Fábio Jorge Dias Machado. Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares. Dissertação de Mestrado

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1 Fábio Jorge Dias Machado Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientador: Paulo Batista Gonçalves Rio de Janeiro, julho de 007

2 Fábio Jorge Dias Machado Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Eaminadora abaio assinada. Paulo Batista Gonçalves Presidente/Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Giuseppe Barbosa Guimarães Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Deane de Mesquita Roehl Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Carlos Magluta COPPE/UFRJ José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 04 de julho de 007

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Fábio Jorge Dias Machado Graduado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná em fevereiro de 005. MACHADO, Fábio Jorge Dias Ficha Catalográfica Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares / Fábio Jorge Dias Machado; orientador: Paulo Batista Gonçalves Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 007. v. 97f.:il; 9,7cm Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas. 1. Instabilidade de Placas.. Dinâmica de Placas. 3. Vibração em Placas. 4. Controle Passivo. 5. Controle Estrutural. I. Gonçalves, Paulo Batista II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 64

4 Aos meus pais, Reni e Célio, e à minha querida Tamara, pelo apoio e confiança.

5 Agradecimentos A Deus por ter dado forças para o cumprimento desta meta. Ao meu orientador Professor Paulo Batista Gonçalves pelo estímulo e parceria para a realização deste trabalho. À FAPERJ, ao CNPq, à CAPES e à PUC-Rio, pelos auílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado. Aos meus pais, pela educação, atenção e carinho de todas as horas. Aos meus irmãos, pelo carinho e estímulo. À minha querida Tamara pelo apoio e dedicação. Aos meus amigos e colegas da PUC-Rio, em especial à Marianna, Antônio, Leonardo Erik, Johan, Paola, Diego, Frederico e Renata. Aos professores que participaram da Comissão eaminadora. A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio pelos ensinamentos e pela ajuda. A todos os amigos e familiares que de uma forma ou de outra me estimularam ou me ajudaram.

6 Resumo MACHADO, Fábio Jorge Dias. Gonçalves, Paulo B. Análise e Controle Passivo das Vibrações de Placas Retangulares. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Neste trabalho é apresentado um método numérico de resolução para a equação diferencial de placas: o método de Galerkin Iterativo. O método é utilizado para obtenção das cargas críticas de flambagem e das freqüências naturais para placas retangulares com condições de contorno arbitrárias. São determinados ainda os modos de vibração de placas para diversas condições de contorno. É também apresentada uma análise do comportamento estático e dinâmico de placas planas retangulares. Utilizando-se dos resultados obtidos nesta análise e do método de Galerkin Iterativo, analisa-se a influência dos carregamentos aiais sobre as propriedades de vibração de uma placa com diversas condições de contorno, como proposta de um meio de controle passivo de vibrações em placas retangulares. Realiza-se uma análise linear para o carregamento no plano médio da placa e outra não-linear no caso de placas submetidas a carregamentos ecêntricos, ou seja, fora do plano médio da placa. Mostra-se que o método de Galerkin Iterativo permite a obtenção de modos de vibração ortogonais possibilitando a resolução de problemas dinâmicos através do método de superposição de modos. Além disso, mostra-se que o método de controle passivo de vibrações em placas, através da aplicação de forças de compressão no plano, reduz a amplitude da resposta na região de ressonância. Palavras-chave Instabilidade de Placas; Dinâmica de Placas; Vibração em Placas; Controle Passivo; Controle Estrutural.

7 Abstract MACHADO, Fábio Jorge Dias. Gonçalves, Paulo B. (advisor). Vibration Analsis and Passive Control of Rectangular Plates. Rio de Janeiro, p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The aim of this work is to present a procedure for the solution of differential equations for plates: the Iterative Galerkin method. With the aid of this method, the buckling loads and natural frequencies of plates are obtained for plates with arbitrar sets of boundar conditions. The vibration modes of plates with various boundar conditions are obtained and compared with results found in literature. An analsis of the static and dnamic behavior of unloaded and in-plane loaded rectangular plates is presented. The use of in-plane loads as a passive vibration control technique for rectangular plates is investigated using the results obtained b the Iterative Galerkin s method. A linear analsis is conducted for loads applied on the plate mid-surface and a non-linear one for plates with in-plane eccentric loads. Moreover, it is shown that the Iterative Galerkin method leads to a set of orthogonal vibration modes allowing the use of superposition methods in the solution of dnamic problems. Furthermore, the results show that the proposed passive vibration control through the use of in-plane compression loads, decrease the response in the resonance region. Kewords Buckling of Plates; Dnamic Analsis of Plates; Vibration of Plates; Passive Control; Structural Control.

8 Sumário 1 Introdução 17 Teoria das Placas Esbeltas 0.1. Fleão de Placas Retangulares 0.. Equações de Equilíbrio e Compatibilidade 4.3. Critério de equilíbrio adjacente 7.4. Aplicações da Equação de Estabilidade Método de Lév Determinação da Carga Crítica Método de Galerkin Iterativo Determinação da Carga Crítica Análise Dinâmica de Placas Equação Diferencial de Movimento Determinação das Freqüências e Modos Naturais de Vibração Vibração Livre Vibração Forçada 49 3 Controle Passivo com Carregamento no Plano Conceitos Básicos Análise de Placas carregadas aialmente Galerkin Iterativo para placa carregada no plano 63 4 Controle Passivo com Carregamento Ecêntrico Conceitos Básicos Determinação da equação da deformada da placa Determinação das freqüências naturais e dos modos de vibração 74 5 Considerações Finais Conclusões Sugestões 8 6 Referências Bibliográficas 83

9 7 Apêndice Primeira iteração Segunda iteração 9

10 Lista de figuras Figura 1 Placa retangular. 0 Figura Elemento de placa dd na configuração indeformada 1 Figura 3 Normal ao plano médio antes e depois da deformação. Figura 4 Elemento de placa na configuração deformada. 5 Figura 5 Placa apoiada nas faces = 0, a e engastada nas faces = 0, b. 8 Figura 6 Placa submetida à compressão no plano. 9 Figura 7 Placa carregada em sua configuração de flambagem. 30 Figura 8 Valores críticos da tensão aial para placas simplesmente apoiadas submetidas a forças de compressão. 31 Figura 9 Fluograma do Método de Galerkin Iterativo 40 Figura 10 Seis primeiros modos de vibração para uma placa engastada nos quatro lados (E-E-E-E) 43 Figura 11 Seis primeiros modos de vibração para uma placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A) 46 Figura 1 Amplitude de vibração de uma placa em vibração livre nãoamortecida em função do tempo 48 Figura 13 Amplitude de vibração de uma placa em vibração livre amortecida em função do tempo 48 Figura 14 Espectro de resposta para o carregamento F() t = F0 j senω f t para a placa sem amortecimento 51 Figura 15 - Espectro de resposta para o carregamento F() t = F0 j senω f t para a placa amortecida 5 Figura 16 - Amplitude de vibração de uma placa em vibração forçada nãoamortecida em função do tempo 53 Figura 17 Amplitude de vibração de uma placa em vibração forçada amortecida em função do tempo 54 Figura 18 Quadrado da freqüência natural ω carregamento N para a placa simplesmente apoiada. 57 Figura 19 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial. 58 Figura 0 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada com 5% da carga

11 crítica. 59 Figura 1 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica. 59 Figura Velocidades da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial. 59 Figura 3 Velocidades da placa simplesmente apoiada com 5% da carga crítica. 60 Figura 4 Velocidades da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica. 60 Figura 5 Acelerações da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial. 61 Figura 6 Acelerações da placa simplesmente apoiada com 5% da carga crítica. 61 Figura 7 Acelerações da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica. 61 Figura 8 Variação da amplitude com o aumento do carregamento aial. 6 Figura 9 Variação da velocidade com o aumento do carregamento aial. 6 Figura 30 Variação da aceleração com o aumento do carregamento aial. 63 Figura 31 Deslocamentos em função da freqüência para cada valor de σ σ c. 64 Figura 3 Freqüência natural em função do carregamento uniaial para placa sem carregamento e com carregamento ecêntrico. 78 Figura 33 Freqüência natural em função da ecentricidade do carregamento. 78

12 Lista de tabelas Tabela 1 Condições de contorno para placas esbeltas. 8 Tabela - Valores numéricos do fator k c na eq. (.46). 34 Tabela 3 - Funções polinomiais de vigas. 38 Tabela 4 - Funções obtidas para X ( ) e Y( ) nas três primeiras iterações. 39 Tabela 5 Parâmetro de Freqüência λ = ωa m D para placa engastada nos quatro lados e ab= 3 41 Tabela 6 Modos de vibração para uma placa engastada nos quatro lados (E-E-E-E) 4 Tabela 7 Modos de vibração para uma placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A) 44 Tabela 8 Parâmetro de Freqüência λ = ωa m D para placa do tipo E-E-A-A e ab= 1, 5 45 Tabela 9 Freqüências naturais da placa com carregamento aial. ( Hz ) ab= 3 58 Tabela 10 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E-E-E) e sem carregamento aial 65 Tabela 11 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E-E-E) e com carregamento de 0,10N 67 Tabela 1 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E-E-E) e com carregamento de 0,30N 69 Tabela 13 Defleões no centro de uma placa retangular simplesmente apoiada e submetida a um carregamento N aplicado com ecentricidade e. (Timoshenko & Woinowski-Krieger, 1959). 74 c c

13 Lista de Símbolos Romanos a, b h p,, z N, N cr N Dimensões da placa nas direções e respectivamente Altura da placa na direção z Carga aplicada transversalmente ao plano da placa Eios cartesianos Forças normais no plano da placa Carga crítica de flambagem N, N Forças cisalhantes no plano da placa Q, M, Q M Forças cisalhantes transversais ao plano da placa Momentos fletores M, M Momentos torsores u, v, w u, v, w u 1, v 1, w 1 u 0, v 0, w 0 E C D f P Componentes de deslocamento em qualquer ponto da espessura da placa nas direções, e z respectivamente Componentes de deslocamento no plano médio da placa nas direções, e z respectivamente Incrementos de deslocamento nas direções, e z respectivamente Deslocamentos iniciais nas direções, e z respectivamente Módulo de elasticidade longitudinal Rigidez etensional Rigidez a fleão Função de tensão de Air Força distribuída uniformemente nas etremidades da placa c 1, c,... C 1, C,... m, n, j, k I Constantes numéricas Inteiros positivos Momento de inércia

14 k c W(, ), w (, ) X ( ), Y( ) t m * p z p( ) k c, c cr Coeficiente de flambagem Funções de deslocamento em z Funções de deslocamento em z nas direções e respectivamente Tempo Massa por unidade de área Força de inércia Função peso para o método de Galerkin Iterativo Coeficiente de rigidez Coeficiente de amortecimento F Força Z ( ) mn ω Impedância mecânica e c w Ecentricidade Amplitude do modo de vibração A 1, A Constantes Gregos α σ, σ Ângulo Componente de tensão normal em qualquer ponto da σ, τ τ σ espessura da placa Componente de tensão normal no plano médio da placa na direção, τ, τ z, τ z Componente de tensão cisalhante em qualquer ponto da espessura da placa, τ, τ z, τ z Componentes de tensão cisalhante no plano médio da β, β placa Rotações relativas ε, ε, γ Deformações específicas em qualquer ponto da placa ν 4 λ, λ 1, λ Coeficiente de Poisson onde corresponde ao operador Laplaciano Parâmetro de freqüência e autovalores das funções características

15 θ () t Função deslocamento no tempo ω Ω ξ μ ζ Freqüência natural Freqüência natural normalizada Taa de amortecimento Amplitude da deformação no centro da placa Amplitude do modo de vibração

16 If human life were long enough to find the ultimate theor, everthing would have been solved b previous generations. Nothing would be left to be discovered Stephen Hawking

17 1 Introdução Com o advento de novas técnicas construtivas e novos materiais tem sido possível projetar e construir estruturas cada vez mais esbeltas que conseguem vencer vãos cada vez maiores, tornando, portanto, as estruturas atuais mais fleíveis. As placas tais como: lajes de edifícios, tabuleiros de pontes e bases de máquinas, são altamente suscetíveis a problemas de vibração ecessiva devidos essencialmente a carregamentos dinâmicos, como tráfego de pedestres e veículos, máquinas rotativas, impactos e ações naturais, como vento, terremotos e ondas. As estruturas em vibração dissipam energia através de tensões internas, fricção, fissuras, deformações plásticas, etc.; quanto maior a capacidade de dissipar a energia menor a amplitude da vibração. Algumas estruturas têm amortecimento muito baio, da ordem de 1% do amortecimento crítico e conseqüentemente apresentam amplitudes maiores de vibração mesmo para ecitações moderadas. Métodos para aumentar a capacidade de dissipar energia têm grande eficiência em reduzir as amplitudes de vibração. Muitos mecanismos têm sido utilizados ou propostos para aumentar o amortecimento em estruturas (Housner et al, 1997). Com o intuito de amenizar a amplitude dos deslocamentos produzidos pelas ações dinâmicas sobre este tipo de estrutura, muitos pesquisadores e engenheiros têm procurado soluções tecnicamente viáveis para este problema, através do controle estrutural, que pode ser classificado como controle passivo e controle ativo (Mat Darus & Thoki, 005; Keir et al, 005; Curadelli et al, 004; Alessandroni et al, 005; Liu et al 006). Os sistemas de controle passivo abrangem uma escala de materiais e mecanismos que atuam na alteração das propriedades de amortecimento, rigidez e resistência da estrutura. Os sistemas ativos, que incluem controle ativo, controle híbrido e controle semi-ativo, empregam mecanismos atuadores integrados com sensores, controladores e processamento de informação em tempo real (Soong & Spencer Jr, 00). Mecanismos de controle passivo não são controláveis e não requerem energia para operar. Os mecanismos de controle ativo são controláveis; porém, demandam energia significante para

18 Introdução 18 operação. Sistemas semi-ativos combinam os atributos positivos do controle passivo e ativo, portanto são controláveis, mas demandam baia energia para operar (Spencer Jr & Sain, 1997). Neste trabalho busca-se estudar de forma teórica métodos adequados de controle passivo e semi-ativo em placas retangulares, com ênfase no uso de mecanismos de controle não-lineares. O controle das vibrações se dará através da aplicação de forças de compressão no plano médio da placa em estudo. Espera-se que a aplicação de tensões no plano da placa diminua os deslocamentos e as acelerações causadas pelo carregamento dinâmico. Serão propostos modelos dinâmicos não-lineares, baseados na equação diferencial de equilíbrio de placas de von Kármán, buscando uma solução em séries de Fourier. Serão deduzidas as equações de equilíbrio estático e dinâmico considerando vibração livre e forçada. Está sendo proposto ainda o método de Galerkin Iterativo para resolução de placas com diversas condições de contorno. Este método permite encontrar, de forma numérica, a solução analítica do problema. Este fato é comprovado através da ortogonalidade das autofunções. Esta propriedade permite a obtenção de equações desacopladas tornando a solução mais simples de ser obtida e permitindo a resolução de problemas por métodos de superposição de modos. O método de Ritz combinado com séries compostas de funções de vigas foi utilizado por diversos autores para determinar as cargas críticas e as freqüências naturais de placas submetidas a carregamentos aiais arbitrários e com variadas condições de contorno (Bassil & Dickinson, 197; Dickinson, 1971; Young, 1950). O método de Galerkin tem sido também utilizado por muitos pesquisadores para obter as soluções da equação de equilíbrio de von Kármán a fim de obter as freqüências naturais e as cargas críticas de flambagem para diversas condições de contorno (Stanisic, 1956; Ilanko, 00; Munakata, 195; Bedair & Sherbourne, 1994) Kaldas & Dickinson (1980) utilizaram séries compostas de funções de vigas e integração numérica para determinar as cargas críticas e as freqüências naturais de placas submetidas a carregamentos aiais arbitrários e com variadas condições de contorno. O método de Raleigh foi utilizado, juntamente com séries de funções similares as das vigas, para determinação das epressões de freqüências para diversas condições de contorno de placas (Warburton, 1953; Dickinson, 1978)

19 Introdução 19 A dissertação de mestrado a ser desenvolvida faz parte da linha de pesquisa sobre Instabilidade e Dinâmica das Estruturas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Pretende-se fornecer uma contribuição na área de proteção de estruturas civis contra ecitações dinâmicas indesejáveis. Para tanto é realizado um estudo minucioso do comportamento de placas sob a ação de carregamentos dinâmicos, considerando as diversas condições de contorno aplicáveis e as propriedades dos materiais constituintes. Este trabalho visa apresentar ainda o método de Galerkin Iterativo para solução da equação de equilíbrio de placas. Este método é aplicado para obtenção tanto da solução estática, quanto da solução dinâmica. Neste trabalho os cálculos são realizados através do programa de álgebra simbólica Maple. Ao final é proposto um método de controle passivo de vibrações de placas através da aplicação de uma força de compressão. Analisa-se a influência desta força nas freqüências naturais das placas e na amplitude do movimento dinâmico, considerando a força aplicada no plano médio da placa e com ecentricidade.

20 Teoria das Placas Esbeltas Este capítulo apresenta um resumo dos conceitos básicos da teoria nãolinear de placas esbeltas. Vários autores apresentam uma eplanação detalhada desta teoria: Timoshenko & Gere (1961), Brush & Almroth (1975), Szilard (1974) dentre outros. O teto aqui apresentado segue a formulação proposta por Brush & Almroth (1975) e Szilard (1974)..1. Fleão de Placas Retangulares Considera-se inicialmente uma placa retangular plana de comprimento a, largura b e altura h, submetida a carregamentos aiais e a uma carga transversal, normal ao plano da placa de valor p. A posição da placa está definida por um sistema de coordenadas cartesianas,, z, onde e estão no plano médio da placa e z é medido a partir deste plano médio, como mostrado na Figura 1. z h b a Figura 1 Placa retangular. O objetivo da teoria de placas é reduzir o problema tridimensional a um problema bidimensional aproimado (Brush & Almroth, 1975). As forças internas e momentos agindo nas laterais do elemento de placa, como mostra a Figura, estão epressos em termos de forças e momentos por unidade de comprimento ao longo da borda do elemento. A intensidade das forças e momentos que agem

21 Teoria das Placas Esbeltas 1 sobre o elemento está relacionada com as tensões internas de acordo com as seguintes equações: N N Q M M = = = = = h h h σ dz τ dz h h τ dz h z h h h σ zdz τ zdz h N N Q M M = = h h h h h h σ dz τ dz = τ dz (.1) = = h h h h z σ zdz τ zdz onde N, N, N e N são as forças normais e cisalhantes no plano; Q e Q são as forças cisalhantes transversais; M e M, os momentos torsores. M e M, os momentos fletores e; d d p Q M M M Q M h N N N N Figura Elemento de placa dd na configuração indeformada Os símbolos σ, τ, etc., correspondem às componentes de tensão em um ponto qualquer da espessura da placa, enquanto σ, τ, etc., correspondem à componentes de tensão no plano médio ( z = 0 ). Em geral, forças e momentos são funções das coordenadas e. A teoria de placas esbeltas pode ser deduzida em termos das seguintes aproimações: 1. A espessura da placa é pequena se comparada com as outras dimensões;. O plano médio da placa não se alonga durante a fleão, permanece

22 Teoria das Placas Esbeltas uma superfície neutra análoga ao eio neutro de uma viga; 3. Uma normal ao plano médio indeformado permanece reta, normal, e inetensível durante a deformação, de modo que as deformações normais e cisalhantes transversais possam ser desprezadas ao se derivar as relações cinemáticas da placa; 4. As seções planas giram durante a fleão, permanecendo normais à superfície neutra, de modo que as tensões e deformações sejam proporcionais à sua distância da superfície neutra; 5. As tensões normais transversais são pequenas quando comparadas com outras componentes de tensões normais, de modo que podem ser desprezadas nas relações tensãodeformação. Estas aproimações são conhecidas como hipóteses de Kirchhoff (NOVOZHILOV, 1953). Como conseqüência destas aproimações, as componentes de deslocamento em qualquer ponto da placa, u, v, w, podem ser epressas em termos da sua correspondente no plano médio, u, v, w, (Figura 3) pelas relações: onde β e u = u+ zβ v = v+ zβ (.) w= w β são as rotações relativas às direções e, respectivamente. z h v ß v w w z Figura 3 Normal ao plano médio antes e depois da deformação.

23 Teoria das Placas Esbeltas 3 Como uma primeira aproimação da teoria não-linear de placas, pode-se considerar que as deformações são pequenas quando comparadas com a unidade, que as rotações relativas aos eios e são moderadamente pequenas, e que as rotações relativas ao eio z são desprezíveis. As componentes de deformações ε, dadas em termos dos deslocamentos por: ε e γ, para qualquer fibra da placa são ε = u + w 1,, ε = v + w (.3) 1,, γ = u + v + w w,,,, onde considerou-se para esta classe de deformações β = w, e β = w,. Substituindo as eqs. (.) nas eqs. (.3), tem-se: onde ε, ε = ε + zκ ε = ε + zκ (.4) γ = γ + zκ ε e γ são as deformações correspondentes a qualquer ponto da placa e ε, ε, γ correspondem as deformações no plano médio somente. As grandezas k, k e k são as mudanças de curvatura. Assim, podem-se determinar as relações cinemáticas que descrevem o comportamento geometricamente não-linear de placas esbeltas: ε = u + β β = w, κ = β, 1, ε = v + β β = w, κ = β, (.5) γ 1, 1 = ( u, + v, ) + ββ κ = ( β, + β, ) A lei de Hooke generalizada para as componentes de deformação ε, ε e γ em meio isotrópico tridimensional tem a forma 1 ε = σ ν σ + σz E ( ) 1 ε = σ ν ( σz + σ) E (.6) ( + ν ) 1 γ = τ E onde ν é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de elasticidade. Como conseqüência da segunda aproimação da teoria de placas

24 Teoria das Placas Esbeltas 4 esbeltas, σ z é desprezível. Assim, pelas eqs. (.6), tem-se: σ = E ( ε + νε) 1 ν σ = E ε + νε 1 ν τ E = 1 ( ) ( + ν ) γ (.7) Substituindo as eqs. (.7) e (.4) nas eqs. (.1) e integrando as epressões resultantes, obtém-se: = ( + ) M = D( κ + νκ ) = ( + ) M D( κ νκ ) N C ε νε N C ε νε 1 N C ν γ Eh onde C e 1 ν = = ( 1 ) = + (.8) M D ν κ Eh D ( ν ) As equações (.8) representam as relações constitutivas da placa... Equações de Equilíbrio e Compatibilidade Para que se possa levar em consideração a interação não-linear entre forças e rotações, as equações que representam o equilíbrio entre forças e momentos devem ser derivadas para um elemento de placa em uma configuração de pequenas deformações, como mostrado na Figura 4. A fim de simplificar os desenhos, forças e momentos são representados separadamente, e o elemento de placa aparece como um elemento de superfície com espessura nula. As forças, momentos e rotações variam ao longo do elemento e a notação N * é usada para representar ( N + N, d), etc. As rotações β e β são muito pequenas, portanto, os senos e cossenos podem ser substituídos pelo valor do ângulo e pela unidade, respectivamente. Os termos quadráticos que representam a interação não-linear entre os esforços cisalhantes e as rotações são assumidos como sendo desprezíveis. Deste modo, o somatório de forças na direção é ( ) ( ) N d + N + N d d N d + N + N d d = (.9),, 0

25 Teoria das Placas Esbeltas 5 z N N N N ß Q Q* p Q Q* ß N * N * N * N * M M M M M * M * M * M * Figura 4 Elemento de placa na configuração deformada. Eliminando a parcela dd, a eq. (.9) se torna: N + = (.10), N, 0 Do mesmo modo, pelo somatório de forças na direção, obtém-se: N + = (.11), N, 0 O somatório de forças na direção do eio z, após algumas manipulações matemáticas, é dado pela eq. (.1), como segue: ( ) ( ) N + N β N + N β N β,,,,, N β N β N β + Q + Q = p,,,,, (.1) Os termos contendo derivadas de N, N, N e N na eq. (.1) se reduzem a zero como conseqüência das eqs. (.10) e (.11). Estes termos serão desprezados de agora em diante. O somatório de momentos relativos aos eios e, respectivamente, são os seguintes:

26 Teoria das Placas Esbeltas 6 M, M, + Q = 0 M + M Q = 0,, (.13) A seta equação de equilíbrio M = 0, resulta numa identidade e não traz nenhuma nova informação. Substituindo as eqs. (.13) na eq. (.1) e desprezando os termos que contêm N, epressão: z N, N e N, obtém-se, para a última equação a seguinte ( ) M + M + M N β N β + β N β = p (.14),,,,,,, Introduzindo as relações cinemáticas e constitutivas adequadas para os momentos e rotações, a eq. (.14) se reduz a onde (,,, ) + + = (.15) 4 D w N w N w N w p 4 w= w, + w, + w, (.16) Após estas simplificações as equações de equilíbrio podem ser escritas de uma forma relativamente compacta N + N = (.17) N,, 0 + = (.18), N, 0 (,,, ) + + = (.19) 4 D w N w N w N w p As equações não-lineares de equilíbrio aparecem como um sistema de três equações diferenciais não-lineares. Pode ser derivado um sistema mais simples, com duas equações e duas variáveis através das funções de tensão de Air, definidas pelas seguintes relações: N onde f f (, ) = f, N = f, N f, = (.0) =. Estas epressões satisfazem as eqs. (.17) e (.18). Introduzindo as eqs. (.0) na eq. (.19), tem-se: (,,,,,, ) + = (.1) 4 D w f w f w f w p Mas, para consideração da compatibilidade geométrica, das eqs. (.5), tem-se que ε + ε γ = w w w (.),,,,,, Das eqs. (.8), tem-se ε 1 Eh = ( f, ν f, ) ε = ( f, ν f, ) 1 Eh ( + ν ) 1 γ = Eh f,

27 Teoria das Placas Esbeltas 7 Assim, ( ) = (.3) 4 f Eh w, w, w, 0 As eqs. (.1) e (.3) formam um sistema de duas equações com duas variáveis, w e f. Elas são chamadas de equações de equilíbrio e compatibilidade, respectivamente. Tais equações são conhecidas como as equações não-lineares de von Kármán. A solução destas equações permite analisar o comportamento não-linear de placas esbeltas, sendo esta a teoria usada no presente estudo..3. Critério de equilíbrio adjacente Para estudar a possível eistência de uma configuração de equilíbrio adjacente, aplicam-se pequenos incrementos às variáveis de deslocamento e avaliam-se as duas configurações adjacentes através dos deslocamentos antes e depois do incremento como segue. u u0 + u1 v v0 + v1 (.4) w w0 + w1 onde o incremento de deslocamento ( u 1, v 1, w 1 ) é arbitrariamente pequeno, e ( u 0, v 0, w 0 ) e (u, v, w ) representam duas configurações de equilíbrio adjacentes. Introduzindo as eqs. (.4) nas eqs. (.17), (.18) e (.19) e linearizando as equações resultantes, têm-se as equações de equilíbrio crítico de uma placa esbelta submetida à carregamentos no plano: N + N = N 1, 1, 0 + = (.5) 1, N1, 0 ( ) + + = 4 D w1 N 0w1, N 0w1, N 0w1, p A Tabela 1 apresenta um resumo das possíveis condições de contorno usadas na solução das equações de placas planas esbeltas. Na Figura 5 tem-se um eemplo das condições de apoio de uma placa onde a nomenclatura A-E-A- E corresponde às condições de apoio em = 0, = 0, = a, = b, sendo A=Apoiado, E=Engastado e L=Livre. Estas abreviações são utilizadas de agora em diante.

28 Teoria das Placas Esbeltas 8 Tabela 1 Condições de contorno para placas esbeltas. Tipo de Suporte em = a Epressão matemática w = = Simplesmente Apoiada - A ( M ) Engastada - E ( ) 0; a Livre - L ( M ) ( ) 0; a w w = ν = a + = a = 0 w = = w = a = 0 w w = ν = a + = a = w w = + ν 3 3 = 0 ( Q ) ( ) = a = a A-E-A-E Figura 5 Placa apoiada nas faces = 0, a e engastada nas faces = 0, b..4. Aplicações da Equação de Estabilidade.4.1. Método de Lév Determinação da Carga Crítica Como primeiro eemplo de aplicação da equação de estabilidade linear, será utilizada uma placa plana simplesmente apoiada nos quatro lados e submetida a uma força de compressão P uniformemente distribuída ao longo

29 Teoria das Placas Esbeltas 9 dos lados = 0, a, como mostra a Figura 6. Fazendo uma análise do equilíbrio da placa utilizando as eqs. (.17) e (.18), obtém-se: N 0 P b = N0 = N0 = 0 P P b a Figura 6 Placa submetida à compressão no plano. h Substituindo as equações acima na eq. (.19), obtém-se a equação: P + = (.6) b 4 D w w, 0 As condições de contorno para a placa simplesmente apoiada são w= M = 0 em = 0, a e w= M = 0 em = 0, b, onde, pelas eqs. (.5) e (.8), M = EI( w, + ν w, ) e M EI ( w, ν w, ) = +. Conseqüentemente as condições de contorno podem ser escritas como: w= w = 0 em = 0, a, w= w = 0 em = 0, b, (.7) A eq. (.6) é uma equação diferencial com coeficientes constantes. Para este conjunto de condições de contorno tem-se a seguinte solução eata: mπ nπ w= C1 sen sen m, n= 1,,3,... (.8) a b onde C 1 é uma constante. Substituindo na eq. (.6) tem-se

30 Teoria das Placas Esbeltas 30 são mπ mπ nπ nπ mπ D + + a a b b b a 4 4 P (.9) Os valores de P para os quais a eq. (.6) possui soluções não-triviais π P a m n = D + b m a b (.30) O valor da carga crítica corresponde ao menor autovalor da equação. Para todos os valores de a e b o menor autovalor é obtido considerando n = 1. onde π 1 P a m = D + m= 1,,3,... b m a b A eq. (.31) pode ser epressa da seguinte forma: N cr (.31) π D = kc (.3) b mb a kc = + a mb O coeficiente k c é uma função da relação ab e do parâmetro m. (.33) A Figura 7 mostra uma placa carregada em sua configuração de flambagem. Figura 7 Placa carregada em sua configuração de flambagem. A Figura 8 mostra a variação do fator k c em função da relação ab, para diversos valores de m. Tem-se assim que o valor de m correspondente à carga crítica depende da relação ab.

31 Teoria das Placas Esbeltas k c 5 4 m=1 m= m=3 m= a/b Figura 8 Valores críticos da tensão aial para placas simplesmente apoiadas submetidas a forças de compressão..4.. Método de Galerkin Iterativo Determinação da Carga Crítica A forma simples da eq. (.8), aplicável à condição em que os lados da placa são simplesmente apoiados não é válida para outras condições de contorno. Como um eemplo mais geral, considera-se uma força P aplicada em uma placa simplesmente apoiada nas bordas = 0, a, mas com outras condições de contorno em = 0, b e isenta de esforços de cisalhamento. A menor carga crítica para estas condições de contorno, evidentemente, correspondem aos bordos livres em = 0, b. Neste caso a placa pode ser tratada como uma coluna, onde a rigidez à fleão EI é substituída por Db. Então, tem-se: π Db = (.34) Ncr m a Este tipo de placa por ser chamado de pilar parede. O menor autovalor da eq. (.34) corresponde a m = 1.

32 Teoria das Placas Esbeltas 3 No caso mais geral, a equação diferencial e as condições de contorno em = 0, a são satisfeitas pela solução da seguinte forma: (, ) ( )sen m π W = Y (.35) a onde m = 1,,3,... Introduzindo a eq. (.35) na equação diferencial de equilíbrio de placas, obtém-se a equação diferencial ordinária de quarta ordem a seguir: 4 mπ mπ P mπ Y, Y, + Y = 0 a a Db a (.36) A eq. (.36) é uma equação diferencial com coeficientes constantes. Consequentemente, sua solução é prontamente epressada por condições arbitrárias em = 0, b. A equação característica associada com a eq. (.36) é: 4 4 m P π m π m λ λ π + = 0 a a Db a As raízes da eq. (.37) são (.37) ( ) 1 mπ mπ P λ =± ± a a Db Mas da eq. (.34) tem-se que ( ) 1 1 (.38) P Db = mπ a para um pilar parede e P Db > mπ a para todas as outras condições de apoio em = 0, b. Consequentemente, em todos os outros casos as raízes (.38) podem ser escritas como: λ = λ, λ, iλ, iλ 1 1 onde λ 1 e λ são reais e positivos e dados por mπ mπ P λ1 = + a a Db 1 (.39) mπ mπ P λ = + a a Db Nesta notação, a solução da eq. (.36) pode ser escrita como ( ) sen ( λ ) cos( λ ) senh ( λ ) cosh ( λ ) (.40) Y = C + C + C + C (.41) onde C 1, C, C 3 e C 4 são constantes a serem determinadas a partir das condições de contorno em = 0, b.

33 Teoria das Placas Esbeltas 33 Como um eemplo, considera-se uma placa engastada nas faces = 0, b e apoiada nas faces carregadas (Figura 5). As equações para a condição de apoio em = 0, b são w= w, = 0 (.4) Estas equações representam defleão nula, w = 0 e rotação nula, w, = 0 em = 0, b. Aplicando as condições descritas na eq. (.4), obtem-se quatro equações homogêneas: C + C4 = 0 C1λ1+ C3λ= 0 1 ( 1 ) ( 1 ) 3 ( ) 4 ( ) (.43) C sen λb + C cos λb + C senh λ b + C cosh λ b = 0 C1cos( λ1b) λ1 Csen ( λ1b) λ1+ C3cosh ( λb) λ + C4senh ( λb) λ = 0 onde λ 1 e λ são dados pelas Equações (.39) e (.40). Para se obter uma solução não-trivial o determinante dos coeficientes das equações (.43) deve ser nulo, isto é: λ1 0 λ 0 = 0 (.44) sen ( λ1b) cos( λ1b) senh ( λb) cosh ( λb) cos λb λ sen λb λ cosh λ b λ senh λ b λ ( ) ( ) ( ) ( ) Epandindo o determinante, obtém-se a seguinte equação característica: λ λ λ cos( λb)cosh( λ b) λ sen( λb) λ senh( λ b) + sen( λb) λ senh( λ b) (.45) Resolvendo a eq. (.45) para λ 1 e λ, obtem-se uma epressão implícita para o parâmetro de carga adimensional Pb D em termos do parâmetro do número de ondas senoidais m, do coeficiente de Poisson ν, e da relação ab. Cálculos mostram que, para todos os valores de ab,a carga mínima ocorre para m = 1. Os resultados podem ser então, epressos na forma π D Ncr = kc (.46) b onde k c é o coeficiente de flambagem adimensional para a carga de compressão. Este procedimento pode ser estendido para as demais condições de contorno em, como mostram os valores de k c para as condições de apoio estudadas e para relação ab= 1, 0, apresentados na Tabela.

34 Teoria das Placas Esbeltas 34 Tabela - Valores numéricos do fator k c na eq. (.46). Condições de contorno Presente Trabalho Brush & Almroth (1975) 1 A-E-A-E 7,6913 7,7 A-E-A-L 1,6983 1,7 A-A-A-E 5,740 5,8 A-A-A-L 1,434 1,5 A-L-A-L 1, A-A-A-A 4,0000 4,0 1 Os valores foram obtidos graficamente. k c.5. Análise Dinâmica de Placas.5.1. Equação Diferencial de Movimento Para determinação da equação diferencial de movimento de placas, basicamente dois métodos podem ser utilizados. Tanto pode ser aplicado o princípio do equilíbrio dinâmico de D'Alembert ou usar uma formulação baseada em uma formulação de energia. Para se escrever a equação de movimento de placas deve-se introduzir o conceito de força de inércia, que é definido como sendo * w pz = m = mw (.47) t onde m é a massa por unidade de área. Na análise dinâmica de placas, as cargas laterais, e conseqüentemente as deformações resultantes, são funções do tempo. Uma maneira conveniente de epressar esta dependência do tempo é através das séries de Fourier. Portanto, a função da carga, por eemplo, pode ser escrita como p (,, t) = p (, )( θt) = p (, ) P sen p t (.48) z z z n n n Partindo da equação diferencial de equilíbrio estático adicionando a força de inércia (eq. (.47)), a equação diferencial de movimento forçado nãoamortecido é obtida como sendo: (,, ) = (,, ) = 0 (.49) 4 D wt pz t mw onde e são as coordenadas cartesianas no plano médio da superfície. Para o caso de vibração livre, a força eterna p z é igual a zero, e a

35 Teoria das Placas Esbeltas 35 equação diferencial de movimento não-amortecido se torna + = 0 (.50) 4 D w mw.5.. Determinação das Freqüências e Modos Naturais de Vibração Método de Lév A vibração livre não-amortecida de placas retangulares consiste basicamente em um problema de valor de contorno da física matemática. Desde que a solução para a vibração livre de placas resulte em uma equação diferencial homogênea (eq. (.50)), os métodos conhecidos para solução da equação bi-harmônica podem ser utilizados. Os efeitos da inércia rotacional são aqui desprezados. Uma solução para a eq. (.50) pode ser proposta da seguinte forma wt (,, ) = X( Y ) ( ) θ ( t) (.51) onde X ( Y ) ( ) representam os modos de vibração, enquanto que os deslocamentos em função do tempo, θ () t, são considerados como harmônicos: θ () t = sen ωt θ() t = cosωt (.5) A solução deve satisfazer as condições de contorno da placa e as condições iniciais do movimento em t = 0. Estas condições são: ( w ) t= 0 e ( w ) t= 0. Substituindo a eq. (.51) na eq. (.50), a equação diferencial para vibração livre torna-se: mω X, Y, + X, Y, + X, Y, XY = 0 (.53) D Para placas simplesmente apoiadas, a solução eata da eq. (.53) é dada pela série dupla de Fourier, conhecida como solução de Navier, como segue: mπ nπ w= Wmn sen sen (.54) m= 1 n= 1 a b onde m = 1,,3,... e n = 1,,3,.... Substituindo a eq. (.54) na eq. (.53), tem-se, logo, m π m π n π n π mω + + = 0 (.55) 4 4 a a b b D ω m n D mn = π + a b m (.56)

36 Teoria das Placas Esbeltas 36 onde m = 1,,3,... e n = 1,,3,.... O primeiro modo de vibração corresponde a uma única onda senoidal nas direções e, respectivamente. Este modo está associado à freqüência natural em que m = 1 e n = 1. Fazendo tanto m ou n igual a e o outro igual a 1, os próimos dois modos são obtidos e assim sucessivamente. Da mesma forma que na análise da estabilidade, pode-se resolver a equação de movimento pelo método de Lév no caso de placas simplesmente apoiadas em dois lados opostos. Assumindo agora que os lados simplesmente apoiados são em = 0, a, a solução da equação diferencial é dada pela eq. (.35): (, ) ( )sen m π W = Y a Esta epressão, substituída na eq. (.53), resulta em onde m π m dy dy m Y π + ω Y = 0 (.57) 4 4 a a d d D A solução geral para Y é: Y( ) = C sen λ + C cosλ + C senh λ + C cosh λ (.58) m m π λ1 = ω + (.59) D a m m π λ = ω (.60) D a As constantes ( C 1, C, C 3 e C 4 ) são determinadas a partir das condições de contorno em = 0, b. As condições de contorno permitem obter a equação característica de onde ω pode ser determinado. Pode-se tomado como eemplo o caso de uma placa simplesmente apoiada nos lados = 0, a, engastada em = 0 e livre em = b. As condições de contorno para os lados = 0 e = b são, respectivamente w= w, = 0 (.61) w + ν w = w + ( ν ) w = 0 (.6),,,, Aplicando as condições de contorno ((.61) e (.6)) à eq. (.35), obtém-se um sistema de equações homogêneo como segue:

37 Teoria das Placas Esbeltas 37 C + C4 = 0 C1λ1+ C3λ= 0 m π m π λ1 ν sen( λ1b) C1 + λ1 ν cos( λ1b) C + a a m π m π λ ν senh( λ b) C3 + λ ν cosh( λ b) C4 = 0 a a (.63) m π m π λ1 λ1 ( ν) cos( λ 1b) C1 + λ1 λ1 + ( ν) sen( λ1b) C + a a m π m π λ λ ( ν) cosh( λ b) C3 + λ λ ( ν) senh( λ b) C4 = 0 a a Resolvendo a equação característica, obtida a partir da premissa de que o determinante dos coeficientes do sistema homogêneo seja nulo, podem ser calculados os valores de λ 1 e λ, obtendo-se as freqüências naturais e os modos de vibração, uma vez que se pode determinar a função Y( ) Método de Galerkin Iterativo Para se resolver os casos onde as condições de contorno não se encaiam em nenhum dos casos descritos anteriormente, como, por eemplo, uma placa retangular totalmente engastada em seus quatro lados, deve-se utilizar outras metodologias de análise. A solução de uma equação diferencial parcial em duas dimensões pode encontrada através do método de separação de variáveis (.64), onde X ( ) e Y( ) são funções nas direções e, respectivamente. No caso da placa, tem-se W(, ) = X( ) Y( ) (.64) Neste trabalho será utilizado o método de Galerkin para se encontrar as freqüências naturais e os modos de vibração. O método de Galerkin é uma generalização e simplificação do princípio dos trabalhos virtuais (Szilard, 1974). Neste trabalho o emprego do método consiste basicamente em encontrar analiticamente uma função Y( ), dada uma função aproimada X ( ) que atenda às condições de contorno apresentadas e seja solução da equação diferencial de placas. Resolvendo a eq. (.65), obtém-se uma equação diferencial homogênea que permite determinar analiticamente a função Y( ).

38 Teoria das Placas Esbeltas 38 ω m D a 0 W, + W, + W, W p( ) d (.65) onde a é a dimensão da placa na direção do eio e p( ) é a função peso que é aqui considerada igual a X ( ). A equação diferencial obtida a partir deste método é similar à equação encontrada para o método de Lév e pode ser resolvida da mesma maneira. É inicialmente utilizada uma solução polinomial para X ( ) que atenda às condições de contorno impostas pelo problema. Estas equações são determinadas a partir da equação da linha elástica de vigas. Na Tabela 3 estão descritas as funções utilizadas neste trabalho que atendem as condições de contorno. Tabela 3 - Funções polinomiais de vigas. Condições de contorno Funções polinomiais Engastado-Engastado X( ) = a a a Engastado-Livre X( ) = a 3a a Engastado-Apoiado X( ) = a a a Apoiado-Livre X( ) = a 4 3 Uma vez obtida a primeira função Y( ), através da primeira iteração do método, pode-se seguir o mesmo procedimento para se encontrar uma função mais precisa para X ( ). De posse desta função, é seguido o mesmo procedimento novamente obtendo resultados mais precisos até que o resíduo seja desprezível. Tomando como eemplo uma placa engastada em seus quatro lados, assume-se a solução inicial da equação diferencial como sendo: W(, ) = + Y( ) 4 3 (.66) a a a Aplicando o método de Galerkin na direção, tem-se que o resultado da eq. (.65) é uma equação diferencial homogênea de quarta ordem, com coeficientes constantes (eq. (.67)), a saber: cy + cy + cω Y+ cy= (.67) 1,, 3 4 0

39 Teoria das Placas Esbeltas 39 onde c 1, c, c 3 e c 4 são constantes que dependem apenas das propriedades físicas da placa considerada e foram adotadas para ajudar nas simplificações. Resolvendo a eq. (.67), obtém-se: Y( ) = C sen λ + C cosλ + C senh λ + C cosh λ (.68) onde λ 1 e λ são funções das propriedades físicas consideradas e da freqüência natural. As constantes ( C 1, C, C 3 e C 4 ) são determinadas a partir das condições de contorno em = 0, b. Aplicando as condições de contorno à eq. (.64), obtém-se um sistema homogêneo, da mesma forma como foi obtido para os casos descritos na seção anterior. A solução da equação característica permite determinar os valores numéricos de λ 1 e λ e, a partir destes, calcular as freqüências naturais e determinar os valores das constantes ( C 1, C, C 3 e C 4 ), obtendo-se assim os modos de vibração. Na Tabela 4 são apresentados os resultados obtidos para as funções X ( ) e Y( ) nas três iterações realizadas para cada função. Estas funções representam o 1º modo de vibração. Podemos verificar claramente que eiste uma convergência nas funções, validando o método utilizado. Na Figura 9 é mostrado um fluograma do método de Galerkin Iterativo, mostrando os passos necessários para se chegar à solução do problema. Os valores calculados para as freqüências naturais são mostrados na Tabela 5, onde os resultados encontrados neste trabalho são comparados com os publicados por Leissa (1969). As porcentagens representam a diferença entre os resultados. Tabela 4 - Funções obtidas para X ( ) e Y( ) nas três primeiras iterações. Função em a a a 4 3 0,5768sen(0, 4515 ) 0, 478cos(0, 4515 ) 0, 469senh(0,5551 ) + 0, 478cosh(0,5551 ) 0, 5768sen(0, 4515 ) 0, 478cos(0, 4515 ) 0, 469 senh(0, 5550 ) + 0, 478 cosh(0, 5550 Função em 0,7677sen(0, 693 ) 0,3700cos(0, 693 ) 0,3698senh(0,5590 ) + 0,3700cosh(0,5590 ) 0, 7696sen(0, 690 ) 0,3687cos(0, 690 ) 0,3685senh( ) + 0,3687cosh( ) 0,7696sen(0, 690 ) 0,3687cos(0, 690 ) 0,3686senh(0,5617 ) + 0,3686cosh(0,5617 )

40 Teoria das Placas Esbeltas 40 Figura 9 Fluograma do Método de Galerkin Iterativo

41 Teoria das Placas Esbeltas 41 Os valores calculados para as freqüências naturais são mostrados na Tabela 5, onde os resultados deste trabalho são comparados com os publicados por Leissa (1969). As porcentagens representam a diferença entre os resultados. Tabela 5 Parâmetro de Freqüência λ = ωa m D para placa engastada nos quatro lados e ab= 3 Seqüência Modal (m,n) Presente trabalho Leissa Diferença 1 (1,1) 7,01 7,010 0,006 (1,) 41,715 41,716-0,003% 3 (,1) 66,130 66,143-0,00% 4 (1,3) 66,533 66,55-0,09% 5 (,) 79,815 79,850-0,043% 6 (1,4) 100,81 100,85-0,09% Na Tabela 6 são apresentadas as funções obtidas pelo método de Galerkin Iterativo para os seis primeiros modos de vibração. Considera-se uma placa com dimensões a = 10 m, b = 15 m e h = 0, 0 m e com m = 5 kn/m², E = 30 GPa e ν = 0,3. A representação gráfica destes modos é apresentada na Figura 10. O método de Galerkin Iterativo permite obter modos de vibração ortogonais. Esta propriedade favorece a resolução dos problemas de vibração discutidos nos capítulos subseqüentes através da superposição das soluções obtidas para cada modo. A ortogonalidade dos modos pode ser demonstrada através da integral do produto entre dois distintos modos de vibração aqui obtidos. Como eemplo, farse-á esta verificação para os dois primeiros modos de vibração obtidos para a placa totalmente engastada (E-E-E-E) do eemplo anterior. Da Tabela 6 tem-se: [ w (, ) 1,1 = 0,577 sen(0, 451 ) 0, 473cos(0, 451 ) 0, 469senh(0,555 ) + 0, 473cosh(0,555 ) [ 0, 769sen(0, 69 ) 0,369 cos(0, 69 ) 0,369senh(0,56 ) + 0,369 cosh(0,56 ) [ w (, ) 1, = 0, 75sen(0, 414 ) 0,397 cos(0, 414 ) 0,397 senh(0, 757 ) + 0,397 cosh(0, 757 ) [ 0, 67 sen(0,50 ) 0, 450 cos(0,50 ) 0, 450senh(0, 699 ) + 0, 450 cosh(0, 699 ) (.69) (.70)

42 Teoria das Placas Esbeltas 4 Tabela 6 Modos de vibração para uma placa engastada nos quatro lados (E-E-E-E) (m,n) Modo w (, ) = X( )* Y( ) (1,1) (1,) (,1) (1,3) (,) (1,4) [ w (, ) = 0,577sen(0,451 ) 0,473cos(0,451 ) 0, 469senh(0,555 ) + 0, 473cosh(0,555 ) [ 0,769sen(0,69 ) 0,369cos(0,69 ) 0,369senh(0,56 ) + 0,369 cosh(0,56 ) [ w (, ) = 0,75sen(0,414 ) 0,397cos(0,414 ) 0,397senh(0,757 ) + 0,397 cosh(0,757 ) [ 0,67sen(0,50 ) 0, 450cos(0,50 ) 0, 450senh(0,699 ) + 0, 450cosh(0,699 ) [ w (, ) = 0,59sen(0,778 ) 0, 490cos(0,778 ) 0, 490senh(0,839 ) + 0, 490cosh(0,839 ) [ 0,91sen(0, 41 ) 0, 5cos(0, 41 ) 0,5senh(0,988 ) + 0,5cosh(0,988 ) [ w (, ) = 0,834sen(0,387 ) 0,319cos(0,387 ) 0,319senh(1,01 ) + 0,319cosh(1,01 ) [ 0,570sen(0, 71 ) 0, 474 cos(0, 71 ) 0,474senh(0,866 ) + 0,474cosh(0,866 ) [ w (, ) = 0,598sen(0,760 ) 0, 463cos(0,760 ) 0, 463senh(0,983 ) + 0, 463cosh(0,983 ) [ 0,791sen(0, 475 ) 0,353cos(0, 475 ) 0,353senh(1, 064 ) + 0,353cosh(1, 064 ) [ w (, ) = 0,895sen(0,370 ) 0, 57 cos(0,370 ) 0, 57senh(1, 88 ) + 0, 57 cosh(1, 88 ) [ 0,543sen(0,935 ) 0, 485cos(0,935 ) 0, 485senh(1, 048 ) + 0, 485cosh(1, 048 )

43 Teoria das Placas Esbeltas 43 onde as eqs. (.69) e (.70) representam o 1º e o º modos de vibração, respectivamente. Para que os modos sejam ortogonais o resultado da integral do produto dos modos no domínio deve ser nulo. Para o caso estudado tem-se o seguinte resultado: a b w w dd = (, ) 0 0 1,1 (, ) 1, 0, (.71) Como o resultado da integral da eq. (.71) é muito próimo de zero podese afirmar que os modos obtidos através do método de Galerkin são ortogonais. Esta propriedade pode ser usada para terminar o processo iterativo. (1,1) (1,) (,1) (1,3) (,) (1,4) Figura 10 Seis primeiros modos de vibração para uma placa engastada nos quatro lados (E-E-E-E)

44 Teoria das Placas Esbeltas 44 Tabela 7 Modos de vibração para uma placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A) (m,n) Modo w (, ) = X ( )* Y( ) (1,1) (,1) (1,) (3,1) (,) (4,1) [ w (, ) = 0,791sen(0,37 ) 0,353cos(0,37 ) 0,353senh(0,53 ) + 0,353cosh(0,53 ) [ 0,598sen(0,380 ) 0, 46cos(0,380 ) 0, 463senh(0, 49 ) + 0, 463cosh(0, 49 ) [ w (, ) = 0,637sen(0,460 ) 0,445cos(0,460 ) 0, 445senh(0,657 ) + 0, 445cosh(0,657 ) [ 0,75sen(0,361 ) 0,381cos(0,361 ) 0,381senh(0,713 ) + 0,381cosh(0,713 ) [ w (, ) = 0,96sen(0,5 ) 0,19cos(0,5 ) 0, 19senh(0,953 ) + 0, 19cosh(0,953 ) [ 0,533sen(0,703 ) 0, 489cos(0,703 ) 0, 489senh(0,766 ) + 0, 489cosh(0,766 ) [ w (, ) = 0,574sen(0,674 ) 0,473cos(0,674 ) 0, 473senh(0,819 ) + 0, 473cosh(0,819 ) [ 0,851sen(0,348 ) 0,303cos(0,348 ) 0,303senh(0,977 ) + 0,303cosh(0,977 ) [ w (, ) = 0,799sen(0,446 ) 0,348cos(0,446 ) 0,348senh(1,05 ) + 0,348cosh(1,05 ) [ 0,610sen(0,693 ) 0, 458cos(0,693 ) 0, 458senh(0,93 ) + 0, 458cosh(0,93 ) [ w (, ) = 0,545sen(0,886 ) 0,484cos(0,886 ) 0, 484senh(0,999 ) + 0, 484cosh(0,999 ) [ 0,905sen(0,341 ) 0, 45cos(0,341 ) 0, 45senh(1, 57 ) + 0, 45cosh(1, 57 )

45 Teoria das Placas Esbeltas 45 Como segundo eemplo, considera-se uma placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A). Desta vez as dimensões adotadas para a placa são a = 15 m, b = 10 m e h = 0, 0 m. Para o material, tem-se: m = 5 kn/m², E = 30 GPa e ν = 0,3. Na Tabela 7 são apresentadas as funções que descrevem os seis primeiros modos de vibração e na Tabela 8 são apresentados os valores do parâmetro de freqüência obtidos, para este caso, comparados com os publicados por Leissa (1969). Tabela 8 Parâmetro de Freqüência λ = ωa m D para placa do tipo E-E-A-A e ab= 1, 5 Seqüência Modal (m,n) Presente trabalho Leissa Diferença 1 (1,1) 44,895 44,893 0,005% (,1) 76,554 76,554 0,000% 3 (1,) 1,34 1,330-0,005% 4 (3,1) 19,399 19,410-0,008% 5 (,) 15,535 15,580-0,030% 6 (4,1) 0,654 0,660-0,003% Na Figura 11 estão representados graficamente os modos de vibração obtidos para a placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A), considerada neste eemplo Vibração Livre Seja inicialmente uma placa plana esbelta simplesmente apoiada. Se uma ecitação inicial arbitrária for dada a esta placa, o movimento de vibração livre resultante será uma superposição dos modos de vibração desta placa. Considerando a equação diferencial de movimento de placas com condições iniciais quaisquer: a solução é dada por + = 0 (.7) 4 D w mw mπ nπ w(,, t) Wmn sen sen a b = (.73) m= 1 n= 1

46 Teoria das Placas Esbeltas 46 (1,1) (,1) (1,) (3,1) (,) (4,1) Figura 11 Seis primeiros modos de vibração para uma placa engastada nas etremidades = 0 e = 0 ; e simplesmente apoiada em = a e = b (E-E-A-A) onde cada modo satisfaz a equação (.7) e condições de contorno (.7). Substituindo a eq. (.73) na eq. (.7), obtém-se a equação diferencial ordinária no tempo que governa o movimento da placa em função dos modos de vibração: onde ( ) + ( ) = 0 m w t k w t (.74) mn j mn j m n 4 kmn = π D a + b A eq. (.74) pode ser escrita na forma matricial como segue: (.75)

47 Teoria das Placas Esbeltas 47 (.76) [ mwt ( ) + [ kwt ( ) = 0 Para se obter a equação diferencial para vibração livre amortecida basta adicionar uma força de amortecimento ao sistema. Esta força é considerada proporcional à velocidade e pode ser epressa por F = cw (.77) onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso e o sinal negativo indica que a força de amortecimento age na direção oposta a direção da velocidade. O coeficiente c pode ser definido como c= ξωm (.78) onde ξ é a relação entre o coeficiente de amortecimento viscoso c e o coeficiente de amortecimento crítico c cr. O termo correspondente à força de amortecimento pode ser escrito na forma matricial como segue: [ cwt ( ) (.79) Desta forma a eq. (.76) se torna mwt + cwt + kwt = (.80) [ () [ ( ) [ ( ) 0 A partir da eq. (.80), pode-se obter n modos desacoplados no espaço, desta forma pode ser utilizado o conceito de superposição como em qualquer problema linear. O sistema de equações da eq. (.76), pode ser reduzido a um sistema de equações diferenciais ordinárias. Este sistema reduzido está representado na eq. (.81). onde X w () t j mn X = X X j j+ 1 j+ 1 = ωkx j =, X w () t =. j+ 1 mn j = 1,3,5,... k = 1,,3,... (.81) Pode-se utilizar, por eemplo, o método de Runge-Kutta (Kreszig, 1999; Kreszig et al, 1994; Boce & Diprima, 1997) para se obter numericamente a solução da eq. (.81), esta solução está representada graficamente na Figura 1. O sistema de equações diferenciais ordinárias para vibração livre amortecida é obtido a partir da eq. (.80) e está representado na eq. (.8). X = X X X X j j+ 1 j+ 1 = ωk j ξωk j+ 1 j = 1,3,5,... k = 1,,3,... (.8)

48 Teoria das Placas Esbeltas Amplitude w (m) t (s) Figura 1 Amplitude de vibração de uma placa em vibração livre não-amortecida em função do tempo Da mesma forma obtém-se a representação gráfica da solução da eq. (.8) através do método de Runge-Kutta, como mostrado na Figura Amplitude w (m) t (s) Figura 13 Amplitude de vibração de uma placa em vibração livre amortecida em função do tempo A resposta do sistema w j também pode ser determinada resolvendo diretamente a eq. (.76), encontrando uma solução que satisfaça a equação diferencial. A solução da eq. (.76) pode ser escrita como i t w () t = W e ω (.83) mn j

49 Teoria das Placas Esbeltas 49 onde W j é, em geral, uma variável complea que depende de ω e dos parâmetros do sistema. Substituindo a eq. (.83) na eq. (.76), tem-se: ( ω mmn kmn ) + { Wj} = 0 onde ( ω mmn + kmn ) (.84) é uma matriz diagonal. Assim pode-se obter n equações homogêneas. Pode-se que a eq. (.84) é satisfeita pela solução trivial W j = 0, o que implica que, neste caso, a vibração da placa é nula. Para uma solução não trivial, o determinante do coeficiente de W mn deve ser nulo: ou ( ω mmn kmn ) det + = 0 m= 1 n= 1 ( ω mmn kmn ) (.85) + = 0 (.86) A eq. (.86) é conhecida como equação característica porque a solução desta equação resulta nas freqüências naturais da placa. As soluções da eq. (.86) são dadas por kmn 4 m n D mn = = + ω m π (.87) a b m A solução encontrada para a eq. (.87) é idêntica à encontrada na seção.5..1 utilizando o método de Lév Vibração Forçada Será analisada agora a resposta dinâmica de uma placa sob a ação de uma força harmônica aplicada transversalmente ao plano da placa. A vibração da placa é regida pela freqüência da ecitação e a amplitude será máima quando esta freqüência for igual a uma das freqüências naturais da placa. O método de resolução é análogo ao eposto anteriormente para vibração livre, acrescentando-se à equação diferencial de movimento da placa o termo nãohomogêneo referente ao carregamento 4 D w+ mw= p (.88) sendo p função de, e t. A obtenção das equações de movimento a partir dos modos de vibração

50 Teoria das Placas Esbeltas 50 da placa é feita de maneira análoga à vibração livre. Definindo p como sendo e onde ( ) i f t p t,, = Pe (, ) ω (.89) mπ nπ P (, ) F0 j sen sen a b = (.90) m= 1 n= 1 ω f é a freqüência da ecitação e F 0 j é a amplitude do carregamento. Aplicando o método de Galerkin à eq. (.88), ou seja, multiplicando ambos mπ nπ os lados por sen sen e integrando de = 0 até a e = 0 até b, a b obtém-se as equações de movimento de ª ordem da placa simplesmente apoiada e não-amortecida: onde () + ( ) = 0 i f t mn j mn j j (.91) m w t k w t F e ω 4 m n kmn = π D + a b (.9) A solução particular da eq. (.91) pode ser escrita para o estado permanente como sendo i f t w () t = W e ω (.93) mn Substituindo a eq. (.93) na eq. (.91), obtém-se o sistema simplificado ( ω f mmn kmn ) + { Wj} = { F0 j} (.94) onde ( ω f mmn + kmn) como é uma matriz diagonal. A partir da eq. (.94), pode-se definir a impedância mecânica Z ( ω ) mn f f mn mn j Z ( ω ) = ω m + k (.95) mn f e escrever a eq. (.94) como Z( ω f ) W = F Resolvendo a eq. (.96), obtém-se 1 W = Z( ω f ) F 0 0 (.96) (.97) onde a inversa da matriz de impedância é dada por 1 Zmn( ω f ) = ω f mmn + kmn 1 (.98)

51 Teoria das Placas Esbeltas 51 e fazendo k m = ω tem-se mn mn j 1 1 ω f ω j Zmn( ω f ) = + (.99) As eqs. (.99) e (.97) levam à solução F0 j W = (.100) ω + ω j= 1 f j Finalmente substituindo a eq. (.100) na eq. (.93), pode-se encontrar a solução completa para wt (). A Figura 14 mostra o espectro de resposta considerando os quatro primeiros modos de vibração. Os trechos onde o valor da amplitude tende ao infinito correspondem aos picos de ressonância, ou seja, a freqüência da ecitação se iguala à freqüência da placa. Amplitude W (m) Freqüência da ecitação ωf Figura 14 Espectro de resposta para o carregamento F() t = F0 j senω ft para a placa sem amortecimento Será analisada agora a resposta da placa sob vibração forçada amortecida que pode ser obtida a partir da equação () + + ( ) = 0 i f t mn j mn j mn j j (.101) m w t c w k w t F e ω A solução particular da eq. (.101) também é harmônica e pode ser assumida como sendo j i f ( ) t w t = W e ω (.10) j

52 Teoria das Placas Esbeltas 5 onde W j é uma constante a ser determinada e representa a amplitude do movimento harmônico em estudo. Substituindo a eq. (.10) na eq. (.101), tem-se ( ωf mmn + iωf cmn + kmn ){ Wj} = { F0 j} (.103) Novamente obtém-se a matriz de impedância do sistema amortecido Z ( iω ), agora definida como mn f Z ( iω ) = ω m + iω c + k (.104) mn f f mn f mn mn Deste modo, a solução da eq. (.103) pode ser escrita como Z( iω f ) W = F0 e a eq. (.105) pode ser resolvida para se obter 1 W = Z( iω f ) F 0 (.105) (.106) onde a inversa da matriz de impedância é dada por 1 Zmn( ω f ) = ωf mmn + iωf cmn + kmn 1 (.107) Amplitude W (m) Freqüência da ecitação ω f Figura 15 - Espectro de resposta para o carregamento F() t = F0 j senω f t para a placa amortecida

53 Teoria das Placas Esbeltas 53 Fazendo k m = ω c = ξω iω, tem-se mn mn j mn j f 1 Zmn( ω f ) = ω f + ξω jiω f + ω j As eqs. (.99) e (.97) levam à solução W j 1 0 j f ji f j (.108) = F ω + ξω ω + ω (.109) A Figura 15 mostra o espectro de resposta para a placa amortecida. Podese notar claramente os picos de ressonância relativos às quatro primeiras freqüências da placa. Para se obter a resposta do sistema em função do tempo a eq. (.101) pode ser transformada em um sistema de equações diferenciais ordinárias com quatro equações, considerando apenas os dois primeiros modos de vibração. A eq. (.110) mostra este sistema para a placa em vibração forçada e sem amortecimento. X j = X j+ 1 j = 1,3,5,... k = 1,,3,... (.110) X j+ 1 = ωkx j + F0k senωft A solução da eq. (.110) através do método de Runge-Kutta permite obter a amplitude do movimento harmônico resultante. Pode-se perceber claramente na Figura 16 que o movimento está em ressonância, pois a amplitude cresce indefinidamente com o tempo. Amplitude W (m) Tempo t (s) Figura 16 - Amplitude de vibração de uma placa em vibração forçada não-amortecida em função do tempo

54 Teoria das Placas Esbeltas 54 O sistema de equações diferenciais ordinárias para vibração forçada amortecida é dado por X j = X j+ 1 j = 1,3,5,... k = 1,,3,... (.111) X j+ 1 = ωkx j ξωkx j+ 1+ F0k senωft Novamente a solução destas equações através do método de Runge-Kutta fornece a amplitude do movimento da placa em função do tempo. A representação gráfica deste movimento pode ser vista na Figura 17. O amortecimento na placa faz com que a amplitude da vibração estabilize em um valor constante na fase permanente do movimento. Amplitude W (m) Tempo t (s) Figura 17 Amplitude de vibração de uma placa em vibração forçada amortecida em função do tempo

55 3 Controle Passivo com Carregamento no Plano 3.1. Conceitos Básicos Conforme visto no Capítulo 1, os mecanismos de controle passivo não são controláveis e não requerem energia para operar. Estes sistemas de dissipação de energia abrangem uma ampla escala de materiais e sistemas para realçar o amortecimento, rigidez e resistência, e podem ser utilizados tanto para minorar os efeitos das forças ambientais quanto para reabilitação de estruturas deterioradas ou deficientes (Housner et al, 1997). Os métodos de amortecimento passivo, incluindo sistemas de isolamento de base, amortecedores viscoelásticos e amortecedores de massa sintonizados, são amplamente aceitos pela engenharia como forma de redução dos efeitos do carregamento dinâmico sobre a estrutura (Spencer Jr. & Nagarajaiah, 003). Neste capítulo será abordada a análise do controle passivo proposto neste trabalho. Este controle consiste basicamente na alteração da rigidez da placa, para tanto é considerada a aplicação de uma força de compressão distribuída uniformemente no plano. Mostra-se aqui que estas forças de compressão alteram as freqüências naturais da estrutura, portanto, em se conhecendo a freqüência da ecitação pode-se calibrar as forças de compressão de modo que os efeitos do carregamento dinâmico sejam minorados. 3.. Análise de Placas carregadas aialmente Considere a equação diferencial de equilíbrio dinâmico para uma placa simplesmente apoiada em seus quatro lados e com carregamento bordas = 0, a. N nas D w N w mω w= p (3.1) 4, Uma solução para a eq. (3.1) pode ser proposta da seguinte forma wt (,, ) = X( Y ) ( ) (3.)

56 Controle Passivo com Carregamento no Plano 56 onde X ( Y ) ( ) representam os modos de vibração da placa considerada. A solução da eq. (3.1) se dá da mesma forma como descrito no item.5..1 apenas levando agora em consideração os fatores de carga aplicados no plano. Tomando como função inicial para X ( ) a seguinte epressão ( ) cos m π X = (3.3) a substituindo a eq. (3.3) na eq. (3.1) e fazendo as simplificações necessárias, obtém-se a seguinte equação diferencial 4 4 m π m π Nm π mω Y, Y, + Y 0 4 = (3.4) a a a D D A solução da eq. (3.4) é dada por: Y( ) = C sen λ + C cosλ + C senh λ + C cosh λ (3.5) onde C 1, C, C 3 e C 4 são constantes de integração e serão determinadas a partir das condições de contorno da placa considerada e, m π mω m π N 1 λ = + + (3.6) a D a D m π mω m π N λ = + + (3.7) a D a D aplicando as condições de contorno para a placa simplesmente apoiada w= w, = 0 w + ν w = w + ( ν ) w = 0,,,, e resolvendo o problema de autovalor resultante obtém-se uma epressão que fornece a relação entre a freqüência natural ω e o carregamento N. Como eemplo prático é utilizada uma placa com a = 3m, b = m e h = 0,10 m, m = 500 N/m², E = 30 GPa e ν = 0,3. Para estas propriedades a epressão que relaciona a freqüência natural ω e o carregamento pela eq. (3.8). 5161,7964-0,001754N N é dada ω = (3.8) A representação gráfica desta epressão pode ser vista na Figura 18. Como a menor carga de flambagem para a relação ab= 1, 5 ocorre para m = e n = 1, o valor da freqüência natural ω quando a placa está descarregada corresponde ao segundo modo de vibração.

57 Controle Passivo com Carregamento no Plano ω (rad/s) N (MN/m) Figura 18 Quadrado da freqüência natural ω carregamento simplesmente apoiada. N para a placa Na Figura 18 pode-se verificar claramente que o quadrado da freqüência varia linearmente com o carregamento aplicado nas bordas da placa. Esta relação linear é eata se o modo de vibração for idêntico ao modo de flambagem da placa (Lurie, 1951). Em todos os casos, a carga correspondente à freqüência zero é a carga crítica de flambagem. A Tabela 9 mostra as freqüências naturais da placa mostrada no eemplo anterior, onde N c é a carga crítica de flambagem. Os valores da Tabela 9 mostram que, com o aumento da carga aial, temse um ligeiro decréscimo no valor das freqüências naturais do sistema. Como será demonstrado a seguir podemos utilizar este método para alterar as freqüências da placa e evitar, deste modo, que o sistema entre em ressonância, diminuindo a amplitude da resposta a um certo carregamento dinâmico. O método de controle de vibrações proposto neste capítulo foi aplicado a uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados com a = 3m, b = m e h = 0,10 m, m = 500 N/m², E = 30 GPa e ν = 0,3. Foi aplicado um

58 Controle Passivo com Carregamento no Plano 58 Tabela 9 Freqüências naturais da placa com carregamento aial. ( Hz ) ab= 3 Seqüência Modal N N c 0 0,005 0,01 0,05 0, , , , , ,913 36, ,070 35, ,451 34, , , ,888 57, , ,14 75, ,17 74, ,3399 carregamento N distribuído nos lados = 0 e = a. A Figura 19 mostra os deslocamentos da placa em função do tempo na ausência do carregamento aial. Na Figura 0 são representados os deslocamentos para uma carga aial correspondente a 5% da carga crítica de flambagem N c. Pode-se notar claramente um decréscimo significativo na amplitude dos deslocamentos, o que se torna mais claro na Figura 1, onde tem-se um carga aplicada com o valor de 10% da carga crítica de flambagem. 1E-006 Amplitude W (m) 0-1E Tempo t (s) Figura 19 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial. Nas Figura, Figura 3 e Figura 4, é mostrada a variação da velocidade em função do tempo para a placa sem carregamento e com carregamentos de 5% e 10% da carga crítica de flambagem respectivamente.

59 Controle Passivo com Carregamento no Plano 59 1E-006 Amplitude W (m) 0-1E Tempo t (s) Figura 0 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada com 5% da carga crítica. 1E-006 Amplitude W (m) 0-1E Tempo t (s) Figura 1 Deslocamentos da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica Velocidade V (m/s) Tempo t (s) Figura Velocidades da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial.

60 Controle Passivo com Carregamento no Plano Velocidade V (m/s) Tempo t (s) Figura 3 Velocidades da placa simplesmente apoiada com 5% da carga crítica Velocidade V (m/s) Tempo t (s) Figura 4 Velocidades da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica. As Figura 5, Figura 6 e Figura 7 mostram as variações da aceleração em função do tempo para a placa sem carregamento aial aplicado e com carregamento de 5% e 10% da carga crítica de flambagem, respectivamente.

61 Controle Passivo com Carregamento no Plano Aceleração a (m/s ) Tempo t (s) Figura 5 Acelerações da placa simplesmente apoiada sem carregamento aial. 0.0 Aceleração a (m/s ) Tempo t (s) Figura 6 Acelerações da placa simplesmente apoiada com 5% da carga crítica. 0.0 Aceleração a (m/s ) Tempo t (s) Figura 7 Acelerações da placa simplesmente apoiada com 10% da carga crítica.

62 Controle Passivo com Carregamento no Plano 6 As Figura 8, Figura 9 e Figura 30 mostram a variação dos parâmetros estudados, amplitude, velocidade e aceleração, em função do acréscimo de carga na direção do eio da placa considerada. Obtém-se para os deslocamentos, velocidade e aceleração uma redução da ordem de 68% para um carregamento no valor de 10% da carga de flambagem. 1.6E E-006 Amplitude W (m) 1.E-006 1E-006 8E-007 6E-007 4E N/Ncr (%) Figura 8 Variação da amplitude com o aumento do carregamento aial Velocidade V (m/s) E-005 4E N/Ncr (%) Figura 9 Variação da velocidade com o aumento do carregamento aial.

63 Controle Passivo com Carregamento no Plano Aceleração a (m/s ) N/Ncr (%) Figura 30 Variação da aceleração com o aumento do carregamento aial. Pode ser notado claramente que o efeito do carregamento aial é maior no início do carregamento e, conforme a carga cresce, a curva torna-se assintótica a zero quando a carga atinge 100% da crítica e a placa perde a estabilidade elástica. Obviamente esta consideração é puramente teórica, uma vez que, na prática, devido a imperfeições do material e pela dificuldade da aplicação eata da carga o estado de instabilidade é atingido antes da carga crítica teórica. Na Figura 31 mostra-se o deslocamento do pico de ressonância devido à aplicação do carregamento aial. É possível verificar que para cargas de compressão (valores negativos) o pico tende a ocorrer em uma freqüência mais baia. Ocorrendo o contrário para o caso da tração (valores positivos). Pode ser visto ainda que o valor do deslocamento decresce significativamente quando eiste um carregamento aplicado com a freqüência igual a da estrutura descarregada Galerkin Iterativo para placa carregada no plano Com o intuito de mostrar o método de resolução de uma placa carregada aialmente através do método de Galerkin Iterativo, será considerada uma placa com as quatro bordas engastadas. O carregamento N considerado está

64 Controle Passivo com Carregamento no Plano ,0% -,0% -1,5% -1,0% -0,5% 0% +1,0% Deslocamento (m ) Freqüência (rad/s) Figura 31 Deslocamentos em função da freqüência para cada valor de σ σ c. aplicado uniformemente nas etremidades = 0, a. Desta forma, a equação a ser resolvida é a eq. (3.1). A solução para a eq. (3.1) tem a seguinte forma wt (,, ) = X( Y ) ( ) (3.9) onde X ( Y ) ( ) representam os modos de vibração da placa considerada. Tomando como função inicial para X ( ) a seguinte epressão polinomial X( ) = + (3.10) 4 3 a a a substituindo a eq. (3.10) na eq. (3.1) e fazendo as simplificações necessárias. obtém-se a seguinte equação diferencial ( ω ) cy + cy + c + c N + c Y = (3.11) 1,, onde c 1, c, c 3, c 4 e c 5 são constantes que dependem das propriedades físicas da placa e foram adotadas a fim de ajudar nas simplificações. Resolvendo a eq. (3.11), obtém-se Y( ) = C sen λ + C cosλ + C senh λ + C cosh λ (3.1) onde λ 1 e λ são funções das propriedades físicas consideradas, da freqüência

65 Controle Passivo com Carregamento no Plano 65 natural e do carregamento N. As constantes ( C 1, C, C 3 e C 4 ) são determinadas a partir das condições de contorno em = 0, b. Aplicando as condições de contorno à eq. (3.1), obtém-se um sistema homogêneo de equações, que resulta em uma equação característica, da mesma forma como foi obtido para os casos descritos nas seções anteriores. A partir da solução da equação característica, são obtidos para um dado carregamento os valores numéricos de λ 1 e λ e, a partir destes, são calculadas as freqüências naturais e os valores das constantes ( C 1, C, C 3 e C 4 ), obtendose assim os modos de vibração. Nas Tabela 10, Tabela 11 e Tabela 1 são apresentadas as freqüências naturais e os modos de vibração para um dado carregamento aplicado. A placa considerada possui: a = 1 m, b = 1 m e h = 0, 0 m, m = 5000 N/m², E = 30 GPa e ν = 0,3. Tabela 10 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E-E-E) e sem carregamento aial (m,n) ω (Hz) Modo w (, ) = X( )* Y( ) [ w (, ) = 0, 657 sen(0,359 ) 0, 436 cos(0,359 ) 0, 434senh(0,544 ) + 0, 436cosh(0,544 ) [ 0,657sen(0,359 ) 0,436cos(0,359 ) 0,434senh(0,544 ) + 0,436cosh(0,544 ) (1,1) 5,76

66 Controle Passivo com Carregamento no Plano 66 Tabela 10 continuação... [ w (, ) = 0,563sen(0, 641 ) 0, 477 cos(0, 641 ) 0, 477senh(0,755 ) + 0, 477 cosh(0,755 ) [ 0,839sen(0,3 ) 0,314 cos(0,3 ) 0,314senh(0,859 ) + 0,314 cosh(0,859 ) (,1) 10,758 [ w (, ) = 0,839sen(0,3 ) 0,314cos(0,3 ) 0,314senh(0,859 ) + 0,314cosh(0,859 ) [ 0,563sen(0,641 ) 0, 477 cos(0,641 ) 0,477senh(0,755 ) + 0,477 cosh(0,755 ) (1,) 10,758

67 Controle Passivo com Carregamento no Plano 67 Tabela 10 continuação... [ w (, ) = 0,684sen(0,616 ) 0, 41cos(0,616 ) 0, 41senh(1,000 ) + 0, 41cosh(1,000 ) [ 0,684sen(0,616 ) 0,41cos(0,616 ) 0, 41senh(1,000 ) + 0, 41cosh(1,000 ) (,) 15,86 Tabela 11 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E- E-E) e com carregamento de 0,10N c (m,n) ω (Hz) Modo w (, ) = X( )* Y( ) [ w (, ) = 0,703sen(0,350 ) 0,411cos(0,350 ) 0,410senh(0,600 ) + 0,411cosh(0,600 ) [ 0,656sen(0,360 ) 0, 436cos(0,360 ) 0, 435senh(0,543 ) + 0, 436cosh(0,543 ) (1,1) 5,50

68 Controle Passivo com Carregamento no Plano 68 Tabela 11 continuação... [ w (, ) = 0,85sen(0,319 ) 0,30cos(0,319 ) 0,30senh(0,898 ) + 0,30cosh(0,898 ) [ 0,56sen(0,641 ) 0, 477 cos(0,641 ) 0, 477senh(0,755 ) + 0, 477 cosh(0,755 ) (1,) 10,875 [ w (, ) = 0,586sen(0,636 ) 0,468cos(0,636 ) 0, 468senh(0,797 ) + 0, 468cosh(0,797 ) [ 0,838sen(0,3 ) 0,315cos(0,3 ) 0,315senh(0,857 ) + 0,315cosh(0,857 ) (,1) 11,15

69 Controle Passivo com Carregamento no Plano 69 Tabela 11 continuação... [ w (, ) = 0,698sen(0,613 ) 0,414cos(0,613 ) 0,414senh(1,034 ) + 0,414cosh(1,034 ) [ 0,684sen(0,616 ) 0,41cos(0,616 ) 0, 41senh(0,999 ) + 0, 41cosh(0,999 ) (,) 16,170 Tabela 1 Freqüências Naturais e Modos de vibração para uma placa engastada (E-E- E-E) e com carregamento de 0,30N c (m,n) ω (Hz) Modo w (, ) = X ( )* Y( ) [ w (, ) = 0,770sen(0,336 ) 0,369cos(0,336 ) 0,368senh(0,703 ) + 0,369cosh(0,703 ) [ 0,654sen(0,360 ) 0,437 cos(0,360 ) 0,436senh(0,541 ) + 0,437 cosh(0,541 ) (1,1) 5,970

70 Controle Passivo com Carregamento no Plano 70 Tabela 1 continuação... [ w (, ) = 0,873sen(0,314 ) 0, 8cos(0,314 ) 0,8senh(0,973 ) + 0,8cosh(0,973 ) [ 0,56sen(0,641 ) 0,478cos(0,641 ) 0,478senh(0,754 ) + 0,478cosh(0,754 ) (1,) 11,104 [ w (, ) = 0,68sen(0,67 ) 0,449cos(0,67 ) 0,449senh(0,876 ) + 0,449cosh(0,876 ) [ 0,838sen(0,3 ) 0,315cos(0,3 ) 0,315senh(0,855 ) + 0,315cosh(0,855 ) (,1) 1,073

71 Controle Passivo com Carregamento no Plano 71 Tabela 1 continuação... [ w (, ) = 0,7sen(0,608 ) 0,400cos(0,608 ) 0,400senh(1,098 ) + 0,400cosh(1,098 ) [ 0,683sen(0,616 ) 0,4cos(0,616 ) 0,4senh(0,998 ) + 0,4cosh(0,998 ) (,) 16,766 Pode-se notar que a aplicação do carregamento além de alterar as freqüências naturais também tem significativa influência sobre o modo de vibração da placa, neste caso, alterando o modo na direção do eio, onde a força foi aplicada.