ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE TORRES METÁLICAS ELEVADAS SOB CARGA LATERAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MESTRADO EM CONSTRUÇÃO METÁLICA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE TORRES METÁLICAS ELEVADAS SOB CARGA LATERAL por Eng a Wanderlene Urbana Novais orientada por Prof. Dr. Antônio Maria Claret de Gouvêia Maio, 1998.

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3 EE/UFMG AGRADECIMENTOS Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Antônio Maria Claret de Gouvêia, pela dediação e onfiança ao longo do desenvolvimento deste trabalho. Agradeço às pessoas que me apoiaram, em espeial a Helenie, Analúia, Marelo, Hisashi, Pedro Paulo, Júlio e a minha família. Agradeço à USIMINAS pelo apoio e inentivo à pesquisa.

4 1 - INTRODUÇÃO Os tanques elevados são usados em sistemas de abasteimento de água, prinipalmente em regiões planas onde a atividade agríola é intensa. Nesses lugares, as torres de sustentação dos tanques freqüentemente são estruturas de altura entre 10 e 5m, om argas totais entre 100 e 500 toneladas. Tem-se também amplo emprego de tanques elevados no armazenamento de petróleo e derivados, e as torres de sustentação são estruturas de altura entre 1 e 15m. No Brasil, estas estruturas estão sujeitas a argas vertiais próprias e a argas laterais deorrentes dos ventos. Tradiionalmente, as torres elevadas para o suporte de aixas d água são feitas de onreto armado e, no aso das de menor altura, de madeira. O onreto armado utilizado para esse fim não é um material adequado já que essas torres são, em geral, onstruídas em lugares remotos em função da aptação de água e das estações de elevação. A onstrução de torres elevadas aportiadas em onreto armado, ao ontrário das torres tubulares, que podem usar formas deslizantes, é onsideravelmente lenta e exige mão-de-obra signifiativa. Apesar das difiuldades inerentes ao uso do onreto armado, os reservatórios e as estrutras de torres elevadas sempre foram feitos desse material por ausa dos problemas de orrosão do aço omum. Com o surgimento dos aços resistentes à orrosão atmosféria, os tanques metálios adquiriram grande aeitação no merado, porque são leves e podem ser montados om relativa rapidez. A estrutura da torre pode ser feita em aço, mesmo quando o tanque é de onreto armado. 1

5 1.1 - Objetivos Com o intuito de gerar tenologia visando o desenvolvimento do uso do aço, disute-se aqui a utilização de um método simplifiado para a análise de esforços soliitantes em torres elevadas metálias. O álulo rigoroso das torres elevadas é feito pelo método de elementos finitos, onsiderando-as pórtios espaiais, o que exige programas de omputador espeífios, om maior onsumo de tempo. O método simplifiado, sendo sufiientemente preiso, atua a favor da popularização do uso do aço, já que o projeto, a fabriação e a montagem das torres elevadas metálias podem ser interiorizados no País. Sendo assim, pretende-se, neste trabalho, a) formular um método aproximado para o álulo de torres elevadas e verifiar sua apliabilidade; (b) formular um método para análise de anel de fehamento; () desenvolver um programa para análise de torres metálias elevadas de base poligonal e de anel de sustentação sob argas laterais Revisão Bibliográfia Apresenta-se, neste trabalho, uma abordagem espeífia da análise e do projeto de torres metálias elevadas, pouo freqüente na literatura ténia. Biezeno e Grammel [1] apresentaram a formulação analítia que permite alular os esforços soliitantes no anel de

6 sustentação do tanque. O anel de sustentação é modelado omo uma barra de grande urvatura sobre a qual atuam argas horizontais e vertiais. Em 1971, Ruggeri [], seguindo os passos de Biezeno e Grammel, apresentou um método numério para o álulo dos esforços no anel de sustentação em seções que orrespondem aos limites de setores irulares previamente esolhidos. Stamato [3] desreveu a distribuição de argas de vento entre painéis de ontraventamento, o que é importante na oneituação do método simplifiado de Sameer e Jain [4] que será disutido aqui pormenorizadamente. Reentemente, Guimarães [5] estudou, em sua dissertação de mestrado, o dimensionamento de reservatórios de onreto armado, om ênfase para o ontrole da fissuração. A resistênia a esforços laterais é a ondição mais importante na análise de argas e no dimensionamento de torres metálias elevadas para o suporte de tanques. Nos países onde há atividade sísmia onsiderável, o estudo de métodos de análise espeífios para esse tipo de estrutura é freqüente. Citam-se os trabalhos de Blume et al. [6] e Mleod [7] que apresentam métodos aproximados de análise de pórtios planos uja apliação em torres elevadas somente pode ser feita om elevado grau de impreisão. A partir de 1970, os métodos analítios tenderam a ser mais exatos quanto aos modelos físios, mas podem ofereer simplifiações deorrentes da geometria das torres. Diversos trabalhos tratam as torres metálias elevadas omo estruturas aportiadas, mas adotam as seguintes hipóteses simplifiadoras: 3

7 (a) a força axial nas olunas é proporional à sua distânia até o eixo de flexão; (b) o ponto de inflexão nas olunas e o das vigas situam-se no meio da altura e do vão, respetivamente; () o ortante lateral é igualmente distribuído por todas as olunas. Entre os trabalhos que utilizam essas hipóteses simplifiadoras, itam-se o de Ramaiah e Gupta [8], Hilal [9], Handa [10] e Dayaratnam [11]. Ainda que a hipótese (a) seja aeitável, a hipótese (b) não é adequada aos painéis da base e do topo. Esse fato leva a uma distribuição não uniforme do ortante entre as olunas, invalidando a hipótese (). Algumas análises rigorosas feitas por elementos finitos mostram que a rigidez na torção das vigas influi muito pouo sobre a distribuição do ortante nas olunas. Krishna e Jain [1] tratam a torre omo uma viga em balanço e distribuem o ortante nas vigas omo se fosse na seção transversal de uma viga. Demonstrou-se que isso é válido para torres om muitas olunas, mas muito onservador no aso de pouas. O álulo impreiso das forças ortantes nas olunas leva a erros onsideráveis no álulo das forças axiais e dos momentos nas olunas. Para ontornar esta difiuldade, Sameer e Jain [4] propõem um método para o álulo de torres poligonais em que as olunas são engastadas na base e as forças axiais nas olunas são aluladas om base na hipótese (a). Entretanto, a força ortante nas vigas é obtida por equilíbrio vertial de ada painel onsiderado isoladamente e as forças ortantes nas olunas por equilíbrio de momentos no plano de flexão. 4

8 O método aproximado de Sameer e Jain [4] é partiularmente onsiderado nessa dissertação e os seus resultados são omparados om resultados obtidos por meio do Método de Elementos Finitos e do Método da Viga Engastada. A sua formulação matemátia é apresentada integralmente. Desenvolveu-se um programa de omputador para sua apliação em asos reais Classifiação das Estruturas As estruturas aportiadas de base poligonal para a sustentação de tanques elevados usualmente têm número par de olunas, N. Neste trabalho, lassifiam-se essas estruturas em dois grupos, a saber: (a)grupo 1 - quando N / é ímpar; (b)grupo - quando N / é par. Para qualquer uma das lasses de estrutura, o eixo de flexão, devido à arga lateral pode ser esolhido entre dois asos: (a)aso 1 - passando pelo meio do vão de duas vigas paralelas ; (b)aso - passando através de olunas diametralmente opostas. Para ambos os grupos, a força ortante de projeto e, onseqüentemente, o momento fletor de projeto nas vigas são rítios quando o eixo de flexão passa pelo meio do vão de duas vigas paralelas opostas. Esses mesmos esforços nas olunas são rítios, quando o eixo de flexão passa por duas olunas diametralmente opostas. Para o grupo 1, as forças 5

9 axiais nas olunas são rítias quando o eixo de flexão passa por duas vigas paralelas opostas, e, para o grupo, quando o eixo de flexão passa por duas olunas diametralmente opostas. Na Figura 1, indiam-se os asos em que se tem direção rítia para (a) força ortante nas vigas e força axial nas olunas; (b) força ortante nas olunas; () força ortante nas vigas; (d) força ortante e força axial nas olunas. Figura 1 - Classifiação da estrutura. 6

10 - MÉTODOS ANALÍTICOS.1 - Método de Elementos Finitos A apliação do Método de Elementos Finitos em torres elevadas para sustentação de tanques pode ser feita om o emprego de um elemento de pórtio espaial om 6 graus de liberdade por nó. O arregamento, nesse aso, pode ser qualquer um e, a não ser pelo esforço omputaional, não há limitação de uso do método. A análise do tanque pode ser inluída por meio de programas que permitam o aoplamento de diferentes elementos. O Método de Elementos Finitos não será detalhado nesta dissertação, pois existe extensa bibliografia sobre o assunto. O programa SAP-90 foi utilizado para a geração de resultados que servem de termo de omparação para aqueles gerados pelo método aproximado aqui abordado. A interiorização da onstrução metália omo meio de expansão do seu onsumo exige a disponibilidade de esritórios de projeto e álulo, fábrias e empresas montadoras. Para empreendimentos de pequeno porte, em que a interiorização é numerosa, o projeto e o álulo, em geral, são feitos por elementos não espeializados da mesma equipe de fabriação e montagem. Nesse aso, métodos aproximados e seguros são a ferramenta básia, razão pela qual, apesar da existênia de métodos preisos omo o de Elementos Finitos, ainda se justifia a pesquisa de métodos aproximados. 7

11 . - Método Portal Neste método têm-se as seguinte suposições: (a) o ponto de inflexão está loalizado no meio das vigas e olunas; e (b) a força ortante nas olunas é distribuída de modo raional. Com relação ao item b, alguns engenheiros onsideram a força ortante nas olunas externas igual à metade da força ortante em uma oluna interna, enquanto outros onsideram-na distribuída proporionalmente à largura da área de influênia. Para vãos diferentes, a suposição anterior resulta em tensões diretas nas olunas internas iguais à diferença das forças ortantes nas vigas em ada lado da oluna. A última suposição mantém as olunas internas livres de tensões diretas..3 - Método da Viga Engastada Neste método, a análise do pórtio sujeito à arga horizontal é feita onsiderando que: (a) o ponto de inflexão está no meio do vão de ada viga e no meio da altura de ada oluna; (b) as tensões diretas nas olunas variam om a distânia até o eixo entral do pórtio e todas as olunas no mesmo pavimento têm área igual. 8

12 Usando estas suposições, o pórtio fia estatiamente determinado, e as forças diretas, forças ortantes e momentos, são determinados por onsiderações de equilíbrio. 9

13 3 - MÉTODO APROXIMADO PROPOSTO 3.1- Indeterminação Estátia As estruturas de tanques disutidas neste trabalho são estruturas aportiadas, tendo um número par de olunas vertiais igualmente espaçadas ao longo do perímetro de um írulo. As olunas adjaentes são onetadas por vigas horizontais, que são ordas do írulo, a um ou mais níveis. Neste trabalho, os painéis são numerados a partir da base, isto é, o painel da base é o primeiro e o j-ésimo nível de ontraventamento é o que está entre o j-ésimo e o (j+1)- ésimo painéis. As olunas são onsideradas engastadas no nível do terreno, em fae da rigidez da fundação, e restringidas ontra rotação no nível superior, uma vez que o tanque atua omo um bloo rígido. Os graus de indeterminação da estrutura podem ser eliminados fazendo ortes em ada viga e, assim, reduzindo a estrutura aportiada, originalmente indeterminada, para um número de unidades estruturais determinadas. Como ada orte libera seis forças generalizadas internas desonheidas, então o total de graus indeterminados é igual a seis vezes o número de ortes neessários para tornar o pórtio determinado. Considerando que a força ortante e o momento fletor das vigas no plano horizontal são insignifiantes, omparados om os das vigas no plano vertial, e que a torção nestas é desprezível, o número de forças desonheidas em ada orte reduz-se para três: força axial, força ortante e momento fletor no plano vertial (Figura ). 10

14 Figura - Forças generalizadas eliminadas: momento de torção(4), força ortante (3), momento fletor (5). Logo, para uma plataforma om N olunas e N p painéis, o grau de indeterminação é 3 N N. São obtidas N N equações p p adiionais, onsiderando a posição do ponto de inflexão nas vigas e olunas, restando assim N N p equações, que são obtidas supondo que a força axial nas olunas seja proporional à distânia da oluna até o eixo de flexão da estrutura. Assim, o pórtio estatiamente indeterminado fia reduzido a uma estrutura determinada e as forças internas podem ser determinadas por simples equações de equilíbrio estátio Força Axial nas Colunas A força axial nas olunas pode ser determinada usando o método da viga em balanço, que onsidera a tensão axial na oluna proporional à distânia do ponto de apliação da arga ao eixo de flexão da estrutura. Como a estrutura tem olunas de seção onstante, simetriamente posiionadas, temse: F X (1) ij j i 11

15 em que: F ij é a força na i-ésima oluna no j-ésimo painel; j é a onstante de proporionalidade para o j-ésimo painel que depende da força lateral e da onfiguração da estrutura; é a distânia da i-ésima oluna medida ao longo da direção da força lateral até o eixo de flexão da estrutura. X i O momento de tombamento devido a forças laterais em relação ao ponto de inflexão em ada painel é igual ao momento resistente desenvolvido por forças axiais nas olunas. Assim: PH F X X j N N ij i j i i 1 i 1 () em que: P é a força lateral atuando no entro de massa do tanque; H j é igual a distânia do ponto de apliação da força lateral até o ponto de inflexão no j-ésimo painel; é igual ao número de olunas. Substituindo j de () em (1), tem-se N F ij PH X N j i X i i 1 (3) Como todas as olunas são loalizadas nos vérties de um polígono regular de N lados, insrito em um írulo de raio R, Churhill [1], vale a seguinte relação: N N Xi i 1 i 1 R os β (4) i em que β i é o ângulo que a linha radial da oluna faz om o eixo de flexão. Consideram-se duas situações: 1

16 (a) o eixo de flexão passa através de olunas diametralmente opostas. Nesse aso, analisando a Figura 3a, tem-se β i π k N (5) em que k 0, 1,,..., N - 1 e i k + 1; b) o eixo de flexão passa através de duas vigas paralelas opostas. Nesse aso, analisando a Figura 3b, tem-se β i π + π k N N (6) em que k 0, 1,,..., N - 1 e i k + 1. Figura 3 - Eixo de flexão passando através das olunas (a); através de duas vigas (b). Segundo Churhill [1], no plano omplexo, as raízes enésimas do número omplexo Z ρ( os θ + i sen θ), em sua forma polar, sendo ρ Z, são os vérties do polígono regular de N lados, insrito no írulo de raio R e valem 13

17 n Z n θ π + k i k n n + θ n + π ρ os sen n (7) em que ρ R, e θ, que é hamado argumento de Z, vale n θ 0 para o aso a e θ π para o aso b. Logo, n ( os sen ) Z R β + i β (8) i i em que β i é dado na Eq. (5) ou (6). A 1ª fórmula de Moivre é m m Z ρ (os mθ + isen mθ) (9) Apliando-a em (8) tem-se n ( os sen ) m m Z R mβ + i mβ (10) i i Para m e onsiderando que o somatório das raízes de um número omplexo é nulo, Churhill [1], tem-se N N N n Z R os β i + i i 1 i 1 i 1 (11) sen β i 0 e, onseqüentemente, N i 1 os β i 0 (1) Usando a relação trigonométria os β os β 1 (13) i i 14

18 tem-se 1 + os β os βi i (14) Apliando em todos os termos da Eq. (14 ), o resultado é N N N N 1 + os β i 1 os βi 1 + os β i (15) i 1 i 1 i 1 i 1 Substituindo a Eq. (1) na Eq. (15), tem-se N N os β i (16) i 1 Logo, N NR Xi (17) i 1 Substituindo a Eq. (17) na Eq. (3), hega-se a F ij PHjX i (18) NR Observa-se que a força axial máxima oorre na oluna mais distante do eixo de flexão, quando X i R. Portanto, a força axial máxima de projeto no j-ésimo painel para ambos os tipos de estrutura mostrados na Figura é obtida por F j PHj (19) NR 15

19 Nota-se, a partir da Eq. (18), que a exatidão da força axial nas olunas depende somente da preisão de H j. A loalização do ponto de inflexão é diferente em diferentes olunas num mesmo painel, devido a variação dos graus de restrição lateral em diferentes olunas no nível das vigas. Em painéis intermediários é razoável onsiderar o ponto de inflexão no meio do vão. Em painéis extremos, da base e do topo, o ponto de inflexão está aima e abaixo do meio do vão, respetivamente. Para esses painéis, alula-se, Sameer e Jain [4], a posição aproximada do ponto de inflexão pelo método esboçado no item a seguir Loalização do ponto de inflexão em painéis extremos O método usado para a loalização do ponto de inflexão em painéis extremos onsiste em modelar o painel do topo e da base omo uma oluna equivalente, restringida em um extremo e apoiada por uma mola rotaional na outra extremidade (Figura 4). 16

20 Figura 4 - Determinação do ponto de inflexão para os painéis do topo e da base. Esta oluna equivalente é tal que o seu momento de inéria é igual à soma dos momentos de inéria de todas as olunas no painel, e a rigidez rotaional da mola é igual à soma das rigidezes rotaionais de um nó no nível das vigas. A rigidez rotaional do nó pode ser obtida somando-se as rigidezes rotaionais no plano de flexão das duas vigas enontradas naquele nó. De iníio, supõe-se que o ponto de inflexão da oluna equivalente esteja no meio da altura. Obtém-se subsequentemente melhor aproximação para a loalização. Devem-se determinar iniialmente S e θ S, que são, respetivamente, o desloamento lateral da estrutura na extremidade ontraventada do painel extremo e a rotação da extremidade ontraventada da oluna (Figura 5). Figura 5 - Efeito da força ortante e flexão das vigas nas 17

21 olunas extremas Determinação de s e θ s Como se observa na Figura 5, S é devido à superposição dos efeitos da força ortante sobre as olunas, 1, e da flexão das vigas,, ou seja, s 1 + (0) A parte inferior da oluna no painel da base é modelada omo uma barra reta engastada-rotulada, Figura 6. A extremidade rotulada dessa viga equivalente tem um desloamento, Figura 5, que vale 1 (1) Usando o Método das Forças para o álulo do desloamento, esolhe-se a reação em B (Figura 6) omo a redundante estátia o que gera a estrutura estatiamente determinada da Figura 7. 18

22 Figura 6 - Viga equivalente às olunas das extremidades. Figura 7 - Sistema prinipal orrespondente à primeira parte da oluna do painel de base. Então, a ondição de ompatibilidade de desloamentos horizontais no ponto de inflexão da oluna é DQ FQ () em que D Q é o desloamento real orrespondente à força ortante e F é a flexibilidade da primeira parte da oluna orrespondente à ação redundante Q. Logo D Q (3) Substituindo a Eq. () na Eq. (3), tem-se: FQ (4) Usando a analogia de Mohr para determinar F (Figura 8), temse F h h 1 h h EI EI (5) 19

23 Figura 8 - Analogia de Mohr apliada à primeira parte da oluna do painel de base. Fazendo Q P e substituindo a Eq. (5) na Eq. (4), tem-se 3 P h 3EI (6) Como a estrutura desloa-se omo um todo, somam-se as rigidezes das N olunas, isto é, P h 3EIN 3 (7) Substituindo a Eq. (7) na Eq. (1) vê-se que o desloamento devido ao efeito da força ortante vale 0

24 1 3 P h 3 Ph 3EIN 1EIN (8) O desloamento é devido à flexão da viga onforme ilustra a Figura 5. Na hipótese de pequenas deformações, Figura 9, vale θ S ( θ ) tg S h (9) Logo, o desloamento devido ao efeito da flexão das vigas é h θ S (30) em que θ S é a rotação da extremidade ontraventada da oluna e h é a altura do painel. O momento fletor na oluna vale M Kθ S θ S (31) em que K θ S é a rigidez rotaional da estrutura no nível da viga e no plano de flexão. Então M θ s (3) K θs Da Figura 4 deduz-se que: M P h h P a + h + h ( ) a (33) 1

25 em que h é a altura do painel e h a é a altura do painel adjaente. Substituindo a Eq.(33) na Eq.(3), tem-se θ S ( + ) Ph h a K θ S (34) Figura 9 - Relação entre a rotação e a deflexão horizontal no ponto de inflexão da oluna do painel de base. K θ é definido omo a rigidez rotaional da estrutura na S direção do eixo de flexão, portanto, para determiná-lo, vamos dar um giro unitário na direção da arga e projetá-la na direção de ada viga. Logo, a viga que faz um ângulo α ij, om a direção da arga vai girar os( α ij ) (Figura 10). Figura 10 - Coneito de K θ S. Para a situação mostrada na Figura 11 e usando a analogia de Mohr, tem-se:

26 M EI 6 θ (35) L em que M é o momento neessário para dar um giro unitário no engaste. Logo, M ML (36) 6 EI Para ada viga vem: Figura 11 - Cálulo de K θ S. M EI 6 os α ij (37) L em que α ij é o ângulo que a j-ésima viga onetada à i-ésima oluna faz om a força lateral. Projetando M na direção do eixo de flexão e onsiderando que o ângulo do vetor momento om o eixo de flexão é o mesmo da viga om a arga, tem-se, para todos os nós, 3

27 K θs N EI v v 6 os αij (38) L i 1 j 1 em que: E v é o módulo de elastiidade das vigas, I v é o momento de inéria das vigas; e L é o vão das vigas. Como E v, I v e L são onstantes, N N N EI v v EI v v K θ 6 S αij 6 os os αi 1 + os αi (39) L L i 1 j 1 i 1 i 1 Como as olunas são loalizadas ao longo da periferia de um írulo, segundo a identidade de Moivre, demonstrada no item 3.3, tem-se N N N os αi 1 os αi (40) i 1 i 1 pois pode-se dizer que N N N os αi 1 i i 1 i 1 os β (16, repetida) porque os ângulos que omeça om n θ α ij também formam uma progressão aritmétia e tem razão n π. Logo, a rigidez rotaional da estrutura na direção do eixo de flexão vale EI v v K θ 6 N S (41) L Substituindo a Eq.(41) na Eq. (34), obtém-se θ S ( h ) Ph + 1EIN a v v L (4) 4

28 e levando para a Eq. (30), obtém-se ( + ) Ph ha Lh 4EIN v v (43) Substituindo as Eqs. (8) e (43) na Eq. (0), finalmente enontra-se o desloamento lateral da estrutura na extremidade ontraventada do painel extremo: S EIN ( + ) 3 Ph Ph ha Lh + 1 4EIN v v (44) Calulados os valores de S e θ S, será determinado y, que é a distânia do ponto de inflexão até a extremidade restringida (Figura 1). Figura 1 - Determinação da altura do ponto de inflexão nos painéis do topo e da base. y M pr M pr + M p h (45) 5

29 em que M pr e M p são os momentos nas extremidades restringidas e ontraventadas, respetivamente, dos painéis extremos, que serão alulados a seguir. Seja a oluna da Figura 4 representada pela barra horizontal biengastada da Figura 13(a). Trata-se de determinar as rigidezes dos nós A e B, determinando o momento M B que deve ser apliado em B para produzir a rotação ϕ1, Figura 13(b), e para produzir um desloamento vertial unitário onforme a Figura 13(). Figura 13 - Momentos nas extremidades da oluna do topo ou da base. Resolve-se a viga bi-engastada AB para o realque angular ϕ1, indiado na Figura 14(a). Supondo a barra om inéria onstante I e módulo de elastiidade E, pode-se obter o diagrama de momento fletor, pelo proesso de Mohr (Figura 14b), o que resulta, Figura 14(), em 6

30 Figura 14 - Cálulo dos momentos nas extremidades das olunas do topo ou da base: parela devida à rotação θ s. Sendo o aspeto do diagrama de momentos fletores o indiado na Figura 14(b), e a viga onjugada, arregada om M/EI, a indiada na Figura 14(), impondo a esta última as ondições de equilíbrio, tem-se M A h h MB h h MB EI 0 3 EI 3 0 (46) MB h MA h FV 0 + EI EI 1 (47) Desenvolvendo as Eqs. (46) e (47), hega-se às equações seguintes 7

31 EI MA (48) h e 4EI M B (49) h Apliando um desloamento vertial unitário em B, Figura 15(a), e seguindo o mesmo desenvolvimento anterior, Figuras 15(b) e 15(), hega-se às Eqs. 50 e 51: MB h h MA h h MB EI (50) 3 EI 3 MB h MA h FV 0 EI EI (51) que resultam em M A EI MB 6 h (5) 8

32 Figura 15 - Cálulo dos momentos de engastamento nas olunas de base e de topo: parela devida a s. Como há um desloamento lateral igual a S e uma rotação θ S, M p e M pr, momentos na extremidade ontraventada e restringida, respetivamente, do painel extremo da estrutura, valem em A M pr 6EIN EINθ h h S S (53) e em B M p 6EIN 4EINθ h h S S (54) em que E é o módulo de elastiidade das vigas; I é o momento de inéria das vigas; e h é a altura do painel. 9

33 Substituindo as Eqs. (53) e (54) na Eq. (45), obtém-se a altura do ponto de inflexão y ( 3 S hθs) ( hθ ) 3 S S h (55) Substituindo as Eqs. (4) e (44) na Eq. (55), resulta y 3EI L EI + h 6EI L ( h + h ) v v a v v h h (56-a) ou y ( ) 6hEI + EILh + h v v a 1EIh v v (56-b) Se os painéis têm alturas iguais, a Eq. (56-a) ou (56-b) se reduz à equação y 3E v Iv EI + L h 6EvI v h (57-a) L ou y 3EIh v v + EIL 6EI v v (57-b) Ainda se pode determinar rigorosamente a posição do ponto de inflexão das olunas de extremidade pelo proesso iterativo: 30

34 passo iniial y ( 1) h / passo j, j 1,...J (j) 6E viv Kθ s N (j) h y h + ha (j) P Py (j) θ s (j) Kθ s (j) 3 (j) Py 1 3E I N (j) (j) (j) θs ( h y ) (j) (j) (j) s 1 + (j) 6EI N (j) E I N M pr s h h (j) 6EI N (j) 4E I N Mp s h h (j) (j + 1) Mpr y h (j) (j) Mpr + Mp θ (j) s θ (j) s (58) em que j india a iteração; (j) K θ s é a rigidez rotaional da estrutura no nível da viga e no plano de flexão; (j) θ s é a (j) rotação da extremidade ontraventada da oluna; s é o desloamento lateral da extremidade ontraventada do painel extremo; M é o momento na extremidade restringida; e M j) é (j) pr o momento na extremidade ontraventada. ( p Os valores onvergidos de y, enontrados pelo método iterativo, são muito próximos dos valores enontrados pela fórmula (56-a), pois esta fornee uma boa estimativa de loalização do ponto de inflexão, podendo, assim, ser alulado o momento de tombamento para determinação da força axial nas olunas dos painéis do topo e da base pelo método da viga em balanço. 31

35 3.4 - Força Cortante e Momento nas Vigas Considere um plano vertial normal à direção de uma força lateral e passando através de duas vigas quaisquer. Em qualquer nível de ontraventamento, este plano está sujeito a uma força ortante vertial igual à diferença entre a soma das forças axiais nas olunas em um lado do plano, nos painéis superiores e inferiores. O ortante na viga é máximo se o plano passa através do eixo de flexão om metade das olunas de um lado do plano (Figura 16). Então 0,5N Fij Fij + 1 V vj (59) i 1 em que: V vj é o ortante de projeto na viga no j-ésimo nível de ontraventamento; F, F ij ij + 1 é a força axial na i-ésima oluna no j-ésimo e (j+1)-ésimo painel, respetivamente. Substituindo a Eq. (18) em (59), tem-se o ortante de projeto na viga no j-ésimo nível de ontraventamento, isto é: V vj 05, N, PH ( j Hj+ 1) PYj Xi NR NR i 1 05N i 1 X i (60) em que: ( H H + ) Y é a distânia entre pontos de j j 1 j inflexão no j-ésimo e (j+1)-ésimo painéis. Além disso, X i R sen β. Portanto, a Eq. (60) pode ser expressa omo i V vj (, 05N PY 1) j π π sen + i NR N N i 0 (61) 3

36 Figura 16 - Determinação da força ortante de projeto nos ontraventamentos: a) vista global da estrutura; b) direção rítia de arga; ) diagrama de orpo livre. Para simplifiar a Eq. (61), seja o número omplexo Z na forma polar: Z ( i ) ρ os θ + sen θ (6) Sendo a 1ª e a ª fórmulas de Moivre dadas por ( ) n n Z ρ os nθ + isen nθ (63) e 33

37 n Z n θ π θ π ρ os + k + i sen + k n n n n (64) e sendo a unidade na forma omplexa esrita por 1 os 0 + i sen 0 (65) as raízes da unidade são n 1 k π i k π os + sen n n (66) em que k 0, 1,,...,n-1. Fazendo k 1 e hamando esta raiz de w, vem: w π π os + i sen n n (67) e as raízes aima tornam-se 1, w, w,..., w n-1. Se Z r é uma raiz qualquer do omplexo Z, então as raízes n-ésimas de Z são Z r, Z r w, Z r w,..., Z r w n-1. A fórmula para a soma de uma série geométria finita é dada da seguinte maneira: 1 n + 1 n 1 Z + Z + Z Z, (Z 1) (68) 1 Z Calulando a soma das n/ primeiras Eq. (68), tem-se raízes de Z, usando a 05, n 1 k 0 0, 5n 1 Z Z + Zw + Zw Zw k r r r r 0, 5n 1 ( ) Z w w w r (69) 34

38 Sendo 1 0, 5n 1 + w + w w 1 w 05, n 1 w (70) a substituição das Eqs. (65) e (67) na Eq. (70), resulta em 1 1 n π n π 05, n 1 1 os + i sen w n n w π π os 0 + i sen 0 os i sen n n (71) Usando algumas relações da trigonometria e simplifiando a Eq. (71), hega-se a 1 1 w 05, n 1 w 1 sen π sen π i os π n n n (7) Substituindo a Eq. (7) na Eq. (69), obtém-se π 05, n 1 Zr os se π Zr os se n Z n k π π k i π π π π 0 sen os os i sen n n n n π Zr os se n π π π π os i sen n n (73) Esolhendo Z r onvenientemente omo Z 0 dado por Z n θ θ 0 ρ os + i sen (74) n n e levando em onsideração que, neste aso, θπ e substituindo a Eq. (74) na Eq. (73), vem: 35

39 n π π, n ρ os + i sen n n Zk k π π π π 0 os + i sen n n 05 1 os se π n (75) Sabendo que o quoiente dos números omplexos vale Z Z 1 r1 [ os( θ1 θ) + i sen( θ1 θ ) ]; r 0 (76) r então,, n π n π π π Zk os se ρ os + i sen os se n n 05 1 k 0 n ρ i (77) Apliando a ª fórmula de Moivre, a Eq. (77) simplifia-se resultando k 0 Z k 05n 1 n π π π π ρ os + k + i sen + k k n n n n 0 05, n 1, (78) Igualando as partes imaginárias das Eqs. (77) e (78), tem-se:, n π π π n ρ k n sen + ρ k n n os se (79) 0 n 05 1 Simplifiando a Eq. (79), finalmente hega-se a: 05, n 1 k 0 π π π sen + k os se n n n (80) Substituindo a Eq. (80) na Eq. (61), a força ortante de projeto para a viga no j-ésimo nível de ontraventamento é obtida por: 36

40 V vj PY j NR π os e N (81) Nota-se que a preisão do ortante de projeto depende somente dey j, que é a preisão om a qual o ponto de inflexão pode ser loalizado. Uma vez que as vigas rítias estão dispostas ao longo da direção da força lateral, a forma deflexionada é anti-simétria e o ponto de inflexão em tais diagonais está exatamente no meio do vão. Logo M V L vj vj (8) em que: M vj é o momento fletor de projeto na viga no j-ésimo nível de ontraventamento e L é o omprimento do vão da viga Força Cortante e Momento nas Colunas Uma vez que as ondições de ontorno das olunas dos painéis da extremidade são diferentes daquelas dos painéis intermediários, proessos diferentes são adotados para os dois asos Colunas dos Painéis Intermediários As forças ortantes nas olunas dos painéis intermediários podem ser obtidas onsiderando o equilíbrio de momentos dos nós no plano de flexão. A direção rítia da força lateral e a oluna que arrega a maior força ortante são mostradas na Figura

41 Figura 17 - Determinação da força ortante de projeto em olunas de painéis intermediários: a) direção rítia para as olunas A e D; b) diagrama de orpo livre. As vigas que enontram a oluna rítia fazem um ângulo de (π/n ) om a direção da força lateral, isto é, om o plano de flexão. Devido à simetria, estas vigas suportam forças ortantes V vj iguais. Para dada oluna, o grau de restrição relativa da extremidade em relação a outras olunas é o mesmo em todos os painéis intermediários. Assim, o ortante em uma oluna partiular em todos os painéis intermediários é o mesmo. Considerando equilíbrio de momento no plano de flexão referente ao nó onde a oluna rítia enontra a viga, tem-se V( h + h ) j j+ 1 V L π vj os N (83) Logo, V VvjL ( h + h ) os π (84) N j j+ 1 38

42 em que: V ortante de projeto em olunas de painéis intermediários; h j, h j + 1 altura do j-ésimo e (j+1)-ésimo painéis, respetivamente. A força ortante na viga no j-ésimo nível de ontraventamento, V vj, pode ser determinada seguindo um proesso similar ao que foi usado para determinar a força ortante de projeto nas vigas. Assim tem-se V vj PY j NR N π sen i N (, 05 1) i 1 (85) A identidade de Moivre fornee N sen i π N (, 05 1) i 1 π ot g N (86) Então a Eq. (85) se reduz a V vj PY j NR π ot g N (87) Substituindo a Eq. (87) na Eq. (84) e usando as relações L Rsen(π/N ) e Y j (h j + h j+1 ) /, a Eq. (84) se reduz a V N P os π (88) N A Eq. (88) india que a força ortante de projeto na oluna depende somente do número de olunas da estrutura e que todas as olunas distribuem igual força ortante somente quando N 4. Para N 6, a força ortante de projeto nas olunas é igual a 1,5P / N ; assim, os proessos baseados em forças ortantes iguais nas olunas tende a ser não onservador. Quando o número de olunas aumenta, a força ortante de 39

43 projeto nestas tende a P/ N, a qual é também obtida tratando a estrutura omo uma viga irular, esbelta, vazada, Krishma e Jain [13]. O ponto de inflexão nas olunas de painéis intermediários está perto do meio da altura, logo o momento fletor de projeto pode ser obtido multipliando o ortante de projeto por metade da altura do painel, ou seja, M V h Ph os π (89) N N Colunas dos Painéis Extremos Nos painéis da extremidade todas as olunas têm igual restrição na extremidade fixada, enquanto a restrição nas extremidades ontraventadas depende da onfiguração do ontraventamento. Assim a rigidez relativa das olunas nos painéis extremos é diferente em relação à dos painéis intermediários, e uma redistribuição da força ortante na oluna oorre entre um painel extremo e o painel intermediário adjaente por meio da força axial nas vigas. Como esta força axial nas vigas não é onheida, a força ortante nas olunas dos painéis extremos não pode ser determinada onsiderando o equilíbrio do diagrama de orpo livre, omo foi feito para os painéis intermediários. O momento fletor na oluna rítia na extremidade ontraventada pode ser obtido onsiderando o equilíbrio de momentos no plano de flexão (Figura 18). Então: M V L V h a vj os π N (90) 40

44 em que M é o momento na extremidade ontraventada da oluna rítia; e h a é a altura do painel adjaente. Figura 18 - Determinação do momento fletor de projeto nas olunas dos painéis extremos: a) direção rítia para as olunas A e D; b) deflexões e forças. Substituindo as Eqs. (87) e (88) na Eq. (90) e fazendo L Rsen(π/N ), tem-se M P π os (Y j 0,5h a) N N (91) em que Y 05, h + y e y é a distânia do ponto de inflexão j a do painel extremo até a extremidade ontraventada. Assim, a Eq. (91) se reduz a M Py os π (9) N N 41

45 Apesar de M dado pela Eq. (9) ser o produto do ortante de projeto das olunas dos painéis intermediários (V ) pela distânia do ponto de inflexão do painel extremo até a extremidade ontraventada( y ), o momento na extremidade restringida (M r ) não pode ser esrito omo ( y) P h π os, pois o ortante na oluna nos painéis N N intermediário e extremo é diferente, e o ponto de inflexão do painel global não é ponto de inflexão para a oluna rítia no painel extremo. Os momentos, M e M r, podem ser expressos omo M 6EI 4EIθ h h (93) M r 6EI EIθ h h (94) M r EI M + θ (95) h em que E é o módulo de elastiidade da oluna; I é o momento de inéria da oluna; h é a altura do painel onsiderado; é o desloamento lateral da oluna; e θ é a rotação da oluna no nível do ontraventamento. θ pode ser obtido dividindo o momento que ausa rotação do nó, M θ, pela rigidez rotaional do nó, k θ. Assim: θ M k θ (96) θ 4

46 M θ π V L os vj N PY j N π os N (97) A rigidez rotaional do nó é igual à soma das rigidezes rotaionais no plano de flexão de duas vigas que enontram o nó. Assim, k θ 1EI v v π os (98) L N em que E v é o módulo de elastiidade das vigas; I v é o momento de inéria das vigas. Substituindo as Eqs. (97) e (98) na Eq. (96) tem-se θ PY L j (99) 6 NEI v v Substituindo as Eqs. (9) e (99) na Eq. (95), o momento fletor de projeto na oluna do painel extremo é M e M r P N YEIL j y os π + (100) N 3EIh v v O ortante de projeto na oluna rítia em painéis extremos pode agora ser obtido usando as Eqs. (9) e (99): V e M + h M r P Nh 4y YEIL j os π + (101) N 3EIh v v em que M e é o momento fletor de projeto nas olunas do painel extremo; V e é a força ortante de projeto nas olunas do painel extremo; Y j é a distânia entre pontos de inflexão; e y é a distânia do ponto de inflexão do painel extremo até a extremidade ontraventada. 43

47 4 - ESFORÇOS NO ANEL DE SUSTENTAÇÃO Introdução Este apítulo apresenta a formulação do álulo dos esforços internos no anel que serve de base ao reservatório ilíndrio. O método de álulo é bastante failitado pelo emprego da notação vetorial e é bem apresentado por Biezeno e Grammel [1] e Ruggeri []. A arga vertial sobre o anel é deorrente da ação do reservatório ilíndrio e supõe-se que seja distribuída ontinuamente e apliada ao seu eixo. Hipotetiamente, o plano do anel ontém um dos eixos prinipais de inéria da seção; o segundo eixo prinipal de inéria deve pertener ao plano tangente ao anel Esforços Internos nos Eixos de Simetria entre Apoios Considere o segmento do anel representado na Figura 19 onde há três eixos de simetria: OO - que passa por um apoio; OA e OB - que passam pela bissetriz do aro definido por dois apoios onseutivos. O segmento é, então, dividido em duas partes que orrespondem aos aros AO e BO. Para posiionar o entro de gravidade de uma seção qualquer do anel emprega-se o ângulo ϕ, medido positivamente de OA para OO ou de OB para OO. 44

48 Figura 19 - Sistema auto-equilibrado de esforços relativos a um treho de anel definido por três eixos de simetria onseutivos. O segmento de anel está em equilíbrio sob a ação da reação vertial V! no apoio O, as forças ortantes Q! nos pontos A e B, os momentos fletores M! f, os momentos de torção M! t e a arga distribuída q. A onvenção de sinais adotada é: (a) as argas e as reações são positivas quando atuam no sentido vertial desendente; (b) os momentos fletores são positivos quando traionam as fibras inferiores do anel; () os momentos de torção têm a direção da tangente ao anel e é positivo quando provoa giro da seção no sentido horário. Conforme a Eq. (5) e observando as Figuras 3(a) e 3(b), podese dizer que o ângulo entre dois eixos de simetria quaisquer vale π θ (10) N 45

49 A ondição de equilíbrio de forças vertiais resulta na reação de apoio!! V qrθ k (103) O equilíbrio de forças vertiais no segmento representado na Figura 19 permite alular as forças ortantes Q!, ou seja, ( V Q + qrθ ) k! 0 (104) o que, onsiderando a Eq. (103), resulta em! Q 0 (105) No segmento AO o momento da arga distribuída em um aro elementar AG de omprimento Rdϕ, M!, é pa θ!! MpA ( G O ') qrd ϕ k 0 (106) em que (G-O ) é o vetor de posição de G em relação a O, que vale!!, G O R i R j [ 1 os( θ ϕ) ] sen( θ ϕ) (107) Substituindo a Eq. (107) na Eq. (106), tem-se M! qr i! j! pa θ + θ θ (108) [ ( 1 os ) ( sen ) ] No segmento BO, enontra-se, de modo análogo,! M pb!! [( 1 os θ) i + ( θ sen θ) j] qr (109) 46

50 Portanto, o momento resultante das argas em O é! M p!!! M + M qr ( θ sen θ)j (110) pa pb Se no ponto O atuam os momentos momento resultante em O vale M! f e M! t (Figura 0), o Figura 0 Propagação dos momentos M! f e M! t.!!!!! M M sen θi M sen θ j (111) M t f A ondição de equilíbrio de momentos em O fornee!! M sen θi + M sen θ + qr θ sen θ j 0 t [ f ( )] (11) donde onlui-se que M t 0 (113) e 47

51 θ Mf qr 1 (114) sen θ Esforços na Seção Genéria Os esforços na seção genéria G do segmento AO, definida pelo ângulo ϕ medido em relação a OA, são N 0 (115) Q qrϕ (116) O momento resultante no aro AG é M! G, deorrente da soma vetorial dos momentos devidos à arga distribuída M! p e da propagação dos momentos M! f e M! t em O para a seção G onsiderada, isto é,!! MG [ Mf os ϕ qr (1 os ϕ) ] i +! + [ M sen ϕ + qr ( ϕ sen ϕ) ]j (117) Denominando de f M! fϕ e tϕ respetivamente, na seção G, resulta M " os momentos de flexão e de torção,! M G!! M i M j (118) tϕ + fϕ Considerando a Eq. (114), os ϕ M f ϕ qr 1 (119) sen θ θ e 48

52 sen ϕ ϕ M t ϕ qr ϕ 1 (10) sen θ θ 49

53 5 EXEMPLOS E COMPARAÇÕES O método proposto foi apliado à análise de estruturas de torres típias om o objetivo de se avaliar a preisão dos resultados obtidos em relação àqueles produzidos pelo método de elementos finitos. O programa SAP-90 é utilizado e as estruturas são aluladas omo pórtios espaiais om ompatibilização dos desloamentos do anel superior. São analisadas as seis estruturas desritas abaixo sob arga horizontal apliada na oluna e no meio do vão da viga Estrutura de Base Hexagonal om Três Painéis A estrutura é omposta por 3 painéis de altura onstante de 4m. As olunas estão dispostas na periferia de um írulo de raio R.50m e são tubos de diâmetro externo φ ext. 15.4mm e espessura e8mm enquanto que as vigas são tubos de diâmetro externo φ ext. 17.0mm e espessura e8.0mm. A arga lateral P40KN está apliada no topo da oluna, Figura 1(a) ou no meio do vão da viga, Figura 1(b). Também é analisado separadamente um anel de sustentação, ujo raio é o mesmo da estrutura, sob ação de uma arga normal distribuída q 7KN/m. 50

54 Figura 1 Torre de base hexagonal om 3 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga. 5.- Estrutura de Base Hexagonal om Doze Painéis A estrutura é omposta por 1 painéis de altura onstante de 3,0m. Os perfis das olunas e das vigas, a arga e o raio do írulo onde a estrutura está insrita são os mesmos da estrutura anterior, item 5.1. A arga lateral está apliada no topo da oluna, Figura (a) ou no meio do vão da viga, Figura 3(b). 51

55 Figura Torre de base hexagonal om 1 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga Estrutura de Base Otogonal om Quatro Painéis A estrutura tem quatro painéis, sendo que os três primeiros têm altura de 4,0m e o último altura de 5,0m. O raio do 5

56 írulo perifério da base, é R4,50m. As olunas são tubos de diâmetro externo φ ext. 15.4mm e espessura e8mm e as vigas são tubos de diâmetro externo φ ext. 17.0mm e espessura e8.0mm. A arga lateral P50KN está apliada no topo da oluna, Figura 3(a) ou no meio do vão da viga, Figura 3(b). Também é analisado separadamente um anel de sustentação, ujo raio é o mesmo da estrutura, sob ação de uma arga normal distribuída q 10KN/m. Figura 3 Torre de base otogonal om 4 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga Estrutura de Base Otogonal om Doze Painéis A estrutura é omposta por 1 painéis de altura onstante de,8m. Os perfis das olunas e das vigas, a arga e o raio do 53

57 írulo onde a estrutura está insrita são os mesmos da estrutura anterior, item 5.3. A arga lateral está apliada no topo da oluna, Figura 4(a) ou no meio do vão da viga, Figura 4(b). Figura 4 Torre de base otogonal om 1 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga. 54

58 5.5- Estrutura de Base Deagonal om Quatro Painéis A estrutura tem quatro painéis, sendo que os três primeiros têm altura de 5m e o último, altura de 5,50m. O raio do írulo perifério da base é R4,50m. As olunas são tubos de diâmetro externo φ ext. 15,4mm e espessura e8mm e as vigas são tubos de diâmetro externo φ ext. 17.0mm e espessura e8mm. A arga lateral P60KN está apliada no topo da oluna, Figura 5(a) ou no meio do vão da viga, Figura 5(b). Também é analisado separadamente um anel de sustentação, ujo raio é o mesmo da estrutura, sob ação de uma arga normal distribuída q 1KN/m. Figura 5 Torre de base deagonal om 4 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga. 55

59 5.6- Estrutura de Base Deagonal om Doze Painéis A estrutura é omposta por 1 painéis de altura onstante de,8m. Os perfis das olunas e das vigas, a arga e o raio do írulo onde a estrutura está insrita são os mesmos da estrutura anterior, item 5.5. A arga lateral está apliada no topo da oluna, Figura 6(a) ou no meio do vão da viga, Figura 6(b). Figura 6 Torre de base deagonal om 1 painéis submetida a arga lateral: a) arga apliada na oluna e b) arga apliada no meio do vão da viga. 56

60 5.7 Análise de Resultados As Tabelas 1, e 3 apresentam as forças axiais nas olunas para os diferentes painéis das seis estruturas analisadas om o arregamento apliado na oluna. Verifia-se que, nos painéis intermediários, os resultados obtidos pelo método desrito e o Método de Elementos Finitos são pratiamente idêntios, om erros de no máximo 1.0%. No painel da base, a força axial nas olunas apresenta erros do método proposto para o método dos elementos finitos de no máximo 5.46%. No painel superior, o método proposto apresenta erros elevados de álulo das forças axiais: aima de 1.9% e inferiores a 65.45%. Nas Tabelas 4,5 e 6 figuram as forças ortantes nas olunas, para as seis estruturas aluladas om o arregamento apliado nas olunas para as de base otogonal e om o arregamento apliado no meio do vão das vigas para as de bases hexagonais e bases deagonais. O erro médio das forças ortantes nas olunas aluladas pelo método proposto para as forças ortantes previstas pelo método de elementos finitos é de 13% nos painéis intermediários; e nos painéis superiores, é de 16%. Nos painéis da base, o erro varia entre 1.3% e 7.77%. Nas Tabelas 7,8 e 9 figuram os momentos fletores nas olunas para as seis estruturas aluladas om os asos de arregamentos iguais aos das forças ortantes nas olunas. Observa-se um erro médio de 13% do método desrito em relação ao Método de Elementos Finitos para os momentos nas olunas. As Tabelas 10,11 e 1 listam as forças ortantes nas vigas alulados pelo método desrito e pelo Método de Elementos Finitos. Verifia-se que, nos painéis intermediários, os resultados obtidos pelo método desrito e o Método de 57

61 Elementos Finitos são muito próximos, om um erro máximo.33%. Nos paineis superios os erros variam entre 11.78% e 35.1%, enquanto que nos painéis da base os erros variam entre.8% e 3.01%. As Tabelas 13,14 e 15 listam os momentos fletores nas vigas alulados pelo método desrito e pelo Método de Elementos Finitos. Verifia-se um erro máximos de.9% nos painéis intermediários. Nos painéis superiores, os erros no álulo desses esforços variam entre 11.78% e 35.09%, enquanto que nos painéis da base estes variam entre.8% e 3.03%. As Tabelas 16,17,18 mostram os valores dos esforços no anel de sustentação para as estruturas de base hexagonal, otogonal e deagonal, respetivamente. Estes valores foram alulados usando a formulação apresentada no Capítulo 4. 58

62 Força Axial nas Colunas (KN) Estrutura Painel Elementos Método Erro Finitos Proposto (%) 1 49,57 49,37-0, ,69 3,00 0,98 3 1,00 14,63 1, ,7 180,00-1,78 167,86 168,00 0, ,87 15,00 0, ,89 136,00 0, ,90 10,00 0, ,91 104,00 0, ,93 88,00 0, ,94 7,00 0, ,95 56,00 0, ,97 40,00 0, ,98 4,00 0,08 1 8,4 11,96 45,15 Tabela 1 Valores das forças axiais nas olunas das estruturas 5.1 e

63 Força Axial nas Colunas (KN) Estrutura Painel Elementos Método Erro Finitos Proposto (%) 1 41,06 38,8-5, ,56 30,56 0, ,34 19,44 0,5 4 7,10 9,50 33, ,90 86,60 -,59 81,65 81,67 0,0 3 73,87 73,89 0, ,09 66,11 0, ,38 58,33-0, ,54 50,56 0,04 7 4,77 4,78 0,0 8 34,99 35,00 0,03 9 7,1 7, 0, ,44 19,44 0, ,67 11,67 0,00 1 4,07 6,73 65,45 Tabela Valores das forças axiais nas olunas das estruturas 5.3 e

64 Força Axial nas Colunas (KN) Estrutura Painel Elementos Método Erro Finitos Proposto (%) 1 47,9 45,79-3, ,68 34,67-0,03 3 1,7 1,33 0,8 4 7,54 9,44 5, ,31 83,66-1,93 78,39 78,40 0, ,91 70,93 0, ,45 63,47 0, ,99 56,00 0,0 6 48,5 48,53 0,0 7 41,06 41,07 0,0 8 33,59 33,60 0,03 9 6,13 6,13 0, ,66 18,67 0, ,0 11,0 0,00 1 3,90 5,94 5,8 Tabela 3 Valores das forças axiais nas olunas das estruturas 5.5 e

65 Força Cortante nas Colunas(KN) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 8,18 8,30 1, ,48 10,00 5,49 3 9,59 8,30-13,45 1 7,63 7,53-1,3 8,53 10,00 17,3 3 8,47 10,00 18,06 4 8,48 10,00 17, ,48 10,00 17,9 6 8,48 10,00 17,9 7 8,48 10,00 17,9 8 8,48 10,00 17,9 9 8,48 10,00 17,9 10 8,47 10,00 18, ,49 10,00 17,79 1 8,19 7,59-8,07 Tabela 4 Valores das forças ortantes nas olunas das estruturas 5.1 e 5.. 6

66 Força Cortante nas Colunas (KN) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 7,79 7,59 -, ,18 10,67 16,3 3 9,40 10,67 13,51 4 8,31 8,57 3,10 1 7,98 5,76-7,77 9,54 10,67 11,84 3 9,44 10,67 13,03 4 9,45 10,67 1,91 5 9,45 10,67 1, ,45 10,67 1,91 7 9,45 10,67 1,91 8 9,45 10,67 1,91 9 9,45 10,67 1, ,45 10,67 1, ,46 10,67 1,79 1 9,11 5,76-36,73 Tabela 5 Valores das forças ortantes nas olunas das estruturas 5.3 e

67 Força Cortante nas Colunas (KN) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 7,64 8,9 16, ,15 10,85 18,58 3 9,0 10,85 17,93 4 8,44 9,0 9,03 1 7,98 6,94-13,03 9,77 10,85 11,05 3 9,65 10,85 1,44 4 9,66 10,85 1,3 5 9,66 10,85 1, ,66 10,85 1,3 7 9,66 10,85 1,3 8 9,66 10,85 1,3 9 9,66 10,85 1,3 10 9,66 10,85 1,3 11 9,67 10,85 1,0 1 9,30 6,94-5,38 Tabela 6 Valores das forças ortantes nas olunas das estruturas 5.5 e

68 Momento Fletor nas Colunas (KNm) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 0,06 0,64, ,49 0,00,6 3 1,05 0,64-1, ,88 15,0 6,43 13,00 15,00 15,38 3 1,86 15,00 16,64 4 1,86 15,00 16,64 5 1,84 15,00 16, ,8 15,00 17,00 7 1,81 15,00 17,10 8 1,79 15,00 17,8 9 1,77 15,00 17, ,75 15,00 17, ,75 15,00 17,65 1 1,43 15,0 0,84 Tabela 7 Valores dos momentos fletores nas olunas das estruturas 5.1 e

69 Momento Fletor nas Colunas (KNm) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 15,91 19,94 5, ,44 1,34 15, ,80 1,34 13,51 4 0,95 6,00 4, ,58 1,13 4,75 13,47 14,94 10, ,5 14,94 1, ,7 14,94 1, ,7 14,94 1, ,6 14,94 1, ,6 14,94 1, ,5 14,94 1, ,5 14,94 1, ,4 14,94 1, ,5 14,94 1,75 1 1,99 1,13-6,6 Tabela 8 Valores dos momentos fletores nas olunas das estruturas 5.3 e

70 Momento Fletor nas Colunas (KNm) Estrutura Painel Elementos Finitos Método Proposto Erro (%) 1 19,34 6,44 36,71 5.5,80 7,14 19,04 3 3,01 7,14 17,95 4 3,36 9,33 5, ,50 13,1 14,87 13,77 15,0 10, ,47 15,0 1, ,57 15,0 1, ,56 15,0 1, ,56 15,0 1, ,55 15,0 1, ,55 15,0 1, ,54 15,0 1, ,54 15,0 1, ,54 15,0 1,6 1 13,1 13,1 0,00 Tabela 9 Valores dos momentos fletores nas olunas das estruturas 5.5 e

71 Força Cortante nas Vigas (KN) Estrutura Viga Elem Finitos Método Proposto Erro (%) 1 17,87 17,37 -, ,69 17,37-11, ,41 1,04-1,87 15,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,99 16,00 0, ,74 1,04-3,51 Tabela 10 Valores das forças ortantes nas vigas das estruturas 5.1 e 5.. Força Cortante nas Vigas (KN) Estrutura Viga Elem Finitos Método Proposto Erro (%) 1 11,64 10,80-7, ,19 14,5, , 1,99-14,65 1 9,48 6,45-3,01 10,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,16 10,16 0, ,15 10,16 0, ,93 6,45-35,10 68