.14-Pórtio desloável om restrições elástias de extremidade (a) As restrições elástias α e β são dadas pelas Eq. (3.8), exatamente omo se estabelee para estruturas indesloáveis. Assim sendo, levando-se em onsideração as 51

66 partiularidades da estrutura desloável, é possível obter a Eq. (3.34), que é apaz de gerar o ábao de pontos alinhados para estruturas desloáveis, onforme apresentado na Fig. 3.1.b: GAG 6 B / K 36 / K G G tg( / K) A B (3.34) Também neste aso, deve-se fazer ajustes no fator G a fim de aptar a ondição de vinulação dos nós das vigas opostos ao nó a. Uma maneira prátia de se estabeleer ajustes em termos de formulação para situações omo a aima apresentada é através da apliação de: G I p Lp I L v v (3.35) om tomado de aordo om a tabela 3.. Condição, na viga, da ligação oposta TABELA 3.-Fatores de ajuste no fator G Estruturas indesloáveis Estruturas desloáveis ao nó "A" (valores de ) (valores de ) Rígida, podendo girar 1 1 Rígida, impedida de girar,67 Rotulada 1,5,5 É notório que há grande ganho de failidade de proedimento ao adotar-se os ábaos de pontos alinhados para avaliação do fator de omprimento efetivo de pilares pertenentes a pórtios (indesloáveis ou desloáveis) relativamente a adoção do proedimento omplexo (analítio) de determinação do omprimento efetivo. 5

67 Por esse motivo a determinação de K pelos ábaos onfigura-se omo um proedimento tão difundido em esritórios de projeto. Contudo, é possível itemizar-se problemas assoiados ao método que podem diminuir a preisão dos resultados finais para fins de projeto. Alguns dos prinipais problemas são apresentados na sequênia Problemas Assoiados ao K Nas equações apresentadas, uja resolução permite a geração dos ábaos de pontos alinhados, várias hipóteses são onsideradas válidas. Na prátia, ontudo, algumas dessas hipóteses têm poua possibilidade de oorrênia. Outras, por sua vez, são violadas om grande freqüênia em situações reais. Desta forma, à medida que as hipóteses onsideradas em um modelo matemátio que busa representar um sistema real não são verifiadas na prátia, em parte ou em sua totalidade, a preisão desse modelo vai gradativamente diminuindo. A seguir são listadas algumas hipóteses básias de ondições idealizadas quando da elaboração das equações das quais derivam os ábaos de pontos alinhados. 1) O omportamento da estrutura é puramente elástio. Na prátia, nem sempre isso é verdade. Pórtios e seus elementos podem se omportar inelastiamente em função dos índies de esbeltez e/ou níveis de arregamento a que estão submetidos. A inobservânia do omportamento inelástio de pilares está entre as prinipais hipóteses que alteram signifiativamente o resultado da análise. ) Todos os elementos estruturais são iniialmente perfeitamente retos e prismátios. Verifia-se que durante a fabriação e transporte dos perfis metálios, os mesmos aabam por sofrer desvios do eixo. Além disso, vigas e pilares podem eventualmente ter mudanças de seção em um mesmo pavimento. 3) Todas as ligações são rígidas. As ligações metálias se deformam frente às soliitações. Nas ligações rígidas, o ângulo entre as vigas e os pilares permanee pratiamente inalterado durante o arregamento e o desarregamento. Em ligações 53

68 semi-rígidas ou flexíveis, ontudo, o ângulo entre estes elementos sofre alterações que não são aptadas pela formulação. No entanto, proedimentos de ajuste podem ser apliados ao fator G para levar-se em onsideração as ondições de flexibilidade em pilares e vigas do pórtio. 4) A ompressão nas vigas, aso exista, é desonsiderada. Quando uma viga é axialmente arregada há perda de rigidez da mesma, que não é levada em onsideração na resolução das equações. O que se verifia, ontudo, é que essa perda de rigidez poderá, em situações normais, ser realmente desonsiderada sem grande prejuízo à preisão dos resultados. 5) No modelo para pórtios desloáveis (Fig. 3.14), as rotações nas extremidades opostas das vigas são assumidas de igual valor e direções opostas. Essa ondição gera uma urvatura reversa na barra om ponto de inflexão na metade do vão. É laro que em função da distribuição de arregamentos na estrutura, das rigidezes das ligações das vigas e da eventual assimetria geométria essa ondição pode não ser verifiada. Já no aso de pórtios indesloáveis (Fig. 3.13) a hipótese de que as rotações nas extremidades opostas são iguais em módulo e direção é onsiderada verdadeira. Com isso tem-se uma deformada om urvatura simples. Assim omo no aso de estruturas desloáveis, há situações prátias em que tal fato não será verifiado. 6) O parâmetro de rigidez L P EI de todos os pilares é igual. De fato, nos asos prátios, a arga axial nos pilares é diferente em ada andar. Além disso, é omum a variação de pé-direito e de seção dos pilares entre pavimentos. Portanto, os parâmetros de rigidez dos pilares em pórtios de andares múltiplos não são os mesmos. 7) Outra hipótese assoia-se ao fato de se onsiderar que as rotações nos nós superior e inferior dos pilares alternam de um pavimento para o adjaente, onforme apresentado para os esquemas unifilares de pórtios indesloáveis e desloáveis. Esta ondição pode ser violada em algumas situações prátias. 54

69 8) Todos os pilares flambam simultaneamente. Por esta hipótese o método do omprimento efetivo desonsidera o efeito estabilizante do andar gerado por pilares que possuem reserva de resistênia. Em vista da vasta gama de hipóteses que são base para a solução das equações que geram os ábaos e que orriqueiramente são violadas em ondições reais, os pesquisadores prouram desenvolver proedimentos de ajuste para que a preisão final do valor de K seja maior. É possível apliar-se um refinamento ao método do omprimento efetivo de forma que a interação entre pilares pertenentes a um pavimento possa ser onsiderada na análise. É possível também estabeleer um fator de rigidez inelástio de forma a se levar em onsideração a não linearidade físia de pilares, quando apliável. Estes proedimentos, por serem onsiderados de maior relevânia, serão abordados nas seções seguintes. 3.5 Flambagem de Pavimento Considerações Iniiais Em 1961, as espeifiações do AISC inorporaram o oneito de omprimento efetivo para projeto de pórtios não ontraventados. Simplifiadamente, o método reduz o problema de análise de tensões rítias de pilares de estruturas através da determinação do omprimento equivalente de um pilar birrotulado om nós de extremidade indesloáveis. Conforme verifiado, a ondição de instabilidade gerada por argas de ompressão em um pilar é um problema de bifuração ujo tratamento matemátio em grande parte dos asos não é trivial. Contudo, para um pilar isolado indesloável rotulado nas extremidades é possível definir-se a arga rítia de flambagem elástia, já anteriormente itada, também onheida omo arga de Euler, P EI e. L 55

70 O fator de omprimento efetivo K pode ser obtido através da realização de uma análise de flambagem do pilar om suas reais ondições de ontorno para determinação de tensão rítia. E, assim proedendo, o pilar birrotulado indesloável nas extremidades que possui a mesma arga rítia do pilar om ondições de extremidades quaisquer permite estabeleer o fator K. Assim, muitos engenheiros utilizam o hamado Ábao de Pontos Alinhados omo uma maneira de se obter uma solução aproximada para o valor do fator de omprimento efetivo. Mas, para muitos destes profissionais, os valores de K obtidos om o proedimento de utilização dos ábaos de pontos alinhados através da obtenção dos parâmetros de rigidez relativa dos nós de extremidade pareem ser exagerados. Em espeial no dimensionamento de edifíios altos, o que onduz a resultados onsideravelmente onservadores e que torna, portanto, a utilização do método nestes moldes questionável. Grande parte do motivo pelo qual os resultados obtidos para o omprimento efetivo apresentam onsideráveis variações em relação a uma metodologia mais omplexa e exata deriva da utilização direta dos ábaos em situações que violam as hipóteses básias onsideradas na geração dos mesmos. É possível verifiar-se varias ondições em que tais hipóteses são freqüentemente violadas em termos prátios. Há duas, ontudo, que mereem destaque: Todos os pilares flambam simultaneamente; A flambagem oorre elastiamente. No desenvolvimento matemátio das equações que geram os ábaos, estas duas hipóteses aima são onsideradas verdadeiras em qualquer situação. Contudo, em várias situações prátias é possível verifiar que uma ou as duas hipóteses são violadas e, omo onseqüênia, o uso dos gráfios onduz freqüentemente a resultados onservadores. De fato, é baixa a probabilidade de que todos os pilares em um pavimento tenham suas resistênias últimas sendo superadas pelas soliitações de álulo simultaneamente. Em geral, para uma ondição de pilares em arga, ainda que 56

71 alguns destes pilares tenham suas resistênias esgotadas frente aos arregamentos atuantes, outros pilares ainda apresentarão uma erta reserva de resistênia. De uma maneira geral, pilares om reserva de resistênia riam um efeito estabilizante nos demais. Conlusivamente, o proedimento do Método do Comprimento Efetivo é prátio, de fáil apliação e, na maioria dos asos, retrata de maneira favorável à segurança o fenômeno da estabilidade para fins de dimensionamento estrutural. Sua base de formulação, ontudo, tem embutidas hipóteses de omportamento da estrutura que normalmente não são verifiadas na prátia. Resistênia à Flambagem de um Andar Projetos metálios em que se têm pilares em aço submetidos a argas de ompressão de forma que a flambagem em regime elástio de todos estes se dá simultaneamente orresponde a situação em que a preisão dos resultados obtida através do oneito de omprimento efetivo empregando-se os gráfios de pontos alinhados é satisfatória. E é somente nesta situação que se obtém este nível de preisão. Se a flambagem de todos os pilares aontee ao mesmo tempo, isso signifia que toda a resistênia de ada um destes pilares foi esgotada frente às argas de ompressão atuantes, ou seja, as argas rítias de ada um desses pilares foi atingida. Não há, portanto, qualquer reserva de resistênia em parte destes pilares que possa, eventualmente, riar um efeito estabilizante no onjunto. Contudo, existem muitas situações reais em que há pilares que possuem reserva de resistênia em relação à arga atuante. Como exemplo, a Fig apresenta um pilar entral P3 pertenente a um pórtio espaial interligado aos demais pilares do andar. Nota-se que só é possível que o mesmo flambe se todos os demais pilares também flambarem. De fato, um desloamento de maior magnitude no topo de P3 somente oorrerá se o onjunto estrutural também se desloar. Perebe-se também que existe uma reiproidade deste efeito estabilizante entre pilares, o que torna todo o onjunto mutuamente solidário. 57

72 NSd 4 NSd 5 NSd 3 P4 1 P5 P3 P1 P FIGURA 3.15 Pilar entral estabilizado pelos pilares periférios É possível listar outras situações prátias em que o efeito de andar é laramente desenvolvido. Apresenta-se um modelo simples em que é possível visualizar-se o efeito da resistênia à flambagem do pavimento. Na Fig. 3.16, o pilar- fornee ao sistema estrutural toda a resistênia à flambagem lateral do pórtio. O pilar-1 depende inteiramente do pilar- para estabilizar-se. Desta forma, uma força ortante estabilizante atua neste pilar provindo de pilar-. O pilar-1, que não possui rigidez lateral, é designado na literatura omo leaning Column e entendido neste trabalho omo pilar instável ou ontraventado. 58

73 P1 P P1 P1 L P1 L P Pilar-1 Pilar- P1 L P1 Pilar-1 P Pilar- P1 L M= P1 + P Efeito "Leaning Column" FIGURA Efeito do pilar birrotulado na estabilidade do pórtio desloável Tratando-se do dimensionamento estrutural de ada pilar separadamente utilizando-se da proposta do omprimento efetivo om o uso dos gráfios de pontos alinhados de pórtios desloáveis, ertamente tem-se, na grande maioria dos asos, um projeto seguro. Contudo, em muitas situações, o que se verifia na prátia é uma onepção estrutural exessivamente onservadora. Para ilustrar a questão estabeleida será utilizado um exemplo simples om um portal plano que foi proposto por YURA (1971). Efeito Estabilizante do Andar Através de um modelo simples será demonstrado omo pilares de um pavimento podem riar um efeito estabilizante entre si. Na Fig tem-se um pórtio plano desloável om dois pilares formados de perfis ompatos (não suseptíveis à flambagem loal) e engastados na base e om uma viga transversal onetada a estes pilares por ligações rotuladas. Por hipótese, estes pilares são soliitados, individualmente, por suas argas últimas de flambagem, que são apresentadas por valores de referênia. 59

74 K=, L I 5I L I (Diagrama unifilar) 5I P=1 5 FIGURA 3.17 Pórtio desloável om arregamentos rítios Para ambos os pilares o fator de omprimento efetivo K é tomado igual a, já que a ligação rotulada om a viga não propiia rigidez ao nó. Quando a flambagem do pórtio oorre tem-se um momento fletor total nas bases de 6 (1 5 ). Já para a Fig apresenta este mesmo pórtio estando ontraventado, tendo-se, portanto K = 1, para os dois pilares. Cada um desses passa, desta maneira, a suportar 4 vezes mais arga que aquelas verifiadas para a situação desloável. Pr1 Pr EI L EI ( pórtioindesloável ) 4 L ( pórtiodesloável) 4 Neste aso a máxima arga que o pilar da esquerda irá suportar é 4, independente do nível de arregamento do pilar mais rígido, pois nesse aso a flambagem oorre sem o desloamento lateral de seu topo e não faz sentido, portanto, onsiderar qualquer efeito estabilizante que o pilar mais rígido possa proporionar ao pilar de menor rigidez. O pilar da esquerda passa a ter apaidade última igual a para este aso. 6

75 5 4 K=, 5I L K=1, figura 1 5 FIGURA 3.18 Pórtio indesloável om arregamentos rítios figura Têm-se, para a análise em andamento, os máximos arregamentos permitidos para os dois pilares, tanto para a ondição om possibilidade de desloamento lateral do topo quanto para a ondição de impossibilidade deste. Retornando-se ao pórtio desloável, se for apliado ao pilar da direita (mais rígido) uma arga de 3, verifia-se no mesmo uma reserva de resistênia de, que se reflete omo uma apaidade de absorver um momento adiional de Δ de outra fonte qualquer, diferente do arregamento axial do seu eixo, onforme Fig Isso é possível uma vez que o pilar da direita não flamba lateralmente até que o momento em sua base atinja 5Δ L L I 5I L I 5I L 1 (a) 3 1 (b) 5 FIGURA 3.19 Esquemas representativos da transferênia de estabilidade entre pilares 61

76 Pode-se verifiar, portanto, que para esta ondição o pilar mais rígido possui uma reserva de resistênia que pode ser devidamente utilizada para forneer uma força de ontraventamento lateral ao pilar da esquerda, inibindo assim que este flambe lateralmente, desde que essa força não supere Δ/L, onforme Fig b. Observa-se que até que este valor seja alançado, o pilar de menor rigidez omporta-se omo um pilar ontraventado, inapaz de se desloar lateralmente. Dessa forma, o fator de omprimento efetivo desse pilar pode ser onsiderado inferior a,. Em termos teórios é possível aresentar mais uma arga vertial de à de 1 já atuante no pilar da esquerda sem prejuízo da ondição de estabilidade do sistema, gerando assim 3Δ em sua base. Antes tinha-se 1 no pilar da esquerda e 5 no pilar da direita, respetivamente. Agora a nova distribuição de argas apresenta 3 no pilar da direita e 3 no pilar da esquerda, omo apresentado na Fig. 3.. Em ambas as onfigurações, o somatório dos momentos nas bases dos pilares é de F= L 3 L L L FIGURA 3. Sistemas om mesma ondição de momentos nas bases A força F que surge a partir do efeito estabilizante do pilar de maior rigidez no pilar menos rígido e que é transferida pela viga que interliga estes pilares pode ter valor máximo igual a, que gera um momento na base do pilar mais rígido equivalente L a uma arga axial de exêntria de em relação a esta base, omo sugere a Fig

77 3 F L FL= (Condição de equilibrio de momentos no plano) F= L M FIGURA 3.1-Máxima força lateral de ontraventamento permitida Observa-se que, omo o valor de tende a ser pequeno para estruturas usuais, a força L ortante estabilizante que se desenvolve entre pilares de um pavimento é também um valor relativamente pequeno. Assim, onstata-se que é neessária, em termos relativos, poua arga horizontal apliada ao topo de um pilar para que este seja ontido ontra a flambagem lateral. Observa-se também que o momento fletor ao longo da altura do pilar mais rígido não é rigorosamente o mesmo para a ondição em que uma força horizontal de ontraventamento se desenvolve no topo do pilar e a ondição em que um gradiente de arga vertial é apliado no topo do pilar, onforme apresentado esquematiamente na Fig. 3.: Y L X X+Y L + M X Y M X +Y FIGURA 3.-Gráfio de momento fletores para ondições de arga propostas 63

78 Observe que no aso da onsideração do Y omo uma arga apliada axialmente ao pilar, tem-se um diagrama de momento fletor uja área é um pouo maior que aquela verifiada onsiderando-se a apliação da arga lateral Y. L De uma maneira geral, as argas vertiais totais atuantes em um pavimento e que produzem desloamento lateral desse andar podem ser distribuídas entre os pilares de qualquer maneira, pois onforme onstatado, a flambagem lateral de um pilar não oorre até que a flambagem dos demais pilares oorra. Para que todos os pilares flambem, por sua vez, é neessário que a resistênia de ada pilar seja superada pelos arregamentos atuantes ou, de outra maneira, a soma das argas vertiais atuantes deve superar a soma das resistênias individuais de ada pilar. Portanto, somente se a ondição aima for violada o andar flamba lateralmente e, enquanto isso não oorre, o andar se mantém estável. Este exemplo orrobora om a afirmação de que há onservadorismo no método do fator de omprimento efetivo, que pressupõe que todos os pilares flambam simultaneamente. Por fim, aplia-se agora uma nova distribuição de argas ao pórtio desloável, que em um primeiro momento é apresentada na Fig L L I 5I 35 L 1 15 FIGURA 3.3-Pórtio desloável sob ondição de arregamento 64

79 Sob o arregamento de 15, o pilar de maior rigidez ainda onsegue absorver 35Δ de momento na base, oriundo de outra forma de arregamento. Se, ontudo, aresentarmos 35 ao pilar da esquerda a arga atuante neste passa a ser maior que 4, que orresponde ao seu valor limite de resistênia para a ondição indesloável. Como onseqüênia teríamos o olapso do mesmo. Assim, é onlusivo que a máxima arga vertial a que um pilar pode ser submetido não deve ultrapassar a resistênia deste ao se tomar K = 1,, onforme Fig >4(Não OK!) L L I 5I I Flambagem omo indesloável 5I 35 L 1 5 FIGURA 3.4-Pilar om modo de flambagem indesloável Desta forma, através do modelo simples de pórtio plano a natureza do omportamento de estruturas à flambagem do pavimento foi introduzida. Constata-se a real ondição que um sistema estrutural omo um todo possui apaidade de transferir resistênia à flambagem dos pilares de maior rigidez lateral para os de menor rigidez. Obviamente a soliitação de álulo no elemento mais resistente não pode estar no limite de sua resistênia para que esta apaidade de ontraventamento se desenvolva. Por fim, a onsideração do fato do andar somente flambar omo um todo pode onduzir à elaboração de projetos mais otimizados e eonômios, sem abrir mão da segurança estrutural, sendo neessária observânia para que nenhum pilar tenha sua resistênia em ondição indesloável superada. Na seqüênia, uma efiiente formulação que leva em 65

80 onsideração o efeito solidário existente entre pilares no toante à resistênia a flambagem do pavimento será abordada A Formulação do Método segundo LeMessurier Conforme visto, uma desvantagem signifiativa na utilização direta dos ábaos para avaliação do omprimento efetivo de pilares pertenentes a pórtios está no fato dos mesmos não onsiderarem que pilares mais rígidos possam ontraventar pilares menos rígidos. Na déada de 197, YURA desenvolveu importantes trabalhos de pesquisa no sentido de identifiar a interação entre os diversos pilares pertenentes a um pavimento. Sua proposta era a de que ada pavimento pertenente a um pórtio desloável fosse onsiderado de maneira únia para fins de análise da instabilidade lateral. Os trabalhos de YURA formaram a base dos estudos de LeMESSURIER (1977). Pode-se afirmar que a essênia da ompreensão do omportamento do pavimento deriva, portanto, dos estudos de YURA e LeMESSURIER, uja formulação, proposta em 1977, é expressa omo, K ni I N i sdi N sd ( ( C N I) L sd ) (3.36) onde o índie i se refere ao i-ésimo pilar no andar e, N sd =soma das forças vertiais de álulo atuando no andar; N sdi = força no pilar i alulada om base em uma análise de 1ª ordem; I i =momento de inéria do pilar i; C L = fator de orreção da rigidez de um pilar para onsiderar o efeito P- sendo estabeleido por: 66

81 C K L 1 (3.37) K = fator de omprimento efetivo obtido nos gráfios de pontos alinhados. = oefiiente de restrição de extremidade de pilar definido omo sendo: 6G A GB 36 G G G G 3 (3.38) A B A B Alternativamente, uma forma simplifiada da equação de LeMESSURIER pode ser estabeleida admitindo que (1) a soma das argas vertiais que ausam a flambagem do andar é igual a soma das argas de flambagem individuais daqueles pilares que forneem resistênia lateral ao pavimento, e () que as argas de flambagem individuais dos pilares são iguais àquelas determinadas usando-se os ábaos de pontos alinhados. Disso resulta a equação do fator K de flambagem de andar assim estabeleido: K ni EI L i P i i P P ek (3.39) onde P ek é a arga de flambagem elástia dos pilares que ontribuem para a estabilidade lateral da estrutura, EI KL soma das argas atuantes no andar., baseado no valor de K obtido nos ábaos e P é a Segundo CHEN e LUI (1991), a vantagem do método de LeMESSURIER é que este fornee um valor mais preiso de K quando o efeito P-Δ é signifiativo. Além disso, o método é apliável a pórtios que possuam pilares rotulados em ambas as extremidades e que ontribuem somente para a rigidez axial do pórtio, mas não para sua rigidez lateral ( leaning olumns ). 67

82 Verifia-se, ontudo, que a partir do instante que o método ainda requer a utilização do ábao de pontos alinhados para o seu desenvolvimento, ainda sustenta em si suposições que freqüentemente são violadas. 3.6 Comportamento Inelástio do Pilar Admita-se que um pilar omporte-se elastiamente quando submetido a uma força de ompressão P. Nessa ondição, o olapso se verifia quando P onverge para a arga rítia de Euler N e. Existem asos, ontudo, em que o pilar não está ondiionado ao omportamento puramente elástio. A resposta elástia do elemento estrutural normalmente se verifia para níveis de arregamento relativamente baixos, quando os desloamentos laterais do pilar são igualmente menores. Quando os desloamentos laterais ganham maior magnitude, em um dado instante, na seção em que o maior desloamento é verifiado, pode se iniiar o esoamento das fibras extremas. Rigorosamente falando, o desenvolvimento da plastifiação do perfil se dá em uma zona, ou região ao longo do omprimento da peça. A partir do instante em que o pilar iniia o proesso de esoamento sua rigidez diminui. Assim, se for possível fazer um ajuste na rigidez do pilar apaz de aptar este efeito, isso pode onduzir a resultados mais realistas quanto ao omportamento do mesmo. Conforme LeMESSURIER (1997), é omum que pilares que se omportam inelastiamente sejam restringidos por vigas que ainda se enontram em regime elástio. Isso resulta em um ganho de apaidade de travamento dessas vigas em relação a esses pilares. Sendo maior a rigidez relativa do nó que oneta viga e pilar, há uma redução do omprimento efetivo desse pilar. Contudo, se por esse aspeto haveria um ganho de resistênia do pilar om a onseqüente diminuição de seu omprimento efetivo de flambagem, é importante 68

83 observar que há, simultaneamente, a redução da apaidade do pilar em função da diminuição de sua rigidez. (EI) inelástio < (EI) elástio Para levar-se em onsideração a influênia do omportamento inelástio no omprimento efetivo do pilar, o ANSI/AISC 36-5 apresenta o fator de redução de rigidez inelástio a. Quando a flambagem inelástia é onsiderada, assume-se, simplifiadamente, que o esoamento se dá ao longo de todo o omprimento do pilar. Assim, o termo τ a passa a multipliar a arga rítia de flambagem: N aei e (3.4) (KL) O termo τ a representa a razão entre o módulo tangente E t e o módulo de elastiidade E. E T a E (3.41) O ANSI/AISC 36-5 apresenta uma formulação para o a obtenção de τ a onforme a Eq. (3.4): P 1, se n,39 Py a (3.4) Pn,74 ln Pn P se n,39 Py Py Py Onde P n é a resistênia nominal do perfil e P y é a resistênia ao esoamento do perfil. A determinação de τ a é, em geral, um proesso iterativo, uma vez que para a determinação de τ a é neessário ter-se o valor de P n. Por outro lado, τ a está presente na formulação para obtenção de P n. 69

84 Observa-se que as formulações previstas para τ a são oerentes om as duas equações que definem a urva de resistênia de barras omprimidas, tanto para a norma ameriana ANSI/AISC 36-5 quanto para a norma brasileira ABNT NBR 88: 8. De fato, não há um fator de redução da rigidez dentro do esopo da norma brasileira. Contudo, omo as equações omponentes da urva de resistênia presentes nesta forma são similares às da norma ameriana, é possível adaptar e utilizar a norma brasileira para averiguação da efiiênia do τ a em aptar o omportamento inelástio do pilar. Assim, empregando-se as formulações presentes na seção da ABNT NBR 88: 8, a formulação da Eq. (3.4) poderia ser expressa onforme a Eq. (3.43) sem prejuízo dos resultados, onde, na norma brasileira, a resistênia nominal à ompressão passa a ser definida omo N k. Será mantido o termo τ a onforme adotado pelo ANSI/AISC N 1, se k,39 Ag fy a (3.43) Nk,74 ln Nk N se k,39 A fy Ag fy Ag fy g Verifia-se que o proedimento iterativo é demasiadamente trabalhoso para fins de prátia de projeto. Em 1973, DISQUE apresentou um método não-iterativo que frequentemente onduz a resultados onservadores para a obtenção de omprimentos efetivos inelástios. Para a determinação do omprimento efetivo inelástio, frequentemente opta-se por alular o τ a de maneira aproximada, alulando-se o termo ˆ a, definido omo fator de redução de rigidez inelástio aproximado, que se obtém substituindo-se onvenientemente na expressão Eq. (3.43) a arga nominal resistente pela arga última soliitante. Dessa forma, fia: 7

85 N, Sd 1, se,35 Ag f y ˆ a (3.44) N, Sd 1,1 N, Sd 3, ln N, Sd se,35 Ag f y Ag f y Ag f y É importante reiterar que não existem essas expressões na ANBT NBR 88: 8, as quais foram geradas a partir da adaptação das equações da norma brasileira à formulação do ANSI/AISC O omportamento inelástio pode ser inorporado a qualquer método de obtenção de omprimento efetivo, inlusive em situações em que se leva em onsideração a flambagem de andar. Para o proedimento de obtenção do omprimento efetivo via ábao de pontos alinhados, é neessário definir os fatores G A e G B que são as rigidezes relativas entre pilares e vigas no topo e na base do pilar em análise, em regime elástio. Ao multipliarmos a rigidez EI do pilar por ˆ a, introduzimos de maneira aproximada a inelastiidade desse pilar nos álulos. Generiamente, tem-se: G ˆ a EI L EI L p v v p (3.45) Em muitos asos prátios a onsideração dos efeitos da inelastiidade tem se mostrado relevante para a obtenção de resultados mais realistas e onsistentes, notadamente para a ondição de peças submetidas a elevadas tensões de ompressão. 71

86 4 FORÇAS NOCIONAIS 4.1 Considerações Iniiais O proedimento de avaliação da estabilidade apliando-se à estrutura uma força lateral fitíia, hamada de força noional, assoiada a uma análise de ª ordem passou a ser adotado pela ANBT NBR88 em sua versão de 8. O objetivo deste apítulo é estabeleer as bases neessárias ao entendimento do oneito da força noional em análise de ª ordem. Busa-se também averiguar a apaidade do proedimento de refletir de forma realista o omportamento de uma estrutura. Finalmente, será avaliada a efiiênia do método para fins de dimensionamento estrutural. Para o desenvolvimento deste apítulo os trabalhos de KANCHANALAI (1977), CHEN et al. (1996) e do ASCE (1997) serão revisitados, sendo apresentados os resultados e onlusões obtidas om suas pesquisas. Apresentou-se no Capítulo 3 deste trabalho aspetos gerais relaionados ao método do fator de omprimento efetivo para análise e dimensionamento de pórtios. Conforme onstatado, em várias situações prátias as hipóteses básias onsideradas quando da formulação do método dos ábaos de pontos alinhados são violadas, levando, na maioria dos asos, a resultados de dimensionamento onservadores. Tendo em vista as reentes tendênias de eliminação do omprimento efetivo dos pilares em diversas normas ténias omo a anadense CAN/CSA-S16, 1-M89, a australiana AS41:199, o ANSI/AISC 36-5 e mesmo a ABNT NBR 88, 7

87 pesquisas têm sido realizadas no sentido de investigar a preisão dos resultados obtidos no dimensionamento através da utilização das equações de interação viga-pilar, om e sem a utilização do oneito de fator de omprimento efetivo. Os estudos de LIEW et al. (1993-a,b) onluíram que o proedimento do fator do omprimento efetivo para análise e projeto de pórtios, quando os pilares estão na fase elástia, representa uma ferramenta onsideravelmente efiiente. Verifiou-se também que para estruturas isostátias em que a resistênia limite do pórtio é governada pela falha da pilar mais rítio, a análise em regime elástio assoiada ao dimensionamento baseado no oneito de omprimento efetivo gera resultados satisfatórios. No entanto, para estruturas hiperestátias em que se verifia uma redistribuição de esforços entre elementos onstrutivos após erto nível de ações ser atingido, onstatouse que a análise elástia não representa o real omportamento da estrutura. Desta forma, problemas de preisão de resultados foram verifiados quando o método do omprimento efetivo é apliado a pórtios que não se enontram em regime elástio. A busa de um proedimento que forneça resultados mais preisos em que se verifique a ontinuidade do método do omprimento efetivo sem a perda de sua simpliidade operaional tem se mostrado bastante ompliada e trabalhosa. Uma análise de zona plástia que inlua espalhamento da plastiidade, tensões residuais, imperfeições geométrias iniiais, além de outros efeitos omportamentais relevantes, ertamente eliminaria a neessidade da verifiação da apaidade de ada elemento individualmente. Contudo, apesar da efiiênia do método, geralmente lassifiado de análise avançada inelástia, o nível de esforço e omplexidade assoiados o torna pratiamente inviável para fins de projeto, mesmo om reursos omputaionais avançados. 73

88 Neste apítulo será apresentada a metodologia originalmente estabeleida para determinação do fator de força noional lateral e a preisão desse método será verifiada através da omparação dos resultados om outros proedimentos de álulo. É a partir do fator que se obtém a força noional lateral. 4. Considerações sobre as Imperfeições Iniiais para Projetos de Pórtios Tolerânias de Montagem Em função dos oneitos que serão abordados, torna-se adequado a apresentação de valores de imperfeição de montagem, devendo ser mensurada através da razão /h, onde é o desloamento relativo do pavimento de altura h. Para as normas ANSI/AISC 36-5 e ABNT NBR 88 tem-se: AISC LRFD (5),; h ABNT NBR88 (8),. h 4... Formulação da EN : 5 Uma modelagem explíita de imperfeições iniiais devido à falta de prumaidade é apresentada na EN : 5, onforme Fig

89 B O = 1 kks A FIGURA 4.1-Modelagem explíita de falta de prumaidade-.en : 5 Definindo-se: 1 k k s (4.1) 1 1 k 1, (4.) n 1 1 k S 1, (4.3) 5 n S onde n é o número de pilares por plano e ns é o número de andares. Neste aso, determina-se que esta imperfeição lateral iniial seja apliada através de uma modelagem explíita em todas as direções horizontais, sendo neessário ser onsiderada apenas uma direção por vez. Pilares que suportam argas vertiais inferiores a 5% do valor médio da força vertial atuante nos pilares no plano onsiderado não devem ser inluídos em n quando do álulo da imperfeição lateral. Além disso, pilares que não se estendem através de todos os andares onsiderados em n s não devem ser inluídos em n. Os níveis de andar e a obertura que não onetam todos os pilares inluídos em n não são inluídos na 75

90 determinação de n s. Estabelee-se, também, que possíveis efeitos da torção na estrutura, ujos desloamentos laterais são antissimétrios, em uma ou nas duas faes opostas, devem ser onsiderados. Observa-se que tomando os fatores k e k s iguais a 1, na Eq. (4.1), tem-se 1,5, sendo este valor superior à tolerânia de montagem. Por fim, nas presrições da EN : 5, se o pilar está arregado axialmente por uma força inferior a retilineidade iniial no mesmo.,5 E I L, dispensa-se uma modelagem da falta de É possível notar que o proesso de modelagem explíita de desaprumos pode representar um proedimento relativamente trabalhoso para fins de projeto. 4.3 O Coneito de Força Noional A força noional orresponde a uma arga fitíia equivalente definida omo uma fração do somatório das argas vertiais de álulo atuando no pavimento, apliada horizontalmente no topo deste pavimento. No método, define-se o fator de força noional a ser multipliado pelo somatório destas argas vertiais de álulo, gerando a força noional. Este proedimento surge em substituição àquele de modelagem explíita das imperfeições iniiais dos pilares do andar, anteriormente apresentado, e que se onfigurou omo de difíil apliabilidade na prátia de projeto. Como será onstatado, o método demanda que a análise da estrutura seja desenvolvida em teoria de ª ordem. A Fig. 4.3 apresenta esquematiamente a apliação da força noional à estrutura. 76

91 q (q.lb) Lp Lb FIGURA Modelo esquemátio de apliação da força noional Ao se apliar as forças noionais à estrutura, uma parte da apaidade resistente do pórtio fia mobilizada pelo inremento de momento que surge devido a esta força fitíia. Este momento adiional é somado aos momentos que porventura já soliitem a estrutura neste plano, onforme india a Fig q H (q.lb) Análise em teoria de a ordem Lp M(q)+M(H)+M (q.lb) Lb FIGURA 4.4-Inremento de momento devido à força noional Assim, ainda que originalmente o sistema seja isento de momentos externos devidos a arregamentos reais, na análise em ª ordem om força noional os pilares sempre estarão submetidos a uma soliitação ombinada de flexo-ompressão. Desta forma, a força noional lateral busa, de maneira efiiente, onsiderar imperfeições geométrias e distribuição de plastiidade sem a neessidade de alteração físia do modelo 77

92 geométrio da estrutura. É relevante observar que a força noional orresponde a uma parela das argas vertiais de álulo que atuam exlusivamente no andar em análise. O objetivo é determinar o valor de arga lateral e ser apliada à estrutura de forma a obter resultados satisfatórios para fins de dimensionamento, utilizando-se uma metodologia para a análise de ª ordem O Método da Amplifiação dos Esforços Soliitantes (MAES) Conforme estabeleido, o método de avaliação da estabilidade e resistênia de uma estrutura via apliação de uma força lateral noional demanda a realização de uma análise de ª ordem. Dentre os vários métodos de análise já reonheidos, a ABNT NBR 88: 8 apresenta em seu ANEXO D o hamado Metodo da Amplifiação dos Esforços Soliitantes (MAES), sendo este uma análise elástia aproximada de ª ordem, levando-se em onta os efeitos global P- e loal P-. Na apliação do método, a estrutura sob análise na ombinação de ações em estudo é desmembrada em duas outras estruturas. Uma das estruturas estará submetida ao arregamento total, estando seus nós impedidos de se desloar lateralmente através do artifíio de se onsiderar nesses nós a presença de ontenções horizontais fitíias em ada pavimento. Essa estrutura é definida omo nt ( no translation ). A outra estrutura é onforme a original, estando submetida somente ao efeito das reações das ontenções fitíias, porém apliadas no sentido ontrário, nos mesmos nós onde anteriormente (na estrutura nt) essas ontenções foram dispostas. Essa estrutura é definida om lt ( lateral translation ). A Fig. 4.5 apresenta esquematiamente as estruturas definidas: 78

93 RSd,3 RSd,3 = RSd, + RSd, RSd,1 RSd,1 a)estrutura original b)estrutura nt )Estrutura lt FIGURA Modelo para análise através do MAES Para ada pavimento integrante da estrutura, pode-se estabeleer que o momento fletor e a força axial que soliitam um dado elemento estrutural são, respetivamente: M Sd B1M nt B M (4.8) lt NSd Nnt B N (4.9) lt sendo M sd e N sd valores de álulo. Os valores de momento fletor e força axial M nt e N nt são obtidos via análise de primeira ordem nas estruturas nt, ao passo que os valores de momento fletor e força axial M lt e N lt são apurados em teoria de 1ª ordem na estrutura lt. Dentro desse ontexto, estabelee-se o oefiiente B 1 onforme abaixo, se o esforço for de ompressão: B Cm N 1 N 1 Sd1 e 1, (4.1) N sd1 é a força de ompressão última no pilar em onsideração, em análise de 1ª ordem N N N Sd1 nt lt ; N e é força rítia de Euler no plano de atuação do momento fletor, alulada om o omprimento real do pilar EI L ; N e 79

94 C m é o oefiiente de equivalênia de momentos, que pode ser obtido onforme a Eq. (4.11) quando não houver forças transversais entre as extremidades da barra: C m M M 1,6,4 (4.11) Sendo M 1 /M a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores de álulo que soliitam a estrutura definida omo nt no plano de flexão em estudo. Estes momentos são tomados nas extremidades apoiadas do pilar. Quando esses momentos provoarem urvatura simples essa razão será negativa e quando provarem urvatura reversa será positiva (M 1 = M nt1 e M = M nt ). Se, por outro lado, houver forças transversais entre as extremidades do pilar, o valor de C m deverá ser tomado igual a 1,. Se houver tração no pilar, deve-se onsiderar B 1 = 1,. Define-se B onforme a Eq. (4.1): B 1 1 R S 1 h h N H Sd Sd (4.1) sendo NSd a arga gravitaional última total que atua no pavimento em estudo; Δ h é o desloamento horizontal relativo entre os níveis superior e inferior, também onheido omo desloamento interpavimento, relativo ao pavimento que ontém o elemento sob análise. Δ h é o resultado de desloamento obtido na análise de primeira ordem, que tanto pode ter sido realizada na estrutura original quanto na estrutura lt. 8

95 H Sd orresponde à força ortante que age no andar e que é devida às forças horizontais de álulo atuantes. Essa força é utilizada para determinar o valor de Δ h na estrutura lt (ou na estrutura original). R S orresponde a um oefiiente de ajuste igual a,85 para estruturas onde as subestruturas de ontraventamento são pórtios rígidos. Para as demais estruturas onsidera-se R s igual a 1,. Para a força ortante de álulo, as influênias dos efeitos da não-linearidade geométria são ínfimas. Dessa forma, seu valor pode ser tomado igual ao obtido na análise elástia de 1ª ordem na estrutura original ou, alternativamente, onforme abaixo: V Sd V V (4.13) nt lt A formulação do MAES gera respostas para efeitos de segunda ordem através de análises puramente lineares. Aera deste método, verifia-se: 1) O oefiiente B 1 busa simular o efeito loal de segunda ordem, também onheido omo efeito P-δ. Esse efeito irá inidir sobre o momento fletor atuante no pilar, amplifiando-o em relação àquele obtido em primeira ordem, se este pilar estiver omprimido. A relevânia desse efeito no sentido da amplifiação do momento dependerá basiamente do valor do desloamento δ, que, por sua vez, será diretamente influeniado pelo diagrama de momento fletor, pela força axial atuante e, evidentemente, pela rigidez da barra. ) O oefiiente B busa aptar o efeito global P-Δ em todos os andares. Esse efeito tem influênia tanto nos valores de momento fletor quanto de força de ompressão. Cada andar possui um valor de B espeífio. A magnitude desse efeito está assoiada aos níveis de desloamentos laterais da estrutura e aos níveis de argas vertiais a que os pavimentos estão submetidos. 81

96 Se a estrutura tiver ontenções que impeçam seu desloamento lateral, torna-se sufiiente a realização de uma análise de 1ª ordem da estrutural original, apliando-se B 1 aos momentos fletores presentes nos pilares, onsiderando-se assim o efeito loal P Exemplo Ilustrativo O oneito básio do proedimento da força noional é ilustrado ao se estudar o pilar em balanço da Fig O objetivo deste estudo é obter um valor prátio para a força noional horizontal a ser apliada no topo do pilar em balanço, ao se alibrar os resultados obtidos da análise plástia em teoria de ª ordem om os resultados obtidos da equação de interação da ABNT NBR88: 8. Este exemplo é adaptado de CHEN et al. (1996), utilizando-se o perfil Wx46,1, om A=58,6 m, I x =4.543 m 4, W x =447,6 m 3, r x =8,81 m, Z x =495,3 m 3, I y =1.535 m 4, W y =151, m 3, r y =5,1 m e Z y =9,5 m 3. L K=, (a) (b) FIGURA 4.6-Pilar em balanço para alibração do fator de força noional. Como premissa básia para o desenvolvimento dos álulos, estabelee-se omo satisfatórios os resultados de dimensionamento pelo método do omprimento efetivo apliado às equações de interação. Se estabeleermos que os resultados de 8

97 dimensionamento via método da força noional tem que ser exatamente os mesmos daqueles obtidos pelo método do omprimento efetivo, igualando-se estes resultados é possível estabeleer-se um valor para o fator, que multipliado pelo arregamento vertial total de álulo gera a força noional. Conforme a ABNT NBR 88:8 em sua seção 5.3., a força normal resistente araterístia, N, Rd, para perfil ompato, assoiada ao estado limite de instabilidade por flexão deve ser determinada pela expressão: N, Rd Q Ag f y (4.14) a1 Com o fator de redução assoiado à resistênia à ompressão,, definido por:,658 se 1, 5 (4.15) sendo este o treho onde a flambagem oorre inelastiamente. Define-se também o índie de esbeltez reduzido,,onforme a Eq. (4.16): QAg fy (4.16) N e que pode ser expresso também da seguinte forma: KL fy (4.17) r E A parela A g fy orresponde à resistênia N y de esoamento da seção transversal e o termo Q é o fator de redução total assoiado à flambagem loal que, neste aso, é igual a 1,. 83

98 Para a apuração da resistênia do pilar em balanço om o emprego das urvas de interação através do método do omprimento efetivo onsidera-se K=,: fy (4.18) r E L Como os álulos de resistênia envolvem soliitações ombinadas, onforme estabeleido pela ABNT NBR88:8 em sua seção , para a atuação simultânea da força axial e de momentos fletores deve ser obedeida a limitação forneida pelas seguintes expressões de interação, onsiderando-se as ações de álulo: N N Sd Rd 8 M 9 M x, Sd x, Rd M M y, Sd y, Rd 1, para N N Sd Rd, (4.19) N M M Sd x, Sd y, Sd N Rd M x, Rd M y, Rd 1, para N N Sd Rd, (4.) Será admitida neste exemplo a onsideração de que o pilar irá falhar somente por flambagem inelástia para a gama de esbeltezes que serão analisadas e, portanto, N sd será determinado empregando-se onforme a Eq. (4.15). Também se admite neste N exemplo a onsideração de que Sd,, o que implia na utilização da N Eq. (4.19). Rd Uma força lateral noional N Sd é apliada no topo do pilar, onforme apresentado na Fig. 4.6-b, sendo o valor de orrespondente à razão entre a força lateral noional e a arga vertial total no pilar. No presente estudo, o máximo momento fletor na base do pilar, onsiderando-se os efeitos de ª ordem, será determinado utilizando-se o oefiiente B, definido no anexo D da ANBT NBR 88:8. Dessa forma, o máximo momento fletor de ª ordem fia: 84

99 M máx = B M (4.1) O momento de 1ª ordem gerado pela força noional na base da pilar vale M = N Sd L. Conforme já apresentado, o oefiiente B é dado por: B 1 1 R S 1 h h N H Sd Sd (4.) onde: N sd é a arga gravitaional última total que atua no andar. Para o exemplo, esse valor orresponde a N Sd ; Δh é igual ao valor do desloamento do topo do pilar em teoria de primeira ordem; ΣH sd representa a força noional N Sd ; R S é, neste aso, igual,85. O desloamento lateral da extremidade livre do pilar em balanço, de omprimento L, sob ação da força lateral N Sd vale: 3 N Sd L h (4.3) 3EI Dessa forma, levando na Eq. (4.), fia: B N SdL 1 N Sd N SdL (4.4) 1 1 3EI L N 3EI Sd O máximo momento de ª ordem vale: 85

100 M max 1 N SdL 1 3EI N Sd L (4.5) A resistênia limite do sistema é atingida quando as ações de ª ordem atingem a resistênia plástia da seção transversal da base engastada. Apliando-se a Eq. (4.19), a ação simultânea de ompressão e momento de ª ordem irá gerar uma rótula plástia na base do pilar quando a seguinte ondição for estabeleida: N P Sd y 8 9 N Sd L 1 M p 1 N SdL 3EI 1, para N N Sd Rd, (4.6) onde P y = A.f y e M p = Z f y. Arranjando-se a Eq. (4.6) é possível obter o fator, onforme a equação: 9 N Z f Sd M P N SdL 9 N Sd x y N L Sd (4.7) 8 Py NSd 3EI 8 Ag f y N Sd 3EI Os estudos originalmente desenvolvidos indiaram que o resultado de obtido omparativamente a outros resultados assoiados a diferentes perfis tiveram uma dispersão abaixo de 5%, para a flexão em torno do eixo de maior inéria. Para o eixo de menor inéria a dispersão nos resultados foi relativamente elevada. A análise omparativa entre valores obtidos para onfrontando-se os resultados om os de outros perfis indiou uma variação de até 5% na previsão de. O perfil W x 46,1 foi usado para o álulo do parâmetro, que é obtido ao se formar uma rótula plástia na base do pilar para uma arga atuante igual a apaidade axial 86

101 nominal do pilar (N Rk ), dada pelas Eq. (4.14) e Eq. (4.15), quando se adota Q = 1, e a1 =1,. O pilar em balanço é fletido segundo o eixo de maior inéria. Os resultados são mostrados na Tab. 4.1 para L x /r x variando de 1 a 6. TABELA 4.1-Resultados de alibração de para um pilar em balanço Nas olunas e 3 da Tab. 4.1 utilizou-se o fator K=, para o álulo do índie esbeltez e do parâmetro de esbeltez reduzido, respetivamente. A oluna 5 mostra resistênia nominal do pilar, na forma normalizada, onforme a ABNT NBR 88/8, utilizando-se também o fator K=,, ujos resultados foram onforme o esperado. O fator B na oluna 6 representa o fator de amplifiação do momento da norma brasileira alulado om base na Eq. (4.4). Esses resultados indiam que os efeitos de ª ordem tornam-se maiores quando a altura do pilar em balanço aumenta de L x /r x = 1 a 6. A oluna 7 representa o resultado da Eq. (4.7), ou seja, o valor de neessário para obter a resistênia onforme a ABNT NBR 88, onde se observou que o parâmetro não apresenta um valor onstante. Para failitar o proedimento de álulo uma expressão simplifiada para demonstrou ser neessária. Assim, onsiderou-se uma imperfeição geométria iniial de desaprumo igual à L/, onde L é a altura do pilar, onsistente om a EN : 5. Nesse aso, o pilar está submetido a uma força axial de ompressão ordem na base de N L Sd 5N, indeformado, uma força lateral de Sd N Sd que gera um momento de ª L. Apliando-se no topo do pilar,,5 N Sd L, tem-se um momento na base de 87