Prova pública para passagem à categoria de equiparado a professor adjunto DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS TRANSVERSAIS EM ALMAS DE VIGAS-CAIXÃO

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Proa públia para passagem à ategoria de equiparado a professor adjunto DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS TRANSVERSAIS EM ALMAS DE VIGAS-CAIXÃO Unidade urriular: Pontes e iadutos Seção 6 Dimensionamento de estruturas LUCIANO ALBERTO DO CARMO JACINTO N.º meanográfio: 1584 Abril de 009

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3 Índie 1. Introdução Formulação geral da resistênia ao orte segundo o EC Determinação do fluxo de orte Vigas de altura ariáel Vigas sujeitas a esforço transerso mais torção Interação entre esforço transerso e flexão transersal Exemplo Conlusões i

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5 DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS TRANSVERSAIS EM ALMAS DE VIGAS-CAIXÃO Resumo Nesta omuniação apresenta-se uma metodologia para a determinação de armaduras transersais em almas de igas-aixão tendo em onta os diersos fatores interenientes, omo seja a influênia da ariação da altura, a presença de torção e a interação om a flexão transersal. Na parte final mostra-se a apliação da metodologia desenolida atraés de um exemplo. 1. Introdução Os tipos de seção mais usuais em tabuleiros de pontes são as seções Π (lê-se seção pi) seção onstituída por um bano superior e duas almas longitudinais, e as seções em aixão unielular, também onstituídas por duas almas. As seções Π são eonómias e muito fáeis de onstruir, mas apresentam uma fraa resistênia a momentos negatios, o que limita a sua apliação a ãos relatiamente moderados, inferiores a 50 m omo ordem de grandea. Quando os momentos negatios são eleados, seja porque os ãos são signifiatios, seja porque o proesso onstrutio a isso obriga (omo é o aso da onstrução por aanços em onsola), é oneniente oneber um bano inferior de ompressão, transformando a seção Π numa seção em aixão. Além da boa resistênia a momentos negatios, a seção em aixão possui uma exelente resistênia à torção, o que a torna partiularmente adequada em tabuleiros om uratura signifiatia em planta. As almas das igas-aixão têm uma função dupla: (1) na direção longitudinal resistem aos esforços de orte prooados pelo esforço transerso e torção e () na direção transersal resistem aos momentos fletores assoiados à deformação transersal da seção. Assim, omo se esquematia na Figura 1, a armadura a dispor nas almas (estribos) é soliitada quer pelo orte quer pela flexão transersal. Nesta omuniação explia-se omo se pode alular a armadura transersal tendo em onta o efeito onjunto dos esforços de flexão e orte. 1

6 m Figura 1 Os estribos nas almas são soliitados pelo orte () e pela flexão (m). Relatiamente ao esforço de orte apresenta-se uma formulação inteiramente onsistente om a formulação do Euroódigo (EN 199, 004). Porém, a formulação será apresentada em termos de fluxo de orte [KN/m] que, na opinião do autor, é mais intuitia quando se junta a torção e quando se onsidera a interação om a flexão transersal. Começa-se então por resumir as disposições do EC (Euroódigo ) relatias ao esforço transerso em igas.. Formulação geral da resistênia ao orte segundo o EC De aordo om o EC e onsiderando o aso mais omum de estribos ertiais, a armadura neessária numa seção om esforço transerso atuante de alulo igual a V é dada por: Asw V, (.1) s f syd onde representa o braço das forças internas, f syd o alor de álulo da tensão de edênia do aço e θ o ângulo que as bielas faem a horiontal (Figura ). V d θ Figura Modelo de treliça para a resistênia ao esforço transerso. Relatiamente ao braço, é usual onsiderar-se 0.9d. No aso espeifio de tabuleiros de ponte om seção em aixão é mais frequente, porém, tomar-se para a distânia entre as linhas médias dos banos superior e inferior. Segundo o EC, a inlinação das bielas θ dee estar ompreendida entre e 45º. Em estruturas de betão pré-esforçado é usual adoptar-se θ 30º. Considerando que o fator V / representa o fluxo de orte em estado limite último, a Eq. (.1) pode ser esrita om a forma seguinte: Asw, (.) s f syd

7 em que: V No aso espeífio de seções de duas almas, omo é o aso das seções em aixão (unielular), o fluxo de orte em ada alma é igual a metade do fluxo total, isto é, se V representar o esforço transerso atuante na seção, o fluxo de orte em ada alma é dada por:. (.3) V. (.4) Uma e alulado o fluxo de orte, a Eq. (.) permite alular a armadura a dispor na alma. Dee notar-se, porém, que as equações aima são álidas apenas para igas om altura onstante. Quando a altura da iga é ariáel as forças nos banos são inlinadas, possuindo uma omponente ertial que afeta a resistênia ao esforço transerso, podendo ser faoráel ou desfaoráel. A forma mais simples de tratar este problema é orrigir o fluxo de orte atuante. Uma e orrigido o fluxo de orte, a Eq. (.) pode ontinuar a ser usada para o alulo da armadura neessária. Se existir torção assoiada ao esforço transerso, bastará adiionar o fluxo de orte prooado por este esforço. Estes aspetos serão tratados na próxima seção. Antes, porém, é oneniente reordar que a erifiação da segurança ao esforço transerso só está ompleta depois de se omproar que a ompressão nas bielas de betão não exede a sua apaidade resistente. Segundo o EC e adoptando a formulação em termos de fluxo de orte, esta erifiação onsiste em garantir que: αν fdbw, (.5) + tgθ onde α tradu a influênia faoráel de eentuais esforços normais de ompressão. Como α 1, está-se do lado da segurança se se tomar α 1. O fator ν é um fator de redução da resistênia do betão para ter em onta o fato de se tratar de betão om fissuras de esforço transerso e é dado por: f ν k 50, (.6) onde f k denota o alor araterístio da resistênia do betão referida a proetes ilíndrios e expressa em MPa. O fator b w representa a largura da alma. Chama-se a atenção para que a Eq. (.5) é álida para estribos ertiais. Vejamos então omo determinar o fluxo de orte tendo em onta a influênia da ariação de altura da seção e da presença de torção. 3

8 3. Determinação do fluxo de orte 3.1. Vigas de altura ariáel A figura seguinte mostra um troço elementar de iga-aixão om altura ariáel. dx V d M+dM V +dv F F+dF i>0 didx dx ALÇADO DA VIGA DIAGRAMA DE CORPO LIVRO DO BANZO SUPERIOR Figura 3 Viga-aixão om altura ariáel álulo do fluxo de orte nas almas. Estude-se o equilíbrio do bano superior. Ora, de aordo om a figura, tem-se: df F + dx F + df (3.1) dx Por outro lado, sabe-se que em estado limite último: F M M + dm ; e que F + df. Destas duas equações tira-se que: idx M i dx / + dm df. Substituindo esta Eq. na Eq. (3.1) e onsiderando que V dm / dx, obtém-se a Eq. pretendida: onde: 1 V M i + (3.) representa o fluxo de orte atuante em ada alma; V e M representam os alores de álulo de, respetiamente, esforço transerso e momento fletor na seção em estudo; representa o braço das forças internas; i representa a inlinação do bano inferior, onsiderado positia quando a altura diminui quando se aminha da esquerda para a direita e negatia no aso ontrário. As diferentes grandeas interenientes na Eq. (3.) deem ser introduidas om o erdadeiro sinal. Haerá seções onde a inlinação do bano é faoráel, isto é redu o 4

9 fluxo de orte, e seções onde é desfaoráel, isto é, aumenta o fluxo de orte. A Figura 4 mostra uma situação típia de iga de altura ariáel, pondo em eidênia as onas onde a inlinação do bano é faoráel e as onas onde é desfaoráel. i faoráel i desfaoráel i faoráel Figura 4 Zonas onde a inlinação do bano é faoráel ou desfaoráel do ponto de ista do esforço tranerso. É interessante notar que no exemplo típio mostrado na Figura 4 pode onluir-se que a inlinação do bano é globalmente faoráel, pois na ona em que é desfaoráel (ona do ão) os esforços transersos são pequenos. 3.. Vigas sujeitas a esforço transerso om torção Conforme é sabido, nas seções em aixão a torção é prinipalmente resistida por um fluxo de orte fehado om alor onstante ao longo do perímetro médio das paredes do aixão, sendo perfeitamente despreáel a ontribuição das onsolas. O fluxo de orte prooado pelo momento torsor é dado pela fórmula seguinte, onheida omo primeira fórmula de Bredt: T, (3.3) A onde, omo indiado na Figura 5, a área A 0 denota a área delimitada pelas linhas médias das paredes que ompõem o aixão. 0 A 0 M T V i Figura 5 Seção em aixão sujeita a flexão, esforço transerso e torção. Para determinar o fluxo de orte total, basta adiionar o fluxo prooado pelo esforço transerso (Eq. (3.)) om o fluxo prooado pela torção (Eq. (3.3)), ou seja: 1 V M T + i +. (3.4) A0 5

10 4. Interação entre esforço transerso e flexão transersal Nas seções anteriores iu-se omo alular a área dos estribos na hipótese de orte puro, isto é, orte sem flexão transersal. Apresenta-se de seguida um método de álulo dessas armaduras tendo em onta o efeito onjunto do orte e da flexão transersal baseado em Menn (1990). Calular as armaduras para ada esforço em separado e adiioná-las depois não é um proedimento orreto, pois não lea em onta o omportamento da alma em estado limite último. A Figura 6 representa o modelo de treliça de um troço de iga, admitindo estribos ertiais e bielas om inlinação genéria θ. A força de ompressão nas bielas é denotada por F b. Fb θ V Figura 6 Modelo de treliça de um troço genério de iga. Por raões de equilíbrio failmente se obsera que a omponente ertial de F b é igual a V. Por outro lado, omo mostrado na figura, o omprimento de influênia da biela é igual a. Portanto, diidindo a omponente ertial da força na biela por, obtémse V /( otg θ ). Mas V / é o fluxo de orte. Assim, onlui-se que a ompressão ertial na alma distribuída ao longo da direção longitudinal é igual a / (Ver Figura 7) Figura 7 Componente ertial da ompressão na alma deida ao orte. Ora, aontee que esta ompressão não mobilia a largura total da alma, isto que, por raões onstrutias (failidade de betonagem, espaço para alojar abos e anoragens de préesforço) a largura adoptada para as almas é, regra geral, superior à largura mínima requerida para o não esmagamento das bielas de betão. A parte exedentária pode ser aproeitada para a resistênia à flexão transersal, onforme ai ser expliado. Começa-se por determinar a largura mínima requerida para o não esmagamento das bielas de betão, denotada por b. De aordo om a Eq. (.5) e tomando α 1, tem-se: wreq, 6

11 b, ( + tgθ wreq ). (4.1) νf d Pode onsiderar-se que a omponente ertial da ompressão na alma mobilia apenas a largura b. Numa situação de orte puro, isto é, não haendo flexão transersal, esta wreq, força é entrada om o eixo da alma, podendo estabeleer-se o equilíbrio mostrado na Figura 8. fse bw,req fsi Figura 8 Equilíbrio de um troço de alma sem flexão transersal. As forças f se e f si designam, respetiamente, a força no ramo exterior e a força no ramo interior dos estribos. Portanto, não haendo flexão transersal, as forças nos ramos são idêntias e iguais a: f f. (4.) se si Se desloarmos agora o bloo omprimido para um dos lados, onsegue-se um momento fletor, mesmo sem alterar as forças nos estribos. Determine-se, então, o momento resistente, m, que se onsegue obter desloando o bloo omprimido o mais para a Rd,1 esquerda possíel, sem alterar as forças nos estribos (Figura 9). bw mrd,1 0 fse bw,req fsi Figura 9 Cálulo de m. Rd,1 Por equilíbrio obtém-se: m Rd,1 ( b b w w, req ). (4.3) Aumente-se agora este momento faendo ariar a força nos estribos até que a força no estribo exterior se anule. Esta situação limite, a que orresponde o momento m, está Rd, representada na Figura 10: 7

12 bw mrd, bw,req Noamente, por equilíbrio obtém-se: fsi Figura 10 Cálulo de m. Rd, m, ( b 0.5b Rd w w, req ). (4.4) Posto isto, pode esquematiar-se o proedimento para o álulo da força nos estribos em função do fluxo de orte na alma e do momento fletor transersal m : 1) Se m m, então: Rd,1 f f. (4.5) se si ) Se m < m m, então: Rd,1 Rd, m + ( 0.5b w, req ) (4.6) f ; f f. si se si b Se m m Rd, w >, signifia que se tem de reorrer a ompressão adiional no betão. Entretanto, a força no estribo exterior já se anulou (Figura 11). bw m νfd x bw,req fsi Figura 11 Cálulo de f quando si m > m Rd,. Por equilíbrio, failmente se onlui que: f si + νf x, (4.7) d onde x b' ± b' 4 a' ', e: a ' a' 0.50 νf ; b' ( ); ' ( 0.5 d νf b m b b d w w w, req ). 8

13 5. Exemplo Considere-se a seção representada na Figura 1 om as araterístias geométrias, esforços e materiais aí indiados. Os dados são reais. bw 1 1 M b0 T V i Geometria: b0 bw i 7.15 m 6.40 m 0.40 m 0.15 m m (Reobrimento dos estribos a eixo) Esforços: M V T m KNm KN 378 KNm 137 KNm (Seção 1) Materiais: Betão: Aço: C40/50 A500 Figura 1 Dados da seção do exemplo. (fd6.7 MPa) (fsyd435 MPa) Pretende-se determinar as áreas dos estribos, exterior e interior, na seção 1, assinalada na figura. Resolução: Começa-se por determinar o fluxo de orte na alma esquerda da seção: ( ) KN/m. Repare-se o benefíio de onsiderar a influênia da inlinação do bano: o fluxo de orte redu-se sensielmente para metade. Em seguida determina-se a largura mínima da alma requerida para o não esmagamento das bielas de betão: 40 ν ; b ( otg30º + tg30º ) wreq, Adoptando bielas a 30º, o momento resistente da alma sem alteração da força nos estribos é igual a: 1404 m,1 ( ) 63.6 KNm. Rd m, ( Rd ) KNm Portanto, m < m < m. Assim, usando as expressões apropriadas para esta situação Rd,1 Rd, tem-se: f si ( ) 1.73 Asi 639 KN/m; 639 / m /m s 9

14 1404 Ase f KN/m; 17 / m /m ; se 1.73 s Se não existisse flexão transersal, a armadura neessária seria: A sw s m /m, e portanto Conlusões 9.3 m em ada ramo. Analisou-se nesta omuniação, um proedimento para o álulo das armaduras transersais em almas de igas-aixão baseado no oneito de fluxo de orte e na interação om a flexão transersal. Para além das araterístias geométrias da seção, os dados neessários são os esforços longitudinais V, M e T e ainda o momento transersal m. Resume-se de seguida a sequênia da análise: 1) Começa-se por determinar o fluxo de orte na alma: 1 V a) Corte simples:. b) Quando a iga é de altura ariáel: ) Quando existe momento torsor: 1 V M i +. 1 V M T + i +. A0 ) Se não existir flexão transersal a armadura neessária é dada por: Asw s f syd 3) Se existir flexão transersal, determina-se a largura mínima da alma requerida para o não esmagamento das bielas de betão: b, ( + tgθ wreq ). νf d 4) Determinam-se os momentos: m Rd,1 ( b b w w, req ) m b b Rd, w w, req ( 0.5 ) 5) Finalmente, em função da posição relatia de m fae a m e m, Rd,1 Rd, determinam-se as forças nos estribos e as orrespondentes áreas de armadura, usando as fórmulas apropriadas apresentadas na omuniação. Refere-se que os banos superior e inferior do aixão também estão sujeitos a orte e a flexão transersal, podendo determinar-se as armaduras transersais por um proedimento exatamente igual. Em geral nos banos, partiularmente o bano superior, a flexão 10

15 ostuma ser dominante fae ao orte, enquanto que nas almas o orte ostuma ser dominante. Finalmente, omo última nota, refere-se que o peso do bano inferior (e eentuais sobreargas que nele atuem), está suspenso nas almas, pelo que é neessário adiionar à armadura das almas alulada pelo proedimento expliado, a armadura de suspensão. Bibliografia EN (004). Euroode : Design of onrete strutures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Comité Européen de Normaliation (CEN), Brussels. Menn, C. (1994). Prestressed Conrete Bridges. Birkhäuser Verlag, Basel. 11