2-0, **.C 2 + 0, **.T.C

Transcrição

1 14. Itrodução ao estudo de regressão lear smples Itrodução Itrodução ao estudo de regressão lear smples IS 78,9137 -,341836**.T +,78753**.C -,7154**.T -,4195**.C +,175**.T.C R 77,17% IS, % Fgura 14.1 Eemplo lustratvo de regressão lear múltpla. O ídce de sobrevvêca (IS) do cloe TSH 565 em fução do comprmeto remaescete folar e do tempo, após preparo para propagação massal. Nos epermetos em que os tratametos são íves crescetes de pelo meos um fator quattatvo, como por eemplo: adubo, herbcda, rrgação; é estrtamete correto a utlzação dos testes de comparação de médas múltplas (TCMM), ou aálse de cotrastes (AC), para estudar seus efetos sobre as varáves aleatóras mesuradas. Essas téccas, TCMM e AC, são utlzadas a aálse qualtatva de epermetos. Quado os tratametos são íves crescetes de pelo meos um fator quattatvo, os esaos devem ser aalsados por termédo da aálse quattatva de epermetos, sto é, regressão, e ou, correlação. Embora as téccas e prcípos sejam comus a ambos os métodos (regressão e correlação), estem dfereças cocetuas que devem ser cosderadas. 176

2 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ŷ 14, X Ntrogêo, kg ha -1 Fgura 14. Eemplo lustratvo de regressão lear smples. A safra do mlho em fução de doses crescetes de adubo trogeado aplcado em cobertura. A aálse de correlação é dcada para estudar o grau de assocação lear etre varáves aleatóras. Ou seja, essa técca é empregada, especfcamete, para se avalar o grau de covaração etre duas varáves aleatóras: se uma varável aleatóra 1 aumeta, o que acotece com uma outra varável aleatóra : aumeta, dmu ou ão altera? 1 1 Na aálse de regressão uma resposta ulateral é esperada: alterações em X (fator quattatvo) podem mplcar em alterações em, mas alterações em ão resultam em alterações em X. Equato a aálse de regressão lear os mostra como as varáves se relacoam learmete, a aálse de correlação va os mostrar apeas o grau desse mesmo relacoameto. Na aálse de regressão estmamos toda uma fução f(x), a equação de regressão: 177

3 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ŷ 14, X Ntrogêo, kg ha -1 A aálse de correlação, por sua vez, os forece apeas um úmero, um ídce, que quatfca o grau da assocação lear etre duas varáves aleatóras: 1 1 r,6 r -,8 Quado se deseja verfcar a estêca de alguma relação estatístca etre uma ou mas varáves fas, depedetes, sobre uma varável aleatóra, deomada depedete, utlza-se a aálse de regressão (embora essa aálse possa, também, ser utlzada para estabelecer a relação fucoal etre duas ou mas varáves aleatóras). Para eemplfcar, vamos cosderar que coduzmos um epermeto submetedo platas de mlho a doses crescetes de trogêo. Naturalmete, a produção será depedete da quatdade aplcada desse fertlzate, X: 178

4 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ŷ 14, X Ntrogêo, kg ha -1 Assm, o fertlzate trogeado aplcado é a varável depedete, e cada uma das quatdades aplcadas são seus íves, ( kg ha -1 ). Cada varável aleatóra mesurada a cultura do mlho, sujeta a fluêca dos íves da varável depedete, ou seja, das doses de trogêo, é chamada varável depedete ou fator resposta. Podera-se medr, por eemplo, o úmero de espgas por plata ( 1 ), a altura méda das platas ( ), o peso de 1. grãos ( 3 ), o teor de proteías dos grãos ( 4 ), o teor de gordura dos grãos ( 5 ), etc. Como a aplcação do fertlzate ão depede da safra, sedo, ao cotráro, determada depedetemete pelo pesqusador, desgamo-la varável depedete ou regressor. Podemos estudar va aálse de regressão o efeto da varável, este caso, fa, depedete, X (dose de trogêo), sobre as varáves aleatóras, ou depedetes, (produção de matéra seca, teor de proteías dos grãos, teor de gordura dos grãos, etc.). Dz-se regressão de sobre X. Posterormete, caso seja de teresse, podemos utlzar a aálse de correlação para estudar o grau de assocação lear, por eemplo, etre o teor de proteías e o teor de gordura dos grãos, sedo ambas varáves aleatóras:

5 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ou seja, poderemos estudar va correlação lear smples o grau de assocação etre um par qualquer (, ). Por eemplo, se o teor de proteías aumeta, o que acotece com o teor de gordura (aumeta, dmu ou ão altera). Estaremos, etão, teressados em averguar a covaração etre estas duas varáves aleatóras. Nada mpede, etretato, que o estudo etre o teor de proteías e teor de gordura seja feto, por meo da aálse de regressão. Nesses casos, sera dferete a posção ocupada por cada uma das varáves aleatóras, ou seja, a posção (depedete) ou X (depedete). O correto sera estudar va aálse de correlação o efeto do trogêo (varável fa) sobre a produção de matéra seca dos grãos de mlho (varável aleatóra), ou sobre os teores de proteía, gordura, etc. Em sítese, o método da aálse de regressão pode ser utlzado sempre que estr uma relação fucoal etre uma varável chamada depedete e uma outra chamada depedete (regressão lear smples) ou etre uma varável depedete e duas ou mas varáves depedetes (regressão lear múltpla). Ajustameto Se precsarmos cosderar como a safra depede de dferetes quatdades de trogêo, deveremos defr a aplcação do trogêo segudo uma escala umérca. Se grafarmos a safra,, decorrete das dversas aplcações, X, de trogêo, poderemos observar uma dspersão aáloga a Fgura 14.3: Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Relação observada etre a safra e a aplcação de trogêo. A aplcação de trogêo afeta a safra. Podemos, por meo de uma equação, relacoado X e, descrever como afeta. Estmar uma equação é geometrcamete equvalete a ajustar uma curva àqueles dados dspersos, sto é, a regressão de sobre X. Esta equação será útl como descrção breve e precsa de predzer a safra para qualquer quatdade X de trogêo. Como safra depede do trogêo, a safra é chamada varável depedete ou fator resposta,. 18

6 Itrodução ao estudo de regressão lear smples A aplcação do trogêo ão depede da safra, sedo, ao cotráro, determada depedetemete pelo pesqusador, é chamada a varável depedete ou regressor, X. Vamos cosderar um estudo sobre a fluêca do N (trogêo) aplcado em cobertura sobre a safra do mlho. Supohamos que só dspomos de recursos para fazer sete observações epermetas. O pesqusador fa etão sete valores de X (sete íves do regressor), fazedo apeas uma observação (fator resposta), em cada caso, tal como se vê a Fgura 14.4: X Ntrogêo kg ha -1 Safra kg ha Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Dados e reta ajustada a olho aos dados apresetados. Até ode é bom um ajustameto feto a olho, tal como o da Fgura 14.4? Verfcar a lustração de város graus de dspersão (Fgura 14.5). Necesstamos etão de um método objetvo, que possa ser esteddo ao maor úmero de stuações, ode o ajustameto a olho esteja fora de questão. 181

7 Itrodução ao estudo de regressão lear smples a Ntrogêo, kg ha -1 b Ntrogêo, kg ha -1 c Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Ilustração de dversos graus de dspersão. 18

8 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Crtéros para se ajustar uma reta Precsamete, o que é um bom ajustameto? A resposta óbva sera: um ajustameto que acusa pequeo erro total. A Fgura 14.6 lustra um erro típco (desvo). O erro ou a falta de ajustameto é defdo como a dstâca vertcal etre o valor observado e o valor ajustado a reta, sto é, ( ): Erro, Desvo ou Falta de ajustameto Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Erro típco o ajustameto de uma reta. O método mas comumete utlzado para se ajustar uma reta aos potos dspersos é o que mmza a soma de quadrados dos erros: ( ) 1 cohecdo como crtéro dos mímos quadrados ou mímos quadrados dos erros. Sua justfcatva clu as segutes observações: O quadrado elma o problema do sal, pos tora postvos todos os erros. A álgebra dos mímos quadrados é de maejo relatvamete fácl. 183

9 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ajustado uma reta O cojuto de valores X e observados a Fgura 14.4 é grafado ovamete a Fgura 14.7(a): X a. Ntrogêo, kg ha b. Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Traslação de eos. (a) Regressão utlzado os valores orgas. (b) Regressão após trasladar. 184

10 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Estágo 1: Eprmr X em termos de desvos a cotar de sua méda, sto é, defr uma ova varável (músculo), tal que: X X Isto equvale a uma traslação geométrca de eos: X Ntrogêo, kg ha Ntrogêo, kg ha -1 Observa-se que o eo fo deslocado para a dreta, de a X. O ovo valor tora-se postvo, ou egatvo, coforme X esteja a dreta ou a esquerda de X. Não há modfcação os valores de. O tercepto dfere do tercepto orgal,, mas o coefcete agular,, permaece o mesmo. 185

11 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Medr X como desvo a cotar de X smplfca os cálculos porque a soma dos ovos valores é gual a zero, sto é: ( X X ) X X X X Estágo : Ajustar a reta da Fgura 14.7(b), sto é, a reta: Ntrogêo, kg ha -1 Devemos ajustar a reta aos dados, escolhedo valores para e, que satsfaçam o crtéro dos mímos quadrados. Ou seja, escolher valores de e que mmzem ( ) 1 Equação 1 Cada valor ajustado estará sobre a reta estmada: + Equação Assm, estamos date da segute stuação: devemos ecotrar os valores e de modo a mmzar a soma de quadrados dos erros. como: Cosderado as Equações 1 e, sto pode ser epresso algebrcamete 186

12 Itrodução ao estudo de regressão lear smples 187 ( ) + 1 ( ) ( ) + ) ( ), ( S Utlzou-se ), ( S para efatzar que esta epressão depede de e. Ao vararem e (quado se tetam váras retas), ), ( S varará também. Perguta-se etão, para que valores de e haverá um mímo de erros? A resposta a esta perguta os forecerá a reta ótma (de mímos quadrados dos erros). A técca de mmzação mas smples é forecda pelo cálculo. A mmzação de ), ( S ege o aulameto smultâeo de suas dervadas parcas: Igualado a zero a dervada parcal em relação a : ( ) ( ) 1) ( 1 Dvddo ambos os termos por (-) e reagrupado: Assm, a estmatva de mímos quadrados para é smplesmete o valor médo de. Verfca-se que sto assegura que a reta de regressão ajustada deve passar pelo poto ( ),, que pode ser terpretado como o cetro de gravdade da amostra de potos:

13 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ntrogêo, kg ha -1 É precso também aular a dervada parcal em relação a : ( ) ( ) ) ( 1 Dvddo ambos os termos por (-): ( ) Reagrupado: +

14 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Podemos stetzar da segute forma: Com os valores meddos como desvos a cotar de sua méda, os valores e de mímos quadrados dos erros são: Ntrogêo, kg ha

15 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Para os dados da Fgura 14.4, e acham-se calculados o Quadro Quadro Cálculos dos valores ecessáros X X X X X X X N N X , , , 3.94, Equação , Ntrogêo, kg ha -1 19

16 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Estágo 3: A regressão pode agora ser trasformada para o sstema orgal de referêca: 3.94, ( X X ) 3.94, ( X 3.94, ( X X ) 4) 3.94, X , X Equação , Equação 3 Comparado as Equações 3 e 4, observa-se que:? O coefcete agular da reta de regressão ajustada ( 95X) permaece alterado.? A úca dfereça é o tercepto,, ode a reta tageca o eo.? O tercepto orgal fo faclmete reobtdo Ŷ 14, N Ntrogêo, kg ha -1 Fgura Gráfco dos potos dspersos com a reta ajustada. 191

17 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Esta equação é útl como descrção breve e precsa de predzer a safra, em kg ha -1, para qualquer quatdade de trogêo, também em kg ha -1, aplcada. Observar que:? Se ehum trogêo for aplcado à cultura, a safra estmada será de 14,86 kg.? Esta safra se deve a absorção pela cultura do N dspoível o solo, possvelmete assocado ao cclo orgâco.? No tervalo das doses aplcadas (1 a 7 kg), cosderado-se um hectare, para cada kg de trogêo aplcado, a cultura respode com 95 kg de grãos Aálse de varâca da regressão Para se decdr quão bem o modelo ajustado é adequado à atureza dos dados epermetas, pode-se laçar mão da aálse de varâca da regressão (ANOVAR). Para o caso em estudo, a ANOVAR rá partcoar a varação total (SQDtot) da varável depedete - ou fator resposta - em fução das varações os íves da varável depedete - ou regressor, em duas partes:? Uma parte assocada ao modelo ajustado (SQDDreg): soma de quadrados dos desvos devdo à regressão, que quatfca o quato da varação total da safra, provocada pela varação das doses de trogêo, é eplcada pelo modelo ajustado.? Uma outra parte assocada à falta de ajuste (SQDDerr): soma de quadrados dos desvos devdo ao erro, que quatfca o motate da varação total da safra, provocada pela varação da dose de trogêo, que ão é eplcada pelo modelo ajustado. Para o eemplo em aálse a ANOVAR tera a segute estrutura: Hpóteses: H o : ou H o : + X H 1 : > ou H 1 : + X ANOVAR? Sgfcado de H o : A equação de regressão ão eplca a varação da varável depedete, em decorrêca da varação da varável depedete X, ao ível de...% de probabldade.? Sgfcado de H 1 : A equação de regressão eplca a varação da varável depedete, em decorrêca da varação da varável depedete X, ao ível de...% de probabldade. Causa da varação GL Regressão 1 Erro 5 Total 6 19

18 Estem váras formas de realzar estes cálculos. Itrodução ao estudo de regressão lear smples Objetvado clareza de déas e cocetos, a forma que será empregada utlzará o coceto mas elemetar da estatístca, ou seja, a varâca: SQD Quadrado médo dos desvos s SQD 1 ( m) Vejamos 1 : N, kg ha -1 Safra_Obs Safra_Est ,86.3 4, , , , , , , N Ntrogêo, kg ha -1 1 Obs Observado: valores observados de Est Estmado: valores estmados para a partr da equação de regressão. 193

19 Itrodução ao estudo de regressão lear smples SQDtot Obs m (Obs) Obs-m (Obs) [Obs-m (Obs) ] , , , , , , , , , ,86-4, , , , , , , , ,86.657, , ,86 SQDreg Est m (Est) Est-m (Est) [Est-m (Est) ] , , 8.1.5, ,86-1.9, 3.61., ,86-95, 9.5, ,86,, ,86 95, 9.5, ,86 1.9, 3.61., ,86.85, 8.1.5, 5.7., SQDerr Obs Est Erro(Obs-Est) m (Erro) Erro-m (Erro) [Erro-m (Erro) ] ,86-9,86, -9,86 8.6,45.3.4,86 57,14, 57, , ,86-39,86, -39, , ,86-4,86, -4, , ,86 57,14, 57, , ,86-4,86, -4, , ,86-19,86, -19, , ,86 ANOVAR Causa da varação GL SQD QMD F cal Pr Regressão , 5.7., 39,69 <,1 Erro , ,57 Total ,86 Coclusão: rejeta-se H ao ível de 5% de probabldade pelo teste F. 194

20 Itrodução ao estudo de regressão lear smples Ou seja, a equação de regressão ajustada eplca a varação da safra, em decorrêca da varação das doses de trogêo, ao ível de 5% de probabldade pelo teste F Cálculos alteratvos da soma de quadrados dos desvos É possível demostrar algebrcamete que: SQDtot SQDreg + ( ) SQDerr SQDtot SQDreg X ( ) Esta forma de realzar os cálculos da soma de quadrados dos desvos, embora meos compreesível a prmera vsta, é a mas prátca e deve ser a preferecalmete utlzada. X X

21 Itrodução ao estudo de regressão lear smples SQDtot ( ) ( 7.6) ,86 SQDreg + X o SQDreg 5.7. ( ) SQDreg 14, ( 7.6) 7 SQDerr SQDtot SQDreg SQDerr , SQDerr 57.14,86 ANOVAR Causa da varação GL SQD QMD F cal Pr Regressão , 5.7., 39,69 <,1 Erro , ,57 Total , Coefcete de determação da regressão O coefcete de determação do modelo de regressão, r, é uma medda do grau de ajuste do modelo aos dados epermetas: r SQDreg SQDtot r 1 Este coefcete, os dá uma formação do quão bem, ou ão, o modelo utlzado se ajusta a atureza dos dados epermetas. Para o eemplo em aálse: r 5.7.,, ,96% ,86 Iterpretação: 97,96% da varação total da safra, em decorrêca da varação da dose de trogêo, é eplcada pelo modelo de regressão ( 14, N ) ajustado Relação etre o coefcete de determação e o coefcete de correlação Se aálse de regressão lear smples for realzada etre duas varáves aleatóras, a relação estete etre o o coefcete de determação da regressão, r, e o coefcete de correlação, r, é a segute: 196

22 Itrodução ao estudo de regressão lear smples r r Nos casos da regressão ter sdo realzada etre uma varável aleatóra e uma varável fa, esta relação ão possu sgfcado estatístco Observações a respeto da regressão Quado os dados ão provêm de um deleameto epermetal, como o eemplo aalsado, a ANOVAR pode ser realzada da forma apresetada, e se terá chegado ao fm da aálse. Etretato, quado os dados provêm de um deleameto epermetal, ode são observadas repetções, e por cosegute este um erro epermetal, além do erro devdo a falta de ajuste do modelo:? O ajustameto segue os mesmos prcípos, ou seja, geralmete, é realzado observado-se as médas de cada tratameto.? A aálse de varâca sofre lgeras alterações. 197