Breve resolução do e-fólio B

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR I 22 Breve resoução do e-fóio B I. Questões de escoha mútipa. d), pois o vetor nuo pertence a quaquer subespaço, e a intersecção de 2 subespaços ainda é um subespaço. 2. c), os 3 vetores são inearmente independentes, e como R 3 tem dimensão 3, formam uma base de R c), a matriz A é uma matriz 3ˆ3 com 3 vaores próprios distintos e portanto é diagonaizáve. 4. a), facimente se vê que o núceo é gerado peo vetor (,) e portanto tem dimensão. A dimensão da imagem é a dimensão do espaço das counas da matriz A e portanto também é igua a. II. a) A afirmação é fasa. Vejamos um exempo simpes em M 2ˆ2 (R). As matrizes A = ( ) ( 2 e B = 2 ) são semehantes, pois existe uma matriz S = ( ) ta que S AS = B. u = ( ) é vetor próprio de A pois Au = u, mas Bu = (2 ) λu,@λ, e portanto u não pode ser vetor próprio de B. b) A afirmação é fasa. Vejamos um exempo simpes em M 2ˆ2 (R). A matriz C = ( ) tem os vetores próprios v = ( ) e w = ( ), pois C v = ˆv e C w = ˆw. Mas v +w = ( ) e C(v +w) = C v +C w = ˆ v + ˆ w = w λ(v + w)@λ, e portanto v + w não pode ser vetor próprio de C. III. Embora não seja muito caro no manua, em gera o que consideramos como a base canónica de R 2 [x] é a sequência B = (x 2, x,). É caro que B 2 = (, x, x 2 ) também é uma base de R 2 [x]. Embora este exercício tenha sido pensado para a base B, é perfeitamente possíve fazer o exercício todo com a base B 2, não havendo quaquer penaização para quem usou a base B 2. As contas com a base B 2 envoviam vaores próprios compexos. Página de 5

2 Usando a base B = (x 2, x,), tem-se T (x 2 ) = (,, ), T (x) = (,,) e T () = (,,). A matriz B que representa T nas bases indicadas, é a matriz que tem por counas as imagens dos vetores da base do espaço de partida, ou seja B =. Para estudarmos o espaço das counas de B é conveniente condensar a matriz transposta de B, B J = ÝÝÝÑ 2 + ÝÝÝÑ 3 + 2, e portanto a matriz tem dois pivots. Concuimos que as 2 primeiras counas de B formam uma base do espaço das counas de B. Nota: Não fazia sentido fazer operações sobre as inhas da matriz B para tirar concusões sobre as counas da matriz B. Para o espaço das inhas de B procedemos da mesma forma usando a matriz B. ÝÝÝÑ, 3 + e portanto a matriz tem dois pivots. Concuimos que as 2 primeiras inhas de B formam uma base do espaço das inhas de B. O espaço imagem de T corresponde ao espaço das counas de B, e portanto o espaço imagem de T é gerado por ((,, ) e (,,). A base do espaço imagem de T é ((,, ),(,,)). O núceo de T corresponde aos poinómios de p P R 2 [x] tais T (p) =. Usando a matriz B, isso corresponde a resover o sistema B X =, ou seja x x y = B X = = ùñ y z = x + y = y z ùñ x = y = z. este subespaço é gerado por quaquer vetor α(,,),@α, e escohendo α =, obtemos o vetor (,, ), que corresponde ao poinómio x 2 +x +. O núceo de T é o subespaço gerado peo poinómio x 2 +x +. Página 2 de 5

3 Os vaores próprios de B são as souções de det(b λi 3 ) =, ou seja da equação λ det(b λi 3 ) = λ λ = ( λ)(( λ)( λ) ) ( ), usando a primeira couna para cacuar o determinante.tem-se ( λ)(( λ)( λ) ) ( ) = ( λ)(λ 2 + λ ) + = λ 2 + λ λ 3 λ 2 + λ + = λ 3 + 2λ = λ(λ 2 2) = λ(λ?2)(λ +? 2), e portanto os vaores próprios de B são λ =,λ 2 =? 2 e λ 3 =?2. Uma vez que as raízes são todas simpes, a mutipicidade agébrica dos vaores próprios é igua a. Como estamos em R 3, a soma das mutipicidades geométricas é igua a 3, e como temos 3 vaores próprios distintos com mutipicidade geométrica peo menos igua a, isso significa que a mutipicidade geométrica de cada vaor próprio é mesmo igua a. O vetor próprio v associado a λ é uma soução não nua de (B λ I 3 )v =, ou seja uma soução não nua de Bv =. Uma vez que já cacuámos o núceo, uma soução é v = (,,). O vetor próprio v 2 associado a λ 2 é uma soução não nua de (B λ 2 I 3 )v 2 =, ou seja uma soução não nua de (B?2I 3 )v 2 =, o que corresponde ao sistema?2 (?2)x y = (B?2I 3 )v 2 =?2 v 2 = ùñ (?2)y + z =?2 x + y?2z =. Escohendo x = na primeira equação vem y =?2 e substituindo na segunda equação obtemos z =, ou seja v 2 = (,?2, ), e portanto é um vetor próprio. O vetor próprio v 3 associado a λ 3 é uma soução não nua de (B λ 3 I 3 )v 3 =, ou seja uma soução não nua de (B +? 2I 3 )v 3 =, o que Página 3 de 5

4 corresponde ao sistema? +? 2 (B+ 2I 3 )v 3 = +? 2? v 3 = ùñ 2 ( +? 2)x y = ( +? 2)y + z = x + y +? 2z =. Escohendo x = na primeira equação vem y = +? 2 e substituindo na segunda equação obtemos z =, ou seja v 3 = (, +? 2,), e portanto é um vetor próprio. Nota: Por definição um vetor próprio é sempre diferente do vetor nuo! Uma vez que temos uma matriz 3 ˆ 3 com 3 vaores próprios distintos, a matriz B é diagonaizáve. A matriz que diagonaiza B é a matriz que tem por counas os vetores próprios, ou seja S = [v v 2 v 3 ] =?2 +? 2. A matriz diagona semehante a B é a matriz com os vaores próprios na diagona, com a mesma ordem que anteriormente, ou seja D =? 2.?2 IV. a) Temos sequências com 3 vetores em R 3 portanto considerando a matriz com counas (ou inhas) formadas peas componentes dos vetores de B e de B 2 basta ver que essas matrizes têm característica igua a 3. No caso de B (o caso de B 2 é semehante) tem-se B =, e ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ, Página 4 de 5

5 e portanto a matriz tem característica 3, e os 3 vetores da sequência B formam uma base de R 3. IV. b) Por definição a matriz M (id R 3,B,B 2 ) é a matriz cujas counas são constituídas peas componentes dos vetores da base B na base B 2, ou seja = α + α 2 + α 3, = α 2 + α 22 + α 32, = α 3 + α 23 + α 33. Em forma matricia α α 2 α 3 = α 2 α 22 α 23, α 3 α 32 α 33 M (id R 3,B,B 2 ) ou seja M (id R 3,B,B 2 ) = /2 /2 = /2 /2 /2 = /2. IV. c) As coordenadas de u na base B 2 são obtidas usando a matriz cacuada na aínea anterior, /2 /2 M (id R 3,B,B 2 )u = /2 2 = 3/2. FIM Página 5 de 5