Equacionando problemas - I

Transcrição

1 A UA UL LA 70 Equacionando probemas - I Introdução Você já percebeu que a Matemática é um eceente recurso para resover muitos dos probemas do nosso dia-a-dia. Mas a Matemática também pode ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira. Probemas que envovem jogos e desafios ógicos têm contribuído para estimuar a inteigência do ser humano ao ongo de toda a história. Há registro desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade. Nesta aua, nós vamos apresentar aguns desses desafios. Certamente, você também se sentirá estimuado a resovê-os. Afina, quem nunca brincou de adivinhar? Nossa aua Como descobrir o número pensado por outra pessoa? Essa é uma brincadeira bastante antiga (ivros do sécuo XII já faziam referência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas). Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um número quaquer. Após aguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha o número pensado pea outra. Vamos ver um eempo. EXEMPLO 1 Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá aguns comandos para B. COMANDOS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS Pense num número quaquer. B pensou no número 5. Encontre o seu dobro. 5 2 = 10 Some 3 ao resutado = 13 Tripique o vaor encontrado = 39 Subtraia 9 do resutado = 30 Divida tudo por : 6 = 5 Quanto deu? 5 Este é o número no qua você pensou!

2 Vamos escrever em inguagem matemática o que ocorreu: Pense um número quaquer: Encontre o seu dobro: 2. = 2 Some 3 ao resutado: Tripique o que você achou: 3. (2 + 3) = Subtraia 9 ao resutado: = 6 Divida tudo por 6: 6 : 6 = Porque esse jogo dá certo? Observe que há comandos que anuam os anteriores, como por eempo: achar o dobro e tripicar são anuados peo comando divida tudo por 6. A U L A Os comandos que se anuam são determinados peas operações inversas. Recordando operações inversas Uma operação é inversa de outra quando desfaz o que a outra faz. A adição e a subtração são operações inversas: A mutipicação e a divisão são operações inversas: A potenciação e a radiciação são operações inversas:

3 A U L A Adivinhando um número novamente Vamos ver mais um eempo desse jogo de adivinha : EXEMPLO 2 A pessoa A diz os seguintes comandos para a pessoa B: Pense em um número par. Tripique o número escohido. Divida o resutado por 2. Tripique o resutado. Divida o que foi encontrado por 9. Mutipique por 2. A: O resutado fina é o número que você pensou. Vamos ver em inguagem matemática o que ocorreu: COMANDOS LINGUAGEM MATEMÁTICA pense um número par 2 (*) tripique o número pensado 2. 3 = 6 divida o resutado por 2 6 : 2 = 3 tripique o resutado 3. 3 = 9 divida o que deu por 9 9 : 9 = mutipique por 2. 2 = 2 (*) A epressão gera para indicar um número par é 2. Veja que, para quaquer vaor atribuído a, o número 2 é par. Observe que, novamente, foram feitas operações inversas, permitindo que se retornasse ao número pensado iniciamente. Jogando com a cacuadora Há pessoas que dizem que os números se reacionam com a sorte. Outras, simpesmente, simpatizam mais com este ou aquee número. E você, também tem um número de sua preferência? Nesse jogo você poderá escoher um número de 1 a 9 e fazer com que somente ee apareça no visor de uma cacuadora, por meio de agumas operações bem simpes. Vamos ver um eempo.

4 EXEMPLO 3 Imagine que você tenha escohido o número 5. Digite na cacuadora o número A U L A % OFF ON C MR M- M+ + / Agora, mutipique esse número por 45. Veja que, no visor, aparece somente o número 5. 0 % OFF ON C MR M- M+ + / Desvendando o mistério! Muita gente acha que é um número misterioso. A matemática vai mostrar que não há nenhum mistério. Veja a apicação: O número é divisíve por 9 e o quociente dessa divisão é Eperimente fazer a conta na cacuadora: Portanto: =

5 A U L A Quando mutipicamos por 45, estamos, na verdade, mutipicando-o por 9 5. Logo: = = = = = Veja que curioso: (9 1) = (9 2) = (9 3) = (9 4) = A ágebra desvendando mistérios Você já sabe que a ágebra é uma inguagem matemática que auiia a resover probemas, isto é, pea ágebra podemos equacionar probemas. PROBLEMA 1 Vamos resover um mistério sobre a vida de Diofanto, um notáve matemático da Antigüidade. Tudo o que se conhece a seu respeito encontra-se na dedicatória escrita em seu túmuo sob a forma de um probema matemático. Veja o que ea diz: LINGUAGEM CORRENTE CAMINHANTE! AQUI FORAM SEPULTADOS OS RESTOS DE DIOFANTE. E OS NÚMEROS PODEM MOSTRAR - OH, MILAGRE - QUÃO LONGA FOI SUA VIDA, CUJA SEXTA PARTE CONSTITUIU SUA FORMOSA INFÂNCIA E MAIS UM DUODÉCIMO PEDAÇO DE SUA VIDA HAVIA TRANSCORRIDO QUANDO DE PÊLOS SE COBRIU O SEU ROSTO. E A SÉTIMA PARTE DE SUA EXISTÊNCIA TRANSCORREU EM UM MATRIMÔNIO SEM FILHOS. LINGUAGEM MATEMÁTICA PASSOU-SE UM QÜINQÜÊNIO MAIS E DEIXOU-O MUITO FELIZ O NASCIMENTO DE SEU PRIMEIRO FILHO, 5 CUJO CORPO ENTREGOU À TERRA, SUA FORMOSA VIDA, QUE DUROU SOMENTE A METADE DA DE SEU PAI. 2 E COM PROFUNDO PESAR DESCEU À SEPULTURA, TENDO SOBREVIVIDO APENAS QUATRO ANOS AO DESCANSO DE SEU FILHO. 4 DIGA-ME: QUANTOS ANOS TINHA DIOFANTO QUANDO LHE CHEGOU A MORTE? =

6 Soução = iguaando os denominadores e simpificando A U L A = = = 756 = 84 Desse modo, ficamos conhecendo aguns dados biográficos sobre Diofanto: casou-se aos 21 anos, foi pai aos 38, perdeu o fiho aos 80 e morreu aos 84. PROBLEMA 2 Vamos ver mais um probema bastante antigo que pode ser traduzido para a inguagem da ágebra. Um cavao e um burro caminharam juntos evando no ombo pesados sacos. Lamentava-se o cavao de sua pesada carga, quando o burro he disse: De que te queias? Se eu evasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Peo contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igua à minha. Qua a carga de cada um dos animais? Vamos equacionar o probema, isto é, escrevê-o na inguagem da ágebra: Sejam = a carga do cavao e y a carga do burro. LINGUAGEM CORRENTE LINGUAGEM DA ÁLGEBRA Se eu evasse um de teus sacos, - 1 a minha carga y + 1 seria o dobro da tua. y + 1 = 2 ( - 1) Se eu te desse um saco, y - 1 a tua carga + 1 seria igua à minha, y - 1 = + 1 Temos, então, um sistema com duas equações do 1º grau: y + 1 = 2 ( - 1) y - 2 = - 3 y - 1 = + 1 y - = 2 resovendo o sistema, temos = 5 e y = 7. Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavao, de 5 sacos. Este é um dos mais curiosos probemas que se conhece. E também um dos mais antigos: tem mais de 2000 anos!

7 A U L A Um viajante chega à margem de um rio evando uma raposa, uma cabra e um pé de couve. Ee deseja atravessar o rio, mas o único barco que se encontra á é pequeno e só pode transportar dois eementos de cada vez: ee e um de seus pertences. O viajante deseja evar todos os seus pertences para a outra margem, sem perder nenhum dees. Ee sabe que: se deiar a cabra com a couve, a cabra come a couve; e se deiar a raposa com a cabra, a raposa come a cabra. O que ee deve fazer? Tente resover esse probema antes de er a soução! Ee não precisa de equação para ser resovido; precisa, sim, de muito raciocínio! Soução Como nada foi dito sobre a raposa e a couve, podemos concuir que podem ficar juntos sem prejuízo para o viajante. Sendo assim, veja o que o viajante faz para resover seu probema: evou a cabra, votou e pegou a raposa; deiou a raposa e troue a cabra de vota; evou a couve e votou para pegar a cabra. Seguiu seu caminho feiz por não ter perdido nenhum de seus pertences. Agora que você conhece esse aspecto divertido da Matemática, que ta pesquisar ou inventar outros probemas? Por enquanto, aqui vão agumas sugestões que, certamente, irão aguçar seu raciocínio.

8 Eercício 1 Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qua é o número? Eercício 2 Pensei num número, mutipiquei-o por 2 e ao resutado somei 8, obtendo 20. Em que número pensei? Eercícios A U L A 70 Eercício 3 Descubra o vaor das etras, na conta abaio, considerando que etras iguais representam o mesmo número: AB BA + CAC Eercício 4 Que comandos anuam os seguintes comandos? a) Somar 8 e mutipicar por 2. b) Tripicar e mutipicar por 5. Eercício 5 Invente uma série de comandos que evem você a adivinhar o número pensado por um amigo.