Matemática Financeira

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1 MATEMÁTIA FINANEIRA ORIENTADOR METODOLÓGIO Matemática Financeira onteúdo: Porcentagem; Juros Simples; Juros ompostos. Objetivos de aprendizagem: alcular porcentagens e aprender a utilizar fatores de atualização; Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores; Aprender os conceitos e diferenças entre juros simples e juros compostos; tempo através dos juros. 1) Praticando a) % % 100 = X = X = 4500 reais b) = reais ) A Vamos usar números aproimados: = > 100% > 08. = 500 = 500/08 X =16,8 Portanto, aproimadamente 15% 4) 10 kg 95% de água, logo 9,5 kg de água e 0,5 kg de massa sólida % % 100 = 950 X = 9,5 omo a parte sólida não se altera, e sabemos que agora ela representa 10%, pois a água é 90%, temos: 5) 0,5kg % % 10 = 50 X = 5 kg Se 40% foi curado, logo 60% não foram completamente curados. Dividindo os 60 em dois grupos de 0% Primeiro tratamento inovador= 5% dos pacientes foram curados = 0,0,5 = 10,5% pacientes curados Segundo tratamento inovador = 45% foram curados = 0, X 0,45 = 1,5% curados. 6) A 10,5% + 1,5% = 4% Fevereiro: Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 50 10% 50 = 50 5 = % 50 = = 60 Março: Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 45 10% 45 = 45 4,5 = 40, % 60 = = 7 ) Votos brancos e nulos = 9% + 11% = 0% Votos válidos = 80% do total 51% foram dados ao candidato vencedor = 51% de 80% = 0,80 0,51 = 0,408 = 41% 7 7 = = Total de ovos em março ,5 11,5 7) A 8) E = 0,64 = 64% 9) 1 EMMAT0

2 MATEMÁTIA FINANEIRA 10) A 11) J = it 1) J = 400 0,04 J = 48 M = + J M = M = 448 1) a) % % 740 = 7000 X = 7000/740 X = 95% Se 70 reais representa 95% do valor inicial, foi dado um desconto de 5%. b) J = 740 0,005 0 J = 7 M = M = 777 reais 14) M =.(1+ i) t M = 1000.(1 + 0,1) M =1000.(1,1) M = 1000.(1,1) M = 11 reais J = M J = J = 1 reais 15) a) M = 7400.(1+0,006) 11 M = (1,006) 11 M = ,068 M = 7400.(1+0,06) 11 M = 790,0 b) M= (1-0,0) 11 M = (0,98) 11 M = 8007,1 c) Não poderá comprar, pois tem R$ 790,0, mas a moto custará R$8007,1, ou seja, Antônio necessita de R$104,11 para fazer essa compra. 16) a) Tem-se desconto de %, então compra representará 97% do valor original, ou seja, 400 0,97 = 8 reais. b) omo o valor à vista é R$8,00 e foi feita uma entrada de 100,00, faltaria ser pago R$118,00. Mas será pago outra parcela de R$100,00. Ou seja, o valor q faltava sofre um juros no tempo igual 1 mês 17) 18) M = + J 100 = i1 7 = 118i1 7 / 118=i 0,064 = i I = 6,4% meses = M = 0000 (1 + 0,0) = ,0 = meses = ,0 = 14,16, perceba que sobra 4,16, aproimadamente 5 reais. 19) 0) 1) Aprofundando: ) Vamos usar dados aproimados para saber a participação percentual da energia elétrica para energia total: ) 4) 1970: 1995: energia elétrica 10 6 tep = = 10% energia total 10 6 tep energia elétrica 10 6 tep = = 60,6% energia total 10 6 tep EMMAT0

3 MATEMÁTIA FINANEIRA 5) D 6) A 7) E 8) é quem faz vezes na semana, queremos 6% dos 75%, logo: 6/ /100 = 0,195 = 19,5% 0) 1) ) Produção do rasil e Estados Unidos é 88%. Estados Unidos produziram em 009 metade da produção de 006, ou seja,,5%. Produção do rasil deve aumentar de 4% para 65,5%, aumento este que equivale a 65,5% / 4% = 1,5 1 = 5,%. ) 4) E L = P c L = 4 6 L = ,15 = 100 Remarcação = 50 0,8 = 40 reais seja, teria um desconto de 4 reais. 7) A é a arrecadação. 40% de A = 0,4A = pagamentos dos professores Aumento de 5% das mensalidades = 1,05A Aumento de 5% dos professores = 1,05.(0,4A) = 0,4A Quanto corresponde o aumento dos professores no total: 0,4A 0,4A = 0,0A, correspondendo a %. Os pais tem razão em discordar do índice de 5% de aumento, pois o aumento dos professores corresponde em um aumento de apenas %. 8) D 9) 40) 41) 4) 4) D 44) D 45) 79,50 reais Redução de 10%, logo, 0,9. 79,50 = 71,55. Novo consumo será X. 0,5 + = 71,55 X = 17,1 5) D Devemos calcular 90% do preço de cada produto tipo A, caso esse valor seja superior ao valor do Arroz 90%,00 = 1,80 > 1,70 (tipo ) Feijão 90% 4,50 = 4,05 < 4,10 (tipo A) Soja 90%,80 =,4 <,50 (tipo A) 6) Quantia aplicada = Primeiro mês = 0, = 0,7 Segundo mês = 0,7 + 0, 0, = 0,76 = 800 Logo = 800/0,76 = ) A Os juros simples podem ser representados por uma reta crescente. 47) D 48) E 49) D r 4 = (1,1r) 4 = 1,4641r 4 1, = 0,4641 = 46,41% EMMAT0

4 MATEMÁTIA FINANEIRA EMMAT0 4

5 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS ORIENTADOR METODOLÓGIO Funções: conceitos básicos onteúdo: Produto cartesiano; Relações; Funções; Função composta; Função inversa; Função polinomial do 1 o grau. Objetivos de aprendizagem: Estabelecer o conceito de produto cartesia- imagem; Representar produtos cartesianos no plano cartesiano; produtos cartesianos; onceituar e resolver funções compostas e inversas. Praticando 1) a) D(f) = {1,,5} b) D(f) = {0,1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1} c) f() = 1 = 9 1 = 8 = 4 d) f(1)+ f(5)+4 = = 6 = 6 = f(1) = 1 1 = 0 f(5) = 5 1 = 5 1 = 4 = 1 e) Im(f) = {0,4,1} f(1) = 1 1 = 0 f() = = = = 4 f(5) = 5 1 = 5 1 = 4 = 1 f) O elemento é 5. ) a) P = /00 = 40 + = 4 reais b) 46 = /n = 600/n 6 = 600/n N = 600/6 N = 100 sacas p(4) = p(4) = (4) (4) p(4) = p(4) = p(4) = 11 b) asta fazer a diferença entre a produção até a p() = () () p() = p() = p() = 78 p(4) p() = = 4 4) olocar no aprofundando f() = ka a) (1,6) ---- f(1) = ka 1 = 6 ka = 6 (,1) ---- f() = ka = 1 ka = 1 kaa = 1, como ka = 6 6a = 1 a = 1/6 a = omo ka = 6 e a = k = 6 K = 6/ K = b) f() = ka =. =.8 = 4 c) f(0) = ka 0 =. 0 =.1 = 5) a) 5,, 4 e 9 b) 5 < < ou 4 < < 9 ou > 9 c) < 5 ou < < 4 d) = 5, =, = 4 e = 9 6) a) = e = 9 b) Sem solução para f() = o 5 EMMAT04

6 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS e) < < 9 7) f( 9 ) = b) [,4] qual número real entre esses valores. d) Sim. 8) a) 15 minutos b) 5 minutos 9) E 10) 11) A f é bijetiva = contradomínio e imagem são iguais e elementos diferentes do domínio tem imagens diferentes g é sobrejetiva = contradomínio e imagem são iguais domínio tem imagens iguais, logo não é injetiva. 1) f() = 1) (fo[fof]) Fof = ( ) = 4 (fo[ 4 ])= ( 4 ) = 8 (fo[fof]) = 8 g() + 1 = g() = g() = G() = G() = + 14) a) t = v() = = = 9 d(9) = = = 66 m b) v (t) = 4t + 1 d(t) = (4t + 1) + (4t + 1)+ 5 d(t) = (4t + 8t +1) + 8t + +5 d(t) =1t + 4t + + 8t + +5 d(t) = 1t + t é simétrico ao 16) f 1 () + f 1 () = f 1 () + f 1 () f 1 () = 1, pois para calcular devemos pegar o f 1 () =, pois para calcular devemos pegar o f 1 () + f 1 () = 1 + = 17) 18) A Aprofundando: 19) a) D(f) = {,4,6} b) D(f) = {0,1,,...,60} c) F(4) = = = d) f() + f(6) + 8 = = F() =. = 1 = 10 = 5 F(6) =. = 108 = 106 = 5 e) Im(f)={5,,5} F() =. = 1 = 10 = 5 F(6) =. 4 = 48 = 46 = F(6) =. = 108 = 106 = 5 f) O elemento é 6. = EMMAT04 6

7 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS 0) a) [, 6] b) [, 5] c) d) e) f) 5 g) 0 i) [4,6] j) [,1]],4] k) [1,] 1) S(p) = 1 11 p 100 S(8) = S(8) = S(8) = S(8) = S(8) = S(8) = 0,44 m b) Superfície duplicou = 0,44 = 0,88 m 0,88 = 1 11 p 100 0,88 11 = 1 p = p = p ( ) = p 9 = p p = 9 p = 9. P = 4. P = 16. 1,4 P =,4 kg ) f() = + b + c f( ) = 5 e f() = 15 a) e c f( ) = f( )= ( ) + b( ) + c ( ) + b( ) + c = 5 4 b + c = 5 b + c = 5 4 b + c = 1 f() = f() = () + b() + c 4 + b + c = 15 b + c= 15 4 b + c = 11 Sistema = 1 = 1/ = 6 b + 6 = 11 b = 11 6 b = 5 = 5/ =,5 b) f() = +,5 + 6 b + c = 1 b + c = 1 F(0) = 0 +, F(0) = 6 c) f()= +,5 + 6 ) D F(10) = 10 +, F(10) = F(10) = 11 Para não ter prejuízo, faturamento e custo devem ser iguais. FT(q) = T(q) 5q = q + 1 5q q = 1 q = 1 Q = 1/ Q = 4 4) a) 17,5% c) Setembro e outubro de ) E reta. 7 EMMAT04

8 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS formação, pois temos os pontos (6,4) e (8,0). 4 = 6a + b 0 = 8a + b 6a + b = 4 8a + b = 0 6a + b = 4( 1) 8a + b = 0 a = 4 A = 4/ A = 8a + b = 0 8( ) + b = 0 16 = b = 16 Y = + 16 a) ƒ(1) + ƒ() = ƒ(); f(1) = 1 f() = f() = ƒ(1) + ƒ() = ƒ() 1 + = = Verdadeiro b) ƒ() = ƒ(7); f() = f()= +16 : f(7) = = = ƒ() = ƒ(7) = Verdadeiro c) ƒ() = ƒ(1); f(1) = 1 f() = ƒ() = ƒ(1) =. 1 = Verdadeiro d) ƒ(4) ƒ() = ƒ(1); f(4) = 4 f() = f(1) = 1 ƒ(4) ƒ() = ƒ(1) 4 = 1 1 = 1 Verdadeiro e) ƒ() + ƒ() = ƒ(5) f() = f() = f(5) = 4 ƒ() + ƒ() = ƒ(5) + = 4 Falso 6) Letras A, E e F a) Verdadeiro, pois vemos que os valores de estão no conjunto dos números reais b) Falso, a imagem pertence ao intervalo ]-,a]. a 1 y c) Falso, a função é crescente no intervalo (,0] d) Falso, eistem elementos diferentes do domínio com mesma imagem, como os eemplos abaio. 1 e) Verdadeira y -1 1 F(1) = 0 verdadeiro F(5) < 0 verdadeiro y EMMAT04 8

9 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS f) Verdadeira y mínio (F6) que não está ligado a uma imagem e além disso, um mesmo elemento do domínio tem imagens diferentes. 7) D 8) f(1) = e f( ) = 4 f( + ) = f(). f( ) 4 f() = f( + 1) = f(). f(1) f() = f(). f(1) = 4. f() = 8 f() = f(1 + 1) = f(1). f(1) f() = f(1). f(1) =. = 4 f() = 4 f( + ) = f(). f( ) = 8. 4 f( + ) = M1 F1 e F M F, F4 e F5 M F6 I) Não é função, porque um elemento do domínio M1 M1 M1 F1 F F F4 F5 F6 II) É função porque todos os elementos do domí- to do domínio está ligado apenas a uma imagem. F1 F F F4 F5 F6 M1 M1 M1 9),0 e 5/ F1 F F F4 F5 F6 4 = 0 ( 4) =0 4=0 = 4 = ± 4 F1 F F F4 F5 F6 5 se > 1 5 = 0 = 5 X = 5/, pode ser, pois > 1. 0) g() = / f() = 5 f(g()) = 6 + g() 5 = 6 + g() = g() = g() = / 1) k= 1/ f() = 1 g() = + k f [g()] = g[f ()] 1 ( + k)= (1 ) + k 1 4 k = 4 + k k k = k = 1 K = 1/ 9 EMMAT04

10 FUNÇÕES: ONEITOS ÁSIOS ) f( 1 / 15) = 7 ) E g() = + g(f()) = +5 / +1) F() + = +5 / +1 f() = +5 / +1 f() = +5 (+1) / +1 f() = +5 / +1 f() = + / +1 f() = + / (+1) f() = + / + f(n + 1) = n 1 N + 1 = A N = A 1 f(a) = A 1 1 = A f(a) = A f(n 1)= n 1 f(n 1) = n 4) f 1 () = / 1 5) A f() = + 4 / 6 Y ( 1) = Y = / 1 f() = 1 / + 6) D 7) D único ponto, ou seja, acima do ponto (, ) ou abaio do ponto (, 4). Isto é, devemos ter c > ou c < 4. 9) D 40) 41) D g[g (4)] g [g ( 4)] g ( 4) = g[g (4)] g [ ] g [ ] = 0 g[g (4)] 0 g (4) = g[] 0 g[] = g[g (4)] g [g ( 4)] = 0 = ] Perceba que estamos falando de função composta, e o resultado de f(4) = 5, depois f(5) =, f() = 1, f(1) = 4 e retorna para f(4) = 5. Ou seja, os resultados se repetem depois de cada quatro, então: 004 / 4 = 50 ou seja esses resultados se repetem 50 e não inicia outro ciclo, então o último resultado é f(1) = 4. EMMAT04 10

11 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS ORIENTADOR METODOLÓGIO Geometria Plana: conceitos iniciais onteúdo: Ângulos; Paralelas cortadas por uma transversal; Polígonos; Triângulos; evianas e pontos notáveis do triângulo; Quadriláteros. Objetivos de aprendizagem: da geometria plana; onceituar polígono, seus principais eemplos e relações. Praticando: 1) E 1) 1) E O Sistema X = = 140 o P X Q Y R ) A ) 4) 5) E 6) E 7) 8) 9) E 10) A + 0 = 50 = 50 0 = 0 X = 10 AOM = = 10 graus 14) A Traçamos a reta r que seja paralela às duas outras retas, dividindo o ângulo de 90 graus em duas partes. do pedaço superior do ângulo de 90 graus. O ângulo ao lado do de 10 graus é 50, pois eles são suplementares. Além disso, esse ângulo de 50 graus é alterno interno do pedaço inferior do ângulo de 90 graus. graus. 15) 6 16) 60 m, 45 m, 0 m 17) Heágono = 6 lados a) n = 6 = diagonais b) d = (n(n )) / = (6(6 )) / = 6. / = 18 / = 9 diagonais c) Si = 180(n ) = 180(6 ) = = 70 graus d) Se = 60 graus e) ai = Si / n = 70 / 6=10 graus f) ae = Se / n = 60 / 6=60 graus g) n / = 6 / = diagonais pelo centro. 11 EMMAT15

12 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS 18) A soma dos três ângulos dos pentágonos mais o ângulo agudo do losango devem somar 60 graus. Ângulo agudo = = 60 4 = 6 A soma dos ângulos do losango deve ser 60 graus: = = 60 (:) 6 + = 180 = = 144 graus 108 o 108 o 6 o 6 o 6 o 108 o 60 o. 108 o 60 o 4 o = 6 o 19) Percebemos que o ângulo de 45 graus é o ângulo eterno do polígono regular, então para sabermos qual é o polígono, devemos fazer: ae = Se/n 45 = 60/n N = 60 / 45 = 40 / 5 = 8 (octógono regular). 4) São ângulos internos, logo 5 = X + 15 = = 40 X = 0 graus. 5) = 9 graus Vamos considerar o triângulo, por isso colocamos 5 graus dentro do triângulo por ser oposto pelo vértice. Do lado do ângulo 17 graus é o ângulo suplementar, ou seja, = 5. O terceiro ângulo do triângulo será 180 (5 + 5)= = 9 omo o ângulo de 9 graus é oposto pelo vértice do, então = 9 17 o 5 o 9 o 5 o 5 o 0) Aprofundando: 1) E ) ) POR = 90 graus O P X Q Y R 6) O ângulo 75 graus e A são correspondentes, então A = 75. 7) A A e são alternos internos, = 75. e 140 são colaterais, logo = 180, = , = D = D = D = 180 D = D = e a soma ( + 4) são correspondentes, logo EMMAT15 1

13 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS + 4 = 10 6 = 10 X = 10/6 X = 0 e 4 são colaterais, logo + 4 = = = 180 = = 100 8) = 7 graus o = 7 o 0) E = = 180 = = 100 = 7 o Ao traçar paralelas pelos vértices intermedi- em duas partes cada um. Há pares de ângulos colaterais internos (suplementares) e portanto 180 = 540. r s Logo, como c + d = 10 e b + c + d = 180, então b + 10 = 180, logo b = , b = e (b + c) são alternos internos, então: b + c = 10 e como b = 50, então 50 + c = 10, c = 10 50, c = 70 omo c + d = 10 e c = 70, então 70 + d = 10, d = 10 70, d = 60 ) = 70 graus colaterais internos colaterais internos a b 0 o alternos internos 0 o 40 o alternos 40 o internos Ao prolongarmos a reta s, dividimos o ângulo em dois pedaços. Perceba que o pedaço superior de é alterno interno de 0 graus e o pedaço inferior é alterno interno do ângulo de 40 graus, logo o = = 70 graus. 4) E 5) 16 cm graus, como todos os lados são iguais, descobrimos que os dois ângulos do triângulo à esquerda são 0 cada um. Temos esse mesmo raciocínio para o triângulo debaio. Se um pedaço do ângulo interno é 0 graus, basta fazermos 10 0 = 90 graus. Se o ângulo é 10 graus e temos dividido em três partes e duas delas tem 0 graus cada, então: 1) A = 10, b = 50, c = 70 e d = 60 a e 10 são correspondentes, então: a = 10 A e (c + d) são alternos internos, então: c + d = a, logo c + d = 10, c e d são suplementares, então b + c + d = EMMAT15

14 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS 90 o 10 o 0 o 9) 6 o 6o 10 o 90 o 108 o 108 o 0o 7) PD = 7 graus 0 o 10 o 0 o Si = 180(n ) = 180(5 ) = 180. = 540 graus Ai = 540 / 5 = 108 graus O triângulo A é isósceles e como o ângulo é 108 graus, então A =, pois A = 180, A = 180, A = , A = 7, A = 7 /, A = 6 graus. Usamos esse mesmo raciocínio para o triângulo D e temos = D = 6 graus e = 108 graus. Veja que o segmento P divide o ângulo de 108 graus em duas partes, como sabemos que a parte da direita vale 6, então a parte da esquerda é = 7 graus. onsidere o triângulo PD, onde D = 6, = 7, então P será: P + + D = 180 P = 180 P = 180 P = P = 7 graus E A D 6 o 6 o P 6 o 108 o 108 o 6 o 6 o 6 o ai = Si/n = 540/5 = 108 graus 40) A = 18 H 108 o A 108 o 144 o = 180 = = 6 = 18 o 41) f = 18 graus c b d a a = 7 o 7 o e f 108 o 6 o = 7 o 8) ae = Se / n = 60 / 10 = 6 Percebemos que a bissetriz eterna de e a mediatriz formam um triângulo retângulo, então: = = = 90 X = X = 7 graus. EMMAT15 14

15 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS 4) E 4) D / 1/ = = = 700 = 70 / 10 = 7 o 7 o f = f 180 f = f = 18 o ae = Se/n = 60/7 = 51,4 graus ae = Se/n 0 = 60/n n = 60/0 n = 18 = 60 1/ d = n(n ) / = 18(18 ) / = / = 70 / = 15 diagonais 47) 48) A Usamos o teorema do ângulo eterno: E D A A + + E A D + E = 180 o 49) AQ = 50 graus A 80 o M Teorema do ângulo eterno Teorema do ângulo eterno 44) n = n(n ) / 1 = (n ) / n = n = + n = 5 Q o z P 45) d = d(d ) / 1 = (d ) / = 4d 6 4d = + 6 4d = 8 D = 8/4 D = = (n ) / 4 = n N = 4 + N = 7 50) 46) Probabilidade = diagonais que passam pelo centro) / (número de diagonais = n / / n(n ) / = n /. / n(n ) = 1 / (n ) 15 EMMAT15

16 GEOMETRIA PLANA: ONEITOS INIIAIS EMMAT15 16

17 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS ORIENTADOR METODOLÓGIO Geometria plana: triângulos Objetivos de aprendizagem: propriedades dos triângulos; mentos e pontos notáveis de um triângulo. Praticando Vamos utilizar a propriedade de o ângulo eterno ser a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. No triângulo AD, o ângulo eterno é a soma dos ângulos A e D. Os ângulos A e D são iguais porque os lados A e D são iguais. No triângulo A, o ângulo eterno A é a soma dos ângulos e menos o ângulo de 5 graus, pois perceba que o ângulo A de 180 graus é dividido em três partes. Os ângulos e são iguais porque os lados A e A são iguais. = 70 o ) DE = 1 graus A 5 o 70 o 6 o o o 5 o o D 70 5 o + 5 o A D E A D z omo A e A são iguais, os ângulos também omo AD e AE são iguais, os ângulos também serão ambos. Perceba que no triângulo DE, o ângulo e- + z. onsiderando o triângulo AD, como o ângulo ÂD = 4, a soma dele com o ângulo é igual 4 = z Z = 4 / Z = 1, como z = DE = 1 graus ) omo é pedido os valores inteiros, então: 1,,, 4, 5, 6 e 7 b c < a < b + c 9 7 < +1 < < +1 < 16 < < 1 < 1/ < X > 1/ + 1 < 16 < 16 1 < 15 X < 15/ 1/ < < 15/ 05 < < 7,5 omo é pedido os valores inteiros, então: 1,,, 4, 5, 6 e 7 E 4) É o incentro, pois ele é equidistante dos três lados do triângulo. 17 EMMAT16

18 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS 5) p = 7 +,5 +,5 +,5 = 17,5 cm 6) 10 m 7) 1 cm 8) D DE será. omo DE = D, então = no triângulo DE. Para determinarmos o ângulo D do triângulo D, usamos o teorema do ângulo eterno novamente, mas devemos nos atentar que o ângulo eterno é 6, mas já temos representado um no triangulo DEF, por isso o ângulo D do triângulo D será 4. omo D =, então = 4 no triângulo D. A 10) Habilidade do ENEM: F 11) 9 cm 1) 1) 4 14) D E 4 4 D 15) E 16) 17) 18) 19) A = 40 m omo triângulo A é isósceles, então o ângulo e são iguais e o ângulo do triângulo D será. Ainda no triângulo A, A + + = 180, () + (4) + ( + ) = 180 ) 9 = 180 X = 180/9 X = 0. 0) E Aprofundando: 1) omo AF = EF, então os ângulos são iguais. Usamos o teorema do ângulo eterno para determinar que o ângulo F do triângulo DEF, como EF = DE, então os ângulos são iguais. Para determinar o ângulo E do triângulo DE, usamos o teorema do ângulo eterno novamente, mas devemos nos atentar que o ângulo eterno é 4, mas já temos representado um no triangulo AEF, por isso o ângulo E do triângulo X 6 8 P Y Z 10 z < 8 < + z EMMAT16 18

19 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS ) = = 180 o 10 = 50 o 6) 9 14 < 1< < 1 < 4 15 < < 16 < 16 / < > 5, 4) D Z 55 o 70 o 70 o Y 55 o 40 o 55 o X 70 o 1 < 4 < < 44 X < 44 / X < 14,6 5, < < 14,6 Números inteiros: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 1, 14 5) A + z = z = z = z = 180 Z = Z = 80 A + + = = = 180 = = 0 7) A ) ) 105 o 0) D < < < < < < < < 1 8 < < < < < < 18 Números inteiros 5, 6, 7, 9, 11, 1, 14, 15, 16, 17. 1) D 0 o F ) D A E z 80º 80º D 80º z ) 0,8 m 4) 91 cm 5) 18 cm 19 EMMAT16

20 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS 6) a) 4 cm b) 6 m 48) Ângulo de 45 graus b 7) 7 8) A 9) D 40) 100 m 41) = 17 o 0 tg = b Tg = 1 b + b b = b + b = + b + b = 1 4) = 45 o 49) Logo: a = b + c bc cos 50) 4) E 44) 45) 46) 47) PM + PN + PS = K A K M K K K P K N K S K K K + + = K EMMAT16 0