AVALIAÇÃO DO MERCADO DE APARTAMENTOS DO RECIFE UTILIZANDO MODELOS LINEARES GENERALIZADOS

Transcrição

1 9 o CONGRESSO PANAMERICANO DE AVALIAÇÕES AVALIAÇÃO DO MERCADO DE APARTAMENTOS DO RECIFE UTILIZANDO MODELOS LINEARES GENERALIZADOS Autores DANTAS, RUBENS ALVES Engenhero Cv, Mestre Em Engenhara de Produção, Doutorando em Economa Rua Gdo Neto, 6, Tamarnera, Recfe, PE - CEP Fone e fax - (08) e-ma: radantas@eogca.com.br CORDEIRO, GAUSS MOUTINHO Engenhero Cv, Mestre em Engenhara de Produção, Ph.D. peo Impera Coege de Londres Av. Cons. Rosa e Sva, 44/70, Aftos, Recfe, PE - CEP Fone - (08) 3.58 e-ma: gausscordero@uo.com.br Poramar, outubro de 000

2 CURRICULOS RESUMIDOS DOS AUTORES RUBENS ALVES DANTAS Engenhero Cv e Mestre em Cêncas pea UFPE, com tese desenvovda na área de Engenhara de Avaações. Professor assstente da UFPE e professor adjunto da Escoa Potécnca de Pernambuco, da dscpna Engenhara de Avaações, desde 98. Como Engenhero de Avaações exerceu suas atvdades no Banco Rea em São Pauo, no Banco Nacona da Habtação onde chefou o Servço de Vstoras e Avaações e na Caxa Econômca Federa. Atuamente faz parte da comssão de estudos comssão de estudos nsttuída pea ABNT - Assocação Brasera de Normas Técncas, para revsão da Norma para Avaação de Bens, NBR GAUSS MOUTINHO CORDEIRO Engenhero Cv, Mestre em engenhara de Produção, Ph.D. peo Impera Coege de Londres, DIC peo Impera Coege of Scence and Technoogy, Feow of the Roya Statstca Socety, Membro do Conseho Dretor da Assocação Brasera de Estatístca, Professor Ttuar do Departamento de Estatístca da UFBA, Edtor da Revsta Brasera de Probabdade e Estatístca, Professor e Coordenador dos Programas de Pós-Graduação em Engenhara ( COPPE/UFRJ) e Professor de Cursos de Especazação em Engenhara de Avaação da Escoa Potécnca de Pernambuco.

3 INTRODUÇÃO Uma das prncpas fases da avaação de móves peo Método Comparatvo é o ajustamento dos dados de mercado a um modeo que expque a varabdade dos preços observados, em função das varações de suas característcas. A forma mas smpes de resover a questão é utzar modeo cássco de regressão. No caso da avaação de apartamentos, por exempo, consderandose como varáve dependente o preço e como varáves ndependentes as suas respectvas característcas físcas, econômcas e ocaconas. Este modeo ajustado a n dados de mercado, consderando-se k característca nfuencantes sobre os preços é representado por uma função near do tpo Y = β + β X + K+ β X 0 k k + ε =,..,n (.) onde: Y,...,Y n - chama-se varáve dependente; X,..., X k - são as varáves ndependentes; β 0,..., β k os parâmetros e ε,...,ε n os erros aeatóros do modeo, respectvamente. Consdera-se anda, que as varáves ndependentes são representadas por números reas que não contêm nenhuma perturbação aeatóra, não exstndo nenhuma reação near exata entre as mesmas e que os erros aeatóros satsfazem aos pressupostos do modeo, sto é, varânca constante, não autocorreação e normadade. O modeo cássco de regressão pode ser usado com segurança, desde que se verfquem os seus pressupostos báscos. Um dos grandes probemas enfrentados peos avaadores quando tratam dados mobáros, prncpamente quando se faz avaações em massa, dz respeto à hpótese de varânca constante (homocedastcdade) e normadade dos erros aeatóros. Quando estas hpóteses não são atenddas as estmatvas das varâncas dos parâmetros são tendencosas o que pode evar mutas vezes o avaador a desprezar varáves fundamentas no modeo, provocando, assm, erros de especfcação. Desta forma, os resutados obtdos, quasquer que sejam ees, são enganosos. Este trabaho utzará uma casse de modeos bem mas ampa, desenvovda por Neder e Wedderburn (97), da qua o modeo cássco de regressão é um caso partcuar. Nesses modeos denomnados de Modeos Lneares Generazados (MLGs), aguns dos pressupostos báscos, tas como, varânca constante e dstrbução norma para o erro, não são mas exgdos. Apresenta-se a segur, concetos báscos para construção destes modeos. Ao fna anasa-se uma amostra composta por 795 (setecentos e noventa e cnco) dados de mercado de apartamentos na regão metropotana do Recfe-PE, construndo-se modeos pausíves para expcar a formação dos preços observados, através do sstema GLIM. Na construção dos modeos será utzado o método de Box-Cox (964). Para verfcação de pontos nfuentes serão utzadas técncas de dagnóstco, ncundo-se o teste de Cook (977). Maores detahes sobre o tema podem ser encontrados em Cordero (983a) e Dantas(998).. OS MODELOS LINEARES GENERALIZADOS. CONCEITUAÇÃO Um MLG é defndo por uma dstrbução de probabdades, membro da famía exponenca de dstrbuções, para a varáve resposta (componente aeatóra), um conjunto de varáves ndependentes descrevendo a estrutura near do modeo (componente sstemátca) e uma função de gação (f) entre a méda da varáve de resposta (µ) e a estrutura near (η). Tem-se então

4 f ( µ ) = η (.) A anáse de dados através dos MLGs é bastante fexíve, pos para uma mesma estrutura near pode-se obter város modeos dependendo da dstrbução proposta para o erro e a função de gação escohda. A déa centra dos MLGs é transformar as médas dos dados ao nvés de transformar as observações como nos modeos de Box e Cox. Para construção de um MLG é ndspensáve a utzação do Pacote Estatístco adequado. Neste sentdo dspões-se do sstema GLIM - Generazed Lnear Interactve Modeng, desenvovdo pea Roya Statstca Socety. O sstema GLIM possu um bom manua de utzação, cujo resumo das suas nstruções encontram-se em Cordero (986, Capítuo 5).. A COMPONENTE ALEATÓRIA A componente aeatóra de um MLG consdera que se dspõe de um vetor de observações y= ( y, K, y n )' como reazações da varáve aeatóra Y= ( Y,, Y n )' K, ndependentes ou peo menos não correaconadas, com médas µ ( µ,, µ ) = ' K n e pertencente a famía exponenca de dstrbuções. Esta famía tem densdade de probabdade dada por φ yθ b( θ ) + c( y, φ ) ( y ; θ, φ ) = e [ ] π (.) =, K, n onde b ( ) e c (, ) são funções conhecdas para cada observação, φ é o parâmetro de escaa suposto conhecdo e θ é o parâmetro natura (ou canônco) que caracterza a dstrbução em (.). Pode-se demonstrar facmente que ( ) E Y ( θ) db V = µ = e Var( Y) = dθ φ, (.3) sendo V = dµ, denomnada função de varânca. dθ É fác verfcar, que váras dstrbuções de probabdades conhecdas e argamente utzadas como a Norma, Poson, Bnoma, Gama e Norma Inversa, são membros da famía exponenca de dstrbuções. Um quadro com característcas e resutados mportantes para estas dstrbuções é apresentado a segur:

5 TIPO DE DISTRIBUIÇÃ O Norma - N(µ,σ ) σ π Posson-P(µ) e DENSIDADE E INTERVALO DE VARIAÇÃO < µ < y µ e, < y< σ σ> 0 PARÂMETRO DE ESCALA (φ) PARÂMETRO NATURAL (θ) VALOR ESPERA DO (E(Y)) FUNÇÃO DE VARIÂNCI A (V) NATUREZA DOS DADOS ASSIMETRIA VARIÂNCIA σ - µ µ NÃO < µ µ y og µ µ µ SIM µ µ, y= 0,,, K y Bnoma- m m k, k= 0,, K, m k B(m,µ) k µ ( µ ) m µ og µ m µ µ (-µ) SIM << µ Gama-G(α,r) Norma Inversa- N (µ,φ) ( ) r r αy α y e / t r, e ( og 3 ), φ yθ+ θ y + πy y> 0 r> 0 α> 0 y 0 r Suposto Conhecdo -α / r r a r α SIM > µ - / µ µ µ 3 SIM > µ QUADRO. Para a escoha de uma dstrbução razoáve para o erro, o anasta deve examnar os dados, prncpamente, quanto aos seguntes aspectos: assmetra, natureza contínua ou descontínua e ntervao de varação. Por exempo, quando o campo de varação dos dados é o conjunto dos reas, a dstrbução escohda deve ser a Norma; para dados contínuos postvos apresentando assmetra com varâncas superores às médas é bastante razoáve a suposção de dstrbução Gama ou Norma Inversa; a dstrbução de Posson é aproprada para dados dscretos na forma de contagens, podendo ser também utzada para dados contínuos quando a varânca for aproxmadamente gua a méda; enquanto que a dstrbução Bnoma serve para anáse de dados na forma de proporções, ou anda para dados apresentando sub-dspersões..3 A COMPONENTE SISTEMÁTICA A componente sstemátca de um MLG, η ( η,, η η ) = K ', também chamada de predtor near, é uma função near dos parâmetros desconhecdos β= ( β, K, β k )', representada por η= X β (.4) sendo X a matrz modeo de ordem n p, suposta de posto competo. A escoha de um predtor near adequado envove técncas de seeção de covaráves, como por exempo o Método das Covaráves Adconas, abordado em Dantas(988). Para formação da matrz modeo, deve-se escoher um modeo ntermedáro entre o mnma que contém o menor número de termos necessáros para o ajustamento, e o modeo maxma que ncu

6 o maor número de termos que o anasta pretende consderar. Os termos destes modeos extremos são, geramente, obtdos por nformações a pror, da estrutura dos dados..4 A FUNÇÃO DE LIGAÇÃO A função de gação deve ser compatíve com a dstrbução proposta para o erro e ser escohda de ta forma a factar a nterpretação do modeo. No modeo near cássco, por exempo, como os vaores dos dados e predtores podem assumr quaquer vaor rea, a gação dentdade deve ser a escohda. Entretanto, para modeos Gama, de Posson, e Norma Inversa a gação dentdade é menos atratva, uma vez que não restrnge os vaores esperados ao ntervao ( 0, ). Por outro ado, se efetos sstemátcos mutpcatvos contrbuem para as médas dos dados, uma gação ogartmo, que torna os efetos adtvos contrbundo para os predtores neares, pode ser a mas aproprada. Contudo, a escoha da mehor função de gação anda é um probema em aberto. Para cada tpo de dstrbução exste uma gação denomnada canônca, que torna os efetos sstemátcos adtvos, na escaa dada pea gação. Embora estas gações forneçam propredades estatístcas de nteresse para o modeo, tas como sufcênca, facdade de cácuo e uncdade das estmatvas de máxma verossmhança, não há razão para se trabahar sempre com eas. Na prátca, utza-se a gação canônca quando não há ndcatvo de outra preferíve. Para os modeos Norma, Bnoma, Posson, Gama e Norma Inverso, tem-se as respectvas gações conôncas: dentdade ( η = µ ), ogístca (η = og [ µ / ( - µ ) ] ), ogarítmca ( η = og µ ), recíproca ( η = µ - ) e nversa do quadrado ( η = µ - )..5 A ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS A estmação do vetor parâmetros desconhecdos de um MLG, β ( β,, β ) = K k ', é feta, geramente, utzando-se o método da máxma verossmhança, que consste em resover o sstema U β$ = 0, onde U β$ é conhecdo como função escore ou função suporte, ntroduzda por Edwards, e dada por sendo ' L β L β L β U $ β,, = = β β β k K (.5) onde = ( µ η ) w d / d / V L β n η φ [ y µ ] w d = X r r=, K, k β dµ r = é denomnado função peso. (.6)

7 Quando o erro é norma e a gação a dentdade, tem-se o modeo cássco de regressão como um caso partcuar de um MLG e o sstema (.5) é formado por equações neares. Nos demas casos tem-se um sstema de equações não-neares, e métodos numércos teratvos como o de Newton- Rapson e o de Fsher (conhecdo também como método do escore para parâmetros ) são necessáros para obtenção da estmatva $ β. Neder e Wedderburn (97) demonstraram que a soução destas equações é equvaente a um procedmento teratvo de mínmos quadrados ponderados. A função escore pode ser expressa também, por onde { φ φ } φ = dag n L β / β X' Wφ H y µ = { / / } H= dag dη dµ dη n dµ (.7) K n (.8) W= dag{ W W K n } (.9) K são matrzes dagonas de ordem n. Para estmação dos parâmetros peo método de Newton-Raphson, expande-se a função escore em sére mutvarada de Tayor até termos de a ordem, e guaa-se o resutado a zero, obtendo-se ou onde ( ) β m ( m) ( m ) ( m) U β ( m ) ( m) U β U β β β = β = 0 U β = + β ( m+ ) ( m) β β ( m) U β ( m) U β (.0) é a m-ésma aproxmação para β no agortmo de estmação, e β é denomnada de matrz de nformação observada de Fsher. Tomando-se o vaor esperado com sna negatvo, da matrz de nformação observada de Fsher, encontra-se a matrz de nformação de Fsher, dada por

8 U β k β E = β O nverso desta matrz é a matrz de covarânca assntótca de β $. Substtundo-se U β β método de Fsher por k β em (.0), obtém-se o agortmo de estmação do β peo ( m) ( m) ( ) ( ) m+ m β = β + k β U β Trabahando-se com as componentes da função escore (.5), o sstema reduz-se a ( ) ( ) ( ) ( ) X W m X m + ' φ β = X' W m φ y* m (.) * * onde y* = ( yk y n )' é uma varáve dependente modfcada, dada por y X H y *= + β µ. O pacote GLIM estma β utzando o método de Fsher. A desvantagem do método Newton- Raphson é que normamente o agortmo não converge para determnados vaores ncas..6 VERIFICAÇÃO DA QUALIDADE DO AJUSTAMENTO O teste de ajustamento de um MLG com p parâmetros a partr de n observações, é feto através da estatístca ( ) S = L $ L $ p n p onde S p é chamado de desvo do modeo e $ L n e $ L p são os máxmos da og-verossmhança para os modeos saturados (número de observações gua ao número de parâmetros $ β s ) e em nvestgação ( p < n ), respectvamente. O desvo é uma medda da dstânca entre os vaores ajustados e observados, ou equvaentemente, do modeo em nvestgação ao saturado. Embora pouco se saba sobre a dstrbução do desvo, na prátca compara-se S p com o vaor crítco X n p;α da dstrbução qu-quadrado a um níve de sgnfcânca α. Se Sp X n p;α o modeo aceto é, em caso contráro, rejetado ao dado níve α. Apenas para o modeo norma-near S p tem dstrbução qu-quadrado exata. Para outros modeos exstem apenas resutados assntótcos (Cordero, 983). Apresenta-se, a segur, um quadro com as expressões dos desvos para agumas dstrbuções de probabdade mas utzadas, cujas demonstrações podem ser encontradas em Raposo (985).

9 DISTRIBUIÇÃO NORMAL com varânca DESVIO - S P constante σ ( y µ ) POISSON BINOMIAL GAMA com parâmetro de n = / σ n y y og ( y $ µ ) µ $ = n y y og ( y / µ $ ) + ( y) og µ $ = n [ ] $ / $ og / $ escaa φ φ ( y µ ) µ ( y µ ) = NORMAL INVERSA n φ ( y µ $ ).7 ANÁLISE DO DESVIO = QUADRO. A anáse do desvo em um MLG tem como objetvo testar modeos encaxados, sto é, um modeo com p parâmetros (Mp ) contra outro com p parâmetros Mp, p < p, ambos com mesma gação e dstrbução, que é equvaente a testar a hpótese nua y µ $ H :βp + = K = βp = 0 0 Para sto cacua-se o desvo dos modeos Mp e Mp, e compara-se a dferença (Sp - Sp ) com o ponto crítco da dstrbução qu-quadrado com ( p - p ) graus de berdade a um níve de sgnfcânca especfcado α. Se Sp Sp > X p p ;α rejeta-se H 0 e o conjunto de parâmetros β, K, + β p p, é mportante para dar maor poder de expcação ao modeo; em caso contráro não se pode rejetar H 0 e o modeo M p deve ser o escohdo. A estatístca Sp p S, é nterpretada como uma medda de varação dos dados, expcada peos termos que estão em M p e não estão em M p, ncuídos os efetos dos termos em M p e gnorando quasquer efetos dos termos que não estão em M p. Quando se deseja anasar város modeos encaxados M, M, K, M respectvas p < p <... < p r e desvos S < S < K < S p p pr, com dmensões p p pr, tendo os modeos mesma gação e dstrbução, geramente constró-se uma tabea de anáse do desvo, conhecda como tabea de ANODEV. Observa-se que, embora pouco se saba sobre a dstrbução de cada desvo, a dferença entre ees tem dstrbução assntótca gua à qu-quadrado, peo teorema de Wks (938).

10 .8 OS RESÍDUOS A expressão dos resíduos generazados correspondentes a uma varáve aeatóra Y fo defnda por Cox e Sne (968) da forma ( ) R = h y,$µ onde h é uma função escohda de modo a estabzar a varânca ou nduzr smetra na dstrbução amostra de R, y, e $µ, os respectvos vaores observados e ajustados, correspondentes a Y. Escohendo-se h, adequadamente, pode-se verfcar a exstênca de anomaas no modeo em nvestgação. Isto é feto, em gera, através de uma anáse gráfca envovendo R. Um gráfco: - de R versus $µ apresentando pontos muto dstantes da massa de dados pode ndcar a presença de observações não pertencentes à dstrbução proposta para os dados, - de R versus apresentando pontos não dstrbuídos aeatoramente em torno da reta horzonta que passa na orgem, pode ndcar que agumas observações são dependentes ou apresentam aguma forma de correação sera; - de R versus os níves da varáve ou fator correspondente ao parâmetro omtdo, apresentando agum padrão defndo, ndca que o parâmetro é mportante na composção do modeo; - dos resíduos ordenados R( ) versus pontos percentuas da dstrbução norma, apresentando pontos próxmos a uma nha reta, ndca que a dstrbução proposta para Y pode ser aceta. Os tpos de resíduos mas comuns nos MLGs são: resíduos de Pearson, de Anscombe e Componentes do Desvo. O resíduo de Pearson é o mas smpes, defndo por ( ) P = φ y µ $ / V $ / / A desvantagem deste resíduo é que sua dstrbução é, geramente, bastante assmétrca para modeos não-normas. O resíduo de Anscombe (963) vsa a normazação e estabzação da varânca, sendo dado por [ ( ) ( )] ( ) A = φ N y N µ $ / N' µ $ / V $ / / onde N é uma função escohda de ta forma a aproxmar a dstrbução de R à Norma e N (µ)(v/φ) ½ é uma aproxmação para o desvo padrão de N (y). O resíduo como componente do desvo, que tem o objetvo de normazar R, é utzado usuamente na forma D = δ d /

11 y sendo δ o sna de ( ) a $µ e d dado por { } y ( ) ( θ θ) b( θ) + b( θ) φ $ $, onde θ= q ( y ) e θ $ ( µ $ ) reacona o parâmetro natura com a méda. = q, e q ( ) é a função que A vantagem do resíduo D é que não requer o conhecmento da função normazada. Observa-se que para modeos bem ajustados as dferenças entre D e A são pequenas, enquanto que, de uma forma gera, os resutados de D e A são smares. O quadro.3 apresenta as expressões dos três resíduos, para agumas dstrbuções mas utzadas. DISTRIBUIÇÃO POISSON ( y $ ) / $ EXPRESSÃO DO RESÍDUO PEARSON ANSCOMBE COMPONENTES DO DESVIO µ µ S p S p ( y ) { [ og / $ + $ y] } δ µ µ BINOMIAL ( y µ $ ) / µ $ ( µ $ ) () δ m og ( y / µ $ ) ( y) GAMA ( y $ ) / $ µ µ ( ) 3 y / 3 / 3 / 3 { [ / + / og ( y) /( µ $ )]} { [ og $ / y + y $ / $ ]} µ $ / µ $ δ ( µ ) ( µ ) µ NORMAL ( y µ $ ) / µ $ 3 ( og y og$ µ ) / µ $ / ( y ) INVERSO QUADRO.3 / µ $ / y µ $ / () A expressão do resíduo de Anscombe para o modeo Bnoma reduz-se a m / 6 N y N / / 3 µ / µ $ µ $, onde N( µ ) = µ ( µ ) dµ [ ] [ ( ) ( )] ( ) [ ].9 PONTOS INFLUENCIANTES A déa básca de nfuênca é verfcar a dependênca do modeo estatístco sobre as váras observações ajustadas. Se a emnação de observações conduzr a uma mudança aprecáve nas estmatvas dos parâmetros, estas observações poderão ser consderadas nfuentes. A nfuênca de uma observação partcuar Y 0 sobre o modeo é medda pea dstânca entre o vetor de parâmetros estmados consderando-se a observação Y 0 (βˆ ) e o mesmos estmatva excundo-se Y 0 ( βˆ ), utzando-se as estatístcas: ( )

12 ˆ β ( ) ˆ β T [ ( )] Cov ˆ β ˆ β ˆ β ( ) ou [ ( ˆ β) L ˆ' β ] L (.) ambas estatístcas tendo dstrbução assntótca qu-quadrado com um grau de berdade. Pode-se demonstrar que estas meddas são, aproxmadamente, guas à estatístca de Cook ( 977 ) do Modeo Cássco de Regressão, dada por C = ( y ) ˆ ˆ µ h Vˆ ( hˆ ) (.3 ) Um gráfco de C versus ndcará as observações nfuentes no modeo adotado. Consderações adconas podem ser vstas em Atknson ( 986 )..0 SELEÇÃO DO MODELO Para anáse do conjunto de dados, deverão ser formuados város modeos pausíves, aternandose a gação e o tpo de dstrbução, adconando-se ou retrando-se vetores counas ndependentes de uma matrz modeo orgna, ou anda consderando transformações adequadas aos dados brutos. A escoha da função de transformação para os dados não é tão cruca como nos modeos cásscos de regressão, pos nos MLGs as hpóteses de normadade e constânca da varânca não são essencas para a dstrbução da varáve resposta e, anda, pode-se achar uma estrutura adtva aproxmada de termos para representação da méda da dstrbução, usando uma gação aproprada, dferente da escaa de medção dos dados. Para defnção do conjunto de varáves ndependentes a serem ncuídas na estrutura near, aém do método das covaráves adconas, ctado anterormente, outros métodos de seeção como o STEPWISE e o crtéro C p de Maows, podem ser utzados. O método STEPWISE é um processo de seeção passo a passo, no qua a mportânca de cada covaráve ncuída no modeo é medda evanto-se em consderação o acréscmo provocado no coefcente de determnação e a perda de graus de berdade. Detahes sobre este método pode ser encontrado em Draper e Smth (98). Peo crtéro C p de Maows (966) obtém-se todas as combnações de modeos possíves com r varáves consderadas, fornecendo r resutados. Maores nformações sobre este assunto podem ser encontrados em Dane e Wood (97). 3. APLICAÇÕES A DADOS REAIS DO GRANDE RECIFE 3.. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Apresenta-se, a segur um modeo genérco para avaação de apartamentos no grande Recfe, com base em banco de dados utzado pea Engenhara da Caxa Econômca Federa, em Recfe, PE. Anasa-se uma amostra composta por 795 (setecentos e noventa e cnco) dados de apartamentos stuados em dversos barros das cdades de Recfe, Jaboatão dos Guararapes, Onda e Pausta. Tenta-se a partr da amostragem, construr um conjunto de modeos pausíves para expcar a formação dos preços de mercado dos apartamentos nas cdades consderadas, utzando o pacote GLIM. Para construção dos modeos consdera-se como varáve dependente os preços totas observados para os apartamentos ( V ), e como varáves ndependentes, as suas respectvas característcas

13 físcas de níve (NI), vagas de estaconamento (GA), área prvatva (AP), eevadores (EL), quartos socas (DO), posção da undade no prédo (PU), equpamentos (EQ), dade (ID), undades por andar (UA), padrão (PA) e estado de conservação (CO); eva-se em conta, também, a ocazação através da varáve setor (SE), e anda a natureza do evento (FO) e a época da sua ocorrênca (DA). As varáves NI, GA, AP, DO, ID e UA são quanttatvas e as demas quatatvas sendo EL e FO do tpo 0-. Isto é EL assume vaor zero se o prédo não tem eevador e em caso contraro; enquanto que FO assume vaor zero para dados de oferta e para transações efetvamente reazadas. Anda, DA representa o número de meses ocorrdos entre uma data base consderada (/97) até a data de ocorrênca do evento. 3. AJUSTAMENTO DOS DADOS PELO MODELO NORMAL LINEAR Incamente, tentou-se ajustar o modeo cássco de regressão com erro norma, que fo fortemente rejetado, uma vez que o desvo correspondente de,973 E + é bem superor a X 4,3 (ponto crítco de dstrbução qu-quadrado dom 780 graus de berdade, tabeado 780 ;0,05 = para um níve de sgnfcânca de 5%). Isso era de se esperar devdo à própra natureza dos dados: todos postvos, apresentando grande dspersão. Anda pode-se observar pea fgura 3., representatva dos resíduos estmados versus vaores ajustados, que se trata de uma amostra com varânca crescente e que a escaa near não é adequada aos dados. Pode-se observar também aguns preços ajustados negatvos, uma stuação mpossíve de acontecer RR R RR R R R R R 3R R R RR R R R R RRR3 R R RRR R 5R3 0. R R5R333R RRRRRR R3 R RR R R RR3 R R R RRRR R R RR R R : : : : : : : Fgura 3. Buscou-se uma transformação adequada para a varáve resposta peo método gráfco de Box e Cox. Uma vez que o gráfco dos desvos versus λ assume vaor mínmo próxmo de zero como observa-se na fgura 3., ndca que a transformação ogarítmo deve ser adotada.

14 .0e+08.00e+08 *.90e+08.80e+08.70e+08 *.60e+08.50e+08.40e+08.30e+08.0e+08.0e+08.00e e e e+07 * 6.00e+07 * 5.00e e+07 * * 3.00e+07.00e : : : : : : : Fgura ANÁLISE DOS DADOS ATRAVÉS DE UM MODELO LOGNORMAL A regressão da varáve transformada ogv sobre as mesmas varáves ndependentes do modeo anteror, mpca na segunte expressão para as médas ajustadas, de ogv (erros padrões entre parênteses). Ê ( ogv) = NI SE FO DA VA AP EL (3.) DO PU E Q ID UA PA CO A tabea de ANOVA, a segur, mostra a anáse de varânca reatva ao ajustamento do modeo norma-near para ogv. A estmatva da varânca é ˆ σ = e como r = 0.84, o modeo expca 84% da varação tota dos dados, ocorrendo um ncremento de % com a transformação da varáve resposta em reação ao modeo anteror. Também, como F é superor a F 0,0;4;780 = 3, ( ponto crítco da dstrbução de Snedecor com 4 graus de berdade no numerador e 780 no denomnador), ndca que o conjunto de varáves ndependentes adotado é mportante para expcar a varabdade dos preços observados. Utzando-se o teste t verfca-se também que todos os parâmetros do modeo são sgnfcatvos ao níve de %, com exceção daquee correspondente à varáve contemporanedade. Fonte G.. SQ MQ F Regressão 4 30,99, 833,78 Resíduo 780 0,78 0,07 Tota A Fgura 3.3 apresenta os resíduos ogv - Ê(ogV ) versus Ê(ogV ), de onde se constata que todos os resíduos estão no ntervao (-0,5, +0.50), ndcando condções favoráves ao ajustamento. Apresentam-se anda, dstrbuídos aeatoramente e então são acetas as hpóteses de ndependênca e varânca constante dos resíduos.

15 R R R RR R R R R R R R R R R R R 5 4R 4RRR RRR R R RRR R4RRR R R3RR946RR 3 3RRR RR R9653 4R R R R RR R433 R R R34344R3R R3RR R RR RRR RR RR R RRR RR R RR4RR555645R453 R R RR R R R R 4R443 RRRR R R3 RRRR R R3R RR R RR RRR R R3 R RRR R R R3R4 R RR R R R RR R R R R : : : : : : : Fgura * *** * * * * ** :: : : : : : Fgura 3.4 Na fgura 3.4 dos resíduos ordenados versus os quants da N(0,), os pontos estão bastante próxmos da bssetrz do quadrante e ndca que a dstrbução norma para ogv parece razoáve. Este exempo ustra as potencadades do modeo de Box e Cox em stuações onde as hpóteses do modeo norma-near não são satsfetas. Como a hpótese de ogv norma fo aceta, V tem dstrbução og-norma de méda exp Ê ogv +.0,07 que reduz-se à expressão: (3.) ˆ µ = 5.505,48.,0066 NI.,006 SE.0,95758 FO.,0067 DA., VA., AP.,533 EL.,306 DO.,00906 PU.,00757 E Q. 0,99358 ID. 0, UA.,000 PA., CO O modeo nferdo poderá ser usado para estmar os vaores de novos apartamentos na área abrangda pea pesqusa. Observa-se que, os vaores dos apartamentos crescem em méda 0,66% por cada andar mas eevado em que se encontra a undade; 0,6% para cada acréscmo untáro no setor onde se ocaza o prédo; 7,04% por cada vaga na garagem; 0,347% por cada m adcona de área prvatva da undade; 3,0% para cada quarto soca adcona exstente na undade; 0,906% por cada acréscmo untáro na pontuação correspondente a posção da undade no prédo;,075% por cada acréscmo untáro na pontuação atrbuída aos equpamentos; 0,% e 0,08% por cada acréscmo untáro na pontuação atrbuída ao padrão e conservação da undade/prédo, respectvamente. Verfca-se anda, que há um decréscmo médo no vaor de mercado estmado de cerca de,0% para cada ano de dade do prédo e 0,3% para cada acréscmo untáro na quantdade de undades por andar exstente no prédo. Observa-se também, que, em méda, os apartamentos são negocados por 95,75% o do vaor de oferta nca, a taxa de vaorzação mobára no período pode ser estmada em 0,7% ao mês e que os apartamentos stuados em prédo com eevadores são, em méda, 5,3% mas vaorzados que aquees que não os têm. 3.4 ANÁLISE DOS DADOS ATRAVÉS DE UM MODELO GAMA Apresenta-se, uma anáse aternatva aos dados observados, consderando-se que V tendo dstrbução Gama. Para encontrar uma gação adequada, constró-se gráfcos da varáve dependente modfcada estmada ( Y ) versus predtores neares estmados (ηˆ ). Entre as gações ˆ* dentdade, recíproco e ogartmo, esta útma apresenta gráfco de y versus ηˆ mas próxmo da º

16 bssetrz sendo portanto a preferda. Anda, a gação ogartmo produz menor desvo (0.649) em reação às demas gações. As médas estmadas de V do modeo gama com gação ogartmo são dadas por: ˆ NI SE FO DA VA AP EL DO = 5.480,76.,00636., ,95565.,0084.,07.,00353.,545.,964. µ (3.3) PU,0099.,0068E Q. 0,9936 ID. 0,97836 UA.,0009 PA.,00079 CO Verfca-se que o modeo Gama é bastante próxmo do modeo ognorma para V. Os vaores ajustados segundo os dos modeos são, aproxmadamente, os mesmos. O gráfco de V versus µˆ mostra uma neardade ao ongo da º bssetrz exceto para os maores vaores dos dados, como devera ser esperado, pos Var (V) é proporcona a µ. Adota-se aqu os resíduos de Anscombe (953) para o modeo gama, com expressão / 3 3 / 3 a 3( ˆ / ) ˆ = V µ µ. O gráfco de a, versus µˆ, mostrado na Fgura 3.5 não revea dados aberrantes e os pontos se apresentam aeatoramente dstrbuídos, sem nenhum padrão defndo, podendo-se concur que os erros são ndependentes * *3 * * * * * * * *443* 53 3* **** * *3**4444* * ** * * * *** * * * * *3*** * * ** ** 3 * * ** * *3* * * * * * * * ** * ***** * * * *3* *4 * * * : : : : : : : Fgura * * *3* * ** * : :-: : : : : Fgura 3.6 Os resíduos ordenados versus os quants da N(0,) apresentaram-se bem próxmos da bssetrz do prmero quadrante o que ndca a dstrbução gama para V, como pode-se observar na fgura CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Peo exposto pode-se concur que a ntrodução da teora dos Modeos Lneares Generazados traz maor segurança para o avaador e precsão no trabaho avaatóro, uma vez que o tratamento dos dados não fca amarrado a uma dstrbução norma e não será necessáro mas o cumprmento da exgênca do pressuposto básco da homocedastcdade um probema que geramente acompanha os dados mobáros. É oportuno embrar que quando dados heterocedástcos são tratados peo modeo cássco de regressão, utzando-se mínmos quadrados ordnáros, quasquer que sejam os resutados obtdos na avaação, são ees enganosos. Estes modeos podem ser construídos com bastante facdade utzando-se o sstema GLIM. O estudo reazado para o mercado de apartamentos do grande Recfe demonstra a potencadade da metodooga, que, sem dúvda, se consttu no ferramenta estatístco mas poderoso da atuadade, dsponíve para anáse de dados unvarados.

17 5 BIBLIOGRAFIA -ANSCOMBE, F. J.(963) - " The Examnaton and Anayss of Resduas ". Tecnometrcs 5, p ATKNISON, A. C. (986) - " Pots, Transformatons and Regresson". R.W Horns. -BOX and COX (964) - An Anayss of Transformatons J. R. Statstc. Soc., B., 6, -5. -COOK (977) Detecton of Infuenta Observatons n Lnear Regresson. Technometrcs 9, COPAS, J.B. (983) Regresson, Predcton and Shernkage. J. R. Statstc. Soc., B 45, CORDEIRO, G.M. (983a) - Modeos Lneares Generazados. Anas do 4º Coóquo Brasero de Matemátca. -CORDEIRO, G.M. e PAULA, G. A. (989 ) - Modeos de Regressão para Anáse de dados Unvarados - 7º Coóquo Brasero de Matemátca - IMPA. -COX, D.R. e SNELL, E.J. (968) - A Genera Defncon of Resduas. JRSS-B, 36, p DANIEL, C.and WOOD,F.S.(97) - "Fttng Equatons to Data". John Wey and Sons, New York. -DANTAS,R.A (987) - " Avaação de Gebas Inserdas na Maha Urbana". Tese de Mestrado Departamento de engenhara cv - UFPE. -DANTAS, R. A. e CORDEIRO, G.M. ( 986 ) - Avaação de Imóves Utzando Metodooga Centífca - Anas do V Congresso Brasero de Engenhara de Avaações e Perícas - Recfe. -DANTAS, R.A. e CORDEIRO G.M. (988) - Uma Nova Metodooga para Avaação de Imóves Utzando Modeos Lneares Generazados - Revsta Brasera de estatístca. -DANTAS, R. A. (997) - Avaação de Imóves Utzando Modeos Especas - Anas do IX Congresso Brasero de Engenhara de Avaações e Perícas - São Pauo. -DANTAS, R. A. (998) Engenhara de Avaações Uma Introdução à Metodooga Centífca Edtora PINI - São Pauo. -DRAPER,N.R and SMITH,H (98) - " Apped Regresson Anayss". nd. Edn. Wey, New York. -KMENTA,J.(978) - " Eementos de Econometra". ATLAS - MALLOWS, C. L. (973) - Some Coments on C p. Technometrcs 5, p MATOS, O C. (995) - Econometra Básca - Atas. -NELDER and WEDDERBURN (97) - Generazed Lnear Modes. JRSS - A 35, p NETTER, J. and WASSERMAN,W.(974) - " Apped Lnear Statstca Modes" Rchard D. Irwn. -NB-50/89 - "Norma para Avaação de Imóves Urbanos". ABNT. -ROSEN ( 974 ) Hedonc Prces and Impct Markets: product dfferentatonn perfect competton. Journa of Potca Economy 8(): TUKEY,J.W. (949) - " One Degree of Freedom for Non-Addtvty". Bemetrcs, 5, 3-4.