NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA TEORIA DA AMOSTRAGEM ESTIMAÇÃO

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1 NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA TEORIA DA AMOSTRAGEM ESTIMAÇÃO ISABEL C. C. LEITE SALVADOR BA 007

2 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete TEORIA DA AMOSTRAGEM DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES A teora da amostragem é um estudo das relações estetes etre uma população e as amostras dela etraídas. É útl em: estmação de parâmetros populacoas; determação das causas de dfereças observadas etre amostras. Costtu o que chamamos de estatístca dutva ou ferêca estatístca que cosste em ferr coclusões mportates sobre uma população a partr da aálse de resultados observados em amostras aleatóras. Como toda coclusão deduzda a partr da amostragem é acompahada de um grau de certeza ou rsco, o problema fudametal da ferêca estatístca é medr este grau de certeza ou rsco das geeralzações. Parâmetro: medda umérca que descreve uma população. Geercamete represetado por θ. Eemplos: méda ( ), varâca ( ). Estatístca ou estmador: medda umérca que descreve uma amostra. Geercamete represetado por θˆ. Eemplos: méda ( ), varâca ( S ). Estmatva: valor umérco de um estmador. Erro amostral: erro que ocorre pelo uso da amostra. Deotado por ε e defdo por: ε = ˆ θ θ. Uma dstrbução amostral é a dstrbução de probabldade de um estmador (ou estatístca) da amostra formada quado amostras de tamaho são colhdas váras vezes de uma população. Por eemplo, se o estmador da amostra for a sua méda, a dstrbução será uma dstrbução amostral de médas das amostras. População 3 4 M Repetr esse processo para todas as amostras de tamaho Dstrbução amostral de Para cada dstrbução amostral pode-se calcular a méda, o desvo-padrão, etc.

3 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete Dstrbução amostral das médas Cosderemos o segute problema. Seja X o peso real de pacotes de café, echdos automatcamete por uma máqua. Sabe-se que a dstrbução de X pode ser represetada por uma ormal, com parâmetros e. Supohamos que a máqua esteja regulada para echer os pacotes segudo uma dstrbução ormal com méda 500 gramas e desvo padrão de 0 gramas, sto é, X ~ N( 500,00 ). Sabemos que, às vezes, a máqua desregula-se e quado sto acotece o úco parâmetro que se altera é a méda, permaecedo a mesma varâca. Para mater a produção sob cotrole remos recolher uma amostra de 00 pacotes e pesá-los. Como essa amostra os ajudará a tomar uma decsão? Usaremos a méda da amostra como formação pertete para uma decsão. Mesmo que a máqua esteja regulada, dfclmete será gual a 500 gramas, dado que os pacotes apresetam certa varabldade de peso. Mas se ão se afastar muto de 500 gramas, ão estrão razões para suspetarmos da qualdade do procedmeto de produção. Só remos pedr uma revsão se o erro amostral ( 500) for muto grade. O problema que se apreseta agora é o de decdr o que é prómo ou dstate de 500 gramas. Se o mesmo procedmeto de colher a amostra de 00 pacotes fosse repetdo um úmero muto grade de vezes, sob a codção de a máqua estar regulada, teríamos déa do comportameto da varável, e saberíamos dzer se aquele valor observado é ou ão um eveto raro de ocorrer. Caso o seja, é mas fácl suspetar da regulagem da máqua do que do acaso. Portato é mportate cohecer as propredades da dstrbução da varável. As médas das amostras de tamaho retradas de uma população com méda e desvo padrão formam a dstrbução amostral com os segutes parâmetros: O valor esperado ou méda é gual à méda populacoal: E ( ) = ( ) =. A varâca é gual à varâca populacoal dvdda pelo tamaho da amostra: Var( ) = ( ) =. OBS: Se a população é fta e de tamaho N cohecdo, e se a amostragem é feta sem N Var( ) = =. N Temos, portato, para desvo padrão das médas amostras: ( ) =, se a população é fta, ou se a amostragem é feta com reposção; reposção, etão ( ) = N, se a população é fta, ou se a amostragem é feta sem reposção. N Observemos pelas fórmulas apresetadas que quato maor o tamaho da amostra, meor será a varâca de, ou seja, o estmador será mas precso à medda que o tamaho da amostra aumetar.

4 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 3 Teorema do lmte cetral Se de uma população com parâmetros (, ) for retrada uma amostra de tamaho sufcetemete grade, a dstrbução de será apromadamete ormal, seja qual for a forma da dstrbução da população. Ou seja,, ou, N N N N com dstrbuções padrozadas dadas por: ou = = N N Z Z

5 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 4 Aplcações. Voltado ao problema cal, ode uma máqua echa pacotes cujos pesos seguam uma dstrbução ormal N(500,00). Colhedo-se uma amostra de = 00 pacotes e pesado-os, terá uma dstrbução ormal com méda 500 e varâca 00/00 =. Logo, se a máqua estver regulada, a probabldade de ecotrarmos a méda de 00 pacotes dferdo de 500 g de meos de gramas será P ( 500 < ) = P( 498 < < 50) = P( < z < ) 95% Ou seja, dfclmete 00 pacotes terão uma méda fora do tervalo (498,50). Caso sto ocorra, podemos cosderar como um eveto raro, e será razoável supor que a máqua esteja desregulada.. Admte-se que as alturas de 3000 estudates do seo masculo de uma uversdade são ormalmete dstrbuídas, com a méda 7,7 cm e o desvo padrão 7,6 cm. Se forem obtdas 80 amostras de 5 estudates cada uma, quas serão a méda e o desvo padrão esperados da dstrbução amostral das médas resultates se amostragem for feta: (a) com reposção; (b) sem reposção? Solução: O úmero de amostras de 5 elemetos que podem ser obtdas teorcamete de um grupo de 3000 estudates, com e sem reposção, são: (3000) 5 e C 3000,5, respectvamete, muto maores do que 80. Por sso ão se obtém uma verdadera dstrbução amostral das médas, mas apeas uma epermetal. Apesar dsso, vsto que o úmero de amostras é grade, haverá uma cocordâca muto estreta etre as duas dstrbuções amostras. 7,6 (a) ( ) = = 7,7 cm e ( ) = = =,54 cm. 5 N 7, (b) ( ) = = 7,7 cm e ( ) = = =,58 cm, que é apeas N lgeramete meor que,54 cm e pode, portato, para todos os fs prátcos, ser cosderado gual ao da amostragem com reposção. Coclusão: pode-se cosderar esta dstrbução amostral epermetal das médas apromadamete ormal, com a méda 7,7 cm e desvo padrão,54 cm. 3. Em quatas amostras do problema ateror pode-se esperar que a méda se ecotre: (a) etre 69,67 cm e 73,48cm; (b) abao de 70,00 cm? Resp: (a) o úmero esperado de amostras é 80 0, (b) o úmero esperado de amostras é 80 0,0375 = 3.

6 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 5 Dmesoameto de uma amostra Mutas vezes é mportate sabermos qual deverá ser o tamaho de uma amostra de modo a obter um erro de estmação ε prevamete estpulado com determado grau de cofaça dos resultados obtdos. P Eemplo: Seja X : N ( 00,840). Qual deverá ser o tamaho de uma amostra de tal forma que ( 96 < < 04) = 0,90? ( ) = 00 Solução: Se = 00 e = ,98 ( ) = = Para o tervalo dado temos que ε = = ± 4 ± 4 Como z = e z = z0,45 =, 64, segue-se que ±, 64 = = 4,3. ( ) 8,98 Cocluímos que, se retrarmos uma amostra de 4 elemetos da população X, teremos 90% de 96 0, 05 P > 6 = 0, 05 ; cofaça que estará o tervalo (96,6) e P ( < ) = ou sto sgfca que o rsco que corremos de que o valor da méda caa fora do tervalo ateror é de 0%. Dstrbução amostral da soma, ou dfereça, etre duas médas Sejam duas populações depedetes com dstrbução amostral das médas dadas por N, e N,. Cosderado amostras depedetes das duas populações, temos: ± N ±, + ± será A dstrbução ormal padrão para ( ) z = ( ± ) ( ± ) + Aplcação: Numa escola A, os aluos submetdos a um teste obtveram méda 70 com desvo padrão 0. Em outra escola B, os aluos submetdos ao mesmo teste obtveram méda 65 com desvo padrão 5. Se colhermos a escola A uma amostra de 36 aluos e a B, uma de 49 aluos, qual é a probabldade de que a dfereça etre as médas seja superor a 6 udades? Resp. 0,3557

7 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 6 Dstrbução amostral das proporções Cosderemos uma população fta ode a probabldade de ocorrêca de um eveto (deomado seu sucesso) é p, equato a de sua ão ocorrêca (fracasso) é q = p. Tomemos todas as amostras possíves de tamaho etraídas desta população e, para cada amostra, determemos a proporção ˆp de sucessos. Temos, portato, o parâmetro ˆp que epressa a probabldade, ou proporção, ou freqüêca relatva, de determado eveto da população. º de casos favoráves ao eveto a amostra = = º total de casos da amostra Obtemos assm uma dstrbução amostral das proporções. Para amostras sufcetemete grades, a dstrbução amostral de ˆp é apromadamete ormal com méda: ( ˆp ) = p, pq desvo padrão: ( ˆp ) =, ode: p = verdadera probabldade populacoal de sucessos q = p = tamaho da amostra. Assm, N p, pq e sua dstrbução ormal padrozada é epressa por p Z =. pq Aplcação Verfcou-se que % das ferrametas produzdas por certa máqua são defetuosas. Qual é a probabldade de, em uma remessa de 400 dessas ferrametas, revelarem-se defetuosas: (a) 3% ou mas; (b),5 % ou meos? Solução: pq 0,0 0,98 Temos: ( ˆ ) = p = 0,0 p e ( ˆ ) = = = 0,007. p 400 0,03 0,0 (a) Calculado a varável padrozada z para ˆp = 0,03: z = =, 43 0,007 P( 0, 03) = P z, 43 = 0,5 0, 436 = 0, 0764 ou 7,64% 0,05 0,0 (b) Calculado a varável padrozada z para ˆp = 0,05: z = = 0,7 0,007 P( 0, 05) = P z 0, 7 = 0,5 0, 6 = 0, 389 ou 3,89 %

8 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 7 Dstrbução amostral da soma, ou dfereça, etre duas proporções Sabemos da dstrbução amostral das proporções que para amostras sufcetemete grades, N p, p q N p, p q. e Cosderado amostras depedetes das duas populações, temos: A dstrbução ormal padrão para Estmação ˆ ˆ, p q p q ± p ± p ˆ ± p será z = pq pq + ( p ± p ) N p ± p + Um dos métodos para realzar ferêcas a respeto dos parâmetros é a estmação, que determa estmatvas dos parâmetros populacoas. Estem dos tpos de estmação de um parâmetro populacoal: estmação por poto e a estmação por tervalo.. Estmação por poto A partr das observações, usado o estmador, procura-se ecotrar um valor umérco úco (estmatva) que esteja bastate prómo do verdadero valor do parâmetro. Este procedmeto ão permte julgar a magtude do erro que podemos estar cometedo, mas a dstrbução por amostragem dos estmadores tora possível o estudo das qualdades do estmador. ESTIMADORES PONTUAIS DOS PRINCIPAIS PARÂMETROS POPULACIONAIS Parâmetro Estmador Méda () = Varâca ( ) Desvo padrão () Proporção (p) = S = = = S = =, ode = úmero de elemetos da amostra que possuem a característca = tamaho da amostra

9 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 8 Eemplo: Para avalar a taa de desemprego em determado estado, escolhe-se uma amostra aleatóra de 000 habtates em dade de trabalho e cotam-se os desempregados: 87. Estmar a proporção de desempregados em todo o estado. 87 p ˆ = = 0, Estmação por tervalo Procura determar um tervalo que coteha o valor do parâmetro populacoal, com certa margem de seguraça. Este procedmeto permte julgar a magtude do erro que podemos estar cometedo. Com base a amostra, uma maera de epressar a precsão da estmação é calcular os lmtes de um tervalo, o Itervalo de Cofaça (IC), tas que ( ) seja a probabldade de que o verdadero valor do parâmetro esteja cotdo ele. Portato, : grau de descofaça, ível de certeza ou ível de sgfcâca. : coefcete de cofaça ou ível de cofabldade; Formalzado, se deotarmos o parâmetro de teresse por θ, desejamos obter um tervalo com lmte feror I e lmte superor S tal que P(I < θ < S) =, ode é um valor pequeo, ou seja é prómo de. Os lmtes deste tervalo são varáves aleatóras, pos depedem da amostra selecoada. Um tervalo deste tpo é deomado tervalo de - ( 00)% cofaça para o parâmetro θ. Valores de mas comumete usados são = 0,0 = 0,90 ou 90% = 0,05 = 0,95 ou 95% = 0,0 = 0,99 ou 99% A precsão com que se cohece θ depede da ampltude deste tervalo dada por S I. Quato meor esta ampltude melhor determado estará o parâmetro. A fgura abao lustra o coceto de tervalo de cofaça. AMOSTRA INTERVALOS DE CONFIANÇA

10 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 9 O verdadero valor do parâmetro estará cotdo em ( 00) % desses tervalos. Observe que algumas estmatvas tervalares cluem e outras ão cluem o verdadero valor do parâmetro da população. Ao retrarmos uma amostra e calcularmos um tervalo de cofaça, ão sabemos a verdade se o parâmetro da população se ecotra aquele tervalo calculado. O mportate é saber que se está utlzado um método com ( 00) % de probabldade de sucesso. Itervalos de cofaça para a méda de uma população ormal com varâca cohecda Cosderemos uma população ormal com méda descohecda que desejamos estmar e com X = N?,. varâca cohecda, Procedmeto para a costrução do IC:. Retramos uma amostra casual smples de elemetos.. Calculamos a méda da amostra. 3. Calculamos o desvo padrão da méda amostral:. 4. Famos o ível de sgfcâca, e com ele determamos z, tal que P ( z z ), > = < =. P z < z = > = ou seja, P ( z z ) e P( z z ) Logo, devemos ter z z Neste caso o Itervalo de Cofaça de ( 00)% para é dado por: z, + z Usado uma otação mas smples, teremos Eemplos: ( ) ( ) IC, % =,.. A duração de vda de uma peça de equpameto é tal que = 5 horas. Foram amostradas aleatoramete 00 dessas peças, obtedo-se méda de 500 horas. Desejamos costrur um tervalo de cofaça para a verdadera duração méda da peça com um ível de 95% de cofaça. Solução: Temos ( ) = 5, = 00, = 500, 00 = 95%.

11 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete 0 O gráfco da dstrbução ormal padrão será: D strbução N orm al (0,) 0,05 0,95 0,05 z =,96 correspode à área 0,475 -,96 0,96 Substtudo os dados a fórmula, temos o tervalo de cofaça solctado, P 499, 0 < < 500,98 = 95%, sgfcado que com 95% de cofaça a duração méda da peça está etre 499,0 e 500,98 horas. Portato, se fossem costruídos tervalos dessa mesma maera, para um grade úmero de amostras, em 95% dos casos os tervalos cluram. Para os casos de populações ftas, multplca-se o desvo padrão pelo fator de correção, gerado o IC: N z, z N + N N. Admtdo os mesmos dados do eemplo ateror, cosderemos como população a produção de 000 peças. Nesse caso o tervalo para a méda será (499,07;500,93), coforme os cálculos abao = 500,96. e = 500 +, Logo, o tervalo (499,07;500,93) cotém a duração méda das.000 peças com 95% de cofaça. Amostras Grades - População Normal ou ão Normal Se é sufcetemete grade (em geral, > 30), mesmo sem cohecermos a dstrbução da população, os lmtes do Itervalo de Cofaça para a méda () poderão ser calculados com base a dstrbução Normal padrão. Da mesma forma podemos utlzar o desvo padrão amostral S o lugar de (desvo-padrão populacoal), caso este ão seja cohecdo.

12 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete Itervalos de cofaça para a proporção Lembremos que quado p populacoal é cohecda, = tem dstrbução apromadamete ormal, N p, pq. Para costrurmos o IC para p descohecda, determamos ˆp a amostra pq ˆ ˆ e cosderamos. p Logo, ao ível de sgfcâca, P ( z < z ) =, ode z =. Desevolvedo os cálculos, como fo feto para a méda, chegamos à formula do IC para a proporção p populacoal. pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ IC ( p, ( )%) = ( p, p ) = z ; + z Eemplo: Para se estmar a porcetagem de aluos de um curso favoráves à modfcação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de 00 aluos, dos quas 80 foram favoráves. a. Faça um IC para a proporção de todos os aluos do curso favoráves à modfcação ao ível de 4% de sgfcâca. b. Qual o valor do erro de estmação ocorrdo o tervalo acma? Solução: Dados = 00, = 80, = 4%, temos que 0,8 0, = 0,80, qˆ = 0,0 e p ˆ = 0, a. z z0,48, 05 IC p,96% = 0,78;0,88 = = Temos uma cofaça de 96% que de 7,8% a 88,% dos aluos do curso serão favoráves à modfcação currcular. p ε b. z = z = ε = z ε =,05 0,04 = 0,08 ε = 8, % O erro de estmação cometdo em (a) é de 8,% para 96% de cofaça e uma amostra de 00 aluos.

13 Estatístca Prof.ª Isabel C. C. Lete REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSSAB, Wlto de O. MORETTIN, Pedro A. Estatístca Básca. 5ª edção. São Paulo: Sarava, 006. MORETTIN, Luz Gozaga. Estatístca Básca Volume Iferêca. São Paulo: Pearso Makro Books, 000. MARTINS, Glberto de A. Estatístca Geral e Aplcada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 005. SPEIGEL, Murray R. Estatístca. 3ª ed. São Paulo: Pearso Makro Books, 993. Notas de aula dos professores do Departameto de Estatístca UFBA, dspoíves o ste