Operando com potências

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1 A UA UL LA Acesse: Operando com potências Introdução Operações com potências são muito utiizadas em diversas áreas da Matemática, e em especia no cácuo agébrico. O conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode faciitar a resoução de cácuos com expressões agébricas, que de outra forma seriam bastante trabahosos. Para estudar essas propriedades, vamos antes rever agumas definições de potências com expoentes inteiros e bases reais. Nossa aua Potenciação, por definição, é uma forma prática e simpes de se representar uma mutipicação de fatores iguais. Na potenciação, o fator da mutipicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado peo expoente. Por exempo: 5 x 5 25 « Onde 5 é a base e 2 é o expoente. Lê-se: 5 ao quadrado. 2 vezes 2 x 2 x 2 8 «2 3 8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente. Lê-se: 2 ao cubo. 3 vezes 3 x 3 x 3 x 3 81 «3 81 Onde 3 é a base e é o expoente. Lê-se: 3 à ª potência. vezes De maneira gera, podemos escrever: a. a. a... a a n n vezes se n > 2 (número inteiro) P/ as outras apostias de Matemática, Acesse:

2 Acesse: Aguns casos especiais da potenciação: a 1 a para quaquer a a 0 1 se a ¹ 0 a -n 1 a n se a ¹ 0 Aém dessas definições, convenciona-se ainda que: significa - (3) 2 - (3. 3) - 9 e (- 3) 2 (- 3). (- 3) + 9 Portanto: ¹ (- 3) 2 Isso nos eva a concuir que, se a base é um número negativo e está eevada a um expoente positivo, é indispensáve o uso dos parênteses. Caso os parênteses não sejam utiizados o resutado encontrado poderá ser incorreto. Vejamos aguns exempos numéricos de apicação das propriedades vistas até aqui: (- 2) æ1 ³ ö è2 ø (½)³ 1 8 _ 1 () 8 Para cacuar o vaor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a mutipicação equivaente. Assim, por exempo, para comparar duas ou mais potências é necessário conhecer antes os seus vaores. Por exempo: As potências 3-2 e (-3) -2 são iguais ou diferentes? e (-3) -³ (-3) -³ 9 Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3-2 (- 3) -2 Qua é a maior 6-2 ou -6 2? ou (6. 6) Vimos que 6-2 resuta num número positivo e -6 2 resuta num número negativo. Todo número positivo é maior que quaquer número negativo. Logo: 6-2 > P/ as outras apostias de Matemática, Acesse:

3 Acesse: 5 ³ Qua é o número menor: ou? 5 æ_ 1 ö æ_ 1 ö æ_ 1 ö è 2 ø.... è 2 ø æ_ 1 ö ³ æ_ 1 ö æ_ 1 ö æ_ 1 ö.. è 2 ø _ 1 8 _ 1 32 e Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denominador, portanto æ_ 1 ³ 5 Como as öfrações são negativas o resutado é ao contrário e teremos como è 2 ø è 2 ø resposta: > Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica. Para efetuar operações com potências, também é necessário cacuar antes o vaor de cada potência. Por exempo: : : 8 2 Propriedades da potenciação Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especia das potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resover a mutipicação sem efetuar as potências e obteremos o resutado em forma de potência. Mutipicação de potências de bases iguais 2 x porque 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x x (-3) vezes 2 vezes Generaizando, para mutipicar potências de bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes. a m. a n a m+n P/ as outras apostias de Matemática, Acesse:

4 Acesse: Divisão de potências de bases iguais... : : : Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos os expoentes. a m : a n a m - n Potenciação de potência (3 2 ) 3 (3 2 ). (3 2 ). (3 2 ) 3 2 x vezes (2 (-2) ) æ 1 ö è 2² ø Então, para eevar uma potência a um expoente, repetimos a base e mutipicamos os expoentes. (a m ) n a m. n Distributividade da potenciação em reação à mutipicação (2 x 3) 3 (2 x 3). (2 x 3). (2 x 3) (5 x 7) 1 (5 x 7)² 3 vezes 3 vezes 3 vezes x 7 5² x 7² Para eevar um produto a um expoente, eevamos cada fator ao mesmo expoente. (a. b) m a m. b m P/ as outras apostias de Matemática, Acesse:

5 Acesse: Distributividade da potenciação em reação à divisão æ7ö æ7ö (7 : 3)². è3ø è3ø ² 7² : 3² ² æö è5ø vezes Para eevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, eevamos o dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente. (a : b) m m m a : b m æaö ou èbø a m b m Apicações Como já foi dito no início da aua, uma das maiores apicações das propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cácuo agébrico. Na Aua 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões agébricas. Vejamos nos exempos, a mutipicação e a divisão dessas expressões e verificaremos o uso constante das propriedades estudadas. x 2 x 3 x 5 x 10 y 2 (y 2 + y + 1) y 2 y 2 + y 2 y + y 2 1 y + y 3 + y 2 (- 2xy) 3 (- 2) 3 x 3 y 3-8x 3 y 3 (x 2 ) 3 x- x 6 x- x 7 - (2x 5 + 3x ) x 3 (2x 5 x 3 ) + (3x x 3 ) 2x 2 + 3x (xy) βxyγ.. x y x 2 y x -1 y 2-1 x-2 y-1x x -2 y (x- ) - (x ) -... y -1x6 y5 x y β γ -1 βγ P/ as outras apostias de Matemática, Acesse:

6 Acesse: As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma forma de simpificação dos cácuos. Veja: ( 3 ) 2 : 16 6 : Exercício 1 Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou fasas (F): Exercícios a) ( ) b) ( ) c) ( ) æ1ö èxø 1 x Φ Η Ι -2 Κ x 2 d) ( ) æ_ Exercício 2 Φ Qua é a maior - Η 1Ι ö ² æ_ 2 Φ ö ou - 5Κ Η 1Ι ³ 3 è ø è ø? 5Κ Exercício 3 Se 2 x, qua é o vaor de 2 1 +x? E qua o vaor de 2 3 -x? Exercício Efetue as operações nas seguintes expressões agébricas: a) x 3. (x + x 2 + x ) b) (7x 5-8x ) : x c) (6x 3 + 3x 2 ) : (-3x) d) (x 2 + y). xy P/ as outras apostias de Matemática, Acesse: