2 LEIS CONSTITUTIVAS. 2.1 Introdução. 2.2 Concreto em Compressão Uniaxial

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1 LIS CONSTITUTIVAS. Introdução Desrevem-se a seguir as eis onstitutivas do onreto e do aço. Mostra-se a obtenção destas eis para o onreto na ompressão e na tração uniaxiais, através de oneitos da Meânia da Fratura, seguindo-se prinipamente o trabaho de Sigrist (995). xpõe-se a soução dada por Sigrist para a obtenção da resistênia à tração na exão simpes, assim omo uma ateração dessa soução. Ambas souções são omparadas om aquea dada no MC-90. Desrevem-se também os ritérios mais usuais de resistênia do onreto. Para os aços, atuamente assiiados de aordo om sua dutiidade, são dadas as araterístias meânias, onorme as normas brasieiras vigentes, as quais permitem determinar, de orma simpiiada, as orrespondentes eis onstitutivas. Mostram-se ainda as araterístias de aderênia exigidas pea NBR 7480/997 e proura-se expiar o ensaio de tirante da NBR 7477/98 do qua deorre o oeiiente de onormação superiia e seus vaores mínimos exigidos na primeira dessas normas. Desrevem-se por im as equações das eis onstitutivas do onreto na exão utiizadas neste trabaho.. Conreto em Compressão Uniaxia O onreto é um materia heterogêneo, omposto de duas ases, o agregado graúdo e a matriz (ou pasta) de imento e areia. ssas duas ases têm isoadamente um omportamento rági e de resposta inear. Atuando em onjunto o materia heterogêneo tem resposta não-inear e mostra, na ompressão uniaxia, um omportamento dúti (Fig..).

2 Tensão Agregado Tensão Agregado Conreto Conreto t Pasta de imento Pasta de imento Deormação Deormação (a) Conretos de baixa e média resistênia (b) Conretos de ata resistênia Fig..: Leis tensão-deormação do agregado, da pasta de imento e do onreto (. FIP/CB, Bu. 97 (990)). A dierença evidente entre os omportamentos ineares das duas ases e não-inear do materia omposto deve-se à onentração de tensões nas zonas de ontato entre eas. Nestas há miroissuras, de abertura inerior a 0 µ m e omprimento entre 3 e 3 mm, antes mesmo da apiação da arga. Após a apiação da arga, a miroissuração oorre graduamente no interior do onreto omo resutado da ateração de distribuição de tensões entre as duas ases, e se dá pea ausênia ou perda progressiva da aderênia nas zonas de ontato,. MGregor (997). Segundo este autor, no proesso de arregamento, os materiais rágeis tendem a desenvover raturas perpendiuarmente à direção do enurtamento prinipa. Na ompressão uniaxia do onreto até a ruptura a miroissuração transorma-se em maroissuração (issuras visíveis), e nesse proesso distinguem-se quatro etapas, desritas a seguir. A retração da pasta durante a hidratação e seagem do onreto é impedida peo agregado e gera tensões internas auto-equiibradas, já antes do arregamento do onreto. As trações na interae agregado-matriz de imento e areia evam a issuras de aderênia as quais têm poua inuênia no

3 3 omportamento do onreto, e sua urva ) é pratiamente inear até era de 30% da resistênia à ompressão. ( No segundo estágio, para tensões apiadas ao orpo de prova maiores que (0,3 a 0,4), as tensões na interae agregado-matriz de imento e areia exedem a sua resistênia à tração e ao isahamento, e há ormação de novas issuras, hamadas issuras de aderênia, as quais são estáveis, e só se propagam se houver aumento de arga. Quaquer tensão interna adiiona tem de ser transmitida peas zonas das interaes ainda sem perda de aderênia. sta ateração na distribuição de tensões tem omo eeito um aentuamento da resposta não-inear da urva ). ( No tereiro estágio, para tensões apiadas no orpo de prova aima de (0,5 a 0,6), desenvovem-se issuras oaizadas na argamassa entre as issuras de aderênia. A propagação das issuras é estáve, i. e., não há progressão deas sob arga onstante. A issuração dá-se paraeamente à direção da arga, e este estágio é hamado imite de desontinuidade. No quarto estágio, para tensões apiadas na aixa (0,75 a 0,80), rese o número de issuras na pasta as quais se oaesem, e om isso aumentam o dano na estrutura do onreto. Disso resuta um maior aentuamento da nãoinearidade da urva ). ste estágio é hamado de tensão rítia. ( deormação voumétria, stes estágios estão indiados na Fig.., inuindo-se a v = V V, que mede a variação de voume do orpo de prova em reação ao voume origina, bem omo o eeito Poisson, através de ν = 3, onde é o enurtamento prinipa paraeo à arga, e 3 é aongamento prinipa na direção ortogona à mesma. No quarto estágio, observa-se o resimento muito rápido do enurtamento axia, om a propagação instáve da issuração, evando o orpo de prova à ruptura. Também se vê nesta igura a reversão da deormação voumétria que passa de ontração a expansão. No ramo desendente há aumento de enurtamento simutaneamente om queda da arga apiada. Nesse ramo, possíve de ser detetado em ensaios de deormação ontroada om máquinas de ata preisão

4 4 hoje em dia existentes, há, na reaidade, uma oaização de deormação em uma zona bem deinida de dano da estrutura do materia. 3 PROPAGAÇÃO INSTÁVL DAS FISS. V = ++3 TNSÃO CRÍTICA =3 PROPAGAÇÃO STÁVL DAS FISS. LIMIT D DSCONTINUIDAD FISSURAÇÃO STÁVL = 3 ALONGAMNTO (+) NCURTAMNTO (-) Fig..: Lei tensão-deormação do onreto em ompressão uniaxia, deormação voumétria e eeito Poisson,. MGregor (997). F d Fig..3: Zona de dano no orpo de prova iíndrio. F A representação do ramo desendente da Fig.. orresponde à transormação do desontínuo em ontínuo equivaente. Para essa transormação, o que se deve medir é o enurtamento axia do orpo de prova em unção da arga apiada, e em seguida obter a tensão média, F A, deorrente da orça apiada dividida pea área da seção transversa do orpo de prova, e a deormação média equivaente, onsiderando-se os omportamentos distintos das partes de omprimentos respetivamente iguais a d e d, onde d orresponde à zona de

5 5 dano e é a atura do orpo de prova. Ver a Fig..3. O ato de a ruptura do orpo de prova, no ensaio de deormação ontroada, não se dar brusamente é expiado pea ação de orças de atrito e de engrenamento nas interaes das ameas da zona daniiada. A importânia do ramo desendente está em sua apiação às peças om gradiente de deormação. Nessas reduz-se muito a propagação instáve das issuras, porque à medida que as issuras da argamassa amoeem o onreto om enurtamentos maiores, há transerênia de arga para zonas omprimidas mais rígidas e mais estáveis (enurtamentos menores), mais próximas da inha neutra. Com isso as peças om gradiente de deormação têm uma ei ) que pode entrar na região de amoeimento (strain-sotening). No ramo asendente dessa urva há poua inuênia de um gradiente de deormação, omo omprovado experimentamente. ( Para obter o ramo desendente da ei ) é neessário introduzir oneitos da Meânia da Fratura. A expiação que segue baseia-se no trabaho de Sigrist (995), Fig..4. Considere-se o sistema máquina de ensaio-orpo de prova mostrado nesta igura, representado por três moas em série. A da máquina tem oeiiente de exibiidade M = k M, onde M ( k é a sua rigidez, geramente orneida peo abriante. O orpo de prova é iíndrio, de omprimento, diâmetro φ e área A. Após o pio da urva ), orma-se no orpo de prova uma nítida região (II) ( de oaização de deormação, ujo omportamento é distinto das demais regiões (I) as quais sorem no desarregamento uma queda de enurtamento (aongamento eástio). Para quantiiar isso, onsidere-se o estado de equiíbrio reerente ao ponto A da Fig..4, nas urvas ) das partes (I) e (II) do iindro de prova. A um ( aumento do enurtamento ( ) < 0 orresponde uma queda de ompressão > 0 no sistema, do que resutam aongamentos das zonas (I), de móduo de eastiidade, e da moa. A região (II) tem rigidez negativa, representada por d. Considerandose as três omponentes deste sistema, pode-se esrever para o arésimo de enurtamento: ( ) = ( ) + ( ) + ( ) (.) I II M

6 6 (I) F - A - d M (I) (II) / (II) φ A -d /d Fig..4: Amoeimento do orpo de prova de onreto em ompressão uniaxia,. Sigrist (995). d d ( ) = ( + + AM ) (.) d m deorrênia dos sinais dierentes dos arésimos do enurtamento tota e da orrespondente tensão, a expressão entre parênteses deve ser negativa. Disso deorre o imite inerior de d, e omo d resuta: d + A > d M (.3) sta inequação dá, de outra orma, a ondição de estabiidade para a obtenção do ramo desendente da ei ) do onreto e dea deorre o imite ( do omprimento d da zona de ruptura para que o ensaio seja estáve. Se oorrer

7 7 d + A d M (.4) o proesso de desarga é instáve. Para uma máquina de ensaio muito rígida ( 0 ), obtém-se a ondição de estabiidade do ensaio: M d > d (.5) sendo < 0. De ensaios próprios em iindros de esbetez φ = 3, om φ = 60, 0 d e 80 mm, Sigrist onstatou que o omprimento da zona de dano d é aproximadamente igua a φ. m deorrênia disso, é possíve obter a tensão média no orpo de prova em unção do enurtamento da zona de dano, ). Ver a Fig..5. Da área do diagrama da Fig..5b resuta a energia de ratura neessária para destruir ompetamente o orpo de prova. Como se trata de energia dissipada no voume da região (II), indiada por U F II ( II, é neessário dividir a energia de ratura por unidade de área do orpo de prova, G F, peo omprimento d, om o que se obtém: G F U F = (.6) d vaor que varia entre 60 e 0 3 KJ m ( KJ / m Nmm mm = 0 / ). Se orem desprezadas as inuênias da resistênia do onreto e da dispersão do tamanho do agregado, esta grandeza pode ser onsiderada aproximadamente onstante para os onretos de onstruções usuais, de resistênias entre 0 e 60 MPa. O ramo asendente pode ser representado om boa aproximação pea seguinte paráboa do segundo grau:

8 8 - M =0-0 II 0 = - d II Área GF - 0, (a) (b) Fig..5: Obtenção da energia de ruptura por unidade de área uniaxia,. Sigrist (995). G F do onreto em ompressão = ( ) (.7) onde é a deormação orrespondente à tensão de pio e pode ser obtida da seguinte equação, dada no trabaho de Sigrist: = +,5 (.8) 60 om em MPa, e em 0 / 00. Na aixa = 0 a 60 MPa este enurtamento varia de,83 0 / 00 a,5 0 / 00. Aproximando-se o ramo desendente por uma reta e admitindo-se a energia dissipada por unidade de voume omo onstante, pode-se obter o móduo de amoeimento omo segue (Fig..6). Desta igura obtém-se: U F d = [ ( d ) M A + D ( ] ) ou

9 9 D = (.9) U F d ( d ) M A de onde se vê que para obter este móduo (negativo) é preiso onheer o oeiiente de exibiidade da máquina de ensaio, M, e a energia de ruptura, U F. Áreas UF d = GF M A - 0, x - d 0 - M A - D D (a) (b) Fig..6: Obtenção simpiiada do móduo de amoeimento. O móduo de eastiidade do sistema, 0, na desarga a partir da tensão de pio é obtido desta expressão pondo-se U = 0 : F 0 = (.0a) A d + M iminando-se a inuênia da máquina de ensaio ( = 0 ) resuta, onorme indiado na Fig..5a: M 0 = (.0b) d

10 0 onde o móduo de eastiidade do onreto, o mesmo da origem, pode ser tomado,. Sigrist, igua a: = (em MPa) (.) sta expressão é muito próxima daquea dada no MC-90: i 0 ( ) 4 3 = = (em MPa) (.) Com as expressões apresentadas, e om a hipótese eita para a atura da zona de dano, pode-se obter todo o diagrama ) do onreto em ompressão uniaxia, em unção da esbetez do orpo de prova, φ, ( Fig..7). Como se mostrou, o ramo desendente da ei ) não é uma propriedade apenas ( do materia, mas do sistema máquina de ensaio-orpo de prova. ( Tensão (MPa) Deormação x 000 / i = 5,3 / i = 8 / i = 4 / i = Tensão (MPa) Deormação x 000 =0 MPa, =6 GPa, -D= GPa =60 MPa, =4 GPa, -D=8 GPa (a) (b) Fig..7: Leis tensão-deormação para onreto em ompressão uniaxia,. Sigrist (995). (a): Lei ) em unção da esbetez φ do orpo de prova, para = 30MPa, = 0, = 30GPa, ( 0 = / 00 3 e U F = 00KJ / m ; (b): Lei ) para = 0 e 60 MPa, esbetez φ = e ( 00 / m 3 U F = KJ. M

11 Para que os resutados sejam iéis é neessário onheer o oeiiente de exibiidade da máquina de ensaio. A títuo de inormação reproduzem-se os seguintes vaores do oeiiente de rigidez k M, extraídos do atáogo da MTS Teststar II: 8 8 8,6 0 N / m, 4,3 0 N / m e 7,5 0 N / m, para apaidades respetivamente iguais a 00 KN, 50 KN e 500 KN. Observe-se ainda que na expressão de rítio do orpo de prova que anua o denominador, a saber: D há um omprimento r U F = d ( + ) AM (.3) Para esse vaor o ensaio é instáve e não pode ser ontroado. Na Fig..7a isso oorre para r = 5,3φ, e o ramo desendente é vertia..3 Conreto em Tração Uniaxia A resistênia à tração do onreto é uma araterístia meânia que intervém em dierentes enômenos do onreto estrutura, p. ex., na ormação de issuras, na aderênia entre o onreto e as barras da armadura, na onseqüente anoragem dessas barras, na resistênia à orça ortante e à torção, espeiamente nas ajes, nos desoamentos da estrutura, et. Sem a onsideração dessa resistênia seria virtuamente impossíve onstruir estruturas de onreto,. Hierborg (985). A desrição ompeta do omportamento do onreto à tração é eita também por meio de oneitos da Meânia da Fratura, e o modeo ísio devese a Hierborg et a. sse modeo é hamado Modeo da Fissura Coesiva ou Fitíia. Nee empregam-se duas eis onstitutivas na desrição do omportamento meânio do onreto: uma ei ) que desreve o omportamento eástio e eventua ( enruamento antes da issuração até a sua resistênia à tração t, inuindo desarregamento nesta ase, e outra ei (w) que reaiona a tensão apiada e a

12 abertura da issura oesiva até o vaor útimo desta abertura, w u, para o qua há ompeta separação do materia. Ver a Fig..8. A issuração do onreto em peças etidas,. Fig..8d, apresenta uma zona de omprimento a onde há ompeta separação do materia, sem quaquer transmissão de tensões nas aes da issura, e outra de omprimento a d, adiante da verdadeira issura, onde há dano e miroissuração. sta é a hamada zona de proesso, onde o materia é pariamente suturado por inusões, peos agregados, e eventuamente por ibras,. Carpinteri (997), e por isso mesmo nea há transmissão de tensões. t t U V G F w u = abertura na boa da issura oesiva t w u w (a) () para t zona ora da issura (b) (w) na issura F w F t a d + w u a () tirante de onreto simpes (d) issura oesiva na exão Fig..8: Leis onstitutivas do onreto e modeo da issura oesiva. Havendo enruamento, a energia orneida ao eemento estrutura (tirante da Fig..8) é dissipada tanto no voume do materia não issurado, quanto na superíie da issura. A energia dissipada por unidade de voume, U V, é dada pea área da Fig..8a, e a energia dissipada por unidade de área da issura, G F, é dada pea área da Fig..8b. A energia tota dissipada no voume da barra resuta da

13 3 t w = abertura da issura oesiva w t u Fig..9: Lei ( ) para onreto em tração uniaxia. soma UV A + GF A, onde A é a área da seção transversa do tirante e o seu omprimento. Se o materia or eástio inear, omo se pode admitir para o onreto em tração no ramo asendente de sua ei, então U = 0 e toda energia dissipada no tirante reduz-se à parea reerente à issura. Assim, o ensaio do tirante até a ompeta separação (ou ratura) do orpo de prova deve ser eito medindo-se a tensão média, = F A V, em unção do aongamento, e não em unção da deormação, Fig..9. resistênia t, a saber, Quando o aongamento t eastiamente, de modo que ao im issura oesiva. A energia espeíia de ratura, utrapassa aquee orrespondente à, as partes adjaentes à issura oesiva desarregam-se é quase que totamente igua à abertura da G F, deorrente do ramo desendente da ei (w) pode ser onsiderada independente das dimensões do orpo de prova e é, portanto, uma araterístia do materia. ssa energia é obtida experimentamente (Ver Hierborg (985)) e depende prinipamente da resistênia à tração do onreto e do diâmetro do agregado graúdo. Para diâmetros entre 6 e 3 mm, G varia entre 80 e 40 J/m 3 ( J / m = 0 Nmm / mm ). F Os modeos para o áuo numério são os dados na Fig..0. Utiizando-se o modeo de Sigrist (995) é possíve reunir as duas eis numa só, dependente porém do omprimento do orpo de prova, omo se mostra a seguir.

14 4 w F (I) (I) F (II) + t t G F t -D (I) t 3 (II) w (II) w t 0,8G F t w = u 3,6GF t w u (a) (b) Hierborg, A., 985 () Sigrist, V., 995 Fig..0: Leis ) e (w) ( simpiiadas. Da Fig..0 obtém-se: w = t ( ) (.4) w u e portanto d D = = dw w t u (.5) Como t wu G F = (.6) resuta para D, grandeza que arateriza o ramo desendente da ei ( ),. Fig..a:

15 5 t D = (.7) G F t < r -D = r > r t < r - D > r (a) t w u (b) t t = w u = Fig..: Inuênia do omprimento do orpo de prova nos ramos desendentes das eis ( ) e ),. Sigrist (995). ( Na Fig..b, para > tem-se: t t wu = ( ) (.8) t wu D d = d = t t w u (.9) Usando-se (.6) e (.7) resuta o móduo de amoeimento na tração: D D = = (.0) D + t GF t

16 6 grandeza que arateriza o ramo desendente da ei ). Observe-se, novamente, que ( D depende do omprimento do tirante e é, portanto, uma araterístia do sistema (da estrutura) e não apenas do materia. O denominador de (.0) anua-se para o omprimento rítio dado por: r G F = t = D (.) resutado que também pode ser obtido iguaando-se a energia eástia aumuada na barra, We = At (), om a dissipada na issura oesiva, W p = AGF. Se < r a energia eástia aumuada na barra pode ser dissipada na issura oesiva; em aso ontrário esta energia supera a dissipáve na issura oesiva, e assim que o arregamento evar a uma tensão = oorre um desarregamento instáve, enômeno hamado snap-bak. Ver a Fig... Para os seguintes vaores: t = 30GPa, 00 J m 0, Nmm mm G F = =, = 3 a 4 MPa, tem-se = 350 a 650 t r mm. ratura No MC-90, item..3.3., enontram-se vaores da energia de G F em unção do diâmetro máximo do agregado e da resistênia araterístia do onreto. Ver também Hisdor e Brameshuber (99)..4 Resistênia à Tração do Conreto na Fexão Simpes A resistênia à tração do onreto na exão é, omo se sabe, maior do que a sua resistênia à tração simpes. Para uma seção retanguar de dimensões b h, esta resistênia é deinida ormamente pea equação: 6M max t, = (.) bh

17 7 onde M max é o máximo momento que a peça de onreto simpes pode resistir antes de romper-se. h x 0 h bh t M= bh 6 t M= bh t = 3 t t, t, = t t (a) Conreto muito rági, soução eástia (b) Conreto muito dúti, soução pástia Fig..: Vaores extremos da resistênia do onreto à tração na exão. No que segue mostra-se a soução anaítia desenvovida por Sigrist (995) para obter esta resistênia, usando-se o Modeo da Fissura Coesiva, dado no item.3. sta soução será aterada adiante, para inuir uma ondição de ontorno geométria. Já se pode adiantar o intervao de variação de t,, onsiderandose dois onretos de omportamentos extremos: um muito rági, outro muito dúti (Fig..). Desta igura vê-se que a resistênia do onreto na exão varia na aixa ( a 3) t. O uroódigo, item 3...3, adota exatamente o vaor médio desses extremos, através da expressão: = (.3) t, t, ax onde, é a resistênia à tração simpes (axia), obtida da resistênia de t ax separação em duas metades, t, sp, de orpos de prova iíndrios sujeitos à ompressão diametra, onorme ensaio ideaizado por Carneiro, F. L. L., om a seguinte onversão: t, ax 0, 9 t, sp =. A NBR 68, 000, item 7..5, adota um vaor

18 8 mais preiso que o da quação (.3), a saber, =, 43, omo se t, ( 0,7) t = t pode ver na Fig..4 ou na Tabea., para B = e B = 0, 3. Na tração o onreto apresenta uma dispersão maior de sua resistênia do que na ompressão. O vaor médio dessa resistênia é dado, tanto no C- quanto no MC-90 e na NBR 68, 000, pea expressão, em MPa: tm 3 0,3 k = (.4) Considerando-se, para essa resistênia, uma distribuição norma, de oeiiente de variação δ = S tm = 0, 0, onde S é o desvio padrão, têm-se as resistênias araterístias orrespondentes aos quantis de 5% e 95% respetivamente iguais a 0, 67 t, 5% = tm e t 95% tm, =, 33. Usando-se (.4) vem: 3 t, 5% 0, k = e 3 t, 95% 0, 4 k = (.5a) e (.5b) A menionada soução de Sigrist para a obtenção da resistênia à tração na exão simpes tem omo base as seguintes hipóteses. Ver também a Fig..3. () A seção permanee pana após etir. () Não se onsideram as inuênias da orça ortante, da dispersão das propriedades meânias do onreto e do aparato de ensaio. (3) O onreto, na ompressão e na tração até = t, tem omportamento eástio inear. (4) A máxima eha δ no entro do vão é obtida om a rigidez da seção de atura h a ) ( d, sendo a d a atura da issura oesiva, e a variação da urvatura ao ongo da viga é aim om a variação do momento etor. Conorme a Fig..3d pode-se esrever: sup N M = 6 b( h ad ) b( h ad )

19 9 t N M = + 6 b( h ad ) b( h ad ) Destas equações resutam: sup = ad η + t ) = ( + t ) (.6) h a η ( in in d a d η = (.7) h M b( h a = 6 d ) [ t N + b( h a d ] ) Pondo-se: ζ = in (.9) t deorre, usando-se a iguadade N = 0,5( in + t ) ba : d bh M = t ( η + ηζ )( η) (.30) Considerando-se que os esorços das seções pariais e da Fig..3d são estatiamente equivaentes ao momento M apiado, vem: M ( h ad ad ζ + = N + ) + 3 ζ + M

20 30 F F h b a d α α δ (b) M r = I (a) sup h M t t a d in () sup h - a d h - a d N - b( h- a ) d M N t a d t N a 3 d ζ+ ζ+ in (d) Fig..3: Dados para o áuo da resistênia do onreto à tração na exão,. Sigrist (995). Após simpiiar obtém-se: 6M m = = + ηζ (.3) bh t

21 3 a orrespondente urvatura Da Fig..3a deorre a reação entre a eha δ no entro do vão e r : δ = M = r I 3 Substituindo-se nesta equação M de (.30) e pondo-se I = b( h a ) vem: d δ = t ( + ηζ η) h( η) (.3a) Introduzindo-se (.3) resuta: δ = t (3 + m η ) 4h( η) (.3b) Na borda inerior da seção entra a abertura da issura oesiva é dada aproximadamente pea seguinte reação inemátia (Fig..3b): w in 4δ tη( + ηζ η) = ad = (.33) 3( η) Da ei ) do ramo desendente,. Fig..0 e quações (.6), (.7) e ( (.8), obtém-se: w in in t t = = ( ζ ) D D (.34) Iguaando-se (.33) e (.34), após introduzir m de (.3), resuta inamente: 3 (3 + B) η + (3 + B) η m = + η[ ] (.35) 3 6η + (3 + B) η

22 3 Observe-se que a ração entre ohetes é exatamente ζ, quação (.9). A onstante B é uma araterístia do sistema estrutura que representa sua ragiidade, e é dada por: D h = = = = (.36) G h B t ( ) F r r ste índie, omo se vê, depende do vão da viga e da onstante araterístia D do ramo desendente da unção ( ), Fig..a, e é proporiona à reação entre a energia eástia aumuada no orpo, W bh /(9), e a energia de ruptura, W p = bhg F. Mostra, ainda, que a ragiidade do sistema rese om o vão da viga, pois r e =, quação (.), para um dado onreto, é uma propriedade do materia. Vêse também que, para uma esbetez ( h) onstante, a ragiidade rese om a atura da seção. Observe-se na Fig..3a que, sendo M = F 4, a máxima apaidade de arga desta viga de onreto simpes é obtida da ondição t df 4 dm = dδ dδ = 0 (.37) equivaente ao máximo da unção M (δ ), pois a viga é isostátia. om a seguinte geometria: Sigrist examina a soução numéria deste probema para uma viga = 00mm, h = 50 50mm, e resistênia t 3, 5MPa b =, para três vaores do índie de ragiidade, a saber: () pasta de imento: B =, 0 e = 8GPa ; () onreto de resistênia norma: B = 0, 3 e = 35GPa ; (3) onreto om % de ibra metáia: B = 0, 0 e = 30GPa. Quanto ao onreto dotado de ibras metáias na proporção de %, i. e., era de 5 kg de ibras por m 3 de onreto, este dado oinide om a inormação de Frano (997). Nesse trabaho é dito expiitamente que não se trata de promover um aumento da resistênia à tração do onreto (o que oi oinidentemente onsiderado nos três exempos de

23 33 Sigrist, ao manter-se t = te ), mas de obter om a inusão de ibras metáias a segurança de uma ruptura dúti à tração. O aumento na dutiidade do onreto deorre, om o uso de ibras metáias, do aumento da energia de ratura por unidade de área da issura, G F. Com isso, onsegue-se também um aumento da resistênia à tração na exão, omo se mostra a seguir. A obtenção do momento resistente é eita através das quações (.35) e (.3b). m ada passo ixa-se um vaor de η = a d h, iniiando-se om η = 0, quando a viga é inteiramente eástia, e prosseguindo-se om η resente até obter-se ζ = 0, i. e., 0, ou até veriiar-se a ondição (.37). Para ada η in = obtém-se m de (.35), ζ de (.3) e δ de (.3b). Ver na Fig..4 e na Tabea. as unções m (η ) para os três índies B menionados. Para o vaor máximo de m ido nesta tabea obtém-se: M = m max max bh 6 t Comparando esta equação om a (.) resuta: t, = mmax t (.38) Logo, o máximo momento reativo é preisamente o ator om o qua se mutipia a resistênia à tração simpes para obter aquea da exão simpes. Nos três exempos tem-se: t, t =, 37 ;, 65 e, 40 para B = ; 0, 3 e 0, 0, respetivamente. Note-se que a inusão de % de ibras metáias por m 3 de onreto, distribuídas homogeneamente na argamassa, aumenta em 45% a resistênia à exão da viga, aém de ausar um grande aumento na sua dutiidade (o desoamento δ no entro do vão, orrespondente ao ponto de máximo, aumenta 9 vezes, quando B ai de 0, 3 a 0, 0).

24 34 3 momento reativo m,5,5 0,5 Conreto om % de ibra metáia: B=0,0 Conreto de resistênia norma: B=0,3 Pasta de imento: B= 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 atura reativa da issura oesiva ad/h Fig..4: Momento reativo em unção da atura reativa da issura oesiva,. Sigrist (995) Tabea.: Obtenção das urvas m para três índies de ragiidade Pasta de imento: B= η = a d h m ζ δ (mm) = a d h Conreto de resistênia norma: B=0,3 η m ζ ) δ (mm = a d h Conreto om % de ibra metáia: B=0,0 δ (mm η m ζ ) 0 0,07 0 0,03 0 0,06 0,,84 0,98 0,00 0,,95 0,975 0,06 0,,00 0,999 0,09 0,,38 0,796 0,06 0,,375 0,938 0,0 0,,399 0,998 0,04 0,3,369 0,65 0,033 0,3,58 0,880 0,07 0,4,794 0,993 0,043 0,4,84 0,355 0,040 0,4,630 0,787 0,036 0,6,70 0,975 0,097 0,5 0 0,050 0,45,649 0,7 0,04 0,65,55 0,965 0,6 0,5,636 0,636 0,050 0,7,39 0,949 0,70 0,6,465 0,388 0,070 0,75,383 0,9 0,4 0,7 0, ,0 0,8,397 0,873 0,370 0,85,33 0,77 0,66 0,90,950 0,58,8 0,9,66 0,335,69 0,94,080 0,043,384 A soução de Sigrist pode ser mehorada através de uma nova reação inemátia entre a abertura da issura oesiva entro do vão. w in e o desoamento δ no A rotação α onentrada na seção entra pode ser onsiderada omo uma rotação deorrente da pastiiação, numa erta extensão da viga, da zona da issura oesiva, de atura a d. Assim, a abertura da issura deve inexistir até

25 35 δ atingir a eha eástia δ e, para a qua se tem na borda inerior da seção entra a tensão norma igua à resistênia t, donde ζ = in t = e η = a d h = 0. Ver a Fig..5. sta eha eástia deorre de (.3b) om m = e η = 0, e vae: t δ e = (.39) 6h Considerando-se o que oi dito, a quação (.33) deve ser aterada omo se mostra a seguir. Conorme a Fig..5, sendo agora 4 w in = ( δ δ e ) a d (.40) t (3 + m η ) t δ δ e = (.4) 4h ( η) 6h resuta, inserindo (.4) em (.40): w in = t ( m + 6η 4η η 6 ( η) ) (.4) De (.34), om ζ = ( m ) (η ) de (.3), tem-se: w in = t D m ( ) η (.43) Iguaando-se estas duas útimas equações obtém-se a nova expressão do momento reativo, a qua substitui a (.35):

26 36 δ e α δ α a d α δ- δe w in Fig..5: Reação inemátia η + 3( B) η + Bη m = + η[ ] (.44) 3 6η + ( B + 3) η equação é igua a Observe-se, novamente, que a expressão entre ohetes desta ζ = in t dm dη = 0, da qua resuta a equação:. O máximo momento reativo obtém-se da ondição k 0 = k = 5 k a η = 0 (.45) k om a = 4B( B 3), a = 3[( B)(3 + B) ], a = (5B 3), a = 6(9 5 ), 5 + a = 36 e a 0 = 9. 4 B 3 Reauando-se os três exempos dados, obtém-se: B =, =, 497 (9,4% maior) B t t = 0,3, =, 73 (5% maior) B t t = 0,0, =, 406 (oinidente) B t t Desses resutados vê-se que as dierenças entre as quações (.44) e (.35) resem om o índie de ragiidade B. Pode-se onstatar que ambas equações aproximam-se bastante da soução de Hierborg, dada no trabaho de

27 37 Sigrist, e obtida por eementos initos, empregando-se a ei biinear (w) da Fig..0b. Comparam-se a seguir, na Tabea., as duas souções dadas om a resistênia à tração na exão do MC-90, item..3.3., para os seguintes dados: esbetezes h = 4 e 0, 0,0875 / mm G F = Nmm, MPa t = 3, 5, = 35000MPa. Fia evidente desta tabea a maior proximidade dos resutados da quação (.44) om aquees da equação do MC-90, partiuarmente para maiores esbetezes. Neste exempo, a dierença máxima entre a presente soução e a de Sigrist é igua a 3%. Note-se, também, que as peças om atura maior que 800 mm e esbetez usua já podem ser onsideradas rágeis na tração, já que t, tende a t para h resente. sta soução pode ser estendida à exo-ompressão norma, om o que seriam inuídas as peças protendidas, e mesmo os piares medianamente omprimidos. Tabea.: Comparação entre resistênias à tração na exão, quações (.44), (.35) e MC-90 h (mm) m max =, t t t, + t =,5(0,0h),5(0,0h) MC-90 quação (.44), Sigrist mehorado quação (.35), Sigrist / h = 4 / h = 0 / h = 4 / h = 0 00,537,384,43,40,667 00,48,9,78,44,40 400,38,6,7,08,53 600,69,8,3,056,90 800,38,59,097,043,56 0,7 0,7.5 Critérios de Resistênia do Conreto Um dos ritérios mais simpes de resistênia do onreto em estados mútipos de tensão é o de Mohr-Couomb trunado na tração, que onsta no pano (, τ ), Fig..6, de duas retas ininadas que tangeniam os íruos de Mohr de raios máximos, deinidas por dois parâmetros materiais (positivos), a saber, a

28 38 oesão e o ânguo de atrito interno φ., adiionamente, pea reta vertia =, onde t é a resistênia à tração simpes do onreto. É, portanto, um ritério de três parâmetros, e para determiná-os são neessários três ensaios distintos. Usuamente esses ensaios são os de ompressão, tração e isahamento simpes, mas também os de ompressão triaxia. Segundo a hipótese de Couomb há ruptura do materia quando a tensão de isahamento num determinado pano vene a resistênia a desizamento originada de duas pareas: uma proveniente da reerida oesão do materia, outra vinda da ração µ da tensão norma atuante nesse mesmo pano, onde µ é o oeiiente de atrito, igua a tg φ. sta ondição de desizamento é dada por: t τ = µ (.45) Como já se mostrou, na tração simpes veriia-se um modo de ruptura dierente, araterizada pea ratura ou separação do materia num pano ortogona à direção da arga. Observe-se que se trata aqui de ensaios em materia virgem, e uma ruptura por separação do orpo de prova não signiia neessariamente uma ruptura do eemento estrutura, visto que geramente há neste armaduras oaborando na sua resistênia. Os dois tipos de ruptura estão mostrados nas Figs..6b e. A ondição de separação, desprezando-se as tensões na issura oesiva, é dada por: = (.46) t e é neessário obter a transição entre esses dois modos de ruptura, o que se onsegue determinando-se o íruo de raio máximo que passa peo ponto de oordenadas,0) e tangenia as duas retas de Couomb. ( t No triânguo retânguo OAB da Fig..6a, a projeção da hipotenusa OB sobre o ateto OA é igua ao raio do íruo de Mohr: + 3 ( + otφ)senφ = 3

29 39 - OA = 3 3 O A τ φ B t otφ (a) 3 3 (b) Desizamento () Separação Fig..6: Critério de Mohr-Couomb e ormas de ruptura. Simpiiando esta expressão obtém-se: k k (.47) 3 = onde k = ( µ + + µ ) (.48) e a quação (.47) representa a ondição de desizamento em termos de tensões prinipais. Nea se vê que a tensão prinipa intermediária não aparee, e isso signiia que este ritério não ontempa sua inuênia na resistênia do onreto. O ensaio de ompressão simpes (Fig..7) sempre envove desizamento na zona de dano, e nee se tem =, = 0 3 =, sendo a

30 40 pano de direção da norma ao pano de 3 - = 3 = - 3 = - póo π 4 O A - φ π -φ τ φ A B τ A estado de tensão na superíie de desizamento A 3 = - panos de igua probabiidade de desizamento π 4 - φ 3 = - Fig..7: nsaio de ompressão simpes. resistênia do onreto na ompressão uniaxia. De (.47) resuta: = k (.49) No ensaio de isahamento simpes (Fig..8) a resistênia V ao isahamento é igua à resistênia à tração simpes, e a ruptura dá-se por separação: V = t (.50) Ainda, de resutados experimentais obtém-se o ânguo de atrito interno φ onstante e aproximadamente igua a 37 º, de modo que resutam µ = tg φ = 0,75, k = 4 e = 0, 5.

31 4 = t v v τ póo v π 3 4 = t = - t direção da norma ao pano de Fig..8: nsaio de isahamento simpes. Na ompressão triaxia (Fig..9, reproduzida de Sigrist (995)), obtém-se, peo impedimento das deormações aterais, e, um onsideráve aumento tanto na resistênia à ompressão, 3, quanto no enurtamento, 3, orrespondente à arga axia máxima. Com isso a dutiidade do onreto aumenta, o que se expia pea inibição do proesso de miroissuração, onseguida pea ompressão atera. Como a ruptura oorre por desizamento, a reta de Couomb representa bem estes estados de ompressão triaxia, omo se vê na Fig..9. Fig..9: Compressão triaxia, omparação entre resutados experimentais e o ritério de Mohr- Couomb,. Menne, apud Sigrist (995).

32 4 A representação adimensiona do presente ritério de resistênia no pano deinido peas duas tensões prinipais extremas (a seguir denominadas I e II ), divididas por, está dada na Fig..0. Na Fig.. este mesmo ritério é representado no pano, τ ). Conorme esta igura, o raio do máximo íruo ( de Mohr que passa no ponto de absissa e tangenia as retas de Couomb é t dado por: r t = ( osφ sen ) (.5) senφ D / S φ Para φ = artg0, 75 e = 0, 5 resuta: r D / S t = ( 3 ) ( 5) absissa I Na Fig..0, o ponto D/S que separa as duas ormas de ruptura tem = e ordenada k. Com k = 4, e, p. ex., t II = t t 0,, resuta II = 0, 60. Se I = 0, 5 t resuta ainda II = 0,80. sses resutados simpes mostram que esse ritério dá uma boa indiação da resistênia à ompressão do onreto em estado dupo ompressãotração, que oorre, p. ex., na ama das vigas sujeitas à ação simutânea de orça ortante e de momento etor. Após ompetar o quadro de issuração, a tração no onreto da ama deve-se à aderênia entre a armadura transversa traionada e o onreto, e ao atrito entre as aes da issura. ssa tração é neessariamente inerior a t. Assim, pondo-se II = 0, 70, i. e., a média dos vaores auados há pouo, pode-se deduzir a resistênia à ompressão do onreto da ama omo segue. sta é aetada por dois atores: o primeiro, igua a 0, 85, onsidera prinipamente o eeito Rüsh; o segundo ator, igua a 40) (, om em MPa, é ta que, mutipiado peo ator 0,7 dado aima, ompõe o hamado oeiiente de eetividade υ da resistênia do onreto armado e issurado,. Niesen (998):

33 43 II II k I - = - 4 D/S 0.5 I estado pano de tensão D/S 4 - separação desizamento estado pano de deormação t I k - II = Fig..0: Critério de Mohr-Couomb em unção das tensões prinipais extremas. υ = 0,7( ) 0,5 (.53) 40 Com isso, obtém-se a resistênia eetiva (ou equivaente,. item 4.) do onreto da ama (indiada no MC-90 por em ontraposição à resistênia do banzo omprimido): = 0,85 0,7( ) = 0,6( ) (.54) 40 40, e substituindo-se, no dimensionamento, o vaor de dentro do parênteses pea resistênia araterístia k e o vaor no denominador pea resistênia de áuo = γ. Meniona-se que o uroódigo onsidera o ator υ de (.53), mas d k

34 44 não onsidera o ator 0,85. Já no MC-90 e na nova NB, tem-se 50 nas expressões (.53) e (.54) no ugar de 40. Retomando-se o onreto em ompressão triaxia (oninado por pressões hidrostátias aterais), tem-se a seguinte expressão para a sua resistênia (substituindo-se 3 I por, e II por na reta da Fig..0): = 4 (.55) onde a segunda parea (positiva, pois < 0 ) representa o ganho de resistênia onseguido peo oninamento atera. A deormação orrespondente à tensão de pio do onreto oninado rese muito mais rapidamente do que a resistênia e pode ser estimada pea seguinte expressão (pondo-se = 3 ): = 5(4 ) = + 5( ) (.56) onde é a deormação orrespondente à tensão de pio do onreto nãooninado, quação (.8). O oninamento do onreto é usado, por vezes, em piares, e isso é onseguido através de armadura transversa de intamento (estribos ehados ou espiras). sse eeito só é ativado para vaores atos da tensão no onreto, era de (0,8 a 0,9), de modo que o piar intado pouo diere do não-intado, no que diz respeito à maior parte do ramo asendente da ei ( ). A ração, onseguida por essa armadura, usuamente não é muito grande. Mas, mesmo assim, há um onsideráve aumento na resistênia e, sobretudo, na deormação. Aém disso, os ramos desendentes das urvas do onreto oninado têm um amoeimento muito menos aentuado do que o do onreto simpes, e apresentam quase que uma espéie de um ongo patamar de esoamento, reetindo om isso sua grande dutiidade.

35 45 τ µ = - estado pano de deormação τ estado pano de tensão r D/S D/S φ t Fig..: Critério de Mohr-Couomb no pano, τ ). ( Outro ritério de resistênia mais preiso do que o anterior, reqüentemente reerido na iteratura espeíia, é o estabeeido por Kuper, Hisdor, e Rüsh (969), para onreto em estado dupo de tensão. sse ritério está reproduzido no MC-90. Os ensaios oram reaizados em 40 espéimes (hapas) de dimensões 00X00X50 mm 3, 8 dias após a onretagem e om veoidade de deormação quase-estátia (0 min. até atingir a arga máxima). As resistênias na ompressão uniaxia são iguais a 9, 3,5 e 59 MPa. Nees oram registradas as argas nas duas direções prinipais, e as deormações nas três direções prinipais. As Figs.. e.3 dão a resistênia e a orma de ruptura, respetivamente. As equações da resistênia do onreto,. Fig.., estabeeidas por Kuper (973), são as seguintes: α = (.57)

36 46 0 m m tm m tm = = m 0.3 /3 m = tm m 5 m 0 m ( m m m m = 0 Fig..: Resistênia do onreto em estado dupo de tensão,. Kuper, Hisdor e Rüsh (969). Região ompressão-ompressão (desizamento): m + 3,65α = ( + α) se 0, 96 m (.58) Região ompressão-tração (separação): = + 0, 8 (.59) tm m Região tração-tração (separação): 3 = = 0, te (.60) tm 3 m = Nessas equações substituiu-se a resistênia prismátia β p por m,. MC-90. Na primeira equação o ator 3,65 oi substituído por 3,80 no MC-90 e o seu imite de vaidade ( 0,96) está dado somente no MC-90.

37 47 / / (a) / = -/- (b) / = - 0,05 () / = - 0,03 (d) / = / 0,54 (e) / = / Fig..3: Modos de ruptura dos espéimes em estado dupo de tensão, idem. Da Fig..3 vê-se que há desizamento na ompressão biaxia (Fig..3a) e uma transição entre desizamento e separação (Fig..3b) para ompressão e pequena tração, prevaeendo para maiores trações a separação (Figs..3 e d). Também há separação a 45 º para iguais tensões prinipais de tração (Fig..3e). Observe-se que este ritério engoba o anterior na região ompressão-ompressão e mostra vaores maiores de resistênia do onreto. Por exempo, para α = e α = 0, 5 tem-se, respetivamente, =, 6 e m =,6, ou seja, na ompressão biaxia om iguais tensões prinipais a resistênia do onreto aumenta 6%, e para uma tensão prinipa igua à metade da outra há um aumento de 6% nessa resistênia. Na ompressão-tração o ritério modiiado de Mohr-Couomb está igeiramente ontra a segurança. Na região tração-tração há oinidênia de resutados entre os dois ritérios, e a resistênia assume um vaor onstante, igua ao da tração simpes. Note-se a dierença das deinições da resistênia média à tração dadas peas quações (.60) e (.4). Quanto ao oeiiente de Poisson oram observados os seguintes vaores: m

38 48 na ompressão biaxia ν = 0, 0 na tração biaxia ν = 0, 8 na ompressão-tração ν = 0, 8 a 0, 0 Para baixas tensões o móduo de eastiidade e o oeiiente de Poisson são independentes da ração α entre as tensões prinipais..6 Leis Constitutivas dos Aços para Armaduras de Conreto Os aços para armaduras de onreto são atuamente assiiados pea araterístia de dutiidade, que é a apaidade de dissipação de energia por deormações pástias até a ruptura. sta energia dissipáve por unidade de voume é dada pea área sob a urva ) até a ruptura (ratura) da barra ensaiada, s ( s desontada a parea eástia (reuperáve). É, então, evidente que quanto maior or essa área maior é a dutiidade do aço. Na tabea seguinte dão-se as ondições exigidas na assiiação dos aços segundo sua dutiidade, de aordo om a NBR 7480/996, o uroódigo e o MC-90, respetivamente. Tabea.3: Cassiiação dos aços onorme sua dutiidade NBR 7480/996 uroódigo MC-90 Categoria ( t y ) k Aong. em 0 diâmetros Dutiisuk dade ( t y ) k Casse suk ( t y ) k suk CA-50,0 8% 8,75% Ata >,08 >5% A,08 5% CA-60,05 5% 5,33% Norma >,05 >,5% B,05,5% CA-5,0 8% 8,5% S,5 6%

39 49 Nesta tabea deinem-se: ( ) : vaor araterístio, quanti de 5%, da reação entre as resistênias t y k de ruptura e de esoamento. suk : aongamento araterístio, idem, sob orça máxima, i. e., sob orça de ruptura. O aongamento em 0 diâmetros é o aongamento pástio (residua) medido em um omprimento igua a 0 vezes o diâmetro nomina da barra, após a ruptura e ora da zona de estrição. Para obter a orrespondente deormação útima deve-se somar a esse aongamento a parea eástia, reuperada após a ruptura, igua a tk s, onde tk é a resistênia araterístia na ruptura, quanti de 5%, e é o móduo de eastiidade do aço, igua na arga e na desarga. Observe-se que a deinição do aongamento útimo do aço na NBR 7480/996 é dierente da deinição do uroódigo e do MC-90. A NBR 7480/996 deine = ) omo sendo a resistênia t ( st onveniona à ruptura, ou resistênia onveniona à tração, mas não meniona o seu quanti, porque este já está pressuposto pea ração t y k s ( ), e peo vaor araterístio yk, devendo-se entender omo mínimo exigíve para tk o produto desses vaores, para quaquer barra dos otes que ompõem quaquer partida orneida a uma obra. Observe-se, entretanto, que esta resistênia t pode hegar a,5 y. Se or admitido para esses aços um diagrama biinear, as áreas sob as urvas ) do CA-60 e do aço Casse A do MC-90 são quase iguais. Com isso s ( s o CA-60 poderia ser assiiado omo um aço de dutiidade ata. Já o aço CA-50 tem essa área quase 30% superior à do aço Casse S do MC-90, e seria portanto de dutiidade muito ata. stes aços S são utiizados em obras sujeitas a abaos sísmios. A disrepânia nesta assiiação vem, possivemente, das deinições dierentes do aongamento de ruptura. Para os aços de dutiidade muito ata, podese apiar a Teoria da Pastiidade, sem quaquer veriiação das deormações

40 50 F t 0 A 0 t φ F φ (a) = F A 0 F = A 0 t A A U t A U L L L = y L SH O p 0 A ' s 0 e U ' u 0 = 0 O s sy sh s U ' = 0 (b) () Fig..4: nsaio de tração e tipos de diagramas tensão-deormação dos aços. (rotações pástias), desde que a taxa meânia da armadura seja esohida adequadamente. O mesmo não se pode dizer, om a devida erteza, do aço CA-60, utiizado, p. ex., em ajes na orma de teas sodadas. Para este aço, a NBR 7480/996 exige uma resistênia à ruptura não inerior a 660 MPa, e uma resistênia araterístia de esoamento igua a 600 MPa. Assim, onsiderando-se também a omparação anterior, paree possíve aterar o quoiente ( ) de,05 para outro maior, tavez,08 ou,0, aparentemente sem ônus para o proesso de abriação. t y k

41 5 Desreve-se, a seguir, o ensaio de tração sob deormação ontroada de uma barra de omprimento iniia 0 e área A 0 (Fig..4). Veriia-se que até a ruptura desta barra as deormações oorrem pratiamente sem redução de voume, de modo que a sua área é onstante em todo o proesso de arregamento. Conorme o proesso de abriação das barras e dos ios de aço, o diagrama obtido pode ser de dois tipos, um sem, outro om patamar de esoamento bem deinido (Figs..4b e ). Nessas urvas há um treho iniia OL nitidamente inear, em que há ompeta reuperação, na desarga, da energia apiada. Se a barra or arregada até o ponto A, e desarregada em seguida, há um aongamento residua p, e parte da energia apiada é dissipada (área OAA, Fig..4b). Rearregando-se a barra até o ponto A, atinge-se o esoamento, agora para uma tensão >. ste é o enômeno de enruamento, e isso quer dizer que o A L materia virgem esoa para uma tensão inerior à do materia já arregado aém do esoamento iniia e desarregado em seguida. O proesso de enruamento dá-se uniormemente ao ongo de toda a barra, e pressupõe desizamento uniorme entre a adeia de ristais que ormam a estrutura do aço. O ponto U orresponde à ormação, na seção mais raa da barra, de uma região de estranguamento de omprimento igua a φ, aproximadamente, e tensão era do dobro da resistênia à tração t, e a barra rompe-se brusamente. A máxima energia dissipada por unidade de voume é dada pea área OAUU, e a deormação orrespondente é igua a: t su = p, u + (.6) s onde é a deormação pástia (residua) medida ora da zona de p, u = u 0 t s estranguamento. mbora esta parea seja bem maior do que a deormação eástia (reuperada) t seja atingida a tensão s, ea não se onunde om a deormação útima su. Nos aços om patamar de esoamento deinido (Fig..4), tão ogo L do im do treho eástio, há um súbito aumento da deormação sem aumento da arga. No treho L-SH (strain-hardening) o proesso

42 5 de deormação ao ongo da barra não é uniorme. O omprimento 0 subdivide-se em dois trehos: um dees, de omprimento d resente, onde há dano na estrutura dos ristais, e nee a deormação é igua a sh ; e outro ompementar, de omprimento ) deresente, om deormação igua à do iníio do ( 0 d esoamento, sy. Assim, pondo-se ξ 0 = d, o aongamento da barra medido num ponto do patamar é igua a: s = = ( ξ ) sy + ξ 0 sh (.6) sendo sh a deormação orrespondente ao ponto SH. sse vaor é igua a 8 a 5 vezes a deormação do iníio do esoamento sy, sendo um vaor usua,. Chen (98). stas onsiderações têm impiação, p. ex., na deormação rítia orrespondente à tensão = om que se dá a ambagem das barras s y omprimidas, partiuarmente em piares intados. Fia evidente destas onsiderações que o móduo de deormação do aço no patamar de esoamento não é nuo e que a resposta do materia depende do omprimento da barra. Para eeito de projeto, é diíi anteipar qua a urva rea ) dos aços a serem utiizados, pois só são exigidos os vaores mínimos das araterístias meânias da Tabea.3. Para os asos em que um onheimento mais preiso desta urva seja neessário, pode-se representá-a peas seguintes unções,. Cosenza et a., CB 8 (993): s ( s Aços sem patamar de esoamento: + 0,00( ) s s n s = (.63) s y onde

43 n( p, u 0,00) n = (.64) n( ) t y 53 e p, u deorre de (.6). sta é a expressão de Ramberg-Osgood, váida também no treho inear. a ontém a deinição da deormação onveniona de esoamento, a qua resuta substituindo-se s por y em (.63). Para os aços om patamar de esoamento tem-se a seguinte ei, devida a Shima, Chou e Okamura,. onsta no trabaho dos autores aima: s = s s se s sy (.65a) s = y se sy s sh (.65b) s sh s = y + ( t y )[ exp( )],0 se s sh, e (.65) k k = su sh 0,08 (.66) 0,6 sh Usuamente no projeto são eitas as ideaizações das eis ) mostradas na Fig..5, dependendo do grau de reinamento da anáise. s ( s Aém da urva ), é neessário onheer também as s ( s araterístias de aderênia das armaduras. O anexo A da NBR 7480/996 deine as ondições neessárias da oniguração geométria reerentes às nervuras que por sua vez ondiionam as propriedades de aderênia. Através deas é possíve saber qua é a área reativa mínima das nervuras, dada a seguir pea grandeza R, imposta por esta norma (Fig..6).

44 54 s s y rígido - pástio ( s ) easto - pástio t y sh s s sy s sy su (a) (b) s t y sh s sy sh su () Fig..5: Leis tensão-deormação simpiiadas. A área reativa R resuta da seguinte expressão: π ( φ + a) a = R π ( φ + a ) b (.67)

45 55 onde φ é o diâmetro da barra, a é a atura da nervura e b é a distânia entre as nervuras, transversais ou obíquas. φ b = (0,5 a 0,8)φ a a 45 a 0,0 φ se φ<0 { 0,04 φ se φ 0 Fig..6: Coniguração geométria das nervuras,. NBR 7480/ d φ smáx = 0,8 y d s r d Fig..7: nsaio de tirante armado,. NBR 7477/98, para obtenção do oeiiente de onormação superiia. Aém das ondições dadas na Fig..6, as nervuras devem abranger peo menos 85% do perímetro nomina da barra. Com todas estas ondições, a área reativa das nervuras assume os seguintes vaores mínimos: 0,040 a 0, 065 para φ 0mm, e 0, 00 a 0, 033, em aso ontrário. R R Na tabea desta mesma norma são exigidos os vaores mínimos do oeiiente de onormação superiia η para diâmetros não ineriores a 0 mm, a saber: η para CA-5 e η, 5 para CA-50 e CA-60. ste oeiiente resuta do ensaio de tirante armado,. NBR 7477/98, e é auado pea expressão:

46 56,5d η = (.68) s rm onde d = πφ( 0,5φ + 7), em m, é o ado da seção transversa (quadrada) do tirante e s rm é o espaçamento médio das issuras, onsideradas as quatro aes. Ver a Fig..7. Proura-se, a seguir, esareer qua é o objetivo da NBR 7480/996 ao ixar os menionados vaores mínimos do oeiiente η. Da expressão do ado da seção do tirante obtém-se a taxa geométria da armadura: πφ φ ρ s = = 7π (.69) 4d d Conorme a Fig..8, a tensão mínima na armadura, no ponto médio entre duas issuras suessivas, é igua a srm = s max τ b. Portanto, a φ s min tensão e a deormação médias da armadura resutam da seguinte equação: + s max s min rm sm = = s max τ b = s φ s sm (.70) onde τ 3 b = 0,6 ( ), em MPa, é a tensão média de aderênia antes do esoamento da armadura, para um quadro de issuração estabiizada (a ser vista no apítuo 3), quação (3.54), om τ b τ bm. Desprezando-se o aongamento do onreto, a abertura média da issura no tirante e seu vaor máximo (araterístio) são dados por: w m = s (.7) sm rm w =, 5 (.7) k w m

47 57 τb s rm πφ 4 smáx wm s rm/ s rm/ sm smín smáx τb τb Fig..8: Determinação da deormação média da armadura na issuração estabiizada. as seguintes grandezas: Na Tabea.4 estão dados os resutados do presente ensaio, para y = 550MPa, s = 0,8 y 440MPa, s = 00GPa, max = = 30MPa, τ = 5, MPa, φ = 0; 6; 5 e η =,;,5;,8. b 8 Tabea.4: Determinação da abertura máxima da issura, onorme ensaio de tirante, NBR 7477/98 φ d (m) ρ (%) s 3 s rm (mm) 0 w (mm) sm k η =,,5,8,,5,8,,5,8 0 4,77 3,45 89,4 7,6 59,6,94,99,03 0,7 0, 0,8 6 6,0 5,4 4,4 9,5 76,,99,03,06 0,34 0,7 0,3 5 7,74 8,0 45, 6, 96,7,03,07,09 0,44 0,34 0,8 Destes resutados observa-se que a deormação média no aço é pratiamente onstante e igua a 0,%, e que o objetivo da reerida norma, ao impor os vaores mínimos do oeiiente de onormação superiia, é imitar a abertura máxima da issura em serviço entre 0, e 0,4 mm, aproximadamente, mesmo em ondições extremas (tensão muito ata na armadura). Aém disso, vê-se que para η resente resutam espaçamentos médios das issuras e aberturas araterístias

48 58 deresentes. videntemente, há uma reação impíita entre os oeiientes η e R, uma vez que um aumento da área reativa R das nervuras reete-se em um aumento da tensão média de aderênia e, portanto, numa queda da deormação média do aço e da abertura máxima das issuras. Isso equivae a aumentar η. Notese desde já que um aumento na mobiização da aderênia entre a barra e o onreto irundante equivae também a uma oaização maior de deormações pástias nas proximidades da issura. Isso reduz a apaidade de rotação pástia das vigas e das ajes, onorme será visto no apítuo 5. Por essa razão não é neessário, nem desejáve aumentar o oeiiente η de onormação superiia aém dos vaores mínimos estabeeidos na NBR 7480/ Leis Constitutivas do Conreto na Fexão A ei onstitutiva ) do onreto na exão é atuamente objeto ( de pesquisa da área da Meânia da Fratura. Como se viu na desrição da ompressão uniaxia, há uma região de oaização de deormação que inuenia o ramo desendente desta ei. Dierentemente da tração axia, este probema depende da distribuição espaia de deormações, assoiada à expansão voumétria da zona omprimida onde há oaização de deormação. Depende ainda da orma e atura da seção transversa, da proundidade da LN, da eventua armadura (estribos) de oninamento. Hierborg (989) dá as indiações iniiais para a obtenção desta ei. Devido à presente diiudade de estabeeer uma ei mais preisa que onsidere os menionados atores, adotam-se para o que segue duas eis onstitutivas para o onreto em exão, ambas trunadas no ramo desendente no ponto orrespondente à metade da tensão de pio. A primeira é a ei paráboa-inear dada no item.,. Sigrist, que pode ser desrita omo segue: m = α( α) (.73)