Matemática e suas Tecnologias

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1 Matemática 5A 0. c Sendo o ucro, temos: = n ( 0) ( ) = ( 00 ) ( 0) ( ) = O vaor de que garante o maior ucro é a abscissa do vértice da paráboa que representa a função. b V = = 0 reais a = 0 ( ) 0. d O níve de dor médio é dado em função do dia de tratamento por: = O vaor de para o qua o níve de dor médio é mínimo é a abscissa do vértice da paráboa que representa a função. b V = = 80 = = a 0 80 Portanto, menor níve médio de dor do grupo foi dado no 0º. dia. 0. a f ( )= + = + = ou + = = ou= 04. d Sejam fa ( )= b e gb ( )= c. Assim: gb ( ) = c gf (()) a = c Portanto, ha : C definida por h( ) = ( g f)( ) substitui as apicações sucessivas das funções f e g, nessa ordem. 05. c gf (( )) = g( 5) = 5 0. d g( 5) = 5+ = f( 5) = 5= 0 fg ( ( 5)) = f( ) = + = 7 gf (( 5)) = g( 0) = 0+= E= f( g( 5)) + g(( f 5)) E = 7+ = 8 Matemática e suas Tecnoogias Resouções ENEM d Se o gráfico da função f passa peo ponto (4, 0), então f( 4) = 0. Portanto: f ( 0) = 4 Isso equivae a dier que o gráfico da inversa de f passa peo ponto (0, 4). 08. c g(t()) = sen(0 ) f(g(t())) = sen (0 ) h(t()) = cos(0 ) f(h(t())) = cos (0 ) Como sen + cos = para todo rea, então: fgt ( ( ( ))) + fht ( ( ( ))) = sen ( 0 ) + cos ( 0 ) fgt ( ( ( ))) + f( ht (( ))) = 09. d Sendo, R e C, respectivamente, o ucro, a receita e o custo. Assim: = R C = 5 ( ) = Para que o ucro seja igua a 0% da receita, devemos ter: = 0, R = 0, 5 0 = 9800 = 400 A soma dos agarismos de é = a Pt () = ( t t ) 00 Pt () = 0 ( t t ) = t t = 000 t 88t+ 9 = t = ( ) ± ( ) 88± 0 t = = 44 Portanto, 5< t < 45. Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5

2 Matemática 5B 0. b Para augar os fimes ançamentos, serão necessárias 8 ocações, pois são augados dois fimes por ve. I. O número de sequências diferentes para augar os 8 fimes de ação, nas 8 ocações, é 8! II. O número de sequências diferentes para augar os 5 fimes de comédia, nas 5 ocações, é 5! III. O número de sequências diferentes para augar os fimes de drama, nas útimas ocações, é! Assim, o número de formas distintas é 8! 5!! 0. c Eistem cores primárias: au, amareo e vermeho. Combinando as cores primárias duas a duas, formam-se cores secundárias: au + amareo, au + vermeho e amareo + vermeho. ogo, temos cores, sendo primárias e secundárias. Cada uma dessas cores, seja primária ou secundária, pode ser combinada com o preto ou o branco. Desta forma, eistem opções de escoha para cada uma das cores. Por eempo, o tom au pode ser representado nas cores au, au-escuro (au + preto) ou au-caro (au + branco). Contando também com o branco e o preto, ou seja, mais cores, o sistema admite, então, um tota de: + = 0 cores 0. b Se o fundo for au, eistem modos de escoher a cor da casa (verde ou amarea) e modos de escoher a cor da pameira (cina ou verde), ou seja, eistem = 4 modos de escoher as cores da casa e da pameira. Se o fundo for cina, eistem modos de escoher a cor da casa (au, verde ou amarea) e único modo de escoher a cor da pameira (verde), isto é, eistem = modos de escoher as cores da casa e da pameira. Como o fundo pode ser au ou cina, eistem 4 + = 7 modos de escoher as cores para a paisagem. 04. e Como N = 5 7, o número de divisores positivos de N é ( + ) ( + ) ( + ) e, portanto, o número de divisores positivos de N, diferentes de N, é ( + ) ( + ) ( + ) Observações: I. É importante destacar que o eercício, na reaidade, pede o número de divisores positivos de N. II. Como N é mútipo de 0 e não é mútipo de 7, podemos concuir que 0, 0 e = a Para a escoha do objeto, eistem 5 modos. Para a escoha do personagem, eistem modos. Para a escoha do cômodo, eistem 9 modos. Para escoha de um objeto, um personagem e um cômodo eistem 5 9 = 70 modos. Se ao todo são 80 aunos e = 0, então, necessariamente, o diretor sabe que agum auno acertará a resposta porque há 0 aunos a mais do que as possíveis respostas distintas. 0. c Observe que as escoas I, III e V não podem ser campeãs, pois o número máimo de pontos que podem conseguir é, respectivamente, igua a 5, 0 e 4. Em caso de empate, a escoa II será campeã, pois ganha no quesito Enredo e Harmonia. A escoa II será campeã, se as pontuações de II e IV forem: Escoa II Escoa IV Em cada uma dessas possibiidades, as outras escoas podem ser avaiadas de 5 possíveis maneiras. Portanto, o número de configurações possíveis é igua a = c Têm-se 0 possibiidades para os finais de pacas de automóveis. Independentemente do dia da semana, o novo rodíio proposto restringe a circuação de veícuos com 4 finais de pacas, restando possibiidades. Como a distribuição de finais de pacas é uniforme, circuarão = 0% da frota de automóveis d Cada barra pode ser cara ou escura, ou seja, eistem modos de escoher uma barra. Como o código possui 5 barras e deve ter eitura da esquerda para a direita igua à eitura da direita para a esquerda, então, para a ạ barra, eistem possibiidades; de escoha; para a ạ barra, também eistem duas possibiidades; para a ạ barra, eistem possibiidades de escoha, mas, para a 4 ạ barra, eiste apenas possibiidade, pois a 4 ạ barra deve ser igua à ạ ; para a 5 ạ barra, eiste única possibiidade, pois deve ser igua à ạ. Desta forma, teríamos = 8 códigos possíveis. Entretanto, nesta contagem de 8 códigos, foram incuídos os códigos em que todas as barras são caras ou todas as barras são escuras. Portanto, a quantidade de códigos soicitada é igua a 8 =. 09. d Cada um dos pontos possui modos de destaque, ou seja, ou o ponto é destacado, ou não. Como são pontos, peo princípio fundamenta da contagem, eistem = = 4 modos de destaque para esses pontos. Entretanto, nesta contagem de 4 modos, incuiu-se a possibiidade de não destacar quaquer dos pontos. Desta forma, eatamente 4 = caracteres distintos podem ser representados no sistema Braie. 0. a Eistem 0 senhas possíveis de seis dígitos utiiando-se os agarismos de 0 a 9. Eistem senhas possíveis de seis dígitos utiiando-se os agarismos de 0 a 9, as etras minúscuas e as etras maiúscuas. ogo, o coeficiente de mehora da ateração recomendada é igua a 0. Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5

3 ENEM 5 Matemática 5C 0. a = + equação = equação = + equação Da equação : = = Substituindo por na equação (ou na ), fica determinado que =. Portanto, (,, ) = (,, ), para todo número rea, é a soução do sistema. Ou seja: S = {(,, );, } 0. d Considerando que e indicam as quantidades de ceboas pequenas e grandes, respectivamente, podemos montar o seguinte sistema: + = 40 equação = 700 equação Mutipicando a equação por ( 5) e somando o resutado à equação, temos: = = = 700 = 4 + 4= 40 = Portanto, a consumidora comprou ceboas pequenas e 4 ceboas grandes. 0. c O número A é par e: D= 5B C= A+ 0 50A+ 0B+ 5C+ D= 400 Substituindo D por 5B e C por A + 0, na equação 50A + 0B + 5C + D = 500, temos que: 50A+ 0B+ 5 ( A+ 0) + 5B= A+ 5B= A A+ B= 70 B = Mas A e B são números naturais, sendo que A é par. Então, por inspeção, concui-se que A = e B =, necessariamente. Portanto, o número B é um quadrado perfeito. 04. d Se, e são os preços de uma coinha, um paste e um refrigerante, respectivamente, então, com os dados do enunciado, podemos montar o sistema + + = 8, = 0, 0 Somando as equações desse sistema, membro a membro, obtemos a equação + + = 8,9. Agora, dividido por cada um dos termos dessa útima equação, temos que + + =,0. Ou seja, o preço de uma coinha, um paste e um refrigerante é igua a R$, c A + B+ C = 5 equação B+ C= 7 equação Substituindo B + C por 7, na equação, fica determinado o vaor de A. De fato: A + 7 = 5 A = 5 Temos, então, que A = 5 e que B + C = 7. a) Incorreto A mercadoria B não é, necessariamente, a mais cara, pois pode ocorrer de o vaor de B ser menor do que 5 reais. b) Incorreto B = C C + C = 7 C = 9 B = 8 B A c) Correto Se B for a mais cara, então B > 5. B > 5 B + C > 5 + C. B+ C= 7 7 > 5+ C C< B+ C> 5+ C Sabendo que A = 5, concuímos que A, B e C não podem ter o mesmo vaor, pois A + B + C = e) Incorreto A mercadoria A custa, necessariamente, 5 reais. 0. e Considere que A, B e C representam os preços dos medicamentos de mesmo nome. De acordo com o enunciado, temos: (vaor correto) = A + B + C = A + B + C = 5 equação (vaor errado) (vaor correto) = (A + B+ C) (A + B + C) = A B+ C= equação Temos, então, o seguinte sistema: A + B + C = 5 equação A B+ C= equação Substituindo a equação por (equação ) (equação ), obtemos o sistema equivaente A + B = 9 equação A B + C = equação Substituindo, a equação por (equação ) (equação ), obtemos o sistema equivaente A + B = 9 4B + C = 7 equação equação 4 Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5

4 a) Incorreto Sendo B > 0, a soma dos preços dos medicamentos A e C é maior do que R$,00, pois, da equação, temos que A + C = + B. b) Incorreto Da equação : B = A + = 9 A = 0 Mas os preços são, necessariamente, positivos. Portanto, o medicamento B não pode custar R$,00. c) Incorreto Da equação : B =,5 A,5 + C = A + C = 4,5 Da equação 4: B = C = 7 C = e) Correto Os vaores de A, B e C são, necessariamente, positivos. Isoando A e C, nas equações e 4, respectivamente, temos que A = 9 B e C = 4B 7. Portanto: A> 0 9 B> 0 B < 75, < B < C> 0 4B 7 > 0 B >, e Considerando as notas e a média de Antônio, temos: = 7, = 7,4 + 7,4 0, 0,4 = 0 + 0, 0,4= 0 4= 0 = 0 equação Considerando as notas e a média de Benedito, temos: = 5, = 5,8 + 5,8, 0,8 = 0 +, 0,8 = 0 8 = 0 = 0 equação O sistema inear formado peas equações e é homogêneo e indeterminado, pois essas duas equações são iguais. = 0 = 0 = e = = 0 a) Incorreto Se e são números naturais, então é, necessariamente, um mútipo de. Porém, não é necessariamente par (pode ser par e pode ser ímpar). Observe os eempos: = 4 = (par) = = (ímpar) b) Incorreto Se e são números naturais, então é, necessariamente, par. Porém, não é necessariamente um mútipo de. Observe os eempos: = = ( não é mútipo de ) = 9 = ( é mutipo de ) c) Incorreto É possíve que os vaores de e (pesos das provas) sejam números inteiros. Os vaores de e (pesos das provas) não são necessariamente inteiros. Embora não seja comum, podemos ter, por eempo, = 0,8 e =,. e) Correto = = = b Baanceando a equação química, montamos o seguinte sistema: = equação ( Fe) + = w equação (O) = w equação (C) Da equação, temos que = w. Substituindo w por, na equação, temos: + = = ogo, (,,, w) = (,,, ) é soução do sistema inear, obtido do baanceamento dessa equação química, para quaquer vaor inteiro e positivo de, portanto, os vaores de,, e w são proporcionais a,, e, respectivamente. 09. b + 5 = 0 equação + = 0 equação Faendo (equação ) + (equação ): 4+ 0 = 0 + = 0 7 7= 0 7= 7 = Substituindo por na equação (ou na ) fica determinado que =. = e = (,, ) =,, ) é soução do sistema, para quaquer vaor rea de. Se considerarmos todas as souções em que os vaores de são inteiros, e apenas essas souções, então os vaores de serão mútipos de, pois =. Observe a tabea a seguir: = = a) Incorreto = os vaores de e são sempre iguais, numa mesma soução. b) Correto Considerando todas as souções em que assume um vaor inteiro, os vaores de, em ordem crescente, formam a sequência (...,,, 0,,,...), pois =. Essa sequência é uma progressão aritmética de raão. c) Incorreto Nem todos os vaores inteiros de são mútipos de (observe a tabea anterior). Os vaores inteiros de, em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de raão. e) Incorreto Nem todos os vaores inteiros de são ímpares (observe a tabea anterior). 4 Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5

5 ENEM 5 0. a Considere que, e indicam os preços de cada uma das fores, de acordo com a indicação na figura a seguir. R$,90 R$,0 R$ 4,0 4 De acordo com essa figura, e considerando os buquês cujos vaores são conhecidos, podemos montar o seguinte sistema:? + + =, =,90 equação + + =,0 + + =,0 equação 4,0 + = + = 7,0 equação (equação ) (equação ) = 4,80 =,40 (I) Substituindo esse vaor na equação, temos: +,40 + =,90 + = 0,50 (II) Observe, na figura, que o buquê 4 deve custar ( + ) + (III) Então, substituindo, em (III), os vaores encontrados em (I) e (II), determinamos o vaor do buquê 4: ( + ) + = 0,50 +,40 = 5,0 Portanto, o buquê 4 custa R$5,0 Matemática 5D 0. a O raio R, da circunferência que circunscreve um triânguo equiátero, tem medida igua a dois terços da atura desse triânguo. Então, sendo 0 cm a medida do ado do triânguo equiátero, temos: 04. a d 0 R= R= 0 R 0 7, R 7 cm O tampo circuar será suficiente para cobrir a base do suporte da mesa se o seu raio for maior que ou igua a 7 cm. Então, considerando apenas os cinco tipos comerciaiados pea oja, o proprietário deverá escoher aquee cujo raio mede 8 cm. 0. c O canteiro de fores tem o formato de um triânguo retânguo, pois um de seus ados coincide com um diâmetro da circunferência que o circunscreve. Um dos catetos desse triânguo mede cm e a hipotenusa, 0 m. Então, peo teorema de Pitágoras, concui-se que o outro cateto do referido triânguo mede 8 m, conforme indicado na figura a seguir. 5 m 8 m m 5 m Cácuo da área do canteiro (triânguo retânguo): 8 = = 4 m Custo tota da pantação: Custo = (4 m ) (R$,00 / m ) Custo = R$4,00 0. a Cácuo do perímetro da cerca: Perímetro = m + 8 m + 0 m = 4 m Custo tota da cerca: Custo = (4 m) (R$ 8,00 / m) = R$ 9,00 d d Para cada quadrado de d por d da maha, apenas uma área de (d ) por (d ) permite a passagem de u. Como a taa de cobertura é 75%, apenas 5% da u incidente deverá passar. Assim, sendo d >, temos: d 00% ( d ) 5% ( d ) 00 = d 5 d = d 4 d = d = d d = d 05. c O poígono reguar deve ter sua área distribuída conforme a tabea: Carboidratos 0% Gorduras 0% Proteínas 0% Dividindo o pentágono reguar em 5 triânguos congruentes, cada um com 0% da área do pentágono, tem-se: 0% 0% 0% 0% 0% 0% d Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5 5

6 Assim, a distribuição das áreas correspondentes é: Carboidratos: 0% + 0% + 0% = 0% Gorduras: 0% + 0% = 0% Proteínas: 0% 0. c Considere a superfície da área de meta composta por três regiões: um retânguo, cujos ados medem m e 4 m, e dois quadrantes de círcuos, cada um com raio medindo 4 m. Cácuo da medida da superfície (S) da área de meta: 07. e km S = (área do retânguo) + (área do quadrante de círcuo) π 4 S = ( 4) + 4 S = + 8 π S + 8,4 S + 5, S 7, S 7 m 0 km A região pantada, na foto, corresponde a um círcuo de raio medindo N. Portanto, considerando π =, temos: 4 (foto ) N N =π = 4 A região pantada, na foto, corresponde à metade de um círcuo, cujo raio mede N 4, mais um quadrado cujos ados medem N. Portanto, considerando π =, temos: (foto ) N π 4 N N N N = + = + = 4 (foto ) N (foto) N N (foto ) (foto) N = = =,8 = 8,% = 8,% = 00% + 8,% a porcentagem de aumento da área desmatada, da foto para foto, é aproimadamente igua a 8,%. 09. d A região na qua o cão pode circuar, preso a uma corda de 9 m de comprimento, é composta por dois semicírcuos, cujos raios medem 9m, e um retânguo de ados medindo 9 m e 0 m. Essa região, na qua o cão pode circuar, está representada pea parte sombreada da figura abaio. Do triânguo retânguo, da figura, temos: o tg0 = = 058,, Cácuo da área do terreno que coube a João: ( João) = ( João) =, km Cácuo da área tota do terreno: tota = km km = km Desses resutados obtidos, concui-se que coube a João, aproimadamente, 9% da área tota do terreno, pois: ( João), km ( João) = = 0,9 0,9 = 9% tota km tota 08. e 9 m GAPÃO 0 m Portanto, o cão pode circuar por uma região cuja área é igua a (8π + 80) m. De fato: π ( 9 m) (região hachurada) = + (9 m) (0 m) = (8π + 80) m 0. c = N = N 9 m 4 ST = 4 = SH N N 4 ST SH = ( N) = 4N = N N Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5

7 ENEM 5 Matemática 5E 0. a π π O período da função é P = =. Assim, o comportamento gráfico 4 dessa função se repete de π em π. 0. d cos 4 4 cos 4 4 g ( ) 4 O conjunto imagem da função é [ 4, 4 ]. 0. d A função é periódica e o período é segundos. 04. c As curvas do caçadão de Copacabana se assemeham às representações gráficas das funções seno e cosseno. 05. b A função f( ) = cos é a que mehor representa o trecho da rodovia. Observe que: O período da função é 4π,5. 0 f( 0) = cos = 0. c = arcsen( 05, ) sen = 05, Como o contradomínio da função arco seno é π π,, então: sen = 05, = a α= arccos cos α = Como o contradomínio da função arco cosseno é [ 0, π], então: cosα= α= π Portanto, α é um arco situado no primeiro quadrante. 08. a π π O período da função é P = = b cos( 4) cos( 4) f ( ) O vaor mínimo da função é e o vaor máimo é. 0. e f( 0) = a cos( 0) + b= a + b= a+ b= f( π) = a cos( π ) + b= a ( )+ b= b a = Matemática e suas Tecnoogias ENEM 5 7