Departamento de Engenharia Mecânica

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1 UC-Rio MEC 40: RANSMISSÃO E CALOR ro Washington Braga epartamento de Engenharia Mecânica ANÁLISE IMENSIONAL Objetios Estudamos ransmissão de Calor com um objetio em mente: o entendimento das características das trocas de calor entre dois ou mais corpos Isto enole o uso de princípios básicos a dedução das equações undamentais (Lei de ourier Equações de Conseração etc) das condições limites (ou de contorno) etc constituindo o chamado modelo matemático que pode ser deinido por equações algébricas dierenciais ordinárias e parciais e integrais Entretanto ainda que consigamos descreer adequadamente os enômenos ísicos que nos interessam atraés de uma correta modelagem matemática isto não se traduz automaticamente em que saibamos determinar a necessária solução muito pelo contrário A complexidade das situações de interesse que precisamos conhecer e a consequente complexidade dos modelos matemáticos têm impedido a obtenção das soluções de orma sistemática Assim a experimentação eita em laboratórios numéricos ou ísicos constitui uma etapa importante no entendimento dos problemas A Análise imensional é uma erramenta poderosa para o planejamento de experimentos reduzindo signiicantemente sua complexidade e com isto o custo da experimentação seja ela ísica ou numérica e para a apresentação de resultados experimentais atraés da redução matematicamente organizada dos dados leantados Claro ela não é mágica e o atendimento às suas conclusões não é garantia alguma de que os resultados dos experimentos serão mais ou menos corretos e nem que a teoria que leou aos resultados é adequada Ainda que este tópico não esteja deinido de orma explícita na ementa do Curso MEC 40: ransmissão de Calor já utilizamos em diersos momentos alguns parâmetros adimensionais como por exemplo o número de Biot o número de ourier e outros Além disto o estudo da Conecção é muito dependente destes parâmetros: trataremos do número de Nusselt que relaciona o coeiciente de troca de calor por conecção h do número de Grasho (para conecção natural) do número de Reynolds (para conecção orçada) e outros Assim um panorama do potencial desta erramenta é útil no nosso estudo de ransmissão de Calor O presente estudo é diidido em duas partes: na primeira apresentamos uma maneira de se obter os grupos adimensionais e na segunda o que azer com os grupos obtidos Obtenção dos Grupos Adimensionais: Embora possamos deinir uma longa lista de grupos adimensionais o mais importante é mostrar a releância deles no contexto de um experimento Assim amos ocar nossa discussão em alguns experimentos passíeis de serem eitos no laboratório (ísico ou numérico) para o deido encaminhamento Escoamento Interno a utos: O primeiro passo consiste na identiicação de todas as ariáeis que possam nos interessar or exemplo: amos supor que queiramos estudar a perda de carga (isto é a queda de

2 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga pressão) de um escoamento de um luido deinido pela densidade e iscosidade absoluta escoando com elocidade atraés do duto de diâmetro e comprimento ee ser mencionado que embora possamos determinar analiticamente este alor (como isto no curso de Mecânica dos luidos) nosso objetio aqui é o planejamento do experimento a partir da Análise imensional alez ocê tenha percebido a ausência de um termo indicatio da rugosidade supericial do tubo Esta oi deixada de lado para simpliicar nosso estudo Isto signiica na prática que estamos lidando com tubos lisos Entretanto este termo será incluído no inal desta apresentação para exempliicar o potencial desta erramenta Uma ez que tenhamos a lista de ariáeis releantes o primeiro passo é escreer a lei de dependência: ( ) Antes de prosseguirmos com a Análise imensional amos aaliar o tamanho do problema Isto é: suponhamos que o experimento á ser conduzido sem planejamento Nesta situação precisaremos realizar inúmeras "corridas" montando por exemplo uma tabela do tipo abaixo: primeira medição segunda medição n-ésima medição n Ou seja amos supor que para estudar a inluência da ariáel independente comprimento tenhamos que azer as corridas com o mesmo luido com o mesmo diâmetro mesma elocidade mas com diersos alores para o comprimento do tubo (Obs: ocê já imaginou a complexidade de se azer isto no laboratório?) ara cada alor de teremos um alor associado da queda de pressão Simples? Ok então amos supor agora que queiramos determinar a inluência da elocidade ixaremos as outras ariáeis independentes e aremos ensaios com dierentes alores de obtendo então uma noa tabela: primeira medição segunda medição n-ésima medição n e assim iremos azendo sucessiamente com o diâmetro a densidade e a iscosidade Não é diícil imaginar que realizar estes ensaios é uma tarea gigantesca que irá consumir seguramente preciosos recursos elizmente esta tarea de identiicação é auxiliada pela Análise imensional como queremos mostrar O primeiro passo consiste em aproeitar a lista de ariáeis para se escreer as

3 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga respectias dimensões (em termos das unidades undamentais) ao lado de cada uma delas or exemplo: M M L M L L L L [ ] [ L] Como queremos obter uma relação adimensional a partir da relação dimensional acima precisaremos eliminar todas as dimensões existentes no caso M (massa) (tempo) e L (comprimento) atraés de combinações entre as ariáeis da lista O primeiro passo a ser dado é a escolha da primeira dimensão a ser eliminada amos escolher aleatoriamente (pelo menos no momento em que escreo!) uma delas: L Em seguida corro a lista olhando o lado direito e descubro que a dimensão L aparece na densidade na elocidade na iscosidade no diâmetro e no comprimento do tubo Ou seja em todos os termos Entretanto se tiéssemos escolhido a massa M só teríamos a densidade e a iscosidade O próximo passo consiste na escolha da ariáel independente (isto é da lista que aparece no termo da direita) que será a operadora Noamente a escolha é aleatória e no caso trabalharemos com o diâmetro Isto é por opção nossa eliminaremos inicialmente a dimensão L atraés da manipulação ordenada do diâmetro ara eliminar L deemos obserar a dimensão de cada um dos termos e multiplicar diidir elear ao quadrado extrair a raiz operar em suma cada um dos termos da relação or exemplo: o termo de pressão tem a dimensão de [ M / L ] Assim se multiplicarmos o diâmetro pela queda de pressão o resultado terá dimensão [ M / ] A densidade que tinha dimensão [M / L ] é multiplicada por resultando num termo de dimensão [M] inalmente chegamos à: M M L L L L [ M ] uas obserações cabem aqui A primeira é o termo / que é agora um termo adimensional [] nada mais precisando ser eito nele Entretanto o termo / é um termo que pode ser eliminado pois a razão é igual a nada contribuindo para a perda de carga esta orma nesta primeira rodada a lista de dependências ica resumida a: M M [ M ] Noamente escolheremos uma das dimensões resultantes que tal [ M ] agora? e uma das ariáeis que a relacionam Que tal o produto da densidade por? Se operarmos o termo do lado esquerdo bastará diidi-lo pelo citado produto para eliminarmos a massa [ M ]: M / [ M ]

4 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 4 e por extensão operando nos demais termos obtemos: Neste caso a única dimensão que alta ser eliminada é o tempo o que poderá ser eito pelos dois candidatos (/ e ) ara exempliicar as possibilidades mostraremos as duas aqui Eliminação de ia /: ara adimensionalizarmos o termo do lado esquerdo basta multiplicá-lo por ( / ) resultando em: [ ] e portanto a relação se reduz à: como os termos são adimensionais poderemos alterá-los ao nosso prazer or exemplo: o primeiro termo do lado direito é o inerso do número de Reynolds or comodidade poderemos escreer: ( ) / Re Eliminação de ia : ara acilitar amos repetir a expressão noamente: Operando agora com o segundo termo obteremos:

5 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 5 Aparentemente são dois resultados dierentes Entretanto dee ser obserado que o termo do lado esquerdo pode ser escrito como um produto de dois termos: [ Re ] ou seja um produto entre número de Reynolds e o grupo adimensional obtido no caso anterior Assim as duas expressões são equialentes Resumindo podemos concluir que a dependência uncional entre as ariáeis de interesse: neste primeiro problema é: ( ) Re As seguintes obserações podem ser eitas: a ordem de eliminação das dimensões ou a escolha das ariáeis de eliminação não é importante; outras expressões podem ser obtidas mas as ormas são equialentes; embora o resultado acima seja álido apenas para tubos lisos não é diícil concluir que para tubos rugosos (nos quais a rugosidade seja medida por um ε [ L ]) se escree: Re ε Rigorosamente alando a cada uma das etapas de alteração dos termos e eliminação de outros a natureza da unção muda Entretanto as ormas exatas delas não são importantes nesta análise pois são todas desconhecidas Esta é a razão de não termos usado dierentes símbolos para cada uma das unções; Claro uma ez que uma relação uncional adimensionalizada como a acima tenha sido encontrada o experimento poderá ser conduzido Obsere que agora a natureza do luido o diâmetro e cada uma das outras ariáeis escritas em qualquer sistema de unidades deixou de ser importante O undamental agora é o alor de cada um dos grupos adimensionais ormados Antes de prosseguirmos ejamos mais dois exemplos: Empuxo

6 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 6 amos supor uma esera de um determinado material (densidade graidade em um luido de densidade ) que cai sob a ação da e iscosidade ede-se determinar a elocidade terminal da esera Naturalmente este é um outro experimento "simples" que pode ser eito em um dos nossos laboratórios Entretanto pretendemos aplicar Análise imensional Uma primeira obseração dee ser eita antes de iniciarmos os procedimentos matemáticos Um balanço de orças nos indicará três orças presentes: a orça iscosa a orça de inércia e o empuxo (deido à dierença de densidades entre esera e luido) Assim poderemos listar: m ( g ) ois a orça que poderá acelerar a queda da esera seu peso é contrabalançada pelo empuxo Em termos das unidades undamentais a relação se escree: L M M M g L L L L [ ] A primeira eliminação será a do comprimento e será conduzida pelo diâmetro Apenas por comodidade O resultado será: g M M [ ] M Em seguida iremos eliminar M operando pelo termo resultando em: g e inalmente operaremos com o último termo: g ν onde o primeiro termo é o número de Reynolds e o segundo é o número de Grasho Assim o experimento a ser conduzido no laboratório deerá reportar apenas: Re ( Gr) Como isto no texto o número de Reynolds é uma relação entre orças de inércia e orças iscosas e o número de Grasho é uma relação do tipo:

7 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 7 Gr b x i e portanto a relação anterior se escree: i b x i Nota: escrea o número de Grasho como uma relação entre a orça de empuxo orça de inércia e orça iscosa como mostrado Conecção Mista ara inalizar esta ase do estudo eremos um problema enolendo troca de calor por conecção mista (natural e orçada) amos supor uma esera quente exposta ao ar ambiente rio Embora um entilador esteja uncionando empurrando luido sobre a superície a dierença de temperaturas (luido e placa) é tal que podemos esperar moimentação de luido também deido ao empuxo Nesta situação nossa lista de ariáeis pode ser: h ( c k) N onde indica a elocidade induzida pelo escoamento orçado e N a elocidade induzida pelo empuxo ela deinição de conecção natural não há uma elocidade prescrita para o escoamento sendo esta a resultante do empuxo Assim conem que substitutamos a elocidade N por algo mais correto Obserando o exemplo deste texto no qual tratamos da elocidade de queda de uma esera em um meio luido a lista de ariáeis enolidas se escreeu: ( g ) assim comparando as duas listas acima poderemos concluir que é o termo ser incluído no lugar de N resultando então em: h ( g c k) g que dee Entretanto no caso que estamos interessados a dierença de densidades é resultante da dierença de temperaturas entre dois pontos no luido o que é melhor tratado atraés do coeiciente de expansão olumétrica: d d o β d ou seja

8 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 8 h ( β g c k ) Em termos das dimensões undamentais a relação acima se escree: M h θ L L L M L M L L θ M L θ [ ] β g c k Seguindo as etapas abaixo: eliminação de M operando ia k (condutiidade térmica); eliminação de L operando ia (diâmetro); eliminação de θ operando ia eliminação de operando ia Obtemos: k ; ; Nu (ReGr r) ode-se er que esta expressão signiica: conecção condução i b x i entalpia condução x i Como discutido em sala o estudo da conecção mista é complicado pela existência de dois mecanismos de moimentação embora por ezes um deles possa ser desprezado em unção do outro O parâmetro releante neste estudo será uma razão entre a orça de empuxo (responsáel pela moimentação por conecção natural) e a orça de inércia (responsáel pela moimentação por conecção orçada) Assim se escreermos: Gr b i x / Re i b i teremos obtido uma relação que indica adequadamente quando desprezarmos um dos termos em presença do outro Como oi argumentado no texto quando Gr / Re > eeitos de empuxo não poderão ser desprezados 4 imensões Embora tenhamos usado dierentes grandezas e suas respectias unidades é requente a situação na qual nós esquecemos a dimensão de uma propriedade qualquer Nestas situações deemos apenas nos lembrar qual equação undamental ou lei constitutia utiliza a tal propriedade rimeiramente ejamos um exemplo óbio amos supor que tenhamos

9 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 9 esquecido a dimensão da elocidade Entretanto uma maneira simples de recuperá-la é pela equação da cinemática que deine que o espaço percorrido [L] é igual ao produto da elocidade [?] pelo tempo decorrido [] aí a dimensão da elocidade segue diretamente: d t implicando em que [] [L / ] amos supor que precisemos utilizar a condutiidade térmica em um problema de ransmissão de Calor A lei de ourier mostrada abaixo é uma lei que deine aquela propriedade Neste caso a dimensão dela poderá ser determinada atraés da própria lei eja adiante: e portanto: q k A q d A dx e desta orma a dimensão de k é dada diretamente: d dx [ k] W ML L M L θ L L θ L θ θ L [ ] k imensões de outras propriedades tais como iscosidade absoluta calor especíico etc podem ser determinadas por este processo lanejamento de Experimentos Uma ez que tenhamos utilizado Análise imensional para a obtenção de uma relação adimensional para a lista de ariáeis pertinentes ao nosso experimento o próximo passo será analisar como os resultados realizados com o modelo no nosso laboratório poderão ser utilizados para o dimensionamento do protótipo Isto é queremos determinar em quais condições poderemos transpor os resultados leantados no nosso modelo para o cálculo ou dimensionamento do protótipo Isto enole o conceito de similaridade A primeira proidência é construir um modelo em escala reduzida por exemplo mas mantendo a mesma orma geométrica Espero que seja meio óbio que para o estudo do escoamento do ar sobre um cilindro cuja seção reta seja circular é preciso termos um modelo geometricamente semelhante no caso um cilindro menor igualmente de seção circular Esta condição deine que a similaridade geométrica é a primeira restrição Isto signiica que se na

10 MEC 40: ransmissão de Calor ro Washington Braga 0 "ida real" tiermos um cilindro de razão de aspectos (relação entre o diâmetro e a altura por exemplo) igual a 5 precisaremos construir o cilindro-modelo com a mesma proporção Ou seja um cilindro curto não pode ser modelado como um cilindro ininito amos supor agora que estejamos trabalhando naquele experimento de perda de carga A relação uncional que obtiemos lá oi: Re ara garantir a similaridade dinâmica entre modelo e protótipo precisaremos ainda que: Re modelo Re rotótipo pois a razão / já teria sido garantida pela similaridade geométrica Bem a igualdade entre os números de Reynolds impõe restrições entre elocidades diâmetros e luidos Ou seja para garantirmos os inestimentos eitos precisaremos ter: MOELO ROÓIO Assim se trabalharmos com o mesmo luido para que tenhamos a similaridade dinâmica precisaremos ter que: MOELO ROÓIO ROÓIO MOELO que deine a elocidade do modelo em unção da elocidade esperada no protótipo e a razão entre diâmetros Nestas condições poderemos garantir que: MOELO ROÖIO e com isto calcularmos a perda de carga para o protótipo em unção da perda de carga medida no laboratório para o modelo