Notas de Aula de Física

Transcrição

1 Veão peliin 4 e noveo e Not e Aul e íic 4. AVIAÇÃO... O UNIVEO E A OÇA AVIACIONA... AVIAÇÃO E O PINCÍPIO DA UPEPOIÇÃO... AVIAÇÃO PÓXIO À UPEÍCIE DA EA... 4 OÇA ENE UA HAE E UA AA PONUA CAO... 5 OÇA ENE UA HAE E UA AA PONUA CAO... 6 CAPO PODUZIDO PO UA DIIBUIÇÃO EÉICA DE AA E EU EXEIO... 8 CAPO PODUZIDO PO UA DIIBUIÇÃO EÉICA DE AA E EU INEIO... CÁCUO AENAIVO - PAÍCUA NO INEIO... ENEIA POENCIA AVIACIONA... 5 Enegi potencil gvitcionl póxio à upefície e... 5 Enegi potencil gvitcionl itnte upefície e... 6 EI DE KEPE... 7 ÓBIA DE AÉIE E ENEIA... 9 OUÇÃO DE AUN POBEA

2 Pof. oeo ve ilv 4. vitção A gvie é i fc foç funenti o Univeo. É epezível n inteçõe e ptícul eleente e não te qulque ppel n popiee olécul, o átoo ou o núcleo tôico. A tção gvitcionl ente copo e ienõe coun, po exeplo ente u utoóvel e u eifício, é uito pequen p e pecei. Ente copo uito gne, coo etel, o plnet, o télite, poé, gvie te u ipotânci e pieio plno. A foç gvitcionl e oe o copo que no oei é pte funentl no expeiênci. É gvie que no nté oe o olo e nté e e o outo plnet n u epectiv óit o ite ol. A foç gvitcionl te u ppel ipotnte n hitói etel e no copotento gláxi. Nu ecl uito gne, é gvie que contol evolução o Univeo. íic Pul A iple Vol - Cp - pg C - Eito - O Univeo e oç vitcionl Dee tepo ieoii o hoe epe eteve fcino pelo oviento o copo celete e poívei conequênci ete oviento n no vi qui n e. Po quetõe e funo eligioo, unte uito tepo upô-e que o oviento ee copo conteci e oo que e tinh u poição pivilegi nete conceto. O eligioo ceitv que o hoe e o único e vivo no Univeo e o cio ntulente o colocou nu locl epecil, nu plnet epecil. E ifícil ceit o tnho iinuto o hoe fente à ienõe o Univeo. Po ee otivo, too quele que coniev lgu iéi ifeente ete geocentio e conieo heege. O ciênci e conie u e copovção cenç eligio. Co o o oevcioni o tônoo ycho Bhe, Johnne Keple ecoiu epiicente que tjetói o plnet e tono o ol e elipe. oi Ic Newton que otou o funento e u teoi gvitção, que copovv peiçõe e Keple e oevçõe e ycho Bhe. i in uito i lé o nli inteção ente u quique. Quno u copo e etá u itânci e u outo copo e, foç e tção ente ele etá iigi o longo et que une o copo e te fo: one 6,67x - /kg. Cp 4

3 Pof. oeo ve ilv vitção e o Pincípio upepoição A ioi o oelo que epeent fenôeno fíico ão linee. Po exeplo: inteção gvitcionl ente tê ptícul poe e conie coo copoição inteção o pe e ptícul. Io contece po cu o Pincípio upepoição. Po cu ete pincípio e ciênci e pet tão e à plicção o eucionio. É ito que íic é u cpo e etuo eucionit poque cotu-e nli o fenôeno exteente ofitico tvé oevção e c u pte iple que copõe ete fenôeno. P exeplific, vo conie o ite copoto po tê ptícul, ecito nteioente. O veto poição ptícul e é, o veto poição ptícul e é e o veto poição ptícul e é P. A itânci ente ptícul ão efini coo: O A foç que ptícul e e fze n ptícul e tê vloe que inepene peenç útu, ou ej: e pen etive peente foç que el execeá e teá o eo vlo quele quno té etive peente. E foç tê fo: ˆ ˆ one ˆ ˆ ˆ ˆ O e foç que u ptícul fze e eá: configuno i o pincípio upepoição. Cp 4

4 Pof. oeo ve ilv vitção póxio à upefície e A foç e tção gvitcionl ente e e u copo e póxio à u upefície, e pincípio eveá te e fo tção ente oi copo quique. No entnto e ee copo etive u ltu h ci upefície e, e pueo conie et ltu uito eno que o io e, poeeo fze lgu conieçõe e té poxiçõe zoávei oe o vlo et foç e tção. N upefície e foç e tção ente o copo te fo: ( ) e e efinio celeção gvie g coo: enconteo que: g ( ) g Quno o copo etive u ltu h upefície e, foç e inteção teá fo: ( h) one o enoino poeá e ecito coo: ( h) ( h) ( h) Quno ltu o ojeto e fo pequen e elção o io e, ou ej: quno h <<, poeo poxi o teo e pêntei po u expnão e éie e potênci. Dito e outo oo, p x pequeno poeo fze expnão à egui: N ( ) ( N ) x N Nx x " ou ej: h h " Dee oo: h ( h) h Cp 4 4

5 ou in: Pof. oeo ve ilv h ( h) g e quno ltu h fo elente uito eno que o io e, poeo epez coeçõe e conie poxição tivil, e oo que: ( h) g one efinio o peo o ojeto co u foç contnte e inepenente ltu, co u fo o tipo: P g oç ente u hte e u pontul Co Vo conie u hte e lgu epezível e itiuí unifoeente o longo o eu copiento. U ptícul e etá coloc u itânci hte, coo ot figu o lo. Deveo clcul foç que u eleento e hte exece oe ptícul. e foç é iigi p hte e te óulo: ( x) x x x A foç totl que hte execeá oe ptícul eá o e to contiuiçõe eleente que copõe hte. Po outo lo exite u elção ente o eleento e e o epço x que ele ocup n hte. Coo hte te itiuí unifoeente, teo popoção: x - x x x Dee oo, foç totl te fo: x o ( x) zeno unç e viávei u - x, enconto: Cp 4 5

6 ou ej Pof. oeo ve ilv u u u ( ) ( ) oç ente u hte e u pontul Co Vo conie u hte e lgu epezível e itiuí unifoeente o longo o eu copiento. U ptícul e etá coloc u itânci hte, coo ot figu o lo. y Deveo clcul o eleento e foç que u eleento e hte exece oe ptícul e. Vo conie hte no eixo y e ptícul no eixo x. E foç é iigi o longo et que une o eleento e e ptícul. A et fz u ângulo θ co o eixo x. upono que o eleento e etá u itânci y o ponto éio hte, o óulo o elento e foç te fo: one y y y θ x A coponente ctein X e y ão ecit coo: coθ X coθ y one y y Y enθ enθ y Coo hte te itiuí unifoeente, teo popoção: y y Cp 4 6

7 Pof. oeo ve ilv Cp Poeo então ize que: y y X ou ej: ( ) / / / X y y E e nei equivlente: yy y y Y ou ej: ( ) / / / Y y yy P clcul X vo fze utituição: y y y y I tn tn ec tn ogo: ( ) [ ] I I I X co ec ec tn ec / ( ) I X en en en en en en tn tn co tn ou ej: 4 en e e oo equivlente: 4 en I e potnto: X ou ej: 4 X

8 Pof. oeo ve ilv P o cálculo coponente y poeo oev que ieti no conuz u eulto nulo. P c contiuição p coponente Y oiun e u eleento e ci o ponto éio teo u contiuição equivlente e u eleento e iético ixo o ponto éio. Poeo ot ee eulto clculno explicitente integl: Uno utituição: y tn y ec ou ej: Y Y / ( y ) / y tn y tn I yy / co I co ( tn )( ec ) tn [ ( )] tn / ec I I I en Y I ( co co ) Cpo pouzio po u itiuição eféic e e eu exteio ej u cc eféic e io, epeu infiniteil t e. Qul foç e inteção gvitcionl ente e cc e u ptícul e, locliz extenente u itânci e eu cento? P clcul e foç, vo conie inicilente inteção gvitcionl ente ptícul e e u nel que fz pte cc eféic. A et que lig u ponto ee nel e oige cooen fz u ângulo θ co o eixo x, e o ângulo enfeixo po ele é. Dee oo ee nel teá io.enθ e lgu., e eá e foç e clcul. A et que une té u ponto o nel te u copiento e fz u ângulo α co o eixo x. enθ θ α x t Cp 4 8

9 Pof. oeo ve ilv A foç eleent te coponente x e, one coponente etá no plno pepenicul o eixo x. Ou ej: i # ˆ X e potnto: i ˆ X ˆ X X coα enα Po ieti poi c u contiuiçõe infiniteii te u equivlente e inl contáio, que n integção toná nul e coponente. O óulo foç eleent, te fo: one é eleent o nel e é itânci e u ponto ee nel té poição ptícul e. Ieo u o conceito e enie voluétic e, que é epent pel let geg ρ, e é efini coo zão ente e o volue ocupo po e, ou ej: ρ V e quno itiuição e fo unifoe, poeo té ize que: O volue eleent o nel eá: ρ V V (io) (lgu) (epeu) e potnto: V ( enθ ) ( ) ( t ) ρ V ρ t ( enθ ) ( ) ρ t enθ O ângulo α efinio coo quele que et que une ptícul o nel genéico, fz co o eixo x, e é tl que: coθ coα one é itânci ente ptícul e té o nel genéico. Dee oo [ ] X t ρ enθ coθ coα ou in: Cp 4 9

10 one ou ej: e então: X Pof. oeo ve ilv [ ] ( )( ) co θ enθ t ρ ( coθ ) ( enθ ) coθ X X [ ] ( )( ) coθ enθ t ρ [ coθ ] [ t ρ ] ( coθ )( enθ ) [ coθ ] E teo fíic envolvi o pole etá enceo, e integl não te u pênci uito ipátic. lvez foe i equo fze u unç e viável e u itânci o invé o ângulo θ. À pti efinição e poeo ifeenci e encont que: e té que: enθ enθ coθ e poeo coloc coo: X [ t ρ ] t ρ ( ) X t ρ t ρ t ρ X X t ρ ( ) t ρ X [ ( ) ( )] ( ) X t ρ 4 t ρ {( ) ( )} o volue V efe é o pouto e u áe 4 po u epeu t, ou ej: Cp 4

11 Pof. oeo ve ilv X e coo foi efinio nteioente, ρ V, logo: ( ρv ) X A foç e tção ente u cc eféic e, cujo cento etá u itânci e u ptícul e te o eo vlo tção ente u ptícul que it e > e tê e epectivente. E out plv: cc eféic e copot co e to u etivee concent no eu cento. Cpo pouzio po u itiuição eféic e e eu inteio ej u cc eféic e io, epeu infiniteil t e. Qul foç e inteção gvitcionl ente e cc e u ptícul e, locliz intenente u itânci e eu cento? P clcul e foç, vo conie inicilente inteção gvitcionl ente ptícul e e u nel que fz pte cc eféic. A et que lig u ponto ee nel e oige cooen fz u ângulo θ co o eixo x, e o ângulo enfeixo po ele é. Dee oo ee nel teá io.enθ e lgu., e eá e foç e clcul. A et que une té u ponto o nel te u copiento e fz u ângulo α co o eixo x. A foç eleent te coponente x e, one coponente etá no plno pepenicul o eixo x. Ou ej: i # X ˆ e potnto: i ˆ ˆ X X X coα enα Po ieti poi c u contiuiçõe infiniteii te u equivlente e inl contáio, que n integção toná nul e coponente. Cp 4 O óulo foç eleent, te fo: enθ

12 Pof. oeo ve ilv one é eleent o nel e é itânci e u ponto ee nel té poição ptícul e. Ieo u o conceito e enie voluétic, que é epent pel let gg ρ, e é efini coo zão ente e o volue ocupo po e, ou ej: ρ V e quno itiuição e fo unifoe, poeo té ize que: O volue eleent o nel eá: ρ V V (io) (lgu) (epeu) e potnto: V ( enθ ) ( ) t ρ V ρ t ( enθ ) ( ) ρ t enθ O ângulo α efinio coo quele que et que ptícul o nel fz co o eixo x é e tl oo que: ou in: one ou ej: e então: X coθ coα [ ] ( )( ) co θ enθ t ρ ( coθ ) ( enθ ) coθ [ ] ( )( ) coθ enθ t ρ [ coθ ] X X [ t ρ ] ( coθ )( enθ ) [ coθ ] E teo fíic envolvi o pole etá enceo, e integl não te u pênci uito ipátic. lvez foe i equo fze u unç e viável e u itânci o invé o ângulo θ. À pti efinição e poeo ifeenci e encont que: e té que: enθ enθ Cp 4

13 Pof. oeo ve ilv Cp 4 co θ e poeo coloc coo: [ ] ( ) t t X ρ ρ t t X ρ ρ X t ρ ( ) X t ρ ( ) ( ) [ ] ( ) t X ρ [ ] ( ) ( ) t X ρ { } t X ρ Enconto então, que é nul foç e tção ente u cc eféic e e u ptícul e coloc no eu inteio. Cálculo ltentivo - ptícul no inteio U nei ltentiv e clcul inteção ente u cc eféic e, io e epeu h, e u ptícul e poe e epeeni figu à egui. Contuío oi cone copleente, cujo vétice coincie co poição ptícul e. C cone eliit u eo ângulo ólio Ω e inteeção e c cone co cc eféic efine u áe eleent A net cc. Uno efinição e ângulo ólio, teo que: A Ω

14 Pof. oeo ve ilv e té A Ω one eve fic clo que áe que eliit po o o cone epene u itânci ( ou ) à ptícul. Coo cc eféic te epeu h o volue eleente eliito po c cone n efe, tê fo: Ω V V h A h A h h Ω Ω A eleent e c u ee volue é: ρv ρv ρh ρh Ω Ω A foç que c u e eleente execeá n ptícul, te fo: ( ρh Ω) ( ρh Ω) ρ h Ω ρ h Ω o upefície eá vi po cone copleente, e oo que contiuição e u egião e u egião p foç gvitcionl totl, nulá contiuição egião copleent e ee oo foç e inteção totl é nul. Poeo cheg e concluão conieno o e po too o ângulo ólio efe, ou ej: logo: ρ h Ω Ω Ω Ω enθ ϕ ρ h enθ ϕ Cp 4 4

15 Pof. oeo ve ilv Enegi potencil gvitcionl P to foç conevtiv () poeo oci u enegi potencil V (). E enegi potencil é efini e teo o tlho executo pel foç coeponente, eguinte fo: U U B - U A - W AB ou ej: vição e enegi potencil e u ptícul ente oi ponto A e B é igul o tlho executo (co inl negtivo) pel foç conie p lev e ptícul o ponto A té o ponto B. A B Outo oo e coloc e quetão é ize que: U B U A - W AB ou ej: U B U l A () A enegi potencil é efini e teo e u vição U, ou ej: el é efini eno e u contnte itái. E out plv: efinio viçõe e enegi potencil; o qunto iinuiu ( ou uentou) enegi e u copo que foi e u poição inicil té u finl. Ecolheo oige enegi potencil e nei itái, coo já foi enciono. Vo etlh o cálculo enegi potencil e u ituçõe típic: uito póxio upefície e e uito longe upefície. Enegi potencil gvitcionl póxio à upefície e Póxio à upefície e poeo conie foç e inteção ente e e u ptícul e contnte e co óulo g. Vo clcul vição e enegi potencil gvitcionl ente o ponto inicil A loclizo n upefície e e o ponto finl B loclizo nu ltu y. O veto l é efinio coo u veto infiniteil iigio o longo cuv e integção e pontno poição inicil p poição finl. y B A l P y Dee oo: Cp 4 5

16 Pof. oeo ve ilv U B U A W AB U A B l A one ecolheo U A coo oige enegi potencil e potnto co o vlo zeo. Uno e conieçõe, poeo ize que: e U g jˆ g l jˆ y Y Y ( y ) ( ˆj g) ( ˆj y ) g y g( y ) U(y) g y Enegi potencil gvitcionl itnte upefície e No co i gel, quno quieo clcul ifeenç e enegi potencil gvitcionl ente oi ponto itnte eveo u equção e gvitção e poxiçõe. l Vo clcul ifeenç e enegi potencil ente u poiçõe ocup po u ptícul. Inicilente el etá nu poição uito itnte (no infinito) e el então é tzi té u poição finit. Ou ej: U U l () ( ) Vo conie oige enegi potencil nu ponto uito itnte, e oo que: U( ) Deveo conie que: ˆ e l ˆ l ˆ e então: () U ˆ ˆ e finlente: Cp 4 6

17 Pof. oeo ve ilv U () Po outo lo: U () U() ˆ () ˆ ei e Keple A hunie epe foi fcin pelo céu notuno, co infinie e etel e co o ilhnte plnet. No finl o éculo XVI, o tônoo ycho Bhe etuou o oviento o plnet e coneguiu fze oevçõe uito i ext que feit nteioente po outo oevoe. Co o o e ycho Bhe, Johnne Keple ecoiu que tjetói o plnet e tono o ol e elipe. otou té que tinh velocie ioe quno oitv n poxiie o ol e enoe quno etv uito fto. Keple eteleceu, po fi, u elção teátic peci ente o peíoo e u plnet e u itânci éi o ol, e enunciou o eulto u invetigção e tê lei epíic o oviento o plnet. íic Pul A iple Vol - Cp - pg C - Eito - A ei epíic e Keple vie e copov poteioente pel ecânic Newtonin. Piei - ei Óit: oo o plnet e ove e óit elíptic, co o ol e u o foco. A ecânic Newtonin euziu u concluão in i gel. Quno u copo etá o ção e u foç que vi co o inveo o quo itânci (coo foç gvitcionl) ele eceve u óit que é u cônic (elipe, páol ou hipéole). A óit e ecit pelo copo epene u Enegi ecânic. No co o plnet teo óit fech - elipe e no co o coet teo u tjetói et - hipéole. P ioe etlhe nálie ei e Keple o inteeo eve conult : Cp 4 7

18 Pof. oeo ve ilv Clicl chnic Heet oltein Cp - ec -7 Aion Weley - 98 egun - ei Áe: U linh que lig u plnet o ol ve áe igui e tepo igui. Vo conie áe A vi pelo plnet nu intevlo e tepo t. Quno o intevlo e tepo fo uito pequeno, áe o tiângulo pontilho e veelho vle poxiente: A. (. θ )/ one ee poxiente itânci ente o ol e o plnet e θ ee o ângulo vio pel linh quno o plnet e ovient poição inicil té finl. A tx co que e áe vi co o tepo é po: A t θ t e quno o intevlo e tepo tene zeo: A w t t one w é velocie ngul o plnet. Po outo lo, o veto oento line p o plnet te ieção tngente à cuv ecit po ee ojeto. Ieo ecopo ee veto eguno u coponente il e out coponente pepenicul. A coponente il te ieção o longo linh que une o plnet o ol e coponente pepenicul é pepenicul e linh. Dee oo, o veto oento ngul o plnet nu o intnte é o po: p p ( v ) ( w ) w Conieno vição áe vi pel linh, enconto que: Cp 4 8

19 Pof. oeo ve ilv A t e A/t é contnte coo Keple fiou, io ignific que té eve e contnte - o oento ngul eve e conevo. Ai, egun ei e Keple é equivlente á lei e conevção o oento ngul ecei - ei o Peíoo: O quo o peíoo e qulque plnet é popocionl o cuo o eieixo io e u óit. Po iplicie, vo conie que óit o plnet e é cicul e io, e o oviento te u peíoo. A únic foç que tu no plnet é foç gvitcionl e potnto el é foç centípet: v v, po outo lo: ou ej v 4 con tnte Óit e télite e enegi Vo conie o oviento e oi ojeto etele e e epectivente, co inteção pel ei e vitção Univel, que nu o oento etão itnte ente i u itânci. Vo upo in que oige o efeencil etej locliz e, e p iplific, que óit e o eo e ej u cicunfeênci - o invé o co i gel que ei u elipe. Ee ite é conevtivo, e Enegi ecânic E é o Enegi Cinétic K e Potencil U. E K U K v U A únic foç que etá tuno é gvitcionl, potnto el é foç centípet, e ee oo: Cp 4 9

20 Pof. oeo ve ilv v $ K v K () U() e ee oo: E U U E () Quno Enegi ecânic é negtiv (coo nete co) teo u ite fecho poi ptícul não é live p e liet o potencil e e ft p u itânci infinitente gne. Io é ecoênci o fto enegi potencil (que é negtiv) te u óulo io que enegi cinétic e coo conequênci ptícul etá pe ete potencil. E contpoição, ptícul eá live quno enegi ecânic fo poitiv. Cp 4

21 Pof. oeo ve ilv olução e lgun pole Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição 7 A que itânci e, ei o longo linh que une o cento e e o ol, eve et u on epcil p que tção gvitcionl ete nule e?,5x,99x kg 5,98x 4 kg Vo conie on. A u cet ltu h e u foç oe on eão igui. - h ol p A foç que o ol e e exece oe on tê fo: h Igulno u foç enconto que: ( h) ( h) on Cp 4 ( ) h h h h e A fíic o pole etá equcion e et go eolve et equção o eguno gu. Definino equção to fo: Dee oo: α h h α h α h,6 x 8 Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição 9 N figu o lo, u efe e ( e ) e u tecei e ( ) etão no vétice e u tiângulo equiláteo, e u qut efe e 4 etá no icento o tiângulo. e foç gvitcionl eultnte oe et qut efe é nul, expi e teo.

22 Pof. oeo ve ilv 4 C u o ângulo inteno e u tiângulo equiláteo te o vlo e 6, e potnto o ângulo ente ietiz ete ângulo e u o lo vle. Quno iviio pel ietize, o tiângulo equiláteo á oige ei tiângulo etângulo coo oto o lo. O ângulo α po e ete ietiz e 6 po e copleent α. Vle le que efe centl etá equiitnte ( ) out tê efe. Co e conieçõe, foç tê fo: i ˆ jˆ X Y α y x X en - en Y - co - co co (,5) 4 4 Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição N figu à egui, quto efe etão no vétice e u quo e lo,c. Qul o óulo e ieção foç gvitcionl eultnte oe u efe coloc no cento o quo co 5 5kg? 5kg kg 5kg kg 5kg 4 kg 5 5kg c, 5 kg 5kg Cp 4

23 Pof. oeo ve ilv A itânci ente c vétice e o cento te fo: y 4 ou ej: x iˆ ( ) ˆj ( ) 4 X X 5 5 ( ) Y Y ( ) ( ) 5kg x N kg kg kg Y 6,67 / -,66N, ( ) ( ) ˆj 66 (, N) ( ) Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição zeo u cvie eféic e u ol e chuo e io, e tl oo que u upefície toc o exteio efe e chuo, pno té pelo eu cento. A efe, nte e e feit cvie, e. Qul intenie foç gvitcionl co que efe côncv tiá u pequen efe e, que etá u itânci o eu cento, ei o longo Vo lnç ão o eguinte tifício p eolve: vo conie que efe co u cvie é eulto copoição e u efe ciç e io e e u efe e negtiv e io / coloc extente no locl cvie. A foç e inteção efe co cvie e pequen efe e, Cp 4

24 Pof. oeo ve ilv eá iul pel inteção efe ciç e e negtiv co pequen efe. Vo conie que efe tê e enie. ej V o volue efe ciç e V B o volue o uco que foi feito nu efe ciç p contui efe côncv. A efe ciç é: 4 ρ V ρ Po outo lo, eti p fze o uco vle: 4 B 4 ρvb ρ 8 ρ 8 e potnto que etou epoi e te io feito o uco, foi: B 7 8 A foç efe etnte e 7/8 oe pequen efe eá: e finlente: ( B ) B 8 8 Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 4. eição 4 U fin e é efo té quii fo e u eicículo e io, coo n figu à egui. ) Qul é foç gvitcionl (e óulo e ieção) oe u ptícul e e coloc no cento e cuvtu? Vo eolve ete pole p u itução genéic, one foi efo e oo quii fo e u co e cículo e io Cp 4 4

25 Pof. oeo ve ilv co u ângulo θ o invé e. Vo coloc no eixo e ieti o co, u itânci o eu cento e cuvtu. P eliz ee cálculo vo conie foç e tção ente e u eleento e que petence à efo e etá locliz u ângulo θ o cento e cuvtu e te lgu ngul e. y α θ x O eleento e etá u itânci e et que o une fz u ângulo α co o eixo x. A foç ente e etá n ieção et que une e u e te fo: X Y coα enα A itânci te fo: ou ej: e po outo lo: ( enθ) ( coθ ) coθ coα coθ enα enθ coθ coα enα enθ Conieno que te u itiuição unifoe, poeo ize que: λ ( θ ) λ e finlente: ( λ ) coθ X coα λ coθ e e nei equivlente enconto que ( ) Y ( λ ) enα λ enθ ( coθ ) θ Integno e equçõe, enconto: Cp 4 5

26 Pof. oeo ve ilv X Y θ θ θ ( θ ) θ θ coθ co ( θ ) θ enθ co A integl que efine Y te olução iple, fzeno-e utituiçõe: u coθ u enθ u u I θ co θ co u enθ Y θ u u I u u coo o liite infeio u I é igul o liite upeio u e integl é nul. e ee oo é nul coponente y foç e inteção. ee eulto já poei e ntecipo e tivéeo conieo que c eleento e ci o eixo x pouz u contiuição p Y que eá nul po u eleento iético ele ixo o eixo x. Já equção que efine X não te olução ext n coniçõe que foi popot. X θ θ ( θ ) θ coθ co Vo conie lgu ituçõe típic.. Inicilente vo nli itução e que e etão uito itnte u out. E out plv >> e integl to fo: θ X θ X θ θ θ e ee eulto no iz que e quno etão uito itnte e te coo e foe pontui. E eguno lug vo nli ive poiilie que contece quno. Cp 4 6

27 Pof. oeo ve ilv X θ co θ θ coθ en θ θ θ θ θ ( ) θ e ecolheo θ, coo no co popoto nete pole: X ) Qul ei foç gvitcionl oe e tivee fo e u cículo copleto? Uno o eulto o ite nteio é fácil pecee que quno θ foç X é nul. Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição 7 A io velocie e otção poível p u plnet é quel e que foç gvitcionl, execi oe téi e eu equo, é extente igul à foç centípet neceái p nte e téi e otção. ) Poquê? Poeo conie u oelo p ee ojeto coo eno copoto e téi fi e óli coo u, e e etc. po outo lo poeo conieno que o ojeto etel é copoto e téi não óli, coo etel. O que nté ee ojeto coeo? É icente inteção gvitcionl ou ent e quetão outo tipo e inteção ente téi. N itução i iple, exite pen inteção gvitcionl. Dee oo, e velocie e evolução o ojeto fo io que quel poível e ntê-lo coeo tvé tção gvitcionl ele ipleente iá peeno téi que eá ejet poi ele não conegue ntê-l coe. ) ote que o peíoo e otção ínio, coeponente ti coniçõe, é o po: ρ one ρ é enie o plnet que upoo e hoogêneo. Vo conie inteção ente u pequen que etá n upefície e co to e: v Cp 4 7

28 Pof. oeo ve ilv ou in: v 4 4 ρ ρ ) Clcule o peíoo e ocilção, conieno u enie igul g/c, que é típic e uito plnet, télite e teóie. Nunc foi enconto u ojeto tonôico co peíoo e otção eno que o eteino pel nálie feit nete pole. ρ g/c x kg/ 6,67x - /kg. Depoi o cálculo, enconto que: 6,86x 4,in,9h Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição Du cc concêntic e enie unifoe, tê (inten) e (exten) e etão itiuí coo ot figu o lo. Clcule foç gvitcionl oe u ptícul e quno el etive e: ) O ponto é exteno à u cc eféic e potnto ente o efeito peenç u cc. El e copot coo e to e c u el etivee no eu cento geoético. Dee oo foç que cc exece te fo: ( ) A c ) O ponto é exteno à cc eféic e e inteno à cc eféic e, e ee oo não entiá o efeito peenç cc que envolve. A foç que cc eféic e exece é: B c) c O ponto c é inteno à u cc e potnto não exitiá foç gvitcionl tuno n. Cp 4 8

29 Pof. oeo ve ilv Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição A tê efe n figu à egui, co 8g, g e g, etão co o eu cento linho, eno c e 4c. Você ovient efe o eio té que u itânci cento cento e ej 4c. ) Qul o tlho elizo oe po você? Vo conie oige o eixo x no cento efe e. O tlho é efinio coo: W B AB A l x x Poeo lev efe poição inicil A té poição finl B e ive nei. O oo i tivil eá exece oe e u foç tl que nule foç gvitcionl eultnte, e ee oo o oviento e á coo velocie contnte. A foç eultnte oe efe, quno el etá e u ponto genéico x ente u out efe, te fo: ˆ i x i ˆ ( x) one n poição inicil A teo x e n poição finl B teo x -. Coo vo exece u foç que nule foç eultnte, eveo te: O veto elocento é efinio co ( ) ˆ i x x l iˆ x, e ee oo: ou ej: W AB x x x ( x) x x W AB ( x) zeno utituição u - x n egun integl I, enconto que: u x u x x x A B u A u B ou ej: Cp 4 9

30 Pof. oeo ve ilv x I ( x) u u u u Dee oo, teo então que W AB to fo: W AB ( ) ( ) ( ) x x x W AB ( ) ( ) 5,x - Joule ) Qul o tlho elizo oe pel foç gvitcionl eultnte oe evio à out efe? Coo já foi inico, o tlho foç eultnte te inl contáio o tlho clculo nteioente: W - W AB - 5,x - Joule Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição U foguete é celeo té u velocie v g póxio à upefície e (qui é o io e) e, então, oiento p ci. ) ote que ele ecpá e. Vo inicilente clcul velocie e ecpe e u ojeto upefície e. E out plv, qul eve e velocie e u ojeto n upefície e p que ele conig ecp influênci e noo plnet? v v A enegi ecânic e u ojeto e que etá o influênci e u foç gvitcionl é o e u enegi cinétic e potencil gvitcionl, ou ej: E K U v one é o eguno ojeto e é itânci ente ele. A óit o ojeto e iá epene o vlo e u enegi ecânic E. A poívei óit ão: E < óit fech - elipe E co liite - páol E > óit et - hipéole Cp 4

31 Pof. oeo ve ilv Coo queeo clcul velocie íni p o ojeto ecp (óit et), vo conie poiilie E, ou ej: E v E v E A fo velocie e ecpe v E poe e coloc e outo teo e conieo que: g g e finlente teo que v E g No noo pole teo u ojeto que é lnço co velocie v g, e coo v > v E o ojeto ecpá. ) ote que u velocie, quno etive uito itnte e, eá v g. Co e velocie n upefície e, enegi ecânic o ojeto eá: E v 4 ( g ) g E g Nu ponto uito longe upefície e e enegi potencil gvitcionl é nul. Dee oo enegi ecânic é puente cinétic e potnto: E v one v é velocie o ojeto quno etive uito itnte. Igulno enegi n u ituçõe, enconto que: g v v g E Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 4. eição 5 U efe e e io te u cvie concêntic e io, coo é oto n figu à egui. ) ç u eoço o gáfico foç gvitcionl execi pel efe oe u ptícul e u itânci o cento efe, e função e ente o liite < <. Coniee e pticul o ponto,, e. Cp 4

32 Pof. oeo ve ilv Quno ptícul etá nu poição exten à efe, ele ente inteção coo e to e efe etivee e eu cento. Dee oo: () Quno ptícul etive no inteio efe nu ponto u itânci o eu cento, pen efe locliz n egião i inten que execeá foç gvitcionl oe e ptícul. A () efe que iá exece e foç é clcul coo: 4 () ρv () ρ ( ) totl efe poe e ecit coo: e one enconto que: 4 ρv ρ ( ) A foç gvitcionl teá fo: () () ( ) () e finlente poeo conclui que: ( ) () Quno ptícul etive no inteio cvie eá nul foç gvitcionl execi pel efe, e potnto: () ) Eoce té o gáfico enegi potencil gvitcionl U() ete ite De oo equivlente o co foç poeo ize que quno ptícul etá nu poição exten à efe, ele ente inteção coo e to e efe etivee e eu cento. Dee oo: V () Cp 4

33 Pof. oeo ve ilv Cp 4 P clcul enegi potencil gvitcionl no inteio efe vo u o eulto o cálculo foç. A efinição vição e enegi potencil é po: I I l U U Vo conie poição inicil u ponto itnte e o cento, loclizo n upefície exten efe. O ponto finl eá inteio à efe: () () l U U po outo lo: () () l l l ˆ ˆ ˆ () () () U U () () U U () () U U () U e p, enegi potencil ue u vlo contnte e to e egião, e ee oo, ee vlo contnte eá quele o liite e egião. Ai () U

34 Pof. oeo ve ilv Vo u no gáfico o vloe 6 e , () -, -, ,5 V() -, -,5 -, Cpítulo 4 - Hlliy, enick e Wlke - 6. eição 54 U ite pticul e tê etel é foo po u etel, c u e, e óit o eo e u etel centl e, ocupno e óit cicul e io. A u etel etão, epe, u e c exteo e u iâeto óit. Deuz u expeão p o peíoo oitl etel enoe. C u ente inteção out u. C u enoe ente foç po: ( ) 4 Cp 4 4

35 Pof. oeo ve ilv Cp foç eultnte oe c u enoe, poe e coloc coo foç centípet que ge oe el, e ee oo, teo: v Igulno u últi equçõe enconto que: v ou ej: 4 4