d z Pe dz z dy z Definidas no domínio: 0 < z < 1 e sujeitas às condições de contorno:

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1 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Distribuídos Exemplos Ilustrativos de EDO com Problemas de Valores no Contorno 1-) Modelo estacionário do reator com dispersão isotérmico. Neste caso o modelo é constituído por uma equação dierencial ordinária de segunda ordem que descreve a variação com z da concentração do reagente: dy 1 d y Da g y z Pe m, deinida no domínio: 0<z<1 e sujeita às condições de contorno: 1 dy CC1: na entrada do reator: z =0: y y z0 Pe m 1 dy CC: na saída do reator: z = 1: 0. z1 -) Modelo estacionário do reator com dispersão axial adiabático. Neste caso o modelo é constituído por duas equações dierenciais ordinárias, em z, de segunda ordem que descrevem os balanços estacionários de massa do reagente e de energia no interior do reator, assim: z0 dy 1 d y 1 Da g y z z 1 d z 1 Da g y z exp 1 Peh z Deinidas no domínio: 0 < z < 1 e sujeitas às condições de contorno: 1 dy yz ( ) y z0 z0 CC1: na entrada do reator: z =0: 1 d z0 Peh z0 1 dy 0 z1 CC: na saída do reator: z = 1: 1 d 0 Peh z1 Multiplicando a equação de balanço do reagente por e adicionando a equação resultante à equação de balanço de energia, tem-se: dyz 1 d z 1 d y z, ou seja: Pe Pe h d 1 d z dy z zyz 0 Peh Integrando essa equação em z e aplicando as duas condições de contorno, obtém-se: 1 d 1 dy y y (1) y(1) Peh O que permite determinar pela equação dierencial de primeira ordem: z m 1

2 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Distribuídos d z 1 dy z Peh z y z y Associando a essa equação a condição de contorno: 1 y y1. Para resolver essas equações dierenciais são deinidas as seguintes variáveis de 1 dy estado: x1z yz ; xz yz e x3, resultando em: dx1 dy x1z xz dx d 1 dy 1 yz Dagx1 z x3 dx3 Pehx3 x y Que é um sistema de EDO s de primeira ordem de dimensão três, deinido no domínio 0 <z <1, sujeito às condições de contorno: CC1: na entrada do reator: z =0: x (0) y ; CC: na saída do reator: z = 1: x1(1) x(1) e x 1 y x )Modelo estacionário do reator com dispersão axial não adiabático. Neste caso o modelo é constituído por três equações dierenciais ordinárias, em z, as duas primeiras de segunda ordem e a última de primeira ordem, que descrevem respectivamente os balanços estacionários de massa do reagente e de energia no interior do reator e o balanço de energia no casco de rerigeração, assim: dy 1 d y 1 Da g y z z d 1 d 1 Da g y z exp 1 r Peh z dr r r (contra-corrente) O sistema acima é deinido no domínio: 0 < z < 1 e está associado às condições de contorno: 1 dy yz ( ) y z0 z0 CC1: na entrada do reator: z =0: 1 d z0 Peh z0

3 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Distribuídos CC: na saída do reator: z = 1: 1 dy 1 d Peh r(1) r, A temperatura do rerigerante pode ser expressa em unção da temperatura e da concentração no tubo e de suas respectivas derivadas adicionando a primeira equação multiplicada por e a segunda equação à ultima equação multiplicada por r, de acordo com: z1 z1 0 0 d 1 dy 1 d yz ( ) r 0 Peh r Integrando essa equação de z (genérico) a z=1 e utilizando a CC, resulta: 1 dy 1 d yz ( ) r ysaida saida r, Peh r r Em que: y saida =y(1) e saida = (1). Essa última equação permite expressar: r 1 dy 1 d r r, y ysaida saida Peh Aplicando essa expressão em z=0, utilizando CC1 e identiicando: r (0)= r,saida resulta: r r, saida r, y ysaida saida Essa equação traduz o balanço global de energia do sistema (reator+casco de rerigeração). O termo de troca entre o tubo e o casco de rerigeração pode então ser expresso na orma: 1 dy 1 d r r, r y ysaida saida Peh E os balanços no reator assumem a orma: dy 1 d y 1 Da g y z z d 1 d 1 Da g y z exp 1 r, Peh z 1 dy 1 d r yz ( ) ysaida saida Peh Deinidas no domínio: 0 < z < 1. A esse sistema associam-se as condições de contorno: 1 dy yz ( ) y z0 z0 CC1: na entrada do reator: z =0: 1 d z0 Peh z0 3

4 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Distribuídos 1 dy 0 z1 CC: na saída do reator: z = 1: 1 d 0 Peh z1 r e o balanço global de energia: r, saida r, y ysaida saida Para resolver esse sistema de equações dierenciais de segunda ordem, deinemse as seguintes variáveis de estado: 1 dy ( z 1 ; ) ; 3( ) ( ) e 4 1 d ( z x z y z x z y z x z z x z z ) Peh dx1 x1z xz dx 1 Da g x1 z x3 dx3 Peh x3z x4z dx4 1 Da g x1z exp 1 x3 r, x3 r x ysaida x4 saida Sistema deinido no domínio 0 < z < 1 e sujeito às condições de contorno: CC1: na entrada do reator: z =0: x(0) y e x4(0) CC: na saída do reator: z = 1: x1(1) x(1) = y saida e x31 x41 saida r e o balanço global de energia: r, saida r, y ysaida saida. 4-) Exemplo 7. da página 179 do livro de Ascher & Petzold. dy t A t y t q t dt Sendo: A t 0 0 1, com 0, 1 e 1 y b y b y b A solução analítica do problema é: y t ut, ut, u t u t t1 t1 t e e e cos t e Considerando o problema para os valores 1 e ) Exemplo. da página 36 do livro de Kubiccek & Hlavacek.., em que: 4

5 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Distribuídos d y( x) 1 dy( x) y( x) e, deinida no domínio: 0<x<1 e sujeita às condições de dx x dx dy( x) contorno: CC1: x =0: 0 e CC: x = 1: y 1 0. dx x0 6-) Exemplo.3 da página 36 do livro de Kubiccek & Hlavacek Modelo Estacionário de uma Partícula de Catalisador Não-Isotérmica. 1 y x ( ) exp 1 1 d y( x) s dy( x) yx dx x dx y x, no domínio: 0 x 1 e sujeita às condições de contorno: CC1: x =0: 0 de orma) = 1 dy x dx ( ) x0 0 e CC: x = 1: y 1 1. Sendo s (ator 5