LUCIANO CAETANO DO CARMO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL LUCIANO CAETANO DO CARMO DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil Goiânia 005

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Mestrando: Engenheiro Civil Luiano Caetano do Carmo Orientador: Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado Co-orientador: Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo Goiânia 005

3 LUCIANO CAETANO DO CARMO DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás, omo parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Civil. Área de onentração : Estruturas e Materiais. Orientador: Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado Co-orientador: Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo Goiânia 005

4 Dados Internaionais de Catalogação-na-Publiação (CIP) (GPT/BC/UFG) Carmo, Luiano Caetano do. C87d Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: análise via método dos elementos initos / Luiano Caetano do Carmo. Goiânia, : il. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Goiás, Esola de Engenharia Civil, 005. Bibliograia: Inlui lista de iguras, de tabelas, de símbolos, de abreviações. Anexo 1. Conreto armado Vigas. Fibras de metal - Vigas 3. Vigas de onreto - Fibras de metal I. Universidade Federal de Goiás. Esola de Engenharia Civil II. Título. CDU: Reerênia Bibliográia CARMO, Luiano Caetano do. Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: Análise via Método dos Elementos Finitos Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Esola de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 005. Cessão de Direitos Nome do Autor: Luiano Caetano do Carmo Título da Dissertação de Mestrado: Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: Análise via Método dos Elementos Finitos. Grau/Ano: Mestre/005 É onedida à Universidade Federal de Goiás permissão para reproduzir ópias desta dissertação de mestrado e para emprestar tais ópias somente para propósitos aadêmios e ientíios. O autor reserva outros direitos de publiação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por esrito do autor. Luiano Caetano do Carmo Rua Monte Castelo esq. C/ Rua Maçonaria. Qd.08 Lt.14 Vila Jardim Pompéia CEP: Goiânia /GO Brasil

5 DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS LUCIANO CAETANO DO CARMO Dissertação deendida e aprovada em 01 de Abril de 005, pela Bana Examinadora onstituída pelos proessores. Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado (UFG) ORIENTADOR Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo (UFG) CO-ORIENTRADOR Pro. Dr. Magid Elie Khouri (UFG) EXAMINADOR INTERNO Proa. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (UFG) EXAMINADORA INTERNA Pro. Dr. Humberto Breves Coda (EESC/USP) EXAMINADOR EXTERNO

6 À minha avó, Maria da Coneição, in memorian, amiga, inentivadora e exemplo.

7 MEUS AGRADECIMENTOS A Deus, por todos os beneíios e oportunidades que me tem onedido. Ao Pro. Dr. Ademir Apareido do Prado, por estar sempre a meu lado, apoiando-me e inentivando-me, durante todas as etapas deste trabalho. Ao Pro. Dr. Daniel de Lima Araújo, pelo apoio, inansável dediação e paiênia, que durante este trabalho eslareeu minhas dúvidas, que não oram pouas, prinipalmente quando as oisas não davam erto. O meu muito obrigado pelas horas trabalhadas no Natal, no Ano Novo e no Carnaval. Eu sei que oi duro!!! Ao proessor Dr. Zenon del Prado, pela amizade e apoio onstante durante toda a exeução deste trabalho. Aos demais proessores do CMEC-UFG pela ormação e pela olaboração para o meu aprendizado. À minha mãe e à minha irmã, duas pessoas maravilhosas que eu amo muito e sempre me inentivaram. aadêmia. Ao meu avô Iray, que sempre esteve do meu lado, em toda minha vida Aos meus grandes amigos Flávio Lima, Tatiana, Rogério Aques, Beatriz, Mário Araújo, Daniela, Luis Enéias, Virgínea, Robson Donizeth e Alie. Estas pessoas maravilhosas que me aompanharam durante todo o tempo dessa jornada me inentivando, sempre dizendo palavras amigas e prinipalmente agüentando as minhas haties Aos amigos do mestrado Carlos Eduardo, Gabriel, Luiana, Magnus, Jadir, Helen, Renata e Paulo Alexandre, om os quais ompartilhei momentos inesqueíveis nesses últimos anos. O mestrado não teria sido o mesmo sem voês. Bons tempos, estes de mestrado!

8 À seretária do CMEC-UFG, Neuza, por toda atenção orneida aos alunos uidando de ada um omo se osse um ilho. À Roberta Paula, pessoa espeial que nas horas diíeis, om muita paiênia e arinho, sempre oi um ombro amigo, prinipalmente naqueles dias em que tudo pareia não dar erto ou não unionar. trabalho. A todos que, direta ou indiretamente, olaboraram para a realização deste À Coordenação de Apereiçoamento Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio inaneiro. LUCIANO CAETANO DO CARMO ABRIL/005

9 RESUMO Neste trabalho são realizadas modelagens numérias de vigas de onreto armado exeutadas om onreto onvenional e onreto de alta resistênia, reorçadas ou não om ibras metálias. A modelagem numéria possibilita a análise de diversas variáveis em uma estrutura, om usto reduzido. O objetivo deste trabalho é a veriiação da dutilidade de vigas de onreto armado reorçadas om ibras empregando programas omeriais de elementos initos. Para tanto oi utilizado o programa omerial ANSYS 6.1. A validação das modelagens é realizada através da omparação dos resultados numérios om os obtidos om resultados experimentais da literatura. Esta validação é iniialmente realizada om vigas de onreto onvenional e onreto de alta resistênia, sem a adição de ibras. Durante essa etapa perebeu-se problemas de onvergênia nas malhas mais reinadas das vigas superarmadas e de algumas vigas subarmadas. As malhas menos reinadas apresentaram respostas numérias oerentes om os resultados experimentais. A apliação da metodologia desenvolvida para modelagem de vigas de onreto armado reorçadas om ibras metálias apresentou diiuldades de implementação devido à ausênia de dados sobre a resistênia ao arranamento ibramatriz. Este parâmetro, também utilizado no modelo meânio, oi determinado a partir de retroanálises em ensaios de vigas disponíveis na literatura. Outra diiuldade enontrada oi a limitação do programa ANSYS 6.1 que não onsidera o eeito do amoleimento do onreto após o pio de resistênia à ompressão. Dessa orma, oi deinida uma ruptura onvenional para as vigas, sendo a deormação última à ompressão do onreto om ibras obtida om a utilização de modelos analítios disponíveis na literatura. A dutilidade das vigas é analisada através do índie de dutilidade global. É analisada a inluênia das seguintes variáveis: resistênia à ompressão do onreto, relação de orma das ibras e volume de ibras. Dos resultados, observa-se que é possível aumentar a dutilidade de vigas de onreto de alta resistênia om a adição de ibras metálias. Observa-se também que a dutilidade das vigas é mais sensível ao aumento no volume de ibras que ao aumento no ator de orma das mesmas. Do exemplo analisado onlui-se que a adição de baixos volumes de ibras nas vigas de onreto de alta resistênia já proporiona dutilidade semelhante à de vigas de onreto onvenional om altos volumes de ibras. Palavras-have: onreto reorçado om ibras, modelagem numéria, análise não-linear, dutilidade.

10 ABSTRACT In this work, inite element analysis o reinored onrete beams, made with both, normal and high strength onrete and with or without addition o steel iber, are arried out. The main advantage o the inite element analysis is the possibility o study several variables in a struture with a smaller ost i ompared to experimental tests. The objetive in this work is to veriy the dutility o iber reinored onrete beams, using the inite element method. In this work, the analysis is arried out using the ommerial inite element sotware ANSYS 6.1. The validation o the inite element analysis is aomplished through the omparison o the numeri results obtained with experimental results o the literature. This validation is aomplished initially with beams o normal onrete and onrete o high strength, without the addition o steel ibers. During the validation, it was notied onvergene problems with the inest meshes with high ratio and some low ratio beams and numerial answers were oherent with the experimental results using gross mesh model. The appliation o the methodology developed or modelling steel iber reinored onrete beams, presents implementation diiulties due to absene o interaial bond stress. This parameter, also used in the mehanial model, was determinated starting rom reverse analysis in tests o available beams in the literature. The analysis was restrited to the limitation o the program ANSYS 6.1, whih that doesn't onsider the eet o sotening o the onrete ater the ompression strength pik. Then, a onventional rupture riteria was deined as being the last strain in ompression or steel iber onrete obtained rom available analytial models in literature. The dutility o beams was analyzed through the index o global dutility. The inluene o the ollowing variables was analyzed: onrete ompressive strength, aspet ratio o iber and iber ontent. It was observed that is possible to inrease the dutility o beams made with high strength onrete due to addition o steel ibers. It was also observed that dutility o the beams is more sensitive to the inrease in the iber ontent that to the inrease in aspet ratio. From the analyzed examples is possible to onlude that the addition o low iber ontent in beams with high strength onrete provides similar dutility to the ones with normal onrete with high iber ontent. Keywords: steel iber reinored onrete, inite element analysis, nonlinear analysis, and dutility.

11 Sumário Lista de Figuras 10 Lista de Tabelas 14 Lista de Símbolos 16 Símbolos Maiúsulos 16 Símbolos Minúsulos 17 Símbolos Gregos 19 Lista de Abreviações 1 Introdução Objetivo 5 1. Justiiativa Estrutura do trabalho 6 Revisão Bibliográia 8.1 Introdução 8. Comportamento Meânio do Conreto om Fibras Metálias 31.3 Modelo meânio para vigas letidas reorçadas om ibras 38.4 Dutilidade de Vigas de Conreto Armado 41.5 Modelagem numéria de vigas reorçadas om ibras metálias 49.6 O Programa ANSYS Elementos Utilizados 69 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras Introdução Araújo (00) 75

12 3.3 Ribeiro (1996) Barbosa (1998), apud Gamino (003) Considerações sobre as Modelagens Numérias 88 4 Modelagem de Vigas de Conreto Armado om Fibras Introdução Validação da Metodologia de Modelagem de Conreto Reorçado om Fibras Determinação da Tensão de Arranamento Fibra-Matriz Comparação dos Momentos Últimos Numério e Meânio Comparação da Dutilidade Numéria om Valores Experimentais Considerações Finais Análise Paramétria Introdução Modelagem da Viga para a Análise Paramétria Análise dos Resultados Considerações Finais Conlusão Proposta para trabalhos uturos Reerênias Bibliográias Anexo Introdução Superíie de Plastiiação de Tresa e Von Mises Superíie de Plastiiação de Mohr-Coulomb Superíie de Plastiiação de Druker-Prager Superíie de Plastiiação de Chen-Chen Superíie de Plastiiação de Willam-Warnke 183

13 Lista de Figuras Figura 1.1 Representação da urvatura da seção transversal para onreto sem ibras e onreto om ibras 4 Figura 1. Curvas Força-Deormação para onreto de alta resistênia om ibras (Aïtin, 000). 4 Figura.1 - Comportamento plástio (Proença, 1988) 9 Figura. - Comportamento Uniaxial do Conreto (Proença, 1988). 30 Figura.3 Curva Tensão-Desloamento no ensaio de arranamento de ibras (Naaman, 1998). 3 Figura.4 Comparação entre as equações para o traçado da urva Tensão-Deormação. 38 Figura.5 Representação do equilíbrio de orças normais atuantes na seção transversal de uma viga reorçada om ibras metálias. 39 Figura.6 Curva Força Desloamento utilizada para a quantiiação da dutilidade global de vigas de onreto armado (Ribeiro, 003). 43 Figura.7 Curva Momento-Curvatura utilizada para a quantiiação da dutilidade loal de vigas de onreto armado (Gamino, 003). 44 Figura.8 Detalhe das vigas 1, e 3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003). 45 Figura.9 Detalhe da viga 1-R ensaiada por Ribeiro (1996). 45 Figura.10 Detalhe da viga -A ensaiada por Ribeiro (1996). 46 Figura.11 Detalhe da viga 3-B ensaiada por Ribeiro (1996). 46 Figura.1 - Detalhe das vigas ensaiadas (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). 5 Figura.13 - Elemento de mola-amorteimento COMBIN14 (ANSYS Release 6.1, 000). 5 Figura.14 - Área líquida empregada para alular a quantidade de ibras entre ada elemento inito da seção transversal da viga (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). 55 Figura.15 - Representação teória das ibras metálias no onreto protendido segundo Padmarajaiah e Ramaswamy, (00). 56 Figura.16 - Diagramas σ xε uniaxial equivalente de onretos om ibras para os regimes a) tração; b) ompressão (Simões, 1998). 57 Figura.17 Detalhe da viga ensaiada por Craig (1987). 58 Figura.18 - Detalhe da viga ensaiada sem armadura por Shnütgen; Erdem (001). 59 Figura.19 - Detalhe da viga ensaiada, om armadura por Shnütgen; Erdem (001). 59

14 Figura.0 - Modelagem das vigas de onreto sem armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00). 60 Figura.1 - Modelagem das vigas de onreto om armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00). 61 Figura. Relação tensão deormação da armadura om enruamento, Hemmy (00). 64 Figura.3 Curva Tensão- Abertura da Fissura obtida da análise reversa (Hemmy, 00). 64 Figura.4 Curva Tensão-Deormação equivalente para o onreto reorçado om ibras metálias, para a malha ina (Hemmy, 00). 65 Figura.5 Relação tensão-deormação itíia pra as ibras de aço para o ANSYS, Hemmy (00). 67 Figura.6 Gráio Força-Desloamento viga sem armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00). 67 Figura.7 Gráio Força-Desloamento viga om armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00). 68 Figura.8 Elemento de onreto armado 3-D SOLID65 (ANSYS Release 6.1, 000). 70 Figura.9 Peril de Superíie de Ruptura de Willam-Warnke utilizando pelo programa ANSYS (ANSYS Release 6.1, 000). 70 Figura.30 Condição de Resistênia a Ruptura do Conreto (ANSYS Release 6.1, 000). 71 Figura.31 - Elemento de barra 3-D LINK8 (ANSYS Release 6.1, 000). 73 Figura 3.1 Detalhe da Viga V1 ensaiada por Araújo (00). 76 Figura 3. Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Araújo (00). 78 Figura 3.3 Resposta Tensão-Deormação uniaxial do onreto: a) Conreto, b) Willam- Warnke. 78 Figura 3.4 Detalhe da Viga R ensaiada por Ribeiro (1996). 79 Figura 3.5 Detalhe da Viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). 79 Figura 3.6 Detalhe da Viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). 80 Figura 3.7 Curva Força-Desloamento da viga R ensaiada por Ribeiro (1996). 8 Figura 3.8 Curva Força-Desloamento da viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). 83 Figura 3.9 Curva Força-Desloamento da viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). 84 Figura Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003). 87 Figura 3.11 Curva Força-Desloamento da viga V ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003). 87 Figura 3.1 Curva arga-desloamento, viga V3 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino (003). 88 Figura 4.1 Gráio Tensão-Deormação do onreto om ibras submetido à tração. 9

15 Figura 4. Gráio Força-Desloamento da viga sem armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). 95 Figura 4.3 Gráio Força-Desloamento da viga om armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). 96 Figura 4.4 Diagrama Carga-Desloamento, da viga ensaiada por Craig, (1987). 98 Figura Detalhe geral das Vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 99 Figura 4.6 Detalhe da malha utilizada na modelagem das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 100 Figura 4.7 Gráios P num Pexp em unção da resistênia ao arranamento da ibra ( τ u ), modelagem das vigas de Ashour et al. (000). 101 Figura 4.8 Curvas Força-Desloamento das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 10 Figura 4.9 Representação da deormada da seção na ruína na viga de onreto armado reorçada om ibra metália. 107 Figura 4.10 Determinação dos índies de dutilidade global da viga ensaiada por Ashour et al. (1999). 109 Figura 5.1 Detalhamento da viga utilizada na análise paramétria. 116 Figura 5. Detalhe da malha utilizada na análise paramétria. 118 Figura 5.3 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d= Figura 5.4 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d = Figura 5.5 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d = Figura 5.6 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d = Figura 5.7 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d = Figura 5.8 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d = Figura 5.9 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = Figura 5.10 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = Figura 5.11 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão om Volume de ibras de 0,0%. 140 Figura 5.13 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a Figura 5.14 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a Figura 5.15 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a Figura 5.16 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 40 MPa. _ 144 Figura 5.17 Gráios Dutilidade Global x Relação l/d om = 70 MPa. 145

16 Figura 5.18 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 100 MPa. 146 Figura 5.19 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 40 MPa. 147 Figura 5.0 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 70 MPa. 148 Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 100 MPa. 150 Figura 5. Comparação das Resistênias à Compressão através dos Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras. 15 Figura 8.1 Superíie de Tresa e Von Mises no plano desviatório (Proença, 1989). _ 169 Figura 8. - Mohr-Coulomb modiiado no sistema σ-τ (Proença, 1988). 17 Figura Círulo de Mohr-Coulomb (Proença, 1989). 173 Figura Representação no plano meridiano r-ξ, (Proença, 1988). 175 Figura Projeção no plano desviatório do hexágono irregular (Proença, 1988). 176 Figura Representação da superíie de Druker-Prager (Proença, 1988). 177 Figura 8.7 Comparação, no plano σ 1 σ, entre os ones de Druker-Prager insritos e irunsritos à pirâmide de Mohr Coulomb (Proença, 1989). 179 Figura Aspeto da superíie de plastiiação num plano meridiano (Proença, 1988). 181 Figura Representação da superíie de Chen-Chen no sistema σ 1 σ (Proença, 1988). 183 Figura Representação no plano anti-esério da superíie de Willam-Warnke (Proença, 1988). 184 Figura Traçado elíptio da superíie de ruptura de 0 θ 60º (Chen, 198). 188 Figura Violação das ondições de onvexidade da superíie (Proença, 1988). 188

17 Lista de Tabelas Tabela.1 Propriedades ísias e meânias das vigas experimentais utilizadas nas modelagens de Gamino (003). 45 Tabela. Valores dos oeiientes 1 e para a determinação de 1 e, utilizados nas modelagens de Padmarajaiah e Ramaswamy (00). 54 Tabela.3 - Propriedades dos materiais da viga ensaiada por Craig (1987). 58 Tabela.4 Propriedades das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). 60 Tabela.5 Detalhe das malhas utilizadas nas viga modeladas por Hemmy (00). 63 Tabela 3.1 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Araújo (00). 76 Tabela 3. Detalhamento da malha da viga V1, ensaiada por Araújo (00), otas em m. 77 Tabela 3.3 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Ribeiro (1996). 80 Tabela 3.4 Detalhamento das malhas das vigas R e 3A ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. 81 Tabela 3.5 Detalhamento das malhas das vigas 3B, ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. 81 Tabela 3.6 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud por Gamino (003). 85 Tabela 3.7 Detalhamento da malha utilizada nas vigas 1, e 3, ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003), otas em m. 85 Tabela 3.8 Valores da oesão () e ângulo de atrito (φ) obtidos pelas equações deduzida por Proença (1988) e Chen (198). 86 Tabela 4.1 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). 94 Tabela 4. Detalhe das malhas utilizadas, na viga ensaiadas por Craig (1987). 97 Tabela 4.3 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Craig (1987). 97 Tabela 4.4 Caraterístias meânias das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 100 Tabela 4.5 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 105 Tabela 4.6 Variação dos Momentos Experimentais, Analítios e Numérios, das vigas ensaiada por Ashour et al. (000). 106

18 Tabela 4.7 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Mansur et al. (199). 110 Tabela 4.8 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Ezeldin; Balaguru; (199). 111 Tabela 4.9 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999). 11 Tabela 4.10 Médias e Desvios Padrões utilizando dos ritérios de parada de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999). 11 Tabela 5.1 Valores das araterístias meânias das vigas utilizadas na análise paramétria. 117 Tabela 5. Comparação dos momentos analítios om os momentos numérios. 119 Tabela 5.3 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Mansur et al. (1999). 11 Tabela 5.4 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Ezeldin; Balaguru (199). 1 Tabela 5.5 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de. Abdul- Ahad; Aziz (1999). 14

19 Lista de Símbolos Símbolos Maiúsulos A A e A A s C v E E s E s F ult I 1 J J 3 Constante Área da seção transversal do elemento inito de onreto Área da seção transversal da ibra de aço Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração Coeiiente de Amorteimento Módulo de elastiidade longitudinal do onreto Módulo de elastiidade longitudinal seante do onreto Módulo de elastiidade longitudinal do aço Força última Primeiro invariante do tensor de tensões Segundo invariante do tensor desviatório de tensões Tereiro invariante do tensor desviatório de tensões [K ] Lei onstitutiva do onreto L Comprimento da viga M n Momento resistente da seção transversal M u,anl. Momento último analítio M u,exp. Momento último experimental M u,num. Momento último numério N e N e Força normal no elemento inito Força normal no elemento inito om a opção rebar

20 N N e R R RI R s R T T V Vol W Quantidade de ibras por unidade de área da seção transversal de onreto Número de ibras por elemento inito Esorço Normal de Compressão do Conreto Esorço Normal do Conreto Reorçado om Fibras Índie de reorço das ibras Esorço Normal da armadura longitudinal Coeiiente adaptador desendente e minimizador Tensor de tensões Fator de minoração da tensão de tração Volume de Fibras metálias Volume de Fibras metálias Fração, em peso, de ibras adiionadas Símbolos Minúsulos b Largura Coesão do material 1 Coeiiente para a determinação das tensões 1 Coeiiente para a determinação das tensões d d Diâmetro equivalente da ibra de aço Altura útil da seção transversal d Fator de aderênia da ibra om ganho, igual a 0,75 e 1 Proundidade até o bloo de tração, a partir da ibra mais omprimida Função de plastiiação Resistênia última à ompressão para o estado biaxial de ompressão sobreposta na tensão hidrostátia Resistênia última à ompressão para o estado uniaxial de ompressão sobreposta na tensão hidrostátia

21 b Resistênia à ompressão Resistênia à ompressão biaxial Tensão de ompressão biaxial adimensional b t t,r t,in t,sp t * t, t,r t t u y h k k k l l h l/d r r 0 Resistênia à ompressão do onreto reorçado om ibras Resistênia à tração do onreto Resistênia à tração residual do onreto simples Resistênia inerior à tração do onreto simples Resistênia à tração indireta do onreto Resistênia à tração itíia do onreto reorçado om ibras ou resistênia à tração no onreto om ibras metálias quando surge a primeira issura. Resistênia à tração na lexão do onreto reorçado om ibras Resistênia residual de tração do onreto om ibras Resistênia à tração Tensão de tração adimensional Resistênia última a tração da ibra metália Resistênia ao esoamento da armadura longitudinal Altura total da viga de onreto armado Constante elástia de mola Tensão de isalhamento máxima Constante Comprimento equivalente da ibra metália Comprimento araterístio da issura Relação de orma das ibras metálias Invariante Parâmetro relaionado ao oeiiente k do one de Druker-Prager

22 w x x b Largura da abertura da issura Atura da linha neutra a partir da ibra mais omprimida Altura da linha neutra a partir da ibra mais omprimida para armadura balaneada Símbolos Gregos α α β β β t δ u δ y ε ε ε,lim ε t ε t,max ε u ε u ε e ε ε p ε s ε s φ Constante positiva relaionada à oesão e ao ângulo de atrito do material Fator de orientação das ibras Coeiiente de transerênia do ortante para issuras ehadas Fator que deine a altura equivalente do bloo de ompressão do onreto reorçado om ibras Coeiiente de transerênia do ortante para issuras abertas Desloamento último no meio do vão Desloamento quando iniia o esoamento da armadura longitudinal de tração no meio do vão Deormação Deormação do onreto Deormação limite espeíia do onreto à ompressão Deormação limite espeíia do onreto à tração Deormação última do onreto om ibras Deormação última do onreto Deormação última do onreto om ibras Deormação elástia do onreto Deormação do onreto reorçado om ibras Deormação plástia do onreto Deormação da armadura longitudinal de tração Deormação espeíia do onreto reorçado om ibras Ângulo, em relação ao eixo y, que deine a direção do taxa de armadura

23 no elemento SOLID65 φ φ Diâmetro das barras da armadura Ângulo de atrito do material φ Meridiano de ompressão para θ = 60º φ t Meridiano de tração para θ = 0º φ u φ y γ Curvatura da viga relativa ao momento letor último Curvatura da viga relativa ao momento letor orrespondente ao iníio do esoamento do aço da armadura longitudinal de tração Fator que deine a intensidade da tensão de ompressão equivalente para o retângulo de tensão do onreto µ Coeiiente de dutilidade loal µ d Coeiiente de dutilidade global ν θ θ ρ ρ ρ b ρ b0 ρ ρ t ρ σ Coeiiente de Poisson Ângulo, em relação ao eixo x, que deine a direção do taxa de armadura no elemento SOLID65 Ângulo no plano de Nadai Taxa de armadura longitudinal Parâmetro de plastiiação Taxa de armadura balaneada Taxa de armadura balaneada sem armadura de ompressão Taxa de armadura longitudinal de ompressão Taxa de armadura longitudinal de tração Taxa de ibra metália no elemento SOLID65 Tensão normal σ 1 Tensão prinipal na direção 1 σ Tensão prinipal na direção σ 3 Tensão prinipal na direção 3

24 σ t σ h σ A σ y τ τ 13 τ m τ u ξ Tensão de tração máxima do onreto Tensão hidrostátia Tensão Normal Tensão de esoamento Tensão de isalhamento Tensão de isalhamento Tensão isalhante Tensão de arranamento da ibra metália na matriz a base de imento Invariante

25 Lista de Abreviações ABNT ACI UFG EESC USP CAR ND rebar Assoiação Brasileira de Normas Ténias Amerian Conrete Institute Universidade Federal de Goiás Esola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo Conreto de Alta Resistênia Número de Divisões Reinoring bar

26 1 Introdução O aumento nos vãos dos projetos arquitetônios e a neessidade de redução das dimensões das peças estruturais têm inentivado o uso mais reqüente do onreto de alta resistênia (CAR) na onstrução ivil. O seu emprego se justiia pelo ato de o mesmo apresentar uma resistênia à ompressão relativamente alta, maior durabilidade, menor permeabilidade e menor luênia quando omparado ao onreto onvenional o qual possui uma resistênia à ompressão até 50 MPa, segundo a NBR 6118:003 (ABNT, 003). O uso do onreto de alta resistênia, ontudo, apresenta um inonveniente que é a sua ragilidade, não reomendada em projetos estruturais. Não é reomendável a ruptura brusa em peças estruturais. Os elementos estruturais devem ser projetados para que soram grandes deormações e desloamentos antes que oorra o olapso loal ou global da estrutura, pois isso proporiona um aviso prévio antes da ruína (Gamino, 003; Gamino; Barbosa, 003). Elementos estruturais exeutados om onreto de alta resistênia são rágeis e neessitam de um aumento na deormação última do onreto. Estruturas rágeis possuem menor dutilidade. Alguns métodos podem ser utilizados para aumentar a dutilidade das peças de onreto armado exeutadas om onreto de alta resistênia, omo, por exemplo, utilização de armadura dupla, redução do espaçamento dos estribos ou orma dos estribos (Ho et al., 004). Outra orma de aumentar a dutilidade do material é a adição de ibras metálias, sem, é laro, reduzir a resistênia a ompressão do onreto. A Figura 1.1 ilustra o aumento da deormação última de ompressão do onreto na lexão, provoado pela adição de ibras metálias no onreto. Este aumento na deormação proporiona um aumento da urvatura da seção transversal, que oasiona um aumento na dutilidade da peça estrutural.

27 Capítulo 1 Introdução 4 Figura 1.1 Representação da urvatura da seção transversal para onreto sem ibras e onreto om ibras Segundo Aïtin (000), o aumento da dutilidade do material utilizando ibras metálias está relaionado om o aumento da deormação do onreto promovida pelas ibras, as quais provoam a plastiiação do mesmo. Essa plastiiação az om que oorra uma redistribuindo dos esorços e a manutenção dos mesmos nas vizinhanças de uma possível ruína. Portanto, as ibras metálias proporionam um aumento na energia dissipada e, prinipalmente, um aumento da deormação última do onreto, onorme é mostrado na Figura 1.. Figura 1. Curvas Força-Deormação para onreto de alta resistênia om ibras (Aïtin, 000).

28 Capítulo 1 Introdução Objetivo O presente trabalho tem por objetivo veriiar se a adição de ibras metálias ao onreto aumenta a dutilidade de vigas de onreto armado exeutadas om onreto de alta resistênia. Além disso, proura-se veriiar a validade de modelos meânios atualmente existentes na avaliação da resistênia à lexão de vigas de onreto reorçado om ibras. A análise será realizada empregando o programa omerial ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) baseado no método dos elementos initos. Pretende-se deinir uma metodologia de modelagem que permita o emprego deste programa na representação do omportamento de vigas de onreto reorçado om ibras quando são empregados modelos elastoplástios pereitos. A análise numéria deverá levar em onsideração as seguintes variáveis: a resistênia do onreto, a quantidade de ibras adiionadas (até um volume de,0%) e a relação de orma das ibras. Serão estudadas apenas ibras om ganhos nas extremidades. 1. Justiiativa A adição de ibras de aço à matriz à base de imento melhora algumas das araterístias do onreto omo, por exemplo, a tenaidade. As ibras de aço proporionam também um aumento da parela resistente ao isalhamento do onreto, tornando possível uma redução no uso de armadura transversal nas peças de onreto armado. Além disso, as ibras metálias proporionam um aumento na dutilidade do onreto de alta resistênia, o que resulta em um aumento das deormações e das lehas da estrutura antes da ruptura, tornando-a dútil e onduzindo a uma ruptura om aviso prévio. A análise empregando uma modelagem numéria, entre outras oisas, possibilita a redução de ensaios em laboratório, reduzindo substanialmente os ustos de pesquisa, e o estudo de um número maior de variáveis para o problema.

29 Capítulo 1 Introdução Estrutura do trabalho O presente trabalho está divido em 7 apítulos, organizados da seguinte orma: Capítulo 1: Introdução; Capítulo : Breve revisão sobre plastiidade em estruturas de onreto armado om ênase nos modelos onstitutivos empregados no trabalho. Em seguida, explia-se resumidamente o omportamento do onreto reorçado om ibras metálias e são apresentados os modelos meânios disponíveis na literatura para representação do omportamento à lexão das vigas reorçadas om ibras metálias. De orma suinta, é tratada a obtenção da dutilidade de peças estruturais, numeriamente e experimentalmente. Na seqüênia são apresentadas modelagens numérias de vigas reorçadas om ibras metálias. Ao inal são apresentadas as vantagens e desvantagens do programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) na modelagem de peças de onreto armado. Capítulo 3: Neste apítulo são realizadas modelagens de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia, todas sem ibras. Essas modelagens têm o objetivo de validar o modelo numério e as ténias para a sua realização. A validação das modelagens é realizada através da omparação dos gráios de Força-Desloamento om valores publiados em artigos, dissertações ou teses que possuem em seu esopo trabalhos experimentais. As prinipais variáveis analisadas nas modelagens são: tamanho do elemento inito, oesão, ângulo de atrito e módulo de elastiidade longitudinal do onreto. Capítulo 4: São realizadas as modelagens de vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias. Iniialmente são reeitas as modelagens de Hemmy (00). Neste trabalho o autor modelou vigas de onreto simples e armado, ambas reorçadas om ibras metálias, empregando programas baseados na meânia da ratura. A validação do modelo numério deste trabalho é realizada através da omparação om valores experimentais de vigas ensaiadas por diversos autores. Em seguida, é veriiada numeriamente, a inluênia da resistênia da matriz de imento na tensão de arranamento das ibras. Esta veriiação se dá utilizando as vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Utilizando as mesmas vigas são, veriiados ainda:

30 Capítulo 1 Introdução 7 A validade de modelos meânios para a determinação do momento último em vigas reorçadas om ibras, mostrados no Capítulo ; A validade do proesso de determinação da dutilidade de vigas de onreto armado através do índie de dutilidade global. Esta validação torna-se neessária pelo ato de o programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) não representar o eeito do amoleimento do onreto após atingido o pio de resistênia. Capítulo 5: É realizada a análise paramétria de vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias. São analisados três valores de resistênia: 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa. São onsiderados os seguintes volumes de ibras adiionadas ao onreto: 0,0%; 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%. São onsideradas as seguintes relações de orma (l/d): 48, 65 e 100. Na análise é veriiada a inluênia dessas variáveis no momento último e na dutilidade das vigas. A dutilidade é alulada utilizando três proessos para a determinação do esmagamento do onreto om ibras e o momento último é omparado aos valores obtidos nos modelos meânios. Estes três proessos para a determinação do esmagamento do onreto são denominados ritérios de parada. Capítulo 6: São apresentadas as diiuldades enontradas durante o trabalho e as onlusões. São também sugeridos possíveis temas para trabalhos uturos. Capítulo 7: Reerênias Bibliográias.

31 Revisão Bibliográia.1 Introdução O onreto é um material om omportamento meânio omplexo, visto que suas propriedades são unção também dos agregados, do imento, da orma de exeução, da orma de soliitação dentre outros. O mesmo é omposto por uma variedade muito grande de materiais dierentes (imento, areia, agregados e água). A oorrênia de miroissuras entre a pasta da matriz à base de imento e os agregados, a presença de água e a grande quantidade de poros avoreem, durante o arregamento, a oorrênia de issuras, que são as prinipais responsáveis pelo omportamento não linear do onreto (Pimenta; Silva, 003). Para a análise numéria do onreto armado é neessário o onheimento do omportamento do onreto tanto na tração quanto na ompressão. Em ambos os asos, essa representação é possível através de modelos onstitutivos baseados na teoria da plastiidade (Proença, 1988; Chen, 198). A teoria da plastiidade oi undamentada para a análise de materiais metálios. Então, azendo uma análise do omportamento do onreto, após uma situação de argadesaga-arga, onorme a Figura.1, é possível veriiar nitidamente duas regiões distintas (Proença, 1988). A primeira região é limitada superiormente por uma tensão de esoamento ( σ y ), araterizando o inal do regime elástio linear. Nesta primeira etapa, para suessivas situações de arga e desarga, umprindo ilos ompletos de tensão, o aminho perorrido é o mesmo, sem o apareimento de deormações residuais. A segunda região é araterizada omo regime plástio. Neste regime, representado na Figura.1a, é evideniado quando o orpo está soliitado por um nível de tensão σ > σ, o desarregamento não se dá mais pelo mesmo aminho perorrido no A y

32 Capítulo Revisão Bibliográia 9 arregamento, mas por um trajetória aproximadamente paralela ao do regime elástio. No nível nulo de tensão, oorre o surgimento de uma deormação residual denominada de deormação plástia. Conlui-se então que a deormação total, orrespondente ao nível de tensão σ A, é omposta de uma parela elástia, reuperável, e outra plástia, irreuperável. Prosseguindo om uma nova etapa de arga, o aminho perorrido é novamente linear, estendendo-se até um ponto B ao qual orresponde uma tensão maior que σ y. A partir daí a tendênia da urva é a de atingir a mesma região que seria deinida se o arregamento tivesse sido ontínuo, sem a primeira desarga. Nessa nova etapa de arga, a tensão de esoamento ( σ ) tem um novo valor deinido em unção do y apareimento da deormação plástia anterior. Esse enômeno é hamado de enruamento. O omportamento real é, por motivos de simpliiação da análise teória, idealizado pela orma mostrada na Figura.1b. Despreza-se o ilo de histerese apresentado a partir da suessão de arga-desarga-arga no regime plástio e admite-se que na nova situação de arga o regime elástio linear estenda-se até o nível de tensão σ A. (a) (b) Figura.1 - Comportamento plástio (Proença, 1988) A utilização de modelos plástios na modelagem de peças de onreto vem sendo utilizada omo uma orma simpliiada, pois a teoria da plastiidade não inorpora todas as araterístias do onreto após a issuração. Daí a neessidade de inorporar ao modelo plástio as teorias que onsiderem a issuração do onreto.

33 Capítulo Revisão Bibliográia 30 Para que se possam reproduzir os enômenos isolados do onreto, de tal modo que proporione resultados numérios satisatórios, é neessário levar em onta que na ompressão e na tração o onreto apresenta omportamentos distintos. A hipótese básia onsiste em desprezar o regime de amoleimento. O onreto na ompressão é onsiderado omo um material de omportamento elastoplástio om endureimento e dutilidade limitada. Na tração admite-se que o mesmo apresente ragilidade ao inal do regime elástio linear. A Figura. ilustra o omportamento uniaxial do onreto. Na tração o regime elastoplástio é limitado por uma tensão máxima. Já na ompressão, a prinipal araterístia é a dutilidade limitada por uma deormação máxima. Figura. - Comportamento Uniaxial do Conreto (Proença, 1988). A plastiiação observada no onreto em ompressão, por exemplo, no aso uniaxial para tensões entre 30% e 75% da tensão máxima de ompressão, é o resultado de um proesso de miroissuração (superação da oesão interna por eeito da tensão de isalhamento). Na tração, adotando o ritério da máxima tensão, a ruptura se dá por separação segundo uma superíie uja normal tem direção oinidente om a direção da maior tensão prinipal de tração. Nessa situação, arateriza-se uma perda na apaidade de arga do material através da redução total da tensão normal assoiada ao plano de ruptura. Na ompressão, por outro lado, a ruptura oorre om base no ritério da máxima

34 Capítulo Revisão Bibliográia 31 deormação por ompressão e reebe a denominação de esmagamento. O onreto nesta situação perde todas as suas araterístias de resistênia no ponto onsiderado. Deve-se observar que, nos asos unidimensionais, a ruptura aqui oneituada pode representar de modo bastante aproximado o enômeno ísio real. Nas situações de duas ou três dimensões, deve-se riar ritérios que representem o omportamento real. O mais utilizado é deinir superíies de plastiiação e ruptura no espaço das tensões prinipais e ompara-las om as resultantes de tensões atuantes na estrutura. No aso da ompressão, as superíies desritas no espaço das tensões deverão ser assoiadas a um ritério de deormação máxima para onigurar eetivamente a ruptura. Esse ritério é representado pela hamada superíie de esmagamento desrita no espaço das deormações. Uma hipótese adiional, reqüentemente utilizada para simpliiar a deinição das superíies, é a de admitir que o enruamento do onreto seja do tipo isótropo. Nessas ondições, suessivas superíies de plastiiação terão a mesma orma da superíie iniial de plastiiação, porém maior. Para mais inormações sobre modelos de plastiiação no onreto sugere-se onsultar, por exemplo, os trabalhos de Chen (198), Proença (1988) e Proença (1989). Em anexo a este trabalho é apresentada uma revisão suinta dos prinipais modelos de plastiiação que oram utilizados neste trabalho.. Comportamento Meânio do Conreto om Fibras Metálias Segundo Araújo (00) e Chunxiang; Patnaikuni (1999), a adição de ibras urtas ao onreto melhora a dutilidade, a resistênia ao impato, a resistênia à adiga, o ontrole de issuração, o omportamento pós-issuração e, em alguns asos, a resistênia à tração. Algumas dessas vantagens são sensíveis à quantidade e ao tipo de ibras adiionadas. As ibras, em quantidade, omprimento e ormato adequado, podem inorporar deormações plástias signiiativas à matriz, melhorando seu emprego na onstrução ivil, já que se pode alterar o omportamento pós-issuração e tornar menos brusa a ruptura do material.

35 Capítulo Revisão Bibliográia 3 A presença desontínua das ibras az om que oorra um obstáulo ao desenvolvimento das issuras. Quando as ibras intereptam o apareimento das miroissuras que surgem durante o endureimento da pasta, as ibras impedem sua progressão e evitam o apareimento prematuro das miroissuras. Na mistura endureida, a abertura e o omprimento das issuras também tornam-se menores. O meanismo básio do reorço devido as ibras deve-se à dierença na apaidade de deormação das ibras e da matriz. Iniialmente, ambas deormam-se onjuntamente até a ruptura da matriz quando a orça resistida pela matriz é transerida para as ibras. A idealização deste omportamento baseia-se na transerênia de tensões de aderênia entre a ibra e a matriz junto às issuras. Portanto, ele depende das propriedades da ibra e da matriz e, prinipalmente, da tensão de aderênia na interae entre elas. Segundo Naaman (1998) e Araújo (00) as ibras om ganhos nas extremidades possuem uma maior resistênia ao arranamento do que as ibras lisas e retas. As ibras lisas e retas perdem a aderênia rapidamente om o iníio do esorregamento da ibra. As ibras que possuem ganhos nas extremidades tendem a retiiar o ganho antes que oorra o esorregamento. Estas ibras proporionam um aumento muito grande na energia dissipada durante o ensaio de arranamento, Figura.3. Figura.3 Curva Tensão-Desloamento no ensaio de arranamento de ibras (Naaman, 1998).

36 Capítulo Revisão Bibliográia 33 Com relação ao aumento da resistênia à ompressão do onreto, as ibras raramente proporionam um aumento superior a 5%. Nas apliações usuais, a quantia é normalmente limitada a 0,75% (60 kg/m³). Para essa quantia de ibras, o aumento da resistênia a ompressão pode ser desprezado. Apenas quando a quantidade de ibra é maior que 1,5% (10 kg/m³) espera-se um aumento na resistênia. Em muitos asos, a resistênia pode até ser menor do que a do onreto sem a adição de ibras, uma vez que oorre a inorporação de vazios ao onreto quando as ibras são adiionadas (Araújo, 00). Para onretos onvenionais, as ibras podem trazer uma ontribuição na dutilidade. A adição de 0,75% (60 k/m³) de ibras de aço om ganhos nas extremidades é suiiente para proporionar uma boa dutilidade ao material, enquanto que para onretos de alta resistênia é neessário a adição de 1,5% (10 kg/m³) para proporionar uma dutilidade semelhante. Conorme Araújo (00), o ator de orma e a relação de orma, l/d, inluem na dutilidade do onreto à ompressão. Para as ibras lisas, o aumento do ator de orma resulta em um aumento da dutilidade do onreto, sendo seu limite deinido pela apaidade de misturá-las ao onreto. As ibras om ganhos nas extremidades proporionam maior apaidade de absorção de energia ao onreto que as ibras lisas. Nesse aso, o ator de orma também é importante, entretanto não é tão signiiativo quanto nas ibras lisas. Diversos autores trazem equações que tentam mostrar o omportamento à ompressão do onreto reorçado om ibras, inluindo o ramo de amoleimento do onreto ( strain sotening ). Neste trabalho são apresentadas, de orma resumida, algumas equações desenvolvidas para representar a urva Tensão-Deormação do onreto om ibras e que são utilizadas na determinação da dutilidade das vigas de onreto armado. São apresentadas apenas urvas desenvolvidas para ibras metálias om ganho nas extremidades, que é o tipo analisado neste trabalho. Ezeldin; Balaguru (199) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 35 MPa a 85 MPa. Foram empregadas ibras om atores de orma de 60, 75 e 100. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo:

37 Capítulo Revisão Bibliográia 34 σ = ε β ε,lim ε β 1+ ε,lim β (.1 ) onde: 3 β = + 1,55 para V = 0% (. ) 3,4 0, 96 ( ) β = 1, ,713 RI para V < 0,75% (.3 ) ε = 0,00 0, RI (.4 ), lim + RI l = W é o índie de reorço de ibras d Nestas equações (.1) a (.4), é a resistênia do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão (deormação máxima), e l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. O parâmetro W é a ração, em peso, de ibras adiionadas, que pode ser relaionada, de orma aproximada, om o volume de ibras por W 7850 = 400 V, onde V é o volume de ibras adiionadas. Hsu; Hsu (1994) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 6 MPa a 88 MPa. Foram empregadas ibras metálias om ator de orma de 60. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 1,0% (80 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo: σ nβ = nβ 1+ x nβ para 0 x x (.5 ) d σ ( 0,7( x x ) ) 0,8 d = 0,6e para x > xd (.6 ) onde:

38 Capítulo Revisão Bibliográia 35 x ε ε = (.7 ),lim 1 β = para onreto sem ibra (.8 ) 1 ε E,lim 3 β = + C para onretos om ibras (.9 ) A ( V ) 3 + 8, 501 A 1,717 e C 0,6 V +, 74 (.10 ) = =, lim = a1 + C1 ε para onreto om ibra (.11 ) E = a para onreto om ibra (.1 ) + C ε, lim = 0,00 e E = 4700 para onreto sem ibra (.13 ) Nestas equações, x d é a deormação, da urva tensão-deormação no ramo desendente, orrespondente à tensão de 0,6, é a resistênia a ompressão do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, E o módulo de elastiidade tangente iniial, e V o volume de ibras adiionadas. Os parâmetros n, a 1, a, C 1 e C são deinidos pelos autores em unção da resistênia do onreto e do volume de ibras adiionadas. Mansur et al. (1999) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 70 MPa a 10 MPa. Foram empregadas ibras metálias om ator de orma de 60. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 1,5% (10 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo: σ = ε β ε,lim ε β 1+ ε,lim β para ε ε, lim (.14 )

39 Capítulo Revisão Bibliográia 36 σ ε k1β ε,lim = para ε kβ > ε, lim (.15 ) ε k1β 1+ ε,lim onde: 1 β = (.16 ) 1 ε E,lim k 3 50 = 1 +, V 1 5,5 l d (.17 ) 1,3 50 k = 1 0, 11 V l d 1, 1 (.18 ) l 0,35 ε, lim = 0, , V d (.19 ) E 1 3 ( 400V ) = (MPa) (.0 ) Nestas equações, é a resistênia a ompressão do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, E o módulo de elastiidade tangenial iniial, V é o volume de ibras adiionadas, l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. Barros; Figueiras (1999) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 30 MPa a 60 MPa. Foram empregadas ibras metálias om atores de orma de 60 e 75. O volume de ibras adiionadas oi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo:

40 Capítulo Revisão Bibliográia 37 σ = ( 1 p q) ε ε ε + q ε,lim,lim ε + p ε,lim ( 1 q )/ p (.1 ) onde: q E E s = 1 p, 0 < + q < 1 1 q p, > 0 p (. ) ε = 0,00 + 0, 000 para l/d = 60 (.3 ),lim W ε = 0,00 + 0, 0006 para l/d = 75 (.4 ),lim W 0,394W p = 1 0,919e para l/d = 60 (.5 ) 0,144 W p = 1 0,7e para l/d = 75 (.6 ) Nestas equações, é a resistênia do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. O parâmetro W é a ração, em peso, de ibras adiionadas, que pode ser relaionada, de orma aproximada, om o volume de ibras por W o volume de ibras adiionadas = 400 V, onde V é A Figura.4 apresenta as urvas Tensão-Deormação para representar as equações mostradas. Conorme Araújo (00), em onretos onvenionais utilizando porentagens ineriores a 3% não oorre aumento signiiativo na resistênia à tração. Em onretos de alta resistênia, ontudo, a melhor aderênia entre a ibra e a matriz pode proporionar aumentos de até 00% na resistênia à tração.

41 Capítulo Revisão Bibliográia = 50 MPa Vol = 1,0% Ezeldin; Balaguru (199) Hsu; Hsu (1994) Mansur et al. (1999) Barros; Figueiras (1999) (MPa) Deormação ( ) Figura.4 Comparação entre as equações para o traçado da urva Tensão-Deormação..3 Modelo meânio para vigas letidas reorçadas om ibras Conorme o ACI 544.4R (ACI, 1988), muitos modelos meânios têm sido desenvolvidos para a avaliar a resistênia à lexão de elementos de onreto armado reorçados om ibras metálias. Alguns utilizam dados experimentais de laboratório enquanto outros utilizam a área de ontato ibra-matriz ou a lei de mistura, mas todos onsideram a distribuição aleatória de ibras na matriz de imento e a tensão de aderênia entre as ibras e a matriz. A determinação de um modelo meânio que orneça o momento último de uma viga reorçada om ibras submetida à lexão é eita de orma similar ao eito para uma viga de onreto armado submetida à lexão sem ibra. No entanto, é neessário que se avalie a ontribuição da ibra na resistênia à ompressão e à tração. A representação do equilíbrio de orças está mostrado na Figura.5, onde existe uma ontribuição do bloo de tração e uma ontribuição do bloo de ompressão do onreto.

42 Capítulo Revisão Bibliográia 39 Figura.5 Representação do equilíbrio de orças normais atuantes na seção transversal de uma viga reorçada om ibras metálias. relações: Da ompatibilidade de deormações de seção transversal, obtêm-se as seguintes ε x s = ε e x e x ( ε + ε ) s = (.7 ) ε sendo ε s a deormação do onreto om ibra metália e x a distânia da ibra de onreto mais omprimida até a linha neutra. A resistênia à tração residual do onreto om ibra,,, pode ser avaliada, t r segundo o ACI 544.4R (ACI, 1988), por: t r 3 l, = 7,7. 10 V τ u (MPa) (.8 ) d om valores de τ u e t, r em MPa.

43 Capítulo Revisão Bibliográia 40 Este valor para a tensão residual de tração do onreto om ibra,,, t r entretanto é subestimado. Dessa orma, neste trabalho será adotado o valor orneido por Abdul-Ahad e Aziz (1999), através da seguinte equação: t l, r = 0,8τ uv d (MPa) (.9 ) d Nessas equações τ u é a resistênia ao arranamento da ibra metália da matriz a base de imento, em MPa, aderênia da ibra om ganho, igual a 0,75. V o volume de ibras adiionadas e O momento resistente da seção é avaliado pela equação: d o ator de M n = R s β x d + R h e + β x ( ) e β x + M n = R s β x d + R h + e β x M n = β x As y d + t b h + e β x ( h e) (.30 ) A determinação dos valores de γ é realizada onorme a equação orneida por Abdul-Ahad e Aziz (1999): W. l γ = 0,85 + 0,03 d 0,88 (.31 ) 450 Aziz (1999): O valor do oeiiente β também pode ser obtido onorme Abdul-Ahad e W l β = 0,85 + 0,05 d 0,90 para 7, 56MPa 450

44 Capítulo Revisão Bibliográia 41 W. l. W l 7,58 0,85 0,05 1 0,5 β = + d + d 0,05 0, para 7,56 56, 16MPa β = 0,65 para > 56, 16MPa A deormação última do onreto orrespondente ao seu esmagamento é dada pela seguinte equação: W l ε, lim = 0, ,001 d 0,004 (.3 ) 450 Na equação (.3) a deormação máxima que o onreto reorçado om ibras pode atingir é de 4,0, sendo W 3, 7V a ração, em peso, de ibras adiionadas. Nestas equações V é o volume de ibras adiionadas, em porentagem, l o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. A determinação do valor de x deverá oorrer de orma iterativa, até que a seguinte ondição seja satiseita: R + R = R (.33 ) s ( h e) + A = γ.( x b t, rb s y β ). x = t, r b ( h e) + A γ β b s y (.34 ) Onde, uma vez equilibradas as orças normais na seção transversal, tem-se o valor de linha neutra e om este valor o momento resistente da seção pode ser obtido pela equação (.30)..4 Dutilidade de Vigas de Conreto Armado Segundo Farage (1995), a dutilidade é a apaidade que um material, uma seção, um elemento estrutural ou um sistema estrutural tem de se deormar plastiamente

45 Capítulo Revisão Bibliográia 4 sem perda substanial de resistênia. A dutilidade pode ser abordada para materiais, onreto e aço, para elemento estrutural e para estruturas. Este trabalho tratará a dutilidade do elemento estrutural, através de uma análise numéria. Nas vigas, a dutilidade depende não só das propriedades dos materiais utilizados, mas de outros parâmetros, omo: tipo de soliitação, geometria do elemento, ondições de ontorno e interação entre os materiais utilizados. Não há um ritério únio para deinir quantitativamente a dutilidade de uma determinada viga. Por esse motivo, é possível avaliar a dutilidade das vigas utilizando alguns índies que são normalmente utilizados para quantiiar a lexão de uma viga: o índie de dutilidade global, índie de dutilidade loal, µ. µ d, e o A dutilidade global é uma relação entre lehas, araterizada pela deormabilidade de uma viga omo um todo. Ela é inlueniada pelos seguintes parâmetros: vão, arregamento e tipo de apoios do elemento estrutural. O índie que determina a dutilidade global de uma estrutura é dado na equação (.39) e é obtido a partir de urvas do tipo Força-Desloamento do elemento, obtidas teoriamente ou a partir de ensaios. δ u µ d = (.35 ) δ y onde: δ u - o desloamento vertial máximo relativo à arga de ruptura. δ y - o desloamento vertial máximo relativo à arga orrespondente ao iníio do esoamento do aço da armadura longitudinal de tração. No trabalho de Ribeiro (1996) o desloamento orrespondente ao esoamento, δ y, é deinido omo sendo aquele orrespondente ao ponto de interseção, no diagrama Força Desloamento, da tangente ao treho elástio-linear om a reta plástia, Figura.6.

46 Capítulo Revisão Bibliográia 43 Figura.6 Curva Força Desloamento utilizada para a quantiiação da dutilidade global de vigas de onreto armado (Ribeiro, 003). A dutilidade loal é obtida utilizando urvas do tipo Momento-Curvatura obtidas de orma teória ou experimental. Neste aso, os parâmetros inluentes são apenas as araterístias da seção transversal e dos materiais. φ u µ = (.36 ) φ y sendo: φ u - Curvatura da viga relativa ao momento letor último; φ y - Curvatura da viga relativa ao momento letor orrespondente ao iníio do esoamento do aço da armadura longitudinal de tração. Conorme Gamino (003), a urvatura φ y pode ser obtida através do ponto de interseção de duas retas no diagrama Momento-Curvatura: uma ormada pelo ponto de origem e o ponto orrespondente a 75% do momento nominal (M n ) e a outra uma reta horizontal orrespondente ao momento nominal (M n ). O momento nominal, neste aso, orresponde à deormação de 3,5 na ibra mais omprimida da seção transversal, (Figura.7). Já a urvatura φ u e o desloamento δ u são obtidos no momento da ruptura do elemento estrutural.

47 Capítulo Revisão Bibliográia 44 Figura.7 Curva Momento-Curvatura utilizada para a quantiiação da dutilidade loal de vigas de onreto armado (Gamino, 003). Dentre os atores que inlueniam a dutilidade destaam-se: quantidade de armadura longitudinal traionada; tipo de aço (om patamar de plastiiação ou não) e a resistênia deste; tipo de armadura traionada (passiva e/ou ativa); presença ou não de armadura de ompressão; quantidade e arranjo de estribos; orma da seção transversal, om ou sem lange; relação entre dimensões lineares (eeito esala); resistênia do onreto; dentre outros. Gamino (003) e Gamino; Barbosa (003) realizaram um trabalho no qual oi analisada a dutilidade de vigas de onreto armado, exeutadas om onreto de alto desempenho, através de uma abordagem numéria. A determinação da dutilidade se deu através dos índies de dutilidade global ( µ d ) e de dutilidade loal ( µ ). Esses trabalhos analisaram seis variáveis que poderiam aetar a dutilidade de vigas de onreto: resistênia à ompressão do onreto, taxa geométria de armadura longitudinal de tração, tensão de esoamento das armaduras, espaçamento entre estribos, base do elemento estrutural e eeito esala. Foram avaliados dois asos de lexão simples, um om duas orças onentradas e outro om uma orça onentrada no meio do vão. Os resultados numérios oram omparados om resultados experimentais de seis vigas ensaiadas por outros pesquisadores. Foram utilizadas três vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003), denominadas vigas 1, e 3. As outras três vigas

48 Capítulo Revisão Bibliográia 45 utilizadas por Gamino (003) oram às vigas 1-R, -A e 3-B ensaiadas por Ribeiro (1996). As araterístias ísias e meânias das vigas enontram-se na Tabela.1. Tabela.1 Propriedades ísias e meânias das vigas experimentais utilizadas nas modelagens de Gamino (003). Viga (MPa) y (MPa) E (GPa) E s (GPa) 1 40, , 10,0 75, ,0 10, , , 10,0 1-R 8, ,1 -A 65, ,1 3-B 68, ,1 Os detalhes das vigas utilizadas nas modelagens de Gamino (003) estão mostrados nas Figuras.11 a.14. Figura.8 Detalhe das vigas 1, e 3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003). Figura.9 Detalhe da viga 1-R ensaiada por Ribeiro (1996).

49 Capítulo Revisão Bibliográia 46 Figura.10 Detalhe da viga -A ensaiada por Ribeiro (1996). Figura.11 Detalhe da viga 3-B ensaiada por Ribeiro (1996). Conorme Gamino (003), os resultados, em termos gerais, apresentaram boa onordânia entre os valores experimentais e os numérios. No entanto, o autor perebeu que as orças últimas numérias oram superiores aos resultados obtidos experimentalmente. O autor sugeriu que isto oorreu em unção da adoção da hipótese de aderênia pereita entre o aço e onreto, não havendo a possibilidade, portanto, de desloamentos relativos entre eles. Gamino (003) não enontrou um modelo onstitutivo para o onreto que englobasse todos os omportamentos do mesmo. O autor enontrou muitas diiuldades durante as modelagens para a determinação de um modelo omputaional que garantisse uma onormidade entre os resultados numérios e experimentais, e não apresentasse problemas de onvergênia. As modelagens realizadas por Gamino (003) proporionaram as seguintes onlusões:

50 Capítulo Revisão Bibliográia 47 Quando se manteve onstante a taxa de armadura longitudinal de tração, ρ ρ b, e ampliou-se o valor da resistênia à ompressão do onreto, observou-se um derésimo nos índies de dutilidade global e loal; O aumento da taxa geométria de armadura longitudinal de tração provoou uma diminuição na dutilidade; O aumento da tensão de esoamento das armaduras longitudinais de tração ausou uma redução na dutilidade das vigas de onreto armado; O aumento do espaçamento dos estribos ausou uma diminuição no desloamento último alançado pelas vigas, o que oasionou uma redução na dutilidade das mesmas; O aumento da base do elemento estrutural provoou um aumento na rigidez e nas orças de issuração. Isso ausou uma ampliação também dos valores últimos dos desloamentos e das urvaturas, o que onseqüentemente ausou o aumento dos índies de dutilidade global e loal. Observou-se que o estudo do eeito esala provoou um aumento na esbeltez na região de momento letor onstante. Isto proporionou um omportamento mais rágil nas vigas de onreto armado. Paralelamente a isso, o autor perebeu que os desloamentos e as urvaturas últimas permaneeram pratiamente onstantes, os desloamentos e as urvaturas, orrespondentes ao esoamento das armaduras longitudinais de tração, soreram um aumento, isto provoou uma queda nos índies de dutilidade global e loal. Ho et al. (004) realizaram a veriiação da dutilidade mínima em onretos de alta resistênia utilizando o índie de dutilidade loal, µ. Para tanto os autores variaram a resistênia à ompressão do onreto e a tensão de esoamento do aço. Ho et al. (004), apresentaram uma lista de normas onde a dutilidade mínima em vigas é presrita:

51 Capítulo Revisão Bibliográia 48 Norma Ameriana ACI 318, item : limita a taxa de armadura longitudinal de tração a um valor não maior que 0,75ρb. Norma Neozelandesa NZS 3101, item 8.4.: restringe a altura da linha neutra obedeendo a relação x 0, 75 para qualquer resistênia do onreto. x b Norma Britânia BS 8110, item : determina que seja seguida a relação x 0, 50 d para todos os onretos om MPa 100. Norma Européia EC, item ; determina a relação x 0, 45 d para onretos om < 50MPa e x 0, 35 d para onretos om MPa 50. Norma hinesa GBJ 11, item 6.3.: determina que seja seguida a relação x 0,35 d para todas as resistênias de onretos. Além destas normas internaionais, ita-se a norma brasileira: NBR6118 (003), item : limita a redistribuição de momentos e ondições de dutilidade, determinando a relação x 0, 50 d para onretos om 35MPa e x 0, 40 d para onretos om 35MPa < MPa 50. Ho et al. (004) estudaram o omportamento não-linear à lexão e a dutilidade das vigas de onreto armado através da variação da resistênia dos materiais. Os autores enontraram uma orma para determinar o índie de dutilidade loal das seções transversais das vigas sub-armadas e superarmadas. O índie de dutilidade oi determinado em unção de ( ρ ) t ρ ρ b0 ou x. Sendo, a relação ( ρ ρ ) x b t ρ b0 a representação da variação das taxas de armaduras de tração e ompressão em relação à taxa de armadura balaneada sem armadura de ompressão. A outra relação, x, representa a altura relativa x b da linha neutra em unção da altura da linha neutra da armadura balaneada. A armadura

52 Capítulo Revisão Bibliográia 49 balaneada orresponde à armadura determinada na ronteira entre os Domínios 3 e 4. Porém, as relações µ - ( ρ ) t ρ ρ b0 e x µ - x b dependem da resistênia do onreto e da resistênia do aço. As normas tratam de orma diereniada a dutilidade das peças, limitando a altura da linha neutra ou a taxa de armadura em unção da resistênia dos materiais. Os autores sugeriram um valor mínimo únio para o índie de dutilidade loal de µ = 3, 3que independe da resistênia do onreto. Baseado neste valor, é possível limitar o valor máximo da taxa de armadura ( ρt ρ ) de modo a garantir uma dutilidade mínima para as vigas de onreto armado..5 Modelagem numéria de vigas reorçadas om ibras metálias Conorme Simões e Napoleão Filho (1997), tem-se onseguido abriar onreto om resistênia à ompressão ada vez mais elevada e isso tem ausado uma redução da sua dutilidade que é um ator impresindível omo ritério de projeto. Tal ato é omprovado por ensaios de ompressão uniaxial de ilindros de onreto de dierentes resistênias. Isto impõe uma limitação ao uso do onreto de alta resistênia (CAR), que normalmente tem resistênias à ompressão,, maiores que 60 MPa. Isto torna o uso do CAR em estruturas de erto modo ompliado, prinipalmente naquelas onde o ritério prinipal de projeto é a dutilidade, omo as estruturas sujeitas a abalos sísmios, impatos e explosões. Por outro lado, a adição de ibras metálias ao onreto de alta resistênia é uma orma eiaz de aumentar a tenaidade desse material. O meanismo de reorço das ibras permite que uma maior parela de energia de deormação seja absorvida até a ruptura do onreto, suavizando sua resposta no treho pós-pio do diagrama tensãodeormação ( σ ε ), tanto na ompressão quanto na tração. Observa-se também que a presença das ibras proporiona um aumento na resistênia à tração e na deormação assoiada, retardando o iníio do proesso de issuração. Além disso, as ibras induzem uma distribuição de issuras mais gradual e uniorme (Simões, 1998). Desta orma, a adição de ibras metálias ao CAR possibilita a obtenção de um material om atributos avoráveis om relação à dutilidade e à apaidade de arga.

53 Capítulo Revisão Bibliográia 50 Estruturas exeutadas om esse material são, em geral, mais eiientes, devido à diminuição das dimensões dos elementos e à menor neessidade de armadura onvenional. Mas a alta de modelos onstitutivos para o CAR reorçado om ibras tem orçado o seu uso apenas em pavimentos e pisos. Padmarajaiah e Ramaswamy (00) realizaram um estudo para a determinação da resistênia à lexão de vigas de onreto armado e protendido exeutadas om onreto de alta resistênia reorçado om ibras de aço. A modelagem utilizou o programa ANSYS Release 5.5. Para simular o eeito das ibras de aço inseridas na matriz a base de imento, o trabalho oi dividido em duas partes: Primeiro: o estado de tensão mutiaxial do onreto reorçado om ibras oi simulado pela modiiação dos parâmetros usados para desrever a superíie de ruptura do onreto e as propriedades da urva tensãodeormação, σ ε. Segundo: as ibras, orientadas na direção do vão da viga, oram modeladas om elementos de treliça de modo que elas pudessem ombater as issuras do onreto, orneendo uma resistênia adiional através da ação e da ostura das ibras. Padmarajaiah; Ramaswamy (00) apresentaram uma disussão sobre modelagem de estruturas de onreto armado, ontendo uma visão dos atores que devem ser onsiderados em uma análise de estruturas de onreto. Estes atores são: orma da urva tensão-deormação do onreto, orma da superíie de ruptura do onreto, disretização das issuras (disretas e distribuídas), simulação de armaduras (disretas e distribuído) e orma da urva tensão-deormação da armadura. Nesse trabalho, os autores modelaram os abos de protensão, a armadura passiva e os estribos om elementos de treliça. A aderênia e o deslizamento entre o onreto e a armadura (ibras de aço, abos de protensão e as barras de aço) oram onsiderados neste modelo usando elementos de mola linear. Padmarajaiah; Ramaswamy

54 Capítulo Revisão Bibliográia 51 (00) utilizaram 15 vigas para a alibração do modelo numério, sendo oito totalmente protendidas e sete parialmente protendidas. Todas as vigas tinham resistênia à ompressão,, de 65 MPa. As variáveis analisadas oram: intensidade da protensão, volume de ibras (0%, 0,5%, 1,0% e 1,5%) e preenhimento da seção transversal (seção totalmente preenhida om ibras e seção parialmente preenhida om ibras). A relação de orma, l = 80, e a orientação das d ibras oram onsideradas onstantes. As vigas possuíam seção transversal de 10,5 m x 4 m e omprimento de 0 m. A orma de arregamento e os apoios estão mostrados na Figura.1. Foi modelado um quarto da viga empregando um modelo sólido isoparamétrio (SOLID65). Para simular os abos de protensão e a armadura de passiva, oi utilizado um elemento de treliça tridimensional (LINK8). A interae entre a armadura, os abos e o onreto oi modelada om o elemento COMBIN14 (Figura.13) om dierentes onigurações para apturar dierentes eeitos omo aderênia, deslizamento e arranamento das mesmas. O elemento COMBIN14 é um elemento que possui a apaidade de desloamentos longitudinais ou rotaionais em uma, duas ou três direções. A mola ou o amorteimento longitudinal é uma opção uniaxial do elemento de tração ou ompressão om até três graus de liberdade em ada nó: translação nas direções x, y e z. A opção de rotação nos nós proporiona mais três graus de liberdade: rotação sobre os eixos x, y e z. As ibras oram modeladas om um elemento de treliça tridimensional (LINK8). O volume de ibras presente ao longo do eixo longitudinal das vigas protendidas oi modelado expliitamente na zona de lexão. No aso das vigas ontendo ibras em toda a altura, as ibras oram modeladas apenas até a metade da altura e apenas na região de momento letor máximo entre as duas orças onentradas. A perda da aderênia entre as ibras e o onreto oi também simulada utilizando o elemento COMBIN14, que possui a propriedade de simular os eeitos de aderênia, perda de aderênia e arranamento.

55 Capítulo Revisão Bibliográia 5 Figura.1 - Detalhe das vigas ensaiadas (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). Figura.13 - Elemento de mola-amorteimento COMBIN14 (ANSYS Release 6.1, 000). A seleção do tamanho do elemento inito é um ator importante na análise de peças estruturais de onreto quando são empregados modelos de issuração distribuída (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). Neste estudo o tamanho do menor elemento inito oi deinido pelo tamanho do agregado graúdo, no aso 1,5mm.

56 Capítulo Revisão Bibliográia 53 O ritério de plastiiação adotado para o onreto oi o de ino parâmetros de Willam-Warnke. Foram orneidas apenas duas propriedades para o material: resistênia uniaxial à tração ( t ) e resistênia uniaxial à ompressão ( ). Os valores oram obtidos a partir da média dos resultados dos ensaios de araterização do onreto. Os outros três parâmetros restantes do ritério de Willam-Warnke, resistênia à ompressão biaxial = 1, ), resistênia à ompressão para o estado biaxial de ompressão sobreposta ( b om a tensão hidrostátia ( 1, 45 1 = ) e resistênia à ompressão para o estado uniaxial de ompressão sobreposta na tensão hidrostátia ( sendo os valores padrão do programa ANSYS. 1, 75 = ) oram tomados omo Para os elementos de onreto reorçado om ibras, os valores da resistênia à tração do onreto reorçado om ibras, t reorçado om ibras,, e da resistênia à ompressão do onreto, oram obtidos de resultados de ensaios para dierentes volumes de ibras. A resistênia biaxial de ompressão ( b ) oi obtida através dos resultados experimentais de Yin et al. (1989). Yin et al. (1989) adotaram = 1, para onretos b om volumes de ibras iguais a 0,0% e 0,5%, e de ibras iguais à 1,0% e 1,5%. = 1, 65 para onretos om volumes b Os outros dois parâmetros restantes, 1 e, do ritério de Willam-Warnke oram determinados por tentativa e erro, onsiderando a presença das ibras em um estado de tensão hidrostátio ( σ h = 3 ), (Chern et al,.199). Estes dois valores oram determinados para pontos da superíie de ruptura, para ada volume de ibras, onorme as equações (.37) e (.38). Os valores dos oeiientes 1 e estão mostrados na Tabela.. 1 = 1 (MPa) (.37 ) = (MPa) (.38 ) O oeiiente de transerênia de isalhamento para issuras abertas ( β ) oi tomado om uma variação de 0,1 a 0,5, enquanto que o oeiiente de transerênia de isalhamento para issuras ehadas ( β ) oi tomado om uma variação de 0,7 a 0,9. A t

57 Capítulo Revisão Bibliográia 54 grande variação nestes valores se deu pelo ato de as ibras ontribuírem de orma signiiativa para a transerênia de esorços de isalhamento pelas issuras. Tabela. Valores dos oeiientes 1 e para a determinação de 1 e, utilizados nas modelagens de Padmarajaiah e Ramaswamy (00). V 1 0,0% 1,450 1,75 0,5% 1,674 3,60 1,0% 13,071 7,689 1,5% 17,000 10,000 A quantidade de ibras inluenia a resistênia à tração do onreto, pelo menos parialmente. Assim, a quantidade de ibras presente na viga em seu sentido longitudinal é avaliado, de orma probabilístia, por aproximação (Padmarajaiah e Ramaswamy, (00)). A quantidade de ibras por unidade de área da seção transversal da viga é dada pela equação (.39). N V = α (.39 ) A sendo: α = ator de orientação das ibras, variando de 0,41 a 0,8 (Soroushian; Lee, 1990); V = volume de ibras; A = Área da seção transversal da ibra de aço ( π d / 4 ). A orientação das ibras no onreto e, onseqüentemente, o número de ibras por unidade de área da seção transversal são inlueniados não apenas pela restrição de ronteira à orientação aleatória das ibras, mas também pelo ato de que as ibras tendem a se assentar e a se orientar na direção horizontal quando o onreto é vibrado durante o lançamento (Soroushian; Lee, 1990). Como resultado da vibração, as ibras se movimentam e passam da distribuição em três direções para uma distribuição em duas direções. Por isso, o valor de α, baseado numa orientação -D das ibras, igual a 0,645 (Soroushian; Lee, 1990). Assim, o número de ibras por elemento inito é dado pela equação (.40).

58 Capítulo Revisão Bibliográia 55 N = αv A (.40 ) e e sendo: A e = área da seção transversal do elemento inito de onreto; V = volume de ibras. Conheido α, o número de ibras em ada elemento inito pode ser alulado para a malha de elementos initos, omo mostrado na Figura.14. Os elementos que iam na borda da seção transversal levam metade da área de ibras usadas no interior da malha de elementos initos. Conseqüentemente, nos elementos entrais ada nó reebe a área total de ibras de um elemento. O omportamento não linear das ibras oi introduzido no programa ANSYS omo uma urva Tensão-Deormação independe, onorme mostrado na Figura.15. Nesta igura também são mostradas as urvas Tensão-Deormação para as armaduras ativa e passiva e a lei onstitutiva para o deslizamento das ibras e das armaduras om relação ao onreto. Entre dois nós da malha podem existir até três elementos de treliça representando a ibra, a armadura ativa e a armadura passiva dependendo de sua loalização no interior da viga, onorme mostrado na Figura.15. Figura.14 - Área líquida empregada para alular a quantidade de ibras entre ada elemento inito da seção transversal da viga (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). A adição das ibras metálias aumenta a resistênia à issuração, a resistênia última e aumenta a deormação da viga. Nas urvas Força-Desloamento, na região póspio, oi observada uma modiiação devida à adição das ibras. Com o aumento do

59 Capítulo Revisão Bibliográia 56 arregamento, oorreu um aumento no desloamento e mais ibras oram submetidas à tração, sendo puxadas através das issuras. À medida que se apliou o arregamento, as issuras se propagaram na zona de lexão e,após o pio de resistênia, observou-se uma queda no arregamento. Figura.15 - Representação teória das ibras metálias no onreto protendido segundo Padmarajaiah e Ramaswamy, (00). As ibras oram eiientes, resistindo em todos os estágios de arregamento, da primeira issura até a ruptura. O aumento na resistênia à lexão das vigas totalmente protendidas devido à adição das ibras em toda a sua altura oi de 8%, 16% e 1% para os volumes de ibras de 0,5%, 1,0% e 1,5%, respetivamente. Comparando os valores das argas últimas experimentais om os valores das argas últimas numérios houve uma variação de aproximadamente 4,75%. O aminho das issuras, até a ruptura, prevista pelo método dos elementos initos oi oinidente om os resultados experimentais, mostrando

60 Capítulo Revisão Bibliográia 57 que a inluênia das ibras na resistênia do onreto, na dutilidade e no eeito de impedir a propagação das issuras oi bem modelado. Simões e Napoleão Filho (1997) e Simões (1998) utilizaram um modelo onstitutivo para onretos reorçados om ibras de aço baseado na ormulação hipoelástia ortotrópia na qual as relações tensão-deormação uniaxial equivalente do onreto simples são substituídas por equações adequadas ao aso de onretos om ibras. Os trabalhos de Ezeldin; Balaguru (199) sobre o omportamento de onreto om ibras sob soliitações de tração e ompressão servem de base para obtenção dessas equações. Adiionou-se também o oeiiente de retenção ao isalhamento devido ao engrenamento do agregado que oorre durante o proesso de abertura das issuras. Através dessas modiiações, os prinipais parâmetros de reorço oram introduzidos no modelo, tais omo a relação de orma das ibras e o teor de ibras na mistura. Simões e Napoleão Filho (1997) e Simões (1998) utilizaram o ritério de resistênia de Willam-Warnke deinido em unção das propriedades do onreto om ibras. A Figura.16 apresenta os diagramas equivalentes que orrespondem às relações estabeleidas para as respostas uniaxiais à tração e à ompressão do onreto om ibras. As urvas estão reeridas a um eixo prinipal de ortotropia. A alibração do modelo numério se deu através de uma viga, Figura.17, esolhida de uma série de treze vigas ensaiadas por Craig (1987) uja araterístias estão listadas na Tabela.3. Figura.16 - Diagramas σ xε uniaxial equivalente de onretos om ibras para os regimes a) tração; b) ompressão (Simões, 1998).

61 Capítulo Revisão Bibliográia 58 Tabela.3 - Propriedades dos materiais da viga ensaiada por Craig (1987). Desrição Valor Resistênia à ompressão da matriz à base de imento ( m ) 8,7 MPa Resistênia à ompressão do onreto om ibras ( ) 38,6 MPa Deormação assoiada à (ε ) 0,48% Resistênia à tração do onreto om ibras ( t ) 6,85 MPa Deormação assoiada à resistênia a tração do onreto (ε t ) 0,13% Módulo de elastiidade tangente iniial (E 0 ) 7 GPa Módulo de isalhamento tangente iniial (G 0 ) 11,5 GPa Coeiiente de Poisson (ν 0 ) 0,0 Fração Volumétria de ibras (V ) 1,75% Comprimento das ibras (l) 50 mm Diâmetro das ibras (d) 0,5 mm Resistênia ao arranamento das ibras (τ u ) 9,56 MPa Fração, em peso, de ibras (γ) 0,13% Tensão de esoamento da armadura longitudinal de tração ( y ) 448 MPa Para a modelagem da viga oram empregados 88 elementos initos no estado plano de tensão, sendo que ada elemento apresentava oito nós e dois graus de liberdade nas direções x e y. Já a disretização da armadura se deu utilizando 144 elementos de treliça om dois nós e dois graus de liberdade nas direções x e y. No vão entral da viga oi realizada uma disretização maior, visto que é o loal onde oorrem os maiores desloamentos. Considerou-se aderênia pereita entre o aço das armaduras e o onreto adjaente. Figura.17 Detalhe da viga ensaiada por Craig (1987). Conorme Simões (1998), os resultados enontrados na modelagem se mostraram bastantes oniáveis quando a urva numéria oi omparada om a urva experimental.

62 Capítulo Revisão Bibliográia 59 O autor veriiou um omportamento bastante similar entre a urva reerente à análise numéria e aquela reerente a análise experimental. Simões (1998) observou a inluênia das ibras sobre a distribuição de tensões pós-issuração, om o apareimento do patamar de tensões orrespondente à resistênia residual do onreto reorçado om ibras. Na ompressão o material oi apaz de deormar-se muito mais, antes de iniiar o proesso de esmagamento. Outro trabalho interessante sobre modelagem de onretos reorçados om ibras oi desenvolvido por Hemmy (00) e Vandewalle; Dupont (00). Em ambos os trabalhos, os autores empregaram programas omeriais de elementos initos para modelar vigas de onreto simples e armado, ambas reorçadas om ibras metálias. Os programas possuem em omum o ato de modelarem as issuras do onreto através do método de issuração distribuída. As vigas utilizadas para a alibração e a omparação dos resultados oram ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001) e eram submetidas a duas argas onentradas de intensidade F/, onorme a Figura.18 e a Figura.19. As propriedades das vigas estão mostradas na Tabela.4. Figura.18 - Detalhe da viga ensaiada sem armadura por Shnütgen; Erdem (001). Figura.19 - Detalhe da viga ensaiada, om armadura por Shnütgen; Erdem (001).

63 Capítulo Revisão Bibliográia 60 Tabela.4 Propriedades das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). Número Dimensões Volume de ibras + t, l (mm) das Vigas (h x b x L) m (MPa) Porentagem de (MPa) armadura longitudinal l/d 17 = x 0 x 80 33,6 50 kg/m³ (0,65%) + 0,00% 19 = 0 40 x 0 x 80 33,6 50 kg/m³ (0,65%) 0,5% A resistênia última da ibra à tração da ibra, u, é de 1000 MPa. 5, , Hemmy (00) empregou o programa ANSYS Release 5.7 em suas análises. A inlusão das ibras de aço se deu através da opção rebar (barras de aço) do elemento sólido isoparamétrio SOLID65. Este elemento, bem omo suas propriedades, é desrito no item.6. Hemmy (00) onsiderou que a resistênia à tração proporionada pelas ibras após a issuração podia ser representada por barras de aço loalizadas no entróide de elemento sólido. Na Figura.0 é mostrada a onsideração para modelagem das ibras de aço imersas no onreto. Figura.0 - Modelagem das vigas de onreto sem armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00).

64 Capítulo Revisão Bibliográia 61 ANSYS: Algumas onsiderações oram eitas para a modelagem das vigas no programa O modelo de rotação de issuras é admitido ixo; Foi utilizado o ritério de Willam-Warnke para representar o onreto na tração e na ompressão; O amoleimento do onreto na tração oi usado apenas para melhorar o proedimento de onvergênia (de menor importânia para a apaidade de arregamento), sendo restrito a até seis vezes a deormação de ruptura (ramo linear desendente), Figura.1. Figura.1 - Modelagem das vigas de onreto om armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00). Hemmy (00) ez algumas onsiderações sobre as desvantagens do uso do ANSYS para a modelagem de vigas de onreto om ibras. O seu trabalho mostrou que o programa oi apaz apenas de enontrar soluções na parte asendente da urva orçadesloamento da estrutura. Assim, o ANSYS não onseguiu implementar o ramo desendente da urva tensão-deormação do material. A urva de amoleimento do onreto na tração, disponível no programa, é usada apenas no proesso de onvergênia em ada etapa de arregamento. Finalizada uma etapa, a resistênia à tração na direção normal à issura é admitida omo nula antes da apliação de um novo inremento de arga. Sendo assim, não há ontribuição deste eeito na apaidade resistente da estrutura. No aso das vigas de onreto reorçadas om armadura longitudinal de tração, entretanto, este eeito não é signiiativo, uma vez que a armadura é disretizada expliitamente.

65 Capítulo Revisão Bibliográia 6 Para a implementação do modelo numério no programa ANSYS, oi utilizada uma resistênia à ompressão igual a 33,6 MPa. Esta resistênia oi obtida multipliando a resistênia à ompressão úbia medida em ensaios, 39,6 MPa, pelo ator 0,85. Dessa orma, ela representa, aproximadamente, a resistênia à ompressão ilíndria do onreto om ibras. No programa ANSYS, o módulo de elastiidade longitudinal do onreto oi determinado através de uma retroanálise de resultados experimentais de vigas reorçadas om ibras submetidas à lexão (Hemmy, 00). Esta retroanálise oi realizada para determinar o módulo de elastiidade do onreto já levando em onsideração a presença das ibras, uma vez que a presença das mesmas aumenta a rigidez do onreto. Para a retroanálise oi empregado um programa baseado no modelo de representação do onreto issurado por issuras distribuídas. Neste aso, entretanto, o programa permitia a deinição de uma urva Tensão-Abertura de Fissura ( σ w ) representativo do onreto, o que permitia a onsideração da energia de ratura do material. Adotando-se uma urva σ w bilinear e por um proesso de tentativa e erro, os autores determinaram as propriedades do material de modo que a urva numéria melhor se ajustasse à urva experimental. Foram obtidos para o módulo de elastiidade do onreto (E ) o valor de 30 GPa e para a resistênia à tração da matriz ( t ) o valor de 1,80 MPa. Estes valores oram admitidos omo representativos das vigas da Tabela.4. Foram utilizadas malhas quadradas, om omprimento e largura onstantes. A largura do elemento inito tridimensional oi onsiderada igual à largura da viga, 0m. As malhas utilizadas estão detalhadas na Tabela.5. A simetria da viga oi onsiderada em ambos os programas. Sendo assim, oi modelada apenas metade das vigas. A apliação da arga se deu om inrementos de desloamento no ponto de arga. Impondo-se o desloamento, oi medida a orça de reação e o desloamento no ponto médio do vão.

66 Capítulo Revisão Bibliográia 63 Tabela.5 Detalhe das malhas utilizadas nas viga modeladas por Hemmy (00). Malha Detalhe da Malha Malha Grossa Malha Fina O diagrama Tensão-Deormação da armadura oi obtido dos ensaios experimentais de Shnütgen; Erdem (001) e está representado na Figura.. Admitindo a mesma urva Tensão- Abertura da Fissura ( σ w ) (Figura.3), obtida da retroanálise válida para as vigas da Tabela.4, os autores determinaram uma urva Tensão-Deormação ( σ ε ) equivalente (Figura.4). Para tanto, eles dividiram a urvaσ w pelo omprimento araterístio da issura (l h ), neste aso admitido igual ao tamanho da malha. Os autores obtiveram, assim, uma urva σ ε om um ramo asendente e um ramo desendente (linear). Entretanto, o ANSYS não é apaz de modelar o amoleimento do onreto. Dessa orma o autor determinou uma resistênia à tração média equivalente (onstante) a ser usado na modelagem. O valor enontrado oi de,07 MPa, valor inerior ao enontrado no ensaio (0,7x4,13=,89 MPa). Apesar disso, os autores optaram por usar esse valor, e não o experimental.

67 Capítulo Revisão Bibliográia ,5 615,0 500 Tensão (MPa) Curva Bilinear Simpliiada 00 E s = MPa Deormação ( ) Figura. Relação tensão deormação da armadura om enruamento, Hemmy (00). Figura.3 Curva Tensão- Abertura da Fissura obtida da análise reversa (Hemmy, 00).

68 Capítulo Revisão Bibliográia 65 Figura.4 Curva Tensão-Deormação equivalente para o onreto reorçado om ibras metálias, para a malha ina (Hemmy, 00). Como já menionado, Hemmy (00) modelou as ibras empregando a opção rebar do elemento SOLID65. Isto implia que as ibras terão a mesma deormação do elemento SOLID65. As ibras oram modeladas omo um material elastoplástio om enruamento e a tensão de esoamento do material oi obtida da resistênia itíia à tração do onreto om ibras ( * t ). Esta resistênia é obtida igualando a deormação do onreto simples ( ε ) om a deormação do onreto reorçado om ibras ( ε ) (equação.41a). ε = ε (.41a) E t = * t E s = E * t s E t (.41 ) Para a resistênia à tração do onreto simples ( t ) oi utilizada a resistênia à tração na lexão do onreto om ibras (, ) obtida de ensaios. Dessa orma, a equação (.41) passa a ser esrita omo: t E * s t = t, (.4 ) E

69 Capítulo Revisão Bibliográia 66 A relação volumétria das ibras no onreto oi orneida realizando o equilíbrio de orças normais entre o elemento inito que representava o rebar e as orças normais que atuam no elemento inito de onreto. N e = N e ρ * Ae t = t, r A e t, r ρ = (.43 ) * t sendo: t (matriz+ibras)., r resistênia à tração direta residual do onreto om ibras * t resistênia à tração itíia do onreto reorçado om ibras. A urva tensão-deormação para as ibras obtida por Hemmy (00) é mostrada na Figura.5. A resistênia itíia obtida oi de 36 MPa. Para auxiliar no proesso de onvergênia, este valor oi aumenta em 10% até a ruptura. As urvas Força-Desloamento das vigas modeladas por Hemmy (00) estão mostradas nas Figuras.6 e.7. Nestas iguras estão representadas as orças últimas aluladas por RILEM TC-16 TDF (000), apud Hemmy (00). Hemmy (00) aonselha, mesmo apesar da possibilidade de se realizar alguns ajustes no programa ANSYS, não utilizar este programa para a modelagem do onreto reorçado om ibras. A invalidade de se trabalhar om o ANSYS, segundo Hemmy (00), está na neessidade de um programa de retroanálise para a determinação da resistênia à tração do onreto om ibras.

70 Capítulo Revisão Bibliográia , t* =36,0 MPa Curva Bilinear Simpliiada Tensão (MPa) E s = MPa Deormação ( ) Figura.5 Relação tensão-deormação itíia pra as ibras de aço para o ANSYS, Hemmy (00). Figura.6 Gráio Força-Desloamento viga sem armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00).

71 Capítulo Revisão Bibliográia 68 Figura.7 Gráio Força-Desloamento viga om armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00)..6 O Programa ANSYS O programa ANSYS trabalha om o proedimento básio do método dos elementos initos, que onsiste em dividir o meio ontínuo em elementos initos, ormular as propriedades de ada elemento, reunir as equações dos elementos para se obter o modelo disretizado da estrutura, apliar os arregamentos onheidos e espeiiar as vinulações do modelo. Resolve-se o sistema de equações algébrias resultantes, para então se alular todos os desloamentos desonheidos bem omo os valores de tensão e deormação desejados. Na modelagem de estruturas de onreto, as issuras podem ser representadas sob duas ormas distintas: issuração disreta e issuração distribuída (ou diusa). O modelo de issuração disreta, que não está implementado no programa ANSYS, é representado por uma distribuição dos elementos initos, azendo om que os nós não estejam ligados diretamente. Sendo assim, há a neessidade da oloação de elementos entre os nós que simulem as issuras e ao mesmo tempo deixe os elementos separados. Um problema é a neessidade do onheimento prévio do aminhamento da issura para que se possa separar a malha. Outro problema é o esorço omputaional envolvido, pois exige que a ada prolongamento da issura oorra um rearranjo da malha de elementos initos.

72 Capítulo Revisão Bibliográia 69 No ANSYS, o modelo de issuração distribuída onsidera as issuras distribuídas no elemento inito e loalizadas nos pontos de integração numéria. A prinipal vantagem deste modelo é a apaidade de manter a malha de elementos initos inalterada à medida em que as issuras se propagam. Entretanto, a inormação é limitada à deinição de uma região issurada, apresentando os valores médio dos ângulos de inlinação das issuras e de suas deormações. Como a preoupação é a de se poder levar em onta a inluênia das zonas issuradas no omportamento estrutural, o modelo distribuído ou diuso onstitui a opção mais onveniente no emprego do método dos elementos initos. Para a realização deste trabalho alguns trabalhos oram pesquisados para auxiliar na modelagem do onreto om o programa ANSYS. Dentre esses trabalhos se destaam: Araújo (00), Barbosa; Ribeiro (1997) e Pimenta; Silva (003)..6.1 Elementos Utilizados Dentre os vários ritérios de plastiiação existentes no ANSYS, serão utilizados, para as modelagens numérias das vigas de onreto armado om ibras e sem ibras metálias, os seguintes modelos onstitutivos: Von Mises, Druker Prager e Willam- Warnke. LINK8. Os elementos initos utilizados nas modelagens das vigas são: o SOLID65 e o O elemento SOLID65, Figura.8, é um elemento sólido isoparamétrio que pode ser modelado om ou sem armadura longitudinal ( rebar ). Este elemento é apaz de modelar issuras no onreto traionado e esmagamento de onreto omprimido. O elemento é deinido por oito nós, sendo que ada um apresenta três graus de liberdade: translações nas direções x, y e z. É um elemento que pode tratar a não linearidade do onreto através do ritério de plastiiação de Willam-Warnke, mas não representa o omportamento pós-pio do onreto. O elemento também é apaz de modelar os eeitos de deormação lenta (luênia) do onreto. O programa ANSYS trabalha om o modelo de Willam-Warnke reinado om

73 Capítulo Revisão Bibliográia 70 5 parâmetros, neste aso os meridianos do ritério são representados por urvas, Figura.9. É possível a adição de até três rebars no elemento SOLID65, os quais podem ter omportamento elastoplástio. Eles são apazes de resistir a esorços de tração e de ompressão, mas não resistem a esorços ortantes. A geometria, a loalização dos nós e as oordenadas do sistema estão mostradas na Figura.8. Figura.8 Elemento de onreto armado 3-D SOLID65 (ANSYS Release 6.1, 000). Figura.9 Peril de Superíie de Ruptura de Willam-Warnke utilizando pelo programa ANSYS (ANSYS Release 6.1, 000). O omportamento linear do onreto é representado pela lei onstitutiva (.44).

74 Capítulo Revisão Bibliográia 71 (1 ν ) ν ν ν (1 ν ) ν ν ν (1 ν ) E (1 ν ) K = (.44 ) (1 + ν )(1 ν ) (1 ν ) (1 ν ) [ ] Caso oorra o esmagamento ou a issuração do onreto, a matriz de rigidez elástia sore alguns ajustes (ANSYS Release 6.1, 000). Quando oorre a issuração nos pontos de integração, a matriz de rigidez elástia do onreto é modiiada através da introdução de um plano de ruptura na direção normal à issura. Um oeiiente de transerênia de esorços pelo plano da issura aberta ( β ) é introduzido para representar uma redução na resistênia ao isalhamento no plano da issura nos passos de arga subseqüentes. O oeiiente matriz de rigidez elástia do onreto. t β t é introduzido nos três últimos elementos da diagonal da Além do oeiiente de transerênia do esorço ortante para issuras abertas, é introduzido um outro oeiiente R, deinido omo uma inlinação, módulo seante, mostrada na Figura.30. O oeiiente R trabalha omo um adaptador desendente e minimizador, que varia em ada passo de arga, auxiliando na onvergênia da modelagem. Figura.30 Condição de Resistênia a Ruptura do Conreto (ANSYS Release 6.1, 000).

75 Capítulo Revisão Bibliográia 7 A Figura.30 apresenta uma nova variável, denominada ator de minoração da tensão de tração, T. O valor padrão desta variável, assumida pelo programa ANSYS, é de 0,6. Este valor pode ser alterado pelo usuário. Quando a issura está ehada, toda tensão normal de ompressão é transmitida através da issura. É deinido um oeiiente de transerênia de esorços pelo plano da issura ehada, β, semelhante ao oeiiente A modelagem do esmagamento no onreto utilizando o elemento SOLID65 oorre quando o material em um ponto sore uma ruptura devido a uma tensão de ompressão uniaxial, biaxial ou triaxial. No SOLID65, o esmagamento é deinido omo uma ompleta deterioração da integridade estrutural do material. Quando isso oorre é assumido que a ontribuição para a rigidez do ponto de integração de um elemento é desprezível. O elemento LINK8 é um elemento de barra que pode ser usado para uma variedade de apliações na engenharia. Dentre as utilizações mais omuns, destaam-se a modelagem de treliças, abos traionados, vínulos, molas, et. É um elemento tridimensional uniaxial om dois nós, que resiste a esorços de tração ou de ompressão. O mesmo possui três graus de liberdade em ada nó: translações nas direções x, y e z. Este elemento não resiste a esorços de lexão. O elemento pode sorer deormação plástia, luênia e grandes desloamentos. A geometria e a loalização dos nós estão mostradas na Figura.31. O elemento é deinido por dois nós, área da seção transversal, deormação iniial e propriedade dos materiais. β t.

76 Capítulo Revisão Bibliográia 73 Figura.31 - Elemento de barra 3-D LINK8 (ANSYS Release 6.1, 000).

77 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 3.1 Introdução Neste apítulo são apresentadas as modelagens numérias de vigas de onreto armado realizadas neste trabalho utilizando o programa ANSYS 6.1. O resultados obtidos nestas modelagens são omparadas om resultados experimentais de modo a validar o modelo numério. É analisada a inluênia da disretização da malha do elemento estrutural sobre os resultados numérios de issuração, plastiiação das armaduras e arga de ruína das vigas. Também é analisada a inluênia do ritério de plastiiação adotado para o onreto. O módulo de elastiidade longitudinal do aço utilizado, quando o mesmo não or orneido por ensaios de laboratório, é o valor sugerido pela NBR6118:003 no item (ABNT, 003), ou seja, E s = 10GPa. Para a resistênia a tração do onreto, quando a mesma não or orneida, será utilizado o valor araterístio inerior ( (ABNT, 003), dado pela equação (3.1): tk, in ), onorme o item 8..5 da NBR6118:003 t ( ),( ) 0,7 0,3 3, in = MPa ( 3.1 ) O oeiiente de Poisson (υ ) oi assumido, onorme o item 8..9 da NBR6118:003, igual a 0,. Neste trabalho são adotados para o oeiiente de transerênia entre issuras abertas ( β ) o valor de 0,3, e para o oeiiente de transerênia entre issuras ehadas t ( β ) o valor de 0,8, sugeridos por Padmarajaiah e Ramaswamy (00).

78 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 75 Todas as vigas oram modeladas utilizando o elemento SOLID65, do ANSYS Release 6.1. A armadura longitudinal oi modelada através da opção rebar ( reinoring bars ) deste elemento na qual onsidera-se a armadura omo uma taxa de volume do elemento inito. A dupla simetria existente nas vigas oi onsiderada de modo a reduzir o esorço omputaional. Para as ondições de ontorno da viga, os nós loalizados na seção do apoio reeberam restrições à translação vertial e os nós situados nos planos de simetria oram impedidos de transladar na direção normal à seção. O arregamento oi introduzido gradualmente, em subpassos de arga que variaram durante o proesso. Para a resolução dos sistemas não-lineares, oi utilizado o proesso de Newton-Raphson tradiional, ou seja, om atualização da matriz de rigidez a ada iteração. Para a realização deste apítulo oram onsultados os trabalhos, numérios e experimentais, dos seguintes autores: Dias et al. (00), ABNT (003), Araújo; Debs (000), Araújo (00), Nasimento (1996), Ribeiro (1996), Proença (1988), Chen (198), Pimenta; Silva (003) e Gamino (003). 3. Araújo (00) Neste trabalho o autor estudou o omportamento de vigas ompostas ormadas por viga e laje pré-moldadas de onreto. O objetivo do trabalho era araterizar a ligação viga-laje e analisar o omportamento à lexão das vigas ompostas om laje-pré-moldada de onreto. A ligação empregada entre a viga e a laje onsistia de onetores ormados por vergalhões de aço dobrados em orma de laço e anorados na viga pré-moldada. A onexão entre a viga e a laje pré-moldada era exeutada através de nihos previamente exeutados na laje pré-moldada, sendo a ligação realizada pelo preenhimento dos nihos om onreto de alta resistênia. Para a veriiação da onexão da viga om a laje pré-moldada, oram ensaiadas 5 vigas à lexão simples. Para que se pudesse azer uma avaliação da eiiênia da ligação, oi ensaiada uma viga monolítia denominada de viga V1. Essa viga serviu de parâmetro para as demais vigas ompostas. Após os ensaios das vigas ompostas, oram realizadas

79 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 76 modelagens numérias utilizando o ANSYS Release 5.5 de modo a representar numeriamente o omportamento das mesmas. Das ino vigas ompostas, oi esolhida apenas a viga V1, ujas dimensões e araterístias meânias estão mostradas na Figura 3.1 e na Tabela 3.1, respetivamente. O módulo de elastiidade longitudinal do onreto oi orneido por Araújo (00). Figura 3.1 Detalhe da Viga V1 ensaiada por Araújo (00). A viga V1, apesar de a taxa de armadura balaneada, ρ b, ser superior à taxa de armadura existente na mesma, a ruptura oorreu pelo esmagamento do onreto. Tabela 3.1 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Araújo (00). Viga (MPa) y (MPa) E (GPa) E s (GPa) 1 5,9 700,0 3,130 10

80 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 77 Para a alibração do modelo numério são analisadas nove malhas, de tal modo que se possa veriiar a inluênia do tamanho do elemento inito quando omparado aos valores experimentais de Araújo (00). Para representar as malhas utilizadas, assume-se que as mesmas apresentem um determinado número de divisões na direção longitudinal. Cada treho é dividido da seguinte orma: ND X1, ND X, ND X3. Já na altura, as malhas são divididas da seguinte maneira: ND Y1, ND Y, ND Y3. Os arranjos e as dimensões das malhas estão representadas na Tabela 3.. Nesta tabela, a malha 11 é a mais reinada e malha 33 é a mais grossa. Tabela 3. Detalhamento da malha da viga V1, ensaiada por Araújo (00), otas em m. Malha ND X1 ND X ND X3 ND Y1 ND Y ND Y O modelo reológio utilizado para representar o onreto oi o modelo de plastiiação de Willam-Warnke. O aço oi onsiderado om um omportamento elastoplástio pereito, utilizando para o mesmo o ritério de Von Mises. A Figura 3. mostra o omportamento da urva Força-Desloamento no meio do vão para as 9 malhas analisadas da viga V1 ensaiada por Araújo (00). Durante o iníio do arregamento é notada uma onvergênia entre os resultados experimentais e os numérios. Quando se iniia a issuração da viga experimental, a análise numéria não onsegue aompanhar tal tendênia, iando mais rígida. As malhas mais reinadas apresentam problemas de onvergênia, dierentemente das malhas menos reinadas que onseguem alançar resultados melhores.

81 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras Força (kn) Viga V1 (Araújo, 00) Experimental, F ult =395,75 kn Malha 11, F ult =8,67 kn Malha 1, F ult =67,37 kn Malha 13, F ult =1,00 kn Malha 1, F ult =79, kn Malha, F ult =154,98 kn Malha 3, F ult =354,91 kn Malha 31, F ult =33,1 kn Malha 3, F ult =386,84 kn Malha 33, F ult =437,00 kn ANSYS (Araújo, 00), F ult =419,64 kn Desloamento (mm) Figura 3. Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Araújo (00). As modelagens numérias são mais rígidas que a resposta experimental. O modelo de Willam-Warnke não atualiza o módulo de elastiidade longitudinal do onreto em ada passo de arga, pois o mesmo apresenta resposta elasto-rágil. Para ontornar este problema, utilizando na modelagem o material onreto, sugere-se a utilização do módulo de elastiidade seante, Figura 3.3. Araújo (00) sugere que o módulo de elastiidade seante, utilizando o modelo de Willam-Warnke, seja de 50% do valor do módulo de elastiidade tangente. Figura 3.3 Resposta Tensão-Deormação uniaxial do onreto: a) Conreto, b) Willam- Warnke.

82 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras Ribeiro (1996) Ribeiro analisou nove vigas de onreto armado de alta resistênia, variando a resistênia à ompressão e a taxa de armadura longitudinal. O objetivo do trabalho era avaliar a variação da dutilidade das vigas de onreto de alta resistênia quando eram variadas as taxas de armadura longitudinal e a resistênias do onreto. Da série de nove vigas ensaiadas por Ribeiro (1996), oram utilizadas três delas, Viga R, Viga 3A e Viga 3B, para a alibração do modelo numério. As dimensões das vigas estão mostradas na Figura 3.4, na Figura 3.5 e na Figura 3.6. As araterístias meânias das vigas estão mostradas na Tabela 3.3. Figura 3.4 Detalhe da Viga R ensaiada por Ribeiro (1996). Figura 3.5 Detalhe da Viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996).

83 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 80 Figura 3.6 Detalhe da Viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). Tabela 3.3 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Ribeiro (1996). Viga (MPa) y (MPa) E (GPa) E s (GPa) R 66,3 540,0,7 186,1 3A 89,5 540,0 6,5 186,1 3R 79,9 540,0 5,4 186,1 O modelo reológio utilizado para representar o onreto oi o modelo de plastiiação de Willam-Warnke. O aço oi onsiderado om um omportamento elastoplástio pereito, utilizando para o mesmo o ritério de Von Mises. Ribeiro (1996) não orneeu os valores dos módulo de elastiidade longitudinal do onreto. O mesmo oi obtido utilizando o valor do módulo de elastiidade tangente longitudinal do onreto sugerido no item 8..8 na NBR6118:003 (ABNT, 003). Para o módulo de elastiidade do onreto empregado na modelagem é também onsiderada a orientação de Araújo (00), onde o autor toma 50% do valor do módulo tangente. Para a alibração do modelo numério são analisadas nove malhas, de ada viga, de tal modo que se possa veriiar a inluênia do tamanho do elemento inito quando omparado aos valores experimentais de Ribeiro (1996). Para representar as malhas utilizadas, assume-se que as mesmas apresentem um determinado número de divisões na direção longitudinal. Cada treho é dividido da seguinte orma: ND X1, ND X, ND X3. Já na altura, as malhas são divididas da seguinte maneira: ND Y1, ND Y, ND Y3. Os arranjos e as dimensões das malhas estão representadas na Tabela 3.4 e Tabela 3.5. Nestas tabelas, a malha 11 é a mais reinada e malha 33 é a mais grossa.

84 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 81 Tabela 3.4 Detalhamento das malhas das vigas R e 3A ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. Malha ND X1 ND X ND X3 ND Y1 ND Y ND Y Tabela 3.5 Detalhamento das malhas das vigas 3B, ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. Malha ND X1 ND X ND X3 ND Y1 ND Y ND Y O problema de onvergênia nas malhas mais reinadas é também observado nas vigas R, 3A e 3B ensaiadas por Ribeiro (1996). No entanto, todas as modelagens

85 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 8 aompanham bem a urva experimental até a ormação das issuras, treho linear dos gráios apresentados nas iguras 3.15, 3.16 e O apareimento das issuras na viga R oorre para um arregamento de aproximadamente 58 kn (Figura 3.7). Veriia-se uma boa onordânia entre as urvas numérias e experimentais durante quase todo o arregamento, para as malhas menos reinadas. As argas de ruptura para as malhas 13, 3 e 33 são 47,84 kn, 45,7 kn e 4,6 kn, respetivamente. A relação média entre as argas de ruptura numéria e experimental é de 1, Força (kn) Viga R (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 68,00 kn Malha 11, F ult = 47,88 kn Malha 1, F ult = 5, kn Malha 13, F ult = 47,84 kn Força (kn) Viga R (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 68,00 kn Malha 1, F ult = 55,68 kn Malha, F ult = 58,8 kn Malha 3, F ult = 45,7 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Viga R (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 68,00 kn Malha 31, F ult = 47,88 kn Malha 3, F ult = 11,08 kn Malha 33, F ult = 4,6 kn Desloamento (mm) Figura 3.7 Curva Força-Desloamento da viga R ensaiada por Ribeiro (1996). O apareimento das issuras na viga 3A oorre para um arregamento de aproximadamente 50 kn (Figura 3.8). Veriia-se uma boa onordânia entre as urvas numérias e experimentais durante quase todo o arregamento, para as malhas menos reinadas. As argas de ruptura para as malhas 13, 3 e 33 são, respetivamente,

86 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras ,76 kn, 19,3 kn e 190,86 kn. A relação média entre as argas de ruptura numéria e experimental é de 1,15. A urva da Figura 3.9, que representa a viga 3B, apresenta um treho linear até aproximadamente 60 kn. Neste ponto a urva apresenta um ligeiro patamar de esoamento, seguindo depois uma tendênia não linear. Veriia-se uma boa onordânia entre as urvas numérias e experimentais durante quase todo o arregamento, para as malhas menos reinadas. As argas de ruptura para as malhas 3 e 33 são, respetivamente, 381,30 kn e 396,38 kn. A relação média entre as argas de ruptura numéria experimental é de 1, Força (kn) Viga 3A (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 0,00 kn Malha 11, F ult = 54,8 kn Malha 1, F ult = 55,18 kn Malha 13, F ult = 189,76 kn Força (kn) Viga 3A (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 0,00 kn Malha 1, F ult = 55,18 kn Malha, F ult = 55,18 kn Malha 3, F ult = 19,3 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Viga 3A (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 0,00 kn Malha 31, F ult = 77,18 kn Malha 3, F ult = 79,38 kn Malha 33, F ult = 190,86 kn Desloamento (mm) Figura 3.8 Curva Força-Desloamento da viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). Na maioria das modelagens, as malhas 13, 3 e 33 onvergiram para arregamentos maiores, lembrando que essas malhas possuíam na altura da viga uma

87 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 84 malha mais grossas. As modelagens om malhas mais inas na altura pararam a onvergênia em etapas de arregamento ineriores Força (kn) Viga 3B (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 414,00 kn Malha 11, F ult = 178,36 kn Malha 1, F ult = 78,64 kn Malha 13, F ult = 43,60 kn Força (kn) Viga 3B (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 414,00 kn Malha 1, F ult = 314,00 kn Malha, F ult = 363,88 kn Malha 3, F ult = 381,30 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Viga 3B (Ribeiro, 1996) Experimental, F ult = 414,00 kn Malha 31, F ult = 1,5 kn Malha 3, F ult = 338,60 kn Malha 33, F ult = 396,38 kn Desloamento (mm) Figura 3.9 Curva Força-Desloamento da viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). 3.4 Barbosa (1998), apud Gamino (003) Barbosa (1998), apud Gamino (003), ensaiou 03 vigas sendo uma de onreto onvenional e duas de onreto de alta resistênia. Outra variável analisada oi a taxa de armadura balaneada das três vigas. Seu trabalho tinha omo objetivo avaliar a dutilidade de vigas de onreto onvenional e de vigas de onreto de alta resistênia. O detalhe das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003), está mostrado na Figura.10. As propriedades meânias dos materiais reerentes às vigas 1, e 3 estão mostradas na Tabela 3.6.

88 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 85 Barbosa (1998), apud Gamino (003), orneeu o valor do módulo de elastiidade longitudinal do onreto. No entanto, oi seguida a reomendação de Araújo (00), sendo utilizado 50% do valor do módulo de elastiidade longitudinal orneido por Barbosa (1998), apud Gamino (003). Tabela 3.6 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud por Gamino (003). Viga (MPa) y (MPa) E (GPa) E s (GPa) b ρ 1 40,0 60,0 19,1 10,0,380% 75,0 830,0 1,0 10,0,197% 3 100,0 830,0 5,6 10,0,930% As análises anteriores mostraram que as malhas mais reinadas no sentido longitudinal e na altura apresentaram problemas de onvergênia. O tamanho do elemento inito oi tomado então igual ao das malhas mais grossas das modelagens anteriores. Para representar a malha utilizada, assumiu-se que a mesma apresentaria um determinado número de divisões na direção longitudinal. Cada treho oi dividido da seguinte orma: ND X1, ND X, ND X3. Já na altura, a malha oi dividida da seguinte maneira: ND Y1, ND Y. O arranjo e a dimensão da malha estão representados na.tabela 3.7. Este exemplo tem por objetivo veriiar a ontribuição do aoplamento do modelo elastoplástio de Druker-Prager ao ritério de ruptura de Willam-Warnke. Nesta assoiação, o omportamento do onreto à ompressão é representado pelo modelo de Druker-Prager e na tração pelo ritério de Willam-Warnke. A utilização do modelo de Druker-Prager se deu de duas ormas. O mesmo neessita de dois parâmetros: oeiiente de atrito e oesão, os quais oram determinados da seguinte maneira: Tabela 3.7 Detalhamento da malha utilizada nas vigas 1, e 3, ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003), otas em m. VIGA ND X1 ND X ND X3 ND Y1 ND Y 1, e

89 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 86 Segundo os valores reomendados por Proença (1988) para oesão (equação (3.3)) e para o ângulo de atrito (φ=37º), obtidos a partir de observações experimentais. = ( 3.) 4 Utilizando as equações deduzidas por Proença (1988) e Chen (198), equações (3.4) e (3.5), advindas da ormulação deste modelo: t φ = arsen ( 3.3 ) t + t 1 t t + = ( 3.4 ) t 1 t + A utilização dessas equações, resultou nos valores representados na Tabela 3.8. Para a resistênia à tração do onreto oi adotado o valor araterístio inerior da resistênia à tração direta ( tk, in 8..5 (ABNT, 003) mostrado na equação (3.1). ) reomendado pela NBR6118:003 no item Tabela 3.8 Valores da oesão () e ângulo de atrito (φ) obtidos pelas equações deduzida por Proença (1988) e Chen (198). Viga (MPa) t,in (MPa) (MPa) φ V1 40,0,456 4,956 6,166º V 75,0 3,735 8,369 64,840º V3 100,0 4,54 10,635 65,985º Os urvas (Figura 3.10, Figura 3.11, Figura 3.1) mostram os valores da urva Força-Desloamento das vigas V1, V e V3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003). Nas três análises é observado um omportamento elástio no iníio do arregamento, seguido logo após à ormação das issuras de um omportamento não linear da urva.

90 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras Força (kn) Viga 1 Barbosa (1998), apud Gamino (003) Experimental, F ult = 151,97 kn Willam-Warnke, F ult = 16,40 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.3 e φ=37º), F ult = 150,00 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.4 e 3.5), F ult = 150,00 kn Desloamento (mm) Figura Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003) Força (kn) Viga Barbosa (1998), apud Gamino (003) Experimental, F ult = 44,95 kn Willam-Warnke, F ult = 193,43 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.3 e φ=37º), F ult = 07,90 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.4 e 3.5), F ult = 04,4 kn Desloamento (mm) Figura 3.11 Curva Força-Desloamento da viga V ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003). Quando os modelos numérios possuíam apenas o ritério de plastiiação de Willam-Warnke, a onvergênia era interrompida logo após o iníio do esoamento da armadura A parada da onvergênia oorria pelo esmagamento do onreto. Quando se aoplou o modelo elastoplástio de Druker-Prager ao onreto e desabilitou-se o esmagamento do mesmo, o onreto passou a se omportar na ompressão omo elastoplástio pereito, o que permitiu uma maior deormação da viga após o esoamento da armadura.

91 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras Força (kn) Viga 3 Barbosa (1998), apud Gamino (003) Experimental, F ult = 68,71 kn Willam-Warnke, F ult = 198,37 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.3 e φ=37º), F ult = 07,88 kn Willam-Warnke + Druker-Prager (eq. 3.4 e 3.5), F ult = 07,53 kn Desloamento (mm) Figura 3.1 Curva arga-desloamento, viga V3 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino (003). A utilização da reomendação de Proença (1988) - valores experimentais da oesão obtida pela equação (3.3) e o ângulo de atrito φ=37º- ou das equações (3.4) e (3.5) não mostraram inluênia nas urvas Força-Desloamento. Ambas as urvas mostraram-se sobrepostas umas às outras. A dierença observada por Proença (1988), utilizando os valores experimentais e as equações (3.4) e (3.5), oi porque o autor admitiu o omportamento isolado do modelo de Druker-Prager. Neste trabalho aoplou-se o modelo de Druker-Prager ao modelo de ruptura de Willam-Warnke. 3.5 Considerações sobre as Modelagens Numérias O ANSYS não permite a inlusão da energia da ratura omo um parâmetro do material. Desse modo, quando se empregam modelos de issuração distribuída a resposta ia dependente da malha empregada. Malhas mais reinadas impliam em onsiderar uma menor energia de ratura para o material, logo elas interrompem o proesso de onvergênia para arregamentos ineriores aos observados em malhas mais grossas, Araújo (00). Isso pode ser observado nas vigas superarmadas, ρ > ρ, onde o ator b limitante da resistênia da peça estrutural é a resistênia do onreto e não o esoamento da armadura longitudinal de tração. As malhas mais grossas mostraram-se mais eiientes que

92 Capítulo 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 89 as malhas mais inas, pois as primeiras alançaram valores próximos aos valores experimentais. As malhas mais inas apresentaram diversos problemas de onvergênia durante o proessamento. As vigas normalmente armadas não apresentaram problemas de onvergênia, omo oi observado nas modelagens, prinipalmente nas vigas ensaiadas por Ribeiro (1996) onde urva Forças-Desloamento numéria apresentou boa aproximação om a urva experimental. Apenas nas malhas onde a altura da viga era mais reinada oram enontrados alguns problemas de onvergênia. Alguns atores podem ter ontribuído para inlueniar nos erros da modelagem. A própria heterogeneidade do onreto, que por muitas vezes aarretou em uma ineiiênia do modelo reológio adotado ou mesmo erros ligados às medidas de deormações e desloamentos. Para a esolha do tamanho da malha é neessário realizar um estudo de inluênia da malha, tanto na altura quanto no omprimento, tendo omo parâmetro de reerênia ensaios ou modelos analítios,. Outro problema enontrado oi a determinação por retroanálise de alguns parâmetros, omo por exemplo o módulo de elastiidade longitudinal, a resistênia à tração do onreto, dentre outros. Estes valores, na maioria dos trabalhos não eram orneidos. A utilização apenas do modelo de ruptura de Willam-Warnke aarretou problemas de onvergênia numéria. Este problema oi onstatado nas análises das vigas de Araújo (00) e de Ribeiro (1996). Para ontornar este problema aoplou-se o modelo elastoplástio de Druker-Prager na ompressão. Na tração oi mantido o modelo de Willam-Warnke. Este reurso proporionou um omportamento elastoplástio pereito nas modelagens das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003). A utilização do programa ANSYS no sentido de ampliar as análises realizadas pela investigação experimental mostra-se bastante útil. Contudo, nem sempre os programas omeriais são apazes de representar om idelidade todas as respostas experimentais. Então, tais programas devem ser utilizados om atenção, observando assim as suas limitações.

93 4 Modelagem de Vigas de Conreto Armado om Fibras 4.1 Introdução Neste apítulo é apresentado a metodologia esolhida para a modelagem de vigas de onreto armado reorçado om ibras. Elas são modeladas utilizando o modelo elastoplástio de Druker-Prager aoplado ao modelo de plastiiação sem resposta póspio de Willam-Warnke. Para isto são utilizados os valores reomendados por Proença (1988) para a oesão (equação 3.3) e o ângulo de atrito (φ=37º). A validação desta metodologia é realizada através da omparação om os resultados experimentais de Ashour et al. (000). É proposta uma metodologia alternativa, baseada em expressões empírias disponíveis na literatura, de modo a não ser neessária a realização de uma retroanálise para o emprego do programa ANSYS na modelagem de onretos om ibras, tal omo realizado por Hemmy (00) e mostrado no item.5 deste trabalho. Ela onsiste, basiamente, na representação das ibras omo uma ração do volume do elemento de onreto ( ρ ), dada pela equação (.43). Esta ração é deinida a partir do onheimento da resistênia residual à tração do onreto reorçado om ibras ( t, r ). Optou-se por usar para a resistênia residual o valor obtido da equação (.9) orneida por Abdul-Ahad; Aziz (1999) e também desrita no item.3. A equação (.9) ornee a resistênia à tração residual do onreto om ibras e sua representação gráia é mostrada na Figura 4.1. O valor da tensão de arranamento ibra-matriz ( τ u ) a ser usado pode ser obtido da sugestão de Lim et al. (1987), apud Kaneko (199), igual a 6,5 MPa e o ator de aderênia da ibra om ganho ( d ) é adotado igual a 0,75. Nesta expressão V é o volume de ibras e l/d a relação de orma da ibra.

94 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 9 Figura 4.1 Gráio Tensão-Deormação do onreto om ibras submetido à tração. Para o módulo de elastiidade longitudinal do onreto reorçado om ibras ( E ) é reomendado o emprego de metade do valor obtido pela equação (.0), orneida por Mansur et al. (1999). No Capítulo 3, as modelagens numérias oram mais rígidas que a resposta experimental. Para ontornar este problema, utilizando na modelagem o material onreto, sugeriu-se a utilização do módulo de elastiidade seante. Araújo (00) sugeriu que o módulo de elastiidade seante, utilizando o modelo de Willam-Warnke, seja de 50% do valor do módulo de elastiidade tangente. A resistênia itíia à tração do onreto om ibras ( * t ) é obtida a partir da reomendação de Hemmy (00) mostrada na equação (.4), sendo E s o módulo de elastiidade longitudinal da ibra. A resistênia à tração na lexão do onreto reorçado om ibras ( t, ) pode ser obtida da reomendação de Araújo (00), mostrada na equação (4.1) e (4.). 0,9 = ( 4.1 ) 0,7 t, t, sp ( 0,5 0, ) 31V t, sp = + ( 4. ) sendo t,sp a resistênia à tração indireta do onreto om ibras, V o volume de ibra orneido em porentagem e, a resistênia à ompressão do onreto orneida em MPa.

95 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 93 Este apítulo segue a seguinte ordem: Validação da metodologia de modelagem proposta; Determinação da tensão de arranamento entre a ibra e a matriz. Esta variável é importante para a determinação da orça última das vigas na modelagem numéria. É realizada a omparação entre os momentos últimos obtidos dos ensaios, das modelagens numérias e dos modelos meânios. Este último é obtido através das equações do ACI 544.4R (ACI, 1988) om os oeiientes de Abdul-Ahad; Aziz (1999). É realizada a omparação entre os índies de dutilidade globais ( µ ) obtidos dos ensaios e das modelagens numérias. E inalmente são realizadas as onsiderações inais reerentes a este apítulo. Para a realização deste apítulo oram onsultados os trabalhos, numérios e experimentais, dos seguintes autores: Abdul-Ahad; Aziz (1999), Chunxiang; Patnaikuni (1999), Hemmy (00), Ashour et al. (000), Shnütgen; Erdem (001), Kaneko (199), Craig (1987), ACI 544.4R (ACI, 1988), Mansur et al. (1999), Nataraja et al. (1999), Al- Taan et al. (1995) e Ezeldin; Balaguru (199). d 4. Validação da Metodologia de Modelagem de Conreto Reorçado om Fibras Conorme oi dito no item.5 Hemmy (00) modelou vigas de onreto armado utilizando o programa ANSYS Release 5.7. Basiamente, Hemmy (00) realizou retroanálises em outros programas para deinir uma urva Tensão-abertura de issura ( σ w ) representativa do material a partir da qual oi determinada a resistênia à tração residual do onreto om ibras ( ANSYS. t, r ). Esse valor oi usado na modelagem das vigas no

96 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 94 As vigas utilizadas para a alibração e omparação dos resultados oram ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001) e eram submetidas a duas argas onentradas de intensidade F/ ada uma, onorme a Figura.18 e a Figura.19. A propriedades das vigas estão mostradas na Tabela.4. A modelagem de Hemmy (00) utilizou as propriedades da Tabela.4. As demais araterístias meânias do onreto reorçado om ibras e da armadura longitudinal estão na Tabela 4.1. A segunda modelagem proposta onsiste em adotar omo resistênia à tração da matriz o valor araterístio inerior de resistênia à tração do onreto orneido pela NBR6118:003 (ABNT, 003), transrito na equação (4.3). ( ) 3 = ( 4.3 ) t, in 0,7.0,3. Tabela 4.1 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). Modelagem (MPa) t (MPa) E (GPa) t,r (MPa) t * (MPa) ρ y (MPa) Hemmy (00) 33,60 1,80 30,000,070 36,00 0, ,50 Este Trabalho 33,60,187 16,610 1,64 64,034 0, ,50 Aproveitando a simetria da viga, oi modelada apenas metade da mesma. A representação da armadura longitudinal de tração oi realizada usando o elemento LINK8. Este elemento oi disposto no interior da viga, ligado aos nós da malha do elemento sólido. Prourou-se, assim, garantir a ompatibilidade de desloamentos dos nós, resultando num modelo om aderênia pereita entre a armadura e o onreto. A Figura 4. mostra o gráio Força-Desloamento da viga ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). Esta viga não possui armadura longitudinal, sendo reorçada apenas om ibras metálias. Foi possível reproduzir a modelagem realizada por Hemmy (00). No entanto, a modelagem realizada neste trabalho apresentou uma erta disrepânia nos resultados. Observou-se que na ase iniial do arregamento, até aproximadamente 5,0 kn, a urva numéria oinide om a experimental e om a obtida por Hemmy (00). Após este arregamento, quando surge a primeira issura, é observada uma queda da rigidez do modelo numério. Isso oorre porque a taxa de ibras utilizada no elemento SOLID65 é inerior ao utilizado na modelagem de Hemmy (00).

97 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 95 A Figura 4.3 mostra novamente a representação da urva Força-Desloamento do trabalho de Hammy (00), só que desta vez a viga possui armadura longitudinal. O modelo numério usado por Hemmy (00) mostrou-se mais rígido que as vigas experimentais. Este ato pode ser expliado pelo ato de que na modelagem numéria, todos os elementos initos reebem uma parela de armadura da ibra metália a qual possui um módulo de elastiidade bastante superior ao módulo de elastiidade do onreto Força Máxima (RILEM TC-16 TDF (000), apud Hammy (00)) 40.0 Força (kn) Legenda Viga sem Armadura Experimental Malha Fina, valores de Hemmy (00) Malha Fina, valores deste Trabalho Malha Grossa, valores de Hemmy (00) Malha Grossa, valores deste Trabalho Desloamento (mm) Figura 4. Gráio Força-Desloamento da viga sem armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). A modelagem da viga om armadura longitudinal de tração empregando a metodologia aqui proposta apresenta uma melhor onordânia om os valores experimentais que a modelagem realizada por Hemmy (00). Entretanto a orça última da viga experimental é bastante inerior à orça alulada por RILEM TC-16 TDF (000), apud Hammy (00). As orças últimas numérias das modelagens de Hemmy (00) e a deste trabalho ultrapassam a orça máxima alulada.

98 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras Força Máxima (RILEM TC-16 TDF (000), apud Hammy (00)) 80.0 Força (kn) Legenda Viga om Armadura Experimental Malha Fina, valores de Hemmy (00) Malha Fina, valores deste Trabalho Malha Grossa, valores de Hemmy (00) Malha Grossa, valores deste Trabalho Desloamento (mm) Figura 4.3 Gráio Força-Desloamento da viga om armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). Em seguida, oi reproduzida a modelagem de Simões (1998), que simulou o omportamento de uma viga de onreto armado reorçado om ibras. A validação desta modelagem oi realizada omparando seus resultados om os do programa experimental onduzido no Instituto Tenológio de New Jersey, ujo relato aparee em Craig (1987). O detalhe da viga modelada está representado na Figura.17. As propriedades meânias dos materiais reerentes às vigas 1, e 3 são mostradas na Tabelas.3. Simões (1998) utilizou um elemento plano isoparamétrio para modelar a viga ensaiada por Craig (1987). A modelagem om um modelo de issuração utilizando o programa ANSYS somente oi possível utilizando o elemento SOLID65, que é um elemento tridimensional. Foram avaliadas algumas malhas, sendo a representação das mesmas mostrada na Tabela 4.. Para a determinação dos valores da taxa de ibras metálias oram utilizados os mesmos ritérios empregados nas modelagens das vigas de Hemmy (00). Os resultados estão mostrados na Tabela 4.3.

99 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 97 Tabela 4. Detalhe das malhas utilizadas, na viga ensaiadas por Craig (1987). Malha Detalhe da Malha Simões (1998) Malha Fina Malha Grossa Tabela 4.3 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Craig (1987). Modelagem (MPa) t (MPa) E (GPa) t,r (MPa) t * (MPa) ρ y (MPa) Deste trabalho 38,60,399 17,393 6,996 10,474 0, ,00 A arga última enontrada nas modelagens numérias iaram era de 7,5% aima da arga experimental. A modelagem pelo programa ANSYS resultou mais rígida que a modelagem realizada por Simões (1998). Quando se iniiou o esmagamento do onreto, o modelo numério não onseguiu aompanhar o eeito de amoleimento do onreto (strain sotening). Isto oorreu em virtude do aoplamento do modelo elastoplástio de Druker-Prager na ompressão e pelo ato de o programa ANSYS não possuir algoritmos que representem este omportamento.

100 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras Força (kn) Viga Craig (1987) Experimental - F ult =185,88 kn Malha usada por Simões (1998), Este Trabalho, F ult =194,45 kn Malha ina, Este Trabalho, F ult =00,00 kn Malha Grossa, Este Trabalho, F ult =199,76 kn Modelagem eita por Simões (1998) F ult =188,47 kn Desloamento (mm) Figura 4.4 Diagrama Carga-Desloamento, da viga ensaiada por Craig, (1987). 4.3 Determinação da Tensão de Arranamento Fibra-Matriz A im de se veriiar o aumento da arga última das vigas provoado pela adição de ibras no onreto, varia-se o valor da resistênia ao arranamento das ibras metálias, τ u. A tensão de arranamento das ibras varia om a resistênia da matriz à base de imento, om o tipo e om o ator de orma da ibra. O valor sugerido por Lim et al. (1987), apud Kaneko (199), não pode ser admitido omo onstante. Na ausênia de resultados experimentais, optou-se por realizar uma avaliação indireta para a obtenção de uma tensão de arranamento a ser utilizada na análise paramétria. A avaliação da inluênia da tensão de arranamento das ibras na arga última de vigas de onreto armado é eita através da omparação om os resultados experimentais de Ashour et al. (000). Ashour et al. (000) ensaiaram 7 vigas de onreto armado. O objetivo desta pesquisa era avaliar a inluênia das ibras metálias no momento de issuração experimental e teório através da variação do volume de ibras metálias, da taxa de armadura longitudinal e da resistênia à ompressão do onreto. Para avaliar a inluênia das ibras na inéria issurada, Ashour et al. (000) propôs uma modiiação na equação de Branson.

101 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 99 As variáveis analisadas oram: Resistênia à ompressão do onreto: variou de 49,0 MPa a 111,0 MPa; Taxa de armadura longitudinal de tração: 1,18%, 1,77% e,37%; Volume de ibras metálias: 0,0%, 0,5% e 1,0%. As ibras utilizadas eram metálias om ganhos nas extremidades e om relação de orma l/d=75. A armadura longitudinal de tração possuía uma resistênia ao esoamento igual a 530,0 MPa. Ashour et al. (000) lassiiaram as resistênias em três lasses: resistênia normal igual a 49,0 MPa (N), resistênia média igual a 79,0 MPa (M) e resistênia alta igual a 10,0 MPa (H). Foram modeladas as 7 vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). No entanto, para eeito de determinação da resistênia ao arranamento das ibras oram utilizadas apenas 6 vigas. O detalhe e as araterístias meânias das vigas estão mostradas na Figura 4.5 e na Tabela 4.4, respetivamente. Figura Detalhe geral das Vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Figura 4.6. A malha utilizada em todas as modelagens oi a mesma e está representada na Na Figura 4.7 observa-se que a variação da tensão de arranamento das ibras altera a razão entre a Carga numéria e a Carga experimental, P num Pexp. Entretanto, esta relação apresenta pequena variação ( <10% ) em um amplo espetro de variação da tensão de arranamento ibra-matriz, τ u. Com o objetivo de obter um valor araterístio para a

102 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 100 tensão de arranamento das ibras para ser usado na modelagem numéria, tomou-se neste gráio o menor valor da tensão ao arranamento das ibras que igualou a arga última numéria om a arga última experimental. No entanto, oi adotado o ritério de que a tensão de arranamento da ibra não osse menor que 5,0 MPa. Figura 4.6 Detalhe da malha utilizada na modelagem das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Tabela 4.4 Caraterístias meânias das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Viga A s ρ (A s /A ) % ρ b % V (%) (MPa) t, (MPa) t,sp (MPa) B-0,0-N φ18 1,18 3,64 0,0 48,61 5,64 3,69 B-0,5-N φ18 1,18 3,335 0,5 55,8 5,88 4,67 B-1,0-N φ18 1,18 3,894 1,0 65,16 7,95 6,7 B-0,0-N3 3φ18 1,77 3,64 0,0 48,61 5,64 3,69 B-0,5-N3 3φ18 1,77 3,335 0,5 55,8 5,88 4,67 B-1,0-N3 3φ18 1,77 3,894 1,0 65,16 7,95 6,7 B-0,0-N4 4φ18,37 3,64 0,0 48,61 5,64 3,69 B-0,5-N4 4φ18,37 3,335 0,5 55,8 5,88 4,67 B-1,0-N4 4φ18,37 3,894 1,0 65,16 7,95 6,7 B-0,0-M φ18 1,18 4,691 0,0 78,50 7,04 5,05 B-0,5-M φ18 1,18 4,899 0,5 81,99 7,4 6,01 B-1,0-M φ18 1,18 5,1 1,0 87,37 9,75 7,69 B-0,0-M3 3φ18 1,77 4,691 0,0 78,50 7,04 5,05 B-0,5-M3 3φ18 1,77 4,899 0,5 81,99 7,4 6,01 B-1,0-M3 3φ18 1,77 5,1 1,0 87,37 9,75 7,69 B-0,0-M4 4φ18,37 4,691 0,0 78,50 7,04 5,05 B-0,5-M4 4φ18,37 4,899 0,5 81,99 7,4 6,01 B-1,0-M4 4φ18,37 5,1 1,0 87,37 9,75 7,69 B-0,0-H φ18 1,18 6,119 0,0 10,40 9,36 5,59 B-0,5-H φ18 1,18 6,389 0,5 106,93 10,13 6,53 B-1,0-H φ18 1,18 6,659 1,0 111,44 11,3 8,13 B-0,0-H3 3φ18 1,77 6,119 0,0 10,40 9,36 5,59 B-0,5-H3 3φ18 1,77 6,388 0,5 106,91 10,13 6,53 B-1,0-H3 3φ18 1,77 6,659 1,0 111,44 11,3 8,13 B-0,0-H4 4φ18,37 6,119 0,0 10,40 9,36 5,59 B-0,5-H4 4φ18,37 6,389 0,5 106,93 10,13 6,53 B-1,0-H4 4φ18,37 6,659 1,0 111,44 11,3 8,13

103 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 101 Foi obtido o valor de 5,0 MPa para os volumes de ibras iguais a 0,5% e 1,0% om onretos om resistênia à ompressão de 55,8 MPa e 65,16 MPa, respetivamente. Para os volumes de ibras iguais a 0,5% e 1,0% e onretos om resistênia à ompressão de 81,99 MPa e 87,37 MPa, respetivamente, oi obtido uma resistênia ao arranamento das ibras igual a 6,5 MPa. No aso de onreto om resistênia à ompressão de 106,93 MPa e volume de ibras igual a 0,5% obteve-se uma resistênia ao arranamento das ibras igual a 5,0 MPa. Com resistênia à ompressão de 111,44 MPa e volume de ibras igual a 1,0% obteve-se a resistênia ao arranamento das ibras igual a 6,5 MPa. Na Figura 4.8 são mostradas as urvas Força-Desloamento numérias e experimentais, para as vigas ensaiadas por Ashour et al. (000), obtidas om estes valores de resistênias ao arranamento das ibras % % P num P exp 1.0 P num P exp % Legenda, Vigas om 0,5% de ibra l/d = 75 Viga B-0,5-N, m =55,8MPa % Legenda, Vigas om 1,0% de Fibra l/d = 75 Viga B-1,0-N, m =65,16MPa Viga B-0,5-M, m =81,99MPa Viga B-1,0-M, m =87,37MPa Viga B-0,5-H, m =106,93MPa Viga B-1,0-H, m =111,44MPa τ u (MPa) τ u (MPa) Figura 4.7 Gráios P num Pexp em unção da resistênia ao arranamento da ibra ( τ u ), modelagem das vigas de Ashour et al. (000). A modelagem numéria aompanhou bem as urvas experimentais, no entanto quando oorreu o esoamento da armadura, o modelo numério não onseguiu aompanhar o eeito de amoleimento do onreto, visto que o modelo numério possui um omportamento elastoplástio pereito. Em todos os modelos numérios oi possível identiiar om lareza a arga de ruptura das vigas. A variação no valor da resistênia ao arranamento das ibras obtido dos ensaios de Ashour et al. (000) oorreu em unção da variação da resistênia à ompressão e do volume de ibras. No entanto quando oorre um aumento na resistênia à ompressão do onreto há uma tendênia a aumentar a resistênia ao arranamento das ibras. Isso

104 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 10 oorre devido a um aumento da aderênia entre a matriz à base de imento e a superíie lateral das ibras Força (kn) Legenda Viga B-0,5 N, l/d = 75 = 55,8 MPa Experimental Modelagem om τ u =5,0MPa Força (kn) Legenda Viga B-1,0 N, l/d = 75 = 65,16 MPa Experimental Modelagem om τ u = 5,0 MPa Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) 60.0 Força (kn) Legenda Viga B-0,5 M, l/d = 75 = 81,99 MPa Experimental Modelagem om τ u = 6,5 MPa Legenda Viga B-1,0 M, l/d = 75 = 87,37 MPa Experimental Modelagem om τ u = 6,5 MPa Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) 60.0 Força (kn) Legenda Viga B-0,5 H, l/d = 75 = 106,93 MPa Experimental Modelagem om τ u = 5,0 MPa Legenda Viga B-1,0 H, l/d = 75 = 111,44 MPa Experimental Modelagem om τ u =6,5MPa Desloamento (mm) Desloamento (mm) Figura 4.8 Curvas Força-Desloamento das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000).

105 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 103 Nas vigas ensaiadas por Ashour et al. (000) não oi observado o eeito de amoleimento do onreto após o pio de resistênia. O apareimento de um patamar de esoamento no ensaio oorreu devido ao tipo de ensaio exeutado, ou seja, apenas om ontrole de orça. 4.4 Comparação dos Momentos Últimos Numério e Meânio O objetivo de modelar todas as vigas ensaiadas por Ashour et al. (000) oi validar a metodologia empregada na determinação do momento último numério quando se varia a resistênia à ompressão do onreto, o volume de ibras adiionadas e a taxa de armadura longitudinal de lexão. Para validar os resultados numérios também oi utilizado um modelo meânio para a determinação dos momentos últimos. O momento analítio oi obtido através das equações do ACI 544.4R (ACI, 1988), desritas no Capítulo deste trabalho, na qual oi utilizado o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) para a determinação da deormação última do onreto om ibras. Os parâmetros utilizados nas modelagens estão mostrados na Tabela 4.5. Para a determinação da resistênia à tração itíia do onreto reorçado om ibras oi utilizado o valor da resistênia à tração na lexão orneida por Ashour et al. (000). Os valores utilizados para a resistênia ao arranamento das ibras oram os mesmos enontrados no item anterior, pois o valor desta resistênia não depende da armadura, mas sim da resistênia à ompressão do onreto, da relação de orma e do volume das ibras. As relações entre os momentos experimentais, numérios e analítios estão mostrados na Tabela 4.6. Observa-se da Tabela 4.6 que, em média, a relação entre os momentos últimos tende ao valor unitário para uma ampla variação de resistênias à ompressão, volume de ibras e taxa de armadura longitudinal de tração. Foram obtidas as médias de 0,998 para a relação entre os momentos experimentais versus momentos analítios, de 0,949 para as relações entre os momentos experimentais versus momentos numérios e de 1,05 para as relações entre momentos numérios versus momentos analítios.

106 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 104 Analisando a inluênia do volume de ibras, são obtidas as médias de 1,017, 0,959 e 1,061 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 0,0%), de 1,008, 0,953 e 1,059 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 0,5%) e de 0,970, 0,940 e 1,039 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 1,0%). As médias são aeitáveis visto que as mesmas tendem ao valor unitário. Para as vigas de resistênia normal (lasse N) são obtidos as médias de 1,000, 0,945 e 1,045 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. Para as viga de resistênia intermediária (lasse M) são obtidos as médias de 0,995, 0,954, 1,044 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. Para as vigas de alta resistênia (lasse H) são obtidos as médias de 1,000, 0,953 e 1,049 para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. Observa-se também da Tabela 4.6 que o desvio padrão obtido para as relações entre os momentos é pequena (<10%) para uma ampla variação de resistênias a ompressão, volume de ibras e taxa de armadura longitudinal de tração. Formam obtidos o desvio padrão de,79% para a relação entre os momentos experimentais versus momentos analítios, de 4,1% para a relação entre os momentos experimentais versus momentos numérios e de 3,5% para a relação entre os momentos numérios versus os momentos analítios. Fazendo uma análise da inluênia do volume de ibras, são obtidos os desvios padrões de 3,00%, 4,95% e 3,67% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 0,0%), de 0,77%,,8% e 3,00% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 0,5%) e de 1,31%,

107 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 105 9,13% e 8,37% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente (volume de ibras de 1,0%). Os desvios padrões são aeitáveis visto que eles não ultrapassaram 10%. Tabela 4.5 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Viga (MPa) t (MPa) E (GPa) τ u t,r t * (MPa) (MPa) B-0,0-N 48,61, ,0 0,000 71,377 0,00000 B-0,5-N 55,8 3, ,0 1,153 6,76 0,01837 B-1,0-N 65,16 3, ,0,306 80,560 0,0863 B-0,0-N3 48,61, ,0 0,000 71,377 0,00000 B-0,5-N3 55,8 3, ,0 1,153 6,76 0,01837 B-1,0-N3 65,16 3, ,0,306 80,560 0,0863 B-0,0-N4 48,61, ,0 0,000 71,377 0,00000 B-0,5-N4 55,8 3, ,0 1,153 6,76 0,01837 B-1,0-N4 65,16 3, ,0,306 80,560 0,0863 B-0,0-M 78,50 3, ,0 0,000 70,110 0,00000 B-0,5-M 81,99 3, ,5 1,499 67,983 0,005 B-1,0-M 87,37 4, ,5,998 89,598 0,03346 B-0,0-M3 78,50 3, ,0 0,000 70,110 0,00000 B-0,5-M3 81,99 3, ,5 1,499 67,983 0,005 B-1,0-M3 87,37 4, ,5,998 89,598 0,03346 B-0,0-M4 78,50 3, ,0 0,000 70,110 0,00000 B-0,5-M4 81,99 3, ,5 1,499 67,983 0,005 B-1,0-M4 87,37 4, ,5,998 89,598 0,03346 B-0,0-H 10,40 4, ,0 0,000 81,615 0,00000 B-0,5-H 106,93 4, ,0 1,153 87,061 0,0135 B-1,0-H 111,44 4, ,5,998 95,158 0,03151 B-0,0-H3 10,40 4, ,0 0,000 81,615 0,00000 B-0,5-H3 106,91 4, ,0 1,153 87,066 0,0134 B-1,0-H3 111,44 4, ,5,998 95,158 0,03151 B-0,0-H4 10,40 4, ,0 0,000 81,615 0,00000 B-0,5-H4 106,93 4, ,0 1,153 87,061 0,0135 B-1,0-H4 111,44 4, ,5,998 95,158 0,03151 Para as vigas de resistênia normal (lasse N) são obtidos os desvios padrões de 4,01%, 10,05% e 9,04% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. Para as vigas de resistênia normal (lasse M) são obtidos os desvios padrões de,06%, 3,03% e,60% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. Para as vigas de alta resistênia (lasse H) oram obtidos os desvios padrões de,17%,,71% e,0% para as relações entre os momentos experimentais versus analítios, experimentais versus numérios e numérios versus analítios, respetivamente. ρ

108 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 106 Tabela 4.6 Variação dos Momentos Experimentais, Analítios e Numérios, das vigas ensaiada por Ashour et al. (000). Viga M u,exp. M u,anl. M u,num. M u,exp. / M u,anl. M u, exp. / M u,num.. M u,num.. / M u,anl. (kn.m) (kn.m) (kn.m) B-0,0-N 58,17 53,4 55,81 1,093 1,04 1,048 B-0,5-N 60,17 59,70 63,64 1,008 0,946 1,066 B-1,0-N 64,50 66,0 69,05 0,977 0,934 1,046 B-0,0-N3 77,08 77,08 83,17 1,000 0,97 1,079 B-0,5-N3 83,80 83,3 90,70 1,007 0,94 1,090 B-1,0-N3 87,7 89,78 95,89 0,977 0,915 1,068 B-0,0-N4 98,37 99,38 111,98 1,000 0,878 1,138 B-0,5-N4 103,98 104,90 113,0 0,991 0,919 1,079 B-1,0-N4 105,77 111,97 14,15 0,945 0,85 1,109 B-0,0-M 55,7 54,49 56,41 1,014 0,980 1,035 B-0,5-M 63,34 63,0 63,0 1,00 1,005 0,997 B-1,0-M 69,88 71,08 74,7 0,983 0,941 1,045 B-0,0-M3 80,86 80, 83,81 1,008 0,965 1,045 B-0,5-M3 89,6 88,3 91,7 1,015 0,98 1,033 B-1,0-M3 9,05 95,86 99,5 0,960 0,97 1,035 B-0,0-M4 103,77 104,91 113,34 0,989 0,916 1,080 B-0,5-M4 113,59 11,16 11,5 1,013 0,935 1,083 B-1,0-M4 115,7 119,48 14,03 0,968 0,933 1,038 B-0,0-H 55,89 54,97 55,86 1,017 1,001 1,016 B-0,5-H 6,60 6,30 63,1 1,005 0,990 1,015 B-1,0-H 69,5 7,7 74,69 0,958 0,97 1,033 B-0,0-H3 8,76 81,9 84,03 1,018 0,985 1,034 B-0,5-H3 89,84 88,43 91,44 1,016 0,983 1,034 B-1,0-H3 95,64 97,94 101,97 0,977 0,938 1,041 B-0,0-H4 108,10 106,8 115,1 1,01 0,939 1,078 B-0,5-H4 114,96 113,57 113,30 1,01 1,015 0,998 B-1,0-H4 10,61 1,68 19,00 0,983 0,935 1,05 Média ,998 0,949 1,05 Desvio Padrão ,79% 4,1% 3,5% Os modelos numérios e analítios são portanto válidos para a determinação do momento último de vigas de onreto armado om ibras. Os mesmos podem ser apliados para qualquer resistênia à ompressão do onreto ou volume de ibras. 4.5 Comparação da Dutilidade Numéria om Valores Experimentais A validação da dutilidade das vigas de onreto armado reorçadas om ibras metálias obtida da modelagem numéria é realizada através da omparação om valores experimentais obtidos das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Neste item é utilizado o índie de dutilidade global, deinido na equação (.35).

109 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 107 Não oi possível determinar o índie de dutilidade loal utilizando os resultados orneidos pelo programa ANSYS. A determinação do mesmo se dá através da obtenção da urvatura reerente ao esoamento da armadura longitudinal de tração e da urvatura no instante de ruptura. Após a determinação da seção plana equivalente, através de uma regressão linear, Figura 4.9, os resultados obtidos apresentaram poua oerênia. Foi onsiderada, também, a seção plana deormada da viga obtida ligando, através de uma reta, a deormação última do onreto e a deormação última da armadura longitudinal de tração. Esta seção plana não oinidiu om os pontos obtidos na deormada da seção transversal, e também proporionou resultados pouo oerentes. Figura 4.9 Representação da deormada da seção na ruína na viga de onreto armado reorçada om ibra metália. A determinação do índie de dutilidade global experimental, Figura 4.10, oi realizada através da interseção de uma reta tangente ao treho elástio-linear om uma reta tangente ao treho plástio. A interseção destas duas retas originou um ponto que representa o desloamento reerente ao esoamento da armadura longitudinal de tração, δ y. O desloamento máximo reerente à ruptura, δ u, oi obtido através do máximo arregamento, antes do iníio da ase de amoleimento do onreto. Na modelagem numéria, a inlusão do modelo elastoplástio de Druker- Prager para a representação do onreto omprimido provoa uma deormação exessiva, o

110 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 108 que inviabiliza a determinação do desloamento último. Por esse motivo, o desloamento último, δ u, é obtido em unção da deormação última do onreto ou do aço, o que aonteer primeiro. A im de se estabeleer uma metodologia para determinar o desloamento último das vigas de onreto reorçado om ibras, são utilizados três ritérios de parada. Eles são baseados na deormação última do onreto om ibras deinida por Mansur et al. (1999) dado pela equação (.19), por Ezeldin; Balaguru (199) dado pela equação (.4) e por Abdul-Ahad; Aziz (1999) dado pela equação (.3). É utilizado um outro ritério de parada para os onretos sem ibras. A deormação máxima do onreto é o valor sugerido pelo CEB-90 (CEB, 1991), para onretos om resistênia à ompressão entre 1 MPa e 80 MPa que reomenda uma deormação máxima de ompressão igual a 0,00. A deormação máxima adotada para a armadura longitudinal de tração é o valor reomendado pela NBR6118:003 (ABNT 003) igual a 0,010. Nas análises numérias, a determinação dos desloamentos reerentes ao esoamento da armadura longitudinal de tração, à deormação última do onreto ou à deormação última da armadura longitudinal de tração é eita através da interpolação linear dos valores obtidos pelo programa ANSYS, mostrado na Figura Nas Tabelas 4.7, 4.8 e 4.9 estão representados os valores dos índies de dutilidade global experimental e numério para os três ritérios. No ritério de Mansur et al. (1999) a prinipal variável da equação (.3) é a resistênia à ompressão do onreto. Esta equação não possui uma deormação mínima iniial para o onreto reorçado om ibras, por este motivo os valores enontrados de deormação são pequenos em relação aos ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul- Ahad; Aziz (1999).

111 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 109 Experimental Método Numério Figura 4.10 Determinação dos índies de dutilidade global da viga ensaiada por Ashour et al. (1999). As equações de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999) apresentam deormações iniiais para o onreto reorçado om ibras, sendo que a equação de Abdul-Ahad; Aziz (1999) é limitada a uma deormação máxima de 4,0, e a de Ezeldin; Balaguru (1999) não possui limites para a deormação máxima do onreto reorçado om ibras. As prinipais variáveis destas expressões são o volume de ibras adiionadas e a relação de orma das ibras. As médias e os desvios padrões, dos três ritérios, para representar a relação entre o índie de dutilidade global numério e o índie de dutilidade global experimental estão representados na Tabela Os desvios padrões da relação entre os índies de dutilidade global apresentam uma grande variação (>10%). Foram obtidos os desvios padrões de 1,87% (ritério de Mansur et al., 1999), de 4,18% (ritério de Ezeldin; Balaguru, 199) e de 4,9% (ritério de Abdul-Ahad; Aziz, 1999). As médias das relações entre os índies de dutilidade global não estão próximas a um valor unitário. Foram obtidas as médias de 0,79 (ritério de Mansur et al., 1999), de 0,786 (ritério de Ezeldin; Balaguru, 199) e de 0,841 (ritério de Abdul-Ahad; Aziz, 1999).

112 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 110 Tabela 4.7 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Mansur et al. (199). Experimental Numério Relação Viga δ u δ y µ d δ u δ y µ d Num/Exp B-0,0-N 30,56 19,00 1,608 3,39 18,54 1,747 1,086 B-0,5-N 46,06 0,00,303,5 18,6 1,10 0,55 B-1,0-N 31,04 19,00 1,634 5,07 18,7 1,339 0,80 B-0,0-N3 33,3 1,50 1,546 36,63 1,40 1,711 1,107 B-0,5-N3 34,43,50 1,530 0,97 1,6 0,986 0,644 B-1,0-N3 8,06 19,50 1,439,50 1,00 1,071 0,745 B-0,0-N4 33,41 3,00 1,453 37,47 4,73 1,515 1,043 B-0,5-N4 8,13,50 1,50 19,76 3,7 0,833 0,666 B-1,0-N4 34,98 6,00 1,345 1,46 3,5 0,93 0,686 B-0,0-M 9,8 17,50 1,673 8,1 17,13 1,64 0,981 B-0,5-M 58,73 18,50 3,175 7,10 17,9 1,51 0,476 B-1,0-M 38,74 18,00,15 7,49 17,9 1,534 0,713 B-0,0-M3 39,41 1,00 1,877,78 19,73 1,155 0,615 B-0,5-M3 5,1 1,00,48 5,08 0,34 1,33 0,497 B-1,0-M3 35,75 0,00 1,788 5,3 0,39 1,37 0,69 B-0,0-M4 4,31,00 1,93 1,80 1,71 1,004 0,5 B-0,5-M4 36,56 1,50 1,700 3,05,59 1,00 0,600 B-1,0-M4 31,08 1,00 1,480 3,71,56 1,051 0,710 B-0,0-H 53,39 16,50 3,36 8,03 16,77 1,671 0,516 B-0,5-H 35,94 19,00 1,89 31,77 17,47 1,818 0,961 B-1,0-H 7,8 1,00 1,35 3,73 17,37 1,884 1,4 B-0,0-H3 50,17 1,00,389 4,87 18,67 1,33 0,558 B-0,5-H3 39,99 1,50 1,860 5,76 19,90 1,94 0,696 B-1,0-H3 44,80 1,00,133 8,4 19,75 1,439 0,675 B-0,0-H4 40,40,50 1,796,90 0,57 1,113 0,60 B-0,5-H4 36,59,50 1,66 6,09 1,78 1,198 0,736 B-1,0-H4 3,17 1,50 1,496 6,11 1,94 1,190 0,795

113 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 111 Tabela 4.8 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Ezeldin; Balaguru; (199). Experimental Numério Relação Viga δ u δ y µ d δ u δ y µ d Num/Exp B-0,0-N 30,56 19,00 1,608 3,39 18,54 1,747 1,086 B-0,5-N 46,06 0,00,303 6,45 18,6 1,40 0,617 B-1,0-N 31,04 19,00 1,634 34,91 18,7 1,864 1,141 B-0,0-N3 33,3 1,50 1,546 36,63 1,40 1,711 1,107 B-0,5-N3 34,43,50 1,530 4, 1,6 1,139 0,744 B-1,0-N3 8,06 19,50 1,439 9,9 1,00 1,395 0,969 B-0,0-N4 33,41 3,00 1,453 37,47 4,73 1,515 1,043 B-0,5-N4 8,13,50 1,50 3,76 3,7 1,00 0,801 B-1,0-N4 34,98 6,00 1,345 6,78 3,5 1,15 0,856 B-0,0-M 9,8 17,50 1,673 8,1 17,13 1,64 0,981 B-0,5-M 58,73 18,50 3,175 8,44 17,9 1,587 0,500 B-1,0-M 38,74 18,00,15 33,70 17,9 1,881 0,874 B-0,0-M3 39,41 1,00 1,877,78 19,73 1,155 0,615 B-0,5-M3 5,1 1,00,48 5,88 0,34 1,7 0,513 B-1,0-M3 35,75 0,00 1,788 9,70 0,39 1,457 0,815 B-0,0-M4 4,31,00 1,93 1,80 1,71 1,004 0,5 B-0,5-M4 36,56 1,50 1,700 3,61,59 1,045 0,615 B-1,0-M4 31,08 1,00 1,480 7,49,56 1,18 0,83 B-0,0-H 53,39 16,50 3,36 8,03 16,77 1,671 0,516 B-0,5-H 35,94 19,00 1,89 9,06 17,47 1,663 0,879 B-1,0-H 7,8 1,00 1,35 35,34 17,37,034 1,536 B-0,0-H3 50,17 1,00,389 4,87 18,67 1,33 0,558 B-0,5-H3 39,99 1,50 1,860 4,4 19,90 1,7 0,660 B-1,0-H3 44,80 1,00,133 30,44 19,75 1,54 0,73 B-0,0-H4 40,40,50 1,796,90 0,57 1,113 0,60 B-0,5-H4 36,59,50 1,66 3,66 1,78 1,086 0,668 B-1,0-H4 3,17 1,50 1,496 8,34 1,94 1,9 0,863

114 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 11 Tabela 4.9 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999). Experimental Numério Relação Viga δ u δ y µ d δ u δ y µ d Num/Exp B-0,0-N 30,56 19,00 1,608 3,39 18,54 1,747 1,086 B-0,5-N 46,06 0,00,303 37,59 18,6,019 0,877 B-1,0-N 31,04 19,00 1,634 35,93 18,7 1,919 1,175 B-0,0-N3 33,3 1,50 1,546 36,63 1,40 1,711 1,107 B-0,5-N3 34,43,50 1,530 37,4 1,6 1,751 1,145 B-1,0-N3 8,06 19,50 1,439 9,78 1,00 1,418 0,985 B-0,0-N4 33,41 3,00 1,453 37,47 4,73 1,515 1,043 B-0,5-N4 8,13,50 1,50 30,7 3,7 1,95 1,036 B-1,0-N4 34,98 6,00 1,345 7,46 3,5 1,181 0,878 B-0,0-M 9,8 17,50 1,673 8,1 17,13 1,64 0,981 B-0,5-M 58,73 18,50 3,175 34,78 17,9 1,941 0,611 B-1,0-M 38,74 18,00,15 34,67 17,9 1,935 0,899 B-0,0-M3 39,41 1,00 1,877,78 19,73 1,155 0,615 B-0,5-M3 5,1 1,00,48 3,10 0,34 1,578 0,636 B-1,0-M3 35,75 0,00 1,788 30,43 0,39 1,49 0,835 B-0,0-M4 4,31,00 1,93 1,80 1,71 1,004 0,5 B-0,5-M4 36,56 1,50 1,700 8,43,59 1,58 0,740 B-1,0-M4 31,08 1,00 1,480 8,3,56 1,51 0,845 B-0,0-H 53,39 16,50 3,36 8,03 16,77 1,671 0,516 B-0,5-H 35,94 19,00 1,89 0,1 17,47 1,15 0,609 B-1,0-H 7,8 1,00 1,35 35,34 17,37,034 1,536 B-0,0-H3 50,17 1,00,389 4,87 18,67 1,33 0,558 B-0,5-H3 39,99 1,50 1,860 9,59 19,90 1,487 0,800 B-1,0-H3 44,80 1,00,133 31,17 19,75 1,578 0,740 B-0,0-H4 40,40,50 1,796,90 0,57 1,113 0,60 B-0,5-H4 36,59,50 1,66 9,76 1,78 1,366 0,840 B-1,0-H4 3,17 1,50 1,496 9,1 1,94 1,37 0,887 Tabela 4.10 Médias e Desvios Padrões utilizando dos ritérios de parada de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999). Critério de parada Média (Num./Exp.) Desvio Padrão (Num./Exp.) Mansur et al. (1999) 0,79 1,87% Ezeldin; Balaguru (199) 0,786 4,18% Abdul-Ahad; Aziz (1999) 0,841 4,9% Os valores do desloamento último e do desloamento reerente ao esoamento da armadura longitudinal de tração, obtidos a partir das urvas experimentais, não oram oerentes. As argas e os desloamentos para a oneção da urva Força-Desloamento não oram orneidos no artigo, sendo a obtenção destes valores eita de orma gráia. Isto explia o motivo da dispersão dos desvios padrões, pois algumas relações entre os índies de dutilidade global numério e experimental apresentaram uma variação entre 0,516 a

115 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 113 1,536. Aliado a isso, tem-se que os ensaios oram realizados om ontrole de desloamento e não oi orneida a deormação da armadura no instante da ruptura das vigas. Dessa orma não há, nas urvas experimentais, um ponto de ruptura deinido. 4.6 Considerações Finais A metodologia empregada na modelagem de vigas de onreto armado reorçadas om ibras é eiiente, apesar de apresentar algumas restrições. As modelagens sem armadura longitudinal de tração não proporionaram bons resultados em unção da queda brusa da arga, apresentada na Figura 4.. Esta queda é proporionada pelos valores da resistênia à tração direta ( t,in ) e da resistênia à tração itíia do onreto om ibras ( * t ), que inlueniaram diretamente a taxa de ibras no elemento SOLID65. Nas modelagens de Hemmy (00), os valores destas resistênias oram enontrados a partir de programas de retroanálise. Apesar disso, a urva obtida neste trabalho om a ormulação apresentada no Capítulo mostrou-se mais próxima da experimental que a obtida por Hemmy (00) que empregou retroanálises. Nas vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias observou-se uma boa onordânia entre as modelagens e as vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001) e Craig (1987). No entanto, o programa ANSYS não onseguiu representar o eeito de amoleimento do onreto. metálias, A arga última das vigas é unção da resistênia ao arranamento das ibras τ u. Esta variável está diretamente relaionada om a resistênia da matriz à base de imento, do tipo e do ator de orma da ibra. Iniialmente é utilizado o valor sugerido enontrado por Lim et al. (1987), apud Kaneko (199), de 6,5 MPa para ibras metálias om ganhos. A determinação da resistênia ao arranamento das ibras é undamental para a realização das modelagens. Quando este valor não or orneido por ensaios, o mesmo deve ser estimado através de análises indiretas. A resistênia ao arranamento das ibras adotada para a realização da análise paramétria será a média da variação obtida para a mesma, entre 5,0 MPa a 7,0 MPa ( τ u = 6,5 MPa).

116 Capítulo 4 Modelagens de Vigas de Conreto Armado om Fibras 114 A determinação de um modelo meânio que possa orneer um momento último é undamental para as modelagens que não possuem ensaios para a sua validação. O modelo meânio apresentado neste trabalho mostrou-se válido. O mesmo apresenta um desvio padrão inerior a 5,0%. Apenas quando se aplia o modelo às vigas de resistênia a ompressão lassiiada omo N (normal), onorme Ashour et al. (000), é registrado um desvio padrão levemente superior a 10,0%. O modelo analítio adotado é válido para validar as modelagens numérias. O mesmo pode ser apliado para qualquer resistênia à ompressão, volume de ibras ou taxa de armadura longitudinal de tração. Neste modelo a deormação última do onreto om ibras varia em unção da resistênia à ompressão do onreto, do volume de ibras adiionadas e do ator de orma das ibras. A realização da omparação entre os índies de dutilidade, utilizando três tipos dierentes de ritérios para a determinação da deormação última do onreto reorçado om ibras, apresentou algumas disrepânias om relação aos valores experimentais. No método de Mansur et al. (1999) a prinipal variável é a resistênia à ompressão do onreto. Esta equação orneeu deormações bastante baixas. Nos outros dois métodos, Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999), as prinipais variáveis são a relação de orma l/d e o volume de ibras. Em ambas expressões existe uma deormação iniial para o onreto. Nestas expressões os valores obtidos oram próximos aos experimentais. A média dos índies de dutilidade global, Tabela 4.10, utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999), oi a que mais se aproximou dos valores experimentais. No entanto todos os ritérios apresentaram desvios padrões elevados. A razão desta dispersão oi a preisão utilizada para a obtenção das urvas experimentais. As argas e os desloamentos para a oneção da urva Força-Desloamento não oram orneidos, sendo a obtenção destes valores realizada de orma gráia. Isto explia o motivo da dispersão dos desvios padrões, pois as relações entre os índies de dutilidade global numério e experimental apresentaram uma variação entre 0,516 a 1,536. A metodologia empregada para a modelagem de vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias é válida. No entanto, são neessários ritérios para a determinação da resistênia ao arranamento da ibra e da deormação última do onreto reorçado om ibras.

117 5 Análise Paramétria 5.1 Introdução Neste apítulo é realizada a análise paramétria em 39 vigas de onreto armado. A variação das propriedades meânias das vigas ornee inormações que determinarão quais variáveis são mais signiiativas na dutilidade de vigas de onreto armado reorçadas om ibras metálias. É utilizado o índie de dutilidade global ( µ ) para a análise da variação da dutilidade das vigas. Não oi utilizado o índie de dutilidade loal ( µ ), pelas razões expostas no apítulo anterior. d O apítulo é divido da seguinte orma: Modelagem das vigas de onreto armado para a análise paramétria; Análise dos resultados. Iniialmente é realizada a validação dos resultados obtidos nas modelagens. Esta validação é realizada através da omparação entre os momentos últimos numérios om os momentos últimos obtidos através do modelo analítio. Logo em seguida são traçadas as urvas Força- Desloamento. Com estas urvas são obtidos os índies de dutilidade globais. Finalmente são realizadas as onsiderações inais reerentes à análise paramétria. 5. Modelagem da Viga para a Análise Paramétria Foi realizada a análise paramétria da viga indiada na Figura 5.1.

118 Capítulo 5 Análise Paramétria 116 Figura 5.1 Detalhamento da viga utilizada na análise paramétria. Foram variadas as seguintes propriedades meânias: resistênia à ompressão do onreto, volume de ibras metálias e relação de orma das ibras l/d. Para as modelagens utilizam-se armaduras longitudinais de tração om uma resistênia ao esoamento igual a 500 MPa. Foi adotado omo resistênia ao arranamento das ibras metálias, τ u, o valor de 6,5 MPa para todas as resistênias, visto que a mesma variou entre 5,0 e 7,0 MPa, onorme a análise realizada no Capítulo 4. Para a determinação da tensão de residual das ibras ( t,r ), todas as ibras utilizadas nesta análise paramétria são onsideradas ibras om ganhos nas extremidades. As propriedades das vigas analisadas estão representadas na Tabela 5.1. A simetria da viga oi aproveitada, por este motivo oi modelada apenas metade da mesma. A representação da armadura longitudinal de tração oi realizada usando o elemento LINK8. Este elemento oi disposto no interior da viga, ligado aos nós da malha do elemento sólido. Prourou-se, assim, garantir a ompatibilidade de desloamentos dos nós, resultando num modelo om aderênia pereita entre a armadura e o onreto. Utilizou-se a mesma malha para todas as modelagens. Foi esolhida uma malha grossa para representar o onreto. A representação da malha está mostrada na Figura 5..

119 Capítulo 5 Análise Paramétria 117 Tabela 5.1 Valores das araterístias meânias das vigas utilizadas na análise paramétria. Viga (MPa) ρ b % V (%) l/d τ u (MPa) E (MPa) ,033 0,0 0 0, , ,57 0,0 0 0,0 346, ,531 0,0 0 0,0 8000, ,033 1,0 48 6, , ,57 1,0 48 6,5 116, ,531 1,0 48 6,5 3894, ,033 1,0 65 6, , ,57 1,0 65 6,5 116, ,531 1,0 65 6,5 3894, ,033 1,0 80 6, , ,57 1,0 80 6,5 116, ,531 1,0 80 6,5 3894, ,033,0 48 6, , ,57,0 48 6,5 108, ,531,0 48 6,5 3885, ,033,0 65 6, , ,57,0 65 6,5 108, ,531,0 65 6,5 3885, ,033,0 80 6, , ,57,0 80 6,5 108, ,531,0 80 6,5 3885,6 40 3,033 0,5 48 6, , ,57 0,5 48 6,5 10, ,531 0,5 48 6,5 3899, ,033 0,5 65 6, , ,57 0,5 65 6,5 10, ,531 0,5 65 6,5 3899, ,033 0,5 80 6, , ,57 0,5 80 6,5 10, ,531 0,5 80 6,5 3899, ,033 1,5 48 6,5 1760, ,57 1,5 48 6,5 11, ,531 1,5 48 6,5 3890, ,033 1,5 65 6,5 1760, ,57 1,5 65 6,5 11, ,531 1,5 65 6,5 3890, ,033 1,5 80 6,5 1760, ,57 1,5 80 6,5 11, ,531 1,5 80 6,5 3890,6

120 Capítulo 5 Análise Paramétria 118 Figura 5. Detalhe da malha utilizada na análise paramétria. Todas as vigas de onreto armado são modelas utilizando o modelo elastoplástio de Druker-Prager aoplado ao modelo de ruptura de Willam-Warnke. Nesta modelagem desabilitou-se o esmagamento do onreto, azendo om que o mesmo se omportasse omo elastoplástio pereito na ompressão. São utilizados os valores reomendados por Proença (1988) para a oesão (equação 3.3) e o ângulo de atrito (φ=37º). Para a determinação dos valores da taxa de ibras metálias e da resistênia à tração itíia do onreto reorçado om ibras oram utilizados os ritérios empregados nas modelagens de Hemmy (00) mostrados no Capítulo Análise dos Resultados Iniialmente é realizada a validação dos resultados numérios através da omparação do momento último om os valores obtidos do modelo analítio. Os momentos analítios oram obtidos através das equações do ACI 544.4R (ACI, 1988), desritas no item.3 do Capítulo deste trabalho, utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) para a determinação da deormação última do onreto om ibras. Observa-se da Tabela 5. que a variação da relação entre os momentos últimos numérios e experimentais é pequena (<10%) em um ampla variação de momentos, para diversas resistênias à ompressão, volumes de ibras e relação de orma. Foram obtidos um desvio padrão de 3,77% e uma média igual a 1,050.

121 Capítulo 5 Análise Paramétria 119 Tabela 5. Comparação dos momentos analítios om os momentos numérios. Viga M ana,ult (kn.m) M num,ult (kn.m) M num,ult / M ana,ult 1 39,9 4,47 1,064 40,88 4,17 1, ,31 43,60 1, ,14 51,75 1, ,64 5,57 1, ,70 53,48 1, ,07 56,64 1, ,08 56,95 1, ,36 58,9 1, ,60 59,33 1, ,05 60,3 1, ,54 59,68 1, ,18 65,00 1, ,15 64,6 1, ,9 63,93 1, ,48 71,66 1, ,58 71,8 1, ,91 70,94 1, ,90 75,98 1, ,05 77,99 1, ,93 78,48 1,034 44,81 47,3 1, ,66 47,78 1, ,4 48,5 1, ,36 49,46 1, ,44 49,04 1, ,30 50, 1, ,71 49,5 1, ,00 50,59 1, ,95 51,35 1, ,5 58,08 1, ,47 58,79 1, ,85 58,48 1, ,44 60,84 1, ,45 63,84 1, ,3 65,38 1, ,96 68,75 1, ,73 69,98 1, ,88 70,73 1,04 Média ,050 Desvio Padrão ,77%

122 Capítulo 5 Análise Paramétria 10 A determinação do índie de dutilidade global é realizada através da adoção de ritérios que deinem a deormação máxima do onreto ou do aço. Essa deormação máxima é neessária para a determinação do desloamento último, δ u. Para a deormação máxima do onreto sem ibras é utilizada a reomendação do CEB-90 (CEB, 1991), igual a,. Esta deormação é dada para onretos om resistênia à ompressão entre 1 MPa e 80 MPa. Neste trabalho a deormação de, é adotada para o onreto om resistênia à ompressão de 100 MPa. Para a deormação máxima da armadura longitudinal de tração é adotada a reomendação da NBR 6118:003 (ABNT, 003), igual a 10,0. A im de se estabeleer uma metodologia para determinar o desloamento último das vigas de onreto reorçado om ibras, são utilizados três ritérios de parada. Eles são baseados na deormação última do onreto om ibras deinida por Mansur et al. (1999) dado pela equação (.19), por Ezeldin; Balaguru (199) dado pela equação (.4) e por Abdul-Ahad; Aziz (1999) dado pela equação (.3). Os resultados obtidos pelo ritério de Mansur et al. (1999) são mostrados na Tabela 5.3. A prinipal variável deste ritério é a resistênia à ompressão do onreto. A equação (.19) não possui uma deormação iniial, o que proporiona baixas deormações inais nas vigas om baixa resistênia à ompressão. Nas vigas modeladas pelo ritério de Mansur et al. (1999), em era de 84,61% dos asos a deormação máxima oorreu no onreto. A Tabela 5.4 mostra os resultados obtidos pelo ritério de Ezeldin; Balaguru; (199). As prinipais variáveis da equação (.4) são o volume de ibras e a relação de orma das ibras. Ao ontrário do ritério de Mansur et al. (1999), a equação (.4) possui uma deormação iniial igual a 0,00. Esta equação não possui um limite superior para a deormação do onreto reorçado om ibras. Cera de 5,64%, das vigas modeladas pelo ritério de Ezeldin; Balaguru (199) alançaram a deormação máxima no onreto.

123 Capítulo 5 Análise Paramétria 11 Tabela 5.3 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Mansur et al. (1999). Viga (MPa) V (%) ε ult ( ) δ u (mm) δ y (mm) ,0 10,000 ** 8,13 17,46 1, ,0,00 * 6,33 15,15 1, ,0 10,000 * 7,11 14,1 1, ,0 1,944 * 0,5 17,13 1, ,0,365 * 7,84 15,74 1, ,0 10,000 ** 8,63 15,55 1, ,0 1,989 * 0,08 16,76 1, ,0,419 * 5,31 15,61 1, ,0 10,000 ** 8,76 15,33 1, ,0,08 * 0,1 17,8 1, ,0,467 * 6,37 15,89 1, ,0,795 * 31,38 15,35, ,0,070 * 0,55 17,9 1, ,0,518 * 6,73 16,40 1, ,0,85 * 31,73 15,34, ,0,159 * 0,97 17,77 1, ,0,66 * 6,41 16,43 1, ,0,975 * 31,68 15,44, ,0,37 * 1,06 17,83 1, ,0,71 * 6,77 16,9 1, ,0 3,083 * 31,8 15,91, ,5 1,881 * 0,19 16,93 1, ,5,88 * 7,86 15,94 1, ,5 10,000 ** 6,56 15,39 1, ,5 1,904 * 0,00 16,89 1, ,5,315 * 6,98 15,66 1, ,5,63 * 33,7 15,01, ,5 1,93 * 19,67 17,01 1, ,5,339 * 7,84 14,31 1, ,5 10,000 ** 31,60 15,16, ,5,007 * 0,35 17,03 1, ,5,441 * 6,3 15,91 1, ,5,766 * 3,00 15,4, ,5,074 * 19,88 16,75 1, ,5,5 * 5,86 15,94 1, ,5,858 * 31,16 15,54, ,5,133 * 0,69 17,69 1, ,5,594 * 6,41 16,14 1, ,5,939 * 31,6 15,84 1,973 * Deormação máxima oorrida no onreto ** Deormação máxima oorrida no aço µ d

124 Capítulo 5 Análise Paramétria 1 Tabela 5.4 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Ezeldin; Balaguru (199). Viga (MPa) V (%) ε ult ( ) δ u (mm) δ y (mm) ,0 10,000 ** 8,13 17,46 1, ,0,00 * 6,33 15,15 1, ,0 10,000 ** 7,11 14,1 1, ,0 10,000 ** 36,17 17,13, ,0,700 * 31,44 15,74 1, ,0 10,000 ** 8,63 15,55 1, ,0 10,000 ** 3,76 16,76 1, ,0 10,000 ** 31,8 15,61, ,0 10,000 ** 8,76 15,33 1, ,0 10,000 ** 34,85 17,8, ,0 10,000 ** 34,54 15,89, ,0 10,000 ** 31,93 15,35, ,0 10,000 ** 35,39 17,9, ,0 10,000 ** 35,43 16,40, ,0 10,000 ** 3,41 15,34, ,0 10,000 ** 36,86 17,77, ,0 10,000 ** 35,06 16,43, ,0 10,000 ** 34,51 15,44, ,0 10,000 ** 36,36 17,83, ,0 10,000 ** 36,43 16,9, ,0 10,000 ** 33,97 15,91, ,5,350 * 5,1 16,93 1, ,5,350 * 8,77 15,94 1, ,5,350 * 5,90 15,39 1, ,5,474 * 7,17 16,89 1, ,5,474 * 9,13 15,66 1, ,5,474 * 31,15 15,01, ,5 10,000 ** 3,43 17,01 1, ,5,583 * 31,08 14,31, ,5,583 * 31,0 15,16, ,5 10,000 ** 34,44 17,03, ,5 10,000 ** 3,9 15,91, ,5 10,000 ** 3,36 15,4, ,5 10,000 ** 35,77 16,75, ,5 10,000 ** 35,5 15,94, ,5 10,000 ** 3,06 15,54, ,5 10,000 ** 35,15 17,69 1, ,5 10,000 ** 36,16 16,14, ,5 10,000 ** 3,4 15,84,047 * Deormação máxima oorrida no onreto ** Deormação máxima oorrida no aço µ d

125 Capítulo 5 Análise Paramétria 13 Na Tabela 5.5 são mostrados os resultados obtidos pelo ritério de Abdul- Ahad; Aziz (1999). Na equação (.3) as prinipais variáveis são: o volume de ibras e a relação de orma das ibras. Nesta equação, a deormação iniial do onreto reorçado om ibras é igual a 0,003. Dierentemente das outras expressões, que não possuem um limite para a deormação máxima, neste ritério a deormação máxima do onreto reorçado om ibras é igual a 4,0. A Tabela 5.5 mostra que a ruptura oorreu na armadura longitudinal de tração em todas as vigas reorçadas om ibras metálias. A únia ruptura que oorreu pelo esmagamento do onreto oi na viga, que não possuía ibras metálias. Todas as vigas apresentaram esoamento na armadura longitudinal de tração. Dependendo do ritério adotado para a deormação máxima do onreto om ibras, a ruptura oorreu ou pelo esmagamento do onreto ou pela deormação máxima onvenional da armadura longitudinal. Todas as vigas são subarmadas, ou seja, a taxa de armadura longitudinal de tração, ρ = 0,804%, é inerior à taxa de armadura balaneada. A taxa de armadura balaneada para as resistênias 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa são, respetivamente, 3,033%, 4,57% e 6,531%. A Figura 5.3 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om onreto de resistênia à ompressão de 40 MPa e relação de orma igual a 48. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibra de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 70,89 kn, 78,84 kn, 85,8 kn e 9,14 kn, respetivamente. A ruptura oi deinida pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 41,95%. su

126 Capítulo 5 Análise Paramétria 14 Tabela 5.5 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de. Abdul-Ahad; Aziz (1999). Viga (MPa) V (%) ε ult ( ) δ u (mm) δ y (mm) ,0 10,000 ** 8,13 17,46 1, ,0,00 * 6,33 15,15 1, ,0 10,000 ** 7,11 14,1 1, ,0 10,000 ** 36,17 17,13, ,0 10,000 ** 33,8 15,75, ,0 10,000 ** 8,63 15,55 1, ,0 10,000 ** 3,76 16,76 1, ,0 10,000 ** 31,8 15,61, ,0 10,000 ** 8,76 15,33 1, ,0 10,000 ** 34,85 17,8, ,0 10,000 ** 34,54 15,89, ,0 10,000 ** 31,93 15,35, ,0 10,000 ** 35,39 17,9, ,0 10,000 ** 35,43 16,40, ,0 10,000 ** 3,41 15,34, ,0 10,000 ** 36,86 17,77, ,0 10,000 ** 35,06 16,43, ,0 10,000 ** 34,51 15,44, ,0 10,000 ** 36,35 17,83, ,0 10,000 ** 36,43 16,9, ,0 10,000 ** 33,97 15,91, ,5 10,000 ** 3,53 16,93 1, ,5 10,000 ** 34,04 15,94, ,5 10,000 ** 6,56 15,38 1, ,5 10,000 ** 34,83 16,89, ,5 10,000 ** 30,69 15,66 1, ,5 10,000 ** 33,51 15,01, ,5 10,000 ** 3,43 17,01 1, ,5 10,000 ** 35,14 14,31, ,5 10,000 ** 31,60 15,16, ,5 10,000 ** 34,44 17,03, ,5 10,000 ** 3,9 15,91, ,5 10,000 ** 3,36 15,4, ,5 10,000 ** 35,77 16,75, ,5 10,000 ** 3,67 15,94, ,5 10,000 ** 3,06 15,54, ,5 10,000 ** 35,15 17,69 1, ,5 10,000 ** 36,16 16,14, ,5 10,000 ** 3,4 15,84,047 * Deormação máxima oorrida no onreto ** Deormação máxima oorrida no aço µ d

127 Capítulo 5 Análise Paramétria 15 Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 69,95 kn, 78,84 kn, 85,8 kn e 9,14 kn. Em Ezeldin; Balaguru (199) a ruptura pela deormação máxima do onreto de,350 oorreu para o volume de ibras de 0,5%. Nas demais vigas a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 41,95%. su Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, Fult = 64,91 kn Vol = 0,5%, Fult = 70,89 kn Vol = 1,0%, Fult = 78,84 kn Vol = 1,5%, Fult = 85,8 kn Vol =,0%, Fult = 9,14 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 40 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 69,95 kn Vol = 1,0%, F ult = 78,84 kn Vol = 1,5%, F ult = 85,8 kn Vol =,0%, F ult = 9,14 kn Desloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 67,90 kn Vol = 1,0%, F ult = 74,40 kn Vol = 1,5%, F ult = 81,08 kn Vol =,0%, F ult = 86,68 kn Figura 5.3 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d=48. Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 67,90 kn, 74,40 kn, 81,08 kn e 86,68 kn, respetivamente. As vigas atingiram a ruptura pela deormação máxima no onreto, que orrespondia a 1,881, 1,944,

128 Capítulo 5 Análise Paramétria 16,007 e,070 para os volume de ibras de 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente. Na viga om volume de ibra igual a 0,0%, a deormação máxima oorreu na armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 33,54%. A Figura 5.4 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om onreto de resistênia à ompressão de 40 MPa e relação de orma igual a 65. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 74,70 kn, 83,9 kn, 93,86 kn e 10,38 kn, respetivamente. A ruptura oi deinida pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 57,73%. Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 7,00 kn, 83,9 kn, 93,86 kn e 10,38 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,474 oorreu para o volume de ibras de 0,5%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 57,73%. su su su Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 70, kn, 78,14 kn, 87,17 kn e 90,79 kn, respetivamente. Em Mansur et al. (1999) a ruptura pela deormação máxima no onreto que orrespondia a 1,904, 1,989,,074 e,159 para os volumes de ibras de 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente. A viga om volume de ibra igual a 0,0%, a deormação máxima oorreu na armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 39,87%. su

129 Capítulo 5 Análise Paramétria Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, Fult = 64,91 kn Vol = 0,5%, Fult = 74,70 kn Vol = 1,0%, Fult = 83,9 kn Vol = 1,5%, Fult = 93,86 kn Vol =,0%, Fult = 10,38 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 40 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 7,00 kn Vol = 1,0%, F ult = 83,9 kn Vol = 1,5%, F ult = 93,86 kn Vol =,0%, F ult = 10,38 kn Desloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 70, kn Vol = 1,0%, F ult = 78,14 kn Vol = 1,5%, F ult = 87,17 kn Vol =,0%, F ult = 90,79 kn Figura 5.4 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d =65. A Figura 5.5 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 40 MPa e relação de orma igual a 80. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 75,48 kn, 88,08 kn, 98,85 kn e 110,48 kn, respetivamente. A ruptura oi deinida pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 70,1%. su Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn,

130 Capítulo 5 Análise Paramétria 18 75,48 kn, 88,08 kn, 98,85 kn e 110,48 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,350 oorreu para o volume de ibras de 0,5%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 70,1%. su Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,91 kn, 7,68 kn, 8,48 kn, 93,19 kn e 103,48 kn, respetivamente. As vigas atingiram a ruptura pela deormações máximas no onreto que orrespondiam a 1,93,,08,,133 e,37. para os volume de 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 59,4%. A Figura 5.6 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om onreto de resistênia à ompressão de 70 MPa e relação de orma igual a 48. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,8 kn, 7,68 kn, 79,65 kn, 86,57 kn e 94,6 kn, respetivamente. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,00 oorreu para o volume de 0,0%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da su arga de ruptura de 47,0%. su

131 Capítulo 5 Análise Paramétria Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, Fult = 64,91 kn Vol = 0,5%, Fult = 75,48 kn Vol = 1,0%, Fult = 88,08 kn Vol = 1,5%, Fult = 98,85 kn Vol =,0%, Fult = 110,48 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 40 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 75,48 kn Vol = 1,0%, F ult = 88,08 kn Vol = 1,5%, F ult = 98,85 kn Vol =,0%, F ult = 110,48 kn Desloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 40 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 7,68 kn Vol = 1,0%, F ult = 8,48 kn Vol = 1,5%, F ult = 93,19 kn Vol =,0%, F ult = 103,48 kn Figura 5.5 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d =80. Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,8 kn, 71,8 kn, 78,38 kn, 86,57 kn e 94,6 kn. As vigas atingiram a ruptura pela deormação máxima no onreto que orrespondia a,00 e,474 para os volumes de ibras de 0,0% e 0,5%, respetivamente. Nas demais vigas a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 47,0%. su Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,8 kn, 71,8 kn, 78,38 kn, 84,70 kn e 9,18 kn, respetivamente. As vigas atingiram a ruptura pela deormação máxima no onreto que orrespondia a,00,,88,

132 Capítulo 5 Análise Paramétria 130,365,,441 e,518 para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 43,40% Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 48 Força (kn) Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 70 MPa l/d = Vol = 0,0%, Fult = 64,8 kn Vol = 0,5%, Fult = 7,68 kn Vol = 1,0%, Fult = 79,65 kn Vol = 1,5%, Fult = 86,57 kn Vol =,0%, Fult = 94,6 kn Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 71,8 kn Vol = 1,0%, F ult = 78,38 kn Vol = 1,5%, F ult = 86,57 kn Vol =,0%, F ult = 94,6 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 71,8 kn Vol = 1,0%, F ult = 78,38 kn Vol = 1,5%, F ult = 84,70 kn Vol =,0%, F ult = 9,18 kn Desloamento (mm) Figura 5.6 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d =48. A Figura 5.7 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 70 MPa e relação de orma igual a 65. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram 64,8 kn, 74,4 kn, 85,0 kn, 94,46 kn e 104,88 kn, respetivamente. As vigas atingiram a ruptura pela deormação máxima no onreto que orrespondia a,00 para o volume de ibras de 0,0%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação

133 Capítulo 5 Análise Paramétria 131 máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 63,16%. su Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,8 kn, 74,4 kn, 85,0 kn, 94,46 kn e 104,88 kn. Em Ezeldin; Balaguru (199) a ruptura pelas deormações máximas do onreto de,00 e,474 oorreram, respetivamente, para os volumes de ibras de 0,0% e 0,5%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 63,16%. su Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 65 Força (kn) Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 70M Pa l/d = Vol = 0,0%, Fult = 64,8 kn Vol = 0,5%, Fult = 74,4 kn Vol = 1,0%, Fult = 85,0 kn Vol = 1,5%, Fult = 94,46 kn Vol =,0%, Fult = 104,88 kn Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 74,4 kn Vol = 1,0%, F ult = 85,0 kn Vol = 1,5%, F ult = 94,46 kn Vol =,0%, F ult = 104,88 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 74,4 kn Vol = 1,0%, F ult = 85,0 kn Vol = 1,5%, F ult = 9,91 kn Vol =,0%, F ult = 10,08 kn Desloamento (mm) Figura 5.7 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d =65.

134 Capítulo 5 Análise Paramétria 13 Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,8 kn, 74,4 kn, 85,0 kn, 9,91 kn e 10,08 kn. As vigas atingiram a deormação máxima no onreto que orrespondia a,00,,315,,419,,5 e,66 para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 58,81%. A Figura 5.8 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 70 MPa e relação de orma igual a 80. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,8 kn, 76,9 kn, 89,48 kn, 10,03 kn e 113,8 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,00 oorreu para o volume de ibra de 0,0%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 76,3%. su Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,8 kn, 76,9 kn, 89,48 kn, 10,03 kn e 113,8 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,00 e,474, respetivamente, oorreu para os volumes de ibras de 0,0% e 0,5%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 76,3%. Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,8 kn, 76,9 kn, 88,08 kn, 99,9 kn e 110,48 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,00,,339,,467,,594 e,71, respetivamente, oorreu para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, su

135 Capítulo 5 Análise Paramétria 133 1,5% e,0%. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 71,87% Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, Fult = 64,8 kn Vol = 0,5%, Fult = 76,9 kn Vol = 1,0%, Fult = 89,48 kn Vol = 1,5%, Fult = 10,03 kn Vol =,0%, Fult = 113,8 kn Força (kn) Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 70 MPa l/d=80 Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 76,9 kn Vol = 1,0%, F ult = 89,48 kn Vol = 1,5%, F ult = 10,03 kn Vol =,0%, F ult = 113,8 kn Desloamento (mm) Desloamento (mm) Força (kn) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 70 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, F ult = 64,8 kn Vol = 0,5%, F ult = 76,9 kn Vol = 1,0%,, F ult = 88,08 kn Vol = 1,5%, F ult = 99,9 kn Vol =,0%, F ult = 110,48 kn Desloamento (mm) Figura 5.8 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d = 80. A Figura 5.9 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 100 MPa e relação de orma igual a 48. Para estas vigas, oram obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 7,4 kn, 79,50 kn, 86,85 kn e 94,85 kn. Para este ritério, a ruptura oi deinida pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε su = 0,010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 46,13%.

136 Capítulo 5 Análise Paramétria 134 Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,91 kn, 7,4 kn, 79,50 kn, 86,85 kn e 94,85 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,350 oorreu para o volume de ibras de 0,5. Nas demais vigas, a ruptura oi deinida pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 46,1%. su Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 7,4 kn, 79,50 kn, 86,60 kn e 94,85 kn. As vigas atingiram a ruptura pela deormações máximas no onreto, que orrespondia a,766 e,85 para os volumes de ibras de 1,5% e,0%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da su arga de ruptura de 46,1%. A Figura 5.10 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 100 MPa e relação de orma igual a 65. Para estas vigas, são obtidos os seguintes resultados: Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 74,98 kn, 84,73 kn, 95,46 kn e 105,09 kn. Para este ritério, a ruptura oorreu pela deormação da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 61,90%. su

137 Capítulo 5 Análise Paramétria Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 7,4 kn Vol = 1,0%, F ult = 79,50 kn Vol = 1,5%, F ult = 86,85 kn Vol =,0%, F ult = 94,85 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 100 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 7,4 kn Vol = 1,0%, F ult = 79,50 kn Vol = 1,5%, F ult = 86,85 kn Vol =,0%, F ult = 94,85 kn Desloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 48 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 7,4 kn Vol = 1,0%, F ult = 79,50 kn Vol = 1,5%, F ult = 86,60 kn Vol =,0%, F ult = 94,85 kn Figura 5.9 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 48. Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,91 kn, 74,98 kn, 84,73 kn, 95,46 kn e 105,09 kn. Para o volume de ibras de 0,5%, a ruptura oorreu pela deormação máxima do onreto de,474. Nas demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 61,90%. su

138 Capítulo 5 Análise Paramétria Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, Fult = 64,91 kn Vol = 0,5%, Fult = 74,98 kn Vol = 1,0%, Fult = 84,73 kn Vol = 1,5%, Fult = 95,46 kn Vol =,0%, Fult = 105,09 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 100 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 74,98 kn Vol = 1,0%, F ult = 84,73 kn Vol = 1,5%, F ult = 95,46 kn Vol =,0%, F ult = 105,09 kn Deseloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 65 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 74,98 kn Vol = 1,0%, F ult = 84,73 kn Vol = 1,5%, F ult = 94,0 kn Vol =,0%, F ult = 105,09 kn Figura 5.10 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 65. Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 74,98 kn, 84,73 kn, 94,0 kn e 105,09 kn. Para os volumes de ibras de 0,5%, 1,5% e,0%, a ruptura oorreu, respetivamente, pela deormações máximas do onreto de,63 e,858 e,975. Nos demais vigas, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da su arga de ruptura de 61,91%. A Figura 5.11 mostra as urvas Força-Desloamento das vigas om resistênia à ompressão igual a 100 MPa e relação de orma igual a 80. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados:

139 Capítulo 5 Análise Paramétria 137 Abdul-Ahad; Aziz (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 77,35 kn, 89,48 kn, 101,56 kn e 114,68 kn. Para este ritério, a ruptura oorreu pela deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε su = 0,010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 76,68%. Ezeldin; Balaguru (199): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%, respetivamente, oram 64,91 kn, 77,35 kn, 89,48 kn, 101,56 kn e 114,68 kn. Para o volume de ibras de 0,5%, a ruptura oorreu pela deormação máxima do onreto de,583. Nas demais vigas, a ruptura oorreu om a deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou um aumento da arga de ruptura de 76,68% su Mansur et al. (1999): as argas de ruptura para os volumes de ibras de 0,0%, 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0% oram, respetivamente, 64,91 kn, 77,35 kn, 89,48 kn, 101,56 kn e 113,8 kn. A ruptura pela deormação máxima do onreto de,795 e,939 e 3,083 oorreu, respetivamente, para os volumes de ibras de 1,0%, 1,5% e,0%. Nas demais vigas, a ruptura oorreu na deormação máxima da armadura longitudinal de tração, ε = 0, 010. A adição de,0% de ibras provoou su um aumento da arga de ruptura de 74,5% Conorme menionado no iníio deste apítulo, para a deormação máxima do onreto sem ibras é utilizada a reomendação do CEB-90 (CEB, 1991), igual a,, e para a deormação máxima da armadura longitudinal de tração é adotada a reomendação da NBR 6118:003 (ABNT, 003), igual a 10,0. Utilizando o volume de ibras igual a 0,0%, as argas de ruptura para as resistênias à ompressão de 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa são, respetivamente, 64,91 kn, 64,8 kn e 64,91kN. A variação perentual entre as argas, reerentes à maior e à menor resistênia, oi de 0,0%.

140 Capítulo 5 Análise Paramétria Força (kn) Critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, Fult = 64,91 kn Vol = 0,5%, Fult = 77,35 kn Vol = 1,0%, Fult = 89,48 kn Vol = 1,5%, Fult = 101,56 kn Vol =,0%, Fult = 114,68 kn Critério de Ezeldin; Balaguru (199) Vigas = 100 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 77,35 kn Vol = 1,0%, F ult = 89,48 kn Vol = 1,5%, F ult = 101,56 kn Vol =,0%, F ult = 114,68 kn Desloamento (mm) Critério de Mansur et al. (1999) Vigas = 100 MPa l/d = 80 Vol = 0,0%, F ult = 64,91 kn Vol = 0,5%, F ult = 77,35 kn Vol = 1,0%, F ult = 89,48 kn Vol = 1,5%, F ult = 101,56 kn Vol =,0%, F ult = 113,8 kn Figura 5.11 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 80. Aparentemente a arga última não é inlueniada por nenhum dos três ritérios de deormação última do onreto, utilizados para representar os ritérios de parada. Por este motivo utilizando o ritério de parada de Abdul-Ahad; Aziz (1999) para a determinação da deormação última do onreto reorçado om ibras, as argas de ruptura, para o volume de ibras de,0%, para as resistênias à ompressão de 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa são, respetivamente, 110,48 MPa, 113,8 MPa, 114,68 MPa. A variação perentual entre as argas, reerente à maior e à menor resistênia, é de 3,80%. Para o volume de ibras de,0% e resistênia à ompressão de 100 MPa, as argas de ruptura para as relações de orma de 48, 65 e 80 são, respetivamente, 94,85 MPa, 105,09 MPa e 114,68 MPa. A variação perentual entre as argas, reerente à maior e à menor relação de orma, é de 0,91%.

141 Capítulo 5 Análise Paramétria 139 A quantiiação da dutilidade das vigas modeladas neste trabalho oi realizada através do índie de dutilidade global, µ d. Os desloamentos reerentes à arga última ( δ u ) e os desloamentos reerentes ao iníio de esoamento da armadura longitudinal de tração ( δ ) oram obtidos a partir dos resultados extraídos do programa ANSYS. y Novamente a arga última oi obtida de uma ruptura onvenional, ou seja, a partir do esmagamento do onreto quando o mesmo atinge sua deormação máxima ou a partir da armadura longitudinal quando a mesma atinge a deormação máxima. Os desloamentos e os índies de dutilidade obtidos estão mostrados nas Tabelas 5.3, 5.4 e 5.5. Da Figura 5.1 até a Figura 5.1 são traçados os gráios de índie de dutilidade global versus resistênia à ompressão ( µ ), índie de dutilidade global versus relação de orma ( µ d l ) e índie de dutilidade global versus volume de ibras d metálias ( µ Vol ). d d Iniialmente, na Figura 5.1 é mostrada a urva reerente às vigas sem ibras metálias. As vigas om resistênia à ompressão de 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa apresentaram, respetivamente, índies de dutilidade global iguais a 1,611, 1,738 e 1,90. Apesar da leve tendênia em aumentar a dutilidade, à medida que se aumenta a resistênia à ompressão, pode-se airmar, pela poua variação dos índies de dutilidade, que os valores são semelhantes. A Figura 5.13 mostra a variação da dutilidade em unção da resistênia à ompressão, para vigas reorçadas om ibras de relação de orma igual a 48. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) perebe-se um aumento na dutilidade à medida que se aumenta a resistênia à ompressão, para todos os volumes de ibra. Entre os volumes de ibras, o aumento médio da dutilidade oi de 6,09%.

142 Capítulo 5 Análise Paramétria Dutilidade x Vol = 0,0% µ d (MPa) Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão om Volume de ibras de 0,0%. Os ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999), nos volumes de ibras iguais a 0,5% e a 1,0%, soreram uma redução na dutilidade à medida que se aumenta a resistênia à ompressão. Para os volumes de ibras iguais a 1,5% e a,0%, à medida que se aumenta a resistênia à ompressão a dutilidade manteve-se onstante. A Figura 5.14 mostra a variação da dutilidade em unção da resistênia à ompressão, para vigas reorçadas om ibras de relação de orma igual a 65. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) perebe-se um aumento na dutilidade à medida que se aumenta a resistênia à ompressão, para todos os volumes de ibra. Entre os volumes de ibras, o aumento médio da dutilidade oi de 71,61%.

143 Capítulo 5 Análise Paramétria Dutilidade x Vol = 0,5%, l/d = 48 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x Vol = 1,0%, l/d = 48 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin, Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d (MPa) (MPa) 3.0 Dutilidade x Vol = 1,5%, l/d = 48 µ d Critério de Mansur et al. (1999) 3.0 Dutilidade x Vol =,0%, l/d = 48 µ d Critério de Mansur et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin, Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d (MPa) (MPa) Figura 5.13 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 48. O ritério de Ezeldin; Balaguru (199) om um volume de ibras de 0,5% apresentou um ligeiro aumento na dutilidade. Para os volumes de ibras de 1,0% e 1,5% oorreu uma tendênia a uma redução na dutilidade. Para um volume de ibras igual a % não houve arésimo na dutilidade. O ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) om um volume de ibras de 0,5% soreu um aumento na dutilidade quando a resistênia à ompressão ultrapassou 70 MPa. Para os demais volumes não houve arésimos signiiativos na dutilidade.

144 Capítulo 5 Análise Paramétria Dutilidade x Vol = 0,5%, l/d = 65 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x Vol = 1,0%, l/d = 65 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d (MPa) (MPa) 3.0 Dutilidade x Vol = 1,5%, l/d = 65 µ d Critério de Mansur et al. (1999) 3.0 Dutilidade x Vol =,0%, l/d = 65 µ d Critério de Mansur et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d (MPa) (MPa) Figura 5.14 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 65. A Figura 5.15 mostra a variação da dutilidade em unção da resistênia à ompressão, para vigas reorçadas om ibras de relação de orma igual a 80. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) perebe-se um aumento na dutilidade à medida que se aumenta a resistênia à ompressão, para todos os volumes de ibra. Entre os volumes de ibras, o aumento médio da dutilidade oi de 73,5%. Os ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999) orneem índies de dutilidade superiores, aproximadamente iguais a,0. No entanto não houve arésimos signiiativos na dutilidade, ou seja, a

145 Capítulo 5 Análise Paramétria 143 mesma se manteve aproximadamente onstante om o aumento do volume de ibras Dutilidade x Vol = 1,0%, l/d = 80 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) µ d.0 µ d Dutilidade x Vol = 0,5%, l/d = 80 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) (MPa) (MPa) Dutilidade x Vol = 1,5%, l/d = 80 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x Vol =,0%, l/d = 80 µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d (MPa) (MPa) Figura 5.15 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 80. A Figura 5.16 mostra a variação da dutilidade em unção da relação de orma das ibras, para vigas om resistênia à ompressão de 40 MPa. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) observa-se uma onstânia na dutilidade para todas os volumes de ibras ( µ d entre 1,00 e 1,0 ) à medida que se aumenta a relação de orma. O ritério de Ezeldin; Balaguru (199), para o volume de ibras de 0,5%, ornee uma tendênia de aumento da dutilidade. Com as relações de

146 Capítulo 5 Análise Paramétria 144 orma de 48, 65 e 80 oram obtidos, respetivamente, os seguintes índies de dutilidade: 1,489, 1,608 e 1,907. Com os demais volumes de ibras não oi observada variação signiiativa na dutilidade. No ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) não houve arésimos signiiativos nos índies de dutilidade. Os valores dos índies de dutilidade, para todos os volumes de ibras, iaram entre 1,907 e, Dutilidade x l/d Vol = 0,5%, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x l/d Vol = 1,0%, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d l/d l/d Dutilidade x l/d Vol = 1,5%, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x l/d Vol =,0%, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d l/d l/d Figura 5.16 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 40 MPa. A Figura 5.17 mostra a variação da dutilidade em unção da relação de orma das ibras, para vigas om resistênia à ompressão de 70 MPa. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados:

147 Capítulo 5 Análise Paramétria 145 Para o ritério de Mansur et al. (1999) observa-se uma onstânia na dutilidade para todos os volumes de ibras ( medida que se aumenta a relação de orma. µ d entre 1,607 e 1,946 ) à Os ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999), para o volume de ibras de 0,5%, ornee uma tendênia de aumento da dutilidade. Com os demais volumes de ibras não oi observada variação signiiativa na dutilidade Dutilidade x l/d Vol = 1,0%, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) µ d.0 µ d Dutilidade x l/d Vol = 0,5%, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) l/d l/d 3.0 Dutilidade x l/d Vol = 1,5%, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) 3.0 Dutilidade x l/d Vol =,0%; = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d l/d l/d Figura 5.17 Gráios Dutilidade Global x Relação l/d om = 70 MPa. A Figura 5.18 mostra a variação da dutilidade em unção da relação de orma das ibras, para vigas om resistênia à ompressão de 100 MPa. Para todos os ritérios, om o volume de ibras de 0,5% oorreu uma tendênia a aumentar a dutilidade. No

148 Capítulo 5 Análise Paramétria 146 entanto, os demais volumes de ibras não apresentaram variação signiiativa na dutilidade µ d µ d Dutilidade x l/d Vol = 0,5%, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x l/d Vol = 1,0%, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) l/d l/d.5.5 µ d.0 µ d Dutilidade x l/d Vol = 1,5%, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x l/d Vol =,0%, = 100MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) l/d l/d Figura 5.18 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 100 MPa. A Figura 5.19 mostra a variação da dutilidade em unção do volume de ibras para vigas om resistênia à ompressão de 40 MPa. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) observa-se uma queda brusa na dutilidade para o volume de ibra de 0,5%. Para os demais volumes de ibras não oi observada variação na dutilidade, ou seja, a mesma se manteve onstante em, aproximadamente, 1,193. Isto aonteeu porque o ritério de Mansur et al. (1999), para qualquer volume de ibras, ornee uma ruptura pela deormação máxima do onreto inerior à do onreto sem ibras.

149 Capítulo 5 Análise Paramétria 147 Os ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999), para os volumes de ibras de 0 até 1,5%, orneem um tendênia de aumento da dutilidade em torno de 30%. Após este volume, a dutilidade se tornou onstante em, aproximadamente,, Dutilidade x Vol (%) l/d = 48, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x Vol (%) l/d = 65, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d Vol (%) Vol (%) Dutilidade x Vol (%) l/d = 80, = 40 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) µ d Vol (%) Figura 5.19 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 40 MPa. A Figura 5.0 mostra a variação da dutilidade em unção do volume de ibras, para vigas om resistênia à ompressão de 70 MPa. Para estas vigas são obtidos os seguintes resultados: Para o ritério de Mansur et al. (1999) não oorre uma variação signiiativa da dutilidade, ou seja, a mesma se manteve onstante em, aproximadamente, 1,675. A viga om volume de ibras de 0,5% e relação de orma da ibra igual a 80 alançou uma dutilidade de 1,946. Este valor elevado de dutilidade pode ter oorrido em virtude da metodologia

150 Capítulo 5 Análise Paramétria 148 empregada na avaliação da dutilidade om o ritério de parada. Isto é, oorreram saltos na resposta numéria, sendo o valor do desloamento obtido na interpolação linear om os resultados. 3.0 Dutilidade x Vol (%) l/d = 48, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) 3.0 Dutilidade x Vol (%) l/d = 65, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).5 µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999).0.0 µ d µ d Vol (%) Vol (%) µ d Dutilidade x Vol (%) l/d = 80, = 70 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Vol (%) Figura 5.0 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 70 MPa. Nos ritérios de Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999) o omportamento da dutilidade oi semelhante. Para as relações de orma das ibras de 48 e 65 oorreu um aumento na dutilidade de 1,738 para,161, que orrespondeu a um aumento de 4,34%. Quando se usou ibras om relação de orma de 80 houve um aumento da dutilidade para, aproximadamente,173, om um volume de ibras de 0,5%, que orrespondeu a um aumento de 5,03%. Após este volume de ibras, a dutilidade manteve-se onstante.

151 Capítulo 5 Análise Paramétria 149 A Figura 5.1 mostra a variação da dutilidade em unção do volume de ibras, para vigas om resistênia à ompressão de 100 MPa. O omportamento para os três ritérios é semelhante. Foram obtidos os seguintes resultados: As ibras om relação de orma de 48, iniialmente, proporionaram uma ligeira queda nos índies de dutilidade, era de 1,34%. Após o volume de ibras de 0,5% houve um arésimo de dutilidade até o volume de ibras de 1,5%, este arésimo oi de aproximadamente de 6,0%. A dutilidade manteve-se onstante, em aproximadamente,10, até o volume de ibras de,0%. A dutilidade para as ibras om relação de orma de 65 soreu um aumento de 1,16% até o volume de ibras de 0,5%. Após este volume de ibras a dutilidade manteve-se onstante. A queda brusa no índie de dutilidade, µ =1,876 no volume de ibras de 1,0%, Este valor elevado de dutilidade d pode ter oorrido em virtude da metodologia empregada na avaliação da dutilidade om o ritério de parada. Oorreram saltos na resposta numéria, sendo o valor do desloamento obtido na interpolação linear om os resultados. As ibras om relação de orma de 80 não inlueniaram a dutilidade que se manteve onstante em torno de,035. Quando oi empregado o ritério de Mansur et al. (1999) para modelar as vigas om resistênia à ompressão de 40 MPa, observou-se, a partir das urvas Força- Desloamento, que a resistênia última onvenional oi atingida logo após o iníio do esoamento da armadura. Nas vigas om resistênia à ompressão de 70 MPa e 100 MPa observou-se que as vigas apresentaram maiores desloamentos após o esoamento da armadura. Com relação à dutilidade, apenas nas vigas om resistênia à ompressão de 100 MPa os valores orneidos por este ritério aproximaram-se dos valores dos demais ritérios. Este omportamento explia-se pelo ato de a deormação de pio do onreto neste ritério de parada ser unção da resistênia à ompressão do mesmo. Dessa orma, ele ornee valores de deormação muito baixos para onretos de resistênia normal à média.

152 Capítulo 5 Análise Paramétria µ d µ d Dutilidade x Vol (%) l/d = 48, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Dutilidade x Vol (%) l/d = 65, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Vol (%) Vol (%) µ d Dutilidade x Vol (%) l/d = 80, = 100 MPa µ d Critério de Mansur et al. (1999) µ d Critério de Ezeldin; Balaguru (199) µ d Critério de Abdul-Ahad et al. (1999) Vol (%) Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 100 MPa. Os resultados obtidos pelo ritério de Ezeldin; Balaguru (199) oinidiram om os resultados obtidos pelo ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999), tanto na determinação da urva Força-Desloamento quanto na determinação da dutilidade. Isto oorreu porque estes dois ritérios orneem, aproximadamente, a mesma deormação de pio para o onreto. No entanto, o ritério de Ezeldin; Balaguru (199) não possui um limite máximo para a deormação de pio do onreto. O ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) limita a deormação de pio do onreto om ibras em 0,004. O mesmo também não estabelee um limite máximo para a resistênia à ompressão do onreto reorçado om ibras para o qual as expressões possam ser usadas, dierentemente dos outros ritérios. Por essas razões, reomenda-se o emprego do ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) nas modelagens numérias de onretos om ibras. Na Figura 5. é mostrado novamente os gráios de Dutilidade Global versus Volume de Fibras Metálias

153 Capítulo 5 Análise Paramétria 151 empregando apenas este modelo, sendo representado no mesmo gráio vigas om onretos de dierentes resistênias. Foram obtidos os seguintes resultados desses gráios: Fibras om relação de orma igual a 48: A viga om resistênia à ompressão de 40 MPa alançou um índie de dutilidade igual a,03 om um volume de ibras de 1,5%, que orrespondeu a um aumento de 5,57% na dutilidade. A viga om resistênia à ompressão de 70 MPa alançou um índie de dutilidade igual a,135, om um volume de ibras de 0,5%, que orrespondeu a um aumento de,84% na dutilidade. A dutilidade, para esta resistênia à ompressão, manteve-se onstante para os demais volumes de ibras. A viga om resistênia à ompressão de 100 MPa alançou índies de dutilidade superiores a,100 quando o volume de ibras oi superior a 1,5%, que orrespondeu a um aumento de 9,38% na dutilidade. Perebe-se que a inluênia das ibras é a mesma para qualquer resistênia do onreto, exeto na viga de 100 MPa onde houve uma pequena queda da dutilidade para volumes baixos de ibra. Isso sugere que para este nível de resistênia, se a ibra possuir baixa relação de orma há a neessidade de um maior volume de ibras para se obter dutilidade semelhante a de vigas om onretos de menor resistênia. Fibras om relação de orma igual a 65: a viga om resistênia à ompressão de 40 MPa, alançou um índie de dutilidade igual a,136 om um volume de ibras igual a 1,5%, que orrespondeu a um aumento de 3,59% na dutilidade. A viga om resistênia à ompressão de 70 MPa teve um aumento gradual da dutilidade até o valor,133 para um volume de ibras de,0%, que orrespondeu a um aumento de,73% na dutilidade. A viga om resistênia à ompressão de 100 MPa alançou um índie de dutilidade igual a,3, que orrespondeu a um aumento de 16,5%. Este valor de dutilidade manteve-se onstante para volumes de ibras superiores a 0,5%. A queda brusa no índie de dutilidade, µ =1,876 na resistênia à ompressão de 100 MPa, pode ser atribuída a d metodologia empregada na avaliação da dutilidade om o ritério de parada. Oorreram saltos na resposta numéria, sendo o valor do desloamento obtido na interpolação linear om os resultados.

154 Capítulo 5 Análise Paramétria µ d x Vol l/d = 48 = 40 MPa = 70 MPa = 100 MPa.4. µ d x Vol l/d = 65 = 40 MPa = 70 MPa = 100 MPa µ d µ d Vol (%) Vol (%).6.4. µ d µ d x Vol l/d = 80 = 40 MPa = 70 MPa = 100 MPa Vol (%) Figura 5. Comparação das Resistênias à Compressão através dos Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras. Fibras om relação de orma igual a 80: A viga om resistênia à ompressão de 40 MPa alançou um índie de dutilidade igual a,017, que orrespondeu a um aumento de 5,00% na dutilidade, sendo este valor mantido onstante para volumes de ibras superiores a 0,5%. A viga om resistênia à ompressão de 70 MPa alançou índies de dutilidade superiores a,100, que orrespondeu a um aumento de 0,83%, sendo este valor mantido onstante para volumes de ibras superiores a 0,5%. Ainda para esta resistênia, o valor de,456 para o índie de dutilidade oorreu em virtude da metodologia empregada na avaliação da dutilidade om o ritério de parada. Isto é, oorreram saltos na resposta numéria, sendo o valor do desloamento obtido na interpolação linear om os resultados. A

155 Capítulo 5 Análise Paramétria 153 viga om resistênia de 100 MPa alançou um índie de dutilidade igual a,085, que orrespondeu a um aumento de 8,59% na dutilidade, sendo este valor mantido onstante para volumes de ibras superiores a 0,5%. 5.4 Considerações Finais Os momentos últimos analítios e numérios apresentaram uma boa onordânia. Em uma ampla variação de resistênias à ompressão, volumes de ibras e relações de orma, a dispersão alançada pelas relações entre os momentos oi inerior a 10%. No ritério de Mansur et al. (1999), dado pela equação (.3), a prinipal variável é a resistênia à ompressão do onreto. Por este motivo são enontradas baixas deormações quando se utiliza uma resistênia à ompressão baixa. A orça última enontrada om o ritério de Mansur et al. (1999) oi inerior à enontrada pelas expressões de Abdul-Ahad; Aziz (1999) e Ezeldin; Balaguru (199), era de 3,61%. Na maioria das vigas modeladas pelos ritérios de Abdul-Ahad; Aziz (1999) e Ezeldin; Balaguru (199), a ruptura onvenional oi determinada pelo alongamento exessivo da armadura, independente da resistênia à ompressão do onreto. Aparentemente não houve inluênia do ator de orma da ibra na resistênia à lexão das vigas, independente da resistênia à ompressão do onreto, a variação da resistênia à lexão destas vigas oi de aproximadamente 0,91%. Observa-se também que não houve aumento da resistênia à lexão devido ao aumento da resistênia do onreto. A variação da resistênia a lexão destas vigas oi de aproximadamente 3,80%. Isto justiia-se pelo ato de a ruptura em quase todas as vigas ter oorrido pela deormação exessiva da armadura. Perebe-se que, nas vigas sem ibras, a ruptura oorre pelo esmagamento do onreto, porém a adição de baixos volumes de ibras, independente do ritério adotado para avaliação da deormação de pio do onreto, já permite que a ruptura oorra pela deormação da armadura. Esta onlusão é válida para a taxa de armadura empregada na modelagem. Entretanto ela deve ser válida para vigas om maiores taxas de armadura longitudinal, apenas ressaltando que, para se atingir a ruptura pela armadura, espera-se que seja empregado um maior volume de ibras.

156 Capítulo 5 Análise Paramétria 154 A determinação do índie de dutilidade das vigas om ibras iou ondiionada à determinação de um ritério de parada que orneesse a deormação última do onreto reorçado om ibras. Foram utilizados três ritérios de parada dierentes para determinar a deormação última do onreto: ritério de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999). A obtenção do índie de dutilidade, utilizando o ritério de Mansur et al. (1999), para vigas om onreto de resistênia igual a 40 MPa mostrou que há um aumento na dutilidade enquanto que para os outros ritérios a dutilidade na maioria dos asos se manteve onstante. Apesar disso, o ritério de Mansur et al. (1999) não se mostrou muito eiiente para a determinação da dutilidade para as baixas resistênias. Isto oorreu, onorme visto no Capítulo, devido à limitação na resistênia à ompressão. Mansur et al. (1999) estudaram resistênias à ompressão variando de 70 MPa a 10 MPa. O ritério de parada que apresentou valores mais oerentes para a dutilidade oi o ritério de Abdul- Ahad; Aziz (1999), sendo este o ritério reomendado para a modelagem de vigas om ibras. Este ritério de parada, além de possuir uma deormação iniial, não estabelee um limite máximo para a resistênia à ompressão do onreto om ibras e limita a deormação de pio do onreto om ibras em 0,004. Nas vigas que não oram reorçadas om ibras, a dutilidade variou entre 1,611 e 1,90. A adição de ibras ao onreto aumentou a dutilidade das vigas. Para as resistênias de 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa, o aumento de dutilidade devido à adição do volume de ibras de,0% oi aproximadamente de 5%, % e 11%, respetivamente. Este aumento oi inlueniado pela resistênia à ompressão do onreto, pelo volume e pela relação de orma das ibras. No entanto a dutilidade oi mais inlueniada pelo volume de ibras, sendo pouo inlueniada pelo ator de orma da ibra. Utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) para a determinação da deormação última do onreto, as ibras metálias nas vigas de resistênia mais baixa não apresentaram grande inluênia na dutilidade quando oram utilizados baixos volumes de ibras e atores de orma reduzidos. Entretanto, oi possível obter índies de dutilidade maiores em onretos de resistênia normal (resistênia inerior a 50 MPa) utilizando volumes de ibras e atores de orma maiores. As vigas om onretos de alta resistênia apresentaram um aumento na dutilidade quando oram utilizados baixos volumes de

157 Capítulo 5 Análise Paramétria 155 ibras om ator de orma maior. Uma outra orma de se obter índies de dutilidade elevados para onretos de alta resistênia é utilizando altos volumes de ibras om baixos atores de orma.

158 6 Conlusão Neste apítulo são apresentadas as onlusões obtidas do desenvolvimento deste trabalho. As mesmas são reerentes às modelagens de vigas de onreto armado onvenional e alta resistênia, reorçadas om ibras metálias. É analisada a inluênia das ibras metálias na dutilidade. Com relação à modelagem de vigas de onreto armado sem ibras, oram observados diversos problemas, prinipalmente nas vigas superarmadas. A prinipal araterístia destas vigas é a ruptura do onreto na ompressão, onde o modelo de issuração de Willam-Warnke apresenta problemas de onvergênia. Para a solução deste problema, oi realizado o aoplamento do modelo elastoplástio de Druker-Prager ao modelo de ruptura de Willam-Warnke. Deste modo, o onreto, durante o esmagamento, omporta-se omo um modelo elastoplástio. Nos modelos de issuração distribuída a resposta é dependente da malha empregada. Malhas mais reinadas impliam em onsiderar uma menor energia de ratura para o material (Araújo, 00), logo elas interrompem o proesso de onvergênia para arregamentos ineriores aos observados em malhas mais grossas. Isto pode ser observado nas vigas superarmadas, ρ > ρ, onde o ator limitante da resistênia da peça estrutural é a b resistênia do onreto e não o esoamento da armadura longitudinal de tração. As malhas mais grossas mostraram-se mais eiientes que as malhas mais inas, pois as primeiras alançaram valores próximos aos valores experimentais. As malhas mais inas apresentaram diversos problemas de onvergênia durante o proessamento. Os módulos de elastiidade longitudinal alulados para o onreto sem ibras, equação (3.1) (ABNT, 003), e para o onreto reorçado om ibras, equação (.4), oram reduzidos em 50% do valor alulado. Isto oi neessário, porque o módulo de elastiidade diminui próximo à ruptura, Araújo (00). O ANSYS Release 5.5 não permite a atualização do valor do módulo de elastiidade, então optou-se por adotar o módulo de

159 Capítulo 6 Conlusão 157 elastiidade reduzido desde o iníio do proesso numério. Esta redução oi adotada pelo ato de a ligação entre o onreto e o aço ter sido onsiderada pereita, isto é, sem esorregamento entre ambos. A redução do módulo de elastiidade mostrou-se mais importante nas vigas superarmadas que nas vigas subarmadas devido à maior quantidade de armadura de lexão. Nas vigas subarmadas não oi observada inluênia da variação do módulo de elastiidade sobre a urva orça-desloamento. Alguns atores inlueniam para a não onordânia entre resultados numérios e experimentais: a heterogeneidade do onreto, que implia em propriedades meânias distintas ao longo da estrutura, o que não é onsiderado na modelagem, e a metodologia de ensaio, ou seja, as orças apliadas durante o ensaio sempre possuem exentriidades não onsideradas na modelagem. Outro problema enontrado oi a determinação por retroanálise ou por equações de normas de alguns parâmetros, omo, por exemplo, o módulo de elastiidade longitudinal e a resistênia à tração do onreto que podem ser dierentes dos obtidos nos ensaios. Estes valores, na maioria dos trabalhos, não eram orneidos. A modelagem de vigas de onreto armado reorçadas om ibras metálias utilizando o ANSYS é possível. Observou-se uma boa onordânia entre os resultados obtidos da modelagem e os resultados experimentais das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem e Craig (1987), por exemplo. A orça última do onreto reorçado om ibras é unção da resistênia ao arranamento das ibras metálias, τ u. Esta variável é diretamente relaionada om a resistênia da matriz à base de imento, om o tipo e ator de orma da ibra. A determinação desta resistênia oi realizada através de análises indiretas da resistênia à lexão de vigas de onreto armado om ibras. O valor médio da resistênia ao arranamento obtida para ibras om ganhos iou próximo do valor experimental obtido por Lim et al. (1987), apud Kaneko (199), de 6,5 MPa. Na análise realizada neste trabalho a resistênia a ompressão do onreto variou de 40 MPa a 100 MPa. A arga última e a dutilidade das vigas de onreto armado é unção da deormação última do onreto om ibras. Diversos autores reomendam expressões para avaliação da deormação última do onreto om ibras que tem omo prinípio um

160 Capítulo 6 Conlusão 158 arésimo de deormação em unção do volume e das propriedades das ibras. Este arésimo de deormação é proveniente da ontribuição das ibras na tração e na ompressão. No entanto não existe um onsenso entre os autores sobre o valor da deormação última do onreto om ibras. A validação do modelo analítio oi através da omparação dos resultados dos momentos últimos experimentais das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000) om os valores obtidos do modelo analítio e dos momentos últimos numérios. Os momentos analítios, obtidos a partir do modelo meânio, oram obtidos através das equações do ACI 544.4R (ACI, 1988), desritas no Capítulo deste trabalho, utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) para a determinação da deormação última do onreto om ibras. A determinação de um modelo meânio que possa orneer um momento último é undamental para as modelagens que não possuem ensaios para a sua validação. O modelo meânio apresentado neste trabalho mostrou-se válido. O mesmo apresentou um desvio padrão inerior a 5,0%. O modelo meânio adotado é válido para validar as modelagens numérias. O mesmo pode ser apliado para qualquer resistênia à ompressão, volume de ibras ou taxa de armadura longitudinal de tração. Aparentemente o ator de orma não inlueniou na resistênia à lexão das vigas, independente da resistênia à ompressão do onreto, a variação da resistênia a lexão destas vigas oi de aproximadamente 0,91%. Observa-se também que não houve aumento da resistênia a lexão devido ao aumento da resistênia a ompressão do onreto, a variação da resistênia a lexão destas vigas oi de aproximadamente 3,80%. O aumento do volume de ibras proporionou um aumento da orça última de aproximadamente 74,37%. Esta última variável, a prinipal variável para a obtenção de orças últimas. A adição de ibras ao onreto proporionou um aumento na dutilidade. O aumento da dutilidade oi inlueniado pela resistênia a ompressão no onreto, pelo volume de ibras e pela relação de orma das ibras. Neste trabalho, através de omparações entre os ritérios de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999), oi seleionado um dos

161 Capítulo 6 Conlusão 159 ritérios para a determinação da dutilidade das vigas de onreto armado reorçadas om ibras. O ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999) oi o que proporionou maior oerênia om os resultados experimentais. Nas vigas que não oram reorçadas om ibras a dutilidade variou entre 1,611 e 1,90, neste aso pode-se onsiderar a dutilidade onstante. Para as resistênias de 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa o aumento de dutilidade devido adição do volume de ibras de,0% oi aproximadamente de 5%, % e 11%, respetivamente. Este aumento oi inlueniado pela resistênia a ompressão do onreto, pelo volume e pela relação de orma das ibras. No entanto a dutilidade oi mais inlueniada pelo volume de ibras, sendo pouo inlueniada pelo ator de orma da ibra. O ator de orma das ibras obteve um aumento do índie de dutilidade de 5,5%. Nas vigas om onreto de resistênia normal (40 MPa), baixos volumes de ibra om baixo ator de orma não inlueniaram na dutilidade. Entretanto, oi possível aumentar os índies de dutilidade utilizando maiores volumes de ibras om ator de orma elevado Nas vigas om onretos de altas resistênias é possível aumentar a dutilidade utilizando ibras metálias. As ibras urtas exigem um volume maior enquanto que om as ibras longas é possível obter índies de dutilidade semelhantes om volumes reduzidos de ibras. 6.1 Proposta para trabalhos uturos abaixo: Como sugestão para trabalhos uturos, algumas propostas são mostradas Veriiar o aumento da dutilidade em vigas de onreto armado om a utilização de armadura de isalhamento em onretos onvenionais e de alta resistênia, reorçadas om ibras metálias. Modelagem de vigas de onreto armado utilizando programas de elementos initos que onsigam aompanhar o amoleimento do onreto.

162 Capítulo 6 Conlusão 160 Realizar um estudo, experimental e numério, da resistênia ao arranamento das ibras metálias, utilizando ibras om diversas ormas. Análise da dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia através da variação da taxa de armadura longitudinal. Otimização do volume de ibras metálias, para a obtenção de vigas mais dúteis. Determinação da dutilidade mínima exigida para vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia, reorçadas om ibras metálias. Realizar a análise experimental de algumas vigas da análise paramétria, para onirmar os resultados obtidos.

163 7. Reerênias Bibliográias 1. ABDUL-AHAD, R. B.; AZIZ, O. Q. Flexural strength o reinored onrete T-beams with steel iber. Cement and Conrete Composites. p , ed 1, January ABNT ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: 003 Projeto de estruturas de onreto Proedimento. Rio de Janeiro, 170 p ACI 544.4R-88. Manual o Conrete Pratie, part 5. Design Considerations or Steel Fiber Reinored Conrete. 4. AÏTCIN, P. Conreto de Alto Desempenho. 1ª ed. São Paulo: Editora Pini Ltda, p. 5. AL-TAAN et al. Flexural analysis o reinored ibrous onrete members using the inite elements method. Computers and Strutures. Vol.56. N. 6, p , ANSYS Release 6.1. U.S.A.: SAS IP, In., 00, Windows ARAÚJO, D. L. Cisalhamento entre viga e laje pré-moldadas ligadas mediante nihos preenhidos om onreto de alto desempenho. 00. São Carlos, Tese (Doutorado em Engenharia Civil). Esola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, ARAÚJO, D. L.; DEBS, M. K. E. Avaliação do Comportamento à Flexão de Viga Prémoldada de Conreto Assoiada om Laje Moldada no Loal pelo Método dos Elementos Finitos. In: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 000,

164 Capítulo 7 Reerênias Bibliográias ASHOUR, S. A.; WAFA, F.F.; KAMAL, M. I. Eet o the onrete ompressive strength and tensile reinorement ratio on the lexural behavior o ibrous onrete beams. Engineering Strutures. n., p , BARBOSA, A. F.; RIBEIRO, G. O. Modelos para análise de estruturas de onreto armado por elementos initos. In: XVIII JORNADAS SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL. São Carlos. Anais... São Carlos: Helena M. C. Carmo Antunes. setembro v. p BARBOSA, M. P. Uma ontribuição Experimental e Numéria sobre Estruturas de Conreto Armado de Elevado Desempenho: Estudo da Aderênia Anoragem e do Comportamento de Vigas Fletidas Tese (Livre Doênia em Engenharia) Fauldade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, BARROS, J. A. O.; FIGUEIRAS, J. A. Flexural Behavior o SFRC: Testing and Modeling. Journal o Materials in Civil Engineering, v. 11, n. 4, p , November, CHEN, W. F.,Plastiity in reinored onrete. MGraw-Hill Book Company, CHERN, Jenn-Chuan et al. Behavior o Steel Fiber Reinored Conrete in Multiaxial Loading. ACI Strutural Journal, v. 89, nº 1, p. 3 40, January February, CHUNXIANG, Q.; PATNAIKUNI, I. Properties o high-strength steel iber-reinored onrete beams in bending. Cement and Conrete Composites, v. 1, p , COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code Bulletin d inormation, n CRAIG, R. Flexural Behavior and Design o Reinored Fiber Conrete Members. In: Fiber Reinore Conrete Properties and Appliations. Amerian Conrete Institute.

165 Capítulo 7 Reerênias Bibliográias , Detoid, Mihigan. Anais Detroid; Editoria Patriaia Kost, p (SP 105). 18. DIAS, D. C.; SILVA, F. M. A.; DAMASCENO, J. P. Análise Teório-Experimental de Vigas. In: Análise Teório-Experimental das Estruturas do Curso de Mestrado em Engenharia Civil da EEC/UFG, 00, Goiânia. Anais... Goiânia. 56 p. 19. EZELDIN, A. S.; BALAGURU, P. N. Normal and High-Strength Fiber-Reinored Conrete under Compression. Journal o Materials in Civil Engineering, v. 4, n. 4, p , November, FARAGE, M. C. R. Inluênia da Resistênia do Conreto na Dutilidade de Vigas Rio de Janeiro, 19 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Coordenação dos Programas de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, GAMINO, A. L. Análise Numéria da Dutilidade de Vigas de Conreto Armado Convenional e de Alto Desempenho Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Fauldade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Ilha Solteira, GAMINO, A. L.; BARBOSA, M. P. Análise Numéria da Dutilidade de Vigas de Conreto Armado Convenional e de Alto Desempenho. REVISTA IBRACON. Ano XI. N.º 3. p , ev. mar. abr HEMMY, O. Test and Design Methods or Steel Fiber Reinored Conrete: Reommendations or inite element analysis o onrete with onventional reinorement and steel ibers, Tehnial University o Braunshweig, January 00. Institute o Building Materials, Conrete Constrution and Fire Protetion, p 38.

166 Capítulo 7 Reerênias Bibliográias HO, J. C. M.; KWAN, A. K. H.; PAM, H. J. Minimum lexural dutility design o high-strength onrete beams. Magazine o Conrete Researh, Hong Kong, v. 56, n. 1, p. 13-, February HSU, L. S.; HSU, C. T. T. Stress-Strain Behavior o Steel-Fiber High-Strength Conrete under ompression. ACI Strutural Journal, v.91, n.4, p , July- August, KANEKO, Y. Modelling o shear-o ailure o onrete: Frature mehanis approah PhD thesis (Thesis o Engineer) Massahusetts Institute o Tehnology, Cambridge, Massahusetts, LIM T. Y.; PARAMASIVAM, P.; LEE, S. L. Analytial Model or Tensile Behavior o Steel-Fiber Conrete. ACI Material Journal, v. 84, nº 4, p , July August, MANSUR, M. A.; CHIN, M. S.; WEE, T. H. Stress-Strain Relationship o High- Strength Fiber Conrete in Compression. Journal o Materials in Civil Engineering, v.11, n.1, p.1-9, February, NAAMAN, A. E. New iber tehnology. Conrete International. p. 57-6, July NASCIMENTO, V. G. Modelagem de Estruturas de Conreto Armado de Alta Resistênia Dissertação ( Mestrado em Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, NATARAJA, et al. Stress-strain urves or steel-iber reinored onrete under ompression. Cement and Conrete Composites. p , ed 1, May PADMARAJAIAH, S. K.; RAMASWAMY, A. A Finite element assessement o lexural strength o prestressed onrete beams with iber reinorement. Cement and Conrete Composites, v. 4, p. 9-41, 00.

167 Capítulo 7 Reerênias Bibliográias PIMENTA, A. L. A.; SILVA, N. A. Apliação de modelos onstitutivos para avaliação do omportamento não-linear em vigas de onreto armado. In: XXIV IBERIAN LATIN-AMERICAN CONGRESS ON COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING. 003, Ouro Preto. Anais...Ouro Preto: CILANCE. 003, 14 p. 34. PROENÇA, S. P. B. Notas sobre análise não-linear ísia de estruturas: Parte I: Teoria da plastiidade e ténias numérias. São Carlos, março de p. Notas de aula. 35. PROENÇA, S. P. B. Sobre modelos matemátios do Comportamento não linear do onreto: Análise Crítia e Contribuições São Carlos Tese (Doutorado em Engenharia Civil). Esola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, RIBEIRO, P. T. P. Inluênia da taxa de armadura na dutilidade de vigas de onreto de alta resistênia Rio de Janeiro, 98. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Coordenação dos Programas de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RILEM TC-16 TDF: Test and design methods or steel iber reinored. σ - ε Design method, Material and Strutures. V. 33, p , SCHNÜTGEN, B.; ERDEM, E. Trial Beams in Bending and Bending with Compression. Final Report o sub-task 4.1: Test and Design Methods or Steel Fiber Reinored Conrete Brite EuRAM Projet BRPR-CT (DG1-BRPR). Ruhr University Bohum, SIMÕES, L. C. Um modelo onstitutivo para onreto om ibras Rio de Janeiro, 13. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil). Pontiíia Universidade Católia do Rio de Janeiro

168 Capítulo 7 Reerênias Bibliográias SIMÕES, L. C.; NAPOLEÃO FILHO, J. Modelagem numéria de vigas de onreto om ibras. In: XVIII JORNADA SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL. 1997, São Carlos. Anais... São Carlos: Helena M. C. Carmo Antunes. setembro v. p SOROUSCHIAN, P.; LEE, C. Distribution and Orientation o Fibers in Steel Reinored Conrete. ACI Materials Journal, USA, v. 87, n. 5, p , September- Otober VANDEWALLE, L.; DUPONT, D. Reommendations or Finite Element Analysis o SFRC: Brite Euram BRPR-CT Catholi University Leuven, subtask 3.5, 00, 8 p. 43. YIN, W. S. et al. Biaxial Tests o Plain and Fiber Conrete. ACI Strutural Journal, v. 86, nº 3, p , May June, 1989.

169 8 Anexo 8.1 Introdução Neste anexo é apresentado um resumo das prinipais superíies de plastiiação e de ruptura empregadas na modelagem de estruturas de onreto armado. Maiores detalhes dessa superíies podem ser enontrados nos trabalhos de Proença (1988) e Chen (198). A superíie iniial de plastiiação, orrespondendo ao material em seu estado elástio, é dada pela equação ( 8.1 ). = ( T ) 0 ( 8.1 ) Da orma omo está esrita a equação ( 8.1 ), valores nulos da unção signiiam que a estrutura atinge a superíie de plastiiação, enquanto valores negativos signiiam que a estrutura ainda se enontra na regime elástio. A superíie de plastiiação deinida no espaço das tensões prinipais normalmente é esrita em unção dos invariantes I 1, J e J 3, onorme as equações ( 8. ), ( 8.3 ) e ( 8.4 ). I ( 8. ) 1 = σ 1 + σ + σ 3 [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] 1 J = ( 8.3 ) 6 ( σ σ )(. σ σ )( σ σ ) J ( 8.4 ) 3 = sendo: I 1 = primeiro invariante do tensor de tensões;

170 Anexo 168 J e J 3 = invariantes do tensor desviatório de tensões; σ, σ = tensões prinipais. 1 σ, 3 8. Superíie de plastiiação de Tresa e Von Mises A superíie iniial de plastiiação, orrespondente ao material em seu estado elástio, é dada pela equação ( 8.5 ), esrita em unção dos invariantes I 1, I e I 3. = I, J, J ) 0 ( 8.5 ) ( 1 3 = A unção de Tresa é expressa em unção das tensões prinipais por: ( σ 1, σ, σ 3 ) = máx ( σ 1 σ ), ( σ σ 3 ), ( σ 1 σ 3 ) = k ( 8.6 ) onde k representa o valor da tensão de isalhamento máxima que pode ser interpretada isiamente a partir das seguintes situações: Cisalhamento Puro: σ = e σ 0 1 σ 3 = então: 1 1 τ 13 = ( σ1 σ 3) = ( σ1 + σ1) = σ1 ( 8.7 ) logo: τ 13 = σ 1 1 então σ = k Tração Simples: σ 1 = σ e σ = σ 0 3 =

171 Anexo 169 logo: σ = k, isto é, a plastiiação iniia om a tensão σ de valor duas vezes superior à tensão de plastiiação do estado de isalhamento puro. Exprimindo a unção de Tresa em unção dos invariantes r e θ resulta: π ( r, θ ) = r sen( θ + ) k = 0 ( 8.8 ) 3 Figura 8.1 Superíie de Tresa e Von Mises no plano desviatório (Proença, 1989). Então a superíie de Tresa é representada, em projeção no plano desviatório ou anti-esério, por uma hexágono regular Figura 8.1. No espaço tridimensional das tensões prinipais ela orresponde a um prisma de base hexagonal. A unção de Von Mises possui a seguinte representação, expressa em unção do invariante J : J ) = J k 0 ( 8.9 ) ( = onde k, analogamente ao que oi eito om Tresa, representa a tensão de isalhamento máxima que pode ser interpretada isiamente a partir das seguintes situações:

172 Anexo 170 Cisalhamento puro: σ = e σ 0 1 σ 3 = então: J = 1 6 [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ]= então : ( σ 1 + σ 1 + 4σ 1 ) = σ 1 = σ 1 = τ 13 τ = k ( 8.10 ) 13 Tração Simples: σ 1 = σ e σ = σ 3 = 0 então do ritério de Von Mises tem-se que: σ = 3k ( 8.11 ) Em ambos os asos, Tresa e Von Mises são unções de plastiiação que dependem apenas de um parâmetro: o invariante J. Transormando a equação (8.9) para uma unção do parâmetro r do plano desviatório, obtêm-se (Poença, 1988) ou (Chen, 198): ( r) = r k = 0 ( 8.1 ) A última expressão mostra que a superíie de Von Mises representa um ilindro de projeção irular no plano anti-esério. Tomando-se para valor de r o valor da tensão limite orneida pelo estado de isalhamento puro, o irulo de Von Mises ia irunsrito ao hexágono de Tresa, omo mostrado na Figura 8.1. Se or tomado o valor da tensão limite da tração simples, o írulo de Von-Mises ia irunsrito ao hexágono

173 Anexo 171 de Tresa. Os valores para r, de tração ou ompressão, apresentam uma dierença máxima entre os dois ritérios de no máximo de 15%. Em termos prátios, a superíie de Von Mises apresenta ser mais vantajosa que a superíie de Tresa, pois a mesma não apresenta as desontinuidades em primeira derivada, arestas, existentes na superíie de Tresa. Além disso, há uma melhor onordânia da superíie de Von Mises om os valores experimentais. 8.3 Superíie de Plastiiação de Mohr-Coulomb É uma unção que leva em onta o eeito do primeiro invariante I 1, pressão hidrostátia em relação às tensões prinipais, na ondição de plastiiação do material. As araterístias de ruptura rágil do onreto na tração e de dutilidade em altas ompressões podem ser onsideradas através da deinição de uma superíie de ruptura resultante da ombinação dos ritérios da tensão de tração máxima (Rankine) e de Mohr-Coulomb. A ruptura a tração oorrerá quando qualquer uma das tensões prinipais or superior a tensão de tração do onreto, ou seja: σ 1 Ruptura= σ σ 3 > t A Figura 8. mostra do lado das tensões normais positivas (σ), o ritério de Mohr-Coulomb pode ser representado por um aro de írulo que orta o eixo das tensões normais num ponto de ordenada t, ponto A e o eixo das tensões isalhantes (τ) em pontos ujas ordenadas, em módulo, representam a oesão do material, pontos B. Do lado das tensões normais negativas (σ), o aro do írulo é prolongado, a partir do eixo das tensões isalhantes (τ), por duas retas representativas do ritério de Coulomb. A inlinação das retas om relação ao eixo das tensões normais representa o ângulo de atrito interno do material (φ).

174 Anexo 17 Figura 8. - Mohr-Coulomb modiiado no sistema σ-τ (Proença, 1988). A representação matemátia do ritério no sistema σ-τ é: a) max σ = t para σ 0 b) maxτ + σtg ( φ) =, para σ 0 ( 8.13 ) onde é a oesão e φ é o ângulo de atrito interno do material. Assim a equação matemátia representada na equação ( 8.13 ) ia: τ = σtg(φ) ( 8.14 ) que também pode ser representada na Figura 8.3.

175 Anexo 173 Figura Círulo de Mohr-Coulomb (Proença, 1989). Da igura pode-se retirar as seguintes expressões: ( + ) σ 1 σ σ = 3 ( 8.15 ) ( ) σ os( ) 1 σ τ φ = 3 ( 8.16 ) Então a equação ( 8.14 ) pode ser esrita da seguinte orma: ( σ σ ) σ 1 + σ 3 +.sen( φ) =.os( 1 3 φ ) ( 8.17 ) rearranjando os termos: ( + sen( φ) ) σ ( 1 sen( φ) ) 1 3 σ 1..os( φ)..os( φ) = 1, para σ1 σ σ 3 ( 8.18 ) Alterando a equação ( 8.8 ), substituindo as araterístias ísias e φ por e t, a superíie de plastiiação passa a ser esrita da seguinte orma: σ σ t 1 3 = 1 ( 8.19 ) onde:

176 Anexo 174..os( φ) = ( 8.0 ) 1 sen( φ) (resistênia à ompressão axial)..os( φ) = t ( 8.1 ) 1+ sen( φ) (resistênia à tração axial) Assim é possível determinar a oesão e o ângulo de atrito possuindo as resistênias à ompressão e tração axial do material. Tendo em vista agora que a expressão de plastiiação de Mohr-Coulomb ia em unção dos invariantes I 1, J e θ (Proença, 1988) ou (Chen, 198): 1 π J π ( I1, J, θ ) = I1 sen( φ) + J sen( θ + ) + os( θ + ).sen( φ).os( φ) = 0 (8.) ou, ainda identiiando em unção de r, ξ e θ a expressão anterior: π π ( ξ, r, θ ) =. ξ.sen( φ) + 3. r.sen( θ + ) + r.os( θ + ).sen( θ ) 6..os( φ) = 0 (8.3 ) 3 3 sendo que invariante θ varia de 0 θ π 3. Com base na equação ( 8.3 ) é possível analisar a superíie de plastiiação em relação às tensões prinipais nos planos meridiano e desviatório. Como mostrado na Figura 8.4, ixando em um meridiano om o valor de θ onheido a variação de r om ξ é linear. As retas deinidas pelos planos meridianos ruzam-se no eixo hidrostátio ξ, onde r=0, num ponto de oordenadas ξ = 3.otg( φ). Variando o valor do ângulo θ, os valores máximos e mínimos estão nos intervalos de θ=0º e θ=60º e valem, respetivamente: sen( φ) tan( φt ) = ( 8.4 ) 3 + sen( φ)

177 Anexo 175 sen( φ) tan( φ ) = ( 8.5 ) 3 sen( φ) sendo φ t e φ reerentes aos meridianos de tração (θ=0º) e ompressão (θ=60º), respetivamente. Figura Representação no plano meridiano r-ξ, (Proença, 1988). No plano desviatório (ξ=0),. interessam, de iníio, os valores de r para θ=0º e θ=60º (Proença, 1988), são: 6..os( φ) r θ = 0º = = rt 0 ( 8.6 ) 3 + sen( φ) 6..os( φ) r θ = 60º = = r 0 ( 8.7 ) 3 sen( φ) Pode-se mostrar que os suessivos valores de r obtidos para dierentes valores de θ deinem uma reta que passa pelos pontos r t0 e r 0. Como onseqüênia das dierenças entre os valores de r t0 e r 0, a projeção da superíie no plano antiesério se apresenta na orma de uma hexágono irregular onorme é mostrado na Figura 8.5.

178 Anexo 176 Figura Projeção no plano desviatório do hexágono irregular (Proença, 1988). Com relação às aproximações obtidas om este ritério, é interessante ressaltar que os resultados serão bons sempre que uma das tensões prinipais, pelo menos, or de tração, ou então, num aso apenas de ompressão, quando a tensão prinipal de maior valor absoluto não ultrapassar,0 a,5 vezes a resistênia à ompressão simples. Isso oorre porque os meridianos são representados por retas, enquanto que os ensaios experimentais mostram que são urvas. Conorme Proença (1988), um exemplo de erro deorrente da utilização deste ritério onsiste na análise de um aso plano de tensão om ompressão biaxial. A apliação do ritério nesse aso, devido à desonsideração da tensão intermediária, induz à onlusão de que a resistênia máxima à ompressão biaxial é igual à de ompressão uniaxial, sendo que isso não é verdade em ensaios experimentais. 8.4 Superíie de plastiiação de Druker-Prager A superíie de Mohr-Coulomb apresenta os mesmos inonvenientes que a superíie de Tresa no que diz respeito às desontinuidades nas derivadas, arestas, em alguns pontos. Durker-Prager propôs um one que pode ser ajustado de modo a estar insrito ou irunsrito à pirâmide irregular de Mohr-Coulomb.

179 Anexo 177 A expressão de Druker-Prager é apresentada omo uma modiiação da expressão de Von Mises, equação ( 8.9 ), aresentada de uma parela relativa ao primeiro invariante: ( I, J α I + J k ( 8.8 ) 1 ) = 1 sendo α e k onstantes essenialmente positivas, relaionadas à oesão () e ao ângulo de atrito do material (φ), e om valores partiulares para ada aso de aproximação desejado. Considerando agora as relações: r = J ( 8.9 ) I 1 ξ = ( 8.30 ) 3 a equação ( 8.8 ) passa a ser esrita da seguinte orma: ( ξ, r) = 6αξ + r k = 0 ( 8.31 ) A equação ( 8.31 ) representa um one que tem os valores araterístios representados na Figura 8.6. Figura Representação da superíie de Druker-Prager (Proença, 1988). Para a obtenção dos valores de α e k seja, por exemplo, a hipótese em que o one irunsreve a pirâmide de Mohr-Coulomb. Nesta situação, o parâmetro r 0 do one

180 Anexo 178 deve igualar-se om r θ = 60º = r 0 da pirâmide. Por outro lado, os pontos onde as superíies ruzam o eixo hidrostátio devem oinidir. Dessas ondições resultam: 6os( φ) 6 os( φ) k = k = ( 8.3 ) 3 sen( φ) 3(3 sen( φ)) k sen( φ) = 3 ot( φ) α = 3α 3(3 sen( φ)) ( 8.33 ) Por outro lado, o one insrito à pirâmide é obtido azendo-se oinidir r 0 do one om r t0 da pirâmide, além, do ponto onde as superíies ruzam o eixo hidrostátio. Nessas ondições: 6 os( φ) 6 os( φ) k = k = ( 8.34 ) 3 + sen( φ) 3(3 + sen( φ)) k sen( φ) = 3 ot( φ) α = 3α 3(3 + sen( φ)) ( 8.35 ) Com o objetivo de omparar o grau de aproximação obtido pelo one de Druker-Prager om relação à pirâmide de Mohr-Coulomb é interessante analisar o plano σ 1 σ. Adotando as situações φ=0º e φ=45º, onsiderando o aso do one irunsrito à pirâmide irregular, os parâmetros α e k valem, respetivamente: φ = 0º α = 0 k = ( 8.36 ) 3 φ = 45º α = 0,3561 k = 1, 0683 ( 8.37 ) A Figura 8.7 ilustra a omparação no plano σ 1 σ entre os ones insrito e irunsrito à pirâmide orrespondente a φ = 45º. Os diagramas estão adimensionados em unção de, para φ = 45º obteve-se = 4, 884.

181 Anexo 179 respetivamente: No aso do one insrito à pirâmide, as onstantes k e α valem, para φ = 45º, k = 0, 6607 α = 0,0 É observada a poua onordânia entre o ritério de Druker-Prager e os resultados experimentais, portanto, a regularização proposta é apenas vantajosa sob o ponto de vista numério (Proença, 1988). Figura 8.7 Comparação, no plano σ 1 σ, entre os ones de Druker-Prager insritos e irunsritos à pirâmide de Mohr Coulomb (Proença, 1989).

182 Anexo Superíie de plastiiação de Chen-Chen Conorme Proença (1988) o ritério de Chen-Chen é um ritério mais preiso om relação aos resultados experimentais, e é esrito omo uma unção dos invariantes I 1 e J, possuindo portanto, orma irular no plano desviatório. No espaço das tensões prinipais são identiiadas duas regiões, denominadas de zona de ompressão e zona de tração-ompressão. As duas unções dierentes simulam a superíie de plastiiação em ada uma das regiões. Para a zona de ompressão, tem-se a seguinte expressão: 1 J = 3 + I1A k ( 8.38 ) Para a zona de tração-ompressão, tem-se a seguinte expressão: 1 1 J = 6 3 I1 + I1A k ( 8.39 ) As onstantes A e k são determinadas pela imposição de que os estados últimos de ompressão uniaxial e biaxial e os estados de tração e ompressão uniaxial veriiquem, respetivamente, as expressões ( 8.38 ) e ( 8.39 ). Como se pode observar, a ompatibilidade entre as duas expressões se dá através da tensão de ompressão uniaxial. Observando ainda as expressões ( 8.38 ) e ( 8.39 ), onlui-se que na zona de ompressão, o aspeto da superíie num plano meridiano é o de uma reta, enquanto que na zona de tração-ompressão o aspeto é de uma parábola do segundo grau. A Figura 8.8.dá uma idéia desse omportamento.

183 Anexo 181 Figura Aspeto da superíie de plastiiação num plano meridiano (Proença, 1988). Sendo ompressão uniaxial ( ), tração uniaxial ( t ) e ompressão biaxial ( ) são as ondições para a determinação das onstantes A e k expressas por: b Na zona de ompressão: σ 3 = J = e I1 = 3 ( 8.40 ) b σ = σ 3 = b J = e I1 = b 3 ( 8.41 ) substituindo na equação ( 8.38 ): 3 k 1 + ( A = ) A = k 3 e 3 k b 1 + ( b b A = ) A = k b 3 obtém-se o sistema: k k A = b A = 3 b 3 resolvendo:

184 Anexo 18 ( ) ( ) b b b b b k A = = 3 1 e azendo b b =, valor adimensional, têm-se: ( ) ( ) ( ) ( ) = = b b b b b k A Na zona de tração-ompressão: t t J = = σ e t I = J = = σ e I = 1 ( 8.4 ) substituindo em ( 8.39 ): t t t t t t A k k A = = + e A k k A = + = obtém-se o sistema: = + = t t A k A k resolvendo:

185 Anexo 183 A = k = 1 ( ) 1 6 t t azendo = t t, valor adimensional, têm-se: A k = ( 1 ) t t = 6 Na Figura 8.9 está mostrado o aspeto da superíie de Chen-Chen, adimensionada por, no espaço biaxial das tensões prinipais. Figura Representação da superíie de Chen-Chen no sistema σ 1 σ (Proença, 1988). 8.6 Superíie de Plastiiação de Willam-Warnke Willam-Warnke sugerem uma superíie de plastiiação desrita em unção dos invariantes σ m, τ m e θ através da seguinte relação: 1 σ m 1 τ m ( σ m, τ m, θ ) = + 1 = 0 ( 8.43 ) ρ r( θ )

186 Anexo 184 onde σ m e τ m são as omponentes médias de tensão expressas em unção dos invariantes I 1 e J, respetivamente, por: 1 σ = I 1 m = ξ ( 8.44 ) 3 3 J 5 1 r 5 τ m = = ( 8.45 ) A superíie é araterizada por ter uma orma linear no plano meridiano e não irular no plano anti-esério expressa pela unção r(θ). De modo a satisazer as ondições de simetria segundo um setor de 60º no plano anti-esério, omo mostra a Figura 8.10, para ada setor a orma elíptia (regular e onvexa) é expressa pelo vetor ( 8.46 ). ( r rt ) os( θ ) + r ( rt r )[ 4( r rt ) os ( θ ) + 5rt 4rt r ] 4( r r ) os ( θ ) + ( r r ) r r( θ ) = ( 8.46 ) Com o ângulo de simetria dado por: 1 3 [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] 1 1 t σ σ σ os( θ ) = ( 8.47 ) t 1 Figura Representação no plano anti-esério da superíie de Willam-Warnke (Proença, 1988). A equação ( 8.39 ) ia totalmente deinida uma vez determinada os parâmetros r, r t e ρ. Para a determinação destes parâmetros impõe-se que a equação ( 8.43 ) seja

187 Anexo 185 válida nos asos de tração uniaxial ( t ), ompressão uniaxial ( ) e ompressão biaxial ( b ). Para ada aso, obtêm-se: Tração uniaxial: t σ 1 = σ = σ 3 = 0 θ = 0º I1 t σ m = = ( 8.48 ) 3 3 τ = m J t 5 = 15 ( 8.49 ) ( r rt ) os(0º ) + r ( rt r )[ 4( r rt ) os (0º ) + 5rt 4rt r ] 4( r r ) os (0º ) + ( r r ) r r ( 0º ) = r (8.50 ) = t t 1 t Compressão uniaxial σ 3 = σ 1 = σ = 0 θ = 60º I1 σ m = = ( 8.51 ) 3 3 τ = m J 5 = 15 ( 8.5 ) ( r rt ) os(60º ) + r ( rt r )[ 4( r rt ) os (60º ) + 5rt 4rt r ] 4( r r ) os (60º ) + ( r r ) r r (60º ) = r = t t 1 (8.53 )

188 Anexo 186 ompressão biaxial σ = σ 3 σ 1 = 0 θ = 0º = b I1 b σ m = = ( 8.54 ) 3 3 τ = m J b 5 = 15 ( 8.55 ) ( r rt ) os(0º ) + r ( rt r )[ 4( r rt ) os (0º ) + 5rt 4rt r ] 4( r r ) os (0º ) + ( r r ) r r ( 0º ) = r ( 8.56 ) = t t 1 t ( 8.57 ): Substituindo essas ondições na equação ( 8.43 ) resulta o sistema de equações 1 t + 3 ρ ρ 15 1 b + 3 ρ = 1 r 1 15 t 30 = 1 r t t b 30 = 1 r ( 8.57 ) Do sistema aima, determinando ρ, r t e r, resulta: b t ρ = ( 8.58 ) + ) ( b t r t = 1 5 b 30 ( b + t ) t ( 8.59 ) r 1 30 = b t 5 b + t 3 b ( 8.60 ) t

189 Anexo 187 azendo b b = e t t =, valores adimensionais, e substituindo nos resultados aima, têm-se: t b t b = ρ ( 8.61 ) t b t b t r = ( 8.6 ) t b t b t b r + = ( 8.63 ) O vértie do one ormado pela superíie enontra-se sobre o eixo hidrostátio, 0 = m τ da equação ( 8.43 ), à distânia ρ da origem: ) ( ) ( 1 1 ),, ( = + = + = m m m m m r r θ σ ρ τ θ σ ρ θ τ σ ρ σ = m ( 8.64 ) A Figura 8.11 india que a suavidade da onvexidade da urva de ruptura, pode ser garantido para qualquer posição do vetor r(θ) se or satiseita a seguinte ondição: 1 1 t r r ( 8.65 )

190 Anexo 188 Figura Traçado elíptio da superíie de ruptura de 0 θ 60º (Chen, 198). Na Figura 8.1 estão ilustradas no plano desviatório as situações em que a superíie deixa de ser onvexa por serem violadas as ondições ( 8.65 ). A superíie deve ser normal aos eixos σ 1 e σ. Figura Violação das ondições de onvexidade da superíie (Proença, 1988).