C A P Í T U L O 1 FLAMBAGEM

Transcrição

1 C A Í T U O 1 FAMBAGEM 1. Introdução O que leva à falha de uma estrutura? Um engenheiro sempre deve onsiderar possíveis modos de falha ao projetar uma estrutura. Algumas delas são: O esoamento em tensões baixas; As deformações e deflexões; e A fadiga provoada por ilos de arregamentos repetidos. ara evitar os tipos de falha menionados aima, devem ser onsiderados ritérios de projeto baseados em resistênia (tensão) e rigidez (deflexão). Este apítulo, porém, aborda omo tema prinipal outro modo importante de falha: a flambagem. Um exemplo típio desse fenômeno pode ser observado ao se apliar uma arga axial a uma régua (Figura 1). Outro exemplo lássio envolve uma treliça om duas barras, sendo que uma está submetida à ompressão e outra a tração (Figura ). Figura 1 - Carga axial elemento esbelto Figura - Treliça de duas barras Nesses dois exemplos, pesos são adiionados até que seja atingida uma determinada arga: o rítio do elemento sob ompressão. Após esse limite, o elemento subitamente deflete lateralmente sob a arga ompressiva axial. Anteriormente, na análise de deformações axiais, onsiderava-se que, mesmo sob arregamento ompressivo, o elemento que sofria arregamento axial permaneia reto e as únias deformações possíveis eram a redução ou o alongamento do elemento na direção longitudinal. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

2 orém, estudos aprofundados observaram que a partir de um determinado valor em arregamentos axiais de ompressão, a régua ou a barra omprimida da treliça não permaneem mais retas, ou seja, defletem lateralmente de modo súbito, omo uma viga. Esta deflexão lateral oasionada pela ompressão axial é denominada flambagem. Falhas por flambagem são frequentemente súbitas e atastrófias, por isso, a sua prevenção é de grande importânia. 1. Estabilidade de Estruturas Todo e qualquer problema de Engenharia Civil envolve equilíbrio. Neste apítulo, é neessário definir os tipos de equilíbrio assoiados a diferentes formas de estabilidade. Este oneito pode ser demonstrado muito laramente onsiderando-se o equilíbrio de uma esfera sobre três superfíies diferentes. Figura - Tipos de equilíbrio A Figura apresenta três situações em que a esfera está em equilíbrio, ou seja, F x 0, F 0 e M 0. Na primeira parte da Figura, a esfera enontrase em equilíbrio estável, pois, seja qual for o desloamento provoado nela, quando solta, a esfera retornará sempre à posição de equilíbrio no fundo do vale. No último quadro da Figura, apesar da esfera estar na posição de equilíbrio, qualquer desloamento apliado a ela fará om que ela se afaste ada vez mais da posição de equilíbrio iniial, o que arateriza um equilíbrio instável. E, finalmente no meio da Figura, a esfera enontra-se sobre uma superfíie perfeitamente plana, na qual se obtém uma onfiguração de equilíbrio neutro. Se a esfera for ligeiramente desloada para qualquer um dos lados, ela não tem tendênia a se mover nem para a posição original, nem para um ponto além. Com isso, após esse evento, a esfera estará em equilíbrio, novamente, numa posição desloada da original. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

3 1..1 Apliação do Equilíbrio a Elementos Submetidos à Compressão Deseja-se dimensionar a oluna AB de omprimento que vai suportar a arga onforme apresentado na Figura 4 a seguir. O elemento AB é tido omo perfeitamente reto e rígido e onsidera-se que não há frição no pino em A e que a arga é apliada no eixo do elemento. Iniialmente, poderíamos onluir que a oluna estaria bem dimensionada se a área A da seção transversal fosse esolhida de modo que o valor da tensão ( = /A) em qualquer ponto da barra esteja abaixo da tensão issível do material utilizado e se a deformação ( = /AE) se mantiver dentro das espeifiações reomendadas. No entanto, o fenômeno de flambagem pode oorrer na barra. Ao apliar a força ; em vez de permaneer om o seu eixo retilíneo, a oluna se torna subitamente enurvada. Quando isso oorrer, sob um arregamento espeifiado no álulo, signifia que a oluna não foi dimensionada orretamente. Figura 4 Barra submetida à ompressão Na Figura 4 no ponto A, observa-se uma mola om onstante elástia ser provoado um desloamento na barra, a mola produz em A um momento de restauração M AR que tende a retornar o elemento à sua posição original. Este momento em A é proporional ao ângulo de deflexão do elemento AB em relação à vertial. k. Ao M AR k. Equação 1 Ao girar a barra de um ângulo muito pequeno, o momento provoado pela força é dado por: M A sen Equação Ou seja, para diferentes valores de e de tem-se situações de equilíbrio distintas. Combinando-se as duas equações anteriores, os sistemas têm as seguintes UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

4 4 ondições para os equilíbrios estável, neutro e instável: Estável MA M AR sen k. Neutro MA M AR sen k. Instável MA M AR sen k. Equação Em Engenharia Civil, lidamos, apenas, om pequenas deformações, ou seja, tende a zero. E quando o ângulo é pequeno, e a Equação tem os seguintes desdobramentos: sen Estável Neutro Instável r r r Equação 4 Onde: r k Equação 5 A arga que define a transição entre o equilíbrio estável e o equilíbrio instável é a hamada arga rítia. A perda de estabilidade do equilíbrio é hamada de r flambagem, de modo que também hamamos r de arga rítia de flambagem. ara ilustrar adequadamente a relação entre a arga apliada e a estabilidade do sistema estrutural, observemos o diagrama de equilíbrio apresentado na Figura 5 abaixo. Trata-se de um gráfio de arga versus o ângulo de deflexão. O ponto B, onde o diagrama de equilíbrio se divide, é hamado de ponto de bifuração. Exatamente no ponto B, onde, o equilíbrio do elemento é neutro. r Na onfiguração vertial, ou seja, 0, representada pela linha traejada, obtém-se uma situação de equilíbrio instável aima do ponto B; e uma situação estável abaixo dele. Configurações alternativas de equilíbrio estável oorrem ao longo das urvas BC e BC, om 0. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

5 5 Figura 5 Diagrama de equilíbrio 1. Fórmula de Euler para Colunas om Extremidades Artiuladas No exemplo da Figura 4, observou-se o omportamento de uma barra rígida assoiada a uma mola de torção quando submetida à ompressão. Em asos reais, as olunas possuem uma flexibilidade atribuída ao material e não respondem omo o exemplo itado aima. ara nos aproximarmos da realidade, analisemos através da Figura 6 uma oluna ideal om pinos em suas extremidades. Figura 6 - Coluna ideal UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

6 6 ara a simplifiação do modelo, algumas hipóteses são onsideradas: i. Iniialmente, a oluna é perfeitamente reta; ii. iii. iv. O material que a ompõe tem omportamento linear elástio; Os pinos das extremidades passam pelo entróide da seção transversal; A oluna tem liberdade para girar pelos pinos sem que haja frição, assim, as restrições desses apoios são equivalentes àquelas de uma viga biapoiados; v. A oluna é simétria em relação ao plano x e qualquer deflexão lateral da oluna oorrerá neste plano; e vi. A oluna reebe uma força axial ompressiva apliada através do pino superior Configuração Flambada Analisando os valores atribuídos a essa arga: r Equilíbrio estável: a oluna permaneerá reta e seu omprimento será reduzido. A tensão axial é uniforme e regida pela equação: A. r Equilíbrio neutro ara determinar a arga rítia r e a onfiguração da oluna flambada, devese determinar o valor da arga quando a oluna estiver ligeiramente fletida e em ondição de equilíbrio. 1.. Equilíbrio de Colunas Flambadas Analisando o diagrama de orpo livre da Figura 6, obtém-se: UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

7 7 V = 0 A x = M = 0 M A,z = 0 H = 0 A = 0 1 Como M A = 0, tem-se: M(x).v(x) Equação 6 Em vigas submetidas à flexão, o momento de urvatura é definido pela equação M(x) EI.v " ; onde v"(x) d v dx. Substituindo-se na equação aima o M(x) da Equação 6, tem-se: EI.v" (x) EI.v" (x).v(x) Equação 7.v(x) 0 Está é a equação diferenial que governa a deformada de uma oluna om extremidades em pino. Trata-se de uma equação diferenial ordinária, homogênea, linear e de segunda ordem. As ondições de ontorno para um elemento vinulado por pinos são: v(0) = 0 e v() = 0 Equação 8 A presença do termo v(x) na Equação 7 signifia que não se pode integrar duas vezes a equação para se obter a solução. De fato, apenas quando EI for onstante, existirá uma solução simples para esta equação. Sendo assim, a Equação 7 é uma equação diferenial ordinária om oefiientes onstantes. A Equação 7 pode ser reesrita dividindo-se todos os termos por EI: 1 M(x) é onsiderado positivo quando há ompressão nas fibras na direção positiva de. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

8 8 Adotando-se.v(x) v" (x) 0 EI / EI, tem-se: Equação 9 v"(x) v(x) 0 Equação 10 A solução geral desta equação diferenial ordinária, homogênea, linear e de segunda ordem é: v(x) C1 senx C os x Equação 11 Deseja-se enontrar um valor para e onheer as onstantes de integração C 1 e C, tal que as duas ondições de ontorno apresentadas na Equação 8 sejam satisfeitas. v( 0) 0 C sen 0 C os 0 1 C.0 C.1 1 C v() 0 C sen C os C 1 1 sen 0.os 0 0 C 1 sen 0 Obviamente que, se C 1 = C = 0, a deflexão v(x) será zero em todos os pontos e apenas obtém-se a onfiguração retilínea original. Como se deseja uma onfiguração de equilíbrio alternativa - Figura 6 (b) - devese enontrar um valor de que satisfaça a equação om C 1 0, ou seja, deve satisfazer a equação araterístia: sen n 0 n. n ; n 1,,,... Como / EI, tem-se: n n EI Equação 1 A função que representa a onfiguração da oluna deformada é hamada UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

9 9 Modo de Flambagem ou Modo de Forma. A onstante C determina a direção (araterizada pelo sinal) e a amplitude da deflexão da barra que é pequena e arbitrária. O valor de no qual a flambagem vai realmente oorrer é obviamente o menor valor dado pela Equação 1, ou seja, n = 1. r EI Equação 1 Essa é a arga de flambagem de Euler para olunas bi-rotuladas. E o modo de flambagem orrespondente é desrito em: v(x) x C.sen Equação 14 Figura 7 - Modos de flambagem A arga rítia para uma oluna ideal é onheida omo arga de flambagem de Euler, devido a eonhard Euler ( ), matemátio suíço que estabeleeu a primeira teoria para flambagem para olunas. O modo de flambagem também pode ser hamado de modo de flambagem fundamental ou, até mesmo, primeiro modo. Deve-se observar que a arga apliada para que oorra o modo 1 de flambagem da Figura 7 (b) é quatro vezes menor que a arga apliada para que oorra o modo, Figura 7 (). Ou seja, é mais natural que a oluna se deforme segundo o modo 1 de flambagem. O modo de deformação só oorrerá na presença de um suporte lateral em x /, um tipo de travamento para UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

10 10 impedir que a flambagem oorra do primeiro modo. A expressão da arga de Euler pode ser esrita em termos de tensão, resultando em uma equação da tensão rítia de flambagem: r r A E(Ar A ) r E r Equação 15 Sendo: r A tensão rítia (de flambagem elástia); E O módulo de elastiidade do material (ou módulo de Young); I r o raio de giração; e A o omprimento do elemento entre suportes. A razão /r, apresentada na equação aima, representa o índie de esbeltez de uma oluna. No gráfio abaixo, tensão rítia versus índie de esbeltez, o omportamento do aço estrutural e da liga de alumínio está araterizado através das seguintes urvas de flambagem: UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

11 11 Através do exposto aima, algumas araterístias de flambagem elástia de olunas ideais podem ser itadas: i. Um material om maior módulo de elastiidade E, provoa um aumento direto na apaidade de arga de flambagem elástia de um elemento. Essa propriedade, que representa a rigidez meânia do material, atua diretamente nas equações de tensão e arga rítia de flambagem; ii. iii. iv. A arga de flambagem é inversamente proporional ao quadrado do omprimento da peça, onforme verifiado na Figura 7; A equação de Euler vale apenas para olunas longas, ou seja, é válida para tensões rítias até o limite de proporionalidade a ompressão do material. Quando não se onhee, o limite de esoamento de pl ompressão pl é usualmente utilizado na substituição do primeiro. Os índies de esbeltez que maram o limite de validade da equação de Euler para o aço e para uma liga de alumínio estão evideniados no gráfio aima; Maiores momentos de inéria I forneem maiores argas de flambagem. ara atingir maiores valores, podem-se utilizar seções transversais maiores, vazadas e que onservem a área anteriormente empregada. Entretanto, se a parede da seção transversal for muito fina, a peça poderá sofrer flambagem loal, omo pode ser visto no ilindro urto da Figura 8. v. Se os momentos prinipais de inéria da seção transversal da oluna forem desiguais, omo no aso de perfis ɪ, a oluna flambará em relação à seção transversal de menor inéria. Essa situação é válida quando não há restrições Figura 8 - Flambagem loal à flambagem produzidas por ondições de ontorno que forem a oluna a flambar de outro modo; e vi. Quando o índie de esbeltez é muito grande, omo por exemplo, em /r 00, a tensão rítia atingida na flambagem é muito pequena. Nesses asos, o projeto deve ser modifiado porque a resistênia do material está subutilizada. A alteração nas ondições de ontorno pode ser uma das soluções para diminuir o de projeto. Figura 8 falha por flambagem de um ilindro de paredes finas omprimidas axialmente (Fonte: fotografia de W. H. Horton; de Computerized Bukling Analsis of Shells, por D. Bushnell, 1985). UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

12 1 Exemplo 1.1 Qual é a arga ompressiva máxima que pode ser apliada ao elemento da Figura 9 em liga de alumínio submetido à ompressão, om 4m de omprimento, se o elemento é arregado de uma maneira que permite rotação livre nas suas extremidades e se um fator de segurança de 1,5 ontra falhas deve ser apliado? Dados: Figura 9 - Seção transversal E = 70Ga 70Ma r 0 = 45mm arga de falha FS 1,5 arga issível = 4m r i = 40mm Solução: Momento de Inéria de seções irulares:.r I Considerando a rotação livre nas suas extremidades e o álulo da arga pela equação de Euler (a tensão atingida é menor que a tensão de esoamento): r EI r 547N 5,47kN r r A 547 Ma ,1 Como a tensão rítia é menor que a tensão de esoamento, onfirma-se a hipótese anterior e onlui-se que o elemento sofrerá flambagem elástia em /r 1. Cálulo da arga issível: r FS 5,5 1,5 4,8kN UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

13 1 Exemplo 1. Uma oluna de extremidades artiuladas tem seção transversal quadrada de m de omprimento. Esta oluna é onstituída de pinho om E = 1Ga e 1 Ma para ompressão na direção paralela às fibras. Usando um oefiiente de segurança de,5 no álulo da arga rítia de Euler para flambagem, determinar a dimensão da seção transversal, de modo que a oluna possa resistir om segurança a uma força de 100kN. Solução: r.fs 100.,5 50kN ela equação de Euler: EI r. I E r I 7, mm Sendo a seção quadrada: 4 a I a 4 1.I 1.7, ,4mm Adotando a = 100mm, verifiamos a tensão: A Ma A tensão na seção adotada é menor que a tensão issível para ompressão na direção paralela às fibras, o que omprova a esolha. 1.4 O Efeito das Condições de Extremidade na Flambagem de Colunas Em raras oasiões, ou nuna, uma arga de ompressão será transmitida a um elemento através de pinos sem frição. or exemplo, na Figura 1 abaixo podemos observar uma oluna aparafusada a uma base pesada na sua extremidade inferior e onetada a outros elementos na sua extremidade superior. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

14 14 Figura 10 - Condições de ontorno Entretanto, um entendimento do efeito de ondições idealizadas de apoio, omo ilustrado na figura aima, permite ao engenheiro estimar o efeito que as ondições reais nas extremidades (figura a), possam ter sobre a arga de flambagem de uma oluna real. A partir da obtenção da equação de arga de flambagem elástia da oluna om extremidade fixa por um pino (figura d), indiar-se-á omo o oneito do omprimento efetivo de flambagem pode ser usado para obter a arga de flambagem de olunas om diversas ondições de extremidades Carga de Flambagem para uma Coluna Ideal om Restrição Completa em uma Extremidade e Fixada por ino na outra Extremidade Figura 11 - Coluna engastada na base e rotulada no topo UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

15 15 Na Figura 11 (b), tem-se a onfiguração flambada da oluna em equilíbrio, próxima à onfiguração retilínea de equilíbrio, Figura 11 (a). Se observado esta onfiguração flambada pode-se notar que a urvatura em A orresponde a um momento M A no sentido mostrado na Figura 11 (). Através das equações da estátia, V 0 A x H 0 H B A M A 0 H B Através do diagrama de orpo livre apresentado na Figura 11 (d), obtém-se: M O 0 M(x).v(x) H B x 0 M(x) HB ( x).v(x) Equação 16 Substituindo-se a Equação 16 na equação diferenial momento urvatura apresentada anteriormente, tem-se, EI v" (x) M(x) EI v" (x) v(x) H H x Equação 17 B B Considerando-se apenas olunas uniformes e empregando-se a definição de, pode-se reesrever a equação anterior da seguinte forma, HB HBx v" (x) v(x) EI EI EI HB HBx v" (x) v(x) Equação 18 EI EI Em vez da equação diferenial homogenia que obtivemos para a oluna birotulados, neste aso, obtém-se uma equação diferenial ordinária linear, não homogenia e de segunda ordem om oefiientes onstantes. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

16 16 questão são: As ondições de ontorno para o aso em v(0) = 0 v (0) = 0 (tangente à urvatura vertial) v() = 0 Equação 19 A solução da Equação 18 om as ondições de ontorno impostas aima onsiste em uma solução omplementar e uma solução partiular. v(x) v(x) v(x) p zero A solução omplementar é obtida igualando-se o lado direito da Equação 18 a v" (x) v(x) 0 v(x) C1sen x C os x Equação 0 Como o lado direito da Equação 18 onsiste em um termo onstante e um termo que é linear em x, tenta-se a seguinte solução partiular: v(x) p C C4x Equação 1 Substituindo-se essa solução na Equação 18, observando-se que v (x) p = 0 e = / EI, obtém-se, C EI C HB HBx C4x EI EI HB C4x EI HBx EI Multipliando-se a equação aima por EI e utilizando a Equação 1, tem-se v(x) HB HBx p Equação UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

17 17 Finalmente, a solução geral ompleta é dada por: v(x) C sen x C HB osx HBx 1 Equação Desta forma, têm-se três ondições de ontorno (Equação 19) para obtenção das quatro onstantes:, H B, C 1 e C. HB HB 0 v( 0) 0 C sen 0 C os0 v' (0) 1 C HB Equação 4 HB 0 C os0 Csen C 1 HB Equação 5 HB HB v( ) 0 C sen C os 1 C1 sen C os 0 Equação 6 0 Combinando-se a Equação 4 om a Equação 6, tem-se, HB C1sen os 0 Substituindo HB C1 (Equação 5) na equação aima obtém-se, C 1 sen os 0 Equação 7 Esta equação substitui a ondição muito mais simples que foi obtida para a oluna bi-apoiados. Novamente, duas soluções, mas a solução C1 = 0 => HB = C = 0, de modo que se obtém a solução trivial da onfiguração retilínea do equilíbrio, v(x) = 0. orém, onfigurações de equilíbrio alternativas são possíveis se satisfaz a seguinte equação: sen os 0 n n n tg, n 1,,,... Equação 8 n n UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

18 18 Esta equação é hamada de equação araterístia. Existe um número infinito de soluções, mas omo o aso da oluna bi-apoiados, deseja-se obter o menor valor de que satisfaça a equação aima. Um modo de se resolver esta equação é plotar f( ) tg e g( ). O menor valor de onde as urvas se intereptam é: 1 4,494 Equação 9 Combinando este valor om a equação = / EI, tem-se: EI 4,494 EI 4,494 EI r 0,1906 Equação 0 Desta forma, onlui-se que ao substituir o pino pelo engaste na extremidade de uma oluna aumenta-se em 105% a arga de flambagem desta oluna, 0, % 104,6% Comparando-se as equações de r obtidas para dois asos abordados até o presente momento, Equação 1 e Equação 0, nota-se que a arga de flambagem elástia de qualquer oluna pode ser expressa omo uma onstante vezes o fator (EI / ). Sendo assim, todos os omentários em relação aos efeitos dos parâmetros E, I e na flambagem de olunas om extremidades fixas também são válidos para olunas om outras ondições de fixação das extremidades Comprimento Efetivo de Flambagem A arga de flambagem de Euler, Equação 1, foi desenvolvida para uma oluna bi-rotulados. osteriormente, om as modifiações nas ondições de ontorno, obtevese a arga de flambagem para uma oluna engastada e rotulada que difere da primeira apenas n valor da onstante multipliativa. Desta forma, a equação de Euler pode ser estendida pra dar a arga de flambagem elástias de olunas om ondições de ontorno arbitrárias sendo reesrita omo, EI r Equação 1 e UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

19 19 Onde e é o omprimento efetivo de flambagem. Igualando-se as duas equações de r obtidas para os dois asos estudados, tem-se, 0,1906 Equação e 0,70. e Este omprimento efetivo de oluna om uma extremidade engastada e outra rotulada é indiado na figura ao lado. Fisiamente, o omprimento efetivo de uma oluna é a distânia entre pontos de momento nulo, quando a oluna é fletida em seus modos fundamentais de flambagem elástia. A figura a seguir ilustra os omprimentos efetivos de olunas om diversos tipos de ondições de ontorno. Figura 1 - Comprimento efetivo de flambagem para várias situações de extremidade. Algumas normas de projeto de estruturas empregam um oefiiente adimensional K, hamado de fator de omprimento efetivo, onde e K. Equação Desta forma, a arga de flambagem elástia passa a ser dada por, r EI Equação 4 K. Onde os valores de K estão indiados na Figura 1. Assim sendo, a equação para a tensão elástia de flambagem pode ser reesrita omo, UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

20 0 E r Equação 5 K. r Onde (K. / r) é o índie de esbeltez multipliado pelo fator de omprimento efetivo. Exemplo 1. Uma viga rígida BC é sustentada por duas olunas idêntias uja rigidez à flexão é EI (para flexão no plano x). Considerando que as olunas são impedidas de girar em ambas as extremidades devido a esta onfiguração e que o movimento lateral é permitido, estimar a arga elástia de flambagem, r, onsiderando-se o omprimento efetivo das olunas. Solução: ara estimar o omprimento efetivo de flambagem das olunas do pórtio aima, devem-se omparar estas om olunas de referênia de omprimentos efetivos. e = 0,5.(.) = ogo, r EI (K.) Onde o fator de omprimento efetivo é K = 1. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

21 1 Exemplo 1.4 No exemplo anterior, onsiderou-se a flambagem das olunas AB e CD no plano x. Entretanto, suponha que não exista nada para prevenir as olunas de flambar na direção, figura (b). Determinar se as olunas AB e CD, do tipo W6x0 (padrão ameriano), vão flambar no plano x (flambagem em torno do eixo ), ou se elas vão flambar no na direção (flambagem em torno do eixo z). ede-se determinar também a arga de flambagem. Considere que as ligações em B e C são rígidas, que a viga BC é rígida e que a arga é apliada no entróide do topo de ada oluna. Dados: E = 00 Ga; = 50 Ma; I = 55,6 m 4 ; Iz = 17, m 4 ; A = 787,1 mm, = 4,9 m. Solução: r EI e K z r EI K z z K 1 (exemplo 1.) e K z (oluna engastada e livre) r N/ mm.55, mm 4 mm 4 455,1 KN z r N/ mm.17,.10 mm.4900 mm ,1 KN(ontrola o arregamento) z r r Como, as olunas flambarão no modo fora do plano, onforme indiado na figura (b), para uma arga de 54,1 KN. Comentários sobre a solução: Caso as ligações em B e C não fossem sufiientemente rígidas, estes nós UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

22 poderiam girar um pouo; A pior situação seria para aquela na qual as olunas seriam presas por pinos e não fixadas à viga BC. Como a viga BC seria livre para transladar horizontalmente então K r balanço N/ mm.55,6.10 mm.4900 mm ,8 KN Comparando-se os dois valores obtidos, verifia-se a importânia de araterizar orretamente as ondições de uma oluna e apliar um fator de segurança apropriado, para levar em onsideração as inertezas nas ondições de extremidades; O valor mais onservador seria, r 11,8 KN r balanço A tensão média de ompressão seria, 11,8.10 N 787,1mm σ r 0Ma r 0Ma 50Ma de modo que a hipótese de que a flambagem elástia é válida. Exemplo 1.5 Uma oluna de alumínio de seção transversal retangular tem omprimento e extremidade engastada em B. A oluna suporta uma arga entrada em sua extremidade A. Na extremidade A da oluna, existem duas plaas rígidas de antos arredondados que impedem essa extremidade de se movimentar em um dos planos vertiais de simetria da oluna, mas não impedem movimentos na direção do outro plano: a) Determinar a relação a/b entre os lados da seção transversal que orresponde à solução de projeto mais efiiente ontra flambagem; b) Dimensionar a seção transversal mais efiiente para a oluna, sabendo-se que = 500 mm, E = 70 Ga, = 0 KN e que o oefiiente de segurança deve ser de,5. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

23 Solução: Flambagem no plano x (flambagem em torno de z) e z r 0,7 a b Iz e A a.b 1 EIz 0,7 Flambagem no plano xz (flambagem em torno de ) e r ab I e 1 EI A a.b a) Dimensionamento mais efiiente O dimensionamento mais efiiente é aquele no qual os dois modos possíveis de flambagem são iguais. r z r EI EIz 0,7 ab 1 a b 1 0,7 a b 0,7 ogo, a b 0,5 b) ara os dados do problema, r,5.0 50KN EI N, mas I ab 1 e a b 0,5 I 0,5b 1 4 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

24 4 0,5b N/mm mm N b = 9,7 mm a 0,5.9,7mm a 1,9mm 1.5 Carregamentos Exêntrios Equação da Seante Até o presente momento, formas onsideradas olunas ideais, ou seja, olunas que estão iniialmente perfeitamente retilíneas e uja arga de ompressão é apliada através do entróide da seção transversal do elemento. Tais ondições ideais nuna existem na verdade, pois elementos estruturais perfeitamente retos não podem ser fabriados, isto porque o ponto de apliação da arga difiilmente, se é que existirá, situa-se exatamente no entróide da seção transversal Comportamento Viga-Coluna A Figura 1 a seguir, mostra uma oluna om uma arga exêntria apliada através de um suporte. O aso a ser estudado ompreende uma oluna bi-apoiados omo mostrada a seguir, om arregamento exêntrio. Figura 1 - Carregamento exêntrio UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

25 5 Se a exentriidade e = 0, oluna de Euler; Se e 0, usar o diagrama de orpo-livre da Figura 1 (); ΣM A 0.e.v(x) M(x) 0 M(x) Equação 6.e.v(x) Substituindo-se na equação de momento x urvatura, EI.v" (x) EI.v" (x) M(x) Equação 7. v(x).e Dividindo-se tudo por EI e lembrando que = / EI v" (x) v(x) EI EI e v"(x) v(x) e Equação 8 A solução da Equação 8 onsiste em uma solução omplementar e uma solução partiular. v(x) v(x) v(x) p zero A solução omplementar é obtida igualando-se o lado direito da Equação 8 a v" (x) v(x) 0 v(x) C1sen x C os x A solução partiular desta equação diferenial é v(x) p e ogo, a solução geral da Equação 8 é dada por: v(x) C1sen x C os x e Equação 9 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

26 6 As ondições de ontorno para o aso em questão são v(0) 0 e v() 0 Equação 40 Apliando estas ondições de ontorno na solução geral, tem-se, v (0) 0 C1sen 0 C os 0 e 0 C e v() 0 C1sen eos e 0 C 1 sen e os 1 0 C 1 sen e 1 os Equação 41 mas, substituindo as seguintes identidades matemátias sen sen os e 1 os sen, na Equação 41, obtém-se C 1..sen os e..sen C 1 os e.sen C 1 e.tg ogo, a Equação 9 pode ser expressa omo v(x) e. tg senx osx 1 Equação 4 Como indiado na Figura 1, a deflexão máxima oorre no ponto médio da oluna. ortanto, quando x = /, v(x) = v máx. Desta forma, UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

27 7 v máx v e. tg sen os 1 v máx sen os sen e. 1 os v máx os e. sen os os 1 os v máx e. os v máx 1 e. 1 os v máx e. se 1 Equação 4 Diferente da oluna de Euler, que deflete lateralmente apenas se se iguala ou exede a arga de flambagem de Euler, r, a deflexão lateral de um elemento arregado exentriamente oorre para qualquer valor de arga. Resrevendo a Equação 4 e lembrando-se que, tem-se, EI v máx e. se 1 Equação 44 EI A equação aima atinge um máximo quando os termos entre olhetes tenderem a infinito, ou seja, quando EI Embora a deflexão realmente não atinja um valor infinito, ela se torna inaeitavelmente grande. Assim, a arga não deve atingir o valor rítio que satisfaz à equação anterior. EI UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

28 8 EI 4 4 r EI Equação 45 Sendo este o mesmo resultado obtido para o aso de arga entrada (Equação 1). Expliitando-se EI na Equação 45 e substitui-se na Equação 44, EI r v máx e. se 1 r v máx e. se 1 Equação 46 r A Equação 46 é uma forma alternativa de se expressar a deflexão máxima para uma viga-oluna. Nesta equação, é a arga exêntria e r e a arga rítia de Euler para arregamento entrado. É onveniente plotar esta equação para diversos valores de e. Figura 14 Diagrama de arregamento-deflexão Analisando o gráfio da Figura 14 é possível observar que à medida que se aproxima da arga de Euler, r, para uma dado e, a deflexão lateral da viga oluna aumenta sem limite. No limite, quando e tende a zero, a urva se torna duas linhas retas que representam a onfiguração retilínea ( < r ) e a onfiguração flambada ( = r ). A análise de viga-oluna anterior é válida apenas enquanto a tensão de ompressão não exeder o limite de proporionalidade em ompressão. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

29 Equação da Seante Um elemento sob um esforço do tipo viga-oluna está submetido a uma ombinação de arga expressiva axial e momento fletor M(x), omo indiado pelo diagrama de orpo livre da Figura 1. O momento máximo (em valor absoluto) oorre em x = / e é obtido ombinando as equações de M(x) (Equação 6) om vmáx (Equação 4) em x = /. M(x) v máx M máx e v(x) v e. se 1.e1 se 1 M máx M.e.se Equação 47 A tensão máxima na oluna é de ompressão sendo obtida pela soma da tensão normal devida à força axial om a tensão normal devido ao momento fletor que atuam naquela seção (Figura 15). Figura 15 - Tensão máxima na oluna M A Substituindo a Equação 47 na Equação 48, tem-se, I. máx máx Equação 48 máx A.e. se I embrando que o raio de giração é definido omo tem-se, r I I Ar e que A, EI UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

30 0.e. máx se ; A Ar EI I Ar e. 1 se Equação 49 máx A r r EA A Equação 49 é onheida omo Equação da Seante, onde, máx = máxima tensão de ompressão na viga-oluna = arga de ompressão exêntria A = área da seção transversal do elemento em ompressão e = exentriidade da arga = distânia do entróide até a fibra mais externa onde máx atua I = Momento de inéria em relação ao eixo de flexão do entróide r = raio de giração, r I A = omprimento do elemento A equação da seante, embora tenha sido obtido para uma oluna bi-rotulados, também é válida para olunas em balanço substituindo-se o omprimento pelo omprimento efetivo da oluna em balanço, e =. A tensão máx e. e 1 se Equação 50 máx A r r EA não varia linearmente om a arga, de modo que não deve ser apliado o prinípio da superposição dos efeitos para a determinação das tensões provoadas por várias argas apliadas simultaneamente. Deve-se primeiramente alular a resultante dos arregamentos, para depois obter-se. ela mesma razão, qualquer oefiiente de segurança deve ser apliado ao arregamento e não à tensão. ara determinar a arga de ompressão máxima que pode ser apliada a uma dada exentriidade, a uma oluna de omprimento e material dados e sem ausar esoamento do material, pode-se fazer, o limite de esoamento em ompressão e resolver a equação de máx para /A, a tensão média. máx máx /A nos dois termos equação transendente solução por tentativas. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

31 1 As urvas ao lado foram traçadas usandose a equação de para um aço om máx 50Ma e E = 00 Ga. Estas urvas tornam possível a determinação da arga por unidade de área, /A, que provoa esoamento na oluna em valores de e /r e e./r onheidos. ara valores pequenos de e /r, a seante é aproximadamente igual a 1 e a Equação 50 pode ser reesrita omo, máx e. 1 A r A máx Equação 51 e. 1 r roedimento para determinação da arga issível para uma oluna arregada exentriamente é: a) Obter ou estimar, o valor da exentriidade e; b) Substituir o valor de e na equação da seante, juntamente om os parâmetros geométrios r,, A e, e as propriedades do material E e (ou seja, ) e determinar a arga máx. ) Dividir a arga pelo fator de segurança apropriado para determinar a arga issível. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

32 Exemplo 1.6 Uma oluna de aço estrutural W6x0 om E 00Ga e σ 50Ma está arregada exentriamente omo mostrado a seguir. Considere que a arga é apliada diretamente na seção transversal do topo, embora om uma exentriidade e. A oluna está travada para evitar a flambagem para fora do plano. Dados: a) Se uma arga de ompressão = 90 KN é apliada om uma exentriidade e = 100 mm, qual a tensão de ompressão máxima na oluna? b) Qual o fator de segurança ontra o esoamento iniial da oluna submetida ao arregamento aima? Solução: E 00Ga, σ 50Ma, A = 787,1 mm ; r = 67,56 mm e = 78,74 mm (onsultar tabela de perfis em W) a) Tensão de ompressão máxima Como observamos anteriormente, a tensão máxima de ompressão em uma oluna em balanço pode ser alulada diretamente através da equação da seante om e =. máx e. e 1 se A r r EA UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

33 máx N 787,1mm 100.(78,74).(500) 1 se (67,56).(67,56) (787,1) máx 64,7Ma Obs.: A seante é alulada em radianos. b) Fator de segurança Como a equação da seante é não-linear, deve-se determinar o valor da arga satisfaça (tensão de esoamento de ompressão). Está análise será feita máx utilizado o ábao abaixo, obtido através do apliativo Seante Applet e r (esbeltez) 67,56 que e. r ,74 (67,56) 1,75 Interpolando-se nas urvas de (e./r ) = 1,60 e (e./r ) = 1,80 em e /r = 74, obtém-se 75Ma A 75 N mm 84KN.787,1mm Este Applet serve para obter os pontos da urva tensão versus índie de esbeltez. O apliativo está disponível em UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

34 4 Ainda utilizando o apliativo é possível obter o valor exato de, onforme pode ser visto na tela abaixo extraída do Seante Applet, Como a arga real na oluna é = 90KN, o fator de segurança em relação ao esoamento será: 84 FS,15 (ábao) 90 95,77 FS,9 (exato) 90 É importante ressaltar que o fator de segurança é baseado nas argas e não nas tensões,. máx Exemplo 1.7 A oluna de seção uniforme apresentada a seguir é onstituída de um tubo om,4 m de omprimento. a) Determinar pela fórmula de Euler om oefiiente de segurança igual a,0, a arga entrada issível para a oluna e tensão normal orrespondente; b) Supondo-se que o valor da arga issível enontrada em (a) seja apliado a um ponto 0,0 mm fora do eixo da oluna, determinar o desloamento horizontal do topo da oluna e a tensão normal máxima que oorre. Usar E = 00 Ga. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

35 5 Solução: Comprimento efetivo de flambagem e =. =.(,4) = 4,8 m Carga rítia de Euler r e EI ,.10 ( ) r 8,7 KN a) Carga issível e a tensão normal r FS 8,7 141,5KN A 141,5.10 N 6, mm 64,5Ma UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

36 6 b) Desloamento horizontal em A e máx v máx e. se 1, mas r r 1 FS v máx 1 v() 0. se 1 v() 0. se 1, v() 0.,5 1 v() 5,04mm v máx 5,04mm máx e. e 1 se A r r EA máx máx 141,5.10, se 8,7.8,7 141, ,5. 1 0,668.se 1, , máx 161,1 Ma 1.6 Imperfeições de Colunas Foi mostrado anteriormente, omo o omportamento das olunas é afetado quando a arga é apliada exentriamente. O omportamento de uma oluna UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

37 7 também pode ser afetado devido às imperfeições iniiais onforme mostrado na Figura 16. Figura 16 Coluna om imperfeição A oluna bi-rotulados possui agora uma imperfeição iniial hamado v 0 (x). Apesar de v 0 (x) ser normalmente pequeno, sua forma funional exata difere de oluna para oluna e é desonheida. No entanto, pode ser representado por.x (x) sen Equação 5 v 0 0 que tem a mesma forma do modo fundamental de flambagem obtido na seção 1.., Equação 14. v(x) x C.sen Do diagrama de orpo livre, obtém-se, M(x) v(x) v0(x) Equação 5 Combinando as duas equações anteriores om a equação momento x urvatura, x EI. v" (x).v(x) 0 sen Cuja solução para as ondições de ontorno v(0) = v() = 0, é UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

38 8 v(x). 0 x sen 1 Equação 54 onde, r.( e ) EI Da equação de v(x) pode-se determinar a deflexão máxima, momento fletor máximo, M máx, da seguinte maneira: máx, e o máx v 0 sen 1 máx máx Equação 55 ogo, M máx. máx M. 0 1 máx Equação 56 Combinado a Equação 48 om a Equação 56 obtém-se a tensão máxima, máx M A I máx. 1 A r 0. (1 ) máx Equação 57 Novamente, omo = / r, as equações de máx, M máx, e máx são todas não lineares em relação a arga. A razão de imperfeição 0. / r pode ser usada na determinação de uma família de urvas de /A x /r para uma dada tensão de esoamento pra ompressão. O resumo é bastante similar às urvas obtidas no aso de olunas ideais, máx ou seja, sem imperfeições iniiais. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

39 9 1.7 rojetos de Colunas Submetidas a Carregamento Centrado Nas seções anteriores, examinou-se o omportamento de olunas om geometrias onheidas (perfeitamente retas ou om uma forma espeífia de imperfeição), om omportamento onheido (livres de qualquer tensão residual e possuindo um diagrama em ompressão onheido), om ondições de ontorno onheidas (fixas por nós, fixas ou livres) e om linha de ação da arga onheida. ara olunas reais, todos esses fatores, além de outros, estão sujeitos a variação que devem ser levadas em onsideração no projeto de olunas. Desta forma, as normas de projeto espeifiam equações empírias para projeto de olunas que são obtidas por ajuste de urvas nos dados obtidos em testes em laboratório de muitas olunas reais e que inorporam fatores de segurança apropriados, fatores de omprimento efetivo e outros fatores de modifiação. Ensaios de olunas do aço om arregamento entrado. ruptura rítio (tensão de ruptura) Três tipos de ruptura a) Colunas longas Ruptura segundo Euler /r é alto (dependo do módulo de elastiidade). b) Colunas urtas ou bloos omprimidos A ruptura oorre essenialmente omo resultado do esoamento, ou seja,. r ) Colunas de omprimento intermediário Figura 17 - Resultados dos testes para olunas de aço A ruptura depende de E e de simultaneamente., Na faixa de valores para olunas de omprimento intermediário, a ruptura é um fenômeno omplexo, onde as espeifiações e fórmulas de dimensionamento surgiram de numerosos testes em laboratório. A Figura 18, exemplifia algumas fórmulas empírias deduzidas a partir de aproximação de urvas de dados experimentais. Como uma únia expressão não onsegue desrever omportamento de vários testes, em toda gama de índies de UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

40 40 esbeltez, foram desenvolvidas diversas fórmulas, sendo ada uma delas apliada para erto intervalo de valores de esbeltez. Figura 18 - Fórmulas empírias típias As equações foram desenvolvidas para diversos materiais. Em ada aso deve-se verifiar se a fórmula esolhida se aplia ao índie de esbeltez da oluna em estudo. Deve-se verifiar ainda, se a fórmula fornee diretamente o valor da tensão issível para a oluna, ou se ela fornee o valor da tensão rítia, quando é neessária a apliação de um oefiiente de segurança adequado. r ; A FS. Três tipos de materiais serão avaliados: Aço Alumínio Madeira Colunas de Aço Estrutural O projeto de olunas de aço se baseia nas equações propostas pelo AISC (Amerian Institute of Steel Construtional). Utiliza-se uma expressão parabólia para em olunas urtas e intermediárias, sendo adotada uma expressão similar à fórmula de Euler para as olunas longas. Estas relações são desenvolvidas em duas etapas: 1. Obtém-se iniialmente uma urva representativa da variação de r om /r. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

41 41 Essa urva não inorpora nenhum fator de segurança. A parte AB da urva é uma parábola da forma: e r 0 Equação 58 r enquanto que o treho BE é obtido pela equação de Euler, Figura 19 - Curva da variação de σr r.r e E ara r e /r = 0 de modo que 0 na equação do treo AB. De aordo om o AISC, o ponto B, ponto de tangênia entre a parábola e a urva de Euler, oorre para a tensão rítia om valor igual à metade de. Denota-se C C o valor de e /r neste ponto, r 0 e r r e C 1.(C ) Equação 59.C Substituindo-se 0 e a Equação 59 na equação de r, tem-se, r.c e r r 1 1.C r e ogo, Se e r 0 e /r C r 1 Equação 60.C UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

42 4 Se e /r C E r Equação 61 e r No entanto, obtém-se a expressão para C C substituindo a ondição /r e C na Equação 61. r 1 e 1 E C C..E Equação 6. Deve-se introduzir um fator de segurança para obtenção das fórmulas finais de dimensionamento do AISC que definem omo função de /r. ara 0 5 ( e r) 1 e r e/r C FS Equação 6 8 C 8 C ara C e/r 00 FS 1,9 Equação 64 1 Finalmente, apliando-se os fatores de segurança (Equação 6 e Equação 64) as expressões de (Equação 60 e Equação 61) e lembrando que FS, obtémse r r ara e r 0 e/r C 1 FS Equação 65.C ara C /r 00 e E 1,9. e r Equação 66 As fórmulas aima podem ser usadas om unidades no sistema internaional ou no sistema inglês. Através das equações anteriores determina-se para um aço espeífio e para um dado valor de e /r, sendo neessário, primeiramente, alular C para saber qual equação utilizar. or onveniênia, o AISC fornee diversas tabelas omo valores de tensão issível para várias qualidades de aço om 1 < /r < 00. UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

43 4 Figura 0 - Variação da tensão issível om índie de esbeltez para três tipos de aços estruturais Exemplo 1.8 Calular o maior omprimento sem travamento que pode ser usado para o perfil S100x115, para que este suporte a força entrada indiada om segurança. Dados: E 00Ga, σ 90Ma, A = 145 mm ; rx = 41,6 mm e r = 14,75 mm (onsultar tabela de perfis I) Solução: ara que a arga de 60 KN seja suportada om segurança, A N 145mm 41, Ma ara a tensão de esoamento dada C. E C 116,7 Adotando-se e /r C (solução mais fáil de arbitrar), E 1,9. e r ,9. e r e r Ma Igualando-se essa expressão ao valor neessário da tensão issível, tem-se, UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

44 e 41, r e r 157,8 Como e /r > C, a hipótese adotada estava orreta. ara o menor valor de r, r 157,8 157,8.14,75 7mm ou,m 1.7. Colunas em iga de Alumínio Existem muitas ligas de alumínio que podem ser usadas em estruturas ou na onstrução de máquinas. ara ada uma dessas ligas, a Aluminum Assoiation fornee três fórmulas para se hegar ao valor de de olunas om arregamento entrado. Colunas intermediárias: (relação linear entre e /r) Colunas urtas (onstante) Colunas longas (fórmula de Euler) a) iga de alumínio 6061-T6 r 9,5 11Ma 9,5 r ,868 r r 66 (Ma) r (Ma) Equação 67 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

45 45 b) iga de alumínio 014-T6 (ACAD) r 1 19Ma 1 r ,585. r 7.10 r 55 (Ma) r (Ma) Equação Colunas em Madeira ara o projeto de olunas de madeira sob ação de argas entradas, o Amerian Institute of Timber Constrution espeifia fórmulas de tensão issível para olunas urtas, intermediárias e longas. ara uma oluna om seção transversal retangular de lados b e d (d < b), a variação om /d é mostrada na Figura 1, Figura 1 - Coluna de seção retangular Colunas urtas Equação 69 onde, é a tensão issível à ompressão paralela as fibras. ara /d = 11, que é a demaração entre as olunas urtas e intermediárias, a AITC espeifia uma pequena desontinuidade no ponto B (Figura 1). UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

46 46 Colunas Intermediárias onde K = /d no ponto C e 1 1 d K 4 Equação 70 Colunas ongas (Euler) E Equação 71 e,74 r A Equação 71 é obtida apliando o fator de segurança,74 a fórmula de Euler. ara o aso partiular de seção transversal retangular de lados b e d (d < b), a equação aima poder ser resrita omo r I A b.d 1 b.d r d 1 1,74 e E 1 d 0,E Equação 7 e d AITC. ponto, As olunas em que /d > 50 não são permitidas pelas espeifiações da Através da análise do ponto C da Figura 1 é possível obter o valor de K. Neste e e K Equação 7 d Substituindo a Equação 7 na equação de olunas longas (Equação 7), obtém-se 0,E K UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

47 47 K 0,671 E Equação 74 Nota: Anteriormente, onsideraram-se olunas om seção retangular. ara uma seção transversal arbitrária, 0 e 8 K e e r 8 r K r 17 e 1 1 r K E,74 e r 4 Equação 75 onde E K,4. Exemplo 1.9 Sabendo-se que o omprimento efetivo de flambagem da oluna AB é de 4, m, e que deve suportar om segurança uma arga de 140 KN, projetar a oluna usando uma seção transversal quadrada. A madeira a ser usada tem E = 1,4 Ga e 9,Ma paralela às fibras. Solução: Iniialmente, alula-se K em função de E e K 0,671 E 0,671 1,4.10 9, K 4,5 Como d não é onheido, assume-se que e /d > K. 0,E e d d 0,.(1, d ) d 4 66, d 160mm Verifiação: e d 400 6,5 K 160 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

48 rojetos de Colunas Submetidas a Carregamento Exêntrio ara o projeto de olunas submetidas a uma arga exêntria, basta utilizar a formulação apresentada na seção anterior, para o aso de arga entrada, om algumas modifiações que serão apresentadas a seguir. Sabe-se que uma arga axial exêntria apliada em um plano de simetria de uma oluna pode se substituída por uma força entrada e por um onjugado (binário) M de momento M =.e (Figura ). Figura - Carga exêntria e tensões devido à força entrada e ao onjugado M As tensões normais que agem em uma seção transversal da oluna podem ser obtidas por superposição dos efeitos devido e ao onjugado M, respetivamente. Essa superposição pode ser feita desde que a seção transversal em estudo não esteja muito próxima de uma das extremidades da oluna, e desde que as tensões enontradas não exedam o limite de proporionalidade do material. Desse modo, as tensões normais devido a uma força exêntria podem ser aluladas por: entrada flexão Equação 76 M. A I Equação 77 máx Sabe-se que em uma oluna projetada orretamente, a tensão máxima definida pela Equação 77 não deve exeder a tensão issível da oluna. Duas formas de soluionar este problema são propostas: Método da Tensão Admissível e o Método da Interação Método da Tensão Admissível Baseia-se na hipótese de que a tensão é a mesma que para uma oluna om UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

49 49 arga entrada. Desse modo, deve-se ter, sendo máx a tensão issível sob a arga entrada. ogo, substituindo essa ondição na Equação 77, obtém-se A M. I Equação 78 entrada A tensão issível é obtida pelas fórmulas de projeto de olunas om arregamento entrado apresentadas na seção anteriormente. A maior parte das normas de engenharia espeifia que a tensão issível seja determinada para o maior valor do índie de esbeltez, não importando se esse valor orresponde realmente ao plano em que oorre a flexão. Em alguns asos, essa espeifiação pode levar a dimensionamentos realmente exagerados. Exemplo 1.10 Uma oluna de seção transversal quadrada de lado igual a 15 mm e omprimento de,0 m é feita de pinho (E = 1 Ga e 10 Ma para ompressão paralela às fibras). Determinar a máxima arga que a oluna pode suportar om segurança, apliada om exentriidade e = 50 mm. Solução: Material madeira de seção quadrada K 0,671 E 0, K, e d Como e /d > K, utiliza-se Euler 0,E e d 0,.( ) 6,5Ma 10Ma (Ok!) entrada Apliando o método da tensão issível, tem-se M. 6,5Ma A I A = = 1565 mm UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

50 I ,1mm 4 = 6,5 mm M =. e = (50 mm). Substituindo-se na equação, ,7kN.50.6,5, , Método da Interação A tensão issível para uma oluna submetida a uma arga entrada é usualmente menor que a tensão issível para uma oluna em flexão pura, uma vez que aquela leva em onta a probabilidade de flambagem. Desse modo, quando se usa a tensão issível para o projeto de uma oluna om arga exêntria e se esreve que a soma das tensões devido à arga entrada e ao momento fletor M não deve exeder ao valor da tensão issível para uma oluna de arga entrada, o resultado pode levar a dimensionamentos exagerados. Figura - Coluna submetida a arregamentos ode-se desenvolver um método mais aperfeiçoado de dimensionamento, reesrevendo a Equação 78 da seguinte forma, A M. I 1 Substituindo pelos valores das tensões issíveis que orrespondem, respetivamente, à arga entrada e à flexão pura, tem-se, M. A I 1 (fórmula da interação) Equação 79 entrada flexão UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

51 51 Se: M = 0 => Dimensionamento da oluna om arga entrada. = 0 => Dimensionamento de viga sujeita à flexão pura. e M 0 => Dimensionamento que onsidera a apaidade da barra de resistir tanto à flexão pura omo arga entrada. entrada Em qualquer aso, será determinada usando-se o maior índie de esbeltez da oluna, independente do plano em que oorre a flexão. Quando a arga não é apliada em um plano de simetria da oluna, oorre flexão nos dois planos prinipais da seção transversal. Figura 4 - Carga exêntria apliada fora de um plano de simetria A M x.z M.x entrada máx.i flexão x z máx.i flexão z 1 Equação 80 Exemplo 1.11 Usar o método da interação para determinar a máxima arga que pode ser apliada om segurança à oluna do exemplo 1.10, om exentriidade e = 50 mm. Solução: 6,5Ma entrada 10Ma (tensão issível para ompressão paralela às fibras) flexão A M. I entrada flexão 1 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

52 5.50.6,5 1565,0.10 6,5 10 9,06kN 7 1 Exemplo 1.1 Determinar a maior arga que pode ser suportada om segurança por um perfil de aço laminado W10x74, que forma uma oluna de 4,5 m de omprimento de flambagem. Utilizar o método da tensão issível e depois o método da interação om 150Ma. flexão Dados: E 00Ga, σ 50Ma. Solução: r r e x e , ,8 4,19 r 90,6 e x r e r e (ontrola) UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

53 5 C..E C 15,66 Como r e C e r 1 ; FS.C FS 5 ( e r) 1 e r 8 C 8 C FS ,6 15, ,6 15,66 FS 1, ,6 1 1,89.(15,66) 98,08 Ma a) Método da tensão issível M. A I entrada ; W I ,0kN 98,08 b) Método da interação A M. I entrada flexão , ,1kN 1 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima

54 54 Exemplo 1.1 Uma oluna de aço om omprimento da flambagem de 4,8 m é arregada exentriamente omo india a figura. Usando o método da interação, determinar qual o perfil da abas largas om altura nominal de 00 mm deve ser usado. E 00Ga, 50Ma e 150 Dados: Ma flexão Solução: ara a primeira aproximação, utiliza-se o método da tensão issível om 150Ma. A M. I A M. A.r x 100 mm e r X 90 mm 150N/mm A 6 N 45,6.10 Nmm.100 mm A 680mm A.90 mm W 00 x5 Verifiação W00x5 r e ,6 9 UERJ FEN ESTR - Resistênia dos Materiais IV uiano ima