2. Órbitas e Navegação de Satélites

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1 IFRS - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Rio Grande Rio Grande/RS Disciplina: Física IV Conteúdo: Satelização. Órbitas e Navegação de Satélites Para entender e usar apropriadamente dados de satélites é necessário conhecer as órbitas nas quais os satélites são desenhados e a geometria com a qual eles vêem a Terra. Nesse item serão discutidos os princípios básicos que definem a forma da órbita e como orientar o plano da órbita no espaço. Este conhecimento possibilita conhecer a posição dos satélites a qualquer tempo. Também são discutidos as perturbações e os seus efeitos sobre os satélites meteorológicos. Em seguida, são exploradas a geometria do trajeto e a localização das medições à superfície, obtidas com satélites. Isto conduz a discussão acerca da amostragem espaço-tempo. Por fim, têm-se uma breve exploração dos veículos lançadores e opções de inserção de órbitas..1- Leis de Newton Isaac Newton descobriu os princípios básicos que governam os movimentos dos satélites e outros corpos celestes. Leis do movimento de Newton: 1- Todo corpo continuará em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, exceto se uma força externa modificar tal condição; - A taxa de variação do momentum é proporcional à força aplicada e é dirigida na direção desta; 3- Ação e reação são forças iguais e opostas; Uma vez que o momentum é o produto m v, a a Lei de Newton na sua forma mais conhecida, é dada por:.. (.1) onde F é a força, m a massa, a a aceleração, v a velocidade e t o tempo. Adicionalmente, Newton nos oferece a forma funcional da força que determina o movimento dos satélites: a Lei da Gravitação Universal. Esta lei estabelece que a força de atração entre duas massas pontuais m 1 e m, separados de uma distância r, é dada por: m1 m F = G (.) r

2 onde G é a constante de atração gravitacional de Newton (ou constante universal de gravitação e vale 6,6759x10-11 N.m.kg - ). Consideremos uma órbita circular como a da Figura.1. Assumindo que a Terra é uma esfera, podemos tratá-la como uma massa pontual. A força centrípeta requerida para manter o satélite em órbita circular é igual a mv r, onde v é a velocidade orbital do satélite. A força da gravidade que mantém tal força centrípeta é G me m r, onde m e é a massa da Terra (m e = 5,97370x10 4 ) e m a massa do satélite. Igualando essas forças, tem-se que: v me m m = G (.3) r r Dividindo por m, possibilita concluirmos que a órbita de um satélite independe de sua massa. O período da órbita do satélite é igual à órbita da circunferência descrita pelo mesmo, dividida pela sua velocidade: T = π r v. Substituindo na equação.3, tem-se: T 4π = r G m 3 e (.4) Figura.1 Satélite de órbita circular. Os satélites da série NOAA orbitam a cerca de 850 Km acima da superfície da Terra. Uma vez que o raio equatorial terrestre é cerca de km, o raio da órbita é aproximadamente igual a 7.8 km. Substituindo esse valor na Equação.4 conclui-se que o período de tais satélites é de cerca de 10 min. Como um segundo exemplo, calculemos o raio da órbita de um satélite geoestacionário (Geossíncrono), que corresponde a um tipo de órbita na qual o satélite possui a mesma velocidade angular da Terra. A velocidade angular de um satélite é dada por:

3 Ao substituirmos a Equação.5 na Equação.4, teremos: ω = π/t (.5) r³ = G.m e /ω² (.6) Inserindo na equação acima a velocidade angular da Terra (ω = 7,9115 x 10-5 rad.s -1 ) conclui-se que o raio da órbita de um satélite geoestacionário é de km, ou cerca de km acima da superfície da Terra.. Órbitas Keplerianas Satélites, entretanto, não navegam em círculo perfeito, muito embora a órbita circular tenha sido o objetivo de muitos satélites meteorológicos. É possível se deduzir a forma exata da órbita de um satélite com base nas leis do movimento de Newton e na lei da gravitação universal. Os resultados desta dedução estão praticamente sumarizadas nas leis de Kepler e nas suas equações...1 Leis de Kepler Johannes Kepler morreu 1 anos antes do nascimento de Newton e, portanto, não teve como se utilizar das vantagens dos trabalhos de Newton. Kepler formulou suas leis ao analisar massa de dados acerca da posição das planetas. Esta atividade foi dificultada em virtude da rotação terrestre e do seu movimento em torno do Sol, o que faz com que os movimentos dos planetas pareçam muito complexos. Na sua forma moderna, as leis de Kepler podem ser escritas como: 1. Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, estando o Sol num dos focos;. O vetor posição de um planeta, com origem no Sol, varre áreas iguais em tempos iguais; 3. A razão entre o quadrado do período de revolução pelo cubo do semi-eixo maior da órbita de um planeta é a mesma para todos os planetas que orbitam em torno do Sol. Estas mesmas leis se aplicam, se substituirmos planeta por satélite, e o Sol por Terra. A Equação.4 é um caso típico da 3 ª Lei de Kepler para o caso especial de órbita circular... Geometria da Elipse Os parâmetros que são usados para especificar as órbitas dos satélites são baseadas em parte na terminologia geométrica. A Figura. ilustra a geometria da órbita elíptica. O ponto de maior proximidade da Terra é chamado de Perigeu, ou mais genericamente, de Perijóco. O ponto onde o satélite se encontra à distância máxima da Terra, é denominado de Apogeu (ou Apojóco). A distância do centro da elipse ao Perigeu compreende o semi-eixo maior e será representado por a. A distância do centro da elipse ao foco ocupado pela Terra, dividido pelo semi-eixo maior, define a excentricidade da órbita (ε). para uma elipse

4 a excentricidade varia de zero a um ( 0 ε 1). Note-se que uma circunferência é uma elipse com ε = 0. A equação da elipse, isto é, o caminho que um satélite percorre, é dada em coordenadas polares, tendo a terra como origem, através de: ( 1 ε ) a r= (.7) 1 + ε cosθ O ângulo θ é denominado de anomalia verdadeira (true anomaly) e é sempre medido a partir do perigeu e em sentido anti-horário. Figura. Geometria da elipse...3 Equação de Kepler Numa órbita circular a velocidade angular de um satélite é constante. De acordo com a ª Lei de Kepler, no entanto, um satélite que orbita em trajetória elíptica não possui velocidade angular constante. Ele tem sua velocidade aumentada na medida que se aproxima da Terra. Assim, a posição de um satélite em função do tempo pode ser obtida através da equação de Kepler, qual seja: ( p) ε ( ) M = n t t = e sen e (.8) onde M é a anomalia média (mean anomaly); M aumenta linearmente com o tempo a uma taxa n, chamada de constante do movimento médio (mean motion constant), e é dada por:

5 π G me n= = (.9) 3 T a Por definição M é zero quando o satélite se encontra no perigeu; portanto, t p é o tempo da passagem no perigeu. O ângulo e é a anomalia excêntrica (excentric anomaly), e está relacionada com a anomalia verdadeira, segundo: (Ver Figura.3) cos e ε cosθ = (.10a) 1 ε cos e cosθ + ε cos e= (.10b) 1 + ε cosθ Figura.3 Relação geométrica da anomalia verdadeira (θ) e excêntrica (e)..4 Orientação no Espaço Ao se calcular r e θ no tempo t, estaremos posicionando o satélite no ano de sua órbita. Agora, precisamos posicionar o seu plano orbital no espaço. Para tanto, precisamos definir um sistema de coordenadas apropriado. Este sistema deve constituir um sistema de coordenadas inercial; isto é, que não seja um sistema acelerado, no qual são válidas as leis de Newton. Um sistema de coordenadas fixo com a Terra não constitui tal sistema. assim, adotaremos um sistema astronômico de coordenadas, denominado de sistema de coordenadas ascensão reta-declinação. Neste sistema (Figura.4). o eixo Z está alinhado com o eixo de rotação da Terra. O eixo X é escolhido de forma que contenha o centro da Terra e se dirija para o Sol durante sua passagem no Ponto Vernal, isto é, quando o Sol está

6 cruzando o Plano do Equador à partir do Hemisfério Sul para o Hemisfério Norte. O eixo Y é escolhido de forma a torná-lo (o sistema de coordenadas) um sistema de coordenadas que obedece à regra da mão direita. Neste sistema, a declinação de um ponto no espaço corresponde ao seu deslocamento angular ao Norte do Plano do Equador e a ascensão reta é o deslocamento angular, medido no sentido anti-horário, à partir do eixo dos X, da projeção do ponto no Plano do Equador. São usados três ângulos, no sistema de coordenadas ascensão reta-declinação, a fim de posicionar uma órbita elíptica: a inclinação, a ascensão reta do modo ascensional e o argumento do perigeu. A inclinação (i) corresponde ao ângulo formado entre o plano do equador e o plano orbital. Por convenção, se o plano do equador coincide com o plano da órbita, e o satélite gira na mesma direção da terra, então i=0 º. Se os dois planos coincidem, mas o satélite gira em sentido oposto à Terra, i=180 º. Órbitas progressivas (prograde orbits) são aquelas nas quais a inclinação é menor que 90 º (i<90 º ). Órbitas retrógradas, por sua vez, são aquelas em que a inclinação é maior que 90 º (i>90 º ). O modo ascendente (ascending mode) é o ponto no qual o satélite cruza o plano equatorial quando se dirigindo para o Norte. A ascensão reta desse ponto é a ascensão reta do modo ascendente (Ω). Ele é medido no plano equatorial à partir de X (vernal equinox) e dirigindo-se para o modo ascendente. Na prática, a ascensão reta no modo ascendente tem um significado mais geral. Ele é a ascensão reta da interseção do plano da órbita com o plano equatorial. Assim, ele é sempre definido, e não apenas quando o satélite se encontra no modo ascendente. Finalmente, o argumento do perigeu (ω) é definido como o ângulo medido no plano orbital e formado entre o modo ascendente (equatorial plane) e o perigeu...5 Elementos orbitais Os parâmetros de localização de um satélite no espaço, que foram discutidos anteriormente, são coletivamente conhecidos como elementos orbitais clássicos (classical orbital elements). Estes parâmetros podem ser determinados através de observações óticas, de radar ou de rádio ou ao serem associados a observações feitas através de sensores a bordo dos satélites. Os elementos orbitais de um satélite particular estão disponíveis a partir das agências que os operam: NOAA, NASA ou ESAC (Europeau Space Agency) etc. Um parâmetro final, incluído na Tabela.1, é o tempo em que esses elementos são válidos. Este tempo é denominado de epoch time (t 0 ). Alguns elementos orbitais mudam com o tempo, como será visto abaixo. O subscrito o de um elemento orbital indica um dado valor associado ao epoch time. Existe alguma diferenciação na forma como os elementos orbitais são especificados e também, na descrição menos formal da órbita dos satélites, alguém usualmente vê a altura do satélite acima da superfície terrestre, sendo substituída pelo semi-eixo principal. Uma vez que a Terra não é perfeitamente esférica, a distância de um satélite à superfície varia em função de sua posição orbital. Assim, ao se descrever a órbita de um satélite é preferível especificar o seu semi-eixo principal. Aquelas órbitas nas quais os elementos orbitais clássicos (exceto M) são constantes, são denominadas de órbitas Keplerianas. Vistas do espaço, as órbitas Keplerianas são simples. O satélite se move num traçado elíptico, estando o centro da Terra a ocupar um

7 dos seus focos. Esta elipse mantém constantes seu tamanho, forma, e orientação em relação às estrelas (Figura.7.a). O único efeito provocado pela gravidade solar sobre o satélite é o de mover o foco da elipse (a Terra) numa trajetória elíptica em torno do Sol (órbita terrestre). Vista à partir da Terra, a órbita Kepleriana aparece complicada em virtude da Terra girar em torno do seu eixo na medida que o satélite se move em sua órbita (Figura.8). A rotação da Terra resulta em duas passagens diárias do satélite próximo a um mesmo ponto à superfície (isto se assumirmos que o seu período é substancialmente menor que um dia e que o seu ângulo de inclinação é maior que a latitude do ponto). Uma passagem ocorre durante a porção ascendente da órbita; a outra ocorre durante a porção descendente da órbita. Isto usualmente resulta em se ter uma passagem durante o período diurno e outra durante o período noturno. Elemento Semi-eixo principal Excentricidade Inclinação Símbolo a ε i Argumento do perigeu ω 0 Ascensão reta do modo ascendente Ω 0 Anomalia média µ 0 Epoch time t 0