THIAGO RODRIGO ALVES. Polinômios dominados entre espaços de Banach

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1 THIAGO RODRIGO ALVES Polinôios doinados entre espaços de Banach UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 2011 i

2 THIAGO RODRIGO ALVES Polinôios doinados entre espaços de Banach Dissertação apresentada ao Prograa de Pós-Graduação e Mateática da Universidade Federal de Uberlândia, coo parte dos requisitos para obtenção do título de MESTRE EM MATEMÁTICA. Área de Concentração: Mateática. Linha de Pesquisa: Análise Funcional. Orientador: Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho. UBERLÂNDIA - MG 2011 ii

3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistea de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil A474p Alves, Thiago Rodrigo, Polinôios doinados entre espaços de Banach / Thiago Rodrigo Alves f. : il. Orientador: Geraldo Márcio de Azevedo Botelho. Dissertação (estrado) Universidade Federal de Uberlândia, Prograa de Pós-Graduação e Mateática. Inclui bibliografia. 1. Polinôios - Teses. I. Botelho, Geraldo Márcio de Azevedo. II. Universidade Federal de Uberlândia. Prograa de Pós-Graduação e Mateática. III. Título. CDU: iii.

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5 Agradecientos Aos eus pais, que sepre estivera do eu lado. A eles dedico este trabalho. Ao professor Geraldo Botelho, pela paciência e disponibilidade na orientação deste trabalho. Aos professores Daniel Marinho Pellegrino e Ariosvaldo Marques Jatobá, pelas correções e sugestões. Aos professores do Prograa de Pós-Graduação e Mateática da UFU. Ao professor Paulo Roberto Bergaaschi da UFG/CaC. Aos aigos de graduação: Juscelino, Leonardo e Rafael Faria. Aos copanheiros de república: Iego, Keina e Fabiano. Aos colegas de estrado: Carlos, Daniela, Flávio, Karla, Lyliane e Túlio. À FAPEMIG pelo apoio financeiro. A Deus, por colocar as pessoas supraencionadas e inha vida. v

6 ALVES, T. R. Polinôios doinados entre espaços de Banach p. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG. Resuo O principal objetivo desta dissertação é estudar teoreas de doinação e de fatoração para polinôios hoogêneos doinados entre espaços de Banach. Para isso prieiro estuda-se os polinôios hoogêneos contínuos entre espaços de Banach, exibindo várias propriedades e exeplos. Posteriorente, volta-se o estudo para os polinôios hoogêneos absolutaente soantes e, e particular, para os polinôios hoogêneos doinados. Nesse estudo, entre outras coisas é deonstrado o teorea da doinação de Pietsch e exibido u exeplo de polinôio hoogêneo doinado que não é fracaente copacto. E seguida, prova-se que a validade da extensão natural do teorea da fatoração de Pietsch para polinôios doinados iplicaria que polinôios doinados sepre seria fracaente copactos; o que aniquila co a possibilidade da validade de tal extensão. Por fi é deonstrado o teorea de fatoração que diz que u polinôio hoogêneo P é p-doinado se e soente se P = Q u onde Q é u polinôio hoogêneo contínuo e u é u operador linear absolutaente p-soante. Palavras-chave: polinôios hoogêneos, polinôios p-doinados, polinôios fracaente copactos, teorea de doinação, teorea de fatoração. vi

7 ALVES, T. R. Doinated polynoials between Banach spaces p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia, Uberlândia-MG. Abstract The ain goal of this dissertation is the study of doination and factorization theores for doinated hoogeneous polynoials between Banach spaces. To accoplish this task continuous hoogeneous polynoials between Banach spaces are studied first, including ain properties and exaples. Next we turn our attention to the study of absolutely suing hoogeneous polynoials and, in particular, doinated hoogeneous polynoials. Aong other things, the Pietsch doination theore is proved and an exaple of a non-weakly copact doinated polynoial is provided. The next step is the proof that the validity of the natural extension of Pietsch s factorization theore to doinated polynoials would iply that every doinated polynoial is weakly copact; a fact that shows that there is no such natural extension. At last the following factorization theore is proved: a hoogeneous polynoial P is p-doinated if and only if P = Q u where Q is a continuous hoogeneous polynoial and u is an absolutely p-suing linear operator. Keywords: hoogeneous polynoials, p-doinated polynoials, weakly copact polynoials, doination theore, factorization theore. vii

8 LISTA DE SÍMBOLOS N {1, 2,...} R conjunto dos núeros reais C conjunto dos núeros coplexos K R ou C V 1,..., V, V, W, U espaços vetoriais sobre o corpo K E 1,..., E, E e F espaços vetoriais norados ou espaços de Banach sobre o corpo K e j (0,..., 0, (j) 1, 0,...) I(A) iage da aplicação A ker(u) núcleo do operador linear u L(E 1,..., E ; F ) espaço vetorial sobre K das aplicações ultilineares de E 1... E e F E dual topológico do espaço vetorial norado E B E [x 0 ; r] bola fechada do espaço norado E co centro e x 0 e raio r B E B E [0; 1] L(E 1,..., E ; F ) espaço vetorial sobre K das aplicações ultilineares contínuas de E 1... E e F (L(E 1,..., E ; F ),. ) espaço vetorial sobre K das aplicações ultilineares contínuas de E 1... E e F unido co a nora usual do sup L( E; F ) L(E, ()..., E; F ) L( E; F ) L(E, ()..., E; F ) L s ( E; F ) subespaço vetorial de L( E; F ) das aplicações ultilineares siétricas L s ( E; F ) subespaço vetorial de L( E; F ) das aplicações ultilineares siétricas P ( E; F ) espaço vetorial sobre K dos polinôios -hoogêneos que aplica E e F P( E; F ) espaço vetorial sobre K dos polinôios -hoogêneos contínuos que aplica E e F viii

9 (P( E; F ),. ) espaço vetorial sobre K dos polinôios -hoogêneos contínuos que aplica E e F unido co a nora usual do sup (L s ( E; F ),. ) subespaço vetorial norado de (L( E; F ),. ) das aplicações ultilineares siétricas span{b 1,..., b p } espaço vetorial sobre K gerado pelos vetores b 1,..., b p (l p,. p ) {(λ n ) n=1 : λ n K para todo n N e n=1 λ n p < } onde (λ n ) n=1 p = ( n=1 λ n p ) 1/p (l,. ) {(λ n ) n=1 : λ n K para todo n N e (λ n ) n=1 é liitado} onde (λ n ) n=1 = sup{ λ j : j N} l p (E) espaço vetorial sobre K das sequências (x n ) n=1 cujos teros pertence ao espaço de Banach E e ( x n ) n=1 l p l w p (E) espaço vetorial sobre K das sequências (x n ) n=1 cujos teros pertence ao espaço de Banach E e ( ϕ(x n ) ) n=1 l p sepre que { ϕ E (x n ) n=1 w,p sup ( } n=1 ϕ(x n) p ) 1/p : ϕ 1 L f (E 1,..., E ; F ) subespaço vetorial de L(E 1,..., E ; F ) das aplicações contínuas de tipo finito Π p (E, F ) espaço vetorial sobre K dos operadores absolutaente p- soantes que aplica E e F p conjugado de p W () conjunto constituído pelas edidas regulares de probabilidade nos borelianos de co a topologia fraca estrela M(X) espaço das edidas de Radon coplexas nos borelinanos de X C 0 (X) {f : X C : f é contínua e se anula no infinito} x 1 x tensor eleentar definido por x 1 x (A) = A(x 1,..., x ) para toda aplicação A L(E 1,..., E ; K) E 1 E produto tensorial dos espaços de Banach E 1,..., E, definido coo o subespaço de L(E 1,..., E ; K) gerado pelos tensores eleentares E E,s E produto tensorial siétrico de E, definido coo o subespaço do produto tensorial E gerado pelos tensores da fora x x, x E π s nora s-tensorial projetiva,s π s E espaço norado (,s E, π s ),s π s E copletaento do espaço norado,s E E () π s ix

10 SUMÁRIO Resuo Abstract Lista de Síbolos Suário vi vii viii x Introdução 1 1 Polinôios hoogêneos contínuos Aplicações ultilineares Polinôios hoogêneos Aplicações absolutaente soantes Aplicações ultilineares absolutaente soantes Polinôios hoogêneos absolutaente soantes Caracterizações através de desigualdades Teorea da doinação de Pietsch para polinôios hoogêneos Preliinares Validade do teorea da doinação de Pietsch Teorea da fatoração de Pietsch para polinôios doinados Preliinares U polinôio doinado que não é fracaente copacto Não validade do teorea da fatoração de Pietsch U teorea de fatoração Referências Bibliográficas 44 x

11 INTRODUÇÃO A Análise Funcional Linear estuda priordialente operadores lineares contínuos entre espaços norados. Ua generalização natural dessa teoria aponta na direção do estudo de aplicações não lineares entre espaços norados. Nesse sentido, u dos prieiros passos na intenção de sair da linearidade ve co o estudo das aplicações ultilineares e dos polinôios hoogêneos. Coo as aplicações ultilineares e os polinôios hoogêneos são generalizações dos operadores lineares, é natural questionar quais propriedades gozadas por estes operadores continua válidas para aquelas aplicações. Desse odo, é cou buscar propriedades apreciadas para operadores lineares que pode ser estendidas para versões ultilinear e polinoial. E 1953, A. Grothendieck introduziu e [17] os operadores lineares absolutaente soantes, que fora posteriorente reinterpretados por J. Lindenstrauss e A. Pe lczński e [22]. Esses operadores constitue u subespaço vetorial dos operadores lineares contínuos e tê a grande vantage de elhorar, e certo sentido, a convergência de séries e espaços norados. E 1967, o ateático A. Pietsch explicitou e [28] alguas propriedades fundaentais inerentes aos operadores p-soantes, coo por exeplo os teoreas hoje conhecidos coo teorea da doinação de Pietsch e teorea da fatoração de Pietsch. Abos caracteriza os operadores lineares absolutaente p-soantes e torna tais operadores úteis e aplicações variadas. Alé disso, A. Pietsch ainda ostrou que todo operador linear absolutaente p-soante entre espaços de Banach é fracaente copacto. Aparece e 1983 a prieira extensão da definição de operador linear absolutaente soante para aplicações ultilineares, tabé devida ao ateático A. Pietsch e explicitada e [30]. A partir daí as aplicações ultilineares absolutaente soantes são estudadas e vários trabalhos, entre eles Geiss [16], Matos [23] e Schneider [33]. Não obstante, e 1984 aparece e Braunss [6] a prieira definição de polinôio hoogêneo absolutaente soante. Ua vez conhecido que os operadores lineares absolutaente p-soantes satisfaze boas propriedades, fica o desejo de encontrar generalizações desses operadores para os casos ultilinear e polinoial. Naturalente é desejável que essas generalizações tabé 1

12 conserve boas propriedades, coo por exeplo teoreas tipo doinação e fatoração de Pietsch. Extensões nesse sentido aparece nos artigos Matos [23] e Floret-Matos [13], sendo que o prieiro coloca e cena as aplicações ultilineares doinadas e o segundo dá orige aos polinôios hoogêneos doinados. Propriedades interessantes inerentes aos operadores p-soantes fora estendidas para o caso de polinôios doinados. Dentre essas, sublinhaos u teorea tipo doinação de Pietsch que pode ser encontrado e [24, Proposition 3.1]. Entretanto, outras propriedades que se esperava verdadeiras não o são. Por exeplo, polinôios doinados entre espaços de Banach ne sepre são fracaente copactos, o que pode ser coprovado e [3, Exaple 1]. Teoreas de fatoração para polinôios doinados tabé são desejáveis. U teorea desse tipo pode ser encontrado e [4, Proposition 46], que é ua extensão do conhecido teorea da fatoração de Pietsch para operadores p-soantes. No entanto, essa extensão não representa exataente u teorea tipo fatoração de Pietsch para polinôios doinados, pois nele não se te u polinôio -hoogêneo p-doinado canônico através do qual todo polinôio -hoogêneo p-doinados se fatora, essência fundaental do teorea da fatoração de Pietsch. U legítio teorea tipo fatoração de Pietsch para polinôios doinados aparece no artigo [5] de G. Botelho, D. Pellegrino e P. Rueda. No entanto, esse teorea não representa ua extensão exata do teorea da fatoração de Pietsch, pois alterações fora necessárias para a sua verificação. Essas alterações são deveras necessárias, e isso é coprovado na últia seção do artigo, finalizado co a deonstração de que ua extensão natural não é possível. O foco central desta dissertação é estudar teoreas de doinação e de fatoração para polinôios hoogêneos doinados. Os principais resultados são os seguintes: a validade da extensão natural do teorea da doinação de Pietsch para polinôios hoogêneos doinados; a ipossibilidade da extensão natural do teorea da fatoração de Pietsch para polinôios doinados, e, por fi, a validade de u teorea de fatoração (não do tipo Pietsch) para polinôios hoogêneos doinados. Para alcançar tais objetivos fareos u apanhado geral acerca dos principais resultados referentes aos polinôios hoogêneos, contínuos, absolutaente soantes e doinados. Para isso introduzireos as aplicações ultilineares e, desse odo, exibireos tabé alguas propriedades inerentes a essas aplicações. A dissertação está estruturada da seguinte aneira: O Capítulo 1 é dividido e duas seções, a prieira estabelece resultados sobre aplicações ultilineares e a segunda fornece resultados acerca dos polinôios hoogêneos. As principais referências usadas na construção desse capítulo fora [10], [25] e [34]. No Capítulo 2 introduzios as aplicações absolutaente soantes. Concentrareos desde o coeço nas aplicações ultilineares e nos polinôios hoogêneos absolutaente soantes, que generaliza a definição de operador linear absolutaente soante. Na Seção 2.3 forneceos ua caracterização para aplicações absolutaente soantes através de desigualdades, que é o principal resultado do capítulo. As referências [1], [2], [9], [11] e [15] se fizera úteis na elaboração desse capítulo. No Capítulo 3 surge a definição de polinôio doinado, que exerce papel capital no decorrer da dissertação. Propriedades inerentes aos polinôios doinados tabé 2

13 são verificadas, coo por exeplo o teorea de doinação tipo Pietsch, deonstrado na Seção 3.2. Usaos as referências [24] e [29] no desenvolviento desse capítulo. O Capítulo 4 traz consigo alguns dos principais resultados da dissertação. Nele verifica-se a não validade de ua extensão be natural do teorea da fatoração de Pietsch para polinôios doinados, aquela fornecida e [5]. Para isso será necessário a utilização de u exeplo de polinôio doinado que não é fracaente copacto, encontrado e [3]. O capítulo culinará co u teorea de fatoração para polinôios doinados. Alé das duas referências citadas, se fez uso do livro [9]. Algo deve ser deixado claro, a escassez de originalidade. Todos os resultados expostos nesta dissertação já era conhecidos. Entretanto, resquício de originalidade pode ser encontrado na organização dos teas estudados e e diversas deonstrações referentes aos resultados; assi coo na verificação detalhada de pontos que noralente são negligenciados. Muitas deonstrações fora feitas se consultas; outras fora organizadas de aneira diferente das deonstrações consultadas, esclarecendo pontos ais obscuros e explicitando resultados auxiliares que se escondia nas deonstrações. Deixeos aqui alguas referências para resultados básicos. Para teoria da edida e integração é suficiente o livro [14]. Resultados referentes a Análise Funcional Linear pode ser encontrados e [7], [8] e [19]. Para a teoria de espaços étricos aconselhaos o livro [20], e para Topologia Geral indicaos [21]. Por fi, a teoria básica de aplicações ultilineares e polinôios hoogêneos pode ser encontrada e [10] e [25]. 3

14 CAPÍTULO 1 POLINÔMIOS HOMOGÊNEOS CONTÍNUOS A análise funcional linear te coo principal eta estudar operadores lineares contínuos entre espaços norados. No sentido de epreender u estudo alé da linearidade, u dos prieiros passos naturais é o estudo das aplicações ultilineares e dos polinôios hoogêneos. Vários resultados vindos da análise funcional linear são trivialente estendidos para essas aplicações. Entretanto o caso não linear te peculiaridades próprias, e por isso exibireos neste capítulo propriedades básicas acerca das aplicações ultilineares e dos polinôios hoogêneos. Estes resultados são devidaente provados para o caso polinoial e, ajoritariaente, apenas enunciados no caso ultilinear. Tal procediento se justifica pois no decorrer da dissertação apontareos gradativaente o estudo na direção dos polinôios hoogêneos. 1.1 Aplicações ultilineares Para os nossos propósitos, as aplicações ultilineares servirão para definir polinôios hoogêneos. Devido a isto apresentareos nesta seção alguns resultados inerentes a essas aplicações. Definição Seja N e V 1,..., V, W espaços vetoriais sobre o corpo K := R ou C. Ua aplicação A: V 1 V W é dita ultilinear (ou -linear) se A(x 1,..., λx i + x i,..., x ) = λa(x 1,..., x i,..., x ) + A(x 1,..., x i,..., x ), para todos i = 1,...,, λ K e x i, x i V i. Neste capítulo os síbolos E 1,..., E, E e F representarão espaços vetoriais norados sobre o corpo K, exceto enção explícita e contrário. Os espaços vetoriais sobre K das aplicações ultilineares e das aplicações ultilineares contínuas A: E 1 E F 4

15 serão denotados por L(E 1,..., E ; F ) e L(E 1,..., E ; F ), respectivaente. Para toda aplicação ultilinear A L(E 1,..., E ; F ) definios A := sup { A(x 1,..., x ) : x j E j e x j 1 para todo j = 1,..., }. (1.1) Apesar da notação de nora, essa expressão não define ua nora e L(E 1,..., E ; F ), pois pode ocorrer A =. Por outro lado, essa expressão define ua nora sobre o espaço vetorial L(E 1,..., E ; F ), coo se pode ver e [34, Proposição 2.11]. O próxio resultado ostra que a ultilinearidade de ua aplicação siplifica o seu coportaento topológico. Proposição Seja E 1,..., E e F espaços vetoriais norados e A L(E 1,..., E ; F ) ua aplicação -linear. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) A é contínua. (b) A é contínua na orige. (c) Existe ua constante k 0 tal que A(x 1,..., x ) k x 1... x para todo ponto (x 1,..., x ) e E 1... E. (d) A <. Deonstração. Veja [34, Proposição 2.7]. A nora de ua aplicação ultilinear contínua, definida e (1.1), tabé pode ser calculada de várias aneiras equivalentes. Ua caracterização especialente útil dessa nora é dada por A = inf {C : A(x 1,..., x ) C x 1... x para todos j = 1,..., e x j E j }, para toda A L(E 1,..., E ; F ). É natural questionar e que circunstâncias o espaço vetorial L(E 1,..., E ; F ), unido co a nora acia, é u espaço de Banach. A proposição seguinte nos diz que a resposta é afirativa sepre que F for u espaço de Banach. Proposição Seja E 1,..., E espaços vetoriais norados e F u espaço de Banach. O espaço vetorial L(E 1,..., E ; F ), unido co a nora definida por (1.1), é u espaço de Banach. Deonstração. Veja [34, Proposição 2.11]. Proposição Seja E 1,..., E +n espaços de Banach co, n N. Então existe u isoorfiso canônico I : L(E 1,..., E +n ; F ) L(E 1,..., E ; L(E +1,..., E +n ; F )) dado por I(A)(x 1,..., x )(x +1,..., x +n ) = A(x 1,..., x +n ). Mais ainda, esse isoorfiso induz u isoorfiso isoétrico entre L(E 1,..., E +n ; F ) e L(E 1,..., E ; L(E +1,..., E +n ; F )). 5

16 Deonstração. Veja [34, Proposição 2.12]. Confore encionado acia, as aplicações ultilineares siétricas desepenharão u papel de destaque no estudo dos polinôios hoogêneos. Co a finalidade de coeçar a estudar essas aplicações, considerareos a partir de agora o caso particular das aplicações ultilineares e L(E 1,..., E ; F ) onde E 1 = E 2 = = E = E. Neste caso os espaços vetoriais das aplicações ultilineares e das aplicações ultilineares contínuas A: E F serão denotados por L( E; F ) e L( E; F ), respectivaente. Alé disso, adotareos as seguintes notações siplificadas: L( 1 E; F ) = L(E; F ), L( 1 E; F ) = L(E; F ), L( E; K) = L( E), L( E; K) = L( E) e L( 1 E; K) = E. Definição Ua aplicação ultilinear A: E F é dita ser siétrica se A(x 1,..., x ) = A(x σ(1),..., x σ() ) para todos (x 1,..., x ) E e σ S, onde S denota o conjunto das perutações dos prieiros núeros naturais. Os conjuntos das aplicações ultilineares siétricas e das aplicações ultilineares siétricas contínuas A: E F serão denotados por L s ( E; F ) e L s ( E; F ), respectivaente. Mais ainda, os conjuntos L s ( E; F ) e L s ( E; F ) são subespaços vetoriais de L( E; F ) e L( E; F ), respectivaente. Seja n, N e A L( E; F ). Então para cada (x 1,..., x n ) E n e cada α = (α 1,..., α n ) N n 0 co α := α α n =, usareos a notação para todo 1. Ax α x αn n := A(x 1,..., x }{{} 1,..., x n,..., x }{{ n } α 1 Proposição Para cada A L( E; F ), defina A s por α n ) A s (x 1,..., x ) := 1 A(x σ(1),..., x σ() ).! σ S Então as seguintes propriedades são satisfeitas: (a) A s L s ( E; F ). (b) A s = A se e soente se A L s ( E; F ). (c) (A s ) s = A s. (d) O operador s: L( E; F ) L s ( E; F ), definido por s(a) = A s, é linear. (e) Se x E então Ax = A s x. 6

17 Deonstração. (a) Seja (x 1,..., x ) E e σ S. Assi, A s (x 1,..., x ) = 1 A(x σ(1),..., x σ() )! σ S = 1 A(x σ(σ! (1)),..., x σ(σ ())) σ S = A s (x σ (1),..., x σ ()) e, consequenteente, A s L s (E; F ). (b) Se A = A s então A é siétrica, pois A s é claraente siétrica. Reciprocaente, se A L s ( E; F ), obteos A s (x 1,..., x ) = 1 A(x σ(1),..., x σ() )! σ S = 1 A(x 1,..., x )! σ S = 1!!A(x 1,..., x ) = A(x 1,..., x ) para todo (x 1,..., x ) E, o que iplica A s = A. (c) Segue obviaente dos itens (a) e (b). (d) Pelo ite (a), o operador s está be definido. Alé disso, dados A, B L( E; F ) e λ K, obteos s(a + λb)(x 1,..., x ) = (A + λb) s (x 1,..., x ) = 1 (A + λb)(x σ(1),..., x σ() )! σ S = 1 [A(x σ(1),..., x σ() ) + λb(x σ(1),..., x σ( )]! σ S [ ] = 1 1 A(x σ(1),..., x σ() ) + λ B(x σ(1),..., x σ( )!! σ S σ S = A s (x 1,..., x ) + λ[b s (x 1,..., x )] = (s(a) + λ s(b))(x 1,..., x ) para todo (x 1,..., x ) E. Portanto s é linear. (e) Seja x E. Então A s x = 1 Ax = 1!!!Ax = Ax. σ S 7

18 O operador s na proposição anterior é chaado operador de sietrização. Essa proposição, dentre outras consequências, ostra que s é ua projeção de L( E; F ) sobre L s ( E; F ). Finalizareos esta seção co a Fórula de Polarização. Esse resultado será de grande valia no estudo de polinôios hoogêneos. Fórula de Polarização. Seja A L s ( E; F ). Então para todos x 0,..., x E te-se a fórula A(x 1,..., x ) = 1!2 ε j =±1 que será denoinada Fórula de polarização. ε 1 ε A(x 0 + ε 1 x ε x ), A deonstração da Fórula de Polarização pode ser encontrada e [25, páginas 6-7]. 1.2 Polinôios hoogêneos Polinôios hoogêneos são indiscutivelente o principal objeto de estudo desta dissertação. Nesta seção alguas propriedades básicas inerentes aos polinôios hoogêneos são deonstradas. A principal delas é ua caracterização da continuidade de polinôios hoogêneos que, assi coo nos casos linear e ultilinear, é u exeplo de coo ua estrutura algébrica pode siplificar o coportaento topológico. Definição Seja E e F espaços vetoriais norados. Ua aplicação P : E F será denoinada polinôio -hoogêneo ou polinôio hoogêneo de grau, se existir ua aplicação A L( E; F ) tal que P (x) = Ax para todo ponto x e E. É fácil ver que o conjunto constituído pelos polinôios -hoogêneos P : E F é u espaço vetorial sobre K co as operações usuais de aplicações. Denotareos esse espaço por P ( E; F ). Neste caso, tabé é claro que o conjunto dos polinôios - hoogêneos contínuos é u subespaço vetorial de P ( E; F ), esse subespaço será denotado por P( E; F ). Para cada P P ( E; F ), denotareos P := sup{ P (x) : x E, x 1}. Neste instante é bo notar que siilarente ao caso das aplicações ultilineares, apesar da notação de nora, essa relação não define ua nora e P ( E; F ), pois pode ocorrer P =. No entanto, usareos essa notação, pois coo vereos ais adiante, essa relação faz co que (P( E; F ), ) seja u espaço norado. Dentre outras consequências, a proposição seguinte estabelece duas desigualdades que serão úteis na deonstração de resultados posteriores. Antes de enunciar essa proposição, ressalteos que a notação será usada, a partir de agora, para denotar tanto a relação estabelecida no parágrafo precedente para polinôios hoogêneos quanto a siilar para aplicações ultilineares definida na seção anterior (Eq. (1.1)). 8

19 Proposição Seja E e F espaços vetoriais norados. Para cada A L( E; F ) considere a aplicação dada por Â: E F, Â(x) := Ax. Desse odo a correspondência A  induz u isoorfiso entre os espaços vetoriais L s ( E; F ) e P ( E; F ). Mais ainda,  A! Â. Deonstração. Obviaente a aplicação A  está be definida. A aplicação é linear pois dados A, B L s ( E; F ) e λ K teos (A + λb)(x) = (A + λb)x = Ax + λbx = Âx + λ Bx = ( + λ B)x para todo x E. Alé disso, afiraos que a aplicação A L s ( E; F )  P ( E; F ) é bijetora. Co efeito, se P P ( E; F ), existe A L( E; F ) tal que P (x) = Ax. De fato, A s (x 1,..., x ) = 1 A(x σ(1),..., x σ() ).! σ S Logo, coo consequência da Proposição 1.1.6, A s L s ( E; F ) e A s x = Ax = P (x). Assi a aplicação é sobrejetora. Por outro lado, se A L s ( E; F ) e  = 0, segue que Ax = 0 para todo ponto x e E. Desse odo, pela fórula de polarização, A(x 1,..., x ) = 1!2 ε j =±1 ε 1 ε A(x 0 + ε 1 x ε x ) = 0 para quaisquer x 0,..., x E. Portanto A = 0 e, consequenteente, a aplicação é injetora. Proveos agora as desigualdades enunciadas. Segue trivialente que  = sup{ Ax : x E, x 1} sup{ A(x 1,..., x ) : x j E, ax x j 1} = A. j Resta ostrar a segunda desigualdade. Prieiraente, note que se A L( E, F ) então Ax A x para todo ponto x e E. Co efeito, ( ) x A A para todo ponto x e E \ {0} x 9

20 e, por conseguinte, 1 x Ax A para todo ponto x e E \ {0}. O caso x = 0 é evidente. Desse odo, pela fórula de polarização, obteos A(x 1,..., x ) = = 1!2 ε j =±1 1!2 ε j =±1 ε 1 ε A(ε 1 x ε x ) ε 1 ε Â(ε 1 x ε x ), o que iplica A(x 1,..., x ) 1!2 ε j =±1 1!2 ε j =±1 1!2 ε j =±1 1!2 ε j =±1 ε 1 ε Â(ε 1 x ε x ) Â(ε 1x ε x )  ε 1x ε x  ( x x ). Logo, se ax x j 1, segue que j o que copleta a deonstração. A(x 1,..., x ) 1!2 ε j =±1  =! Â, Na últia Proposição verificaos que para todo polinôio P P ( E; F ), existe ua única aplicação ultilinear siétrica A L s ( E; F ) tal que Ax = P (x) para todo x E. Nesse caso, denotareos P := A. É natural questionar se na proposição anterior a constante /! é a elhor possível, isto é, será que nessas condições existe ua constante 0 < c < /! tal que ocorra a desigualdade A c  para todo A L( E; F )? O exeplo a seguir ostra que a resposta é negativa. 10

21 Exeplo Seja E = l 1 e F = C, onde l 1 denota o espaço das sequências x = (x 1,..., x,...) cujos teros são núeros coplexos e x j <. Defina a nora e l 1 coo x = x j. Dado N defina A : E F por A (x 1,..., x ) := 1 x σ(1) 1... x σ(),! σ S co x j = (x j 1,..., x j,...) l 1 para todo j = 1,...,. Mostreos que A é ua aplicação ultilinear siétrica. Obviaente A é ultilinear, pois para cada σ S a aplicação (x 1,..., x ) x σ(1) 1... x σ() é ultilinear. Mais ainda, dado σ S obteos A (x σ (1),..., x σ () ) = 1 x σ(1) σ! (1) xσ() σ () σ S = 1 x σ(1) 1 x σ()! σ S = A (x 1,..., x ), e portanto A é siétrica. Afiraos que A = 1!. De fato, dados xj = (x j 1,..., x j,...) l 1 para todo j = 1,...,, segue que A (x 1,..., x ) 1! 1! 1! x σ(1) 1 x σ() σ S ( ) ( x 1 j x 1 x. A penúltia desigualdade é devida ao fato de que o ebro da direita, depois de desenvolvido, ser constituído por u soatório cujos teros são todos os teros do soatório do lado esquerdo e ais outros! teros positivos. Desse odo, { } A = sup A (x 1,..., x ) : x j E, ax x j 1 j { } 1 sup! x1 x : x j E, ax x j 1 j = 1!. 11 x j )

22 Por outro lado, dados x 1 = (1, 0,...), x 2 = (0, 1, 0,...),..., x = (0,..., 0, () 1, 0,...) e E, obteos A (x 1,..., x ) = 1!, co x j 1 para todo j = 1,...,. Segue que A = 1!. Verifiqueos que  = 1. Segue por definição que  (x) = A x = x 1 x para todo x = (x 1,..., x,...) E = l 1. Desse odo, coo a édia geoétrica é enor do que ou igual à édia aritética, obteos e portanto Â(x) = x 1 x ( x x ), { }  = sup Â(x) : x E, x 1 { ( x1 + + x ) } sup : x E, x 1 = 1. Finalente, ao toar x = ( 1, ()..., 1, 0,... ) Assi, segue obviaente que  = 1. Portanto, segue que A =! Â. E teos x = 1 e Â(x) = 1. Observação Os polinôios -hoogêneos  : E F definidos no últio exeplo são chaados polinôios de Nachbin. Observação Na Proposição 1.2.2, a igualdade A =!  ocorre sepre que E é u espaço de Hilbert e F = K (veja [10, página 52]). A próxia proposição fornecerá ua série de equivalências que caracterizarão u polinôio hoogêneo contínuo. Antes de enunciá-la, vejaos u resultado auxiliar. Lea Seja E, F espaços norados e P P ( E; F ). Se o polinôio P é liitado e algua bola B E [x 0 ; r] E para algu x 0 E e algu r > 0, então o polinôio P é contínuo, a aplicação P é contínua e P <. 12

23 Deonstração. Suponha P (x) b para todo x B E [x 0 ; r]. Pela Proposição 1.2.2, existe ua aplicação A L s ( E; F ) tal que Ax = P (x) para todo ponto x e E. Assi, pela fórula de polarização P (x) = 1!2 ε j =±1 ε 1 ε P (x 0 + (ε ε )x), e portanto para x r obteos P (x) 1!2 ε j =±1 1!2 ε j =±1 P (x 0 + (ε ε )x) b = b!. Se x 1, faça y = x /r. Assi, y r e, por conseguinte, P (y) b! = 1 /r P (x) b! = P (x) b! r. Logo P < e, pela Proposição 1.2.2, P! P <. Portanto a aplicação P é contínua pela Proposição Coo o polinôio P é ua restrição de P, segue que P tabé é contínuo. Proposição Seja E e F espaços norados e P P ( E; F ). Então as seguintes condições são equivalentes: (a) P é contínuo. (b) P é contínuo e algu ponto de E. (c) P é contínuo na orige. (d) P <. (e) Existe k 0 tal que P (x) k x para todo ponto x e E. (f) P (A) é liitado e F sepre que A for liitado e E. (g) P é liitado e toda bola B E [x 0, r] E. (h) P é liitado e algua bola B E [x 0, r] E. (i) P é contínua. (j) Existe A L( E, F ) tal que P (x) = Ax para todo ponto x e E. Deonstração. (a) (b) É óbvio. (b) (c) Suponha que o polinôio P seja contínuo e x 0 E. Segue que existe r > 0 tal que P (x) 1 + P (x 0 ) para todo x B E [x 0 ; r]. Pelo Lea 1.2.6, teos que P é contínuo. E particular, P é contínuo na orige. 13

24 (c) (d) Coo o polinôio P é contínuo na orige, existe r > 0 tal que P (x) 1 para todo ponto x B E [0; r]. Logo, pelo Lea obteos naturalente que P <. (d) (e) Faça k = P. Dado x E \ {0}, segue que ( ) x P k = 1 x x P (x) k = P (x) k x. Para x = 0 a desigualdade é trivialente satisfeita. (e) (f) Co efeito, seja A liitado e E. Então existe c 0 tal que x c para todo x A. Daí e por (e) te-se obviaente P (x) k x <. (f) (g) É óbvio. (g) (h) É trivialente verificada. (h) (i) Por hipótese existe b > 0 tal que P (x) b para todo x B E [x 0, r]. Pelo Lea 1.2.6, segue que a aplicação P é contínua. (i) (j) Basta toar A = P. (j) (a) Se existe A L( E; F ) tal que Ax = P (x) para todo ponto x e E, então obviaente o polinôio P é contínuo, pois P é ua restrição de A. Agora é possível ostrar algo que havia sido encionado se deonstração. Proposição Seja E e F espaços vetoriais norados. Então (P( E; F ), ) é u espaço norado. Deonstração. Prieiro note que se P P ( E; F ) então, pela Proposição 1.2.7, P <. Desse odo, a função : P ( E; F ) R está be definida. Obviaente P 0 para todo P P ( E; F ). Alé disso, se P P ( E; F ) então P = 0 se e soente se sup{ P (x) : x E, x 1} = 0. Mas coo o conjunto { P (x) : x E, x 1} é constituído por núeros reais positivos, segue que sup{ P (x) : x E, x 1} = 0 P (x) = 0 sepre que x E e x 1 P (x) = 0 sepre que x E e x 1 ( ) y P = 0 sepre que y E \ {0} y P (y) = 0 sepre que y E P = 0. Assi P = 0 se e soente se P = 0. Por outro lado, dados λ K e P P ( E; F ), λp = sup{ λp (x) : x E, x 1} = sup{ λ P (x) : x E, x 1} = λ sup{ P (x) : x E, x 1} = λ P. 14

25 Por fi, é válida a desigualdade triangular. Co efeito, seja P 1, P 2 P( E; F ). Assi, obteos P 1 + P 2 = sup{ (P 1 + P 2 )(x) : x E, x 1} = sup{ P 1 (x) + P 2 (x) : x E, x 1} sup{ P 1 (x) + P 2 (x) : x E, x 1} sup{ P 1 (x) : x E, x 1} + sup{ P 2 (x) : x E, x 1} = P 1 + P 2, e portanto a desigualdade triangular é realente satisfeita. Analogaente ao caso das aplicações ultilineares, existe ua caracterização para a nora de u polinôio hoogêneo contínuo bastante utilizada, a saber: P = inf {C : P (x) C x para todo x E} para todo P P( E; F ). Da esa fora que se faz no caso linear, prova-se que se P P( E; F ) então P (x) P x para todo x E. A proposição a seguir, alé do seu valor intrínseco, será de grande valia para a verificação de que o par (P( E; F ), ) é u espaço de Banach sepre que F for espaço de Banach. Proposição A correspondência A  definida na Proposição induz u isoorfiso topológico entre os espaços vetoriais norados L s ( E; F ) e P( E; F ). Deonstração. Prieiro ostreos que a aplicação A L s ( E; F )  P( E; F ) está be definida. Co efeito, se A L s ( E; F ), então pela desigualdade obtida na Proposição e usando as Proposições 1.2.7(d) e 1.1.2(d), segue que  P( E; F ). Novaente pela Proposição 1.2.2, obteos obviaente que a aplicação A L s ( E; F )  P( E; F ) é linear e injetora. Por outro lado, dado P P( E; F ), ainda pela Proposição 1.2.2, existe B L s ( E; F ) tal que B = P. Mas coo P P( E; F ), pela Proposição 1.2.7(d), P <. Logo, pela desigualdade da Proposição e pela Proposição 1.1.2(d), segue que B é contínua e, por conseguinte, a aplicação A L s ( E; F )  P( E; F ) é sobrejetiva. Resta ostrar que esta aplicação e sua inversa são contínuas. Mas isso segue trivialente das desigualdades da Proposição 1.2.2, visto que já sabeos que (P( E; F ), ) e (L s ( E; F ), ) são espaços norados. 15

26 Proposição Seja E u espaço norado e F u espaço de Banach. Então o espaço norado (P( E; F ), ) é u espaço de Banach. Deonstração. Pela Proposição sabe-se que (P( E; F ), ) é u espaço norado. Afiraos que (L s ( E; F ), ) é de Banach. Para provar isso, vejaos que L s ( E; F ) é u subespaço fechado de L( E; F ): dada ua sequência (L n ) n=1 Ls ( E; F ) co li n L n L = 0, para algu L L( E; F ), coo segue que L n (x 1,..., x ) L(x 1,..., x ) L n L x 1 x 0, li L n(x 1,..., x ) = L(x 1,..., x ) n para todo (x 1,..., x ) E. Desse odo, dado σ S teos L(x σ(1), x σ(2),..., x σ() ) = li n L n (x σ(1), x σ(2),..., x σ() ) = li n L n (x 1, x 2,..., x ) = L(x 1, x 2,..., x ), e portanto L L s ( E; F ). Assi, coo (L( E; F ), ) é espaço de Banach e (L s ( E; F ), ) é fechado e (L( E; F ), ), teos que (L s ( E; F ), ) é tabé espaço de Banach. Por outro lado, coo L s ( E; F ) e P( E; F ) são isoorfos topologicaente (Proposição 1.2.9), segue que (P( E; F ), ) é espaço de Banach. Definição Seja E e F espaços vetoriais norados. Direos que o espaço E conté ua cópia isoorfa do espaço F se existe u subespaço G de E isoorfo (topologicaente) a F. Proposição Seja E e F espaços vetoriais norados. Então o espaço vetorial norado P( E; (P( n E; F ), )) conté ua cópia isoorfa do espaço norado P( +n E; F ). Deonstração. Considere a aplicação onde Φ: P( +n E; F ) P( E; (P( n E; F ), )) P Φ(P ) = P P : E P( n E; F ) x P (x): E F P (x)(y) := P x y n. 16

27 Prieiro ostrareos que Φ está be definida. Para isso deve-se ter P (x) P( n E; F ) e P P( E; (P( n E; F ), )) para todos P P( +n E; F ) e x E. Co efeito, dados P P( +n E; F ) e x E, defina A: E n F por A(x 1,..., x n ) = P (x, ()..., x, x 1,..., x n ) para quaisquer x 1,..., x n E. É fácil verificar que A L(n E; F ) e, alé disso, P (x)(y) = P x y n = Ay n. Isso prova que P (x) P( n E; F ). Por outro lado, definindo B : E P( n E; F ) (x 1,..., x ) B(x 1,..., x ): E F B(x 1,..., x )(y) := P (x 1,..., x, y,. (n).., y), conclui-se facilente que B L( E; F ), pois P L( +n E; F ). Vejaos que De fato, dados x, y E, Bx = P (x) para todo x E. Bx (y) = P x y n = P (x)(y). Desse odo, P P ( E, P( n E; F ), pois já vios que a iage de P está contida e P( n E; F ). Assi, para concluir que Φ está de fato be definida, basta ostrar que o polinôio P é contínuo. Para isso note que P { (x) = sup P } (x)(y) : y E, y 1 { } = sup P x y n : y E, y 1 { } sup P x y n : y E, y 1 = P x sup { y n : y E, y 1} = P x para todo x E. A continuidade de P nos garante que P <. Desse odo, pela Proposição 1.2.7(e) segue que P P( E; P( n E; F )). Vejaos que Φ é linear. Co efeito, dados P 1, P 2 P( +n E; F ) e λ K, (λp 1 + P 2 )(x)(y) = (λ P 1 + P 2)x y n = λ P 1 x y n + P 2 x y n = λ P 1 (x)(y) + P 2 (x)(y) = (λ P 1 + P 2 )(x)(y) 17

28 para quaisquer x, y E. Portanto, Φ(λP 1 + P 2 ) = λp 1 + P 2 = λ P 1 + P 2 = λφ(p 1 ) + Φ(P 2 ) e, consequenteente, Φ é linear. Verifiqueos que Φ é injetiva. Seja P P( +n E; F ) co P ker Φ. Então Φ(P ) = 0 = Φ(P )(x) = 0 para todo x E = Φ(P )(x)(y) = 0 para todos x, y E = P x +n = 0 para todo x E = P = 0, e portanto Φ é realente injetiva. Portanto, existe u isoorfiso linear entre o subespaço I Φ de P( E; P( n E; F )) e o espaço vetorial P( +n E; F ). Resta apenas ostrar que esse isoorfiso é u isoorfiso topológico. Para isso, note que Φ(P ) = sup Φ(P )(x) x 1 = sup sup Φ(P )(x)(y) x 1 y 1 = sup sup x 1 y 1 P x y n sup sup x 1 y 1 P x y n = P e, por outro lado, ( + n)(+n) P ( + n)! P = sup P (z) z 1 = sup P z z n z 1 sup sup x 1 z 1 = Φ(P ). P x z n Desse odo, pela Proposição 1.2.7(e) segue que as aplicações Φ e Φ: I Φ P( +n E; F ), a segunda definida de tal fora que (Φ Φ)(x) = x para todo x I Φ, são contínuas. Isto finaliza a deonstração. Observação O operador Φ da deonstração da Proposição não é sobrejetor. Para nos convencer disso, considereos o caso = n = 1, isto é, Φ: P( 2 E; F ) L(E; L(E; F )), Φ(P )(x)(y) = P (x, y). 18

29 Coo P é ua aplicação bilinear siétrica, Φ(P )(x)(y) = P (x, y) = P (y, x) = Φ(P )(y)(x) para todos x, y E. Isso quer dizer que todo operador linear na iage de Φ é siétrico. Basta então ostrar a existência de u operador T L(E; L(E; F )) que não é siétrico, isto é, para o qual existe x, y E tais que T (x)(y) T (x)(y). Façaos isso no caso e que E = l 2, F = K e para o operador T : l 2 l 2 = (l 2 ) = L(l 2, K), T ((x 1, x 2,...)) = (0, x 1, x 2,...). Fazendo a identificação canônica de (l 2 ) co l 2, é verdade que T ((x j ) )((y j ) ) = x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + para todas sequências (x j ), (y j ) l 2. E particular, toando e 1 = (1, 0, 0,...) e e 2 = (0, 1, 0, 0,...), segue que T (e 1 )(e 2 ) = 1 0 = T (e 2 )(e 1 ). Corolário Seja E e F espaços vetoriais norados. Então o espaço vetorial norado L(E; (P( n 1 E; F ), )) conté ua cópia isoorfa do espaço norado P( n E; F ). Para cada P P( n E; F ), chaando de I(P ) seu correspondente e L(E; P( n 1 E; F )), te-se que I(P )(x)(y) = P xy n 1 e P I(P ) nn n! P. Deonstração. deonstração. É trivialente verificado através da proposição precedente e de sua Encerrareos o capítulo co alguns exeplos de polinôios -hoogêneos. Para o entendiento desses exeplos, precisaos conhecer a definição seguinte. Definição U polinôio P P ( E; F ) é dito ser contínuo de tipo finito se é da fora p P (x) = (ϕ j (x)) b j co ϕ j E e b j F para j = 1, 2,..., p. É fácil ver que o subconjunto de todos os polinôios contínuos de tipo finito é u subespaço vetorial de P( E; F ). Denotareos esse subespaço por P f ( E; F ). Coeçareos os exeplos co u caso particular de polinôio contínuo de tipo finito. 19

30 Exeplo Seja E e F espaços norados, ϕ E, b F e N. Defina P : E F, P (x) = (ϕ(x)) b. Obviaente P P f ( E; F ). Afiraos que P = ϕ b. Co efeito P = sup{ P (x) : x E, x 1} = sup{ (ϕ(x)) b : x E, x 1} = sup{ ϕ(x) b : x E, x 1} = sup{ ϕ(x) : x E, x 1} b = (sup{ ϕ(x) : x E, x 1}) b = ϕ b. Exeplo Seja E e F espaços norados, ϕ E, u L(E; F ) e N. Considere a aplicação P : E F, P (x) = (ϕ(x)) 1 u(x). Obviaente P está be definida. Verifiqueos que P P( E; F ). Para isso, basta toar a aplicação A: E F dada por A(x 1, x 2,..., x ) = ϕ(x 1 )ϕ(x 2 )... ϕ(x 1 )u(x ), para quaisquer x 1, x 2,..., x E. É fácil ver que A L( E; F ) e P (x) = Ax para todo x E. Assi, segue que P P( E; F ). Alé disso, note que P = sup{ P (x) : x E, x 1} = sup{ (ϕ(x)) 1 u(x) : x E, x 1} = sup{ ϕ(x) 1 u(x) : x E, x 1} = (sup{ ϕ(x) : x E, x 1}) 1 sup{ u(x) : x E, x 1} = ϕ 1 u. Fornecereos a seguir u exeplo de u polinôio -hoogêneo que não é de tipo finito. Para o entendiento desse exeplo será necessário o seguinte lea. Lea Seja V u espaço vetorial de diensão infinita e ϕ: V K u funcional linear não nulo. Então para cada n N, existe u conjunto linearente independente {x 1, x 2,..., x n } V co ϕ(x 1 ) 0, ϕ(x 2 ) 0,..., ϕ(x n ) 0. Deonstração. A deonstração será feita por indução sobre n. Para n = 1 é claraente verdadeiro, pois coo ϕ é não nulo então existe x 1 V \ {0} tal que ϕ(x 1 ) 0. Suponha que exista u conjunto linearente independente {x 1, x 2,..., x n } V co ϕ(x 1 ) 0, ϕ(x 2 ) 0,..., ϕ(x n ) 0. Coo di V =, existe x n+1 V tal que 20

31 {x 1, x 2,..., x n+1 } é linearente independente. Se ϕ(x n+1 ) 0 não há ais nada o que fazer. Caso ϕ(x n+1 ) = 0, toe x n+1 := ϕ(x n )x n+1 + x n. Desse odo, te-se que {x 1, x 2,..., x n, x n+1} é linearente independente e Isto conclui a deonstração. ϕ(x n+1) = ϕ(x n )ϕ(x n+1 ) + ϕ(x n ) = ϕ(x n ) 0. Exeplo Seja N, E u espaço norado de diensão infinita e ϕ E u funcional linear não nulo. Defina a aplicação P : E F por P (x) = (ϕ(x)) 1 x, para todo x E. Confore visto no Exeplo , P P( E; F ). Mostreos que P P f ( E; F ). Para isso suponha, por absurdo, que P P f ( E; F ). Neste caso existe p N, b 1,..., b p F e ϕ 1,..., ϕ p E tais que P (x) = p (ϕ j (x)) b j para todo x E. Observe que I P span{b 1,..., b p }. Coo E te diensão infinita, pelo Lea existe u conjunto linearente independente {x 1,..., x p+1 } E tal que ϕ(x 1 ) 0,..., ϕ(x p+1 ) 0. Vejaos que o conjunto {P (x 1 ),..., P (x p+1 )} é linearente independente. Co efeito, dados a 1,..., a p+1 K tais que segue que a 1 P (x 1 ) + + a p+1 P (x p+1 ) = 0, a 1 (ϕ(x 1 )) 1 x a p+1 (ϕ(x p+1 )) 1 x p+1 = 0. Coo {x 1, x 2,..., x p+1 } é u conjunto linearente independente, concluios que a 1 = = a p+1 = 0. Coo consequência a iage de P conté p + 1 vetores linearente independentes, o que obviaente contradiz a inclusão I P span{b 1,..., b p } provada acia. Portanto P P f ( E; F ). 21

32 CAPÍTULO 2 APLICAÇÕES ABSOLUTAMENTE SOMANTES Confore vereos neste capítulo, os operadores lineares absolutaente soantes são aqueles que elhora a convergência de séries nu sentido que ficará claro no oento oportuno. O sucesso da teoria dos operadores lineares absolutaente soantes otivou a extensão dessa propriedade para aplicações não lineares, e particular para aplicações ultilineares e polinôios hoogêneos. Este capítulo apresentará ua extensão desse tipo, que colocará e cena as aplicações ultilineares absolutaente soantes e os polinôios hoogêneos absolutaente soantes. O capítulo culinará co u teorea que caracterizará tanto as aplicações ultilineares quanto os polinôios hoogêneos absolutaente soantes. A partir deste capítulo, os síbolos E 1,..., E, E e F representarão exclusivaente espaços de Banach sobre o corpo K. 2.1 Aplicações ultilineares absolutaente soantes Seja p (0, ). A sequência de vetores (x n ) n=1 e E será dita ser forteente p-soável se a sequência de escalares ( (x n ) ) n=1 pertencer a l p. O conjunto constituído por todas essas sequências é u espaço vetorial e será denotado por l p (E). Nesse caso, a função p : l p (E) R, definida por ( ) 1/p (x n ) n=1 p := x n p, n=1 se torna ua p-nora para p (0, 1) e ua nora para p [1, ). Alé disso, o par (l p (E), p ) é u espaço quasi-banach para p (0, 1) e u espaço de Banach para p [1, ). Seja ainda p (0, ). Diz-se que a sequência de vetores (x n ) n=1 e E é fracaente p-soável se para todo funcional linear ϕ E, a sequência de escalares ( ϕ(x n ) ) n=1 22

33 pertencer ao espaço l p. Analogaente ao caso das sequências forteente p-soáveis, o conjunto forado pelas sequências fracaente p-soáveis é u espaço vetorial que será denotado por l w p (E). Mais ainda, a função w,p R, definida por (x n ) n=1 w,p := sup ϕ ( ) 1/p ϕ(x n ) p, é tal que o par (l w p (E), w,p ) é u espaço quasi-banach para p (0, 1) e u espaço de Banach para p [1, ). É claro que o espaço das sequências forteente p-soáveis é u subespaço vetorial do espaço das sequências fracaente p-soáveis. Co efeito, se (x n ) n=1 l p (E), segue que n=1 ( ) 1/p (x n ) n=1 w,p = sup ϕ(x n ) p ϕ n=1 ( ) ( ) 1/p sup ϕ x n p ϕ n=1 ( ) 1/p = x n p = (x n ) n=1 p <, n=1 e, por conseguinte, teos l p (E) l w p (E). Mais ainda a inclusão l p (E) l w p (E) é linear e te nora 1. É interessante notar que essa inclusão pode ser estrita. Para ver isso podese toar o caso específico e que E = l 2 e p = 2. Neste caso, teos que (e j ) l w 2 (l 2 ) as (e j ) l 2 (l 2 ). Esta últia afiração será deonstrada e u contexto ais geral no Exeplo Apesar de historicaente o estudo de operadores lineares absolutaente soantes preceder o estudo das aplicações ultilineares absolutaente soantes, coeçareos aqui co a definição da segunda, pois a prieira se tornará u caso particular desta. Definição Seja s, r 1, r 2,..., r (0, ). Diz-se que a aplicação ultilinear A L(E 1,..., E ; F ) é absolutaente (s; r 1,..., r )-soante (ou siplesente (s; r 1,..., r )- soante), se ocorrer (A(x j,1,..., x j, )) l s (F ) sepre que (x j,k ) l w r k (E k ), para todo k = 1, 2,...,. Denotareos o conjunto de todas as aplicações absolutaente (s; r 1,..., r )-soantes por L (s;r 1,...,r ) (E 1,..., E ; F ). Esse conjunto é claraente u subespaço vetorial de L(E 1,..., E ; F ) devido ao fato de que l s (F ) é u espaço vetorial sobre K. Observação No estudo das aplicações ultilineares (s; r 1,..., r )-soantes, o caso e que 1 > 1 s r r não é interessante, pois neste caso tereos L (s;r 1,...,r ) (E 1,..., E ; F ) = {0}. 23

34 Co efeito, caso existisse A L (s;r 1,...,r ) (E 1,..., E ; F )\{0}, teríaos A(x 1,..., x ) 0 para algu (x 1,..., x ) E 1 E. Façaos u = 1 r r. Toando ϕ E e u k = 1 r k, co k {1, 2,..., }, obteos su ( ) ( ϕ xk r k ) ( ) = ϕ(x k ) r 1 k = ϕ(x k ) r 1 k <, j u k j u kr k sendo a últia desigualdade oriunda do fato de su < 1. Segue que para todo k = 1, 2,...,. E contrapartida, coo ( 1 s(u u ) = s r 1 su ) r su então ( A x1 j,..., x ) ( s = A(x u 1,..., x ) s 1 j u = A(x 1,..., x ) s ( j 1 su ( x k j u k ) = 1 r 1 u r u = 1, 1 j (u u )s 1 j ) =, ) l w r k (E k ) ( ( )) x e portanto A 1,..., x l j u 1 j u s (F ), o que contradiz a condição da aplicação ultilinear A ser (s; r 1,..., r )-soante. Observação Toando n = 1 e s, r > 0 na Definição obteos a definição de operador linear absolutaente (s; r)-soante. Assi u operador T L(E; F ) é absolutaente (s; r)-soante se (T (x j )) l s (F ) sepre que (x j ) l w r (E). No caso e que s = r, u operador T L(E; F ) é (r; r)-soante (neste caso dizeos apenas r-soante) se T transfora sequências fracaente r-soáveis e sequências forteente r-soáveis. Coo e geral l r (F ) está contido propriaente e l w r (F ), é nesse sentido que u operador absolutaente r-soante elhora a convergência de séries. O espaço vetorial sobre K dos operadores lineares absolutaente p-soantes T : E F será denotado por Π p (E, F ). Para finalizar a seção, apresentareos u exeplo de aplicações ultilineares absolutaente soantes. Antes do exeplo, vejaos ua definição que será necessária. Definição Ua aplicação A L(E 1,..., E ; F ) é denoinada contínua de tipo finito se é da fora p A(x 1,..., x ) = ϕ j 1(x 1 ) ϕ j (x )b j, sendo ϕ j i E i e b j F para j = 1,..., p e i = 1,...,. 24

35 É fácil ver que o conjunto de todas as aplicações ultilineares contínuas de tipo finito é u subespaço vetorial de L(E 1,..., E ; F ), que será denotado por L f (E 1,..., E ; F ). Alé dessa definição, usareos no exeplo ua fora da desigualdade de Hölder generalizada. Na deonstração dessa desigualdade será usado o seguinte lea. Lea Seja N e a 1, a 2,..., a, p 1, p 2,..., p núeros reais positivos co p 1 + p p = 1. Então a p 1 1 a p p 1 a p a. Deonstração. Veja [15, página 26]. Proposição (Desigualdade de Hölder generalizada) Seja s, r 1, r 2,..., r [1, ) co 1 1 s r r. Se (x j,1 ) l r1,..., (x j, ) l r então (x j,1 x j, ) l s e (xj,1 x j, ) (xj,1 ) s (xj, ) r 1. r Deonstração. Se (xj,k ) = 0 para algu k {1, 2,..., }, a desigualdade é r k trivialente verificada. Podeos supor então (xj,k ) 0 para todo k = 1, 2,...,. r k Inicialente verificareos a veracidade do resultado para o caso e que 1 = 1 s r r. Usando o Lea 2.1.5, neste caso co a k = x i,k r k (xj,k ) r k r k e p k = s r k para todo k = 1, 2,..., e i N, obteos x i,k s (xj,k ) k=1 s r k s r k k=1 x i,k rk (xj,k ) r. k r k Consequenteente, x i,1 x i, s i=1 (xj,1 ) s (xj, ) r 1 s r s r 1 (xj,1 ) r 1 r 1 ( ) x i,1 r 1 + i=1 s + r (x j, ) r r = s + + s = 1. r 1 r ( ) x i, r i=1 Desse odo, chegaos na desigualdade ( ) 1/s x i,1 x i, s (xj,1 ) (xj, ) r 1 i=1 25 r,

36 e portanto (x j,1 x j, ) l s e (xj,1 x j, ) (xj,1 ) s (xj, ) r 1 r. Isto copleta a deonstração para o caso 1 = 1 s r r. Coo a desigualdade é verificada sepre que 1 = 1 s r r, o caso da desigualdade estrita 1 < 1 s r r segue da inclusão l p l q e da desigualdade q p sepre que q p. Vejaos finalente o exeplo. Exeplo Seja s, r 1,..., r [1, ). Vejaos que o espaço L f (E 1,..., E ; F ) é u subespaço vetorial do espaço L (s;r 1,...,r ) (E 1,..., E ; F ). Para isso basta ostrar que dados b F e funcionais não nulos ϕ 1 E 1,..., ϕ E, a aplicação ultilinear de tipo finito A: E 1 E F, definida por A(x 1,..., x ) = ϕ 1 (x 1 ) ϕ (x )b pertence a L (s;r 1,...,r ) (E 1,..., E ; F ). Para isso seja (x j,k ) l w r k (E k ) para todo k = 1, 2,...,. Então A(x j,1,..., x j, ) s = ϕ 1 (x j,1 ) ϕ (x j, )b s ( ) = b s ϕ 1 (x j,1 ) ϕ (x j, ) s b s (ϕ1 (x j,1 )) s (ϕ (x j, )) s r 1 r ( ) s = b s ϕ 1 s ϕ1 (x j,1 ) ( ϕ s ϕ (x j, ) ϕ 1 ϕ r 1 b s ϕ 1 s ϕ s (xj,1 ) s (xj, ) w,r 1 <, s w,r sendo a prieira desigualdade devida à desigualdade de Hölder generalizada. Segue que (A(x j,1,..., x j, )) l s (F ) e, consequenteente, a aplicação A é absolutaente (s; r 1,..., r )-soante. ) s r 2.2 Polinôios hoogêneos absolutaente soantes Coo encionado na seção anterior, o estudo de operadores lineares absolutaente soantes antecedeu e deu orige ao estudo das aplicações não lineares absolutaente soantes. Confore visto na Observação 2.1.3, u operador linear T : E F é absolutaente (s; r)-soante se (T (x j )) l s (F ) sepre que (x j ) l w r (E). Assi fica 26

37 claro que a definição de aplicação ultilinear absolutaente soante é ua generalização natural da definição de operador linear absolutaente soante. Siilarente a essa generalização, a definição de polinôios hoogêneos absolutaente soantes tabé se torna natural: Definição Seja s, r (0, ). Diz-se que o polinôio -hoogêneo P P( E; F ) é absolutaente (s; r)-soante (ou siplesente (s; r)-soante), se ocorrer (P (x j )) l s (F ) sepre que (x j ) l w r (E). O conjunto constituído por todos os polinôios -hoogêneos absolutaente (s; r)- soantes é denotado por P (s;r) ( E; F ). Analogaente ao caso das aplicações ultilineares absolutaente soantes, verifica-se que o conjunto P (s;r) ( E; F ) é u subespaço vetorial do espaço P( E; F ). Outro evento siilar ao das aplicações ultilineares absolutaente soantes é que ocorre P (s;r) ( E; F ) = {0} quando s < r. De fato, caso tivésseos P P (s;r) ( E; F ) \ {0}, existiria x E co P (x) 0. Nesse caso, dado ϕ E, ( ϕ x j 1/s ) ( r ) = ϕ(x) r 1 <, j r/s ( ) x sendo a últia desigualdade devido a s < r. Assi obteos que l w j 1/s r (E). Por outro lado, ( ) ( x s ) P = P (x) s 1 =, j 1/s j e isso contradiz a suposição de P ser absolutaente (s; r)-soante. Por essa razão ireos considerar apenas o caso e que s r. Observação É interessante notar que todo polinôio hoogêneo contínuo leva sequência forteente r-soável e sequência forteente r-soável. Co efeito, dados P P( E; F ) e (x j ) l r (E), ( ) ( ) P (x j ) r P r x j r P r x j r <, pois r r. Para o caso de sequências fracaente soáveis, é verdade que todo operador linear contínuo leva sequência fracaente r-soável e sequência fracaente r-soável: dados u L( E; F ), (x j ) l w r (E) e ϕ F, ( ( ϕ(u(x j )) r = u r ϕ u ) r) (x j ) <, u 27