PROF. 3 o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I

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1 PROF. 3 o ANO MATEMÁTICA PADRÃO VOL. I

2 Direção Eecutiva: Fabio Benites Gestão Editorial: Maria Izadora Zarro Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico: Alan Gilles Mendes Ale França Dominique Coutinho Erlon Pedro Pereira Estevão Cavalcante Paulo Henrique de Leão Estagiários: Amanda Silva Fabio Rodrigues Gustavo Macedo Lucas Araújo Autores: Biologia: Leandro Maia Filosofia: Gustavo Bertoche Física: Wilmington Collyer Geografia: Duarte Vieira História: Montgomery Miranda / Bernardo Padula Leitura e Produção: Leila Noronha / Marcelo Beauclair Língua Espanhola: Mizael Souza Língua Inglesa: Jaqueline Halack Língua Portuguesa: Leila Noronha / Marcelo Beauclair Literatura: Leila Noronha / Marcelo Beauclair Matemática: João Luiz / Gláucio Pitanga Química: Wendel Medeiros Sociologia: Anne Nunes Atualizações: Irium Editora Ltda Rua Desembargador Izidro, n o Tijuca - RJ CEP: Fone: (21) Biologia: Geografia: História: Língua Espanhola: Química: Cid Medeiros Thiago Azeredo Guilherme Braga Karina Paim Renata Galdino É proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, inclusive quanto às características gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

3 Apresentação: Olá, querido aluno. O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com uma proposta de educação eigente e plural. Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes hoje em dia, e muitos eercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros. Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro? Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos. Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contetualização. Ela funciona para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

4 No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações relevantes e que conversam com portais da Irium Educação. É o caso do bo Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os eercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem. com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo. Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa seção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na íntegra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no bo. Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os eercícios, que primam pela quantidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, eistem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube. Para finalizar, que tal encontrar um conteúdo ideal para aquelas revisões na véspera de provas e concursos? Essa é a proposta da seção Resumindo, na última página de cada capítulo. Aqui, você encontrará uma síntese com as principais informações do capítulo, como as fórmulas mais importantes, que você não pode esquecer. A equipe da Irium Educação acredita em uma formação eigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você. #vamboraaprender A Educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo. (Nelson Mandela) Fabio Benites Diretor-geral

5 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO ORIENTADOR METODOLÓGICO Trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico Conteúdo: Introdução a Conjuntos; Conjuntos Numéricos; Intervalos Reais; Tabelas e Gráficos Frequência absoluta e frequência relativa; Médias; Moda; Mediana; Variância; Desvio Padrão. Objetivos de aprendizagem: Reconhecer a necessidade de organizar informações em conjuntos; Assimilar técnicas, notações e operações de conjuntos; Representar e interpretar dados agrupados em tabelas e gráficos; Compreender os conceitos básicos da formação do processo estatístico; Calcular medidas estatísticas de tendência central e dispersão. Praticando 1) B Perceba que a região hachurada pertence ao conjunto M depois de retirarmos a união de N e P. 2) C Deve-se somar as quantidades que cultivam cada cultura e diminuir da interseção. J R ) D Jornal Revista = 33 Total 33 = nenhuma = 2 L Livros Agora para sabermos quantas pessoas leem apenas uma das modalidades de leitura, pegamos o valor de cada modalidade e retiramos a soma das interseções pertencentes a cada modalidade. J15 R17 4) A D X F L14 DC Agora para sabermos quantas pessoas tem apenas um dos sintomas, pegamos o valor de cada sintoma e retiramos a soma das interseções pertencentes a cada sintoma. 1 EM3MAT01

6 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO D D (D2 ) (34 ) 8 X (28 ) DC72 F F DC = = = 6 5) Como são 3 marcas de sucos, chamaremos uma de A, outra de B e a última de C. Quem consome os sucos A e B são AB e assim por diante: Total 100 A A AC AB ABC C BC A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 83 A + B + C = 57 AB + AC + BC = 19 a) = 17 b) 83-(57+19) = 7 C B B N 6) A Como a turma tem 40 alunos, então A + B + O + AB = 40. Como 23 não são do grupo A, então B + O + AB = 23, portanto encontramos A fazendo = 17. Como 36 não são do grupo AB, então A+B+O=36, como sabemos que A=17 e B=15, temos O=4. 7) E Como sabemos que os números são consecutivos, logo y=+1 a) 2 + 3y 2 + 3(+1)=2+3+3=5+3 Lembre-se da tabuada do 5, se por par, 5 será par, mas ao somar com 3, o resultado será ímpar. Já se for ímpar, 5 será ímpar, mas ao somar com 3, o resultado será par. b) 2y + 2 2(+1)+2= Tanto faz o ser par ou ímpar, o resultado será sempre par. c) 3 + 2y 3+2(+1)=3+2+2=5+2 Lembre-se da tabuada do 5, se por par, 5 será par, mas ao somar com 2, o resultado será par. Já se for ímpar, 5 será ímpar, mas ao somar com 2, o resultado será ímpar. d) + y = Tanto faz o ser par ou ímpar, o resultado será sempre par. e) y + 1. A multiplicação de um número par com ímpar será um número par, ao somar com 1, teremos um número ímpar. 8) E = 0, = 4, = 4 9 = 4 = 4/9 Logo 4/9 = 2/3 = 0, EM3MAT01 2

7 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO 9) B Quando é dito que o real esteve mais desvalorizado, significa dizer que é quando se precisa de mais reais para comprar um dólar, ou seja, é o pico do gráfico, que ocorre no fim do ano de jan 2002 jan 2003 jan 2004 jan ) B Perceba que a escala do gráfico é de 5 anos e para sabermos quando a população era igual a de 1975, devemos fazer o seguinte: 14) C Devemos verificar qual país está mais a direita no gráfico, pois perceba que o tempo de estudo é o eio horizontal. Finlândia Coreia do Sul Rússia NOTA DO PISA Holanda Média HORAS DE ESTUDO Japão Austrália (dos 7 aos 14 anos) Portugal Méico Itália Israel Veja que o outro ano que a população equivale a de 1975 é entre 1960 e 1965, sendo a única opção possível ) C. número de homens com irmãos = 100 número de mulheres com irmãos = 120 número de homens com irmãos corresponde, do número de mulheres com irmãos = 100 / 120 = 10 / 12 = 5 / 6 12) C Vendas Edu = = 9000 Fred = = Gil = = 9000 Perceba que Fred contribui com metade do total vendido e Edu e Gil contribuem com um quarto cada um do total vendido, logo o único gráfico que apresenta essa situação é o terceiro. 13) D 15) B Sequência na ordem: Como temos 10 dados, devemos pegar os dois termos centrais, no caso o quinto (10/2) e o seto e calcular a média entre eles: 16) B = /2 = ,5 Média: ( ) / 10 = 30 / 10 = 3 Mediana: Como são 10 lançamentos, devemos pegar o quinto (10/2) e seto lançamento e fazer a média entre eles: = 6/2 = 3 17) E Moda: 1. X = média = ( ) = 4/20 = 2,25 Y = mediana = como são 20 dados, devemos pegar o décimo dado (20/2) e décimo primeiro dado = = 4/2 = 2 Z = moda = 0 gols Z<Y<X 18) C A moda será 2, pois ela aparece 3 vezes e assim terá a maior frequência entre 5 dados. Para calcular a mediana, devemos aplicar a fórmula da média em primeiro lugar para saber quais os valores de C e D. 3 EM3MAT01

8 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO (2 3 + C + D) /5 = 2 (6 + C + D) /5 = C + D = 10 C + D =10 6 C + D = 4 Sendo que C e D podem ser 0 e 4, 1 e 3 e 2 e 2. 0 e 4 = e 3 = e 2 = Veja que nos 3 casos a mediana será 2. 19) C Como é dito no enunciado que a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa, então devemos ver a equipe com menor desvio padrão. 20) B Segundo o enunciado em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular, ou seja, aquele candidato que tiver o menor desvio padrão. 21) B Aprofundando: Para saber quantos fazem apenas Francês, devemos somar quem só faz inglês com quem faz as duas línguas (49+12)=61 e diminuir do total: 76-61=15. Como a pergunta é saber quantos quiseram francês, devemos somar as pessoas que fazem os dois idiomas com quem só faz francês, ou seja, 12+15=27. 22) 204 alunos. 23) D O conjunto B está contido no conjunto A e o conjunto C tem uma interseção apenas com o conjunto A, mas nenhuma com o conjunto B. 24) E Devemos somar a quantidade de atletas que fazem natação, corrida e nenhum desses esportes: = 375. Como temos apenas 245 atletas, basta fazer a diferença = 130 fazem os dois esportes. 25) C 26) C 27) C 28) D M % A35 Como só pode ser 100%, então 115% % Logo M80 100% % 100 = 750 = = 75 Letra D 29) E 30) D A35 a) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional = Falso, esse produto pode dar um número racional, por eemplo, 3 3 = 3. b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional = Falso, 3 + (- 3 )=0. c) Entre os números reais 3 e 4 eiste apenas um número irracional = Falso, temos infinitos, por eemplo, 10, 11, 12. d) Entre dois números racionais distintos eiste pelo menos um número racional = Verdadeiro e) A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo = Falso, pois podemos ter 1 (-5) = 1+ 5 = 6 31) E 32) D 6 = 3 = 0,75 = = 75% EM3MAT01 4

9 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO 33) D 34) D a) O número de porções consumidas de óleo e gorduras é o triplo do número recomendado; Falso, o recomendado é 1 e o consumido é 2,1. b) O número de porções consumidas de leite, queijo e iogurte está acima do número recomendado; Falso, está abaio, pois o recomendado é 3 e o consumido é 2,5. c) Os alunos consomem doze porções de açúcares e doces para cada porção de verduras e legumes consumida; Falso, eles consomem 7,9 de açúcares e doces e 1,1 de verduras e legumes. d) Os adolescentes consomem, em quatro dos oito grupos alimentares citados, mais do que o dobro do recomendado pelos nutricionistas; Verdadeiro, isso ocorre em açúcares e doces, carnes e ovos, feijões e leguminosas e em óleos e gorduras. e) O número de porções consumidas de carnes e ovos e de feijões e leguminosas supera o número de porções consumidas de arroz, pães, massa, batata e mandioca. Falso, a soma de carnes e ovos e de feijões e leguminosas é 2, enquanto que a soma de de arroz, pães, massa, batata e mandioca é 6,5. 35) B , % ,4 12,3% , % ,1% 100 = 24,000,000 4,1 = = = 24,000,000. 4,1 98, = ,000 37) D 38) C 39) A Lembre-se que a moda é o dado com maior frequência, logo será 9 anos. 40) C = = 1,9 41) C pois o atleta vencedor seria aquele que fosse mais regular, ou seja, tivesse menor desvio padrão. 42) A 43) 77,5 km/h 44) C Como são 200 hotéis, então devemos fazer a média entre o preço do centésimo (200/2) e o centésimo primeiro hotel. Logo, colocando na ordem, temos 50 hotéis A, 50 hotéis B, 80 hotéis C e 20 hotéis D. Veja que o centésimo é um hotel B e o centésimo primeiro hotel é C, portanto fazemos a média de =700/2= ) B Colocando em ordem: 13,5 13,5 13,5 13, , ,5 19, ,5 Mediana será o termo central, ou seja, 15/2 = 7,5 = 8 termo, que é 18. Moda: 13,5 46) 1,80. 36) C , , ,90 0,8 = 1,52 1,9 = 0,79 = 0,8 2,38 47) 360 graus graus = X = 3240/20 X = 162 graus 5 EM3MAT01

10 TRABALHANDO CONJUNTOS E ESTRUTURANDO O PROCESSO ESTATÍSTICO 48) E 49) Resposta: ) a) % % 100 = X = X = b) = 60% % % 100 = X = X = ) A Desafiando: 52) E 53) A EM3MAT01 6

11 CONHECENDO E APLICANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA ORIENTADOR METODOLÓGICO Conhecendo e Aplicando Matemática financeira Conteúdo: Porcentagem; Juros Simples; Juros Compostos. Objetivos de aprendizagem: Conhecer o significado da representação de uma porcentagem; Calcular porcentagens e aprender a utilizar fatores de atualização; Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores; Aprender os conceitos e diferenças entre juros simples e juros compostos; Identificar e calcular o valor do dinheiro no tempo através dos juros. 1) 1) Praticando a) % % 100 = X = X = 4500 reais b) = reais 2) % 3) A. 4) B = % 150 = 3000 X = 3000/150 X = 20% Vamos usar números aproimados: TvA + TvB + TvC + TvD + Nenhum = > 100% > 208. = 3500 = 3500/208 X =16,8 Portanto, aproimadamente 15%. Votos brancos e nulos= 9% + 11%=20% Votos válidos=80% do total 51% foram dados ao candidato vencedor = 51% de 80% = 0,80 0,51 = 0,408 = 41% 5) C 10 kg 95% de água, logo 9,5 kg de água e 0,5 kg de massa sólida % % 100 = 950 X = 9,5 Como a parte sólida não se altera, e sabemos que agora ela representa 10%, pois a água é 90%, temos: 0,5kg % % 10 = 50 X = 5 kg 6) B. Se 40% foi curado, logo 60% não foram completamente curados. Dividindo os 60 em dois grupos de 30% Primeiro tratamento inovador= 35% dos pacientes foram curados= 0,30,35=10,5% pacientes curados Segundo tratamento inovador= 45% foram curados = 0,3 X 0,45 = 13,5% curados. 10,5% + 13,5% = 24% 7) A Janeiro: Suponha que sejam 100 ovos: 50 ovos brancos e 50 ovos vermelhos Fevereiro: Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 50 10% 50 = 50 5 = 45 Ovos vermelhos aumentaram 20%, ou seja, % 50 = = 60 Março: Ovos brancos diminuíram 10%, ou seja, 45 10% 45 = 45 4,5 = 40,5 Ovos vermelhos aumentaram 20%, ou seja, % 60 = = 72 Ovos vermelhos = = Total de ovos em março ,5 112,5 = 0,64 = 64% 7 EM3MAT02

12 CONHECENDO E APLICANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA 8) D RPC = PIB POP PIB diminuiu 4%=1PIB 0,04PIB = 0,96PIB População aumentou 2% por ano = 1,02 1,02POP = 1,0404POP RPC = 0,96PIB 1,0404POP = 0,922RPC = 92%RPC Se a renda per capita agora representa 92% da renda per capita original, então diminuiu aproimadamente 8%. 9) J = Cit J = 400 0,04 3 J = 48 M = C + J M = M = ) a) % % 740 = X = 70300/740 X = 95% Se 703 reais representa 95% do valor inicial, foi dado um desconto de 5%. b) J = 740 0, J = 37 M = M = 777 reais 11) M=C.(1+ i) t M = 1000.(1 + 0,1) 3 M =1000.(1,1) 3 M = 1000.(1,1) 3 M = 1331 reais J = M C J = J = 331 reais 12) a) M = 7400.(1+0,006) 11 M = (1,006) 11 M = ,068 M = 7400.(1+0,06) 11 M = 7903,20 b) M= (1-0,02) 11 M = (0,98) 11 M = 8007,31 c) Não poderá comprar, pois tem R$ 7903,20, mas a moto custará R$8007,31, ou seja, Antônio necessita de R$104,11 para fazer essa compra. 13) a) Tem-se desconto de 3%, então compra representará 97% do valor original, ou seja, ,97 = 2328 reais. b) Como o valor à vista é R$2328,00 e foi feita uma entrada de 1200,00, faltaria ser pago R$1128,00. Mas será pago outra parcela de R$1200,00. Ou seja, o valor q faltava sofre um juros no tempo igual 1 mês M = C + J 1200 = i1 72 = 1128i1 72 / 1128=i 0,064 = i I = 6,4% Aprofundando: 14) a) ,05 = 2000 reais b) = reais 15) Basta dividir 650/500=1,3, ou seja, aumento de 30% 16) B Vamos usar dados aproimados para saber a paricipação percentual da energia elétrica para energia total: 17) C 18) D 1970: 195: energia elétrica tep = = 10% energia total tep energia elétrica tep = = 60,6% energia total tep Tamanho original 50 = 1,53 m Tamanho original = 1,53/50 Tamanho original = 0,0306 m = 3,06 cm Como a cada prestação o saldo devedor se reduz em 500 reais, antes do pagamento da décima prestação teremos = 4500, ou seja, = de saldo devedor. EM3MAT02 8

13 CONHECENDO E APLICANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA Valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor= ,01= =2255 reais 19) B 20) E L = P c L = L = ,15 = 1200 Remarcação = 50 0,8 = 40 reais Com cartão fidelidade = 40 0,9 = 36 reais, ou seja, teria um desconto de 4 reais. 21) D ,56 = 8344 pessoas. 22) D Devemos calcular 90% do preço de cada produto tipo A, caso esse valor seja superior ao valor do tipo B, escolhe-se o tipo B, caso contrário, o tipo A. Arroz 90% 2,00 = 1,80 > 1,70 (tipo B) 23) C Feijão 90% 4,50 = 4,05 < 4,10 (tipo A) Soja 90% 3,80 = 3,42 < 3,50 (tipo A) Milho 90% 6,00 = 5,40 > 5,30 (tipo B) Produção do Brasil e Estados Unidos é 88%. Estados Unidos produziram em 2009 metade da produção de 2006, ou seja, 22,5%. Produção do Brasil deve aumentar de 43% para 65,5%, aumento este que equivale a 65,5% / 43% = 1,523 1 = 52,3%. 24) M = C + J 25) C M = C + Cit 2C = C + C0,05t 2C C= C0,05t C = C0,05t c/c = 0,05t 1 = 0,05t 1 / 0,05 = t T = 20 meses 2 meses = M = (1 + 0,02) 2 = ,022 = meses = ,02 = 21224,16, perceba que sobra 224,16, aproimadamente 225 reais. 26) C 27) C Quantia aplicada = Primeiro mês = 0,3 = 0,7 Segundo mês = 0,7 + 0,2 0,3 = 0,76 = 3800 Logo = 3800/0,76 = 5000 A é a arrecadação. 40% de A = 0,4A=pagamentos dos professores Aumento de 5% das mensalidades = 1,05A Aumento de 5% dos professores = 1,05.(0,4A) = 0,42A Quanto corresponde o aumento dos professores no total: 0,42A 0,4A = 0,02A, correspondendo a 2%. Os pais tem razão em discordar do índice de 5% de aumento, pois o aumento dos professores corresponde em um aumento de apenas 2%. 28) E r 4 = (1,1r) 4 = 1,4641r 4 29) A 1, = 0,4641 = 46,41% Se a taa de cobertura da malha é 75%, então pode passar 25% da luz incidente. O quadrado de dimensões (d-1)(d-1) permite a passagem de luz, ou seja, a divisão entre a área desse quadrado que permite a passagem de luz com o quadrado total, de dimensões dd é igual a 25%: (d 1) 2 = 5% d 2 (d 1) 2 = 25 = 1 d (d 1) 2 = 1 d 1 1 = d 2 4 d 4 d 1 = 1 d 2 D = 2 D 2 2D D = 2 D = 2 9 EM3MAT02

14 CONHECENDO E APLICANDO MATEMÁTICA FINANCEIRA 30) E Rendimentos da população: (101, ) R$1.202,00 = R$122363, Rendimentos mensais dos 10% mais pobres: (R$ ,6 106 ) 0,011 = R$ 1345, Rendimento de um brasileiro mais pobre: 1345, = 1345,9996 = 132,22 101, ,1 10,18 Rendimentos mensais dos 10% mais ricos: (R$ ,6 106 ) 0,445 = R$ 54451, Rendimento de um brasileiro mais rico: 54451, = 54451,802 = 5.348,9 101, ,1 10,18 Diferença: 5.348,90 132,22 = 5.216,68. 31) B Como 75% afirma ter esse hábito e 26% é quem faz 3 vezes na semana, queremos 26% dos 75%, logo: 26/ /100 = 0,195 = 19,5% 35) B Desafiando: V = C + L 30 = C + 0,2C 30 = 1,2C C = 30/1,2 C = 25 L = 5 Lucro por mês=2000 sapatos por mês = = t = T = / T = 12 meses 36) 20% mais ricos da população brasileira será 16%+47%=63% Renda per capita: 63% PIB/20% população = 0,63 2,4 1012/ 0, = ) D Volume original: = Aumento nas dimensões da base em 25%, ou seja: 24 1,25 = 30 H = H = /900 H = 25,6 Redução: 25,6/40 = 0,64, ou seja, 1 0,64 = 0,36 = 36% 33) C Consumo de 150 kwh custa: ,5 + 4,5 = 79,50 reais Redução de 10%, logo, 0,9. 79,50 = 71,55. Novo consumo será X. 0,5 + 3 = 71,55 X = 137,1 34) A Os juros simples podem ser representados por uma reta crescente. EM3MAT02 10

15 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU ORIENTADOR METODOLÓGICO Construindo Funções e Identificando Funções Polinomiais do 1 o Grau Conteúdo: Produto Cartesiano; Relações; Funções; Classificação das Funções; Função Composta; Função Inversa; Função Polinomial do 1º grau. Objetivos de aprendizagem: Estabelecer o conceito de produto cartesiano, e as definições de domínio, contradomínio e imagem; Representar produtos cartesianos no plano cartesiano; Identificar relações e funções a partir de produtos cartesianos; Conceituar e resolver funções compostas e inversas; Reconhecer a aplicar funções polinomiais de 1 o grau, algébrica e graficamente. Praticando 1) a) D(f) = {1,3,5} b) CD(f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} c) f(3) = 32 1 = 9 1 = 8 = d) f(1)+ f(5)+24 = = 36 = 6 = f(1) = 12 1 = 0 2 f(5) = 52 1 = 25 1 = 24 = e) Im(f) = {0,4,12} f(1) = 12 1 = 0 2 f(3) = = = = 4 f(5) = 52 1 = 25 1 = 24 = f) O elemento é 5. 2) a) A = [ 2, 6] b) B = [ 3, 3] c) 2 d) 2 e) 4 f) 1 e 3 g) [-2,1] ]3,4] h) [4, 6] i) [1, 3] 3) a) P = /200 = = 43 reais b) 46 = /n = 600/n 6 = 600/n N = 600/6 N = 100 sacas 4) a) meio-dia = 4 horas de trabalho p(4) = p(4) = (4) 2 (4) 3 p(4) = p(4) = p(4) = 112 b) Basta fazer a diferença entre a produção até a quarta hora com a produção até a terceira hora. p(3) = (3) 2 (3) 3 p(3) = p(3) = p(3) = 78 p(4) p(3) = = 34 5) Colocar no aprofundando f() = ka a) (1,6) ---- f(1) = ka 1 = 6 ka = 6 11 EM3MAT03

16 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU (2,12) ---- f(2) = ka 2 = 12 ka 2 = 12 kaa = 12, como ka = 6 6a = 12 a = 12/6 a = 2 Como ka = 6 e a = 2 2k = 6 K = 6/2 K = 3 b) f(3) = ka 3 = = 3.8 = 24 c) f(0) = ka 0 = = 3.1 = 3 6) a) f() = = = 40 3 = 40/5 3 = 8 3 = 8 = 2 b) f() = y = = = 40 3 = 40/5 3 = 8 3 = 8 = 2 (2,0) c) = 0 f(0) = = 40 (0, 40) 7) a) 5, 2, 4 e 9 b) 5 < < 2 ou 4 < < 9 ou > 9 c) < 5 ou 2 < < 4 d) = 5, = 2, = 4 e = 9 8) a) = 3 e = 9 b) Sem solução para f() = o c) 0 < 3 ou 9 < 12 d) 0 3 ou 9 12 e) 3 < < 9 9) f( 9 2 ) = 2 b) [-2,4] c) Infinitas, pois é o intervalo [4, 5], podendo ser qual número real entre esses valores. d) Sim. 10) Para que a equação f() = c tenha uma única solução deve interceptar o gráfico de f em um único ponto, ou seja, acima do ponto ( 2, 2) ou abaio do ponto (2, 4). Isto é, devemos ter c > 2 ou c < 4. 11) a) 15 minutos b) 5 minutos 12) A f é bijetiva = contradomínio e imagem são iguais e elementos diferentes do domínio tem imagens diferentes g é sobrejetiva = contradomínio e imagem são iguais h não é injetiva = elementos diferentes do domínio tem imagens iguais, logo não é injetiva. 13) D g[g (4)] g [g ( 4)] g ( 4) = 2 g[g (4)] g [-2] g [ 2] = 0 g[g (4)] 0 g (4) = 2 g[2] 0 g[2] = 2 g[g (4)] g [g ( 4)] = 2 0 = 2 14) f() = 2 (fo[fof]) Fof = (2 )2 = 4 (fo[ 4 ])= ( 4 ) 2 = 8 (fo[fof]) = 8 15) C 2g() + 1 = g() = g() = G() = G() = EM3MAT03 12

17 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU 16) a) t = 2 v(2) = = = 9 d(9) = = = 266 m b) v (t) = 4t + 1 d(t) = 3(4t + 1) 2 + 2(4t + 1)+ 5 d(t) =3(4t 2 + 8t +1) + 8t d(t) =12t t t d(t) = 12t t ) E Lembre-se que o gráfico de f 1 é simétrico ao gráfico da função original f em relação à reta y =. 18) f 1 (2) + f 1 (3) = 3 f(1) = 2 = 1 e y = 2 f(2) = 3 = 2 e y =3 f(3) = 4 = 3 e y = 4 f 1 (2) + f 1 (3) f 1 (2) = 1, pois para calcular devemos pegar o y = 2, pois como é a inversa, queremos o valor de associado ao y = 2, que é 1. f 1 (3) = 2, pois para calcular devemos pegar o y=3, pois como é a inversa, queremos o valor de associado ao y = 3, que é 2. f 1 (2) + f 1 (3) = = 3 19) a) h = fog = 3(2 2) + 1 = = 6 5 h() = 6 5 b) f () = y = ) C f = 3y + 1 3y = 1 f 1 () = Y = 1 3 g () = y = 2 2 g = 2y 2 2y = + 2 g 1 () = y = 2 2 F() = y = f = 2y 3 y ) D (y + 4) = 2y 3 y + 4 = 2y 3 y 2y= 3 4 y( 2) = 4 3 Y = 4 3 = 1(4 + 3) = = 2 1 ( + 2) f 1 () = Para não ter prejuízo, faturamento e custo devem ser iguais. 22) B FT(q) = CT(q) 5q = 2q q 2q=12 3q = 12 Q = 12/3 Q = 4 Gasolina: 6000 km / 10km = 600L 2,20 = ) D 24) C Gás: 6000 km / 12km = 500m³ 1,10 = 550 Economia: = 770 por mês 3000 /770 = 3,9 meses = 4 meses Janeiro = = Fevereiro = Y= Produção de Janeiro + incremento Y= Pagamento com atraso = pagamento original + multa = = centavos por dia de atraso = 0,40 M() = ,40 25) Deveria ser a questão 22, pois tem conceitos básicos de função. a) f(1) = = = 4 f(1) = 4 13 EM3MAT03

18 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU b) (0,b) = (0,8) b 8 2, 0 (, 0) = ( ) = ( a y 8 2 ) = (2, 0) b = b = 15 B = B = 15 Y = 2 15 (, 19) 19 = = 2 34 = 2 X = 17 26) (0, b) = (0, 20), logo b = 20 ( ( 27) B b, 0) = ( 4, 0) a 20, 0) = ( 4, 0) a 20 = 4 a 4a = 20 A = 20/ 4 A = 5 Lei de formação: y = a + b Y = Corrigir as opções b e d, o certo é m3. (15, 15) (20. 25) Y = a + b 15 = 15a + b 25 = 20a + b Sistema 15a + b = 15 ( 1) 20a + b = 25 15a b = 15 20a + b = 25 5a = 10 A = 10/5 A = 2 15a + b = 15 20a + b = 25 28) C Vamos utilizar os anos da seguinte forma: 1983 = = 5 Até 2007 = 25 Logo (1,239) (25,461) Y = a+b 239 = 1a + b 461 = 25a + b a + b = 239 Sistema 25a + b = 461 a + b = 239 ( 1) 5a + b = 461 a b = a + b = a = 222 A = 9,25 9,25 + b = 239 B = 239 9,25 B = 229,75 Y = 9,25a + 229,75 Logo 2011 = 29 Y = 9, ,75 Y = 268, ,75 Y = 498 EM3MAT03 14

19 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU Aprofundando: 29) a) D(f) = {2,4,6} b) CD(f) = {0,1,2,...,60} c) F(4) = = = d) f(2) + f(6) + 8 = = F(2) = = 12 2 = 10 = F(6) = = = 106 = e) Im(f)={5,23,53} = 23 S(8) = S(8) = S(8) = S(8) = S(8) = 0,44 m 2 b) Superfície duplicou = 0,44 2 = 0,88 m ,88 = 1 11 p 100 p 2 3 F(2) = = 12 2 = 10 = F(6) = = 48 2 = 46 = F(6) = = = 106 = f) O elemento é 6. 30) a) [ 2, 6] b) [ 3, 5] c) 2 d) 2 e) 2 f) 5 g) 0 h) 6 i) [4,6] j) [ 2,1] ]3,4] k) [1,3] 31) a) P=60+300/150 P = P = 62 reais b) 61 = /n = 300/n 1 = 300/n N = 300 sacas 32) S(p) = 1 11 p 100 S(8) = ,88 11 = 1 p = p = p 2 (2 3 ) 3 = p = p 2 p = 2 9 p = P = P = 16. 1,4 P = 22,4 kg ) Essa questão deve ser colocada no caderno da função do segundo grau f() = 2 + b + c f( 2) = 5 e f(2) = 15 a) B e c f( 2) = f( 2)= ( 2) 2 + b( 2) + c ( 2) 2 + b(-2) + c = 5 4 2b + c = 5 2b + c = 5 4 2b + c = 1 f(2) = f(2) = (2) 2 + b(2) + c 4 + 2b + c = 15 2b + c= b + c = 11 Sistema 2c=12 C=12/2 C=6 2b + c = 1 2b + c = 1 p EM3MAT03

20 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU 2b + 6 = 11 2b = b = 5 B = 5/2 B = 2,5 b) f() = 2 + 2,5 + 6 F(0) = , F(0) = 6 c) f()= 2 + 2,5 + 6 F(10) = , F(10) = F(10) = ) a) 1, 3, 5 e 8 b) < 1 ou 1 < < 3 ou 5 < < 8 c) 3 < < 5 ou > 8 d) 1, 3, 5 e 8 35) a) 17,5% b) Abril a julho de c) Setembro e outubro de ) D 100 g =R$1,70 2 cartas de 100g = 1,702= R$3, g =R$2,65 3 cartas de 200g = 2,653= R$7, g = R$4,00 1 carta de 350g = 4,001=R$4,00 Total = 3,40 + 7,95 + 4,00 = R$ 15,35 37) E Perceba que entre 0 4, temos a função y=, pois os pontos (0,0) e (4,4) pertencem a essa reta. Entre 4 < 6, temos sempre y = 4. Entre 6 < 8, devemos descobrir a lei de formação, pois temos os pontos (6,4) e (8,0). y = a + b 4 = 6a + b 0 = 8a + b 6a + b = 4 8a + b = 0 6a + b = 4( 1) 8a + b = 0 2a = 4 A = 4/2 A = 2 8a + b = 0 8( 2) + b = 0 16 = b B = 16 Y = a) ƒ(1) + ƒ(2) = ƒ(3); f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 ƒ(1) + ƒ(2) = ƒ(3) = 3 3 = 3 Verdadeiro b) ƒ(2) = ƒ(7); f(2) = 2 f()= 2+16 : f(7)= =-14+16=2 ƒ(2) = ƒ(7) 2=2 Verdadeiro c) ƒ(3) = 3ƒ(1); f(1) = 1 f(3) = 3 ƒ(3) = 3ƒ(1) 3 = = 3 Verdadeiro d) ƒ(4) ƒ(3) = ƒ(1); f(4) = 4 f(3) = 3 f(1) = 1 ƒ(4) ƒ(3) = ƒ(1) 4 3 = 1 1 = 1 Verdadeiro e) ƒ(2) + ƒ(3) = ƒ(5) f(2) = 2 f(3) = 3 f(5) = 4 ƒ(2) + ƒ(3) = ƒ(5) = 4 Falso 38) Letras A, E e F a) Verdadeiro, pois vemos que os valores de estão no conjunto dos números reais b) Falso, a imagem pertence ao intervalo ]-,a]. EM3MAT03 16

21 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU a 1 y a) Falso, a função é crescente no intervalo (-,0] b) Falso, eistem elementos diferentes do domínio com mesma imagem, como os eemplos abaio. y 39) Letra D f(n + 1) = F(1) = 2 F(101) =? f(n + 1) = f(1) n + 1 = 1 n = 1 1 n = 0 f(0 + 1) = 2f(0) + 1 = 4 2f(0) = 4 1 2f(0) = 3 f(0) = 3/2 2f(n) f(n) + 1 = 2 2 f(1+1)= 2f(1) + 1 = = c) Verdadeira F(1) = 0 verdadeiro F(5) < 0 verdadeiro y f(0)= 3 = 1,5 2 F(1) = 2 F(2) = 5/2 = 2,5 Percebemos que essa função é uma PA, então para calcular o f(101) = a 101 = e r = 2,5 2 = 0,5 a 101 = 2 + (101 1). 0,5 a 101 = ,5 a 101 = a 101 = 52 d) Verdadeira y ) D f() f(y) = f( + y) f(1) = 2 e f( 2 ) =4 f(3 + 2 ) = f(3). f( 2 ) f(3) = f(2 + 1) = f(2). f(1) f(3)= f(2). f(1) = 4.2 f(3)=8 f(2) = f(1 + 1) = f(1). f(1) f(2) = f(1). f(1) = 2. 2 = 4 f(2) = 4 f(3 + 2 ) = f(3). f( 2 ) = 8. 4 f(3 + 2 ) = EM3MAT03

22 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU 41) B M1 F1 e F2 M2 F3, F4 e F5 M3 F6 I) Não é função, porque um elemento do domínio (mães) está ligado a imagens diferentes (filhos). M1 M1 M1 F1 F2 F3 F4 F5 F6 II) É função porque todos os elementos do domínio (filhos) estão ligados a imagens e cada elemento do domínio está ligado apenas a uma imagem. F1 F2 F3 F4 F5 F6 M1 M1 M1 III) Não é função porque há um elemento do domínio (F6) que não está ligado a uma imagem e além disso, um mesmo elemento do domínio tem imagens diferentes. F1 F2 F3 F4 F5 F6 F1 F2 F3 F4 F5 F6 42) 2,0 e 5/2 3 4 se = 0 ( 2 4) =0 = 0, pode ser, pois =0 2 = 4 = ± 4 = ± 2, não podemos considerar = 2, pois se > = 0 2 = 5 X = 5/2, pode ser, pois > 1. 43) g(f ()) = (4 + 1) 3 = = ) g() = / 2 f() = 2 5 f(g()) = g() 5 = g() = g() = g() = / 2 45) k= 1/3 f() = 1 2 g() = 2 + k f [g()] = g[f ()] 1 2(2 + k)= 2(1 2) + k 1 4 2k = k 2k k = k = 1 K = 1/3 46) f( 12 / 15) = 7 g() = g(f()) = 2+5 / +1) 2F() + 3 = 2+5 / +1 2f() = 2+5 / f() = (+1) / +1 2f() = / +1 2f() = +2 / +1 f() = +2 / 2(+1) f() = +2 / ) E f(n + 1) = n 1 N + 1 = A N = A 1 f(a) = A 1 1 = A 2 EM3MAT03 18

23 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU f(a) = A 2 f(n 1)= n 1 2 f(n 1) = n 3 y 12 48) f() = 6 1 y = 6 1 troque y por = 6y = 6y + 1 / 6 = y f 1 = + 1 / 6 52) 6 y 49) f 1() = 6+4 / ) A 51) f() = +4 / 2 6 y = +4 / 2 6 troque y por = y+4 / 2y 6 (2y 6) = y + 4 2y 6 = y + 4 2y y = Y (2 1) = Y = 6+4 / 2 1 f() = 1 / +2 y = 1 / +2 troque y por = y 1 / y+2 (y + 2) = y 1 y + 2 = y 1 y y = 2 1 y( 1) = 2 1 y = 2 1 / 1 y= 1(2+1) / 1( +1) y = 2+1 / +1 y = 2+1 / 1 f() = Interseção com o eio y: (0, b) = (0, 12) Interseção com o eio : ( b, 0) = ( 12, 0) = (-6,0) a ) Interseção com o eio y: (0, b) = (0, 2) b = 2 Interseção com o eio : ( 2 / a, 0)= ( 6, 0) 2 / a = 6 2 = 6a A= 2 / 6 A = 1 / 3 Y = a + b Y = 1/ ) Interseção com o eio y: (0, b) = (0,8) b = 8 Interseção com o eio : ( 8 / a, 0) = (4, 0) 8 /a = 4 8 = 4a A = 8 / 4 A = 2 Y = a + b Y = ) Interseção com o eio y: (0, b) = (0, 5) b= 5 Interseção com o eio : ( ( 5)) / a, 0) = ( 10, 0) 5 / a = 10 5 = 10a A = 5/10 A = 1/2 Y = a + b Y = 1 / EM3MAT03

24 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU 56) Interseção com o eio y: (0,b) = (0,8) b = 8 Interseção com o eio : ( (8) / a, 0) = ( 2, 0) 8 / a = 2 8 = 2a A= 8 / 2 A = 4 Y = a + b Y = ) Parcela fia = coeficiente linear = 50 58) B 59) C Parcela variável = coeficiente angular = = 170 reais = 90 / 15 = 6 horas C(h) = h QO = P QD = 46 2P QO =QD P = 46 2P 4P + 2P = P = 66 P = 11 Salário: 300 fios + 0,50 por metro quadrado vendido Parte fia = coeficiente linear = 300 Parte variável = 0,50 Salário: ,50 Primeiro mês: 500m 1,40m = 700 m 2 Salário do primeiro mês: , = = 650 reais Segundo mês: o dobro de 700 m 2 = 1400 m 2 Salário do segundo mês: , = = 1000 reais 60) Vamos considerar: Julho (0,35,6) b = 35,6 Y = a + b Y = a + 35,6 Julho 2001 (12,22) 22 = 12a + 35, ,6 = 12a 13,6 = 12a A = 13,6 / 12 A = 1,13 61) D Maio 2001 (10,y) Y = 1, ,6 Y = 1, ,6 Y = 11,3 + 35,6 Y = 24,3 bilhões de dólares S = A + Bt + Ct 2 Precisamos que c = 0, pois como o gráfico é uma reta, será uma função do primeiro grau. S = A + Bt O A é o coeficiente linear, então A = 12, pois o ponto é (0,12) = (0,coeficiente linar). 62) D S = 12 + Bt Escolhemos o ponto (3,0): 0 = 12 + B = 3b B = 12/3 B = 4 A = 12 B = 4 C = 0 Como é dito que a variação da temperatura seja, aproimadamente, linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, e 400 m está entre 100m e 500m, então: 100m 21 (21,100) 400m- (,400) 500m-7 (7,500) Y = a + b 100 = 21a + b B = a 400=a + b 500=7a + b B = 500 7a B = B a = 500 7a 21a + 7a = a = 400 A = 400 / 14 A = 28,6 B = ( 28,6) B = ,6 B = 700,6 400 = 28, , ,6 = 28,6 EM3MAT03 20

25 CONSTRUINDO FUNÇÕES E IDENTIFICANDO FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1 o GRAU 300,6 = 28,6 X =300,6 / 28,6 X = 10,5 65) D 63) D Plano K: 29,90 + 0,20 ( 200) Plano Z: 49,90 + 0,10 ( 300) Só montando as equações podemos eliminar as opções A, B e E. Vamos igualar os planos para saber qual a opção correta: K: 29,90 + 0,20 ( 200) = 29,90 + 0,20 40 Z: 49,90 + 0,10 ( 300) = 49,90 + 0, ,90 + 0,20 40 = 49,90 + 0, ,20 0,10 = 49, ,90 0,10 = ,10 = 30 X = 30 / 0,10 X = 300 (momento em que os dois planos custam a mesma coisa). 400 minutos K: 29,90 + 0,20 40 = 29,90 + 0, = 29, = 29, = 69,90 Z: 49,90 + 0,10 30 = 49,90 + 0, = 49, = 49, = 59,90 64) D Desafiando: Perceba que estamos falando de função composta, e o resultado de f(4) = 5, depois f(5) = 2, f(2) = 1, f(1) = 4 e retorna para f(4) = 5. Ou seja, os resultados se repetem depois de cada quatro, então: 2004 / 4 = 502 ou seja esses resultados se repetem 502 e não inicia outro ciclo, então o último resultado é f(1) = 4. y (% de carga) z t (t + 2) Para resolver essa questão vamos usar semelhança de triângulos: Triângulo com vértices 100, t e 0 com o triângulo com vértices 100,75 e t 0 / z 0 = / t / z = 100 / 25 t / z =4 z = t / 4 Triângulo com vértices 90, t+ 2 e 0 com o triângulo com vértices, t + 2 e z t+2 0 / t+2 z = 90 0 / 75 t+2 / t+2 t / 4 = 90 / 75 t + 2 t / 4 = 4t + 8 t 4 = 3t+8 / 4 t+2 / 3t+8 / 4 = 18 / 15 15(t+2) = 18(3t+8) / 4 15t + 30 = 9(3t+8) / 2 30t + 60 = 27t t 27t = t = 12 T = 12 / 3 T = 4 21 EM3MAT03

26 PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS ORIENTADOR METODOLÓGICO Proporcionalidade, Grandezas e Medidas Conteúdo: Fatoração; Divisibilidade; Razões; Proporções. Objetivos de aprendizagem: Revisar o processo de fatoração de um número e os critérios de divisibilidade; Definir o significado de razões e proporções; Utilizar as noções de razão e proporção para apresentar o conceito de escala; Estabelecer relações entre grandezas diretamente ou inversamente proporcionais; Apresentar e aplicar as ferramentas da regra de três, simples e composta, em problemas. 1) D Praticando (2 + 1) (3+1) = 3 4 = 12 2) D = 19 O próimo múltiplo de 9 é 27, então devemos fazer = 8. 3) C Primeiro = bola Segundo = chaveiro Terceiro = caneta Quarto = refrigerante Quinto = sorvete Seto = CD Sétimo = bola Oitavo = chaveiro Milésimo cliente = 1000/6=166, resto 4 = Refrigerante 4) A 60/15 = 4 segundos 5) E 60/10 = 6 segundos MMC(6,4) = 12 segundos Devemos fazer o MDC (1350,1224) / 18 = / 18 = = 143 6) D 7) E 1:200 = 1cm cm Área = (1cm) (200cm) 2 1cm cm 2 6cm A A = cm 2 = 24 m 2 Área da praça quadrada = 100 m 100 m = m² 8) C 9) D m² ,08 g g = m² C 1 3 C = J = = C = J 1 C 1 2 = J = 1 2 C = = 960 EM3MAT11 22

27 PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS 5 = 960 = = Como C = 3 1 Como J = 2 10) D 1 kg ,256 kg ,80 0,256 = 12,80 X = 12,80 / 0,256 X = 50 reais 11) B, então C = X, então J = = 64 = 96 Voluntários Casas Dias X 4 = X = 30 X = X = X = X 3 1 X = 3 dias Aprofundando: 12) E 13) A 14) A Para atender as condições, devemos ter um número múltiplo de 4, múltiplo de 100 e não múltiplo de 400. Para ser múltiplo de 100, deve terminar com 2 zeros, como o último caso foi em 1900, vamos pensar em 2000, entretanto 2000 não pode ser porque tal número é múltiplo de 400. Logo, percebemos que é A soma de seus algarismos é =3 15) B 16) A Cadeiras reservadas 17 = Total de cadeiras 70 17) B Litros de água Litros por descarga gasto por dia X 6 15 = = 360 X = 360 / 15 X = 24 litros Como serão gastos 24 litros por dia, então devemos fazer a subtração = 36 litros serão economizados. 18) B Habitantes = = 200 = 25 Km ) C Capacidade Ralos Horas X = X = X = X = X = X 3 1 X = 5 ralos 23 EM3MAT11

28 PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS 20) A Galão Litros 1 3,8 50 X = 190 litros Dólar Real 1 1, y Y = 243,20 1 litro de gasolina = 243,20/190=1,28 23) E Diâmetro olho humano 24) D Diâmetro espelho Pista do professor Pista do atleta 25) D = = 2,1 cm 1 = 4200 cm cm 1 = cm =1:2000 = 1: ) D Telhas 1500 = = = = X = 720 Tijolos Significa que ao levar 900 telhas, temos o equivalente de 720 tijolos. Logo, para saber quantos tijolos ainda pode-se colocar, devemos fazer: = ) D Altura inicial = a Largura inicial = l Altura final = A Largura final = L Como o custo será o mesmo, então as áreas serão as mesmas. al = AL A altura aumentou em 1/8, logo: A = a + 1 / 8a, A = 9 /8a al = AL al = 9 / 8a L l = 9 / 8L L / I = 8/9 26) A S = k 27) D Diretamente proporcionais b. d 2 = k Inversamente proporcionais 2 cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional quadrado de sua massa M s 3 = km 2 28) B 29) C 3 S = km 2 S = k 1/3 M 2/3 Cimento = Areia = 4 Brita = 2 X + 4X + 2X = 14 7X = 14 X = 2, logo se cimento =, então Cimento = 2. 6X X + 1 = = 40 X = 2 Como o escritório B equivale a 3, então será 3 2 = 6 30) D Como o número de mulheres era 32 mil e aumentou em 8 mil, significa que aumentou um quarto do total (32 / = 8, = 4), logo o número de homens também aumenta em um quarto (28 / 4 =7). Para saber o total, basta somar = 35 mil. EM3MAT11 24

29 PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS 31) B Parte José Carlos Paulo Primeira 6 / 15 5 / 15 4 / 15 Segunda 4 / 10 4 / 10 2 / 10 Temos que descobrir quem carrega as 50 laranjas a mais, então calculamos o MMC (15,10) = 30 e atualizamos a tabela: Parte José Carlos Paulo Primeira 12 / / 30 8 / 30 Segunda 12 / / 30 6 / 30 Logo, vemos que Carlos levou as 50 laranjas a mais e assim: 12/30 10 / 30 = 50,2 / 30 = 50 2 = 1500 X = 750 Para descobrir quando cada um levou na segunda parte, devemos: Parte José Carlos Paulo Segunda / 30 = / 30 = / 30 = = 9 X = 2 9 = 18 dias Desafiando: 34) Lembrar que há uma propriedade em que o resto do produto de dois números é igual ao resto do produto dos restos, logo o resto da divisão de a. b por 8 é o mesmo que o resto de (7. 5) / 8 = 35 / 8 = 4 e resto 3. 35) 150 < < 250. = 17a + 15 = 11b a + 15 = 11b+ 4 17a = 11b 11 17ca = 11(b 1) a = 11(b 1)/17 e a e b são inteiros b 1 deve ser múltiplo de 17, b 1 = 17, b = 18 = =202 32) C Técnico Páginas Dias ) B 12 6 = X = X = 1 X = 1 X X = = = 10 9 Cavalos Dias EM3MAT11

30 PROPORCIONALIDADE, GRANDEZAS E MEDIDAS EM3MAT11 26

31 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS ORIENTADOR METODOLÓGICO Geometria Plana: Polígonos, Triângulos e Quadriláteros Conteúdo: Ângulos; Paralelas cortadas por uma Transversal; Polígonos; Triângulos; Cevianas e Pontos Notáveis do triângulo; Quadriláteros. Objetivos de aprendizagem: Definir elementos e propriedades básicas da geometria plana; Conceituar polígono, seus principais eemplos e relações; Estabelecer as principais classificações e propriedades dos triângulos; Apresentar e identificar os principais segmentos e pontos notáveis de um triângulo; Estabelecer as principais classificações e propriedades dos quadriláteros. Praticando 1) AON = 50, ou seja, 2 + y = 50 2) NOC = 30, ou seja, y= = 50 2 = = 20 X = 10 AOM = = 10 graus O POY = 50 = 2 + y XOR = 55 = + 2y Sistema y y 2 + y = y = 55 (2 + y = 50( 2) + 2y = y = y = 55 5) 3 = 45( 1) 3 = 45 X = 45 / 3 X = 15 P R X Q Y 2 + y = y = y = 50 Y = Y = 20 POR = 2 + 2y = = = 70 graus 3) E X = = 140O 4) A = 130, b = 50, c = 70 e d = 60 a e 130 são correspondentes, então: a = 130 A e (c + d) são alternos internos, então: c + d = a, logo c + d = 130 B, c e d são suplementares, então b + c + d = 180 Logo, como c + d = 130 e b + c + d = 180, então b = 180, logo b = , b = e (b + c) são alternos internos, então: b + c = 120 e como b = 50, então 50 + c = 120, c = , c = 70 Como c + d = 130 e c = 70, então 70 + d = 130, d = , d = 60 5) A Traçamos a reta r 3 que seja paralela às duas outras retas, dividindo o ângulo de 90 graus em duas partes. Percebemos que o ângulo α é alterno interno do pedaço superior do ângulo de 90 graus. O ângulo ao lado do de 130 graus é 50, pois eles são suplementares. Além disso, esse ângulo 27 EM3MAT12

32 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS de 50 graus é alterno interno do pedaço inferior do ângulo de 90 graus. Logo, α + 50 = 90, então α = 90 50, α = 40 graus. 6) = 70 graus colaterais internos colaterais internos a b 30 o alternos internos 30 o 40 o alternos 40 o internos Ao prolongarmos a reta s, dividimos o ângulo em dois pedaços. Perceba que o pedaço superior de é alterno interno de 30 graus e o pedaço inferior é alterno interno do ângulo de 40 gruas, logo o = = 70 graus. 7) Heágono = 6 lados a) n 3 = 6 3 = 3 diagonais a) n 3 = 6 3 = 3 diagonais b) d = (n(n 3)) / 2 = (6(6 3)) / 2 = 6. 3 / 2 = 18 / 2 = 9 diagonais c) Si = 180(n 2) = 180(6 2) = = 720 graus d) Se = 360 graus e) ai = Si / n = 720 / 6=120 graus f) ae = Se / n = 360 / 6=60 graus g) n / 2 = 6 / 2 = 3 diagonais pelo centro. 8) α = 60 graus Cada ângulo interno do heágono é 120 graus, como todos os lados são iguais, descobrimos que os dois ângulos do triângulo à esquerda são 30 cada um. Temos esse mesmo raciocínio para o triângulo debaio. Se um pedaço do ângulo interno é 30 graus, basta fazermos =90 graus. Se o ângulo é 120 graus e temos dividido em três partes e duas delas tem 30 graus cada, então: α = α=120 α = α = o 90 o 120 o 30 o 30 o 30 o 120 o 30 o 90 o 9) C A soma dos três ângulos dos pentágonos mais o ângulo agudo do losango devem somar 360 graus. Ângulo agudo = = = 36 A soma dos ângulos do losango deve ser 360 graus: = = 360 (:2) 36 + = 180 = = 144 graus 108 o 108 o 36 o 36 o 36 o 108 o 360 o o 360 o 324 o = 36 o 10) CPD=72 graus Si = 180(n 2) = 180(5 2) = = 540 graus Ai = 540 / 5 = 108 graus O triângulo ABC é isósceles e como o ângulo B é 108 graus, então A = C, pois A + C = 180, 2A = 180, 2A = , 2A = 72, A = 72 / 2, A = 36 graus. Usamos esse mesmo raciocínio para o triângulo BCD e temos B = D = 36 graus e C = 108 graus. Veja que o segmento CP divide o ângulo de 108 graus em duas partes, como sabemos que a EM3MAT12 28

33 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS parte da direita vale 36, então a parte da esquerda é = 72 graus. Considere o triângulo CPD, onde D = 36, C = 72, então P será: P + C + D = 180 P = 180 P = 180 P = P = 72 graus A B y = 70 o A 35 o 70 o 36 o C o y = 140 o 35 o y = 105 o D o + 35 o 11) C E D 36 o 36 o P 36 o C 108 o B 108 o 36 o 108 o 36 o = 72 o Percebemos que o ângulo de 45 graus é o ângulo eterno do polígono regular, então para sabermos qual é o polígono, devemos fazer: ae = Se/n 45 = 360/n N = 360 / 45 = 40 / 5 = 8 (octógono regular). 12) ae = Se / n = 360 / 10 = 36 Percebemos que a bissetriz eterna de B e a mediatriz formam um triângulo retângulo, então: = = = 90 X = X = 72 graus. 13) = 70 e y = 105 Vamos utilizar a propriedade de o ângulo eterno ser a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. No triângulo ACD, o ângulo eterno C é a soma dos ângulos A e D. Os ângulos A e D são iguais porque os lados AC e CD são iguais. No triângulo ABC, o ângulo eterno A é a soma dos ângulos B e C menos o ângulo de 35 graus, pois perceba que o ângulo A de 180 graus é dividido em três partes. Os ângulos B e C são iguais porque os lados AB e AC são iguais. 14) CDE = 21 graus Colocar a letra E conforme abaio A B B y A D D z Como AB e AC são iguais, os ângulos também serão ambos y. Como AD e AE são iguais, os ângulos também serão ambos. Perceba que no triângulo CDE, o ângulo eterno E, que vale, é igual a soma de z e y: = y + z. Considerando o triângulo ABD, como o ângulo BÂD = 42, a soma dele com o ângulo B é igual ao ângulo eterno D, que é + z: y + 42 = + z 15) C Substituindo = y + z em y + 42 = + z, temos: y + 42 = (y + z) + z y + 42 = y + z + z y y + 42 = 2z 42 = 2z Z = 42 / 2 Z = 21, como z = CDE = 21 graus Como AF = EF, então os ângulos são iguais. Usamos o teorema do ângulo eterno para de- y E E C C 29 EM3MAT12

34 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS terminar que o ângulo F do triângulo DEF, como EF = DE, então os ângulos são iguais. Para determinar o ângulo E do triângulo CDE, usamos o teorema do ângulo eterno novamente, mas devemos nos atentar que o ângulo eterno é 4, mas já temos representado um no triangulo AEF, por isso o ângulo E do triângulo CDE será 3. Como DE = CD, então C = 3 no triângulo CDE. Para determinarmos o ângulo D do triângulo BCD, usamos o teorema do ângulo eterno novamente, mas devemos nos atentar que o ângulo eterno é 6, mas já temos representado um 2 no triangulo DEF, por isso o ângulo D do triângulo BCD será 4. Como CD = BC, então B = 4 no triângulo BCD. C E 3 3 A 2 F Como triângulo ABC é isósceles, então o ângulo B e C são iguais e o ângulo C do triângulo BCD será. Ainda no triângulo ABC, A + B + C = 180, () + (4) + (3 + ) = = 180 X = 180/9 X = ) Como é pedido os valores inteiros, então: 1,2,3,4,5,6 e 7 b c < a < b + c 9 7 < 2+1 < < 2+1 < 16 2 < < 2 1 < 2 D B 1/2 < X > 1/ < 16 2 < < 15 X < 15/2 1/2 < < 15/2 05 < < 7,5 Como é pedido os valores inteiros, então: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 17) C 18) A X 6 8 P Y Z y < 6 < + y z < 8 < + z y z < 10 < z + y 10 y + z + y z < 24 < + y + + z + z + y 2y 2 < 24 < 2 + 2y + 2z y < 12 < + y + Z A soma + y + z deve ser maior que 12. X Como + y + 6 = 17, + y = 11 y < 6 < + y y < 6 < 11 6 Y Números que somam 11: 0 e 11 não pode um lado não pode ser zero, pois 11 0 < 6 < 11, 11 < 6 < 11 1 e 10 - não pode, pois 10 1 < 6 < 11, 9 < 6 < 11 isso é falso. 2 e 9 - não pode, pois 9 2 < 6 < 11, 7 < 6 < 11 isso é falso EM3MAT12 30

35 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 3 e 8- pode, pois 8 3 < 6 < 11, 5 < 6 < 11 isso é verdadeiro 4 e 7 - pode, pois 7 4 < 6 < 11, 3 < 6 < 11 isso é verdadeiro 5 e 6 - pode, pois 6 5 < 6 < 11, 1 < 6 < 11 isso é verdadeiro 3 triângulos! 19) B É o incentro, pois ele é equidistante dos três lados do triângulo. 25) 140 o 26) 160cm Ao retirar os dois quadrados perdem-se 14 cm, mas ao ganhar seis segmentos, cada um medindo 7cm, ganhando 42 cm, logo 42-14=28cm. É o perímetro original, que era = = 160cm. 27) B. 20) 2p = 7 + 3,5 + 3,5 + 3,5 = 17,5 cm 28) E 21) C Aumento = 12 8 = % P 22) 105 o 8P = ) A Como o triangulo CDE é equilátero, então os ângulos são de 60 graus. 8P = 400 P = 400/8 P = 50% A diagonal BD divide o ângulo de 90 na metade. O triângulo BDE: =160 X = X = X = 15 A D o 60 o 60 o E 2p. 4(2) = 8 2p. 4(3) = 12 24) D B C Como o ângulo D tem uma bissetriz, por isso o ângulo é dividido ao meio. Como CD é paralelo a AB, por isso foi marcado o alterno interno e percebemos que os lados são iguais. O perímetro é = = o A 6 E 3 B Aprofundando: 29) POR = 90 graus O y y P X Q Y R y = 65 X + 2y = y = 135 (:3) D 9 C X + y = EM3MAT12

36 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 2( + y) = y = 90 30) 45 graus 2 + 2y = 90 (:2) X + y = 45 C = 135 o y y 0 31) São ângulos internos, logo 3-25=X+15 3-= =40 X=20 graus. 32) = 9 graus Vamos considerar o triângulo, por isso colocamos 35 graus dentro do triângulo por ser oposto pelo vértice. Do lado do ângulo 127 graus é o ângulo suplementar, ou seja, = 53. O terceiro ângulo do triângulo será 180 ( )= = 92 Como o ângulo de 92 graus é oposto pelo vértice do, então = o 53 o 92 o B 35 o 35 o 33) O ângulo 75 graus e A são correspondentes, então A = 75. A e B são alternos internos, B = 75. C e 140 são colaterais, logo C = 180, C = , C = 40 B + C + D = D = D = 180 D = A 34) A D = e a soma (2 + 4) são correspondentes, logo = = 120 X = 120/6 X = 20 B e 4 são colaterais, logo B + 4 = 180 B = 180 B + 80 = 180 B = B = ) = 72 graus o = 72 o 36) α = = 80 a = 72 o a + 80 = 180 a = a = ) E Ao traçar paralelas pelos vértices intermediários, os ângulos desses vértices ficam divididos em duas partes cada um. Há 3 pares de ângulos colaterais internos (suplementares) e portanto = 540. r a b γ δ s EM3MAT12 32

37 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 38) Pentágono = 5 lados a) n 3 = 5 3 = 2 diagonais b) d = n(n 3) / 2 = 5(5 3) / 2 = 5. 2 / 2 = 10 / 2 = 5 diagonais c) Si = 180 (n 2) = 180 (5 2) = = 540 graus d) Se = 360 graus e) ai = Si/n = 540 / 5 = 108 graus f) ae = Se/n = 360/5 = 72 graus g) Nenhuma, pois o polígono tem um número ímpar de lados, então nenhuma passa pelo centro. 39) C 41) f = 18 graus 3 2 c b a a d = 72 o 72 o e f = 360 1/ /2 1/2 36 o 36 o a 108 o 108 o = = = 700 = 720 / o 36 o = 72 o 72 o f = f f = f = 18 o ai = Si/n = 540/5 = 108 graus α = α = 108 α = α = 36 40) ABC = 18 H 42) E ae = Se/n = 360/7 = 51,4 graus 43) D ae = Se/n 20 = 360/n n = 360/20 n = 18 d = n(n 3) / 2 = 18(18 3) / 2 = / 2 = 270 / 2 = 135 diagonais B 108 o A 108 o 144 o = = = 36 = 18 o C 44) B n = n(n 3) / 2 1 = (n 3) / 2 n 3 = 2 n = n = 5 45) d = 2d(2d 3) / 2 1 = 2(2d 3) / 2 2 = 4d 6 33 EM3MAT12

38 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 4d = d = 8 D = 8/4 D = 2 2 = (n 3) / 2 4 = n 3 N = N = 7 X = 35 X + y = y = 50 Y = Y = 15 BOC = 2y = 2.15 = 30 graus 49) = 50 46) Probabilidade = diagonais que passam pelo centro) / (número de diagonais = n / 2 / n(n 3) / 2 = n / 2. 2 / n(n 3) = 1 / (n 3) ) C Usamos o teorema do ângulo eterno: A B E D A + C B + E A + B + C + D + E = ) 30 graus A X 10 2 C 10 o B = 180 o 130 = 50 o 50) D 51) A X + y + 80 = 180 X + y = X + y = o 55 o B 70 o Z 70 o X C 55 o 70 o 55 o Y O 2 + 2y = 100 X + y = = 10 + y y = y = 20 X + y = 50 y = 20 2 = 70 y y Y 2 + z = 180 2y + z = 180 X = y X + y = 100 X = y = z = z = z = 180 Z = Z = 80 A + B + C = B + 80 = B = 180 B = B =20 EM3MAT12 34

39 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS B 20 o 16 < 3 16 / 3 < > 5,3 A E z 80º 80º D 80º y y F z C 3 1 < 43 3 < < 44 X < 44 / 3 X < 14,6 5,3 < < 14,6 Números inteiros: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 52) D 90 α 90 α 40º α α β = = α + β 53) PM + PN + PS = K C M S K3 3 K3 3 A P K3 3 K3 K3 3 K3 + K3 + K3 = K ) < 3 1< < 3 1 < < < 3 3 N K3 3 β B 55) A ) D < < < < < < < < 22 A B 12 8 < < < < o o = 180 o 2 = o 2 = 150 o = 75 o 60 o 2 60 o 4 E < < 18 Números inteiros 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17. D C 35 EM3MAT12

40 GEOMETRIA PLANA: POLÍGONOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 57) DPB = 45 graus D C 15 o 58) BAD = 150 graus A B = 15 o = 15 o = = = 30 = 15 59) ADE = 10 graus E B 10 o 63 o 40 o A A B I o 60 o 150 o o = 150 o 140 o C D 10 o 15 o P 60 o 60 o 360 ( ) = 160 o 40 o 60) D A altura da grade é igual ao comprimento de tubos, portanto haverá ( + 1) fileiras horizontais de tubos =. (y + 1) A largura equivale ao comprimento de y tubos, portanto haverá (y + 1) fileiras verticais de tubos = y ( + 1) Total de tubos. (y+1) + y (+1) y + + y + y 2y + + y Desafiando: 61) Considerando AOB = 2 e BOC = 2y Ângulos da bissetriz OM valem e e para ON valem : y e y OZ bissetriz de MON, ângulos formados valem: ( + y) / 2 OT bissetriz de AOC, ângulos formados valem: +y C A BOZ = ( + y) /2 = (y ) /2 ZOT = ( + y) /2 = (y ) /2 BOT = (y ) /2 + (y ) /2 = (y ) Como a diferença dos ângulos BOC e AOB vale 24 o 2y 2 = 24 o y = 12 o BOZ = 6 o ZOT= 6 o BOT= 12 o 62) AQC = 50 graus A 80 o B 2y 80 + y + y Q y + y = y = y = 100 ( 2) + y = 50 Logo AQC = + y = 50 o 63) Ângulo de 45 graus b a B b 2 b B tg a = h B b + b 2 = Tga = 1 a = 45 o y h h y y C z B b + 2b 2 M Teorema do ângulo eterno Teorema do ângulo eterno P B + b = 2 B + b 2 = 1 EM3MAT12 36

41 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 3º ANO 2016 / 2017 MATEMÁTICA I 1 o BIMESTRE EM3MAT01: Estatística: trabalhando conjuntos e estruturando o processo estatístico Reconhecer a necessidade de organizar informações em conjuntos; Assimilar técnicas, notações e operações de conjuntos; Representar e interpretar dados agrupados em tabelas e gráficos; Compreender os conceitos básicos da formação do processo estatístico; Calcular medidas estatísticas de tendência central e dispersão. EM3MAT02: Matemática Financeira: conceitos e aplicações Compreender o significado da representação de uma porcentagem; Calcular porcentagens e aprender a utilizar fatores de atualização; Diferenciar porcentagens em relação a bases diferentes de valores; Aprender os conceitos e diferenças entre juros simples e compostos; Identificar e calcular o valor do dinheiro no tempo através dos juros. EM3MAT03: Funções: conceitos e funções do 1 o grau Estabelecer o conceito de produto cartesiano, e as definições de domínio, contradomínio e imagem; Representar produtos cartesianos no plano cartesiano; Identificar relações e funções a partir de produtos cartesianos; Conceituar e resolver funções compostas e inversas; Reconhecer e aplicar funções de 1 o grau, algébrica e graficamente. 2 o BIMESTRE EM3MAT04: Funções: funções do 2 o grau e suas aplicações Identificar uma função do 2 o grau, compreendendo sua importância e aplicações; Calcular e analisar seus principais parâmetros e interseções com os eios cartesianos; Determinar raízes e realizar estudos de sinal; Resolver problemas de maimização e minimização de funções quadráticas; Determinar conjuntos-solução de inequações produto e quociente. 1

42 EM3MAT05: Funções: eponenciais e logarítmicas Revisar conceitos de potenciação; Entender a representação algébrica e gráfica de uma função eponencial; Compreender a formação do logaritmo e sua relação com a potenciação; Perceber o processo de estruturação de uma função logarítmica, baseada na eponencial; Representar e resolver equações, inequações e funções eponenciais e logarítmicas. EM3MAT06: Análise Combinatória: calculando possibilidades Assimilar a importância do processo de tomada de decisões e princípios multiplicativos; Apresentar a operação fatorial e o seu funcionamento; Introduzir o Princípio Fundamental da Contagem como base para a Análise Combinatória; Estabelecer os conceitos de permutação, arranjo e combinação, bem como suas restrições; Aplicar as ferramentas desenvolvidas em problemas contetualizados e atuais. 3 o BIMESTRE EM3MAT07: Probabilidades: cálculos e interpretações Estruturar as noções de Espaço Amostral, Evento e Probabilidade; Resolver problemas iniciais de probabilidade; Reconhecer a dependência ou independência de eventos; Perceber como elas afetam o cálculo de probabilidades condicionais; Utilizar conectivos e e ou para tratar de probabilidades com mais de um evento. EM3MAT08: Sequências: progressões aritméticas e geométricas Reconhecer padrões na formação de sequências numéricas; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Aritmética; Definir conceitos, propriedades e relações de uma Progressão Geométrica; Assimilar as recorrentes formas de diferenciar uma PA de uma PG; Resolver problemas de sequências numéricas aplicando tais conceitos. 4 o BIMESTRE EM3MAT09: Matrizes: organizando números e dados em matrizes Compreender o significado de uma matriz; Assimilar as diversas propriedades associadas às matrizes; Realizar operações envolvendo matrizes; Calcular determinantes de matrizes quadradas; Utilizar conceitos de matrizes para determinar conjuntos-solução de sistemas lineares. 2

43 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 EM3MAT10: Lógica e problemas de raciocínio Elaborar um modelo que estruture o raciocínio de forma lógica, através de proposições; Utilizar conectivos para encadear proposições; Estabelecer a tabela-verdade para analisar a lógica matemática; Conhecer e aplicar conceitos de negação, equivalência e a estrutura condicional; Resolver problemas de lógica matemática e questões de raciocínio matemático simples. MATEMÁTICA II 1 o BIMESTRE EM3MAT11: Razões e proporções: proporcionalidade, grandezas e medidas Reconhecer a necessidade de organizar informações em conjuntos; Assimilar técnicas, notações e operações de conjuntos; Representar e interpretar dados agrupados em tabelas e gráficos; Compreender os conceitos básicos da formação do processo estatístico; Calcular medidas estatísticas de tendência central e dispersão. EM3MAT12: Geometria Plana: polígonos, triângulos e quadriláteros Definir elementos e propriedades básicas da geometria plana; Conceituar polígono, seus principais eemplos e relações; Estabelecer as principais classificações e propriedades dos triângulos; Apresentar e identificar os principais segmentos e pontos notáveis de um triângulo; Estabelecer as principais classificações e propriedades dos quadriláteros. 2 o BIMESTRE EM3MAT13: Geometria Plana: semelhanças, relações métricas no triângulo e circunferências Relacionar segmentos proporcionais e estabelecer critérios para semelhança de triângulos; Construir relações métricas entre os principais segmentos de um triângulo retângulo; Utilizar o Teorema de Pitágoras em aplicações diretas da geometria; Deduziras leis do seno e do cosseno, válidas para qualquer triângulo; Compreender o significado geométrico de uma circunferência, seus elementos e propriedades métricas e angulares. EM3MAT14: Geometria Plana: áreas e relações entre circunferências e polígonos Determinar mecanismos para o cálculo das áreas dos principais polígonos; Calcular área do círculo e suas possíveis divisões; Corresponder áreas de figuras geométricas semelhantes, a partir da proporção entre suas medidas; Compreender o conceito de apótema de um polígono regular; Relacionar lados e apótemas de polígonos regulares com circunferências inscritas e circunscritas. 3

44 3 o BIMESTRE EM3MAT15: Geometria Espacial: poliedros, prismas e cilindros Introduzir os conceitos de geometria espacial a partir da utilização de uma superfície poliédrica convea; Relacionar os principais elementosde um poliedro, bem como o conjunto de poliedros regulares notáveis; Definir o que é um prisma, mostrando seus principais elementos, planificações, e deduzindo os cálculos de áreas e volume; Definir o que é um cilindro, apresentando seus principais elementos, planificações, e os cálculos de áreas e volume; Construir cilindros a partir da revolução de figuras planas. EM3MAT16: Geometria Espacial: pirâmides, cones e esferas Apresentar os conceitos básicos de pirâmides, cones e esferas, com suas referidas planificações; Relacionar seus principais elementos, epandindo a percepção geométrica dos sólidos; Estabelecer fórmulas de áreas e volumes para esses sólidos, bem como relacionar sólidos semelhantes; Construir cones e esferas a partir da rotação de figuras geométricas planas; Realizar cortes em pirâmides e cones e apresentar as principais noções de troncos. 4 o BIMESTRE EM3MAT17: Trigonometria: conceitos, círculo trigonométrico e funções Estabelecer diferentes medidas de ângulos, e a relação entre elas; Compreender os conceitos iniciais de trigonometria a partir de triângulos retângulos; Conhecer o círculo trigonométrico e suas principais propriedades; Utilizar o círculo trigonométrico para deduzir valores trigonométricos para diversos grupos de ângulos notáveis e relações trigonométricas fundamentais; Analisar algébrica e graficamente equações, inequações e funções trigonométricas. 4

45 5 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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47 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO ENSINO MÉDIO 2017/2018 O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2017/2018 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora. Além de conter um projeto pedagógico de vanguarda, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a aprendizagem. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas com foco artístico e acadêmico. Veja algumas páginas: 1

48 Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso dialoga com sites e aplicativos, e vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br. Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas: Fundamento 01: Apresentar um conteúdo com ementa e nível de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento. Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs e conteúdo programático do eame nacional do Ensino Médio (ENEM). Eistem duas linhas de material. O pacote Otimizado aborda todo o conteúdo dividido em três anos, enquanto o Padrão encerra todo o conteúdo nos dois primeiros anos, e o terceiro ano funciona como um pré-vestibular abordando toda a ementa do ENEM e dos principais vestibulares do Brasil. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo). Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem com o objetivo em mente, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos. Como funciona na prática? Logo na capa do caderno, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria lecionada e os eercícios realizados. Na capa do caderno de Hidrostática, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deia claro que visa ensinar, para compreensão dos alunos, compreender os conceitos de pressão, massa específica e densidade de um corpo, assim como o teorema de Stevin, de Arquimedes e o princípio de Pascal. 2

49 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Fundamento 03: Transcender o conteúdo tradicional, a partir do diálogo entre este e outros saberes, não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação. Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Médio é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Economia, Noções de Nutrição, Geopolítica e Meio Ambiente são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto 4newsmagazine.com.br. Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é eposto pela bandeira interdisciplinar 4NEWS MAGAZINE. Esta é uma revista de atualidades que possui uma linguagem própria da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Com isso, terão a oportunidade de ler, entender e debater temas importantes do Brasil e do mundo de uma forma mais interessante para a faia etária que se encontram. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente dialoga com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento com as quais alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer coneões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os discentes a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaio, como a notícia sobre a influência da igreja católica na geopolítica mundial foi utilizada para dialogar com o caderno de História do 3º ano Formação do Brasil colonial, enriquecendo ainda mais o conhecimento cultural do aluno. 3

50 Fundamento 04: Sugerir contetos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado mais prático e concreto para o aluno. Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no conteudismo puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contetualizações para o início do conteúdo, além de outras eemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria. Como funciona na prática? Na segunda página de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como gancho para iniciar a sua aula de forma contetualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o teto abaio (à esquerda) propõe uma refleão sobre o porquê alguns corpos flutuam e outros não. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da eposição, considerando que se pretende eplicar o conceito de hidrostática, ou seja, ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático. No outro eemplo (à direita), o autor inseriu uma imagem para criticar a concentração fundiária no Brasil. 4

51 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem. Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno, na primeira impressão, para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o teto conversa com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado. Como funciona na prática? Os tetos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproimação do educando, como se o autor estivesse conversando com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão, e os professores podem usar isso em eercícios como: reescreva determinado teto com suas palavras, deiando claro o que você entendeu. Nos tetos tradicionais, normalmente, os alunos têm dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os tetos abaio como são convidativos. 5

52 Fundamento 06: Articular conteúdo e eercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos. Descrição: Há três seções de eercícios tradicionais. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando (somente na versão Padrão) são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Eistem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br. Como funciona na prática? Os eercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 praticando 1 teoria 2 praticando 2... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados para casa para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos etras em atividades a parte. Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links para sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e refleão. Descrição: O material possui também atividades não ortodoas. As questões tradicionais são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe eercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, refleões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajudá-los nas pesquisas e refleões sugeridas pela atividade. Para o terceiro ano, não há a sugestão da atividade Pesquisando, mas uma seção denominada Competências e Habilidades onde são informadas e trabalhadas as cento e vinte habilidades da matriz de referência do ENEM. 6

53 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017 Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de eercícios fora da caiinha, isto é, aqueles que eigem pesquisas e/ou refleões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Eemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses eercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses eercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os eercícios tradicionais; 3) O aluno poderia eercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação. A seção Competências e Habilidades, presente no material do terceiro ano, informa qual(is) habilidade(s) está(ão) relacionada(s) àquele conteúdo, qualificando o educando nesse conteúdo. Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo. Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentada uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária. 7