- ESTATÍSTICA I - Mário

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1 1 ESTATÍSTICA CONCEITOS PRIMITIVOS 1 - O QUÊ É A ESTATÍSTICA? Vários autores têm procurado definir a Estatística. Existem muitos livros escritos sobre a Estatística, todos contendo definições desde as mais simples até as mais complexas, porém a qu vamos sugerir é a enunciada por Dugé de Bernonville, e que julgamos ser simples e fácil de ser memorizada: e Estatística é um conjunto de métodos e procedimentos quantitativos serve que para estudar e medir os fenômenos coletivos. 2 - POPULAÇÃO E AMOSTRA Conforme ficou claro na definição, a Estatística tem por objetivo o estudo dos fenômenos coletivos e das relações que existem entre eles. Entende - se como fenômeno coletivo aquele que se refere à população, ou universo, que compreende um grande número de elementos, sejam pessoas ou coisas. Portanto, para a Estatística, somente interessam os fatos que englobam um grande número de elementos, pois ela busca encontrar leis de comportamento para to do o conjunto e não se preocupa com cada um dos elementos em particular. A população pode ser, segundo o seu tamanho, finita ou infinita. É finita a população que possui um número determinado de elementos; a população infinita possui um número in finito de indivíduos. Porém, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que, na prática, nunca encontramos populações com infinitos elementos mas, sim populações com um grande números de componentes; e, nessas circunstâncias, como ocorre na Es tatística Matemática, tais populações são tratadas como se fossem infinitas. Quando a população é muito grande, torna - se difícil a observação dos aspectos a serem observados, de cada um dos elementos, devido ao alto custo, ao intenso trabalho e o tempo despendido para levar a cabo uma exaustiva observação de todos os componentes da população. Nessas circunstâncias, fazemos a seleção de uma amostra suficientemente representativa da população e, através da observação dessa amostra, estaremos apto s a analisar os resultados, da mesma forma que se estudássemos toda a população, só que nesse caso sem os inconvenientes anteriormente descritos. 3 - ESTATÍSITICA DESCRITIVA E ESTATIÍSTICA PROBABILÍSTICA(INDUTIVA) Agora estamos em condições de defi nir a Estatística Descritiva ou Dedutiva, que é aquela que tem por objeto descrever e analisar determinada população, sem pretender tirar conclusões de caráter mais genérico. A Estatística Indutiva ou Inferência Estatística é a parte da Estatística que, b aseando - se em resultados obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou estimar as leis de comportamento da população da qual a mostra foi retirada. Também através da Estatística Indutiva podemos aceitar ou rejeitar hipóteses que podem surgir sobre as características da população, a partir também da análise da amostra representativa dessa população.

2 2 1- INTRODUÇÃO E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A A palavra Estatística, significa, originalmente, uma coleção de informações para o Estado sobre a população e economia. Desta origem, a Estatística cresceu e se desenvolveu até tornar-se um método de análise que, encontra aplicações em todas as ciências sociais. Os fatos sociais exigiram que o homem aplicasse ou elaborasse um método que satisfizesse, em parte, a série de indagações feitas pelas ciências que necessitavam ser respondidas: esse método (ou conjunto de métodos) é denominado método estatístico. FENÔMENOS ESTATÍSTICOS O campo de aplicação da Estatística é o dos fenômenos coletivamente típicos ou fenômenos de massa, que não se caracterizam por observações isoladas, mas observações de massas de casos. FASES DO LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO ESTATÍSITCA DESCRITIVA A seqüência do trabalho estatístico pode ser apreciada com um simples exemplo, muito conhecido do professor e do aluno: a aplicação de uma prova. As questões, planejadas inicialmente, são aplicadas aos alunos (informantes dos questionários) e, logo depois, coletadas e corrigidas (criticadas): compete ao professor, ainda, apurar os resultados divulgando-os (exposição) e analisando-os (interpretação). Portanto as fases do levantamento estatístico são: Planejamento Coleta de dados Apresentação de dados (tabelas e gráficos) Descrição e interpretação dos dados. OBJETIVO: A finalidade da pesquisa é descobrir respostas para questões, mediante a Aplicação de métodos científicos. Tais métodos são desenvolvidos tendo por objetivo criar uma probabilidade cada vez mais tendente para a certeza, de que as informações obtidas às questões apresentadas serem, além de seguras e imparciais, realmente representativas do mundo real. PLANEJAMENTO: Que dados deverão ser obtidos? Como se deve obtê-los? Ao planejar uma pesquisa devemos, como medida preliminar, reunir todo material, existente: mapas, relatórios, artigos, livros, etc, relativo a levantamentos semelhantes; ou seja devemos Ter conhecimento da literatura sobre o assunto, pois é justamente onde encontramos as informações sobre os possíveis fatores do fenômeno a estudar. Além disso, traz valiosas informações no que diz respeito a técnica mais recomendável para a realização da pesquisa.

3 3 Nenhuma pesquisa se inicia sem que se tenha previamente organizado o seu programa, da maneira mais completa possível, pois esquematizado o problema conhecidos os suportes o seus fatores, concluímos imediatamente quais os dados de que necessitamos. DEFINIÇÃO DO UNIVERSO È o caminho a seguir após a organização do plano geral, a equipe deverá saber qual o caminho a ser pesquisado, para permitir um trabalho mais fácil, mais lógico, mais racional, mais preciso, pois caso contrário comprometeremos os resultados do levantamento; torna-se portanto necessário delimitar claramente, no tempo e no espaço do inquérito, definindo, em termos precisos, o universo a ser trabalhado. Toda pesquisa é trabalho grandemente dispendioso. Sempre que possível, procuraremos restringir-lhe o vulto, sem que com isso se perca o rigor que o caso exija. Em vez de pesquisarmos uma totalidade de casos, pesquisaremos apenas um grupo, isto é, uma amostra desde que não afete a precisão dos resultados. É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse aspecto, pode haver dois tipos de levantamentos: censitário e amostragem. O tipo de levantamento, censo ou de amostragem, deverá ser decidido com antecedência e a necessária análise das vantagens e desvantagens, de um e de outro, pois três fatores essenciais - tempo, custo e precisão, governam todo e qualquer tipo de levantamento Ele acima de tudo, é função dos recursos financeiros e do prazo determinado para a conclusão do trabalho. Vale assinalar que nem sempre a amostragem é mais barato que um levantamento completo e isto porque, quer no planejamento quer na execução, o pessoal empregado numa operação por amostragem é de nível técnico mais elevado e, portanto, mais caro. COLETA DOS DADOS Como? Quando? e Onde? Obter as informações julgadas necessárias e suficientes? Na fase inicial do trabalho estatístico, o planejamento já ficou decidido ONDE seriam coletadas as informações. É possível que as informações, desejadas pela equipe possam ser obtidas em órgãos que já as coletou. Nesse caso, haveria apenas uma transcrição, o trabalho seria mais rápido e menos oneroso. Ex: cartórios onde encontramos os registros de casamento, os balancetes comerciais e bancários. que são as fontes de estatísticas. DADOS ESTATÍSTICOS Entende-se por dados estatísticos a representação numérica de fenômenos coletivamente típicos. Assim, por exemplo, o número de alunos de uma escola, os habitantes de uma país, q a quantidade de soja produzida em Minas Gerais em 2003, constituem dados estatísticos. Dados primários- são os dados estatísticos que foram colhidos, ou publicados pela própria pessoa ou organização que vai analisá-los. Dados secundários- são os dados que foram colhidos por pessoa, ou organização diversa daquela que vai analisá-los. Um conjunto de dados é, pois, primário ou secundário em relação a alguém. Há diversas maneiras de obtermos as informações, mas todas usam como instrumento operacional um questionário, portanto temos:

4 4 questionário enviado questionário apresentado questionário e interrogatório inquérito pessoal APURAÇÃO DOS DADOS Antes de começar a analisar os dados é conveniente que lhes seja dado algum tratamento prévio, a fim de torná-los mais expressivos. È um trabalho de condensação e de tabulação dos dados, que chagam ao analista de forma desorganizada, tornado impossível a tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura. Por conseguinte através da apuração, tem-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de números o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade. A apuração é geralmente realizada através de processos mecânicos, a menos que o número de dados seja pequeno. APRESENTAÇÃO DOS DADOS (Tabelas e gráficos) Após a apuração, os dados estatísticos são apresentados em tabelas ou em gráficos, por ser uma maneira prática e racional de apreciar e entender o fenômeno que está estudando. TABELAS A elaboração de tabelas obedece a Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística. Os seguintes pontos deverão ser estudados: A tabela, como um dado, inclue seu título e todos as notas explicativas. Ela deve ser Auto-Explicativa. O título e os cabeçalhos da colunas e linhas devem ser claros concisos, e o mais resumido possível. O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes perguntas: O quê? (referente ao fato) natureza da classificação Onde? (relativo ao lugar) lugar Quando? (correspondente a época) tempo Linha - é uma série horizontal de informações Coluna - é a parte destinada a uma série vertical de informações. A interseção de uma linha com uma coluna corresponde à célula ou casa. As unidades de medidas devem sempre ser registradas; Os termos usados devem ser definidos em rodapé; Se a tabela foi retirada ou derivada de outras, a fonte deve ser dada em nota de rodapé; Os números devem ser arredondando a fim de evitar detalhes inúteis: As tabelas devem ser ajustadas ao espaço disponível; não devem ser muito estreita e nem muito largas; A tabela não deve ser fechada lateralmente por traços verticais. Na parte superior, bem como na inferior, a tabela é fechada por linhas de traço mais cheio. As casas não deverão ficar em branco apresentando sempre um número ou sinal convencional.

5 5 Empregam-se os seguintes sinais convencionais: a) (traço) quando o dado for nulo; b)... (três Pontos), quando não se dispuser do dado c) X (letra X), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualização das informações. No corpo da tabela encontramos as seguintes zonas 1. Designativa 2. Indicativa 3. Enumerativa TÍTULO ( O que) SUBTÍTULO ( onde? Quando?) Zona designativa (cabeçalho) Zona indicativa Zona enumerativa Total Fonte: ( rodapé) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA O gráfico é uma maneira simples e efetiva e torna compreensível uma tabela. Muitos tipos de gráficos são empregado na estatística, dependendo da natureza dos dados pertinentes e da finalidade para a qual ele é destinado. Estas representações gráficas chamam-se Gráficos ou Diagramas. Os gráficos apresentam os dados estatísticos de uma maneira clara e simples, por meio de desenhos geométricos. FINALIDADE DA APRESENTAÇÃO GRÁFICA: O gráfico é uma representação da relação existente entre as variáveis. Embora a representação dos dados através de desenhos, dependa muito do espírito de criatividade e do bom gosto de quem vai executar a tarefa, alguns princípios elementares, no entanto devem ser observados. Assim, dentre as normas consideradas básicas, destacamos as seguintes: a) o gráfico deve ser simples, b) é necessário que o gráfico apresente o título, e, quando for o caso título e subtítulo, Quê ( título) Onde ( subtítulo) c) devem ser utilizadas no desenho apenas as linhas necessárias à leitura, d) as unidades utilizadas para representar o fenômeno devem estar expressas no desenho. e) Guardar certa proporcionalidade entre os eixos, de modo que alinha das ordenadas corresponde, NO MÁXIMO, a 80% das abscissas. PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS 1) gráficos de barras 2) gráficos de colunas 3) gráficos em linhas ou lineares

6 6 4) gráficos em faixas 5) gráficos em setores 6) gráficos representativos de distribuição de freqüência a) histograma b) polígono de freqüências DESCRIÇÃO OU INTERPRETAÇÃO DOS DADOS A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e também a mais delicada. Nesta etapa, o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver o problema. A análise dos dados cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso por números - resumos, as estatísticas, que evidenciam características particulares desse conjunto. 2- SOMATÓRIO Muitas vezes precisamos escrever somas com muitos termos, ou cujos termos obedecem a certa lei de formação. Por exemplo, a soma dos 50 primeiros números naturais positivos Sendo xi o i-ésimo número natural da soma, podemos obter a seguinte simbologia. 50 xi = i=1 De modo geral, teremos n xi = x 1 + x 2 + x x n i=1 Propriedades dos somatórios 1- Sendo c uma constante, teremos n n a) c.x i = c.x 1 + c.x 2 + c.x c.x n = c(.x 1 + x 2 + x x n ) = c. x i i=1 i=1 n b) c = c + c + c + + c = c.n i=1 2- Somatório da soma ou diferença n n n (x i y i ) = x i y i i=1 i=1 i=1

7 7 De fato! ( x i + y i ) = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 + x 3 + y x n + y n = (x 1 + x 2 + x x n ) + (y 1 + y 2 + y y n ) = x i + y i Por tanto, ( x i + y i ) = x i + y i. Idem para ( x i - y i ) = x i - y i SOMATÓRIO DUPLO É freqüente, na representação dos dados estatísticos, o uso de tabelas de dupla entrada, onde os valores são expressos em função de duas variáveis. Uma variável em linha e uma variável em coluna. Por exemplo: Representação do estado civilxsexo (masculino ou feminino). Seja x ij um elemento genérico, sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela. j i k 1 x 11 x 12 x x 1k 2 x 21 x 22 x x 2k 3 x 31 x 32 x x 3k... L x L1 x L2 x L3. x Lk Exemplo: x ij representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela. j i Calcular 3 4 a) x ij i=1 j=1 4 b) x 2j i=1 3 c) x i3

8 8 i=1 3 4 d) x ij i=2 j=2 e) (x ij 1)² 1- Desenvolva cada uma das somas indicadas: EXERCÍCIOS 5 a) xi, onde x1 = 0, x 2 = 4, x 3 = 1, x 4 = 10, x 5 = 8 i=1 4 b) xi, onde x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 7, x 4 = 19 i=1 2- Sendo X: x 1 = 7, x 2 = 3, x 3 = 8, x 4 = 2, x 5 = 1 Y: y 1 = 3, y 2 = 1. y 3 = 5, y 4 = 6, y 5 = 2, calcular a) X b) Y c) X² d) X.Y e) (X + Y) f) (X + 4) 3- Usando os dados do exercício 2, constate que: a) X.Y X. Y b) ( X)² X² 1- X ij representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela: i j Quais são os elementos x 22, x 23, x 13, x 31, x² 43

9 9 4.2 Calcular a) x ij b) 4 3 x ij i=2 j=2 c) x 2j d) xi3 e) x² ij e) (x i2 + 1)² 2- O elemento X ij representa o número de pessoas que estão sujeitas à i-ésima faixa etária e a j-ésima faixa de renda. Renda em R$ mil Idade (anos) I Calcule a) x ij b) x i3 c) x 2j 5 6 d) xij i=2 j=3 d) x 3j II a) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda maior ou igual a R$ e que tenha idade maior ou igual a 30 anos. b) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda na faixa c) Escreva simbolicamente a soma dos elementos que estão na faixa etária DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA Um arranjo tabular dos dados juntamente com as freqüências correspondentes, é denominado distribuição de freqüência: Exemplos

10 10 1) Vamos admitir que a empresa X conte com 60 funcionários entre casados e solteiros. E que o gerente de pessoal, da empresa, está interessado em verificar se o número de filhos por funcionários da fábrica tem algum comportamento característico do ponto de vista estatístico. Para iniciar a sua análise, o gerente de pessoal consulta o arquivo das fichas dos funcionários, de onde extrai os dados. Números de filhos dos funcionários da empresa DADOS BRUTOS ROL - é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza Distribuição de freqüência - dados não agrupados em classes (intervalos). Funcionários da empresa X, segundo números de filhos. Nº de filhos freqüência total 60 Fonte: departamento pessoal da empresa X A representação gráfica do fenômeno acima poderá ser feita através do gráfico em hastes ou gráfico de bastões. F TÍTULO: Número de filhos dos funcionários da empresa X X

11 11 Fonte: Departamento pessoal da empresa X 2) Os valores abaixo, correspondem as notas finais do curso de matemática de 80 estudantes da Universidade Unimonte em 20xx, obtidos na secretaria da Universidade. Dados Brutos ROL Neste caso contudo, não é conveniente procedermos como no caso anterior, porque a tabela de freqüência teria 35 valores diferentes e seria, ainda muito extensa. Ao invés disso, vamos considerar intervalos (classes) e contar quantas observações se encaixem dentro de cada classe. Número de intervalos (classes) Quantas classes serão necessárias para representar o fato? O número de classes é representado por k. È importante que a distribuição conte com um número adequado de classes. Se esse número for escasso, os dados originais ficarão tão comprimidos que pouca informação se poderá extrair da tabela. Se por outro lado, forem utilizados muitas classes, haverá algumas com freqüência nula ou muito pequena, e o resultado será uma distribuição irregular e prejudicial à interpretação do fenômeno como um todo. Existem vários critérios que podem ser utilizados a fim de possuirmos uma idéia do melhor número de classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número levando-se em conta o intervalo de classe e a facilidade para os posteriores cálculos numéricos. Assim, podemos indicar um método que considero mais prático. Nº de elementos observados Número de classes Mínimo máximo Até a a a a mais de

12 12 Dessa forma o pesquisador usando o bom senso e a sua experiência verificará qual seria o intervalo de classe, mesmo que o número de classes não seja o determinado pela tabela ou por outros métodos existente, como a fórmula de Sturges K = 1 + 3,3 log N, mas que facilite as operações posteriores Notas finais do curso de matemática da Universidade Unimote-20xx Notas Nº de FAC FAD FR FRAC FRAD F% F%AC F%AD Xi (PM) Alunos Total Fonte: Secretaria da Universidade Unimonte. MG Tipos de freqüências Freqüência absoluta : simples. Acumulada crescente e acumulada decrescente Freqüência relativa : simples, acumulada crescente e acumulada decrescente Freqüência percentual : simples, acumulada crescente e acumulada decrescente. Histogramas e Polígonos de freqüência são representações gráficas da distribuição de freqüência.(veja na losa os respectivos gráficos das distribuições do exemplo acima) Assunto: Distribuição de freqüência Prof. Mário Roberto Filho ESTATÍSTICA I - EXERCÍCIOS 1- Dada a distribuição de freqüência abaixo, calcular os pontos médios, as freqüências acumuladas, crescente e decrescentes, as freqüências

13 13 relativas simples e acumuladas, crescentes e decrescentes, freqüências percentuais simples, acumuladas crescente e decrescente. ESTATURAS FREQ. PM FAC FAD FR FRAC FRAD F% F%AC F%AD (cm) f TOTAL 120 b) RESPONDA 1- quantos alunos tem estatura de ? 2- Quantos alunos tem estatura de ? 3- Qual a % dos alunos que medem abaixo de 165 cm? 4- Qual a % dos alunos que medem de cm? 5- qual a % dos alunos acima de l65 cm? 6- qual a classe de estatura do 5º aluno? 7- qual a classe de estatura do 18º aluno? 8- até que classe de estatura são compreendidos 60% dos alunos? 2) De acordo com a tabela apresentada acima, construir: histogramas e polígonos de freqüências, das seguintes freqüências: a) freqüência simples b) freqüência acumulada crescente c) freqüência acumulada decrescente. 3) A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência da notas de estatística de 320 alunos do curso de Administração de uma universidade Y

14 14 NOTAS Nº DE ALUNOS FAC FAD F% F%AC F%AD TOTAL N = 320 Com base nessa tabela, pede-se a) a percentagem de alunos cuja nota não excede a 58. b) o número de alunos com nota maior ou igual a 83. c) a percentagem de alunos cuja nota é 28 no mínimo, mas inferior a 87. 4) Tabular convenientemente as notas abaixo, atribuídas aos 52 alunos da turma A que prestaram a prova B em julho de 20xx MEDIDADA DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL São utilizadas para resumir e desenvolver o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja estudar. 1- Médias 2- Moda

15 15 3- Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Percentis) 1- MÉDIA 1.1- Média Aritmética - Dados não agrupados Sejam X 1, X 2, X 3,..., X n. A média aritmética simples da variável X representada por X é definida por: n Xi X = i=1 n em que n é o número de elementos do conjunto Exemplo: Um aluno submeteu-se a um concurso, obtendo os seguintes resultados: Contabilidade...7 Matemática...8 Português...5 História...9 Digitação...6 Legislação...4 Determinar a média final do candidato X = = 39 = 6, Média Aritmética Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a média aritmética dos valores, ponderados pelas respectivas freqüências absolutas: f 1, f 2, f 3,...,f n. assim: k fixi X = i =1 n Exemplo1:

16 16 Funcionários da empresa CASTANHEIRA, segundo o número de filhos. Nº de filhos Nº de funcionários fixi TOTAL Fonte: Departamento de pessoal da empresa Castanheira X = 255 = 2,125 2 ( os funcionários da empresa possui em média 2 filhos). 120 Exemplo 2: Resultados da Prova de Estatística do Curso de Administração da escola X - Julho de Notas Nºde alunos xi fixi , , , ,5 382, , , , , ,5 47,5 TOTAL FONTE: Secretaria da Escola X X = 1650 = 21,7 pontos 76

17 PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA Se a cada valor da variável adicionarmos ou subtrairmos uma constante, a média fica acrescida ou diminuída desta mesma constante Se multiplicarmos ou dividirmos cada valor da variável por uma constante 0, sua média fica multiplicada ou dividida por essa constante A soma dos desvios em torno da média é nula (zero). Desvio diferença, afastamento, resíduo ou discrepância é a diferença entre cada valor da variável e sua média PROCESSO ABREVIADO PARA O CÁLCULA DA MÉDIA O método anterior é chamado processo longo, devido aos cálculos. Esse processo que veremos agora é útil quando os valores de X forem grandes e a amplitude entre tais valores for constante, pois facilita nos cálculos. Esse processo baseia-se nas propriedades da média que acabamos de mencionar. Exemplo Resultados da Prova de Estatística do Curso de Administração da escola X - Julho de Notas Nºde alunos xi zi fizi , , , , , , , ,5 4 4 TOTAL FONTE: Secretaria da Escola X Zi = xi - x o k -88 h Z = fizi = = -1,16 i=1 76 n mas X = h.z + x o = 5(-1,16) + 27,5 = 21,7 pontos

18 18 xo é uma constante arbitrária tomada convenientemente ASPÉCTOS A SEREM OBSERVADOS NO EMPREGO DA MÉDIA ARITMÉTICA A média é uma medida de tendência central que por uniformizar os valores, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas; sendo influenciada pelos valores extremos da série Não necessariamente tem existência real, isto é, nem sempre é um elemento que faz parte do conjunto, para bem representá-lo, embora pertença obrigatoriamente ao intervalo entre a maior e menor ocorrência Não pode ser calculada para distribuição com limites indeterminados (indefinidos) Depende de todos os valores da série, enquanto outras medidas como veremos adiante, são calculadas em função de parte dos elementos do conjunto e a média aritmética depende de todos os elementos, sendo pois exaustiva sob o aspecto de cálculo. 2- MODA Pode-se definir a moda como sendo o valor mais freqüente, quando comparada sua freqüência com a dos valores de um conjunto. Notação: Mo, ^X. Exemplo: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Mo = 6 (unimodal) 1, 2, 3, 4, 5 (amodal) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Mo = 2 e Mo = 5 (bimodal) 1, 2, 2, 2, 1, 1, 4, 5, 6, 5, 6, 5 Mo = 1, Mo = 2 e Mo = 5) Pontos obtidos pelos 20 alunos da turma A - matemática NOTAS Nª DE ALUNOS Mo = 13 pontos TOTAL 20

19 19 Fonte: Secretaria da Escola Prova de Matemática, 1º ano/ensino médio , Escola X NOTAS Nº DE ALUNOS Classe modal TOTAL 70 Fonte: Secretaria da Escola Mo = L + 1. h = / (15 + 9).5 = 18,13 pontos Onde: 1 é o excesso da classe modal em relação à classe anterior. 2 é o excesso da classe modal em relação à classe posterior L é o limite inferior da classe modal h é a amplitude da classe modal. Moda Bruta: = 17,5 pontos DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA

20 20 f 28 R S E P F 2 16 T 12 8 Q Mo Notas L 1 L 2 Os triângulos PQR e PST são semelhantes, portanto, seus lados são proporcionais e podemos escrever: QR = ST EP PF 1 (L 2 - Mo) = 2 (Mo -L 1 ) 1.L 2-1.Mo = 2.Mo - 2.L 1 1.L L 1 = 2.Mo + 1.Mo 1 (L 1 + h) + 2.L 1 = Mo( ) 1.L h + 2.L 1 = Mo( ) L 1.( ) + 1.h = Mo Mo = L h ( ) ASPECTOS A SEREM OBSERVADOS NO EMPREGO DA MODA A Moda não depende de todos os valores da série, nem de sua ordenação (ROL), podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns valores da série Não é influenciada pelos valores extremos da série Sempre tem existência real ou seja sempre é representada por um elemento do conjunto de dados, exceto o caso de classes de freqüências, que trabalhamos com subconjuntos (dados agrupados) e não com cada elemento isoladamente.

21 Pode ser calculada para distribuição som limites indeterminados (indefinidos) 4- SEPARATRIZES 4.1- MEDIANA: É um valor que provoca dividir a distribuição de freqüência exatamente ao meio de tal forma que 50% dos casos fiquem aquém e 50% fique além de seu valor. NOTAÇÃO: Me 4.2- POSIÇÃO DA MEDIANA P Me = n Exemplo: 2, 3, 6, 12, 15, 23, 25 Pme = = 4º posição Me = , 4, 6, 8, 9, 10 Pme = = 3,5 ( entre 3º e 4º posição) Me = (6 + 8)/2 = DETERMINAÇÃO DA MEDIANA NA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA NOTAS Nº DE AL.(F) FAC Classe da mediana classe do Q TOTAL 500 k-1 Pme = 500/2 = 250º n fi Me = L Me + 2 i=1.h F Me

22 22 Me = 40 + ( ) / = 49, pontos Por interpolação, teremos (= )... x x = 9,03 logo Me = ,03 = 49,03 pontos ASPÉCTOS A SEREM OBSERVADOS NO EMPREGO DA MEDIANA Não depende de todos os valores da série e, podemos mesmo não se alterar com a modificação de alguns valores, porém tem que estar dentro do Rol Não é influenciada pelos valores extremos da série Pode ser calculada para distribuição com limites indeterminados Não necessariamente tem existência real, embora pertença ao intervalo considerado. 5- QUARTIS, DECIS, PERCENTIS QUARTIS - divide o conjunto em 4 partes iguais ( Q1, Q2, Q3, Q4 ) 5.2- DECIS - divide o conjunto em 10 partes iguais (D1, D2, D3,...D10) 5.3- PERCENTIS - divide o conjunto em 100 partes iguais.(p1, P2, P3,..., P100) Posição dos quartis: P Qi = i.n / 4 Posição dos decis: P Di = i.n / 10 Posição dos percentis: P Pi = i.n / 100 A maneira de calcular os quartis, decis, percentis são análogos ao cálculo da mediana, mudando assim, apenas o cálculo de cada, quartil, decil ou percentil. Referente a distibuição de freqüência dada para calcular a mediana, calcularemos como exemplo o primeiro quartil. PQ1 = / 4 = 125 Q1 = 40 + ( ) / = 40,96 41 pontos. Fica como exercícios o cálculo de Q3, D4, P10, P90 e outros caso julgue necessário RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA Houve que observasse, em vários exemplos de gráficos de distribuições de freqüência as diferenças sobre a abscissa entre a média, mediana e moda chegando a

23 23 uma relação aproximada entre essas três medidas, para distribuições unimodais e não muito assimétrica. Foi Pearson que admitiu que tais condições a distância entre a média e a moda è 3 vezes maior que a distância entre a media e a mediana. X - Mo = 3.( X - Me) Mo = 3Me - 2X. X = Me = Mo (simétrica) X Me Mo ( assimétrica negativa X < M e< Mo) Mo Me X (assimétrica positiva: X > Me > Mo) EXERCÍCIOS 1-Com base na tabela abaixo determinar o salário médio(método longo e abreviado), a empresa X Salário (R$) fi TOTAL 50

24 24 Fonte: Departamento Pessoal 2- Determinar a mediana do conjunto de números: 5, 4, 8, 3, 7, 2, De acordo com os dados da tabela abaixo determinar a duração média, a mediana, a moda, o Q1, D8 e o P70 das válvulas fabricadas pela empresa X. DURAÇÃO (H) Nº DE VALVULAS TOTAL Na distribuição de salários descrita abaixo SALÁRIOS (R$) nº de operários TOTAL 90 Determinar: a) Qual o salário acima do qual estão situados os 10% mais bem remunerados? b) Qual o salário abaixo do qual se encontram os 15% mais mal remunerados? c) Acima de que salário estão os 18 operários mais bem pagos?

25 25 d) Abaixo de que salário se situam os 36 operários mais mal remunerados? e) Discutir quanto a simetria, a distribuição de salário, desses operários. 5- MEDIDAS DE DISPERSÃO Para descrever estatisticamente um conjunto de dados, uma medida de tendência central não é suficiente, é preciso, ainda, informar uma outra dimensão do fenômeno que analise a forma da distribuição de freqüência, ou seja, a concentração ou dispersão dos dados. Temos necessidades de outra estatística: uma medida de variabilidade. As medidas de variabilidade se caracterizam por medirem as diferenças entre os valores de uma distribuição, o que implica que tais medidas refletem as diferenças grupais. Isso significa que elas informam sobre o grau de heterogeneidade do grupo. Freqüentemente, são realizadas pesquisas educacionais, sociais, psicológicas e outras visando a comparação de gruas de heterogeneidade dos grupos. Seria uma impropriedade dizer graus de homogeneidade em se tratando de fenômenos sociais, portanto, cada ser humano é único, sempre diferente de outro, em algumas características, resultando grupos sociais sempre heterogêneos com variações de graus: alguns grupos são "menos heterogêneos" do que outros e não "mais homogêneos". Suponhamos as três séries de valores: A: 60, 60, 60, 60, 60, 60 X = 360/6 = 60 B: 5, 10, 20, 60, 120, 145 X = 360/6 = 60 C: 56, 58, 60, 61, 62, 63 X = 360/6 = 60 Observando as séries notamos que em cada grupo os valores se distribuem diferentemente em relação à sua média: Necessitamos assim de uma medida estatística complementar para melhor caracterizar cada conjunto apresentado, assim sendo teremos: 1- AMPLITUDE TOTAL 2- VARIÂNCIA 3- DESVIO-PADRÃO 4- DESVIO-MÉDIO 5- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

26 26 1- AMPLITUDE TOTAL: Nos dá idéia do campo de variação dos valores da série, desprezando assim os valores intermediários, o que a torna insensível á dispersão dos demais valores entre os pontos de máximos e mínimos. A: = 0 B: = 140 ( mais heterogênea) C: = 7 2- VARIÂNCIA: é uma medida de variação usada para indicar como as variações se dispersam em torno de sua média. È a média dos quadrados dos desvios em torno da média aritmética. S 2 = (Xi - X ) 2 ( dados não agrupados) n S 2 = fi( Xi - X) 2 ( dados agrupados) n EXEMPLO 1 Analisando os dados abaixo, teremos 56m, 58m, 60m, 61m, 62m, 63m X = 60m S 2 = (56-60) 2 + (58-60) 2 + (60-60) 2 + (61-60) 2 + (62-60) 2 + (63-60) 2 = 5,67m DESVIO PADRÃO: Note-se que o valor encontrado da variância não está em unidade igual da variável original, seu valor representa o quadrado da unidade original. Resta-nos assim estrair a raiz quadrada da variância para retornar à mesma unidade dos dados originais e obter o melhor índice de variabilidade, o DESVIO- PADRÃO. 4- S = S 2 = 5,67 S = 2,38m

27 27 EXEMPLO 2 Lançando um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição VALORES Nº de vezes fixi Xi - X (Xi - X) 2 fi(xi - X) TOTAL X = 185 / 50 = 3,75 4 S 2 = fi(xi - X) 2 = 157 / 50 = 3,14 S = 3,14 S = 1,77 n Seja a distribuição das estaturas de 100 alunos de uma classe, determinar as variância e O desvio padrão. ESTATURA Nº de alunos Xi FiXi (Xi - X) (Xi - X) 2 Fi(Xi - X) 2 1,40 1,50 5 1,50 1, ,60 1, ,70 1, ,80 1, ,90 2,00 5 TOTAL 100 X =

28 28 S 2 = S = 6- DESVIO-MÉDIO: O desvio médio ou média dos desvios é igual à média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: MEDIA OU MEDIANA. DM = Xi - X (dados não agrupados) DM = fi Xi - X (dados agrupados) n n EXEMPLO 1 A = 10, 12, 13, 20, 25, 34, 45 X A = = 22,714 7 Pme = (n + 1)/2 = 8/2 = 4 Me = 20 Xi Xi - X Xi - Me Logo: 10 12, DM = 71, 714 = 10, , , ,714 0 ou 25 2,286 5 DM = 69 = 9, , , Total 71, EXEMPLO 2 : Consumo de energia elétrica (kwh) de 80 usuários

29 29 Consumo(kwh) F TOTAL 80 Fonte: Departamento de distribuição de energia da empresa X = Me = DM = ou DM = MEDIDAS DE ASSIMETRIA 1- Comparação sobre as medidas de Tendência Central X Mo a distribuição é assimétrica positiva X = Mo a distribuição é simétrica X Mo a distribuição é assimétrica negativa 2- Coeficiente de Pearson ( Karl Pearson) AS = X - Mo ou AS = 3( X - Me) ( primeiro coeficiente de Pearson) S S Se AS = 0 a distribuição é simétrica Se AS 0 a distribuição é simétrica positiva Se AS 0 a distribuição é assimétrica negativa OBSERVAÇÃO: Não é comum o aparecimento de curvas de freqüência com deformação superior a 1. Desta forma, um índice AS = -0,6 expressa alto

30 30 enviesamento negativo, já um resultado AS = 0,1 mostra uma assimetria positiva despresível. EXEMPLO O aproveitamento da prova de inglês das primeiras séries da escola X, dezembro de Curso X Mo S Diurno Noturno ASd = = 0,66 ASn = = - 0, COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON S CV = x 100 (dispersão relativa) X As medidas de variabilidade que vimos, somente são comparáveis quando se referem a uma escala de medidas, com a mesma unidade, ainda, quando os grupos tem médias não muito diferentes. No caso em que são diferentes as medidas em comparação ( centímetro, peso, etc) os grupos, usa-se uma medida de variabilidade relativa à média: é o coeficiente de variação. EXEMPLOS 1- Consideremos a distribuição das alturas de 50 pessoas e a distribuição de seus respectivos pesos. Xa = 173,3 cm Sa = 8,7 cm Xp = 69,5 Kg Sp = 4,2 kg Cva = 8,7/ 173,3 x 100 = 5,02% CVp = 4,2 / 69,5 x 100 = 6,04% Pode-se concluir que a população é menos heterogênea em relação a altura.

31 31 2- Resultado da prova de Português das 3 séries do ensino médio da escola X, novembro de Séries X S CV Observe que a 1ª série é menos heterogênea, pois 1ª % apresenta menor CV. 2ª % 3ª % MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE As distribuições de freqüência não diferem apenas quanto ao valos médio e à variabilidade, mas também quanto à sua forma, ou seja: o grau de deformidade ou assimetria e o grau de achatamento ou afilamento da curva de freqüência ou do histograma. heterogênea) leptocúrtica (menos mesocúrtica Coeficiente para avaliar o grua de CURTOSE. K = Q 3 - Q 1 2( P 90 - P 10 ) Se K = 0,263 a curva da distribuição é mesocúrtica

32 32 K 0,263 a curva da distribuição é platicúrtica. K 0,263 a curva da distribuição é leptocúrtica. EXEMPLO Resultado da prova de Estatística da Escola X, dezembro de Pontos F total 500 Note que Q 1 = 40,97 Q 3 = 56,11 P 10 = 32,94 P 90 = 61,11 Logo K = 56,11-40,97 = 0,2687. Portanto a curva é platicúrtica, logo indica 2( 61,11-32,94) heterogeneidade. EXERCÍCIOS 1- Calcule o desvio-padrão dos seguintes dados, de pesos em Kg, de dois grupos ( A e B) de alunos, dizendo com base nestes cálculos, qual grupo é menos heterogêneo, ( ou menos disperso) GRUPO A: 43, 45, 52, 54, 56 GRUPO B: 46, 52, 58, 60, Dados os seguintes conjuntos de números A = 1, 2, 3 B = 10, 20, 30 Calcule a dispersão absoluta (desvio-padrão) e a dispersão relativa (coeficiente de variação) dos dois conjuntos e analise o resultado encontrado. 3- A tabela abaixo mostra uma distribuição de freqüência das idades de 87 funcionários da empresa Y.

33 33 IDADE(anos) Nº de funcion TOTAL 87 Fonte: Departamento pessoal da empresa Y Pede-se a) a amplitude total da distribuição b) o desvio médio c) a variância d) o desvio-padrão e) a idade na qual 75% dos funcionários estão abaixo dela. f) A idade na qual 3/4 dos funcionários estão acima dela. g) A idade no qual 4/10 dos funcionários se encontram acima dela. h) O grau de assimetria i) Discutir quanto ao grau de heterogeneidade: mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica. 4- Numa escola, a média da turma A é 35 e o desvio-padrão é 10, a média da turma B é 35 e o desvio- padrão é 2,5. Qual das 2 turmas apresentou resultados menos heterogêneos? Porque? TRIÂNGULO DE PASCAL. Números Combinatórios n n! Ou binomiais p = Cn,p = p!.(n-p)!

34 34 n = P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 n = n = n = n = n = n = n n n n n n n n... n n Substituindo-se cada número combinatório pelo respectivo valor, o triângulo de Pascal fica assim:

35 35 P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 n = 0 1 n = n = n = n = n = n = Observe que o triângulo de Pascal continua infinitamente, à medida que vai aumentando o valor de n. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Analise cada uma das linhas do triângulo de Pascal. a) Quais são o primeiro e o último elemento de cada linha? Qual a lógica disso? b) O que você observa comparando o primeiro com o último elemento, o segundo com o penúltimo,...? c) É possível a igualdade abaixo para p 5? 12 = 12 p 5 Em caso afirmativo, para que valor de p? 2) a) Tome dois elementos consecutivos quaisquer de uma linha do triângulo de Pascal e calcule sua soma. Veja se essa soma aparece como um dos elementos da linha seguinte. Faça isso várias vezes e tire uma conclusão. b) O triângulo de Pascal que aparece no texto vai até a linha em que n = 6. A partir do que você concluiu no item anterior, construa as quatro próximas linhas do triângulo. 3) Um grupo tem 7 pessoas, entre as quais o indivíduo A. Deseja-se formar, a partir desse grupo, uma comissão de 4 pessoas. a) De quantas formas a comissão pode ser formada? b) Em quantas dessas comissões A aparece necessariamente? c) Em quantas dessas comissões A não aparece? d) Que relação existe entre os resultados obtidos nos três itens anteriores?

36 36 e) Expresse o resultado do item anterior, utilizando números combinatórios. f) Sem efetuar os cálculos, indique os números combinatórios obtidos como resultados das somas e ) Calcule a soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal. a) O que você observa? b) Qual será a soma dos elementos de n = 8? E da linha n = 10? E da linha n = 11? c) Generalize, calculando o valor da soma. n + n + n + n n + n n 1 n PROBABILIDADE INTRODUÇÃO: Basicamente existem dois tipos de experimentos: experimentos determinísticos experimentos aleatórios Os experimentos determinísticos nos permite prever os resultados, sem que tenhamos que realizar estes experimentos. EXEMPLOS: a) O tempo gasto de ir de uma cidade A, a outra B, com uma velocidade média constante. b) A queda livre de um corpo. Considerando também os experimentos: a) lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima; b) lançamento de um dado, não viciado, e leitura do número voltado para cima; c) nascimento de um criança. Se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resultado. Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentarem resultados variados, não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios.

37 37 Os experimentos aleatórios estão sujeitos ao acaso, embora se conheçam os possíveis resultados. Nosso objetivo é aprender a calcular a probabilidade ou chance de se obter, em um experimento aleatório, um determinado resultado. Num problema de cálculo de probabilidade, devemos levar em conta os resultados possíveis (Espaço amostral U) e os resultados desejados (evento) de um experimento. No lançamento de um dado, por exemplo, podemos estar interessados em calcular a probabilidade de se obter um número menor do que 3. Nesse experimento, temos: Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (resultados possíveis) Evento E: {1, 2} (resultado desejados). Neste caso todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer, e são estes os experimentos alvos de nosso estudo em probabilidade. Dizemos, no caso, que os resultados possíveis são equiprováveis. A probabilidade P(E) de ocorrer um evento E, no caso de resultados equiprováveis é: P(E) = número de resultados desejados número de resultados possíveis No cálculo de probabilidades, existem dois casos extremos. Se E é um evento impossível de acontecer, P(E) = 0 ou P(E) = 0%. Se E é um evento certo, ou seja, que ocorrerá com certeza, P(E) = 1 ou P(E) = 100% Vejamos! No lançamento de um dado, qual a probabilidade do resultado ser 7? E a probabilidade do resultado ser um número menor ou igual a 6? No lançamento do dado, é verdade que impossível de se obter o número 7, portanto o evento é impossível e P(E) = 0 ou P(E) = 0%. Enquanto que para se obter um número menor ou igual a 6, este resultado ocorrerá com certeza, portanto o evento é certo e P(E) = 1 ou P(E) = 100%. Pode-se concluir, portanto, que a probabilidade P(E) de ocorrer um evento (fato) E é um número real que pode variar de 0 até 1 ou, em percentagem, de 0% (evento impossível) até 100% (evento certo). 0 P(E) 1 ou 0% P(E) 100% EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter.

38 38 a) O número 5 b) Um número primo c) Um número múltiplo de 3 Solução O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(u) = 6. a) Ocorrência do número 2: A = {2}, portanto n (A) = 1 P(A) = n(a) = 1 = 0,1667 ou P(A) = 16,67% n(u) 6 b) Ocorrência de um número primo: B = {2, 3, 5}, portanto n(b) = 3 P(B) = n(b) = 3 = 1 = 0,5 ou P(B) = 50% n(u) 6 2 c) Ocorrência de um número múltiplo de 3: C = {3, 6}, portanto n(c) = 2 P(C) = n(c) = 2 = 1 = 0,3333 ou P(C) = 33,33% n(u) 6 3 2) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determine a possibilidade dos eventos: a) as duas cartas são ases. b) as duas cartas são de copas. Solução a) Calculando o número de elementos do espaço amostral, teremos: 1ª possibilidade 2ª possibilidade Logo n(u) = = 2652 Calculando o número de elementos do evento A, teremos: Temos 4 ases, portanto A 4,2 = ! = 12 2! Portanto: P(A) = n(a) = 12 = 1. n(u) b) Calculando o número de elementos do evento B, teremos: 1ª carta de copas 2ª carta de copas n(b) = = 156 ou A 13,2 = ! = 156

39 39 11! Portanto: P(A) = n(b) = 156 = 13 = 1 n(u) ) Consideramos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que: a) ambas não estejam estragadas. b) pelo menos uma esteja estragada. Solução Cálculo do número de maneiras que duas frutas podem ser escolhidas. n(u) = C 10,2 = 10! = ! = 45 maneiras 2!8! 21. 8! a) Cálculo do número de maneiras que duas frutas não estragadas podem ser escolhidas. n(a) = C 7,2 = 7! = ! = 21 maneiras 2!5! ! Portanto: n(a) = 21 = 7 n(u) b) Cálculo de pelo menos uma seja estragada, que pode ser: uma estragada e uma boa. ou C 3,1 x C 7,1 = 3. 7 = 21 as duas sejam estragadas. C 3,2 = 3 Logo: n(b) = C 3,1. C 7,1 + C 3,2 = = 24 Portanto: P(B) = n(b) = 24 = 8 n(u) OBSERVAÇÃO: Este cálculos, no item b, poderiam ser efetuados de uma outra maneira, bem particular. Note que os eventos A: ambas não estejam estragadas e B: pelo menos uma esteja estragada são mutuamente exclusivos (disjuntos) e a união dos eventos nos dá o espaço amostral U: 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Conclui-se que o evento B é complementar do evento A e representamos por A ou A C. Logo P(A) + P(B) = 1 P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 P(A) Portanto: P(B) = P(A) = 1 7 =

40 40 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Determine a probabilidade de: a) Obter um número menor que 3 no lançamento de um dado. b) Acertar um jogo da loteria esportiva com um palpite duplo. c) Os 3 filhos de um casal serem meninos. d) Somar 5 no lançamento simultâneo de 2 dados diferentes. 2) Qual a probabilidade do evento certo? E do evento impossível? 3) Qual a probabilidade de acertarmos uma quadra com um prognóstico simples de 6 números na loto? 4) Os eventos A e A são complementares. Sendo P(A) = 0,3, calcule P(A). 5) Uma urna tem 3 bolas brancas e 4 azuis. Retirando ao acaso 2 bolas, qual a probabilidade de ambas serem brancas? 6) Dentre 5 pessoas, será escolhida, por sorteio uma comissão de 3 membros. Qual a probabilidade de que uma determinada pessoa venha a figurar na comissão? 7) Qual a probabilidade de obter, no lançamento de 1 dado, um número par ou um número maior ou igual a 4? 8) Dentre 100 leitores dos jornais A e B, 40 lêem o jornal A e 70 lêem o jornal B. Qual a probabilidade de que 1 leitor leia os jornais A e B? 9) Retirando com reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, onde há 4 reis, qual a probabilidade de que saiam 3 reis? 10) Retirando, sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, onde 13 são de paus, qual a probabilidade de que sejam de paus as 3 cartas? 11) Em uma urna há 4 bolas verdes e 6 amarelas. Retirando 2 bolas, sem reposição, determine a probabilidade de: a) Ambas serem verde. b) Ambas serem amarelas. c) A 1ª ser verde e a 2ª amarela. 12) Qual a probabilidade de acertar os 13 jogos da loteria esportiva: a) Apenas utilizando palpites simples? b) Utilizando palpites duplos nos 3 primeiros jogos? c) Utilizando palpites triplos nos 2 primeiros jogos e duplos nos 3 jogos seguintes? 13) Uma gaveta tem 5 pares de meias verdes e 3 pares de meias azuis. São tiradas 2 meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar: a) Um par verde?

41 41 b) Um par com meias de mesma cor? c) Um par com meias de cores diferentes?

42 42 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS O que se entende por variável aleatória? Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos nosso Espaço Amostral U, sem associarmos suas respectivas probabilidades aos experimentos aleatórios. Existem, contudo, experimentos cujos resultados podem ser expressos por quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a cada resultado do experimento aleatório. Quando realizamos a observação dos resultados de um experimento que pode ser resultado repetidamente sob condições essencialmente inalteradas (experimento aleatório), não poderemos, de antemão, dizer qual particular resultado irá ocorrer na próxima tentativa, muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. Assim, por exemplo, antes de lançar um dado poderemos descrever que os possíveis resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses, em particular, irá ocorrer, no próximo lançamento é impossível predizer com absoluta certeza. Variável aleatória é, pois o resultado da observação de experimentos não determinísticos. Entretanto o resultado de um experimento não é necessariamente, um número. De fato na observação das peças que saem de uma máquina poderemos, simplesmente, anotar as categorias "defeituosas" ou "não defeituosas". Contudo, em muitas situações experimentais, estamos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como um número. Mesmo no exemplo acima, poderemos atribuir um número a cada resultado (não numérico) do experimento. U: observação das peças (telhas) que saem de uma máquina X número de peças defeituosas X = 0, 1, 2, 3,...,n Portanto, chama-se variável aleatória a uma variável cujo valor é um número determinado pelo resultado de um experimento ou através da observação, e aos quais podemos associar probabilidade. As variáveis aleatórias podem ser classificadas em: 1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA Seja X uma variável aleatória que assume os valores x 1, x 2, x 3,...x n. Diremos que X é uma variável aleatória discreta. Se o número de valores tomados por X é finito ou infinito numerável. Exemplo: U: Lançamento de quatro moedas Seja, X: o número de caras observadas. X = 0, 1, 2, 3, 4 De modo geral podemos dizer que as variáveis aleatórias discretas são as que resultem de contagens. 2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor num intervalo, diremos que X é uma variável aleatória contínua. Exemplos: a) Número de horas de duração de uma lâmpada b) A altura de um indivíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conforme a precisão de medida.

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