8.5 Cálculo de indutância e densidade de energia magnética

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1 8.5 Cácuo de indutância e densidade de energia magnética Para agumas geometrias de mahas pode-se cacuar a indutância aproximadamente. Cacuamos aqui a indutância de uma maha que contém um soenoide ciíndrico densamente enroado e muito comprido. A maha se fecha com um arame iso e não muito mais comprido do que o soenoide como mostra a figura Fig Maha com um soenoide comprido e pequena área externa. Vamos imaginar que fua uma corrente I nesta maha. Dentro do soenoide vamos aproximar o campo magnético peo campo de um soenoide infinitamente comprido. Este é uniforme dentro do soenoide apontando na direção do eixo de simetria e tem o vaor N B = zˆ µ I (8.5.1). Nesta fórmua, N é o número de espiras enroadas e é o comprimento do soenoide. O vetor unitário ẑ aponta na direção do eixo do soenoide com o sentido que forma um parafuso direito com o sentido positivo da corrente que circua em vota do ciindro. Fora do soenoide há campo magnético gerado peo restante do fio que fecha o circuito e um fraco campo gerado peo soenoide devido ao fato de que este não é infinitamente comprido. No presente cácuo, vamos desprezar o fuxo magnético através desta área da maha que fica fora do soenoide. De fato pode-se tornar esta aproximação mais exata, evitando o fio externo que fecha o circuito. Pode-se enroar uma segunda camada no soenoide de ta forma que o fim do arame enroado acance o início. Desta forma não há área externa como mostrado na figura Fig Maha com soenoide de duas camadas sem área externa. Nesta figura desenhei o fio da segunda camada em vermeho para distinguir mehor as camadas. Com este tipo de circuito formado por um único soenoide de duas camadas, a aproximação se imita ao fato de que o campo magnético gerado não é exatamente aquee gerado por uma densidade superficia de corrente circuando num tubo infinitamente comprido. Fig Maha circuar com superfície orientáve marcada com a ajuda de um tecido eástico. Para o cácuo da indutância é necessário ter uma ideia da forma de uma superfície orientáve que tenha o fio da maha como beirada. Não é nada fáci imaginar ta superfície e no apêndice desta seção mostramos que nesta tarefa podemos encontrar surpresas. Para podermos visuaizar este tipo de superfície, vamos considerar somente o circuito da figura 8.5.1, que já põe um desafio à nossa imaginação. A superfície associada ao circuito da figura 8.5. é ainda muito mais compicada. Para ajudar nossa imaginação construí uma maha de arame em forma 49

2 circuar e coei um tecido bem eástico nesta modura redonda. O tecido marca no espaço uma superfície orientáve que possui o fio da maha como beirada. A figura mostra esta montagem. Fig Deformação da maha circuar da figura para formação de um soenoide. Depois do registro deste estado inicia, comecei a deformar o arame para formar um pequeno soenoide, não muito denso para poder enxergar os detahes da superfície. A figura mostra o início desta deformação e a figura o estado fina. Todas estas deformações da superfície, começando com a formação da primeira espira e terminando com o soenoide, são mudanças contínuas que mantêm a orientabiidade da superfície. Fig Superfície orientáve que tem uma maha com soenoide como beirada. A superfície dentro das espiras do soenoide mostra agumas rugas e compicações, mas percebemos que no cácuo da integra de fuxo do campo magnético entra apenas a projeção desta superfície compicada numa área circuar perpendicuar ao eixo do soenoide. Isto ocorre devido ao fato de que B ds =. Podemos formar uma superfície fechada com a superfície compicada numa das espiras do soenoide, com a superfície circuar projetada e com uma parte da atera do ciindro do soenoide, como indicado na figura B Fig Superfície fechada formada pea parcea do tecido aderente a uma espira (preto), por uma superfície circuar (magenta) e a parte atera do ciindro do soenoide (verde). Nesta figura mostrei a superfície circuar projetada como uma inha magenta, a superfície atera de verde e a superfície compicada como preta indicando simboicamente aguma dobra. Como não há fuxo na parte atera, segue que o fuxo através da superfície compicada é igua ao fuxo através da superfície circuar. Como o campo é uniforme, a integra resuta simpesmente numa mutipicação pea área deste círcuo. Cada espira contribui com um destes círcuos de projeção. Então o fuxo tota através da maha vae N π R Φ ˆ m = N B z π R = µ I (8.5.). Nesta fórmua, R é o raio do ciindro. De fato o campo da fórmua (8.5.1) vae também dentro de soenoides compridos de forma não redonda e neste caso podemos generaizar o resutado (8.5.) substituindo o π R pea área da secção transversa A do soenoide 43

3 Φ = N B zˆ A = µ m N A I (8.5.3). Percebemos que o fuxo é reamente proporciona ao vaor da corrente e a constante de proporcionaidade é a indutância que queríamos cacuar: L = µ N A (8.5.4). Podemos apicar esta fórmua de maneira semehante à apicação do cácuo de capacitância para chegar a uma densidade de energia do campo. Vamos substituir o resutado (8.5.4) na expressão da energia magnética, que cacuamos na seção anterior (fórmua ). Para um soenoide com corrente I vae L N A I EMag = I = µ (8.5.5). Com a (8.5.1) podemos escrever I em termos do campo magnético: B B I = (8.5.6). µ N Inserindo isto na (8.5.5), obtemos N A 1 B B B B E Mag = µ = A (8.5.7). µ N µ A é o voume da região com campo magnético diferente de zero. Este resutado nos deixa suspeitar que a densidade de energia magnética associada ao campo é B B ρ E Mag = (8.5.8). µ De fato, numa discipina de eetromagnetismo avançado, mostra-se com argumentos rigorosos que esta é a densidade de energia associada ao campo magnético numa região sem preenchimento de matéria. Na presença de agum materia há uma modificação desta fórmua que comentaremos num capítuo futuro. No capítuo 9 teremos os conhecimentos para poder entender que a anáise de circuito feita na seção anterior e o cácuo da indutância feita nesta seção são apenas aproximações. Na seção 9.1 discutiremos a vaidade destas aproximações. Pode-se considerar uma sorte que o uso destes cácuos aproximados eva à expressão correta da densidade de energia magnética. Exercícios: Fig Bobina toroida E 8.5.1: Mostramos que a corrente numa maha de resistência R e indutância L sem nenhum outro eemento é descrita pea ei horária ( ) exp R I t = I t L. Integrando a potência dissipada no resistor de t = até R a b h 431

4 t =, percebemos que a energia iniciamente armazenada no campo magnético vae L I. (a) Use a ei de Ampère para cacuar o campo magnético de um soenóide toroida com N espiras que eva uma corrente I (compare com a figura 8.5.7). (b) Cacue a indutância do soenóide. (c) Comprove, neste exempo, que a energia armazenada 1 µ 3 voume B( r ) ( ) B r d r. E 8.5.: Escreva os pontos de destaque desta seção. L I é igua à integra de 8.5 Apêndice: uma curiosidade. Na tentativa de visuaizar uma superfície que tenha uma maha com soenoide como beirada, podemos ter boas surpresas. Montei uma maha de um arame de ferro com um minissoenoide de apenas duas votas. Escohi este número pequeno de votas para tornar a superfície mais simpes, mas a mesma surpresa que teremos com esta maha poderíamos ter com uma com um soenoide muito comprido e densamente enroado. Para gerar uma superfície mais isa e bonita que aquea feita com um tecido eástico das figuras , eu merguhei esta maha numa soução de detergente com a intenção de criar uma superfície com uma âmina de íquido. A figura mostra uma fotografia desta experiência. Aparentemente há aguns buracos nesta âmina de íquido. Mas se trata apenas de um efeito da óptica. Em agumas regiões a âmina tem uma espessura ta que as duas refexões da uz nas interfaces íquido-ar dos dois ados interferem destrutivamente 1, e isto resuta na impressão de que a âmina tem buracos. Mas há reamente um buraco verdadeiro, e este fica num ugar muito surpreendente: justamente dentro do soenoide, onde no caso de um soenoide muito comprido com muitas espiras teria o campo magnético, não há âmina de água com detergente! Será então o fuxo magnético nuo? A soução deste enigma está na topoogia desta superfície. Examinando a âmina com cuidado, o eitor percebe que se trata de uma superfície não orientáve. Para deixar este fato mais caro reconstruí a amina de íquido com duas camadas de fita isoante, azu de um ado e preto do outro. Nas beiradas, ou seja, no arame as duas cores podem se encontrar sem vioar a orientabiidade. Para marcar a beirada mais caramente, pintei-a com tinta vermeha. Mas percebemos que há um encontro de azu com preto que não tem o arame como fronteira. Trata-se da inha que aparece na fotografia da âmina íquida entre duas espiras do soenoide começando numa pequena boha de espuma. A figura mostra a superfície criada com fita isoante mais ou menos com o mesmo ânguo de observação da figura A figura mostra um outro ânguo. Então qua é o vaor do fuxo magnético através desta superfície se tivermos corrente fuindo no arame? A resposta é: o fuxo através desta superfície não pode ser definido. Este conceito tem sentido somente para superfícies orientáveis! 1 Mais detahes sobre interferência de ondas uminosas veremos na discipina de Física IV. 43

5 Fig Superfície que tem uma maha com minissoenoide como beirada. A superfície está reaizada por uma âmina de íquido. Fig Reconstrução da superfície da figura com duas camadas de fita isoante, azu de um ado e preto do outro. 433

6 Fig Reconstrução da superfície da figura com duas camadas de fita isoante, azu de um ado e preto do outro. 434