Processos Equações Algébricas. Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

Transcrição

1 Modelagem e Simulação de Processos Equações Algébricas Pro. Dr. Félix Monteiro Pereira

2 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EXEMPLO: PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO Anilina é removida da água por uma operação de extração utilizando tolueno como solvente. O processo é realizado em uma torre com 0 estágios em contracorrente, conorme esquematizado na igura. A constante de equilíbrio válida para cada estágio é: K i =Y/X i i =9 Onde: Yi = (lb de anilina na ase orgânica)/(lb de tolueno na ase orgânica); Xi= (lb de anilina na ase aquosa)/ (lb de água na ase aquosa); a) Realize os balanços de massa em cada estágio da torre e combine as equações de balanço com as de equilíbrio a im de se obter um sistema com 0 equações. b) Resolva o sistema de equações e simule a concentração em cada ase de cada estágio da torre ( valores de Xi e Yi). c) Analise, comente os resultados obtidos e aça uma veriicação da validade do resultado obtido realizando o balanço material considerando como volume de controle toda a torre.

3 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EXEMPLO: PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO Balanços materiais por estágio (Ei=Entra-Sai=0) Dados de entrada: In[390]:= W 00 lb h ; In[395]:= X ; F 3 lb h ; Yr ; S 0 lb h ; Equações de equilíbrio In[396]:= Y 9 X; Y2 9 X2; Y3 9 X3; Y4 9 X4; Y5 9 X5; Y6 9 X6; Y7 9 X7; Y8 9 X8; Y9 9 X9; Y0 9 X0 ; In[406]:= E W X0 F S Y2 W X F S Y; E2 W X F S Y3 W X2 F S Y2; E3 W X2 F S Y4 W X3 F S Y3; E4 W X3 F S Y5 W X4 F S Y4; E5 W X4 F S Y6 W X5 F S Y5; E6 W X5 F S Y7 W X6 F S Y6; E7 W X6 F Yr S Y8 W X7 F S Y7; E8 W X7 S Y9 W X8 S Y8; E9 W X8 S Y0 W X9 S Y9; E0 W X9 W X0 S Y0 ; In[46]:= Xr Resolvendo o sistema de equações: Solve E 0, E2 0, E3 0, E4 0, E5 0, E6 0, E7 0, E8 0, resolve E9 0, E0 0, X, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X0 Out[46]= X , X , X , X , X , X , X , X , X , X Valores de X e Y (comando /. ) In[47]:= X X, X2, X3, X4, X5, X5, X7, X8, X9, X0. Xr Out[47]= , , , , , , , , , In[48]:= Y 9 X Out[48]= , , , , , , , , ,

4 Métodos numéricos: - Equação não linear: Método de Newton-Raphson, Bisseção, entre outros; - Sistema de equações não lineares: Método de Newton-Raphson multivariado; Características comuns: -- Métodos iterativos; -- Podem necessitar de estimativa(s) inicial(is) do(s) parâmetros; -- Podem necessitar da derivada ou da matriz jacobiana da(s) unção(ões) com relação aos parâmetros a serem estimados; -- Funções Solve, Nsolve ou FindRoots do Mathematica (ver a ajuda do sotware).

5 Exemplo: Solução da equação de Colebrook. Desenvolva um programa computacional para calcular o ator de atrito em unção da rugosidade relativa (e/d) e do número de Reynolds (Re) utilizando a equação de Colebrook: a) Apresente uma orma a ser utilizada para a obtenção da estimativa inicial; b) Calcule o ator de atrito para e/d=0-4 e Re=0 5. Compare o valor estimado com o obtido ao se utilizar o diagrama de Moody. c) Plote um gráico de em unção de Re para tubos lisos, e/d=0-4, e/d=0-3 e e/d=0-2 Compare com as curvas apresentadas no diagrama de Moody.

6

7 a) Utilizar o diagrama de Moody para obter as estimativas iniciais; b) obs. considerar r=e/d -> rugosidade relativa In[6]:= r 0 4 ; RE 0 5 ; r Solve resolve r 2.5 Log logaritmo 3.7 RE && 0.00 && 0.08, Solve::ratnz : Solve was unable to solve the system with inexact coeicients. The answer was obtained by solving a corresponding exact system and numericizing the result. Out[8]= Outra orma é utilizar a unção NSolve para encontrar a solução numérica: In[9]:= r NSolve solução numérica r Log logaritmo RE && 0.00 && 0.08, Out[9]= In[20]:=. r Out[20]= Outra orma é utilizar a unção FindRoot para encontrar a solução numérica mais próxima da estimativa inicial (neste caso não é possível utilizar inequações): In[2]:= r FindRoot encontra raiz r Log logaritmo RE,, 0.02 Out[2]=

8 c) In[49]:= LogLinearPlot. gráico log linear NSolve solução numérica 0 Log logaritmo RE && 0.00 && 0.08,. NSolve solução numérica Log 0 4 logaritmo RE && 0.00 && 0.08,. NSolve solução numérica Log 0 3 logaritmo RE && 0.00 && 0.08,. NSolve solução numérica Log 0 2 logaritmo RE && 0.00 && 0.08, RE, 3 0 3, 0 8, AxesLabel Re, parte real PlotLabels "tubo liso ", "e D 0 4 ", "e D 0 3 ", "e D 0 2 ", etiquetas de representação e D e D 0 3 e D Re tubo liso

9 Exemplo: Projeto de reatores contínuos em série Considere o projeto de um conjunto de reatores contínuos em série que será utilizado na conversão A+B C+D, para a qual a constante de velocidade é k. A cinética é de segunda ordem com relação a concentração de A (a): ra=ka 2 Considere que o projeto prevê a utilização de n reatores com um determinado volume V. Os reatores serão operados a volume constante, com uma taxa de alimentação F de uma solução contendo iguais concentrações de A e B na entrada do conjunto de CSTRs. Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a, a2,..., a n as concentrações na saída do primeiro, segundo,..., enésimo reator, respectivamente. A etapa do projeto que coube a você, como engenheiro, é justamente criar uma metodologia ou um programa computacional capaz de calcular o volume dos reatores V em unção do número de reatores n, para ser utilizado em uma utura análise inanceira. Além disso, para ter controle sobre o processo, o programa também deverá simular as concentrações de A na saída de cada reator. O projeto prevê uma conversão global de 80% (ou seja, an/a0=0,2) e as seguintes condições: k=0,075 L/(mol min), F=30L/min, a0=,6 M. Para testar o programa simule para n=, 2, 3, 4 e 5 reatores em série.

10 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA Exemplo: Para 0 reatores com n deinido no contexto In[226]:= F 30 L min ; k L min mol ; a0.6 M ; an 0.2 a0; NSolve F a0 F an k an ^ 2 V 0, V solução numérica Out[230]= V 5. m 3 Para 2 reatores: In[23]:= NSolve F a0 F a k a ^ 2 V 0, F a F an k an ^ 2 V 0, a an, a a0, V 5 m 3, V, a solução numérica Out[23]= V.055 m 3, a mol m 3 Para 3 reatores: In[232]:= NSolve F a0 F a k a ^ 2 V 0, F a F a2 k a2 ^ 2 V 0, F a2 F an k an ^ 2 V 0, a0 a, a a2, a2 an, V 5 m 3, V, a, a2 solução numérica Out[232]= V m 3, a mol m 3, a mol m 3 Para 4 reatores: In[233]:= NSolve F a0 F a k a ^ 2 V 0, F a F a2 k a2 ^ 2 V 0, F a2 F a3 k a3 ^ 2 V 0, F a3 F an k an ^ 2 V 0, a0 a, a a2, a2 a3, a3 an, V 5 m 3, V, a, a2, a3 solução numérica Out[233]= V m 3, a mol m 3, a mol m 3, a mol m 3 Para 5 reatores (Obs. NSolve pode não convergir para nenhuma resposta): In[234]:= NSolve F a0 F a k a ^ 2 V 0, F a F a2 k a2 ^ 2 V 0, F a2 F a3 k a3 ^ 2 V 0, F a3 F a4 k a4 ^ 2 V 0, F a4 F an k an ^ 2 V 0, a0 a, a a2, a2 a3, a3 a4, a4 an, V 5 m 3, solução numérica V, a, a2, a3, a4 Out[234]= In[235]:= FindRoot F a0 F a k a ^2 V 0, F a F a2 k a2 ^2 V 0, F a2 F a3 k a3 ^2 V 0, F a3 F a4 k a4 ^2 V 0, F a4 F an k an ^2 V 0, encontra raiz a, 880 mol m 3, a2, 570 mol m 3, a3, 44 mol m 3, a4, 44 mol m 3, V, 0.3 m 3

11 Exemplo: Destilação lash para misturas multicomponentes F moles por hora de uma mistura de n- componentes de gás-natural liqueeito são expandidos em um tambor de lash a20 ºF e 600 psia. O vapor e o líquido saem do tambor a taxas V e L (moles por hora), respectivamente. As rações molares dos componentes em F, V e L são dados por zi, yi e xi (i=,2,...,n), respectivamente. Assumindo as condições de equilíbrio líquido vapor e de operação em estado Estacionário: a) Apresente o balanço material global e o balanço material por componente, considerando a seguinte relação de equilíbrio por componente: Ki=yi/xi=9 (i=,2,...,n) b) Reduza o número de equações não lineares a uma única equação não linear; c) Assumindo F=000moles/h, calcule as rações molares na ase líquida (xi), na ase vapor (yi) e os luxos na ase líquida L e vapor V.

12 In[48]:= F 000 ; x 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ; y 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ; z , , 0.038, 0.063, , , , , ; k 0, 3.09, 0.72, 0.39, 0.2, 0.75, 0.093, 0.065, ; Vr V. FindRoot encontra raiz 9 i F z i F V k i V, V, 600 ; V Vr L F V Do x i F z i F V k i V ; y i k i x i, i,, 9 ; repete x y Out[54]= Out[55]= Out[57]= , , , , , , , , Out[58]= , , , , , , , , 0.008