MODELO INELÁSTICO PARA ANÁLISE AVANÇADA DE ESTRUTURAS MISTAS AÇO-CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO. Daniel Lemos Mouço

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1 MODELO IELÁSICO PR ÁLISE VÇD DE ESRUURS MISS ÇO-COCREO EM SIUÇÃO DE ICÊDIO Daniel Lemos Mouço DISSERÇÃO SUBMEID O CORPO DOCEE D COORDEÇÃO DOS PROGRMS DE PÓS-GRDUÇÃO DE EGEHRI D UIVERSIDDE FEDERL DO RIO DE JEIRO COMO PRE DOS REQUISIOS ECESSÁRIOS PR OBEÇÃO DO GRU DE MESRE EM CIÊCIS EM EGEHRI CIVIL. provada por: Pro. Eduardo de Miranda Batista, D. S. Pro. leandre Landesmann, D. S. Pro a. Mihèle Shubert Peil, D. S. Pro. João Paulo Correia Rodrigues, D. S. RIO DE JEIRO, RJ - BRSIL MRÇO DE 8

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3 MOUÇO, DIEL LEMOS Modelo inelástio para análise avançada de estruturas mistas aço-onreto em situação de inêndio [Rio de Janeiro], 8 XXII, 9 p. 9,7 m (COPPE/UFRJ, M.S., Engenharia Civil, 8) Dissertação Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE. nálise avançada. Inêndio 3. Estruturas mistas aço-onreto I. COPPE/UFRJ II. ítulo (série). ii

4 Deus, os meus pais Charles e ania, e minha irmã Luiza, Daniele. iii

5 GRDECIMEOS o orientador leandre Landesmann, por todo seu apoio durante o desenvolvimento desta pesquisa, por areditar no meu potenial e prinipalmente pelos onselhos e ensinamentos que nuna se restringiam ao assunto estudado. Muito obrigado! o orientador Eduardo de Miranda Batista, por toda a liberdade e oniança no desenvolvimento deste trabalho. Obrigado pela ajuda e intervenção nos momentos diíeis, esseniais para o amadureimento e resimento pessoal. os proessores José Luis Drummond lves, Luiz Fernando aborda e Eliane Carvalho, pelos ensinamentos e prinipalmente pelo apoio quando meu pai adoeeu. os amigos que iz durante esta aminha na UFRJ, Raael Sgarbi, hais Sampaio, Renato Maia, Luiana Imbiriba, Cassiano Crivano, Daniel Monnerat, Camila Oliveira, Mauriio Sgarbi, Carlos Eduardo Rossigali, iago Limoeiro, dleides da Silva, Emerson dos Santos, Jonlson marante, dentre outros, que sempre ouviram minhas relamações e om quem ompartilhei momentos inesqueíveis desde o iníio da graduação e durante o mestrado. todos os meus amigos que sempre me aompanharam, me apoiaram e inentivaram a nuna desistir, mesmo quando tudo pareia impossível. Obrigado em espeial aos amigos Saulo, Breno, Fabio, Fabinho, Luiz Felipe, Cro, Daniel, Jaqueline, Lorena, Renata, Mariana, hiago, leandra, Elizabeth, Juliana, Eduardo, Vanessa e Gustavo. os meus avós, tios, tias, primos e toda a minha amília, pelo orgulho que sempre sentiram de mim, por estarem sempre ao meu lado, nas minhas maiores onquistas e nas grandes rustrações. Obrigado à minha nova amília, Luiz e Marise Carvalho, Luiziane, ndré, Luiz Junior e Dona Maria do Carmo. iv

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ omo parte dos requisitos neessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciênias (M.S.) MODELO IELÁSICO PR ÁLISE VÇD DE ESRUURS MISS ÇO-COCREO EM SIUÇÃO DE ICÊDIO Daniel Lemos Mouço Março/8 Orientadores: Eduardo de Miranda Batista leandre Landesmann Programa: Engenharia Civil Este trabalho é dediado ao desenvolvimento de uma erramenta omputaional de análise avançada que realiza a análise inelástia de estruturas aportiadas de aço e mistas (aço-onreto) em ondição de inêndio. O módulo de análise térmia transiente onsidera automatiamente os eeitos da eposição não-uniorme do elemento ao ogo, assim omo a não-linearidade das propriedades térmias dos materiais. O omportamento estrutural inelástio é simulado até o olapso por um modelo om ormulação orotaional e grandes desloamentos baseado no método das unções de estabilidade e prinípios de plastiidade onentrada. redução da rigidez leional é modelada através do método das rótulas plástias reinadas e um módulo de elastiidade tangente, onde ambos onsideram a perda de rigidez deorrente dos eeitos inelástios e a redução da apaidade resistente. v

7 bstrat o Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial ulillment o the requirements or the degree o Master o Siene (M.S.) IELSIC MODEL FOR DVCED LYSIS OF COMPOSIE SRUCURES UDER FIRE SIUIO Daniel Lemos Mouço Marh/8 dvisors: Eduardo de Miranda Batista leandre Landesmann Department: Civil Engineering his work is dediated to the development o an advaned analsis omputational tool that perorms inelasti analsis o steel and omposite (steelonrete) ramed-strutures under ire onditions. transient heat transer analsis model is used to automatiall onsider the temperature gradient eets due to nonuniorm eposure to ire taking into aount the non-linear thermal proprieties o the materials. he strutural inelasti behavior is simulated up to the ailure, b a seondorder o-rotational large-displaement ormulation, based on the onepts o Stabilit Funtions and plasti hinge method. he leural stiness degradation due to inelasti behavior is onsidered b the reined-plasti hinge method and the tangent modulus model, whih inludes both gradual inelasti redution o stiness and ultimate strength o olumn members. vi

8 ÍDICE Introdução. Motivação. Engenharia de Segurança Contra Inêndio.. Caraterização do inêndio.. Engenharia de Segurança Contra Inêndio 4.3 Comportamento estrutural em situação de inêndio 7.4 Coneito de análise avançada de estruturas 9.5 Revisão bibliográia.6 Objetivos.7 Organização do trabalho 4 nálise térmia 6.- Modelagem do inêndio 6. Proessos de transerênia de alor.. Dedução da equação dierenial transiente de transerênia de alor.. Condições de ontorno.3 Propriedades térmias dos materiais em altas temperaturas 3.3. Condutividade térmia 4.3. Calor espeíio Massa espeíia 6.4 Solução pelo Método dos Elementos Finitos 6.4. Dedução das matrizes de apaitânia e ondutividade 6.4. Integração temporal Validação do programa desenvolvido 34.5 Métodos simpliiados de análise térmia Peris de aço isolados Elementos de onreto armado 43 3 nálise estrutural Comportamento meânio dos materiais sob altas temperaturas Degradação das propriedades meânias dos materiais 46 vii

9 3.. ensões residuais longamento espeíio Método das unções de estabilidade Dedução da matriz de rigidez em oordenadas loais ransormação das oordenadas loais para o reerenial Modiiação na ormulação do MFE Comportamento inelástio das seções transversais Método das ibras Diagramas arga aial versus deormação Diagramas Momento Fletor versus Curvatura versus 69 Esorço ormal Superíies de ruptura Modelo de plastiidade onentrada para leão omposta reta Método das ibras Interpolação do Diagrama M-κ-P Fator de degradação da rigidez leional Modelagem da instabilidade inelástia de olunas Deinição de módulo tangente Método de ewmark Cálulo do módulo de elastiidade tangente Cálulo do módulo de elastiidade tangente Esorços de engastamento pereito em unção da temperatura 93 4 pliação do método Desrição do modelo nálise térmia Degradação das propriedades meânias 4.4 Modelo de análise avançada para situação de inêndio Comportamento estrutura 5 Considerações inais 6 5. Conlusões 6 5. Considerações inais 9 viii

10 6 Bibliograia Capítulo Introdução ÍDICE DE FIGURS Figura. Fases do inêndio, adaptada de LDESM (3) 3 Figura. Árvore de deisões para o atendimento dos requisitos de 5 segurança ontra o ogo, adaptado de LDESM (3) Figura.3 Proesso de plastiiação da seção 9 Figura.4 Etapas do programa de análise avançada 3 Capítulo nálise térmia Figura. Curvas Padrão de inêndio 7 Figura. Figura.3 Figura.4 Figura.5 Figura.6 Comparação entre urvas de inêndio natural para diversas ondições de ventilação (a)- Elemento ininitesimal de um sólido sujeito à transerênia de alor; (b) Deinição de domínio e das ondições de ontorno, adaptada de LEWIS (4) (a) Condutividade térmia do aço; (b) Condutividade térmia do onreto (a) Calor espeíio do aço; (b) Calor espeíio do onreto (a) Malha de elementos initos para graus de liberdade; (b) Deinição de unção de orma em oordenadas loais no elemento, adaptadas de ZIEKIEWCZ (989) Figura.7 (a) Elemento inito retangular para análise térmia; 7 (b) Malha de elementos initos Figura.8 Método das dierenças initas para integração temporal 3 Figura.9 Figura. Figura. Malha om nós gerada para a análise térmia no programa ERMO Malha om 3 nós gerada para a análise térmia no programa SFIR Comparação entre as análises do programa SFIR e do programa ERMO Figura. Comparação entre as análises do programa ERMO om 87 e nós Figura.3 Comparação entre as análises do programa ERMO om t =.5 s e t = 5 s i

11 Figura.4 Comparação entre as análises do programa ERMO, onsiderando o eeito da não linearidade das propriedades térmias dos materiais. Figura.5 Sensibilidade do modelo simpliiado desrito na eq..48 ao ator de massividade para a urva ISO 834 Figura.6 Sensibilidade do modelo simpliiado desrito na eq..49 ao ator de massividade para a urva paramétria Figura.7 Comparação entre o MEF e o método das 3 zonas Figura.8 Figura.9 Comparação entre a presrição EC pt.. e o método de Wikström para lajes Comparação entre o método de Wikström e a presrição do EC pt.. para pilar 3 3; a) t = 3 min; b) t = 6 min; ) t = 9 min; d) t = min Capítulo 3 nálise estrutural Figura 3. Fatores de degradação das propriedades meânias do aço 48 Figura 3. Diagrama tensão versus deormação do aço 48 Figura 3.3 Fatores de degradação das propriedades meânias do onreto 5 Figura 3.4 Diagrama tensão versus deormação do onreto 5 Figura 3.5 Distribuição de tensões residuais nos peris laminados 5 Figura 3.6 Figura 3.7 Figura 3.8 Figura 3.9 Figura 3. Figura 3. Figura 3. pliação das unções de tensão residual no método das ibras Eeito da tensão de esoamento e das tensões residuais na ompressão pura Eeito das tensões residuais no diagrama tensão versus deormação longamento espeíio do aço e do onreto em unção da temperatura Elemento de viga-oluna utilizado no método das unções de estabilidade; (b) Elemento ininitesimal da viga-oluna Relação entre os desloamentos do elemento de pórtio plano e da viga-oluna Relação entre as orças nodais do elemento de pórtio plano e da viga-oluna

12 Figura 3.3 (a) Relações geométrias básias para o álulo da relação 65 momento letor versus urvatura; (b) Disretização de uma seção pelo método das ibras. Figura 3.4 Comportamento de olunas urtas om atores de 67 ontribuição δ =.65 e δ =. submetidas a soliitações aiais em temperatura ambiente Figura 3.5 (a) Comportamento de olunas urtas om atores de 68 ontribuição δ =.65 submetidas a soliitações aiais em unção de um ampo uniorme de temperaturas; (b) Degradação das propriedades meânias. Figura 3.6 Relações entre as deormações, tensões e esorços aiais. 69 Figura 3.7 Fleão pura de uma viga mista aço-onreto em 7 temperatura ambiente Figura 3.8 Fleão pura de uma seção de onreto armado em 7 temperatura ambiente Figura 3.9 (a) Comportamento do peril durante a leão pura em 73 unção da temperatura; (b) Degradação das propriedades meânias durante a leão pura em unção da temperatura. Figura 3. Comparação entre o método das ibras e o modelo 75 aproimado de CHE e SU para leo-ompressão na maior inéria Figura 3. Comparação entre o método das ibras e o modelo 76 aproimado de CHE e SU para leo-ompressão na menor inéria Figura 3. Diagramas M-κ-P para peris mistos om atores de ontribuição 77 δ =.5 e δ =.65 para leão na maior inéria om temperatura onstante de ºC Figura 3.3 Parâmetros para o alulo da superíie de ruptura de 78 pilares mistos, adaptada do EC 4 pt. Figura 3.4 Comparação entre as superíies de ruptura e as urvas de 79 interação do EC 4 pt. Figura 3.5 Superíie de ruptura em unção da temperatura 8 i

13 Figura 3.6 (a) Variação da relação momento versus urvatura em 8 unção do ator de orma; (b) Variação do ator de orma em unção da ompressão aial Figura 3.7 Diagramas momento letor versus urvatura versus arga 8 aial para o peril W5.5 alulados pelo modelo de KISHI e CHE (988). Figura 3.8 Comparação entre os atores de degradação leional para 83 um peril de aço Figura 3.9 Comparação da deleão de uma viga biapoioada obtidas pelo 84 programa SFE e pelo SFIR. Figura 3.3 Viga-oluna om eentriidade iniial, sujeita a uma 85 distribuição de urvatura não linear. Figura 3.3 Forças nodais equivalentes para o método da viga 87 onjugada Figura 3.3 mpliiação dos momentos letores de uma viga-oluna 88 elástia Figura 3.33 Comparação entre os modelos numérios 9 Figura 3.34 Comparação entre as urvas de lambagem e o modelo 9 desenvolvido Figura 3.35 Comparação entre módulos tangentes 9 Figura 3.36 Comportamento do módulo tangente do pilar misto em 9 unção do aqueimento Figura 3.37 Curvas de degradação do módulo tangente para o modelo 93 implementado Figura 3.38 (a) Força de engastamento pereito devido a dilatação 94 uniorme da seção; (b) Força de engastamento pereito devido ao gradiente de temperaturas na seção transversal. Figura 3.39 Variação do esorço de engastamento pereito P θ em unção da temperatura 95 Capítulo 4 pliação do método Figura 4. Planta baia do pavimento tipo 96 Figura 4. Lançamento da estrutura. 97 ii

14 Figura 4.3 Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6 Figura 4.7 Figura 4.8 Figura 4.9 Figura 4. Figura 4. Figura 4. Figura 4.3 Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6 Figura 4.7 Figura 4.8 Figura 4.9 Figura 4. Figura 4. Figura 4. Elevação do ediíio garagem e seus respetivos arregamentos ipologias de vigas mistas investigadas. (a) Viga mista CB, om proteção térmia de argamassa projetada; (b) Viga mista CB, om as mesas preenhidas Evolução da temperatura da oluna C5 em unção do tempo transorrido Evolução da temperatura da oluna C em unção do tempo transorrido Evolução da temperatura da viga mista CB em unção do tempo transorrido Evolução da temperatura da viga mista CB em unção do tempo transorrido (a) Degradação do esorço aial resistente dos elementos durante a ompressão (a) Degradação da rigidez aial dos elementos durante a ompressão; (b) Degradação da rigidez leional para momentos positivos Superíies de ruptura das olunas durante o inêndio (a) C5; (b) C. Superíies de ruptura das vigas durante o inêndio (a) CB; (b) CB Comportamento leional das olunas (a) C5; (b) C durante o inêndio Comportamento leional das vigas mistas (a) CB; (b) CB durante o inêndio. Variação do ator de orma n para os elementos de aço (a) C; (b) C5; Variação do ator de orma n para as vigas mistas (a) CB; (b) CB; Degradação do módulo tangente das olunas (a) C e (b) C5 durante o inêndio Degradação do módulo tangente das vigas (a) CB e (b) CB durante o inêndio Esorços de engastamento pereito nos elementos aqueidos (a) P θ. (b) M θ. (a) Desloamento horizontal do ediíio garagem; (b) Desloamento vertial Deormadas do ediíio garagem durante o inêndio para as tipologias: (a)cb; (a)cb Proesso de ormação de rótulas plástias em unção do tempo Figura 4.3 Desloamento horizontal do pavimento iii

15 ÍDICE DE BELS Capítulo Introdução abela. abela. Fatores determinantes da severidade de um inêndio, adaptada de VRGS e SILV (3) Eeitos das medidas de proteção, adaptada de VRGS e SILV (3) 4 6 Capítulo nálise térmia abela. Eemplos de taa de resimento do inêndio 9 abela. abela. Esquemas de solução temporal 33 abela.3 Cálulo do ator de massividade, adaptada do projeto de revisão da BR 433 (3) 4 abela.4 Fator de massividade das zonas, adaptada de LDESM (3) 4 Capítulo 3 nálise estrutural abela 3. Coeiientes de degradação das propriedades meânias do 47 aço abela 3. Coeiientes de degradação das propriedades meânias do 5 onreto abela 3.3 Fatores de orma para a leão na maior inéria, sem tensões 74 residuais abela 3.4 Fatores de orma para a leão na maior inéria, om tensões 74 residuais abela 3.5 Fatores de orma para a leão na menor inéria, sem tensões 75 residuais abela 3.6 Fatores de orma para a leão na menor inéria, om tensões 76 residuais abela 3.7 nalogia entre as ondições de equilíbrio e ompatibilidade 86 Capítulo 4 pliação do método abela 4. Seções transversais dos elementos do sistema estrutural 98 abela 4. Carregamento em unção da ombinação das ações 98 abela 4.3 Propriedades meânias antes do inêndio 3 iv

16 LIS DE SÍMBOLOS Letras romanas minúsulas: a,..., a 6 Coeiientes polinomiais para a superíie de ruptura; a Coeiiente para o diagrama M κ P aproimado por CHE e SU h a a w a Coeiiente da unção parabólia de tensões residuais do lange; Coeiiente da unção parabólia de tensões residuais da alma; Coeiiente da unção parabólia de tensões residuais do lange; b, b, b Coeiientes polinomiais para a unção de interpolação do ator de orma n b Coeiiente para o diagrama M κ P aproimado por CHE e SU h b b v a Largura do lange do peril de aço; Inéria térmia dos elementos de vedação; Calor espeíio; Coeiiente da unção parabólia de tensões residuais do lange; Calor espeíio do aço; Calor espeíio do onreto; Coeiiente para o diagrama M κ P aproimado por CHE e SU h m v w Calor espeíio do material de proteção térmia; Calor espeíio dos elementos de vedação; Coeiiente da unção parabólia de tensões residuais da alma; d ltura total do peril; d Desloamentos na etremidade do elemento em oordenadas loais; d Vetor de desloamentos nodais em oordenadas globais; g e Desloamento aial do elemento de barra; Vetor de orças nodais inremental (tangente); Forças na etremidade do elemento em oordenadas loais; Coeiiente para o diagrama M κ P aproimado por CHE e SU; h v

17 p Vetor de orças a ser redistribuído pela estrutura devido a ormação de uma rótula; θ Resistênia máima do onreto a ompressão; tmθ ensão resistente do onreto a tração; j Vetor de orças nodais, onsiderando as ações de engastamento pereito;, Vetor de ações térmias, devido à onveção, segundo as direções e ; e ep g Vetor de ações de etremidade do elemento; Vetor de engastamento pereito; Vetor de orças nodais em oordenadas globais; Vetor de ações térmias resultantes; pθ Limite de proporionalidade entre as tensões e as deormações para o aço; r Função de distribuição de tensões residuais no lange devido à abriação; uθ ensão de ruptura do aço, onsiderando seu enruamento; θ ensão de esoamento do aço g Função do arregamento distribuído no elemento; hp eq ltura equivalente das paredes; h h eq h L h r h w Coeiiente de pelíula para onveção; Coeiiente de pelíula resultante; Espessura da laje de onreto; Coeiiente de pelíula para onveção; ltura da alma do peril de aço; k, Coeiiente de degradação da rigidez aial a ompressão; k, t Coeiiente de degradação da rigidez aial a tração; k I,+ Coeiiente de degradação da inéria para rotações positivas; k I, Coeiiente de degradação da inéria para rotações negativas; k shadow Fator de sombra; vi

18 m m n Momento relativo de transição entre o regime elástio e o plástio primário; Momento normalizado de transição entre o regime plástio primário e o seundário; Fator de orma a unção de KISHI e CHE; _ n Função interpolada para o ator de orma n ; n p úmero de pontos para o álulo do método dos mínimos quadrados; m p Momento normalizado de plastiiação da seção; n s n, n p Fator de ajuste para a temperatura da superíie do onreto para o método de Wikström; Fator de ajuste para a distribuição da temperatura segundo os eios e para o método de Wikström; Força aial normalizada; q s Fluo de alor resultante sobre uma superíie s; q q r Fluo de alor devido à onveção; Fluo de alor devido à radiação; q, Carga de inêndio por unidade de área aondiionada no pavimento; t d q mmq Função dos mínimos quadrados; r s t * t t m raio do alargamento da junção entre o lange e a alma devido à laminação; empo deorrido de inêndio empo equivalente para a urva paramétria; Espessura do material de proteção; t má * empo equivalente, quando oorre má ; t w t t s u v v v I v t Espessura da alma do peril de aço; Espessura do lange do peril de aço; empo relativo para o método de Wikstrom Perímetro eposto da seção transversal; Função deormada do elemento de viga; Deormada iniial; Deormada deorrente dos momentos de primeira ordem; Deormada total de um elemento de viga-oluna; vii

19 w r k Função de distribuição de tensões residuais na alma devido à abriação; Coordenada dos nós para o método de ewmark; orr Parâmetro que orrige o treho desendente da urva paramétria; r i Coordenada de apliação da orça nodal equivalente R k ; j m Distânia do entróide do elemento até o entróide da seção; Coordenada do entróide da seção, medido a partir da ae superior do elemento; Maiúsulas romanas: a Área da seção transversal; Área do peril de aço em um elemento misto aço-onreto; Área de onreto em um elemento misto aço-onreto;,θ Área equivalente para esorços de ompressão em unção da temperatura; t,θ Área equivalente para esorços de tração em unção da temperatura; t v C E θ Área total do ompartimento; Área total das aberturas vertiais; Matriz de ondutânia térmia; Módulo de elastiidade do aço em unção da temperatura; E θ Módulo de elastiidade do onreto em unção da temperatura; E t Módulo de elastiidade tangente; ( E ) eq, Rigidez aial equivalente para a ompressão; ( E ) eq, t Rigidez aial equivalente para a tração; ( EI ) eq, + Rigidez leional para rotações positivas; ( EI ) eq, Rigidez leional para rotações negativas; F I I +,θ I,θ Fator de massividade; Inéria do elemento segundo o reerido eio de leão; Momento de inéria equivalente para momentos positivos em unção da temperatura; Momento de inéria equivalente para momentos negativos em unção da temperatura; viii

20 K K Matriz de apaitânia total; Matriz de apaitânia equivalente; K Matriz de rigidez do elemento de barra em oordenadas loais; K h K, K K, L L K Matriz de rigidez do elemento levando em onta a ormação da rótula plástia; Matriz de ondutânia devido ao eeito da onveção sobre o elemento segundo as direções e ; Matriz de ondutânia devido às integrais segundo as direções e ; Comprimento do elemento de barra; Comprimento do elemento de barra deormado; M M θ M M B Momento letor resistente obtido pelo programa ewmark; Momento letor de engastamento pereito; Momento na etremidade esquerda do elemento de barra; Momento na etremidade direita do elemento de barra; M Momento letor interpolado pela unção de KISHI e CHE (988); M p Momentos letores na superíie de ruptura; M rd Momento letor resistente para a leão pura; E Vetor de unções de orma; úmero de elementos; rd Esorço aial resistente de ompressão; rd t Esorço aial resistente de tração; O P P θ Fator de abertura; Esorço aial atuante no elemento; Força aial de engastamento pereito; P u, Esorço normal máimo de ompressão; P u, t Esorço normal máimo de tração; ( P n ) i Força de lambagem inelástia; ( P n ) e Força de lambagem elástia; i

21 Q Q V R k Calor presente no sistema; Função de esorços ortantes no elemento; Forças nodais equivalentes; S, S Funções de estabilidade; emperatura do ompartimento no iníio do inêndio;, Matrizes de transormação para a ormulação o-rotaional;, 3 a g emperatura do aço; emperatura do onreto; Matriz de transormação de oordenadas loais para globais; má emperatura máima do onreto alançada durante o inêndio. g emperatura do ompartimento em hamas má emperatura máima alançada pelo inêndio natural; s Vetor de temperaturas nodais; emperatura da superíie do sólido submetido a análise térmia; Letras gregas minúsulas: γ i Delta de Kroneker para levar em onta a apliação de R k na equação; δ δ v ε ε i ε ε Fator de ontribuição do aço nas seções mistas; Eentriidade aidental no meio do vão; Deormação; Deormação deorrente da soliitação aial; Deormação deorrente da leão pura; Campo de deormações devido à leão; ε rm,θ Deormação média de ada ibra em unção da temperatura; ε sr Emissividade da superíie radiante; ε t,lim Deormação aial limite durante a tração;

22 ε u θ Deormação de ruptura do onreto; ζ κ λ Relação entre o arregamento eterno e o esorço normal máimo resistente; Curvatura; Índie de esbeltez da oluna; λ θ λ a Índie de esbeltez durante o inêndio; Condutividade térmia do aço; λ,in Limite inerior da ondutividade térmia do onreto; λ,sup Limite superior da ondutividade térmia do onreto; λ m Condutividade térmia do material de proteção; λ s Vetor de ondutividade térmia segundo a direção s; λ v κ Condutividade térmia dos elementos de vedação; Função que relaiona os momentos letores e as urvaturas, obtida através do diagrama M κ P ; _ κ Curvatura relativa para a unção de KISHI e CHE (988); _ κ _ κ κ κ E Curvatura normalizada de transição entre o regime elástio e o plástio primário Curvatura normalizada de transição entre o regime plástio primário e o seundário; Curvatura normalizada para o diagrama SU (976); Coeiiente de degradação do módulo de elastiidade; M κ P aproimado por CHE e κ p Coeiiente de degradação do limite de proporionalidade do aço; κ u,s Coeiiente de degradação da tensão de ruptura do aço; κ u κ ξ ξ ρ ρ a Curvatura desenvolvida por uma seção transversal na ondição de ruptura; Coeiiente de degradação da tensão de esoamento do aço; Inéria térmia do material de proteção; Parâmetro que onsidera a degradação do onreto durante seu aqueimento; Massa espeíia; Massa espeíia do aço; i

23 ρ ρ m ρ v σ a σ Massa espeíia do onreto; Massa espeíia do material de proteção térmia; Massa espeíia dos elementos de vedação; Função do diagrama tensão versus deormação do aço; Função do diagrama tensão versus deormação do onreto; σ rm,θ Valor da tensão residual média de ada ibra; σ sr Constante de Stephan-Boltzmann; φ, φ B Funções de degradação da rigidez leional para as etremidades esquerda e direita do elemento de viga oluna; Letras gregas maiúsulas: t L L a Intervalo de tempo entre duas análises; Coeiiente de dilatação térmia do aço; L L Θ Θ Θ B Ψ Ω Coeiiente de dilatação térmia do onreto; Função da rotação do elemento de viga; Rotação da etremidade esquerda do elemento de barra; Rotação da etremidade direita do elemento de barra; Erro relaionado om o intervalo de integração esolhido; Parâmetro do esquema de integração temporal. ii

24 Introdução. Motivação O ogo está presente na história da humanidade desde os primórdios da ivilização. Sua utilização permitiu ao homem melhores ondições de vida através do ozimento dos alimentos, queimadas para limpeza e plantio de terrenos e, posteriormente, a riação de máquinas a vapor. Estas, por sua vez, oram os pré-requisitos tenológios neessários para o surgimento da Revolução Industrial. Este movimento que transormou as relações trabalho, produção e onsumo, onstitui um dos pilares da ormação do apitalismo e, onsequentemente, da soiedade atual. Por outro lado, o inêndio deinido omo ogo ora de ontrole (CBESP, 5a) sempre oi uma grande ausa de óbitos e de prejuízo eonômio ao longo da história. idade de Londres oi devastada por um inêndio no ano de 666 que demorou quatro dias para ser ontrolado, destruindo 3 asas, 87 igrejas, a Catedral de St. Paul e 44 prédios públios. Os registros da époa indiam que mais de mil pessoas iaram desabrigadas, sendo registrados 9 óbitos. Em 87, um grande inêndio devastou a idade de Chiago, matando 3 pessoas e deiando outras 9 mil desabrigadas (SEIO et al., 8). Reentemente, em, o atentado terrorista às orres Gêmeas do World rade Center eiou era de duas mil e quinhentas vidas (site O GLOBO) no desabamento ausado pelo hoque de um avião em ada torre e posterior inêndio. ational Fire Protetion ssoiation (FP) estima que os inêndios ausaram a morte de 36 pessoas juntamente om um prejuízo de.7 bilhões de dólares durante o ano de 5 nos EU. o Brasil, os inêndios nos Ediíios Joelma (974) e ndraus (97), loalizados na idade de São Paulo, podem ser destaados pelo seu grande impato na mídia e sua reperussão soial. o mesmo ano do aidente do Ediíio Joelma, a Câmara dos

25 Deputados promoveu em Brasília o Simpósio de Segurança Contra Inêndio e, no ano seguinte, a preeitura de São Paulo já inorporava modiiações no seu ódigo de obras. o ano de 976, a idade do Rio de Janeiro publiou o Código de segurança ontra inêndio e pânio. Seguindo uma tendênia mundial, a B emitiu reentemente uma série de normas visando a segurança ontra inêndio dos elementos estruturais de ediíios, a BR 443 (), a BR 433 (999) e a BR 5 (4). Paralelamente, o Corpo de Bombeiros do Estado de São Paulo possui um onjunto de Instruções énias (CBESP, 5a,b,,d) que abrangem diversos tópios relaionados ao projeto arquitetônio, estrutural e de instalações prediais. Estas normas e proedimentos são rutos da engenharia de segurança ontra inêndio, ujas bases do seu desenvolvimento são desritas a seguir.. Engenharia de segurança ontra inêndios.. Caraterização do inêndio ombustão dos materiais presentes no ambiente oorre enquanto eistirem simultaneamente os três vérties do triângulo do ogo : o ombustível, o omburente e o alor. O ombustível é deinido omo qualquer substânia apaz de produzir alor por meio de uma reação químia eotérmia, enquanto que o omburente é a substânia que alimenta a ombustão, sendo mais omum o oigênio (CBESP, 5). Deine-se alor (LEWIS et al., 4) omo energia térmia que se transere de um sistema para outro em virtude da dierença de temperatura entre eles. Esta transerênia de energia térmia pode oorrer de três maneiras distintas: (i) por ondução, através de um material sólido, de uma região de temperatura elevada em direção a outra região de baia temperatura; (ii) por onveção, por meio de um luido líquido ou gás, entre dois orpos submersos no luido ou entre um orpo e o luido; (iii) ou por radiação, por meio de um gás ou do váuo, na orma de energia radiante. Portanto, a propagação do inêndio independe da ontinuidade ísia das hamas, podendo oorrer vários oos de inêndio simultaneamente em um mesmo. O inêndio apresenta três ases básias, omo mostra a igura.:

26 Figura. Fases do inêndio, adaptada de LDESM (3) região iniial da urva, onheida omo ase resimento, apresenta temperaturas baias, de modo que este período não representa riso de olapso à estrutura. Conorme o alor propaga-se pelo ompartimento e todo o material ombustível entra em ignição, há um aumento bruso na inlinação da urva temperatura versus tempo, denominado lashover ou inlamação generalizada. pós o lashover, o inêndio entra na ase de desenvolvimento, onde as proteções ativas tornam-se ineiientes devido às altas temperaturas do ambiente em hamas. urva temperatura do ambiente versus tempo ontinuará resente até que o inêndio não possua mais a apaidade de se autoatalizar, ou seja, até que um dos elementos do triângulo do ogo seja etinto. Segundo PURKISS (996), a etinção da onte de alor não representa o iníio da ase inal do inêndio, denominada deaimento. inéria térmia das paredes de vedação retarda ondução de alor para o ambiente eterno e o deaimento do inêndio oorre apenas em unção do arreeimento do ompartimento, devido à dispersão dos gases do inêndio. intensidade de um inêndio relaiona-se om a maneira que os elementos do triângulo do ogo estão dispostos no ambiente em hamas. Portanto, as medidas de 3

27 ontrole ou ombate ao inêndio em ediiações devem ser propostas a partir da interpretação da inluênia destes atores no projeto. tabela., adaptada de VRGS e SILV (3) apresenta os prinipais atores que inlueniam a severidade de um inêndio. abela. Fatores determinantes da severidade de um inêndio, adaptada de VRGS e SILV (3) Fator ipo, quantidade e distribuição da arga de inêndio Caraterístias da ompartimentação e ventilação Compartimentação Inluênia temperatura máima de um inêndio depende da quantidade, tipo e distribuição de material ombustível no ediíio. Em geral, o aumento do oigênio az aumentar a temperatura do inêndio e diminuir sua duração. Quanto mais isolantes orem os elementos de ompartimentação (pisos e paredes), menor será a propagação do ogo para outros ambientes, mas o inêndio será mais severo no ompartimento... Engenharia de Segurança Contra Inêndio engenharia de segurança ontra inêndio é um oneito amplo, que pode ser entendido omo um onjunto de deisões de projeto que busam a prevenção ou a minimização dos danos ausados pelo ogo. Veriia-se que a maior parte dos óbitos e erimentos ausados por um inêndio é deorrente da umaça e do alor das hamas. Portanto, os prinipais objetivos da engenharia de segurança ontra inêndio devem ser relaionados om a garantia de evauação das pessoas na ediiação e om a limitação da produção e propagação das hamas. Baseado nesta premissa, BUCH () deine os prinipais objetivos da engenharia de segurança ontra inêndios: Limitar a propagação de ogo e umaça; Impedir a propagação do inêndio para as onstruções vizinhas; Permitir a evauação da ediiação em hamas e Garantir a segurança da equipe do orpo de bombeiros durante o ombate ao inêndio. igura. mostra a árvore de deisões, normalmente empregada na orientação para elaboração de veriiações estruturais e riação de projetos arquitetônios apazes de satisazer os requisitos básios da segurança ontra inêndio. 4

28 Figura. Árvore de deisões para o atendimento dos requisitos de segurança ontra o ogo, adaptado de LDESM (3). prevenção da ignição é realizada mediante a deteção prematura de oos de inêndio, possibilitando sua etinção pelo uso de huveiros automátios. união de dispositivos de deteção om huveiros automátios é reonheida omo um dos meios mais eiazes de se ombater o inêndio (VRGS e SILV, 3), diminuindo a propagação de umaça e alor para os outros ambientes e prevenindo uma possível intoiação por umaça. diionalmente, o aionamento dos alarmes ontra inêndio permite a evauação dos usuários da ediiação, que só será possível aso haja rotas de uga bem deinidas. Isto oorre porque o pânio ausado pelo inêndio e a alta de preparo dos usuários para situações de emergênia, omo um inêndio, torna a evauação da ediiação lenta (CER, 985). O ontrole da propagação de um inêndio na ase de desenvolvimento depende da eiiênia da ompartimentação, onorme apresentado anteriormente na tabela.. s araterístias arquitetônias da ediiação, omo ahadas e beirais também possuem inluênia no oninamento do inêndio (CBES, 5-b,d) e na ação do Corpo de Bombeiros pelo lado eterno da ediiação. Os dispositivos (ou medidas) que visam umprir os objetivos da engenharia de segurança ontra inêndios são lassiiados em passivos ou ativos (VRGS e SILV, 3). Enquanto as medidas de proteção ativa atuam na ase de ignição e busam etinção do inêndio, as medidas passivas atuam na ase de desenvolvimento. 5

29 Esta última é, portanto, responsável pela estabilidade da ediiação já que os elementos estruturais estarão sujeitos a toda severidade do inêndio. ormalmente emprega-se mais do que uma solução para a elaboração de um sistema de proteção ontra inêndios. s redundânias geradas pela superposição das medidas de proteção diminuem o riso total de alha. Isto é, aso um equipamento alhe, a segurança dos oupantes da ediiação está garantida pelas outras medidas de proteção. Os primeiros dispositivos que tentam debelar e/ou ontrolar o inêndio são os de proteção ativa. Estes possuem eiáia apenas na ase iniial do inêndio, já que as temperaturas alançadas durante a ase de desenvolvimento daniiam os equipamentos de proteção e não apresentam ondições de segurança para os trabalhos da equipe do orpo de bombeiros. tabela., adaptada de VRGS e SILV (3), apresenta as prinipais araterístias dos meios de proteção ativa, do ponto de vista da proteção ao patrimônio e à vida dos oupantes da ediiação. abela. Eeitos das medidas de proteção, adaptada de VRGS e SILV (3) Medida de proteção Deteção de alor e umaça Chuveiros automátios Proteção da vida rápida deteção do iníio do inêndio, por meio de alarme, dá aos oupantes rápido aviso da ameaça, anteipando a desoupação. Limitam a propagação do inêndio e reduzem a geração de umaça e gazes tóios. Proteção ao patrimônio rápida deteção do iníio de um inêndio minimiza o riso de propagação, reduzindo a região aetada pelo inêndio. Reduzem o riso de inêndio e seu eeito na perda patrimonial. Hidrantes e etintores Hidrantes, etintores e treinamento dos usuários da ediiação, para rápido ombate, reduzem o riso de propagação do inêndio e seu eeito ao patrimônio e à vida. Corpo de bombeiros Em grandes inêndios, o riso à vida é maior nos primeiros instantes. Dessa orma deve haver medidas independentes do orpo de bombeiros. Um rápido e eiiente ombate por parte do CB reduz o riso à vida Proimidade, aessibilidade e reursos do Corpo de Bombeiros ailitam as operações de ombate ao inêndio, reduzindo perdas estruturais e do onteúdo. Brigada ontra inêndio bem treinada lém de reduzir o riso de inêndio, a brigada oordena e agiliza a desoupação da ediiação. presença da brigada ontra inêndio reduz o riso e as onseqüentes perdas patrimoniais durante um inêndio 6

30 Caso as medidas de proteção ativa alhem (ou não eistam), o inêndio entrará na ase de desenvolvimento e, onorme apresentado na seção., este irá oorrer até que um dos elementos do triângulo do ogo seja insuiiente para o prosseguimento da ombustão. esta ase, um inêndio pode se alastrar sem que eista a ontinuidade ísia das hamas, bastando que a irradiação de alor, a onveção de umaça entre andares ou até mesmo entre ediiações seja suiiente para que novos oos de inêndio sejam riados. partir desta premissa, oi riado o oneito de ompartimentação, onde o oninamento do inêndio a uma determinada área da ediiação permite que os danos e o riso à vida sejam minimizados. deinição dos ompartimentos é eita durante a elaboração do projeto de arquitetura, através de um onjunto de regras neessárias para limitar a propagação de umaça pelas janelas e shats, assim omo impedir a propagação horizontal pelo pavimento. Classiiam-se as ompartimentações omo horizontais, que impedem a propagação do inêndio no próprio pavimento, e vertiais, que interrompem o luo térmio entre os andares. Segundo VIL REL (3), os elementos delimitantes de um ompartimento devem possuir as seguintes araterístias: (i) Resistênia meânia ao inêndio; (ii) Estanqueidade à propagação de gases inlamáveis e umaça; (iii) Estanqueidade à propagação do alor. Os elementos que possuem as 3 araterístias anteriores são hamados de ortaogo, enquanto que os que possuem as araterístias (i) e (ii) são onheidos omo pára-hamas. Caso o requisito (i) seja o únio atendido, o elemento será denominado estável ao ogo..3 Comportamento estrutural em situação de inêndio resistênia estrutural das ediiações deorre do atendimento ao requisito de estabilidade ao ogo, neessário para o projeto de um ompartimento. Conorme disutido anteriormente, a ompartimentação do inêndio é uma orma de proteção passiva, que impede a propagação das hamas e umaça em sua ase de desenvolvimento. Portanto, os ompartimentos devem resistir à totalidade do inêndio, que depende prinipalmente dos atores apresentados anteriormente na tabela.. 7

31 De um modo geral, as espeiiações vigentes determinam que a resistênia de uma estrutura em situação de inêndio possa ser eetuada de três ormas, ou uma ombinação entre elas: (i) Resultados de ensaios; (ii) Métodos simpliiados; (iii) Métodos reinados. Para dimensionamento por meio de ensaios, devem ser respeitadas as normas espeíias apliáveis, onorme estabeleido pela BR-433 (999), o que onduz em geral estruturas mais ustosas. Como alternativa, o emprego de métodos analítios (ii e iii) deve levar em onsideração a variação das propriedades térmias e meânias dos materiais, em unção do aumento de temperatura, bem omo os esorços provenientes das deormações térmias desenvolvidas nos elementos epostos ao ogo. Os métodos simpliiados baseiam-se na veriiação da estrutura através da análise individual de ada elemento omponente. veriiação da estabilidade deorre da apliação de hipóteses simpliiadoras relativas ao aqueimento dos elementos estruturais (viga, laje e pilar) e da ormação dos seus meanismos de ruptura araterístios. Estes modelos nem sempre demonstram o meanismo de olapso real da estrutura (LDESM, MOUÇO, 7) já que as hipóteses não onsideram a interação entre os elementos do sistema estrutural. pesar disso, omo estes modelos possuem epressões analítias ehadas e de áil apliação, a normatização vigente os utiliza amplamente omo eigênia da resistênia estrutural nos projetos de ediiações. lternativamente, os métodos reinados permitem resultados mais realistas e onseqüentemente mais eonômios. simulação do omportamento estrutural é eita através da apliação das equações undamentais do problema (meânia dos luidos, transerênia de alor e plastiidade apliada às estruturas) em uma metodologia omputaional, omo o método dos elementos initos. pesar de preverem om boa preisão o omportamento e o modo de olapso global da estrutura, estes proedimentos eigem uma ormação prévia do engenheiro em modelagem omputaional e demandam muito tempo para a riação dos modelos e proessamento dos dados. Os métodos de análise avançada de estruturas em situação de inêndio são propostos omo uma alternativa que reúne o melhor das duas metodologias analítias, onde os resultados obtidos assemelham-se àqueles alulados pelos métodos analítios avançados, porém, om usto omputaional reduzido. 8

32 .4 Coneito de análise avançada de estruturas O oneito de análise avançada de estruturas, apresentado originalmente por F. Chen, D.W. White, J. Y. R. Liew, E. M. Lui entre outros (CHE et al., 996; CHE e LUI, 986; KIM e CHE, 998; LIEW, 99; LIEW e WHIE, 993; LUI, 985; WHIE et al., 993), onsidera a análise e a veriiação estrutural oorrendo simultaneamente. O método baseia-se em uma ormulação rigorosa do omportamento inelástio dos materiais, na onsideração do equilíbrio da estrutura na ondição deormada, além introdução de impereições geométrias e de abriação dos elementos. Os métodos de análise avançada podem ser divididos em ategorias: Método da zona plástia e Método reinado das rótulas plástias. O método da zona plástia alula os eeitos inelástios deorrentes da distribuição das tensões normais ao longo da barra. plastiidade distribuída é onsiderada a partir da sua disretização em diversos elementos initos. presença de tensões residuais é onsiderada a partir da introdução de um ampo de tensões em todas as ibras da seção transversal e as impereições geométrias são modeladas onsiderando os nós da estrutura em uma ondição não-retilínea. igura.3 ilustra o proesso de plastiiação de uma viga biapoiada sujeita a uma arga onentrada no meio do vão. Figura.3 Proesso de plastiiação da seção área hahurada da igura anterior é denominada zona plástia, onde as ibras pertenentes àquele treho da viga atingiram a tensão de esoamento do aço. 9

33 Enquanto as regiões eternas da viga apresentam-se em regime elástio ( σ < ), as regiões próimas ao arregamento onentrado P estão ompletamente plastiiadas. pesar das zonas plástias variarem de espessura ao longo do omprimento da barra, ada elemento é apaz de apresentar um únio estado tensional por elemento inito. Portanto, a preisão da resposta está ondiionada ao número de elementos initos utilizados. O método das zonas plástias é apaz de gerar eelentes resultados, mas seu elevado usto omputaional e de modelagem da estrutura o tornam inviável para a utilização em avaliações orrentes. O método reinado das rótulas plástias ontempla o eeito da não-linearidade ísia do material, mas não onsidera o espalhamento do esoamento na barra. inelastiidade é levada em onta a partir da implementação de dois parâmetros que degradam a rigidez do elemento em unção das tensões residuais, das impereições geométrias e do diagrama tensão versus deormação do material. O parâmetro φ, responsável pela degradação da rigidez leional, atua nas regiões etremas do elemento, isto é, nos pontos de ormação da rótula plástia. modelagem dos eeitos inelástios deorrentes da ompressão aial no elemento é eita através da introdução de um módulo de elastiidade tangente E t. Como os parâmetros são introduzidos no modelo através de epressões analítias, isto é, não são alulados durante a análise estrutural, este método é omputaionalmente eiiente, além de não ser neessária nenhuma modiiação na modelagem estrutural, omo a modelagem de olunas om eentriidades iniiais..5 Revisão bibliográia s propriedades meânias do aço em unção da temperatura são estudadas desde a primeira metade do séulo passado. rabalhos desenvolvidos por WILHELM (94), PSELL (93), BILEY (935), VERSE (935) e MRI (938) abriram preedentes para que BROCKEBROUGH (97) desenvolvesse urvas de tensão versus deormação para o aço em unção de sua temperatura. Com o advento do omputador digital, diversas erramentas numérias oram utilizadas no estudo de elementos estruturais submetidos a altas temperaturas. CULVER (97) desenvolveu uma metodologia baseada no método das dierenças initas e nos diagramas desenvolvidos por Brokenbrough para estudar o omportamento de olunas

34 de aço aialmente arregadas, submetidas a gradientes térmios e ondições de apoio diversas. Este trabalho oi revisto e ampliado por OSSEBRUGE (973), que introduziu no modelo os eeitos deorrentes de tensões residuais para peris laminados, soldados e tubulares. Dando ontinuidade ao seu trabalho, ele introduziu no modelo os eeitos das tensões térmias ausados pelo gradiente de temperatura da seção transversal. CHE e MK (975) apresentaram um programa que onsiderava os eeitos da luênia térmia do aço, além de todas as hipóteses introduzidas por OSSEBRUGE (973). Comparando este modelo om dados eperimentais, veriiou-se que a ormulação preisava ser revista. O método dos elementos initos ganhou grande popularidade naquela déada, prinipalmente pela sua adaptabilidade a problemas ompleos. plastiidade apliada a estruturas sob inêndio oi introduzida por FURUMUR e SHIOHR (978), abrindo preedentes para que J e RO (983) aprimorassem o modelo para grandes desloamentos e pequenas deormações. DOREPPE e FRSE desenvolveram em 985 o programa CEFICOSS, que representou a primeira geração de programas de análise de estruturas mistas em situação de inêndio. Posteriormente, FRSE ontinuou o aprimoramento do ódigo, inserindo novos tipos de elementos initos e melhorando a interae om o usuário. Finalmente, em é lançado o programa SFIR (FRSE et al.) que permite a modelagem de estruturas tridimensionais mistas em situação de inêndio, om a utilização das propriedades dos materiais presritos nos Euroódigos e 3 (4). Este programa oi utilizado em diversos trabalhos, dentre eles: de SOUZ JUIOR (), VIL REL et. al. (3), CDORIM e FRSE (3), CDORIM et al (3) e LDESM (3). o Brasil, a pesquisa de estruturas sob a ação de inêndio é relativamente reente. Os primeiros trabalhos relevantes na área oram publiados em meados da déada de 9. Dentre as diversas publiações produzidas naquela déada destaam-se PIME e SILV (995), SILV e PIME (996), FKURY et al. () e SILV (999 e ). Estas pesquisas possibilitaram a publiação de normas ténias BR 443 (999), a BR 433 (999), em proesso de revisão, e posteriormente BR 5 (5) para a veriiação de estruturas em situação de inêndio.

35 Paralelamente ao estudo da resistênia dos elementos estruturais, SILV (997) investigou o estudo iniiado por PEERSO (979) em uma avaliação rigorosa dos parâmetros que inlueniam a ase de desenvolvimento do inêndio. BREU e FKURY (998) apresentaram um programa baseado no MEF para a análise térmia de peris de aço. Este trabalho oi ampliado por FIGUEREDO JÚIOR () que adaptou o programa para a análise de estruturas mistas aço-onreto. Posteriormente, ÓBREG (3) generalizou a ormulação, apliando-a para quaisquer materiais. diionalmente, ele apliou sua ormulação na determinação do esorço normal resistente para diversas onigurações de pilares mistos. SPÍDOL e FKURY () investigaram a resistênia de pisos mistos om proteção apenas nas vigas prinipais. Sua ormulação baseou-se no trabalho de BILEY e MOORE () e oi modiiado por FKURY e BREU () para a inlusão do eeito deorrente de ligações semi-rígidas. Em 3, LDESM apresentou um programa para a análise de pórtios planos de aço em situação de inêndio baseado nos oneitos de análise avançada propostos por CHE (993) e nas presrições do Euroódigo 3 parte. (3) e do ISC/LFRD (999). LDESM et al. (5) revisou seu programa, denominando-o SFE Sstem or dvaned nalsis or Fire Engineering, que é apaz de veriiar o omportamento de estruturas de aço em situação de inêndio até seu olapso..6 Objetivos Será desenvolvido no presente trabalho um modelo inelástio para estruturas mistas em ondição de inêndio utilizando o método reinado das rótulas plástias. metodologia desenvolvida neste trabalho, denominada Pré-SFE, oi programada em linguagem FORR e gera um arquivo de entrada om os parâmetros neessários para que o SFE - Sistema de nálise vançada de Estruturas sob Fogo, realize a análise ao longo do tempo. s análises, em regime quase-estátio, desenvolvem-se ao longo do tempo enquanto não há ormação de um meanismo plástio na estrutura. Quando esta ondição oorre, obtém-se o tempo máimo que a estrutura suporta ao inêndio, denominado empo Crítio de Resistênia ao Fogo (CRF).

36 igura.4 apresenta as etapas desenvolvidas no programa Pré-SFE e os álulos desenvolvidos pelo programa SFE. emperatura no ambiente em hamas nálise térmia (subprograma ERMO) Programa Pré-SFE inremental simples Propriedades equivalentes Fator de degradação leional Módulo tangente Desloamentos Esorços elementos Programa SFE inremental iterativo CRF Resistênia FIM Figura.4 Etapas do programa de análise avançada não-linearidade ísia dos materiais em unção da temperatura é onsiderada através dos diagramas tensão versus deormação apresentados no Euroódigo 4 parte. (4). modelagem das tensões residuais dos peris de aço laminados oi eita utilizando-se as unções parabólias propostas por SLZI & PPP (5). Os eeitos geométrios deorrentes do equilíbrio na oniguração deormada oram avaliados através do Método das Funções de Estabilidade, metodologia que onsegue apturar a interação entre esorços aiais e momentos letores om apenas elemento. O parâmetro de degradação da rigidez leional φ será alulado através de uma metodologia baseada no método das ibras desenvolvida para peris de aço laminados, onreto armado, vigas e pilares mistos aço-onreto. O módulo de elastiidade tangente oi avaliado pelo método de ewmark, que utiliza o modelo de zonas plástias 3

37 para avaliar a perda de resistênia de olunas arregadas aialmente om impereições geométrias..7 Organização do trabalho esta dissertação de mestrado, é apresentado um modelo numério de análise avançada apaz de simular o omportamento de pórtios planos metálios e mistos açoonreto em temperatura ambiente e em situação de inêndio. Este modelo, baseado no método reinado das rótulas plástias (CHE, 993), é apaz de reproduzir de maneira satisatória o omportamento de estruturas planas bidimensionais ompostas por seções monossimétias om arregamento apliado sobre o entro de isalhamento da seção. s análises desenvolvidas pela metodologia são divididas em três etapas. primeira etapa, apresentada no Capítulo, onsiste na determinação da temperatura dos elementos estruturais durante o inêndio, uja modelagem é eita através de urvas semi-empírias que onsideram a elevação da temperatura no ompartimento em unção do tempo transorrido desde o lashover. partir da determinação da urva de aqueimento do inêndio, é possível obter a distribuição da temperatura nos elementos estruturais através da apliação do método dos elementos initos ou, alternativamente, por epressões aproimadas. etapa seguinte, apresentada no Capítulo 3, onsiste na modelagem dos eeitos deorrentes do omportamento inelástio dos materiais (EC 4 parte., 4) durante a leão omposta reta de vigas-oluna em situação de inêndio. s tensões residuais de abriação dos peris laminados são onsideradas no modelo através de unções de tensão auto-equilibradas, onorme desrito em SLZI e PPP (5). determinação das araterístias meânias da seção transversal, assim omo seu omportamento durante a leo-ompressão inelástia, é obtida através do método das ibras (LMEID, 6). Este método disretiza a seção em elementos, onsiderando que o omportamento global seja dado pelo somatório do omportamento de todas as ibras. O eeito das impereições geométrias ao longo do omprimento das barras é avaliado através do método de ewmark (CHE, 993), que permite a quantiiação do eeito P δ inelástio nos elementos sob ompressão. diionalmente, são aluladas as ações deorrentes do impedimento às deormações oriundas do aumento de temperatura do elemento estrutural. 4

38 tereira etapa da análise, também apresentada no Capítulo 3, onsiste na avaliação do omportamento da estrutura em situação de inêndio através do método das unções de estabilidade (MFE) adaptado para a análise avançada. O MFE onsidera na sua ormulação grandes desloamentos e pequenas deormações para a análise de estruturas planas onstituídas de material linear-elástio. O omportamento inelástio alulado na etapa anterior é inorporado no modelo através do método das rótulas plástias reinadas (CHE, 993). Desta orma, é possível analisar o omportamento inelástio de estruturas planas em situação de inêndio e assim veriiar se o tempo rítio de resistênia ao ogo obtido, isto é, o tempo máimo que a estrutura suporta o sinistro, é suiiente para atender os requisitos de segurança impostos pela legislação (BR 443, ). Um ediíio garagem de andares estruturado om vigas mistas e pilares de aço é analisado no Capítulo 4 pela metodologia apresentada para as situações de temperatura ambiente e inêndio. a primeira, é determinada a reserva de resistênia da estrutura à ação do vento, além de se observar o eeito da ormulação não-linear no desloamento horizontal do ediíio. Serão realizadas duas análises da estrutura em situação de inêndio. Desta orma, será possível omparar a eiiênia de duas tipologias de proteção térmia para vigas mistas aço-onreto. a primeira, será utilizada uma proteção do tipo argamassa projetada, enquanto que na segunda análise será avaliado o desempenho do onreto omo material de proteção térmia em uma viga mista preenhida om onreto entre as mesas. O quinto apítulo resume as prinipais onlusões a respeito do modelo apresentado, onde serão disutidos seus pontos positivos e negativos, além das sugestões para o prosseguimento desta pesquisa. 5

39 nálise térmia. Modelagem do inêndio modelagem matemátia de um inêndio depende de diversos atores, dentre eles o tipo, a distribuição e quantidade de material ombustível, a inéria térmia e espessura das paredes de vedação, a quantidade e a distribuição de aberturas no ompartimento. Modelos om dierentes graus de ompleidade são utilizados para desrever a temperatura do ompartimento em hamas no tempo, omo os baseados em meânia dos luidos omputaional (LEWIS, 4), ou os modelos unidimensionais propostos por presrições normativas (Euroódigo parte., ; BR 433, 999). Esta dissertação de mestrado irá apenas abordar os modelos de inêndio unidimensionais. Os modelos de inêndio unidimensionais são utilizados para situações póslashover, isto é, para os asos em que o inêndio se epandiu por todo o ompartimento e toda a arga de inêndio está em ombustão. Estes modelos podem ser divididos em duas ategorias: as urvas de inêndio-padrão e as de inêndio natural. s urvas de inêndio-padrão são idealizadas para métodos simpliiados e ensaios eperimentais de elementos submetidos a altas temperaturas. Sua ormulação não leva em onsideração nenhuma araterístia da ompartimentação e, portanto, não possui nenhuma orrelação om o inêndio real. Diversas normas internaionais, omo o Euroódigo parte. () e naionais, omo a BR 433 (999), permitem a análise da estrutura substituindo-se a ação do inêndio real por um tempo de eposição de reerênia à urva de inêndio-padrão. Este tempo de reerênia, denominado empo Requerido de Resistênia ao Fogo (RRF), varia de país para país, não havendo um onsenso a respeito da sua quantiiação. a ova Zelândia, o RRF máimo é de 6 minutos, enquanto nos EU podem atingir 8 minutos. Portanto, o RRF é ruto de onsenso da soiedade de um país, não signiiando o tempo de duração de um inêndio 6

40 ou o tempo de evauação dos oupantes ou o tempo de hegada do orpo de bombeiros (VRGS e SILV, 3). urva proposta pela International Organization or Standardization, ISO 834 (999), é adotada pela BR 433 (999) e BR 568 (98) para inêndios provenientes da queima de material elulósio, sendo epressa da seguinte orma: g ( t) = log(8 t + ) (.) Outras urvas-padrão são propostas para inêndios om graus de severidade distintos da ISO 834, omo as urvas de inêndio para materiais derivados de hidroarbonetos apresentada no EUROCÓDIGO parte. ():.67t.5t ( t) = + 8 (.35 e.675 e ) (.) g igura. ilustra as urvas de temperatura desritas pelas equações. e.: emperatura (ºC) Celulósio Hidroarboneto empo (min) Figura. Curvas Padrão de inêndio Enquanto a urva de aqueimento de materiais elulósios possui resimento suave, o inêndio desrito pela urva de hidroarbonetos rapidamente alança altas temperaturas, representando om maior idelidade a ombustão deste material. urva temperatura versus tempo desrita pelos modelos de inêndio-padrão possui omportamento não-deresente. lternativamente a este modelo, as urvas de inêndio natural possuem um treho asendente e outro desendente, araterizando as duas ases pós-lashover do inêndio. equação paramétria para a ase de aqueimento, proposta pelo EC Parte. () é apresentada a seguir: 7

41 g * * *.t.7t 9t (.34 e.4 e. e ) = (.3) O tempo equivalente t * (em horas) depende do parâmetro adimensional Γ: * O 6 t = t Γ = t (.4) b.4 Onde O é o ator de abertura (em m.5 ) que epressa as araterístias de ventilação do ompartimento e.5 J / m s K ): b v representa a inéria térmia das paredes de vedação (em b v = ρ λ (.5) v v v v hpeq O = (.6) t s propriedades da equação.5 são relativas ao material das paredes de vedação, onde ρ é a massa espeíia, é o alor espeíio e λ é a ondutividade térmia. s propriedades da equação.6 são relativas às ondições de ventilação: v é a área das aberturas vertiais, t é o somatório da área total do ompartimento (portas, aberturas, janelas, piso e teto), enquanto hp eq é a altura das aberturas vertiais, alulada pela média ponderada das alturas de ada abertura. Quando Γ =., o treho asendente da urva assemelha-se à urva de inêndiopadrão para materiais elulósios. Como a determinação de Γ é empíria, a variabilidade dos seus parâmetros é limitada em b e. O.. temperatura máima alançada pelo inêndio, má, oorre no tempo t má *: O parâmetro t d qt, d tmá = má ; tlim 4 (.7) O q, é a arga de inêndio por unidade de área aondiionada no pavimento, ujo álulo é apresentado no Euroódigo parte. (). O tempo máimo de aqueimento é limitado ineriormente pelo parâmetro t lim, dependente da taa de resimento do inêndio. dota-se t = 5 min para resimento lento, t = min para resimento normal e t = 5 min para resimento rápido. tabela., apresentada a seguir, ilustra o tempo limite para alguns tipos de oupação, obtida do Euroódigo parte. (): 8

42 abela.- Eemplos de taa de resimento do inêndio Oupação aa de resimento do inêndio Oupação aa de resimento do inêndio Shopping Rápida Sala de aula Média Sala de inema Rápida Moradia Média Hotel (quarto) Média Esritório Média O treho desendente da urva é representado por um treho linear, dependente do tempo máimo de aqueimento, omo mostra a equação a seguir: * * * má 65 ( t t má ) se t má.5 * * * * g = má 5 (3 t má ) ( t t má ) se.5 < t má <. (.8) * * * má 5 ( t t má ) se t má. O parâmetro orrige o treho desendente em unção do tempo máimo de aqueimento:. se tmá > tlim orr = tlim Γ * (.9) se t = t * má lim t má igura. ilustra a variabilidade da urva paramétria em unção da ventilação do ambiente, omparando seus resultados om os modelos do método do inêndio padrão, apresentados anteriormente. Observa-se que o aumento da ventilação produz um inêndio de maior severidade, porém om menor duração, já que toda a arga de inêndio se onsome em um período mais urto de tempo. emperatura o Hidroarboneto empo Figura.- Comparação entre urvas de inêndio natural para diversas ondições de ventilação urva paramétria - baia ventilação urva paramétria - alta ventilação ISO-834 9

43 . Proessos de transerênia de alor.. - Dedução da equação dierenial transiente de transerênia de alor Uma vez determinada a urva de aqueimento do ompartimento, é neessário obter a distribuição da temperatura nos elementos estruturais. lei de onservação de energia epressa o balanço térmio de qualquer ponto do sólido: Q + Q = Q + Q (.) entra gerado sai armazenado Seja o elemento ininitesimal de um sólido sujeito a um ampo esalar de temperaturas dependente da posição no espaço e do tempo, omo ilustra a igura.3 a seguir: (a) Qz z Q + + (b) Γ qr Q Q + Ω Q Q z Γ q Figura.3 (a)- Elemento ininitesimal de um sólido sujeito à transerênia de alor; (b) Deinição de domínio e das ondições de ontorno, adaptada de LEWIS (4). epansão das parelas Q +, Q +, Q z+ z em série de alor trunada nos termos de primeira ordem ornee: Q Q Q + + z+ z = Q = Q = Q z + + (.) + z z O luo de alor gerado pela dierença de temperatura entre dois pontos distintos de um sólido é desrito pela lei de ondução térmia de Fourier:

44 z q z Q = = λ z q z Q = = λ z q Q z z = = λ (.) Onde λ é o vetor de ondutividade térmia do material segundo a direção, q é o luo de alor (em W/m ) edido pelo ontorno e é a derivada parial da temperatura em relação a direção. Quando a ondutividade térmia do material é anisotrópia, alula-se o vetor λ s para uma direção s qualquer pela multipliação tensorial mostrada a seguir: = = s s s zz z z z z sz s s s n m l λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ (.3) Onde s l, s m, s n são os respetivos ossenos diretores segundo os eios, e z da direção s. taa de variação da energia armazenada no elemento é dada por: t z Q armazenado = ρ (.4) Onde ρ é a massa espeíia do material e o alor espeíio. Substituindo as equações anteriores e supondo que não há geração de alor no elemento, obtém-se a equação dierenial parial de ondução de alor em regime transiente em oordenadas artesianas: t z z z = + + ρ λ λ λ (.5).. Condições de ontorno equação.5 apenas possui solução quando são presritas as ondições de ontorno ao longo do tempo e ondições iniiais para o ontinuum em análise. Como esta equação possui derivadas pariais de segunda ordem em relação ao espaço e uma derivada parial em relação ao tempo, serão neessárias ondições de ontorno e ondição iniial para se resolver o problema.

45 s ondições que desrevem o ontorno podem ser divididas em 3 tipos: (i) ondição de Dirihlet, onde a temperatura é presrita; (ii) a ondição de ewmann, ujo luo de alor é onheido ou uma ombinação das duas. s ondições de ewmann representam a eposição do elemento ao inêndio, onde o luo de alor inidente sobre os elementos estruturais é deorrente da ondução de alor dos gases aqueidos gerados inêndio por onveção e radiação. onveção é o movimento marosópio dos luidos que oorre quando há alteração da densidade de um luido deorrente da mudança de sua temperatura. O termo ondução de alor por onveção aplia-se à transmissão ou transerênia de alor de um lugar para outro, pelo desloamento de material aqueido. intensidade do luo de alor depende de diversos atores, tais omo: superíie de ontato entre os luidos; O estado ísio dos luidos em ontato (gás-líquido; gás-sólido, et); Propriedades térmias do luido; úmero de Renolds dos luidos em ontato; O álulo do luo de alor por onveção é eito através da Lei de ewton para o resriamento numa superíie s = (,, z) : Onde q s = h ( ) s = λ s s g (.6) g é a temperatura do inêndio, s é a temperatura da superíie e h é o oeiiente de pelíula para a onveção. norma brasileira adota h = 5 W K para inêndios elulósios. m Radiação térmia é a irradiação eletromagnétia emitida por todos os orpos aqueidos. maior parte da irradiação oorre ao redor de um omprimento de onda espeíio, dependente da temperatura do orpo. Quanto maior a temperatura, maior é a reqüênia da radiação e menor é o omprimento de onda, aproimando a or do objeto aqueido para o vermelho. Como as ondas eletromagnétias se propagam no váuo, a transerênia de alor de um orpo para outro oorre mesmo sem que eista um meio material entre os dois. O luo de alor é quantiiado pela Lei de Stephan-Bolzmann: q r 4 [( + 73 ) ( + 73) ] 4 s = λ s = ε sr σ sr g s (.7) s

46 Onde ε sr é a emissividade da superíie radiante e σ sr é a onstante de Stephan- Boltzmann. a equação.7, as temperaturas devem estar esritas em graus élius. equação.7 possui termos de quarta ordem, que diiultam sua manipulação. ZIEKIEWICZ e YLOR (989) propuzeram uma epressão linearizada om o objetivo de se utilizar a lei de resriamento de ewton para ambas as ondições de ontorno. O oeiiente de pelíula eetivo h r para a radiação é apresentado a seguir: h r [( + 73) + ( + 73) ] [ ( + 73) + ( + 73) ] = ε sr σ sr g s g s (.8) O luo de alor deorrente do aqueimento do ambiente em hamas inidente sobre uma superíie s = (,, z) om ossenos diretores l s, om o oeiiente de pelíula resultante h eq = h + h r : q s m s, n s é mostrado a seguir, ( ) = q + qr = λ ls + λ ms + λz ns = heq g s (.9) z Os elementos estruturais epostos ao inêndio são sujeitos à ondição iniial de equilíbrio térmio om o ambiente, isto é: (,, z,) =. dotou-se a temperatura iniial de = º C para todas as análises térmias desta dissertação..3 Propriedades térmias dos materiais em altas temperaturas Os materiais de onstrução são misturas de diversos omponentes em temperatura ambiente. O aço, por eemplo, é omposto por diversas ligas metálias que possuem omportamentos térmios distintos em unção da elevação da temperatura. O aqueimento do elemento de aço provoa uma mudança na ase de equilíbrio das ligas onstituintes, alterando sua omposição mirosópia (EODÓSIO, 983). os elementos de onreto, o aumento da temperatura muda o estado ísio da água interstiial, que gera um aumento da poro-pressão deorrente da onveção orçada do vapor d água para o eterior. Diversas reações químias oorrem entre os agregados e a pasta de imento durante a elevação da temperatura do onreto. araterização das propriedades ísias dos materiais deve ser eita em unção da temperatura, já que os materiais são alterados por diversos proessos ísio-químios durante o aqueimento. 3

47 .3.- Condutividade térmia ondutividade térmia dos materiais (em W m K ), onsiderada omo isotrópia, é a apaidade do orpo de onduzir alor transversalmente à superíie do elemento. O onreto possui grande variabilidade da ondutividade térmia, devido à heterogeneidade do material durante o aqueimento. O Euroódigo 4 parte. (4) apresenta epressões para a avaliação destas propriedades. seguir são apresentadas as epressões do limite superior e inerior do onreto e a equação para a ondutividade térmia do aço, respetivamente: λ, sup = º C º C (.) λ, in = º C º C (.) a º C a 8º C λ a = (.) 7.3 8º C < a º C igura.4 ompara as epressões não-lineares mostradas aima om os valores onstantes, independentes da temperatura, propostos para modelos simpliiados: (a) Condutividade térmia (W/mK) (b) Limite superior....5 Limite inerior emperatura (ºC) emperatura (ºC) Figura.4 (a) Condutividade térmia do aço; (b) Condutividade térmia do onreto Condutividade térmia (W/mK) 4

48 .3.- Calor espeíio apaidade de um orpo em absorver alor em unção da massa e da variação de temperatura é denominada alor espeíio (em J kg K ). seguir são apresentadas as epressões do alor espeíio para o onreto seo e o aço respetivamente: = + ( ).5 ( ) º C º C < º C < 4º C < º C º C 4º C º C (.3) a a = a a a a º C a 6º C < 735º C < 9º C < 6º C a a a 735º C (.4) 9º C º C presença do grau de umidade no onreto (u) altera seu alor espeíio, pois a água interstiial evapora-se quando a temperatura do material ultrapassa 5ºC. Este eeito deve-se ao alor latente de evaporação da água, uja araterístia é a absorção de alor sem a elevação de temperatura. igura.6-b ilustra o enômeno, onde o pio do alor espeíio depende da quantidade de água presente no onreto, sendo reomendado (EC 4. parte., 4) = para u = 3.%, = 47 para u =.5% e = 9 para u = %. Para = ºC, toda a água oi evaporada e o material omporta-se da mesma maneira, independentemente da quantidade iniial de umidade. O alor espeíio do aço em unção da temperatura também apresenta um pio, onorme mostra a igura.5-a. pesar do aço possuir araterístias homogêneas para temperaturas próimas à ºC, as suas ligas omponentes possuem omportamentos térmios distintos. Estas, por sua vez, apresentam uma mudança de estado ísio para temperaturas próimas a 73 ºC. Esta mudança de estado ísio se traduz omo um pio no gráio.5-a. 5

49 (a) 5. (b) Calor espeíio (J/kg K) Calor espeíio (J/kg K) emperatura (ºC) emperatura (ºC) Figura.5 (a) Calor espeíio do aço; (b) Calor espeíio do onreto.3.3- Massa espeíia massa espeíia (em 3 kg / m ) varia em unção da dilatação dos orpos. Porém, para eeitos prátios, este eeito pode ser desprezado, pois o arésimo de volume é muito pequeno quando omparado om o valor iniial. Portanto, serão adotados valores onstantes para o aço (ρ a = 785 kgm -3 ) e para o onreto de densidade normal (ρ = 5 kgm -3 ), utilizado em todas as análises desta dissertação..4- Solução pelo Método dos Elementos Finitos.4.- Dedução das matrizes de apaitânia e ondutividade solução do problema, isto é, o ampo de temperaturas (,, z, t) que satisaça a equação.5 é obtida a partir do método da separação das variáveis. este, a resposta no tempo é independente das oordenadas artesianas, ou seja:,, z, t) = (,, z) ( ) (.5) ( t O problema será soluionado pelo método dos elementos initos, onde o domínio é dividido em diversos subonjuntos oneos denominados elementos. estes, o ampo ontínuo e diereniável de temperaturas é aproimado por uma unção de interpolação i do tipo piee-wise, uja orma depende do número de nós presentes no elemento. igura.6-a representa aproimações para uma sub-região do domínio, ou ontinuum. 6

50 (a) Y (b) Y v u X X Figura.6 (a) Malha de elementos initos para graus de liberdade; (b) Deinição de unção de orma em oordenadas loais no elemento, adaptadas de ZIEKIEWCZ e YLOR (989) Seja um elemento retangular om 4 nós sujeito a um ampo de temperaturas bidimensional, omo mostra a igura.7-a. Veriia-se que neste tipo de problema não há luo de alor segundo o eio z e, portanto, as equações desritas no item. possuirão apenas os termos relativos às oordenadas e, omo mostra a igura.7-b: (a) (b) Figura.7 (a) Elemento inito retangular para análise térmia; (b) Malha de elementos initos. O ampo de temperaturas bidimensional interpolado a partir das temperaturas nodais,, 3 e 4 e das unções de orma,, 3 e 4 é dado por: 7

51 8 { } ) ( ), ( ),, ( i i i t t = = = = (.6) s unções i são onstruídas a partir dos polinômios de Lagrange, uja prinipal araterístia é possuir valor unitário em um únio nó e valor nulo nos demais, omo mostra a igura.8. o aso em partiular, as unções de orma são esritas omo: = b a ), ( = b a ), ( b a = ), ( 3 b a = ), ( 4 (.7) Utilizando o método dos resíduos ponderados de Galerkin (RIBEIRO, 4b), a equação (.-a) pode ser reesrita omo um sistema de 4 equações integrais: = + d t ρ λ λ = + d t ρ λ λ 3 = + d t ρ λ λ 4 = + d t ρ λ λ (.8) Considerando as propriedades térmias onstantes no interior do elemento, aluladas a partir das presrições do Euroódigo 4 parte. (4) e da temperatura obtida om a média aritmétia dos nós do elemento, as 4 equações anteriores podem ser organizadas na orma matriial: = + d t d d ρ λ λ (.9) Como as unções de orma apresentam apenas derivadas não nulas de primeira ordem e a equação aima possui derivadas pariais de segunda ordem, as epressões

52 9 devem ser manipuladas para que o MEF possa ser apliado. pliando a regra da adeia, as derivadas de segunda ordem são reduzidas à primeira: + = = (.3) Portanto, os dois primeiros termos podem ser reesritos omo: = d d d λ λ λ = d d d λ λ λ (.3) integral do segundo termo das equações apresentadas em.3 é alulada a partir da derivação das unções de orma: { } K d d = = λ { } K d d = = λ (.3) Onde as matrizes K e K são as matrizes de ondutânia segundo as direções e respetivamente: = a b K λ e = b a K λ (.33) O primeiro termo da equação.3 será reesrito a partir da apliação do eorema de Gauss. integral de área é substituída por uma integral de linha, ao longo do ontorno τ, onde θ é a inlinação do ontorno em relação ao eio dos e o sentido positivo de integração segue a regra da mão direita:

53 λ λ d = d = τ τ λ λ os sen ( θ ) ( θ ) dτ dτ (.34) operação anterior permite a onsideração das ondições de ontorno na ormulação do MEF. Seja um elemento eposto às ondições de ontorno de radiação e onveção utilizando a epressão linearizada onorme mostrado na equação.9. Lei de Resriamento de ewton segundo as direções e pode ser esrita omo: λ = h ( ) e = h ( ) eq g λ eq g (.35) Substituindo as equações.35 nas equações.34 respetivamente, obtém-se: τ τ λ os λ sen ( θ ) dτ = heq ( g ) os( θ ) τ ( θ ) dτ = heq ( g ) sen( θ ) τ dτ dτ (.36) Como o elemento desenvolvido é retangular, os valores possíveis de seno e osseno serão ou. Em adição, nem todas as aes dos elementos serão epostas ao inêndio, ou seja, h τ =. Será deinido um delta de Kroneker para a onsideração das ondições de ontorno e da inlinação da ae em relação ao eio dos :., se δτ =., se os ( θ ) hτ = heq ou sen( θ ) ( θ ) h = ou sen( θ ) os τ h τ h τ = h = eq (.37) Realizando a epansão dos termos da equação anterior e realizando as devidas integrações, é obtida a seguinte epressão matriial: τ ( ) os( θ ) heq g dτ = K + heq ( θ g ) sen( θ ) dτ = K ( t) + τ (.38) Onde os termos K e K são as parelas da matriz de ondutânia e e são os vetores de ação térmia devido à presença de onveção e radiação onomitantes no elemento, deinidos a seguir: 3

54 3 + = 6 6 3,4, a h a h K eq eq δ δ + = 6 6,4,3 b h b h K eq eq δ δ (.39) = +,4,3 3,4, b b a a h g eq δ δ δ δ (.4) Finalmente, a tereira integral da equação.9 é alulada através da substituição da equação.6, no integrando em análise: ( ) t t C d t t d t = = ) ( ) ( ρ ρ (.4) derivada parial da equação anterior independe das oordenadas do elemento. Logo, esta pode ser retirada do integrando, ujo resultado é denominado matriz de apaidade térmia, alulado a seguir: = = b a d C ρ ρ (.4) Será deinindo K omo matriz de apaitânia total e t omo vetor de ações térmias resultantes: K K K K K = t + = (.43).4.- Integração temporal Reesrevendo a equação.9 a partir das equações.3,.38,.4 e.43, é obtida uma equação dierenial ordinária dependente do tempo. Como as propriedades

55 térmias dos materiais são dependentes da temperatura e esta é dependente do tempo, optou-se por utilizar a notação mostrada a seguir: ( t) C( t) + K( t) ( t) = ( t) (.44) t integração desta equação será eita pelo método das dierenças initas, uja prinipal araterístia é a disretização da resposta no tempo em intervalos regulares t = t n+ t n, omo mostra a igura abaio: n+ (t) n+ω n t n n+ t n+ω Figura.8 Método das dierenças initas para integração temporal t o apliar a deinição da derivada em um domínio disreto, a preisão da resposta está assoiada ao intervalo de tempo esolhido, omo mostra a equação a seguir para o instante n t. O índie n india que a análise da unção temporal ontínua é disretizada. Portanto, o instante de tempo ( t) t n t representa a n-ésima análise. n+ n lim ( t + dt) ( t) = n t = + Ψ( t) (.45) dt dt t t O parâmetro Ψ é dependente da esolha do intervalo de tempo t. Portanto, assim omo deve ser eito um estudo de onvergênia de malha para a avaliação dos resultados do método dos elementos initos, deve-se realizar um estudo paramétrio do intervalo de tempo esolhido. BR 433 (999) reomenda para que seja adotado um valor sempre inerior a 5 segundos e limita superiormente o intervalo de tempo das análises de peris de aço em ( ) 5 u eposto e é a área da seção transversal. (em segundos), onde u é o perímetro 3

56 Seja o parâmetro adimensional Ω, om Ω onorme mostrado na igura.8. o programa desenvolvido para esta dissertação, será utilizado o valor de Ω adotado pelo programa SFIR (FRSE, ), Ω =. 9, para ins de validação. O Método das Dierenças Finitas é lassiiado em unção do parâmetro Ω, onorme mostra a tabela.: abela. Esquemas de solução temporal Ω Método Comentários. Euler Método de solução eplíito;.5 Crank iolson Método semi implíito; dierenças entrais..667 Galerkin -. ewton Método de solução implíito temperatura no instante de tempo ( n ) t n+ω = Ω n+ + Ω é dada por: + n ( Ω) (.46) Substituindo a equação.44 e.45 em.43 e supondo que Ψ seja desprezível, + Ω : obtém-se a seguinte epressão para o instante de tempo ( n ) t C n n+ t n + K n n+ n n+ { Ω + ( Ω) } = Ω + ( Ω) n (.47) Rearranjando os termos da equação anterior, é possível epliitar o vetor de + : temperaturas no instante ( n ) t K n + = em n K = C + Ω t K n n n n+ = [ C ( Ω) t K ] + t Ω + ( Ω) n n ( ) (.48) É neessária a deinição da ondição iniial da EDO, isto é, as temperaturas nodais, para que o proedimento possa ser iniializado. O álulo do vetor de temperaturas nodais em ( n ) t + é eito através da avaliação do vetor de esorços térmios naquele instante, assim omo a temperatura nodal e o vetor de esorços térmios em n t. O álulo do vetor n+ depende da temperatura n+, já que o álulo do oeiiente de pelíula equivalente é não-linear omo mostrado na equação.8. 33

57 equação.48 torna-se então não-linear e sua solução deve ser obtida através de métodos espeíios, onorme desrito em CRISFIELD (99). Foi adotado um esquema de solução inremental simples, pois a preisão do problema não aeta onsideravelmente a resposta estrutural, prinipalmente quando intervalos de tempo reduzido são esolhidos..4.3 Validação do programa desenvolvido subrotina de análise térmia desenvolvido neste trabalho, denominado ERMOD, utiliza a ormulação do método dos elementos initos apresentado nas seções anteriores. Para validar o modelo, seus resultados serão omparados om programa SFIR (FRSE, ). visualização dos resultados é eita pelo programa VIEW3D (RIBEIRO, 4a). s iguras.9 e. apresentam o resultado da análise térmia do peril W3647 submetido a um inêndio em todo seu ontorno, eeto a ae assinalada de preto, simulando a presença de uma laje. Figura.9 Malha om nós gerada para a análise térmia no programa ERMO Figura. Malha om 3 nós gerada para a análise térmia no programa SFIR 34

58 malha utilizada pelo programa SFIR é gerada automatiamente. Portanto não oi possível modelar as duas seções om o mesmo número de nós. Outra dierença entre os dois programas oorre na modelagem da ligação entre as mesas e as almas. Enquanto o SFIR permite a utilização de elementos triangulares, o programa ERMO utiliza apenas elementos retangulares, não sendo possível modelar aquela região de maneira adequada. pesar destas dierenças, os dois programas apresentaram boa orrelação nas análises térmias. igura a seguir apresenta a urva temperatura versus tempo do elemento do aqueimento do peril de aço W3647 submetido ao inêndio-padrão para materiais elulósios, om as ondições de ontorno apresentadas nas iguras.9 e. e intervalo de tempo t = 5 s. emperatura (ºC) θ θ3 θ SFIR ERMO empo (min) Figura. Comparação entre as análises do programa SFIR e do programa ERMO θ θ θ3 O gráio anterior mostra que os programas apresentam boa orrelação de resultados e, portanto, o programa ERMO pode ser utilizado nas análises térmias das seções deste trabalho. Será eito um reinamento de malha para veriiar que a malha de nós é suiiente para a modelagem da seção W3647. igura a seguir apresenta uma omparação entre a malha esolhida om outra, omposta de 87 nós. Foi utilizado o mesmo passo de tempo. 35

59 emperatura (ºC) θ 8 θ nós 87 nós 6 4 θ3 θ θ θ empo (min) Figura. Comparação entre as análises do programa ERMO om 87 e nós igura abaio apresenta a sensibilidade do modelo à integração temporal, utilizando a malha de nós: emperatura (ºC) θ θ empo (min) Figura.3 Comparação entre as análises do programa ERMO om t =.5 s e t = 5 s θ t =.5 s t = 5 s θ θ θ3 O gráio anterior mostrou que um passo de tempo de 5 segundos é apaz de modelar adequadamente a evolução temporal da temperatura do peril de aço. Este resultado será utilizado em modelos de análise térmia simpliiados, omo será abordado na próima seção. 36

60 igura a seguir apresenta a sensibilidade dos resultados obtidos anteriormente à não-linearidade (L) das propriedades térmias do material a partir da sua omparação om a análise onsiderando os valores onstantes (L) apresentados nas iguras.4 e.5. emperatura (ºC) θ L θ L θ L θ L θ3 L θ3 L θ θ θ empo (min) Figura.4 Comparação entre as análises do programa ERMO, onsiderando o eeito da não linearidade das propriedades térmias dos materiais. Veriia-se que o aqueimento onsiderando as propriedades térmias onstantes é semelhante àquele obtido pelo uso de propriedades não-lineares, eeto na ase de mudança de equilíbrio das ligas onstituintes do aço (aproimadamente 73 ºC). Esta simpliiação torna as matrizes K, K e C onstantes e, aso a radiação não seja onsiderada na análise, a matriz de ondutividade total K torna-se onstante. De aordo om a equação.48, a temperatura no instante de tempo ( n ) t da inversão da matriz K avaliada no instante n t. Se neessitará ser inversa uma vez, tornando a análise muito mais rápida. + é alulada através K or onstante, ela só.5 Métodos simpliiados de análise térmia: lternativamente ao uso do Método dos Elementos Finitos, que eige um programa espeíio para a análise térmia das seções transversais, diversas metodologias simpliiadas vêm sendo desenvolvidas e propostas em presrições normativas. Estes modelos são baseados na apliação das equações undamentais de transerênia de alor 37

61 ou em métodos semi-empírios baseados na interpolação de resultados numérioeperimentais..5. Peris de aço isolados a) Modelo proposto pelo Euroódigo 3 parte.: O Euroódigo 3 parte. (3) utiliza uma metodologia de análise térmia para peris de aço isolados, que também é presrita no projeto de revisão da BR 433 (3). O método supõe que o elemento estrutural está totalmente inserido no ambiente em hamas, que a distribuição de temperaturas na seção transversal é uniorme e que o luo de alor oorra em apenas uma direção. temperatura uniorme dos peris de aço sem proteção térmia é alulada através da seguinte órmula de reorrênia: n+ a ( u ) n n ( ) t k h shadow n eq = a + (.49) a g ρ a a Onde a razão entre o perímetro eposto (u ) e a área da seção transversal ( ) é denominada Fator de Massividade ( F ). Este ator pode ser entendido omo o inverso da inéria térmia do elemento estrutural. Peris esbeltos, isto é, aqueles om elevado ator de massividade, entram em equilíbrio térmio om o ambiente mais rapidamente. O projeto de revisão da BR 433 () adota k =., onsiderando que não há eeito de sombra da irradiação dos peris, gerando resultados onservativos, quando omparado om a presrição européia. igura.5 ilustra o enômeno, onde os peris esbeltos aompanham a evolução da urva temperatura versus tempo enquanto que os peris om pequeno ator de massividade demoram mais tempo para entrar em equilíbrio om o ambiente em hamas. shadow 38

62 emperatura (ºC) ISO 834 F = 4 (/m) F = 3 (/m) empo (min) Figura.5 Sensibilidade do modelo simpliiado desrito na eq..48 ao ator de massividade para a urva ISO 834 elevação da temperatura em peris de aço termiamente protegidos é alulada através da órmula de reorrênia apresentada abaio: a = t m λm F ρ a a n+ a = n a n n ( θ ) a ξ + 3 ξ = m a g + ma( ρ ρ t m a t m a,).ξ n n ( e ) ( ) F g g (.5) Onde t m é a espessura da amada de proteção e os parâmetros om índie m são respetivos às propriedades térmias do material de proteção. tabela.3, adaptada do projeto de revisão da BR 433 (3) resume o álulo do ator de massividade para as situações usuais de projeto. 39

63 abela.3 Cálulo do ator de massividade, adaptada do projeto de revisão da BR 433 (3). Situação Desrição Fator de massividade Seção om proteção tipo ontorno de espessura uniorme, ou desprotegida, eposta ao inêndio por todos os lados perímetro da seção da peça de aço área da seção da peça de aço Seção om proteção tipo aia, de espessura uniorme eposta ao inêndio por todos os lados (d + + b + ). área da seção da peça de aço Seção om proteção tipo ontorno de espessura uniorme, ou desprotegida, eposta ao inêndio por 3 lados Seção om proteção tipo aia, de espessura uniorme eposta ao inêndio por três lados perímetro eposto da peça de aço área da seção da peça de aço d + + b +. área da seção da peça de aço Seção tubular irular eposta por todos os lados: t ( d t ) d Cantoneira eposta ao inêndio por todos os lados + t Quando o inêndio natural entra na ase de deaimento e o sentido da troa de alor é alterado, ou seja < e a inéria térmia da proteção do aço retarda a diminuição g a da temperatura. Desta orma, os peris ontinuam aqueidos mesmo depois do término do inêndio. Este enômeno é mostrado a seguir, na igura.6: 4

64 8. emperatura (ºC) Curva paramétria om baia ventilação 4 (/m) 3 (/m) empo (min) Figura.6 - Sensibilidade do modelo simpliiado desrito na eq..49 ao ator de massividade para a urva paramétria b) Modelo das 3 zonas: O modelo proposto pelo Euroódigo 3 parte. não onsidera o gradiente térmio deorrente da proteção de uma das aes do inêndio, gerado quando a ae de um dos langes do peril está em ontato om uma superíie eterna ou om uma laje. Landesmann e Batista (LDESM, 3) generalizaram a ormulação do Euroódigo 3 parte. (3) para situações de aqueimento quaisquer. Sua idealização onsiste em dividir a seção transversal do peril em três partes, denominadas zonas: mesa superior, alma e mesa inerior. O modelo não onsidera a troa de alor entre os omponentes e ada zona possui suas propriedades meânias, térmias e ator de massividade avaliados individualmente. Portanto, ada zona é onsiderada omo um elemento independente e a elevação da temperatura oorre onorme indiado nas equações.49 ou.5. O resultado deste método são três urvas de temperatura versus tempo independentes, gerando um gradiente térmio entre os elementos. Este, por sua vez, é neessário para a modelagem de métodos avançados de análise estrutural, onorme será abordado no tereiro apítulo desta dissertação. O álulo do ator de massividade de ada um dos omponentes enontra-se resumido na tabela.4, onde h w é a altura da alma do peril de aço, t é a espessura da alma, w t é a espessura dos langes, b é a 4

65 largura dos langes e r s é o raio do alargamento da junção entre o lange e a alma devido à laminação: abela.4 Fator de massividade das zonas, adaptada de LDESM (3) Elemento Perímetro eposto(m) Área do elemento Mesa superior ( t + b + rs ) tw sem laje om laje b ( t + + r ) t s w (m ) ( b + t ) + ( t + r ) r w s s Esquematização da situação lma h w ( h t ) w w Mesa inerior ( t + b + r ) t ( b + t ) + ( tw + rs ) rs s w igura.7 apresenta uma omparação entre o método das 3 zonas e o programa ERMO para a análise do peril W3647 sem proteção térmia e om 3 aes epostas. emperatura (ºC) Zonas ERMO θ θ3 θ empo (min) Figura.7 Comparação entre o MEF e o método das 3 zonas θ θ θ3 4

66 Os dois modelos possuem boa orrelação, prinipalmente se or levado em onsideração que o modelo das 3 zonas é de simples implementação, ao ontrário do programa ERMO. Para um tempo de eposição ao inêndio superior a 6 minutos, os dois modelos onvergem..5.- Elementos de onreto armado O álulo de temperaturas em seções de onreto om agregado silioso pode ser eito através da apliação do modelo de WICKSRÖM (986). este modelo semiempírio, a presença das barras de aço no interior da seção e o eeito de lasamento (spalling) são desprezados. temperatura na superíie dos elementos de onreto é dada por: Onde ( t) = n s s ( t) = g.88 (.66 t ) ( t) s g (.5) g é a temperatura do ambiente em hamas, apresentado anteriormente na equação. e t s é o tempo relativo (em h), que leva em onta as araterístias da ompartimentação: t s = b O 6 t b.4 55 (.5) Os parâmetros da equação aima já oram utilizados para o álulo da urva de inêndio natural. Portanto, b é a inéria térmia do onreto, alulada a partir da equação.6, O é o ator de abertura omo mostrado na equação.5 e t é o tempo transorrido de inêndio (em horas). Caso o elemento de onreto possua densidade normal e esteja eposto ao inêndio padrão, o álulo de ts não é neessário e adota-se t s = t. temperatura (, t) de elementos de onreto om luos térmios unidimensionais, omo lajes ou pilares parede é obtida a partir da seguinte equação: (, t) = n (, t) ( t) (.5) s Onde o parâmetro n leva em onta a distribuição de temperaturas ao longo da direção e é dependente da diusibilidade térmia do onreto K (em tempo de eposição e da distânia (em m) da superíie: m s ), do K ts n =.8ln.8 7 (.53)

67 Como a epressão de n pode levar a valores superiores a unidade, a oordenada deve ser ajustada de modo que. Caso a seção esteja submetida a um luo de s alor unidimensional em aes paralelas, o método pode ser apliado nas duas aes independentemente, e a temperatura resultante é obtida pela superposição dos eeitos. igura a seguir ilustra ompara o método de Wikström para elementos unidimensionais om as presrições normativas do Euroódigo parte. (4)... emperatura (ºC) R3 R R6 R9 Wikström EC pt Proundidade (m) Figura.8 Comparação entre a presrição EC pt.. e o método de Wikström para lajes Para elementos de onreto submetidos ao inêndio em duas aes ortogonais, omo em vigas e pilares, o método de Wikström pode ser apliado para ampos de temperatura bidimensionais a partir da apliação da seguinte equação: [ n ( n + n n n ) + n n ] ( ) (,, t) = t (.53) s s igura abaio ompara o método om o resultado obtido pelo programa SFIR para um pilar de seção quadrada om 3 m de lado. parte esquerda da igura oi obtida om o método de Wikström, enquanto que a parte da direita oi obtida pelo SFIR (FRSE, ): 44

68 (a) (b) () (d) Figura.9 Comparação entre o método de Wikström e a presrição do EC pt.. para pilar 3 3; a) t = 3 min; b) t = 6 min; ) t = 9 min; d) t = min pesar das isotermas possuírem omportamentos distintos, veriia-se que os dois modelos apresentam boa orrelação para a urva de = 5ºC. Esta propriedade oi utilizada em LDESM et al. (7e) para o desenvolvimento de um modelo para pilares de onreto em inêndio baseado no método dos 5 desrito pelo Euroódigo parte. (4). 45

69 3 nálise estrutural 3. - Comportamento meânio dos materiais sob altas temperaturas: Degradação das propriedades meânias dos materiais o serem aqueidos, os materiais de onstrução perdem rigidez e resistênia. Estas alterações são deorrentes dos proessos ísio-químios partiulares de ada material, onorme oi disutido na seção.3. seguir, são apresentadas as presrições normativas presentes no Euroódigo 4 parte. (4) reerentes à modelagem do diagrama tensão versus deormação do aço e do onreto de densidade normal. Os modelos são válidos para taas de aqueimento entre e 5 ºC por minuto. O diagrama tensão versus deormação do aço para elevadas temperaturas que onsidera a presença de enruamento é apresentado a seguir: σ ( ε ) = a Onde pθ + ( ε ε ) ( 5 ( ) ε + ) uθ uθ b a θ E a uθ ε ε ε θ [ ( ε ε )] E θ é o módulo de elastiidade, θ t ε ε uθ ε ε ε ε se se se se se se p ε ε ε < ε ε s ε < ε ε t ε > ε p ε < ε ε ε < ε ε θ é a tensão de esoamento, uθ u s t u (3.) é a tensão de ruptura do aço, onsiderando seu enruamento e pθ é o limite de proporionalidade entre as tensões e as deormações. odos estes parâmetros são dependentes da temperatura, onorme apresentado na tabela 3.. Com eeção da deormação ε p, 46

70 deinida omo ε p = p E, as demais deormações são independentes da temperatura, valendo ε =., ε =. 4, ε =. 5 e ε =.. Os parâmetros a, b e são deinidos a partir das seguintes equações: s t u a = (3.-a) ( ε ε ) ε ε + p p Eθ = ( ε ) E b = ε θ (3.-b) p + ( θ pθ ) ( ε ε ) E ( ) p θ θ pθ (3.-) Deinindo, omo a tensão de esoamento araterístia e E omo o módulo de elastiidade, ambos em temperatura ambiente, os atores de degradação do aço são apresentados na tabela 3.: abela 3. Coeiientes de degradação das propriedades meânias do aço emperatura (ºC) κ = θ, u θ κ = p θ u, s κ p =,, κ = E E θ E Para valores de temperatura intermediários, o EC 4 parte. (4) sugere que seja adotada uma interpolação linear. igura 3. ilustra os atores de degradação do aço etraídos da tabela aima. 47

71 .. κ κ u.8 κ p.6.4 κ E emperatura (ºC) Figura 3. Fatores de degradação das propriedades meânias do aço seguir, é apresentado na igura 3. o treho reerente ao primeiro quadrante do diagrama tensão versus deormação ( σ ε ) do aço para diversas temperaturas, veriiando que, para temperaturas superiores a 4 ºC, o aço perde sua apaidade de enruar, enômeno também mostrado na igura 3., no treho em que κ = κ. u.. = ºC = ºC θ.8.6 = 4ºC = 6ºC ε () ( Figura 3. Diagrama tensão versus deormação do aço O diagrama σ ε do onreto de densidade normal, proposto pelo EC 4 parte., leva em onta o eeito de sotening, isto é, a perda de resistênia para deormações (em módulo) superiores à deormação limite ε u θ. Para que o modelo omporte-se no 48

72 49 regime elástio e inelástio, requisito básio para modelos de análise avançada, o treho em tração do diagrama oi onsiderado linear, até atingir a deormação limite do onreto à tração, θ ε t. equação 3.3 apresenta o diagrama ε σ do onreto, onvenionando > ε para tração e < ε para ompressão. < + < + < > = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε σ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ u u u u u u u u u u u t t se se se se E se 3 ) ( 3 (3.3) O módulo de elastiidade do onreto ( θ E ) em unção da temperatura oi alulado a partir do módulo de elastiidade tangente na origem: θ θ ε θ θ θ θ θ θ ε θ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε σ u u u u u d d E = = = = = ) ( (3.4) Onde θ é a resistênia máima do onreto a ompressão, θ ε u sua orrespondente deormação, θ ε u é a deormação máima durante a ompressão e θ θ ε tm t E = é alulada a partir da resistênia a tração do onreto θ tm, todos dependentes da temperatura. Deinindo, E omo o módulo de elastiidade,, e tm, omo a resistênia a ompressão e tração, respetivamente, todos em temperatura ambiente, é apresentada a tabela 3., que mostra a degradação dos parâmetros ísios do onreto. Os valores de κ,θ E oram alulados a partir da equação 3,4 e da degradação de θ e θ ε u.

73 abela 3. Coeiientes de degradação das propriedades meânias do onreto emperatura (ºC) κ = θ θ, κ = tθ tm, θ tm, κ = E, θ E, θ E, ε u θ 3 ( ) ε u θ 3 ( ) igura 3.3, apresentada a seguir, ilustra a variação dos oeiientes de degradação das propriedades ísias do onreto apresentadas na tabela 3.. Observa-se que o onreto perde rigidez desde o iníio do aqueimento e que, para > 5ºC, sua rigidez é pratiamente desprezível. Este enômeno é utilizado pelo Euroódigo parte. (4), para o desenvolvimento de um método simpliiado apresentado no aneo B que despreza a ontribuição das partes da seção transversal om temperaturas superiores a 5ºC...8 κ.6.4 κ t. κ E emperatura (ºC) Figura 3.3 Fatores de degradação das propriedades meânias do onreto perda de resistênia do onreto durante o resriamento, presrita no aneo C do Euroódigo 4. parte (4), reduz θ em unção da sua temperatura atual e da 5

74 temperatura máima alançada durante o inêndio,. Este enômeno oi má inorporado no modelo desenvolvido e é partiularmente útil para a avaliação do desempenho e reuperação de estruturas que tenham sido submetidas a um inêndio. unção θ deinida anteriormente deve ser modiiada para a inlusão desta propriedade do onreto: má ( ) ( ) θ, = θ ( ξ ) má má (3.5) má Onde ξ é dado por: se < ξ =.95.5 ( ) se < 3 má (3.6).9 se 3 lém da perda de rigidez, a dutilidade máima do material ε u θ deve ser modiiada para que o treho linear da equação 3.3 ontinue om a mesma inlinação: ε uθ ( ) = ε ( ) ε ( ) ε u ( ) má θ má ( ) ( ) uθ, má uθ + má θ (3.7) θ má seguir, na igura 3.3, é apresentado o treho em ompressão do diagrama tensão deormação do onreto para diversas temperaturas. O eeito da degradação do onreto em unção do resriamento é representado pela urva na situação que má.. = ºC má = ºC.8 = 3ºC má = 3ºC θ.6.4. = 6ºC má = 6ºC = ºC má = 6ºC ε () ( Figura 3.4 Diagrama tensão versus deormação do onreto 5

75 3.. - ensões residuais O padrão de distribuição de tensões residuais para peris laminados em temperatura ambiente adotado nesta dissertação oi desenvolvido por SLZI & PPP (4). Os prinipais parâmetros que inlueniam a distribuição são a orma do peril e a tensão residual máima α, adotada omo.3,. s tensões residuais devem ormar um sistema auto-equilibrado ao longo da seção transversal, de modo que as resultantes do momento letor, do arregamento aial e do bimomento sejam nulas. Veriia-se que uma distribuição de tensões parabólia é suiiente para a modelagem do problema. Denominando r () e w r (z) omo unções de distribuição de tensões nos langes e na alma do peril respetivamente, tem-se: ( ) r = + a (3.8) w ( z) z r = w + aw (3.9) origem das unções é deinida no entróide do lange ou da alma e o sentido onvenionado onorme apresentado na igura 3.5: w( z) = a z r w + w z ( ) = a r + w( z) = a z r w + w Figura 3.5 Distribuição de tensões residuais nos peris laminados z Os parâmetros das equações 3.8 e 3.9 são: ( 3b + 4h ) b t = α (3.-a) 3 b t + 8b h t + h 3 tw b t + 48b h t + 4h t = α (3.-b) 3 3 a w b 3 w 3 ( b t + 8b h t + h t ) 5

76 3 3 ( 8b t + 3b htw + h tw) 3 tw( b t + 8b h t + h tw) 3 3 ( 8b t + 9b htw + h tw ) 3 ( b t + 8b h t + h t ) b t = α (3.-) h w 3 b t = α (3.-d) a w 3 h t 3 w O método das ibras não permite a onsideração da variação de tensões dentro de ada elemento. Portanto, as equações 3.8 e 3.9 devem ser substituídas por uma distribuição do tipo heaviside, onde a tensão em ada ibra é dada pela tensão residual média em temperatura ambiente σ rm,, apresentado na igura 3.6: w..5. σ.5 rm, () Figura 3.6 pliação das unções de tensão residual no método das ibras Como as tensões residuais são ineriores a,, visto que α <., elas podem ser substituídas pelas suas respetivas deormações a partir da apliação da Lei de Hooke: ε rm, ε rm, σ rm, = = E ( ) E σ rm, = = E ( z z ) E b b a a b z a b z a w ( ) ( z) d dz (3.) Onde a e b são as oordenadas do elemento retangular da alma e z a e z b são as oordenadas do elemento retangular nos langes. Portanto, as tensões residuais são onsideradas no modelo omo uma deormação adiional ε no diagrama σ ε do aço, omo mostrado na igura 3.7. deormação resultante de ada ibra _ ε é dada por: _ ε = ε ε (3.) r,m r, m 53

77 Utilizando a equação 3., veriia-se que a distribuição de tensões residuais no peril de aço torna o diagrama arga aial versus deormação espeíia não-linear. Este eeito se aentua quando o peril é onstituído de um aço om maior resistênia. igura 3.7, mostrada a seguir, ilustra o omportamento de típio de peris tipo wide lange (WF), quando utilizado o aço 36 e o aço 57, sujeito a ompressão pura: Diagrama elastoplastio 57, ε () ( Figura 3.7 Eeito da tensão de esoamento e das tensões residuais na ompressão pura variação da tensão residual em unção da temperatura oi modelada através de uma unção linear, onorme apresentado a seguir: a σ rm se a < 4 σ rm = 4 (3.3) se a 4 igura 3.8 ilustra o omportamento do diagrama σ ε do aço para diversas temperaturas, onsiderando os eeitos das tensões residuais om α =. 3. Veriia-se que as tensões residuais possuem maior inluênia no treho linear do diagrama e, onorme a temperatura do material aumenta, seus eeitos perdem inluênia no omportamento desta relação onstitutiva. 54

78 ..8 = ºC = 3ºC = ºC.6.4. = 4 ºC Sem tensão residual Com tensão residual. 3 4 ε () Figura 3.8 Eeito das tensões residuais no diagrama tensão versus deormação 3..3 Coeiiente de dilatação térmia O alongamento espeíio do aço e do onreto em temperatura ambiente são pratiamente idêntios. Esta é uma das ondições que avoreeram o desenvolvimento do onreto armado a adesão entre os materiais independente da temperatura. Esta ondição é veriiada para temperaturas ineriores a 5 ºC, onorme apresentado na igura 3.9. Porém, para temperaturas superiores a 5 ºC, o alongamento do onreto é superior ao do aço, gerando atritos internos entre os materiais que resultam no destaamento das barras de aço do elemento.. longamento () Conreto ço emperatura (ºC) Figura 3.9 longamento espeíio do aço e do onreto em unção da temperatura O alongamento espeíio do aço em unção da temperatura é dado por: 55

79 L L a = a a 8 a se se se 75 a a a < 75 < (3.3) Enquanto o alongamento do onreto, em unção da temperatura é apresentado na equação 3.4: L L.8 = se se < 7 7 (3.4) 3. Método das unções de estabilidade 3.. Dedução da matriz de rigidez em oordenadas loais O método das unções de estabilidade é apaz de prever o omportamento elástio das estruturas om um número reduzido de elementos. Baseado no método dos desloamentos, as restrições e onsiderações gerais na modelagem do elemento vigaoluna são apresentadas a seguir: Seções permaneem planas após as deormações, de modo que as deormações deorrentes do isalhamento podem ser desprezadas; s tensões e as deormações se relaionam linearmente, sendo válida a Lei de Hooke; Os peris de aço são onsiderados ompatos, segundo o ISC/LRFD (5). Desta orma, não há lambagem loal dos elementos onstituintes do peril; ão são onsideradas soliitações transversais atuantes ao longo do elemento, que devem ser transormadas em orças nodais equivalentes; Considera-se que os peris estejam suiientemente travados lateralmente para que a lambagem lateral torsional possa ser desprezada; Os eeitos do enurtamento de urvatura não oram inluídos. Seja a viga-oluna em domínio elástio, sujeita a momentos letores nas etremidades e a um arregamento aial, onorme mostra a igura 3.: 56

80 Figura 3. (a) Elemento de viga-oluna utilizado no método das unções de estabilidade; (b) Elemento ininitesimal da viga-oluna partir da apliação do equilíbrio no elemento ininitesimal apresentado na igura 3.9-b, é obtida a seguinte equação dierenial ordinária, onde ρ = P EI : d v( ) d M + M B M ρ v = + (3.5) L EI EI + Cuja solução geral é obtida mediante a análise das raízes de r a r + b =, + r r onorme apresentado em BOYCE e DI PRIM (5). Para P positivo, isto é, para um elemento sujeito ao esorço aial de ompressão, a linha elástia v () é dada por: v( ) = sen( ρ ) + B os( ρ ) + M + M L EI ρ B M EI ρ (3.6) s onstantes de integração e B são obtidas a partir da substituição das ondições de ontorno v ( ) = e v ( L) = na equação anterior, obtendo-se: = os( ) M ρl M EIρ sen( ρl) + B = M EIρ B (3.7) Reesrevendo a equação 3.6 em unção dos momentos de etremidade M e M B, é obtida a equação da linha elástia do elemento viga-oluna: M v ) = EI ρ os( ρ L) M B sen( ρ ) os( ρ ) + + sen( ρ L) L EI ρ ( os( ρ ) sen( ρ L) L (3.8) rotação dos elementos é dada pela derivada de 3.4 em relação ao eio dos : 57

81 dv( ) M os( ρ L) Θ( ) = = os( ρ ) + sen( ρ ) + d EI ρ sen( ρ L) ρ L M B os( ρ ) sen( ρ ) EI ρ sen( ρ L) ρ L (3.9) Portanto, as rotações nas etremidades dos elementos ( = ) e B ( = L ) d L sen( ρl) ρlos( ρl) Θ = = M d EI = ( ρl) sen( ρl) d L sen( ρl) ρl Θ B = = M d L EI = ( ρl) sen( ρl) L sen( ρl) ρl M EI ( ρl) sen( ρl) L sen( ρl) ρl os( ρl) M EI ( ρl) sen( ρl) B B (3.) relação aial arga-desloamento, ignorando-se os eeitos de urvatura, pode ser epressa omo: E P = e (3.) L s equações 3. e 3. representam a elástia do elemento de viga-oluna em unção dos seus esorços de etremidade. Organizando estas equações na orma matriial, obtém-se: Onde = K d (3.) é o vetor de orças nodais, K é a matriz de rigidez do elemento e vetor de desloamentos. Epandindo estas matrizes, a equação anterior é esrita omo: M S S Θ EI M B S S = B L Θ P / I e d (3.3) Os parâmetros S e S são denominados unções de estabilidade e onsideram impliitamente os eeitos P-δ e a lambagem elástia na ormulação da rigidez à leão do elemento. seguir, são mostradas as unções de estabilidade para o aso de tração ( P > ) e ompressão ( < P ), onde ρ P / ( π EI / L ) = : é o 58

82 π ρsen( π ρ ) π ρ os( π ρ ) os( π ρ ) π ρ sen( π ρ ) S = π ρ osh( ρl) π ρ senh( π ρ ) osh( π ρ ) + π ρ senh( π ρ ) para P < para P > (3.4-a) S π ρ π ρ sen( π ρ ) os( π ρ ) π ρ sen( π ρ ) = π ρ senh( π ρ ) π ρ osh( π ρ ) + π ρ senh( π ρ ) para P < para P > (3.4-b) Quando a orça aial P or nula, as unções de estabilidade tornam-se indeterminadas, pois a hipótese de P da equação 3.5 não é válida. Para soluionar este problema, adotam-se as seguintes epressões aproimadas propostas por LUI (985), limitadas em ρ : π ρ (, ρ +,543) ρ (, 4ρ +, 85) ρ S = ρ 8,83 + ρ S π ρ (, ρ +,543) ρ (, 4ρ +, 85) ρ = ρ 8,83 + ρ (3.5) O método das unções de estabilidade (MFE) apresenta grande vantagem sobre o método dos elementos initos (MEF) na análise elástia de pórtios planos. Enquanto o MFE representa a elástia de maneira eata om apenas elemento, o MEF depende do número de nós por elemento para determinar a linha elástia, omo mostra a equação.6. Para altos valores de ρ, são neessários muitos nós para modelar os eeitos elástios pelo MEF, enquanto que o MFE realiza esta operação om apenas nós ransormação das oordenadas loais para o reerenial global equação de equilíbrio para o elemento de viga-oluna na orma inremental é apresentada a seguir, onde os pontos sobresritos representam a relação inremental (tangente) dos desloamentos e das orças de etremidade do elemento: M& S S Θ& EI M B S S & = Θ & B L (3.6) P& / I e & Os elementos de pórtio plano possuem 6 graus de liberdade, enquanto que a ormulação do MFE possui apenas 3. igura 3. apresenta a relação entre os 3 graus 59

83 de liberdade da viga-oluna om os 6 graus de liberdade do pórtio plano: d g6 d 3 d g d g3 d Θ Θ L d d g5 d g L Θ d g4 Figura 3.- Relação entre os desloamentos do elemento de pórtio plano e da viga-oluna s rotações e desloamento loais são denominados por: d, d e d 3, e estão relaionados om os graus de liberdade globais do elemento, dados por d g, d g,..., d g6,. relação entre estes desloamentos é dada por: d = Θ = Θ + d tan g3 d d + g5 g + d d g 4 g (3.7-a) d = Θ = Θ + d tan B g6 d d + g5 g + d d g 4 g (3.7-b) d 3 = L L = ( + d g 4 d g) + ( + d g5 d g ) L (3.7-a) Diereniando-se a equação 3.6 om relação a ada desloamento generalizado de etremidade, as relações inemátias do vetor desloamento do elemento de viga oluna em relação aos 6 graus de liberdade pode ser esrita em unção da matriz de transormação : g d = g d g (3.8-a) 6

84 d& g d& g Θ& sen Θ / L os Θ / L sen Θ / L os Θ / L EI d & g3 B sen / L os / L sen / L os / L Θ & = L Θ Θ Θ Θ d& (3.8-b) g 4 e os Θ sen Θ os Θ sen Θ & d& g5 d& g6 igura 3. representa a relação entre as orças nodais dos graus de liberdade do elemento de viga-oluna om os do pórtio plano: Figura 3. -Relação entre as orças nodais do elemento de pórtio plano e da viga-oluna Com base no prinípio de equilíbrio, os vetores de orças, nos dois sistemas de oordenadas são relaionados pela matriz de transormação g : g g = (3.9-a) g (sen Θ) / L (sen Θ) / L os Θ (os Θ) / L (os Θ) / L sen Θ M = M B g 4 (sen ) / L (sen ) / L os Θ Θ Θ P g5 (os Θ) / L (os Θ) / L sen Θ g 6 g g3 (3.9-b) omando-se a derivada em ambos os lados da Eq. 3.9-a, obtém-se a relação entre os inrementos das orças nodais do modelo de pórtio plano e do modelo de vigaoluna: 6

85 6 g g g + = (3.3) Portanto, a equação 3.3 pode ser reesrita a partir da substituição das equações 3.9 e 3.6: g g g g g d K + = (3.3) Obtém-se a matriz de transormação g a partir da derivação parial de g om relação a ada grau de liberdade do pórtio plano, onorme apresentado a seguir, para i,j =,,...,6: 3 3 = = gi gi gj gi gj gi gj gi g d d d d d d d d d d d (3.3) s matrizes, e 3, levam em onta a mudança direional do vetor de orças de etremidade do membro a medida que a estrutura se deorma. Para ( ) Θ = sen s e ( ) Θ = os, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) = = s s s s s s s s s s s s s s s s L = 3 s s s s s s s s s s s s L (3.33) Substituindo os resultados obtidos nas equações 3.33 em 3.3, é possível obter a equação inremental de equilíbrio para o elemento om pequenas deormações e grandes desloamentos, esrita om relação às oordenadas globais, utilizando a matriz de rigidez alulada em 3.3: g B g g g d P M M K = 3 (3.34)

86 Modiiação na ormulação do MFE ormulação apresentada no item anterior onsegue reproduzir de maneira eiiente o omportamento dos elementos no regime elástio. Porém, para situações em que as tensões na seção transversal perdem a proporionalidade om as deormações, a lei de Hooke não é mais válida e uma das hipóteses desritas no item 3... Para que o omportamento inelástio deorrente do proesso de plastiiação durante a leão seja onsiderado na ormulação do problema, será introduzido o parâmetro φ, que orrige a rigidez leional deorrente do proesso de plastiiação da seção. equação 3.6 é reesrita onsiderando os novos atores onorme desrito em LIEW e WHIE (993): M M P S φ S S E I = B φ φb S L Como as unções ( φ ) φb S φ φ S B S S ( φ ) Θ Θ e I B (3.35) φ e φ B estão deinidas apenas nos etremos do elemento, o modelo onsidera que todo o omportamento inelástio deorrente da leão oorra nas suas etremidades. Esta é a hipótese básia do método das rótulas plástias reinadas e, para que a resposta da análise seja melhorada, é neessário reinar a malha nas zonas inelástias. É importante notar que para φ, B =., a seção etrema apresenta-se no regime elástio, para φ, <. a seção está no regime inelástio e que para < B φ, B = a seção tornou-se uma rótula plástia pereita. Uma rótula é ormada sempre que o momento de plastiiação da seção transversal M p é atingido. Seu álulo é eito a partir da integração do ampo de tensões normais presente durante a leo-ompressão ou leo-tração. Como a seção não tem apaidade de resistir a momentos superiores à M p, haverá a redistribuição das soliitações a partir da lei de luo plástio desenvolvida por CHE e LUI (986). Seja uma viga soliitada por um momento letor inremental etremo. equação 3.35 é reesrita omo: M = M p no seu 63

87 64 p B B B M S S e I S S S L I E P M M + Θ Θ = φ (3.36) etensão para uma rótula em B torna-se evidente e, para um elemento om rótulas em ambos os etremos e B, o elemento de pórtio plano apresentado na equação 3.35 degenera-se em um elemento de treliça: + Θ Θ = pb p B B M M e I L I E P M M (3.37) equação inremental que leva em onta a ormação de rótulas plástias nos etremos e B é esrita a seguir de maneira simbólia, em oordenadas loais: + = p g h d K (3.38) Onde h K é a matriz de rigidez do elemento levando em onta a ormação da rótula plástia e p é o vetor de orças a ser redistribuído pela estrutura. Substituindo a equação 3.38 em 3.34, é obtida a relação entre as orças e os desloamentos em oordenadas globais: = p g g B g h g g d P M M K (3.39) 3.3 Comportamento inelástio das seções transversais: 3.3. Método das ibras: O parâmetro φ, deinido omo a razão entre a rigidez leional inelástia e a rigidez leional elástia, é apresentado abaio: κ κ φ d dm I E EI EI el in ) ( = = (3.4) Portanto, o álulo de φ envolve a determinação de todo o omportamento inelástio da seção, representado pela relação momento letor versus urvatura. Esta é obtida pela integração das tensões normais durante a leão. diionalmente, a ormulação do problema deve onsiderar a distribuição de tensões normais deorrentes do

88 arregamento aial. Portanto, a análise do omportamento inelástio da seção reduz-se à determinação da relação Momento Fletor versus Curvatura versus Carga ial ( M κ P ). metodologia apresentada a seguir, baseada no método das ibras, é válida para qualquer material. simulação do omportamento dos materiais é eita através da implementação do seu diagrama tensão versus deormação. s seguintes hipóteses simpliiadoras, adiionais àquelas apresentadas em 3.3, se azem neessárias para o desenvolvimento da teoria: Os eeitos da luênia e da retração do onreto serão desprezados; Pereita aderênia entre os materiais; ranserênia de arga simultânea sobre os materiais durante a soliitação aial; Elementos sujeitos à leão omposta reta. Seja uma seção transversal omposta de um material inelástio e sujeita a um ampo de temperaturas alulado pela ormulação do MEF apresentada na seção.4, e um ampo de deormações, onorme mostra a igura 3.3: (a) ε ε i ε (b) = Figura 3.3 (a) Relações geométrias básias para o álulo da relação momento letor versus urvatura; (b) Disretização de uma seção pelo método das ibras. disretização da seção transversal pelo método das ibras será eita pela mesma malha utilizada na análise térmia, endereçando as propriedades meânias e as temperaturas das ibras automatiamente. geometria retangular apresenta-se omo um ator limitante, já que não possui a apaidade de se adaptar a qualquer geometria, omo mostrado na igura 3.3-b. O ampo de deormações gera esorços internos no método das ibras alulados através do álulo do equilíbrio para uma malha om E elementos: 65