3 Modelagem Via Fluxo de Potência

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1 Modelagem Via Fluxo de Potência 45 3 Modelagem Via Fluxo de Potência 3.1. struturas de Modelos Dinâmicos xistem diersas ertentes de modelagem de sistemas dinâmicos e neste trabalho adota-se aquela considerada como a mais consistente e operacional [2] ia luxo de potência. m um modelo dinâmico mecânico pode-se sempre deinir como ariáeis de saída esorços e elocidades [90]. Se além das ariáeis de saída as ariáeis de entrada também são esorços e elocidades este modelo pode ser acoplado a outros representados da mesma orma desde que as condições de compatibilidade entre as entradas e de um modelo e as saídas de outro sejam respeitadas. Consegue-se assim obter modelos de sistemas complexos a partir de seus subsistemas sem que seja necessário determinar as equações analíticas resultantes do acoplamento entre os subsistemas. m ambientes computacionais que permitam essa orma de modelo tal como o SMULK o aplicatio de simulação MATLAB baseado na estrutura de diagramas de blocos a tarea de montar o modelo do sistema é simpliicada uma ez que basta escreer as equações pertinentes a cada subsistema e depois interligar as entradas e saídas de cada um. O problema é estabelecer uma orma para as equações dos subsistemas que também permita isualizar acilmente quais são e como as ariáeis de entrada aetam as de saída. esta etapa é preciso identiicar as entradas e as saídas as portas do subsistema que passa a ser tratado como um módulo do sistema do qual az parte e se essas portas podem dar passagens às ariáeis de potência que são esorços e elocidades. Dee-se procurar escreer as ariáeis de entrada como sendo de potência sem alterar as características de operação. São deinidas então as relações de causa e eeito do módulo.

2 Modelagem Via Fluxo de Potência 46 Uma das ormas de deinir as equações de causa-e-eeito do módulo é por meio de Graos de Ligação [1]. ssa técnica é gráica e permite isualizar as relações entre elocidades absolutas e esorços no sistema dinâmico sem que seja preciso ormular todo o equacionamento de antemão. A descrição matemática pode ser eita caso o sistema seja um mecanismo composto por corpos rígidos pela abordagem proposta em [46] ou caso seja um mecanismo composto por corpos deormáeis pela abordagem proposta na reerência [91] após a deinição da estrutura cinemática por meio dos Graos de Ligação. Ainda que contenha corpos deormáeis e esse ato seja signiicatio na modelagem do mecanismo pode-se também utilizar métodos especíicos tal como o de lementos Finitos. Por exemplo seja uma suspensão de um eículo que utiliza barra de torção como elemento elástico [55]. sta barra de torção pode ser modelada como um corpo deormáel e usando o Método dos lementos Finitos deine-se o esorço que produz em irtude da ariação com o tempo da deormação que sore. Assim não importa qual método oi utilizado para obter as equações de causa-e-eeito do módulo desde que as entradas sejam esorços e elocidades. O módulo pode ser acoplado a outros de mesma natureza. O que se busca neste trabalho é um equacionamento também modular onde as equações são escritas em orma matricial arrumadas de orma que as ariáeis de entrada e de saída sejam agrupadas de acordo com sua natureza e que permita tanto a isualização imediata das relações de causa-e-eeito quanto a intercambialidade com ariáeis de natureza semelhante tornando assim o modelo mais lexíel sob o ponto de ista operacional. A orma modular do equacionamento pode ser aplicada em dois níeis o do acoplamento dos corpos de um mecanismo e dos mecanismos de um subsistema Graos de Ligação A condição de conseração de potência permite que as relações cinemáticas deinam o comportamento dinâmico do sistema analisado uma ez que por onde lui a elocidade lui o esorço. Ou seja para descobrir o eeito que um esorço de entrada produz em pontos do mecanismo basta seguir o caminho que as elocidades destes mesmos pontos percorrem acompanhando a combinação entre

3 Modelagem Via Fluxo de Potência 47 elas e as transormações que se dão até chegar no ponto em que esse esorço entra. este ponto a antagem da técnica dos Graos de Ligação é bastante signiicatia uma ez que permite isualizar os caminhos já que se trata de uma abordagem gráica. Sem tecer muitos detalhes a respeito desta técnica uma ez que há diersas reerências que a utilizam mas apenas para relembrar em uma representação em Grao de um sistema há os noe elementos básicos apresentados na Tabela 1 a seguir [2]. Tabela 1 Os noe elementos básicos de um grao de ligação. lemento Representação Fonte de esorço Se Fonte de luxo S Resistor R Capacitor C nércia Transormador TF Girador GY unção 0 0 unção 1 1 Dos noe cinco são os elementos puros ersões idealizadas de componentes reais e podem ser empregados em alguns casos para representar características próprias de um sistema sem que haja correspondência ísica direta com algum componente desse sistema. O elemento puro caracteriza-se por representar uma única propriedade ísica de um componente real (equação constitutia). Os cinco elementos puros são: o resistor o capacitor a inércia o transormador e o girador. Destes os três primeiros são chamados de elementos de uma porta pois a potência lui por uma única ligação O resistor dissipa energia relacionando um esorço a um luxo. O capacitor armazena energia e há uma relação estática entre a ariáel de esorço e o deslocamento. A inércia também armazena energia porém a relação estática é entre a ariáel de luxo (elocidade) e a de quantidade de moimento.

4 Modelagem Via Fluxo de Potência 48 Os dois últimos são o transormador e o girador e são conhecidos como elementos de duas portas onde por deinição a potência é conserada. o transormador há duas relações entre as ariáeis generalizadas enolidas. Uma relaciona o luxo de entrada no transormador com o que dele sai. A outra no sentido oposto relaciona o esorço de entrada no transormador com o que dele sai. Fluxo com luxo esorço com esorço. á o girador cruza as relações: o luxo de entrada no girador é relacionado ao esorço que dele sai e ice-ersa. Se as relações não são constantes diz-se que esses elementos são modulados. Dos noe restam quatro. Dois são as ontes ideais os componentes que ornecem energia ilimitada ao sistema na orma de luxo ou de esorço. Os dois restantes são as junções. As junções são elementos multiportas que serem para acoplar os elementos puros e as ontes ideais que compõem o sistema. as junções 0 todos os esorços são iguais e um deles é a ariáel de entrada. É a junção de esorço comum. esta junção ocorrem a soma de luxos. as junções 1 todos os luxos são iguais e um deles é a ariáel de entrada ao qual todos os demais deem ser igualados. É a junção de luxo comum e nela ocorrem a soma de esorços. as junções 0 e 1 é importante deinir quem é a entrada uma ez que é ela que deine a relação de causa e eeito na junção. m uma junção 0 o luxo de saída é igual à soma dos luxos de entrada e corresponde ao esorço de entrada. Só um esorço é o de entrada e o luxo que a ele corresponde é o único luxo e saída. a junção 1 ocorre o oposto. Os noe elementos básicos são unidos por uma ligação daí o nome da técnica representada por uma linha que indica o luxo de potência entre eles. É nesta ligação que ocorre a transmissão de potência entre os elementos. A cada linha é associado um par esorço-luxo. Uma meia seta ( ) indica o sentido em que a potência lui em um instante de tempo. O sentido indicado pela meia seta é o positio. Se a seta or completa ( ) não há transmissão de potência. A parte mais importante da representação é a da relação de causa e eeito em um elemento a sua causalidade. O sentido da potência e a relação de causa e eeito são independentes. A causalidade é representada por meio de uma barra perpendicular à ligação dos elementos chamada de barra causal ( ou ). la deine o sentido da ariáel de esorço o lado em que o esorço é a

5 Modelagem Via Fluxo de Potência 49 ariáel de entrada. É comum dizer que em uma junção 0 chega um esorço e sai um luxo e que na junção 1 chega um luxo e sai um esorço. m [1] há uma descrição do procedimento seqüencial adotado para deinir as relações de causa e eeito em todas as ligações. Os elementos puros podem apresentar duas causalidades ou seja esorço entrando ou esorço saindo. As ontes ideais apresentam apenas causalidade única. as junções 0 há apenas uma barra causal próxima a ela enquanto que na junção 1 há somente um ligação sem barra causal próxima. O resistor admite as duas causalidades não haendo prioridade na escolha de uma ou de outra no caso linear. O capacitor e a inércia admitem duas causalidades porém há prioridade que é a que resulta na relação de integração entre as ariáeis de esorço e de luxo. o capacitor a prioridade é ter como saída a ariáel de esorço. a inércia a prioridade é ter como saída a ariáel de luxo. Diz-se assim que o elemento tem causalidade integral. os transormadores respeita-se a seguinte condição ísica: a ariáel de potência que or entrada de um lado dee ser saída do ouro lado. Há uma causalidade chegando e outra saindo. o girador dee-se respeitar a seguinte condição: a ariáel de potência que é entrada de um lado o é também do outro. As duas causalidades ou chegam ou saem. Dee-se ressaltar a importância de se estabelecer uma estrutura cinemática em um sistema pois a mesma serirá para a distribuição interna de esorços. ssa estrutura cinemática pode ser montada sem precisar incluir os elementos puros de uma porta e as ontes ideais. A construção começa a partir das junções 1 deinindo corretamente as ariáeis de entrada e de saída do sistema. Usando as junções 0 e os elementos de duas portas chega-se às elocidades de saída a partir das elocidades de entrada quando os sistemas ísicos são mecânicos. A Figura 4 mostra um grao de ligação somente com junções 0 e 1 e transormadores apenas para ilustrar. O sistema ísico representado é o da suspensão do tipo semi-eixo oscilante que é explorada posteriormente.

6 Modelagem Via Fluxo de Potência 50 Figura 4 Grao de Ligação Simples. As elocidades L e a componente Rz são as elocidades de entrada inscritas em círculos tracejados que combinadas produzem as elocidades & β 1 ω h ω S e Ry inscritas em hexágonos. A relação de entrada e saída neste sistema pode ser escrita na seguinte orma matricial (eq. 3.1): & β 1 ωh ω S Ry 4 = ( Α ) j 4 5 Ly Lz y z Rz 5 (3.1) onde os índices na matriz e nos etores indicam suas dimensões. A matriz Α j estabelece os ínculos cinemáticos entre as elocidades de entrada e de saída. O procedimento para obter essa matriz é descrito posteriormente ainda neste capítulo. Por ora basta saber que essa matriz é a Matriz de Vínculos Cinemáticos do sistema. Lembrando que oi aqui adotado o sentido positio da potência a partir de cada elocidade de entrada o que não é uma regra e nem um indicador de causa e eeito. stas relações somente podem ser estabelecidas após a inserção de todos os demais elementos e da atribuição da causalidade a cada um deles. A

7 Modelagem Via Fluxo de Potência 51 retirada dos elementos sere para airmar o seguinte: todo grao de ligação pode ser representado esquematicamente como na Figura 5. Figura 5 Representação esquemática de um Grao de Ligação. O bloco central da Figura 5 é conhecido como strutura de unção e é um elemento generalizado multiportas caracterizado pela reunião dos elementos multiportas 0 e 1 básicos de duas portas modulados ou não. É um elemento que caracteriza a topologia do modelo Grao de Ligação contendo todas as inormações sobre a estrutura do modelo. Sere para analisar o sistema dinâmico sem precisar desenoler o modelo matemático na orma echada. la deine os ínculos cinemáticos e de equilíbrio de um sistema mecânico e traduz matematicamente as conexões entre os elementos básicos de uma porta e entre as ontes ideais. a modelagem matemática dos sistemas mecânicos analisados neste trabalho a estrutura de junção é criada a partir das matrizes que caracterizam os ínculos cinemáticos existentes.

8 Modelagem Via Fluxo de Potência Campos Os noe elementos dos Graos de Ligação até então apresentados são usados em ligações simples. Todas as ariáeis são até agora escalares. O desenolimento da técnica dos Graos de Ligação baseou-se no objetio de representar matematicamente sistemas ísicos com parâmetros concentrados. As relações constitutias dos elementos puros de uma porta relacionam uma ariáel de saída a uma de entrada somente. Porém há sistemas ísicos que para serem deidamente modelados a hipótese de parâmetros concentrados não pode ser adotada sob pena de não caracterizar adequadamente o enômeno ísico. As propriedades dinâmicas podem relacionar mais de uma ariáel de entrada com mais de uma de saída. Quando isso ocorre o elemento puro dee ser descrito como multiporta cuja relação constitutia linear é escrita na orma matricial. Para representar os enômenos ísicos associados a parâmetros distribuídos em Graos de Ligação criou-se uma extensão dos elementos puros de uma porta que são elementos multiportas denominados Campos. Têm-se agora campos armazenadores e campos dissipadores; os multitransormadores e os multigiradores; e as junções etoriais. A estrutura de junção mencionada anteriormente é a união dos elementos de junção e de acoplamento. Há dois níeis de campos os explícitos e os implícitos. Os explícitos são obtidos diretamente do equacionamento do elemento e sua representação matemática é uma matriz. Os implícitos são obtidos pela manipulação do grao original enolendo a orma pela qual elementos puros associados estão conectados entre si. Qualquer grupo de elementos puros do mesmo tipo pode ser representado por um campo implícito. m [2] mostra-se que é possíel manipular o grao para transormar um campo implícito em um campo explícito. Os campos são empregados por exemplo em [27] na modelagem matemática de um chassi deormáel. xistem os campos de armazenadores com causalidade integral em que todos os elementos puros têm causalidade integral; os campos de armazenadores com causalidade dierencial em que todos os elementos puros têm causalidade dierencial e os campos de armazenadores mistos em que há elementos puros com

9 Modelagem Via Fluxo de Potência 53 causalidade dierencial e outros com causalidade integral. ntretanto a princípio todo campo com causalidade dierencial pode ser eliminado do modelo ao ser incorporado em um campo com causalidade integral. Daí surgem os elementos equialentes. O campo de capacitores chamado campo-c seja implícito ou explícito relaciona estaticamente ariáeis de esorço e deslocamento de todas as suas portas. O campo de inércias o campo- implícito ou explícito relaciona estaticamente a quantidade de moimento e o luxo. O campo de dissipador o campo-r implícito ou explícito relaciona diretamente as ariáeis de esorço e luxo a eles associadas. A Tabela 2 [2] mostra a representação matemática de cada campo integral ou dierencial e as expressões da potência e a energia associada a cada um. Tabela 2 Representações matemáticas dos campos lineares. Campo ntegral Dierencial Potência nergia Tipo 1 campo-c e = C q q = Ce P = e T 1 T Potencial = e Ce 2 campo- 1 = p p = P = e T 1 T Cinética = 2 campo-r e = R 1 = R e P = e T A matriz C é simétrica desde que todas as ligações estejam entrando no elemento e normalmente positia deinida [1]. A matriz é simétrica se todas as ligações entram no elemento e sempre positia deinida e nos sistemas mecânicos é o tensor de inércia (campo explícito). A matriz R não é necessariamente simétrica mas sempre positia deinida. As duas últimas matrizes sempre têm inersa o que pode não ocorrer com a matriz C [2]. As junções etoriais são a generalização multiportas dos elementos de junção 0 e 1 e as operações de adição nessas juntas são agora somas etoriais. Os multitransormadores e os multigiradores são a generalização dos elementos de duas portas e as suas equações constitutias são matriciais. Os campos são representados em uma orma compacta no Grao de Ligação por meio das multiligações [3] como mostrado na Figura 6 [27] que

10 Modelagem Via Fluxo de Potência 54 descree um chassi eicular deormáel. É altamente recomendáel que esta notação seja utilizada sempre se or preciso representar o Grao de Ligação de orma compacta ainda que não contenha campos multiportas pois torna a representação gráica mais organizada e limpa como mostra a Figura 7 [27]. Figura 6 Grao Multiligação Genérico. Figura 7 Representação de uma junção etorial 1 com três portas e ordem n.

11 Modelagem Via Fluxo de Potência struturas de unção Uma estrutura de junção genérica em que não há giradores é apresentada na Figura 8 [2] onde ( ) a barra causal chega à estrutura de junção e ( ) e é uma multiligação chamada de junção causal pois e é uma multiligação chamada de elemento causal pois a barra causal chega ao elemento. Conenciona-se que o sentido da potência é positio ao deixar a estrutura de junção. Figura 8 strutura de junção genérica (giradores ausentes). O modelo linear do elemento da Figura 8 é dado pela eq (3.2): e = e (3.2) Pela propriedade de conseração de potência da estrutura de junção temse que: T T ( e ) + ( e ) = 0 (3.3) Das eqs. (3.2) e (3.3) tem-se que: = 22 = = 0 T 21 ntão

12 Modelagem Via Fluxo de Potência 56 e 0 = 21 0 T 21 e (3.4) A matriz da eq (3.4) da estrutura de junção é sempre anti-simética quando não há giradores. os sistemas mecânicos é bom lembrar a estrutura de junção representa as restrições de equilíbrio e compatibilidade cinemática duais uma da outra e desacopladas [2] ato ísico que é indicado pela anti-simetria onde esorços dependem de esorços e luxos de luxos desde que não existam eeitos giroscópicos. a estrutura de junção é possíel ocorrer não-linearidades geométricas nos módulos dos transormadores e giradores. É possíel também que esses mesmos transormadores sejam modulados por deslocamentos resultantes da integração de luxos que deixam a estrutura de junção. a estrutura de um modelo dinâmico é coneniente separar os campos-c R e integrais dos dierenciais (Figura 9 [2]). sso acilita a isualização. Para a estrutura de junção detalhada têm-se as seguintes relações mostradas na Tabela 3. Figura 9 strutura de junção detalhada com os campos separados por causalidade.

13 Modelagem Via Fluxo de Potência 57 Tabela 3 Relações entre as ariáeis da estrutura de junção [2]. e V = U = e ee e X & p = Z = X = C ec q C e C C Z D = X & q C D = X D = e p e R R d nt = d Sai = R e R A potência conencionalmente sai da estrutura de junção então: V X& = Z D d ent UU U DU LU D L U UD D DD LD UL L DL LL U Z X& D d sai (3.5) Deido à propriedade de anti-simetria tem-se que: : matriz anti-simétrica; LL UU : matriz anti-simétrica; D e D : matriz anti-simétrica; : uma matriz é a transposta negatia da outra; L e L : uma matriz é a transposta negatia da outra; U e U DU e UD LU e UL DD : matriz nula; T DL LD : uma matriz é a transposta negatia da outra; : uma matriz é a transposta negatia da outra; : uma matriz é a transposta negatia da outra; = : matrizes nulas; resultando na seguinte orma para a estrutura de junção [2]:

14 Modelagem Via Fluxo de Potência 58 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = R C C e T T T T T T T R C C e e e e e O O O O O O O e e e e L L LU D DU L D U LU DU U U U (3.6) onde: = 0 0 e U = 0 0 c i D = 0 0 D R L = 0 0 r l LU U : acoplamento entre as ontes; e : relaciona ontes de esorço com inércias elementos causal (integral) e indica a existência de carregamentos externos sobre os graus de liberdade com massa; : acopla as ontes de luxo com capacitores elemento causal (integral) e indica que o sistema está inculado ao reerencial inercial por meio de capacitores o que impossibilita o moimento de corpo rígido. l : caracteriza a existência de ontes de esorço sobre os graus de liberdade sem massa; r : indica a presença de excitações de base sobre os dissipadores junção causal; : acopla os campos armazenadores com causalidade integral indicando a inluência dos graus de liberdade com massa sobre os capacitores do sistema e inluencia a matriz de rigidez do sistema mecânico;

15 Modelagem Via Fluxo de Potência 59 c : acopla o moimento de capacitores junção causal (integral) com o campo de capacitores elemento causal (dierencial) o que indica a presença de capacitores equialentes explícitos associados à conexão em série; i : relaciona os campos de inércias independente e dependente o que caracteriza a existência dos elementos inércia com equialência explícita; D : caracteriza o acoplamento dos capacitores junção causal com os resistores elemento causal e indica a existência dos graus de liberdade sem massa; R : acopla o campo de inércias independentes com o de dissipadores junção causal; L : conecta os campos dissipadores elemento causal e junção causal e caracteriza a presença de equialências série de resistores não associados a graus de liberdade sem massa. Das submatrizes relacionadas DU merece um comentário à parte. É a matriz que relaciona os esorços dos capacitores elemento causal e os luxos das inércias junção causal com as ontes ideais. Quando é não-nula pode indicar um giristor ([4] e [5]) implícito. É uma combinação de girador modulado e resistor e não dissipa energia [95]. O modelo apresentado na eq. (3.6) é utilizado para obter inormações sobre a cinemática do sistema mecânico. As inormações da estrutura dinâmica do sistema estão embutidas nos campos-c R e dos elementos multiportas. Assim tem-se que para o campo armazenador independente: e C 1 = 0 0 p 1 C q C (3.7) para o campo armazenador dependente: q p C C = 0 0 e C (3.8) e para o campo dissipador:

16 Modelagem Via Fluxo de Potência 60 e R R 1 R = 0 0 R e R R (3.9) As matrizes das eqs. (3.7) (3.8) e (3.9) estão associadas à elementos puros concentrados e/ou à campos explícitos [1] e representam em sistemas mecânicos as propriedades locais dos elementos. As matrizes das eqs. (3.7) e (3.8) dos campos armazenadores são simétricas uma ez que esses campos são conseratios. As matrizes da eq. (3.9) são diagonais para modelos de parâmetros concentrados Acoplamento de Modelos A modelagem matemática de um sistema ísico está diretamente ligada a sua complexidade. Um sistema pode ser isto como um todo ou como um conjunto integrado de subsistemas. A dierença que existe entre esses pontos de ista aeta diretamente a escolha da técnica ou do método empregado para chegar ao conjunto de equações que o represente da orma mais real possíel. Se o sistema é isto como um conjunto integrado de subsistemas acoplados é possíel separar esses subsistemas em módulos de orma que se possa trabalhálos de orma independente dando-lhes tratamento indiidual. O módulo é separado do conjunto e analisado identiicando como interage com os demais discriminando suas entradas e saídas e de que orma seus parâmetros internos inluenciam e deinem seu comportamento. ssa análise conduz à construção do modelo matemático desse módulo. Os maiores problemas surgem quando esses modelos matemáticos precisam ser acoplados. O sistema precisa ser representado pelos seus módulos interagindo entre si. Dependendo do método empregado na concepção do modelo matemático as ariáeis ou sinais de saída de um módulo podem não serir como entrada para o módulo seguinte não existindo o acoplamento de um modelo matemático com o outro. Para o acoplamento é preciso deinir então o grau de modularidade que restringe o alcance do modelo matemático ou seja pode ser que dois módulos

17 Modelagem Via Fluxo de Potência 61 separados precisem ser considerados como apenas um para serem bem representados. m métodos e técnicas de modelagem matemática que tratam sistemas como conjuntos de módulos integrados e apenas para citar duas tem-se o Grao de Ligação e os Transormadores Cinemáticos [16] há duas categorias de acoplamento o acoplamento analítico e o acoplamento computacional. Quando a Técnica dos Graos de Ligação oi apresentada modelaa-se o sistema como um todo ainda que pudesse ser isto como um conjunto de módulos integrados. Uma ez deinidas suas entradas e saídas e caracterizados os eeitos constrói-se o grao de ligação de todo o sistema para depois equacioná-lo. Mesmo que cada módulo tenha seu próprio grao de ligação construído em separado todos eram unidos em um grao maior antes do equacionamento. m um sistema ísico mecânico é preciso cumprir todas essas etapas para obter as equações de moimento. O acoplamento é analítico. m um período posterior passou-se a tratar os módulos como tal [10] ou seja constrói-se o grao que representa o módulo procede-se com o equacionamento em níel local deixando o módulo pronto para o acoplamento com os demais módulos do sistema. O acoplamento é computacional e as equações dinâmicas são resolidas numericamente. m sistemas mecânicos existem ários tipos de conexões ou elementos de acoplamento deinidos matematicamente pelas relações de equilíbrio e compatibilidade cinemática que restringem a associação dos módulos existentes no sistema. A conexão pode ser eita por elementos atios onde não há eeito dinâmico ou por meio de elementos passios que têm dinâmica associada. Os atios podem representar apenas relações matemáticas e no grao de ligação são representados por ontes sem ariáel de retorno. Os passios deem ser representados matematicamente por um modelo de estado ou por uma orma similar que caracterize sua dinâmica. o caso do acoplamento computacional dee-se obserar se entre os módulos não há conlito de causalidades pois se existirem é preciso estabelecer um procedimento para resolê-los [87].

18 Modelagem Via Fluxo de Potência Condições de Compatibildade o acoplamento entre dois módulos deem-se obserar duas condições de compatibilidade: a compatibilidade da potência que lui de um módulo a outro e a compatibilidade das causalidades. A causalidade está associada à relação de causa e eeito que sempre existe em ligações onde lui potência [88]. Ou seja é o eeito de carga presente na interação dinâmica entre sistemas ísicos. Quando um elemento ornece esorço para outro este reage ornecendo luxo para o primeiro. Se isso ocorre o acoplamento é imediato e diz-se que os módulos e então seus modelos matemáticos têm causalidade compatíel (Figura 10a). Desta orma o acoplamento computacional é possíel e acilmente aplicáel onde basta apenas conectar um módulo a outro. A incompatibilidade da potência ainda que ocorra é simples de se resoler bastando para isso inerter o sinal de entrada (ou de saída) de um dos módulos (Figura 10b). Se as entradas dos módulos são ou ambas esorço ou ambas luxo diz-se que há conlito de causalidade (Figura 10c) impedindo assim o acoplamento imediato dos módulos ainda que a potência seja compatíel. sso implica na dependência matemática entre as ariáeis que caracterizam a dinâmica do sistema acoplado ou seja há menos graus de liberdade ísicos no modelo completo do que nos indiiduais. O resultado disso é uma malha algébrica ou seja equações algébricas dependentes que dee ser resolida. Figura 10 Compatibilidade entre módulos. (a) causalidade compatíel (b) causalidade compatíel com inersão do sinal de potência de um dos módulos; (c) conlito de causalidade.

19 Modelagem Via Fluxo de Potência Acoplamento com Laços Algébricos os casos em que há laços algébricos dee-se proceder com a quebra da malha que pode ser deseita por meio de manipulação analítica das equações associadas alterando os modelos matemáticos preiamente desenolidos. A modiicação das ariáeis de entrada e saída é uma solução trabalhosa e limitada por modelos não-lineares ou modelos que enolam sistemas de equações retangulares cuja inersão é diícil ou até mesmo impossíel. A outra maneira de resoler o problema é o uso de elementos de inersão de causalidade que podem ser subsistemas ou equações adicionais introduzidos de modo a compatibilizar as ariáeis no acoplamento. sse recurso é útil quando não se conhece bem o componente que se deseja conectar. os sistemas mecânicos quando há duas inércias proocando a incompatibilidade pode-se introduzir um elemento de mola adicional de grande rigidez que permite inerter a causalidade de uma das inércias sem alteração signiicatia no desempenho do sistema acoplado [89]. Se a natureza do sistema ísico é conhecida a melhor solução é a isualização do sistema completo para depois proceder com a separação dos módulos de orma a anteer o modo de equacioná-los para que ao inal não apareçam causalidades incompatíeis. este trabalho os laços algébricos existentes estão diretamente ligados à geometria dos mecanismos. O equacionamento de estruturas echadas reqüentemente conduz a laços algébricos mas não necessariamente a conlitos de causalidade. este caso os laços ocorrem ainda na ase de deinição das equações da cinemática do mecanismo e são deseitos antes que se passe à ase seguinte de deinição da dinâmica associada. A estrutura de junção do módulo não dee conter laços. Mesmo haendo elementos com causalidade dierencial no caso campos- mistos (inércias junção causal e elemento causal) os problemas a eles associados são resolidos por manipulações algébricas usando a estrutura de junção.

20 Modelagem Via Fluxo de Potência Causalidade Mista em Armazenadores Trata-se aqui da eliminação das inércias junção causal e dos capacitores elemento causal ou seja das inércias e capacitores dierenciais respectiamente campo- e campo-c. sto ocorre a níel local. A manipulação das expressões enole as submatrizes da estrutura de junção apresentada na eq. (3.6) e isso é tratado com detalhes em [2]. Para o campo de inércias o processo incorpora as propriedades inerciais do campo de inércias dierenciais ou com causalidade dierencial no campo de inércias integrais ou com causalidade integral. A submatriz da estrutura de junção enolida nessa operação é a matriz i. A manipulação algébrica das expressões que deinem o luxo de potência entre esses campos lea à matriz constitutia do campo de inércias equialentes mostrada na eq. (3.10): = + (3.10) i T i Tem-se assim o eeito da inércia dierencial incorporado à inércia integral e essa é a expressão da matriz de massa do sistema. Os elementos da matriz são alguns dos elementos da Matriz de Vínculos Cinemáticos que aparece na eq. (3.1). Os campos mistos de capacitores sob o ponto de ista de um sistema ísico mecânico existem quando há molas em série. Para a determinação do campo C a submatriz da estrutura de junção é 3.11) é dada por: i c. A expressão deste campo (eq. C = C + C (3.11) c T c Causalidade Mista em Resistores Da mesma orma com que os campos C e oram tratados o mesmo pode ser eito com os campos R que têm causalidade mista também em níel local. sses campos representam amortecedores em série. A manipulação algébrica

21 Modelagem Via Fluxo de Potência 65 enole a matriz L e a matriz resultante deine o noo campo resistor com causalidade junção causal (eq. 3.12): ( 1 1 T R + R ) 1 R = (3.12) L L Mecanismos Com Cinemática Fechada Dependendo da montagem do mecanismo pode existir uma cadeia cinemática echada o que lea a um laço algébrico. esses laços as ariáeis de entrada de um corpo são as de saída do outro que tem como entradas as saídas de um terceiro que por sua ez tem como entrada justamente a saída do primeiro conorme mostra a Figura 11. este tópico é apresentado o equacionamento para obter a matriz A m da eq. (3.1) quando há laços algébricos presentes no mecanismo. Dierentemente dos tópicos anteriores quando a manipulação algébrica se daa em níel local neste caso pode-se aplicar o procedimento tanto em níel local quanto em níel global. Figura 11 Representação de um mecanismo em cadeia echada com o corpo b ligando-se aos corpos c e d. É preciso abrir o laço algébrico de tal orma que as ariáeis de saída sejam escritas em unção somente das ariáeis de entrada o que é eito ainda na construção da Matriz de Vínculos Cinemáticos.

22 Modelagem Via Fluxo de Potência 66 nicia-se o procedimento com a listagem de todas as elocidades absolutas de entrada e de saída de todos os corpos arrumando-as em um único etor de entradas e um único etor de saídas deidamente seqüenciadas conorme a eq. (3.13). = d c b a d c b a d S c S b S a S M M M M (3.13) onde cada i M é uma matriz que relaciona as elocidades de entrada e de saída de um único corpo. Supondo que a dimensão do etor de entradas seja n a do etor de saídas p a da matriz da eq. (3.13) é p n. m ambos os etores há coordenadas em comum sendo ainda que coordenadas do etor b podem estar presentes nos etores a c ou d. Ou seja algumas coordenadas podem aparecer no etor de elocidades de entrada mais de uma ez pois isso depende da orma como os corpos estão inculados no mecanismo. É preciso então reordenar as ariáeis de entrada e de saída em cada um desses etores separando-as em três classes: elocidades independentes que são as de entrada de todo o mecanismo; elocidades intermediárias as que são entrada de um e saída de outro; elocidades de saída as que não são ariáeis de entrada de nenhum corpo do mesmo mecanismo. o etor de saídas não entra qualquer elocidade independente. sta ordenação pode ser eita por uma matriz de seleção de coordenadas conorme mostrado nas eqs. (3.14) e (3.15). = Dep nt nd d c b a Ψ LL LL (3.14)

23 Modelagem Via Fluxo de Potência 67 = d S c S b S a S S Dep nt Ψ L L (3.15) É importante obserar o critério adotado para a arrumação das ariáeis: o etor de elocidades do primeiro membro da eq. (3.15) segue a mesma ordenação do etor de elocidades do segundo membro da eq. (3.14). o etor do membro direito da eq. (3.14) não há ariáeis repetidas. Os elementos das matrizes de seleção de coordenadas são somente 0 ou 1. a matriz Ψ há somente um elemento não-nulo por linha enquanto que na matriz S Ψ há apenas um elemento não-nulo por linha e por coluna. As operações de soma e subtração com multiplicação por constantes ou por ariáeis de elocidades são eitas somente na matriz da eq. (3.13). Admite-se que o etor de entradas da eq. (3.14) tenha dimensão q e o de saídas da eq. (3.15) tenha dimensão m. A matriz Ψ tem dimensões n q e a matriz S Ψ m p. Das eqs. (3.13) (3.14) e (4.15) tem-se: = Dep nt nd d c b a S Dep nt Ψ M M M M Ψ LL LL L L (3.16) Ou ainda: = Dep nt nd M S Dep nt Ψ LL LL L L (3.17)

24 Modelagem Via Fluxo de Potência 68 A matriz Ψ S M de dimensões m q pode ser diidida por colunas em duas submatrizes. A primeira Ψ pertinente ao etor de elocidades de entrada ou de elocidades independentes tem dimensões m r. A segunda Ψ D ao etor de elocidades intermediárias e dependentes de dimensões m (q-r) conorme apresentado na eq. (3.18): Ψ [ Ψ M Ψ ] S M = D (3.18) Como (q-r) é igual a m uma ez que o etor de elocidades intermediárias e dependentes é extraído do etor de elocidades de entrada a matriz quadrada. Voltando à eq. (3.16) substituindo (3.18): Ψ D é nd nt LL = [ ] L L Ψ M Ψ D nt (3.19) Dep LL Dep etua-se o produto da matriz pelo etor separando em duas parcelas uma para as elocidades independentes e outra para as elocidades dependentes e intermediárias englobadas em um único etor: nt nt L L = Ψ nd + Ψ D LL (3.20) Dep Dep stá aberto o caminho para o isolamento das elocidades dependentes das independentes por meio da manipulação algébrica da eq. (3.20): nt nt L L Ψ D LL = Ψ nd (3.21) Dep Dep

25 Modelagem Via Fluxo de Potência 69 Ou ainda: = nt nt L L Ψ D LL Ψ nd (3.22) Dep Dep O etor de elocidades dependentes é posto em eidência pós-multiplicando a dierença entre a matriz identidade e a matriz Ψ D : ( Ψ ) L = Ψ nd D nt L (3.23) Dep nertendo-se a matriz do primeiro membro da eq. (3.23): nt 1 L L = ( Ψ D ) Ψ nd (3.24) Dep e azendo: Ψ m 1 ( Ψ D ) Ψ = (3.25) Tem-se a relação entre as elocidades independentes e dependentes. m mais um passo a matriz Ψ m é diidida em linha em duas outras submatrizes como mostrado na eq. (3.26) uma pertinente às elocidades ditas intermediárias e a outra às elocidades dependentes. sta última é a matriz mecanismo com laço algébrico. A m do Ψ m Ψ nt = L L (3.26) A m

26 Modelagem Via Fluxo de Potência 70 O laço algébrico oi deseito e agora as elocidades de saída são escritas somente em unção das elocidades de entrada como mostra a eq. (3.27): Dep = A m nd (3.27) As ariáeis intermediárias passam a ser usadas também como saída somente mas utilizadas apenas como indicadoras do comportamento do mecanismo. ste pode ser considerado um níel básico de modularidade de um mecanismo. A matriz matriz estrutura de junção. A m da eq. (3.27) é que sere de base para a construção da Acoplamento Via strutura de unção A strutura de unção de um módulo criada a partir de seu modelo matemático pode ser usada no acoplamento computacional ou no analítico. la é um elemento multiportas que representa a cinemática do modelo e associa ariáeis de potência de entrada e de saída. As estruturas de junção dos módulos componentes de um sistema podem ser acopladas diretamente tanto no caso computacional quanto no caso analítico. Assim como o corpo está para o mecanismo o mecanismo está para o subsistema. Se dois ou mais mecanismos são encadeados de orma aberta (Figura 12a) as saídas da estrutura de junção do primeiro representadas pela sua primeira linha de submatrizes é a entrada direta do segundo. Porém se a inluência dos mecanismos é mútua (Figura 12b) dee-se aplicar o procedimento descrito no presente tópico para obter a matriz de estrutura de junção dos dois mecanismos encadeados (Figura 13). Os elementos da noa matriz estrutura de junção serão os elementos das duas matrizes de estrutura de junção dos mecanismos enolidos.

27 Modelagem Via Fluxo de Potência 71 Figura 12 Subsistema com mecanismos encadeados. (a) Forma aberta; (b) orma echada. Figura 13 Obtenção de uma noa estrutura de junção para um subsistema a partir de duas outras encadeadas. A metodologia representada pela Figura 13 é coneniente quando um dos mecanismos é complexo o bastante para que a análise do subsistema a que pertence traga diiculdade à montagem da matriz estrutura de junção. Pode ser um mecanismo que tenha muitas entradas e saídas ou um mecanismo com uma só entrada e uma só saída porém com laços algébricos que diicultam a isualização do caminho das elocidades. Assim adotando-se o procedimento em um grau mais aançado parte-se da ordenação dos etores de entradas e saídas de cada estrutura de junção assim como a criação de uma matriz diagonal cujos elementos sejam as matrizes de estrutura de junção de cada um dos mecanismos enolidos.

28 Modelagem Via Fluxo de Potência 72 S ma S mb S mc S md = ma mb mc md ma mb mc md (3.28) onde mi é a matriz estrutura de junção do mecanismo i dada pela eq. (3.6) S mi é o etor de ariáeis de saída da estrutura de junção do mecanismo i não mais é um etor de elocidades de saída misturando elocidades e esorços e é o etor de ariáeis de entrada da estrutura de junção do mecanismo i mi também composto por etores de esorços e de elocidades. Seguindo o procedimento adotado para obter a Matriz de Vínculos Cinemáticos do mecanismo todo o subsistema A m obter-se-á uma matriz de estrutura de junção de su da eq. (3.29): Dep = su nd (3.29) Todo o procedimento é analítico tendo como limitação a capacidade de interpretação do programa comercial que irá gerar essas equações no caso deste trabalho o MATLAB. A ase mais crítica é a inersão da matriz. Ainda assim no caso particular do MATLAB pode-se substituir a expressão por uma outra ariáel deinida como simbólica inerter a matriz e depois substituir noamente as expressões nos respectios locais. Deido ao tamanho que algumas expressões podem ter a utilização deste recurso é imprescindíel. Resumindo: toda estrutura de junção pode ser a subestrutura de junção de outra maior dependendo da ordem de grandeza da análise.

29 Modelagem Via Fluxo de Potência strutura de Modelos Veiculares Um eículo é composto por diersos subsistemas que são interligados entre si e os principais estão listados na Tabela 4. Tabela 4 Subsistemas em um eículo. ome ntrada Saída Motor Massa e azão de Ar Torque e elocidade angular Transmissão Torque e elocidade angular Torque e elocidade angular multiplicados Freios Pressão e azão do luido Força sobre tambor/disco de trabalho (óleo ou ar) Suspensão Velocidades dos pontos de ancoragem e das rodas Forças produzidas pelos elementos complacentes Chassi sorços internos e externos Velocidade dos pontos de ancoragem Rodas e pneus Torque elocidade angular e de excitação de base Velocidades dos CGs esorços sobre o solo e sobre os elementos da suspensão. Parte elétrica e eletrônica embarcada Sinais de sensores dedicados Atuadores A Figura 14 mostra as ariáeis de potência em um eículo terrestre. Os pneus são colocados no centro do diagrama por serem os elementos de contato com o solo e os principais elementos na dinâmica de um eículo terrestre. Cada módulo dee ser equacionado de orma que suas entradas e saídas sejam ariáeis de potência. Como exemplos são discutidos a seguir apenas nos sistemas puramente mecânicos dois com geometria (direção e suspensão) e um sem (transmissão e reios).

30 Modelagem Via Fluxo de Potência 74 Figura 14 Veículo representado como um diagrama de blocos Sistema de Transmissão e Freios O objetio aqui não é descreer o uncionamento dos subsistemas de um eículo o que pode ser artamente encontrado em periódicos e liros dedicados ao assunto [94]. Assim é suiciente saber que a entrada do sistema de transmissão é a potência proeniente do motor. A Figura 15 ilustra o sistema de transmissão de um eículo 4 4. Dentro da caixa de mudanças que pode ser seletia ou automática o torque e a elocidade angular são multiplicados por relações de transmissão obtendo-se assim a potência de saída da caixa. m muitos casos pode-se considerar a caixa de mudanças como um transormador modulado que é a orma mais simples para seu modelo matemático. Dependendo do objetio da simulação numérica consideram-se os eeitos dinâmicos existentes neste sistema como deormações nas árores de transmissão eeitos de dissipação de energia por atrito resistência imposta ao moimento pelo óleo lubriicante olgas em

31 Modelagem Via Fluxo de Potência 75 mancais etc. sses eeitos pode ser todos resolidos dentro do módulo do sistema de transmissão de orma a manter as saídas do sistema ainda como ariáeis de potência e sem resultar em incompatibilidades causais. Figura 15 Sistema de Transmissão de um eículo 4 4. Uma das entradas do sistema de reios é a orça exercida no pedal pelo condutor. A orma como a pressão do luido de trabalho eolui na linha depende também da elocidade com que o pedal é pressionado. sse esorço é transerido aos atuadores que promoem a redução de elocidade da rodas. Um diagrama do sistema de reios de um eículo de passeio é ilustrado na Figura 16 [94]. Figura 16 Componentes de um sistema de reios de um eículo lee. 1) Freio da roda (disco) 2) mangueira do reio 3) conexão 4) tubulação do reio (rígida) 5) cilindro mestre 6) reseratório do luido de reio 7) seroreio 8) pedal do reio 9) reio de estacionamento 10) cabo do reio 11) limitador da orça de renagem 12) reio da roda (tambor).

32 Modelagem Via Fluxo de Potência 76 As entradas são a orça de renagem produzida pelo condutor por um lado e a elocidade angular da roda pelo outro. A saída é a orça de renagem. eitos associados a parâmetros como o de compressibilidade do luido e elasticidade da linha podem ser considerados porém deem ser resolidos dentro do módulo. A Figura 17 mostra o luxo de potência dos sistemas de transmissão e de reios em um eículo com tração 4 4. Figura 17 Diagrama de luxo de potência para os sistemas de transmissão e de reios Sistema de Suspensão Como já apresentado na seção o sistema de suspensão é um mecanismo com geometria echada e essa característica lea a laços algébricos no equacionamento. Apesar disso é um mecanismo que tem um curso deinido limitado pelo amortecedor. m carros de passeio por exemplo o curso de um amortecedor é de cerca de 18cm nas suspensões do tipo McPherson como mostra a Figura 18 [68]. ssa limitação do curso az com que as ariações de posição do mecanismo sejam pequenas. o caso da suspensão semi-eixo oscilante mostrada na seção o deslocamento angular do semi-eixo de uma posição limite a outra é de aproximadamente 9º. A Figura 19 mostra as posições-limite G e G.

33 Modelagem Via Fluxo de Potência 77 A não ser pelo laço algébrico o mecanismo de suspensão é bem condicionado e os alores que porentura prooquem trancamento numérico estão de ora do interalo de uncionamento. Figura 18 Dimensões principais de amortecedores COFAP dianteiros usadas para dimensionamento de suspensões McPherson em alguns eículos de passeio. Figura 19 Deslocamento angular do semi-eixo. O ângulo aproximadamente 9. G ˆ G mede

34 Modelagem Via Fluxo de Potência 78 o módulo da suspensão não existe capacitor ou campo-c com causalidade dierencial nem resistor ou campo-r do tipo elemento causal. as suspensões automotias não há molas ou amortecedores em série porém podem existir associações de molas em paralelo ou de amortecedores em paralelo e dependendo das hipóteses adotadas na construção do modelo matemático podem surgir campos- mistos. As suspensões são mecanismos que recebem luxo do chassi e esorços do pneu e deolem esorços para o chassi e luxo para o pneu. Dependendo do grau de modularidade desejado a roda pode ser desacoplada como um módulo em separado e a massa das peças do mecanismo de suspensão desprezadas. esta hipótese a suspensão recebe luxo e deole esorço. Se por outro lado o pneu é incorporado à suspensão ainda assim o módulo recebe luxos do chassi e da excitação de base e deole esorços para o chassi e para o solo. O diagrama de luxo de potência é mostrado na Figura 20. Figura 20 Diagrama de luxo de potência de um sistema de suspensão Sistema de Direção O sistema de direção é composto por uma caixa de direção que promoe a multiplicação do esorço que dee ser realizado pelo condutor sobre o olante para moer as rodas barras de direção que transmitem o moimento de saída da caixa e braços de direção que transmitem o moimento das barras de direção aos pinos-mestres. A Figura 21 [55] mostra o sistema de direção do tipo pinhão e cremalheira utilizado na maior parte dos eículos de passeio equipado com caixa de direção com assistência hidráulica.

35 Modelagem Via Fluxo de Potência 79 Figura 21 Sistema de direção com caixa do tipo pinhão e cremalheira com assistência hidráulica. A entrada do moimento é prescrita pelo condutor ou seja é uma onte de luxo. O resultado é o esterçamento das rodas. O atrito entre o solo e a banda de rodagem do pneu produz um esorço de resistência ao esterçamento que é a entrada em esorço para o mecanismo. sse esorço é o que dee ser encido pelo condutor para irar o olante até a posição desejada. A Figura 22 mostra o diagrama de luxo de potência do sistema de direção. Figura 22 Diagrama de luxo de potência do sistema de direção.

36 Modelagem Via Fluxo de Potência 80 Um modelo matemático para esse módulo pode incluir também atrito entre as peças deormações elásticas na coluna de direção e assistência eletrohidráulica. Para manter a modularidade esse mecanismo dee ser considerado aberto pois a cinemática echada dee incluir o mecanismo de suspensão (reerências [23] [24] e [25]). A conexão com a suspensão é eita em um ponto do pino-mestre sendo que uma das componentes de elocidade do pino-mestre é entrada para o mecanismo. A hipótese mais razoáel é escolher a componente ertical da elocidade absoluta do pino-mestre como entrada para a barra de direção uma ez que a roda pode se deslocar para cima e para baixo sem necessariamente esterçar e pode esterçar sem necessariamente moimentar-se na direção ertical. o caso em que a roda esterça ao moimentar-se na direção ertical há acoplamento entre os dois mecanismos sendo a geometria do mecanismo de direção a responsáel por isto. ssa condição é eriicada no projeto do eículo e pode até ser desejada caso contribua para sua estabilidade em curas. Sob o ponto de ista do modelo matemático essa condição pode ser eriicada por meio da estrutura de junção obtida a partir do acoplamento das estruturas de junção de cada mecanismo.