UMA ABORDAGEM ACADÊMICA SOBRE A APLICAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

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1 nais do XXXIV COBENGE. Passo Fundo: Ed. Universidade de Passo Fundo, Setembro de ISBN UM BORDGEM CDÊMIC SOBRE PLICÇÃO D OTIMIZÇÃO NO DIMENSIONMENTO DE ESTRUTURS DE CONCRETO RMDO lex lves Bandeira alex_bandeira@terra.om.br Universidade Presbiteriana Makenzie, Departamento de Engenharia Civil -São Paulo - SP Thais Kojima Miranda thais_kjm@yahoo.om.br Universidade Presbiteriana Makenzie, Departamento de Engenharia Civil São Paulo SP Resumo: O presente trabalho tem por objetivo realizar uma apliação da otimização ao dimensionamento de pilares de onreto armado. ssim, primeiramente é desenvolvido um estudo detalhado sobre o onreto armado desde seu histório, propriedades intrínseas de deormação, a origem e distribuição de esorços nas estruturas, onsiderações sobre o as ondições de ontorno dos pilares no dimensionamento até os ritérios de veriiação do dimensionamento propostos pela norma brasileira de onreto armado NBR 6118/04. São realizados também apliações numérias do dimensionamento de pilares om os métodos de dimensionamento propostos pela NBR. 6118/0. Estes estudos propiiam ao aluno ter um onheimento proundo do unionamento de peças de onreto armado. Em seguida são estudados alguns oneitos sobre a programação matemátia e algoritmos de otimização que podem ser apliadas as otimizações om e sem restrições. Para a realização destes estudos são utilizados oneitos adquiridos durante a graduação. São então deinidas equações que araterizam o problema de otimização e que são distintos para vigas e pilares. Estas são apliadas ao algoritmo esolhido em rotinas no sotware C++, em diversas simulações numérias para que exista uma interpretação ísia dos resultados obtidos. Para inalizar o estudo é eita uma veriiação da mesma estrutura estudada anteriormente na apliação da otimização om o sotware TQS. Palavras-have: Otimização, Dimensionamento de estruturas, onreto armado. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.147

2 1. INTRODUÇÃO Nos ediíios as vigas e os pilares ompõem os pórtios planos ou espaiais que riam um sistema de ontraventamento que viabiliza o unionamento de toda a estrutura. São responsáveis por absorver as ações vertiais e horizontais que são apliadas às estruturas e proporiona rigidez e garante a estabilidade global do ediíio. s ações absorvidas pelos pórtios têm sua origem no peso próprio da estrutura, nos esorços de vento e no uso ao qual a estrutura é onebida. O álulo de uma estrutura de onreto armado tem omo objetivo garantir uma segurança adequada ontra a ruptura provoada pelas soliitações provenientes de arregamentos apliados e limitar as deormações oriundas das ações atuantes de modo a não omprometer o seu uso. Os dimensionamentos realizados para estruturas durante a graduação, têm omo ponto iniial uma hipótese, que ao ser admitida é veriiada de aordo om as neessidades e o uso da peça. Se esta hipótese ao or veriiada or ompatível, é então adotada. o passo que, se a veriiação não or ompatível uma nova hipótese é admitida e então veriiada. Este proesso de sistematização de dimensionamento o torna iterativo. ssim, o uso de erramentas omputaionais e métodos numérios geram um dimensionamento mais preiso. O oneito de otimização propõe que otimizar é enontrar os melhores pontos de uma unção otimizada mediante restrições impostas ou não a esta unção. Neste estudo a unção otimizada é a do dimensionamento para vigas e pilares e as restrições estão relaionadas as diretrizes propostas pela norma brasileira de onreto armado para o dimensionamento. 2. CONCRETO RMDO Nesta seção são apresentados o onreto armado desde o seu desenvolvimento iniial aos prinípios de dimensionamento e omportamento mediante deormações. 2.1 Histório do onreto armado O onreto armado surgiu em um primeiro desenvolvimento do Cimento Portland por Jose spdin (1824) na Inglaterra. Em 1855 Lambot, na França oloou barras de aço na parte traionada de peças eitas de argamassa de imento para a onstrução de baros. Monier em 1861 om a abriação de um jarro de lores hegou ao onreto armado omo se entende hoje. Obteve suessivas patentes para a onstrução de tubos, lajes e pontes. Mörsh em 1902 omprova experimentalmente, elabora e publia as primeiras teorias do dimensionamento do onreto geradas pela irma alemã Wayss&Freitag. Deram origem as primeiras normas de onreto armado. pesar dos anos as idéias undamentais de Mörsh ainda ontinuam válidas, porém esta teoria ornee um dimensionamento a avor da segurança de onseqüentemente ustos mais elevado e que ez gerar adaptações nas últimas déadas. 2.2 Prinípios do dimensionamento O oneito undamental do onreto armado é a heterogeneidade das peças que oorre porque é um material ormado por um ompósito, no aso o onreto, e de barras de aço. Sendo o onreto por si só heterogêneo, apresentando uma ruptura do tipo rágil, e quando soliitado a lexão apresenta ruptura brusa devido a sua baixa resistênia a tração. ssim, nas regiões da seção transversal de peças de onreto soliitadas a esorços de tração são adiionadas barras de aço. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.148

3 Para a obtenção da resistênia interna são admitidas algumas hipóteses proposta pela norma brasileira de onreto armado NBR 6118/04. dmite-se que as seções transversais permaneem planas após a deormação, que exista pereita aderênia entre as barras de aço das armaduras e o onreto, e a resistênia a tração do onreto é desprezada. Para as tensões do onreto admite-se então o diagrama parábola retângulo ilustrado na igura 01. Figura 01 Diagrama de tensões de ompressão no onreto Sendo para seções transversais nas quais a largura da seção não diminui a partir da linha neutra é admitido um diagrama simpliiado. 2.3 Domínios de deormações no Estado Limite Ultimo linha neutra divide a seção transversal em área que sore esorços de ompressão e tração. Estes esorços são resultantes internas devido a soliitações externas advindas de arregamentos aos quais a estrutura está exposta. Para representar o omportamento da linha neutra e onseqüentemente as deormações de alongamento e enurtamento, da seção transversal de peças de onreto armado são utilizadas oito domínios de deormação no ELU omo ilustra a igura 02. Figura 02 Domínios de deormações no ELU reta a representa o esorço normal de tração na seção ou tração axial. O domínio 1 orresponde à oorrênia de esorço normal de tração na seção nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.149

4 ompreendendo deste a situação de tração pura até a tração exêntria. O domínio 2 ilustra a situação de lexão simples ou omposta sem ruptura à ompressão do onreto. O domínio 3 ilustra a lexão simples ou omposta om ruptura à ompressão do onreto. No domínio 4 as peças estão submetidas à lexão simples ou ompostas em que a ruptura se dá exlusivamente pelo onreto. O domínio 4a representa a situação de lexão omposta om armadura omprimida. No domínio 5 tem-se a ompressão não uniorme ou ompressão exêntria. 3 Estruturas de onreto armado em ediíios Nos ediíios os pilares absorvem os arregamentos provenientes das reações das vigas, que tem sua origem no peso próprio da mesma e na reação das lajes, e os transmitem de maneira uniorme por todo ediíio até a undação omo ilustra a igura 03. Figura 03 Carregamentos de uma viga transmissão desses esorços uniona pelo prinípio de pórtio, que proporiona rigidez e garante a estabilidade global do ediíio. É então riado um sistema de ontraventamento que viabiliza o unionamento de toda estrutura. 3.1 Métodos de dimensionamento de pilares de onreto armado Método da Compressão Centrada Equivalente Este método é apliado a pilares ujo índie de esbeltez possua valor inerior ao valor limite λ 1. Neste método apenas a exentriidade aidental por impereição geométria é onsiderada eliminado a possibilidade de argas exêntrias ao eixo do pilar. lém disso, a seção transversal do pilar em estudo deve ser retangular ou irular e a armadura ao longo da peça deve ser simétria. Para a apliação deste método a orça normal reduzida dado pela equação 01 deve ter valor inerior 0,7. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.150

5 ν = N ( ) sd (1) orça normal soliitante de álulo N, expressa pela equação 02, que onsidera o sd eq valor da exentriidade aidental e a que é dada pela equação 03. N sd, eq = N sd e 1+ β h (2) e= ea = 0,015+ 0, 03 h (3) Para o álulo da orça normal soliitante de álulo também deve ser realizado o álulo do parâmetro α dado pela equação 04, que orrelaiona o número de barras existentes na direção horizontal e na direção vertial da seção transversal do pilar em estudo ilustrado na igura 04. α s = ( nh 1) ( n 1) v (4) Figura 04 rranjo de armadura araterizado pelo parâmetro α Sendo assim alula-se o parâmetro β dado pela equação 05. β = 1 ( 0,39+ 0,01 α) 0,8 d h (4) área de aço da seção transversal pode ser dada então pela equação 5. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.151

6 N ( s) + s s sd, eq = 0,85 σ (5) Método do Pilar-Padrão om Curvatura proximada. Este método é apliável a pilares em que o índie de esbeltez da peça or inerior a 90. Para enontrar a área da aço da seção estudada, utiliza o ábao de Interação proposto por PJ Montoya (1978). Neste método, assim omo no método da ompressão entrada equivalente a armadura deve ser simétria e onstante ao longo do eixo. O seu uso também tem omo ondição iniial o álulo da urvatura da seção rítia dado pela equação 6 que deve ser inerior ao limite expresso pela equação ,005 = r h ( ν + 0,5) (6) 1 0,005 = (7) r h lém disso, a orça adimensional dada pela equação 8 também tem seu valor limitada a maior ou igual a 0,5. ν = N ( ) sd (8) O momento total máximo pode ser expresso pela equação 9. 2 e 1 M d, tot =α b M 1d, + N d M 1d, l 10 r (9) Para determinar o valor da área de aço da seção transversal são alulados os parâmetros µ dado pela equação 10 e o parâmetro ν dado pela equação 11. µ = M d h (11) ν = N ( ) sd (12) Com a apliação destes parâmetros no ábao de interação proposto por Montoya (1978) obtém-se o parâmetro ω, expresso pela equação 13, que relaiona a área de aço da seção transversal possibilitando enontrar o seu valor. ω = s, tot yd (13) Método Geral Este método é apliável a pilares ujo índie de esbeltez or maior que 90. Para enontrar a área de aço utiliza os ábaos do CEB (norma européia de onreto armado). esolha da nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.152

7 utilização dos ábaos é deinida pela araterístia geométria de ada pilar que são deinidos pelas equações 14 e 15 respetivamente. d (14) h l e (15) h Para determinar a área de aço são alulados os parâmetros µ dado pela equação 16 e o parâmetro ν dado pela equação 17 respetivamente. N d ν = 0, 85 (16) µ 1 M 1 0 =, 85 d h (17) Estes parâmetros apliados ao ábao do CEB, orneem o parâmetro ω, expresso pela equação 18, que relaiona a área de aço da seção transversal do pilar. s ω = 0, 85 yd (18) pliação numéria dos métodos de dimensionamento de pilares de onreto armado Será então estuda do o pilar entral P5 de um pavimento tipo de uma ediiação om um andar e uma obertura omo ilustra o orte esquemátio da igura 5. Figura 5 -Corte esquemátio da ediiação em estudo área do pavimento tipo é de 104,4m2, e está dividida em quatro lajes omo ilustra a igura 06. s dimensões da laje são omprimento e largura 4,8m e altura 12m. Figura 06 Planta de ormas do pavimento tipo. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.153

8 Será realizado um estudo om esta estrutura no qual os três métodos de dimensionamento propostos pela norma serão utilizados em dierentes situações de arregamento, geometria da estrutura e ondições de ontorno da peça. tabela 01 ilustra este estudo. Tabela 01- Estudo realizado utilizando os métodos de dimensionamento propostos pela norma Caraterístia Geométria Força Normal Comprimento de lambagem Exentri. e (m) Índie de Valor Limite Método de Área de ço (m/m) (kn) le (m) Esbeltez λ 1 Dimens. (m 2 ) 25/ ,1 0 29,06 43,54 Compre 12,02 ssão Centrad a Equivale nte λ< λ 1 25/ ,2 4,75 58,13 45,63 Pilar padrão om urvatur a aproxim ada λ < 90 2,57 nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.154

9 20/ ,6 4,75 96,88 46,61 Método Geral λ > 90 2,79 4. PROGRMÇÃO MTEMÁTIC programação matemátia tem omo objetivo a análise e resolução de problemas do tipo: Minimizar ( x) (24) g i x 0 i I Sujeito a ( ) =,, gj ( x) 0, j D, x R n Onde a unção ( x) ( x) é denominada de unção objetivo e as unções g i ( x) = m, e g j ( x), para j 1,..., q,, para i 1,..., =, são denominadas restrições. O onjunto inito dos índies das restrições de igualdade é denominado por I = { 1,..., m} e o onjunto inito dos índies das restrições de desigualdade por D = { 1,..., q}. O onjunto inito dos índies de todas as restrições é denominado por R= I D. Quando um ponto x satisaz a todas as restrições ele é hamado de viável. O onjunto de todos os pontos viáveis é hamado de região viável Γ. Quando um ponto x não satisaz a x será alguma restrição ele é hamado de inviável. Um ponto viável que minimiza ( ) indiado por x e será denominado de ponto ótimo. Quando os onjuntos initos I e D orem vazios, ou seja, I = e D =, não existem x g j x trata-se de um problema de otimização sem restrições. Quando o restrições g i ( ) e ( ) problema é da orma expliitada na equação 24 trata-se de um problema de otimização om restrições. Portanto, os problemas de otimização podem ser divididos em problemas sem e om restrições. maioria dos métodos de resolução de problemas de otimização da orma (equação 24) é iterativa, ou seja, geram uma seqüênia de pontos {x (0), x (1),..., x (n)}, onde o ponto x (k+1) é determinado a partir do ponto anterior. Mais espeiiadamente x (k+1) é determinado pela equação 25. x ( k 1) ( k) ( k = x ), + δ (25) Em geral, os métodos de resolução prouram soluções que são mínimos loais do problema. Em determinados asos onde as hipóteses de onvexidade são introduzidas, podese obter o mínimo global. 4.1 Otimização em pilares de onreto armado Otimização da área sem restrições O problema de otimização sem restrições para pilares de onreto armado pode ser ormulado omo 26. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.155

10 Minimizar ) (26) s R ( s unção objetiva a ser otimizada é a do proesso simples para álulo de pilares. O proesso simpliiado de álulo de pilares utilizado na apliação pode ser dado pela equação 27: e γ n γ N k 1 + β = h σ + s σ s (27) Sendo a área do onreto na seção transversal da peça expressa pela equação 28, e substituindo na equação 27, tem-se a equação 29. = (28) s e γ n γ N k 1 + β = 85 h ( s) 0, + s σ s (29) equação a ser minimizado em unção da área da seção transversal da peça, dado pela equação 30. e h ( s) = γ n γ N k 1 + β ( s) 0, 85 s σ s (30) O método utilizado para a apliação da otimização ao dimensionamento de pilares de onreto armado é o Método do Lagrangiano umentado, que resolve uma seqüênia de problemas de otimização sem restrições. Ele utiliza o Método do Lagrangiano aresentando um termo ξ que penaliza as restrições g i ( x), onheido omo Método da Penalidade expresso pela equação 31. P 1 2 ( x) = ( x) + ξ g ( x) 2 1 (31) No aso de pilares de onreto armado a unção ( x) equação 32. ser otimizada pode ser dada pela s ( x) = ( s) =,85 ( ) 0 s 0 0 s + σ s s γ n γ N K 1+ β e h (32) O equilíbrio do sistema é dado pela primeira derivada da unção ( x) expressa pela equação 33. ( x) = ( x) + g ( x) g ( x) = P igualada a zero P ξ (33) nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.156

11 E a matriz de rigidez do sistema dado pela segunda derivada da unção ( x) equação 34: 2 ( x) = ( x) + ξ P dada pela 2 P (34) Otimização da área sem restrições NBR 6118/04 deine os limites de área mínima de aço nos pilares de onreto armado dado por equação 35: s min N 0,15 d 0,004 yd (35) E a área de aço máxima para os pilares é dada pela equação 36. s max = 8% (36) ssim sendo, o problema da otimização da área de aço om uma restrição nesta dimensão imposto, é dado pela equação 37. ( ) Minimizar s (37) Sujeito a g ( s) 0 s 1 R Onde g 1 ( s ) é a restrição de área mínima de aço na seção transversal do pilar, limitada pela norma brasileira de onreto armado NBR 6118/04 dado pela equação 38. g ( s) = 0, 015 (38) 1 s Neste aso a restrição da área máxima de aço na seção transversal do pilar não será inlusa omo restrição na equação de equilíbrio do sistema, pois ao impor um valor máximo a área de aço o pilar será dimensionado para unionar em uma situação inerior em termos de soliitação ao que realmente neessita. Esta situação gera um pilar om apaidade resistente inerior a realidade. pode ser dado pela equação 39. ssim, ( ) s e ( ) + σ γ γ N 1+ β + 0,015 s 0,85 ξ s s s n k h (39) pliação numéria no sotware C++ Para a apliação no sotware C++ as equações de dimensionamento om e sem restrição da área serão apliadas a rotinas que utilizam algoritmos de programação matemátia gerando uma resolução iterativa para os problemas. ssim a mesma estrutura estudada para os métodos de dimensionamento propostos pela norma oi utilizada para a realização desta apliação. tabela 02 ilustra a apliação. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.157

12 Otimização Tabela 02 pliação da otimização om e sem restrições Caraterístia Força Comprimento Exentri. Geométria Normal de lambagem e (m) (m/m) (kn) le (m) Área de ço (m 2 ) Sem restrição 25/ ,1 2,25 11,99 Com 25/ ,1 2,25 9,38 restrição (s min = 0,004.) Nesta apliação todos os parâmetros se mantiveram onstante nas duas apliações salvo o valor do arregamento que é muito sensível a determinação do valor da área de aço. ssim, na segunda apliação devido ao arregamento bem reduzido apliado na peça obteve-se o valor de área mínima restrito pelo problema de otimização. pliação numéria no sotware TQS O sotware TQS utilizado para o dimensionamento e veriiação de estruturas de onreto armado permite a exeução de projetos de ediíios de pequeno e grande porte. Para esta apliação será utilizada a mesma estrutura estudada anteriormente. Sendo que o arregamento apliado será 791 kn. igura 07 ilustra a visualização em três dimensões riada pelo sotware que proporiona um entendimento da estrutura estudada. Figura 07-Visualização em três dimensões gerado pelo sotware TQS. O sotware também permite o detalhamento de plantas de ormas de estruturas de onreto armado ilustrada pela igura 08. Figura 08 Planta de ormas riada no sotware TQS nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.158

13 estrutura então oi proessada e oi realizado um detalhamento do pilar em estudo que pode ser ilustrado na igura 09. Figura 09 Detalhamento do pilar estudado nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.159

14 No detalhamento a área de aço sugerida no sotware orresponde a área alulada pelos métodos de dimensionamento estudados anteriormente e pela apliação no sotware C++, permitindo então uma veriiação da apliação. 4. CONSIDERÇÕES FINIS No que diz respeito ao objetivo prinipal que se propôs este trabalho, a apliação da otimização no dimensionamento de pilares de onreto armado, pode-se onluir que o mesmo oi onretizado om suesso. Obtiveram-se resultados semelhantes para o mesmo pilar estudado, alulado om os métodos propostos pela norma brasileira de onreto armado NBR 6118/04, om utilização da otimização omo erramenta no sotware C++ e om o sotware TQS. O levantamento de análise de reerênias, proposto omo metodologia para a realização deste trabalho para enontrar parâmetros de dimensionamento para a apliação da otimização de pilares de onreto armado possibilitou um proundo onheimento do dimensionamento dos pilares de onreto armado. Este onheimento abrangeu desde o histório do onreto armado até os itens da norma brasileira de onreto armado NBR 6118/04 no que se reere a pilares de onreto armado. Cabe ressaltar que para que a otimização apliada ao dimensionamento de pilares apresentasse resultado osse positivo, o modelo matemátio utilizado, neste aso a equação do Lagrangiano umentado para pilares de onreto armado, oi exata. Caso ontrário os resultados enontrados não seriam satisatórios. Na otimização a substituição da equação básia do dimensionamento usado neste trabalho pelas equações dos métodos de dimensionamento propostos pela norma é um tema de trabalhos a serem desenvolvidos no uturo. Realizar tal eito geraria uma omplexidade que não se az neessária neste momento. Durante a graduação oorreram estudos sobre a otimização om dierentes abordagens que possibilitaram uma amiliarização om o tema, sob a orientação do Pro. Dr. lex lves Bandeira. Estes estudos resultaram em dois projetos de pesquisa de Iniiação Cientíia sendo que o primeiro deles teve omo apoio a Fundação de mparo a Pesquisa do Estado de São Paulo a FPESP e o outro o Conselho Naional de Desenvolvimento Cientíio o CNPq, além de diversas partiipações em ongressos, simpósios e algumas publiações ientíias. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.160

15 N CDEMIC PROCH UNDER THE CONTEXT OF OPTIMIZTION PLIED ON THE SIZING OF PILLRS ON RMED CONCRET The basi aim o this work is to presented the optimization method applied to design pillars o armed onrete under the Brazilian rmed Conrete Speiiation NBR-6118/2003. In the beginning o this work the armed onrete history is presented and aterwards, the onstitute equations and the material parameters. To dimensioned pillars under ompression, all the standard theory mentioned in NBR is taking into aount. The optimization method, the algorithmi and the theniques to solve linear and nonlinear problems, with or without onstrains, are developed. The ugmented Multiplier Method is used to solve the optimization problemas. To make this researh, the omplete ormulation are oding in C++ language. For this propouse, the normal ompression ore, the loads exentriity, the seurity oeiients, the ross setion, the ompression arateristi resistene o the armed onrete, the penalty parameter and so one are taking into aount. Some numerial examples are selet to show the hability and the perormane o this algoritmi. In the end o this monography, the presented examples solved by the optmization proedures are ompared with the TQS omerial programm results. Finally, the omplete disign are also presented using the TQS programm. nais do XXXIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia 2.161