Declive e inclinação de uma reta

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1 UNIDADE 5 Declive e inclinação de uma reta TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS Tarefa Na figura está representada, num referencial o.n. O, a reta AB, em que A e B têm coordenadas (0, ) e (4, 0), respetivamente.. Determine a equação reduzida da reta AB.. Determine a amplitude do ângulo OBA. Apresente o resultado em graus, A aproimado às unidades.. Considere a reta r, paralela a AB, que passa na origem do referencial, e um ponto P dessa reta de ordenada positiva. O B Determine, em graus, a amplitude do ângulo conveo formado pelo semieio positivo O e a semirreta O o P. Apresente o resultado em graus, aproimado às unidades.. As coordenadas do vetor AB = B - A são (4, -) ; logo, - m = = -. 4 Assim sendo, a reta AB é dada por = Tem-se OA = e OB = 4. Então, tan(oba W ) = =, donde OBA W c O ângulo pretendido tem de amplitude 80-7 = 5. No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas r e s. s r A reta s tem equação =.. Indique a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s.. Determine a amplitude do ângulo que a reta r forma com o eio O. O 70º 4

2 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 5. Os ângulos formados pelas retas r e s têm amplitudes = 0 e = 60. Portanto, a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é igual a 0.. A amplitude é de 0. Considere, num referencial ortonormado, a reta r de equação =. Determine um valor aproimado às décimas do grau da inclinação da reta r. Seja a a inclinação da reta r. O ponto (, ) pertence à reta r, então, tan a =, donde a c 6,4. Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por: a) (, ) = (, -) + k(-4, 4), k! IR b) + = 4 c) + = Apresente o valor aproimado às décimas de grau. 4 a) O declive desta reta é dado por m = = - ; logo, é paralela à bissetriz - 4 dos quadrantes pares. Portanto, a inclinação da reta é , ou seja, 5. 4 b) + = 4 + = = - + Esta reta interseta os eios coordenados nos pontos de coordenadas 4 e0, o e (4, 0). Assim, a inclinação, a, da reta é tal que: 4 tan(80 - a) = + -tan a = 4 + tan a = - Como 0 G a < 80, conclui-se que a =

3 Declive e inclinação de uma reta c) + = + = - + Esta reta interseta os eios coordenados nos pontos de coordenadas (0, ) e c, 0 m. Assim, a inclinação, a, da reta é tal que: tan(80 - a) = + -tan a = + + tan a = - Como 0 G a < 80, conclui-se que a c 6,6. 4 Considere, num referencial o.n., a reta de inclinação 5 e que passa no ponto de coordenadas (, -). Determine a sua equação reduzida. Seja m o declive da reta. Então: m = tan 5 = -tan 45 = - Logo, a equação reduzida da reta é da forma = - + b, e como (, -) pertence à reta, tem-se: - = - + b + b = - Portanto, a equação reduzida da reta é: = Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por: a) (, ) = (, ) + k(-, 0), k! IR b) = + c) = + a) O declive desta reta é igual a 0 ; logo, a reta é horizontal. Portanto, a inclinação da reta é 0. b) Esta reta tem inclinação 45, pois o seu declive é ( tan 45 = ). c) Esta reta tem inclinação 60, pois o seu declive é igual a e tan 60 =. 6

4 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 6 No referencial o.n. O da figura estão representadas duas retas, r e s. Sabe-se que: a reta r é definida pela equação = - ; as retas r e s são perpendiculares e intersetam-se no ponto de coordenadas (, ) ; a é a inclinação da reta s. 6. Determine o valor eato de sin(r + a) - cos a. 6. Determine a equação reduzida da reta s. s O r UNIDADE 5 a 6. Seja b a inclinação da reta r. Então: b = r - r - (r - a) = a + r Por outro lado: r sinca + m r tan b = + tanca + m = + = + r cosca + m -cosa + = + tan a = - sina Sabe-se também que: + tan a = cos a + + c - m = cos a + + cos a = a80 cos a = - Pela fórmula fundamental da trigonometria: 5 5 sin a = - cos a + sin a = sin a = a80 sin a = 5 5 Portanto: sin(r + a) - cos a = -sin a - cos a = 5 5 = - - e- o = Pela alínea anterior, sabe-se que o declive da reta s é tan a = , já que Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = + = 4. Logo, a equação reduzida da reta s é =

5 Declive e inclinação de uma reta Tarefa No referencial o.n. O da figura estão representadas duas retas, r e s. s Sabe-se que: a reta r é definida pela equação (, ) = (0, -) + k(, ), k! IR ; a reta s é perpendicular à reta r e passa no ponto de coordenadas (0, ). O. Determine a inclinação da reta r.. Determine a equação reduzida da reta s.. Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas r e s. r. Um vetor diretor da reta r é (, ) ; logo, o declive é m =. Sendo a a inclinação, tem-se que tan a = e, portanto, a = 45.. O declive da reta s é dado por m s = tan( ) = -tan(45 ) = -. Logo, a equação reduzida da reta s é = - +, pois a ordenada na origem é.. O ponto de interseção das duas retas é dado pela solução do seguinte sistema, em que a primeira equação é a equação reduzida da reta r com ordenada na origem - e declive (por.). = - * + =- + ( - + = - + = * = O ponto de interseção tem coordenadas (, ). 7 No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas, r e t, e uma circunferência. Sabe-se que: a circunferência tem equação + = ; r t r a inclinação da reta r é rad ; a reta t tem equação = ; o ponto A pertence ao eio das abcissas; o ponto B tem coordenadas (, 0) ; C é o ponto de interseção das retas r e t ; D é o ponto de interseção da circunferência com a reta r, com abcissa positiva; os pontos A e D têm a mesma abcissa. Determine a área do trapézio [ABCD]. O A D B C 8

6 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Determine-se a equação reduzida da reta r : UNIDADE 5 r O declive de r é tan = -. Como a reta r passa na origem do referencial, a equação reduzida da reta r é = -. Determine-se as coordenadas do ponto D : + = + (- ) = * + ) + =- + = = * * =- Portanto, D e,- o. Determine-se as coordenadas do ponto C : = * + = * =- =- Portanto, C^, - h. Assim, a área do trapézio [ABCD] é dada por: A [ABCD] = BC + AD AB = = 4 = u. a. 8 + # = 9

7 UNIDADE 6 produto escalar de vetores TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS 6. Definição e aplicações Num referencial o.n. O, a reta r tem equação = - +. Determine a equação reduzida da reta s, perpendicular a r e que passa no ponto de coordenadas (-4, -). Como o declive da reta r é igual a -, tem-se que o declive da reta s é igual a. Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = - - (-4) =. Logo, a equação reduzida da reta s é = +. No referencial o.n. da figura, a reta t é perpendicular a [AB], em que A e B têm B 6 coordenadas (-6, ) e (5, 6), respetivamente. A reta t interseta o eio das abcissas no ponto A de abcissa. 6 O 5. Determine a equação reduzida da reta t. t. Seja a a inclinação da reta AB. Determine cos a.. Escreva uma condição que defina a região colorida da figura..4 Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas t e AB.. O declive da reta que passa pelos pontos A e B é dado por 6-4 m AB = = ; portanto, o declive da reta t é mt = Assim, a ordenada na origem da reta t é igual a b = 0 + =. 4 4 Logo, a equação reduzida da reta t é =

8 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 4. A inclinação, a, da reta AB é tal que tan a =. Então: + tan a = cos a c m = cos a + UNIDADE 6 cos a = a90 + cos a =. Determine-se a equação reduzida da reta AB : 7 7 Sabe-se, por., que m AB = 4 ; logo, a equação reduzida da reta AB é da forma = 4 + b. Substituindo as coordenadas do ponto A, obtém-se: 4 46 b = - (-6) = 4 46 Assim, = +. Portanto, a condição que define a região colorida da figura é: 4 46 G + / H - + / H 0 / < = =- + * + * = = 6+ = ( + * + 79 =- # = 7 + * 68 = O ponto de interseção das retas t e AB tem coordenadas d, n. 7 7 Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrícula, determine u$ v. a) b) c) u u u v v v a) u $ v = = 6 b) u $ v = - = - c) u $ v = - = - 4

9 produto escalar de vetores D 4 Considere o retângulo representado na figura ao lado. Prove que: BA $ BD = AB A A projeção ortogonal do ponto D na reta AB é o ponto A ; logo: BA $ BD = BA BA = BA = AB = AB C B 5 Na figura está representado um paralelepípedo retângulo, em que na unidade de comprimento fiada AB = 6, BC = 5 e CG = 4. Determine: a) AB $ AF b) AB $ DC c) F B $ FG d) AD $ GF E A D H 6 F B G 4 C 5 a) AB $ AF = 6 6 = 6 b) AB $ DC = 6 6 = 6 c) FB $ FG = 4 0 = 0 d) AD $ GF = -5 5 = -5 6 Determine o produto escalar de u e v em cada caso: a) u = e v = b) u =, e v =,5 v 0º u v p } u a) u $ v = u v cos_ ut vi = cos 0 = 6 4 = r r b) u $ v = u v cos_ ut vi =,,5 cos =,,5 c- sin m = 6 =,,5 (-0,5) = -,4

10 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 7 Considere o cubo [ABCDEFGH] de aresta, representado na figura. Indique, utilizando letras da figura, dois vetores cujo produto escalar seja igual a: a) 9 c) 0 b) 8 d) -8 H E UNIDADE 6 D C A B F G a) Por eemplo, AB e DC. b) Por eemplo, AB e DC. c) Por eemplo, AB e AE. d) Por eemplo, AB e C D. 8 Na figura está representado um tetraedro regular [ABCD], em que AB = 5. B Determine: a) AB $ BC b) AC $ CA c) AC $ BD a) AB $ BC = 5 5 cos 0 = - 5 b) AC $ CA = 5 5 cos 80 = -5 c) AC $ BD = 5 5 cos 90 = 0 A C D 9 Na figura está representado um paralelogramo, em que AD = e AB = 5. Determine: D C a) AB $ AD c) DC $ _ AB + ABi b) AB $ BC d) CB $ _ AB + BDi a) AB $ AD = AB AD cos_ ABT ADi = 5 cos 0 = b) AB $ BC = 5 cos 0 = 5 5 c) DC $ _ AB + ABi = DC AB cos_ DC T ABi = 5 0 cos 0 = 50 d) CB $ _ AB + BDi = CB $ AD = cos 80 = -9 A 0º B 4

11 produto escalar de vetores 0 Várias pessoas empurram um carro eercendo uma força de 8 0 newtons. Sabendo que o trabalho realizado por essa força é de joules, determine a distância percorrida pelo carro, em metros, aproimada às décimas. Seja d a distância percorrida pelo carro. Então: d = c 5, m 8 0 O Pedro pua um carrinho aplicando uma força constante de 50 newtons, deslocando-o 0 metros na horizontal. Sabendo que o trabalho realizado pela força é de 50 joules, determine o ângulo entre a força e o deslocamento. Seja a o ângulo entre a força e o deslocamento. Então: 50 = 50 0 cos a + cos a = + a = 60 Tarefa. Seja a o ângulo entre as retas r e s. Sendo u e v, respetivamente, vetores diretores de r e s, justifique que: u$ v a = arccos u v. Determine a amplitude, em graus, do ângulo entre as retas r e s, definidas, respetivamente, pelas equações = + e + =, apresentando o resultado aproimado às unidades.. O ângulo entre as retas é o ângulo dos vetores u e v, se este for agudo ou reto, ou o seu complementar, caso contrário. Em qualquer dos casos, obtém-se o pretendido.. a = arccos 5 c 6 5 Considere o triângulo [ABC] cujos lados [AB] e [BC] medem cm e cm, respetivamente. Sabendo que AB $ BC = 0, determine: a) AC, justificando os procedimentos efetuados. b) AB $ AC c) AC W B, arredondada às décimas de grau. 44

12 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA a) Como AB $ BC = 0, tem-se que AB = BC. Pelo teorema de Pitágoras, vem: AC = AB + BC + AC = + + AC = cm b) Pela lei dos cossenos, tem-se: = + - cos_ ABT ACi + + cos_ ABT ACi = = Portanto: AB $ BC = AB AC cos_ ABT ACi = c) cos_ ABT ACi = + BAC W c 56, AC W B = , =,7 UNIDADE = 4 6 Sejam u e v dois vetores tais que: u = v = Determine: _ ut vi = 0 a) u $ v b) u $ u c) v $ (-v) a) u $ v = u v cos_ ut vi = cos 0 = 4 c- m = - b) u $ u = u = = 4 c) v $ (-v) = v - v cos `vt (-v) j = 6 cos 80 = - 4 No referencial ortonormado da figura está representado o triângulo [ABC], em que A(, 4), B(-, ) e C(, -). A 4. Utilize o teorema de Carnot para mostrar que cos(ab W C) = 0. B O 4. Calcule BA $ BC e averigue se o triângulo [ABC] é retângulo em B. C 4. Calcule-se o comprimento dos lados de [ABC] : BA = (-- ) + ( - 4) = 9+ 9 = AC = ( - ) + (-- 4) = + 6 = 7 BC = ( + ) + (-- ) = = 5 45

13 produto escalar de vetores Pelo teorema de Carnot, tem-se: AC = BA + BC - BA BC cos_ BAT BCi = _ i cos(abc W ) + _ i cos(abc W ) = # # 5 6 = 0 = 6 = BA $ BC = BA BC cos_ BAT BCi = 5 = 0 Como BA $ BC =! 0, os vetores BA e BC não são perpendiculares. Logo, o triângulo [ABC] não é retângulo em B. 5 Determine, em cada alínea, o produto escalar dos vetores cujas coordenadas, num referencial o.n. do plano, são: a) u(, -) e v(, -) b) u(, -) e v(, ) c) u(, ) e v(, ) a) u $ v = + (-) (-) = + 6 = 8 b) u $ v = + (-) = - = 0 c) u $ v = + = + = 4 6 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(7, -) e v(m, 6), em que m é um número real. Determine o valor de m, de modo que: a) u e v sejam perpendiculares. b) u e v sejam colineares. c) u = v a) u $ v = 0 + 7m + (-) 6 = 0 + 7m = + m = 7 b) (m, 6) = k(7, -), k! IR + m = 7 k m = 7# (-) ) + ) + m =- ) 6=-k k =- k =- c) u = v (- ) = m = m m = 7 + m =! 7 7 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(8, -6) e v(m, ), em que m é um número real. Determine o valor de m, de modo que _ ut vi =

14 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA u v cos_ ut vi = u v + u v + + ` 8 + (- 6) j_ m + i cos 60 = 8m UNIDADE 6 _ 8 +- ( 6) i( m + ) 00m = 8m = 8m - 8 & 00m & = (8m - 8) 4 + 5m + 5 = 64m - 88m m - 88m + 99 = 0 + m - 96m + = m = 96! (-96) -4# # ( ) 96! 50 + m = + m = Como 8 m = < 0 e 8 + m = 0 m = 96! > 0, 8 No referencial o.n. O da figura estão representados o quadrado [OABC] e o retângulo [OPQR]. Os pontos A e P pertencem ao semieio R positivo O e os pontos C e R pertencem ao semieio positivo O. O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC]. O Sabe-se que: OA = a OP = b RC = b Prove que as retas QB e RP são perpendiculares. Teste Intermédio do.º ano, 0 As retas QB e RP são perpendiculares se, e só se, QB $ RP = 0. Tem-se que B(a, a), P(b, 0), Q(b, a - b) e R(0, a - b). Então, QB = B - Q tem coordenadas: (a, a) - (b, a - b) = (a - b, a - a + b) = (a - b, b) e RP = P - R tem coordenadas: (b, 0) - (0, a - b) = (b, -a + b) Assim: QB $ RP = (a - b, b) $ (b, -a + b) = ab - b + (-ab) + b = 0 Logo, as retas QB e RP são perpendiculares. C P Q B A 47

15 produto escalar de vetores Tarefa Justifique a igualdade u $ v = u v + u v + u v para vetores não colineares no espaço. Observe que u = u + u + u. Sejam A, B e C pontos e os vetores u e v, tais que u = AB e v = AC. Considerando a = BC, b = AC e c = AB, tem-se, pelo teorema de Carnot: BC = u + v - u v cos_ ut vi = u + v - u $ v (I) Num referencial o.n. Oz, sejam u(u, u, u ) e v(v, v, v ). Como BC = v - u, tem-se que BC(v - u, v - u, v - u ). Então: Ou seja, BC = (v - u ) + (v - u ) + (v - u ) BC = v - v u + u + v - v u + u + v - v u + u = = u + u + u + v + v + v - v u - v u - v u donde, reparando que u + u + u = u e v + v + v = v : BC = u + v - v u - v u - v u (II) Comparando (I) e (II), obtém-se u $ v = u v + u v + u v. 6. Propriedades do produto escalar Tarefa Prove as seguintes propriedades: Propriedade comutativa ou simétrica Dados os vetores u e v, u $ v = v $ u. Propriedade associativa mista Dados os vetores u e v e um número real m, ^muh $ v = m^u $ vh. Considere-se que se tem u e v, vetores num referencial o.n. O, em que u e v têm coordenadas (u, u ) e (v, v ), respetivamente. Tem-se: u $ v = u v + u v = v u + v u = v $ u E para m número real: (mu) $ v = (mu )v + (mu )v = m(u v ) + m(u v ) = m(u $ v) Isto prova as propriedades comutativa e associativa mista num referencial o.n. O. Analogamente, para um referencial o.n. Oz do espaço, basta considerar vetores com três coordenadas e aplicar o produto escalar usando coordenadas no espaço. 48

16 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 6 Ou seja: Considere-se u(u, u, u ) e v(v, v, v ) ; então: u $ v = u v + u v + u v = v u + v u + v u = v $ u E para m número real: (mu) $ v = (mu )v + (mu )v + (mu )v = m(u v ) + m(u v ) + m(u v ) = m(u $ v) Tarefa 4 Prove que, dados dois vetores u e v, se u = v, então, os vetores u + v e u - v são perpendiculares. Pela propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores: ^u + vh^u - vh = u $ u + u $ ^-vh + v $ u + v $ ^-vh = = u - v - v $ u + v $ u = u - v = 0 Portanto, (u + v) 9 (u - v). 9 Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, a pirâmide quadrangular [ABCOV] contida no plano O e com vértice V de coordenadas (0, 0, 4). z V O ponto B tem coordenadas (4, 4, 0). 9. Justifique que OB $ AC = Calcule: a) A B $ B C b) A B $ BV 9. Considere a reta r de equação: (,, z) = (0, 0, 4) + k(, 0, ), k! IR Averigue se as retas r e BV são perpendiculares. A O B C 9. Tem-se A(4, 0, 0), B(4, 4, 0), C(0, 4, 0) e O(0, 0, 0). Então, OB = B - O tem coordenadas (4, 4, 0) e AC = C - A tem coordenadas (0, 4, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 0). Logo: OB $ AC = 4 (-4) = = 0 9. a) AB = B - A tem coordenadas (0, 4, 0). BC = C - B tem coordenadas (-4, 0, 0). AB $ BC = = 0 b) AB(0, 4, 0) e BV(-4, -4, 4) AB $ BV = (-4) = O vetor r(, 0, ) é um vetor diretor da reta r. Então: r $ BV = (-4) + 0 (-4) + 4 = 0 Logo, as retas r e BV são perpendiculares. 49

17 produto escalar de vetores 0 Relativamente a três vetores u, v e w, sabe-se que: u $ v = 4 u $ w = - w $ v = Determine: a) (u) $ v b) u $ (-v) a) (u) $ v = (u $ v) = 4 = 8 b) u $ (-v) = -(u $ v) = -4 c) w $ (u + v) d) u $ (w + v) c) w $ (u + v) = w $ u + w $ v = u $ w + w $ v = - + = d) u $ (w + v) = (u $ w) + u $ v = (-) + 4 = = 0 D Mostre que as diagonais de um losango v u são perpendiculares. SUGESTÃO: A C Repare que os lados opostos de um losango u v são paralelos e têm o mesmo comprimento. B Considere-se o losango [ABCD], em que AB = CD = AD = BC, AD = BC = v e BA = CD = u. Então: BD $ CA = (u + v)(u - v) = u $ u + u $ (-v) + v $ u + v $ (-v) = = u - v - v $ u + v $ u = u - v = AB - BC = 0 Portanto, (u + v) = (u - v). Logo, as diagonais de um losango são perpendiculares. Considere, num referencial o.n. O, o vetor u de coordenadas (-, ). Escreva uma equação da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(, ). Seja m o declive da reta perpendicular ao vetor u. Então, m = -c - m =. A ordenada na origem da reta perpendicular ao vetor u é dada por: b = - = - Logo, a equação reduzida da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(, ) é = -. 50

18 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Considere, num referencial o.n. O, os pontos A e B de coordenadas (, 4) e (-, 0), respetivamente. Seja M o ponto médio de [AB]. Identifique o conjunto dos pontos P do plano tais que MP $ A B = 0. Escreva uma condição que defina o conjunto referido. UNIDADE 6 Os pontos P definem uma reta perpendicular à reta AB que passa no ponto M, ou seja, definem a mediatriz de [AB]. 4 Sabe-se que AB(-5, -4), então, o declive da reta AB é. 5 5 Logo, o declive de uma reta perpendicular a esta é -. 4 Então, como M c -, m, a ordenada na origem da reta perpendicular à reta 5 AB que passa no ponto M é b = + c- m = Portanto, a condição que define o conjunto referido é = Resolução de problemas geométricos envolvendo o produto escalar Tarefa 5 Considere a circunferência definida pela equação ( - ) + ( - ) = 5 num determinado referencial o.n. O. 5. Prove que o ponto P(5, -) pertence à circunferência. 5. Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P. O C P 5. Basta substituir por 5 e por - na equação dada: (5 - ) + (- - ) = = 5 E como tal, o ponto P pertence à circunferência. 5. A circunferência dada tem centro em C(, ). Como a reta pretendida é tangente à circunferência em P, todo o ponto Q(, ) pertencente à reta verifica CP $ PQ = 0. Então: 4 (4, -) $ ( - 5, + ) = 0 + 4( - 5) - ( + ) = 0 + = - Logo, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P 4 é = -. 5

19 produto escalar de vetores 4 De dois vetores do plano u e v sabe-se que: u = o ângulo dos vetores u e v é obtuso. v = sin_ ut vi = 4 Determine u $ v. Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se: sin _ ut vi + cos _ ut vi = + cos _ ut vi = - c m 4 5 & cos_ ut vi = - 4 & 90 _ ut vi80 Portanto: u $ v = u v cos_ ut 5 vi = e- o = No referencial o.n. da figura está representada uma circunferência de centro em C(-, ) e raio 4, inscrita no quadrado [MNOP]. A reta NO é tangente à circunferência em T, ponto do eio O. Determine: a) as coordenadas de T. b) a equação reduzida da reta NO. c) o declive da reta MN. P O C M T N a) Sabe-se que o ponto T pertence ao eio O ; logo, tem abcissa nula, ou seja, T(0, ). Substituindo as coordenadas de T na equação da circunferência, ( + ) + ( - ) = 6, obtém-se: (0 + ) + ( - ) = = 0 + 4! (-4) -4# # (- ) 4! 8 + = + = # + = > 0 Portanto, as coordenadas de T são _0, + 7 i. b) A circunferência dada tem centro em C(-, ). Como a reta NO é tangente à circunferência em T_0, + que CT $ TQ = 0, sendo Q(, ) um ponto da reta. 7i, tem-se 5

20 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Portanto: _, 7i $ _, - - 7i = _ - - 7i = = 0 + UNIDADE = = = c) Como a reta MN é perpendicular à reta NO, então, o seu declive é dado por = # = Considere os vetores u e v, tais que u =, v = 7 e _ ut vi = 0. Calcule os seguintes produtos escalares: a) u $ (5v) b) u $ (-v) c) (u - v) $ u a) u $ (5v) = 5 u v cos_ ut vi = 5 e- 05 o = - b) u $ (-v) = 6 (-) e- o = 6 c) (u - v) $ u = -8 e- o = 7 7 Considere um ponto P, do. o quadrante (eios não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio. s t P Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P, t a reta tangente à circunferência no ponto P e Q o ponto de interseção da reta t com o eio O. O r Q 7. Justifique que: r + s = 7. Prove que a equação reduzida da reta t é: = - s r + s 7. Determine a abcissa do ponto Q em função de r e s. Adaptado do Teste Intermédio do.º ano, 007 5

21 produto escalar de vetores 7. Considere-se o círculo trigonométrico e a fórmula fundamental da trigonometria. Seja a a inclinação da reta OP, então: cos a + sin a = + r + s = O ponto P pertence à circunferência de centro em (0, 0) e raio. Em alternativa, a equação da circunferência é + = e P(r, s) pertence à circunferência, logo, r + s =. 7. Tem-se que OP tem coordenadas (r, s) ; logo, um vetor diretor da reta t pode ser u(-s, r). r O declive da reta t é, portanto, igual a - s. Então, a ordenada na origem da reta t que passa no ponto P(r, s) é: r r s + r b = s + s r = s + s = s = s r Logo, a equação reduzida da reta t é = - s + s. 7. Sabe-se que Q(, 0). Substituindo as coordenadas de Q na equação r reduzida da reta t, = - s + s, obtém-se: r s 0 = - s + s + = r = r s Logo, a abcissa de Q é r. Tarefa 6 Considere, num plano munido de um referencial o.n. O, o vetor u(a, b). Prove que: a) os vetores cujas coordenadas se obtêm trocando a ordem às coordenadas de u e o sinal a uma delas, ou seja, v(b, -a) e v(-b, a), são perpendiculares a u. b) a reta perpendicular ao vetor u que passa no ponto P 0 ( 0, 0 ) pode ser definida pela equação a + b = c, em que c = a 0 + b 0 a) Tomando v(b, -a), tem-se que u $ v = a b + b (-a) = 0 ; logo, u = v. 54 De igual modo, tomando v(-b, a), tem-se u $ v = 0, donde u = v. b) Dado um ponto P(, ) qualquer da reta, tem-se que u é perpendicular a P 0 P ; logo: u $ P 0 P = 0 + (a, b) $ ( - 0, - 0 ) = a( - 0 ) + b( - 0 ) = 0 + a + b = c em que c = a 0 + b 0.

22 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 8 r Na figura estão representados, em referencial o.n. O, um círculo e as retas r e s. Sabe-se que: r 9 s o ponto de coordenadas (0, -) é comum às duas retas e à circunferência; r interseta a circunferência e o eio O no ponto de coordenadas (-, 0) ; O s e a circunferência intersetam o eio O no mesmo ponto. Determine uma condição que defina o círculo. UNIDADE 6 s Sejam A(0, -), B(-, 0) e C(, 0) o ponto de interseção da reta s com o eio O. Como AB tem coordenadas (-, ), então, o declive da reta r é igual a - e o declive da reta s (perpendicular a r ) é igual a. A ordenada na origem de ambas as retas é igual a - ; logo, a equação reduzida da reta r é = - - e da reta s é = -. Assim, como as retas são perpendiculares, tem-se que [ABC] é retângulo em A. Portanto, como o triângulo [ABC] está inscrito na circunferência e é retângulo, [AC] é um diâmetro. Substituindo por 0 na equação reduzida da reta s, obtém-se a abcissa do ponto C. Tem-se C(4, 0) ; logo, o diâmetro [BC] mede 5 unidades de comprimento e o centro da circunferência tem coordenadas c, 0 m. 5 Portanto, uma condição que define o círculo é c- m + G. 4 9 Considere, fiado um referencial ortonormado no espaço, os pontos A(,, -), B(-4,, -) e P(,, z), (,, z! IR), e as condições: (I) (II) AB $ AP $ B P = 0 (III) AB $ AP = 0 M P = 0, em que M é o ponto médio de [AB]. 9. Identifique a região do espaço definida por cada uma das condições descritas. 9. Caracterize por uma condição, em, e z, as regiões do espaço obtidas em

23 produto escalar de vetores 9. (I) Superfície esférica de diâmetro [AB]. (II) Plano mediador do segmento [AB]. (III) Plano perpendicular ao segmento [AB] que passa por A. 9. (I) ( + ) + ( - ) + (z + ) = 0 (II) + + = 0 (III) = 0 AVALIAR CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas. No referencial o.n. da figura as retas r e s são perpendiculares e a reta s passa na origem do referencial. De acordo com os dados da figura, a equação reduzida da reta s é: (A) = tan 50 (C) = - tan 0 (B) = (D) = tan50 tan 0 O declive de r é tan 50. Logo, o declive de s é - tan50 = tan0. A opção correta é a (D). 0º O r s Considere dois vetores u e v colineares, ambos de norma. De entre as afirmações seguintes, indique a que é necessariamente verdadeira. (A) u $ v = - (B) u $ v = 0 (C) u$ v = (D) u $ v = A opção correta é a (C). Considere o triângulo equilátero representado na figura. O valor de A B $ B C é igual a: (A) - AB AB (C) (B) - AB BC (D) AB A C B 56

24 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Como _ ABT BCi = 0, então: AB $ BC = AB BC cos 0 = - AB A opção correta é a (A). UNIDADE 6 4 Considere, num referencial o.n., as retas r e s. Sabe-se que as retas são perpendiculares e que a inclinação de r é 0. Então, o declive da reta s é igual a: (A) - (B) - (C) (D) O declive da reta r é igual a tan 0 = -tan 60 = -. O declive da reta s é igual a - =. - A opção correta é a (C). 5 Na figura está representada uma esfera inscrita num cubo. A esfera tem centímetros de raio e centro em C, e [AB] é uma diagonal espacial do cubo. O valor de A B $ B C é: (A) -54 (B) -6 (C) 6 (D) 54 A C B Como o raio da esfera é cm, sabe-se que o lado do cubo mede 6 cm. Usando o teorema de Pitágoras: AB = & AB = 6 Assim: BC = e AB $ BC = AB BC cos r = 6 (-) = -54 A opção correta é a (A). 6 D Na figura está representado o losango [ABCD] de lado, tal que BA W D = a. Se A B $ AD = 6, o valor de a, em graus, a A arredondado às unidades, é: B (A) 4 (B) 4 (C) 48 (D) 49 AB AD cos a = 6 + cos a = & a = arccos + a c 48 A opção correta é a (C). 0 a80 C 57

25 produto escalar de vetores 7 Considere o triângulo representado na figura, retângulo em A, cujos catetos medem 5 e. C 5 O valor de CA $ CB é igual a: 00 (A) (B) 5 (C) 70 A (D) 60 B Seja a = _ CAT CBi. Tem-se que tan a =. 5 Pelo teorema de Pitágoras, tem-se CB =. Então, como a! ]0, 90 [, cos a = 5. Logo, CA CB cos a = 5 5 = 5. A opção correta é a (B). 8 Uma força constante de 0 newtons produz, num corpo, um deslocamento 0 N de 0,5 metros no sentido da força. O trabalho realizado por essa força é, em joules, igual a: (A) 40 (B) 0 (C) 0 (D) 5 0,5 m 0 0,5 = 0 A opção correta é a (C). 9 Num referencial o.n. O, as retas de equação + b - = 0 e = são perpendiculares para b igual a: (A) - (B) 0 (C) (D) + b - = 0 + = - + e = + = b b Portanto, as retas são perpendiculares se, e só se, d- n = -, b ou seja, se, e só se, b =. A opção correta é a (D). 58

26 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 0 Na figura estão representadas, num referencial o.n. O, a circunferência de equação B + = 4 e a reta r tangente a essa circunferência no ponto B, de coordenadas _, i. O Seja u um vetor diretor da reta r. O valor de u $ OB é: (A) -4 (B) 0 (C) 4 (D) u Como u = OB, u $ OB = 0. A opção correta é a (B). UNIDADE 6 Num referencial o.n. Oz, os vetores u e v têm coordenadas (-,, 4) e (, p -, -), respetivamente. O valor de p para o qual os vetores u e v são perpendiculares é: (A) - (B) 0 (C) (D) 5 u $ v = p = 0 + p = 5 A opção correta é a (D). Num referencial ortonormado do plano, considere os vetores a e b de coordenadas (, -) e (, ), respetivamente. O ângulo dos vetores a e b é: (A) agudo. (B) obtuso. (C) reto. (D) raso. Como a $ b = -, o ângulo formado pelos vetores tem uma amplitude maior do que 90º. No entanto, não pode ser raso, pois, nesse caso, a $ b = - a b, mas a b = $ = 6. A opção correta é a (B). De dois vetores u e v sabe-se que u = v = e que u $ v = -. Então, (u + v) $ (u) é igual a: (A) - (B) 0 (C) 6 (D) 8 (u + v) $ (u) = u $ u + u $ v = u + u $ v = - 6 = 6 A opção correta é a (C). 59

27 produto escalar de vetores RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias. 4 No referencial o.n. O da figura ao lado estão representados a reta r de equação + + = 0 e o ponto P de coordenadas (5, ). P 4. Seja a a inclinação da reta r. Determine cos a. O 5 4. Determine as coordenadas da projeção ortogonal de P, Pl, sobre a reta r. P' r SUGESTÃO: Comece por determinar uma equação da reta PPl. 4. Como + + = 0 + = - -, tan a = -. Portanto: + tan a = cos a + + = 4 cos a + 4 cos a = 5 4. O declive da reta PPl é ; assim, a sua equação é da forma = + b. Substituindo as coordenadas de P na equação da reta PPl, vem: = 5 + b + b = -8 Então, a abcissa de Pl é tal que: - 8 = = = 5 4 Portanto, a ordenada é dada por = - 8 = Assim, as coordenadas de Pl são d,- n Na figura está representada uma circunferência de centro em O e raio r. Sabe-se que: [AB] é um diâmetro da circunferência; o ponto C pertence à circunferência; a é a amplitude do ângulo COB ; [OD] é perpendicular a [AC]. a Prove que A B $ AC = 4r cos c m. O A B a D C Teste Intermédio do.º ano,

28 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA AB $ AC = AB AC cos_ ABT ACi UNIDADE 6 Tem-se que AB = r. 80 -( 80 - a) Como o triângulo [AOC] é isósceles, _ ABT a ACi = =. Assim: a AD a cosc m = r + AD = r cos c m a Logo, AC = r cosc m. Portanto: a AB $ AC =r r cosc a a m cosc m = 4r cos c m c.q.d. 6 Na figura está representado, em referencial o.n. Oz, um cubo [OABCDEFG]. z G O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial. D E Os vértices A, C e G pertencem aos semieios O M positivos O, O e Oz, respetivamente. A O ponto M é o ponto médio de [OC] B e N é o ponto médio de [FC]. Sabendo que DM $ DN =, mostre que cos(nd X 8 M) =. 9 F N C Seja a medida da aresta do cubo. Então, as coordenadas de D, M e N são, respetivamente, (, 0, ), c0,, 0m e c0,, m. Assim, DM tem coordenadas c-.,-m e DN tem coordenadas c-,, - m. Tem-se que: DM $ DN = +, c-,-m $ c-,, - m = = + = 6 + = 4 > 0 Por outro lado: DM = (- 4) + +- ( 4) = 6 e DN = (- 4) ( ) = 6 Logo: DM $ DN = cos(ndm X ) = + cos(ndm X 8 ) = 9 6

29 produto escalar de vetores 7 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 8 cm. V O ponto O é o centro da base da pirâmide, M é o ponto médio de [AD] e OM Y V = 60. Determine: a) VO $ VM b) BD $ BA c) CD $ AB d) VO $ BD B C O 60º A M D MO a) VO = MO tan 60 = 4 e VM = = 8 cos60 VO $ VM = 4 8 cos 0 = 4 # 8 # = 48 b) BD = BA + AD = 8 BD $ BA = 8 8 cos 45 = 64 c) CD $ AB = 8 8 cos 80 = -64 d) VO $ BD = 4 8 cos 90 = 0 8 Na figura estão representados, em referencial ortonormado, as retas r e s e o triângulo [ABC] retângulo em C. s C r Sabe-se que: o ponto A _, 0i pertence à reta r ; O o ponto C de interseção das retas r e s tem abcissa 6 ; B é o ponto de interseção da reta s com o eio O ; a reta r tem inclinação 0º. 8. Determine as equações reduzidas das retas r e s. 8. Determine a área do triângulo [ABC]. A 0º B 8. O declive da reta r é dado por tan 0 = ; logo, a sua equação reduzida é da forma = as coordenadas de A, obtém-se: 0 = Portanto, r: = -. + b. Substituindo na equação + b + b = -. 6

30 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 6 Como C pertence à reta r e tem abcissa 6, as coordenadas de C são: e6, # 6- o = ^6, - h Como as retas r e s são perpendiculares, o declive de s é -. Logo, a equação reduzida de s é da forma = - + b. Substituindo as coordenadas de C na equação, obtém-se: - = b + b = 8 - Portanto, s: = Calcule-se a abcissa de B : = 0 + = 8 - Seja h a altura de [ABC] relativa à base [AB] : 4-4 AB = = e h = - Assim: 4-4 A [ABC] = AB # h # ( - ) = = = = Na figura está representado, no referencial O, o triângulo [ABC]. Sabe-se que: o ponto O é o ponto médio do lado [AC] ; o vetor A B tem coordenadas (0, ) ; o vetor B C tem coordenadas (-6, -8). 9. Determine as coordenadas dos pontos A e C. 9. Calcule: a) A B $ AC b) AB W C, arredondada às décimas de grau. 9. Diga, justificando, se OB é a mediatriz de [AC]. A O C B 9. Tem-se que AC = AB + BC tem coordenadas (4, -6). Como O é o ponto médio de [AC], deduz-se que as coordenadas de A e C são, respetivamente, (-, ) e (, -). 6

31 produto escalar de vetores 9. a) AB $ AC = (-6) = 8 b) BA $ BC = BA BC cos ABC W + -AB $ BC = AB BC cos ABC W + + -[0 (-6) + (-8)] = cos ABC W + + cos ABC W = & ABC W = arccos 9. Não, porque AB = 04! 0 = BC ABC W c 4,8 0 Considere, num referencial o.n. Oz, o vetor u(a, b, c), com a, b e c números reais. 0. Prove que os vetores v(b, -a, 0), w(0, c, -b) e t (-c, 0, a) são perpendiculares a u. 0. Indique dois vetores não colineares, perpendiculares ao vetor a(-5,, 7). 0. Escreva uma equação vetorial de uma reta perpendicular ao vetor u(0, -, ) e que passa no ponto de coordenadas (, -, 6). 0. v $ u = ba - ab + 0c = 0, logo, v = u. w $ u = 0a + cb - bc = 0, logo, w = u. t $ u = -ca + 0b + ac = 0, logo, t = u. 0. Por eemplo, vetores de coordenadas (, 5, 0) e (0, 7, ). 0. Por eemplo, (,, z) = (, -, 6) + k(0, -, -), k! IR. Na figura está representado, em referencial B' o.n. O, o triângulo [ABC], em que A(, ), B(-, -) e C(-, 4). C Por cada um dos vértices do triângulo [ABC] traçaram-se retas paralelas ao lado oposto, A' A obtendo um novo triângulo [AlBlCl]. O. Justifique que o triângulo [AlBlCl] B não é retângulo. C'. Determine as coordenadas de Al.. Seja D o ponto de coordenadas c0, - m. Identifique o conjunto dos pontos do plano, P, definidos pela equação DP $ A B = 0. 64

32 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA. Tem-se que AB(-, -), AC(-4, ) e BC(-, 6). UNIDADE 6 Pelo teorema de Tales, o triângulo [AlBlCl] é semelhante ao triângulo [ABC]. Se o triângulo [ABC] fosse retângulo em A, verificar-se-ia o teorema de Pitágoras, mas BC! AC + AB, pois 40! 8. Analogamente se verifica que [ABC] não é retângulo em B nem em C, pois AC! AB + BC e AB! AC + BC. Como tal é absurdo, o triângulo [ABC] não é retângulo e, portanto, o triângulo [AlBlCl] também não.. Al = C + AB tem coordenadas (-, 4) + (-, -) = (-5, ).. A condição define a reta que passa por D e é perpendicular a AB. Como D é o ponto médio de [AB], esta reta é a mediatriz de [AB]. Na figura estão representadas, em referencial o.n., uma circunferência de centro C (, -) e duas retas b e d. B b O ponto B de coordenadas (-, ) é a imagem de A pela refleão de eio b e a reta d é tangente à circunferência em A. O C. Justifique que as retas b e d são paralelas.. Determine a equação reduzida da reta b.. Determine as coordenadas do ponto A e escreva uma equação da reta d. d A. Como B é a imagem de A pela refleão de eio b, AB é perpendicular a b. Por outro lado, d é tangente à circunferência em A ; logo, d é também perpendicular a AB. Conclui-se que b é paralela a d.. Como CB(-, ), o declive de AB é -. Então, o declive de b é e a equação de b é da forma = + a. Substituindo na equação as coordenadas de C, obtém-se: 5 - = + a + a = - Assim, b: =

33 produto escalar de vetores. As coordenadas de A são: A = _C - CBi(, -4). A equação de d é da forma = + a. Substituindo na equação as coordenadas de A, obtém-se: -4 = + a + a = -6 Assim, d: = - 6. Considere, num referencial o.n. Oz, o triângulo [ABC], em que A(-,, 0), B(,, ) e C(-4, 5, ). Seja a a amplitude do ângulo BAC.. Determine sin a.. Seja T um ponto do plano O com a mesma abcissa que B. Determine as coordenadas de T, sabendo que TC $ A B = -6.. Tem-se AB(5,, ) e AC(-, 4, ), então: AB $ AC = AB AC cos a = cos a = 8 cos a + cos a = - Calcule-se o valor de sin a : 79 sin a + cos a = + sin a + = + sin a = 8 8. Seja T(,, 0). Então, TC(-7, 5 -, ). Assim, TC $ AB = = -6 + = -. Logo, T(, -, 0). 9 4 Considere, num referencial ortonormado, um heágono regular. Sabe-se que: C é o centro do heágono e tem coordenadas (6, -) ; o lado [AB] do heágono está contido na reta r, definida pela equação = 0 r A B C Determine a área do heágono. 66

34 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Tem-se que = 0 + = 4-5. Seja r um vetor diretor da reta r de coordenadas (, 4). 4 5 Seja Cl d, - n a projeção ortogonal de C na reta r. Então, CCl é perpendicular a r. Assim: 4 5 CCl $ r = 0 + ( - 6) + d - +n 4 = = = 0 + = UNIDADE 6 Logo, Cl(, ) e CC ' = ( - 6) + ( + ) = 5. CCl Como o heágono é regular, CBA W 5 = 60 ; logo, BC ' = = tan 60 0 donde BA =. 0 Portanto: A heágono = 6 A [ABC] = 6 BA # CC l # 5 = 6 = 50, 5 Na figura está representado, num referencial o.n., o lado [AB] do retângulo [ABCD]. 5 A 5 6 Sabe-se que: os vértices A e B têm coordenadas (, 5) e (0, ), respetivamente; o vértice D pertence à reta de equação = 6. Determine as coordenadas dos vértices C e D. B O D AD tem coordenadas (6 -, - 5) = (4, - 5) e AB tem coordenadas (-, -4). Tem-se que AD $ AB = = 0 + =. Assim, D(6, ) e C = D + AB tem de coordenadas (6, ) + (-, -4) = (4, -). 6 Considere, num referencial o.n. Oz, as retas r e s definidas pelas seguintes condições: r: (,, z) = (0,, -) + k(,, -5), k! IR e =-t s: * = -t, t! IR z=- - t 6. Mostre que as retas r e s são concorrentes e perpendiculares. 6. Sejam A o ponto de interseção das retas r e s, B o ponto de coordenadas (, 0, -) e C o ponto da reta s tal que A B $ AC =. Determine as coordenadas do ponto C. 67

35 produto escalar de vetores 6. O ponto de coordenadas (0,, -) pertence a ambas as retas; logo, r e s são concorrentes. Considere-se r(,, -5) um vetor diretor de r e s(-, -, -), um vetor diretor de s. Como r $ s = = 0, as retas r e s são perpendiculares. 6. AB( - 0, 0 -, - + ) = (, -, -) AC(-t - 0, - t -, - - t + ) = (-t, -t, -t) AB $ AC = + -t + t + t = + t = C c-, - #, - - m = c-, 0,- m 7 No referencial o.n. da figura, estão representadas uma circunferência de centro em C, ponto de abcissa 5, e a reta r tangente à circunferência em T(, ). Tal como a figura sugere, o ponto de coordenadas (0, -) pertence à reta r. Determine: a) a equação reduzida da reta r. b) uma equação da circunferência. O r T C 5 + a) Como o declive de r é dado por m = = e o ponto (0, -) - 0 lhe pertence, r : = -. b) Seja r(, ) um vetor diretor de r. Como TC é perpendicular a r e C(5, ), tem-se: TC $ r = 0 + (5 - ) + ( - ) = = 0 + = Assim, C(5, ). Logo, TC = 4+ = 5. Portanto, a equação da circunferência é ( - 5) + ( - ) = 5. 8 Considere, num referencial o.n. O, a reta a e o ponto C de coordenadas (,-). Sabendo que a reta a interseta os eios coordenados nos pontos de coordenadas (, 0) e (0, ), determine uma equação da circunferência de centro C, tangente à reta a. 68

36 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA - 0 Como o declive de a é dado por m = = - e o ponto (0, ) 0 - lhe pertence, a: = - +. UNIDADE 6 Sejam a(, -) o vetor diretor de a e Cl a projeção ortogonal de C na reta a. Tem-se que CCl é perpendicular a a e Cl(, - + ), então: CCl $ a = 0 + ( - ) + (- + + ) (-) = = 0 + = 4 Assim, Cl(4, -). Logo, CCl = 4+ 4 =. Portanto, a equação da circunferência é ( - ) + ( + ) = 8. 9 Na figura estão representados, em referencial o.n. O, a circunferência de equação + = 6, o ponto P(5, 0) e as retas r e t, tangentes à circunferência e que se intersetam em P. t 9. Mostre que a equação reduzida de uma reta não horizontal que contenha P é da forma: = m - 5m, m! IR e determine, em função de m, as coordenadas dos pontos de interseção de uma reta, com equação desta forma, com a circunferência. O r P 5 9. Determine a equação reduzida da reta r e da reta t. 9. Seja m o declive da reta s não horizontal que contém P. A equação da reta s é da forma = m + b, m, b! IR. Como P(5, 0)! s, tem-se 0 = 5m + b + b = -5m. Portanto, s: = m - 5m, m! IR. Tem-se que: + = 6 / = m - 5m + + (m - 5m) = m - 0m + 5m = ( + m ) - 0m + 5m - 6 = m! 00m - 4# ( + m ) # ( 5m - 6) + = + ( + m ) 5m! 5m - 5m + 6-5m + 6m + = + m 5m! 6-9m + = + m

37 produto escalar de vetores 5m! 6-9m = m + m = 5m! m 6-9m + m - 5m = 5m+ 5m - + m = -5m! m 6-9m + m Logo, os pontos de interseção de uma reta com equação da forma = m - 5m com a circunferência + = 6 têm as seguintes coordenadas: 5m - 6-9m 5m+ m 6-9m f, - p + m + m 5m + 6-9m 5m-m 6-9m e f, - + m + m 9. Por 9. sabe-se que as retas r e t têm equações da forma = m - 5m, m! IR e conhecem-se as coordenadas dos pontos de tangência das retas r e t com a circunferência. Como para cada reta eiste um único ponto 4 de tangência, tem-se que 6-9m = 0, ou seja, m =!. Portanto, como r tem declive positivo e t tem declive negativo, as respetivas equações reduzidas são: r: = - e t: = - + p 0 No referencial ortonormado O da figura, estão representados duas retas, r e s, e um ponto P de coordenadas (-, ). Sabe-se que: a equação reduzida da reta r é = - P ; r a equação reduzida da reta s é = - ; O a é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado pelas retas r e s. s a Determine: a) as coordenadas dos pontos da reta r que distam unidades do ponto P. b) um valor aproimado às décimas de a. c) a distância do ponto P à reta s. NOTA: A distância de um ponto a uma reta é a distância desse ponto ao pé da perpendicular tirada desse ponto para a reta. 70

38 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA a) Seja R(, ) um ponto da reta r. Então, R c, - m. Assim: PR = + ( + ) + c- -m = = = = 4 & & = = = Tem-se que: -4! 576-4# 5# 6 # ! = + = -4 0 = (- 4+ ) + c -m = 4+ 0 = 4 4 f 5 p 6 d- + n = 5 5 Logo, -4 e são soluções. 4 Portanto, R(-4, ) ou R d-, n = 5 b) r(, -) e s(, ) são vetores diretores de r e s, respetivamente. Tem-se que: r $ s = r s cos a = cos a = cos a & a c 5, UNIDADE 6 c) Seja Pl a projeção ortogonal de P na reta r. Tem-se que Pl ca, a - m. Sabe-se que PPl é perpendicular a s(, ), donde: a PPl $ s = 0 + (a + ) + c --m = a a - 4 = 0 + a = 0 Assim, PPl = 4+ 6 = 5. 7

39 preparação para o teste I PREPARAÇÃO PARA O TESTE Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas. Fiada uma unidade de comprimento, o produto escalar de dois vetores, a e b, é a $ b = -. Sabe-se que, na unidade fiada, a = 4 e b =. Então, pode-se afirmar que o ângulo dos vetores a e b é: (A) agudo. (B) reto. (C) obtuso. (D) raso. - = a $ b = cos_ at bi + cos_ at bi = - < 0 6 A opção correta é a (C). Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. O, o losango [OACB] de lado. Considere que o ponto B se desloca ao longo do arco AD, nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto D. A epressão que dá o produto escalar r OD $ OB em função de a! E 0, ; é: (A) cos a (B) 4 cos a (C) -4 sin a (D) 4 sin a r OD $ OB = cosc A opção correta é a (D). - am = 4 cos a D O a B A C Num referencial o.n. O, considere a circunferência definida por: + = A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (-, ). Qual da equações seguintes define a reta r? (A) = 0 (C) + = 0 (B) - + = 0 (D) = + 6 Como (-, ) são as coordenadas de um vetor perpendicular à reta r, o declive da reta é. 7

40 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Então, a equação de r é da forma = + b. Substituindo as coordenadas do ponto de tangência na equação, obtém-se: = (-) + b + b = Assim, r : = + + = = 0. A opção correta é a (B). 4 Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. O, um triângulo equilátero [ABC]. Sabe-se que : o ponto A tem ordenada positiva; os pontos B e C pertencem ao eio O ; o ponto B tem abcissa e o ponto C tem abcissa maior do que. Qual é a equação reduzida da reta AB? (A) = + (B) = - (C) = + (D) = - A O B C Eame Nacional do.º ano, 05 Como o triângulo é equilátero, a inclinação da reta AB é 60. Logo, o seu declive é tan 60 =. Então, a equação de AB é da forma = + b. Substituindo na equação as coordenadas de B : 0 = + b + b = -. A opção correta é a (D). 5 Considere, num referencial o.n. Oz, os vetores u(, a, -) e v(, 5, ). Qual é o valor de a para o qual u $ v =? (A) 5 (C) - (B) (D) - u $ v = + + 5a - = + a = A opção correta é a (B). 7

41 preparação para o teste II Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias. Considere os vetores u e v tais que u = 4, v = e _ ut vi = 0.. Calcule: a) (-u) $ v b) (u - v) $ u. Determine o número real m para o qual os vetores u - mv e v são perpendiculares.. a) (-u) $ v = -(u $ v) = - u v cos 0 = = - c- m = b) (u - v) $ u = u $ u - v $ u = u - u v cos 0 = = 6 - c- m = 4. (u - mv) $ v = 0 + u $ v - mv $ v = u v cos 0 - m v = m = m = - No referencial o.n. da figura O estão representadas a circunferência definida pela equação + = e a reta, t, tangente à circunferência no ponto P. Seja a a inclinação da reta que contém r o segmento de reta [OP] e a! E 0, ; o. O a P. Determine o declive da reta t sabendo t que sin a =.. Determine as coordenadas do ponto P quando a inclinação da reta t r é radianos.. Prove que o declive da reta t é dado em função de a por - tan a. r.4 Escreva uma equação da reta t, se a =. 4 74

42 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA. Tem-se que: sin a + cos a = + + tan + + tan a = tan 4 a = 5 a = sin a + & tan a = F r a! 0, < Logo, o declive da reta OP é. 5 Como OP é perpendicular a t, vem que o declive de t é A circunferência é trigonométrica; logo, P(cos a, sin a). r r r r r Como a = r - - =, P c cos, sin m, ou seja, P e,sin o A reta OP é perpendicular à reta t, pois passa no ponto de tangência P. Como o declive de OP é dado por m = tan a, então, o declive da reta t, ml, é tal que: mml = tan a ml = - + ml = - tan a.4 Pela alínea anterior, o declive de t é - r = -. tan 4 Assim, a equação de t é da forma = - + b. A reta OP tem equação =, então, OP(, ). Como OP é um raio da circunferência: OP = + + = + = + =! Para a = 4 r, toma um valor positivo; logo, as coordenadas de P são e, o. Substituindo as coordenadas de P na equação de t, obtém-se: = - + b + b = Assim, t: = - +. z Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oz, um cubo de aresta a. Sabendo que T M = UM e UN = NV, prove que MN $ MQ = a 9. Tem-se que M da, a a, an, N c, aa, m e Q(a, a, 0). a a Assim, MN c -,, 0 a m e MQ c0,,-am. Logo, MN $ MQ = - a 0 + a a + 0 (-a) = a 9 T P O S M. U Q V N R 75

43 UNIDADE 7 Equações de planos no espaço TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS Tarefa Considere, num referencial o.n Oz do espaço, o ponto A(, 4, ) e a reta r definida por: (,, z) = (-,, 5) + k(-, 0,), k! IR. Justifique que o ponto A e a reta r definem um plano.. Mostre que o vetor u de coordenadas (,, ) é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A.. (, 4, ) = (- - k,, 5 + k) é impossível; então, A " r e, assim, A e r não definem um plano.. O vetor u(,, ) é perpendicular ao vetor AB(-, -, 4), sendo B o ponto definido em., pois u $ AB = = 0 e é perpendicular ao vetor diretor da reta dada, r, de coordenadas (-, 0, ), uma vez que u $ r = = 0. Concluindo-se, assim, que o vetor u é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A. 7. Vetores normais a um plano Considere, num referencial o.n. Oz, o plano a de equação z = -. Indique: a) dois pontos pertencentes ao plano a. b) um vetor de norma normal ao plano a. a) Por eemplo, (,, -) e (, 4, -). b) Sejam A(,, -), B(,, -) e C(4,, -) três pontos pertencentes ao plano a e seja u um vetor de norma normal ao plano a. 76 Tem-se que AB = B - A e AC = C - A têm coordenadas, respetivamente, (,, 0) e (,, 0) ; logo: u $ AB = 0 (,, z) $ (, 0, ) = 0 + = 0 * u $ AC = 0 + *(,, z) $ (, 0, ) = 0+ * + = 0 + u = + + z = + + z = 4 * = 0 = 0 z =!

44 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Por eemplo, (0, 0, ) é um vetor de norma normal a a. Em alternativa: Um vetor normal ao plano a tem coordenadas (0, 0, ) ; logo, o vetor pretendido tem coordenadas (0, 0, ) ou (0, 0, -). UNIDADE 7 Considere, num referencial o.n., os pontos A(,, 0), B(0,, ) e C(-, 0, ). Mostre que: a) os pontos A, B e C são não colineares. b) o vetor u(, -, 0) é normal ao plano ABC. a) Tem-se que AB = B - A tem coordenadas (-, -, ). Uma equação vetorial da reta AB é (,, z) = (,, 0) + k(-, -, ), k! IR. Verifique-se que o ponto C não pertence à reta AB : (-, 0, ) = (,, 0) + k(-, -, ) Então: - k =- k = * - k = 0 + * k = k = k = Como!, C não pertence à reta AB e, por isso, os pontos A, B e C são não colineares. b) Considere-se u(, -, 0) e os pontos A e B pertencentes ao plano ABC : AB $ u = - + (-) (-) + 0 = = 0 BC $ u = - + (-) (-) = 0 Logo, o vetor u é normal ao plano ABC. 7. Equações cartesianas de planos Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P 0 de coordenadas (,, ) e tem como vetor normal o vetor u de coordenadas: a) (-, 4, -) b) (0, -, 0) c) (, -, 0) Sejam P 0 (,, ) e P(,, z) pontos pertencentes ao mesmo plano e u, um vetor normal ao plano. a) P P 0 $ u = 0 + -( - ) + 4( - ) - (z - ) = z + = z + = 0 b) P P 0 $ u = 0 + 0( - ) + (-)( - ) + 0(z - ) = = 0 + = c) P P 0 $ u = 0 + ( - ) + (-)( - ) + 0(z - ) = = = 0 77

45 Equações de planos no espaço 4 No referencial ortonormado do espaço da figura está representado um cubo de aresta 6 cm, em que um dos seus vértices é a origem do referencial e as suas faces são paralelas aos planos coordenados. z 4. Indique as coordenadas do ponto K G F (centro do cubo). D E 4. Determine _ KF T KGi, aproimada às unidades de grau. K O C 4. Determine uma equação cartesiana A B do plano BCD. 4. K(,, ) 4. O vetor KF = F - K tem coordenadas (-,, ), e o vetor KG = G - K tem coordenadas (-, -, ). Tem-se que o triângulo KFG é isósceles: KF = KG = (- ) + (- ) + = 7 Portanto: KF $ KG = KF KG cos_ KF T KGi (-9) + 9 = 7 7 cos_ KF T KGi + + cos_ KF T 9 KGi = + cos_ KF T KGi = + _ KF T KGi c Considere-se u um vetor normal ao plano BCD e K(,, ), um ponto pertencente a este plano. u = KM = M - K, em que M(, 6, 6) é ponto médio da aresta EF. Então, tem-se u(0,, ). Uma equação cartesiana do plano BCD : 0( - ) + ( - ) + (z - ) = z z - 9 = z - 6 = 0 5 Determine uma equação do plano que passa no ponto A(0, 0, -) e é perpendicular à reta de equação: 78 (,, z) = (0, -, 0) + k(,, -), k! IR Se o plano passa no ponto A(0, 0, -) e é perpendicular à reta de equação (,, z) = (0, -, 0) + k(,, -), k! IR, então, um dos vetores normais a esse plano pode ser u(,, -). Uma das equações desse plano pode ser dada por: ( - 0) + ( - 0) + (-)(z + ) = 0 + z + - z - = 0

46 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 6 Determine uma equação do plano ABC, em que, num dado referencial ortonormado, os pontos A, B e C têm coordenadas (,, 0), (0, 0, ) e (-, 0, 0), respetivamente. UNIDADE 7 Como A, B e C são três pontos não colineares do plano ABC, então, um vetor u perpendicular a AB e AC é normal ao plano. Então, o vetor u é tal que: u $ AB = 0 / u $ AC = 0 Como AB(-, -, ) e AC(-5, -, 0), se u tem coordenadas (a, b, c), tem-se: (, abc, ) $ (-,-, ) = 0 -a- b+ c = 0 * + ) + (, abc, ) $ (-5,-, 0) = 0-5a- b = 0 a =-c + ) + c =- ( a b =-5a b =-5a Fazendo a = -, tem-se b = 5 e c =. Então, um vetor u, normal ao plano ABC, tem coordenadas (-, 5, ). Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é z + d = 0. Como A pertence ao plano, tem-se d = 0 + d = -. Assim, uma equação do plano é dada por: z - = z + = 0 7 Considere, num referencial o.n. Oz, os pontos A, z B e C, de coordenadas (0, 0, 0), (0,, ) e (0, 5, 0), respetivamente, e as retas AB e BC. 7. Justifique que as retas AB e BC são B complanares. O C 7. Prove que o plano definido por AB e BC A admite como equação: + + 6z = 0 7. Calcule o volume da pirâmide [OABC]. Adaptado da Prova Modelo do.º ano, As retas AB e BC são complanares se os pontos A, B e C definirem um plano. Como AB(-0,, ), a reta AB pode ser definida pela equação: (,, z) = (0, 0, 0) + k(-0,, ), k! IR Verifique-se se C pertence à reta AB substituindo as coordenadas de C na sua equação: (0, 5, 0) = (0-0k, k, k) + 0 = 0-0k / k = 5 / k = 0 79

47 Equações de planos no espaço Como uma das condições obtidas é impossível, conclui-se que C não pertence a AB e, então, os três pontos são não colineares (definem um plano). Logo, as retas AB e BC são complanares. 7. Como A, B e C são três pontos não colineares do plano ABC, então, um vetor u perpendicular a BA e BC é normal ao plano. Então, o vetor u é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0. Como BA(0, -, -) e BC(0,, -), se u tem coordenadas (a, b, c), tem-se: (, abc, ) $ ( 0, -, -) = 0 0a-b- c = 0 * + ) + (, abc, ) $ (, 0, -) = 0 b- c = 0 0a = 5b + ) + a = * b c = b c = b Fazendo b =, tem-se a = e c = 6, então, um vetor u, normal ao plano, tem coordenadas (,, 6). Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é + + 6z + d = 0. Como A pertence ao plano, tem-se 0 + d = 0 + d = -0. Assim, uma equação do plano é dada por + + 6z = 0. Em alternativa, pode-se substituir as coordenadas dos pontos (não colineares) A, B e C na equação + + 6z = 0 e verificar que se mantém a igualdade: = = = = = = 0 7. Considere-se a base da pirâmide [OABC] como sendo o triângulo retângulo [AOC] e a altura, h, a distância da base da pirâmide ao ponto B (paralela ao eio Oz ). Então: V [OABC] = A h 0 # 5 [ AOC ] # # = = 5 u. v. Tarefa Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. Oz do espaço, a superfície esférica definida pela equação ( - ) + ( - ) + (z + ) = 6 e o plano tangente à superfície esférica no ponto A(-,, ),! IR. 80 z A

48 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7. Determine a ordenada do ponto A sabendo que esta é superior à do centro da superfície esférica.. Escreva uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A.. Substituindo e z, respetivamente, por - e, na equação que define a superfície esférica, obtém-se: (- - ) + ( - ) + ( + ) = ( - ) + 6 = ( - ) = = 0 - = - + = 5 0 = Como a ordenada do centro é, tem-se que a ordenada do ponto A é 5.. O centro da superfície esférica, C, tem coordenadas (,, -). O vetor CA(-4,, 4) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto A. Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma: z + d = 0 Substituindo, e z pelas coordenadas do ponto A, respetivamente, obtém-se: -4 (-) d = 0 + d = -0 e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação: z - 0 = z + 5 = 0 8 Considere um referencial o.n. Oz. Determine uma equação do plano tangente à superfície esférica de equação + + (z - ) = na origem do referencial. O centro da superfície esférica, C, tem coordenadas (0, 0, ). O vetor CO(0, 0, -) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto O (origem do referencial). Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma -z + d = 0. Substituindo z pela cota do ponto O, obtém-se d = 0 e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação z = 0. 9 No referencial o.n. Oz da figura está representado um prisma triangular reto em que: C tem coordenadas (4, 0, ) ; a face [ABDO] está contida no plano O ; ED = 9. Defina por meio de uma equação cartesiana o plano mediador de [BD]. 9. Identifique, usando letras da figura, o lugar geométrico definido pela condição = 4 / + z =. C A z O E B D 8

49 Equações de planos no espaço 9. Determine-se as coordenadas de D : ED = OD + OE + = OD + + OD = Logo, D _ 0,, 0i. Considere-se M _,, 0i o ponto médio do segmento de reta [BD]. Como BD = D - B tem coordenadas _ 0-4, -, 0-0i = = (-4, 0, 0), a equação cartesiana do plano é -4 + d = 0. O valor de d é tal que -4 + d = 0 + d = 8 ; logo, uma equação cartesiana do plano mediador de [BD] pode ser dada por: = = 0 Em alternativa: d(b, M) = d(d, M) + + ( - 4) + `- j + ( z-0) = ( - 0) + `- j + ( z-0) z = z = = 0 Ou então pode-se afirmar que é =, pois se é perpendicular a [BD] também é perpendicular a [AO] e, como passa pelo ponto médio de [AO] de coordenadas (, 0, 0), tem-se =. 9. Os pontos B _ 4,, 0i e C(4, 0, ) verificam a condição dada; portanto, a reta BC é o lugar geométrico definido pela mesma. 7. Posição relativa de dois planos 0 Num referencial ortonormado Oz, o plano c é definido pela equação: z - 5 = 0 0. Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano c com o eio O. 0. Escreva uma condição que defina a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -, 6). 0. Determine uma equação cartesiana do plano paralelo a c e que passa no ponto de coordenadas (,, ). 0. Seja I o ponto de interseção do plano c com o eio O, então, I(, 0, 0). Substituindo na equação do plano, obtém-se: = 0 + = 5 Portanto, I(5, 0, 0). 0. Pela equação que define o plano c, obtém-se o vetor normal ao plano de coordenadas (, -, ). Por eemplo, uma condição que define a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -, 6) é: (,, z) = (0, -, 6) + k(, -, ), k! IR

50 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7 0. Como o plano é paralelo a c, pode-se considerar o mesmo vetor normal ao plano de coordenadas (, -, ). O ponto (,, ) pertence ao plano paralelo a c ; logo: d = 0 + d = - Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a c é: - + z - = 0 Considere, num referencial ortonormado Oz, os planos definidos pelas seguintes equações: a: + + z = 0 d: + + z = 4 b: z = -0 n: + - z = 0 Indique, justificando, quais destes planos são paralelos e quais são coincidentes. Considere-se a e b : Os vetores normais a a e b têm coordenadas (,, ) e (-, -, -), respetivamente. Como (,, ) = - (-, -, -), conclui-se que os dois vetores são colineares, pelo que os planos a e b são paralelos. Como z = z = 0, a e b são coincidentes. Considere-se a, b e d : + + z = 0 + ( + + z) = z = 0 Como 0! 4, então, d é paralelo a a e a b. No caso de n, o seu vetor normal não é colinear a nenhum dos outros vetores normais; logo, n não é paralelo nem coincidente com nenhum dos outros planos. Além disso, os vetores normais também não são perpendiculares. Portanto, a e b são coincidentes e d é paralelo a a e b. Considere os planos definidos, em determinado referencial o.n. do espaço, pelas equações: a: + + z = 0 b: + - z = 5 d: z = 4 n: + - 4z = -8 Indique, caso seja possível, um par de planos cuja interseção seja: a) um plano. b) uma reta. c) o conjunto vazio. a) d e n, pois são planos coincidentes. b) a e b, pois são planos concorrentes. c) b e n, pois são planos paralelos. 8

51 Equações de planos no espaço Averigue, em cada alínea, se os planos definidos, num referencial o.n., pelas seguintes equações são perpendiculares: a) a: z = b: 4 + = b) a: z = 0 b: z = a) Considere-se u a (, -4, ) e u b (4,, 0) vetores normais aos planos a e b, respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, u a $ u b = 0. u a $ u b = 4 + (-4) + 0 = 0 Logo, os planos a e b são perpendiculares. b) Considere-se u a (-,, -) e u b (4,, -) vetores normais aos planos a e b, respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, u a $ u b = 0. u a $ u b = (-) (-) = -4! 0 Logo, os planos a e b não são perpendiculares. 4 Na figura está representado, em referencial o.n. Oz, o cubo [ABCDEFGO]. A face [OGCD] está contida no plano Oz e os pontos E, G e D têm coordenadas ^ 0, 0, 0h, (0,, ) e (0, -, ), respetivamente. 4. Mostre que a equação - + z = 0 define o plano OEG. 4. Determine uma condição que defina: A a) o plano ABC. b) o plano BCF. O c) a reta FG. E 4. Considere-se OD(0, -, ) um vetor normal ao plano OEG. Tem-se que a equação é da forma - + z + d = 0. Como E _ 0, 00, i pertence ao plano, conclui-se que d = 0. Portanto, a equação - + z = 0 define o plano OEG. 4. a) Como o plano ABC é paralelo a OEG, tem-se que a equação é da forma - + z + d = 0. Como D(0, -, ) pertence ao plano, conclui-se que -(-) + + d = 0 + d = -0. Portanto, uma condição que define o plano ABC é - + z - 0 = 0. b) Considere-se GO(0, -, -) um vetor normal ao plano BCF. Tem-se que a equação é da forma - - z + d = 0. Como G(0,, ) pertence ao plano, conclui-se que d = 0 + d = 0. Portanto, uma condição que define o plano BCF é - - z + 0 = 0. c) A reta FG é a interseção dos planos BCF e OEG ; logo, uma condição que a define é: - - z + 0 = 0 / - + z = 0 84 D z B F C G

52 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 7.4 Equação vetorial de um plano UNIDADE 7 5 Considere num referencial o.n. Oz os pontos A, B e C de coordenadas (0, -, ), (, 4, 5) e (0, -, 0), respetivamente. 5. Determine as coordenadas de dois vetores, não nulos, paralelos ao plano ABC. 5. Escreva uma equação vetorial do plano ABC. 5. Por eemplo, AB(, 5, ) e AC(0, 0, -). 5. Sabe-se que AB e AC são vetores, não colineares, paralelos ao plano ABC, e o ponto A pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial do plano ABC é dada por: (,, z) = (0, -, ) + s(, 5, ) + t(0, 0, ), s, t! IR z Tarefa C Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oz, a pirâmide quadrangular regular B V [ABCOV] cuja base [ABCO] está contida no plano O Oz e o vértice V tem coordenadas (, 8, ). A. Determine o volume da pirâmide.. Escreva um sistema de equações paramétricas do plano OCV.. A equação z - 4 = 0 define o plano mediador de uma das arestas laterais da pirâmide. Indique, justificando, qual é essa aresta.. O ponto V tem de abcissa ; logo, o quadrado base da pirâmide tem de lado 4 u. c. Como a ordenada do ponto V é 8, a altura da pirâmide é 8 u. c. O volume da pirâmide é dado por: 4 # 8 8 V [ABCOV] = = u. v.. O ponto C tem coordenadas (0, 0, 4). Os vetores OC e OV têm de coordenadas, respetivamente, (0, 0, 4) e (, 8, ) ; assim sendo, o plano OCV pode ser dado pelo sistema de equações paramétricas: = t * = 8t, s, t! IR z = 4s+ t. A equação define o plano mediador de [CV], pois o ponto médio tem coordenadas (, 4, ) e verifica a equação: = 0 Além disso, CV(, 8, -) é colinear ao vetor de coordenadas (, 4, -), normal ao plano dado, uma vez que CV = (, 4, -). 85

53 Equações de planos no espaço 6 Na figura está representado, em referencial o.n. Oz, o tetraedro regular [ABCD]. Sabe-se que o plano que contém a face [ABC] é definido pelo seguinte sistema: = -s * =-t, s, t! IR z= s+ t 6. Determine a medida da aresta do poliedro. 6. Sabendo que a reta AD é definida pelo sistema = + 4k * = k, k! IR z= k determine as coordenadas do ponto D. 6. Determine uma equação cartesiana do plano paralelo ao plano ABC e que passa no ponto de coordenadas (, 0, 7). 6. Determine-se a abcissa do ponto A(, 0, 0) : = -s = * 0 =-t + * t = 0 0 = s+ t s = 0 Logo, A(, 0, 0). Determine-se a cota z do ponto C(0, 0, z) : 0 = -s s = * 0 =-t + * t = 0 z = s+ t z = Logo, C(0, 0, ). Então, AC = ( 0- ) + 0+ ( - 0) =. Logo, a aresta do poliedro tem de comprimento u. c. 6. Tem-se que: = + 4k * = k, k! IR + (,, z) = (, 0, 0) + k(4,, ), k! IR z= k Sabe-se que (, 0, 0) são as coordenadas de A e u(4,, ) são as coordenadas do vetor diretor da reta AD, AD = e u = 8. A z C O D B 86 Portanto, D = A! u = A! u. 8 Logo, D tem coordenadas d-,-,- n, pois situa-se no.º octante.

54 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7 = -s 6. Do sistema * =-t, s, t! IR obtêm-se os dois vetores, s(-, 0, ) z= s+ t e t (0, -, ), paralelos ao plano ABC e, por sua vez, paralelos ao plano pretendido. Então, um vetor, u, perpendicular a estes vetores, é normal ao plano paralelo a ABC. Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 : (, abc, ) $ (- 0,, ) = 0 a c * + (, abc, ) $ (, 0 -, ) = 0 ) - + = 0 - b+ c = 0 + c = ( a c = b Fazendo c =, tem-se a = e b =. Então, um vetor u, normal ao plano paralelo a ABC, tem coordenadas (,, ). Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é: + + z + d = 0 Como (, 0, 7) pertence ao plano, tem-se: d = 0 + d = -0 Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é dada por: + + z - 0 = 0 7 No referencial ortonormado da figura está representado o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] (o vértice H não está representado na figura). Sabe-se que: z o plano EFG é definido pela equação C z + 6 = 0 G o vértice E pertence ao plano O ; a reta AE é definida pelo sistema D B F = 4 + k * = -7-6k, k! IR A z = 4+ k E B(6, -4, 0) e D(8, -9, 7) 7. Determine as coordenadas de A e de E. 7. Determine uma equação da reta perpendicular ao plano ABC e que passa por B. 7. Determine uma equação vetorial do plano mediador de [AC]. 7. Como E(,, z) pertence ao plano O, tem cota igual a 0. Logo: = 4 + k = 4 + ( -) * =-7-6k + * =-7-6( -) + 0 = 4+ k k =- Portanto, E(8, 5, 0). * = 8 = 5 k =- 87

55 Equações de planos no espaço Em alternativa: (4 + k) - 6(-7-6k) + (4 + k) + 6 = 0 + k = - Para determinar as coordenadas de A, sabe-se que: = 4 + k * =-7-6k + (,, z) = (4, -7, 4) + k(, -6, ), k! IR 0 = 4+ k As coordenadas de A são da forma (4 + k, -7-4k, 4 + k), k! IR. Por outro lado, sabe-se que DB(8, 5, ) é perpendicular a AE(-6 - k, + 4k, -4 - k) ; logo: DB $ AE = k k - + 6k = 0 + k = 0 Portanto, A(4, -7, 4). 7. A reta perpendicular ao plano ABC que passa por B é paralela à reta AE ; logo, pode ter o mesmo vetor diretor. Portanto, uma equação que define a reta pedida é: (,, z) = (6, -4, 0) + k(, -6, ), k! IR 7. O plano mediador de [AC] é o plano BDF. Sabe-se que AE(-6,, -4) e BD(-8, -5, -) são vetores paralelos ao plano BDF e que o ponto B pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial do plano BDF é dada por: (,, z) = (6, -4, 0) + s(-6,, -4) + t(-8, -5, -), s, t! IR Tarefa 4 Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, a pirâmide [ABCDV]. Sabe-se que: as retas AB e CD são definidas, respetivamente, pelas equações vetoriais: (,, z) = (,, ) + k(0,, -), k! IR (,, z) = (0,, ) + k(0, -, ), k! IR o ponto A pertence ao plano Oz, B pertence ao plano O, C pertence a O e D pertence a Oz. 4. Mostre que as retas AB e CD definem um plano. 4. Escreva uma equação cartesiana do plano que contém a base da pirâmide. 4. Justifique que o quadrilátero [ABCD] é um retângulo. 4.4 Admitindo que o ponto V tem coordenadas (,, ), determine o volume da pirâmide. A z D O B C V 88

56 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7 4. Um vetor u, diretor de AB, tem coordenadas (0,, -) e um vetor diretor de CD tem coordenadas (0, -, ). Como (0, -, ) = -(0,, -), os vetores são colineares e as retas são paralelas. O ponto C, por eemplo, não pertence a AB ; logo, AB e CD são paralelas e definem um plano. 4. Sejam E e F tais que E(,, )! AB e F(0,, )! CD. Os vetores FE(, 0, 0) e u(0,, -) são não colineares e paralelos ao plano ABC. O vetor n(0,, ) é normal a ambos os vetores; logo, é normal ao plano ABC. O plano ABC pode ser definido por + z + d = 0. Substituindo, e z por, e, respetivamente, obtém-se d = -. Logo, uma equação do plano ABC é + z - = Como A pertence ao plano Oz, tem-se A(, 0, z). Por outro lado, A pertence à reta AB ; logo: = = (, 0, z) = (,, ) + k(0,, -) + * 0= + k + * k =- z= -k z = Portanto, A(, 0, ). Analogamente, tem-se B(,, 0), C(0,, 0) e D(0, 0, ). Assim, AC(-,, -), BD(-, -, ), AD(-, 0, 0) e BC(-, 0, 0). Como AC = BD = e AD = BC, [ABCD] é um retângulo. 4.4 Seja r a reta perpendicular a ABC e que passa por V. Uma equação da reta r é dada por: (,, z) = (,, ) + k(0,, ), k! IR Considere-se M(,, z) a interseção da reta r com o plano ABC ; então: = = = + k * + k = - * + z= + k k= z- * + z =- + * z = + z- = = 0 = Portanto, M c,, m. Tem-se que MV =, AD = e AB = ; logo, o volume da pirâmide é dado por: # # = 4 u. v. 89

57 Equações de planos no espaço 8 Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV], cuja base está contida no plano O. O ponto A pertence ao eio O e o ponto B tem coordenadas (5,, 0). O ponto V pertence ao plano de equação z = 6. Os planos ADV e ABV têm equações z = 4 e z = 7, respetivamente. O 8. Determine o volume da pirâmide. 8. Determine as coordenadas do ponto V. A D C 8. Seja S o ponto de coordenadas (-, -5, 5). B Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV. Verifique que a reta r contém o ponto B. Teste Intermédio do.º ano, A altura da pirâmide é 6 u. c., pois V tem cota 6. O ponto A(,, z) pertence ao eio O ; logo, tem coordenadas (, 0, 0). Como o ponto A pertence ao plano ADV, tem-se: = = 4 + = 4 Portanto, A(4, 0, 0). Calcule-se o comprimento da aresta da base: AB = ( 5-4) + ( - 0) + ( 0-0) = 0 _ 0i # 6 Logo, o volume da pirâmide é igual a = 0 u. v. 8. Sabe-se que V é o ponto de interseção de três planos: o plano de equação z = 6, o plano ADV e o plano ABV. Portanto: z = = 4 = 9- * z = 7 + * = 7 + * 8-6= 4 + z = 6 z = 6 = + * 8( 9-) - 6 = 4 + * = z = 6 Deste modo, tem-se V(,, 6). 8. Através da equação do plano ADV, z = 4, obtém-se o vetor de coordenadas (6, 8, -5), perpendicular ao plano ADV, sendo um vetor diretor da reta r. Portanto, uma equação vetorial de r é: (,, z) = (-, -5, 5) + k(6, 8, -5), k! IR Como = = é uma proposição verdadeira, a reta r contém o ponto B(5,, 0). 90 z V

58 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7 9 Na figura seguinte estão representados, num referencial o.n. Oz, um cubo e um octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo. Um dos vértices do cubo é a origem z do referencial e as suas faces estão contidas E G L nos planos coordenados. A D O plano MNK é definido pela equação K + + z = M U J 9. Determine a medida da aresta do cubo. B O F 9. Escreva uma equação vetorial do plano JUL. N C 9. Seja T um ponto da aresta [GF]. Determine as coordenadas de T de modo que LJ $ LT = - 9. O plano de equação + + z = tem o vetor de coordenadas (,, ) como vetor normal. a a Seja a a medida da aresta do cubo. Sabe-se que M c,, 0 m é o ponto médio da face [ABOE] que pertence ao plano O ; logo, tem ordenada nula. Substituindo as coordenadas de M na equação a do plano MNK, vem que + a = + a =. Portanto, a medida da aresta do cubo é u. c. 9. Tem-se que as coordenadas dos pontos J, U e L são, respetivamente, (,, ), (,, ) e (,, ). Sabe-se que JL(-, 0, ) e JU(-,, 0) são vetores paralelos ao plano JUL e que o ponto J pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial do plano JUL é dada por: (,, z) = (,, ) + s(-, 0, ) + t(-,, 0), s, t! IR 9. Seja T(0,, z), pois pertence à aresta [GF]. Tem-se LJ(, 0, -) e LT(-,, z - ) ; então: LJ $ LT = - + (-) (-) (z - ) = z + = - + z = Portanto, T c0,, m. 9

59 Equações de planos no espaço AVALIAR CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas. Considere um referencial o.n. Oz. Uma equação do plano que contém o ponto P(,, 4) e é perpendicular a u(, 0, ) é: (A) + z = 9 (B) - z + = 0 (C) + + 4z = 9 (D) + z = 6 Tem-se + z + d = 0. Como P(,, 4) pertence ao plano, conclui-se que: d = 0 + d = -6 Portanto, a condição que define o plano é + z = 6. A opção correta é a (D). Considere um referencial o.n. Oz. O ponto de coordenadas (-,, k) pertence ao plano definido analiticamente por z = 4, se: (A) k = -6 (C) k = - (B) k = -4 (D) k = 4 -(-) + + k = 4 + k = -6 A opção correta é a (A). No referencial o.n. da figura está representado um octaedro regular. z E Os vértices do octaedro pertencem aos eios coordenados e a sua aresta mede. Uma equação do plano que contém a face BCF é: (A) + - z = (B) + + z = (C) + - z = A B O F D C (D) + + z = 9

60 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 7 Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BD = AC = _ i + _ i = 4, logo, as coordenadas de B, C e F são, respetivamente, (, 0, 0), (0,, 0) e (0, 0, -). Seja u um vetor perpendicular a BC(-,, 0) e BF(-, 0, -), vetores normais ao plano BCF. Então, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 : (, abc, ) $ (- 0,, ) = 0 - a+ b = 0 * + ) + a = ) b (, abc, ) $ (-0,,- ) = 0 -a- c = 0 a =-c Fazendo a =, tem-se b = e c = -. Então, um vetor u, normal ao plano, tem coordenadas (,, -). Assim, uma equação cartesiana do plano BCF é + - z + d = 0. Como B pertence ao plano, tem-se + d = 0 + d = -. Portanto, uma equação do plano é dada por + - z =. A opção correta é a (A). UNIDADE 4 Na figura está representado, em referencial o.n. Oz, um paralelepípedo reto. Sabe-se que: a origem do referencial é um dos vértices; os vértices P, R e S pertencem aos eios O, O e Oz, respetivamente; o vértice U tem coordenadas (, 4, ). Considere a reta r definida pela equação (,, z) = (, 0, ) + k(0, 0, ), k! IR Qual é o ponto de interseção da reta r com o plano OUV? (A) O ponto P. (B) O ponto T. (C) O ponto U. (D) O ponto V. Eame Nacional do.º ano, 00 Pode-se afirmar pela equação da reta r que esta contém a aresta [PT]. Logo, a interseção da reta r com o plano OUV é o ponto P. A opção correta é a (A). T P z O S U Q V R 5 Num referencial o.n. Oz, sejam a e b os planos definidos pelas equações a: + - z = e b: + - z = A interseção dos planos a e b é: (A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano. Teste Intermédio do.º ano, 008 9

61 Equações de planos no espaço Tem-se u a (,, -) perpendicular a a e u b (,, -) perpendicular a b. Estes vetores são colineares, pelo que os dois planos são paralelos. Como as duas equações não são equivalentes, os planos não são coincidentes. Portanto, são estritamente paralelos. A opção correta é a (A). 6 Na figura está representado, em referencial o.n. Oz, um cubo. Sabe-se que: a origem do referencial é um dos vértices; os vértices E, G e A pertencem aos eios O, O e Oz, respetivamente; H é o centro da face [OGFE] ; uma equação do plano DBH é + = 0. Qual é a medida da aresta do cubo? (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 0 Eame Nacional do.º ano, 00 O ponto H pertence ao plano DBH ; logo, tem cota igual a zero e abcissa igual à ordenada. Portanto, + = 0 + = 5. Logo, H(5, 5, 0) e a medida da aresta do cubo é 0 u. c. A opção correta é a (B). D E z O A H C F B G 7 Considere a pirâmide quadrangular regular representada na figura onde o ponto M é o centro da base. Num determinado referencial o.n., as coordenadas dos pontos V e M são (,, 4) e (-,, 5), respetivamente. Uma equação do plano ABC é: (A) + + z = -6 (C) + - z = -6 (B) - = -7 (D) + z = 4 A D M B C V Considere-se o vetor MV(,, -), perpendicular ao plano ABC. Assim, uma equação cartesiana do plano é + - z + d = 0. Como M pertence ao plano, tem-se: (-) d = 0 + d = 6 Logo, uma equação cartesiana do plano é dada por + - z + 6 = 0. A opção correta é a (C). 94

62 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 8 Na figura, o plano a é, num referencial o.n., definido pela equação - + z = e é tangente à superfície esférica, de centro em C, no ponto A de coordenadas (-,, ). Uma equação da superfície esférica pode ser: A (A) ( + ) + ( - ) + (z - ) = (B) + + z C = 6 (C) + ( + ) + (z - 5) = 6 (D) ( + ) + ( - ) + (z + ) = 4 UNIDADE 7 Substituindo as coordenadas do ponto A nas quatro hipóteses de equações, obtêm-se como verdadeiras as opções (B) e (D). Se C(0, 0, 0), tem-se que AC(, -, -) e AC não é colinear a (, -, ). Se C(-,, -), tem-se que AC(-,, -) e AC é colinear a (, -, ). A opção correta é a (D). 9 Num referencial ortonormado do espaço, o plano a é definido pela seguinte equação vetorial: (,, z) = (,, ) + s(,, ) + t(-, 0, ), s, t! IR Uma equação cartesiana do plano a é: (A) z + = 0 (C) - + z = 0 (B) z + = 0 (D) z - = 0 Os vetores s(,, ) e t (-, 0, ) são paralelos ao plano a. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano a. Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 : (, abc, ) $ (,, ) = 0 * + a b c (, abc, ) $ (- 0,, ) = 0 ) + + = 0 - a+ c = 0 + b =-4 ) c a = c Fazendo c =, tem-se a = e b = -4. Então, um vetor u, normal ao plano a, tem coordenadas (, -4, ). Assim, uma equação cartesiana do plano a é z + d = 0. Como (,, ) pertence ao plano, tem-se: d = 0 + d = Portanto, uma equação cartesiana do plano a é dada por: z + = 0 A opção correta é a (A). 95

63 Equações de planos no espaço 0 Na figura estão representados o plano a e a reta r definidos, num referencial o.n. do espaço, pelas equações - + z = e (,, z) = (-, 0, 0) + k(,, -), k! IR, respetivamente. Seja a o ângulo que a reta r faz com a sua projeção ortogonal sobre o plano a. Então, a amplitude de a, em graus, r aproimada às décimas, é: (A) 8, a (B) 60 a (C) 6,9 (D) 8, Sejam u(, -, ) vetor normal ao plano a e v(,, -) vetor diretor da reta r. Então: -- u $ v = u v cos_ ut vi + cos_ ut vi = = - = - # 6 8 Como _ ut vi c 8,, tem-se que au c , = 8,. A opção correta é a (A). RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias. Considere três pontos A, B e C, pertencentes aos eios coordenados representados no referencial Oz da figura. z 4 C Os pontos A e C têm coordenadas (, 0, 0) e (0, 0, 4), respetivamente, B pertence ao eio O e AB =.. Determine as coordenadas do ponto B.. Determine a amplitude, em graus, do ângulo dos vetores CA e CB, aproimada às décimas.. Determine uma equação cartesiana do plano ABC. A O B. Tem-se que A(, 0, 0) e B(0,, 0), então: AB = + (-,, 0) = = = + = > 0 Logo, B(0,, 0) H 0 96

64 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA. CA = A - C tem coordenadas (, 0, -4) e CB = B - C tem coordenadas (0,, -4). UNIDADE 7 Logo: CA $ CB = CA CB cos_ CAT CBi + cos_ CAT 6 CBi = + 5 # 5 + cos_ CAT 8 5 CBi = + CA T CB c 44, 5. Os dois vetores CA(, 0, -4) e CB(0,, -4) são paralelos ao plano ABC. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano ABC. Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ CA = 0 / u $ CB = 0 : (, abc, ) $ (, 0, -4) = 0 a- 4c = 0 * + ) + a 4 = * c (, abc, ) $ (, 0, -4) = 0 b- 4c = 0 b = c Fazendo c =, tem-se a = 4 e b = 6. Então, um vetor u, normal ao plano ABC, tem coordenadas (4, 6, ). Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é z + d = 0. Como A(, 0, 0) pertence ao plano, tem-se 4 + d = 0 + d = -. Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por: z - = 0 z Na figura está representado, em referencial O B o.n. Oz, um triângulo [ABC]. Relativamente ao triângulo [ABC], sabe-se que: A está contido no plano a de equação z = 60 C os pontos A, B e C pertencem aos eios O, O e Oz, respetivamente.. Determine as coordenadas dos vértices do triângulo.. Classifique o triângulo quanto aos ângulos.. Determine uma equação cartesiana de um plano perpendicular a a e que contém o ponto B.. Tem-se que A(, 0, 0), B(0,, 0) e C(0, 0, z), pois pertencem aos eios O, O e Oz, respetivamente. Então, substituindo na equação do plano a, obtém-se: 0 = 60 + = 5 = 60 + = 4 -z = 60 + z = -5 Logo, A(, 0, 0), B(0, 4, 0) e C(0, 0, -5). 97

65 Equações de planos no espaço. Como AB(-, 4, 0), AC(-, 0, -5) e BC(0, -4, -5), então: AB = (- ) + 4 = 5 AC = (- ) + (- 5) = 4 BC = (- 4) + (- 5) = 4 Aplicando o teorema de Carnot, obtêm-se os ângulos internos AW e BW do triângulo ABC : 4 = cos AW = cos AW + cos AW = cos AW = W A c = cos BW + cos BW = cos BW = W B c Logo, CW = 80 - AW - BW c 9. Portanto, o triângulo é acutângulo.. Seja BA(, -4, 0), por eemplo, um vetor normal ao plano perpendicular a a. Uma equação cartesiana do plano é d = 0. Como a contém o ponto B(0, 4, 0), tem-se d = 6. Logo, uma equação cartesiana do plano perpendicular a a é dada por: = 0 z No referencial o.n. da figura está representado um prisma, em que um dos vértices é a origem do referencial, O A a base [OABC] está contida no plano B C O e o ponto F tem coordenadas E G (4,, -).. Calcule BG $ AD. D F. Determine uma equação cartesiana do plano OBF.. Calcule o valor real de p, de modo que o ponto P, de coordenadas (p, - p +, 4), pertença ao plano mediador de [AB].. BG = G - B tem coordenadas (0-4, - 0, - - 0) = (-4,, -). AD = D - A tem coordenadas (4-0, 0 -, - - 0) = (4, -, -). BG $ AD = (-) + (-) (-) = - 98

66 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE 7. Os vetores BO(-4, 0, 0) e BF(0,, -) são paralelos ao plano OBF. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano OBF. Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BO = 0 / u $ BF = 0. a = 0 (, abc, ) $ (- 4, 0, 0) = 0-4a = 0 * + ) + * (, abc, ) $ (, 0, - ) = 0 b- c = 0 b = c Fazendo c =, tem-se b =. Então, um vetor u, normal ao plano OBF, tem coordenadas (0,, ). Assim, uma equação cartesiana do plano OBF é + z + d = 0. Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0. Portanto, uma equação cartesiana do plano OBF é dada por: + z = 0. Seja M o ponto médio de [AB]. Então, M c,, 0 m. Sabe-se que MP $ AB = 0, ou seja: cp -, - p + -, 4 m $ (4, -, 0) = p p = 0 + p = Em alternativa: Plano mediador de [AB] : d(a, M) = d(b, M) + + ( - 0) + ( - ) + ( z - 0) = ( - 4) + ( - 0) + ( z - 0) z = z = 0 Como o ponto P(p, -p +, 4) pertence ao plano mediador [AB] : 9 8(p) - 6(-p + ) - 7 = 0 + 6p + 6p = p = 4 Considere as retas r e s, definidas num referencial ortonormado por: r: (,, z) = (,, ) + k(, -, ), k! IR s: (,, z) = (,, ) + k(, -, 0), k! IR 4. Justifique que as retas r e s definem um plano e determine uma equação vetorial desse plano. 4. Determine um sistema de equações paramétricas de uma reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial. 4. Determine a interseção da reta r com o plano Oz. 99

67 Equações de planos no espaço 4. Como os vetores u r (, -, ) e u s (, -, 0) são não colineares e as retas r e s se intersetam no ponto (,, ), então, as retas definem um plano, pois são concorrentes. Uma equação vetorial desse plano é: (,, z) = (,, ) + a(, -, ) + b(, -, 0), a, b! IR 4. Dados dois vetores u r (, -, ) e u s (, -, 0), paralelos ao plano que contém r e s, obtém-se um vetor v perpendicular a estes vetores que é normal ao plano. Logo, o vetor v(a, b, c) é tal que v $ u r = 0 / v $ u s = 0 : (, abc, ) $ (, -, ) = 0 * + a - b + c = 0 ) + (, abc, ) $ (, -, 0) = 0 a- b = 0 - a+ c = 0 + ) + a = ( c b = a b = a Fazendo c =, tem-se a = e b =. Então, um vetor v, normal ao plano, tem coordenadas (,, ). Assim, uma equação vetorial da reta pedida é: (,, z) = (0, 0, 0) + k(,, ), k! IR Logo, um sistema de equações paramétricas da reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial pode ser dado por: = k * = k, k! IR z = k 4. Seja I o ponto de interseção da reta r com o plano Oz. Então, I(, 0, z)! r, ou seja: (, 0, z) = (,, ) + k(, -, ), k! IR Logo: = + k = * 0 = -k + * k = z = + k z = 7 Portanto, I(, 0, 7). 5 Na figura está representada, em referencial ortonormado, uma superfície esférica centrada na origem do referencial à qual pertencem os pontos A, B, C e D, tais que: os pontos A e B têm coordenadas (0, 8, 6) e (0, -8, 6), respetivamente; o ponto D pertence ao semieio positivo das abcissas; o ponto C pertence ao semieio negativo das cotas. B D z O C A 00

68 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 5. Escreva uma equação da superfície esférica. 5. Defina analiticamente o plano ABD. 5. Calcule sin^bc W Ah. 5.4 Escreva uma equação vetorial do plano tangente à superfície esférica no ponto B. UNIDADE 7 5. OA = 0+ ( 8-0) + ( 6-0) = 00 = 0 Uma equação da superfície esférica é + + z = As coordenadas de D são (0, 0, 0), pois pertence ao semieio positivo das abcissas. Os vetores AB(0, -6, 0) e AD(0, -8, -6) são paralelos ao plano ABD. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano. Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ AB = 0 / u $ AD = 0. b = 0 (, abc, ) $ (, 0-6, 0) = 0-6b = 0 * + ) + * (, abc, ) $ ( 0, - 8, -6) = 0 0a-8b- 6c = 0 a = c 5 Fazendo c = 5, tem-se a =. Então, um vetor u, normal ao plano, tem coordenadas (, 0, 5). Assim, uma equação cartesiana do plano ABD é + 5z + d = 0. Como D(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se: 0 + d = 0 + d = -0 Portanto, pode-se, por eemplo, definir o plano ABD por + 5z - 0 = As coordenadas de C são (0, 0, -0), pois pertence ao semieio negativo das cotas. Como AB(0, -6, 0), AC(0, -8, -6) e BC(0, 8, -6), então: AB = (- 6) = 6 AC = (- 8) + (- 6) = 0 BC = 8 + (- 6) = 0 Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se: 6 = cos CW = cos CW + cos CW = + cos CW = Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se: 9 sin CW + cos CW = + sin CW = - + sin 6 CW = sinc W > sin CW = + sin C W 4 = 5 5 0

69 Equações de planos no espaço 5.4 Seja a o plano tangente à superfície esférica no ponto B. Então, o vetor BO(0, 8, -6) é um vetor normal a a. Considerem-se dois vetores, não colineares entre si, perpendiculares a BO, de coordenadas, por eemplo, (, 0, 0) e (0,, 4). Como estes dois vetores são paralelos a a e o ponto B pertence a a, tem-se que uma equação vetorial de a é, por eemplo: (,, z) = (0, -8, 6) + a(, 0, 0) + b(0,, 4), a, b! IR 6 No referencial o.n. Oz está z representado um octaedro, constituído V por duas pirâmides quadrangulares regulares geometricamente iguais. B C Sabe-se que: 0º o quadrado [ABCD] está contido O A D no plano O ; os vértices U e V pertencem ao eio Oz ; U a face ABV está contida no plano de equação - + z = o ângulo agudo que cada face das duas pirâmides forma com a base tem amplitude de Determine o volume do sólido. 6. Determine uma equação cartesiana do plano UDC e mostre que este é paralelo ao plano ABV. 6. Seja r a reta perpendicular ao plano ABV que passa por D. Calcule as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABV. 6. Considere-se a pirâmide quadrangular [ABCDV]. Como V pertence ao eio Oz, tem abcissa e ordenada nula; e como pertence ao plano ABV, tem-se: z = + z = Então, V _ 00,, i e a altura da pirâmide [ABCDV] é de u. c. Seja E o ponto médio de [DC]. Então: tan 0 = + OE = = OE Logo, a aresta do quadrado [ABCD] tem de comprimento 6 u. c. 0 Portanto: V octaedro = V [ABCDV] = 6 # = 4 u. v.

70 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 6. Tem-se que C(-,, 0), D(,, 0) e U _ 00,,- i. UNIDADE 7 Os vetores DC(-6, 0, 0) e DU _-,-,- i são paralelos ao plano UDC. Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano. Logo: * (, abc, ) $ (-60,, 0) = 0 (, abc, ) $ _-,-,- i = a = 0 ) + -a-b- c = 0 + a = 0 ) c =- b Fazendo b =, tem-se c = -. Então, um vetor u, normal ao plano, tem coordenadas _ 0,,- i. Assim, uma equação cartesiana do plano UDC é: - z + d = 0 Como U _ 00,,- i pertence ao plano, tem-se d = -. Portanto, uma equação cartesiana do plano UDC é dada por: - z - = 0 Os planos UDC e ABV são paralelos porque os vetores _ 0,,- i e _ 0, -, i são colineares: _ 0,,- i = - _ 0,,- i = _ 0, -, i 6. Uma equação que define a reta r : (,, z) = (,, 0) + k _ 0, -, i, k! IR Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma _, - k, ki. Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABV pertence a ambos, tem-se: - _ - ki + (k) = k + 9k = + + k = Portanto, o ponto tem coordenadas: e, - #, # o = e,, o 0

71 Equações de planos no espaço 7 Considere, num referencial o.n. Oz, os pontos A, B e C de coordenadas (, 0, 0), (0, -, 0) e (0, 0, 4), respetivamente. 7. Determine uma equação cartesiana do plano: 04 a) ABC b) tangente à superfície esférica, de diâmetro [AB], no ponto A. c) perpendicular ao plano ABC e que passa por B. 7. Seja D um ponto de ordenada positiva pertencente à reta paralela ao eio O e que passa por C. Determine as coordenadas de D sabendo que CD X A = 6 r. 7. Identifique o lugar geométrico dos pontos P(,, z) tais que AP $ BP = Determine o volume da pirâmide triangular [OABC]. 7.5 Seja r a reta perpendicular ao plano ABC e que passa pelo ponto de coordenadas (,, -). Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABC. 7. a) Os vetores AB(-, -, 0) e AC(-, 0, 4) são paralelos ao plano ABC. Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano. Logo: (, abc, ) $ (-,-, 0) = 0 -a- b = 0 * + ) + (, abc, ) $ (- 04,, ) = 0 - a+ 4c = 0 b =- c = Fazendo a = 4, tem-se b = -6 e c =. Então, um vetor u, normal ao plano, tem coordenadas (4, -6, ). Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é z + d = 0. Como A(, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = -. Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por: z - = 0 b) O vetor BA(,, 0) é normal ao plano a tangente à superfície esférica no ponto A. Logo, o plano a pode-se escrever na forma + + d = 0 Como A! a, tem-se: d = 0 + d = -9 Portanto, uma equação cartesiana do plano a pode ser dada pela equação = 0. c) O vetor BA(,, 0) pertence ao plano ABC ; logo, BA é um vetor normal ao plano b perpendicular a ABC. Logo, o plano b pode-se escrever na forma + + d = 0. * 4 a a

72 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Como B(0, -, 0) pertence ao plano b, tem-se: 0 + (-) + d = 0 + d = 4 Assim, uma equação cartesiana do plano perpendicular a ABC que passa por B pode ser: = Pelo enunciado, sabe-se que o ponto D tem coordenadas (0,, 4), com ordenada positiva. Como DC(0, -, 0) e DA(, -, -4), então: DC = (- ) + > 0 DA = + (- ) + (- 4) = + 5 Tem-se: DC $ DA = DC DA cos CDA X + + = ` + 5j = ` + 5j > 0 75 = = > 0 UNIDADE 7 + =!5 & = 5 > 0 Logo, D _ 05,, 4i. 7. É a superfície esférica de centro no ponto médio de [AB] e raio igual a AB : c - m + ( + ) + z = Considere-se como base da pirâmide o triângulo [OAB] e como altura [OC] : V [OABC] = A OC # [ OAB ] # # 4 = = 4 u. v. 7.5 Uma equação que define a reta r : (,, z) = (,, -) + k(4, -6, ), k! IR Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma: ( + 4k, - 6k, - + k) Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABC pertence a ambos, tem-se: 4( + 4k) - 6( - 6k) + (- + k) - = k - + 6k - + 9k - = 0 + 6k = 9 + k = 6 Portanto: 9 = + 4# 6 * = -6# z =- + # 6 98 = 6 8 * = 6 4 z = As coordenadas desse ponto são d,,- n

73 Avaliação global de conhecimentos AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS ESCOLHA MÚLTIPLA Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas. Na figura está representado, num referencial o.n. O, um triângulo equilátero [OPQ] de altura. Tal como a figura sugere, o vértice O coincide com a origem do referencial, o vértice P pertence ao eio das ordenadas e o vértice Q pertence ao.º quadrante. Q O P Qual é o declive da reta OQ? (A) (B) 6 (C) (D) 6 Como o triângulo [OPQ] é equilátero, tem-se POQ W = 60. Logo, a inclinação da reta OQ é igual a = 0º. tan 0 = A opção correta é a (C). Considere, num referencial o.n. O, duas retas, r e s, perpendiculares. Sabe-se que a reta s tem declive e que as retas se intersetam no ponto de coordenadas _, i. Qual é a ordenada na origem da reta r? (A) (B) (C) (D) Como s e r são perpendiculares, o declive da reta r é -. Logo, a equação da reta r é da forma: = - + b Substituindo as coordenadas do ponto de interseção, obtém-se: = - + b + b = A opção correta é a (D). 06

74 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Considere, num referencial o.n. O, uma reta t, de declive - 4. r Sendo a a inclinação da reta t, qual é o valor de sinc + am? (A) (B) - 5 r 4 sinc + am = cos a e tan a = -, com a!. o Q + tan a = cos a = 9 cos a + 9 cos a = 5 A opção correta é a (B). (C) 5 (D) 4 5 &o a!. Q cos a = Considere o triângulo [ABC] da figura, com dois ângulos de amplitude a e em que BC = a. C Qual é a epressão que representa AC $ B C? (A) a cos(a) (B) -a cos(a) (C) -a sin(a) (D) a sin(a) A a a B AC $ B C = AC BC cos_ AC T BCi = a cos(80 + a) = -a cos(a) A opção correta é a (B). 5 Considere um vetor Qual é o valor do produto escalar A B, em que AB =. A B $ BA? (A) 4 (B) -4 (C) 0 (D) AB $ BA = AB BA cos_ AB T BAi = cos 80 = -4 A opção correta é a (B). 6 Considere, num referencial o.n. O, para um determinado valor de k! IR, o vetor u(k +, ) e os pontos A(, -) e B(-, ). Os valores de k para os quais o ângulo de u e A B é agudo são: (A) ], +[ (B) ]-, [ (C) ]-, -[ (D) ]-, +[ AB(-, 4) u $ AB > 0 + -k - + > 0 + k < A opção correta é a (B). 07

75 Avaliação global de conhecimentos 7 Considere, num referencial o.n. do plano, o vetor u(, sin ),! [0, r]. O valor de tal que u $ u = é: r r (A) (B) 6 (C) u $ u = + u = + + sin = + + sin = + = r![, 0 r] A opção correta é a (B). r (D) r 8 Considere, no referencial o.n. O, os vetores a(, ) e b(-, ). A amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores a e b é, aproimadamente, de: (A) 4 (B) 58 (C) 7 (D) 8 a $ b = a b cos_ at bi = 5 8 cos_ at bi + + cos_ at bi = A opção correta é a (C). 0 & _ a T bi Considere um triângulo [ABC] retângulo em B. Sabendo que, num referencial o.n. do plano, A e C têm coordenadas (, ) e (4, 5), respetivamente, e que B pertence ao eio O, as coordenadas de B são: 5 (A) (0, ) (B) (0, ) (C) d0, n (D) (0, -) Considere-se B(0, ) ; então, BA(, - ) e BC(4, 5 - ). Como o triângulo [ABC] é retângulo em B, tem-se: BA $ BC = = = 0 + 6! 6-4# # 9 + = + = Portanto, B(0, ). A opção correta é a (B). 08

76 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 0 No referencial o.n. da figura está representado um triângulo. De acordo com os dados da figura, uma condição que define o triângulo, incluindo a fronteira é: (A) H - / G - + / H 0 (B) G - / G - + / H 0 (C) H - / H - + / H 0 (D) H - / G - + / H 0 O Sejam r a reta que passa nos pontos (0, -) e (, 0) e s a reta perpendicular a r que passa no ponto (, 0). Então, tem-se: r: = - e s: = - + A opção correta é a (A). Considere, num referencial o.n. do plano, a reta r de equação + =. Qual das afirmações é falsa? (A) A inclinação da reta r é de, aproimadamente, 5,4. (B) Uma equação vetorial da reta r é: (, ) = (, -) + k(-4, ), k! IR (C) Uma equação da reta t, perpendicular a r, pode ser: = - + (D) A reta r interseta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto (-, ). + = + = - + (A) Verdadeira. Seja a a inclinação de r. Então: tan a = - + tan(80 - a) = & a. 5,4 (B) Verdadeira. O ponto (, -)! r, pois + (-) =, e (-4, ) é um vetor diretor de r, pois - 4 = -. (C) Falsa. Como - -! -, t e r não são perpendiculares. (D) Verdadeira. O ponto (-, )! r, pois - + =. A opção correta é a (C). 09

77 Avaliação global de conhecimentos Dados dois pontos A e B do plano, o conjunto dos pontos P do plano, tais que PA $ PB = 0, é: (A) uma circunferência. (C) uma reta. (B) um segmento de reta. (D) um círculo. A opção correta é a (A). Considere as retas r e s definidas, num referencial o.n. O, respetivamente, por: r: = - s: (, ) = (, ) + k(-, ), k! IR A amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é, com aproimação à décima de grau: (A) 8,7 (B) 8,8 (C) 8,9 (D) 8,0 Um vetor diretor de r é r(, ) e de s é s(-, ). Portanto: r $ s = r s cos_ rt si = 5 0 cos_ rt si + + cos_ rt si = - + _ rt si á 98, 0 A opção correta é a (C). 4 Considere, num referencial o.n. Oz, o plano definido pela equação: - + z = 7 As coordenadas de um vetor normal ao plano podem ser: (A) (, -, -) (B) (,, 0) (C) (-,, -) (D) (-, 0, ) A opção correta é a (C). 5 Considere, num referencial o.n. Oz : a superfície esférica E definida pela condição + + z = 5 ; a reta r de equação (,, z) = (0, 0, 4) + k(, 0, 0), k! IR. A reta r interseta a superfície esférica E em dois pontos, A e B. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo AOB (valor arredondado às unidades)? (A) 7 (B) 74 (C) 76 (D) 78 0

78 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Os pontos da reta r têm coordenadas da forma (k, 0, 4). Como A e B pertencem à superfície esférica, tem-se: k = 5 + k = 0 k = - Portanto, OA(-, 0, 4) e OB(, 0, 4). Assim: OA $ OB = OA OB cos_ AOB W i = 5 cos_ AOB W i + + cos_ AOB W 7 i = + AOB W á 74 5 A opção correta é a (B). 6 Na figura está representada, em referencial o.n. Oz, a pirâmide de base quadrangular [ABCO] contida no plano O e com vértice V de coordenadas (0, 0, ). O ponto B tem coordenadas (,, 0). z V A O B C O valor de AC $ BV é: (A) 6 (B) (C) (D) 0 Tem-se A(, 0, 0) e C(0,, 0) ; logo: AC $ BC = (-,, 0) $ (-, -, ) = = 0 A opção correta é a (D). 7 Considere, num referencial o.n. Oz, os planos a e b definidos, respetivamente, por a: + - z = 0 e b: + kz =, k! IR O valor de k de modo que a e b sejam perpendiculares é: (A) 0 (B) 0,5 (C) (D) Sejam r a (,, -) e r b (, 0, k) vetores normais aos planos a e b, respetivamente. Então, a e b são perpendiculares se, e só se: (,, -) $ (, 0, k) = k = 0 + k = A opção correta é a (C).

79 Avaliação global de conhecimentos 8 Considere, num referencial o.n. Oz, o prisma quadrangular reto [ABCDEFGH] cuja base superior está contida no plano O. A origem do referencial é o ponto médio da aresta [CD]. A aresta [CD] está contida no eio O. Sabe-se que F tem coordenadas (,, -4). Seja a o plano perpendicular à reta CE e que passa na origem do referencial. O valor de m de modo que o vetor de coordenadas (-4, 4, m) seja perpendicular a a é: A E H D z O B F C G (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 CE(, -, -4) é perpendicular a a. Logo, (-4, 4, m) tem de ser colinear a CE. A opção correta é a (D). 9 Considere, num referencial o.n. Oz, o ponto A(,, ) e a reta r de equação: (,, z) = k(-,, ), k! IR Qual dos seguintes pontos pertence ao plano perpendicular a r e que passa por A? (A) (-,, ) (B) (0,, ) (C) (, 0, ) (D) (,, 0) A equação cartesiana desse plano é da forma z + d = 0. Substituindo as coordenadas de A : d = 0 + d = -4. Como = 0, o ponto de coordenadas (0,, ) pertence ao plano em questão. A opção correta é a (B). 0 Considere, num referencial o.n. Oz, o plano definido pela equação: + + z = 0 Para um certo número real p, a condição: (,, z) = (0,, 0) + k(,, p), k! IR define uma reta paralela ao referido plano. Indique o valor de p. (A) - (C) (B) - (D)

80 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA Seja u(,, ) um vetor normal ao plano e v(,, p) um vetor diretor da reta. Então, u = v e, portanto: u $ v = 0 + (,, ) $ (,, p) = p = 0 + p = - A opção correta é a (B). Num dado referencial o.n. Oz, a reta definida por é perpendicular ao plano de equação: (A) + + 4z = (B) + - z = = + k * = + k, k! IR z=- + k (C) + + z = (D) + = z Como a reta é perpendicular ao plano, u(,, ), vetor diretor da reta, é também vetor normal ao plano. Logo, uma equação do plano é da forma + + z + d = 0. A opção correta é a (C). Considere o plano a definido, num dado referencial o.n Oz, pelo sistema de equações paramétricas: = + s * = + s+ t, s, t! IR z =- + t O plano a pode igualmente ser definido por: (A) + - z = 0 (C) - + z + = 0 (B) - + z = 0 (D) - = 0 + = + = - + Os vetores de coordenadas (,, 0) e (0,, ) são paralelos ao plano. Ambos são perpendiculares ao vetor (, -, ), que é um vetor normal aos planos das opções (B) e (C). No entanto, o ponto (,, -) apenas pertence ao plano da opção (C). A opção correta é a (C).

81 Avaliação global de conhecimentos RESPOSTA ABERTA Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias. Determine a equação reduzida das retas que passam no ponto de coordenadas (-, ) e fazem com o eio das ordenadas um ângulo de 60. Há duas retas nestas condições. Uma r, de inclinação 0º, e outra s, de inclinação 50º. Como o declive de r é, a equação de r é da forma = + b. Substituindo na equação de r as coordenadas do ponto dado: 6+ = (-) + b + b = 6+ Logo, r: = +. Analogamente, o declive de s é - e, por isso, substituindo na equação = - + b as coordenadas do ponto dado: 6- = - (-) + b + b = 6- Logo, s: = Na figura ao lado, estão representadas em referencial o.n., duas retas paralelas, r e t, sendo que r interseta os eios coordenados nos pontos (-, 0) e (0, -). a Sabe-se ainda que t interseta o eio O das abcissas em (, 0). 4. Mostre que a reta t tem equação: t r = 0 4. Seja a, o ângulo assinalado na figura ao lado, a inclinação da reta t. Verifique que: sin a + cos a = 4. Defina por uma condição a região colorida (incluindo a fronteira). 4

82 Domínio GEOMETRIA ANALÍTICA 4. A reta r tem declive -. Como as retas são paralelas, t tem equação da forma = - + b. Substituindo na equação de t as coordenadas do ponto dado: 9 0 = - + b + b = Assim: 9 t : = = = 0 4. Tem-se que tan a = - e + tan a = cos a + cos a = 4. Como a!.º Q, cos a = -. Assim, sin a = cos a tan a = Portanto: sin a + cos a =. - = 4. c G 0 / G 0 / H - - m 0 c H 0 / H 0 / G m Ou seja, H 0 / H - - / G Represente a região colorida (incluindo a fronteira), da figura ao lado por meio de uma condição, sabendo que: s 9 t as retas passam por A(, ) ; a inclinação da reta t é 0. O A t s A reta t tem declive tan 0 = -. Assim, t: = - + b. Substituindo as coordenadas de A : = - + b + b = +. Portanto, t: = Como as retas r e s são perpendiculares, s: = + b. 6- Substituindo as coordenadas de A : = + b + b =. 6- Portanto, s: = +. Assim, a região colorida é definida por: 6- H 0 / G + / G

83 Avaliação global de conhecimentos 6 Considere, num referencial o.n. O, a reta s definida por - + = 0 e os pontos de coordenadas A(, ) e B(-, 0). Determine: a) a inclinação da reta AB, com aproimação à décima de grau. b) a equação reduzida da reta perpendicular à reta s e que passa pelo ponto B. a) Como AB(-, -), o declive de AB é é arctan á,7.. Logo, a sua inclinação b) O declive da reta pretendida é - ; logo, a reta tem equação da forma = - + b. Substituindo as coordenadas de B : 0 = - (-) + b + b = - Assim, a equação reduzida da reta é = D O quadrilátero [ABCD] da figura é um quadrado de centro O, em que o lado mede unidades. O Determine: a) OA $ AB b) AC $ BD A a) AC = AB + BC = OA $ AB = OA AB cos(80-45 ) = e- o = - b) AC $ BD = AC BD cos 90 = 0 C B 8 O João desloca um corpo de A para B, aplicando uma força F representada na figura. Sabendo que a força é de 00 N, a distância entre A e B é de 8 metros e o ângulo entre a força e o deslocamento é de 50, determine, aproimadamente, o trabalho realizado pelo João. A F B W = F d cos 50 = 00 8 cos 50 á 08 J 6