EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA

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1 EQUAÇÃO DIERECIAL ORDIÁRIA PROBLEMA DE VALOR IICIAL d ond. nal : a Geralmente a varável representa o tempo e a eqação derenal representa a le da natreza qe desreve a taa de varação de ma grandeza Eemplo: A taa de resmento de ma poplação é proporonal à poplação: d dt : nmero de abtantes É omm ma stação ser desrto por m sstema de eqações derenas d s s Em notação vetoral: d a Eqações derenas de ordem speror podem ser esrtas omo m sstema de eqações derenas de prmera ordem d g d d ond. nas : d d d d d g

2 MÉODO DE EULER Método de Passo a Passo Eplíto: O valor da nção no nstante + é allado somente em nção do valor da nção no nstante ambém onedo omo Método da angente Solção nméra: A nção não será obtda para todos os valores de Denr pontos onde a nção será allada: Mala Sére de alor de em : Eemplo: Resolver : d ; Solção eata: e Método de Eler: =. Erro =. Erro A solção apresenta erros. Aparentemente o erro é proporonal ao passo

3 Dos tpos de Erros: Erro de rnamento Dsretzação Erro de Arredondamento Erro de rnamento Dsretzação E Erro qe srge devdo à apromação da rva por ma reta no ntervalo Propagação do erro: Solção nméra tende a apromar a solção eata qe passa por amíla de rvas Erro pode ser deresdo dmnndo-se o passo Amento do número de ntervalos leva a m amento do número de állos neessáros e onseqentemente m amento do tempo omptaonal e dos erros de arredondamento Erro otal Arredondamento rnamento n Este m tamano de passo ótmo para prodzr o erro mínmo

4 Análse do Erro de rnamento para o Método de Eler ERRO GLOBAL E ERRO LOCAL: Derença entre o valor e o valor da solção eata qe passa pelo ponto - - Erro global Erro loal Deseja-se obter ma estmatva do erro e saber se o erro rese o não Se d AMÍLIA DE CURVAS DIGERVE Se AMÍLIA DE CURVAS DIGERVE ERRO AUMEA EXPOECIALMEE ERRO LOCAL COMPESA ERRO DA DISCREIZAÇÃO

5 SE O ERRO LOCAL EM ODOS OS POOS OR MEOR DO QUE O ERRO GLOBAL SAISAZ A SEGUIE CODIÇÃO: n n e e Ln L ; onde L ma n Se L or peqeno : n n e Ln L Erro pode reser eponenalmente se L > Erro pode ar em ma aa aetável se or mto peqeno Análse do Establdade ESÁVEL: Prodz solção lmtada ISÁVEL: Prodz solção qe tente ao nnto O Método de Eler é ondonalmente estável Eemplo: d Solção eata: e Solção pelo método de Eler: Observe qe por sere de alor: n n n n e A solção pelo método de Eler prodz os dos prmeros termos da sere de alor n

6 Para Para : Eata =. =. =. Solção eata dea om Metodo de Eler: -. = = =... X Eata Y Y Y Solção apromada pode reser om se Para < o Método de Eler só é estável para Mrosot Eel Worseet Resolver o problema Comparar a solção eata om a obtda pelo método de Eler om Metodo de Eler: =. =.5 =.5 e = Mrosot Eel Worseet eata =. =.5 =.5 -. =. =.5 =

7 MÉODO DE EULER DE ORDEM ELEVADA Onde d d d Eata : Sol. : Resolver e d Usar método de Eler de segnda ordem om =. MÉODO DE RUGE-UA Método de Passo a Passo Eplíto: O valor da nção no nstante + é allado somente em nção do valor da nção no nstante O oeente qe mltpla o passo no állo da nção no nstante + é allado de orma qe a epansão onda om o desenvolvmento em sére de alor até os termos de ordem ordem do método Dervação para Rnge-tta de segnda ordem: Apro. ordem: Sere de alor.. a d d

8 As onstantes são determnadas de tal orma qe as epressões anterores ondam Por sére de alor: A solção apromada a: Comparando om e ; ; ; RUGE UA DE QUARA ORDEM 6 6 Método de Rnge-tta mas tlzado Boa ombnação entre presão e smpldade de programação

9 Resolver o problema Rnge - tta qarta ordem Metodo de Rnge-tta ordem: =.5 - appro Rnge - tta qarta ordem.5 Metodo de Rnge-tta ordem: =.5 R EULER Eata R Eler

10 Eerío Esreva ma rotna MatLab para solção de m problema de valor nal sando os métodos de Eler eplíto de prmera ordem e Rnge-tta de qarta ordem. Utlze a rotna desenvolvda para resolver o problema: Determne o valor de para derentes passos de tempo.

11 RUGE UA PARA SISEMA DE EDOS 6 ; ; g z g z g z z B z z G dz A z d 6 g z G g g z G g g z G g z G g g g g g z z

12 Eerío As eqações de Lota-Volterra desrevem a evolção da poplação de m sstema predador-presa onde e são os números de presas e predadores a é a taa de resmento da presa é a taa de morte do predador e b e d são taas araterzando o eeto da nteração predador-presa na morte da presa e no resmento do predador respetvamente. a b dt d dt a Determne a evolção da poplação no ntervalo < t < tlzando o método de R-ª ordem. Compare os resltados em termos do valor de passo de tempo neessáro para obter a solção do problema. Utlze os segntes dados: a b 6 8 d t t b Constra o gráo da poplação da presa em nção da poplação do predador. Comente o resltado obtdo. t t O qe aontee qando?

13 MÉODOS IMPLÍCIOS os métodos vstos até agora o valor da nção no nstante + é allado somente em nção de normações no nstante. Como vsto anterormente os métodos eplítos somente são estáves omo o tamano do passo mto peqeno. Sére de alor para trás ao redor de + : Lado dreto da eqação não é onedo!! MÉODO DE EULER IMPLÍCIO

14 Resolver o problema Metodo de Eler Implto Em asos smples a eqação pode ser almente rearrmada para determnar a nção no passo + Se or ma nção não lnear a nção no passo + será allada através da solção de ma eqação não lnear pelo Método de ewton por eemplo. -. =.5 EXP =.5 IMP Eata Eler Eplto Eler Implto O método de Eler Implíto é nondonalmente estável Resolver o problema O valor de + não pode ser epltada em nção de Para ada passo deve-se determnar a raz da eqação não lnear a b ; a b onedos Cállo pelo Método de ewton por eemplo a j j Enqanto repetr j j j j m_eqanto j b j j

15 MÉODO IMPLÍCIO DE SEGUDA ORDEM MÉODO DO RAPÉZIO eorema do Valor Médo: omar qe tal Método de segnda ordem erro dea om Método Estável Mesmas dldades do Método de Prmera Ordem Eler Eerío Esreva ma rotna SLab para solção de m problema de valor nal sando o método de Eler mplíto de prmera ordem. Utlze a rotna desenvolvda para resolver o problema: Determne o valor de para derentes passos de tempo.

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17 MÉODOS PREDIOR-CORREOR a resolção de ma eqação derenal deve-se dedr entre o so de m método eplíto mas ál e não estável e o so de m método mplíto mas díl porém estáves. Qando a eqação derenal é não lnear deve-se sar ténas teratvas para resolver a eqação não lnear resltante em ado passo. Para o Método de ewton o te nal deve ser bom para o proesso onvergr em poas terações. Uma opção é sar m método eplíto para obter o te nal do proesso teratvo Predtor e m método mplíto para obter a solção Corretor. Método de Hen: Predtor: Eler e Corretor: rapézo * * Cte Inal: MÉODOS DE MÚLIPLOS PASSOS os métodos vstos até agora o valor + depende somente de normações no nstante anteror no nstante presente +. Métodos de Múltplos Passos: Usar normações em város pontos anterores para obter maor presão. Passo Úno: O d Dos Passos: O d 6 6 O MÉODO LEAPROG

18 Idéa geral dos Métodos de Múltplos Passos: Usar normações em város pontos anterores a para desrever omo a nção se omporta entre e +. p p é m polnômo nterpolador de gra qe aproma e passa pelo onjndo de dados Para = : método de passo úno p Método de Eler Para = : método de Dos Passos Método de Adams-Basort de a ordem p é m polnômo lnear qe nterpola e p p Para = : método de rês Passos Método de Adams-Basort a ordem p é m polnômo qadráto qe nterpola e 5 6

19 Métodos de Adams-Basort são Métodos Eplítos Pode-se ormar os polnômos nterpoladores tlzando-se pontos para rente. Métodos Implítos Stação mas omm é ormar m polnômo de ordem om os pontos Para = : método de passo úno Método de Adams-Molton de ordem Regra do rapézo Para = : Método de Adams-Molton de a ordem SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES RÍGIDAS SI EQUAÇÕES ISÁVEIS Solção eata: e.... Solção eata: e e 8 6 Mrosot Eel Worseet

20 O problema é nstável. Peqenas alterações na ondção nal podem prodzr grandes alterações na solção do problema para grande. Esses problemas são amados de mal ondonados. A solção nméra é etremamente díl pos erros de arredondamento e da dsretzação podem asar o mesmo eeto qe a peqena mdança na ondção nal do problema e a solção tenderá a dvergr para o nnto. Estes problemas reqerem método nméros estáves om passos bem menores do qe o sal. As nstabldades são mas pronnadas em problemas não-lneares. Eemplo:.. Solção eata: Este problema é nstável. A solção para ondção nal é: e.5 Mrosot Eel Worseet

21 MÉODOS ESÁVEIS E ISÁVEIS Problema : Solção eata: e Este problema é estável pos a solção não mda mto alterando-se a.. Se e Aplando-se o método de Leaprog segnda ordem dos passos eplíto: ; e qando Método mplítos são estáves e portanto devem ser sados para problemas st Resolver o problema: sn ; Solção eata: sn.os.e. Solção por Rnge-tta: Metodo de Rnge-tta de qarta ordem: =. =. X Y Yeato

22 M etodo de Rnge-tta de qarta o =. = X Y Yeato =$E$ =SIA7-.*COSA7+.* =A7+$B$ =*SIA7-7 =*SIA7+$B$/-7+$B$/*B8 =*SIA7+$B$/-7+$B$/*C8 =*SIA7+$B$-7+$B$*D8 =7+$B$/6*B8+*C8+*D8+E8 =SIA8-.*COSA8+.* =A8+$B$ =*SIA8-8 =*SIA8+$B$/-8+$B$/*B9 =*SIA8+$B$/-8+$B$/*C9 =*SIA8+$B$-8+$B$*D9 =8+$B$/6*B9+*C9+*D9+E9 =SIA9-.*COSA9+.* =A9+$B$ =*SIA9-9 =*SIA9+$B$/-9+$B$/*B =*SIA9+$B$/-9+$B$/*C =*SIA9+$B$-9+$B$*D =9+$B$/6*B+*C+*D+E =SIA-.*COSA+. =A+$B$ =*SIA- =*SIA+$B$/-+$B$/*B=*SIA+$B$/-+$B$/*C=*SIA+$B$-+$B$*D =+$B$/6*B+*C+*D+E =SIA-.*COSA+. =A+$B$ =*SIA- =*SIA+$B$/-+$B$/*B=*SIA+$B$/-+$B$/*C=*SIA+$B$-+$B$*D =+$B$/6*B+*C+*D+E =SIA-.*COSA+. =A+$B$ =*SIA- =*SIA+$B$/-+$B$/*B=*SIA+$B$/-+$B$/*C=*SIA+$B$-+$B$*D =+$B$/6*B+*C+*D+E =SIA-.*COSA+. =A+$B$ =*SIA- =*SIA+$B$/-+$B$/*B=*SIA+$B$/-+$B$/*C=*SIA+$B$-+$B$*D =+$B$/6*B+*C+*D+E =SIA-.*COSA+. =A+$B$ =*SIA- =*SIA+$B$/-+$B$/*B5=*SIA+$B$/-+$B$/*C5=*SIA+$B$-+$B$*D5 =+$B$/6*B5+*C5+*D5+E5 =SIA5-.*COSA5+. =A5+$B$ =*SIA5-5 =*SIA5+$B$/-5+$B$/*B6=*SIA5+$B$/-5+$B$/*C6=*SIA5+$B$-5+$B$*D6 =5+$B$/6*B6+*C6+*D6+E6 =SIA6-.*COSA6+. =A6+$B$ =*SIA6-6 =*SIA6+$B$/-6+$B$/*B7=*SIA6+$B$/-6+$B$/*C7=*SIA6+$B$-6+$B$*D7 =6+$B$/6*B7+*C7+*D7+E7 =SIA7-.*COSA7+. O método só é estável para passos mto peqenos <. Solção por rapézo: sn sn sn sn Mrosot Eel Worseet Metodo do rapezo =.5 X Y =$E$ =A7+$B$ =B7*-*$B$/+$B$/**SIA7+SIA8/+$B$/* =A8+$B$ =B8*-*$B$/+$B$/**SIA8+SIA9/+$B$/* =A9+$B$ =B9*-*$B$/+$B$/**SIA9+SIA/+$B$/* =A+$B$ =B*-*$B$/+$B$/**SIA+SIA/+$B$/* =A+$B$ =B*-*$B$/+$B$/**SIA+SIA/+$B$/* =A+$B$ =B*-*$B$/+$B$/**SIA+SIA/+$B$/* =A+$B$ =B*-*$B$/+$B$/**SIA+SIA/+$B$/* =A+$B$ =B*-*$B$/+$B$/**SIA+SIA5/+$B$/* =A5+$B$ =B5*-*$B$/+$B$/**SIA5+SIA6/+$B$/* =A6+$B$ =B6*-*$B$/+$B$/**SIA6+SIA7/+$B$/* Metodo do rapezo =.5 =. X Y Yeato Mrosot Eel Worseet

23 PROBLEMA DE VALOR DE COORO d ond. ont.: A ; B MÉODO DE IRO SHOOIG MEHOD Baseado nos Problemas de Valor Inal. Estma-se a dervada em = : Utlzando-se os métodos de valor nal determna-se a solção em =. Vera-se se o valor obtdo em = é gal a B. Repetr até onvergr. B A Problema Lnear Usar o Prnípo da Sperposção. e : nções qe satsazem a eq. Derenal e a ond. de ontorno em =. A Se satsaz a eq. Derenal A B é solção do problema se: B B e

24 Problema ão-lnear O Prnípo da Sperposção não pode ser sado. Cada valor de orresponde m valor de. g Utlzar métodos teratvos para determnar o valor de qe ornee a ondção de ontorno orreta em = sto é determnar a raz da eqação: g B Por eemplo: Método da Seante: Cte Cte g B g B g B g g O Problema de Valor Inal pode ser mal-ondonado mesmo qe o Problema de Valor de Contorno seja bem-ondonado. MÉODO DE DIEREÇAS IIAS A eqação derenal é transormada em m onjnto de eqações algébras A nção desoneda é allada apenas em pontos ÓS Dervadas são apromadas por derença dos valores nodas A eqação apromada é esrta em ada ponto nodal gerando eqações Eemplo: d Y L Y L d ; L Obter.

25 Problema Lnear = = = + - Apromação das dervadas por so de sére de alor trnada: A B Derentes apromações para prmera dervada: DIEREÇA PARA REE DIEREÇA PARA RÁS DIEREÇA CERAL A B A B Apromação para segnda dervada Deve-se elmnar o termo de a ordem: DIEREÇA CERAL A B Interpretação geométra d d d d d d d e - e + d

26 EXEMPLO: Condção de alor em ma barra om onveção natral A B L Eqação derenal qe desreve a varação da temperatra na barra. B A L A P d = = = + - Inógntas do problema: o ponto : A P A P A P A P d Para se obter as eqações neessáras para determnar as nógntas a apromação deve ser satseta em todos os nós:.... B A A P A P A P A P

27 B A A P A P A P A P A P O sstema pode ser esrto em orma matral omo: Eemplo: Desenvolver o problema se os nós não são normemente dstrbdos. = = = + - L L d d e A EXEMPLO: Condção de ontorno na dervada da nção A L o ponto : d

28 Para se obter as eqações neessáras para determnar as nógntas a apromação deve ser satseta em todos os nós: e e e A.. e A e O sstema pode ser esrto em orma matral omo:

29 Eerío Esreva ma rotna SLab para solção de m problema de valor de ontorno pelo método de derenças ntas derença entral. Utlze a rotna desenvolvda para resolver o problema: L = 5 m

30 Problema ão-lnear EXEMPLO: Problema de Conveção e Dsão VA VB Eqação derenal qe desreve a velodade em ada ponto. L d d VA L V B = = = + - Inógntas do problema:

31 Apromação por derença entral: d d o ponto : A B A d d Para se obter as eqações neessáras para determnar as nógntas a apromação deve ser satseta em todos os nós:.... B A V V B A V A B A A B A nção de e Os oeentes da matrz dependem da solção do problema. Sstema de eqações ão-lnear

32 Solção de Sstema de Eqações ão-lnear Método de Pard:. Cte nal;. Callar oeentes da matrz sando o valor atal das nógntas; A A. Resolver o sstema de eqações e determnar o novo valor das nógntas; A Comparar solção atal om anteror; Se não overg voltar para. Convergêna Rm Método de ewton: Generalzação do Método de ewton para eqação não-lnear PROCEDIMEO IERAIVO Cte nal : Wle do Raz :

33 Sstema a ser resolvdo: Epansão por sére de alor até termos de prmera ordem de ada eqação: J J Sstema em orma matral Matr Jaobana j j J

34 PROCEDIMEO IERAIVO Raz : do Wle : Cte nal J Solção de m sstema lnear Convergêna Qadráta Voltando ao Problema ão-lnear: B A V L V d d B A V V Sstema de eqações algébras não-lnear resltante: Solção pelo Método de ewton

35 Cállo da matrz Jaobana: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 Eerío

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