Fernando Fonseca Andrade Oliveira

Transcrição

1 FIS-6 Lista-1 Correção Fernando Fonseca Andrade Oiveira 1. (a) Como a partícua se move sob a ação de força centra, seu momento anguar deve se conservar durante o movimento. Assim, considerando somente a veocidade na direção de ˆθ, v = rω: mv 0 r 0 = mvr ω 0 r 0 = ωr ω = ω 0r 0 r (b) A aceeração de um corpo pode ser dada em coordenadas poares por a = ( r rω )ˆr + (ṙω + r ω)ˆθ Como a partícua se move sob a ação de força centra, a aceeração deve ter somente a componente em ˆr. ṙ = r 0 ωe θ = rω r = rω + r ω Como a componente em ˆθ é nua: Substituindo na primeira expressão: ṙω + r ω = 0 ω = ω a = ( r rω )ˆr a = r ωˆr a = rω ˆr F = ma = mω0 r ( r0r ) 0 ˆr. Um satéite em órbita geoestacionária tem período igua ao da Terra, de 1 dia. O período está reacionado com o raio da órbita de acordo com a seguinte equação: T = π = π h = 5.8 km (T + h) g T Como, em uma trajetória circuar, temos obtemos, para a veocidade do satéite: v = v = π T π( ) 4 v = km/h 1

2 . Primeiramente, cacuaremos o período da trajetória do satéite, que é dado por T = π = π gt = s Logo, a distância d é equivaente à distância de rotação da Terra durante s. Essa distância pode ser cacuada sabendo que a Terra gira uma vota competa em 1 dia: d π 671 = d =.5 10 km 4. (a) Um satéite em órbita geoestacionária tem período igua ao da Terra, de 1 dia. O período está reacionado com o raio da órbita de acordo com a seguinte equação: r0 T = π Como em uma trajetória circuar, temos obtemos, para a veocidade do satéite: v = v = πr 0 T v = r 0 r 0 g T r 0 = T g r 0 v = km/h = m/s (b) Em uma órbita circuar, temos, iguaando as forças centrípeta e gravitaciona, que r 0 = v 0 Logo, embrando que L 0 = mrv em uma órbita circuar: L 0 = m v0 v 0 L 0 = mg T v 0 A energia mecânica tota pode ser cacuada somando-se as energias cinética e potencia gravitaciona: E = mv 0 m r 0 E = mv 0 m v 0

3 E = mv 0 (c) A energia tota muda com o acionamento do motor, e passa a ser E = mv 0 + m(v 0β) A excentricidade de uma órbita eíptica pode ser cacuada por = mv 0 (β 1) ɛ = 1 + E m ( L G M ) A energia muda com o acionamento do motor, mas o momento anguar continua o mesmo, visto que o aumento de veocidade está em direção ao centro da órbita. Dessa forma, ( ) 1 ɛ = 1 + v0 (β 1) ɛ = 1 + (β 1) ɛ = β Podemos então encontrar o vaor do semi-eixo maior a da órbita: Com isso, é possíve encontrar o vaor de : E = m a v 0 mv0 (β 1) = m a a = v0 (1 β ) a = apogeu + perigeu a = 1 ɛ ɛ v 0 (1 β ) = 1 β = v 0 = r 0 (d) Basta apicar a fórmua diretamente para ocaizar o ponto inicia na órbita eíptica, usando os vaores de e ɛ encontrados no item anterior: 1 + ɛ cos α = r 0 β cos α = 0 α = 90

4 (e) Sabemos que r = 1 + ɛ cos α Assim, o máximo deve ocorrer quando α = 180 e o mínimo deve ocorrer quando α = 0. r max = r min = 1 β 1+β 5. A veocidade do foguete na órbita circuar pode ser obtida iguaando-se a força gravitaciona à força centrípeta: mv i = m Pea teoria das órbitas gravitacionais, temos que v i = v i = 7747,11 m/s ( v = r a) 1 No caso pretendido, em que o foguete acança uma atitude de 00 mi, temos v 1 = ( T v 1 = 10184,61 m/s ) T Já no caso que ocorreu na prática, em que o foguete acançou uma atitude de 700 mi: v = ( T v = 7977,17 m/s ) T Considerando a força constante, o impuso é proporciona ao tempo e podemos concuir que v 1 v i = 90 v v i t t = 8,5 s 6. Desejamos saber a veocidade dos dois satéites no momento do impacto. Como A se encontra em órbita circuar, podemos iguaar a força gravitaciona à força centrípeta: mv = m v = = g T 4

5 v A = 716,10 m/s Simiarmente, obtemos a veocidade de B no momento do impacto a partir das equações da gravitação: ( v = r a) 1 v B = 789,98 m/s Pea conservação da quantidade de movimento, a veocidade após a coisão deve ser a média entre as veocidades dos satéites, ogo a veocidade no apogeu é v a = v A + v B = 75,04 m/s Da conservação do momento anguar: mv a a = mv p p v p p = m /s Da conservação da energia cinética: mva m = mv p a m p v p p = , m /s esovendo o sistema, encontramos p = m p = T mi 7. O enunciado informa que o período de transação do cometa Haey é de 76 anos. Dessa forma, podemos utiizar a a ei de Keper para cacuar o semi-eixo maior da trajetória: TT T = T H H Obtemos então H = T T H T T = 5776 UA H = UA Da geometria eíptica vem que a soma das distâncias máxima e mínima ao So é igua ao dobro do semi-eixo maior, ou seja, Dado que 1 UA = km, temos que d + D = 5.88 D = 5.8 UA D = km 5

6 8. Primeiramente, cacuaremos o período da trajetória do foguete, que é dado por T = π = π gt = s Considerando a veocidade constante durante todo o percurso, o impuso resutante deve ser nuo, uma vez que a quantidade de movimento se conserva. Dessa forma, temos F at ( ) 10 = F at = 0.08 N 9. O momento anguar L = mr sin θ deve se conservar, de forma que devemos ter m T 000 sin 0 = m min v Aém disso, pea conservação da energia: min = 17 T v 000 T = v min Substituindo a expressão para min encontrada acima, obtemos uma equação do o grau: ( ( v ) = v ) 17 cuja maior soução é v = m/s (nota-se que a menor soução é a veocidade no ponto mais próximo ao centro da Terra, ponto no qua ambas as equações dadas são também váidas). Substituindo o vaor obtido na primeira expressão, obtemos min = ( ) km, de onde vem h = 5.9 km 6